RU2576591C2 - Способ и устройство преобразования сигнала произвольной формы - Google Patents
Способ и устройство преобразования сигнала произвольной формы Download PDFInfo
- Publication number
- RU2576591C2 RU2576591C2 RU2014116732/08A RU2014116732A RU2576591C2 RU 2576591 C2 RU2576591 C2 RU 2576591C2 RU 2014116732/08 A RU2014116732/08 A RU 2014116732/08A RU 2014116732 A RU2014116732 A RU 2014116732A RU 2576591 C2 RU2576591 C2 RU 2576591C2
- Authority
- RU
- Russia
- Prior art keywords
- voltages
- sawtooth
- input
- output
- circuit
- Prior art date
Links
Images
Landscapes
- Compression, Expansion, Code Conversion, And Decoders (AREA)
- Amplifiers (AREA)
Abstract
Изобретение относится к области измерений, вычислительной техники и предназначено для прямого и обратного преобразования сигналов произвольной формы. Техническим результатом является уменьшение среднеквадратичной погрешности, максимального уклонения и ступенчатости восстановленного сигнала. Устройство содержит источник сигнала произвольной формы, интеграторы на операционных усилителях, отсчитывающие и запоминающие элементы, схемы вычисления коэффициентов преобразования, резисторы, операционный усилитель, генератор напряжений Уолша, формирователь ортогональных пилообразных напряжений, схемы умножения двух одновременно изменяющихся напряжений. 2 н.п. ф-лы, 14 ил.
Description
Изобретение относится к области измерений, вычислительной и импульсной технике и предназначено для прямого, обратного преобразований и фильтрации сигналов произвольной формы и различной природы (речь, музыка, видео, связь и т.д.).
Известны различные базисы преобразований сигналов Фурье, Уолша, Адамара, Хаара, Добеши и т.д. [1, 2, 5, 6, 7, 8, 9]. Выбор типа анализирующего базиса для обработки сигналов, как правило, определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала. Каждый базис имеет свои характерные особенности во временном и частотном пространствах. С помощью различных базисов можно полнее выявить и подчеркнуть те или иные свойства преобразованного сигнала. При этом другим аспектом выбора является скорость и объем вычислений.
Наиболее часто наряду с классическим преобразованием Фурье используются преобразования Уолша или Адамара [5, 7, 8, 9]. Эти преобразования имеют быстрые алгоритмы вычисления.
Непрерывное преобразование Фурье дает непрерывный восстановленный сигнал. Недостатком преобразования является то, что резкие (импульсные) локальные изменения в преобразуемом сигнале сглаживаются в восстановленном сигнале, в результате чего максимальные уклонения в локальных зонах сигнала могут достигать достаточно больших значений [10]. Стр. 451, 452 и черт. 118. Приложение 1.
Недостатком преобразования Уолша является существенная ступенчатость в восстановленном сигнале из-за того, что базисные функции принимают только два значения ±1 [1]. Приложение 2. Стр. 47, 48 рис. 1.1.4-1 и стр. 160. В результате этого максимальные уклонения восстановленного сигнала от исходного в отдельных точках достигают больших значений.
Напряжения Уолша и ортогональные пилообразные напряжения относятся к классу линейных функций. Последовательность операций преобразований по ортогональным пилообразным аналогична последовательности преобразования по напряжениям Уолша. Учитывая то, что последовательность преобразования Уолша наиболее близко к преобразованию по ортогональным пилообразным напряжениям, преобразование Уолша выбрано в качестве прототипа.
Согласно преобразованию с использованием прямоугольных двуполярных напряжений Уолша, принимающих только два значения ±1 (см. Приложение 2, стр. 159-164) в [1], при прямом преобразовании сигнала (вычислении коэффициентов преобразования) выполняют следующие операции:
- параллельно (одновременно) генерируют напряжения Уолша;
- параллельно умножают сигнал в виде непрерывно изменяющегося напряжения (без оцифровывания) на напряжения Уолша;
- параллельно вычисляют значения интегралов от произведений напряжения сигнала на напряжения Уолша на промежутках времени, равных периоду напряжения Уолша с числом секвент, равной единице (число секвент - это число пересечения напряжения Уолша с осью времени);
- отсчитывают значения интегралов, равные значениям коэффициентов преобразования aj по напряжениям Уолша.
При обратном преобразовании сигнала (восстановлении и фильтрации):
- параллельно умножают коэффициенты преобразования по напряжениям Уолша в виде напряжений, полученных при прямом преобразовании, на напряжения Уолша;
- параллельно суммируют произведения коэффициентов преобразования, в виде напряжений, на напряжения Уолша, формируют восстановленный сигнал, представляющий собой среднеквадратичное приближение входного сигнала или фильтрованный сигнал, полагая отдельные значения коэффициентов преобразования равные нулю.
Для количественной оценки преобразований по напряжениям Уолша и предложенным ортогональным пилообразным напряжениям используют среднюю квадратичную погрешность
где F(t) - исходный сигнал;
G(t) - восстановленный сигнал, и наибольшее уклонение восстановленного сигнала G(t) от исходного F(t)
В целях убедительного обоснования сущности недостатка преобразования по напряжениям, тождественным функциям Уолша подвергнем прямому и обратному преобразованиям сигнал
Вычислив коэффициенты разложения по напряжениям Уолша, получили:
Gy(t)=0,637wal(1, t)-0,264wal(5, t)+0,159wal(8, t)-0,052wal(9, t)-0,159wal(10, t)-0,127wal(13, t).
Графики исходной F(t) и восстановленной Gy(t) функции, а также график уклонения Δy(t)=F(t)-Gy(t) приведены на фиг. 1.
Средняя квадратичная ошибка составляет
Уклонение функции Gy(t) от F(t) в отдельных точках большое Δy(t)=0,507.
Из результатов преобразования сигнала по напряжениям тождественным функциям Уолша очевидно, что восстановленный сигнал имеет ступенчатый характер и обладает достаточно большими максимальными уклонениями Δy(t) от исходного сигнала.
