WO2000048325A1

WO2000048325A1 - Verfahren und anordnung zur decodierung eines vorgegebenen codeworts

Info

Publication number: WO2000048325A1
Application number: PCT/DE2000/000391
Authority: WO
Inventors: Stefan SCHÄFFLER; Thomas Sturm
Original assignee: Siemens Aktiengesellschaft
Priority date: 1999-02-11
Filing date: 2000-02-09
Publication date: 2000-08-17

Abstract

Es wird ein Verfahren zur Decodierung eines vergegebenen Codeworts angegeben, bei dem für jede Stelle (jedes Bit) des Codeworts ein Soft-Wert vorliegt. Diese Soft-Werte werden gemäss ihrer Zuverlässigkeit (nach einem vorgegebenen Sortierkriterium) sortiert. Anhand der sortierten Soft-Werte wird die Decodierung des Codeworts durchgeführt.

Description

Beschreibung

Verfahren und Anordnung zur Decodierung eines vorgegebenen Codeworts

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Anordnung zur Decodierung eines vorgegebenen Codeworts.

Bei der Decodierung eines Codeworts, das eine vorgegebene Anzahl Stellen aufweist, sollen die informationstragenden Stellen möglichst vollständig wiederhergestellt werden.

Die Decodierung findet auf der Seite des Empfängers statt, der das Codewort über einen gestörten Kanal empfangen hat. Signale werden insbesondere als Boolesche Werte, bevorzugt unterteilt in +1 und — 1, über den Kanal übertragen, erfahren dort eine Störung und werden von einem Demodulator in analoge Werte umgesetzt, die mehr oder weniger stark von den vorgegebenen Booleschen Werten (±1) abweichen können.

Allgemein wird ausgegangen von k Stellen binärer Information („Informationsbits") u € {±l}^fe ohne Redundanz, die von einem Kanalcodierer mittels systematischen Blockcodes oder unsystematischen Blockcodes in ein Codewort c G {±1}" abgebildet wird. Dabei enthält das Codewort n — k Bits (auch: „Prüfbits"), die als redundante Information zu den n Informationsbits zur Wiederherstellung der Information nach Übertragung über den gestörten Kanal einsetzbar sind.

Der systematische Blockcode fügt zu den n Informationsbits n — k Prüfbits hinzu, die aus den Informationsbits errechnet werden, wobei die Informationsbits selbst unverändert bleiben, wohingegen beim unsystematischen Blockcode die Informationsbits selbst verändert werden, bspw. steckt die Information in einer von einer zur nächsten Stelle durchgeführten Operation. Auch hier sind Prüfbits zur Rekonstruktion der in den Operationen versteckten Information vorgesehen.

Nun ist es entscheidend von Nachteil, eine Zuordnung des empfangenen Codeworts (mit den mit analogen Werten belegten Stellen) „hart" zu decodieren, d.h. jede Stelle dem jeweils naheliegendsten Booleschen Wert zuzuordnen, da hierbei wertvolle Information verloren geht.

Die Aufgabe der Erfindung besteht darin, im Rahmen einer Decodierung eines vorgegebenen Codeworts analoge Werte (sogenannte „Soft-Werte") zur Rekonstruktion der übertragenen Information möglichst optimal auszunutzen. Diese Aufgabe wird gemäß den Merkmalen der unabhängigen Patentansprüche gelöst. Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich auch aus den abhängigen Ansprüchen.

Zur Lösung der Aufgabe wird ein Verfahren zur Decodierung eines vorgegebene Codeworts angegeben, bei dem für jede Stelle (jedes Bit) des Codeworts ein Soft- Wert vorliegt. Diese Soft-Werte werden gemäß ihrer Zuverlässigkeit (nach einem vorgegebenen Sortierkriterium) sortiert. Anhand der sortierten Soft-Werte wird die Decodierung des Codeworts durchgeführt.

Dabei ist es eine Weiterbildung, daß die ersten Elemente der Sortierung die besten, d.h. zuverlässigsten Soft-Werte sind. In diesem Fall entspricht das Sortierkriterium einer Güte der Soft-Werte.

Ein besonderer Vorteil besteht daxin, daß in den besten (oder in ausreichend guten) Soft- Werten die „sichersten" Werte zur Decodierung des Codeworts eingesetzt werden. Soft-Werte zeichnen sich dadurch aus, daß sie beliebige (analoge) Werte annehmen können, die auf einen geeigneten digitalen Wert abzubilden sind. Sind die beiden digitalen Größen durch die Werte +1 und —1 dargestellt, so hat ein Soft- Wert +0, 1 eine höhere Fehlerwahrscheinlichkeit bei Zuordnung zu +1 als ein Soft- Wert +10. Genau diese Tatsache wird ausgenutzt, wenn man die (betragsmäßig) besten bzw. ausreichend gute Soft- Werte zur Decodierung des Codeworts einsetzt.

