WO2002037198A2 - Verfahren und system zur näherungsweisen wiedergabe der oberfläche eines werkstücks - Google Patents

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Leif Kobbelt
Christof Sinn
Ulrich Schwanecke
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Definitions

  • the invention relates to a method and a system for the approximate reproduction of the surface of a workpiece machined with a milling cutter. It also relates to a computer program product for carrying out the method and a computer programmed with the computer program product.
  • Such a method is used, for example, in the reconstruction or simulation of a surface, e.g. B. a surface of a workpiece to be machined by means of a milling cutter.
  • CAD Computer aided design
  • a previously common method for such an approximation is the so-called polyedrization of the geometry of the milling cutter and the calculation of polyhedron cuts.
  • the polyedrization of the milling cutter leads to numerical problems when calculating the cut and is also particularly complex and time-consuming.
  • the invention is therefore based on the object of specifying a method of the type mentioned above, which enables the workpiece contour to be reconstructed in a particularly simple manner. Furthermore, a system which is particularly suitable for carrying out the method and a computer program product and a computer programmed therewith are to be specified.
  • this object is achieved according to the invention in that an initial body representing the workpiece in a first approximation stage in whole or in part a number of sub-volumes is subdivided, and by selecting those sub-volumes for a reproduction of the workpiece in a second approximation stage for which a cut is determined with an analytical reproduction of the milling volume spanned by the milling cutter along a swept milling path.
  • the invention is based on the consideration that a considerable part of the numerical complexity in previous cutting calculations on the treatment of the milling cutter and the milling volume spanned by it along the milling path is generated by its polyedrization. Therefore, the polyedrization of the milling volume should be avoided in the numerical evaluation.
  • This can be achieved by analyzing the milling volume analytically.
  • An analytical evaluation of the milling volume can take place on the basis of an analytical reproduction of the milling cutter geometry on which the milling cutter is based, taking into account the milling path covered by the milling cutter.
  • These two parts can each be analyzed analytically, so that the outer surface of the milling volume spanned by the milling cutter along the milling path, which is actually to be taken into account, can also be analytically derived therefrom.
  • the analytical rendition of the milling volume or its outer surface which can be determined in this way, is used in order to make a suitable selection of the partial volumes, which together form the starting body. For this purpose, it is determined in the manner of a cut which of the partial volumes is penetrated by the outer surface of the milling volume. The entirety of the partial volumes identified in this way then forms an envelope for this surface in the manner of an approximate reproduction of the surface of the workpiece.
  • the determination as to whether a partial volume intersects with the milling volume can be made by determining for one or a few spatial points of the respective partial volume that they lie within the analytically reproducible milling volume, if at the same time for one or some others Spatial points of the respective partial volume are determined to be outside the milling volume. In this case, the outer surface of the milling volume necessarily runs through the partial volume, so that there is a cut.
  • the starting body to be machined i. H.
  • the workpiece is present, for example, as a cuboid and is expediently divided into a number of elements (also called elementary parts, volume pixels or voxels) with a predetermined resolution.
  • the resolution resolution is freely selectable by the user, so that resolutions of 1 ⁇ m are technically possible.
  • the workpiece contour to be calculated is thus determined on the basis of analytical cuts (or linear approximation of the cuts) of the present milling cutter geometry with the elements or voxels under consideration.
  • analytical cuts or linear approximation of the cuts
  • Such, in particular analytical, consideration of the geometry of the milling cutter, in particular its milling head, during surface reconstruction makes it possible to detect deficiencies in the surface structure particularly reliably and easily.
  • each partial volume is advantageously determined using the analytical see reproduction of the milling volume assigned to one of the categories "lying within the milling volume", “lying in the edge area of the milling volume” or “lying outside the milling volume”.
  • the respective partial volume is defined as an outer, inner or edge element or -
  • a workpiece contour representing the surface is advantageously determined or generated on the basis of the partial volumes determined as the peripheral region, in other words: voxels or elements declared as peripheral regions always contain the actual workpiece contour and envelop it accordingly on.
  • the method is particularly suitable for use in recursive or iterative form.
  • the result obtained by the evaluation with regard to the cuts and representing a second approximation level of the reproduction of the workpiece is used as the starting variable for a new execution of the method.
  • the workpiece can be discretized even more finely in the next step by appropriately selecting smaller partial volumes in the areas identified as edge zones.
  • the intermediate result obtained can be used as an output variable for the consideration of a new or second milling path.
  • the partial volumes that have already been obtained and identified as particularly relevant for the characterization of the workpiece surface advantageously advantageously flow into the selection of the starting body for the next run of the method.
  • Subsequent determination of a further approximation level for a reproduction of the workpiece takes into account only those partial volumes as components of the starting body which were classified into the categories “lying in the edge region of the milling volume” or “lying outside the milling volume”. Up to twelve edge intersection points are preferably specified for each element or partial volume in order to determine the cuts.
  • a dynamic polyhedron in particular an octahedron, is specified as the data type for the polyedration.
  • a triangular mesh representing the workpiece contour is preferably determined on the basis of the elements determined as the peripheral region, that is to say the partial volumes classified in the category “lying in the peripheral region of the milling volume”, that is to say in a crosslinking step following the polyhedralization, the respective peripheral voxels are calculated Intersections (intersection approximations) brought together to form an interpolating triangle network.
  • the simulation of milling processes includes not only the geometry of the milling cutter, but also the visualization of the workpiece contour to be milled.
  • the visualization is advantageously carried out over a large area so that deficiencies in the contour can be better determined.
  • the surface of the workpiece is expediently determined on the basis of the dynamic octree.
  • the dynamic octree is determined on the basis of cuts representing the milling process and continuously updated with regard to the resulting contour of the workpiece. This ensures that the shape of the workpiece is continuously approximated to the workpiece to be milled during the milling process.
  • cylinder milling or end milling for example, is used in multi-axis milling, especially in five-ch milling.
  • the computer program product and the computer programmed with it the above-mentioned object is achieved by means suitable for carrying out the method, in particular in each case a component or module suitably designed for carrying out the evaluation steps.
  • the advantages achieved by the invention consist in particular in that, by combining an analytical characterization of the milling volume with a discretized evaluation of the workpiece body, a surface return is made possible in which a high degree of accuracy can be achieved with comparatively little numerical effort.
  • both the body topology and the tool geometry, i.e. H. the milling head is sufficiently taken into account so that, for example, undercut contours of a milling workpiece can be traced or a very fast, rough approximation of the workpiece contour is made possible.
  • Figure 1 is a medium constant or linear
  • FIGS. 14 to 15 examples of different envelopes before and after an edge twist
  • Figure 16 Example of an envelope for an industrial application.
  • the invention is described by way of example using an algorithm for determining or approximating the surface of a workpiece to be machined by means of a milling machine.
  • the geometry of the workpiece is described and determined in more detail using a number of flat elements or partial volumes with a predetermined number of edges. Each element forms a polyhedron, especially an octahedron.
  • the partial volumes form an initial body, which reproduces the milled workpiece in a first approximation stage.
  • each partial volume is checked to determine whether the milling volume spanned by the carrier along its milling path intersects the respective partial volume. If this is the case, the respective partial volume is recognized and selected as being particularly relevant for the characterization of the workpiece contour. If, on the other hand, there is no cut, it is concluded that the respective partial volume is either completely inside or completely outside the milling volume and is therefore largely irrelevant for the characterization of the contours left by the milling process.
  • the partial volumes selected in this way as relevant for a rough characterization of the workpiece contour are may be used as the starting body for a new run of this analysis.
  • the partial volumes are increasingly refined, possibly up to a predefinable resolution limit.
  • the resolution can remain comparatively coarse in the areas that are not affected by the actual workpiece contour. This enables a particularly precise refinement of the screening or discretization to be achieved, so that a comparatively high accuracy can be achieved with only a small outlay on resources.
  • the evaluation takes into account that a body, e.g. B. a milling head that performs a movement in the milling process, generally generates a volume.
  • the volume resulting from the movement of the milling head is also called the moving volume.
  • a so-called polyedrization i.e. H. a polygonal or polygonal approximation, the changing surface of the workpiece and / or with analytical consideration of the moving milling head, a topologically precise surface reconstruction is automatically carried out with an error tolerance resulting from a predetermined resolution.
  • the surface is divided into a number of elements with a predetermined number of edges, also called elementary parts or voxels, for which analytical cuts along the edges are determined by means of the milling cutter geometry in question.