Целью изобретения является повышение точности преобразования сигнала произвольной формы за счет уменьшения ступенчатости и уклонения восстановленного сигнала от исходного.
Цель достигается тем, что в предлагаемом преобразовании сигнала используют ортогональные пилообразные напряжения, тождественно изменяющиеся в соответствии со значениями функций.
Cln0(t)=1;
где t - время;
l - полупериод преобразования напряжения Sln1(t);
[…] - выделение целой части.
Коэффициенты преобразования при использовании ортогональных пилообразных напряжений определяются из следующих равенств:
Способ реализуется следующим образом:
- двуполярные напряжения Уолша с числом секвент 2, 4, 16 и 1, 3, 7 параллельно (одновременно) интегрируют с помощью интегралов на операционных усилителях. В результате интегрирования формируют пилообразные напряжения, аналогичные по характеру изменения тригонометрическим функциям синуса и косинуса с числом секвент 1, 3, 15 и 2, 4, 8:
- пилообразные напряжения Cln4(t) и Cln8(t) умножают на двуполярные напряжения Уолша. В результате чего формируют дополнительные пилообразные напряжения с числами секвент 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 и 14:
Графики напряжений (6) и (7) приведены на фиг. 2;
- пилообразные напряжения (6) и (7) упорядочивают по возрастанию чисел секвент; приводят к ортогональному виду, дополняют напряжением и 
и тем самым формируют ортогональные пилообразные напряжения (4);
- параллельно умножают напряжение сигнала F(t) на пилообразные напряжения (4), начиная с нулевого номера по пятнадцатый;
- параллельно вычисляют значения интегралов от произведений напряжения сигнала на напряжения (4);
- затем, используя значения интегралов, вычисляют значения коэффициентов преобразования bn из равенств (5) в виде напряжений.
При обратном преобразовании (восстановлении сигнала, фильтрации) по пилообразным напряжениям (4):
- параллельно умножают напряжения bn, соответствующие значениям коэффициентов преобразования, на напряжения (4);
- результат умножения, затем, параллельно суммируют и, тем самым, восстанавливают (обнуляя отдельные коэффициенты bn, фильтруют) сигнал. Для оценки возможности преобразования сигнала по ортогональным пилообразным напряжениям выполнено преобразование сигнала F(t).
В результате преобразования сигнала с использованием ортогональных пилообразных напряжений из (4) получены коэффициенты bn:
| b0(0)=0; | b5(0)=0,115; | b10(0)=-0,152; | |
| b1(0)=1,216; | b6(0)=0; | b11(0)=-0,152; | |
| b2(0)=0; | b7(0)=0; | b12(0)=0; | b15(0)=0, |
| b3(0)=0,076; | b8(0)=0,152; | b13(0)=0,011; | |
| b4(0)=0; | b9(0)=0,047; | b14(0)=0; |
а из (1) и (2):
Δn=0,156;
εn=0,001178.
Графики исходного сигнала F(t) и восстановленного Gn(t) приведены на фиг. 3.
Сравнивая среднюю квадратичную погрешность преобразования Уолша 
и максимальное уклонение Δy=0,507 со средней квадратичной погрешностью преобразования по пилообразным напряжениям εn=0,001178 и Δn=0,156, находим, что средняя квадратичная погрешность преобразования по пилообразным напряжениям меньше в 15 раз, а максимальное уклонение - в три раза, к тому же в восстановленном сигнале резко уменьшилась ступенчатость.
Таким образом, решена техническая задача конструирования базиса в основе которого используются ортогональные пилообразные напряжения (4), позволившего получить технический результат в существенном уменьшении как среднеквадратичной погрешности, так и максимального уклонения восстановленного сигнала от исходного.
Сравнивая сущность операций преобразования Уолша с сущностью операций преобразования с использованием ортогональных пилообразных напряжений (4) находим:
- что этап формирования (генерации) пилообразных напряжений (4), существенно отличаются от генерации напряжений Уолша. Пилообразные напряжения являются изменяющимися функции времени на всем временном интервале, а напряжения Уолша - разрывными функциями времени, принимающими только два значения ±1;
- в связи с тем, что напряжения Уолша принимают значения ±1, умножения напряжения сигнала F(t) сводится к простой операции присвоения знака сигналу F(t) на отрезках функции wal(j, t), а умножение напряжения сигнала F(t) при использовании ортогональных пилообразных напряжений является операция умножения двух изменяющихся напряжений F(t) и пилообразных напряжений на всем временном промежутке преобразования;
- при интегрировании произведения напряжения сигнала F(t) на напряжения wal(j, t) интеграл можно представить в виде суммы интегралов только от напряжения самого сигнала с учетом того, что функции wal(j, t) принимают только значения ±1, например, для wal(j, t):
а интегрирование произведений напряжения сигнала F(t) на пилообразные напряжения (4) существенно отличается, так, например (см. фиг. 2):
- из операции отсчитывания и вычисления коэффициентов преобразования по напряжениям Уолша следует, что все коэффициенты, стоящие перед интегралами, равны между собой и равны 1 [1], а из (5) следует, что коэффициенты, стоящие перед интегралами при преобразовании по ортогональным пилообразным напряжениям, не все равны между собой.
При обратном преобразовании (восстановлении, фильтрации) сигнала:
- умножение напряжений, равных значениям коэффициентов преобразования aj по напряжениям Уолша, на напряжения wal(j, t) сводится к простой операции умножения на ±1, а умножение коэффициентов разложения bn по пилообразным напряжениям (4) является умножением на непрерывно изменяющие напряжения;
- суммирование напряжений при восстановлении сигнала в преобразовании Уолша представлено в виде суммы одночленных слагаемых ajwal(j, t), а суммирование произведений пилообразных напряжений (4) на напряжения, равные значениям преобразования (4), включает как одночленные слагаемые типа b2Cln2(t), так и представленные в виде суммы 
.
Из сравнения одноименных операций преобразований Уолша с использованием пилообразных напряжений следует, что преобразование с использованием пилообразных напряжений при выполнении всех операций имеет свои отличия.