Eine andere Weiterbildung besteht darin, daß das Codewort n Stellen aufweist, wobei k der n Stellen (sinnvoll: k < n) Informationen („Informationsbits") und n — k Stellen Redundanzinformation enthalten. Somit ist es möglich, anhand einer Anzahl k Stellen (die Anzahl k Stellen kann beliebige Stellen aus den n Stellen umfassen) die Information zu rekonstruieren. Die Redundanzinformation ist insbesondere deshalb dem Codewort beigefügt, um bei Störung einzelner Stellen, diese Stellen mit hoher Sicherheit dennoch richtig rekonstruieren zu können. Werden die Anzahl k besten Stellen zur Decodierung des Codeworts eingesetzt, so ist mit großer Wahrscheinlichkeit anhand dieser Stellen das Codewort richtig decodierbar.

Damit ist es auch eine Weiterbildung, daß die Größe der Menge bestimmt ist durch die Anzahl k der Stellen der Information (sbits).

Die Transformationsvorschrift umfaßt eine Regel, die es ermöglicht, die Redundanzinformation (Redundanzbits) derart auszunutzen, daß dadurch Informationsbits (mit möglichst hoher Sicherheit/Wahrscheinlichkeit) rekonstruiert werden können. Durch die Verwendung der k besten (oder ausreichend guten) Stellen im Codewort findet eine Umsortierung statt, die Einfluß auf die Transformations Vorschrift derart nimmt, daß eine äquivalente transformierte Codierung entsteht, deren Informationsbits an den Stellen des Codeworts stehen, bei denen die besten (oder ausreichend gute) Soft-Werte vorliegen. Demnach muß die Transformationsvorschrift derart modifiziert werden, daß eine Gesamtinformation (also: Informationsbits, Redundanzbits, Regel der Transformationsvorschrift) die Rekonstruktion der ursprünglich interessierenden Information (die k Bits) ermöglicht.

Handelt es sich bei der Codierungsvorschrift um eine Generatormatrix eines Blockcodes, so ist diese derart umzustellen, daß durch die besten (bzw. die ausreichend guten) Soft-Werte die ursprüngliche Information wiederhergestellt werden kann. Dazu sind die Schritte der Transformation abzuspeichern, um bei der Rekonstruktion der Information die richtigen Stellen innerhalb des Codeworts identifizieren zu können.

Der Blockcode kann insbesondere ein in der Nachrichtentechnik eingesetzter Code zur Übertragung von Informationen über eine Kommunikationsschnittstelle, insbesondere eine Funkschnittstelle sein.

Eine besondere Ausgestaltung besteht darin, daß das ursprünglich ermittelte Codewort schrittweise verbessert wird, indem die folgenden Vorschriften abgearbeitet werden:

1. der Blockcode wird anhand einer Transformationsvorschrift in einen äquivalenten systematischen Blockcode transformiert, so daß diejenigen Stellen mit kleinsten Indizes den betragsmäßig größten Soft- Werten zugeordnet werden;

2. es werden sukzessive die k Informationsbits unter Verwendung der Soft- Werte mittels einer Optimierungsmethode bestimmt;

3. die gefundenen Informationsbits werden entsprechend der inversen Transformationsvorschrift zurücktransformiert.

Dabei ist es eine Weiterbildung, daß die Optimierungsmethode ein „Branch- and-Bound"- Verfahren ist.

Eine zusätzliche Weiterbildung besteht darin, daß die Soft-Werte eine Ausgabe eines Demodulators sind.

Auch ist es eine Weiterbildung, daß die Soft-Werte die Soft-Outputs eines vorgeschalteten Soft-Output-Decoders sind. Auch wird zur Lösung der Aufgabe eine Anordnung zur Decodierung eines vorgegebenen Codeworts angegeben, bei der eine Prozessoreinheit vorgesehen ist, die derart eingerichtet ist, daß

1. das Codewort mehrere Stellen mit Soft- Werten umfaßt;

2. aus den Soft- Werten eine Menge von Soft- Werten bestimmbar ist, indem eine Sortierung nach einem Sortierkriterium durchgeführt wird;

3. anhand der Menge der Soft-Werte die Decodierung des Codeworts erfolgt.

Diese Anordnung ist insbesondere geeignet zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens oder einer seiner vorstehend erläuterten Weiterbildungen.

Ausführungsbeispiele der Erfindung werden nachfolgend anhand der Zeichnung dargestellt und erläutert.

Es zeigen

Fig.l eine Decodiereinheit aus einer Rundungseinheit und einem Hard- Decision-Decoder;

Fig.2 einen Soft-Decision-Decoder;

Fig.3 ein Blockschaltbild mit Einheiten zur digitalen Nachrichtenübertragung;

Fig.4 eine Baumstruktur mit Knoten und Kanten;

Fig.5 einen Algorithmus zur Systematisierung (Variante 1);

Fig.6 einen Algorithmus zur Systematisierung (Variante 2);

Fig.7 einen Algorithmus zur Rücktransformation;

Fig.8 zwei Hilfsalgorithmen;

Fig.9 einen Branch-und-Bound-Algorithmus (Variante 1);

Fig.10 einen Branch-und-Bound-Algorithmus (Variante 2);

Fig.11 ein Blockbild mit Komponenten eines Soft-Decision-Decoders;

Fig.12 ein Algorithmus zur Startpunktgenerierung;

Fig.13 eine Prozessoreinheit. In der Nachrichtentechnik werden überwiegend binäre lineare Blockcodes zur Nachrichtenübertragung verwendet. Der Empfänger einer Nachricht muß aufgrund der empfangenen Daten (Demodulationsergebnis) und der Kenntnis über den verwendeten binären Blockcode die abgesandte Nachricht rekonstruieren (decodieren).