  • the polyedrization is preferably carried out the body, e.g. B. the workpiece, using a polyhedron, for. B. an octahedron. This enables a particularly simple and quick method for determining the surface.
  • the surface is continuously determined on the basis of the dynamic polyhedron, in particular the dynamic octahedron, using linear approximation, in particular intersection approximation.
  • the moving body S, z. B. the workpiece or the milling head based on the analytical geometry of the space defined as a subset of the real numbers in a coordinate system in space R 3 with a given function f.
  • the function f is a real continuous implicit function of intersection points p, also called edge or node intersection points, with:
  • intersection points p 6 Si 3 in the inner area f ( p) 0 for intersection points pe 91 3 zra peripheral area [1]
  • the function f is defined and specified accordingly for the body in question.
  • the respective workpiece or the milling head is determined on the basis of a predetermined number of simple body geometries or surface geometries or other given functions for analytical geometries in space.
  • R real functions for a coordinate system in space
  • the intersections relating to the two bodies, workpiece and milling head are determined and determined, e.g. B. for a first body S1 with fl> 0 and a second body S2 with f2> 0 according to:
  • E wrapping, e.g. B. Envelope for the dynamically changing body during the movement of a generator working on this body, eg. B. a milling head.
  • E wrapping, e.g. B. Envelope for the dynamically changing body during the movement of a generator working on this body, eg. B. a milling head.
  • FIG 1 shows an envelope E resulting from the different approximation, the one denoted by the reference symbol 1D representing the approximation preferred by the present method.
  • the enveloping surface E is that surface which essentially comprises all elements of the surface of the movement in question, in particular the milling cut.
  • both elements are used as a function to describe the envelope.
  • the function of the second element is extended by the parameter dt with dt to 0 according to:
  • the elimination is carried out automatically using "computer algebra", as the so-called resultant or as the so-called “Gröbner basis”.
  • shapes other than that rational functions described here can be used.
  • the surface or contour is determined on the basis of an explicit representation using polygons, in particular convex polygons, or the decomposition of an n-angle into triangles.
  • This process of explicit representation using polygons or triangles is referred to below as polyedrization.
  • the surface of the body in particular the workpiece contour, is determined on the basis of intersection points of a three-dimensional coordinate system for determining the position and connections of resulting surface points or nodes.
  • Polygonal structures are particularly simple and sufficiently precise.
  • polygonal structures in particular a cuboidal structure (see FIG. 2) and an octagonal structure (see FIG. 3), are shown by way of example as implicit functions.
  • the cuboid structure shown in FIG. 2 also called “quadtree" or cuboid meshing of the surface of the body is carried out by dividing a surface into two dimensions to form quadrilaterals.
  • the octahedron structure shown in FIG. 3 also called “octree”
  • octahedron crosslinking the body surface is carried out by dividing a space into three dimensions to form octahedra.
  • a corresponding polygon or n-corner representation is used.
  • An increasing number of regular n-corners results in a higher degree of fineness in the contour enough .
  • an envelope for the reconstruction of the surface is determined in an approximation method.
  • the respective cell or the respective element of the octree is determined as an outer, inner or peripheral area on the basis of edge intersections of the three-dimensional coordinate system (also as white, gray or black element).
  • the edge intersection points are determined on the basis of predetermined cuts, each of which is described by an edge, and the resulting intersection points of the relevant edges.
  • Each corner point or edge intersection p of an element or a surface represents a node of the octree.
  • its implicit function f (p) and its associated value are expediently determined in accordance with equation [1].
  • the element in question is determined as the outer, inner or peripheral area on the basis of the value determined in accordance with equation [1].
  • the value of the function f (p) is divided by the number of adjacent or adjacent elements or areas.
  • the resulting information on the respective node of the octree or on the edge intersection p, z. B. their coordinates are stored, for example, in tabular form.
  • the elements determined as external areas are recursively divided into part-n-corners, e.g. B. sub-octahedra, for which a predetermined fault tolerance is determined.
  • Those outside areas that have a given minimum size are called voxels and are designated as border areas or border voxels.
  • the edge voxels approximately represent the surface of the body or workpiece in question.
  • the given n-corners e.g. B. the octahedron
  • the surface or contour of the dynamic workpiece is determined step by step on the basis of algorithmic polyedrization by determining the vertices or edge intersection points (also called node points).
  • the next following node of the surface is determined around the contour of the workpiece in a clockwise direction using a predetermined voxel, starting from a starting or origin node.
  • FIG. 4 shows the determination of the nodes carried out clockwise by the consecutive numbering 1 to 5.
  • the previous contour around the previous node is replaced by a new current contour comprising the new node.
  • 5, 6 show the envelope of the workpiece determined by means of polyedrization.
  • the envelope shown in FIG. 5 is formed using center point connections and the envelope shown in FIG. 6 is based on linear interpolation.
  • the reconstruction of the surface of the body by means of an octree structure is determined by polygonal or polygonal approximation of the body surface on the basis of the determination of different configurations of the corner or node points of the outer, in particular the edge voxels.
  • the distance values f (p) determined for the nodes are determined and stored in table form.
  • the eight node or voxel points representing an octree each have a negative or non-negative value and in particular can enable 256 different corner or node configurations.
  • the dynamic octree manipulation is described below for a continuous update to the surface structure.
  • a polygonal approximation of a target or end surface of the workpiece is determined using equations [4] and [5].
  • the original volume LO is set in relation to the changes in the volume L1.
  • the elements of the voxel identified as interior areas or interior elements are eliminated since they do not change during processing.
  • the surface machining on which the milling process is based and thus the machining of the workpiece changing the shape is reconstructed by an approximate determination of a voxel which has a dynamic volume and envelops.
  • Such an approximation which only takes into account the outside or surface of the voxel, ie the envelope, provides a particularly fast and simple method for reconstruction.
  • the surface is determined and marked in the manner of a film or envelope as an edge or outer surface and updated in accordance with the processing on which it is based.
  • FIGS. 7 to 9 show a dynamic update of a volume of a quadtree, which describes the envelope of a circle moving along a polygon. This describes, for example, milling a workpiece by means of a spherical milling cutter along a polygon.
  • octree or quadtree it is determined step by step whether its edges lie inside or outside the volume L 0 . If an edge of the relevant polyhedron lies outside the volume Lo, then a sub octree corresponding to the volume i is advantageously formed. This determines the basic movement of the milling cutter, ie its cut. Furthermore, it is analyzed whether an edge is identified as an edge. If this is the case, then this edge is marked as lying within the volume i or not.
  • the cut or the Movement of the original octree in relation to the volume Ll determined. This ensures that all sub-octrees of the original octree that lie within the volume L1 are eliminated. This enables a reduction in calculation steps and time as well as storage space.
  • the values of the functions f (p) representing the nodes or voxel corners are continuously determined and updated.
  • the new values are sorted according to their order, i.e. H. according to the time and / or according to the coordinate sequence, determined as old and / or new values and stored in the table.
  • an octree representing the entire movement of the body, ie an envelope describing the movement, in particular the machining of a workpiece by a geometrically predetermined milling cutter, is determined using equations [4] and [5].
  • the octree has an error tolerance given by equations [4] and [5].
  • the fault tolerance is determined by the size of the voxel or the maximum depth of the octree and thus by the edge length.
  • FIGS. 10 and 11 Some examples of reconstructed cuts of a milling cutter are shown in FIGS. 10 and 11.
  • a resulting polygonal approximation based on the decomposition of a given convex n-corner, e.g. B. cuboids or octahedra, in triangles comprises approximately 376,000 triangles.
  • the determination procedure on which this is based using equations [4] and [5] takes approximately 50 s.
  • the edge length of the smallest voxel is specified with a length of approx. 0.02 mm.
  • a resulting envelope which describes the surface of the workpiece using a triangular network, comprises approximately 500,000 triangles.
  • the basic procedure based on equations [4] and [5] takes approx. 20 s.
  • the faster processing of the reconstruction of the second surface according to FIG. 11 compared to the reconstruction shown in FIG. 10 is due to a smaller unit of time that is specified.
  • Such a curvature function is carried out, for example, by a normal distribution of triangles adjacent to the edge to be rotated or by the so-called discrete Gaussian curvature.
  • various methods are used to determine the discrete Gaussian curvature of a polygonal network.
  • a fast and numerically stable method for determining the Gaussian curvature and the curvature stress is described, for example, in Taubin, G., "Estimating the tensor of curvature of a surface from a polyhedral approximation", Proc. ICCV '95, 1995, pp. 902 to 907, and is used in the method described here.
