JP2022059057A - 素数モジュロの二重カプセル化に基づく１対多分配鍵管理によるポスト量子非対称鍵暗号化システム - Google Patents

素数モジュロの二重カプセル化に基づく１対多分配鍵管理によるポスト量子非対称鍵暗号化システム Download PDF

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Abstract

【課題】格子代数に基づくポスト量子非対称鍵生成システムを提供する。【解決手段】ポスト量子非対称鍵生成システム１０は、ｐ（素数）ベクトルを生成するｐベクトル生成モジュール１１と、ｐベクトルに基づいてｐ配列を生成するｐ配列生成モジュール１３と、ｐ配列に基づいて関連行列を生成する関連行列生成モジュール１４と、関連行列と第１の基準素数ｐ１とに基づいて、第１の基準逆ｐ配列を取得する逆ｐ配列生成モジュール１５と、秘密鍵を生成する秘密鍵生成モジュール１７と、第２の逆ｐ配列に基づいて、秘密鍵とペアとなる公開鍵を取得する公開鍵生成モジュール１８を備える。第２の逆ｐ配列は、関連行列と、第１の素数ｐ１と、第２の素数ｐ２と、ランダム化配列とに基づいて取得される。【選択図】図２

Description

本発明は、非対称鍵生成方法に関し、特に、格子代数に基づくポスト量子非対称鍵生成方法及びシステム、鍵リフレッシュ方法、暗号化の方法、復号化の方法、及び暗号化通信システムに関する。
従来の暗号システムは、対称鍵アルゴリズムと非対称鍵アルゴリズムの２つの主要なカテゴリに分類することができる。ＡＥＳ（Advanced Encryption Standard）のような対称鍵アルゴリズムは、共有鍵を使用して暗号化と復号化を実行する。非対称鍵アルゴリズムは、異なっている鍵、具体的には公開鍵と秘密鍵のペアを利用して暗号化と復号化を実行する。例えば、ＲＳＡは、最初の公開鍵暗号システムの1つであり、且つ、データの安全な伝送に広く使用されている（「Rivest, R.L., Shamir. A., Adleman, L.：デジタル署名を取得するための方法及び公開鍵暗号システム。Communications of the ACM 21（2）、120-126（1978）」を参照）。ＮＴＲＵ（number theory research unit）は、他の非対称鍵アルゴリズムであり（「J. Hoffstein, J. Pipher, and J. H. Silverman, 『Ntru: リングベースの公開鍵暗号システム』、International Algorithmic Number Theory Symposium, pp. 261-288, Springer, 1998」を参照）、そして、ＥＣＣ（elliptic curve cryptography）は、楕円曲線の代数構造に基づく公開鍵暗号へのアプローチである。対称鍵アルゴリズムの実施には、２者間の鍵交換用のセキュア通信路を必要とする。セキュア通信路は、非対称鍵アルゴリズムの実施に必要ではないが、非対称鍵アルゴリズムは、鍵ペアの生成、暗号化、及び復号化のために、比較的大きな計算が必要とされ得る。ＲＳＡと比較して、ＥＣＣはより優れた安全性を提供することができるが、暗号化と復号化にはより多くの時間を要する。
古典的な暗号システムには、次の欠点を有する。
１．暗号化と復号化は一度に１文字ずつ実行されるため、現在の非対称鍵アルゴリズムのプロトコルは短時間に大量のデータを送信することができない。
２．現在の非対称鍵アルゴリズムは、同じ代数群、環又はベクトル空間に属すると共に、本質的に類似しているような同じ数学的特性を有する公開鍵と、秘密鍵と、を利用するため、平文攻撃、又は、総当たり攻撃に遭い易い。
３．現在の非対称鍵アルゴリズムに対しては、ユーザが自分の公開鍵を新しいものに変更する場合に、他のすべてのユーザが新しい公開鍵とペアになるように自分の秘密鍵を更新する必要があり、そうでなければ、さもないと、古い秘密鍵を使い続けているユーザから試みられ得るあらゆる通信が無効にされる。
４．システムのセットアップのためにユーザ全員が鍵のリフレッシュを実行する必要がある場合に、鍵のリフレッシュ時間を示す集中エンティティを必要とする。
５．整数因数分解に基づくアルゴリズム(例えば、ＲＳＡ、ＤＳＡ)、或いは、離散対数問題に基づくアルゴリズム(例えば、ＥＣＣ)は、ショアのアルゴリズム、及び、グローバーのアルゴリズムに基づくポスト量子攻撃に対して弱い。
６．ＲＳＡ、ＡＥＳ、ＮＴＲＵを使用しているネットワークにおいては、分散鍵リフレッシュがこれらの暗号システム用のプロトコルの基本定義の一部ではないので、分散鍵リフレッシュが存在しない。