Известны устройства, реализующие преобразования Уолша [1, 7, 8, 9]. В [1], рис. 2.1.3-8 на с. 162 Приложение 2, представлено устройство, полностью реализующее операции, содержащиеся в преобразовании с использованием напряжений Уолша. В [7] предложены решения, направленные на уменьшение числа модулей и связей между модулями по сравнению с устройством в [8, 9].
В предлагаемом устройстве с использованием пилообразных напряжений последовательность выполнения операций аналогична последовательности операций в устройстве преобразования Уолша в [1], поэтому устройство, представленное в [1], наиболее близко к устройству, реализующему преобразование по ортогональным пилообразным напряжениям.
Устройство прототипа, реализующее преобразование сигнала по напряжениям Уолша, представлено в виде секвентного фильтра, который в равной мере используется как в преобразователях сигналов вокодерах (см. стр. 162, 163 в [1], Приложение 2), так и в секвентных фильтрах (рис. 2.1.3-8 в [1]). Секвентный фильтр общего вида согласно [1] представлен схемой, приведенной на фиг. 4.
Для выполнения преобразования с использованием пилообразных напряжений схема секвентного фильтра (фиг. 4) дополнена формирователем ортогональных пилообразных напряжений блок 8 (см. фиг. 5) и схемами вычисления коэффициентов преобразования блоки 10, 11.1-11.15.
Так как схемы умножения на М01÷M15 в прототипе (фиг. 4) выполняют умножение сигнала только на ±1 на отдельных промежутках преобразования, а при преобразованиях с использованием ортогональных пилообразных напряжений необходимы схемы умножения двух одновременно изменяющихся напряжений. Поэтому схемы умножения М0-Ms заменены на схемы AD539 [4], Приложение 3, блоки 9.1-9.30 (фиг. 5), которые выполняют именно умножение двух одновременно изменяющихся напряжений.
Все остальные блоки секвентного фильтра используются без изменений, а именно: блоки интеграторов 2.0-2.15 тождественны блокам J0-Js; блоки отсчитывания и запоминания 3.0-3.15 тождественны блокам Н0-HS; блоки 4.0-4.15; 5 и 6 тождественны сумматору R/k(0)-R/k(s), R и операционному усилителю.
В результате отмеченных дополнений и замены получена схема устройства преобразования сигнала с использованием пилообразных напряжений фиг. 5, где выходы генератора напряжений Уолша 7 соединены с одноименными входами формирователя ортогональных пилообразных напряжений (ФОПН) 8, фиг. 5, выходы 1-15 ФОПН попарно соединены соответственно с входами 2 схем умножения двух одновременно изменяющихся напряжений 9.1-9.15 первой группы и 9.16-9.30 второй группы типа AD539, а выход источника сигнала F(t) соединен параллельно с входами 1 схем умножения 9.1-9.15. На выходах схем умножения 9.1-9.15 формируют произведения напряжения сигнала F(t) на ортогональные пилообразные напряжения ФОПН.
Выходы схем умножения 9.1-9.15 первой группы соединены с одноименными входами интеграторов 2.1-2.15, кроме этого, выход источника сигнала F(t) соединен с входом интегратора 2.0, в результате на выходах интеграторов 2.0-2.15 получают 16 значений интегралов на промежутках интегрирования 21.
Выходы интеграторов 2.0-2.15 соответственно соединены с входами отсчитывающих и запоминающих элементов 3.0-3.15. На выходах отсчитывающих и запоминающих элементов получают и сохраняют значения интегралов I0÷I15 в виде напряжений.
Выходы отсчитывающих и запоминающих элементов 3.0-3.15 соединены с входами схем вычисления коэффициентов преобразования 10, 11.1-11.15 на выходах этих схем в соответствие с (5) получают коэффициенты преобразования, начиная с b0 по b15 по пилообразным напряжениям (4).
Для выполнения обратного преобразования (фильтрации) фиг. 5 выходы 0-15 схем вычисления коэффициентов преобразования 10, 11.1-11.15, начиная с нулевого по пятнадцатый соединены соответственно с входами 1 схем умножения 9.16-9.30 второй группы типа AD539, а выходы 1-15 ФОПН блок 8 соединим с входами 2 схем умножения 9.16-9.30. На выходах схем умножения 9.16-9.30 формируют параллельно произведения ортогональных пилообразных напряжений (4) и коэффициентов преобразования bn в виде напряжений. Выходы схем умножения блоки 9.16-9.30 и выход 0 схемы вычисления коэффициента 10 соединены с входами 4.0-4.15 сумматора 6, на выходе сумматора получают восстановленный сигнал Gn(t).
Сравнивая схему фиг. 4 и фиг. 5, находим, что в схеме преобразования с использованием пилообразных напряжений дополнительно включены ФОПН блок 8, схемы вычисления коэффициентов 10, 11.1-11.15, заменены умножением М01÷M0s и M11÷Ms умножения сигнала на ±1 фиг. 4 на схемы умножения 9.1-9.30 типа AD539 [4]. В связи с введением дополнительных схем ФОПН вычисления значений коэффициентов преобразования и замены схем умножения введены дополнительные связи между генератором напряжений Уолша 7 и ФОПН 8, между ФОПН и схемами умножения 9.1-9.30; отсчитывающими и запоминающими элементами 3.0-3.15; схемами вычисления коэффициентов 10, 11.1-11.15 и входами 4.0-4.15 сумматора 6.
Таким образом, схема преобразования с использованием ортогональных пилообразных напряжений фиг. 5 отличается от схемы преобразования Уолша фиг. 4 новыми блоками являются:
1. Формирователь ортогональных пилообразных напряжений (блок 9.1-9.15).
2. Схемы вычисления коэффициентов (блоки 10; 11.1-11.15), стоящих перед интегралами в (5).
3. Схемы умножения двух одновременно изменяющихся напряжений типа AD0539.
