RU2526095C2

RU2526095C2 - Способ определения места повреждения на воздушных линиях электропередачи (варианты)

Info

Publication number: RU2526095C2
Application number: RU2009137563/28A
Authority: RU
Inventors: Александр Никандорович Висящев; Алексей Александрович Устинов
Original assignee: Александр Никандорович Висящев; Алексей Александрович Устинов
Priority date: 2009-10-09
Filing date: 2009-10-09
Publication date: 2014-08-20
Also published as: RU2009137563A

Abstract

Изобретение относится к электроизмерительной технике. Технический результат: повышение точности определения места повреждения при передаче с одного конца линии на другой минимального количества данных (только векторов фазных токов) без использования итерационного процесса. Сущность: проводят измерение в момент короткого замыкания фазных токов и напряжений основной гармоники в начале и в конце линии, тока прямой последовательности нормального режима, предшествующего замыканию, в начале линии и конце линии. Передают информацию о фазных токах начала линии от начала линии к концу линии. Передают информацию о фазных токах конца линии от конца линии к началу линии посредством каналов связи. Определяют симметричные составляющие фазных токов прямой, обратной и нулевой последовательностей на каждом из концов линии. Определяют симметричные составляющие фазных напряжений прямой, обратной и нулевой последовательностей в начале линии и в конце линии. По таблице в зависимости от вида короткого замыкания определяют ток в месте короткого замыкания

{\overset{\cdot}{I}}_{K},

{\dot{I}}_{K}

значения расчетных токов и напряжений

\dot{U}'

,

\dot{I}'

,

\dot{U'}'

,

\dot{I}''

. По полученным значениям рассчитывают расстояние от начала линии до места повреждения (для устройства в начале линии) расстояние от конца линии до места повреждения (для устройства в конце линии). 3 табл. 2 ил.

Description

Предлагаемое изобретение относится к электроизмерительной технике и может быть использовано при создании отдельных микропроцессорных устройств для определения места повреждения (короткого замыкания), а также в микропроцессорных терминалах дифференциальной защиты линии в качестве дополнительной опции определения места повреждения, на одноцепных и двухцепных линиях электропередачи на основе измерения параметров аварийного режима с двух сторон линии.

Двухсторонний замер параметров аварийного режима в отличие от одностороннего замера параметров аварийного режима при определении места повреждения повышает точность определения места повреждения.

Известен способ, в основу которого [Аржанников Е.А., Чухин A.M. Методы и приборы определения места короткого замыкания на линиях: Учебное пособие/ Ивановский государственный энергетический университет, г. Иванове, 1998. - 74 с.] заложено предположение о том, что сопротивление в месте повреждения имеет чисто активный характер, и как следствие, реактивная мощность в месте повреждения равна нулю. Таким образом, критерием повреждения является равенство нулю реактивной мощности в месте повреждения, для определения которой используются мнимая часть системы из трех произведений комплекса напряжения и сопряженного тока в месте повреждения в системе симметричных или фазных координат. Метод реализуется следующим образом, сперва фиксируют момент повреждения, измеряют в начале и в конце линии напряжения и токи первой гармоники в доаварийном и аварийном режимах. Полученные величины токов и напряжений передают на противоположный конец линии, где определяют ток в месте короткого замыкания, как сумму токов на концах линии. Затем, меняя расстояние от нуля до величины, равной длине линии, находят для каждой точки линии с определенным шагом напряжение, как разность между напряжением в конце линии и падением напряжения до предполагаемой точки повреждения. Для каждой из точек через произведение комплекса напряжения и сопряженного комплексного тока в месте повреждения находят полную мощность, мнимая часть от которой равна реактивной мощности в предполагаемом месте короткого замыкания. Точка, в которой реактивная мощность окажется минимальной и будет являться местом повреждения. Такой расчет проводится либо для всех трех фаз линии, либо для всех трех последовательностей симметричных составляющих, что позволяет повысить точность процедуры определения места повреждения.