Mit Ausnahme von speziellen Blockcodes (Faltungscodes) werden bisher die oftmals vom Demodulator gelieferten reellen Werte („weiche" Daten) auf „harte" ±1 Werte gerundet. Diese harten Werte sind dann Grundlage einer Hard- Decision-Decodierung.

In Fig.l ist gezeigt, daß in einem Block 101 eine Rundung durchgeführt wird, indem Soft-Werte y € Mⁿ zu „harten" Werten c £ {±l}ⁿ gerundet werden. Dabei gehen durch den Vorgang des Rundens u.U. Daten verloren, da in einem Block 102 in der Hard-Decision-Decodierung nur das Ergebnis der „harten" Entscheidung zur Verfügung steht.

Zur Erzielung einer optimal niedrigen Fehlerrate wird nun eine allgemeine „Soft-Decision" Decodierungsmethode vorgestellt, die die Decodierungs- entscheidung aufgrund der empfangenen „weichen" Daten trifft (vergleiche Fig.2).

Eingangsdaten für das im folgenden beschriebene Verfahren können nicht nur die direkten Ergebnisse der Demodulation sein, sondern auch Soft-Werte eines vorgeschalteten Decodierers bei verketteten Codes.

Codedefinition (Binärer linearer Blockcode)

Im folgenden werden die Bits des Codes in {±l}-Repräsentation betrachtet. Im Vergleich zu einer informationstechnisch oft üblichen {0, 1 ^Repräsentation korrespondiert —1 mit 1 und 1 mit 0.

Auf dem Körper {±1} sind die Addition © und die Multiplikation Θ wie folgt definiert:

-l θ -l = 1 — 1 © — 1 = — 1

-l θ 1 = -1 -1 0 1 = 1 l θ -l = -l 1 0 -1 = 1 l φ 1 = 1 1 0 1 = 1 Ein allgemeiner binärer linearer (n, fc)-Blockcode mit k, n <E N, 1 < k < n ist durch eine injektive lineare (Codierungs-)Abbildung φ : {±l}^fc → {±1}", u --» c = φ(u), (1) definiert.

Im folgenden wird u € {±l}^fc als krypto-codiertes Wort (oder uncodiertes Wort) bezeichnet, während c = ψ(u) € {±1}" als kanalcodiertes Codewort benannt wird.

Da φ eine lineare Abbildung auf endlich dimensionalen Räumen ist, läßt sich die Codierungsvorschrift mittels einer (Generator-)Matrix G 6 {±l}^fc,n darstellen: c = φ(u) = G^τu. (2)..

Aus der Injektivität der Codierungsmatrix folgt sofort, daß die Generatormatrix G vollen Rang k besitzt.

Alternativ zur Darstellung der Abbildung über die Generatormatrix können charakterisierende Mengen

J . . . , J_n {l, . . . , k}, (3) betrachtet werden, die über

J_j = {i £ {!, . . . , k}; G_tj = -1}, für 1 < j < n. (4) definiert sind, d.h.

C_j = φ u für 1 < j < n. (5)

Betrachtet man {±1} als Teilmenge von E, so gilt

Cj = [ Ui, für 1 < j < n. (6) i£Jj

Numerisch und technisch sinnvolle Codierungsabbildungen sind in der Regel so konstruiert, daß sie eine Reihe weiterer Eigenschaften besitzen, die Fehler bei der Decodierung unwahrscheinlicher machen (großer Hamming- Abstand, etc.). Der später vorgestellte Decodierungsalgorithmus setzt aber keine zusätzlichen Anforderungen voraus, d.h., das Verfahren ist durchführbar, wenngleich das erzielbare Ergebnis natürlich von der Codequalität abhängt.

Ein binärer linearer Blockcode heißt systematisch, wenn

J, = {j}, ϊür l ≤ j ≤ k (7) gilt. Die Informationsbits Ui sind dann mit den ersten k Codebits identisch. Die übrigen n — k Codebits werden auch als Prüfbits bezeichnet.

Im folgenden wird ein erweiterter Systematisierungsbegriff verwendet, bei dem eine beliebige Auswahl von k Mengen J- jeweils genau ein Element enthält, d.h., bei entsprechender Umsortierung liegt dann ein gewöhnlicher systematischer Blockcode vor.

Beispiel: Fire-Code des SACCH-Mobilfunkcodes

Der in der GSM Technical Specification GSM 05.03 Version 5.2.0 (Channel coding) im Abschnitt 4.1.2 beschriebene binäre lineare Blockcode, ein Teil des SACCH-Codes (Slow associated control Channel), codiert 184 Informationsbits zu 224 Codebits. Der Code ist systematisch, d.h., die ersten 184 Codebits sind mit den Informationsbits identisch. Die 40 restlichen Prüfbits werden durch eine Systematisierung nach Konstruktion über ein Generatorpolynom definiert.