Схемы AD539 выпускаются серийно и в схемах фиг. 5 используются по своему прямому назначению.
Аппаратная реализация формирования ортогональных пилообразных напряжений, блоки 13.1, 13.2 и 13.3 фиг. 13, осуществляется с помощью схемы, приведенной на фиг. 6, включающей операционный усилитель ОУ1 и ключ S, формирующий двуполярные импульсы со стабильной амплитудой. Ключ S управляется напряжениями Уолша. Интегратор на операционном усилителе ОУ2, интегрируя двуполярные напряжения формирует пилообразное напряжение аналогичное по характеру изменения синуса [3].
При подаче на диод Д1 блок 13 фиг. 6 от генератора FG напряжений Уолша wal(2, t), wal(4, t), wal(6, t) на выходе 3 соответственно формируются пилообразные напряжения Sln1(t), Sln3(t) и Sln15(t).
Например, при подаче напряжения wal(2, t) на диод Д1 формируются однополярные отрицательные импульсы, под воздействием которых при wal(2, t)=+1 на входе 1 блока 13 и контакте 4 ключа S напряжение равно нулю, контакты 2 и 3 замкнуты.
На выходе 3 ключа S напряжение U2(t)=-UОП. При wal(2, t)=-1 замкнуты контакты 1 и 3 ключа S, а U2(t)=UОП.
На выходе интегратора ОУ2
или в общем виде
где 
[3].
На фиг. 7 приведены графики изменения напряжений в схеме фиг. 6 при i=1.
На фиг. 8 приведена схема формирования пилообразных напряжений Cln2(t), Cln4(t) и Cln8(t) блок 14, включающая схему формирования блок 13 и сумматор ОУ3.
На фиг. 9 приведены графики изменения напряжений в схеме фиг. 8.
На фиг. 10 приведена схема формирования напряжений с номерами секвент 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 и 14, блок 15.
При подаче на вход 1 блока 15, фиг 10 напряжения Cln4(t) и на вход 3 напряжения wal(1, t) на выходе диода Д формируется положительный импульс от wal(1, t), контакты 1 и 3 замыкаются. На выходе 2 блока 15 получаем Sln4(t), а при запертом диоде Д Q1(t)=1 замыкаются контакты 2 и 3. На выходе 2 получаем минус Cln4(t). На промежутках 2l на выходе 2 блока 15 получаем Cln5(t). На фиг 11 приведены изменения напряжений в схеме блок 15. Аналогично формируются другие пилообразные напряжения с числами секвент 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 и 14.
На фиг. 12 представлены схемы приведения пилообразных напряжений к ортогональному виду (4) с использованием сумматоров путем установки коэффициентов передачи с помощью резонаторов в сумматорах Σ1 и Σ2 в соответствие с (4).
На фиг. 13 приведена схема формирователя ортогональных напряжений (ФОПН) блок 8 фиг. 5, включающая блоки 13.1-13.3; 14.1-14.3; 15.1-15.9.
Из (5) находим, что при l=1 коэффициенты, стоящие перед интегралами:
Умножая значения интегралов J0÷J15 на соответствующие коэффициенты Cn, получают значение коэффициентов преобразования bn по ортогональным пилообразным напряжениям (4).
Для вычисления b0 используют резистивный делитель из двух одинаковых резисторов блок 10 фиг. 14, а для всех остальных используют операционные усилители с соответствующими коэффициентами усиления 
, 2 и 
.
Схемы вычисления коэффициентов блоки 10 и 11.1-11.15 фиг. 5, стоящих перед интегралами, приведены на фиг. 14.
Предложенный способ отличается от преобразования Уолша тем, что в преобразовании используются ортогональные пилообразные напряжения, которые формируют интегрированием и умножением напряжений Уолша, приводят к ортогональному виду, умножают напряжение сигнала на ортогональные пилообразные напряжения, интегрируют это произведения на промежутках длиной 2l и, используя полученные значения интегралов, вычисляют значения коэффициентов преобразования bn в виде напряжений;
- при обратном преобразовании (восстановлении, фильтрации) сигнала по пилообразным напряжениям;
- параллельно умножают ортогональные пилообразные напряжения на напряжения, соответствующие значениям коэффициентов разложения;
- параллельно суммируют полученные напряжения, восстанавливают сигнал либо, положив отдельные коэффициенты bn=0, фильтруют сигнал F(t).
Достигнутый технический результат заключается в уменьшении в несколько раз среднеквадратичной погрешности, максимального уклонения восстановленного сигнала от исходного и ступенчатости восстановленного сигнала по сравнению с преобразованием Уолша, вызванных тем, что базисные функции принимают только два значения ±1.
Промышленная применимость изобретения определяется тем, что предлагаемый способ практически реализуем в устройстве, которое может быть изготовлено на базе известных комплектующих изделий и технологического оборудования.
Данный способ и реализующее его устройство преобразования сигнала произвольной формы могут найти очень широкое применение в разнообразных областях (измерительная техника, связь, запись-воспроизведение аудио-видеоконтента и т.д.).
На основании вышеизложенного и по результатам проведенного патентно-информационного поиска считаем, что предлагаемый способ и устройство преобразования сигнала произвольной формы отвечают критериям «Новизна», «Изобретательский уровень» и «Промышленная применимость» и могут быть защищены патентом РФ на изобретение.
Графические материалы, поясняющие сущность изобретения
Фиг 1. Графики исходного сигнала F(t), восстановленного сигнала Gy(t) с использованием преобразования напряжений Уолша и уклонения Δy восстановленного сигнала от исходного.
Графики отражают ступенчатость преобразования Уолша и характер уклонения восстановленного сигнала от исходного.
Фиг. 2. Графики предлагаемых пилообразных напряжений, упорядоченных по возрастанию чисел секвент.
Графики отражают характер изменения пилообразных напряжений.
Фиг. 3. Графики исходного сигнала F(t) и восстановленного сигнала Gn(t) с использованием ортогональных напряжений (4).
Графики восстановленного сигнала Cn(t) показывают существенное уменьшение ступенчатости и уклонения.
Фиг. 4. Схема устройства-прототипа преобразования с использованием напряжений Уолша.
Схема отражает состав блоков и связей преобразования Уолша, включающего:
FG - генератор напряжений Уолша;
М0-Ms - умножители, выполняющие умножение на ±1;
J0-Js - интеграторы;
Н0-Hs - отсчитывающие и запоминающие элементы;
Сумматор на операционном усилителе R/k(0)-R/K(S), R.
Выходы генератора напряжений Уолша F(t) соединены с одним из входов 15 схем умножения на ±1 М01÷M0s, а вторые входы схем умножения М01÷M0s соединены с выходами источника сигнала F(θ), выходы схем умножения М01÷M0s соединены с выходами 16 схем вычисления значений интегралов J0÷Js от произведений напряжения сигнала на напряжения Уолша, выходы схем вычисления значений интегралов соединены с выходами 16 схем отсчитывания и запоминания Н0÷Hs, на выходах которых получают коэффициенты преобразования по напряжениям Уолша в виде напряжений, для обратного преобразования (фильтрации) выходы 16 схем отсчитывания и запоминания Н0÷Hs соединены соответственно с первыми входами 16 схем умножения на ±1 M11÷M1s, а вторые входы этих 16 схем умножения M11÷M1s соединены с соответствующими выходами генератора напряжений Уолша, выходы схем умножения M11÷M1s соединены с входами сумматора на операционном усилителе ОУ.
Фиг. 5. Схема устройства, реализующего предлагаемый способ с использованием ортогональных пилообразных напряжений (5).
Согласно фиг. 5 предлагаемое устройство включает:
блок 1 - генератор сигнала произвольной формы;
блоки 2.0-2.15 - интеграторы на операционных усилителях;
блоки 3.0-3.15 - отсчитывающие и запоминающие элементы;
блок суммирования 6 с резонаторами 4.0-5.15 и резонаторами и резонатором обратной связи 5.0;
блок 7 - генератор напряжений Уоша;
блок 8 - вновь введенный формирователь ортогональных пилообразных напряжений;
блок 9.1-9.30 - схемы умножения двух одновременно изменяющихся напряжений типа AD539, заменившие схемы умножения М0÷Ms;
блоки 10; 11.1-11.15 - вновь введенные схемы вычисления коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям.
На схеме отражены вновь дополнительно введенные блоки: формирования пилообразных напряжений (блок 8) из напряжений Уолша; схемы вычисления коэффициентов 10, 11.1-11.15, стоящих перед блоками суммирования 4.0, 4.1-4.15. Отражена замена умножителей М0÷Ms на схемы умножения 10.1-10.15 и 10.16-10.30, а также отражены дополнительные связи блоков 9; 10.1-10.30; 11; 12.1-12.15 с блоками, используемыми в схеме фиг. 4.
В предлагаемом устройстве выходы генератора напряжений Уолша 7 с числами секвент 1, 2, 3, 4, 7 и 16 соединены с одноименными входами формирователя ортогональных пилообразных напряжений 8, выходы которого соединены с входами первых сомножителей d15 схем умножения 9.1-9.15 типа AD539 первой группы, а входы вторых сомножителей с этих схем умножения соединены параллельно и с выходом источника сигнала 1, выходы 15 схем умножения 9.1-9.15 и выход источника сигнала 1 соединены с входами 16 интеграторов 2.0-2.15, выходы которых являются входами 16 элементов отсчитывания и запоминания 3.0-3.15, выходы элементов отсчитывания и запоминания 3.0-3.15 соединены с входами 16 схем вычисления коэффициентов преобразования по пилообразным напряжениям 10; 11.1-11.15, на выходах которых и получают коэффициенты преобразования по пилообразным напряжениям b0÷b15, для обратного преобразования выходы схем вычисления коэффициентов преобразования 10; 11.1-11.15 соединены с входами вторых сомножителей с 16 схем умножения 9.16-9.30 второй группы типа AD539, а входы первых сомножителей d этих схем умножения соответственно соединены с выходами формирователя ортогональных пилообразных напряжений 8, выходы 16 схем умножения 9.16-9.30 соединены с входами сумматора на операционном усилителе 6 резисторы 4.0-4.15, на выходе которого получают восстановленный сигнал.
Фиг. 6. Схема формирования пилообразных напряжений, изменяющихся аналогично функциям синуса из напряжений Уолша (блоки 13.1; 13.2; 13.3 фиг. 13).
В схеме приведены элементы и связи, обеспечивающие формирование пилообразных напряжений Sln1(t); Sln3(t) и Sln15(t) из напряжений Уолша wal(2, t), wal(4, t) или wal(16, t) при подаче их на вход диода Д1.
Фиг. 7. Графики изменения напряжений в схеме фиг. 6 при формировании напряжения Sln1(t).
Графики иллюстрируют процессы в схеме фиг. 6.
Фиг. 8. Схема формирования пилообразных напряжений, изменяющихся аналогично функциям косинуса из напряжений Уолша (блоки 14.1; 14.2; и 14.3 фиг. 13).
В схеме приведены элементы и связи, которые при подаче на вход 1 (Д1) напряжений Уолша wal(1, t), wal(3, t) или wal(7, t) на выходе формируют пилообразные напряжения Cln2(t), Cln4(t) или Cln8(t).
Фиг. 9. Графики изменения напряжений в схеме формирования пилообразных напряжений в схеме фиг. 8 при формировании напряжений Cln1(t).
Фиг. 10. Схема формирования пилообразных напряжений с числами секвент 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 и 14 (блоки 15.1-15.9 фиг. 13).
В схеме изображены элементы и связи, позволяющие при подаче на вход 1 напряжений Cln4(t) или Cln8(t), а на вход 3 напряжений Уолша, на входе 2 формировать пилообразные напряжения с числами секвент 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 и 14.
Фиг. 11. Графики изменения в схеме фиг. 10 при формировании напряжений Sln5(t) из Cln4(t) путем подачи на вход 1 фиг. 10 напряжения Cln4(t), а на вход 3 напряжения Уолша wal(1, t).