Однако наиболее известен способ определения места повреждения по параметрам аварийного режима по измерению с двух сторон линии, в котором определяют напряжение нулевой или обратной последовательности в месте повреждения сперва через токи и напряжения нулевой или обратной последовательности начала линии, затем через токи и напряжения нулевой или обратной последовательности конца линии [Аржанников Е.А., Чухин A.M. Методы и приборы определения места короткого замыкания на линиях: Учебное пособие/ Ивановский государственный энергетический университет, г. Иванове, 1998. - 74 с.]. Приравнивая напряжения нулевой или обратной последовательностей, определенные через параметры аварийного режима начала линии и параметры аварийного режима конца линии, определяют расстояние до места повреждения. Указанный способ может применяться в двух видах. В упрощенном виде при определении расстояния до места повреждения используются только индуктивные сопротивления, что позволяет передавать с одного конца линии на другой только модули напряжения и тока, однако такое допущение приводит к дополнительной погрешности. В полном виде при определении места повреждения указанным способом необходимо использовать активные и реактивные сопротивления и передавать с одного конца линии на другой не только модули напряжения и тока, но и угол сдвига, т.е. передавать вектора токов и напряжений, что усложняет задачу, но и повышает точность определения места повреждения.

Описанный последним метод, принимаемый в качестве прототипа, обладает высокой точностью, но при этом имеет один существенный недостаток - необходимость передачи значительного объема данных с одного конца линии на другой, т.е. переноса от одного конца линии к другому векторной величины как тока, так и напряжения.

Техническая задача изобретения заключается в повышении или, как минимум, сохранении точности определения места повреждения двухсторонним методом на параллельных воздушных линиях электропередачи с двухсторонним или односторонним питанием при сведении к минимуму информации, передаваемой с одного конца линии на другой.

Особенно это актуально для микропроцессорных терминалов дифференциальной защиты линий, полукомплекты которой устанавливаются по концам линии и обмениваются информацией посредством оптоволоконной связи. Как правило, такие устройства по принципу действия передают с одного конца линии на другой информацию только о векторах тока (примером могут служить устройства MiCOM серии 5хх), но не передают вектора напряжения, что не позволяет использовать прототип и другие аналоги для определения места повреждения. Переделывать протоколы связи, чтобы появилась возможность передачи дополнительных величин (векторов напряжений) задача трудоемкая и дорогая. Более логичным решением является реализация метода определения места повреждения на основе уже передаваемых величин, т.е. только векторов тока, при сохранении точности определения места повреждения.

Данное изобретение включает в себя три метода: один для одноцепной линии и два варианта для двухцепной линии.

Технический результат достигается на одноцепной линии электропередачи за счет использования критерия равенства нулю мнимой части переходного сопротивления в месте повреждения, симметричных составляющих; на двухцепной линии электропередачи: при использовании первого метода - за счет использования критерия равенства нулю мнимой части переходного сопротивления в месте повреждения, симметричных составляющих; при использовании второго метода - за счет использования телеграфных уравнений, симметричных составляющих.

Таким образом, предлагаемое изобретение имеет следующие общие признаки с прототипом:

1) использование параметров аварийного и предаварийного режимов;

2) измерение векторов токов как в начале, так и в конце линии;

3) передача и прием с одного конца линии на другой векторных величин токов первой гармоники аварийного режима.

Предлагаемое изобретение имеет следующие отличия от прототипа, что обуславливает соответствие технического решения критерию новизна:

1) отсутствие передачи по каналам связи информации о векторах первой гармоники напряжений в начале и конце линии аварийного режима; достаточно передавать и принимать информацию только о векторных величинах токов первой гармоники противоположного конца линии;

2) отсутствие итерационного процесса; позволяет однозначно определить место повреждения, что исключает возможность прохождения мимо места повреждения в случае выбора неверного шага итерационного процесса и освобождает ресурсы микропроцессорного устройства для иных задач;

3) простота реализации в существующих микропроцессорных устройствах продольной дифференциальной защиты линии; исключается необходимость переделывания модулей каналов связи;

4) учет волновых процессов и компенсация неоднородностей благодаря использованию разности токов параллельных линии (только для второго варианта метода для двухцепной линии);

5) отсутствие измерения векторов напряжений в начале и в конце линии; измеряются по концам линии только вектора токов (только для второго варианта метода для двухцепной линии);

Для одноцепной линии

На Фиг.1 изображена схема замещения одноцепной линии электропередачи с двухсторонним питанием при коротком замыкании (с целью большей наглядности поперечные емкости и неповрежденные фазы не изображены).