Zielfunktion

Es wird hier eine Zielfunktion (Bewertungsfunktion)

F : {±1}* → E (8) hergeleitet, die zur Bewertung von Wörtern ü 6 {±l}^fc verwendet wird. Das Wort ü mit dem kleinsten Funktionswert F(ü) soll unter der Bedingung, daß y empfangen wurde, das wahrscheinlichste Wort sein, das vom Sender codiert wurde. Voraussetzungen

Fig.3 zeigt eine Darstellung zur digitalen Nachrichtenübertragung. Eine Einheit aus Quelle 201, Quellencodierer 202 und Kryptocodierer 203 bestimmt eine Information u G {±l}^fc, die als Eingabe für einen (ggf. auch mehrere) Kanalcodierer 204 dient. Der Kanalcodierer 204 erzeugt ein Codewort c G {±1}", das in einen Modulator 205 eingespeist und über einen gestörten physikalischen Kanal 206 zu einem Empfänger übertragen wird, wo es in einem Demodulator 207 zu einem reellwertigen Vektor y G E" bestimmt wird. Dieser Vektor wird in einem Kanaldecodierer 208 zu einem Wort ü G {±l}^fc decodiert. Das technische Ziel der Codierung/Decodierung liegt darin, die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, daß das Wort ü mit dem ursprünglichen Wort u identisch ist. Eine Einheit aus Kryptodecoder 209, Quellendecoder 210 und Senke 211 komplettiert den Empfänger. Die beiden Einheiten Kryptocodierer 203 und Kryptodecoder 209 sind dabei optional.

Es werden ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, S, P) und eine /c-dimensionale Zufallsvariable U : Ω → {±l}^fc mit den Eigenschaften

• Die Komponenten

, . . . , U_k '■ Ω ->^■ {±1} sind stochastisch unabhängig-

• Für i = 1, . . . , k gilt

P ({ω G Ω; Ui(ω) = -1}) = P ({ω G Ω; U_{(ω) = +1» .

betrachtet.

Die zu rekonstruierende Ausgabe u G {±l}^fc des Kryptocodierers 203 wird als Realisierung der Zufallsvariablen U interpretiert, da der Empfangsteil nichts über die Wahl von u weiß.

Die Ausgabe c G {±l}ⁿ des Kanalcodierers 204 ist also eine Realisierung der Zufallsvariablen φ(U).

Die Ausgabe y G E" des Demodulators 207 wird als Realisierung der Zufallsvariablen

Y : Ω → Eⁿ, ω ^ φ(U(ω)) + Z(ω), (9) interpretiert, wobei die Zufallsvariable Z : Ω → Eⁿ die Kanalstörung repräsentiert. Im folgenden wird ein AWGN (Additive Gaussian White Noise) Kanalmodell angenommen, d.h., Z ist dann eine .N(0, σ²/_n) normalverteilte Zufallsvariable, die zudem stochastisch unabhängig von U bzw. φ(U) ist. Die Varianz σ² berechnet sich aus dem Verhältnis von Rauschleistungsdichte und mittlerer Energie auf dem Kanal.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Berechnet werden soll die Wahrscheinlichkeit w(ü, y), daß ein ü G {±l}^fc beziehungsweise c = φ(ü) gesendet wurde unter der Bedingung, daß y G E" empfangen wurde, also w (Ü, y) = P ({ω G Ω; U(ω) = ü) \ {ω G Ω; Y(ω) = y}) (10)

Zur Herleitung betrachte man für e > 0 Mengen

M_y,_t := [ϊ/i, yi + e] x . . . x [y_n, y_n + e] (11)

und w_e{ύ, y) := P ({ω G Ω; U(ω) = ü} \ {ω G Ω; Y(ω) G M_Vte}) = P ({u. G Ω; Y(ω) G M_y,_t} | {u, G Ω; (ω) = fi}) ^{P {{ω G Ω;} ^ ^{= U})}

P ({ω £ Ϊl; Y(ω) e M_y≠})

P ({ω G Ω; U(ω) = ü}) P ({ω G Ω; Y(ω) G M_y,_e} | { G Ω; -7( ) = ά})

∑ P ({ω G Ω; U(ω) = u}) P ({ω G Ω; Y(ω) G _y; | {ω G Ω; t/(ω) = u}) ueiii}*

J^" exp (- (-c-ι,p(ύ))^τ(j-y( M 2<τ² dx

(12)

∑ / exp (-⁽^^C⁾⁾ »⁾ ) _dx

Betrachtet man nun durch mehrfache Verwendung der Regel von L'Hospital den Grenzübergang von w_e(ü, y) für e , 0, so erhält man

Der Nenner dieser Formel ist unabhängig von ü, während der Zäliler maximal wird, wenn (y — φ(ü))^τ(y — ψ(ü)) minimal wird.

Die gesuchte Zielfunktion kann also wie folgt definiert werden: F : {±l}^k → E,

(14)

Diese Zielfunktion wird auch als Maximum- Likelihood-Funktion bezeichnet.