  • FIGS. 12, 13 show part of an envelope representing a workpiece contour, which is based on a triangle nl to n6 (see FIG. 12) or a triangle nl to n4, n7, n8 (see FIG. 13). formed network is determined and displayed.
  • the edge bd formed there by the nodes bd, to which the triangles n5, n6 border, is rotated in such a way that one in FIG. 13 is caused by the connection the node ac is shown with a broken line ac.
  • FIGS. 14 and 15 show a surface reconstructed by means of an envelope before and after the above-described step of turning the edge.
  • the quality of the reconstruction of the surface is significantly improved by the edge rotation, as shown in FIG. 15.
  • the so-called alias effects are largely eliminated. Thanks to the improved approximation process, the local minimums of the function become the determining size of the mesh quality.
  • the process of turning the edge can be carried out two or more times.
  • FIG. 16 shows an example of an industrial application of the described method for the reconstruction of the
  • the edge length of the voxels, which approximately describe the surface and thus the envelope, is approximately 0.01 mm.
  • the envelope resulting from the voxels comprises approximately 1.4 million triangles.
  • a surface of a dynamically changing body is reconstructed using a polygonal approximation, which is based on a continuous update of a dynamically changing octree.
  • the Surface approximately described using an envelope formed by the octree.
  • the envelope or the workpiece contour is reconstructed using analytical cuts, ie linear approximation of cuts, the given milling cutter geometry with voxels, which represent the workpiece to be machined in the form of a convex n-corner divided into triangles.
  • This enables an error tolerance which characterizes the envelope due to predetermined parameters and which is adjustable.
  • the most accurate representation of the workpiece contour is ensured by setting the fault tolerance.
  • the method described above is real-time capable.
  • the described method is particularly robust and, due to its simplicity and speed, is particularly suitable for use in NC milling simulations in which a large number of cuts occur.

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Abstract

Ein Verfahren und System zur näherungsweisen Wiedergabe der Oberfläche eines Werkstücks soll in besonders einfacher Art und Weise eine Rekonstruktion der Werkstückkontur ermöglichen. Dazu wird erfindungsgemäß ein das Werkstück in einer ersten Näherungsstufe ganz oder teilweise repräsentierender Ausgangskörper in eine Anzahl von Teilvolumina unterteilt, wobei für eine Wiedergabe des Werkstücks in einer zweiten Näherungsstufe diejenigen Teilvolumina ausgewählt werden, für die ein Schnitt mit einer analytischen Wiedergabe des vom Fräser entlang einer überstrichenen Fräsbahn aufgespannten Fräsvolumens festgestellt wird.

Description

Beschreibung
Verfahren und System zur näherungsweisen Wiedergabe der Oberfläche eines Werkstücks
Die Erfindung betrifft ein Verfahren und ein System zur näherungsweisen Wiedergabe der Oberfläche eines mit einem Fräser bearbeiteten Werkstücks. Sie bezieht sich weiter auf ein Computerprogrammprodukt zur Durchführung des Verfahrens und einen mit dem Computerprogrammprodukt programmierten Rechner.
Ein derartiges Verfahren findet beispielsweise Anwendung bei einer Rekonstruktion oder Simulation einer Fläche, z. B. einer Oberfläche eines mittels eines Fräsers zu bearbeitenden Werkstücks. Dazu wird das zu bearbeitende Werkstück üblicherweise mittels eines sogenannten CAD-Systems (CAD = Computer aided design) modelliert. Durch Interpolation von Anfahrpunkten eines Fräskopfes bei einem Fräsprozess erhält man in der Regel eine Approximation der tatsächlich erzeugten Oberfläche des Werkstücks. Ein bisher übliches Verfahren für eine derartige Approximation ist die sogenannte Polyedrisierung der Geometrie des Fräsers und die Berechnung von Polyederschnitten. Die Polyedrisierung des Fräsers führt dabei zu numerischen Problemen bei der Schnittberechnung und ist darüber hinaus besonders komplex und zeitaufwendig.
Der Erfindung liegt daher die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren der obengenannten Art anzugeben, welches in besonders einfacher Art und Weise eine Rekonstruktion der Werkstückkontur ermöglicht. Weiterhin sollen ein zur Durchführung des Verfahrens besonders geeignetes System sowie ein Computerprogrammprodukt und ein damit programmierter Rechner angegeben werden.
Bezüglich des Verfahrens wird diese Aufgabe erfindungsgemäß gelöst, indem ein das Werkstück in einer ersten Näherungsstufe ganz oder teilweise repräsentierender Ausgangskörper in eine Anzahl von Teilvolumina unterteilt wird, und indem für eine Wiedergabe des Werkstücks in einer zweiten Näherungsstufe diejenigen Teilvolumina ausgewählt werden, für die ein Schnitt mit einer analytischen Wiedergabe des vom Fräser ent- lang einer überstrichenen Fräsbahn aufgespannten Fräsvolumens festgestellt wird. Vorteilhafte Weiterbildungen der Erfindung sind in den Unteransprüchen angegeben.
Die Erfindung geht dabei von der Überlegung aus, dass ein er- heblicher Teil der numerischen Komplexität bei bisherigen Schnittberechnungen auf die Behandlung des Fräsers und des von ihm entlang der Fräsbahn aufgespannten Fräsvolumens durch dessen Polyedrisierung generiert wird. Daher sollte die Polyedrisierung des Fräsvolumens bei der numerischen Auswer- tung vermieden werden. Dies ist erreichbar, indem das Fräsvolumen analytisch ausgewertet wird. Eine analytische Auswertung des Fräsvolumens kann dabei aufgrund einer analytischen Wiedergabe der dem Fräser zugrundeliegenden Fräsergeometrie unter Berücksichtigung der vom Fräser überstrichenen Fräsbahn erfolgen. Diese beiden Anteile sind jeweils analytisch auswertbar, so dass daraus auch die eigentlich zu berücksichtigende Außenfläche des vom Fräser entlang der Fräsbahn aufgespannten Fräsvolumens analytisch ableitbar ist.
In der Art einer Kombination analytischer Methoden mit diskretisierenden Methoden wird die solchermaßen bestimmbare analytische Wiedergabe des Fräsvolumens oder dessen Außenfläche herangezogen, um eine geeignete Auswahl der in ihrer Gesamtheit den Ausgangskörper bildenden Teilvolumina vorzuneh- men. Dazu wird in der Art einer Schnittbildung festgestellt, welche der Teilvolumina von der Außenfläche des Fräsvolumens durchdrungen werden. Die Gesamtheit der solchermaßen identifizierten Teilvolumina bildet dann in der Art einer näherungsweisen Wiedergabe der Oberfläche des Werkstücks eine Einhüllende für diese Oberfläche. Die Feststellung, ob ein Teilvolumen einen Schnitt mit dem Fräsvolumen aufweist, kann dabei dadurch erfolgen, dass für einen oder einige Raumpunkte des jeweiligen Teilvolumens festgestellt wird, dass sie innerhalb des analytisch wieder- gebbaren Fräsvolumens liegen, wenn zu gleicher Zeit für einen oder einige andere Raumpunkte des jeweiligen Teilvolumens festgestellt wird, dass sie außerhalb des Fräsvolumens liegen. In diesem Fall verläuft notwendigerweise die Außenfläche des Fräsvolumens durch das Teilvolumen hindurch, so dass ein Schnitt vorliegt.
Der zu bearbeitende Ausgangskörper, d. h. das Werkstück, liegt beispielsweise als Quader (Würfel) vor und wird zweckmäßigerweise mit einer vorgegebenen Auflösung in eine Anzahl von Elementen (auch elementare Teile, Volumenpixel oder Voxel genannt) unterteilt. Dabei ist die Auflösungsfeinheit vom Benutzer frei wählbar, so dass etwa Auflösungen von 1 μm technisch ermöglicht werden.
Die zu berechnende Werkstückkontur wird somit anhand von analytischen Schnitten (bzw. linearer Annäherung der Schnitte) der vorliegenden Fräsergeometrie mit den betrachteten Elementen oder Voxeln bestimmt. Durch eine derartige, insbesondere analytische Berücksichtigung der Geometrie des Fräsers, ins- besondere dessen Fräskopfes, bei der Flächenrekonstruktion werden Unzulänglichkeiten der Oberflächenstruktur besonders sicher und einfach detektiert. Durch eine Kombination einer derartigen analytischen Beschreibung des Fräsers mit einer diskretisierten quantitativen Beschreibung des Werkstücks oder Rohlings ist somit eine hohe Genauigkeit bei vergleichsweise gering gehaltenen zu verarbeitenden Datenmengen erreichbar.
