TWI411455B - 放射性醫療用粒子射束最佳化之方法與裝置 - Google Patents
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Description
一般而言，本發明係有關於放射性療法(radiotherapy)，更具體地說，本發明係有關於藉由一組粒子射束(particle beam)，對傳送至組織(tissue)之放射劑量進行最佳化。
於放射劑量最佳化的簡單形式中，劑量矩陣表示在n個立體像素藉由一組m射束所傳送的放射目標劑量。於此，立體像素表示於組織體積中的小立方體(立方毫米，mm3
)。非負射束加權之向量將線性組合該射束以產生累積立體像素放射劑量之向量。
一般情況下，劑量矩陣A
是相對高階(n>>m)和稀疏的矩陣。問題是要確定射束加權，保證不會劑量不足(underdose)和最小過量(overdose)，給定一目標劑量模式為一線性規劃(linear program，LP)：
目前，2G Hz的Pentium4處理器(Pentium 4 processor)在大約一秒鐘內可以求解小問題(m至103
射束和n至2m立體像素)。但是，該LP的求解時間一般為問題大小的立方，因此，目前對於更大的實際臨床問題，該方法是不切實際的。
LP和二階圓錐規劃(second-order cone programming，SOCP)法是具有吸引力的，因為它們致力於形式化，而最小化劑量傳遞誤差。然而，問題只限於幾千個可變量和限制，並需要數小時來求解。由於這個原因，該問題更偏愛目標函數的L 2
範數(norm)，亦即最小化總和平方誤差，而不允許劑量不足。這是最小平方不等式的問題(least-squares with inequalities，LSI)：
該LSI也可調整作為對LP的上限進行最佳化。總和平方過量進行最小化能得出較為流暢的求解方案，但會因為過量較大而不安全。該LSI特別為二次規劃(quadratic program，QP)功能良好之實例，假設該矩陣A
有一完整的列秩(row rank)，且該二次規劃是完全凸集。於此，LSI和QP可以互換使用。
於先前技術中，通常使用的方法是避免了劑量不足的限制並單純地設法降低平方誤差
或加權總和平方誤差
由於問題的大小，求解方法是經由重複地計算斜度(gradient)，共軛斜度(conjugate gradient)，或擬牛頓法(quasi-Newton method)，或較佳地為有限記憶布洛依登-弗萊徹-戈德法布-山摟(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno，BFGS)法。為了避免物理上不可能之求解，這些方法通常會修改，以使任何射束加權為負值之x i
，x i
並重設為零。這是不能保證能找到一最佳結果或避免劑量不足，但似乎已足夠好並能提供臨床使用。
更多的原則性方法，例如斜度投影，可以保證非負性和最佳性，但會增加處理時間，因而速度較慢。由於這個原因，圖形處理單元(graphic processor unit，GPU)的並行求解有時用來求解小問題時只需幾秒鐘。
本發明的具體實施例提供了一種將藉由一組粒子射束所傳送之放射劑量進行最佳化之方法。該方法使用一群更新非常快的乘法來解決非負最小(nonnegative least-squares，NNLS)問題和二次規劃(QP)之特殊種類。經由問題變換，重複的更新可求解最小距離的問題(least distance problem，LDP)、最小平方不等式的問題(least-squares inequality，LSI)，和一般的二次規劃(QP)。
積極性的應用為放射劑量最佳化，其係加此龐大之線性規劃(LP)，以至於該限制矩陣無法儲存於實際的記憶體內。
該方法對LP的L1
目標與L2
範數設定上限，以獲得該QP，並經由乘法迭代來發展出各種精確解與近似解。
本發明的具體實施例提供了一種相當快速的方法，其保證放射性醫療粒子射束之平方誤差的最佳性和非負加權。
對於“鉛筆射束”的療法，具有大約n至106
立體像素和m至104
射束。因此，計算時間主要由立體像素的數目來確定，且理想的是重新表述問題方式而最小化以立體像素為基礎的計算。於本領域中，該方法的步驟可以在連接記憶體和輸入/輸出介面之處理器執行。此外，並意味著相應的步驟可以在處理器執行。因此，根據本發明，該裝置是由該手段所組成。
如第1圖所示，輸入到該方法包括射束模型101，目標劑量102和處於風險之器官(organs at risk，OAR)之位置103。
第一步驟110決定正規化模型和正規化目標劑量。
該射束模型之格拉姆矩陣(Gram matrix)Q 是事先由決定115而來，其中T
