WO2000063751A1 - Verfahren und anordnung zur modellierung eines technischen systems - Google Patents

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WO2000063751A1
WO2000063751A1 PCT/DE2000/001180 DE0001180W WO0063751A1 WO 2000063751 A1 WO2000063751 A1 WO 2000063751A1 DE 0001180 W DE0001180 W DE 0001180W WO 0063751 A1 WO0063751 A1 WO 0063751A1
Authority
WO
WIPO (PCT)
Prior art keywords
technical system
tree structure
nodes
parameters
node
Prior art date
Application number
PCT/DE2000/001180
Other languages
English (en)
French (fr)
Inventor
Reinhold Altpeter
Claus Hillermeier
Steffen HÜSTER
Thomas Sturm
Original Assignee
Siemens Aktiengesellschaft
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Siemens Aktiengesellschaft filed Critical Siemens Aktiengesellschaft
Publication of WO2000063751A1 publication Critical patent/WO2000063751A1/de

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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B17/00—Systems involving the use of models or simulators of said systems
    • G05B17/02—Systems involving the use of models or simulators of said systems electric

Definitions

  • the invention relates to a method and an arrangement for modeling a technical system.
  • the object of the invention is to enable modeling for a technical system which allows high flexibility and efficiency with regard to optimization or design of the technical system.
  • a method for modeling a technical system in which parameters of the technical system are mapped to nodes of a tree structure.
  • a relationship between at least two parameters is modeled using an edge, the edge connecting a successor node with a current node according to the tree structure.
  • the nodes are modeled as branch nodes or as decision nodes, with at least one parameter being assigned to a decision node and a branch node determining a branching possibility within the tree structure.
  • the technical system is modeled on the basis of the tree structure determined.
  • a decision node can also have a branch node as a successor in the tree structure.
  • the successor of a branch node can also be a (real value) parameter.
  • the dependency relationship which is modeled by the edge, is preferably determined by the value of the superordinate parameter (for example by the relationship “component present” or “component not present”). This is why this value is assigned to the edge in particular.
  • Parameters on which no further parameters depend are mapped to leaves in the tree structure. Values that are assigned to the edges and leaves of the tree structure can be real values or integers.
  • Branch nodes therefore model decisions to be made in parallel and (almost) independently of one another.
  • the tree structure denotes a hierarchical structure.
  • the tree structure can also be implemented as a list or an array.
  • a draft of the technical system is carried out using the tree structure.
  • it can
  • the new design is preferably a new creation of a technical system, e.g. a process engineering system, a circuit or a software system.
  • the adaptation involves changing an existing system e.g. with a view to improved operation.
  • Design can include both dimensioning or adjustment of components, e.g. physical dimensions of parts of a technical system.
  • the control enables an efficient setting of the changeable parameters of the system, so that, for example, the most efficient operation possible can be guaranteed.
  • the tree structure is used to optimize the technical system.
  • the optimization can take place in one or two stages.
  • a stochastic algorithm is preferred, for example the simulated method Annealing, or an evolutionary algorithm used.
  • a structural decision is made and then a real-value optimization problem is solved.
  • the real-valued parameter is a leaf in the tree structure.
  • n can describe the nth tap of the component within the technical system. This nth tap represents an example of a modeled structural information.
  • a possible state space of the technical system is modeled on the basis of the tree structure and, as part of the optimization, an assignment in this state space that is suitable with regard to a predetermined target function is determined.
  • the tree structure represents a decision tree
  • the amount of all occupancies of the state space is narrowed down to one occupancy or several occupancies (if alternatives are important) with the optimization of the target function.
  • an arrangement for modeling a technical system in which a processor unit is provided which is set up in such a way that 1. Parameters of the technical system can be mapped to nodes of a tree structure;
  • a relationship between at least two parameters in each case can be modeled using an edge, the edge connecting a successor node to a current node in accordance with the tree structure;
  • the nodes can be modeled as branch nodes or as decision nodes, at least one parameter being assigned to a decision node and one branch node determining a branching possibility within the tree structure;
  • the technical system is modeled on the basis of the tree structure.
  • Fig.l is a sketch illustrating a water / steam cycle
  • 2 shows a block diagram of a steam power plant with a preheating section
  • 3 shows a temperature profile of steam / condensate and feed water
  • FIG. 7 shows a graph with curve profiles of a target function with a free degree of grading parameter
  • Power plants are used to generate electrical power by converting thermal into electrical energy.
  • thermal energy is generated by burning fossil primary energy sources such as coal, gas or oil.
  • a working fluid i.a. Water or water vapor, which goes through a cycle and absorbs and releases energy in the form of heat and mechanical work.
  • a simple design steam power plant essentially consists of the following components (see Fig.l):
  • the so-called feed water is heated and evaporated in a boiler.
  • the hot and high pressure steam called live steam, is then directed to a turbine 102 which drives a generator 103 to generate electricity. Since the turbine size depends on the vapor pressure, several turbines 102 are generally used, each of which is assigned to a high, medium or low pressure zone.
  • the steam is expanded again in the turbines 102, ie the pressure and temperature decrease.
  • the cooled steam then condenses in a condenser 104 (using cooling water), is brought back to live steam pressure with a feed water pump 105 and is fed again to the steam generator 101.
  • Fig.l Q refer to the supplied into the steam generator 101 heat amount P to the power supplied to the feed water pump 105 output, and Pei the electric power generated in the generator 103 and Q from the in the capacitor 104 discharged by the cooling water heat quantity.
  • the efficiency of the power plant can be increased by preheating the feed water.
  • partially expanded steam is removed from the turbines and fed into heat exchangers in order to raise the temperature of the feed water.
  • These heat exchangers are referred to as feed water preheaters and form the so-called preheating section.
  • the overall efficiency of a power plant is defined as the ratio of the electrical power generated to the thermal energy supplied:
  • Fig. 2 shows a modern steam power plant with feed water preheating.
  • the three turbines 201, 202 and 203 for high, medium and low pressure are shown.
  • Tap lines A 204 to 211 lead from the turbines 201, 202 and 203 to the heat exchangers W 212 to 217 of the preheating section.
  • the assignment of the taps A 204 to 211 to the feed water preheaters is clearly defined, since the tap pressure drops strictly monotonously along the turbine flow.
  • the heat exchangers W are classified according to the physical state of the heat-emitting medium as follows:
  • Condensation preheater The steam is condensed and releases its heat of vaporization (steam -> water).
  • Condensate cooler The condensate formed in the condensation preheater is further cooled (water -> • water).
  • a feed water preheater consists of at least one condensation part.
  • Desuperheaters and condensate coolers can each be completely omitted, integrated together with the condensation part in a housing or designed as separate devices. In the latter case, a shift within the preheating section is also possible, with the desuperheater being brought forward and the condensate cooler being connected downstream (relative to the condensation preheater).
  • the two first preheaters connected downstream of the condensate cooler and the preheater at tap 206 have an earlier desuperheater.
  • this can be done in the condensation preheater
  • the resulting condensate can also be pumped into the feed water flow before this. This water is called secondary condensate, while the main condensate is created in the condenser after the turbines.
  • feed water tank S in the preheating section (at tap 207).
  • This feed water tank S is designed as a mixing preheater, i.e. the bleed steam is fed directly into the tank and condenses on the water surface. It serves as a feed water buffer in the event of malfunctions and for degassing the feed water. Degassing is achieved by selecting the tap pressure when tapping the feed water tank so that the water in the tank boils weakly. This removes gaseous contaminants from the feed water.
  • FIG. 2 also shows firing B, live steam FD, reheating ZU, steam turbines T, a generator G and a condenser K.
  • the turbine taps and the feed water preheaters must be specified.
  • the physical parameters that determine the design of the preheating section for a given power plant structure are explained.
  • the tapping pressure is the determining design variable. Since the pressure in the turbines drops monotonously, the position of the tap is determined by the tap pressure.
  • the properties of a heat exchanger are determined by its "roughness". This indicates the temperature difference between the heat-emitting and heat-absorbing medium. Since this temperature difference drives the heat transfer, the size of the preheater is determined because the heating surface has to increase with smaller roughness.
  • a technical system can be understood as a complex system, described by its components and their connections.
  • the components are given by boilers, turbines, generators, heat exchangers, pumps, etc.
  • the water or steam-carrying lines between these components represent the connections.
  • the arrangement of the components and connections is summarized under the term interconnection.
  • the system design means the interconnection and characterization of the individual components and connections, which are determined by thermodynamic and geometric parameters such as Gratitude or cable diameter are described. It should be noted that the geometric parameters are partly determined by the thermodynamic design parameters.
  • the minimum wall thickness of the pipes used depends e.g. on the pressure in the line.
  • the system must be represented by a suitable model, i.e. an attempt is made to map the real power plant as well as possible on mathematical constructs. From the point of view of optimization, these constructs should be treated and still contain all important properties of the real system.
  • a power plant interconnection can be represented as a graph, particularly in the form of a tree structure.
  • Nodes represent the individual parts of the system and edges represent the material flows (flue gas, water, steam) that flow into and out of a system component.
  • the behavior of a of individual nodes is modeled by setting up mass balance equations (based on energy and mass conservation laws).
  • the edges assign the output variables of a node to the input variables of its adjacent nodes, which creates a system of equations for the overall system.
  • the behavior of the system can be simulated by solving this non-linear system of equations.
  • the simulation results are in turn the basis for the cost assessment of power plant designs.
  • the basic structure of a power plant interconnection is essentially determined by thermodynamic relationships.
  • the assignment of the taps to the feed water preheaters cannot be changed, since the pressure along the turbine flow drops strictly monotonously and the condensation preheaters work at saturated steam temperature, which also depends strictly monotonously on the tap pressure.
  • the term tap is therefore also used for the entire preheating unit, consisting of the actual turbine tap and all feed water preheaters connected to it.
  • the sequence of the heat exchangers connected to a turbine tap cannot be varied.
  • the desuperheater is always located directly on the bleed line, then the cooled steam is condensed in the condensation preheater, and the condensate is then fed into the condensate cooler.
  • variable pressure range of the associated tapping is therefore between 5 and 15 bar, which limits the selection of the associated tapping to a turbine in the medium pressure range.
  • G ⁇ do,. , , d Q ⁇ , 1 ⁇ dr j ⁇ efo ⁇ d 0 ⁇ a specifies the number of the tap that leads to the feed water tank and thus defines its position in the preheating section.
  • An existing condensate cooler also has a crudeness parameter, regardless of whether it is integrated in the condensation preheater or designed as a separate device.
  • X (x 1>1; ..., X ⁇ , 4 ,..., X a , ⁇ ,. -., X a , 4)
  • the power plant design is thus encoded by the mixed-integer vector (d, x). Regarding this approach:
  • the model for power plant design presented in the previous section can be enriched with additional information about the dependencies of the parameters by providing this in a suitable structure. Since there are essentially hierarchical dependencies, this order is described by a tree structure, the parameters are mapped to nodes in this tree structure. An edge represents a dependency relationship between parameters. Since the dependency relationship is determined by the value of the (parent) parameter, the edge is assigned the value in particular. For example, the decision "separate desuperheater” is only defined if the parameter “desuperheater exists ", that is, it has the integer value" 1 ". Conversely, for the "Condensate cooler available” option, the "Pump condensate pump” parameter must be "0".
  • no further parameters depend on real-valued parameters. That is why they are mapped to leaves within the tree structure. Since some parameters can be selected independently of one another, there are preferably additional nodes to which no parameter is assigned, i.e. these nodes represent only one branch in the tree. In the following, nodes which are assigned a discrete parameter are referred to as decision nodes and nodes which are not assigned any parameters are referred to as branch nodes.
  • Fig. 4 shows such a tree structure. Decision nodes are shown as open circles, nodes that represent continuous parameters are shown as squares and branch nodes are shown as filled circles. In order to illustrate all possible parameter values at the decision nodes, an edge is drawn in for each value from the permissible range of the associated parameter.
  • the small, filled squares each have an integer value (also binary: available / not available), which can be interpreted with regard to the number of components to be implemented or an assignment function of the components.
  • the parameters for the existence of a tap can be selected independently of one another. If a tap is not available (i.e. the associated (integer) parameter value is 0), no further decisions are possible. Otherwise, the decisions "Desuperheater available” and “Condensate pump available", as well as the real-valued parameters, tap pressure "and" Preheating degree "must be made independently. The decision as to whether a desuperheater is separated from the preheater depends on whether it is installed at all. Similarly, a condensate cooler can only be installed if the condensate is not pumped around.
  • a decision node SP in each case identifies one or more feed water tanks, a decision node E stands for a heater, a decision node K for a condensate cooler, a decision node KE for a condensate discharge, a decision node P for a process “pump around” and a decision node S denotes a a separate execution of the hierarchically higher-level component is also shown, a decision node #V, the integer leaves of which indicate by how many units the hierarchically higher-level component is preferred the real-valued parameters grains G, pressure D, grains of the heater GE and grains of the condensate cooler GK are shown.
  • a component in the sense of modeling can, in addition to an actual tangible unit of a technical system, also a modelable process, e.g. "Pump over”, or a modality that can be modeled with regard to the implementation, e.g. "implement separately or together with a component x".
  • a modelable process e.g. "Pump over”
  • a modality that can be modeled with regard to the implementation e.g. "implement separately or together with a component x”.
  • a branch is made to a decision node 503 and to a decision node 504.
  • decision node 504 it is determined that condensate discharge should be provided.
  • the elements of V are called nodes, those of E as edges (arcs).
  • edges arcs.
  • For an edge e ⁇ , b ⁇ , ⁇ and b are adjacent and incident with e.
  • the set of all nodes adjacent to a node v GV are denoted by A ⁇ , the set of all edges incidental to ⁇ by I v .
  • the degree deg ⁇ of a node v is defined as the number of edges incident with ⁇ .
  • the elements of V resp As in the undirected case, E are referred to as nodes or edges.
  • e ( ⁇ , b)
  • b adjacent to ⁇ e is positive incident with ⁇ and negative incident with b.
  • the set of all nodes adjacently to a node ⁇ GV is again designated with A ⁇ , the set of all edges with ⁇ positive (negative) incidents with J + (I ⁇ ).
  • the graph (G) belonging to G is created by replacing all edges of the form (a, b) with edges of the form ⁇ a, b ⁇ and then removing all duplicates in E.
  • a graph is called cyclic if it contains a simple circle, otherwise it is acyclic (circle-free).
  • Two nodes ⁇ and b of a graph G are called connectable if there is an edge pull with start node ⁇ and end node b. If two nodes can be connected in G, G is called connected.
  • digraphs b means reachable from ⁇ if there is a directional path from a to b.
  • a node ⁇ is called a root if all other nodes of the digraph can be reached from it.
  • An acyclic, coherent graph is called a tree.
  • a grade 1 knot is called a leaf.
  • a digraph G is called a tree if the associated graph is a tree. If G has a root, it is called a directed tree.
  • the system model described in the previous section is now considered.
  • the set of all discrete parameters dj is denoted by 2), that of all real parameters Xj is denoted by Dt.
  • the elements of these sets are the parameters as such, ie the parameter symbols.
  • the current value of a parameter is denoted by val (9), ö G 2) or val (y), y G Dt.
  • the node set V of G is thus disjointly broken down into
  • the set of edges is disjointly broken down into the corresponding subsets E, E, and E « R.
  • the bijections ⁇ and ⁇ uniquely assign a node within the tree structure to each parameter symbol.
  • ⁇ maps every edge whose start node is a decision node to a value within the permissible range of the associated parameter.
  • the decision tree defined above represents a model for the power plant design.
  • the structure of the tree, the assignment of the parameters to the nodes and in particular the assignment of parameter values to the edges are preferably an integral part of this model and remain constant.
  • Different design variants will be generated in particular by changing the parameter values, ie only val ( ⁇ ) or val (y) are variable quantities.
  • the decision tree can be used to determine the parameters for a system design that are valid for the current values of the discrete parameters. For this purpose, the concept of the route is extended to the decision tree defined above.