Bei der Auswertung der Teilvolumina hinsichtlich des Fräsvo- lumens wird vorteilhafterweise eine auch für weitere Zwecke geeignete Kategorisierung der Teilvolumina vorgenommen. Dazu wird vorteilhafterweise jedes Teilvolumen anhand der analyti- sehen Wiedergabe des Fräsvolumens einer der Kategorien „innerhalb des Fräsvolumens liegend", „im Randbereich des Fräsvolumens liegend" oder „außerhalb des Fräsvolumens liegend" zugeordnet. Mit anderen Worten: Das jeweilige Teilvolu- men wird als Außen-, Innen- oder Randelement oder -gebiet in Relation zum Fräsvolumen bestimmt . Je nach Vorgabe wird auf dieser Grundlage vorteilhafterweise anhand der als Randgebiet bestimmten Teilvolumina eine die Oberfläche repräsentierende Werkstückkontur ermittelt oder erzeugt. Mit anderen Worten: Als Randgebiet deklarierte Voxel oder Elemente enthalten immer die tatsächlich vorliegende Werkstückkontur und hüllen diese demgemäß ein.
Das Verfahren eignet sich besonders für eine Anwendung in rekursiver oder iterativer Form. Dazu wird das durch die Auswertung im Hinblick auf die Schnitte erhaltene, eine zweite Näherungsstufe der Wiedergabe des Werkstücks repräsentierende Ergebnis als Ausgangsgröße für einen erneuten Durchlauf des Verfahrens herangezogen. Im Falle einer rekursiven Ausgestal- tung kann dabei im nächsten Schritt eine noch feinere Diskre- tisierung des Werkstücks durch geeignete Wahl kleinerer Teilvolumina in den als Randzonen erkannten Bereichen vorgenommen werden. Im Falle einer iterativen Ausgestaltung kann hingegen das erhaltene Zwischenergebnis als Ausgangsgröße für die Be- rücksichtigung einer neuen oder zweiten Fräsbahn herangezogen werden.
In beiden Fällen, also zur rekursiven oder zur iterativen Ausgestaltung, fließen die bereits erhaltenen, für die Cha- rakterisierung der Werkstückoberfläche als besonders relevant erkannten Teilvolumina vorteilhafterweise geeignet in die Wahl des Ausgangskörpers für den jeweils nächsten Durchlauf des Verfahrens ein. Dazu werden vorteilhafterweise für eine nachfolgende Ermittlung einer weiteren Näherungsstufe für eine Wiedergabe des Werkstücks ausschließlich diejenigen Teilvolumina als Bestandteile des Ausgangskörpers berücksichtigt, die in die Kategorien „im Randbereich des Fräsvolumens liegend" oder „außerhalb des Fräsvolumens liegend" eingeordnet wurden. Vorzugsweise werden für jedes Element oder Teil- volumen zur Bestimmung der Schnitte bis zu zwölf Kantenschnittpunkte vorgegeben. Bei einer besonders bevorzugten Ausführungsform wird als Datentyp für die Polyedrisierung ein dynamischer Polyeder, insbesondere ein Oktaeder, vorgegeben.
Vorzugsweise wird anhand der als Randgebiet bestimmten Elemente, also der in die Kategorie „im Randbereich des Fräsvolumens liegend" eingestuften Teilvolumina mittels Schnitt- punktnäherung ein die Werkstückkontur repräsentierendes Dreiecksnetz bestimmt. D. h. In einem der Polyedrisierung nachfolgenden Vernetzungsschritt werden die bzgl . Randvoxel berechneten Schnittpunkte (Schnittpunktnäherungen) zu einem interpolierenden Dreiecksnetz zusammengeführt.
Die Simulation von Fräsprozessen beinhaltet neben der Berücksichtigung der Geometrie des Fräsers auch die Visualisierung der zu fräsenden Werkstückkontur. Die Visualisierung wird vorteilhafterweise flächig ausgeführt, damit Unzulänglichkei- ten der Kontur besser ermittelt werden können. Zweckmäßigerweise wird die Oberfläche des Werkstücks anhand des dynamischen Octrees bestimmt. Dabei wird das dynamische Octree anhand von den Fräsprozess repräsentierenden Schnitten ermittelt und fortlaufend hinsichtlich der daraus resultierenden Kontur des Werkstücks aktualisiert. Hierdurch ist sichergestellt, dass die Gestalt des Werkstücks während des Fräsprozesses fortlaufend dem zu fräsenden Werkstück angenähert wird. Beim Mehrachs-Fräsen, insbesondere beim Fünf chs-Frä- sen, wird demgegenüber beispielsweise ein Zylinder- oder Schaftfräser verwendet. Bezüglich des Systems, des Computerprogrammprodukts sowie des damit programmierten Rechners wird die genannte Aufgabe gelöst durch für die Durchführung des Verfahrens geeignete Mittel, insbesondere jeweils ein zur Durchführung der Auswer- tungsschritte geeignet ausgestaltetes Bauteil oder Modul.
Die mit der Erfindung erzielten Vorteile bestehen insbesondere darin, dass durch die Kombination einer analytischen Charakterisierung des Fräsvolumens mit einer diskretisierten Auswertung des Werkstückkörpers eine Flächenrückführung ermöglicht ist, bei der mit vergleichsweise geringem numerischen Aufwand eine hohe Genauigkeit erreichbar ist. Hierdurch ist eine möglichst gute Konturtreue und somit eine weitgehend realitätsnahe Nachbildung von Oberflächen eines Körpers' unter Berücksichtigung der Bewegung und der Geometrie des Fräsers gegeben. Somit wird sowohl die Körpertopologie als auch die Werkzeuggeometrie, d. h. der Fräskopf, hinreichend berücksichtigt, so dass beispielsweise Hinterschnittkonturen eines Fräswerkstücks zurückführbar sind oder eine sehr schnelle grobe Näherung der Werkstückkontur ermöglicht ist.
Ausführungsbeispiele der Erfindung werden anhand einer Zeichnung näher erläutert. Darin zeigen:
Figur 1 eine mittel konstanter oder linearer
Approximation ermittelte Umhüllende,
Figur 2 , 3 eine mittels einem Quadtree oder Octree gebildete Umhüllende,
Figur 4 bis 6 eine mittels Voxel gebildete Umhüllende,
Figur 7 bis 9 eine dynamische Aktualisierung eines
Quadtrees entlang einer Polygonalbahn,
Figur 10 bis 11 Beispiele für verschiedene Umhüllenden mit dem sogenannten Alias-Effekt, Figur 12 bis 13 Dreiecksnetz mit Verdrehung einer Kante,
Figur 14 bis 15 Beispiele für verschiedene Umhüllenden vor und nach einer Kantenverdrehung, und
Figur 16 Beispiel einer Umhüllenden für eine industrielle Anwendung.
Gleiche Teile sind in allen Figuren mit denselben Bezugszeichen versehen.
Die Erfindung wird beispielhaft anhand eines Algorithmus zur Bestimmung oder näherungsweisen Wiedergabe der Oberfläche eines mittels einer Fräsmaschine zu bearbeitenden Werkstücks beschrieben. Beim bevorzugten Algorithmus wird die Geometrie des Werkstücks anhand einer Anzahl von flächigen Elementen oder Teilvolumen mit vorgegebenen Kantenanzahl näher beschrieben und bestimmt. Dabei bildet jedes Element ein Polye- der, insbesondere ein Oktaeder.
In ihrer Gesamtheit bilden die Teilvolumina einen Ausgangskörper, der in einer ersten Näherungsstufe das gefräste Werkstück wiedergibt. Zur weiteren Verfeinerung der Näherung wird jedes Teilvolumen daraufhin geprüft, ob das vom Träger entlang seiner Fräsbahn aufgespannte Fräsvolumen das jeweilige Teilvolumen schneidet. Ist dies der Fall, so wird das jeweilige Teilvolumen als für die Charakterisierung der Werkstückkontur besonders relevant erkannt und ausgewählt . Liegt hin- gegen kein Schnitt vor, so wird darauf geschlossen, dass das jeweilige Teilvolumen entweder vollständig innerhalb oder vollständig außerhalb des Fräsvolumens liegt und somit für die Charakterisierung der vom Fräsvorgang hinterlassenen Konturen weitgehend irrelevant ist.