Durchführung

Bei jeder empfangenen Nachricht ist jeweils ein Wort ύ G {±1}* gesucht mit der Eigenschaft

F(ü) < F(u) für alle u G {±l}^fc. (15)

Um nicht alle 2^k Wörter untersuchen zu müssen (bei großen k numerisch nicht möglich), wird hier ein „Branch-and-Bound"-Algorithmus vorgestellt, der die Zahl der zu untersuchenden Wörter stark reduziert. Zudem kann der Algorithmus zu jeder Zeit ein bis dahin bestes Codewort als Ergebnis liefern.

Das Verfahren geht mit folgenden Schritten vor:

1. „Code-Umsortierung" / „Code-Systematisierung":

In einem ersten Schritt wird der gegebene Blockcode derart in einen äquivalenten systematischen Blockcode transformiert, daß die Informationsbits Ui mit den kleinsten Indizes den betragsgrößten Komponenten des Demodulationsergebnisses y zugeordnet werden, d.h. die „sichersten" Bits werden zuerst decodiert.

2. Im Codebaum (vergleiche Fig.4) werden sukzessive die Informationsbits üi festgelegt (Branch). Durch Betrachtung von unteren Schranken für die bislang unbekannten Bestandteile der Bewertungsfunktion F können ganze Unterbäume ohne explizite Auswertung verworfen werden (Bound). Ausgehend von einem Knoten 401 kann eine Stelle des Codeworts einer +1 (vgl. Kante 402) oder einer -1 (vgl. Kante 404) zugeordnet werden. Im ersten Fall gelangt man zu einen Knoten 403, im zweiten Fall zu einem Knoten 405. Die Anzahl der Knoten entspricht der Anzahl der Stellen im Codewort, wobei an jedem Knoten bis auf den jeweils untersten eine Zuordnung zu ±1 getroffen wird. Die jeweils untersten Knoten repräsentieren alle vollständig möglichen Belegungen des Codeworts. Je mehr Äste man in dem Baum von Fig.4 abschneiden kann, also nicht explizit bis zur untersten Ebene durchrechnen muß, desto größer ist auch die Rechenzeiteinsparung.

3. Rücktransformation des Decodierungsergebnisses in den Originalcode.

Diese Schritte werden nachfolgend eingehend beschrieben.

C o de- Sy st emat isier ung

Vorgehensweise

Zu einem beliebig, aber fest gewählten krypto-codierten Codewort u G {±l}^fc mit kanalcodiertem Codewort c G {±l}ⁿ, c^τ := u^τG, und einem beliebig, aber fest gewählten Demodulationsergebnis y G Eⁿ soll der Code nun so systematisiert werden, daß c$ = ü .. für die Indizes i mit den betragsgrößten Vi ilt.

Es wird also folgende Darstellung der Generatormatrix G betrachtet:

G = AG, A e {±l}^k'^k regulär, G G {±l}^k>ⁿ, (16)

wobei k Spalten von G aus den k Einheitsvektoren bestehen. Die Wahl der Spalten j soll möglichst den Indizes der betragsgrößten y_j entsprechen. Die Multiplikation von links mit A bedeutet auf dem Körper {±1} eine Abfolge von Zeilenadditionen der Matrix G.

G ist die Generatormatrix eines speziell systematisierten Codes: c^τ = u^τG = A. G. (17)

=_:Ü^T

Es gilt dann nach Konstruktion üi = c_τ(i), i = l, . . . , k, (18) wobei τ : {1,... ,k} — » {1,... ,n) möglichst auf die Indizes der betragsgrößten r/_τ(j) abbildet. Im folgenden werden analog zu G die zu G gehörigen charakterisierenden Mengen

Jι,... ,J_nQ{l,... ,k} (19) betrachtet, also

J_j := {* G {1, ... , k} Gij = -1}, für 1 < j < n. (20)

Weitere Vorgehensweise:

1. Decodiere y über den durch G systematisierten Code zu einem ü G {±1}*.

2. Bestimme das Codewort u G {±1}* mit

Algorithmus der Systematisierung

Betrachte eine bijektive Abbildung (Sortierung) μ : {1, ... , n) — >• {1, ... , n) mit

Alle Zeilenadditionen werden durch Tupel α_m {1,... ,k} x {1,... ,k}, = l,... ,α (23) protokolliert, wobei α G N₀ die Anzahl der Zeilenadditionen ist und (p, q) = a_m bedeutet, daß die q-te Zeile zur p-ten Zeile addiert wurde.

Der Algorithmus definiert eine weitere bijektive Abbildung p : {1, ... , k} — {1, ... , k} mit der Eigenschaft

|ϊ/τ(p(β))| ≥

l ≤s<k-l. (24)

Diese Eigenschaft wird im Branch-and-Bound- Algorithmus eingesetzt. Man betrachte weiterhin die Projektionsabbildung π:E→ {±1}

+1, für x > 0, ^■1, für x < 0. ^{y J} Der nachfolgende Algorithmus generiert zusätzlich einen „Startpunkt" ü°, der als erstes approximatives Decodierungsergebnis verwendet werden kann. ü° wird so konstruiert, daß gilt: ü° -= π (y_τ(i)) , für i = 1, . . . , /-, (26)

Damit werden die möglichst „besten" Komponenten von y zu ü° gerundet.