為轉置運算子(transpose operator)。然後，同樣的變換應用到該目標劑量以取得。內積空間中之向量組之格拉姆矩陣為該內積的埃米特矩陣(Hermitian matrix)。
子取樣(subsample)120該目標劑量以決定該組射束之初始強度值。
現在，將忽略不等式限制。該目標函數改寫為一無限制條件之最小平方(least-square，LS)的問題
這是兩個數量級小於原來的LSI。請注意在正規的形式，有一些數值精確度損失，但這減輕了該劑量矩陣A
的稀疏度。
該無限制條件之最小平方問題以軟式平方誤差限制Ax b
取代該硬式不等式限制Ax b
。由於此問題為非負(A,b 0
)和過度限制(n
>>m
)，LS-最佳化的求解方案有兩個缺陷：一些LS-最佳化的射束加權將是極負的(X i
<0)；以及一些立體像素將為劑量不足(A i x
< b i
)。
根據本發明之方法完全解決了負射束加權的第一問題。給定一非負最小平方(NNLS)問題
使
乘法更新130
是為縮寫式，對於任何正h和正定h，收斂到最佳的任一正加權向量x
＞0。藉由與斜度相關的比例，此方程乘以x
的每一元素。實際上，在數值誤差容限150內，當所有的乘數等於1時，達到收斂。在這種情況下，如果成立，輸出該組射束之強度值160。否則，如果不成立，於下一次迭代前，該強度值170乘以該結果。
在劑量最佳化的範圍內，
, Q ij 0
, h i ＞0
，
因此，該迭代可以簡化為單一的矩陣-向量積，然後每一射束加權具有乘130和除140，使其適合高密度平行化(fine-grained parallelization)。該迭代的成本主要由格拉姆矩陣Q中非零項的數目所控制，其為具有不等於零的重疊之射束對的數目。
劑量不足的第二問題的產生是由於最小平方求解穩定地擴散誤差，其結果是會在欲治療之組織體積邊界上的立體像素作為劑量不足的一種方式，最小化過量至鄰近的立體像素所相對應的健康組織。對於公式(2.2)之NNLS問題，避免劑量不足只是消極的限制。有幾種啟發的方式來加強限制，而不用從根本上使得問題更加難以解決：(1)藉由加入τA T S(I- 1)S T A to Q
，對欲處理之立體像素明確規定變異數於劑量，其中S為選擇這些立體像素之二進制矩陣，I
為單位矩陣，1為全1的矩陣，t
是該等立體像素的數目，以及τ
是加權項，其對變異數平衡劑量誤差；
(2)重加權平方誤差的總和，使得該劑量誤差在邊界立體像素遠遠比其他部份更具有嚴格的規定，並且同樣的於處理體積外嚴格規定加權不足之立體像素。也就是說，有一些立體像素誤差加權向量w
，且設為
Q=A
T
diag(w)A and h=A
T
diag(w)b.
(3)Q=A(
diag(w
)A
andh
=A (
diag(w
)b；以及
(4)修改該目標組織體積，正值設置於四周邊緣，其衰變約匹配射束之衰變輪廓。
如果避免劑量不足設定為硬性的限制，那麼問題就變得更大，因為以設定計算立體像素劑量的極大空間以及與矩陣秩缺(rank-deficient)作用成為必要的；這兩條件減緩迭代求解的收斂。另一方面，啟發式是沒有必要的。
本節討論原LSI/QP的重新表述形式，保證沒有劑量不足，並可經由乘法更新來提供解決方案。
總劑量∥Ax
∥ 1
最小化可能是理想的，以無劑量不足為條件。不失一般性，非負A
具有單位行總和，使得∥Ax
∥ 1
=∥x
∥ 1
。因為∥x
∥ 2 ∥x
∥ 1
，在以下最小-距離問題(least-distance problem，LDP)中，總劑量的上限可最小化：
已知具有同等NNLS形式
它可以經由NNLS迭代來求解。該LDP和NNLS的最佳值是相關的，藉由
(1-b
T
u*)x*=A
T
u*+v*
提供一致性的原始限制，否則，右邊為零。請注意該LDP允許比原來公式(1.2)的QP具有較大的過量，因為該目標∥x
∥+2
有利於順利求解。此外，該LDP是非常大的，以及dim(u
)+dim(v
)=#voxels+#beams未知。但是，這並不允許為了利用該矩陣A
的稀疏度來加快速度。
藉由變換為一稍微複雜的LDP，正可求解原LSI，該變換藉由使變量改變為z
，使得
然後，LSI可以改寫為等效的LDP。一個“稀疏的”QR分解A
為UR
=A
，其中U
是單一的和R
是對角線的上方三角與非負值。該QP改寫L2
範數並保存變異數
z
U
T
(Ax-b)=Rx-U
T
b
以獲得最小值
和
其中表示一虛擬反矩陣(pseudo-inverse)。
該相應的NNLS為
與相關的最佳解
(1-d T u*)‧z*=C T u *
以及之後的x*=R (z*+U T b)
.
相應的乘法更新解決了劑量問題，沒有劑量不足、沒有負加權、以及最小平方過量。然而，儘管之前LDP/NNLS為稀疏的，但該NNLS卻是很稠密，於每次迭代需要相當多的計算。此外，還有因轉換兩次的問題所造成精確度的損失。
給定一嚴格凸集二次規劃的原始形式，
二之規劃的拉格朗日對偶(Lagrange dual)採形式為
和
Q
=AP -1 A T and h=b-AP -1 q
原始和對偶最佳值(optima)與x *
=P -1 (q
+A Tλ )
是相關的，並藉由NNLS迭代可求解該對偶。請注意x0是不能確定，除非明確編定該限制Ax b。將該限制特定化於公式(1.2)劑量最佳化LSI/QP，設為
x*
=(A T A
)-1 A / T
(b '
+λ*)
。
於此
包含x0的限制。該反矩陣(A T A
)-1
可以利用上述摺積分解做有效地計算。但必須小心，因為(A T A
)條件可能很差。
藉由對該比例的分母加入輔助矩陣向量積，可減少該目標劑量之矩形次區域內的放射劑量誤差，亦即對於在次區域內缺少的劑量值做出額外的處罰規定。
具體來說，考慮限定該原始QP之限制集，以禁止劑量不足只有在k 2m
立體像素，例如，那些邊界上的立體像素，以及離射束中心最遠的立體像素。對於限定的QP和非負Q
,h
,A
,b
以及所有i
，Qii>0，輔助矩陣向量積提供
λ
←diag(A " x) -1 diag(b " )λ
x
←diag(Qx) -1 diag(h+A " T λ)x
其中b 〞
為b
相對應於k
限制的立體像素的一子集，而A 〞
為相應的劑量矩陣A
的列子集。
輔助矩陣向量積包含對偶變量，也稱為影子價格(shadow price)，當&限制為有效時，該解為正值，否則為0。鑑於限制最佳化，該影子價格表示由一個單位的放寬限制所得到之最佳化問題之最佳解的目標值變化。
該方法也可用於對立體像素之任何組之最大或最小累積劑量施以硬性限制。該更新λ可改為相對於λ之沿著拉格朗日的斜度之小步階。
乘法迭代程序於正錐內任何地方均具有線性複雜度和收斂線性率。精確度的恆定位元數均可於每一迭代來獲得。乘法更新具有所有非負性限制隱含執行的優點。但是，數值誤差會很小的強度值有可能為零，之後強度會繼續“陷入“於零邊界。
因此，在步驟130，一非常小的正數，於相乘之前，0<ε<<1被加入到每一強度值以產生正的強度值。這使得迭代跳脫零邊界，每一變量更新可以在一向量平行的方式執行，以作為訊息傳遞程序，或者該更新可以順序地執行，在這種情況下，該射束加權更新X i
的好處可從該加權X i
更新每當Q ij
≠0得到。此造成收斂速度有點加快。
在該應用中，建議可提前終止，因為通常管理的劑量誤差為±2.5%，因此，任何精密的射束加權x
超過7位元會被浪費。
在這些方案操作下，該矩陣Q
=A T A
的形成通常是最耗時的。通常情況下，它是可以完全避免的。關鍵是Qij為兩射束內積，進而可計算出摺積。這可利用最簡單的射束模型。該射束為xy
平面高斯函數之外積和標準差σ
，以及z
平面之布拉格(Bragg)曲線。因此，兩射束之三維摺積藉由p
,q
,r
偏移來分解成一維摺積之外積
以上方程式，是的相反。因此，該矩陣Q
的元素為自動摺積Bragg曲線和兩個一維高斯函數之外積Q=Q B Q G Q G .