Die solchermaßen als für eine grobe Charakterisierung der Werkstückkontur relevant ausgewählten Teilvolumina werden be- darfsweise als Ausgangskörper für einen erneuten Durchlauf dieser Analyse herangezogen. Somit wird in denjenigen Bereichen, in denen die tatsächliche Oberfläche des Werkstücks verläuft und gegebenenfalls besonders stark konturiert ist, eine zunehmende Verfeinerung der Teilvolumina, ggf. bis hin zu einer vorgebbaren Auflösungsgrenze, vorgenommen. In den Raumbereichen, die von der eigentlichen Werkstückkontur nicht tangiert werden, kann die Auflösung hingegen vergleichsweise grob bleiben. Somit ist eine besonders bedarfsgerechte Ver- feinerung der Rasterung oder Diskretisierung erreichbar, so dass eine vergleichsweise hohe Genauigkeit mit nur geringem Aufwand an Ressourcen erreichbar ist.
Bei der Auswertung wird berücksichtigt, dass ein Körper, z. B. ein Fräskopf, der beim Fräsprozess eine Bewegung ausführt, im allgemeinen ein Volumen erzeugt. Das aus der Bewegung des Fräskopfs resultierende Volumen wird auch bewegtes Volumen genannt. Hierzu wird mittels einer sogenannten Polyedrisierung, d. h. einer polygonalen oder vieleckigen Annäherung, der sich ändernden Oberfläche des Werkstücks und/oder bei analytischer Berücksichtigung des bewegten Fräskopfs automatisch eine topologisch genaue Flächenrekonstruktion mit einer aus einer vorgegebenen Auflösung resultierenden Fehlertoleranz ausgeführt. Mittels einer derartigen Polyedrisierung der Werkstückkontur und einer die Geometrie des Fräsers berücksichtigenden linearen Annäherung der Fräserschnitte sind die aus dem Stand der Technik bekannten sogenannten Trimming-Probleme ("seif intersections" ) sicher vermieden. Insbesondere ist das Verfahren zum Einsatz in einem NC-Programm geeignet.
Beim Verfahren zur Bestimmung der Oberfläche des sich ändernden Körpers wird die Oberfläche in eine Anzahl von Elementen mit einer vorgegebenen Kantenanzahl, auch elementare Teile oder Voxel genannt, unterteilt, für welche mittels der betreffenden Fräsergeometrie analytische Schnitte entlang der Kanten bestimmt werden. Bevorzugt erfolgt die Polyedrisierung des Körpers, z. B. des Werkstücks, anhand eines Polyeders, z. B. eines Oktaeders. Hierdurch ist ein besonders einfaches und schnelles Verfahren zur Bestimmung der Oberfläche ermöglicht.
Beim Fräsvorgang wird die Oberfläche fortlaufend anhand des dynamischen Polyeders, insbesondere des dynamischen Oktaeders, mittels linearer Approximation, insbesondere Schnittpunktnäherung, bestimmt. Dazu wird der bewegte Körper S, z. B. das Werkstück oder der Fräskopf, anhand der analytischen Geometrie des Raumes als eine Teilmenge der reellen Zahlen in einem Koordinatensystem im Raum R3 mit einer gegebenen Funktion f definiert. Dabei ist die Funktion f eine reelle kontinuierliche implizite Funktion von Schnittpunkten p, auch Kanten- oder Knotenschnittpunkte genannt, mit:
> Oflir Schnittpunkte p 6 Si3im Innengebiet f(p) = 0 für Schnittpunkte p e 913zra Randgebiet [ 1 ]
< Oflir Schnittpunkte p e Si3im Aussengebiet
Je nach Art und Aufbau des Werkstücks, z. B. Quader, bzw. des Fräskopfs, z. B. Kugel oder Zylinder, wird die Funktion f für den betreffenden Körper entsprechend definiert und vorgegeben. Beispielsweise wird das jeweilige Werkstück oder der Fräskopf anhand einer vorgegebenen Anzahl von einfachen Körpergeometrien oder Flächengeometrien oder anderen gegebenen Funktionen für analytische Geometrien im Raum bestimmt. Mit Hilfe von reellen Funktionen R für ein Koordinatensystem im Raum werden die die beiden Körper, Werkstück und Fräskopf, betreffenden Schnittpunkte ermittelt und bestimmt, z. B. für einen ersten Körper Sl mit fl > 0 und einem zweiten Körper S2 mit f2 > 0 gemäß:
Schnittpunkt : S3 = Sln S2 : 3 = 1 Λ 2 = fl + f2 --jfι + f ' 2^ Vereinigung : S3 = S1U S2 : /3 = /lv /2 = /l + /2 + J/ι + /2 2 [2 ]
Komplement : S3 = S1 : /3 = -/l Subtraktion: S3 = Sl \ S2 : /3 = /l \ 2 = /l-/2-//1 2 +/:
Diese reellen Funktionen haben sogenannten Diskontinuitäten c an denjenigen Punkten, bei welchem beide Argumente Null sind, z. B. an einem Schnittpunkt entlang der Körperoberflächen.
Unter der Verwendung von gegebenen Funktionen für einen Körper wird beim vorliegenden Verfahren zur dynamischen Rekonstruktion der Oberfläche des Werkstücks beim Fräsen ein wei- terer Parameter - die Zeit t - definiert und verwendet. Daraus ergibt sich die allgemeine Funktion f für einen sich bewegenden Körper gemäß:
Figure imgf000011_0001
Bedingt durch die komplexe Auflösung der Gleichung [3] nach t wird eine diskrete Näherung für den sich bewegenden Körper vorzugsweise vorgegeben gemäß:
S := S(t1) US(t1 +dt) κJS(t1 +2dt){J-{J(s(t2) [4]
mit dt -> 0 und U als Mengeneinheit nach Bioomenthal, J., "Polygonization of implicit surfaces", Computer Aided Geom. Design 5 (1988), 341-355. Mit einer derartigen Annäherung von dt nach 0 wird eine möglichst genaue Bestimmung der aus der Bewegung resultierenden dynamisch ändernden Körperoberfläche sichergestellt .
Zur Erreichung einer teilweisen fortlaufenden linearen Appro- ximation anstelle einer teilweise konstanten linearen Approximation nach Davenport, J. h. , et. al . "Computer algebra: Systems and algorithms for algebraic computation" , Academic Press, 1993, wird vorzugsweise der die Bewegung des Fräskopfes repräsentierende Schnitt als eine Verbindung von zwei Körpern, wobei der eine die Ursprungs- oder Anfangsposition und der zweite die Endposition darstellen, und eine diese beiden Positionen Umhüllende bestimmt. Mit anderen Worten: Die den Schnitt repräsentierende Verbindung von zwei Körpern mit den betreffenden Positionen und eine daraus resultierende die Bewegung oder den Schnitt repräsentierenden Umhüllende werden wie folgt ermittelt:
f(x, y,z) = f(x,y,z,tx) v f(x,y,z,t2) v E(x,y,z) [5]
mit E = Umhüllung, z. B. Umhüllung für den sich dynamisch ändernden Körper während der Bewegung eines diesen Körper bear- beitenden Generators, z. B. eines Fräskopfes. In Figur 1 ist beispielsweise die Bewegung eines kugel- oder kreisförmigen Fräskopfes dargestellt. Dabei ist in den mit den Bezugszeichen 1D und 1E gekennzeichneten Teilen von Figur 1 eine aus der unterschiedlichen Approximation resultierende Umhüllende E gezeigt, wobei die mit dem Bezugszeichen 1D gekennzeichnete die dem vorliegenden Verfahren bevorzugte Approximation darstellt. Die umhüllende Fläche E ist dabei jene Fläche, welche im wesentlichen alle Elemente der Fläche der betreffenden Bewegung, insbesondere des Frässchnittes, umfasst. Beispielsweise sind zwei Elemente zum Zeitpunkt t und t + dt gegeben, wobei das erste Element als implizite Funktion f mit f (x,y,z,t) = 0 und das zweite Element als implizite Funktion f mit f (x,y, z, t+dt) = 0 vorgegeben wird. Zur Darstellung der Bewegung oder des Schnitts werden beide Elemente als Funktion zur Beschreibung der Umhüllenden herangezogen. Dazu wird die Funktion des zweiten Elements um den Parameter dt mit dt nach 0 erweitert gemäß:
f(x,y,z,t) = 0 und #«*■ *'*> =0 [6] dt
Des weiteren wird die implizite Form der Umhüllenden (= umhüllende Oberfläche) bevorzugt durch die Eliminierung von t aus den Gleichungen [6] gebildet. Für den Fall, dass die Oberfläche oder Umhüllende aus Polynomen gebildet ist, wird die Eliminierung automatisch anhand von "Computer Algebra", als sogenannte Resultierende oder als sogenannte "Gröbner Basis", ausgeführt. Alternativ können andere Formen als die hier beschriebenen rationalen Funktionen verwendet werden. Beispielsweise können die Funktionen anhand von trigonometrischen Funktionen, wie Sinus- oder Kosinus-Funktion, welche mittels diese repräsentierenden rationalen Funktionen gemäß 2t / (1 + t2) bzw. (1 - t2)*(l + t2) durch Substitution nach tan (s/2) = t ersetzt werden. Für eine gegenüber dem Stand der Technik nach Figur 1 verbesserten Bestimmung der Oberfläche des Körpers, insbesondere des Werkstücks, wird die Oberfläche oder Kontur anhand einer expliziten Darstellung mittels Polygonen, insbesondere konvexen Polygonen, oder Zerlegen eines n-Ecks in Dreiecken bestimmt . Dieses Verfahren der expliziten Darstellung anhand von Polygonen oder Dreiecken wird im weiteren als Polyedrisierung bezeichnet.