In Fig.5 ist eine erste Variante eines Algorithmus zur Systematisierung in Pseudocode-Notation angegeben. Der Algorithmus ist aus sich heraus verständlich. Hierbei sei bemerkt, daß der Algorithmus aus Fig.5 terminiert, da die Matrix G den vollen Rang k aufweist.

Die Matrix A_pq G {±l}^fc'^fe sei die k x /c-Einheitsmatrix mit Extra-Element — 1 in der p-q- Position.

Dann bewirkt A_pqG die Addition der ς-ten Zeile von G zur p-ten Zeile von G. u^τA_pq bewirkt die Addition des p-ten Elements von u zum ς-ten Element von u

Nach Durchführung des Algorithmus aus Fig.5 gilt:

G = A_CtaA_aa_₁ . . . A_a2A_aι G. (27)

^X s/-

=A^~

Im Algorithmus ist die Generierung des Startpunkts ü° bereits enthalten, da so auf die Datenhaltung der Abbildung r verzichtet werden kann.

Der numerische Aufwand beträgt

• O(n logn) Fließkomma-Operationen (Sortierung μ) und

• 0(k n) Binär-Operationen.

Zweite Variante eines Algorithmus zur Systematisierung

In obigem Verfahren wurde eine vollständige Diagonalisierung der Matrix G beziehungsweise G durchgeführt. Bei der im weiteren vorgestellten Implementierung eines Branch-and-Bound-Verfahrens werden zugehörige Indexmengen Jj an Stelle der Matrix G verwendet. Abhängig von der Art des verwendeten Codes können durch die folgende zweite Variante des Systematisierungs- Algorithmus numerische Operationen eingespart werden. Dabei werden die „Einheitsspalten" nicht mehr tatsächlich zu Einheitsvektoren transformiert, sondern die nötigen Operationen lediglich protokolliert. Weiterhin muß keine Kopie der Matrix G angelegt werden (die Spalten werden sukzessive kopiert). Bei linearen Abhängigkeiten werden allerdings zusätzliche Operationen notwendig, da Indizes dann doppelt behandelt werden (festgehalten in der Hilfsmenge R).

Es werden 0(k²) numerische Operationen eingespart. Da auch die Datenhaltung günstiger ist, sind die Einspareffekte in der praktischen Anwendung aber deutlich höher. Fig.6 zeigt die zweite Variante des Algorithmus in Pseudocode-Notation.

Rückrechnung in den Originalcode

Sei ü G {±l}^fc das krypto-codierte Codewort, für welches mit der Generatormatrix G gilt: c^τ = ü^τG. (28)

Das mit Original-Generatormatrix G codierte u berechnet sich dann sehr einfach wie folgt:

U^Ύ = ü^τA^_1 (29)

= u A_aaA_a<x__l . . . A_a2 A_aι . (30)

Die Rücktransformation in Pseudocode-Notation zeigt Fig. .

„Branch-und-Bound" -Verfahren

Zur Bewertung von Decodierungskandidaten ü G {±1}* bezüglich des systematisierten Codes muß die Zielfunktion (14) entsprechend angepaßt werden. Mit u^τ = ü^τA^_1 könnte man eine angepaßte Zielfunktion so definieren, daß F(Ü) = F(u) wäre. Die Funktionen F(Ü) := ^F(u) - const besitzen den identischen Minimierer und können mit einer kleineren Zahl von Operationen ausgewertet werden (wie im folgenden zu sehen).

Man betrachtet also die Funktion

F : {±1}^A

Mit u^τ = M^T_4^_1 gilt somit

Im folgenden wird die Funktion F so zerlegt, daß sich untere Schranken angeben lassen, wenn nur die ersten Komponenten des Arguments ü festgelegt sind. Diese Schranken können dann im Branch-and-Bound Algorithmus zur Verwerfung von Unterbäumen eingesetzt werden.

Die Funktion F wird wie folgt zerlegt:

n n n

= ∑ lϊ/j l ^" ∑ i θ «i = 7 - ∑ (ü). (33) i=ι i⁼¹ ieJ i=ι

Im weiteren sollen untere Schranken E^h(ü) von F(Ü) angegeben werden, wenn die ersten b Bits aus ü einen fest gewählten Wert haben und der Rest noch offen ist. Die Bits sollen im Branch-and-Bound Verfahren sukzessive nach der Sortierung p gewählt werden.

Dabei wird definiert:

:= max ({p^{_ 1} (i); i G J ) (34) und für 0 < b < k, 1 < j < n, ü G {±l}^k:

{yj θ ü_i für max(p-¹ (J_j)) < b, * (35)

\yj\, sonst.