  • a permissible path consists of edges, the starting node of which is either a branch node or a decision node, the associated parameter value of which corresponds to the value assigned to the edge.
  • (d, x) be an (arbitrary) assignment of the integer and real-valued parameters.
  • a parameter ⁇ G 2) or per G Dt is called permissible if its associated node in the decision tree can be reached in a permissible way.
  • the set of permissible discrete or real parameters is denoted by 2) * (d) or Dt * (d).
  • FIG. 6 shows an algorithm in pseudocode notation, on the basis of which these parameters are determined. Given a decision tree and an instance of the vector (d, x), ie val (ö) or val (y) is defined for each parameter symbol.
  • the recursive procedure GetFeasiblePars has the root r of the decision tree as input parameters and the sets 2) * (d) and Dt * (d) as input / output parameters, which are initialized with 0. If r is a branch node, the procedure is called recursively for all adjacent nodes of r. If r is a decision node, the associated parameter is included in the set of permissible discrete parameters.
  • the condition from the definition of the permissible path is then checked for all edges with r incidence. If there is an edge that meets this condition, the procedure is called for its end node, otherwise the recursion ends. If r is a node from V the corresponding real parameter is included in the set Dt * and the recursion ends.
  • the restricted search space is defined as
  • S is therefore defined as a union of cuboids, the dimensions of which are variable. S contains all possible variants for a correct power plant design. The handling of this quantity requires specially adapted optimization procedures due to the dimensional changes.
  • the annuity factor ⁇ the annual operating hours h and the specific fuel costs A fuel are given constants and P e ⁇ and ⁇ output variables of the simulation program. To distribute the investment capital over several years (taking interest into account), this is multiplied by the annuity factor (also referred to as the recovery factor in the investment calculation).
  • the calculation of the investment costs is divided into the costs for the system parts of the preheating section and a constant term for the "residual power plant", in which the costs for the boiler, the turbines, the condenser and the cooling water circuit (the so-called "cold end") be summarized.
  • the following boundary conditions must be observed when optimizing the preheating section design:
  • the final preheat temperature i.e. the feed water temperature at the end of the preheating section is fixed.
  • the pressure at the top tap is calculated from the degree of roughness of the top condensation preheater and the final preheating temperature. It therefore does not represent a variable size.
  • the cost of a feed water preheater is determined by its heating surface, which is also an output variable of the simulation program.
  • a flat-rate value for the costs of the lines is added for each existing tap.
  • the graphs of the objective function (total electricity generation costs 701), the investment cost share 702 and the fuel cost share 703 are with variation of a degree of roughness 704 (with a condensation preheater with integrated desuperheater) qualitatively represented. It can be seen that the latter two quantities behave in opposite directions.
  • the investment costs depend on the heating surface of the preheater, which becomes smaller as the degree of heat increases. However, this also results in lower efficiency, which increases fuel costs.
  • the function of the total electricity generation costs has a minimum at approx. 2 K (Kelvin).
  • the investment cost share dominates for grievances ⁇ 2 K, the fuel cost share for grievances> 2 K.
  • the objective function therefore consists of two different objectives, namely minimizing investment costs and maximizing efficiency.
  • FIG. 8 shows the graph of the target function with a free printing parameter 801. It can be seen that the target function is multimodal and has kinks and jumps. The jumps stem from the fact that taps can only be made at certain points on the turbine, more precisely only between their rows of blades. If the tapping falls at the height of a row of blades for a predetermined tapping pressure, the blade arrangement of the turbine is corrected by the simulation program.
  • the real-valued parameters are restricted by further, dynamic restrictions.
  • the tap pressures must be arranged in ascending order, more precisely, two consecutive taps must have a positive minimum distance.
  • Another approach to optimization is a one-step strategy, i.e. discrete and real parameters are treated equally. Because of the dimensional changes of the search space, a method specially modified for the application problem has to be developed for this. For this purpose, an evolutionary algorithm was determined in which the mutation operator is adapted in such a way that only solutions from the search space S are generated. This problem-specific operator works on the tree structure described above.
  • Evolutionary algorithms are iterative processes in which a population of individuals develops through an evolutionary process. A single individual represents a potential solution to the underlying problem.
  • Recombination and mutation model the reproduction of individuals, whereby the recombination of several (usually two) individual parents creates descendants and a single individual is changed by mutation.
  • These operators are usually probabilistic and depend on the coding of the individuals.
  • the selection operator selects a new population from the existing individuals for the next iteration t + 1.
  • the individual individuals are evaluated with the so-called "fitness function" /, which is given in the function optimization by the target function. "Better" individuals are preferably transferred to the next generation.
  • GA generally assumes a problem of maximization, while the evolution strategy for minimization problems has been formulated. However, this is not a limitation, since each maximization problem can be formulated as a minimization problem.
  • Genetic algorithms are a class of EA that are strongly based on the natural model. In biology, a distinction is made between the phenotype and genotype of a living being. While the phenotype is the appearance of a living being, the genotype is the sum of all genetic information of an organism, ie the genetic information of a living being. In more developed organisms, these are contained in deoxyribonucleic acid (DNA). During reproduction, the genes encoded in the DNA are passed on to the offspring, from both parents. This gives the children a new genotype, which is made up of the individual genes of the parents.
  • DNA deoxyribonucleic acid
  • GA Genetic algorithms model the distinction between phenotype and genotype by coding the individuals, ie a possible solution point is represented by a vector v £ A l of length l.
  • integer ( ⁇ CZ) or real-valued ( ⁇ CR) individuals are also implementations with integer ( ⁇ CZ) or real-valued ( ⁇ CR) individuals.
  • the genetic operators recombination and mutation only work at the genotype level, ie on the coded individuals. Therefore, GA are initially independent of the problem class, ie GA can be used for different types of optimization problems, provided that the points of the associated search space can be encoded (using binary vectors).
  • GA also refers to individuals as chromosomes and the individual coefficients as genes.
  • the vectors x must be represented by binary words.
  • the intervals j [dj, bi] into bi - üi) ⁇ 10 fc sub-intervals of equal length. Let the smallest integer be such that (bi - ⁇ consult) • 10 * ⁇ 2 li - 1.
  • the coefficient Xj is then encoded by a binary vector Vi of length as follows:
  • dec (uj) represents the decimal value of the binary vector Vi.
  • the initial population P (0) with ⁇ individuals is usually generated by ( ⁇ •.) - pulling evenly distributed pseudo-random numbers from ⁇ 0, 1 ⁇ bit by bit. Another possibility is to apply the mutation operator ( ⁇ - l) a number of times to a specified start value. If there is additional information about the problem, you can of course also specify the entire starting population.
  • the simplest selection rule is the so-called roulette selection.
  • the likelihood that a chromosome will be selected for the next generation is proportional to its function value, i.e. good chromosomes get more of an imaginary roulette wheel than bad ones.
  • This rule is applied ⁇ times to select the next generation of individuals.
  • chromosomes For the recombination (crossover) two chromosomes are drawn from the population. The probability that the recombination operator is applied to an individual is given by the parameter p c . For each individual in the population, a random number r is drawn from [0, 1] in an even distribution. If r ⁇ p c , the individual is selected for recombination, so that on average ⁇ ⁇ p c chromosomes are crossed.
  • This recombination operator is the n-point crossover, in which the chromosomes are split at n positions and recombined using the "zipper principle".
  • the crossing operator which is important for genetic algorithms, is characterized as a partial information exchange in which the properties of the parents are inherited. By combining this genetic information, new individuals can be created that have better functional values than both parents.
  • the mutation operator changes individual genes in the chromosomes, ie a bit in a binary word is set if it was deleted, and vice versa.
  • the mutation is controlled by the parameter p m , which indicates the probability that a bit will be mutated.
  • this mutation rate is generally small (0.01 - 0.001), ie the mutation operator only makes small changes to the chromosomes compared to recombination. Small mutation rates also make sense, since it is no longer possible to assess which of the mutations within a chromosome has brought about an improvement.
  • the mutation is necessary in connection with the recombination, since genetic information lost due to crossing must be restored. However, it is also a useful operator regardless of this.
  • G A The theoretical basics about G A are based on the representation of chromosomes by binary words and their extension to schemes in order to be able to consider the similarities between the chromosomes.
  • a scheme can be obtained by adding a wildcard symbol ⁇ to the binary alphabet ⁇ 0, 1 ⁇ , which can represent both 1 and 0, i.e. a scheme represents a subset of chromosomes. For example, the scheme
  • the (defining) length ⁇ (S) is the distance between the first and last defined position in the scheme S.
  • n the average fitness of the entire population.
  • the schema is not necessarily destroyed if this is the case. If the recoincipated individuals agree on the specified positions, the scheme is still retained. If the separation point is not between two defined positions of the diagram, it will not be destroyed under any circumstances.
  • the probability that the scheme is destroyed when the recombination operator is used is therefore less than or equal to p (S). Since a chromosome with probability p c is selected for crossing, the probability that a schema S is retained after recombination is
  • Theorem Short, small-scale schemes, whose fitness average is greater than that of the total population, experience exponential growth through the iterations of a genetic algorithm.
  • the vector x denotes a point from the search space, ⁇ a vector of standard deviations and ⁇ a (optional) vector of correlation angles.
  • ⁇ a vector of standard deviations
  • ⁇ a vector of correlation angles
  • C ( ⁇ , ⁇ ) is a vector with multidimensionally normally distributed, possibly correlated random variables with an expected value of 0.
  • vs, i no recombination ⁇ s, i or v ⁇ , i discrete vs, i or v ⁇ it i global discrete with v ' (vs, i + X ⁇ [v ⁇ , i - v s , i) (random) intermediate vs, i + Xi • i v Ti, i - v s , i) global (random) intermediate
  • T designate two at random from ⁇ 1,. , , , ⁇ certain indices, ie vs and v ⁇ are the parent individuals. 7j means that the index T is redrawn for each component i (global recombination), x or Xi is either a fixed factor (normally 0.5) or an equally distributed random variable from the interval [0, 1].
  • the recombination variants can be different for x, ⁇ and ⁇ , i.e. intermediate recombination for x, geometric for ⁇ and no recombination for ⁇ is possible.
  • the selection here is a purely deterministic operator that is used after recombination and mutation.
  • the ⁇ best individuals of the predecessor population are always selected for the successor population.
  • ES is based on a minimization problem, i.e. In this case, “better” means smaller objective function value.
  • the basic form of the ES algorithm can now be formulated using a pseudocode (see Fig. 9).
  • the initialization is usually done by random allocation of the entire population, but there are also variants that take problem-specific information into account during the initialization.
  • restrictions are not realized by penalty threshing floor in the target function, but by expanding the selection operator so that only permissible points can be selected.
  • the maximum number of iterations is usually specified as the termination criterion.
  • X denotes a random variable that represents the current state of the system, E t the energy in state i, T the predetermined temperature and k ß the so-called Boltzmann constant, and
  • This acceptance condition is called the Metropolis criterion
  • the method is called the Metropolis algorithm.
  • This method is now used to solve integer optimization problems by identifying the states of the physical system with the solution vectors of the optimization problem and the energy function with the target function. We also replace the temperature term k ß T with the control parameter c GR + .
  • the Metropolis algorithm is thus formally determined as shown in Fig. 10.
  • the CreateNeighbour function denotes a neighborhood operator by which a Point with slightly changed variable values is generated, which is comparable to the mutation operator in GA.
  • the Kirkpatrick et. al. developed simulated annealing process is an extension of the Metropolis algorithm. While the temperature parameter c remains constant in the Metropolis method, several Metropolis runs are carried out in the simulated annealing, the control parameter c being gradually reduced. This makes the likelihood that a worse point will be accepted less and less.
  • V / (. R * ) ⁇ ) ⁇ Vgi (z * ) + j JV * * ).
  • the KT condition can also be formulated with the Lagrangian function as follows:
  • Equation (11) is equivalent to the search for the zeros of the function WL (x, ⁇ ).
  • the Newton method is a tried and tested method for searching for zeros.
  • the aim of this method is to generate sequences ⁇ ( * ) ⁇ and ⁇ ⁇ that converge to x * and ⁇ *.
  • the correction vector ⁇ x can also be solved by solving the quadratic minimization problem
  • Said global optimization (abbreviated to GS method) is based on the principle of disrupting the direction of the steepest descent by a Brownian movement, as a result of which local minima can be left.
  • global solutions can also be found for optimization problems with non-convex target functions.
  • the parameter e determines the ratio between the deterministic term -Vf (X t) dt - taken of itself, the direction of steepest descent would result - and, by the Brownian movement B t, stochastically disturbed term t dB.
  • a stochastic process is a set of random variables parameterized by time t
  • Brownian motion is a special stochastic process that models the motion that pollen performs on a liquid surface.
  • a stochastic differential equation models the physical diffusion of a particle that is in a potential given by the objective function f (x).
  • this property is reflected in the fact that the probability density p (t, x) belonging to the random variable X t , ie the probability density that the particle is at location x at time t, meets the so-called potential condition.
  • the potential condition in turn is sufficient for the fact that the probability density for t ⁇ oo converges to a limit density, the so-called invariant measure P s tat ( a; ) : p (t, x) t ⁇ P st & t (x) (15)
  • P stat has a maximum precisely at the global minimum x * of / and the probability that x is in a ⁇ environment of x * is relatively high. Furthermore, it can be shown that almost every path (ie almost every realization of the random variable X t ) reaches a ⁇ environment of x * in finite time (for any ⁇ GR + ).
  • the GS method takes advantage of the properties of the stochastic process X t by numerically integrating the SDE (SDE) (eg with the semi-implicit Euler method). Since there is no sufficient condition for the existence of a global minimum, the maximum number of Euler steps to be carried out must be specified.
  • a local optimization process eg the BFGS process can be used after each step to improve the solution.
  • the processor unit PRZE comprises a processor CPU, a memory SPE and one IOS input / output interface. which is used in various ways via an IFC interface: output is displayed on a monitor MON and / or output on a printer PRT via a graphic interface. An entry is made using a mouse MAS or a keyboard TAST.
  • the processor unit PRZE also has a data bus BUS, which ensures the connection of a memory MEM, the processor CPU and the input / output interface IOS.
  • additional components can be connected to the data bus BUS, for example additional memory, data storage (hard disk) or scanner.

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Abstract

Zur Lösung der Aufgabe wird ein Verfahren zur Modellierung eines technischen Systems angegeben, bei dem Parameter des technischen Systems auf Knoten einer Baumstruktur abgebildet werden. Eine Beziehung zwischen jeweils mindestens zwei Parametern wird anhand einer Kante modelliert, wobei die Kante gemäß der Baumstruktur einen Nachfolgeknoten mit einem aktuellen Knoten verbindet. Die Knoten werden als Verzweigungsknoten oder als Entscheidungsknoten modelliert, wobei einem Entscheidungknoten zumindest ein Parameter zugewiesen wird und ein Verzweigungsknoten eine Verzweigungsmöglichkeit innerhalb der Baumstruktur bestimmt. Anhand der ermittelten Baumstruktur erfolgt die Modellierung des technischen Systems.

Description

Beschreibung
Verfahren und Anordnung zur Modellierung eines technischen Systems
Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Anordnung zur Modellierung eines technischen Systems.
Bei der Modellierung eines technischen Systems oder einer technischen Anlage ist es eine besondere Schwierigkeit, die zahlreichen Beziehung der Komponenten des technischen Systems untereinander geeignet zu berücksichtigen. Auch gibt es eine Vielzahl von Typen von solchen Beziehungen, die allesamt schwierig zu modellieren sind. So ist es insbesondere schwierig, Strukturinformationen geeignet zu berücksichtigen.
Bislang obliegt eine derartige Modellierung weitgehend dem Fachwissen eines auf dem jeweiligen technischen Gebiet tätigen Experten. So kann dieser aus seiner jahrelangen Erfahrung heraus Vorgaben bezüglich möglicher Realisierungen anstrengen, die tatsächliche Optimalität ist dabei zumeist nicht gewährleistet.