７．古典的な公開鍵暗号システムは、密結合としている公開-秘密鍵（即ち、各公開鍵は唯一の秘密鍵とのみペアになっている）を有する。ペアになっている鍵の１つへの攻撃は、他の１つの鍵の情報をしばしば表す。
したがって、本発明の目的は、従来技術の少なくとも１つの欠点を軽減することができる格子代数に基づくポスト量子非対称鍵生成方法及びシステム、鍵リフレッシュメカニズム、暗号化の方法、復号化の方法、暗号化通信システム、を提供することにある。
本発明によれば、処理ユニットによって実施されるポスト量子非対称鍵生成方法であって、
Figure 2022059057000002
（Ｂ）インスタンスの概念をＩ＝（ｐ、ｓ、ｔ）として定義し、ｐが素数であり、そしてｓとｔがユーザ定義の正の整数であり、
Figure 2022059057000003
Figure 2022059057000004
Figure 2022059057000005
Figure 2022059057000006
Figure 2022059057000007
Figure 2022059057000008
本発明によれば、プロセッサによって実行される暗号化方法であって、
Figure 2022059057000009
本発明によれば、プロセッサによって実行される復号化方法であって、
Figure 2022059057000010
本発明によれば、ポスト量子非対称鍵生成システムは、
Figure 2022059057000011
Figure 2022059057000012
Figure 2022059057000013
Figure 2022059057000014
Figure 2022059057000015
Figure 2022059057000016
Figure 2022059057000017
本発明によれば、鍵サーバと、送信端と、受信端と、を含んでいる暗号化通信システムであって、
該鍵サーバは、
Figure 2022059057000018
Figure 2022059057000019
Figure 2022059057000020
Figure 2022059057000021
Figure 2022059057000022
Figure 2022059057000023
Figure 2022059057000024
Figure 2022059057000025
Figure 2022059057000026
Figure 2022059057000027
Figure 2022059057000028
本発明の他の特徴および利点は、添付の図面を参照する以下の実施形態の詳細な説明において明白になるであろう。
本発明に係る暗号化通信システムの一実施形態を示すブロック図である。 暗号化通信システムの鍵サーバを示すブロック図である。 本発明に係る鍵生成の手順のステップを示すフローチャートである。 本発明に係る鍵生成の手順のステップを示すフローチャートである。 該暗号化通信システムの送信端を示すブロック図である。 該暗号化通信システムの受信端を示すブロック図である。 本発明に係る暗号化の手順のステップを示すフローチャートである。 本発明に係る復号化の手順のステップを示すフローチャートである。
本発明をより詳細に説明する前に、適切と考えられる場合において、符号又は符号の末端部は、同様の特性を有し得る対応の又は類似の要素を示すために各図面間で繰り返し用いられることに留意されたい。
図１に示されているように、本発明に係る暗号化通信システム１００の実施形態は、鍵サーバ１と、複数のユーザエンドと、を含むように示されている。各ユーザエンドは、暗号化の手順、及び、復号化の手順を使用する通信プロトコルに基づいて他のユーザエンドと通信することができる。各ユーザエンドは、メッセージを送信する場合には送信端と成り得ると共に、メッセージを受信する場合に、受信端と成り得る。図１は、１つが送信端２となり、他の１つが受信端３となる２つのユーザエンドを単に例示しているが、本発明はこれに限定されない。送信端２は、記憶ユニット２１と、記憶ユニット２１に連結されているプロセッサ２２とを含む。送信端３は、記憶ユニット３１と、記憶ユニット３１に連結されているプロセッサ２２とを含む。本実施形態では、鍵サーバ１は送信端２及び受信端３から独立している。しかしながら、他の実施形態では、鍵サーバ１は送信端２内に組み込まれ得る。