Bei der Polyedrisierung wird die Oberfläche des Körpers, insbesondere die Werkstückkontur, anhand von Schnittpunkten eines dreidimensionalen Koordinatensystems zur Bestimmung von Lage und Verbindungen resultierender Oberflächenpunkte oder Knotenpunkte ermittelt. Ein derartiges dreidimensionales Nä- herungsverfahren mittels binärer Unterteilung anhand von
Vieleckstrukturen ist besonders einfach und hinreichend genau. In den Figuren 2 und 3 sind beispielhaft Vieleckstrukturen, insbesondere eine Quaderstruktur (s. Fig. 2) und eine Achteckstruktur (s. Fig. 3), als implizite Funktionen darge- stellt. Dabei wird die in Figur 2 dargestellte Quaderstruktur (auch "Quadtree" genannt) oder Quadervernetzung der Oberfläche des Körpers anhand der Unterteilung einer Fläche in zwei Dimensionen zur Formung von Vierecken ausgeführt. Bei der in der Figur 3 dargestellten Oktaederstruktur (auch "Octree" genannt) oder Oktaedervernetzung wird die Körperoberfläche anhand der Unterteilung eines Raums in drei Dimensionen zur Formung von Oktaedern ausgeführt. Je nach Vorgabe des Feinheitsgrades und somit der Genauigkeit der darzustellenden Oberfläche des Körpers, insbesondere des Werkstücks, wird eine entsprechende Polygon- oder n-Eck-Darstellung verwendet. Dabei wird durch eine zunehmende Anzahl von regelmäßigen n-Ecken ein höherer Feinheitsgrad in der Kontur er- reicht . Insbesondere wird in einem Näherungsverfahren eine Umhüllende zur Rekonstruktion der Oberfläche ermittelt.
Für den Fall einer sogenannten Octree-Struktur als Darstel- lung der Umhüllenden mittels einer impliziten Funktion wird die jeweilige Zelle oder das jeweilige Element des Octrees anhand von Kantenschnittpunkten des dreidimensionalen Koordinatensystems als Außen-, Innen- oder Randgebiet bestimmt (auch als weißes, graues oder schwarzes Element bezeichnet) . Die Kantenschnittpunkte werden dabei anhand von vorgegebenen Schnitten, die jeweils durch eine Kante beschrieben werden, und von daraus resultierenden Schnittpunkten von betreffenden Kanten ermittelt . Jeder Eckpunkt oder Kantenschnittpunkt p eines Elements oder einer Fläche repräsentiert dabei einen Knoten des Octrees. Zweckmäßigerweise wird für jeden Knoten des Octrees dessen implizite Funktion f (p) und deren zugehöriger Wert gemäß Gleichung [1] bestimmt. Dabei wird anhand des ermittelten Wertes gemäß Gleichung [1] das betreffende Element als Außen-, Innen- oder Randgebiet bestimmt. Darüber hinaus wird der Wert der Funktion f (p) durch die Anzahl von angrenzenden oder benachbarten Elementen oder Flächen dividiert. Die daraus resultierenden Informationen zu dem jeweiligen Knotenpunkt des Octrees oder zum Kantenschnittpunkt p, z. B. deren Koordinaten, werden beispielsweise in Tabellen- form hinterlegt.
Die als Außengebiet ermittelten Elemente (auch schwarze Elemente genannt) werden zur Größenminimierung rekursiv unterteilt in Teil-n-Ecks, z. B. Unteroktaedern, für welche eine vorgegebene Fehlertoleranz bestimmt wird. Jene Außengebiete, welche eine gegebene minimale Größe aufweisen, werden als Voxel bezeichnet und als Randgebiete oder Randvoxel bestimmt. Die Randvoxel repräsentieren dabei näherungsweise die Oberfläche des betreffenden Körpers oder Werkstücks .
Alternativ oder zusätzlich werden die gegebenen n-Ecks, z . B. das Oktaeder, zur Erzielung einer Näherung für die Kontur durch Änderung von Zieldistanzfeldern anhand des Ursprungselements oder des Bezugs-n-Ecks in Teil-n-Ecks unterteilt. Dazu wird, wie in den Figuren 4 bis 6 dargestellt, die Oberfläche oder Kontur des dynamischen Werkstücks anhand von algorithmischer Polyedrisierung schrittweise mittels Bestimmung der Scheitelpunkte oder Kantenschnittpunkte (auch Knotenpunkte genannt) ermittelt. Dabei wird um die Kontur des Werkstücks in Uhrzeigerrichtung herum anhand eines vorgegebenen Voxels beginnend von einem Anfangs- oder Ursprungsknoten- punkt der nächst folgende Knotenpunkt der Oberfläche bestimmt. In der Figur 4 ist die in Uhrzeigerrichtung ausgeführte Bestimmung der Knotenpunkte durch die fortlaufende Nummerierung 1 bis 5 dargestellt. Dabei wird bei der Bestimmung eines neuen Knotenpunkts die bisherige Kontur um den bisherigen Knotenpunkt ersetzt durch eine den neuen Knotenpunkt umfassende neue aktuelle Kontur. In den Figuren 5, 6 ist die mittels Polyedrisierung ermittelte Umhüllende des Werkstücks gezeigt. Dabei ist die in Figur 5 dargestellte Umhüllende anhand von Mittelpunktsverbindungen und die in Figur 6 dargestellte Umhüllende anhand von linearer Interpolation gebildet.
Je nach Art und Ausführung des Verfahrens wird die Rekonstruktion der Oberfläche des Körpers mittels Octree-Struktur durch polygonale oder vieleckige Approximation der Körperoberfläche anhand der Bestimmung von verschiedenen Konfigurationen der Eck- oder Knotenpunkte der Außen-, insbesondere der Randvoxel, bestimmt. Dazu werden die für die Knotenpunkte bestimmten Distanzwerte (auch Knotenlänge bezeichnet) f (p) ermittelt und in Tabellenform hinterlegt. Die ein Octree repräsentierenden acht Knoten- oder Voxelpunkte weisen dabei jeweils einen negativen oder nicht-negativen Wert auf und können insbesondere 256 verschiedene Eck- oder Knotenkonfigurationen ermöglichen. Je nach Vorgabe können diese mittels der sogenannten Tabellenmethode nach "Marching Cubes" (Loren- sen, W. E., Cline, H. E., "Marching Cubes: A High Resolution 3D Surface Construction Algorithm" , Computer Graphics 21 (3), 1987, S. 163-169) oder einer anderen algorithmischen Methode ermittelt werden. Aufgrund der impliziten Definition sind kontinuierliche Funktionen gegeben, welche einen Knoten eines Voxels durchschneiden, der wiederum verschieden bezeichnete Koordinaten verbindet. Eine grobe Annäherung an die Oberflächenstruktur des Werkstücks wird durch Mittelpunktsbildung der Knoten oder Ecken des Voxels erreicht. Zur Erzielung einer genaueren Annäherung an die Oberflächenstruktur bei der Rekonstruktion wird entweder ein genauer Schnitt, insbeson- dere eine Halbierung oder die sogenannte Newtonsche Interpolation, oder eine andere lineare Interpolation anhand der Werte für die Knotenpunkte oder Voxelecken bestimmt. Die in den Figuren 5 bis 6 dargestellten Umhüllungen zeigen für verschiedene Näherungsverfahren zwei Dreiecksvernetzungen mit bzw. ohne linearer Interpolation.