Die Aufgabe der Erfindung besteht darin, eine Modellierung für ein technisches System zu ermöglichen, die im Hinblick auf eine Optimierung bzw. Auslegung des technischen Systems hohe Flexibilität und Effizienz zuläßt.
Diese Aufgabe wird gemäß den Merkmalen der unabhängigen Patentansprüche gelöst. Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich auch aus den abhängigen Ansprüchen.
Zur Lösung der Aufgabe wird ein Verfahren zur Modellierung eines technischen Systems angegeben, bei dem Parameter des technischen Systems auf Knoten einer Baumstruktur abgebildet werden. Eine Beziehung zwischen jeweils mindestens zwei Parametern wird anhand einer Kante modelliert, wobei die Kante gemäß der Baumstruktur einen Nachfolgeknoten mit einem aktuellen Knoten verbindet. Die Knoten werden als Verzweigungsknoten oder als Entscheidungsknoten modelliert, wobei einem Entscheidungsknoten zumindest ein Parameter zugewiesen wird und ein Verzweigungsknoten eine Verzweigungsmöglichkeit innerhalb der Baumstruktur bestimmt. Anhand der ermittelten Baumstruktur erfolgt die Modellierung des technischen Systems.
Insbesondere kann ein Entscheidungsknoten auch einen Verzweigungsknoten als Nachfolger in der Baumstruktur haben. Nachfolger eines Verzweigungsknotens kann auch ein (reell wertiger) Parameter sein. Gemäß obiger Ausführung wird bevorzugt die Abhängigkeitsbeziehung, die von der Kante modelliert wird, vom Wert des übergeordneten Parameters bestimmt (z.B. durch die Beziehung „Komponente vorhanden" oder „Komponente nicht vorhanden"). Deshalb wird insbesondere der Kante dieser Wert zugeordnet. Parameter, von denen keine weiteren Parameter abhängen, werden auf Blätter der Baumstruktur abgebildet. Werte, die den Kanten und Blättern der Baumstruktur zugeordnet werden, können reellwertig oder ganzzahlig sein.
Eine Weiterbildung besteht darin, daß alle Knoten, die von einem Verzweigungsknoten ausgehen, bis zu einem Blatt weiterverfolgt werden. Verzweigungsknoten modellieren demnach parallel und (nahezu) unabhängig voneinander zu treffende Entscheidungen.
Hierbei sei bemerkt, daß die Baumstruktur eine hierarchische Struktur bezeichnet. Eine Implementation der Baumstruktur kann auch als eine Liste oder ein Array erfolgen.
In einer Weiterbildung wird anhand der Baumstruktur ein Entwurf des technischen Systems durchgeführt. Insbesondere kann dabei
1. ein Neuentwurf,
2. eine Anpassung,
3. eine Auslegung oder
4. eine Steuerung
des technischen Systems erfolgen. Bei dem Neuentwurf handelt es sich bevorzugt um eine Neuschaffung eines technischen Systems, z.B. einer Anlage der Verfahrenstechnik, einer Schaltung oder eines Softwaresystems. Die Anpassung umfaßt eine Veränderung eines bestehenden Systems z.B. im Hinblick auf einen verbesserten Betrieb. Auslegung kann sowohl eine Dimensionierung oder eine Einstellung von Komponenten, z.B. physikalische Abmessungen von Teilen eines technischen Systems, sein. Schließlich ermöglicht die Steuerung eine effiziente Einstellung der veränderbaren Parameter des Systems, so daß bspw. ein möglichst effizienter Betrieb gewährleistet sein kann.
Eine andere Weiterbildung besteht darin, daß anhand der Baumstruktur eine Optimierung des technischen Systems durchgeführt wird. Die Optimierung kann einstufig oder zweistufig erfolgen. Bei der einstufigen Optimierung wird bevozugt ein stochastischer Algorithmus, bspw. die Methode des Simulated Annealing, oder ein evolutionärer Algorithmus eingesetzt. Bei der zweistufigen Optimierung wird eine Strukturentscheidung getroffen, und anschließend wird ein reellwertiges Optimierungsproblem gelöst.
Eine Ausgestaltung besteht darin, daß der reellwertige Parameter ein Blatt in der Baumstruktur ist.
Ferner ist es eine Ausgestaltung, daß mittels des ganzzahligen Parameters folgende Zusammenhänge modelliert werden:
1. Anzahl einer zu realisierenden Komponente des technischen Systems. Damit ist gemeint, daß eine Komponente in bestimmter Anzahl oder gar nicht realisiert sein kann; entspricht die Baumstruktur einem Entscheidungsbaum, ist eine Belegung mit „0", also eine nicht vorhandene Realisierung der Komponente, nicht weiter zu spezifizieren. Ist hingegen in dem Entscheidungsbaum eine („1") Komponente zur Realisierung vorgesehen, so kann diese in weiteren Knoten und Kanten detailliert spezifiziert werden.
2. Zahl zur Bemessung einer Zuordnungsbeziehung einer Komponente innerhalb des technischen Systems, wobei die Zuordnungsbeziehung durch den Entscheidungsknoten vorgegeben ist.
Damit ist gemeint, daß eine Strukturinformation bzw. eine Strukturzuordnung der Komponente in Beziehung zum technischen Systems in Form einer ganzen Zahl vorgegeben sein kann. Geht es zum Beispiel um , Anzapfungen" (genaue Erläuterung folgt im Ausführungsbeispiel), so kann die ganze Zahl n die n-te Anzapfung der Komponente innerhalb des technischen Systems beschreiben. Diese n-te Anzapfung stellt ein Beispiel für eine modellierte Strukturinformation dar.
Ferner ist es eine Weiterbildung, daß anhand der Baumstruktur ein möglicher Zustandsraum des technischen Systems modelliert wird und im Rahmen der Optimierung eine im Hinblick auf eine vorgegebene Zielfunktion geeignete Belegung in diesem Zustandsraum ermittelt wird. Bevorzugt für den Fall, daß die Baumstruktur einen Entscheidungsbaum darstellt, wird die Menge aller Belegungen des Zustandsraums mit der Optimierung der Zielfunktion auf eine Belegung oder mehrere Belegungen (wenn Alternativen von Bedeutung sind) eingeengt. Damit ergibt sich ein modelliertes und optimiertes technisches System. Insbesondere kann nach Maßgabe von Modellierung und Optimierung ein Entwurf gemäß obigen Ausführungen erfolgen.
Auch wird zur Lösung der Aufgabe eine Anordnung zur Modellierung eines technischen Systems angegeben, bei der eine Prozessoreinheit vorgesehen ist, die derart eingerichtet ist, daß 1. Parameter des technischen Systems auf Knoten einer Baumstruktur abbildbar sind;
2. eine Beziehung zwischen jeweils mindestens zwei Parametern anhand einer Kante modellierbar ist, wobei die Kante gemäß der Baumstruktur einen Nachfolgerknoten mit einem aktuellen Knoten verbindet;
3. die Knoten als Verzweigungsknoten oder als Entscheidungsknoten modellierbar sind, wobei einem Entscheidungsknoten zumindest ein Parameter zugewiesen wird und ein Verzweigungsknoten eine Verzweigungsmöglichkeit innerhalb der Baumstruktur bestimmt;
4. anhand der Baumstruktur die Modellierung des technischen Systems erfolgt.
Diese Anordnung ist insbesondere geeignet zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens oder einer seiner vorstehend erläuterten Weiterbildungen.
Ausführungsbeispiele der Erfindung werden nachfolgend anhand der Zeichnung dargestellt und erläutert.
Es zeigen
Fig.l eine Skizze, die einen Wasser-/Dampfkreislauf darstellt; Fig.2 ein Blockdiagramm eines Dampfkraftwerks mit Vorwärmstrecke; Fig.3 einen Temperaturverlauf von Dampf/Kondensat und Speisewasser;
Fig.4 eine hierarchische Baumstruktur;
Fig.5 zulässige Wege in der Baumstruktur (Ausschnitt);
Fig.6 einen Algorithmus in Pseudocode-Notation zur Parameterermittlung;
Fig.7 eine Grafik mit Kurvenverläufen einer Zielfunktion bei einem freien Grädigkeitsparameter;
Fig.8 eine Grafik mit Kurvenverläufen einer Zielfunktion bei einem freien Druckparameter;
Fig.9 einen ES-Algorithmus in Pseudocode-Notation; Fig.10 einen Metropolis- Algorithmus in Pseudocode-Notation; Fig.11 eine Prozessoreinheit. Beispiel: Vorwärmstrecke fossil befeuerter Kraftwerke
Wasser-/Dampfkreislauf
Kraftwerke dienen zur Gewinnung von elektrischem Strom durch die Umwandlung von thermischer in elektrische Energie. In fossil befeuerten Kraftwerken wird die thermische Energie durch Verbrennung fossiler Primärenergieträger, wie Kohle, Gas oder Öl, erzeugt. Für die Energieumwandlung benutzt man ein Arbeitsfluid, i.a. Wasser bzw. Wasserdampf, das einen Kreisprozeß durchläuft und dabei Energie in Form von Wärme und mechanischer Arbeit aufnimmt und wieder abgibt.
Ein Dampfkraftwerk in einfacher Bauweise besteht im wesentlichen aus den folgenden Komponenten (siehe Fig.l):
• Dampferzeuger
• Turbinen
• Generator
• Kondensator
• Speisewasserpumpe
In dem Dampferzeuger 101 wird das sogenannte Speisewasser in einem Kessel erhitzt und verdampft. Der heiße und unter hohem Druck stehende Dampf, der Frischdampf genannt wird, wird danach eine Turbine 102 geleitet, die einen Generator 103 zur Stromerzeugung antreiben. Da die Turbinengröße vom Dampfdruck abhängt, werden i.d.R. mehrere Turbinen 102 benutzt, die jeweils einer Hoch-, Mittel- oder Niederdruckzone zugeordnet sind. In den Turbinen 102 wird der Dampf wieder entspannt, d.h. Druck und Temperatur nehmen ab. Danach kondensiert der abgekühlte Dampf in einem Kondensator 104 (unter Einsatz von Kühlwasser), wird mit einer Speisewasserpumpe 105 wieder auf Frischdampfdruck gebracht und erneut dem Dampferzeuger 101 zugeführt. In Fig.l bezeichnen Qzu die in dem Dampferzeuger 101 zugeführte Wärmemenge, Pzu die an der Speisewasserpumpe 105 zugeführte Leistung, sowie Pei die in dem Generator 103 erzeugte elektrische Leistung und Qab die in dem Kondensator 104 durch das Kühlwasser abgeführte Wärmemenge. Prinzip der Speisewasservorwärmung
Durch eine Vorwärmung des Speisewassers läßt sich der Wirkungsgrad des Kraftwerks steigern. Dazu wird den Turbinen teilentspannter Dampf entnommen und in Wärmetauscher geleitet, um die Temperatur des Speisewassers zu erhöhen. Diese Wärmetauscher werden als Speisewasservorwärmer bezeichnet und bilden die sogenannte Vorwärmstrecke. Der Gesamtwirkungsgrad eines Kraftwerks ist definiert als das Verhältnis der erzeugten elektrischen Leistung zur zugeführten thermischen Energie:
Pel η =
^ti Brennstoff
Fig.2 zeigt ein modernes Dampfkraftwerk mit Speisewasservorwärmung. In dem oberen Teil von Fig.2 sind die drei Turbinen 201, 202 und 203 für Hoch-, Mittel-, und Niederdruck dargestellt. Von den Turbinen 201, 202 und 203 führen jeweils Anzapfleitungen A 204 bis 211 zu den Wärmetauschern W 212 bis 217 der Vorwärmstrecke. Die Zuordnung der Anzapfungen A 204 bis 211 zu den Speisewasservorwärmern ist eindeutig festgelegt, da der Anzapfdruck längs der Turbinenströmung streng monoton fällt.
Die Wärmetauscher W werden nach dem Aggregatzustand des wärmeabgebenden Mediums folgendermaßen klassifiziert:
• Enthitzer: Der Anzapfdampf gibt Wärme ab, bleibt aber in gasförmigem Zustand (Dampf — > Dampf).
• Kondensationsvorwärmer: Der Anzapfdampf wird kondensiert und gibt dabei seine Verdampfungswärme ab (Dampf —> Wasser).
• Kondensatkühler: Das im Kondensationsvorwärmer entstandene Kondensat wird weiter abgekühlt (Wasser — >• Wasser).
Ein Speisewasservorwärmer besteht zumindest aus einem Kondensationsteil. Enthitzer und Kondensatkühler können jeweils ganz entfallen, zusammen mit dem Kondensationsteil in einem Gehäuse integriert oder als getrennte Apparate ausgeführt sein. Im letzteren Fall ist auch eine Verschiebung innerhalb der Vorwärmstrecke möglich, wobei Enthitzer vorgezogen und Kondensatkühler nachgeschaltet werden (relativ zum Kondensationsvorwärmer). In Fig.2 haben z.B. die beiden ersten Vorwärmer nachgeschaltete Kondensatkühler und der Vorwärmer an Anzapfung 206 einen vorgezogenen Enthitzer. Alternativ zu einem Kondensatkühler kann das im Kondensationsvorwärmer entstehende Kondensat auch vor diesen in den Speisewasserstrom gepumpt werden. Dieses Wasser wird als Nebenkondensat bezeichnet, während das Hauptkondensat im Kondensator nach den Turbinen entsteht.
Zusätzlich zu den normalen Vorwärmern befindet sich genau ein Speisewasserbehälter S in der Vorwärmstrecke (an Anzapfung 207). Dieser Speisewasserbehälter S ist als ein Mischvorwärmer ausgeführt, d.h. der Anzapfdampf wird direkt in den Behälter eingeleitet und kondensiert an der Wasseroberfläche. Er dient als Speisewasserpuffer bei Betriebsstörungen und zur Entgasung des Speisewassers. Die Entgasung wird erreicht, indem der Anzapfdruck bei der Anzapfung des Speisewasserbehälters so gewählt wird, daß das Wasser im Behälter schwach siedet. Dadurch werden gasförmige Verunreinigungen des Speisewassers entfernt.
In Fig.2 sind ferner dargestellt eine Befeuerung B, Frischdampf FD, eine Zwischenüberhitzung ZU, Dampfturbinen T, ein Generator G und ein Kondensator K.
Auslegungsparameter für die Vorwärmstrecke
Für die Auslegung der Vorwärmstrecke müssen im wesentlichen die Turbinenanzapfungen und die Speisewasservorwärmer spezifiziert werden. Zunächst werden die physikalischen Parameter, die bei gegebener Kraftwerksstruktur die Auslegung der Vorwärmstrecke bestimmen, erläutert.
Für die Anzapfungen ist der Anzapfdruck die bestimmende Auslegungsgröße. Da der Druck in den Turbinen monoton fällt, wird durch den Anzapfdruck die Position der Anzapfung festgelegt.
Die Eigenschaften eines Wärmetauschers werden durch seine „Grädigkeit" bestimmt. Diese gibt die Temperaturdifferenz zwischen wärmeabgebendem und wärmeaufnehmendem Medium an. Da diese Temperaturdifferenz den Wärmeübergang treibt, wird dadurch die Größe des Vorwärmers festgelegt, da die Heizfläche bei kleineren Grädigkeiten zunehmen muß.