Фиг. 12. Схемы приведения пилообразных напряжений (6) и (7) к ортогональному виду в соответствие с (4).
В качестве схем приведения к ортогональному виду приведены схемы на операционных усилителях, суммирующие или вычитающие два сигнала. Коэффициенты суммирования или вычитания устанавливаются выбором резисторов R; R1; R2 и R3 в соответствие с (8).
Фиг. 13. Схемы формирования ортогональных пилообразных напряжений (4) из напряжений Уолша, где:
wal(j, t) - напряжения Уолша;
блоки 13.1-13.3 - формирователи пилообразных напряжений, изменяющихся аналогично функциям синуса;
блоки 14.1-14.3 - формирователи пилообразных напряжений, изменяющихся аналогично косинусу;
блоки 15.1-15.9 - формирователи дополнительных пилообразных напряжений с числами секвент 5, 6, 7, 9, 10, 1, 12, 13 и 14;
схемы формирования ортогональных пилообразных напряжений в соответствии с (4);
блоки Σ1; Σ2 - формирователи ортогональных пилообразных напряжений (4).
Фиг. 14. Схемы вычисления коэффициентов Cn, стоящих перед интегралами в (5).
В качестве схем вычисления коэффициентов С, стоящих перед интегралами в схеме (5), используются операционные усилители, коэффициенты усиления которых определяются соотношением резисторов R1, R2 и R3.
Для коэффициента C0 в схеме оба резистора равны.
ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ
1. Хармут Х.Ф. Теория секвентного анализа. Основы и применения. - М.: Мир, 1980. - 576 с.
2. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. Перевод с англ. - М.: Мир. T.1б 2, 1982. - 310 с.
3. Фолькенберри Л.М. Применение операционных усилителей и линейных ИС. - М.: Мир, 1985. - 572 с.
4. Микросхема AD539 умножения аналоговых сигналов. http://www/analog.com/static/imported-files/data_sheets/AD539/pdf.
5. George Kechriotis. System and method for computing and unordered Hadamard transform. Грант US 6766342 B2, кл. G06F 17/14, дата публикации 20 июля 2004 г.
6. George Kechriotis. System and computer-implemented method for performing multi-stage fast Walsh transform. Грант US 6505224 B1, кл. G06F 17/14, дата публикации 7 января 2003 г.
7. Ермаков В.Ф. Устройство для выполнения преобразований Уолша (его варианты). Патент RU 2203506 C2, кл. G06F 17/14, дата публикации 27 апреля 2003 г.
8. Авторское свидетельство СССР № 553547, кл. G01R 23/16, 1977.
9. Авторское свидетельство СССР № 203911, кл. G06R 7/62, 1982.
10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 21 изд., стереотипное. Т.2. - 1974. - 656 с.
Claims (2)
1. Способ преобразования сигнала произвольной формы, содержащий при прямом преобразовании параллельное формирование напряжений Уолша, принимающих значения ±1, умножения этих напряжений на напряжение сигнала, интегрирование напряжений от произведений напряжений Уолша на напряжение сигнала, вычисление, отсчитывание и запоминание коэффициентов преобразования Уолша, при обратном преобразовании сигнала, умножение коэффициентов преобразования на соответствующие напряжения Уолша и суммирование полученных напряжений, восстанавливающее сигнал, отличающийся тем, что напряжения Уолша с числом секвент 1, 3, 7, 2, 4 и 16 интегрируют, в результате этого формируют пилообразные напряжения с числами секвент 1, 3, 15 и 2, 4, 8; пилообразные напряжения с числами секвент 4 и 8 умножают на напряжения Уолша формируют пилообразные напряжения с числами секвент 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 и 14, все пилообразные напряжения упорядочивают по возрастанию чисел секвент, приводят к ортогональному виду и тем самым формируют ортогональные пилообразные напряжения, изменяющиеся в соответствие со следующими равенствами:
Cln0(t)=1;
где t - время;
l - полупериод преобразования напряжения Sln1 (t);
[…] - выделение целой части;
- параллельно умножают напряжение сигнала F(t) на ортогональные пилообразные напряжения;
- параллельно вычисляют значения интегралов от произведений сигнала и ортогональных пилообразных напряжений на промежутках длиной 2l;
- из значений интегралов, вычисляют значения коэффициентов преобразования по пилообразным напряжениям bn в виде напряжений в соответствие с равенствами:
при обратном преобразовании (восстановлении, фильтрации) сигнала по пилообразным напряжениям:
параллельно умножают ортогональные пилообразные напряжения на напряжения, соответствующие значениям коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям, затем параллельно суммируют полученные напряжения, восстанавливают сигнал, либо, положив отдельные коэффициенты bn=0, фильтруют сигнал.
Cln0(t)=1;
где t - время;
l - полупериод преобразования напряжения Sln1 (t);
[…] - выделение целой части;
- параллельно умножают напряжение сигнала F(t) на ортогональные пилообразные напряжения;
- параллельно вычисляют значения интегралов от произведений сигнала и ортогональных пилообразных напряжений на промежутках длиной 2l;
- из значений интегралов, вычисляют значения коэффициентов преобразования по пилообразным напряжениям bn в виде напряжений в соответствие с равенствами:
при обратном преобразовании (восстановлении, фильтрации) сигнала по пилообразным напряжениям:
параллельно умножают ортогональные пилообразные напряжения на напряжения, соответствующие значениям коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям, затем параллельно суммируют полученные напряжения, восстанавливают сигнал, либо, положив отдельные коэффициенты bn=0, фильтруют сигнал.