鍵サーバ１は、ポスト量子非対称鍵生成システム１０によって構成されている処理装置（図示せず）を有することができる。図２に示されているように、ポスト量子非対称鍵生成システム１０は、ｐベクトル（素数ベクトル）生成モジュール１１と、ｐベクトル生成モジュール１１と連結するｐ配列（素数配列）生成モジュール１３と、ｐ配列生成モジュール１３と連結する関連行列生成モジュール１４と、関連行列生成モジュール１４と連結する逆ｐ配列生成モジュール１５と、基準素数判定モジュール１６と、逆ｐ配列生成モジュール１５及び基準素数判定モジュール１６と連結する秘密鍵生成モジュール１７と、逆ｐ配列生成モジュール１５及び基準素数判定モジュール１６と連結する公開鍵生成モジュール１８と、ｐ配列生成モジュール１３、基準素数判定モジュール１６、秘密鍵生成モジュール１７、公開鍵生成モジュール１８と連結する記憶モジュール１９と、を含む。ここで、ｐベクトル生成モジュール１１と、ｐ配列生成モジュール１３と、関連行列生成モジュール１４と、逆ｐ配列生成モジュール１５と、基準素数判定モジュール１６と、秘密鍵生成モジュール１７と、公開鍵生成モジュール１８とは、プロセッサ（図示せず）内に統合され得るが、本発明はこれに限定されない。
暗号化通信システム１００を使用する前に、鍵サーバ１は、暗号化及び復号化のために、非対称鍵（例えば、秘密鍵と、秘密鍵とペアになっている少なくとも１つの公開鍵）を生成する。図３と図４は、図２に例示されているポスト量子非対称鍵生成システム１０がどのように非対称鍵生成手順を実行するかを共に例示する。
Figure 2022059057000029
Figure 2022059057000030
Figure 2022059057000031
Figure 2022059057000032
上記した２つの例は、シード及び第１のパラメータセットＩに基づいてｐ配列がどのように生成されるかを例示的に示している。第１のパラメータセットＩを保存することによって、対応するｐ配列は、いつでもシードに基づいて取得され得る。
Figure 2022059057000033
ｐ配列生成モジュール１３は、ｐ配列のいずれか１つのｍ個の成分が０であると判定する場合に、ユーザに異なる第１のパラメータセットＩを適用するために（即ち、新しい第１のパラメータセットＩ内の素数ｐ、及び、パラメータｓ、ｔの少なくとも１つが、元の第１のパラメータセットＩ内のものと異なっている）、フローはステップＳ３２に戻る。ステップＳ３３における判定が肯定的になるまで、ステップＳ３２は異なる第１のパラメータセットＩで繰り返され得る。
Figure 2022059057000034
Figure 2022059057000035
Figure 2022059057000036
Figure 2022059057000037
Figure 2022059057000038
Figure 2022059057000039
Figure 2022059057000040
Figure 2022059057000041
Figure 2022059057000042
本実施形態では、プロセッサ２２は、テキスト変換モジュール２２１と、暗号化ランダム化関数生成モジュール２２２と、テキスト変換モジュール２２１及び暗号化ランダム化関数生成モジュール２２２と連結する暗号文生成モジュール２２３と、を有するように構成されている。
Figure 2022059057000043
Figure 2022059057000044
Figure 2022059057000045
言い換えると、暗号化ランダム化関数生成モジュール２２２は、異なる暗号化ランダム化配列を使用することによって、異なる暗号化ランダム化関数を生成することができる。
Figure 2022059057000046
Figure 2022059057000047
Figure 2022059057000048
Figure 2022059057000049
Figure 2022059057000050
Figure 2022059057000051
Figure 2022059057000052
Figure 2022059057000053
Figure 2022059057000054
Figure 2022059057000055
Figure 2022059057000056
Figure 2022059057000057
Figure 2022059057000058
Figure 2022059057000059
したがって、上記の詳細な説明より以下のことが分かる。
１．ポスト量子非対称鍵生成システム１０は、単一の算術関数、或いは、古典的な文字列のみで、第１のパラメータセットＩと第２のパラメータセットＳと第１の基準素数ｐ１及び第２の基準素数ｐ２との異なる組み合わせと共に利用することによって、非対称鍵生成の手順を実行して複数の秘密鍵を生成することができる。