Für eine fortlaufende Aktualisierung an die Oberflächenstruktur wird nachfolgend die dynamische Octree-Manipulation beschrieben. Dabei wird zur möglichst genauen Rekonstruktion einer sich beispielsweise durch einen Fräser verändernden Oberfläche eines Werkstücks eine polygonale Approximation einer Ziel- oder Endoberfläche des Werkstücks anhand der Gleichungen [4] und [5] bestimmt. Dazu wird das Volumen Li durch lineare Interpolation von S(tχ + idt) und S(tι + (i+l)dt) (mit S = Körper, i = natürliche Zahl, t = Zeit) ermittelt. Anstelle der komplexen Bestimmung der impliziten Form nach den Gleichungen [4] und [5] wird die aus dem Schnitt resultierende Änderung der Oberflächenstruktur und somit das Volumen Li+i der Vereinigung der Menge aller den Schnitt repräsentierenden Volumina gemäß L0 U ... U Li bestimmt. Bei einer derartigen dynamischen Rekonstruktion der Oberfläche wird eine Umhüllende oder ein Randkörper (auch bounding box oder Ursprungskörper des Octrees genannt) ermittelt . Dabei wird die Größe dieses Randkörpers derart groß vorgegeben, dass das gesamte dynamische Volumen nach Gleichung [4] bei der Bestimmung des Ursprungsvolumens V0 des Octrees berücksichtigt wird. Des Weiteren wird zur Ermittlung des dynamischen Octrees, welcher näherungsweise für den Teil der Umhüllenden durch die Vereinigung der Volumina von LO U LI bestimmt wird, das Ursprungsvolumen LO in Relation zu den Änderungen des Volumens Ll gesetzt. Dabei werden die als Innengebiete oder Innenelemente identifizierten Elemente des Voxels eliminiert, da diese sich bei der Bearbeitung nicht ändern. Mit anderen Worten: Die dem Fräsprozess zugrundeliegende Oberflächenbearbeitung und somit die Kontur des Werkstücks verändernde Bearbeitung wird durch eine näherungsweise Bestimmung eines ein dynamisches Volumen aufweisendes und umhüllendes Voxel rekonstruiert. Durch eine derartige nur die Außenseite oder Oberfläche des Voxels, d. h. die Umhüllende, berücksichtigende Approximation ist ein besonders schnelles und einfaches Verfahren zur Rekonstruktion gegeben. Mit anderen Worten: Bei dem beschriebenen Verfahren wird die Oberfläche in der Art einer Folie oder Umhüllenden als Rand- oder Außenfläche bestimmt und markiert und entsprechend der zugrundeliegenden Bearbeitung aktualisiert.
Die Figuren 7 bis 9 zeigen eine dynamische Aktualisierung eines Volumens eines Quadtrees, welches die Umhüllende eines sich entlang eines Polygons bewegenden Kreises beschreibt. Hierdurch wird beispielsweise eine Fräsbearbeitung eines Werkstücks durch einen kugelförmigen Fräser entlang eines Polygons beschrieben. Dabei wird für das betreffende Polyeder, Octree oder Quadtree, schrittweise bestimmt, ob dessen Kanten innerhalb oder außerhalb des Volumens L0 liegen. Liegt eine Kante des betreffenden Polyeders außerhalb des Volumens Lo, dann wird vorteilhafterweise ein Unteroctree entsprechend dem Volumen i gebildet. Hierdurch wird die zugrundeliegende Bewegung des Fräsers, d. h. dessen Schnitt, bestimmt. Des Weiteren wird analysiert, ob eine Kante als Randkante identifiziert ist. Ist dies der Fall, dann wird diese Kante als innerhalb des Volumens i liegend markiert oder nicht.
Für den Fall, dass die Kante als nicht innerhalb des Volumens Ll liegend identifiziert wird, wird der Schnitt oder die Bewegung des ursprünglichen Octrees in Bezug auf das Volumen Ll bestimmt. Dabei wird sichergestellt, dass alle Unteroctrees des Ursprungsoctrees, welche innerhalb des Volumens Ll liegen, eliminiert werden. Hierdurch ist eine Reduzierung von Rechenschritten und Zeit sowie von Speicherplatz ermöglicht .
Zur Erzielung eines besonders genauen Ergebnisses werden die Werte der die Knotenpunkte oder Voxelecken repräsentierenden Funktionen f (p) fortlaufend bestimmt und aktualisiert. Insbesondere durch die Vorgabe, dass ein Bereich oder Gebiet, welches als Innengebiet oder Innenvoxel markiert ist, stets innen bleibt und somit nicht zu berücksichtigen ist, werden lediglich neue Werte analysiert und berechnet. Dabei werden die neuen Werte entsprechend ihrer Reihenfolge, d. h. entsprechend der Zeit und/oder entsprechend der Koordinatenfolge, als alte und/oder neue Werte bestimmt und in der Tabelle hinterlegt.
Je nach Vorgabe wird das oben dargestellte Verfahren bis zur Bestimmung des Volumens Lt2-dt wiederholt . Hierdurch wird ein die gesamte Bewegung des Körpers repräsentierendes Octree, d. h. eine die Bewegung, insbesondere die Bearbeitung eines Werkstück durch einen geometrisch vorgegebenen Fräser, be- schreibende Umhüllung, anhand der Gleichungen [4] und [5] ermittelt. Dabei weist das Octree eine durch die Gleichungen [4] und [5] gegebene Fehlertoleranz auf. Die Fehlertoleranz ist dabei bestimmt durch die Größe der Voxel oder die maximale Tiefe des Octrees und somit durch die Kantenlänge. Zweckmäßigerweise wird eine derartig kleine Zeitdifferenz dt (= Zeitbereich zwischen der Bestimmung von zwei Volumina) vorgegeben, welche zu einer Fehlertoleranz bei der diskreten Approximation nach Gleichung [4] führt, die kleiner ist als die Größe der Voxel . Die daraus resultierenden dynamisch än- dernden Octrees bzw. Quadtrees sind in den Figuren 7 bis 9 dargestellt. Dabei können Voxel, welche entsprechend vorgegebener maximaler Feinheit unterteilt werden, während des Ver- fahrens in Abhängigkeit von ihrer Lage (= außen, innen oder am Rand) miteinander kombiniert oder entfernt werden.
In den Figuren 10 und 11 sind einige Beispiele für rekonstruierte Schnitte eines Fräsers dargestellt. Gemäß Figur 10 bewegt sich eine Kugel, z. B. ein Kugelfräser, mit einem Radius von r=2 mm, entlang einer Knotenkurve k(t) gemäß:
Figure imgf000019_0001
2π mit dt = und einer Kantenlänge für den kleinsten Voxel
1000 von 0,02 mm (= vorgegebene Fehlertoleranz). Eine daraus resultierende polygonale Approximation anhand der Zerlegung eines gegebenen konvexen n-Ecks, z. B. Quaders oder Oktaeders, in Dreiecke umfasst ca. 376.000 Dreiecke. Das diesem zugrundeliegende Ermittlungsverfahren mittels der Gleichungen [4] und [5] dauert ca. 50 s.
