CN104933743B - 利用修正乘子交替方向法对磁共振图像ppi重构的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及磁共振图像重构领域，旨在提供利用修正乘子交替方向法对磁共振图像PPI重构的方法。该利用修正乘子交替方向法对磁共振图像PPI重构的方法包括下述过程：获取磁共振中每一线圈扫描的图像；利用修正乘子交替方向法进行图像重构。本发明利用快速、高效的重构算法对磁共振图像进行联合重构，能有效达到减少扫描时间、提高成像质量、减少患者痛苦和治疗费用的目的。

Description

利用修正乘子交替方向法对磁共振图像PPI重构的方法

技术领域

本发明是关于磁共振图像重构领域，特别涉及利用修正乘子交替方向法对磁共振图像PPI重构的方法。

背景技术

部分并行成像(PPI)技术是一种多通道并行数据采集技术，对PPI技术中的多对比度的磁共振图像进行准确、快速同时的重构，能够使得MRI扫描时间短、价格低，进而大大减少患者的痛苦。磁共振图像进行PPI重构，一般通过对该图像的合理模型，进行非光滑凸优化问题的求解。正因为该问题在理论和应用两方面的重要性和求解的急迫性，最近几年，研究求解这类优化问题的快速而高效的算法成了一个十分重要的主流前沿研究课题。

关于非光滑凸优化问题及其高效快速的数值求解方法，虽然已有不少发展，不过所获成果距实际应用上的需求相差还很大，有许多基本而重要的问题亟待解决，譬如建立非光滑凸优化问题的合适模型，设计具有最佳收敛速率的高效快速数值求解算法和提高这些算法的功能以及减少计算时间，以及在实际应用、特别是在临床医学上的应用等问题。

因此对磁共振图像PPI重构方法的深入研究，不仅具有广发的发展可能和应用前景，并将对相关的学科及高新技术的发展带来积极的影响。

发明内容

本发明的主要目的在于克服现有技术中的不足，提供一种利用修正乘子交替方向法解决磁共振图像PPI技术中重构问题的方法。为解决上述技术问题，本发明的解决方案是：

提供利用修正乘子交替方向法对磁共振图像PPI重构的方法，具体包括下述过程：

(1)获取磁共振中每一线圈扫描的图像；

(2)利用修正乘子交替方向法进行图像重构；

所述过程(1)具体包括下述步骤：

步骤A：采用MRI系统进行扫描，获得每一线圈的图像；

步骤B：将步骤A得到的图像重构成一个图像，并采用下述公式(1)的模型表示：

公式(1)

其中，所述x表示变量，所述K表示X-＞Y的线性算法，分别是Rⁿ、R^m中凸子集，R表示实数域，它的诱导范数记为L_K＝||K||；G：X→R和F：Y→R是恰当的、凸的、下半连续映射；图像重构的模型属于公式(1)框架下的一种，通过极小化上述能量泛函(1)，求解x，从而得到重构后的图像；

所述过程(2)具体包括下述步骤：

步骤C：考虑一阶原始对偶方法与公式(1)相关的原始对偶问题：

公式(2)

其中，F^*：R^m→R是F的凸共轭算子；原始对偶方法解决鞍点问题有统一形式；

步骤D：采用分裂Bregman算法处理步骤B重构的图像，将公式(1)转化成下面的约束变分问题，即可采用下述ADMM来处理上述无约束问题：

公式(3)

其中，所述z用于代替Kx，加个约束使得z＝Kx，所述subject to是使得的意思，把上述无约束问题拆分成两个变量的问题再加个约束，以方便计算；

步骤E：写出公式(3)所对应的增广拉格朗日函数：

公式 (4)

其中，L_ρ(x，z，λ)表示增广拉格朗日函数；λ表示拉格朗日乘子；<λ，Kx-z>表示λ与Kx-z的内积，ρ表示二次惩罚项系数；

对公式(4)进行下述迭代，计算并更新x、z、λ，第k步迭代公式是：

公式(6)

公式(7)

λ^k+1＝λ^k+ρ(Kx^k+1-z^k+1) 公式(8)

其中，所述k是指迭代到第k步；

步骤F：当F(Kx)＝TV(x)时，其中TV(x)表示关于x的TV正则项；采用原始对偶算法求解公式(7)；

该式为公式(7)所对应的对偶范数；其中，

P＝{p＝(p₁；…；p_n)∈C²ⁿ：p_i∈C²，||p_i||₂≤1，1≤i≤n}，即所述p就是大括号中的定义；所述C²表示负数的二次空间；

步骤G：对公式(6)进行处理：

对于不容易求逆的G，一般的方法对G作线性展开成如下形式：

但是将上述式子带入公式(6)，它有两个平方项，故对公式(6)作如下的修改：

取 公式(10)

其中，所述其中I是单位；

故将公式(9)简化为：

x^k+1＝arg min_x||x-υ^k||²

其中，所述υ^k只涉及到x^k，z^k，λ^k，τ，ρ，K，为已知；

步骤H：因为公式(10)中的M的各变量为已知的，因此直接将(10)代入到公式(9)式；

再采用Nesterov的快速梯度方法处理问题公式(9)、公式(7)、公式(8)；

步骤I：按步骤H反复迭代求解，直至达到预先设定的最大迭代步数或者满足事先设定的迭代终止条件，得到的x^N+1即为最后重构的图像。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

本发明利用快速、高效的重构算法对磁共振图像进行联合重构，能有效达到减少扫描时间、提高成像质量、减少患者痛苦和治疗费用的目的。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明作进一步详细描述：

利用修正乘子交替方向法对磁共振图像PPI重构的方法，包括以下过程：

(1)获取磁共振中每一线圈扫描的图像；

(2)利用修正乘子交替方向法进行图像重构。

所述过程(1)具体是：

步骤A：磁共振中部分并行成像技术(PPI)是基于部分K空间数据的并行磁共振成像法，它是由多个线圈组成的系统同时对同一个体进行扫描和数据采集。从每个线圈中可以采集了一个图像，如果是八线圈系统则可得到8个图像，需要将这8个图像重构成一个图像。

步骤B：将步骤A得到的图像重构成一个图像的数学形式采用下述公式(1)表示：

公式(1)

其中，x表示变量，K表示X-＞Y的线性算法，分别是Rⁿ、R^m中凸子集，R表示实数域，它的诱导范数记为L_K＝||K||；G：X→R和F：Y→R是恰当的、凸的、下半连续映射；

所述过程(2)具体包括下述步骤：

步骤C：图像重构的模型属于公式(1)框架下的一种，通常F(Kx)是x，Dx，Wx的L¹-范数，其中D和W分别是梯度算子和小波算子，有时可选取为更一般的算子，而G(x)是Ax-b的L^p-范数或者是依赖于数据采集物理性质的其它形式。

现有求解公式(1)的三种常用而有效的方法：光滑化方法，一阶原始对偶方法，分裂Bregman算法或等价的ADMM算法。

步骤D：考虑一阶原始对偶方法与公式(1)相关的原始对偶问题：

公式(2)

其中F^*：R^m→R是F的凸共轭算子；

用原始对偶方法解决鞍点问题的统一形式如下算法1：

步骤①：初始化：选择x¹∈X，y¹∈Y，τ＞0，σ＞0，θ∈[0，1].

设置：

其中x¹表示迭代第一步x的值，y¹表示迭代第一步y的值，以此类推；τ表示大于0的正数，σ表示大于0的正数，θ表示大于等于0并且小于等于1的正数；表示迭代第一步的初始值；以此类推。

步骤②：迭代：如下式更新x^t，y^t，t＞0：

公式(3)

公式(4)

公式(5)

其中t是正整数，表示迭代次数；表示在Y范围内使得能量泛函取到最小值的y值，表示在X范围内使得能量泛函取到最小值的x值；表示取的负数，表示与y的内积、<Kx，y^t+1>表示Kx与y^t+1的内积；||x-x^t||²表示(x-x^t)的2-范数、||y-y^t||²表示(y-y^t)的2-范数。

步骤E：分裂Bregman算法(当G容易求逆时，也称等价的ADMM算法；当G不容易求逆时，也称Bregman算子分裂算法)的基本思想是将公式(1)转化成下面的约束变分问题

其中，z＝Kx；然后用ADMM来求解上述约束问题。

步骤F：对应于步骤E带约束极小问题的增广拉格朗日是

其中L_ρ(x，z，λ)表示增广拉格朗日函数；λ表示拉格朗日乘子；<λ，Kx-z>表示λ与Kx-z的内积，ρ表示二次惩罚项系数。

迭代过程是：

公式(6)

公式(7)

λ^k+1＝λ^k+ρ(Kx^k+1-z^k+1) 公式(8)

步骤G：当F(Kx)＝TV(x)时，其中TV(x)表示关于x的TV正则项；采用原始对偶算法求解式(7)；

其中P＝{p＝(p₁；…；p_n)∈C²n：p_i∈C²，||p_i||₂≤1，1≤i≤n}

其中TV(x)表示关于x的TV正则项。

对于容易求逆的G，很多传统的方法都能够处理，而对于不容易求逆的G，一般的方法对G作线性展开成如下形式，

来代替公式(6)中的G(x)，其中表示G(x^k)的梯度。特别地，当τ是常值时，就是Bregmen算子分裂法。

步骤H：算法1特点是用近似项而不是光滑项更新原始变量和对偶变量；Nesterov格式是用快速梯度格式更新式x^t+1，而算法1用的是标准梯度方法。

考虑公式(1)中G，如果G不容易求逆，用G的线性近似来代替算法1中的G。当利用快速梯度方法求解x^t+1时，G的梯度估计是在所有先前输出{x¹，…，x^t}的凸组合上，而利用标准梯度方法，G的梯度估计正如算法1所示的是在先前输出x^t上。

分析上述两点，考虑一般的G，为了容易求解，我们对式(6)作如下的修改

其中M仅为表示符号，与x^k+1无关。

步骤I：在公式(9)中，如，让M＝I(单位矩阵)，则公式(9)就是标准的将G线性化，但这样会涉及到两个平方项，在计算上仍不方便。所以建议取

公式(10)

其中

步骤J：将公式(9)简化为

x^k+1＝arg min_x||x-υ^k||²

其中υ^k只涉及到x^k，z^k，λ^k，τ，ρ，K，是已知的，因此计算更新上述x^k+1很容易；

将公式(10)中的M引入到公式(9)式，这里称之为修正的ADMM(modified ADMM).

用Nesterov的快速梯度方法来求解问题公式(9)-(7)-(8).标准梯度法，G的第k+1步迭代时的梯度估计只用到了上一步的x^k。相比于标准梯度法，Nesterov的快速梯度法在更新x^k+1的时候用到了前面所有的输出。第k+1步迭代更新梯度时，使得它是一个x⁰，x¹，…，x^k的适当线性凸组合，根据不同的迭代模型该凸组合会不同；此外，每一步输出结果也应该是x⁰，x¹，…，x^k+1的一个适当的线性凸组合而不只是x^k+1，我们最终的计算目的是得到最后一步输出的x^N+1，具中N是实验最终的迭代步数。

步骤K：按步骤J迭代求解，在达到预先设定的最大迭代步数或者满足事先设定的迭代终止条件的时候，最后得到的x^N+1就是我们最后重构的图像。

最后，需要注意的是，以上列举的仅是本发明的具体实施例。显然，本发明不限于以上实施例，还可以有很多变形。本领域的普通技术人员能从本发明公开的内容中直接导出或联想到的所有变形，均应认为是本发明的保护范围。

Claims (1)

1.利用修正乘子交替方向法对磁共振图像PPI重构的方法，其特征在于，具体包括下述过程：

(1)获取磁共振中每一线圈扫描的图像；

(2)利用修正乘子交替方向法进行图像重构；

所述过程(1)具体包括下述步骤：

步骤A：采用MRI系统进行扫描，获得每一线圈的图像；

步骤B：将步骤A得到的图像重构成一个图像，并采用下述公式(1)的模型表示：

其中，所述x表示变量，所述K表示X-＞Y的线性算子，分别是Rⁿ、R^m中凸子集，R表示实数域，K的诱导范数记为L_K＝||K||；G：X→R和F：Y→R是恰当的、凸的、下半连续映射；图像重构的模型属于公式(1)框架下的一种，通过极小化上述能量泛函(1)，求解x，从而得到重构后的图像；

所述过程(2)具体包括下述步骤：

步骤C：考虑一阶原始对偶方法与公式(1)相关的原始对偶问题：

其中，F^*：R^m→R是F的凸共轭算子；原始对偶方法解决鞍点问题有统一形式；

步骤D：采用分裂Bregman算法处理步骤B重构的图像，将公式(1)转化成下面的约束变分问题，即可采用下述ADMM来处理上述无约束问题：

其中，所述z用于代替Kx，加个约束使得z＝Kx，所述subject to是使得的意思，把上述无约束问题拆分成两个变量的问题再加个约束，以方便计算；

步骤E：写出公式(3)所对应的增广拉格朗日函数：

其中，L_ρ(x，z，λ)表示增广拉格朗日函数；λ表示拉格朗日乘子；<λ，Kx-z>表示λ与Kx-z的内积，ρ表示二次惩罚项系数；

对公式(4)进行下述迭代，计算并更新x、z、λ，第k步迭代公式是：

λ^k+1＝λ^k+ρ(Kx^k+1-z^k+1) 公式(8)

其中，所述k是指迭代到第k步；

步骤F：当F(Kx)＝TV(x)时，其中TV(x)表示关于x的TV正则项；采用原始对偶算法求解公式(7)；

该式为公式(7)所对应的对偶范数；其中，

P＝{p＝(p₁；…；p_n)∈C²ⁿ：p_i∈C²，||p_i||₂≤1，1≤i≤n}，即所述p就是大括号中的定义；所述C²表示负数的二次空间；

步骤G：对公式(6)进行处理：

对于不容易求逆的G，一般的方法对G作线性展开成如下形式：

其中，表示G在x^k处的梯度，τ是一个常数，表示步长；

但是将上述式子带入公式(6)，它有两个平方项，对公式(6)作如下的修改：

当M＝I，其中I是单位阵，则上述式子就是简单地将G线性化；

取

其中，所述其中I是单位矩阵；

故将公式(9)简化为：

x^k＋1＝arg min_x||x-υ^k||²

其中，所述υ^k表示由x^k，z^k，λ^k，τ，ρ，K，组合而成的一个变量，此变量是已知的；

步骤H：因为公式(10)中的M的各变量为已知的，因此直接将(10)代入到公式(9)式；

再采用Nesterov的快速梯度方法处理问题公式(9)、公式(7)、公式(8)；

步骤I：按步骤H反复迭代求解，直至达到预先设定的最大迭代步数或者满足事先设定的迭代终止条件，得到的x^N+1即为最后重构的图像。