２．特定の秘密鍵に対して、ポスト量子非対称鍵生成システム１０は、速やかであり、且つ、秘密鍵の再計算を必要としないソフト鍵リセットアルゴリズムの利用によってそれぞれが秘密鍵とペアになっている複数の公開鍵を生成することができることで、鍵サーバ１が鍵リフレッシュをより容易に実行することができる。
３．ｐ配列を生成するための方法が単一ではない。ゼロパディングによって、あるいはｐ配列の作成にランダム性を追加することによってランダム性をｐベクトルに追加することができる。
４．総当たり攻撃に対する難易度を高めるように、より大きいパラメータｍを選択することによって鍵空間を増加することができる。本実施形態では、ｍ＝５、ｐ１＝２５１とする選択は、説明の便宜上のためのみである。ｍ＝１６更にはｍ＝６４の場合に、可能な鍵空間が非常に大きくなるために、総当たり攻撃の成功には、べらぼうな時間がかかる。メッセージ空間と鍵空間のサイズは、膨大な数の可能性を含み、総当たり攻撃を不可能にする。
表１は、オクタコアプロセッサ、及び、３２ＧＢ ＲＡＭ（ランダムアクセスメモリ）のハードウェアの仕様の下で、暗号化通信システム１００を利用して異なるメッセージの長さに対して行なう暗号化と復号化に必要な時間の実験結果を列挙する。
Figure 2022059057000060
表１のデータに基づくと、本発明に係る暗号化通信システム１００を利用すると、メッセージの長さにかかわらず、従来のＡＥＳ及びＲＳＡプロトコルと比較して暗号化及び復号化に必要な時間を数百分の一に減らすことができることがわかる。明らかに、本発明に係る暗号化通信システム１００は、暗号化及び復号化の速度を大いに向上させることができる。
本発明に係る実施形態では、公開鍵と秘密鍵とは、算術関数又は古典的な文字列、ｐベクトル、本質的にベクトルであるｐ配列に基づいて生成され、比較的大量のデータに対する暗号化及び復号化を可能にし、それによって、暗号化及び復号化の速度を向上させ、データの安全性を確保する。提案された暗号化通信システムは、ポスト量子セキュリティ、具体的にはポスト量子コンピュータからの攻撃に効果的に抵抗することができることを確保することができる。ｐベクトル及びｐ配列の特性のため、本実施形態を実施するためのハードウェア要求は、記憶容量及び／又は計算能力に関して比較的に低い。本実施形態は、秘密鍵の使用に影響を与えることなく、公開鍵のリフレッシュを可能にし、同じネットワーク内のすべてのユーザに対して分散鍵リフレッシュを可能にする。更に、秘密鍵を作るために使用される算術関数fは、無限量のデータを生成することができる関数であるので、単一の関数だけで複数の異なる公開鍵を生成することができる。
上記の説明では、説明の目的のために、実施形態の完全な理解を提供するために多数の特定の詳細が述べられた。しかしながら、しかしながら、当業者であれば、一またはそれ以上の他の実施形態が具体的な詳細を示さなくとも実施され得ることが明らかである。また、本明細書における「一つの実施形態」「一実施形態」を示す説明において、序数などの表示を伴う説明はすべて、特定の態様、構造、特徴を有する本発明の具体的な実施に含まれ得るものであることと理解されたい。更に、本説明において、時には複数の変化例が一つの実施形態、図面、またはこれらの説明に組み込まれているが、これは本説明を合理化させるためのもので、本発明の多面性が理解されることを目的としたものであり、また、一実施形態における一またはそれ以上の特徴あるいは特定の具体例は、適切な場合には、本開示の実施において、他の実施形態における一またはそれ以上の特徴あるいは特定の具体例と共に実施され得る。
以上、本発明の好ましい実施形態および変化例を説明したが、本発明はこれらに限定されるものではなく、最も広い解釈の精神および範囲内に含まれる様々な構成として、すべての修飾および均等な構成を包含するものとする。
１ 鍵サーバ
２ 送信端
３ 受信端
１０ ポスト量子非対称鍵生成システム
１１ ｐベクトル生成モジュール
１３ ｐ配列生成モジュール
１４ 関連行列生成モジュール
１５ 逆ｐ配列生成モジュール
１６ 基準素数判定モジュール
１７ 秘密鍵生成モジュール
１８ 公開鍵生成モジュール
１９ 記憶モジュール
２１ 記憶ユニット
２２ プロセッサ
３１ 記憶ユニット
３２ プロセッサ

Claims (5)

  1. プロセッサ（２２）によって実行される暗号化方法であって、
    前記プロセッサ（２２）によって、平文をｍ個の数値成分を有するデータ配列
    Figure 2022059057000061
     に変換するステップ（Ｓ７１）と、