Die Figur 11 zeigt ein weiteres Beispiel, bei welchem der Kugelfräser einen Radius von r = 5 mm aufweist und sich entlang einer Polygonalbahn von 13 Punkten bewegt, wodurch als Schnitt die Buchstaben "MPI" in die Oberfläche des Werkstücks gefräst werden. Die Kantenlänge des kleinsten Voxels wird mit einer Länge von ca. 0,02 mm vorgegeben. Eine daraus resultie- rende, die Oberfläche des Werkstücks anhand eines Dreiecksnetzes beschreibende Umhüllende umfasst ca. 500.000 Dreiecke. Das zugrundeliegende anhand der Gleichungen [4] und [5] ausgeführte Verfahren dauert ca. 20 s. Die somit schnellere Bearbeitung der Rekonstruktion der zweiten Oberfläche nach Figur 11 gegenüber der in der Figur 10 dargestellten Rekonstruktion ist durch eine kleinere Zeiteinheit bedingt, welche vorgegeben wird. Die dem oben beschriebenen Verfahren zugrundeliegende Fehlertoleranz ist bestimmt durch die vorgegebene maximale Länge der Voxel, auch Kantenlänge genannt. Bedingt durch die diskrete Approximation nach Gleichung [4] und die angewendete Triangulation für die ermittelten Knotenpunkte kann es zu sogenannten Alias-Effekten kommen, wie sie in Figur 11 sichtbar sind. Zur Reduzierung derartiger, durch den diskreten Ansatz bedingter Alias-Effekte werden vorzugsweise bei der oben beschriebenen Triangulation (=Zerlegung des konvexen n-Ecks in Dreiecke) einzelne Kanten von Dreiecken des Netzes, welches die Umhüllende des Werkstücks beschreibt, gedreht. Dazu wird vorzugsweise eine Krümmungsfunktion als ein Parameter für die Netzqualität bestimmt und vorgegeben. Eine derartige Krümmungsfunktion wird beispielsweise durch eine Normalverteilung von an die zu drehende Kante angrenzenden Dreiecken oder durch die sogenannte diskrete Gaußsche Krümmung ausgeführt. Dabei werden je nach Vorgabe verschiedene Methoden zur Bestimmung der diskreten Gaußschen Krümmung eines polygonalen Netzes verwendet. Eine schnelle und numerisch stabile Methode zur Bestimmung der Gaußschen Krümmung und der KrümmungsSpannung ist beispielsweise in Taubin, G., "Estimating the tensor of curvature of a surface from a polyhedral approximation" , Proc. ICCV '95, 1995, S. 902 bis 907, beschrieben und wird bei dem hier beschriebenen Verfahren verwendet .
Vorzugsweise wird bei dem hier beschriebenen Verfahren zur Rekonstruktion der Oberfläche das Verfahren der Normalverteilung von angrenzenden Dreiecken verwendet . Dies Verfahren wird anhand der Figuren 12 und 13 beispielhaft beschrieben. In den Figuren 12, 13 ist ein Teil einer eine Werkstückkontur repräsentierenden Umhüllenden dargestellt, welche anhand eines aus Dreiecken nl bis n6 (s. Fig. 12) bzw. aus den Dreiecken nl bis n4, n7, n8 (s. Fig. 13) gebildeten Netzes ermittelt und dargestellt wird. Bei der Triangulation der Umhül- lenden nach Figur 12 wird die dort durch die Knotenpunkte bd gebildete Kante bd, an welche die Dreiecke n5, n6 grenzen, derart gedreht, das eine in der Figur 13 durch die Verbindung der Knotenpunkte ac gestrichelt dargestellte Kante ac gebildet ist. Dabei werden die an die neue Kante ac angrenzenden Dreiecke n7 , n8 entsprechend der Normalverteilung gemäß min(A\ min(a)) > min(B\ min(B)) mit A = {nιτn5, n4 τn5, n3 τn6, n2 τn6} und B = {nιn7 , nτn7 , n3 τn8,n2 Tn8} gebildet.
Die Figuren 14 und 15 zeigen dabei eine mittels einer Umhüllenden rekonstruierten Oberfläche vor und nach dem oben beschriebenen Verfahrensschritt der Kantendrehung. Wie deutlich zu sehen ist, ist die Qualität der Rekonstruktion der Oberfläche durch die Kantendrehung, wie in Figur 15 dargestellt, deutlich verbessert. Die sogenannten Alias-Effekte sind weitgehend eliminiert. Durch das verbesserte Annäherungsverfahren werden die lokalen Minimums der Funktion zur bestimmenden Größe der Maschenqualität. Je nach Vorgabe der zu erreichenden Maschenqualität kann das Verfahren der Kantendrehung zwei oder mehrfach ausgeführt werden.
In Figur 16 ist ein Beispiel für eine industrielle Anwendung des beschriebenen Verfahrens zur Rekonstruktion der
Oberfläche eines Werkstücks dargestellt. Die dargestellte Oberfläche zeigt eine aus dem oben beschriebenen Rekonstruktionsverfahren resultierende Umhüllende, welche eine Bewegung eines Kugelschleifers oder -fräsers mit einem Durch- messer von r = 1 mm entlang einer durch 2168 Punkte vorgegebenen Polygonbahn beschreibt. Die Kantenlänge der Voxel, welche die Oberfläche und somit die Umhüllende näherungsweise beschreiben, beträgt ca. 0,01 mm. Die aus den Voxeln resultierende Umhüllende umfasst ca. 1.4 Millionen Dreiecke. Dabei dauert die mittels des oben beschriebenen Verfahrens anhand der Näherungsmethoden nach den Gleichungen [4] und [5] ausgeführte Berechnung der Oberfläche ca. 15 min.
Zusammenfassend wird eine Oberfläche eines sich dynamisch än- dernden Körpers anhand einer polygonalen Approximation, welche auf eine fortlaufende Aktualisierung eines sich dynamisch ändernden Octrees basiert, rekonstruiert. Dabei wird die Oberfläche näherungsweise anhand einer mittels des Octrees gebildeten Umhüllenden beschrieben. Dazu wird die Umhüllende oder die Werkstückkontur anhand von analytischen Schnitten, d. h. linearer Annäherung von Schnitten, der gegebenen Frä- sergeometrie mit Voxeln, welche das zu bearbeitende Werkstück in Form eines in Dreiecken unterteilten konvexen n-Ecks darstellen, rekonstruiert. Hierdurch ist eine die Umhüllende bedingt durch vorgegebene Parameter charakterisierende Fehlertoleranz ermöglicht, welche einstellbar ist. Somit ist in Ab- hängigkeit von einer Benutzervorgabe durch Einstellung der Fehlertoleranz eine möglichst genaue Darstellung der Werkstückkontur sichergestellt. Darüber hinaus ist neben der Einstellung eines Feinheits- oder Rauheitsgrad das oben beschriebene Verfahren echtzeitfähig. Ferner ist das beschrie- bene Verfahren besonders robust und aufgrund der Einfachheit und Schnelligkeit zum Einsatz bei NC-Frässimulationen, bei welchen eine Vielzahl von Schnitten auftreten, besonders geeignet .

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zur näherungsweisen Wiedergabe der Oberfläche eines mit einem Fräser bearbeiteten Werkstücks, bei dem ein das Werkstück in einer ersten Näherungsstufe ganz oder teilweise repräsentierender Ausgangskörper in eine Anzahl von Teilvolumina unterteilt wird, und bei dem für eine Wiedergabe des Werkstücks in einer zweiten Näherungsstufe diejenigen Teilvolumina ausgewählt werden, für die ein Schnitt mit einer analytischen Wiedergabe des vom Fräser entlang einer überstrichenen Fräsbahn aufgespannten Fräsvolumens festgestellt wird.
2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem jedes Teilvolumen anhand der analytischen Wiedergabe des Fräsvolumens einer der Kategorien „innerhalb des Fräsvolumens liegend", „im Randbereich des Fräsvolumens liegend" oder „außerhalb des Fräsvolumens liegend" zugeordnet wird.
3. Verfahren nach Anspruch 2 , bei dem für eine nachfolgende Ermittlung einer weiteren Näherungsstufe für eine Wiedergabe des Werkstücks ausschließlich diejenigen Teilvolumina als Bestandteile des Ausgangskörpers berücksichtigt werden, die in die Kategorien „im Randbereich des Fräsvolumens liegend" oder „außerhalb des Fräsvolumens liegend" eingeordnet wurden.
4. Verfahren nach Anspruch 2 oder 3, bei dem eine näherungsweise Darstellung einer Oberflächenkontur des Werkstücks mit- tels der in die Kategorie „im Randbereich des Fräsvolumens liegend" eingestuften Teilvolumina erzeugt wird.
5. Verfahren nach Anspruch 4, bei dem anhand der in die Kategorie „im Randbereich des Fräsvolumens liegend" eingestuften Teilvolumina mittels Schnittpunktnäherung ein die Oberflächenkontur repräsentierendes Dreiecksnetz ermittelt wird.
6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, bei dem für jedes Teilvolumen zur Auswertung des Schnitts mit der analytischen Wiedergabe des Fräsvolumens bis zu 12 Kantenschnittpunkte ermittelt werden.
7. Verwendung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 6 beim Mehrachs-Fräsen, insbesondere beim Fünfachs-Fräsen.
8. System zur näherungsweisen Wiedergabe der Oberfläche eines Werkstücks mit Mitteln zur Durchführung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 7.
9. Computerprogrammprodukt zur Durchführung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 7.
10. Mit einem Computerprogrammprodukt nach Anspruch 9 pro- grammierter Rechner.
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