Definition: Grädigkeit eines Wärmetauschers
Es seien
Figure imgf000009_0001
bzw. --κ,aus die Dampf- bzw. Kondensattemperatur beim Austritt aus dem Wärmetauscher, -rSp)ejn und Spjaus die Speisewassertemperatur beim Ein- und Austritt und TSatt die Sättigungstemperatur des Anzapfdampfes, d.h. die Temperatur, bei der der Dampf kondensiert. Dann sind die Grädigkeiten der verschiedenen Wärmetauscher wie folgt definiert: 1. Enthitzer: Δ$E = 7 ,aus _ T&
2. Kondensationsvorwärmer: Δι9κv = ϊsatt - SpjΛυts
3. Kondensatkühler: ΔtfKκ = ϊ ,aus — ^Sp.ein
In Fig.3 werden diese Definitionen graphisch veranschaulicht. Im abgebildeten Diagramm sind die drei Vorwärmzonen Kondensatkühler, Kondensationsvorwärmer und Enthitzer auf der Abszisse, und die Temperatur auf der Ordinate aufgetragen. Der Temperaturverlauf des wärmeabgebenden Mediums (Dampf/Kondensat) und des wärmeaufnehmenden Mediums (Speisewasser) wird durch die Kurven rD[Tκ] und TSp dargestellt.
Modelle zur Beschreibung der Anlage
Eine technische Anlage kann als komplexes System, beschrieben durch seine Komponenten und ihre Verbindungen, aufgefaßt werden. Im vorliegenden Anwendungsbeispiel sind die Komponenten durch Kessel, Turbinen, Generator, Wärmetauscher, Pumpen, etc. gegeben. Die wasser- oder dampfführenden Leitungen zwischen diesen Komponenten stellen die Verbindungen dar. Die Anordnung der Komponenten und Verbindungen wird unter dem Begriff Verschaltung zusammengefaßt. Unter der Anlagenauslegung versteht man die Verschaltung und die Charakterisierung der einzelnen Komponenten und Verbindungen, die durch thermodynamische und geometrische Parameter wie z.B. Grädigkeit oder Leitungsdurchmesser beschrieben werden. Dabei ist zu beachten, daß die geometrischen Größen teilweise von den thermodyna- mischen Auslegungsparametern bestimmt werden. Die minimale Wandstärke der verwendeten Rohre hängt z.B. vom Druck in der Leitung ab.
Für die quantitative Optimierung muß die Anlage durch ein geeignetes Modell dargestellt werden, d.h. es wird versucht, das reale Kraftwerk möglichst gut auf mathematische Konstrukte abzubilden. Diese Konstrukte sollen aus Sicht der Optimierung zu behandeln sein und dennoch alle wichtigen Eigenschaften der realen Anlage beinhalten.
Darstellung der Struktur als Netzwerk
Eine Kraftwerksverschaltung läßt sich als ein Graph, insbesondere in Form einer Baumstruktur, darstellen. Dabei repräsentieren Knoten die einzelnen Anlagenteile und Kanten die Stoffströme (Rauchgas, Wasser, Dampf), die in eine Anlagenkomponente hinein- bzw. aus ihr herausfließen. Das Verhalten eines einzelnen Knotens wird durch das Aufstellen von Mengenbilanzgleichungen (beruhend auf Energie- und Massenerhaltungssätzen) modelliert. Die Kanten ordnen jeweils die Ausgangsgrößen eines Knotens den Eingangsgrößen seiner adjazenten Knoten zu, wodurch ein Gleichungssystem für die Gesamtanlage entsteht. Durch die Lösung dieses nichtlinearen Gleichungssystems kann man das Verhalten der Anlage simulieren. Die Simulationsergebnisse sind wiederum Grundlage für die Kostenbewertung von Kraftwerksauslegungen.
Für die Optimierung der Anlagenauslegung ist es jedoch erforderlich, verschiedene Verschaltungsvarianten zu generieren, wobei sehr viele Restriktionen an eine zulässige Verschaltung gestellt werden.
Repräsentation der Verschaltung durch einen ganzzahligen Vektor
Die Grundstruktur einer Kraftwerksverschaltung ist durch thermodynami- sche Zusammenhänge im wesentlichen festgelegt. So ist z.B. die Zuordnung der Anzapfungen zu den Speisewasservorwärmern (genauer gesagt, zu den Kondensationsvorwärmern) nicht veränderbar, da der Druck längs der Turbinenströmung streng monoton fällt und die Kondensationsvorwärmer bei Sattdampftemperatur arbeiten, welche ebenfalls streng monoton vom Anzapfdruck abhängt. Der Begriff Anzapfung wird deshalb auch für die gesamte Vorwärmeinheit, bestehend aus der eigentlichen Turbinenanzapfung und allen daran angeschlossenen Speisewasservorwärmern, verwendet. Auch ist die Reihenfolge der Wärmetauscher, die an eine Turbinenanzapfung angeschlossen sind, nicht variierbar. Der Enthitzer befindet sich immer direkt an der Anzapfleitung, danach wird der abgekühlte Dampf im Kondensationsvorwärmer kondensiert, und anschließend wird das entstehende Kondensat in den Kondensatkühler geleitet. Positionsverschiebungen sind bei getrennt ausgeführten Enthitzern und Kondensatkühlern jeweils nur in einer Richtung relativ zum zugehörigen Kondensationsvorwärmer möglich. Ferner ist die Position des Speisewasserbehälters in der Vorwärmstrecke nur innerhalb bestimmter Grenzen variierbar, da der Speisewasserbehälter ein Mischvorwärmer ist. Deshalb liegt der variierbare Druckbereich der zugehörigen Anzapfung zwischen 5 und 15 bar, wodurch die Auswahl der zugehörigen Anzapfung auf eine Turbine im Mitteldruckbereich beschränkt ist.
Die Freiheitsgrade bei der Kraftwerksauslegung sind demnach insbesondere Existenz, Position und Ausführung der einzelnen Komponenten. Deswegen ist es für die Auslegungsoptimierung naheliegend, die im Rahmen der Grundstruktur möglichen Auslegungsentscheidungen in das Anlagenmodell aufzunehmen. Die Verschaltung wird dabei durch diskrete Parameter beschrieben, wobei unterschieden wird zwischen
• binären Parametern bi {0, 1}: diese geben an, ob eine Verschaltungs- komponente vorhanden ist (0 entspricht „nicht vorhanden", 1 entspricht „vorhanden")
• ganzzahligen Parametern di G {dj, . . . , d.}: diese geben die Position einer Komponente an (Anzahl der Verrückungen bezüglich der Standardposition)
Im folgenden werden die binären Parameter b{ als ganzzahlige Parameter di verstanden, wobei deren Bereichsgrenzen auf d := 0 und di := 1 gesetzt werden.
Sei die maximale Anzahl von Anzapfungen. Dann gibt es für jede Anzapfung i G {1, . . . , a} folgende strukturbeschreibende Parameter:
di,\ G {0, 1} Anzapfung vorhanden dχ,ι G {0, 1} Enthitzer vorhanden di,3 G {0, 1} separater Enthitzer di, G {1, . . . , 3} relative Enthitzerposition di,5 € {0, 1} Kondensatpumpe vorhanden d.,6 G {0, 1} Kondensatkühler vorhanden d.,7 G {0, 1} separater Kondensatkühler di,s G {1, . . . , 2} relative Kondensatkühlerposition di,9 G {0, . . . , 3} Kondensateinleitung
Ein weiterer Parameter do G {do, . . . , dQ}, 1 < drj < efo < d0 < a, spezifiziert die Nummer der Anzapfung, die zum Speisewasserbehälter führt, und legt damit dessen Position in der Vorwärmstrecke fest.
Alle diskreten Parameter werden zu einem Vektor d = (do, dlfl, dlj2, . . . , d1)9, d2)1 , d2)2, ■ ■ • , C^Θ, . . . , dQjg) zusammengefaßt, der die Kraftwerks verschaltung kodiert.
Neben der Kraftwerksverschaltung werden für die Auslegung die einzelnen Komponenten weiter spezifiziert. Dies geschieht durch die bereits vorgestellten kontinuierlichen Parameter. Diese Parameter sind Eingangsgrößen für das zur Kostenberechnung eingesetzte Simulationsprogramm. Ihre Definition hängt daher teilweise mit der Input-Schnittstelle dieses Programms zusammen. Für jede vorhandene Anzapfung werden der Anzapfdπick sowie die Grädigkeiten der daran angeschlossenen Speisewasservorwärmer angegeben. Bei den Grädigkeitsparametern sind verschiedene Fälle zu unterscheiden:
• Bei einem als Einzelapparat ausgeführten Kondensationsvorwärmer wird dessen Grädigkeit spezifiziert.
• Ein vorhandener Kondensatkühler hat ebenfalls einen Grädigkeitspa- rameter, unabhängig davon, ob er in den Kondensationsvorwärmer integriert oder als separater Apparat ausgeführt ist.
• Für einen Enthitzer wird nur dann eine Grädigkeit angegeben, wenn er vom Kondensationsteil getrennt ist.
• Bei einem Kondensationsvorwärmer mit integriertem Enthitzer erlaubt das Simulationsprogramm nur die Spezifikation der Grädigkeit des Gesamtapparats (Enthitzer + Kondensationsvorwärmer). Dabei ist zu beachten, daß sich deren Zulässigkeitsbereich in diesem Fall ändert, da die Definition der Kondensationsvorwärmergrädigkeit auch bei einer eingebauten Enthitzungszone bestehen bleibt, d.h. Δ$κv = ϊsatt — ^Sp. us (vgl. Definition der Grädigkeit). sP)aus bezeichnet in diesem Fall die Speisewassertemperatur nach dem Enthitzer. Da diese auch über Sattdampfniveau liegen kann, ist eine negative Grädigkeit möglich.
Da diese Parameter einzelnen Anlagenteilen zugewiesen sind, hängt ihre Existenz von der zugrundeliegenden Verschaltung ab. Für eine maximal ausgeführte Anzapfung i G {1, . . . , a}, d.h. an die Anzapfieitung sind ein (getrennter) Enthitzer, ein Kondensationsvorwärmer und ein Kondensatkühler angeschlossen, hat man folgende reellwertige Parameter:
z.,ι G [-^,1, ^1,1] Anzapfdruck z.,2 G [xi|2. ^t,2] Grädigkeit Vorwärmer
%i,3 G [^,3, ^,3] Grädigkeit Enthitzer
Xi,4 G fe) , i, ] Grädigkeit Kondensatkühler
Für den Fall, daß Enthitzer und Kondensationsvorwärmer im selben Gehäuse integriert sind, wird xi>2 durch x iι2 aus dem erweiterten Zulässigkeitsbereich [-Ei,2> ^1,2] ersetzt. Analog wird der Parameter für den Druck an der Anzapfung mit dem Speisewasserbehälter, x^^ durch xo G [xo, xo] ersetzt. Alle reellwertigen Parameter bilden den Vektor
X = (x1>1 ; . . . , Xι,4, . . . , Xa,ι, . - . , Xa,4)
Die Kraftwerksauslegung wird also durch den gemischt-ganzzahligen Vektor (d, x) kodiert. Zu diesem Modellansatz sei bemerkt:
1. Die diskreten Parameter für „vorhanden/nicht vorhanden" sind nicht unabhängig wählbar, sondern unterliegen einer hierarchischen Abhängigkeit: z.B. folgt aus
Figure imgf000014_0001
= 0 (Anzapfung 1 nicht vorhanden), daß dι.,2 = d1(3 = dι.,5 = dι,6 = d1>7 = 0 gilt (d.h. es können auch keine Vorwärmelemente angeschlossen werden).
2. Die diskreten Parameter für die Elementpositionen und alle kontinuierlichen Parameter sind nur für bestimmte Werte der strukturbeschreibenden Parameter überhaupt definierbar: falls z.B. die Entscheidung „Enthitzer vorhanden" = 0 ist, kann man auch keine Position oder Grädigkeit spezifizieren. Deshalb entspricht jeweils nur eine Auswahl der Koeffizienten von (d, x) einer sinnvollen Auslegung.
Die Korrektheit einer durch (d, x) beschriebenen Anlagenauslegung kann man durch Nebenbedingungen in Form Boolscher Ausdrücke sicherstellen. Dies hat jedoch den Nachteil, daß man einen Auslegungsvorschlag nur o posteriori auf seine Richtigkeit hin prüfen kann. Im folgenden Abschnitt wird ein erweiterter Modellansatz vorgestellt, in dem die hierarchischen Abhängigkeiten der Parameter durch ihre Anordnung in einer Baumstruktur dargestellt werden.
Erweiterung des Modells zum Entscheidungsbaum
Das im vorigen Abschnitt vorgestellte Modell für die Kraftwerks auslegung kann mit zusätzlichen Informationen über die Abhängigkeiten der Parameter angereichert werden, indem diese in einer geeigneten Struktur vorgesehen werden. Da es sich im wesentlichen um hierarchische Abhängigkeiten handelt, wird diese Ordnung durch eine Baumstruktur beschrieben, die Parameter werden auf Knoten in dieser Baumstruktur abgebildet. Eine Kante repräsentiert eine Abhängigkeitsbeziehung zwischen Parametern. Da die Abhängigkeitsbeziehung vom Wert des (übergeordneten) Parameters bestimmt wird, wird insbesondere der Kante den Wert zugeordnet. Die Entscheidung „separater Enthitzer" ist z.B. nur definiert, falls der Parameter „Enthitzer vorhanden" ist, also den ganzzahligen Wert „1" hat. Umgekehrt muß für die Wahl „Kondensatkühler vorhanden" der Parameter „Kondensat umpumpen" gleich „0" sein.
Von reellwertigen Parametern hängen keine weiteren Parameter ab. Deshalb werden diese auf Blätter innerhalb der Baumstruktur abgebildet. Da einige Parameter unabhängig voneinander gewählt werden können, gibt es bevorzugt zusätzliche Knoten, denen kein Parameter zugewiesen wird, d.h. diese Knoten stellen nur eine Verzweigung im Baum dar. Im folgenden werden Knoten, denen ein diskreter Parameter zugewiesen wird, als Entscheidungsknoten, und Knoten, denen kein Parameter zugewiesen wird, als Verzweigungsknoten bezeichnet.
Fig.4 zeigt solch eine Baumstruktur. Dabei sind Entscheidungsknoten als nicht ausgefüllte Kreise, Knoten, die kontinuierliche Parameter repräsentieren, als Quadrate und Verzweigungsknoten als ausgefüllte Kreise dargestellt. Um alle möglichen Parameterwerte bei den Entscheidungsknoten zu veranschaulichen, ist zu jedem Wert aus dem Zulässigkeitsbereich des zugehörigen Parameters eine Kante eingezeichnet. Die kleinen, ausgefüllten Quadrate haben jeweils einen ganzzahligen Wert (auch binär: vorhanden/nicht vorhanden), der im Hinblick auf eine Anzahl der zu realisierenden Komponenten oder einer Zuordnungsfunktion der Komponenten interpretiert werden kann.
Beispielsweise sind in Fig.4 die Parameter für die Existenz einer Anzapfung (die Anzapfungen sind durchnumeriert mit AI bis A9) unabhängig voneinander wählbar. Falls eine Anzapfung nicht vorhanden ist (d.h. der zugehörige (ganzzahlige) Parameterwert ist gleich 0), sind keine weiteren Entscheidungen möglich. Andernfalls sind wiederum die Entscheidungen „Enthitzer vorhanden" und „Kondensatpumpe vorhanden", sowie die reellwertigen Parameter , Anzapf druck" und „Vorwärmergrädigkeit" unabhängig zu treffen. Die Entscheidung, ob ein Enthitzer vom Vorwärmer getrennt wird, hängt davon ab, ob er überhaupt eingebaut wird. Analog dazu kann ein Kondensatkühler nur dann eingebaut werden, wenn das Kondensat nicht umgepumpt wird.
Um alle Parameter, die für eine korrekte Anlagenauslegung signifikant sind, zu ermitteln, wird der Entscheidungsbaum von der Wurzel beginnend durchlaufen, und die zulässigen Parameter werden „aufgesammelt". Dabei sind bevorzugt folgende Regeln zu beachten:
• Falls man sich in einem Verzweigungsknoten befindet, müssen nacheinander alle Kanten verfolgt werden.
• Falls man sich in einem Entscheidungsknoten befindet, darf man nur derjenigen Kante folgen, deren zugeordneter Wert dem aktuellen Wert des zugehörigen Parameters entspricht.