    前記プロセッサ（２２）によって、公開鍵Kｐｕｂｌｉｃと、第２の基準素数ｐ２と、０と第２の基準正整数
    Figure 2022059057000062
     との間のｍ個の数値成分を有する暗号化ランダム化配列
    Figure 2022059057000063
     とに基づいて暗号化ランダム化関数
    Figure 2022059057000064
     を生成するステップ（Ｓ７２）と、
    前記プロセッサ（２２）によって、ｍ個の数値成分を有するデータ配列
    Figure 2022059057000065
     と前記暗号化ランダム化関数
    Figure 2022059057000066
     との和に対して前記第２の基準素数ｐ２を法としてモジュロ演算を実行し、前記暗号化ランダム化関数
    Figure 2022059057000067
     に関する暗号文
    Figure 2022059057000068
     を取得する（Ｓ７３）ステップであって、前記暗号文
    Figure 2022059057000069
     は、ｍ個の暗号化された数値成分を有する、ステップと、を含み、
    前記公開鍵Kｐｕｂｌｉｃ、前記第２の基準素数ｐ２、前記第２の基準正整数
    Figure 2022059057000070
     は、
    （Ａ）前記プロセッサ（２２）によって、素数ｐと、シードとしての算術関数及び古典的な文字列の１つと、に基づいて、前記素数ｐに関連すると共に、
    無限の成分数を出力し得るｐベクトル
    Figure 2022059057000071
     を生成するステップ（Ｓ３１）であって、
    前記ｐベクトル
    Figure 2022059057000072
     は、
    Figure 2022059057000073
     として定義され、ｆは、前記シードとしての前記算術関数及び前記古典的な文字列の１つを表す、ステップと、
    （Ｂ）前記プロセッサ（２２）によって、前記ｐベクトル
    Figure 2022059057000074
     に基づいて、成分数ｍを有し、前記素数ｐに関連すると共に、
    Figure 2022059057000075
     として定義されるｐ配列
    Figure 2022059057000076
     を生成するステップ（Ｓ３２）であって、各パラメータｍ、ｓ、ｔは、ユーザ定義の正の整数であり、前記素数ｐ、前記パラメータｓ、前記パラメータｔは、第１のパラメータセットＩを共に構成し、そして前記ｐ配列
    Figure 2022059057000077
     は、
    Figure 2022059057000078
     として表される、ステップと、
    （Ｃ）前記プロセッサ（２２）によって、前記ｐ配列
    Figure 2022059057000079
     に基づいて、
    Figure 2022059057000080
     として定義される関連行列
    Figure 2022059057000081
     を生成するステップ（Ｓ３５）であって、
    Figure 2022059057000082
     は、前記ｐ配列の前記ｍ個の成分における（ｊ＋１）ｔｈ番目を表し、０≦ｊ≦（ｍ－１）である、ステップと、
    （Ｄ）前記プロセッサ（２２）によって、前記関連行列
    Figure 2022059057000083
     、及び、ユーザ定義の正の整数である法ｌに基づいて、前記法ｌに関すると共に、
    Figure 2022059057000084
     として定義される逆ｐ配列
    Figure 2022059057000085
     を生成するステップ（Ｓ３６）であって、
    Figure 2022059057000086
     は、前記法ｌに関する前記関連行列
    Figure 2022059057000087
     の行列式の逆係数を表すと共に、
    Figure 2022059057000088
     として定義され、そして
    Figure 2022059057000089
     は、前記関連行列
    Figure 2022059057000090
     の随伴行列を表す、ステップと、
    （Ｅ）前記プロセッサ（２２）によって、第１の基準素数ｐ１を任意に選択すると共に、前記第１の基準素数ｐ１と、前記ｐ配列
    Figure 2022059057000091