Линия, изображенная на Фиг.1, имеет следующие параметры: полная длина l, комплексное сопротивление прямой последовательности

{\underline{Z}}_{1 Л}

, обратной последовательности

{\underline{Z}}_{2 Л}

и нулевой последовательности

{\underline{Z}}_{0 Л}

, емкостные сопротивления равны бесконечности (т.е. емкости равны нулю). Системы А и Б имеют следующие параметры: комплексное сопротивление прямой последовательности

\underline{Z}'_{1 C}

и

\underline{Z}''_{1 C}

, обратной последовательности

\underline{Z}'_{2 C}

и

\underline{Z}''_{2 C}

, нулевой последовательности

\underline{Z}'_{0 C}

и

\underline{Z}''_{0 C}

, эквивалентные ЭДС Е' и Е'' соответственно. На линии (Фиг. 1) показано короткое замыкание за переходным сопротивлением R_П на расстоянии l_K. Линия является симметричной, учитывая, что на линиях высокого напряжения для симметрирования линии осуществляют транспозицию фаз.

Для схемы замещения, изображенной на Фиг. 1, по 2-му закону Кирхгофа можно записать:

\dot{U}' = \dot{I}' \cdot {\underline{Z}}_{Л} + {\dot{I}}_{К} R_{П}, (1.1)

где

\dot{U}'

и

\dot{I}'

зависят от вида повреждения и определяются по Таблице 1 в соответствии с [Висящев А.Н., Приборы и методы определения места повреждения на линиях электропередачи: Учебное пособие. - Иркутск: Издательство ИрГТУ, 2001, ч. 1 - 188 с.: ил.] и [Ульянов С.А., Электромагнитные переходные процессы в электрических системах. М.-Л.: Энергия, 1964. - 704 с.: ил.];

\underline{Z}'_{Л} = {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}

- удельное продольное сопротивление линии нулевой последовательности;

n = \frac{l_{К}}{l}

- расстояние до места повреждения от начала линии в относительных единицах;

{\dot{I}}_{K} = \dot{I}'_{K} + \dot{I}''_{K}

,

где

\overset{'}{I}'_{K}

- составляющая полного тока короткого замыкания от начала линии;

\overset{'}{I}''_{K}

- составляющая полного тока короткого замыкания от конца линии.