Dann gilt

= *?(«) ≥ s_j ^l(ü) > . . . ≥ s^k(ü) = _Sj(ü). (36)

Als untere Schranken von F(ü) werden bestimmt n

also

7 " ∑

= F°(ü) ≤F'(ü)≤...≤ F^k(ü)

Bei der Berechnung von F^b(ü) werden nur die Komponenten ü_p(i), ■ ■ ■ , ü_p(&) von t- verwendet.

Zur Einsparung numerischer Operationen im nachfolgenden Algorithmus definiert man für 0 < b < k:

K_b := j G {1, ... , n}; max^¹^)) = b , (39)

6

t=l

L^b:= ∑ \_yj\, (41) je{l,...,n}\K_b

S^b(ü) :=

jeκ_b

Dabei summiert S^b(ü) diejenigen S_j(ü), die bei Kenntnis der Bits ü_p(i₎, ... , ü_p^ berechnet werden können und L^b summiert die restlichen Abschätzungen.

Es gilt also

F^b(ü)=₁-L^b-S^b(ü), (44) und L^b und S^b(ü) berechnen sich rekursiv wie folgt: n

5°(ü) = 0, (47)

S^b(ü) = S^b~l(ü) + ∑ _Sj(ü) = S'-'iü) + A^b(ü), l<b<k. (48) Die von ü unabhängigen Größen können zusammengefaßt werden zu

₇ ⁶ := 7 - L^b, 0 < b < k. (49)

Somit gilt

und

7° = 7 - ° = ∑ N - ∑ l%l = 0, (51)

Für ü G {±1}* und ein fest gewähltes b G {1, . . . , k} betrachte man ü⁺, ü^~ G {±l}^fc mit üf = üi und ü^~ = ti; für z ≠ (ft). Es sei ü ,_bκ := +1 und _{b) := -1.

Nach Definition ist p(δ) G J,- für alle j G -fC_fc. Somit gilt S_j(ü^~) = — S_j(ü⁺) für G -ftT_fc und somit

A^b(ü^~) = -A^b(ü⁺). (53)

Es folgt weiter mit δ$ '■= A^b(ü^~) ⁶(ü-) = 5⁶-¹ («) + 5_s, (54)

S^b(ü⁺) = S"-¹ (ü) - δ_s. (55)

Nach Definition (33) ist die Zielfunktion nach unten durch 0 beschränkt, d.h., falls F(Ü) = 0, dann ist ü ein Minimierer von F.

In Fig.8 sind je ein Algorithmus zur Indexmengen-Berechnung und zur Berechnung von A^b(ü) dargestellt.

Fig.9 zeigt eine erste Variante eines Branch-und-Bound-Algorithmus in Pseudocode-Notation. Die Menge M mit Tupeln (b, ü, F, S), b G {1, . . . , k - 1}, ü G {±l}^fc, F, S G E, als Elemente repräsentiert dabei einen FILO-Keller (First In, Last Out). Hierbei sei darauf hingewiesen, daß aus numerischen Gründen in der Implementierung statt des Vergleichs F_m;_n = 0 bevorzugt ein Vergleich F_mj_n < schranke eingesetzt werden sollte. Eine zweite Variante des Branch-und-Bound-Algorithmus ist in Fig.10 dargestellt. Betrachtet man die Nutzung des Kellerspeichers, so erkennt man, daß die Komponenten des aktuellen u's mit den jeweiligen Kellerelementen bis zum p(&)'ten Element übereinstimmen. Daher bietet sich eine effektivere Implementierung des Kellerspeichers an mit der sich viele Operationen einsparen lassen.

Man betrachte dazu die Menge M mit Tupeln (b, ß, F, S), b £ {l, . . . , k — 1}, ß G {±1}, F, S G E, als Elementen, die einen FILO-Keller (First In, Last Out) repräsentiere. Wieder sei darauf verwiesen, daß bevorzugt aus numerischen Gründen in der Implementierung statt des Vergleichs F_mj_n = 0 besser F_min < schranke eingesetzt werden sollte.

In Fig.11 ist das oben beschriebene Verfahren nochmals anhand seiner funktionalen Blöcke veranschaulicht. Der beschriebene „Soft-Decision"-Decodierer 801 umfaßt die logischen Einheiten 802 bis 806 und ist zwischen Demodula- tor 807 und Kryptocodierer 808 geschaltet (für weitere Details innerhalb des Kanalcodierers siehe auch Fig.3).

Startpunkt- Verfahren

Eine alternative Ausführungsform ist die Bestimmung eines sog. Startpunkts als decodiertes Codewort. Dieser Startpunkt wird selbst als Ergebnis der Decodierung eingesetzt und nicht, wie oben beschrieben, mittels eines Optimierungsverfahrens (z.B. Branch-und-Bound-Verfahren) weiter verbessert. Ein Algorithmus in Pseudocode-Notation zur besonders effizienten Ermittlung des Startpunkts ist in Fig.12 dargestellt.

Der Algorithmus terminiert, da die Matrix G den vollen Rang k besitzt.

Die Matrix A_pq G {±l}^k>k sei die k x /c-Einheitsmatrix mit Extra-Element —1 in der p-q- Position.

Dann bewirkt A_pgG die Addition der q-ten Zeile von G zur p-ten Zeile von G. u^τA_pq bewirkt die Addition des p-ten Elements von u zum ς-ten Element von u.