     の前記ｍ個の成分のうちのｂで示される最大の１つと、第１の基準正整数
    Figure 2022059057000092
     と、前記パラメータｍ、前記第２の基準正整数
    Figure 2022059057000093
     、第３の基準正整数ｒからなる第２のパラメータセットＳとに関する所定の判定基準に基づいて、前記第２の基準素数ｐ２を判定するステップ（Ｓ３７）であって、前記所定の判定基準は、
    Figure 2022059057000094
     を有する、ステップと、
    （Ｆ）前記プロセッサ（２２）によって、前記第１の基準素数ｐ１、及び、前記第２の基準素数ｐ２をそれぞれ前記逆ｐ配列
    Figure 2022059057000095
     における前記法ｌとすることによって、第１の基準逆ｐ配列
    Figure 2022059057000096
     （Ｓ３８）、及び、第２の基準逆ｐ配列
    Figure 2022059057000097
     （Ｓ３９）を取得し、
    前記第１の基準逆ｐ配列
    Figure 2022059057000098
     は、
    Figure 2022059057000099
     として定義される秘密鍵Kｐｒｉｖａｔｅとする、ステップと、
    （Ｇ）前記プロセッサ（２２）によって、前記プロセッサ（２２）によって、前記第２の基準逆ｐ配列
    Figure 2022059057000100
     と、前記第１の基準素数ｐ１と、前記第２の基準素数ｐ２と、鍵生成ランダム化配列
    Figure 2022059057000101
     と、に基づいて、
    鍵生成ランダム化配列
    Figure 2022059057000102
     に関する前記公開鍵Kｐｕｂｌｉｃを生成するステップ（Ｓ３７）であって、
    前記鍵生成ランダム化配列
    Figure 2022059057000103
     は、０と前記第１の基準正整数
    Figure 2022059057000104
     との間のｍ個の数値成分を有し、前記公開鍵Kｐｕｂｌｉｃは、前記秘密鍵Kｐrｉｖａｔｅとペアになっていると共に、ｍ個の数値成分を有し、且つ、
    Figure 2022059057000105
     として表される
    Figure 2022059057000106
     として示される
    Figure 2022059057000107
     であり、
    Figure 2022059057000108
     は、前記鍵生成ランダム化配列
    Figure 2022059057000109
     に関する前記第２の基準逆ｐ配列
    Figure 2022059057000110
     の鍵生成ランダム化関数であり、且つ、
    Figure 2022059057000111
     として定義され、
    Figure 2022059057000112
     は畳み込み乗算演算子を代表する、ステップとによって生成されたものである、暗号化方法。
  2. 前記平文は、ｍ個の文字を有し、そして前記データ配列
    Figure 2022059057000113
     の各前記ｍ個の数値成分は、０と前記第１の基準正整数
    Figure 2022059057000114
     との間にあると共に、対応する前記平文の前記ｍ個の文字の１つを代表する、
    請求項１に記載の暗号化方法。
  3. 前記プロセッサ（２２）によって、前記公開鍵Kｐｕｂｌｉｃ及び前記暗号化ランダム化配列
    Figure 2022059057000115
     に基づいて、
    Figure 2022059057000116
     として定義される暗号化ランダム化関数
    Figure 2022059057000117
     を生成するステップ（Ｓ７２）と、
    前記プロセッサ（２２）によって、前記データ配列
    Figure 2022059057000118
     と前記暗号化ランダム化関数
    Figure 2022059057000119
     との和に対して前記第２の基準素数ｐ２を法としてモジュロ演算を実行することによって、
    Figure 2022059057000120
     によって表される前記暗号文
    Figure 2022059057000121
     を取得するステップ（Ｓ７３）と、を更に含む、