此結構經由變維單位矩陣，可以被利用來迅速確定Q
於x
上的行為過程
(C
D)x=vec(D
T
vec
rows(D)
(x)C).
對每一外積使用該單位矩陣，以減少純量乘法的總數為列(B G
)2
的倍數，亦即平面射束點的數目。優點為對於X
+Y
+Z
立體像素之體積，只有使用向量Q B
,Q G
,Q G
之x
+y
+z
元素來取代格拉姆矩陣之(xyz
)2
元素。同樣的邏輯，藉由依序摺積，該三維目標劑量b
沿x
和y
軸的一維高斯函數，然後沿布拉格曲線之z軸，可有效形成向量h
=A t b
。
請注意該高斯摺積橫跨整個無限xy
平面，這意味著最小平方誤差無處不在。由於該目標劑量隱含零值幾乎是無處不在，無限跨度有助於在目標邊界滾降。該作用似乎微乎其微，但在某些情況下，對於一些小體積。定積分
，其中，Φ( )為一誤差函數，而且，為一非負外積。
藉由對該比例的分母加入非向量積於加權誤差之第二公式之輔助矩陣，以減少放射劑量誤差於該目標劑量之矩形次區域，亦即對於在次區域內缺少的劑量值做出額外的處罰規定。
當該加權平方誤差∥diag(w)Ax-
diag(w)b
∥2
最小化時，格拉姆矩陣Q
之有限形式變得很有用。與一般形式作用，加權積是為
不幸地，大多數w
的選擇是先利用外積分解，以建立Q
，但是，在一些有用的情況下，該外積可以通過分割，成為該加權Q之兩矩陣
Q=A
T
A+A
T
(diag(w)
2
-I)A.
例如，統一加碼一些邊框，例如，環繞於處於風險之器官，由W i
=c
>1，第二被加數為一簡單的定積分Q
矩陣，如上所述，乘以c 2
-1。加碼小數量的個別像素，使得
並讓W '
包含非零行diag(w '
)，使第二被加數可以寫成i. A T
(diag(w
)2
-I
)A
=(A T W '
)(A T W '
)T
。
以相同的方式，可預先計算出該行之A T W ’1
為h
，並且最有效地計算作用於x是
為
(A T W '
)((A T W '
)T x
).
請注意使用外積乘法，需分別決定兩被加數作用於x以及總結該結果。
本發明的實施例採用二次規劃(QP)，以解決極其龐大而複雜的放射性醫療用粒子射束最佳化之問題。
QP於網絡最佳化、機器學習、物流、控制和許多其他應用中普遍存在著。當估計數量，常常以焦耳、時間或成本為單位，它們是特別有用，這是無法否定的。
由於WW2，求解QP之方法已被深入地建立，至少有一諾貝爾獎與此領域有關(哈里‧馬科維茨(Harry Markowitz)-1990年)。如今雖有許多的有用方法，但問題的規模已經難以控制。
本發明提供了一種新的和非常簡單的定點，解決在線性時間、線性空間和線性收斂速度之QP。這使得對於粒子射束進行最佳化特別有用，其中，QP具有>104
變量和>106
限制。
由於其簡單化，該定點是非常快且並行的。先前技術之QP需要時間來求解這個問題。本文所描述的方法可以於視訊畫面率求解問題。
雖然本發明已藉由優選的實施例之例子方式來描述，各種其他適應及可於本發明提出修改的精神和範疇內是可以理解。因此，符合本發明之精神及範疇下，附加的申請專利範圍之目的涵蓋所有這些變化和修改。
101．．．射束模型
102．．．目標劑量
103．．．處於風險之器官
110．．．將射束模型，目標為(選擇性加權)置入正規化形式
115．．．決定
120．．．子取樣目標以獲得初始射束值
130．．．該值加ε乘以射束模型之格拉姆矩陣
135．．．格拉姆矩陣
140．．．結果除以目標之正規化形式
150．．．絕對值(結果-1)<容限?