2. Устройство, реализующее способ преобразования сигнала произвольной формы, содержащее источник сигнала произвольной формы,
0-й, 1-й, 2-й, …, 15-й блоки интеграторов,
0-й, 1-й, 2-й, …, 15-й блоки отсчитывающих и запоминающих элементов,
0-й, 1-й, 2-й, …, 15-й резисторы,
резистор обратной связи, операционный усилитель, генератор напряжений Уолша с числами секвент от 0 до 16;
выход источника сигнала произвольной формы через 0-й блок интеграторов подключен к входу 0-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов;
выход 1-го блока интеграторов подключен к входу 1-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов, выход 2-го блока интеграторов - к входу 2-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов, … выход 15-го блока интеграторов - к входу 15-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов;
к входу операционного усилителя подключен выход 0-го резистора, 1-го резистора, 2-го резистора, … 15-го резистора, а также выход резистора обратной связи;
выход операционного усилителя, являющийся одновременно выходом устройства, подключен к входу резистора обратной связи;
отличающееся тем, что в него введены
формирователь ортогональных пилообразных напряжений с числами секвент от 1 до 15,
1-я, 2-я, …, 30-я схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений;
0-я, 1-я, 2-я, …, 15-я схемы вычисления коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям;
выходы генератора напряжений Уолша с числами секвент 1, 2, 3, 4, 7 и 16 подключены к входам формирователя ортогональных пилообразных напряжений 1, 2, 3, 4, 7 и 16;
выход источника сигнала произвольной формы подключен к первым входам 1-й, 2-й, … и 15-й схем умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений;
первый выход формирователя ортогональных пилообразных напряжений подключен ко второму входу 1-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений и ко второму входу 16-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений, второй выход формирователя ортогональных пилообразных напряжений подключен ко второму входу 2-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений и ко второму входу 17-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений, … пятнадцатый выход - ко второму входу 15-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений и ко второму входу 30-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений;
выход 1-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений подключен к входу 1-го блока интеграторов, выход 2-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений - к входу 2-го блока интеграторов, … выход 15-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений - к входу 15-го блока интеграторов;
выход 0-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов через 0-ю схему вычисления коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям подключен к входу 0-го резистора сумматора;
выход 1-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов через последовательно соединенные 1-ю схему вычисления коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям и 16-ю схему умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений подключен к входу 1-го резистора, выход 2-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов через последовательно соединенные 2-ю схему вычисления коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям и 17-ю схему умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений подключен к входу 2-го резистора сумматора, … выход 15-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов через последовательно соединенные 15-ю схему вычисления коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям и 30-ю схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений подключен к входу 15-го резистора.
0-й, 1-й, 2-й, …, 15-й блоки интеграторов,
0-й, 1-й, 2-й, …, 15-й блоки отсчитывающих и запоминающих элементов,
0-й, 1-й, 2-й, …, 15-й резисторы,
резистор обратной связи, операционный усилитель, генератор напряжений Уолша с числами секвент от 0 до 16;
выход источника сигнала произвольной формы через 0-й блок интеграторов подключен к входу 0-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов;
выход 1-го блока интеграторов подключен к входу 1-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов, выход 2-го блока интеграторов - к входу 2-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов, … выход 15-го блока интеграторов - к входу 15-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов;
к входу операционного усилителя подключен выход 0-го резистора, 1-го резистора, 2-го резистора, … 15-го резистора, а также выход резистора обратной связи;
выход операционного усилителя, являющийся одновременно выходом устройства, подключен к входу резистора обратной связи;
отличающееся тем, что в него введены
формирователь ортогональных пилообразных напряжений с числами секвент от 1 до 15,
1-я, 2-я, …, 30-я схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений;
0-я, 1-я, 2-я, …, 15-я схемы вычисления коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям;
выходы генератора напряжений Уолша с числами секвент 1, 2, 3, 4, 7 и 16 подключены к входам формирователя ортогональных пилообразных напряжений 1, 2, 3, 4, 7 и 16;
выход источника сигнала произвольной формы подключен к первым входам 1-й, 2-й, … и 15-й схем умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений;
первый выход формирователя ортогональных пилообразных напряжений подключен ко второму входу 1-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений и ко второму входу 16-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений, второй выход формирователя ортогональных пилообразных напряжений подключен ко второму входу 2-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений и ко второму входу 17-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений, … пятнадцатый выход - ко второму входу 15-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений и ко второму входу 30-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений;
выход 1-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений подключен к входу 1-го блока интеграторов, выход 2-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений - к входу 2-го блока интеграторов, … выход 15-й схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений - к входу 15-го блока интеграторов;
выход 0-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов через 0-ю схему вычисления коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям подключен к входу 0-го резистора сумматора;
выход 1-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов через последовательно соединенные 1-ю схему вычисления коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям и 16-ю схему умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений подключен к входу 1-го резистора, выход 2-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов через последовательно соединенные 2-ю схему вычисления коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям и 17-ю схему умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений подключен к входу 2-го резистора сумматора, … выход 15-го блока отсчитывающих и запоминающих элементов через последовательно соединенные 15-ю схему вычисления коэффициентов преобразования по ортогональным пилообразным напряжениям и 30-ю схемы умножения двух непрерывно-изменяющихся напряжений подключен к входу 15-го резистора.