    請求項１に記載の暗号化方法。
  4. プロセッサ（３２）によって実行される復号化方法であって、
    前記プロセッサ（３２）によって、ｐ配列
    Figure 2022059057000122
     と、秘密鍵Kｐｒｉｖａｔｅと、第１の基準素数ｐ１と、第２の基準素数ｐ２と、暗号文
    Figure 2022059057000123
     とを受信するステップと、
    前記プロセッサ（３２）によって、前記ｐ配列
    Figure 2022059057000124
     と、前記秘密鍵Kｐｒｉｖａｔｅと、前記第１の基準素数ｐ１と、前記第２の基準素数ｐ２とを用いて、暗号文
    Figure 2022059057000125
     に対して、畳み込み演算及びモジュロ演算を実行し（Ｓ８１）、ｍ個の復号化された数値成分を有する平文配列
    Figure 2022059057000126
     を取得するステップ（Ｓ８２）と、を含み、
    前記ｐ配列
    Figure 2022059057000127
     、前記秘密鍵Kｐｒｉｖａｔｅ、前記第１の基準素数ｐ１、および前記第２の基準素数ｐ２は、
    （Ａ）前記プロセッサ（２２）によって、素数ｐと、シードとしての算術関数及び古典的な文字列の１つと、に基づいて、前記素数ｐに関連すると共に、
    無限の成分数を出力し得るｐベクトル
    Figure 2022059057000128
     を生成するステップ（Ｓ３１）であって、
    前記ｐベクトル
    Figure 2022059057000129
     は、
    Figure 2022059057000130
     として定義され、ｆは、前記シードとしての前記算術関数及び前記古典的な文字列の１つを表す、ステップと、
    （Ｂ）前記プロセッサ（２２）によって、前記ｐベクトル
    Figure 2022059057000131
     に基づいて、成分数ｍを有し、前記素数ｐに関連すると共に、
    Figure 2022059057000132
     として定義されるｐ配列
    Figure 2022059057000133
     を生成するステップ（Ｓ３２）であって、各パラメータｍ、ｓ、ｔは、ユーザ定義の正の整数であり、前記素数ｐ、前記パラメータｓ、前記パラメータｔは、第１のパラメータセットＩを共に構成し、そして前記ｐ配列
    Figure 2022059057000134
     は、
    Figure 2022059057000135
     として表される、ステップと、
    （Ｃ）前記プロセッサ（２２）によって、前記ｐ配列
    Figure 2022059057000136
     に基づいて、
    Figure 2022059057000137
     として定義される関連行列
    Figure 2022059057000138
     を生成するステップ（Ｓ３５）であって、
    Figure 2022059057000139
     は、前記ｐ配列の前記ｍ個の成分における（ｊ＋１）ｔｈ番目を表し、０≦ｊ≦（ｍ－１）である、ステップと、
    （Ｄ）前記プロセッサ（２２）によって、前記関連行列
    Figure 2022059057000140
     、及び、ユーザ定義の正の整数である法ｌに基づいて、前記法ｌに関すると共に、
    Figure 2022059057000141
     として定義される逆ｐ配列
    Figure 2022059057000142
     を生成するステップ（Ｓ３６）であって、
    Figure 2022059057000143
     は、前記法ｌに関する前記関連行列
    Figure 2022059057000144
     の行列式の逆係数を表すと共に、
    Figure 2022059057000145
     として定義され、そして
    Figure 2022059057000146
     は、前記関連行列
    Figure 2022059057000147
     の随伴行列を表す、ステップと、
    （Ｅ）前記プロセッサ（２２）によって、前記第１の基準素数ｐ１を任意に選択すると共に、前記第１の基準素数ｐ１と、前記ｐ配列
    Figure 2022059057000148
     の前記ｍ個の成分のうちのｂで示される最大の１つと、第１の基準正整数
    Figure 2022059057000149