Таблица 1
Вид КЗ	Фаза		$\dot{U}'$	$\dot{I}'$	${\overset{'}{I}}_{K}$
			$\dot{U}''$	$\dot{I}''$
Однофазное	А		$\dot{U}'_{A}$	$\dot{I}'_{A} + \dot{k} 3 \dot{I}'_{0}$	$3 \dot{I}'_{2} + 3 \dot{I}''_{2}$ или $3 \dot{I}'_{0} + 3 \dot{I}''_{0}$
			$\dot{U}''_{A}$	$\dot{I}''_{A} + \dot{k} 3 \dot{I}''_{0}$
	В		$\dot{U}'_{B}$	$\dot{I}'_{B} + \dot{k} 3 \dot{I}'_{0}$	$3 a (\dot{I}'_{2} + \dot{I}''_{2})$ или $3 a (\dot{I}'_{0} + \dot{I}''_{0})$
			$\dot{U}''_{B}$	$\dot{I}''_{B} + \dot{k} 3 \dot{I'}'_{0}$
	С		$\dot{U}'_{C}$	$\dot{I}'_{C} + \dot{k} 3 \dot{I}'_{0}$	$3 a^{2} (\dot{I}'_{2} + \dot{I}''_{2})$ или $3 a^{2} (\dot{I}'_{0} + \dot{I}''_{0})$
			$\dot{U}''_{C}$	$\dot{I}''_{C} + \dot{k} 3 \dot{I'}'_{0}$
Двухфазное	А-В		$\dot{U}'_{A} - \dot{U}'_{B}$	$\dot{I}'_{A} - \dot{I}'_{B}$	$(1 - a) (\dot{I}'_{2} + \dot{I}''_{2})$
			$\dot{U}''_{A} - \dot{U}''_{B}$	$\dot{I}''_{A} - \dot{I'}'_{B}$
	В-С		$\dot{U}'_{B} - \dot{U}'_{C}$	$\dot{I}'_{B} - \dot{I}'_{C}$	$(a - a^{2}) (\dot{I}'_{2} + \dot{I}''_{2})$
			$\dot{U}''_{B} - \dot{U}''_{C}$	$\dot{I'}'_{B} - \dot{I'}'_{C}$
	А-С		$\dot{U}'_{C} - \dot{U}'_{A}$	$\dot{I}'_{C} - \dot{I}'_{A}$	$(a^{2} - 1) (\dot{I}'_{2} + \dot{I}''_{2})$
			$\dot{U}''_{C} - \dot{U'}'_{A}$	$\dot{I}''_{C} - \dot{I'}'_{A}$
Двухфазное на землю	А, В		$\dot{U}'_{A} - \dot{U}'_{B}$	$\dot{I}'_{A} - \dot{I}'_{B}$	$(1 - a^{2}) ((\dot{I}'_{1} - a \dot{I}'_{1 H}) + (\dot{I}''_{1} - a \dot{I}''_{2} - \dot{I}''_{1 H}))$
			$\dot{U}''_{A} - \dot{U}''_{B}$	$\dot{I}''_{A} - \dot{I'}'_{B}$
	В, С		$\dot{U}'_{B} - \dot{U}'_{C}$	$\dot{I}'_{B} - \dot{I}'_{C}$	$(a^{2} - a) ((\dot{I}'_{1} - \dot{I}'_{2} - \dot{I}'_{1 H}) + (\dot{I}''_{1} - \dot{I}''_{2} - \dot{I}''_{1 H}))$
			$\dot{U}''_{B} - \dot{U}''_{C}$	$\dot{I'}'_{B} - \dot{I'}'_{C}$
	А, С		$\dot{U}'_{C} - \dot{U}'_{A}$	$\dot{I}'_{C} - \dot{I}'_{A}$	$(a - 1) ((\dot{I}'_{1} - a^{2} \dot{I}'_{2} - \dot{I}'_{1 H}) + (\dot{I}''_{2} - a^{2} \dot{I}''_{2} - \dot{I}''_{1 H}))$
			$\dot{U}''_{C} - \dot{U'}'_{A}$	$\dot{I}''_{C} - \dot{I'}'_{A}$
Трехфазное		A, B, C	$\dot{U}'_{A} - \dot{U}'_{B}$	$\dot{I}'_{A} - \dot{I}'_{B}$	$(1 - a^{2}) ((\dot{I}'_{1} - \dot{I}'_{1 H}) + (\dot{I}''_{1} - \dot{I}''_{1 H}))$
			$\dot{U}''_{A} - \dot{U}''_{B}$	$\dot{I}''_{A} - \dot{I'}'_{B}$
где а=е-^j120; а²=е-^j240- поворотные коэффициенты; $\dot{k} = \frac{{\underline{z}}_{Л_п р о д_0} - {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}$ - коэффициент компенсации для одноцепной линии; ${\underline{z}}_{Л_п р о д_1}$ и ${\underline{z}}_{Л_п р о д_0}$ - удельные продольные сопротивления линии прямой и нулевой последовательностей соответственно; $\dot{U}'_{A}$ , $\dot{U}'_{B}$ , $\dot{U}'_{C}$ и $\dot{I}'_{A}$ , $\dot{I}'_{B}$ , $\dot{I}'_{C}$ - основная гармоника в начале линии фазных напряжений и фазных токов соответственно; $\dot{U'}'_{A}$ , $\dot{U}''_{B}$ , $\dot{U}''_{C}$ и $\dot{I}''_{A}$ , $\dot{I}''_{B}$ , $\dot{I}''_{C}$ - основная гармоника в конце линии фазных напряжений и фазных токов соответственно; $\dot{I}'_{1}$ , $\dot{I}'_{2}$ , $\dot{I}'_{0}$ и $\dot{I}''_{1}$ , $\dot{I}''_{2}$ , $\dot{I}''_{0}$ - токи прямой, обратной, нулевой последовательностей в начале и конце линии соответственно; $\dot{I}'_{1 H}$ и $\dot{I}''_{1 H}$ - основная гармоника прямой последовательности тока нагрузки в предаварийном режиме в начале и конце линии (для двухконцевой линии можно считать равными).

