RU49327U1

RU49327U1 - EDUCATIONAL INSTRUMENT ON MATHEMATICS

Info

Publication number: RU49327U1
Application number: RU2005113035/22U
Authority: RU
Inventors: А.А. Певзнер; Б.В. Карпов; С.А. Тихомиров; А.А. Волков
Priority date: 2005-04-28
Filing date: 2005-04-28
Publication date: 2005-11-10

Abstract

Изобретение относится к приборам, предназначенным для применения в учебном процессе, в частности к приборам, которые используются для демонстрации, изучения, нахождения значений тригонометрических функций, а также для демонстрации и изучения формул приведения тригонометрических функций. УЧЕБНЫЙ ПРИБОР ПО МАТЕМАТИКЕ, содержащий угломер, выполненный в виде градуированного диска с нанесенными на нем шкалами тригонометрических функций, соединенный одним концом с центром угломера подвижный вектор единичной длины, имеется дополнительный подвижный вектор, соединенный одним концом с центром угломера. Достоинством прибора является расширение функциональных возможностей в использовании.The invention relates to devices intended for use in the educational process, in particular to devices that are used to demonstrate, study, find the values of trigonometric functions, as well as to demonstrate and study the formulas for bringing trigonometric functions. MATHEMATICAL EDUCATIONAL INSTRUMENT, containing a goniometer made in the form of a graduated disk with the scales of trigonometric functions applied on it, a moving unit of length one connected at one end to the center of the goniometer, there is an additional moving vector connected at one end to the center of the goniometer. The advantage of the device is the expansion of functionality in use.

Description

Изобретение относится к приборам, предназначенным для применения в учебном процессе, в частности к приборам, которые используются для демонстрации, изучения, нахождения значений тригонометрических функций, а также для демонстрации и изучения формул приведения тригонометрических функций.The invention relates to devices intended for use in the educational process, in particular to devices that are used to demonstrate, study, find the values of trigonometric functions, as well as to demonstrate and study the formulas for bringing trigonometric functions.

Известно устройство для демонстрации тригонометрических функций [1], включающее в себя угломер, выполненный в виде градуированного диска, шарнирно связанную одним концом с его центром планку, второй конец которой шарнирно соединен с вертикальным рычагом, параллельным оси диска и связанным с дополнительной планкой, при этом на диске нанесены шкалы значений тригонометрических функций. Недостатками данного устройства являются невысокая точность измерений угловой величины и ограниченный предел измерений тангенса и котангенса. Ограниченная точность вычисления угла этого устройства (в два раза меньшая) обусловлена тем, что в данном случае диаметр тригонометрического круга в два раза меньше стороны поля прибора, то есть длина дуги 1° угломера в два раза меньше возможной для заданного поля прибора. Кроме того, максимальный тангенс, для которого вычисляется угол, равен примерно 1, (6), что соответствует величине угла равной примерно 60°. Наиболее близким к изобретению по совокупности признаков (прототипом) является прибор [2], содержащий угломер, выполненный в виде градуированного диска с нанесенными на нем шкалами тригонометрических функций, соединенный одним концом с центром угломера подвижный вектор единичной длины, перпендикулярную к шкале тригонометрической функции линейку, которая подвижно присоединена к угломеру, вдоль границы диска размещены опорные точки, к которым крепится с возможностью A device for demonstrating trigonometric functions [1], including a protractor made in the form of a graduated disk, is pivotally connected at one end with its center to a bar, the second end of which is pivotally connected to a vertical lever parallel to the axis of the disk and connected to an additional bar, while scales of trigonometric functions are plotted on the disk. The disadvantages of this device are the low accuracy of the measurements of the angular magnitude and the limited measurement limit of the tangent and cotangent. The limited accuracy in calculating the angle of this device (two times smaller) is due to the fact that in this case the diameter of the trigonometric circle is two times less than the side of the field of the device, that is, the length of the arc 1 ° of the goniometer is two times less than possible for a given field of the device. In addition, the maximum tangent for which the angle is calculated is approximately 1, (6), which corresponds to an angle of approximately 60 °. Closest to the invention in terms of features (prototype) is a device [2], containing a protractor, made in the form of a graduated disk with the scales of trigonometric functions applied on it, a unit vector of length, perpendicular to the scale of the trigonometric function, connected at one end to the protractor’s scale, which is movably attached to the goniometer, along the border of the disk are placed reference points to which it is attached with the possibility of

перемещения направляющая дуга с прикрепленной к ней угловой шкалой, подвижный вектор выполнен гибко-упругим и соединен вторым концом с направляющей дугой с возможностью перемещения по ней. Однако данный прибор не позволяет наглядно демонстрировать и изучать формулы приведения тригонометрических функций.the guide arc with the angular scale attached to it, the movable vector is made flexible elastic and connected by the second end to the guide arc with the possibility of movement along it. However, this device does not allow to clearly demonstrate and study the formulas for the reduction of trigonometric functions.

Целью предложения является расширение функциональных возможностей использования прибора.The aim of the proposal is to expand the functionality of the use of the device.

Цель изобретения достигается тем, что настоящий прибор содержит угломер, выполненный в виде градуированного диска, установленный в центре угломера подвижный вектор единичной длины, соединенный одним концом с центром угломера, и перпендикулярную к шкале тригонометрической функции (например косинуса) линейку, которая подвижно присоединена к угломеру (например с помощью ползуна на направляющем стержне); на перпендикулярной линейке нанесена шкала тригонометрической функции (например синуса), кроме того на тригонометрическом круге могут быть нанесены шкалы тангенса и котангенса, причем единица на шкалах тангенса и котангенса соответствует одной десятой длины подвижного вектора. Вдоль границы диска размещены опорные точки, на которых устанавливается с возможностью перемещения направляющая дуга с нанесенной на ней угловой шкалой. Новым является то, что введен дополнительный подвижный вектор, соединенный одним концом с центром угломера.The purpose of the invention is achieved by the fact that the present device comprises a protractor made in the form of a graduated disk, a unit-length movable vector mounted in the center of the protractor, connected at one end to the protractor’s center, and a ruler perpendicular to the scale of the trigonometric function (for example, cosine), which is movably attached to the protractor (for example, using the slider on the guide rod); the scale of the trigonometric function (for example, the sine) is plotted on the perpendicular ruler, in addition, the tangent and cotangent scales can be plotted on the trigonometric circle, and the unit on the tangent and cotangent scales corresponds to one tenth of the length of the moving vector. Along the boundary of the disk, reference points are placed on which the guide arc with the angular scale applied on it is mounted with the possibility of movement. What is new is that an additional moving vector is introduced, connected at one end to the center of the protractor.

На фиг.1 показан учебный прибор по математике.Figure 1 shows the educational device in mathematics.

Прибор состоит из угломера 1, присоединенного к угломеру направляющего стержня 2, при этом к направляющему стержню подвижно присоединена, например, при помощи ползуна 3, перпендикулярная линейка 4. В центре угломера установлен подвижный вектор 5, заканчивающийся меткой 6, к направляющему стержню 2 присоединена шкала делений 7 в долях длины подвижного вектора, ось которой The device consists of a protractor 1 attached to the protractor of the guide rod 2, while the perpendicular ruler 4 is movably connected, for example, with the help of a slider 3, in the center of the protractor there is a movable vector 5 ending in mark 6, a scale is attached to the guide rod 2 divisions 7 in fractions of the length of the moving vector, the axis of which

проходит через центр шарнира 8, на перпендикулярной линейке 4 нанесена шкала делений 9 также в долях длины отрезка. К угломеру присоединены шкалы делений 10 и 11. Вдоль границы угломера 1 размещены опорные точки 12, на которых устанавливается с возможностью перемещения направляющая дуга 13 с нанесенной на ней угловой шкалой, деления на которой выполнены в долях делений градуированного диска, а метка 6 присоединяется к дуге при помощи ползуна 14. К центру угломера одним концом присоединен дополнительный подвижный вектор 15 с меткой 16 на другом конце. Направляющий стержень, дуга и перпендикулярная линейка вместе со шкалами могут быть выполнены из прозрачного материала. Шкалы могут быть разделены на положительные и отрицательные полуоси.passes through the center of the hinge 8, on a perpendicular ruler 4 the scale of divisions 9 is also plotted in fractions of the length of the segment. The scales of divisions 10 and 11 are attached to the goniometer. Along the border of the goniometer 1 there are reference points 12, on which the guide arc 13 is mounted with the possibility of movement of the angular scale applied to it, the divisions on which are made in fractions of the graduated disk divisions, and the mark 6 is attached to the arc by means of a slider 14. An additional movable vector 15 with a mark 16 at the other end is attached to the center of the protractor with one end. The guide rod, the arc and the perpendicular ruler together with the scales can be made of transparent material. Scales can be divided into positive and negative half shafts.

Прибор работает следующим образом.The device operates as follows.

1) Определение тригонометрических функций заданного угла:1) Determination of trigonometric functions of a given angle:

а) определение значений sinφ и cosφ по величине угла φ: устанавливаем дугу 13 на наиболее близкой к значению угла φ опорной точке 12, затем перемещаем ползун 14 по дуге 13 до достижения меткой 6 точного значения угла φ (с точностью до деления угловой шкалы) между подвижным вектором 5 и осью косинусов, далее перпендикулярную линейку 4 передвигаем по направляющему стержню 2 до момента совмещения оси ее шкалы с меткой 6. В результате осями шкал перпендикулярной линейки и направляющего стержня и подвижным вектором образуется прямоугольный треугольник с прямым углом между осями шкал перпендикулярной линейки и направляющего стержня и углом φ между вектором и осью шкалы направляющего стержня. Тогда метка 6 указывает нам на шкале линейки 4 значение sinφ, в точке пересечения осей шкал стержня 2 и линейки 4 мы получаем значение cosφ;a) determining the values of sinφ and cosφ from the value of the angle φ: set the arc 13 at the reference point 12 closest to the value of the angle φ, then move the slider 14 along the arc 13 until mark 6 reaches the exact value of the angle φ (accurate to the division of the angular scale) between moving the vector 5 and the axis of the cosines, then move the perpendicular ruler 4 along the guide rod 2 until the axis of its scale coincide with the mark 6. As a result, the axes of the scales of the perpendicular ruler and the guide rod and the moving vector form a rectangular triangle with ryamym angle between the line perpendicular axes and scales of the guide rod and an angle φ between a vector and the scale axis of the guide rod. Then label 6 indicates to us the value sinφ on the scale of the ruler 4, at the intersection of the axes of the scales of the rod 2 and ruler 4 we get the value cosφ;

б) определение значений tgφ и ctgφ по величине угла φ: устанавливаем точное значение угла φ между вектором 5 и направляющим b) determination of the values of tgφ and ctgφ from the value of the angle φ: we establish the exact value of the angle φ between vector 5 and the guide

стержнем 2 (аналогично пункту а)), тогда на пересечении подвижного вектора 5 со шкалой 10 мы получаем значение tgφ, а на пересечении вектора 5 со шкалой 11 - значение ctgφ.rod 2 (similarly to point a)), then at the intersection of the moving vector 5 with the scale 10 we get the value of tgφ, and at the intersection of the vector 5 with the scale 11 we get the value ctgφ.

Таким образом, вычисление значений тригонометрических функций заданного угла производится практически мгновенно, и повышается наглядность демонстрации тригонометрических функций при рассмотрении прямоугольных треугольников.Thus, the calculation of the values of trigonometric functions of a given angle is performed almost instantly, and the visibility of demonstrating trigonometric functions when considering rectangular triangles is increased.

2) Определение величины угла по значению тригонометрической функции:2) Determination of the angle by the value of the trigonometric function:

а) определение величины угла φ по значению cosφ: перпендикулярная линейка 4 перемещается по направляющему стержню 2 до тех пор, пока ее шкала на пересечении со шкалой направляющего стержня не укажет на последней значение cosφ, затем дуга 13 перемещается по угломеру 1 и устанавливается на наиболее удобной опорной точке 12 так, чтобы метка 6 оказалась на шкале перпендикулярной линейки 4. Тогда точное значение угла, на которое указывает метка 6 на угловой шкале дуги 13 и есть искомое значение угла;a) determination of the angle φ by the value of cosφ: the perpendicular ruler 4 moves along the guide rod 2 until its scale at the intersection with the scale of the guide rod indicates the last value of cosφ, then the arc 13 moves along the protractor 1 and is set to the most convenient anchor point 12 so that the mark 6 is on the scale of the perpendicular ruler 4. Then the exact value of the angle, which indicates the mark 6 on the angular scale of the arc 13 is the desired angle value;

б) определение величины угла φ по значению sinφ: по формулам приведения sinφ=cosψ, где ψ=90°-φ, поэтому в качестве задающей шкалы для установки sinφ используем шкалу направляющего стержня. Затем производим действия как в предыдущем пункте. Тогда угол отклонения вектора от направляющего стержня равен ψ, отсюда искомый угол φ равен 90°-ψ;b) determination of the angle φ by the value of sinφ: according to the reduction formulas sinφ = cosψ, where ψ = 90 ° -φ, therefore, as the reference scale for setting sinφ, we use the scale of the guide rod. Then we perform the actions as in the previous paragraph. Then the angle of deviation of the vector from the guide rod is equal to ψ, hence the desired angle φ is 90 ° -ψ;

в) определение величины угла φ по значению tgφ (ctgφ): перемещаем вектор 5 так, чтобы точка его пересечения со шкалой 10 (шкалой 11) соответствовала значению tgφ (ctgφ). Тогда угол φ отклонения вектора от направляющего стержня является искомой величиной.c) determination of the angle φ by the value of tgφ (ctgφ): we move the vector 5 so that the point of intersection with the scale 10 (scale 11) corresponds to the value of tgφ (ctgφ). Then the angle φ of the deviation of the vector from the guide rod is the desired value.

Заметим, что одним и тем же значениям тригонометрических функций могут соответствовать различные значения угла φ (например, Note that the same values of trigonometric functions can correspond to different values of the angle φ (for example,

sinφ=sinψ, где ψ=180°-φ), а также необходимо помнить о периодичности всех четырех тригонометрических функций.sinφ = sinψ, where ψ = 180 ° -φ), and it is also necessary to remember the periodicity of all four trigonometric functions.

Замечание. В пунктах 1 и 2 выше вместо подвижного вектора 5 с меткой 6 на конце можно равноправно использовать дополнительный подвижный вектор 15 с меткой 16 на конце. Угломер 1 с направляющим стержнем 2 может быть использован в качестве обычного транспортира. а перпендикулярная линейка 4 - в качестве обычной чертежной линейки.Comment. In paragraphs 1 and 2 above, instead of the movable vector 5 with the label 6 at the end, you can equally use the additional movable vector 15 with the label 16 at the end. The protractor 1 with the guide rod 2 can be used as a conventional protractor. and perpendicular ruler 4 as a regular drawing ruler.

3) Изучение и демонстрация формул приведения тригонометрических функций:3) The study and demonstration of the formulas for bringing trigonometric functions:

в тригонометрии широко известны так называемые «формулы приведения», определяющие взаимосвязь между тригонометрическими функциями углов вида β=90°×k±α (k≠0 - некоторое целое число) и тригонометрическими функциями самих углов α, при этом угол α всегда берется острым, т.е. в диапазоне (0°; 90°). Эти, несомненно, важные соотношения зависят от выбора числа k (±360° - полный оборот, и отсчет угловой меры происходит далее при необходимости от 0°) и того, в какой из четырех квадрантов попадает угол β=90°×k±α (I квадрант - от 0° до 90°; II квадрант - от 90° до 180°; III квадрант - от 180° до 270°; IV квадрант - от 270° до 360°).in trigonometry, the so-called “reduction formulas” are widely known, which determine the relationship between the trigonometric functions of angles of the form β = 90 ° × k ± α (k ≠ 0 is an integer) and the trigonometric functions of the angles α themselves, while the angle α is always taken acute, those. in the range (0 °; 90 °). These undoubtedly important relations depend on the choice of the number k (± 360 ° is a full revolution, and the angular measure is then taken, if necessary, from 0 °) and in which of the four quadrants the angle β = 90 ° × k ± α ( I quadrant - from 0 ° to 90 °; II quadrant - from 90 ° to 180 °; III quadrant - from 180 ° to 270 °; IV quadrant - from 270 ° to 360 °).

Таким образом, если 90°×k кратно 90°, то в соответствующей формуле приведения функция меняется на свою «ко»функцию (например, cos меняется на sin, ctg меняется на tg и т.д.), если же 90°×k кратно 180°, то в формуле приведения функция не меняется на свою «ко»функцию, кроме того отслеживается положительность (отрицательность) функции угла β в соответствующем квадранте (например, во II квадранте sin положителен, и тогда, скажем sin (90°+α)=cosα; в IV квадранте ctg отрицателен, и тогда, к примеру, ctg(360°-α)=-ctgα).Thus, if 90 ° × k is a multiple of 90 °, then in the corresponding reduction formula the function changes to its “ko” function (for example, cos changes to sin, ctg changes to tg, etc.), if 90 ° × k is a multiple of 180 °, then in the reduction formula the function does not change to its “ko” function, in addition, the positivity (negativity) of the angle function β in the corresponding quadrant (for example, in the second quadrant, sin is positive, and then, say sin (90 ° + α ) = cosα; in the fourth quadrant, ctg is negative, and then, for example, ctg (360 ° -α) = - ctgα).

Благодаря наличию в конструкции предлагаемого устройства дополнительного подвижного вектора, соединенного одним концом с центром угломера, формулы приведения тригонометрических функций можно наглядно демонстрировать и изучать. При этом угол β откладывается с помощью одного из подвижных векторов, угол α - с помощью другого, а значения функций углов β и α находятся так, как это описано в пункте 1 выше, и фиксируются.Due to the presence in the design of the proposed device of an additional movable vector connected at one end to the center of the protractor, the formulas for bringing the trigonometric functions can be clearly demonstrated and studied. In this case, the angle β is plotted using one of the moving vectors, the angle α is plotted using the other, and the values of the functions of the angles β and α are found as described in paragraph 1 above and are fixed.

На схематических чертежах (фиг.2-фиг.5) поясняется работа прибора в данном направлении: если β=180°+α, то, например, cosβ=-cosα (фиг.2); если β=90°-α, то, например, sinβ=cosα (фиг.3); если β=90°+α, то, например, tgβ=-ctgα (фиг.4); если β=180°-α, то, например, ctgβ=-ctgα (фиг.5).On the schematic drawings (figure 2-figure 5) explains the operation of the device in this direction: if β = 180 ° + α, then, for example, cosβ = -cosα (figure 2); if β = 90 ° -α, then, for example, sinβ = cosα (Fig. 3); if β = 90 ° + α, then, for example, tgβ = -ctgα (Fig. 4); if β = 180 ° -α, then, for example, ctgβ = -ctgα (Fig. 5).

ЛИТЕРАТУРА:LITERATURE:

[1] Патент США №3359654, 1965.[1] US Patent No. 3359654, 1965.

[2] Патент РФ №41178, 2004.[2] RF Patent No. 41178, 2004.

Claims

A math teaching device containing a goniometer, made in the form of a graduated disk with the scales of trigonometric functions plotted on it, connected at one end with the center of the goniometer, a moving vector of unit length, characterized in that an additional moving vector is introduced, connected at one end to the center of the goniometer.