• Falls man in einem Blatt angelangt ist, springt man zum nächsthöheren Verzweigungsknoten zurück.
Zur Erklärung von Fig.4 sei hierbei angemerkt, daß beispielhaft eine Baumstruktur dargestellt ist, die einen Ausschnitt des gesamten zu modellierenden Systems zeigt. Jeweils ein Entscheidungsknoten SP kennzeichnet einen oder mehrere Speisewasserbehälter, ein Entscheidungsknoten E steht für einen Erhitzer, ein Entscheidungsknoten K für einen Kondensatkühler, ein Entschei- dungsknoten KE für eine Kondensateinleitung, ein Entscheidungsknoten P für einen Vorgang „umpumpen" und ein Entscheidungsknoten S kennzeichnet eine ggf. separate Ausführung der hierarchisch übergeordneten Komponente. Ferner ist ein Entscheidungsknoten #V gezeigt, dessen ganzzahlige Blätter kennzeichnen, um wieviel Einheiten die hierarchisch übergeordnete Komponente vorgezogen wird. Analog dazu kennzeichnet ein Entscheidungsknoten #N, um wieviel Einheiten die hierarchisch übergeordnete Komponente nachgeschaltet ist. Ferner sind die reellwertigen Parameter Grädigkeit G, Druck D, Grädigkeit des Erhitzers GE und Grädigkeit des Kondensatkühlers GK dargestellt.
Eine Komponente im Sinne der Modellierung kann neben einer tatsächlich zu realisierenden greifbaren Einheit eines technischen Systems auch einen modellierbaren Vorgang, z.B. „umpumpen", oder eine im Hinblick auf die Realisierung modellierbare Modalität, z.B. „getrennt oder zusammen mit einer Komponente x realisieren", bezeichnen.
In Fig.5 ist ein Ausschnitt des Entscheidungsbaums dargestellt, wobei die Kanten, die die zulässigen Parameter verbinden, fett eingezeichnet sind. Dabei liegen folgende Parameterwerte vor:
„Kondensat umpumpen" = 0
„Kondensatkühler vorhanden" = 1
„separater Kondensatkühler" = 0
„Kondensateinleitung" = 1
So wird in einem Entscheidungsknoten entschieden, daß ein „Umpumpen" nicht stattfinden soll (= 0). In einem anschließenden Verzweigungsknoten 502 wird zu einem Entscheidungsknoten 503 und zu einem Entscheidungsknoten 504 verzweigt. In dem Entscheidungsknoten 503 wird ein Kondensatkühler vorgesehen (= 1) und der Pfad zu einem Verzweigungsknoten 505 fortgesetzt. Von dem Verzweigungsknoten 505 wird zum einen zu dem Entscheidungsknoten 506 verzweigt, wo entschieden wird, daß der Kondensatkühler nicht separat ausgeführt sein soll (= 0), zum anderen wird eine Grädigkeit des Kondensatkühlers bestimmt (siehe reellwertiger Parameter 507. In dem Entscheidungsknoten 504 wird bestimmt, daß eine Kondensateinleitung vorgesehen werden soll.
Dieses Modell für die Anlagenauslegung wird nachfolgend formalisiert. Dazu ist zunächst eine Erläuterung graphentheoretischer Grundbegriffe zweckmäßig-
Definition: Graph, Digraph
1. Ein Graph G ist ein Paar G = (V, E) aus einer endlichen Menge V φ und einer Menge E von zweielementigen Teilmengen aus V. Die Elemente von V werden als Knoten bezeichnet, die von E als Kanten (Bögen). Für eine Kante e = {α, b} sind α und b adjazent und mit e inzident. Die Menge aller zu einem Knoten v G V adjazenten Knoten werden mit Aυ bezeichnet, die Menge aller mit υ inzidenten Kanten mit Iv. Der Grad degυ eines Knoten v ist definiert als die Anzahl der mit υ inzidenten Kanten.
2. Ein gerichteter Graph (Digraph) G ist ein Paar G = (V, E) aus einer endlichen Menge V Φ 0 und einer Menge E von geordneten Paaren (a, b) mit a φ b aus V. Die Elemente von V bzw. E werden wie im ungerichteten Fall als Knoten bzw. Kanten bezeichnet. Für eine Kante e = (α, b), b adjazent zu α, ist e positiv inzident mit α und negativ inzident mit b. Die Menge aller zu einem Knoten υ G V adjazenten Knoten wird wieder mit Aυ, die Menge aller mit υ positiv (negativ) inzidenten Kanten mit J+ (I~) bezeichnet.
Der zu G gehörige Graph (G) entsteht, indem man alle Kanten der Form (a, b) durch Kanten der Form {a, b} ersetzt und dann alle Duplikate in E entfernt.
Definition: Kantenzug, Weg, Kreis
1. Eine Folge von Kanten (e^ . . . , en) in einem Graphen G = (V, E) heißt Kantenzug, wenn es Knoten υQ, . . . , υn gibt, so daß βj = {vi-ι, Vi} für i = 1, . . . , n. Falls υQ = vn ist, spricht man von einem geschlossenen Kantenzug. 2. Eine Folge von paarweise verschiedenen Kanten (e^ . . . , en) in einem Graphen G = (V, E), die obige Bedingung erfüllt, wird als Weg bezeichnet, im geschlossenen Fall als Kreis.
3. Falls in einem Weg auch die Knoten Vj paarweise verschieden sind, spricht man von einem einfachen Weg. Ein einfacher Kreis ist ein Kreis, in dem bis auf υ0 = υn alle Knoten paarweise verschieden sind und n > 3 gilt. Ein Graph heißt zyklisch, wenn er einen einfachen Kreis enthält, andernfalls azyklisch (kreisfrei).
Für einen Digraphen werden diese Begriffe definiert, indem man jeweils den zugehörigen Graphen betrachtet, d.h. in der entsprechenden Knotenfolge (vo, . . . , vn) ist jeweils entweder (υ,-_ι, Uj) oder (vi, Vi-ι) eine Kante des Digraphen. Falls ein Weg (Kreis) nur aus Kanten (vi-ι, vi) besteht, spricht man von einem gerichteten Weg (Kreis).
Definition: Zusammenhang
Zwei Knoten α und b eines Graphen G heißen verbindbar, wenn es einen Kantenzug mit Anfangsknoten α und Endknoten b gibt. Wenn je zwei Knoten in G verbindbar sind, heißt G zusammenhängend.
Diese Definitionen gelten analog für gerichtete Graphen. Zusätzlich heißt für Digraphen b von α erreichbar, falls es einen gerichteten Weg von a nach b gibt. Ein Knoten α wird als Wurzel bezeichnet, wenn von ihm alle anderen Knoten des Digraphen erreichbar sind.
Definition: Baum, gerichteter Baum
Ein azyklischer, zusammenhängender Graph wird als Baum bezeichnet. Ein Knoten vom Grad 1 heißt Blatt. Ein Digraph G heißt Baum, wenn der zugehörige Graph ein Baum ist. Falls G eine Wurzel hat, wird er als gerichteter Baum bezeichnet.
Es wird nun das im vorigen Abschnitt beschriebene Anlagenmodell betrachtet. Die Menge aller diskreten Parameter dj bezeichnen wird mit 2), die aller reellen Parameter Xj mit Dt bezeichnet. Dabei sind insbesondere die Elementen dieser Mengen die Parameter als solche, d.h. die Parametersymbole. Der aktuelle Wert eines Parameters sei mit val(9), ö G 2) bzw. val(y), y G Dt bezeichnet. Der Zulässigkeitsbereich eines diskreten (reellen) Parameters dj ( J) wird bezeichnen mit Ddi = {d^, . . . , (DXi = [x^ x,]) bezeichnet.
Definition: Entscheidungsbaum Sei der Digraph G = (V, E) ein gerichteter Baum,
Figure imgf000019_0001
mit E = {(α, &) G £|α G V}
Es = {(a, b) e E\a € Vn}
E-n = {(α, 6) G £ |α G \ «κ}
Ferner seien π : V® → 2)
Figure imgf000019_0002
Abbildungen und
eine Familie von Abbildungen. Das Tupel (G, π, φ, Φ) heißt Entscheidungsbaum, wenn -E<κ = 0, die Abbildungen π und φ bijektiv und alle Abbildungen φVS) G Φ injektiv sind.
Die Knotenmenge V von G wird also disjunkt zerlegt in
• V: Menge der Verzweigungsknoten
• Vχ>: Menge der Entscheidungsknoten
• fo: Menge der mit reellen Parametern verknüpften Knoten
Analog wird die Menge der Kanten disjunkt in die entsprechenden Teilmengen E, E , und E«R zerlegt. Wie bereits erwähnt, werden reelle Parameter bevorzugt auf Blätter abgebildet, deshalb soll gelten: Ex = 0. Die Bijektionen π und φ ordnen jedem Parametersymbol eindeutig einen Knoten innerhalb der Baumstruktur zu. Zusätzlich wird durch Φ jede Kante, deren Anfangsknoten ein Entscheidungsknoten ist, auf einen Wert im Zulässigkeitsbereich des zugehörigen Parameters abgebildet.
Hierbei sei angemerkt, daß der oben definierte Entscheidungsbaum ein Modell für die Kraftwerksauslegung darstellt. Die Struktur des Baumes, die Zuordnung der Parameter zu den Knoten und insbesondere die Zuordnung von Parameterwerten zu den Kanten, sind bevorzugt fester Bestandteil dieses Modells und bleiben konstant. Unterschiedliche Auslegungsvarianten werden insbesondere durch Verändern der Parameterwerte erzeugt, d.h. nur val(δ) bzw. val(y) sind variable Größen.
Anhand des Entscheidungsbaums lassen sich die zu den aktuellen Werten der diskreten Parameter gültigen Parameter für eine Anlagenauslegung ermitteln. Dazu wird insbesondere der Begriff des Weges auf den oben definierten Entscheidungsbaum erweitert.
Definition: zulässiger Weg
Sei (G, π, φ, Φ) ein Entscheidungsbaum und w = (e\, . . . , en) ein gerichteter Weg in G mit den Knoten (v , . . . , vn).
Es heißt w zulässig, wenn für alle Kanten βj = (υi-ι, Vi) gilt: e. G Es == val(τr(t i_1)) = < „,_. fo)
Mit anderen Worten besteht ein zulässiger Weg aus Kanten, deren Anfangsknoten entweder ein Nerzweigungsknoten oder ein Entscheidungsknoten ist, dessen zugehöriger Parameterwert dem der Kante zugeordneten Wert entspricht.
Definition: zulässige Parametermenge
Sei (d, x) eine (beliebige) Belegung der ganzzahligen und reellwertigen Parameter. Ein Parameter Ö G 2) bzw. je G Dt heißt zulässig, wenn sein zugehöriger Knoten im Entscheidungsbaum auf einem zulässigen Weg erreichbar ist. Die Menge der zulässigen diskreten bzw. reellen Parameter wird bezeichnet mit 2)*(d) bzw. Dt*(d).
Fig.6 zeigt einen Algorithmus in Pseudocode-Notation, anhand dessen diese Parameter ermittelt werden. Gegeben sei ein Entscheidungsbaum und eine Instanz des Vektors (d, x), d.h. val(ö) bzw. val(y) ist für jedes Parametersymbol definiert. Die rekursive Prozedur GetFeasiblePars (siehe Fig.6) hat als Eingabeparameter die Wurzel r des Entscheidungsbaums und als Ein- /Ausgabeparameter die Mengen 2)*(d) und Dt*(d), die mit 0 initialisiert werden. Falls r ein Verzweigungsknoten ist, erfolgt ein rekursiver Aufruf der Prozedur für alle adjazenten Knoten von r. Falls r ein Entscheidungsknoten ist, wird der zugehörige Parameter in die Menge der zulässigen diskreten Parameter aufgenommen. Anschließend wird die Bedingung aus der Definition des zulässigen Weges für alle mit r inzidenten Kanten überprüft. Falls es eine Kante gibt, die diese Bedingung erfüllt, wird die Prozedur für deren Endknoten aufgerufen, andernfalls endet die Rekursion. Falls r ein Knoten aus V ist, wird der zugehörige reelle Parameter in die Menge Dt* aufgenommen, und die Rekursion endet.
Der Algorithmus aus Fig.6 folgt demnach zulässigen Wegen im Baum und zeigt eine Mischung aus linearer und kaskadenartiger Rekursion.
Anlagenauslegung als Optimierungsproblem
Nachfolgend soll für das vorgestellte Anwendungsproblem eine formale Definition der Form min /(x), x G S, unter * (*) = °' * = 1> - - - > m Unter 9j(x) < 0, j = l, . . . , l aufgestellt werden. Dazu wird zunächst der Suchraum S beschrieben. Dies erfolgt zweckmäßig über die Menge aller potentiell vorhandenen Parameter 2) und Dt:
Definition: erweiterter Suchraum Es sei
Figure imgf000021_0001
mit Sd = Ddi, df G 2), nd = \$)\, §x = U DXj, Xj G Dt, ^ = 1*1
ein erweiterter Suchraum für die Kraftwerksauslegung.
S ist ein Quader in Znd xR"1 mit fester Dimension nd+nx. Man kann nun die Zielfunktion als Abbildung / : S -→ I definieren und implizit eine Auswahl der für eine korrekte Kraftwerksauslegung signifikanten Parameter vornehmen, d.h. der Suchraum wird bei der Berechnung der Zielfunktion gemäß den diskreten Parameterwerten angepaßt. Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist, daß man einen Suchraum mit fester Dimension hat. Allerdings wird dadurch auch der Aufwand für die Optimierung größer, da in die Zielfunktionsberechnung nur ein Teil der Koeffizienten von (d, x) G S eingeht, d.h. der tatsächliche Definitionsbereich von / ist nur eine Mannigfaltigkeit von S (deren Dimension von d abhängt) . Deshalb ist es zweckmäßig, den Suchraum von vornherein auf die jeweils zulässigen Parameter einzuschränken und dafür geeignete Optimierungsmethoden zu entwickeln. In obigen Ausführungen wurde bereits eine Erweiterung des Anlagenmodells vorgestellt, die es ermöglicht, zu einem vorgegebenen Vektor d G Sd die zulässigen Parametermengen 25* (d) und Dt*(d) zu ermitteln.
Definition: eingeschränkter Suchraum
1. Für ein festes d G Sd wird definiert als ιS*(d") = S*(d~) x 5*(d"),
mit Sd*(d) = π D*, di G 2 *(d), n*.(d) = |2)*(d)|, t=l
S d) = \ DXj , x. G Dt^d), n*x(d) = |Dt*(d)|
2. Der eingeschränkte Suchraum ist definiert als
5 = U 5*(d~) desd
S ist also definiert als eine Vereinigung von Quadern, deren Dimension variabel ist. S enthält alle möglichen Varianten für eine korrekte Kraftwerksauslegung. Die Behandlung dieser Menge erfordert aufgrund der Dimensionsänderungen speziell angepaßte Optimierungs verfahren.