     と、前記パラメータｍ、第２の基準正整数
    Figure 2022059057000150
     、第３の基準正整数ｒからなる第２のパラメータセットＳとに関する所定の判定基準に基づいて、前記第２の基準素数ｐ２を判定するステップ（Ｓ３７）であって、前記所定の判定基準は、
    Figure 2022059057000151
     を有する、ステップと、
    （Ｆ）前記プロセッサ（２２）によって、前記第１の基準素数ｐ１、及び、前記第２の基準素数ｐ２をそれぞれ前記逆ｐ配列
    Figure 2022059057000152
     における前記法ｌとすることによって、第１の基準逆ｐ配列
    Figure 2022059057000153
     （Ｓ３８）、及び、第２の基準逆ｐ配列
    Figure 2022059057000154
     （Ｓ３９）を取得し、
    前記第１の基準逆ｐ配列
    Figure 2022059057000155
     は、
    Figure 2022059057000156
     として定義される前記秘密鍵Kｐｒｉｖａｔｅとする、ステップと、
    （Ｇ）前記プロセッサ（２２）によって、前記プロセッサ（２２）によって、前記第２の基準逆ｐ配列
    Figure 2022059057000157
     と、前記第１の基準素数ｐ１と、前記第２の基準素数ｐ２と、鍵生成ランダム化配列
    Figure 2022059057000158
     と、に基づいて、
    鍵生成ランダム化配列
    Figure 2022059057000159
     に関する公開鍵Kｐｕｂｌｉｃを生成するステップ（Ｓ３７）であって、
    前記鍵生成ランダム化配列
    Figure 2022059057000160
     は、０と前記第１の基準正整数
    Figure 2022059057000161
     との間のｍ個の数値成分を有し、前記公開鍵Kｐｕｂｌｉｃは、前記秘密鍵Kｐrｉｖａｔｅとペアになっていると共に、ｍ個の数値成分を有し、且つ、
    Figure 2022059057000162
     として表される
    Figure 2022059057000163
     として示される
    Figure 2022059057000164
     であり、
    Figure 2022059057000165
     は、前記鍵生成ランダム化配列
    Figure 2022059057000166
     に関する前記第２の基準逆ｐ配列
    Figure 2022059057000167
     の鍵生成ランダム化関数であり、且つ、
    Figure 2022059057000168
     として定義され、
    Figure 2022059057000169
     は畳み込み乗算演算子を代表する、ステップとによって生成されたものである、
    復号化方法。
  5. 前記復号化の手順は、
    前記プロセッサ（３２）によって、前記暗号文
    Figure 2022059057000170
     と前記ｐ配列
    Figure 2022059057000171
     との第１の畳み込み結果に対して前記第２の基準素数ｐ２を法としてモジュロ演算を実行して第１のモジュロ演算結果を取得し、そして前記第１のモジュロ演算結果に対して前記第１の基準素数ｐ１を法としてモジュロ演算を実行して、
    Figure 2022059057000172
     として定義される第２のモジュロ演算結果
    Figure 2022059057000173
     を取得するステップ（Ｓ８１）と、
    前記プロセッサ（３２）によって、前記第２のモジュロ演算結果
    Figure 2022059057000174
     と前記秘密鍵Kｐｒｉｖａｔｅとしての前記第１の基準逆ｐ配列
    Figure 2022059057000175
     との第２の畳み込み結果に対して前記第１の基準素数ｐ１を法としてモジュロ演算を実行するステップ（Ｓ８２）と、
    前記プロセッサ（３２）によって、
    Figure 2022059057000176
     として定義される前記平文配列
    Figure 2022059057000177
     を取得するステップ（Ｓ８２）と、を更に含む、
    請求項４に記載の復号化方法。
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