Nach Durchführung des obigen Algorithmus gilt:

G = A_aaA_aa__l . . . A_CC2A_aι G (56) v _v .

-=-4- ' und folglich u^r = Ü^ΎA^{~ 1} (57)

= ü^τA_aaA_aa_₁ . . . A_a2A_aι . (58)

Diese Rückrechnung ist in obiger Pseudocode-Notierung bereits enthalten, wobei u und ü beide mit ü bezeichnet sind.

Der numerische Aufwand zur Berechnung beträgt

• O ( log ) Fließkomma-Operationen (Sortierung //) und

• im worst case O (/c³) Binär-Operationen und im best case O (k²) Binär- Operationen.

Der oben beschriebene Algorithmus „Systematisierung (Variante 2)" benötigt O (k² ) Binär-Operationen. Zudem ist der konstante Faktor in der Komplexitätsbetrachtung in der puren Startpunkt-Methode noch deutlich geringer, da weder die am aufwendigsten zu behandelnden „unsystematischen" Spalten von G bzw. G noch die Indexmengen Jj betrachtet werden müssen.

Prozessoreinheit

Fig.13 zeigt eine Prozessoreinheit PRZE, die geeignet ist zur Durchführung von Transformation und/oder Kompression/Dekompression. Die Prozessoreinheit PRZE umfaßt einen Prozessor CPU, einen Speicher SPE und eine Input/Output-Schnittstelle IOS, die über ein Interface IFC auf unterschiedliche Art und Weise genutzt wird: Über eine Grafikschnittstelle wird eine Ausgabe auf einem Monitor MON sichtbar und/oder auf einem Drucker PRT ausgegeben. Eine Eingabe erfolgt über eine Maus MAS oder eine Tastatur TAST. Auch verfügt die Prozessoreinheit PRZE über einen Datenbus BUS, der die Verbindung von einem Speicher MEM, dem Prozessor CPU und der Input/Output-Schnittstelle IOS gewährleistet. Weiterhin sind an den Datenbus BUS zusätzliche Komponenten anschließbar, z.B. zusätzlicher Speicher, Datenspeicher (Festplatte) oder Scanner.

Claims

Patentansprüche

1. Verfahren zur Decodierung eines vorgegebenen Codeworts,

(a) bei dem das Codewort mehrere Stellen mit Soft- Werten umfaßt;

(b) bei dem aus den Soft- Werten eine Menge von Soft- Werten bestimmt wird, indem eine Sortierung nach einem Sortierkriterium durchgeführt wird;

(c) bei dem anhand der Menge der Soft-Werte die Decodierung des Codeworts durchgeführt wird.

2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem das Sortierkriterium eine Güte der Soft-Werte umfaßt.

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, bei dem die Menge der Soft-Werte die besten Soft-Werte umfaßt.

4. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem das Codewort n Stellen aufweist, wobei k < n Stellen Information und n — k Stellen Redundanzinformation enthalten.

5. Verfahren nach Anspruch 4, bei dem die Größe der Menge bestimmt wird anhand einer Anzahl k der Stellen der Information.

6. Verfahren nach Anspruch 4 oder 5, bei dem anhand einer Transformationsvorschrift ein äquivalenter systematischer Code decodiert wird.

7. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche zur Decodierung eines in der Nachrichtenübertragung eingesetzten Blockcodes.

8. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem eine Qualität des decodierten Codeworts weiter verbessert wird, indem folgende Schritte durchgeführt werden:

(a) der Blockcode wird anhand einer Transformationsvorschrift in einen äquivalenten systematischen Blockcode transformiert, so daß diejenigen Stellen mit kleinsten Indizes den betragsmäßig größten Soft- Werten zugeordnet werden;

(b) es werden sukzessive die k Informationsbits unter Berücksichtigung der Soft-Werte mittels einer Optimierungsmethode bestimmt; (c) die gefundenen Informationsbits werden entsprechend der inversen Transformationsvorschrift zurücktransformiert .

9. Verfahren nach Anspruch 8, bei dem die Optimierungsmethode ein „Branch-and-Bound"- Verfahren ist.

10. Verfahren nach Anspruch 8 oder 9, bei dem durch die Transformationsvorschrift eine Generatormatrix des Blockcodes derart modifiziert wird, daß eine Umsortierung der Soft- Werte ihrer betragsmäßigen Größe nach erfolgt.

11. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem die Soft-Werte eine Ausgabe eines Demodulators sind.

12. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, die Soft-Werte Soft-Output- Werte eines vorgeschalteten Soft-Output- Decoders sind.

13. Anordnung zur Decodierung eines vorgegebenen Codeworts, bei der eine Prozessoreinheit vorgesehen ist, die derart eingerichtet ist, daß

(a) das Codewort mehrere Stellen mit Soft- Werten umfaßt;

(b) aus den Soft- Werten eine Menge von Soft- Werten bestimmbar ist, indem eine Sortierung nach einem Sortierkriterium durchgeführt wird;

(c) anhand der Menge der Soft-Werte die Decodierung des Codeworts erfolgt.