Из выражения (1.1):

\dot{U}' = \dot{I}' \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1} + {\dot{I}}_{K} \cdot R_{П}

;

I \frac{\dot{U}' - \dot{I}' \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}} = R_{П}

;

Im (\frac{\dot{U}' - \dot{I}' \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}}) = Im (R_{П})

;

Im (\frac{\dot{U}' - \dot{I}' \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}}) = 0

;

Im (\frac{\dot{U}'}{{\dot{I}}_{K}}) - Im (\frac{\dot{I}' \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}}) = 0

;

Im (\frac{\dot{I}' \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}}) = Im (\frac{\dot{U}'}{{\dot{I}}_{K}}) . (1.2)

Из выражения (1.2) расстояние до места повреждения от начала линии (системы А) в относительных единицах:

n' = \frac{Im (\frac{\dot{U}'}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}' \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})} . (1.3)

Расстояние до места повреждения от противоположного конца линии (системы Б) в относительных единицах может быть определено аналогичным образом:

n'' = (1 - n') = \frac{Im (\frac{\dot{U}''}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}'' \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}, (1.4)

где

\dot{U}''

и

\dot{I}''

зависят от вида повреждения и определяются по выражениям, приведенным в Таблице 1.

Для двухцепной линии (1-й вариант)

На Фиг.2 изображена схема замещения двухцепной линии электропередачи с двухсторонним питанием при коротком замыкании на первой цепи (с целью большей наглядности поперечные емкости и неповрежденные фазы не изображены).

Линия имеет следующие параметры: комплексное сопротивление прямой последовательности первой цепи

{\underline{Z}}_{1 Л_I}

и второй цепи

{\underline{Z}}_{1 Л_I I}

; обратной последовательности первой цепи

{\underline{Z}}_{2 Л_I}

и обратной последовательности второй цепи

{\underline{Z}}_{2 Л_I I}

; нулевой последовательности первой цепи

{\underline{Z}}_{0 Л_I}

и второй цепи

{\underline{Z}}_{0 Л_I I}

; емкостные сопротивления равны бесконечности (т.е. емкости равны нулю). Системы А и Б имеют следующие параметры: комплексное сопротивление прямой последовательности

\underline{Z}'_{1 C}

и

\underline{Z}''_{1 C}

, обратной последовательности

\underline{Z}'_{2 C}

и

\underline{Z}''_{2 C}

, нулевой последовательности

\underline{Z}'_{0 C}

и

\underline{Z}''_{0 C}

, эквивалентные ЭДС Е' и Е'' соответственно. На линии показано (Фиг.2) короткое замыкание за переходным сопротивлением R_П на расстоянии l_K. Каждая цепь линии является симметричной, учитывая, что на линиях высокого напряжения для симметрирования линии осуществляют транспозицию фаз.

Для схемы замещения, изображенной на Фиг.2, по 2-му закону Кирхгофа можно записать:

\dot{U}' = \dot{I}'_{1} \cdot n {\underline{Z}}_{Л_I} + {\dot{I}}_{K} R_{П}, (1.5)

где

\dot{U}'

и

\dot{I}'_{1}

зависят от вида повреждения и определяются по Таблице 2 в соответствии с [Висящев А.Н. Приборы и методы определения места повреждения на линиях электропередачи: Учебное пособие. - Иркутск: Издательство ИрГТУ, 2001, ч.1 - 188 с.: ил.] и [Ульянов С.А., Электромагнитные переходные процессы в электрических системах. М. - Л.: Энергия, 1964. - 704 с.: ил.];

{\underline{Z}}_{1 Л_I} = {\underline{z}}_{Л_п р о д_I}

- удельное продольное сопротивление линии;

n = \frac{l_{K}}{l}

{\dot{I}}_{K} = \dot{I}'_{K} + \dot{I}''_{K}

,

где

\dot{I}'_{K}

- составляющая полного тока короткого замыкания от начала первой цепи линии

\dot{I}''_{K}

- составляющая полного тока короткого замыкания от конца линии первой цепи

Таблица 2
Вид КЗ	Фаза			Для КