RU2780348C1

RU2780348C1 - Method for measuring the real and imaginary components of alternating voltage

Info

Publication number: RU2780348C1
Application number: RU2021137651A
Authority: RU
Inventors: Ярослав Кириллович Соломенцев; Кирилл Юрьевич Соломенцев
Original assignee: Ярослав Кириллович Соломенцев
Filing date: 2021-12-19
Publication date: 2022-09-21

Abstract

FIELD: measuring technology.

SUBSTANCE: method relates to electrical measurements and can be used to accurately measure the real and imaginary components of alternating voltage. The method for measuring the real and imaginary components of alternating voltage consists in the fact that the measured voltage is applied to the inverting input of the adder, the compensating voltage is applied to the non-inverting input of the adder, the difference signal is amplified with an extremely high gain, resulting in rectangular pulses or a sequence of logical signals that process and isolate the fundamental harmonic. The signs (+ or –) of the real and imaginary components of the fundamental harmonic are distinguished. Analyzing these signs, the steps of the iterative sequence of the method for midpoints are implemented. The midpoint method is a two-dimensional analogue of the half division method. The steps are performed until the specified accuracy is reached. The method makes it possible to find a compensating alternating voltage as close as possible to the measured alternating voltage. At the end of the iterative sequence, the next point s is considered to be the found value. The real component Re(s) corresponds to the real component of the measured current, and the imaginary component Im(s) corresponds to the imaginary component of the measured current.

EFFECT: implementation of the claimed solution provides an increase in accuracy, resolution and sensitivity, a reduction in the measurement error of the real and imaginary components of alternating voltage, an increase in the reliability of the device implementing the method.

1 cl, 8 dwg

Description

Предлагаемый способ относится к электрическим измерениям и может быть использован для точного измерения переменного напряжения. Способ позволяет получать значение измеряемого напряжения в комплексном виде, то есть вещественную и мнимую составляющие, по значениям которых можно вычислить амплитуду и фазу. Способ может применяться в тех случаях, когда необходимо обеспечить высокую чувствительность, высокую разрешающую способность, высокую точность измерения переменного напряжения.The proposed method relates to electrical measurements and can be used for accurate measurement of AC voltage. The method makes it possible to obtain the value of the measured voltage in a complex form, that is, the real and imaginary components, from the values of which the amplitude and phase can be calculated. The method can be used in cases where it is necessary to provide high sensitivity, high resolution, high accuracy of measuring AC voltage.

Известен способ измерения эффективного значения переменного напряжения, включающий определение n выборок мгновенных значений напряжения, возведение этих значений в квадрат, суммирование, деление на число, извлечение квадратного корня [Шахов Э.К. Частотно- и времяимпульсные измерительные развертывающие преобразователи. Пенза: Изд-во Пензинского политех. института. 1978, стр. 72]. A known method of measuring the effective value of the AC voltage, including the definition of n samples of instantaneous voltage values, squaring these values, summing, dividing by a number, extracting the square root [Shakhov E.K. Frequency- and time-pulse measuring scanning converters. Penza: Publishing House of the Penza Polytechnic University. institute. 1978, p. 72].

У этого способа есть недостатки. This method has disadvantages.

Во-первых, сложность реализации и, как следствие, низкая надежность устройства, которое реализует способ. Это связано с тем, что для получения выборок требуется быстродействующий аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Firstly, the complexity of implementation and, as a result, the low reliability of the device that implements the method. This is because a fast analog-to-digital converter (ADC) is required to obtain samples.

Во-вторых, этот способ не содержит усиления измеряемого напряжения, как результат - небольшой диапазон измеряемых переменных напряжений, так как напряжения с малой амплитудой, соизмеримой или меньшей шага квантования по уровню АЦП, не могут измеряться.Secondly, this method does not include amplification of the measured voltage, as a result - a small range of measured variable voltages, since voltages with a small amplitude comparable to or less than the quantization step in terms of the ADC level cannot be measured.

Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому способу (прототипом) является способ измерения переменного напряжения, реализованный в прямоугольно-координатном потенциометре [Электрические измерения: Учебник для вузов / Байда Л.И., Добротворский Н.С., Душин Е.М. и др.; Под ред. А.В. Фремке и Е.М. Душина. – 5-е изд., перераб. и доп. – Л.: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1980. стр. 209 - 212, рис. 5.16 а]. Способ заключается в том, что создают два рабочих тока в рабочих цепях А и Б, сдвинутых друг относительно друга на 90°. С помощью этих токов и калиброванной проволоки создают два регулируемых напряжения U_x1 и U_x2 сдвинутых друг относительно друга на 90°. Добиваются практически полного отсутствия тока в нуль-органе, при этом геометрическая сумма напряжений U_x1 и U_x2 соответствует измеряемому напряжению.The closest in technical essence to the proposed method (prototype) is a method for measuring AC voltage, implemented in a rectangular-coordinate potentiometer [Electrical measurements: Textbook for universities / Bayda L.I., Dobrotvorsky N.S., Dushin E.M. and etc.; Ed. A.V. Fremke and E.M. Dushin. – 5th ed., revised. and additional - L .: Energy. Leningrad. department, 1980. pp. 209 - 212, fig. 5.16 a]. The method consists in creating two working currents in working circuits A and B, shifted relative to each other by 90°. With the help of these currents and a calibrated wire, two adjustable voltages U _x1 and U _x2 are created, shifted relative to each other by 90 °. Almost complete absence of current in the null body is achieved, while the geometric sum of the voltages U _x1 and U _x2 corresponds to the measured voltage.

У прототипа есть недостатки. The prototype has flaws.

Во-первых, подбирать значения вещественной и мнимой компенсирующих составляющих переменного напряжения приходится вручную, при этом время одного измерения очень большое. Firstly, it is necessary to select the values of the real and imaginary compensating components of the AC voltage manually, while the time of one measurement is very long.

Во-вторых, предполагается использовать стрелочный нуль-орган, что существенно ограничивает диапазон измеряемых переменных напряжений. Secondly, it is supposed to use a pointer null organ, which significantly limits the range of measured variable voltages.

Задачей предлагаемого способа является повышение точности, разрешающей способности и чувствительности, уменьшение погрешности измерения вещественной и мнимой составляющих переменного напряжения, повышение надежности устройства, реализующего способ. The objective of the proposed method is to increase the accuracy, resolution and sensitivity, reduce the measurement error of the real and imaginary components of the AC voltage, increase the reliability of the device that implements the method.

Технический результат заключается в том, что за счет предлагаемых отличительных признаков становится возможным использование нуль-органа с высокой чувствительностью, ограниченной только применяемыми техническими средствами. При этом становится возможным создавать компенсирующее переменное напряжение, соответствующее измеряемому напряжению с высокой точностью.The technical result lies in the fact that due to the proposed distinguishing features, it becomes possible to use a null organ with high sensitivity, limited only by the technical means used. In this case, it becomes possible to create a compensating alternating voltage corresponding to the measured voltage with high accuracy.

Поставленная задача достигается способом измерения вещественной и мнимой составляющих переменного напряжения, для выполнения которого используют следующие вспомогательные устройства: The task is achieved by measuring the real and imaginary components of the alternating voltage, for which the following auxiliary devices are used:

- аналоговый сумматор, который имеет инвертирующий вход, неинвертирующий вход и выход, причем на инвертирующий вход подается измеряемое переменное напряжение, на неинвертирующий вход подается компенсирующее переменное напряжение; - an analog adder, which has an inverting input, a non-inverting input and an output, and the measured alternating voltage is applied to the inverting input, the compensating alternating voltage is applied to the non-inverting input;

- блок формирования компенсирующего напряжения (БФКН), который может формировать на своем выходе компенсирующее синусоидальное напряжение с заданными значениями вещественной и мнимой составляющих; - a compensating voltage generation unit (BFKN), which can generate a compensating sinusoidal voltage at its output with given values of the real and imaginary components;

- усилитель, который может иметь неограниченно большой коэффициент усиления и ограниченную снизу и сверху полосу частот пропускания, на вход которого подается переменное напряжение с выхода аналогового сумматора; - an amplifier that can have an infinitely large gain and a bandwidth limited from above and below, to the input of which an alternating voltage is supplied from the output of an analog adder;

- компаратор, на вход которого подается выходной сигнал усилителя, компаратор сравнивает его с нулевым напряжением и формирует выходные логические сигналы (прямоугольные импульсы), которые подаются на вход микроконтроллера; - a comparator, the input of which is the output signal of the amplifier, the comparator compares it with zero voltage and generates output logic signals (rectangular pulses) that are fed to the input of the microcontroller;

- микроконтроллер, в котором программно реализован блок выделения основной гармоники (БВОГ); - a microcontroller, in which the fundamental harmonic extraction unit (BVOG) is programmatically implemented;

- программно реализован блок выделения знаков (БВЗ) вещественной и мнимой составляющих основной гармоники.- a block for extracting signs (BVZ) of the real and imaginary components of the fundamental harmonic is implemented in software.

Выполняют шаги итерационной последовательности в соответствии с алгоритмом метода средних точек до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. The steps of the iterative sequence are performed in accordance with the midpoint method algorithm until the specified accuracy is achieved.

Алгоритм метода средних точек заключается в следующем. На комплексной плоскости выбирают четыре точки a⁰, b⁰, c⁰, d ⁰, названные «начальное приближение», причем у четырехугольника a⁰, b⁰, c⁰, d ⁰ углы a⁰ и c⁰ должны быть противоположными, углы b⁰ и d ⁰ должны быть противоположными, для каждой из точек выполняют шесть действий а, б, в, г, д, е: The algorithm of the midpoint method is as follows. Four points a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ are chosen on the complex plane, called the “initial approximation”, and the quadrilateral a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ have angles a ⁰ and c ⁰ must be opposite, angles b ⁰ and d ⁰ must be opposite, for each of the points perform six actions a, b, c, d, e, e:

а – «вещественную и мнимую составляющие комплексного числа, соответствующего точке, передают на БФКН»;a - "the real and imaginary components of the complex number corresponding to the point are transmitted to the BFKN";

б – «подают переменное напряжение, сформированное БФКН, на неинвертирующий вход аналогового сумматора, на инвертирующий вход которого подано измеряемое переменное напряжение»;b - "an alternating voltage generated by the BFKN is supplied to the non-inverting input of the analog adder, to the inverting input of which the measured alternating voltage is applied";

в – «переменное напряжение, поступающее с выхода аналогового сумматора, усиливают с помощью усилителя»;c - "the alternating voltage coming from the output of the analog adder is amplified with the help of an amplifier";

г – «выходной сигнал усилителя подают на вход компаратора, который сравнивает этот сигнал с нулевым напряжением и в результате формирует на своем выходе логические сигналы (прямоугольные импульсы)»;d - “the output signal of the amplifier is fed to the input of the comparator, which compares this signal with zero voltage and, as a result, generates logic signals (rectangular pulses) at its output”;

д – «подают логические сигналы (прямоугольные импульсы) с выхода компаратора на БВОГ, выделяют основную гармонику»;e - “logical signals (rectangular pulses) are supplied from the output of the comparator to the BVOG, the main harmonic is distinguished”;

е – «с помощью блока выделения знаков (БВЗ) вещественной и мнимой составляющих основной гармоники определяют знаки вещественной и мнимой составляющих основной гармоники».e - "with the help of the sign extraction unit (BVZ) of the real and imaginary components of the fundamental harmonic, the signs of the real and imaginary components of the fundamental harmonic are determined."

Точки a⁰, b⁰, c⁰, d ⁰ должны быть такими, что соответствующие этим точкам (то есть компенсирующим напряжениям) знаки основной гармоники были разные во всех сочетаниях, затем находят точку s⁰ по формуле
s⁰=(a⁰+b⁰+c⁰+d ⁰)/4, для точки s⁰ выполняют шесть действий а, б, в, г, д, е, запоминают знаки вещественной и мнимой составляющих основной гармоники, соответствующие точкам a⁰, b⁰, c⁰, d⁰, s⁰, затем выполняют шаги итерационной последовательности, каждый шаг состоит из следующих четырех действий ж, з, и, к:Points a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ must be such that the signs of the fundamental harmonic corresponding to these points (that is, compensating voltages) were different in all combinations, then the point s ⁰ is found by the formula
s ⁰ \u003d (a ⁰ + b ⁰ + c ⁰ + d ⁰ ) / 4, for point s ⁰ perform six actions a, b, c, d, e, e, remember the signs of the real and imaginary components of the main harmonic corresponding to points a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ , s ⁰ , then the steps of the iterative sequence are performed, each step consists of the following four actions f, h, i, k:

ж – «находят из четырех точек a^i-1, b^i-1, c^i-1, d ^i-1 (где i - номер шага) ту точку, для которой запомненные на предыдущем шаге знаки вещественной и мнимой составляющих основной гармоники равны знакам вещественной и мнимой составляющих основной гармоники, соответствующим точке s^i-1, затем найденную точку переносят на место точки s^i-1, остальные три точки оставляют на своих местах и, таким образом, находят четыре точки aⁱ, bⁱ, cⁱ, d ⁱ»;g - “find from four points a ^i-1 , b ^i-1 , c ^i-1 , d ^i-1 (where i is the step number) the point for which the signs of the real and imaginary components of the main harmonic memorized in the previous step are equal signs of the real and imaginary components of the fundamental harmonic corresponding to the point s ^i-1 , then the found point is transferred to the place of the point s ^i-1 , the remaining three points are left in their places and, thus, four points a ⁱ , b ⁱ , c ⁱ are found , d ⁱ »;

з – «находят пятую точку sⁱ по одному из трех вариантов следующим образом, если четырехугольник aⁱ, bⁱ, cⁱ, d ⁱ выпуклый, то (первый вариант) точку sⁱ находят по формуле sⁱ=(aⁱ+bⁱ+ cⁱ+dⁱ)/4, если же четырехугольник aⁱ, bⁱ, cⁱ, d ⁱ не выпуклый, то есть один внутренний угол в одной из точек aⁱ, bⁱ, cⁱ, d ⁱ более 180⁰, то из двух отрезков [aⁱ, cⁱ] или [bⁱ, d ⁱ] выбирают один, который прилегает к углу более 180⁰, в соответствии с выбранным отрезком вычисляют sⁱ по одной из формул (второй вариант) sⁱ=(aⁱ+cⁱ)/2 или (третий вариант) sⁱ=(bⁱ+dⁱ)/2»;h - “find the fifth point s ⁱ according to one of the three options as follows, if the quadrilateral a ⁱ , b ⁱ , c ⁱ , d ⁱ is convex, then (the first option) point s ⁱ is found by the formula s ⁱ = (a ⁱ + b ⁱ + c ⁱ + d ⁱ )/4, if the quadrilateral a ⁱ , b ⁱ , c ⁱ , d ⁱ is not convex, then there is one internal angle at one of the points a ⁱ , b ⁱ , c ⁱ , d ⁱ more than 180 ⁰ , then from two segments [a ⁱ , c ⁱ ] or [b ⁱ , d ⁱ ] choose one that is adjacent to the angle of more than 180 ⁰ , in accordance with the selected segment calculate s ⁱ by one of the formulas (second option) s ⁱ =(a ⁱ +c ⁱ )/2 or (third option) s ⁱ =(b ⁱ +d ⁱ )/2”;

и – «для точки sⁱ выполняют шесть действий а, б, в, г, д, е, запоминают знаки вещественной и мнимой составляющих основной гармоники, соответствующей точке sⁱ»;and – “for point s ⁱ perform six actions a, b, c, d, e, e, memorize the signs of the real and imaginary components of the main harmonic corresponding to point s ⁱ ”;

к – «проверяют условие окончания итерационного процесса, используя значение заданной погрешности Δз и следующие соотношения:j - “check the condition for the end of the iterative process, using the value of the specified error Δз and the following relationships:

если │aⁱ – cⁱ│<Δз или │bⁱ – d ⁱ│<Δз, то итерационный процесс необходимо заканчивать»;if │a ⁱ – c ⁱ │<Δз or │b ⁱ – d ⁱ │<Δз, then the iterative process must be completed”;

шаги выполняют до тех пор, пока не будет выполнено условие окончания итерационного процесса, по окончании итерационного процесса в качестве результата измерения используют комплексное значение, соответствующее точке sⁱ. Вещественная составляющая Re(sⁱ) соответствует вещественной составляющей измеряемого переменного напряжения, а мнимая составляющая Im(sⁱ) соответствует мнимой составляющей измеряемого переменного напряжения.the steps are performed until the end condition of the iterative process is met, at the end of the iterative process, the complex value corresponding to the point s ⁱ is used as the measurement result. The real component Re(s ⁱ ) corresponds to the real component of the measured AC voltage, and the imaginary component Im(s ⁱ ) corresponds to the imaginary component of the measured AC voltage.

На фиг. 1 приведены вспомогательные устройства, объединенные в виде функциональной схемы устройства, реализующего предлагаемый способ. На фиг. 2 приведен алгоритм метода средних точек. На фиг. 3, фиг. 4, фиг. 5 приведен численный пример работы предлагаемого метода, состоящий из начального приближения и 13 шагов. На фиг. 6 и на фиг. 7 приведены случаи, когда в процессе выполнения шагов итерационного процесса может образоваться невыпуклый четырехугольник. На фиг. 8 приведен вектор, поясняющий связь точки sⁱ с амплитудой и фазой напряжения.In FIG. 1 shows auxiliary devices combined in the form of a functional diagram of a device that implements the proposed method. In FIG. 2 shows the algorithm of the midpoint method. In FIG. 3, fig. 4, fig. Figure 5 shows a numerical example of the proposed method, consisting of an initial approximation and 13 steps. In FIG. 6 and in FIG. Figure 7 shows the cases when a non-convex quadrilateral can be formed during the execution of the steps of the iterative process. In FIG. 8 shows a vector explaining the connection of the point s ⁱ with the amplitude and phase of the voltage.

На фиг. 1. представлены сумматор 1, усилитель 2, компаратор 3, БФКН 4, микроконтроллер 5, в котором программно реализованы БВОГ 6 и БВЗ 7. Входное измеряемое переменное напряжение подается на инвертирующий вход сумматора 1, компенсирующее переменное напряжение от БФКН 4 подается на неинвертирующий вход сумматора 1, с выхода сумматора 1 переменное напряжение подается на вход усилителя 2. С выхода усилителя 2 переменное напряжение подается на первый вход компаратора 3, на второй вход которого подается нулевое напряжение. С выхода компаратора 3 логические сигналы (прямоугольные импульсы) подаются на вход микроконтроллера 5, в котором программно реализованы БВОГ 6 и БВЗ 7. Выход БВОГ 6 соединен со входом БВЗ 7. Используя знаки основной гармоники, в микроконтроллере реализуется алгоритм метода средних точек. В процессе реализации этого алгоритма многократно формируются вещественная Re(z) и мнимая Im(z) составляющие компенсирующего напряжения, которые передаются на БФКН 4.In FIG. 1. Adder 1, amplifier 2, comparator 3, BFKN 4, microcontroller 5 are presented, in which BVOG 6 and BVZ 7 are implemented in software. 1, from the output of adder 1, an alternating voltage is supplied to the input of amplifier 2. From the output of amplifier 2, an alternating voltage is supplied to the first input of comparator 3, the second input of which is supplied with zero voltage. From the output of the comparator 3, logical signals (rectangular pulses) are fed to the input of the microcontroller 5, in which the BVOG 6 and BVZ 7 are implemented in software. In the process of implementing this algorithm, the real Re(z) and imaginary Im(z) components of the compensating voltage are repeatedly formed, which are transmitted to the BFKN 4.

Для описания работы устройства, реализующего предлагаемый способ, введем следующие обозначения.To describe the operation of the device that implements the proposed method, we introduce the following notation.

j – мнимая единица, j

.j is the imaginary unit, j

.

φ – угол, на который отличается измеряемое переменное напряжение от некоторого образцового переменного напряжения, например, если измеряется переменное напряжение на конденсаторе RC-цепочки, то за образцовое можно принять питающее переменное напряжение.φ is the angle by which the measured alternating voltage differs from some exemplary alternating voltage, for example, if an alternating voltage is measured on the capacitor of an RC circuit, then the supply alternating voltage can be taken as the exemplary one.

φ1 – угол, на который происходит сдвиг по фазе в канале измерения, то есть в сумматоре 1, усилителе 2, компараторе 3.φ1 is the angle by which the phase shift occurs in the measurement channel, that is, in adder 1, amplifier 2, comparator 3.

U(t) – измеряемое переменное напряжение, поступающее на инвертирующий вход сумматора 1, изменяющееся во времени t по синусоидальному закону U(t)=U_A⋅sin(ω⋅t+φ).U(t) is the measured alternating voltage supplied to the inverting input of the adder 1, changing in time t according to the sinusoidal law U(t)=U _A ⋅sin(ω⋅t+φ).

U_A – амплитудное значение измеряемого переменного напряжения.U _A is the amplitude value of the measured alternating voltage.

z₀– измеряемое переменное напряжение, поступающее на инвертирующий вход сумматора 1, выраженное в комплексном виде, оно имеет вещественную составляющую Re(z₀) и мнимую составляющую Im(z₀).z ₀ is the measured alternating voltage supplied to the inverting input of the adder 1, expressed in complex form, it has a real component Re(z ₀ ) and an imaginary component Im(z ₀ ).

Uк(t) – компенсирующее переменное напряжение, поступающее на неинвертирующий вход сумматора 1, изменяющееся во времени по синусоидальному закону.Uk(t) is the compensating alternating voltage supplied to the non-inverting input of the adder 1, which varies in time according to a sinusoidal law.

z – компенсирующее переменное напряжение, поступающее на неинвертирующий вход сумматора 1, выраженное в комплексном виде, оно имеет вещественную составляющую Re(z) и мнимую составляющую Im(z).z is the compensating alternating voltage supplied to the non-inverting input of adder 1, expressed in complex form, it has a real component Re(z) and an imaginary component Im(z).

Y – основная гармоника, выделенная из прямоугольных импульсов, действующих на выходе компаратора, выраженная в комплексном виде, она имеет вещественную составляющую Re(Y) и мнимую составляющую Im(Y).Y is the fundamental harmonic extracted from the rectangular pulses acting at the output of the comparator, expressed in complex form, it has a real component Re(Y) and an imaginary component Im(Y).

Для реализации предлагаемого способа необходимо знать не только точное значение частоты измеряемого переменного напряжения, но и иметь синхронизирующий сигнал, связанный по фазе с некоторым образцовым переменным напряжением, фаза которого считается равной нулю. С помощью такого синхронизирующего сигнала можно создавать компенсирующее синусоидальное напряжение z с заданными параметрами - Re(z), Im(z), то есть с заданными значениями амплитуды и фазы.To implement the proposed method, it is necessary to know not only the exact value of the frequency of the measured alternating voltage, but also to have a synchronizing signal associated in phase with some exemplary alternating voltage, the phase of which is considered to be zero. Using such a synchronizing signal, it is possible to create a compensating sinusoidal voltage z with given parameters - Re(z), Im(z), that is, with given amplitude and phase values.

Измеряемое переменное напряжение z₀ поступает на инвертирующий вход сумматора 1. На неинвертирующий вход сумматора 1 поступает компенсирующее переменное напряжение z. Для формирования компенсирующего переменного напряжения используется БФКН 4. The measured alternating voltage z ₀ is supplied to the inverting input of the adder 1. The compensating alternating voltage z is supplied to the non-inverting input of the adder 1. To form a compensating alternating voltage, BFKN 4 is used.

Рассмотрим БФКН 7 более подробно. Он может быть реализован различными способами. Например, он может представлять собой управляемый RC-генератор синусоидального напряжения с подстройкой амплитуды и фазы таким образом, чтобы они соответствовали заданным значениям вещественной Re(z) и мнимой Im(z) составляющих требуемого синусоидального напряжения. Если частота измеряемого переменного напряжения низкая, то БФКН 4 может быть выполнен с помощью цифроаналогового преобразователя, на вход которого периодически подаются значения (поток) требуемых мгновенных значений напряжения, при этом соответствующая программа должна генерировать поток, обеспечивающий формирование синусоидального напряжения с заданным значениями вещественной Re(z) и мнимой Im(z) составляющих требуемого компенсирующего напряжения z. В этом случае микроконтроллер должен иметь цифровую синхронизацию с образцовым переменным напряжением, фаза которого считается равной нулю. Еще один возможный вариант - сформировать два сигнала, первый соответствует вещественной составляющей Re(z), второй соответствует мнимой составляющей Im(z) требуемого компенсирующего напряжения. Сигнал, соответствующий вещественной составляющей Re(z) можно сформировать непосредственно из синусоидального синхронизирующего сигнала. Сигнал, соответствующий мнимой составляющей Im(z) можно получить с помощью фазосдвигающего устройства. Суммируя эти два сигнала можно получить требуемое компенсирующее синусоидальное напряжение z. Такой способ предпочтительнее в том случае, если измеряемое переменное напряжение имеет сравнительно высокую частоту, например 1 МГц. На таких частотах затруднительно формировать сигнал «по точкам».Let us consider BFKN 7 in more detail. It can be implemented in various ways. For example, it may be a controlled RC-oscillator of a sinusoidal voltage with amplitude and phase adjustment so that they correspond to the given values of the real Re(z) and imaginary Im(z) components of the required sinusoidal voltage. If the frequency of the measured alternating voltage is low, then BFKN 4 can be performed using a digital-to-analogue converter, the input of which is periodically supplied with values (flow) of the required instantaneous voltage values, while the corresponding program must generate a flow that ensures the formation of a sinusoidal voltage with specified values of real Re( z) and imaginary Im(z) components of the required compensating voltage z. In this case, the microcontroller must have digital synchronization with an exemplary alternating voltage, the phase of which is considered to be zero. Another possible option is to generate two signals, the first corresponds to the real component Re(z), the second corresponds to the imaginary component Im(z) of the required compensating voltage. The signal corresponding to the real component Re(z) can be generated directly from the sinusoidal clock signal. The signal corresponding to the imaginary component Im(z) can be obtained using a phase shifter. By summing these two signals, the required compensating sinusoidal voltage z can be obtained. This method is preferable if the measured alternating voltage has a relatively high frequency, for example 1 MHz. At such frequencies, it is difficult to form a signal “point by point”.

У БФКН 4 есть предельные значения, определяемые применяемой элементной базой. Это связано, прежде всего, с определенным значением напряжения питания, а также с допустимыми значениями тока и напряжения отдельных его элементов. Если попытаться превысить предельное значение, то устройство будет работать неправильно или выйдет из строя. Поэтому передаваемые на вход значения вещественной Re(z) и мнимой Im(z) составляющих не должны превышать этих предельных значений. Исходя из этого следует выбирать точки начального приближения a⁰, b⁰, c⁰, d ⁰.BFKN 4 has limit values determined by the applied element base. This is due, first of all, to a certain value of the supply voltage, as well as to the permissible values of the current and voltage of its individual elements. If you try to exceed the limit value, the device will not work properly or fail. Therefore, the values of the real Re(z) and imaginary Im(z) components transmitted to the input should not exceed these limit values. Based on this, one should choose the initial approximation points a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ .

Для анализа выходного напряжения сумматора 1 используются усилитель 2, компаратор 3, БВОГ 6, БВЗ 7. Результатом анализа являются знаки (+ или –) основной гармоники: знак вещественной составляющей и знак мнимой составляющей. To analyze the output voltage of adder 1, amplifier 2, comparator 3, BVOG 6, BVZ 7 are used. The result of the analysis is the signs (+ or -) of the fundamental harmonic: the sign of the real component and the sign of the imaginary component.

Рассмотрим анализ выходного напряжения сумматора 1 более подробно.Consider the analysis of the output voltage of adder 1 in more detail.

При реализации шагов итерационного процесса, каждый раз будет возникать некоторая разность входного переменного напряжения и компенсирующего переменного напряжения z–z₀, назовем её разностный сигнал. Разностный сигнал усиливается с помощью усилителя 2. Любой усилитель имеет ограниченную полосу частот пропускания. Но при необходимости можно ограничить полосу пропускания снизу и сверху для подавления нежелательных высокочастотных и низкочастотных помех. When implementing the steps of the iterative process, each time there will be some difference between the input AC voltage and the compensating AC voltage z–z ₀ , let's call it the difference signal. The difference signal is amplified by amplifier 2. Any amplifier has a limited bandwidth. But if necessary, you can limit the bandwidth from below and above to suppress unwanted high-frequency and low-frequency interference.

Следует отметить, что при традиционных способах измерения, например, как в приведенном аналоге, ограничение полосы частот пропускания может привести к фазовым искажениям полезного сигнала. В предлагаемом способе наличие фазовых искажений в канале усиления разностного сигнала не приводит к погрешности результата, так как при реализации алгоритма измерительного цикла разностный сигнал сводится практически к нулю, то есть значение z станет практически равно значению z₀, у компенсирующего переменного напряжения z будут такие же амплитуда и фаза φ, как и у измеряемого переменного напряжения z₀, независимо от того, как затем сдвигается разностный сигнал. Обозначим угол, на который сдвигается разностный сигнал, как φ1. Для хорошего подавления помех можно сделать верхнюю граничную частоту усилителя очень близкой к частоте измеряемого переменного напряжения, разумеется, при этом существенно изменится фаза разностного сигнала, то есть значение φ1 будет большим. Предлагаемый метод средних точек сходится при любом угле φ1.It should be noted that with traditional measurement methods, for example, as in the above analog, bandwidth limitation can lead to phase distortions of the useful signal. In the proposed method, the presence of phase distortions in the channel of amplification of the difference signal does not lead to an error in the result, since when the measurement cycle algorithm is implemented, the difference signal is reduced to almost zero, that is, the value of z will become almost equal to the value of z ₀ , the compensating AC voltage z will have the same amplitude and phase φ, as well as for the measured alternating voltage z ₀ , regardless of how the difference signal is then shifted. Let us denote the angle by which the difference signal is shifted as φ1. For good interference suppression, you can make the upper cutoff frequency of the amplifier very close to the frequency of the measured AC voltage, of course, this will significantly change the phase of the difference signal, that is, the value of φ1 will be large. The proposed midpoint method converges at any angle φ1.

Также следует отметить, что усилитель 1 может иметь большой коэффициент усиления, например такой, что при большом разностном сигнале усилитель 1 может выходить за пределы линейного режима, то есть на его выходе могут действовать прямоугольные импульсы, ограниченные питающими напряжениями. Предлагаемый способ остается работоспособным при измерении различных по амплитуде измеряемых напряжений, нет необходимости вводить несколько пределов измерения.It should also be noted that the amplifier 1 can have a high gain, for example, such that with a large difference signal, the amplifier 1 can go beyond the linear mode, that is, its output can have rectangular pulses limited by the supply voltages. The proposed method remains operable when measuring voltages of different amplitudes, there is no need to introduce several measurement limits.

Сигнал с выхода усилителя поступает на первый вход компаратора 3, на второй вход которого подано нулевое напряжение. На выходе компаратора 3 образуются прямоугольные импульсы, которые поступают на вход микроконтроллера. Для предложенного способа информативной является только основная гармоника этих прямоугольных импульсов, обозначим её Y. Тогда:The signal from the output of the amplifier is fed to the first input of the comparator 3, the second input of which is supplied with zero voltage. At the output of the comparator 3, rectangular pulses are formed, which are fed to the input of the microcontroller. For the proposed method, only the fundamental harmonic of these rectangular pulses is informative, let's denote it as Y. Then:

Y=К⋅e^jφ1⋅(z–z₀)Y=К⋅e ^jφ1 ⋅(z–z ₀ )

где K - некоторый коэффициент.where K is some coefficient.

Для выделения основной гармоники Y, импульсы с выхода компаратора 3 поступают на БВОГ 6, который входит в состав микроконтроллера 5. Реализация БВОГ 6 может быть различной. Например, это может быть аналого-цифровой преобразователь (АЦП) в совокупности с соответствующим программным обеспечением. В этом случае с помощью АЦП получают поток значений, соответствующий прямоугольным импульсам, а затем выделяют основную гармонику, например, с помощью преобразования Фурье. Но при сравнительно высокой частоте измеряемого переменного напряжения, например, 1 МГц, АЦП использовать затруднительно. Другой вариант - использовать не АЦП, а цифровой вход микроконтроллера, при этом выходные сигналы компаратора интерпретируются как логические сигналы, то есть нули и единицы. В этом случае БВОГ 6 также может выделить основную гармонику, применяя преобразование Фурье. В результате преобразования Фурье получаются гармонические составляющие. Для работы предлагаемого способа смысл имеет только основная гармоника. Большинство реализаций преобразования Фурье позволяют получить значения гармонических составляющих, в том числе и основную гармонику, в комплексном виде. Это означает, что в результате преобразования Фурье получаются две составляющие основной гармоники – вещественная Re(Y) и мнимая Im(Y). Каждая из них может иметь как положительный, так и отрицательный знак, то есть + или –. В БВЗ осуществляется выделение и запоминание этих знаков. Математически эти знаки можно получить по формулам sign(Re(e ^jφ1⋅(z–z₀))) и sign(Im(e ^jφ1⋅(z–z₀))).To isolate the fundamental harmonic Y, the pulses from the output of the comparator 3 are fed to the RVOG 6, which is part of the microcontroller 5. The implementation of the RVOG 6 may be different. For example, it can be an analog-to-digital converter (ADC) in conjunction with the appropriate software. In this case, the value stream corresponding to the rectangular pulses is obtained using the ADC, and then the fundamental harmonic is isolated, for example, using the Fourier transform. But at a relatively high frequency of the measured alternating voltage, for example, 1 MHz, it is difficult to use the ADC. Another option is to use not an ADC, but a digital input of the microcontroller, while the output signals of the comparator are interpreted as logical signals, that is, zeros and ones. In this case, the RVOG 6 can also isolate the fundamental harmonic by applying the Fourier transform. As a result of the Fourier transform, harmonic components are obtained. Only the fundamental harmonic makes sense for the proposed method to work. Most implementations of the Fourier transform make it possible to obtain the values of the harmonic components, including the fundamental harmonic, in a complex form. This means that as a result of the Fourier transform, two components of the fundamental harmonic are obtained - the real Re(Y) and the imaginary Im(Y). Each of them can have both a positive and a negative sign, that is, + or -. In BVZ, these signs are allocated and memorized. Mathematically, these signs can be obtained using the formulas sign(Re(e ^jφ1 ⋅(z–z ₀ ))) and sign(Im(e ^jφ1 ⋅(z–z ₀ ))).

В дальнейшем, для упрощения записи, условимся обозначать знаки основной гармоники следующим образом:In the future, to simplify the notation, we will agree to designate the signs of the fundamental harmonic as follows:

Re(Y) ≥ 0, Im(Y) ≥ 0 + +;Re(Y) ≥ 0, Im(Y) ≥ 0 + +;

Re(Y) < 0, Im(Y) ≥ 0 – +;Re(Y) < 0, Im(Y) ≥ 0 – +;

Re(Y) ≥ 0, Im(Y) < 0 + –;Re(Y) ≥ 0, Im(Y) < 0 + –;

Re(Y) < 0, Im(Y) < 0 – –.Re(Y) < 0, Im(Y) < 0 – –.

Всего существует четыре варианта знаков. Но с математической точки зрения есть случай, когда Re(Y) = 0, Im(Y) = 0. Этот случай рассматривать не будем, так как он крайне маловероятен.There are four variants of signs in total. But from a mathematical point of view, there is a case when Re(Y) = 0, Im(Y) = 0. We will not consider this case, since it is extremely unlikely.

Сумматор 1, усилитель 2, компаратор 3, БВОГ 6 и БВЗ 7 совместно образуют нуль-орган.Adder 1, amplifier 2, comparator 3, BVOG 6 and BVZ 7 together form a null organ.

Для нахождения значения компенсирующего напряжения z, максимально приближенного к значению измеряемого напряжения z₀, разработан итерационный метод, названный метод средних точек (см. фиг. 2). Метод позволяет решать уравнение вида:To find the value of the compensating voltage z, as close as possible to the value of the measured voltage z ₀ , an iterative method has been developed, called the midpoint method (see Fig. 2). The method allows solving an equation of the form:

sign(Re(e ^jφ1⋅(z–z₀)))+j∙sign(Im(e^jφ1⋅(z–z₀)))=0,sgn(Re(e ^jφ1 ⋅(z–z ₀ )))+j∙sign(Im(e ^jφ1 ⋅(z–z ₀ )))=0,

где функция sign() определена следующим образом:where the sign() function is defined as follows:

В начале итерационной последовательности выполняют действия, соответствующие начальному приближению. При этом на комплексной плоскости выбирают 4 точки, обозначаемые a⁰, b⁰, c⁰, d⁰. Один из возможных вариантов выбора этих точек следующий. У точки a⁰ предельная положительная вещественная и предельная положительная мнимая составляющие, у точки b⁰ предельная отрицательная вещественная и предельная положительная мнимая составляющие, у точки c⁰ предельная отрицательная вещественная и предельная отрицательная мнимая составляющие, у точки d⁰ предельная положительная вещественная и предельная отрицательная мнимая составляющие. Например, как начальное приближение, показанное на фиг. 3. Если знаки основной гармоники, соответствующие этим точкам, различные во всех сочетаниях, то есть ++, – +, + – и – –, то измеряемое значение z₀ находится внутри этого прямоугольника. Для получения знаков основной гармоники для каждой из четырех точек a⁰, b⁰, c⁰, d⁰ выполняют шесть действий а, б, в, г, д, е. At the beginning of the iterative sequence, actions are performed corresponding to the initial approximation. In this case, 4 points are selected on the complex plane, denoted by a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ . One of the possible options for choosing these points is as follows. Point a ⁰ has limit positive real and limit positive imaginary components, point b ⁰ has limit negative real and limit positive imaginary components, point c ⁰ has limit negative real and limit negative imaginary components, point d ⁰ has limit positive real and limit negative imaginary components. For example, as the initial guess shown in FIG. 3. If the signs of the fundamental harmonic corresponding to these points are different in all combinations, that is, ++, - +, + - and - -, then the measured value z ₀ is inside this rectangle. To obtain the signs of the fundamental harmonic for each of the four points a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ perform six actions a, b, c, d, e, f.

Расположение точек начального приближения может быть любым другим, главное чтобы знаки основной гармоники Y, соответствующие этим четырем точкам были разными во всех сочетаниях. The location of the initial approximation points can be any other, the main thing is that the signs of the main harmonic Y corresponding to these four points are different in all combinations.

Пятая точка s⁰ располагается в центре четырехугольника. Для неё также выполняются шесть действий а, б, в, г, д, е и запоминаются соответствующие знаки. На этом работа с начальным приближением заканчивается.The fifth point s ⁰ is located in the center of the quadrilateral. Six actions a, b, c, d, e, e are also performed for it and the corresponding signs are memorized. This completes the work with the initial approximation.

После этого начинают итерационный процесс, то есть циклическое выполнение следующих действий. Находят из четырех точек a^i-1, b^i-1, c^i-1, d^i-1 (где i - номер шага) ту точку, для которой запомненные ранее знаки вещественной и мнимой составляющих основной гармоники Y равны знакам вещественной и мнимой составляющих основной гармоники, соответствующим точке s^i-1. Затем найденную точку переносят на место точки s^i-1, остальные три точки оставляют на своих местах и, таким образом, находят четыре точки aⁱ, bⁱ, cⁱ, d ⁱ. Затем находят пятую точку sⁱ. При этом может быть три варианта. Первый вариант – когда четырехугольник aⁱ, bⁱ, cⁱ, dⁱ выпуклый. В этом случае точку sⁱ необходимо находить по формуле:After that, the iterative process begins, that is, the cyclic execution of the following actions. Find from four points a ^i-1 , b ^i-1 , c ^i-1 , d ^i-1 (where i is the step number) the point for which the previously memorized signs of the real and imaginary components of the fundamental harmonic Y are equal to the signs of the real and imaginary components of the fundamental harmonic corresponding to the point s ^i-1 . Then the found point is transferred to the place of the point s ^i-1 , the remaining three points are left in their places and, thus, four points a ⁱ , b ⁱ , c ⁱ , d ⁱ are found. Then find the fifth point s ⁱ . There may be three options for this. The first option is when the quadrilateral a ⁱ , b ⁱ , c ⁱ , d ⁱ is convex. In this case, the point s ⁱ must be found using the formula:

sⁱ=(aⁱ+bⁱ+cⁱ+dⁱ)/4.s ⁱ =(a ⁱ + b ⁱ + c ⁱ + d ⁱ )/4.

Второй вариант – когда четырехугольник не выпуклый, а внутренний угол, имеющий более 180⁰, принадлежит одной из точек aⁱ или cⁱ. Такой вариант приведен на фиг. 6. В этом случае точка sⁱ должна располагаться в середине отрезка [aⁱ cⁱ]:The second variant is when the quadrilateral is not convex, but the interior angle having more than 180 ⁰ belongs to one of the points a ⁱ or c ⁱ . Such an option is shown in Fig. 6. In this case, the point s ⁱ must be located in the middle of the segment [a ⁱ c ⁱ ]:

sⁱ=(aⁱ+cⁱ)/2.s ⁱ =(a ⁱ + c ⁱ )/2.

Третий вариант – когда четырехугольник не выпуклый, а внутренний угол, имеющий более 180⁰, принадлежит одной из точек bⁱ или d ⁱ. Такой вариант приведен на фиг. 7. В этом случае точка sⁱ должна располагаться в середине отрезка [bⁱ dⁱ]:The third option is when the quadrilateral is not convex, but the interior angle having more than 180 ⁰ belongs to one of the points b ⁱ or d ⁱ . Such an option is shown in Fig. 7. In this case, the point s ⁱ must be located in the middle of the segment [b ⁱ d ⁱ ]:

sⁱ=(bⁱ+d ⁱ)/2.s ⁱ =(b ⁱ + d ⁱ )/2.

Шаги итерационного процесса выполняют до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Для этого необходимо задать необходимое значение допустимой погрешности Δз, которое не должно быть превышено по окончании итерационного процесса. Итерационный процесс заканчивают если The steps of the iterative process are performed until the specified accuracy is achieved. To do this, it is necessary to set the required value of the permissible error Δз, which should not be exceeded at the end of the iterative process. The iterative process ends if

│aⁱ – bⁱ│<Δз или │cⁱ – dⁱ│<Δз.│a ⁱ – b ⁱ │<Δз or │c ⁱ – d ⁱ │<Δз.

На фиг. 3, фиг. 4, фиг. 5 приведен численный пример работы предлагаемого метода. Для примера взято число z₀=0,3+j0,2, угол φ1=0,1 рад. Визуально показано, что четырехугольник уменьшается, то есть точки aⁱ, bⁱ, cⁱ, dⁱ стягиваются к точке решения. В этом примере, после выполнения шага 13 размеры четырехугольника не превышают 0,05 В. Это означает, что погрешность измеренного значения не превышает 0,05 В (амплитудное значение). Уменьшение погрешности при выполнении шагов итерационного процесса приблизительно соответствует уменьшению в 2 раза при выполнении двух шагов.In FIG. 3, fig. 4, fig. Figure 5 shows a numerical example of the proposed method. For example, the number z ₀ \u003d 0.3 + j0.2 is taken, the angle φ1 \u003d 0.1 rad. It is visually shown that the quadrangle decreases, that is, the points a ⁱ , b ⁱ , c ⁱ , d ⁱ shrink to the solution point. In this example, after step 13, the dimensions of the quadrilateral do not exceed 0.05 V. This means that the error of the measured value does not exceed 0.05 V (peak value). The decrease in the error when performing the steps of the iterative process approximately corresponds to a decrease by a factor of 2 when performing two steps.

Теоретически у метода средних точек нет ограничений для уменьшения значения Δз, поэтому возможно достигнуть сколь угодно малую погрешность. Для получения меньшей погрешности просто увеличивается число шагов итерационного процесса. Погрешность может возникнуть из-за неидеальности сумматора и практически не зависит от неидеальности усилителя 2, компаратора 3.Theoretically, the method of midpoints has no restrictions for reducing the value of Δз, so it is possible to achieve an arbitrarily small error. To obtain a smaller error, the number of steps in the iterative process is simply increased. The error may arise due to the imperfection of the adder and practically does not depend on the imperfection of amplifier 2, comparator 3.

По окончании итерационного процесса очередная точка sⁱ считается найденным значением. Вещественная составляющая Re(sⁱ) соответствует вещественной составляющей измеряемого напряжения, а мнимая составляющая Im(sⁱ) соответствует мнимой составляющей измеряемого напряжения. At the end of the iterative process, the next point s ⁱ is considered to be the found value. The real component Re(s ⁱ ) corresponds to the real component of the measured voltage, and the imaginary component Im(s ⁱ ) corresponds to the imaginary component of the measured voltage.

При необходимости можно определить амплитуду U_A и фазу φ (фиг. 8) измеряемого переменного напряжения по формулам:If necessary, you can determine the amplitude U _A and the phase φ (Fig. 8) of the measured alternating voltage using the formulas:

U_A =

;U _A =

;

φ=arctan(Im(sⁱ)/Re(sⁱ)).φ=arctan(Im(s ⁱ )/Re(s ⁱ )).

Таким образом, за счет совокупности отличительных признаков появляется возможность предельно увеличить чувствительность нуль-органа не опасаясь того, что элементы выйдут за пределы линейного режима работы. Это позволяет сколь угодно уменьшать погрешность, то есть свести разностный сигнал практически к нулю. В результате повышается чувствительность, разрешающая способность и точность измерения, уменьшается погрешность измерения переменного напряжения. Причем результат сразу представлен в виде суммы вещественной и мнимой составляющих. Thus, due to the combination of distinctive features, it becomes possible to maximize the sensitivity of the null organ without fear that the elements will go beyond the linear mode of operation. This allows you to arbitrarily reduce the error, that is, to reduce the difference signal to almost zero. As a result, the sensitivity, resolution and measurement accuracy are increased, and the measurement error of alternating voltage is reduced. Moreover, the result is immediately presented as the sum of the real and imaginary components.

Claims

A method for measuring the real and imaginary components of an alternating voltage, for which the following auxiliary devices are used: an analog adder that has an inverting input, a non-inverting input and an output, and the measured alternating voltage is applied to the inverting input, a compensating alternating voltage is applied to the non-inverting input; a compensating voltage generation unit, which can generate at its output a compensating sinusoidal voltage with given values of the real and imaginary components; an amplifier, the input of which is supplied with an alternating voltage from the output of an analog adder, which has an extremely high gain and a bandwidth limited from below and from above; a comparator, the input of which is the output signal of the amplifier, the comparator compares it with zero voltage and generates output rectangular pulses that are fed to the input of the microcontroller; microcontroller, in which the fundamental harmonic extraction block is implemented in software; a block for extracting the signs of the real and imaginary components of the fundamental harmonic is implemented in software; performing steps of the iterative sequence in accordance with the algorithm of the method of midpoints until a predetermined accuracy is achieved; the algorithm of the midpoint method is that four points a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ are chosen on the complex plane, called “initial approximation”, and the quadrilateral a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ has angles a ⁰ and c ⁰ must be opposite, the angles b ⁰ and d ⁰ must be opposite, for each of the points six actions are performed - a, b, c, d, e, e:

a - the real and imaginary components of the complex number corresponding to the point are transmitted to the compensating voltage generation unit;

b – the alternating voltage generated by the compensating voltage generation unit is supplied to the non-inverting input of the analog adder, the inverting input of which is supplied with the measured alternating voltage;

c - alternating voltage coming from the output of the analog adder is amplified using an amplifier;

d - the output signal of the amplifier is fed to the input of the comparator, which compares this signal with zero voltage and, as a result, generates rectangular pulses at its output;

e - rectangular pulses are fed from the output of the comparator to the fundamental harmonic extraction unit, the fundamental harmonic is isolated;

e - using the sign extraction unit (BVZ) of the real and imaginary components of the fundamental harmonic, the signs of the real and imaginary components of the fundamental harmonic are determined;

points a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ must be such that the compensating voltages corresponding to these points have the signs of the fundamental harmonic, different in all combinations, then find the point s ⁰ by the formula

s ⁰ \u003d (a ⁰ + b ⁰ + c ⁰ + d ⁰ ) / 4,

for point s ⁰ perform six actions - a, b, c, d, e, e, remember the signs of the real and imaginary components of the fundamental harmonic corresponding to points a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ , s ⁰ , then perform the steps of the iterative sequence, each step consists of the following four actions - g, h, i, k:

g - find from four points a ^i-1 , b ^i-1 , c ^i-1 , d ^i-1 , where i is the step number, the point for which the signs of the real and imaginary components of the main harmonic memorized in the previous step are equal to the signs real and imaginary components of the main harmonic, corresponding to the point s ^i-1 , then the found point is transferred to the place of the point s ^i-1 , the remaining three points are left in their places and, thus, four points a ⁱ , b ⁱ , c ⁱ are found, d ⁱ ;

h - find the fifth point s ⁱ according to one of the three options as follows, if the quadrilateral a ⁱ , b ⁱ , c ⁱ , d ⁱ is convex, then the point s ⁱ is found by the formula s ⁱ = (a ⁱ + b ⁱ + c ⁱ + d ⁱ )/4, if the quadrilateral a ⁱ , b ⁱ , c ⁱ , d ⁱ is not convex, that is, one internal angle at one of the points a ⁱ , b ⁱ , c ⁱ , d ⁱ is more than 180 °, then out of two segments [a ⁱ , c ⁱ ] or [b ⁱ , d ⁱ ] choose one that is adjacent to the angle of more than 180 °, in accordance with the selected segment, calculate s ⁱ using one of the formulas s ⁱ =(a ⁱ +c ⁱ )/ 2 or (third option) s ⁱ =(b ⁱ +d ⁱ )/2;

and – for the point s ⁱ perform six actions - a, b, c, d, e, e, memorize the signs of the real and imaginary components of the fundamental harmonic corresponding to the point s ⁱ ;

k - check the condition for the end of the iterative process, using the value of the specified error Δз and the following relationships:

if │a ⁱ – c ⁱ │<Δз or │b ⁱ – d ⁱ │<Δз, then the iterative process must be completed;

the steps are performed until the end condition of the iteration process is met, at the end of the iteration process, the complex value corresponding to the point s ⁱ is used as the measurement result, the real component Re(s ⁱ ) corresponds to the real component of the measured alternating voltage, and the imaginary component Im (s ⁱ ) corresponds to the imaginary component of the measured AC voltage.