Zielfunktion
Als Zielfunktion werden die spezifischen Stromerzeugungskosten, d.h. die Kosten, die dem Kraftwerksbetreiber entstehen, um eine kWh Strom zu erzeugen, herangezogen. Diese gliedern sich in einen Investitionskosten- und einen Betriebskostenanteil auf, wobei im letzteren nur die Brennstoffkosten berücksichtigt werden. Die Stromerzeugungskosten werden folgendermaßen berechnet:
TS _ -* πvest ' a , ^Brennstoff
N v ' V '
Investitionsanteil Brennstoffanteil wobei
•» nvest Gesamtinvestitionskosten α Annuitätenfaktor elektrische Leistung h jährliche Betriebsstunden
-"-Brennstoff Brennstoffkosten pro kWh Primärenergie V Gesamtwirkungsgrad
bezeichnen. Dabei sind der Annuitätenfaktor α, die jährlichen Betriebsstunden h und die spezifischen Brennstoffkosten A-Brennstoff vorgegebene Konstanten und Pe\ und η Ausgabegrößen des Simulationsprogramms. Zur Verteilung des eingesetzten Investitionskapitals über mehrere Jahre (unter Berücksichtigung der Zinsen) wird dieses mit dem Annuitätenfaktor (in der Investitionsrechnung auch als Wiedergewinnungsfaktor bezeichnet) multipliziert. Zur Vereinfachung wird die Berechnung der Investitionskosten aufgeteilt in die Kosten für die Anlagenteile der Vorwärmstrecke und einen konstanten Term für das „Restkraftwerk", in dem die Kosten für den Kessel, die Turbinen, den Kondensator und den Kühlwasserkreislauf (das sogenannte „Kalte Ende") zusammengefaßt werden. Um die Anlagenteile, deren Auslegung nicht optimiert wird, durch eine Konstante abschätzen zu können, müssen bei der Optimierung der Vorwärmstreckenauslegung folgende Randbedingungen eingehalten werden:
• Die Endvorwärmtemperatur, d.h. die Speisewassertemperatur am Ende der Vorwärmstrecke ist fest vorgegeben.
• Der Druck an der obersten Anzapfung errechnet sich aus der Grädigkeit des obersten Kondensationsvorwärmers und der Endvorwärmtemperatur. Er stellt demnach keine variierbare Größe dar.
• Der Frischdampfzustand (Dampf, Temperatur und Massenstrom) ist konstant.
Die Kosten für einen Speisewasservorwärmer werden durch seine Heizfläche bestimmt, welche ebenfalls eine Ausgabegröße des Simulationsprogramms ist. Zusätzlich wird pro vorhandener Anzapfung ein Pauschalwert für die Kosten der Leitungen addiert.
In Fig. sind die Graphen der Zielfunktion (Gesamtstromerzeugungskosten 701), des Investitionskostenanteils 702 und des Brennstoffkostenanteils 703 bei Variation eines Grädigkeitsparameters 704 (bei einem Kondensationsvorwärmer mit integriertem Enthitzer) qualitativ dargestellt. Dabei ist ersichtlich, daß sich die beiden letzteren Größen gegenläufig verhalten. Die Investitionskosten hängen von der Heizfläche des Vorwärmers ab, welche bei steigender Grädigkeit kleiner wird. Dies hat allerdings auch einen kleineren Wirkungsgrad zur Folge, wodurch die Brennstoffkosten steigen. Die Funktion der Gesamtstromerzeugungskosten hat bei dieser Beispielrechnung bei ca. 2 K (Kelvin) ein Minimum. Bei Grädigkeiten < 2 K dominiert der Investitionskostenanteil, bei Grädigkeiten > 2 K der Brennstoffkostenanteil. Die Zielfunktion besteht also aus zwei unterschiedlichen Zielsetzungen, nämlich der Minimierung der Investitionskosten und der Maximierung des Wirkungsgrads.
Fig.8 zeigt den Graphen der Zielfunktion bei einem freien Druckparameter 801. Es ist ersichtlich, daß die Zielfunktion multimodal ist und Knicke und Sprünge aufweist. Die Sprünge rühren daher, daß Anzapfungen nur an bestimmten Stellen der Turbine gemacht werden können, genauer gesagt nur zwischen ihren Schaufelreihen. Falls für einen vorgegebenen Anzapfdruck die Anzapfung auf die Höhe einer Schaufelreihe fällt, wird die Schaufelanordnung der Turbine vom Simulationsprogramm korrigiert.
Nebenbedingungen
Zusätzlich zu den Zulässigkeitsbereichen der einzelnen Parameter (den sogenannten box-constraints) werden die reellwertigen Parameter durch weitere, dynamische Restriktionen eingeschränkt. Zum einen müssen die Anzapfdrücke, wie bereits erwähnt, aufsteigend geordnet sein, genauer gesagt, zwei aufeinanderfolgende Anzapfungen müssen einen positiven Mindestabstand haben. Sei Λ = {αi , . . . , α C {1, . . . , } die Menge der vorhandenen Anzapfungen, d.h. für alle a G Λ gilt d0i;1 = 1, dann muß für je zwei aufeinanderfolgende Anzapfungen Oj und α.+1 mit i G {1, . . . , l — 1} gelten:
Pi(x) := 1.1 • xα<jl - xα<+l jl < 0 (1)
Diese Bedingung ließe sich auch erfüllen, wenn man die Zulässigkeitsbereiche der Druckparameter disjunkt wählen würde, genauer gesagt so, daß gilt:
1-1 • Zi,ι < -£.+!,., ^ G {1, . . . , a - 1}. Dadurch würde aber der Zulässigkeitsbereich so stark eingeschränkt, daß der Optimalwert evtl. in den unzulässigen Bereich fallen würde. Dies wäre insbesondere dann der Fall, wenn durch die Belegung der diskreten Parameter eine Anzapfung „fehlt". In diesem Fall wäre auch das zugehörige Zulässigkeitsin- tervall für die Anzapfdrücke der benachbarten Anzapfungen unzulässig.
Auch für die Grädigkeitsparameter gibt es zusätzliche Nebenbedingungen. Theoretisch müssen Grädigkeiten immer positiv sein, in der Praxis wird eine untere Schranke von ϋm Ω = 1.5K vorgegeben, da andernfalls die Heizflächen der Wärmetauscher unwirtschaftlich groß wären. Dies kann man bei fast allen Grädigkeitsparametern a priori durch den Zulässigkeitsbereich festlegen. Nur ein Kondensationsvorwärmer mit integrierter Enthitzungszone stellt einen Sonderfall dar. In diesem Fall kann die Grädigkeit für den Gesamtapparat negativ sein, die Grädigkeiten der Teilapparate müssen jedoch größer als τ?min sein. Da in diesem Fall die Grädigkeiten des Kondensationsteils und des Enthitzerteils gleich sind, genügt es, die Kondensationsteilgrädigkeit zu überprüfen. Die Sattdampftemperatur TSa t und die Speisewassertemperatur beim Austritt aus dem. Kondensationsteil TSP)aus(KV) sind Ausgabegrößen des Simulationsprogramms.
Sei ,E = {v\, . . . , Vk} C {1, . . . , } die Menge der Anzapfungen, an die ein Vorwärmer mit integriertem Enthitzer angeschlossen ist, d.h. d„t,ι = v% = 1, d„))3 = 0, für alle * G {1, . . . , k}.
Dann muß für alle i G {l, . . . , k} folgende Nebenbedingung gelten: gj(x) := TSp>aus(KV; Vi) + ϋmiti - TSatt(υi) < 0 mit j = i + l - 1 (2)
Die Anzahl aller Ungleichungsnebenbedingungen m := l + k — 1 ist abhängig von der Verschaltung, d.h. von den aktuellen diskreten Parametern. Die Überprüfung der Restriktionen an die Druckparameter erfolgt vor der Simulation, die der Grädigkeitsparameter nach der Simulation. Falls eine Nebenbedingung nicht erfüllt ist, kann kein sinnvoller Zielfunktionswert mehr berechnet werden. Wenn eine Restriktion an die Druckparameter verletzt ist, bricht das Simulationsprogramm mit einer Fehlermeldung ab, bei Verletzung einer Grädigkeitsnebenbedingung kann die Heizfläche des zugehörigen Wärmetauschers nicht berechnet werden. Deshalb wird in diesem Fall wird ein Standardwert als Zielfunktionswert eingesetzt. Hierarchisierung des Optimierungsproblems
Die Behandlung des oben vorgestellten Suchraums S erfordert die Entwicklung eines dafür geeigneten Optimierungsverfahrens, da die Dimension der Vektoren (d, x) G S variabel ist. Eine Möglichkeit besteht darin, das Problem in ein ganzzahliges und ein kontinuierliches Teilproblem aufzuspalten:
Figure imgf000026_0001
Durch diese Aufspaltung des Problems in zwei Teilprobleme erhält man ein 2-stufiges Optimierungsverfahren für das Gesamtproblem. Die erste Stufe behandelt nur den ganzzahligen Teilraum Sd von S, d.h. es werden nur verschiedene Verschaltungsvarianten erzeugt. Nach jedem Iterationsschritt der ersten Stufe löst man auf der zweiten Hierarchieebene für ein festes d € Sd das kontinuierliche Teilproblem min f(d, x), x G 5*(d) unter <?.(x) < 0, i = 1, . . . , πι(d)
Sowohl die Dimension nx(d) des kontinuierlichen Teilraums S*(d), als auch die Anzahl der Ungleichungsnebenbedingungen, m(d), sind fest.
Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist, daß man für das kontinuierliche Teilproblem ein probleinunabhängiges Verfahren der nichtlinearen Optimierung einsetzen kann. Dafür kommen sowohl gradientenbasierte Verfahren als auch stochastische Optimierungsmethoden in Frage.
Einstufige Optimierungsstrategie
Eine anderer Ansatz für die Optimierung ist eine einstufige Strategie, d.h. diskrete und reelle Parameter werden gleich behandelt. Wegen der Dimensionsänderungen des Suchraums muß dafür ein speziell für das Anwendungsproblem modifiziertes Verfahren entwickelt werden. Dazu wurde ein Evolu- tuonärer Algorithmus bestimmt, bei dem der Mutationsoperator so angepaßt wird, daß nur Lösungen aus dem Suchraum S generiert werden. Dieser problemspezifische Operator arbeitet auf der oben beschriebenen Baumstruktur.
Evolutionäre Algorithmen
Charles Darwin stellte die Hypothese auf, daß die Lebewesen in der Natur einem Evolutionsprozeß unterliegen, der aus Fortpflanzung und natürlicher Auslese besteht. Die Entwicklung der Lebewesen wird von äußeren Einflüssen bestimmt. Lebewesen, die gut an ihre Umwelt angepaßt sind, vermehren sich, andere sterben aus („survival of the fittest") . Durch diesen Prozeß entstehen Individuen, deren Fähigkeiten, in ihrem Lebensraum zu überleben, immer besser ausgeprägt sind.
Evolutionäre Algorithmen sind iterative Verfahren, bei denen sich eine Population von Individuen durch einen Evolutionsprozeß entwickelt. Ein einzelnes Individuum repräsentiert eine potentielle Lösung des zugrundeliegenden Problems. In diesem Evolutionsprozeß werden in jeder Iteration t die folgenden „genetischen Operatoren" auf die Population P(t) = {xι , . . . , Xμ } angewandt:
• Rekombination (Kreuzung)
• Mutation
• Selektion
Rekombination und Mutation modellieren die Fortpflanzung von Individuen, wobei die Rekombination aus mehreren (i.a. zwei) Elternindividuen Nachfahren erzeugt und durch Mutation ein einzelnes Individuum verändert wird. Diese Operatoren sind in der Regel probabilistisch und hängen von der Codierung der Individuen ab. Der Selektionsoperator wählt aus den vorhandenen Individuen eine neue Population für die nächste Iteration t + 1 aus. Für diese Auswahl werden die einzelnen Individuen mit der sogenannten „Fitneßfunktion" / bewertet, die bei der Funktionsoptimierung durch die Zielfunktion gegeben ist. Dabei werden „bessere" Individuen bevorzugt in die nächste Generation übernommen. Bei GA wird in der Regel von einem Maximierungs- problem ausgegangen, während die Evolutionsstrategie für Minimierungspro- bleme formuliert wurde. Dies ist jedoch keine Einschränkung, da sich jedes Maximierungsproblem äquivalent als Minimierungsproblem formulieren läßt.
Genetische Algorithmen
Genetische Algorithmen sind eine Klasse von EA, die sich stark am natürlichen Vorbild orientieren. In der Biologie unterscheidet man zwischen Phä- notyp und Genotyp eines Lebewesens. Während der Phänotyp das Erscheinungsbild eines Lebewesens ist, versteht man unter dem Genotyp die Summe aller genetischen Informationen eines Organismus, d.h. die Erbinformationen eines Lebewesens. Bei höherentwickelten Lebewesen sind diese in der Desoxyribonukleinsäure (DNS) enthalten. Bei der Fortpflanzung werden die in der DNS kodierten Gene an die Nachkommen vererbt, und zwar von beiden Elternteilen. Dadurch erhalten die Kinder einen neuen Genotyp, der sich aus den einzelnen Genen der Eltern zusammensetzt.
Genetische Algorithmen modellieren die Unterscheidung zwischen Phänotyp und Genotyp durch die Codierung der Individuen, d.h. ein möglicher Lösungspunkt wird durch einen Vektor v £ Al der Länge l dargestellt. Beim klassischen GA werden die Individuen binär kodiert, d.h. Λ = {0, 1}. Es gibt aber auch Implementierungen mit ganzzahligen (Λ C Z) oder reellwertigen (Λ C R) Individuen. Die genetischen Operatoren Rekombination und Mutation arbeiten nur auf Genotypebene, d.h. auf den kodierten Individuen. Deswegen sind GA zunächst unabhängig von der Problemklasse, d.h. GA kann man für verschiedene Arten von Optimierungsproblemen anwenden, sofern man die Punkte des zugehörigen Suchraums (durch Binärvektoren) kodieren kann. In Anlehnung an die Begriffe der Biologie werden bei GA die Individuen auch als Chromosomen, und die einzelnen Koeffizienten als Gene bezeichnet.
Es wird zunächst der ursprüngliche GA betrachtet, bei dem die genetischen Operatoren sehr einfach sind. Dazu wird das Maximierungsproblem max /(x), / : D c R" → R mit
D = D x - - - x Dn, Di = [ai, bi}. betrachtet. Es wird davon ausgegangen, daß f(x) > 0 für alle x G D (falls / auf D beschränkt ist, wird dies durch Addition einer positiven Konstanten C erreicht).
1. Codierung
Für die Anwendung des Rekombinations- und des Mutationsoperators müssen die Vektoren x durch Binärwörter dargestellt werden. Für eine Genauigkeit von k Nachkommastellen teilen wir die Intervalle j = [dj, bi] in bi - üi) ■ 10fc gleichlange Teilintervalle. Sei die kleinste ganze Zahl, so daß (bi - α„) • 10* < 2li - 1. Der Koeffizient Xj wird dann durch einen Binärvektor Vi der Länge folgendermaßen kodiert:
Figure imgf000028_0001
wobei dec(uj) den Dezimalwert des Binärvektors Vi darstellt. Der Binärvektor υ = (ϋx, . . . , vn) der Länge l = ∑"=1 k repräsentiert dann den Punkt x G D.
Initialisierung
Die Anfangspopulation P(0) mit μ Individuen wird in der Regel durch (μ • .)-maliges Ziehen von gleichverteilten Pseudo-Zufallszahlen aus {0, 1} bitweise erzeugt. Eine andere Möglichkeit ist das (μ - l)-malige Anwenden des Mutationsoperators auf einen vorgegebenen Startwert. Falls zusätzliche Informationen über die Problemstellung vorliegen, kann man natürlich auch die gesamte Startpopulation vorgeben.
Selektion
Die einfachste Auswahlregel ist die sogenannte Roulette-Selektion. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Chromosom für die nächste Generation ausgewählt wird, ist proportional zu seinem Funktionswert, d.h. gute Chromosome erhalten einen größeren Anteil an einer imaginären Roulette-Scheibe als schlechte. Formal geschrieben:
Figure imgf000029_0001
Diese Regel wird μ-mal angewendet, um die nächste Generation von Individuen auszuwählen. Je größer der Funktionswert eines Individuums ist, desto öfter wird es ausgewählt, d.h. die guten Individuen vermehren sich und die schlechten sterben aus.
4. Rekombination (Kreuzung)
Für die Rekombination (crossover) werden jeweils zwei Chromosomen aus der Population gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Rekombinationsoperator auf ein Individuum angewandt wird, wird durch den Parameter pc vorgegeben. Für jedes Individuum der Population wird eine Zufallszahl r gleichverteilt aus [0, 1] gezogen. Falls r < pc, wird das Individuum für die Rekombination ausgewählt, so daß im Mittel μ ■ pc Chromosomen gekreuzt werden.