160．．．輸出射束值
170．．．射束值乘以結果
第1圖係根據本發明具體實施例之方法之流程圖。
101．．．射束模型
102．．．目標劑量
103．．．處於風險之器官
110．．．將射束模型，目標為(選擇性加權)置入正規化形式
115．．．決定
120．．．子取樣目標以獲得初始射束值
130．．．該值加ε乘以射束模型之格拉姆矩陣
135．．．格拉姆矩陣
140．．．結果除以目標之正規化形式
150．．．絕對值(結果-1)<容限?
160．．．輸出射束值
170．．．射束值乘以結果
Claims (12)
- 一種藉由一組射束所傳送之放射劑量最佳化之方法，其中每一射束是為放射性醫療用粒子射束，係包括步驟：提供該組射束之模型和目標劑量；確定一模型和一目標劑量於正規形式中，係包括該模型之格拉姆矩陣(Gram matrix)；對該目標劑量子取樣，以確定該組射束之初始強度值，並重複以下的步驟，直到收斂：加入一非常小的正數(0<ε<<1)至每一強度值，以確保強度值大於零；格拉姆矩陣乘以強度值的向量以確定一乘積；除以元素智能(element-wise)，使該乘積為目標劑量的形式以確定相應的比例；以及確定在一數值誤差容限內是否所有的比例接近於1，如果成立，輸出該組射束的強度值，否則如果不成立，於下一次迭代之前，該比例乘以該強度值。
- 如申請專利範圍第1項所述之方法，其中格拉姆矩陣之每一元素代表每對射束，藉由該對射束所傳送該放射劑量的內積。
- 如申請專利範圍第1項所述之方法，復包括：盡可能分解格拉姆矩陣為外積，並直接應用該外積之因數於該組射束之強度值。
- 如申請專利範圍第1項所述之方法，復包括：藉由對該比例的分母加入輔助矩陣向量積，可減少該目標劑量之矩形次區域內的放射劑量誤差，亦即對於在次區域內缺少的劑量值做出額外的處罰規定。
- 如申請專利範圍第1項所述之方法，復包括：藉由對該比例的分子加入輔助矩陣向量積，採用硬性放射限制於該放射劑量之任意子區域，亦即保證硬性放射限制之影子價格。
- 如申請專利範圍第1項所述之方法，復包括：將該模型成為對偶形式，並應用子取樣步驟於該對偶模型，以計算出每一限制的影子價格為規定的目標劑量。
- 一種藉由一組射束所傳送之放射劑量最佳化之裝置，其中每一射束是為放射性醫療用粒子射束，係包括：提供該組射束之模型和目標劑量之方式；確定一模型和一目標劑量於正規形式中，係包括該模型之格拉姆矩陣之方式；對該目標劑量子取樣，以確定該組射束之初始強度值之方式，並重複以下的步驟，直到收斂：加入一非常小的正數(0<ε<<1)至每一強度值，以確保強度值大於零；格拉姆矩陣乘以強度值的向量以確定一乘積；除以元素智能(element-wise)，使該乘積為目標劑量的形式以確定相應的比例；以及確定在一數值誤差容限內是否所有的比例接近於1，如果成立，輸出該組射束的強度值，否則如果不成立，於下一次迭代之前，該比例乘以該強度值。
- 如申請專利範圍第7項所述之裝置，其中該格拉姆矩陣之每一元素代表每對射束，藉由該對射束傳送該放射劑量的內積。
- 如申請專利範圍第7項所述之裝置，復包括：盡可能分解格拉姆矩陣為外積，並直接應用該外積之因數於該組射束之強度值之手段。
- 如申請專利範圍第7項所述之裝置，復包括：藉由對該比例的分母加入輔助矩陣向量積，可減少該目標劑量之矩形次區域內的放射劑量誤差，亦即對於在次區域內缺少的劑量值做出額外的處罰規定之手段。
- 如申請專利範圍第7項所述之裝置，復包括：藉由對比例的分子加入輔助矩陣向量積，採用硬性放射限制於該放射劑量之任意子區域的手段，亦即保證硬性放射限制之影子價格之手段。
- 如申請專利範圍第7項所述之裝置，復包括：將該模型成為對偶形式，並應用子取樣步驟於該對偶模型，以計算出每一限制的影子價格為規定的目標劑量之手段。
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