TW202013927A - 基於質數陣列的後量子非對稱密鑰產生方法及系統、加密方法、解密方法及加密通訊系統 - Google Patents

基於質數陣列的後量子非對稱密鑰產生方法及系統、加密方法、解密方法及加密通訊系統 Download PDF

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Abstract

在一種後量子非對稱密鑰產生方法及系統中，一處理單元根據作為一亂數種子的一算術函數或古典字串產生一相關於一質數且具有無限個成分的質數向量，根據一基於該質數向量所產生的質數陣列產生一相關矩陣，根據該相關矩陣及一第一參考質數獲得一作為私鑰的第一參考反質數陣列，並根據一基於該相關矩陣及一第二參考質數所獲得的第二參考反質數陣列、該第一參考質數、該第二參考質數及一密鑰隨機陣列獲得一與該私鑰成對的公鑰。一根據該公鑰的加密方法、一根據該私鑰的解密方法及一利用該公鑰及該私鑰的加密通訊系統亦被揭露。

Description

基於質數陣列的後量子非對稱密鑰產生方法及系統、加密方法、解密方法及加密通訊系統
本發明是有關於一種非對稱密鑰產生方法，特別是一種基於質數陣列的後量子非對稱密鑰產生方法及系統、加密方法、解密方法及加密通訊系統。
現有的加密技術包含有：對稱密鑰加密協定，其使用一共享的密鑰來加密及解密，例如廣泛使用的AES(Advanced Encryption Standard)協定；非對稱密鑰加密協定，其使用不同的密鑰，即，成對的公鑰及私鑰來加密及解密，例如最先實施且廣泛使用的RSA協定；NTRU(Number Theory Research Unit)；及橢圓曲線密碼學(Elliptic Curve Cryptography，ECC)，其是一種基於橢圓曲線數學來建立公鑰加密的演算法。對稱密鑰加密協的實施必須有一用來交換此共享私鑰的安全通道，非對稱密鑰加密協定的實施雖不需此安全通道，但在產生此密鑰對以及編碼與解碼訊息時需更大量的計算，而對比於RSA協定，ECC雖可提供相當的或更高等級的安全性，但同樣地需花費較長的時間在加密及解密操作。
儘管如此，現有的加密技術仍存在有以下的缺點： 1.由於非對稱密鑰加密協定在加密和解密時一次僅完成一個字符，如此恐無法在短時間內發送大量數據； 2.由於非對稱密鑰加密協定使用屬於相同空間並且性質相似的公鑰和私鑰，如此恐較易遭受明文攻擊或暴力攻擊； 3.對於經由非對稱密鑰加密協定所產生的密鑰對，當一使用者以一不同於原有公鑰的新公鑰來加密通訊資料時，則持有原有私鑰的另一使用者在不將所持有的原有私鑰對應地更新為一與該新公鑰成對的新私鑰的情況下，恐因無法解密經新公鑰加密的通訊資料，而使任何通訊均失效； 4.當加密系統建置要求每一使用者所持有的密鑰更新時，則需要一個集中式管控及指示密鑰更新時間的實體； 5. 基於相當於整數分解問題的安全問題(如RSA，DSA)且基於離散對數問題(如橢圓曲線)的演算法將受到基於Shor和Grover的演算法的後量子(post-quantum)攻擊； 6.對於使用RSA、AES及NTRU的網路，不存在分散式密鑰更新協定，因為它不是基本定義的部分；及 7.傳統的加密演算法通常具有緊密耦合的私有-公共密鑰（即，每一個唯一公鑰與一個唯一的私鑰配對），並且聚焦其中一個密鑰的攻擊通常揭示另一個密鑰的資訊。
因此，本發明的目的，即在提供一種基於質數陣列的後量子非對稱密鑰產生方法及系統、加密方法、解密方法、以及加密通訊系統，其能克服習知技藝的缺點。
於是，本發明提供了一種後量子非對稱密鑰產生方法，藉由一處理單元來實施，並包含以下步驟：
(A)根據作為一亂數種子的一算術函數或一古典字串、及一質數p，產生一相關於該質數p且具有無限個成分的質數向量
Figure 02_image015
，該質數向量
Figure 02_image015
被表示成
Figure 02_image018
；
(B)根據該質數向量
Figure 02_image015
，產生一相關於該質數p以及三個均為正整數之參數m，s，t的質數陣列
Figure 02_image021
，其中該質數p及該等參數s，t構成一第一參數集I，且該質數陣列
Figure 02_image021
被定義為
Figure 02_image023
，並且當該第一參數集I中該質數p與該等參數s，t之數值被決定時，該質數陣列
Figure 02_image021
被簡化地表示成
Figure 02_image026
；
(C)根據步驟(B)所產生的該質數陣列
Figure 02_image026
，產生一相關矩陣
Figure 02_image007
，該相關矩陣
Figure 02_image007
被表示成
Figure 02_image029
，其中
Figure 02_image026
(j)代表該質數陣列
Figure 02_image026
的m個成分其中的第(j+1)個成分，且0≤j≤(m-1)；
(D)根據步驟(C)所產生的該相關矩陣
Figure 02_image032
、及一為一正整數的模數
Figure 02_image034
，產生該質數陣列
Figure 02_image026
對於該模數
Figure 02_image034
的一反質數陣列
Figure 02_image009
，該反質數陣列
Figure 02_image009
被表示成
Figure 02_image036
，其中
Figure 02_image038
代表該相關矩陣
Figure 02_image032
的行列式值對於該模數
Figure 02_image034
的一模反元素且被表示成
Figure 02_image040
，及
Figure 02_image042
代表該相關矩陣
Figure 02_image007
的一伴隨矩陣；
(E)任意選擇一第一參考質數p1 ，並根據一相關於該第一參考質數p1 、該質數陣列
Figure 02_image005
的該等m個成分其中一個最大成分b、一第一參考正整數
Figure 02_image046
，以及一由該參數m、一第二參考正整數
Figure 02_image048
及一第三參考正整數r所構成的第二參數集S的預定條件決定出一符合於該預定條件的第二參考質數p2 ，其中該預定條件包含
Figure 02_image050
；
(F)藉由分別將該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 作為該模數
Figure 02_image034
代入步驟(D)所產生的該反質數陣列
Figure 02_image009
，以分別獲得一作為一私鑰Kprivate 的第一參考反質數陣列
Figure 02_image011
及一第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
，其中
Figure 02_image052
；及
(G)根據步驟(F)所獲得的該第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
、該第一參考質數p1 、該第二參考質數p2 、及一具有m個介於0到該第一參考正整數
Figure 02_image046
的數字成分的密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
，產生一相對於該密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
且與該私鑰Kprivate 成對的公鑰Kpublic ，該公鑰Kpublic 為一具有m個數字成分的陣列
Figure 02_image056
且被表示成
Figure 02_image058
及
Figure 02_image060
，其中
Figure 02_image062
被定義為該第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
相關於該密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
的密鑰隨機化函數，並被表示成
Figure 02_image064
，其中
Figure 02_image066
代表一卷積運算子。
於是，本發明所提供的一種加密方法係藉由一處理器來實施，並包含以下步驟：利用該後量子非對稱密鑰產生方法其中的該公鑰Kpublic 與該第二參考質數p2 以及一具有m個介於0到該後量子非對稱密鑰產生方法中的該第二參考正整數
Figure 02_image068
的數字成分的加密隨機陣列
Figure 02_image069
，對於一對應於一要被傳送的明文訊息且具有m個數字成分的資料陣列
Figure 02_image071
進行一加密程序，以獲得一相對於該加密隨機陣列
Figure 02_image069
且具有m個加密數字成分的密文陣列
Figure 02_image074
。
於是，本發明所提供的一種解密方法係藉由一處理器來實施，並包含以下步驟：利用該後量子非對稱密鑰產生方法中的該質數陣列
Figure 02_image005
、該私鑰Kprivate 、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 ，對於經由該加密方法所產生的該密文陣列
Figure 02_image074
進行一解密程序，以獲得一具有m個解密數字成分的明文陣列
Figure 02_image077
。
於是，本發明所提供的一種後量子非對稱密鑰產生系統包含一質數向量產生模組、一質數陣列產生模組、一相關矩陣產生模組、一反質數陣列產生模組、一私鑰產生模組、及一公鑰產生模組。
該質數向量產生模組根據作為一亂數種子的一算術函數或一古典字串、及一質數p，產生一相關於該質數p且具有無限個成分的質數向量
Figure 02_image015
，該質數向量
Figure 02_image015
被表示成
Figure 02_image018
。
該質數陣列產生模組連接該質數向量產生模組，並根據來自該質數向量產生模組的該質數向量
Figure 02_image015
，產生一相關於該質數p以及三個均為正整數之參數m，s，t的質數陣列
Figure 02_image021
，其中該質數p及該等參數s，t構成一第一參數集I，且該質數陣列
Figure 02_image021
被定義為
Figure 02_image023
，並且當該第一參數集I中該質數p與該等參數s，t之數值被決定時，該質數陣列
Figure 02_image021
被簡化地表示成
Figure 02_image026
。
該相關矩陣產生模組連接該質數陣列產生模組，並根據來自於該質數陣列產生模組的該質數陣列
Figure 02_image026
，產生一相關矩陣
Figure 02_image007
，該相關矩陣
Figure 02_image007
被表示成
Figure 02_image029
，其中
Figure 02_image026
(j)代表該質數陣列
Figure 02_image026
的m個成分其中的第(j+1)個成分，且0≤j≤(m-1)。
該反質數陣列產生模組連接該相關矩陣產生模組，並根據來自於該相關矩陣產生模組的該相關矩陣
Figure 02_image032
、及一為一正整數的模數
Figure 02_image034
，產生該質數陣列
Figure 02_image026
對於該模數
Figure 02_image034
的一反質數陣列
Figure 02_image009
，該反質數陣列
Figure 02_image009
被表示成
Figure 02_image036
，其中
Figure 02_image038
代表該相關矩陣
Figure 02_image032
的行列式值對於該模數
Figure 02_image034
的一模反元素且被表示成
Figure 02_image040
，及
Figure 02_image042
代表該相關矩陣
Figure 02_image007
的一伴隨矩陣。
該參考質數決定模組用來先任意選擇一第一參考質數p1，然後並根據一相關於該第一參考質數p1、該質數陣列
Figure 02_image005
的該等m個成分其中一個最大成分b、一第一參考正整數
Figure 02_image046
，以及一由該參數m、一第二參考正整數
Figure 02_image048
及一第三參考正整數r所構成的第二參數集S的預定條件決定出一符合於該預定條件的第二參考質數p2，其中該預定條件包含
Figure 02_image050
。
該私鑰產生模組連接該反質數陣列產生模組及該參考質數決定模組，並將來自於該參考質數決定模組的該第一參考質數p1作為該模數
Figure 02_image034
代入來自於該反質數陣列產生模組的該反質數陣列
Figure 02_image009
以獲得一作為一私鑰Kprivate 的第一參考反質數陣列
Figure 02_image011
，其中
Figure 02_image052
。
該公鑰產生模組連接該反質數陣列產生模組及該參考質數決定模組，且將來自於該參考質數決定模組的該第二參考質數p2作為該模數
Figure 02_image034
代入來自於該反質數陣列產生模組的該反質數陣列
Figure 02_image009
以獲得一第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
，並根據所獲得的該第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
、來自於該參考質數決定模組的該第一參考質數p1與該第二參考質數p2、及一具有m個介於0到該第一參考正整數
Figure 02_image046
的數字成分的密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
，產生一相對於該密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
且與該私鑰Kprivate 成對的公鑰Kpublic ，該公鑰Kpublic 為一具有m個數字成分的陣列
Figure 02_image056
且被表示成
Figure 02_image058
且
Figure 02_image060
，其中
Figure 02_image062
被定義為該第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
相關於該密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
的密鑰隨機化函數，並被表示成
Figure 02_image064
，其中
Figure 02_image066
代表一卷積運算子。
於是，本發明所提供的一種加密通訊系統包含一密鑰伺服器、一發送端、及一接收端。
該密鑰伺服器包括一質數向量產生模組、一質數陣列產生模組、一相關矩陣產生模組、一反質數陣列產生模組、一參考質數決定模組、一私鑰產生模組、及一公鑰產生模組。該質數向量產生模組根據作為一亂數種子的一算術函數或一古典字串、及一質數p，產生一相關於該質數p且具有無限個成分的質數向量
Figure 02_image015
，該質數向量
Figure 02_image015
被表示成
Figure 02_image018
。該質數陣列產生模組連接該質數向量產生模組，並根據來自該質數向量產生模組的該質數向量
Figure 02_image015
，產生一相關於該質數p以及三個均為正整數之參數m，s，t的質數陣列
Figure 02_image021
，其中該質數p及該等參數s，t構成一第一參數集I，且該質數陣列
Figure 02_image021
被定義為
Figure 02_image023
，並且當該第一參數集I中該質數p與該等參數s，t之數值被決定時，該質數陣列
Figure 02_image021
被簡化地表示成
Figure 02_image026
。該相關矩陣產生模組連接該質數陣列產生模組，並根據來自於該質數陣列產生模組的該質數陣列
Figure 02_image026
，產生一相關矩陣
Figure 02_image007
，該相關矩陣
Figure 02_image007
被表示成
Figure 02_image029
，其中
Figure 02_image026
(j)代表該質數陣列
Figure 02_image026
的m個成分其中的第(j+1)個成分，且0≤j≤(m-1)。該反質數陣列產生模組連接該相關矩陣產生模組，並根據來自於該相關矩陣產生模組的該相關矩陣
Figure 02_image032
、及一為一正整數的模數
Figure 02_image034
，產生該質數陣列
Figure 02_image026
對於該模數
Figure 02_image034
的一反質數陣列
Figure 02_image009
，該反質數陣列
Figure 02_image009
被表示成
Figure 02_image036
，其中
Figure 02_image038
代表該相關矩陣
Figure 02_image032
的行列式值對於該模數
Figure 02_image034
的一模反元素且被表示成
Figure 02_image040
，及
Figure 02_image042
代表該相關矩陣
Figure 02_image007
的一伴隨矩陣。該參考質數決定模組用來先任意選擇一第一參考質數p1，然後並根據一相關於該第一參考質數p1、該質數陣列
Figure 02_image005
的該等m個成分其中一個最大成分b、一第一參考正整數
Figure 02_image046
，以及一由該參數m、一第二參考正整數
Figure 02_image048
及一第三參考正整數r所構成的第二參數集S的預定條件決定出一符合於該預定條件的第二參考質數p2，其中該預定條件包含
Figure 02_image050
。該私鑰產生模組連接該反質數陣列產生模組及該參考質數決定模組，並將來自於該參考質數決定模組的該第一參考質數p1作為該模數
Figure 02_image034
代入來自於該反質數陣列產生模組的該反質數陣列
Figure 02_image009
以獲得一作為一私鑰Kprivate 的第一參考反質數陣列
Figure 02_image011
，其中
Figure 02_image052
。該公鑰產生模組連接該反質數陣列產生模組及該參考質數決定模組，且將來自於該參考質數決定模組的該第二參考質數p2作為該模數
Figure 02_image034
代入來自於該反質數陣列產生模組的該反質數陣列
Figure 02_image009
以獲得一第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
，並根據所獲得的該第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
、來自於該參考質數決定模組的該第一參考質數p1與該第二參考質數p2、及一具有m個介於0到該第一參考正整數
Figure 02_image046
的數字成分的密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
，產生一相對於該密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
且與該私鑰Kprivate 成對的公鑰Kpublic ，該公鑰Kpublic 為一具有m個數字成分的陣列
Figure 02_image056
且被表示成
Figure 02_image058
且
Figure 02_image060
，其中
Figure 02_image062
被定義為該第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
相關於該密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
的密鑰隨機化函數，並被表示成
Figure 02_image064
，其中
Figure 02_image066
代表一卷積運算子。
該發送端包含一儲存有該公鑰Kpublic 、該第二參考質數p2 及該第二參考正整數
Figure 02_image048
的儲存單元，及一電連接該儲存單元的處理器。
該接收端包含一儲存有該私鑰Kprivate 、該質數陣列
Figure 02_image005
、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 的儲存單元，及一電連接該接收端的該儲存單元的處理器。
對於一對應於一要被發送至該接收端的明文訊息且具有m個數字成分的資料陣列
Figure 02_image071
，該發送端的該處理器利用該儲存單元所儲存的該公鑰Kpublic 與該第二參考質數p2 、及一具有m個介於0到該第二參考正整數
Figure 02_image068
的數字成分的加密隨機陣列
Figure 02_image069
，對於該資料陣列
Figure 02_image071
進行一加密程序，以獲得一相對於該加密隨機陣列
Figure 02_image069
且具有m個加密數字成分的密文陣列
Figure 02_image074
，該發送端經由一第一通訊通道，將該密文陣列
Figure 02_image074
發送至該接收端。
在該接收端，該處理器在接收到來自該發送端的該密文陣列
Figure 02_image074
時，利用該儲存單元所儲存的該質數陣列
Figure 02_image005
、該私鑰Kprivate 、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 ，對於該密文陣列
Figure 02_image074
進行一解密程序，以獲得一具有m個解密數字成分的明文陣列
Figure 02_image077
，該明文陣列
Figure 02_image077
係完全相同於該資料陣列
Figure 02_image071
。
本發明的功效在於：使用算術函數或古典字串、質數向量及以本質上為向量的質數陣列所建構出的公鑰與私鑰能允許對於相對較大量的資料進行編碼及解碼，藉此能提升加密及解密速度並能確保通訊資料的安全性。特別是所提出的該加密通訊系統能確保後量子安全，因此可以有效抵抗後量子計算機的攻擊。再者，由於質數向量及質數陣列的性質，對於用來實施本發明的硬體在儲存空間及/或計算能力的要求是相對較低的。另外，本發明能在不影響私鑰的情況下允許公鑰的更新，藉此對於網路中的所有使用者能進行一分散式密鑰更新處理。此外，由於私鑰為一能產生無限量資料的函數，所以能僅根據一單一函數來產生多個不同的公鑰。
參閱圖1，本發明加密通訊系統100的一實施例包含一密鑰伺服器1、及多個使用端(圖中僅示例地繪出兩個使用端，其中一個作為一發送端2，而另一個作為一接收端3)。所有使用端可依照以下所述的加密程序及解密程序共同規範出的通訊協定來進行彼此的通訊，換句話說，每一使用端可依其實際使用上的需求而選擇性地作為發送端或接收端。該發送端2包含一儲存單元21、及一連接該儲存單元21的處理器22，而該接收端3包含一儲存端元31、及一連接該儲存單元31的處理器32。此外，值得注意的是，在本實施例中，該密鑰伺服器1係獨立於該發送端2及該接收端3，然而，在其他實施態樣中，該密鑰伺服器1亦可被整合於該發送端2。
該密鑰伺服器1係配置有一後量子(post-quantum)非對稱密鑰產生系統10。參閱圖2，該後量子非對稱密鑰產生系統10包含一質數向量產生模組11、一連接該質數向量產生模組11的該質數陣列產生模組13、一連接該質數陣列產生模組13的相關矩陣產生模組14、一連接該相關矩陣產生模組的反質數陣列產生模組15、一參考質數決定模組16、一連接該反質數陣列產生模組15與該參考質數決定模組16的私鑰產生模組17、一連接該反質數陣列產生模組15與該參考質數決定模組16的公鑰產生模組18，以及一連接該質數陣列產生模組13、該參考質數決定模組16、該私鑰產生模組17及該公鑰產生模組18的儲存模組19。值得注意的是，該質數向量產生模組11、該質數陣列產生模組13、該相關矩陣產生模組14、該反質數陣列產生模組15、該參考質數決定模組16、該私鑰產生模組17及該公鑰產生模組18例如可被整合於一處理單元(圖未示)，但不在此限。
該加密通訊系統100在實際使用之前，該密鑰伺服器1必須先產生用於加密資料的非對稱密鑰，例如一私鑰及至少一個與該私鑰成對的公鑰。以下，參閱圖2及圖3來示例地說明該後量子非對稱密鑰產生系統10如何執行一非對稱密鑰產生程序。該非對稱密鑰產生程序包含以下步驟。
首先，在步驟S31中，該質數向量產生模組11可根據例如一算術函數(作為一亂數種子)及一質數p，產生一相關於該質數p且具有無限個成分的質數向量，並將該質數向量
Figure 02_image015
輸出至該質數陣列產生模組13。在本實施例中，該質數向量
Figure 02_image015
可被表示成
Figure 02_image018
。然而，在其他實施態樣中，該質數向量產生模組11亦可根據一作為該亂數種子的古典字串及該質數p產生該質數向量
Figure 02_image015
。舉例來說，若該算術函數被定義如以下式(1)時，則該質數向量
Figure 02_image015
可被獲得如以下式(2)，但不在此限。
Figure 02_image096
，若n＞0 =1 ，若n=0 (1)
然後，在步驟S32中，該質數陣列產生模組13根據來自該質數向量產生模組11的該質數向量
Figure 02_image015
，產生一相關於該質數p以及三個均為正整數之參數m，s，t的質數陣列
Figure 02_image021
。在本實施例中，該質數p及該等參數s，t構成一第一參數集I(以下亦被表示成I=(p,s,t))，且該質數陣列
Figure 02_image021
被定義為
Figure 02_image023
。當該第一參數集I中的該質數p與該等參數s，t之數值被決定時，該質數陣列
Figure 02_image021
可被簡化地表示成
Figure 02_image026
。舉例來說，若沿用式(1)的算術函數並且在I(p,s,t)=(3,0,1)及m=5的情況下，則該質數向量
Figure 02_image098
3 及該質數陣列
Figure 02_image100
(
Figure 02_image102
)可被獲得分別如以下式(2)及式(3)，但不在此限。
Figure 02_image098
3 =[1,-7,3,-2,0,-5,0,-8,0,-7,…] (2)
Figure 02_image104
(3)
再舉另一例，若該算術函數被定義如以下式(4)且同樣在I(p,s,t)=(3,0,1)及m=5的情況下時，則該質數向量
Figure 02_image098
3 及該質數陣列
Figure 02_image100
(
Figure 02_image102
)可被獲得分別如以下式(5)及式(6)。
Figure 02_image108
，若n＞0 =1 ，若n=0 (4)
Figure 02_image098
3 =
Figure 02_image110
(5)
Figure 02_image112
(6)
由上述兩例可得知，若該算術函數為一密秘函數且該第一參數集亦為一密秘實例時，該質數陣列的對應實例可被產生。如此，藉由保存該第一參數集I，則對應的質數陣列可以隨時重新先取回。
然後，在步驟S33中，該質數陣列產生模組13判定該質數陣列
Figure 02_image026
的該等m個成分是否均不為零。若該判定結果為肯定時，該質數陣列產生模組13將該質數陣列
Figure 02_image026
輸出至該相關矩陣產生模組14，並將該質數陣列
Figure 02_image026
儲存於該儲存模組19(步驟S34)。例如，在上述示例中，如式(3)及式(6)的該質數向量
Figure 02_image026
的5個成分均不為零。反之，若該質數陣列產生模組13判定出步驟S32所產生的該質數陣列
Figure 02_image026
的該等m個成分中存在有一個成分為零時，流程返回步驟S32，並在決定出該第一參數集I的另一實例(即，本次所決定的p,s,t之值異於上一次I中的p、s及t之值)後重複執行步驟S32，直到步驟S33的判定結果為肯定。
接著，在步驟S35中，該相關矩陣產生模組14根據來自於該質數陣列產生模組13的該質數陣列
Figure 02_image026
，產生一相關矩陣
Figure 02_image007
，並將該相關矩陣
Figure 02_image007
輸出至該反質數陣列產生模組15。該相關矩陣
Figure 02_image007
被表示成
Figure 02_image029
，其中
Figure 02_image026
(j)代表該質數陣列
Figure 02_image026
的m個成分其中的第(j+1)個成分，且0≤j≤(m-1)。舉例來說，若根據式(6)的該質數陣列
Figure 02_image102
，則該相關矩陣產生模組14所產生的該相關矩陣
Figure 02_image114
如下：
Figure 02_image116
(7)
接著，在步驟S36中，該反質數陣列產生模組15根據來自於該相關矩陣產生模組14的該相關矩陣
Figure 02_image007
、及一為一正整數的模數
Figure 02_image034
，產生該質數陣列
Figure 02_image026
對於該模數
Figure 02_image034
的一反質數陣列
Figure 02_image009
。該反質數陣列模組15將該反質數陣列
Figure 02_image009
輸出至該私鑰產生模組17及該公鑰產生模組18。在本實施例中，該反質數陣列
Figure 02_image009
被表示成
Figure 02_image036
，其中
Figure 02_image038
代表該相關矩陣
Figure 02_image032
的行列式值對於該模數
Figure 02_image034
的一模反元素且被表示成
Figure 02_image040
，及
Figure 02_image042
代表該相關矩陣
Figure 02_image007
的一伴隨矩陣。
另一方面，在步驟S37中，該參考質數決定模組16先任意選擇一第一參考質數p1 ，並根據一相關於該第一參考質數p1 、該質數陣列
Figure 02_image005
的該等m個成分其中一個最大成分b、一第一參考正整數
Figure 02_image046
，以及一由該參數m、一第二參考正整數
Figure 02_image048
及一第三參考正整數r所構成的第二參數集S(以下亦被表示成S=(m,
Figure 02_image048
,r))的預定條件決定出一符合於該預定條件的第二參考質數p2 ，其中該預定條件包含
Figure 02_image050
。該參考質數決定模組16還將該第一參考質數p1 輸出至該私鑰產生模組17，且將該第一參考質數p1 與該第二參考質數p2 輸出至該公鑰產生模組18。此外，該參考質數決定模組16還將該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 儲存於該儲存模組19。舉例來說，若沿用前例中式(6)的
Figure 02_image102
，則
Figure 02_image118
，且在S=(m,
Figure 02_image048
,r)=(5,120,120)及
Figure 02_image046
=120的情況下，當該參考質數決定模組16選擇p1 =251，則該預定條件被表示如下：
Figure 02_image120
如此可決定出例如p2 =180720001，但不在此限。
跟隨在步驟S36及S37的步驟S38中，該私鑰產生模組17將來自於該參考質數決定模組16的該第一參考質數p1 作為該模數
Figure 02_image034
代入來自於該反質數陣列產生模組15的該反質數陣列
Figure 02_image009
以獲得一作為一私鑰Kprivate 的第一參考反質數陣列
Figure 02_image011
(即，Kprivate =
Figure 02_image011
)，其中
Figure 02_image052
，並將該第一參考反質數陣列
Figure 02_image011
儲存於該儲存模組19。舉例來說，依照前例中m=3，p=5及p1 =251，由於
Figure 02_image122
且L251 =(68)-1 (mod 251)=48，於是該私鑰Kprivate 被獲得如下： Kprivate =
Figure 02_image124
=
Figure 02_image126
=
Figure 02_image128
L251
Figure 02_image130
Figure 02_image114