Im einfachsten Fall der genetischen Fortpflanzung, dem 1-point- crossover, erhält man aus 2 ausgewählten Elternindividuen 2 Kinder, indem man die ursprünglichen Binärwörter an einer zufällig gewählten Stelle k G [1, Z — 1] aufspaltet und die Reste jeweils mit den Präfixen des anderen Individuums verbindet. Formal geschrieben werden die beiden Eltern
(αi , . . . , αfc, αfc+1 > . . . , θ;)
Figure imgf000029_0002
durch ihre Kinder
Figure imgf000030_0001
ersetzt.
Eine erweiterte Version dieses Rekombinationsoperators ist das n-point- crossover, bei der die Chromosomen an n Stellen aufgespalten und im „Reißverschlußprinzip" rekombiniert werden. Es wird der für Genetische Algorithmen wichtige Kreuzungsoperator charakterisiert als partieller Informationsaustausch, bei dem Eigenschaften der Eltern vererbt werden. Durch die Kombination dieser genetischen Informationen können neue Individuen geschaffen werden, die bessere Funktionswerte als beide Eltern haben.
5. Mutation
Der Mutationsoperator verändert einzelne Gene in den Chromosomen, d.h. ein Bit in einem Binärwort wird gesetzt, wenn es gelöscht war, und umgekehrt. Gesteuert wird die Mutation durch den Parameter pm, der die Wahrscheinlichkeit, daß ein Bit mutiert wird, angibt. Diese Mutationsrate ist bei GA im allgemeinen klein (0.01 — 0.001), d.h. der Mutationsoperator führt im Vergleich zur Rekombination nur kleine Änderungen an den Chromosomen durch. Kleine Mutationsraten sind auch deshalb sinnvoll, da sonst nicht mehr beurteilbar ist, welche der Mutationen innerhalb eines Chromosoms eine Verbesserung gebracht hat. Die Mutation ist im Zusammenhang mit der Rekombination notwendig, da durch Kreuzung verloren gegangene genetische Informationen wiederhergestellt werden müssen. Sie ist aber auch unabhängig davon ein sinnvoller Operator.
6. Schema-Theorem und Bausteinhypothese
Die theoretischen Grundlagen über G A basieren auf der Repräsentation von Chromosomen durch Binärwörter und deren Erweiterung zu Schemata, um die Ähnlichkeiten zwischen den Chromosomen betrachten zu können. Ein Schema erhält man, indem man dem binären Alphabet {0, 1} ein Platzhaltersymbol ★ hinzufügt, das sowohl 1 als auch 0 darstellen kann, d.h. ein Schema repräsentiert eine Teilmenge von Chromosomen. So steht z.B. das Schema
(11 * 01 * 01) für die Chromosomen
(11101101), (11101001), (1100110), (11001001). Auf diese Weise kann man die Entwicklung von Chromosomen mit bestimmten Eigenschaften unter dem Einfluß der genetischen Operatoren berechnen.
Definition:
(a) Die Ordnung o(S) eines Schemas S ist die Anzahl der festgelegten Positionen, i.e. die Anzahl der Nullen und Einsen.
(b) Die (definierende) Länge δ(S) ist der Abstand zwischen der ersten und letzten festgelegten Position im Schema S.
Das Schema (*0 * 01 * 10) ist also von der Ordnung 5 und hat die Länge 8 — 2 = 6. Des weiteren bezeichne ξ(S, i) die Anzahl der Chromosomen in Generation t, die zum Schema S gehören, und f(S) ihre durchschnittliche Fitneß.
Die Wahrscheinlichkeit, daß ein einzelnes Individuum j für die nächste Generation ausgewählt wird, ist pi = ?_ / -) - Also w^d ein Vertreter des Schemas S mit durchschnittlicher Wahrscheinlichkeit -^n ,, •. aus- gewählt. Daraus ergibt sich für die erwartete Anzahl der Chromosomen von Schema S in der nächsten Generation folgende Gleichung:
ξ(S, t + l) = ξ(S, t) - n - ∑ S f ] {χ ) = ξ(S, t) ■ ψ (4)
wobei
n die durchschnittliche Fitneß der gesamten Population darstellt. Die Zunahme der Chromosomen eines Schemas hängt also vom Verhältnis der durchschnittlichen Fitneß des Schemas zur durchschnittlichen Fitneß der Gesamtpopulation ab. Bezeichnet man mit c _ (£) - / / den „relativen Fitneßvorsprung" des Schemas S bzgl. der Gesamtpopulation, so erhält man ξ(S, t + l) = ξ(S, t) - (l + c) und weiter
Figure imgf000031_0001
Das heißt also, überdurchschnittliche Schemata erfahren exponentielles Wachstum unter dem Einfluß des Selektionsoperators.
Dies wird jedoch von den beiden anderen genetischen Operatoren, die die Chromosomen verändern, gestört. Bei der Kreuzung werden zwei Chromosomen aufgespalten und rekombiniert. Dabei ist klar, daß das Schema Si = (11 * * * * * 0) eher zerstört wird als 52 = (*01 *★★**): S2 kann nur durch Aufspalten nach der zweiten Stelle zerstört werden, während S bei jeder Wahl der Trennstelle zerstört werden kann.
Die Wahrscheinlichkeit, daß die Trennstelle zwischen zwei festgelegten Positionen eines Schemas S liegt, ist
Das Schema wird aber nicht unbedingt zerstört, falls dies der Fall ist. Wenn die rekoinbinierten Individuen auf den festgelegten Positionen übereinstimmen, bleibt das Schema trotzdem erhalten. Falls die Trennstelle nicht zwischen zwei festgelegten Positionen des Schemas liegt, wird es auf keinen Fall zerstört. Die Wahrscheinlichkeit, daß das Schema bei Anwendung des Rekombinationsoperators zerstört wird, ist deshalb kleiner oder gleich p(S). Da ein Chromosom mit Wahrscheinlichkeit pc zur Kreuzung ausgesucht wird, ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Schema S nach der Rekombination erhalten bleibt,
Figure imgf000032_0001
Bei der Mutation wird ein einzelnes Gen mit Wahrscheinlichkeit pm verändert, d.h. die Überlebenswahrscheinlichkeit eines einzelnen Bit ist 1 — pm. Daraus erhält man die Überlebenswahrscheinlichkeit für ein Schema durch Potenzieren mit der Anzahl der festgelegten Bits, i.e. Ps,m{S) = (1 - pm)o(Ä)- Da bei GA i.a. pm 1, kann man dies durch ps,m(S) \ - o(S) - pm approximieren.
Zusammengefaßt erhält man nun für Gleichung (4)
ξ(S, t + l) > ξ(S, t) f(S)
1 - Pc - o(S) - p, f l - l (5)
•)
Wenn δ(S) und o(S) klein sind, bleibt das exponentielle Wachstum erhalten. Deshalb läßt sich folgender Satz formulieren:
Satz: Schema-Theorem Kurze Schemata von kleiner Ordnung, deren Fitneßdurchschnitt größer als der der Gesamtpopulation ist, erfahren ein exponentielles Wachstum durch die Iterationen eines Genetischen Algorithmus.
Daraus ergibt sich die Hypothese, daß ein GA mit diesen Schemata, die auch Bausteine genannt werden, arbeitet und zu sie verbesserten Individuen zusammensetzt.
Evolutionsstrategie
Eine andere Klasse von Evolutionären Algorithmen, die Evolutionsstrategie (ES), entstand in den 60er Jahren. Es wurden die Möglichkeiten der Nutzung der natürlichen Evolution als Strategie für technische Experimente erkannt. Der wesentliche Unterschied zu Genetischen Algorithmen (GA) ist die Repräsentation der Punkte des Suchraums und die Integration von Steuerparametern in die Individuen. Dadurch erhält man ein adaptives Verfahren, das seine Parameter zur Laufzeit verändert und dem jeweiligen Problem anpaßt. Auf diese Weise werden die Effizienz und Robustheit des Algorithmus vergrößert. Evolutionsstrategien sind deshalb herkömmlichen Genetischen Algorithmen in der einfachen Funktionsoptimierung überlegen.
Die ursprüngliche (1 + 1)-ES bestand nur aus einem Individuum, das mutiert und bei verbessertem Funktionswert durch das neue ersetzt wurde, es war also ein direktes Verfahren mit einem probabilistischen Mutationsoperator. Erst die Einführung des Populationsprinzips und eines Rekombinationsoperators machten die ES zu einem „richtigen" Evolutionären Algorithmus. Die heutigen (μ, λ)- bzw. (μ + λ)-ESs bestehen aus μ Individuen, von denen bei der Rekombination λ Nachfahren erzeugt werden. Die Zeichen „+" und „," weisen auf die beiden verschiedenen Selektionsmethoden hin, die nachfolgend vorgestellt werden.
Die Individuen der Standard-ES sind wie folgt definiert: v = (x, σ, θ) G / C [Rn x i^ [-π, π]1] , m G {!, '. . . , n}, l G {0, (2n - m)(τn - l)/2}
Der Vektor x bezeichne einen Punkt aus dem Suchraum, σ einen Vektor von Standardabweichungen und θ einen (optionalen) Vektor von Korrelationswinkeln. Bei der Auswertung der Fitneßfunktion geht natürlich nur x ein, aber durch die genetischen Operatoren wird das gesamte Individuum verändert. Mutation
Der Mutationsoperator (r>f ,/?) mit den exogenen Parametern r, f und ß ist folgendermaßen definiert:
M{r,ftß){(x, σ, θ)) = (x, σ, θ) mit di = σ • ex i + z0), zo ~ N(0, f2), Zi ~ N(0, r2), 1 < i < m θj = θj + ZJ , zt ~ N(0, ß2), l ≤ j ≤ l x = x + C(σ, θ)
(6)
Die Erzeugung von normalverteilten Zufallszahlen wird durch Transformation der Gleichverteilung auf die Standardnormalverteilung realisiert. C(σ, θ) ist ein Vektor mit mehrdimensional normalverteilten, eventuell korrelierten Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0. Interessant sind einige Spezialfälle:
• Im Fall l = 0 reduziert sich die Formel auf di = σt - e p zi + z0), z0 ~ N(0, f2), zt ~ N(0, r2), 1 < i < m Xi = Xi + öiZi, Zi ~ N(0, 1), 1 < % < n
• Für m < n wird die letzte Komponente von σ für die restlichen m — n Komponenten benützt.
• Im Fall m = n, l = n • (n — l)/2 erhält man durch (σ, θ) eine komplette Kovarianzmatrix∑ für jedes Individuum, d.h. C(σ, θ) =
N(0, Σ).
Die Berechnung der mehrdimensionalen Νormalverteilung mittels Kor- relationswinkeln ist weniger problematisch, da die positive Definitheit von Σ im Laufe des Algorithmus nicht immer garantiert ist.
Rekombination
Für Evolutionsstrategien wurden viele verschiedene Varianten von Rekombinationsoperatoren entwickelt. Anders als bei GA, wo immer zwei Chromosomen gekreuzt werden, gibt es hier auch „multisexuelle" Formen, d.h. für jede Komponente des Νachkommenvektors wird ein Elternteil erneut per Zufall bestimmt. Bei der Rekombination werden aus μ Elternindividuen λ Nachkommen erzeugt, d.h. der Rekombinationsoperator ist eine Abbildung von Iμ nach 7λ, es genügt jedoch den reduzierten Operator R : Iμ → / zu betrachten und λ-mal anzuwenden. Der Rekombinationsoperator R ist definiert durch
R(P(t)) = v' = (x', σ', θf)
vs,i keine Rekombination υs,i or vτ,i diskret vs,i or vτi ti global diskret mit v' = ( vs,i + X ■ [vτ,i - vs,i) (zufällig) intermediär vs,i + Xi • ivTi,i - vs,i) global (zufällig) intermediär
,/vs,i • υτ,i geometrisch /vs,i • υτi,i global geometrisch
(7)
Dabei bezeichnen ' 5 und T zwei zufällig aus {1, . . . , μ} bestimmte Indizes, d.h. vs und vψ sind die Elternindividuen. 7j bedeutet, daß der Index T für jede Komponente i neu gezogen wird (globale Rekombination), x bzw Xi ist entweder ein festgelegter Faktor (normalerweise 0.5) oder eine gleichverteilte Zufallsvariable aus dem Intervall [0, 1].
Die Rekombinationsvarianten können für x, σ und θ verschieden sein, d.h. intermediäre Rekombination für x, geometrische für σ und keine Rekombination für θ ist möglich.
3. Selektion
Anders als bei GA ist die Selektion hier ein rein deterministischer Operator, der nach Rekombination und Mutation angewendet wird. Für die Nachfolgepopulation werden immer die μ besten Individuen der Vor- gängerpopulation ausgewählt. Im Gegensatz zu GA geht man bei ES von einem Minimierungsproblem aus, d.h. „besser" heißt in diesem Fall kleinerer Zielfunktionswert.
Wie schon erwähnt, gibt es bei Evolutionsstrategien zwei Varianten der Selektion:
(a) (μ, λ)-Selektion: Die neue Population wird nur aus den erzeugten Nachkommen ausgewählt, d.h. aus λ Individuen werden die μ besten selektiert, die Selektion ist also eine Abbildung 5(μ,λ) : I → Iμ- Dabei muß λ > μ sein, im Fall λ = μ vollführt der Algorithmus einen random-walk.
(b) (μ+λ)-Selektion: Diese Form der Selektion wählt die Nachkommen sowohl aus den μ Elternindividuen als auch den λ Kindern, d.h.
S(μ+λ) : 7«+A → /". Formal geschrieben:
S(P) = P', so daß für alle vt G P' und alle vk G P\P' gilt:
/ ,) < f(vk)
Dabei ist \P\ = λ bei der Komma-Selektion und \P\ = μ + λ bei der Plus-Selektion.
4. Algorithmus
Mit den oben eingeführten Operatoren läßt sich nun die Grundform des ES-Algorithmus unter Verwendung eines Pseudocode formulieren (vgl. Fig.9). Die Initialisierung erfolgt meistens durch zufällige Belegung der kompletten Population, es gibt aber auch Varianten, die problemspezifische Informationen schon bei der Initialisierung berücksichtigen. Restriktionen werden, anders als bei GA, nicht durch Penalty-Tenne in der Zielfunktion realisiert, sondern durch Erweiterung des Selektionsoperators, so daß nur zulässige Punkte ausgewählt werden können. Als Terminierungskriterium wird gewöhnlich die maximale Anzahl von Iterationen vorgegeben.
Metropolis- Verfahren
In den 80er Jahren stellten Kirkpatrick, Gelatt und Vechi eine neue Methode zur Lösung von kombinatorischen Optimierungsproblemen vor. Das Konzept dieser Methode wurde aus dem physikalischen Prozeß des Abküh- lens eines Körpers adaptiert. In diesem thermischen Prozeß wird versucht, durch Erhitzen und langsames Abkühlen einen Zustand minimaler Energie im Werkstoff zu erreichen. Thermodynamische Gleichgewichtszustände dieses physikalischen Systems werden durch die Boltzmann- Verteilung beschrieben. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich das System im Zustand i befindet, durch folgende Funktion gegeben: pτ{X = i} = exp
Z(T) kBτ) (8)
Dabei bezeichnen X eine Zufallsvariable, die den aktuellen Zustand des Systems darstellt, Et die Energie im Zustand i, T die vorgegebene Temperatur und kß die sogenannte Boltzmann-Konstante, sowie
^ - Σ-p @) eine Funktion, die die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten aller möglichen Zustände auf 1 normiert.