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| RU2014116732/08A RU2576591C2 (ru) | 2014-04-24 | 2014-04-24 | Способ и устройство преобразования сигнала произвольной формы |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| RU2014116732/08A RU2576591C2 (ru) | 2014-04-24 | 2014-04-24 | Способ и устройство преобразования сигнала произвольной формы |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| RU2014116732A RU2014116732A (ru) | 2015-10-27 |
| RU2576591C2 true RU2576591C2 (ru) | 2016-03-10 |
Family
ID=54362711
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| RU2014116732/08A RU2576591C2 (ru) | 2014-04-24 | 2014-04-24 | Способ и устройство преобразования сигнала произвольной формы |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| RU (1) | RU2576591C2 (ru) |
Cited By (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| RU2682862C2 (ru) * | 2017-03-06 | 2019-03-21 | Роман Александрович Горепекин | Способ и устройство преобразования сигнала произвольной формы с использованием ступенчатых пилообразных функций |
| RU2682860C2 (ru) * | 2017-07-12 | 2019-03-21 | Александр Васильевич Горепекин | Способ и устройство преобразования сигналов произвольной формы с использованием пилообразных ступенчатых вейвлетов |
Citations (6)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| SU922721A2 (ru) * | 1980-06-24 | 1982-04-23 | Ленинградский Ордена Ленина Электротехнический Институт Им. В.И.Ульянова (Ленина) | Устройство ортогонального преобразовани по Уолшу |
| RU2012047C1 (ru) * | 1989-08-17 | 1994-04-30 | Шарафиддин Мухамед Абдульрауф | Устройство для ортогонального преобразования цифровых сигналов по уолшу-адамару |
| US5357454A (en) * | 1991-07-25 | 1994-10-18 | Ericsson Ge Mobile Communications Holding, Inc. | Fast walsh transform processor |
| US6505224B1 (en) * | 1999-09-29 | 2003-01-07 | Sun Microsystems, Inc. | System and computer-implemented method for performing multi-stage fast Walsh transform |
| RU2203506C2 (ru) * | 2000-05-15 | 2003-04-27 | Ермаков Владимир Филиппович | Устройство для выполнения преобразований уолша (его варианты) |
| US6735167B1 (en) * | 1999-11-29 | 2004-05-11 | Fujitsu Limited | Orthogonal transform processor |
-
2014
- 2014-04-24 RU RU2014116732/08A patent/RU2576591C2/ru not_active IP Right Cessation
Patent Citations (6)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| SU922721A2 (ru) * | 1980-06-24 | 1982-04-23 | Ленинградский Ордена Ленина Электротехнический Институт Им. В.И.Ульянова (Ленина) | Устройство ортогонального преобразовани по Уолшу |
| RU2012047C1 (ru) * | 1989-08-17 | 1994-04-30 | Шарафиддин Мухамед Абдульрауф | Устройство для ортогонального преобразования цифровых сигналов по уолшу-адамару |
| US5357454A (en) * | 1991-07-25 | 1994-10-18 | Ericsson Ge Mobile Communications Holding, Inc. | Fast walsh transform processor |
| US6505224B1 (en) * | 1999-09-29 | 2003-01-07 | Sun Microsystems, Inc. | System and computer-implemented method for performing multi-stage fast Walsh transform |
| US6735167B1 (en) * | 1999-11-29 | 2004-05-11 | Fujitsu Limited | Orthogonal transform processor |
| RU2203506C2 (ru) * | 2000-05-15 | 2003-04-27 | Ермаков Владимир Филиппович | Устройство для выполнения преобразований уолша (его варианты) |
Cited By (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| RU2682862C2 (ru) * | 2017-03-06 | 2019-03-21 | Роман Александрович Горепекин | Способ и устройство преобразования сигнала произвольной формы с использованием ступенчатых пилообразных функций |
| RU2682860C2 (ru) * | 2017-07-12 | 2019-03-21 | Александр Васильевич Горепекин | Способ и устройство преобразования сигналов произвольной формы с использованием пилообразных ступенчатых вейвлетов |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| RU2014116732A (ru) | 2015-10-27 |
Similar Documents
| Publication | Publication Date | Title |
|---|---|---|
| Ruzhansky et al. | Nonharmonic analysis of boundary value problems | |
| Yüzbaşı | Numerical solutions of fractional Riccati type differential equations by means of the Bernstein polynomials | |
| Bhrawy et al. | A new Bernoulli matrix method for solving high-order linear and nonlinear Fredholm integro-differential equations with piecewise intervals | |
| El-Sayed | The decomposition method for studying the Klein–Gordon equation | |
| Maleknejad et al. | A new approach to the numerical solution of Volterra integral equations by using Bernstein’s approximation | |
| Zhi et al. | A generalized convolution theorem for the special affine Fourier transform and its application to filtering | |
| du Toit Mouton et al. | One-dimensional spectral analysis of complex PWM waveforms using superposition | |
| Huang et al. | Dilation method for finding close roots of polynomials based on constrained learning neural networks | |
| RU2576591C2 (ru) | Способ и устройство преобразования сигнала произвольной формы | |
| Shoukralla et al. | Numerical solution of a certain class of singular Fredholm integral equations of the first kind via the Vandermonde matrix | |
| Bianchi et al. | A QQ→ QQ planar double box in canonical form | |
| Bairwa et al. | Analytical solution of time-fractional Klien-Gordon equation by using Laplace-Adomian decomposition method | |
| Gavrea | On a convexity problem in connection with some linear operators | |
| RU2682862C2 (ru) | Способ и устройство преобразования сигнала произвольной формы с использованием ступенчатых пилообразных функций | |
| Al-Tarawneh | Solving fractional differential equations by using conformable fractional derivatives definition | |
| RU2557754C1 (ru) | Способ вейвлет-преобразования сигнала произвольной формы | |
| Milovanović | A note on extraction of orthogonal polynomials from generating function for reciprocal of odd numbers | |
| Da | Stability of the difference type methods for linear Volterra equations in Hilbert spaces | |
| Mohamed | Comparison differential transformation technique with adomian decomposition method for dispersive long-wave equations in (2+ 1)-dimensions | |
| Marmarelis | Identification and modelling of a class of nonlinear systems | |
| Sidorov et al. | On the Period Length Modulo p of the Numerators of Convergents for the Square Root of a Prime Number p | |
| RU2682860C2 (ru) | Способ и устройство преобразования сигналов произвольной формы с использованием пилообразных ступенчатых вейвлетов | |
| Reich et al. | A remark on Schröder’s equation: formal and analytic linearization of iterative roots of the power series f (z)= z f (z)= z | |
| Malaschonok | Parallel Laplace method with assured accuracy for solutions of differential equations by symbolic computations | |
| Ahad et al. | Fractional Order Calculus and Derivative Implementation |
Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| MM4A | The patent is invalid due to non-payment of fees |
Effective date: 20200425 |