Figure 02_image132
Figure 02_image134
=
Figure 02_image136
(8)
跟隨在步驟S36及S37的步驟S39中，該公鑰產生模組18將來自於該參考質數決定模組16的該第二參考質數p2 作為該模數
Figure 02_image034
代入來自於該反質數陣列產生模組15的該反質數陣列
Figure 02_image009
以獲得一第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
，並將第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
儲存於該儲存模組19。舉例來說，在例如
Figure 02_image046
=120且依照前例中m=5，p=3及p2 =18072001的情況下，由於
Figure 02_image138
且
Figure 02_image140
，所以
Figure 02_image142
=
Figure 02_image144
Figure 02_image146
Figure 02_image148
=
Figure 02_image128
L18072001
Figure 02_image130
Figure 02_image114
Figure 02_image132
=
Figure 02_image151
(9)
最後，在步驟S40中，該公鑰產生模組18根據所獲得的該第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
、來自於該參考質數決定模組16的該第一參考質數p1 與該第二參考質數p2 、及一具有m個介於0到該第一參考正整數
Figure 02_image046
的數字成分的密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
，產生一相對於該密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
且與該私鑰Kprivate 成對的公鑰Kpublic 。在本實施例中，該公鑰Kpublic 為一具有m個數字成分的陣列
Figure 02_image056
且被表示成
Figure 02_image058
且
Figure 02_image060
，其中
Figure 02_image062
被定義為該第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
相關於該密鑰隨機陣列
Figure 02_image054
的密鑰隨機化函數，並被表示成
Figure 02_image064
，其中
Figure 02_image066
代表一卷積運算子。舉例來說，依照前例中m=5，p=3，p1 =251，p2 =18072001及式(9)的
Figure 02_image142
的情況下，若
Figure 02_image046
=120且例如
Figure 02_image155
時，則該公鑰Kpublic 可被獲得如下：
Figure 02_image157
(10) 但不在此限。值得注意的是，若採用另一密鑰隨機陣列
Figure 02_image159
且
Figure 02_image161
的情況下，則可獲得另一與該私鑰Kprivate 成對的公鑰K* public ，如下：
Figure 02_image163
(11) 換句話說，該公鑰產生模組18若採用不同的密鑰隨機陣列時將產生不同的但仍與該私鑰Kprivate 成對的公鑰，藉此有利於該密鑰伺服器1對於該公鑰的更新(refresh)。
至此，該後量子非對稱密鑰產生系統10完成該非對稱密鑰產生程序。於是，該密鑰伺服器1將該公鑰Kpublic 、該第二參考質數p2 及該第二參考正整數
Figure 02_image048
經由一通訊通道C2(圖1)傳送至該發送端2。另一方面，該密鑰伺服器1將該私鑰Kprivate 、該質數陣列
Figure 02_image026
、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 經由一通訊通道C3(圖1)傳送至該接收端3。
參閱圖5，該發送端2的該處理器22在接收到來自該密鑰伺服器1的該公鑰Kpublic 、該第二參考質數p2 及該第二參考正整數
Figure 02_image048
時，將該公鑰Kpublic 、該第二參考質數p2 及該第二參考正整數
Figure 02_image048
儲存於該儲存單元21。在本實施例中，該處理器22例如配置有一訊息轉換模組221、一加密隨機化函數產生模組222、及一連接該訊息轉換模組221與該加密隨機化函數產生模組222的密文陣列產生模組223。
參閱圖6，該接收端3的該處理器32在接收到來自該密鑰伺服器1的該私鑰Kprivate 、該質數陣列
Figure 02_image026
、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 時，將該私鑰Kprivate 、該質數陣列
Figure 02_image026
、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 儲存於該儲存單元31。在本實施例中，該處理器32例如配置有一第一卷積運算模組321、及一連接該第一卷積運算模組321的該第二卷積運算模組322。
以下，將參閱圖5及圖7來詳細地說明該發送端2對於一要被發送至該接收端3的明文訊息如何執行一加密程序。在本實施例中，該明文訊息例如具有m個字符。該加密程序包含以下步驟。
在步驟S71中，該訊息轉換模組221利用例如ASCII code的預定字符轉數字技術，將該明文訊息轉換成一具有m個數字成分的資料陣列
Figure 02_image071
。更明確地說，該資料陣列
Figure 02_image071
的該等m個數字成分其中每一者係介於0到該第一參考正整數
Figure 02_image046
，並代表該明文訊息中的一對應的字符。舉例來說，若該明文訊息為「Hello」(也就是，m=5)時，利用ASCII code轉換後所獲得的該資料陣列
Figure 02_image170
如下：
Figure 02_image172
(12) 但不在此限。
在步驟S72中，該加密隨機化函數產生模組222根據該儲存單元21所儲存的該公鑰Kpublic 、及一具有m個介於0到該第二參考正整數
Figure 02_image068
的數字成分的加密隨機陣列
Figure 02_image069
，產生該公鑰Kpublic 相關於該加密隨機陣列
Figure 02_image069
的一加密隨機化函數
Figure 02_image175
，該加密隨機化函數
Figure 02_image175
被表示成
Figure 02_image178
。舉例來說，依照前例S=(m,
Figure 02_image048
,r)=(5,120,120)及式(10)的Kpublic =
Figure 02_image180
=
Figure 02_image182
的情況，若
Figure 02_image184
時，則所獲得的該加密隨機化函數
Figure 02_image186
如下：
Figure 02_image188
(13) 但不在此限。又或者，若
Figure 02_image190
時，將獲得另一個加密隨機化函數
Figure 02_image192
如下：
Figure 02_image194
(14) 換句話說，該加密隨機化函數產生模組222若採用不同的加密隨機陣列時將產生不同的加密隨機化函數。
跟隨在步驟S71及S72之後的步驟S73中，該密文陣列產生模組223將來自於該訊息轉換模組221的該資料陣列
Figure 02_image071
與來自於該加密隨機化函數產生模組222的該加密隨機化函數
Figure 02_image175
相加之和模除該第二參考質數p2 而獲得一相對於該加密隨機陣列
Figure 02_image069
且具有m個加密數字成分的密文陣列
Figure 02_image074
，該密文陣列
Figure 02_image074
被表示成
Figure 02_image198
。舉例來說，依照前例中式(12)的
Figure 02_image170
及式(13)的
Figure 02_image200
的情況，則所獲得的該密文陣列
Figure 02_image202
如下：
Figure 02_image204
Figure 02_image206
(15) 又或者，若依照前例中式(2)的
Figure 02_image170
及式(14)的
Figure 02_image192
的情況，將獲得另一個密文陣列
Figure 02_image209
如下：
Figure 02_image211
Figure 02_image213
(16)
至此，該發送端2執行完該加密程序，並經由一通訊通道C1(圖1)，將該密文陣列
Figure 02_image074
發送至該接收端3。
在本實施例中，該等通訊通道C1，C2，C3分別作為一第一通訊通道、一第二通訊通道及一第三通訊通道。值得一提的是，該第一通訊通道C1可為一非加密通道。
以下，參閱圖6及圖8來說明該接收端3如何對於一接收自該發送端2的密文執行一解密程序。在本實施例中，該密文例如為該密文陣列
Figure 02_image074
，但不在此限，且該解密程序包含以下步驟。
首先，在步驟S81中，該第一卷積運算模組321計算出該密文陣列
Figure 02_image074
與該儲存單元31所儲存的該質數陣列
Figure 02_image026
的一第一卷積運算結果(也就是，
Figure 02_image217
)，並將該第一卷積運算結果模除該第二參考質數p2 而獲得一第一模除結果(也就是，
Figure 02_image219
)，並且將該第一模除結果模除該第一參考質數p1 而獲得一第二模除結果
Figure 02_image221
，於是，該第二模除結果
Figure 02_image221
被表示成
Figure 02_image223
。舉例來說，依照前例中的p1 =251，p2 =18072001，式(6)的
Figure 02_image225
及式(15)的
Figure 02_image227
的情況，則所獲得的該第一模除結果及該第二模除結果
Figure 02_image229
分別如下：
Figure 02_image231
Figure 02_image233
(17) 又或者，若依照前例中的p1 =251，p2 =18072001，式(6)的
Figure 02_image225
及式(16)的
Figure 02_image209
的情況，將獲得另一第一模除結果及另一第二模除結果
Figure 02_image235
分別如下：
Figure 02_image237
Figure 02_image239
Figure 02_image241
(18) 值得注意的是，該第一卷積運算模組321雖然採用了不同的密文陣列如
Figure 02_image227
及
Figure 02_image209
，但獲得了相同的第二模除結果(
Figure 02_image244
Figure 02_image246
)。
之後，在步驟S82中，該第二卷積運算模組322計算出來自於該第一卷積運算模組321的該第二模除結果
Figure 02_image221
與該儲存單元31所儲存並作為該私鑰Kprivate 的該第一參考反質數陣列
Figure 02_image011
的一第二卷積運算結果，並將該第二卷積運算結果模除該第一參考質數p1 而獲得一明文陣列
Figure 02_image077
，該明文陣列
Figure 02_image077
被表示成
Figure 02_image250
。舉例來說，依照前例中的p1 =251，式(8)的
Figure 02_image252
及式(17)的
Figure 02_image229
，則所獲得的該明文陣列
Figure 02_image254
如下：
Figure 02_image256
如此可見，該明文陣列
Figure 02_image254
完全相同於式(12)的該資料陣列
Figure 02_image170
，因此，該接收端3經由將該明文陣列
Figure 02_image254
的所有數字成份轉換成字符後即可成功地解密出如「Hello」的明文訊息。至此，該接收端3執行完該解密程序。
另一方面，再參閱圖1及圖2，若該加密通訊系統100有必要更新密鑰時，選擇上，只需由該密鑰伺服器1的該公鑰產生模組18再次執行步驟S43，其中該公鑰產生模組18根據該儲存模組19所儲存的該第二參考反質數陣列
Figure 02_image013
、該第一參考質數p1 、該第二參考質數p2 、及另一不同於該密鑰隨機陣列
Figure 02_image259
的隨機陣列
Figure 02_image261
，如前述的
Figure 02_image159
，產生一相對於該隨機陣列
Figure 02_image261
且與該私鑰Kprivate 成對的更新公鑰K* public ，如式(11)的
Figure 02_image263
。同樣地，該更新公鑰K* public 可表示成
Figure 02_image265
及
Figure 02_image267
。然後，該密鑰伺服器1經由該第二通訊通道C2將該更新公鑰K* public 傳送至該發送端2。於是，該發送端2的該處理器22在接收到來自該密鑰伺服器1的該更新公鑰K* public 時，以該更新公鑰K* public 更新該發送端2的該儲存單元21所儲存的該公鑰Kpublic 。
之後，該發送端2的該處理器22在利用該更新公鑰K* public 、該第二參考質數p2 、及該加密隨機陣列
Figure 02_image069
，對該資料陣列
Figure 02_image071
進行該加密程序後，獲得另一相對於該更新公鑰K* public 與該加密隨機陣列
Figure 02_image069
且具有m個加密數字成分的密文陣列
Figure 02_image270
Figure 02_image272
，並經由該第一通訊通道C1將該密文陣列
Figure 02_image270
Figure 02_image272
發送至該接收端3。舉例來說，依照前例中的m=5，
Figure 02_image048
=120，式(12)的
Figure 02_image170
及式(11)的
Figure 02_image276
的情況，當
Figure 02_image278
時，則所獲得的該密文陣列
Figure 02_image280
如下：
Figure 02_image282
(19) 又或者，若
Figure 02_image284
，將獲得的該密文陣列
Figure 02_image286
如下：
Figure 02_image288
(20)
同樣地，該接收端3的該處理器32在接收到來自該發送端的該密文陣列
Figure 02_image270
Figure 02_image272
時，利用該質數陣列
Figure 02_image026
、該私鑰Kprivate 、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 ，對於該密文陣列
Figure 02_image270
Figure 02_image272
進行該解密程序而獲得該明文陣列
Figure 02_image077
。舉例來說，依照前例中的p1 =251，p2 =18072001，式(6)的
Figure 02_image295
及式(19)的
Figure 02_image280
的情況，則所獲得的該第一模除結果及該第二模除結果
Figure 02_image297
分別如下：
Figure 02_image299
Figure 02_image301
又或者，若照前例中的p1 =251，p2 =18072001，式(6)的
Figure 02_image295
及式(20)的
Figure 02_image286
的情況，將獲得的該第一模除結果及該第二模除結果
Figure 02_image303
分別如下：
Figure 02_image305
Figure 02_image307
值得注意的是，雖然該接收端3接收到使用了該更新公鑰K* public 所加密的不同密文陣列，如
Figure 02_image280
及
Figure 02_image286
，但仍可利用該私鑰獲得相同的第二模除結果(
Figure 02_image309
Figure 02_image246
)，於是可成功解密出該明文訊息。
因此，從上述例子的詳細說明可歸納出以下幾點：第一，該密鑰伺服器1的該後量子非對稱密產生系統10可僅使用單一算術函數，並在選擇多種不同的該第一參數集I、該第一參考質數p1 或該第二參考質數p2 ，藉由執行上述非對稱密鑰產生程序，能對應地產生多個不同的私鑰；第二，對於一固定的私鑰，該後量子非對稱密產生系統10僅須利用軟式的密鑰重置(reset)即可產生多個公鑰，藉此該密鑰伺服器1能容易地達成公鑰更新(refresh)功能；第三，該後量子非對稱密產生系統10產生該質數陣列的方式相當多元化，特別是一些隨機性被運用在該相關矩陣的產生，如m的大小及列(row)的選擇；及最後一點，在上述實施例中僅是為方便說明才選擇m=5及p1 =251，但為了加大可能的密鑰空間足以使暴力攻擊難以成功破解(需耗費極其冗長甚至荒誕的時間)，亦可選擇m=16，更甚者m=64，如此的訊息空間大小及密鑰空間將含有一更具巨大量的可能性，藉此使得暴力攻擊根本不可能得逞。
以下表1詳列了本發明加密通訊系統100例如以8核心/32Gb RAM的硬體來執行加密及解密程序的情況下，對於不同的訊息長度所需的加密時間及解密時間的實驗模擬結果。 表1
Figure 107134068-A0304-0001
 從表1可看出，對於相同的訊息長度，現有AES及RSA協定所需的時間將明顯長於本發明在加密及解密所需的時間達數百倍，換句話說，不論訊息長度的長短，本發明加密通訊系統100均能有效地大幅提升加/解密的處理速度。
綜上所述，故本發明的後量子非對稱密鑰產生系統10及加密通訊系統100確實能達成本發明的目的。
惟以上所述者，僅為本發明的實施例而已，當不能以此限定本發明實施的範圍，凡是依本發明申請專利範圍及專利說明書內容所作的簡單的等效變化與修飾，皆仍屬本發明專利涵蓋的範圍內。
100:加密通訊系統 1:密鑰伺服器 10:後量子非對稱密鑰產生系統 11:質數向量產生模組 13:質數陣列產生模組 14:相關矩陣產生模組 15:反質數陣列產生模組 16:參考質數決定模組 17:私鑰產生模組 18:公鑰產生模組 19:儲存模組 2:發送端 21:儲存單元 22:處理器 221:訊息轉換模組 222:加密隨機化函數產生模組 223:密文陣列產生模組 3:接收端 31:儲存單元 32:處理器 321:第一卷積運算模組 322:第二卷積運算模組 C1:通訊通道 C2:通訊通道 C3:通訊通道 S31-S40:步驟 S71-S73:步驟 S81-S82:步驟
Figure 02_image002
:質數向量
Figure 02_image021
，
Figure 02_image005
:質數陣列
Figure 02_image007
:相關矩陣
Figure 02_image009
:反質數陣列 p:質數 m,s,t:參數 I:第一參數集 p1:第一參考質數 p2:第二參考質數
Figure 02_image046
:第一參考正整數
Figure 02_image048
:第二參考正整數 r:第三參考正整數 S:第二參數集
Figure 02_image011
:第一參考反質數陣列 Kprivate:私鑰
Figure 02_image013
:第二參考反質數陣列 Kpublic:公鑰 K* public:更新公鑰
Figure 02_image175
:加密隨機化函數
Figure 02_image400
:密文陣列
Figure 02_image401
:第二模除結果
Figure 02_image077
:明文陣列
本發明的其他的特徵及功效，將於參照圖式的實施方式中清楚地呈現，其中： 圖1是一方塊圖，示例地說明本發明加密通訊系統的一實施例； 圖2是一方塊圖，示例地繪示出一配置於該實施例的一密鑰伺服器的後量子非對稱密鑰產生系統的組成； 圖3及圖4是流程圖，示例地說明該實施例的該後量子非對稱密鑰產生系統如何執行一非對稱密鑰產生程序； 圖5是一方塊圖，示例地繪示出該實施例的一發送端； 圖6是一方塊圖，示例地繪示出該實施例的一接收端； 圖7是一流程圖，示例地說明該實施例中一發送端如何對於一要被傳送的明文訊息執行一加密程序；及 圖8是一流程圖，示例地說明該實施例中的一接收端如何對於一接收自該發送端的密文執行一解密程序。
10:後量子非對稱密鑰產生系統
11:質數向量產生模組
13:質數陣列產生模組
18:公鑰產生模組
19:儲存模組
Figure 107134068-A0304-11-0001-3
:質數向量
Figure 107134068-A0304-11-0001-4
:質數陣列
Figure 107134068-A0304-11-0001-6
:相關矩陣
Figure 107134068-A0304-11-0001-7
:反質數陣列
p1:第一參考質數
14:相關矩陣產生模組
15:反質數陣列產生模組
16:參考質數決定模組
17:私鑰產生模組
p2:第二參考質數
Figure 107134068-A0304-11-0001-1
:第一參考反質數陣列
Kprivate:私鑰
Figure 107134068-A0304-11-0001-8
:第二參考反質數陣列
Kpublic:公鑰
K* public:更新公鑰

Claims (16)

  1. 一種後量子非對稱密鑰產生方法，藉由一處理單元來實施，包含以下步驟： (A)根據作為一亂數種子的一算術函數或一古典字串、及一質數p，產生一相關於該質數p且具有無限個成分的質數向量
    Figure 03_image015
    ，該質數向量
    Figure 03_image015
    被表示成
    Figure 03_image018
    ； (B)根據該質數向量
    Figure 03_image015
    ，產生一相關於該質數p以及三個均為正整數之參數m，s，t的質數陣列
    Figure 03_image021
    ，其中該質數p及該等參數s，t構成一第一參數集I，且該質數陣列
    Figure 03_image021
    被定義為
    Figure 03_image023
    ，並且當該第一參數集I中該質數p與該等參數s，t之數值被決定時，該質數陣列
    Figure 03_image021
    被簡化地表示成
    Figure 03_image026
    ； (C)根據步驟(B)所產生的該質數陣列
    Figure 03_image026
    ，產生一相關矩陣
    Figure 03_image007
    ，該相關矩陣
    Figure 03_image007
    被表示成
    Figure 03_image029
    ，其中
    Figure 03_image026
    (j)代表該質數陣列
    Figure 03_image026
    的m個成分其中的第(j+1)個成分，且0≤j≤(m-1)； (D)根據步驟(C)所產生的該相關矩陣
    Figure 03_image032
    、及一為一正整數的模數
    Figure 03_image034
    ，產生該質數陣列
    Figure 03_image026
    對於該模數
    Figure 03_image034
    的一反質數陣列
    Figure 03_image009
    ，該反質數陣列
    Figure 03_image009
    被表示成
    Figure 03_image036
    ，其中
    Figure 03_image038
    代表該相關矩陣
    Figure 03_image032
    的行列式值對於該模數
    Figure 03_image034
    的一模反元素且被表示成
    Figure 03_image040
    ，及
    Figure 03_image042
    代表該相關矩陣
    Figure 03_image007
    的一伴隨矩陣； (E)任意選擇一第一參考質數p1 ，並根據一相關於該第一參考質數p1 、該質數陣列
    Figure 03_image005
    的該等m個成分其中一個最大成分b、一第一參考正整數
    Figure 03_image046
    ，以及一由該參數m、一第二參考正整數
    Figure 03_image048
    及一第三參考正整數r所構成的第二參數集S的預定條件決定出一符合於該預定條件的第二參考質數p2 ，其中該預定條件包含
    Figure 03_image050
    ； (F)藉由分別將該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 作為該模數
    Figure 03_image034
    代入步驟(D)所產生的該反質數陣列
    Figure 03_image009
    ，以分別獲得一作為一私鑰Kprivate 的第一參考反質數陣列
    Figure 03_image011
    及一第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    ，其中
    Figure 03_image052
    ；及 (G)根據步驟(F)所獲得的該第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    、該第一參考質數p1 、該第二參考質數p2 、及一具有m個介於0到該第一參考正整數
    Figure 03_image046
    的數字成分的密鑰隨機陣列
    Figure 03_image054
    ，產生一相對於該密鑰隨機陣列
    Figure 03_image054
    且與該私鑰Kprivate 成對的公鑰Kpublic ，該公鑰Kpublic 為一具有m個數字成分的陣列
    Figure 03_image056
    且被表示成
    Figure 03_image058
    及
    Figure 03_image060
    ，其中
    Figure 03_image062
    被定義為該第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    相關於該密鑰隨機陣列
    Figure 03_image054
    的密鑰隨機化函數，並被表示成
    Figure 03_image064
    ，其中
    Figure 03_image066
    代表一卷積運算子。
  2. 一種加密方法，藉由一處理器來實施，包含以下步驟： 利用請求項1所述的後量子非對稱密鑰產生方法中的該公鑰Kpublic 與該第二參考質數p2 以及一具有m個介於0到請求項1所述的非對稱密鑰產生方法中的該第二參考正整數
    Figure 03_image068
    的數字成分的加密隨機陣列
    Figure 03_image069
    ，對於一對應於一要被傳送的明文訊息且具有m個數字成分的資料陣列
    Figure 03_image071
    進行一加密程序，以獲得一相對於該加密隨機陣列
    Figure 03_image069
    且具有m個加密數字成分的密文陣列
    Figure 03_image074
    。
  3. 如請求項2所述的加密方法，該明文訊息具有m個字符，其中，該資料陣列
    Figure 03_image071
    的該等m個數字成分其中每一者係介於0到請求項1所述的非對稱密鑰產生方法中的該第一參考正整數
    Figure 03_image046
    ，並代表該等m個字符其中一對應的字符。
  4. 如請求項2所述的加密方法，其中，該加密程序包含： 根據該公鑰Kpublic 及該加密隨機陣列
    Figure 03_image069
    ，產生該公鑰Kpublic 相關於該加密隨機陣列
    Figure 03_image069
    的一加密隨機化函數
    Figure 03_image175
    ，該加密隨機化函數
    Figure 03_image175
    被表示成
    Figure 03_image324
    ；及 將該資料陣列
    Figure 03_image071
    與該加密隨機化函數
    Figure 03_image175
    相加之和模除該第二參考質數p2 而獲得該密文陣列
    Figure 03_image074
    ，該密文陣列
    Figure 03_image074
    被表示成
    Figure 03_image198
    。
  5. 一種解密方法，藉由一處理器來實施，包含以下步驟： 利用請求項1所述的後量子非對稱密鑰產生方法中的該質數陣列
    Figure 03_image005
    、該私鑰Kprivate 、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 ，對於經由請求項2所述的加密方法所產生的該密文陣列
    Figure 03_image074
    進行一解密程序，以獲得一具有m個解密數字成分的明文陣列
    Figure 03_image077
    。
  6. 如請求項5所述的解密方法，其中，該解密程序包含： 將該密文陣列
    Figure 03_image074
    與該質數陣列
    Figure 03_image005
    的一第一卷積運算結果模除該第二參考質數p2 而獲得一第一模除結果，並將該第一模除結果模除該第一參考質數p1 而獲得一第二模除結果
    Figure 03_image221
    ，該第二模除結果
    Figure 03_image221
    被表示成
    Figure 03_image223
    ；及 將該第二模除結果
    Figure 03_image221
    與作為該私鑰Kprivate 的該第一參考反質數陣列
    Figure 03_image011
    的一第二卷積運算結果模除該第一參考質數p1 而獲得該明文陣列
    Figure 03_image077
    ，該明文陣列
    Figure 03_image077
    被表示成
    Figure 03_image250
    。
  7. 一種後量子非對稱密鑰產生系統，包含： 一質數向量產生模組，根據作為一亂數種子的一算術函數或一古典字串、及一質數p，產生一相關於該質數p且具有無限個成分的質數向量
    Figure 03_image015
    ，該質數向量
    Figure 03_image015
    被表示成
    Figure 03_image018
    ； 一質數陣列產生模組，連接該質數向量產生模組，並根據來自該質數向量產生模組的該質數向量
    Figure 03_image015
    ，產生一相關於該質數p以及三個均為正整數之參數m，s，t的質數陣列
    Figure 03_image021
    ，其中該質數p及該等參數s，t構成一第一參數集I，且該質數陣列
    Figure 03_image021
    被定義為
    Figure 03_image023
    ，並且當該第一參數集I中該質數p與該等參數s，t之數值被決定時，該質數陣列
    Figure 03_image021
    被簡化地表示成
    Figure 03_image026
    ； 一相關矩陣產生模組，連接該質數陣列產生模組，並根據來自於該質數陣列產生模組的該質數陣列
    Figure 03_image026
    ，產生一相關矩陣
    Figure 03_image007
    ，該相關矩陣
    Figure 03_image007
    被表示成
    Figure 03_image029
    ，其中
    Figure 03_image026
    (j)代表該質數陣列
    Figure 03_image026
    的m個成分其中的第(j+1)個成分，且0≤j≤(m-1)； 一反質數陣列產生模組，連接該相關矩陣產生模組，並根據來自於該相關矩陣產生模組的該相關矩陣
    Figure 03_image032
    、及一為一正整數的模數
    Figure 03_image034
    ，產生該質數陣列
    Figure 03_image026
    對於該模數
    Figure 03_image034
    的一反質數陣列
    Figure 03_image009
    ，該反質數陣列
    Figure 03_image009
    被表示成
    Figure 03_image036
    ，其中
    Figure 03_image038
    代表該相關矩陣
    Figure 03_image032
    的行列式值對於該模數
    Figure 03_image034
    的一模反元素且被表示成
    Figure 03_image040
    ，及
    Figure 03_image042
    代表該相關矩陣
    Figure 03_image007
    的一伴隨矩陣； 一參考質數決定模組，用來先任意選擇一第一參考質數p1 ，然後並根據一相關於該第一參考質數p1 、該質數陣列
    Figure 03_image005
    的該等m個成分其中一個最大成分b，以及一由該參數m、一第一參考正整數
    Figure 03_image046
    、一第二參考正整數
    Figure 03_image048
    及一第三參考正整數r所構成的第二參數集S的預定條件決定出一符合於該預定條件的第二參考質數p2 ，其中該預定條件包含
    Figure 03_image050
    ； 一私鑰產生模組，連接該反質數陣列產生模組及該參考質數決定模組，並將來自於該參考質數決定模組的該第一參考質數p1 作為該模數
    Figure 03_image034
    代入來自於該反質數陣列產生模組的該反質數陣列
    Figure 03_image009
    以獲得一作為一私鑰Kprivate 的第一參考反質數陣列
    Figure 03_image011
    ，其中
    Figure 03_image052
    ；及 一公鑰產生模組，連接該反質數陣列產生模組及該參考質數決定模組，且將來自於該參考質數決定模組的該第二參考質數p2 作為該模數
    Figure 03_image034
    代入來自於該反質數陣列產生模組的該反質數陣列
    Figure 03_image009
    以獲得一第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    ，並根據所獲得的該第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    、來自於該參考質數決定模組的該第一參考質數p1 與該第二參考質數p2 、及一具有m個介於0到該第一參考正整數
    Figure 03_image046
    的數字成分的密鑰隨機陣列
    Figure 03_image054
    ，產生一相對於該密鑰隨機陣列
    Figure 03_image054
    且與該私鑰Kprivate 成對的公鑰Kpublic ，該公鑰Kpublic 為一具有m個數字成分的陣列
    Figure 03_image056
    且被表示成
    Figure 03_image058
    且
    Figure 03_image060
    ，其中
    Figure 03_image062
    被定義為該第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    相關於該密鑰隨機陣列
    Figure 03_image054
    的密鑰隨機化函數，並被表示成
    Figure 03_image064
    ，其中
    Figure 03_image066
    代表一卷積運算子。
  8. 如請求項7所述的後量子非對稱密鑰產生系統，還包含一儲存模組，該儲存模組連接該質數陣列產生模組、該參考質數決定模組、該私鑰產生模組及該公鑰產生模組，並儲存來自於該質數陣列產生模組的該質數陣列
    Figure 03_image005
    、來自該參考質數決定模組的該第一參考質數p1 與該第二參考質數p2 、來自該私鑰產生模組的該第一參考反質數陣列
    Figure 03_image011
    、及來自該公鑰產生模組的該第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    。
  9. 如請求項8所述的後量子非對稱密鑰產生系統，其中，該公鑰產生模組根據該儲存模組所儲存的該第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    、該第一參考質數p1 、該第二參考質數p2 、及另一具有m個介於0到該第一參考正整數
    Figure 03_image046
    的數字成分且不同於該密鑰隨機陣列
    Figure 03_image054
    的隨機陣列
    Figure 03_image337
    ，產生一相對於該隨機陣列
    Figure 03_image337
    且與該私鑰Kprivate 成對的更新公鑰K* public ，該更新公鑰K* public 被表示成
    Figure 03_image339
    且
    Figure 03_image341
    。
  10. 一種加密通訊系統，包含：
    Figure 03_image343
    一密鑰伺服器，包括 一質數向量產生模組，根據作為一亂數種子的一算術函數或一古典字串，產生一相關於一質數p且具有無限個成分的質數向量
    Figure 03_image015
    ，該質數向量
    Figure 03_image015
    被表示成
    Figure 03_image018
    ， 一質數陣列產生模組，連接該質數向量產生模組，並根據來自該質數向量產生模組的該質數向量
    Figure 03_image015
    ，產生一相關於該質數p以及三個均為正整數之參數m，s，t的質數陣列
    Figure 03_image021
    ，其中該質數p及該等參數s，t構成一第一參數集I，且該質數陣列
    Figure 03_image021
    被定義為
    Figure 03_image023
    ，並且當該第一參數集I中該質數p與該等參數s，t之數值被決定時，該質數陣列
    Figure 03_image021
    被簡化地表示成
    Figure 03_image026
    ， 一相關矩陣產生模組，連接該質數陣列產生模組，並根據來自於該質數陣列產生模組的該質數陣列
    Figure 03_image026
    ，產生一相關矩陣
    Figure 03_image007
    ，該相關矩陣
    Figure 03_image007
    被表示成
    Figure 03_image029
    ，其中
    Figure 03_image026
    (j)代表該質數陣列
    Figure 03_image026
    的m個成分其中的第(j+1)個成分，且0≤j≤(m-1)， 一反質數陣列產生模組，連接該相關矩陣產生模組，並根據來自於該相關矩陣產生模組的該相關矩陣
    Figure 03_image032
    、及一為一正整數的模數
    Figure 03_image034
    ，產生該質數陣列
    Figure 03_image026
    對於該模數
    Figure 03_image034
    的一反質數陣列
    Figure 03_image009
    ，該反質數陣列
    Figure 03_image009
    被表示成
    Figure 03_image036
    ，其中
    Figure 03_image038
    代表該相關矩陣
    Figure 03_image032
    的行列式值對於該模數
    Figure 03_image034
    的一模反元素且被表示成
    Figure 03_image040
    ，及
    Figure 03_image042
    代表該相關矩陣
    Figure 03_image007
    的一伴隨矩陣， 一參考質數決定模組，用來先任意選擇一第一參考質數p1 ，然後並根據一相關於該第一參考質數p1 、該質數陣列
    Figure 03_image005
    的該等m個成分其中一個最大成分b、一第一參考正整數
    Figure 03_image046
    ，以及一由該參數m、一第二參考正整數
    Figure 03_image048
    及一第三參考正整數r所構成的第二參數集S的預定條件決定出一符合於該預定條件的第二參考質數p2 ，其中該預定條件包含
    Figure 03_image050
    ， 一私鑰產生模組，連接該反質數陣列產生模組及該參考質數決定模組，並將來自於該參考質數決定模組的該第一參考質數p1 作為該模數
    Figure 03_image034
    代入來自於該反質數陣列產生模組的該反質數陣列
    Figure 03_image009
    以獲得一作為一私鑰Kprivate 的第一參考反質數陣列
    Figure 03_image011
    ，其中
    Figure 03_image052
    ，及 一公鑰產生模組，連接該反質數陣列產生模組及該參考質數決定模組，且用來將來自於該參考質數決定模組的該第二參考質數p2 作為該模數
    Figure 03_image034
    代入來自於該反質數陣列產生模組的該反質數陣列
    Figure 03_image009
    以獲得一第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    ，並根據所獲得的該第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    、來自於該參考質數決定模組的該第一參考質數p1 與該第二參考質數p2 、及一具有m個介於0到該第一參考正整數
    Figure 03_image046
    的數字成分的密鑰隨機陣列
    Figure 03_image054
    ，產生一相對於該密鑰隨機陣列
    Figure 03_image054
    且與該私鑰Kprivate 成對的公鑰Kpublic ，該公鑰Kpublic 為一具有m個數字成分的陣列
    Figure 03_image056
    且被表示成
    Figure 03_image058
    且
    Figure 03_image060
    ，其中
    Figure 03_image062
    被定義為該第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    相關於該密鑰隨機陣列
    Figure 03_image054
    的密鑰隨機化函數，並被表示成
    Figure 03_image064
    ，其中
    Figure 03_image066
    代表一卷積運算子； 一發送端，包含一儲存有該公鑰Kpublic 、該第二參考質數p2 及該第二參考正整數
    Figure 03_image048
    的儲存單元，及一電連接該儲存單元的處理器；及 一接收端，包含一儲存有儲存有該私鑰Kprivate 、該質數陣列
    Figure 03_image005
    、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 的儲存單元，及一電連接該接收端的該儲存單元的處理器； 其中，對於一對應於一要被發送至該接收端的明文訊息且具有m個數字成分的資料陣列
    Figure 03_image071
    ，該發送端的該處理器利用該儲存單元所儲存的該公鑰Kpublic 與該第二參考質數p2 、及一具有m個介於0到該第二參考正整數
    Figure 03_image068
    的數字成分的加密隨機陣列
    Figure 03_image069
    ，對於該資料陣列
    Figure 03_image071
    進行一加密程序，以獲得一相對於該加密隨機陣列
    Figure 03_image069
    且具有m個加密數字成分的密文陣列
    Figure 03_image074
    ，該發送端經由一第一通訊通道，將該密文陣列
    Figure 03_image074
    發送至該接收端；及 其中，在該接收端，該處理器在接收到來自該發送端的該密文陣列
    Figure 03_image074
    時，利用該儲存單元所儲存的該質數陣列
    Figure 03_image005
    、該私鑰Kprivate 、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 ，對於該密文陣列
    Figure 03_image074
    進行一解密程序，以獲得一具有m個解密數字成分的明文陣列
    Figure 03_image077
    ，該明文陣列
    Figure 03_image077
    係完全相同於該資料陣列
    Figure 03_image071
    。
  11. 如請求項10所述的加密通訊系統，該明文訊息具有m個字符，其中，該發送端的該處理器係配置有一訊息轉換模組，該訊息轉換模組利用一預定字符轉數字技術，將該明文訊息轉換成該資料陣列
    Figure 03_image071
    ，且該資料陣列
    Figure 03_image071
    的該等m個數字成分其中每一者係介於0到該第一參考正整數
    Figure 03_image046
    ，並代表該等m個字符其中一個對應的字符。
  12. 如請求項11所述的加密通訊系統，其中： 該發送端的該處理器還配置有一加密隨機化函數產生模組、及一連接該訊息轉換模組與該加密隨機化函數產生模組的密文陣列產生模組；及 在該加密程序中，該加密隨機化函數產生模組根該公鑰Kpublic 、及該加密隨機陣列
    Figure 03_image069
    ，產生該公鑰Kpublic 相關於該加密隨機陣列
    Figure 03_image069
    的一加密隨機化函數
    Figure 03_image175
    ，該加密隨機化函數
    Figure 03_image175
    被表示成
    Figure 03_image349
    ，並且將該資料陣列
    Figure 03_image071
    與該加密隨機化函數
    Figure 03_image175
    相加之和模除該第二參考質數p2 而獲得該密文陣列
    Figure 03_image074
    ，該密文陣列
    Figure 03_image074
    被表示成
    Figure 03_image198
    。
  13. 如請求項10所述的加密通訊系統，其中： 該接收端的該處理器配置有一第一卷積運算模組、及一連接該第一卷積運算模組的第二卷積運算模組；及 在該解密程序中， 該第一卷積運算模組計算出該密文陣列
    Figure 03_image074
    與該質數陣列
    Figure 03_image005
    的一第一卷積運算結果，並將該第一卷積運算結果模除該第二參考質數p2 而獲得一第一模除結果，且將該第一模除結果模除該第一參考質數p1 而獲得一第二模除結果
    Figure 03_image221
    ，該第二模除結果
    Figure 03_image221
    被表示成
    Figure 03_image223
    ，及 該第二卷積運算模組計算出來自於該第一卷積運算模組的該第二模除結果
    Figure 03_image221
    與該儲存單元所儲存並作為該私鑰Kprivate 的該第一參考反質數陣列
    Figure 03_image011
    的一第二卷積運算結果，並將該第二卷積運算結果模除該第一參考質數p1 而獲得該明文陣列
    Figure 03_image077
    ，該明文陣列
    Figure 03_image077
    被表示成
    Figure 03_image250
    。
  14. 如請求項10所述的加密通訊系統，其中： 在該公鑰Kpublic 、第二參考質數p2 及該第二參考正整數
    Figure 03_image048
    被儲存於該發送端的該儲存單元之前，該密鑰伺服器將該公鑰Kpublic 、該第二參考質數p2 及該第二參考正整數
    Figure 03_image048
    經由一第二通訊通道傳送至該發送端，以致該發送端的該處理器將接收自該密鑰伺服器的該公鑰Kpublic 、該第二參考質數p2 及該第二參考正整數
    Figure 03_image048
    儲存於該發送端的該儲存單元；及 在該私鑰Kprivate 、該質數陣列
    Figure 03_image005
    、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 被儲存於該接收端的該儲存單元之前，該密鑰伺服器將該私鑰Kprivate 、該質數陣列
    Figure 03_image005
    、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 經由一第三通訊通道傳送至該接收端，以致該接收端的該處理器將接收自該密鑰伺服器的該私鑰Kprivate 、該質數陣列
    Figure 03_image005
    、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 儲存於該接收端的該儲存單元。
  15. 如請求項14所述的加密通訊系統，其中，該密鑰伺服器還包括一儲存模組，該儲存模組連接該質數陣列產生模組、該參考質數決定模組、該私鑰產生模組及該公鑰產生模組，並儲存分別來自於該質數陣列產生模組、該參考質數決定模組、該私鑰產生模組及該公鑰產生模組的該質數陣列
    Figure 03_image005
    、該第一參考質數p1 與該第二參考質數p2 、該第一參考反質數陣列
    Figure 03_image011
    及該第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    。
  16. 如請求項15所述的加密通訊系統，其中： 該密鑰伺服器的該公鑰產生模組根據該儲存模組所儲存的該第二參考反質數陣列
    Figure 03_image013
    、該第一參考質數p1 、該第二參考質數p2 、及另一具有m個介於0到該第四參考正整數a的數字成分且不同於該密鑰隨機陣列
    Figure 03_image054
    的隨機陣列
    Figure 03_image337
    ，產生一相對於該隨機陣列
    Figure 03_image337
    且與該私鑰Kprivate 成對的更新公鑰K* public ，該更新公鑰K* public 被表示為
    Figure 03_image339
    ，其中
    Figure 03_image341
    ，該密鑰伺服器經由該第二通訊通道將該更新公鑰K* public 傳送至該發送端； 該發送端的該處理器在接收到來自該密鑰伺服器的該更新公鑰K* public 時，以該更新公鑰K* public 更新該發送端的該儲存單元所儲存的該公鑰Kpublic ； 該發送端的該處理器在利用該公鑰K* public 、該第二參考質數p2 、及該加密隨機陣列
    Figure 03_image069
    ，對該資料陣列
    Figure 03_image071
    進行該加密程序後，獲得另一相對於該公鑰K* public 與該加密隨機陣列
    Figure 03_image069
    且具有m個加密數字成分的密文陣列
    Figure 03_image270
    Figure 03_image272
    ，並經由該第一通訊通道將該密文陣列
    Figure 03_image270
    Figure 03_image272
    發送至該接收端；及 該接收端的該處理器在接收到來自該發送端的該密文陣列
    Figure 03_image270
    Figure 03_image272
    時，利用該質數陣列
    Figure 03_image005
    、該私鑰Kprivate 、該第一參考質數p1 及該第二參考質數p2 ，對於該密文陣列
    Figure 03_image270
    Figure 03_image272
    進行該解密程序而獲得該明文陣列
    Figure 03_image077
    。
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