Bereits in den 50er Jahren stellten Metropolis, Rosenbluth, Rosenbluth, Teller und Teller einen Algorithmus vor, der die Entwicklung des Werkstoffs im Hitzebad bis zum Erreichen des thermodynamischen Gleichgewichts simuliert. Ausgehend von einem Anfangszustand i wird der Übergang in den Nachfolgezustand j durch kleine stochastische Änderungen an den systembeschreibenden Parametern simuliert. Falls die Energie Ej im Zustand j kleiner oder gleich wie im Zustand i ist, wird j mit Wahrscheinlichkeit 1 als aktueller Zustand akzeptiert. Andernfalls wird i mit der Wahrscheinlichkeit
Figure imgf000037_0001
durch j ersetzt. Diese Akzeptanzbedingung wird als Metropolis- Kriterium bezeichnet, das Verfahren als Metropolis- Algorithmus.
Dieses Verfahren wird nun zur Lösung von ganzzahligen Optimierungsproblemen verwendet, indem man die Zustände des physikalischen Systems mit den Lösungsvektoren des Optimierungsproblems und die Energiefunktion mit der Zielfunktion identifiziert. Ferner ersetzen wir den Temperaturterm kßT durch den Kontrollparameter c G R+ .
Es sei also min /(x), / : I C Z" → R (MP) ein unrestringiertes. ganzzahliges Optimierungsproblem. Damit ist der Metropolis-Algorithmus formal wie in Fig.10 gezeigt bestimmt. Dabei bezeichnet die Funktion CreateNeighbour einen Nachbarschaftsoperator, durch den ein Punkt mit leicht veränderten Variablenwerten erzeugt wird. Dieser Operator ist vergleichbar mit dem Mutationsoperator bei GA.
Das von Kirkpatrick et. al. entwickelte Simulated Annealing- Verfahren ist eine Erweiterung des Metropolis-Algorithmus. Während beim Metropolis- Verfahren der Temperaturparameter c konstant bleibt, werden beim Simulated Annealing mehrere Metropolis-Läufe ausgeführt, wobei der Kontrollparameter c schrittweise verringert wird. Dadurch wird die Wahrscheinlichkeit, daß ein schlechterer Punkt akzeptiert wird, immer kleiner.
Das SQP-Verfahren
In der klassischen nichtlinearen Optimierung hat sich die Methode der sequentiellen Quadratischen Programmierung (Sequential Quadratic Programming) als ein geeignetes Lösungsverfahren erwiesen. Es handelt sich dabei um ein Iterations verfahr en, bei dem in jedem Schritt ein quadratisches Minimie- rungsproblem gelöst wird. Dieses Verfahren kann aufgefaßt werden als die Anwendung des Newton- Verfahrens (bzw. eines Quasi-Newton- Verfahrens) auf die Lagrange-Funktion, weshalb diese Methode auch als Lagrange- Newton- Verfahren bezeichnet wird. Zur Beschreibung dieses Verfahrens ist zunächst die kurze Einführung einiger grundlegender Begriffe und Bedingungen aus der Theorie der kontinuierlichen Optimierung notwendig.
Definition: Nichtlineares Optimierungsproblem
Seien / : Rn → R, g : R" → Rm und h : Rn → W zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Dann heißt min /(x), x G Rn unter gt(x) < 0, i = 1, . . . , m (NLP) hj{x) = 0, j = 1, . . . ,p restringiertes, nichtlineares Optimierungsproblem.
In der klassischen Optimierung wird zunächst versucht, lokale Lösungen für dieses Problem zu finden. Notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle ist folgende „Multiplikatorregel":
Ist x* eine lokale Lösung von (NLP) und ein regulärer Punkt (d.h. die Vektoren VhJ (x*), j G {l, . . . ,p} und V<?j(x*), i G {Ϊ| <7J(X*) = 0}, sind linear unabhängig), dann existieren Multiplikatoren λ* G RJ{" (wobei λ* = 0 für gt(x*) < 0) und μ* G R, so daß m p
V/(.r*) = ∑ )ζVgi(z*) + j JV **). (9)
Diese Bedingung wird in der Literatur als Notwendige Bedingung 1. Ordnung oder als Kuhn- T cher- Bedingung, und Punkte, die sie erfüllen, als Kuhn- Tucker-Punkte (KT-Punkte), bezeichnet. Für deren Gültigkeit gibt es auch schwächere Einschränkungen als die Regularitätsbedingung, die sogenannten
Restriktionsqualifikatiυnen.
Definition: Lagrange-Funktion
Die Funktion L : R" x Rm x Rp → R m p
L(x. λ, μ) = f(x) - T ΛJ5J( ) - ∑ μjhj(x) i=l i=l heißt die dem Problem (NLP) zugeordnete Lagrange-Funktion. Die KT-Bedingung kann man mit der Lagrange-Funktion auch folgendermaßen formulieren:
Figure imgf000039_0001
Nachfolgend wird das SQP- Verfahren beschrieben. Insbesondere wird hier der Fall eines NLP mit Gleichungsrestriktionen, d.h. m = 0, betrachtet. Die Bedingung (10) vereinfacht sich damit zu
TE(x*, μ*) = 0, (11) wobei
Figure imgf000039_0002
Die Lösung von Gleichung (11) ist äquivalent zur Suche nach den Nullstellen der Funktion WL(x, μ). Ein erprobtes Verfahren zur Nullstellensuche ist das Newton- Verfahren. Ziel dieses Verfahrens ist es, Folgen {χ(*)} und {μ^} zu erzeugen, die gegen x* und μ* konvergieren. Wir entwickeln hierfür WL um n eine Taylorreihe und erhalten mit der Abkürzung
Figure imgf000039_0003
TE( ^ + δx, μ{k) + δμ) = ΥLW + [▼*£(*)] (δ + . . . (12)
Wegen (11) fordern wir TE(x(fc) -f- δx, μW + δμ) = 0 und vernachlässigen Terme höherer Ordnung, wodurch sich folgendes Gleichungssystem ergibt:
[ W] ( ) = -««, (13)
bzw. ausgeschrieben
Figure imgf000039_0004
wobei c(fc> = V/(x(fc)) h{k) = b(xw) A(k = Vb(x(fc))
W'W = V /(*(fc)) - ∑ μ^h^xW)
Die Lösungen δx und δμ dieses linearen Gleichungssystems ergeben die Korrekturen für den nächsten Schritt, d.h. wir setzen xC<+» := xW + δx μl*+» := μW + δμ
Alternativ zur Lösung von (14) kann man den Korrekturvektor δx auch durch die Lösung des quadratischen Minimierungsproblems
Figure imgf000040_0001
berechnen. Jeder Schritt des Newton- Verfahrens entspricht also einer quadratischen Optimierung, weshalb das Verfahren Sequential Quadratic Programming (SQP) genannt wird. Es ergibt sich folgende Lösungsmethode:
Für . = 1, 2, . . .
(i) Bestimme δ^ durch Lösen von (QP) (ii) Setze χ(fc+ 1 ) := x{k + <5(fc)
Ein möglicher Nachteil des oben beschriebenen Verfahrens ist die Berechnung der Hesse-Matrix W^k Deshalb verwenden viele Implementierungen des SQP- Algorithmus eine Quasi- Newton- Version, bei der die Hesse-Matrix nur approximiert wird (z.B. durch die BFGS-Formel). Ein weiteres Problem besteht darin, daß für das quadratische Subproblem nicht immer eine eindeutige Lösung existiert, sondern nur bei konvexen NLP bzw. in einer Umgebung von (x*, μ*). Das globale Konvergenzverhalten kann man verbessern, indem man mit einer exakten Penalty-Funktion einen Abstiegstest für die Korrekturrichtung δ^ durchführt. Globale Optimierung durch stochastische Integration
Besagte Globale Optimierung (abgekürzt mit GS- Verfahren) beruht auf dem Prinzip, die Richtung des steilsten Abstiegs durch eine Brownsche Bewegung zu stören, wodurch lokale Minima verlassen werden können. In Kombination mit einem lokalen Optimierungsalgorithmus können dadurch auch für Optimierungsprobleme mit nichtkonvexer Zielfunktion globale Lösungen gefunden werden.
Zunächst wird ein unrestringiertes NLP (vgl. Definition mit m = p = 0) betrachtet. Weiterhin wird der stochastischen Prozeß Xt als Lösung der sto- chastischen Differentialgleichung
dXt = - V/ (Xt)dt + ε dBt. (SDE)
definiert. Der Parameter e bestimmt das Verhältnis zwischen dem deterministischen Term —Vf(Xt)dt - der, für sich genommen, die Richtung des steilsten Abstiegs ergeben würde - und dem, durch die Brownsche Bewegung Bt, stochastisch gestörten Term dBt.
Begriffsbestimmunge :
1. Ein stochastisch er Prozeß ist eine durch die Zeit t parametrisierte Menge von Zufallsvariablen
Xt : Ω → R", wobei Ω die Menge der Elementarereignisse des zugehörigen Wahrscheinlichkeitsraumes bezeichne.
2. Die Brownsche Bewegung ist ein spezieller stochastischer Prozeß, der die Bewegung, die Pollen auf einer Flüssigkeitsoberfläche vollführen, modelliert.
Eine stochastische Differentialgleichung (Stochastic Differential Equation, SDE) modelliert die physikalische Diffusion eines Teilchens, das sich in einem durch die Zielfunktion f(x) gegebenen Potential befindet. Formal spiegelt sich diese Eigenschaft darin wider, daß die zur Zufallsvariablen Xt gehörige Wahrscheinlichkeitsdichte p(t, x), d.h. die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, daß sich das Teilchen zur Zeit t am Ort x befindet, der sogenannten Potentialbedingung genügt. Die Potentialbedingung ihrerseits ist hinreichend dafür, daß die Wahrscheinlichkeitsdichte für t → oo gegen eine Grenzdichte konvergiert, das sogenannte invariante Maß Pstat(a;): p(t, x) t^ Pst&t(x) (15)
Diese Grenzdichte ist durch
Fstat = exp ^_2( ( ) - ( ^ . Normierung (16)
gegeben, wobei x* ein globales Minimum bezeichnet.
Um die Normierbarkeit dieser Grenzdichte sicherzustellen, sollte die Zielfunktion f(x) für ||x|| → ex; hinreichend schnell gegen oo streben.
Wie man in Gleichung (16) sieht, hat Pstat genau beim globalen Minimum x* von / ein Maximum, und die Wahrscheinlichkeit, daß sich x in einer ^-Umgebung von x* befindet, ist relativ hoch. Darüber hinaus kann man zeigen, daß fast jeder Pfad (d.h. fast jede Realisierung der Zufallsvariablen Xt) eine ^-Umgebung von x* in endlicher Zeit erreicht (für ein beliebiges δ G R+).
Das GS- Verfahren macht sich die Eigenschaften des stochastischen Prozesses Xt zunutze, indem die SDE (SDE) numerisch integriert wird (z.B. mit dem semi-impliziten Euler- Verfahren) . Da es keine hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines globalen Minimums gibt, muß die maximale Anzahl auszuführender Euler-Schritte vorgegeben werden. Zur Verbesserung der Lösung kann nach jedem Schritt ein lokales Optimierungsverfahren (z.B. das BFGS- Verfahren) eingesetzt werden.
Für die Behandlung von Ungleichungsrestriktionen wird die Realisierung der Zufallsvariablen Xt verändert, wobei zwischen statischen Box-Constraints (d.h. dj < Xj < bi) und (nichtlinearen) Nebenbedingungen #j(x) < 0 unterschieden wird. Im ersten Fall wird der Pfad reflektiert, im zweiten Fall werden solange neue Realisierungen von Xt gezogen, bis der Pfad wieder in die Menge der zulässigen Punkte führt.
Prozessoreinheit
Fig. 11 zeigt eine Prozessoreinheit PRZE, die geeignet ist zur Durchführung von Transformation und/oder Kompression/Dekompression. Die Prozessoreinheit PRZE umfaßt einen Prozessor CPU, einen Speicher SPE und eine Input/Output-Schnittstelle IOS. die über ein Interface IFC auf unterschiedliche Art und Weise genutzt wird: Über eine Grafikschnittstelle wird eine Ausgabe auf einem Monitor MON sichtbar und/oder auf einem Drucker PRT ausgegeben. Eine Eingabe erfolgt über eine Maus MAS oder eine Tastatur TAST. Auch verfügt die Prozessoreinheit PRZE über einen Datenbus BUS, der die Verbindung von einem Speicher MEM, dem Prozessor CPU und der Input/Output-Schnittstelle IOS gewährleistet. Weiterhin sind an den Datenbus BUS zusätzliche Komponenten anschließbar, z.B. zusätzlicher Speicher, Datenspeicher (Festplatte) oder Scanner.

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zur Modellierung eines technischen Systems,
(a) bei dem Parameter des technischen Systems auf Knoten einer Baumstruktur abgebildet werden;
(b) bei dem eine Beziehung zwischen jeweils mindestens zwei Parametern anhand einer Kante modelliert wird, wobei die Kante gemäß der Baumstruktur einen Nachfolgerknoten mit einem aktuellen Knoten verbindet;
(c) bei dem die Knoten als Verzweigungsknoten oder als Entscheidungsknoten modelliert werden, wobei einem Entscheidungsknoten zumindest ein Parameter zugewiesen wird und ein Verzweigungsknoten eine Verzweigungsmöglichkeit innerhalb der Baumstruktur bestimmt;
(d) bei dem anhand der Baumstruktur die Modellierung des technischen Systems erfolgt.
2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem jeweils alle Knoten, die von einem Verzweigungsknoten ausgehen, bei der Modellierung des technischen Systems berücksichtigt werden.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, bei dem anhand der Baumstruktur ein Entwurf des technischen Systems durchgeführt wird.
4. Verfahren nach Anspruch 3, bei dem der Entwurf mindestens eine der folgenden Möglichkeiten umfaßt:
(a) einen Neuentwurf des technischen Systems;
(b) eine Anpassung des technischen Systems;
(c) eine Auslegung des technischen Systems;
(d) eine Steuerung des technischen Systems.
5. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem anhand der Baumstruktur eine Optimierung des technischen Systems durchgeführt wird.
6. Verfahren nach Anspruch 5, bei dem die Optimierung zweistufig erfolgt, indem jeweils eine Strukturentscheidung und ein reellwertiges Optimierungsproblem gelöst werden.
7. Verfahren nach Anspruch 5, bei dem die Optimierung einstufig mittels eines stochastischen Algorithmus oder eines evolutionären Algorithmus erfolgt.
8. Verfahren nach Anspruch 7, bei dem der stochastische Algorithmus ein Simulated-Annealing- Algorithmus ist.
9. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem ein reellwertiger Parameter ein Blatt in der Baumstruktur darstellt.
10. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem anhand eines ganzzahligen Parameters folgende Zusammenhänge modelliert werden:
(a) Anzahl einer zu realisierenden Komponente des technischen Systems;
(b) Zahl zur Bemessung einer Zuordnungsbeziehung einer Komponente innerhalb des technischen Systems, wobei die Zuordnungsbeziehung durch den Entscheidungsknoten vorgegeben ist.
11. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem anhand der Baumstruktur ein möglicher Zustandsraum des technischen Systems modelliert wird und im Rahmen der Optimierung eine im Hinblick auf eine vorgegebene Zielfunktion geeignete Belegung in diesem Zustandsraum ermittelt wird.
12. Anordnung zur Modellierung eines technischen Systems, bei der eine Prozessoreinheit vorgesehen ist, die derart eingerichtet ist, daß
(a) Parameter des technischen Systems auf Knoten einer Baumstruktur abbildbar sind;
(b) eine Beziehung zwischen jeweils mindestens zwei Parametern anhand einer Kante modellierbar ist, wobei die Kante gemäß der Baumstruktur einen Nachfolgerknoten mit einem aktuellen Knoten verbindet; (c) die Knoten als Verzweigungsknoten oder als Entscheidungsknoten modellierbar sind, wobei einem Entscheidungsknoten zumindest ein Parameter zugewiesen wird und ein Verzweigungsknoten eine Verzweigungsmöglichkeit innerhalb der Baumstruktur bestimmt;
(d) anhand der Baumstruktur die Modellierung des technischen Systems erfolgt.
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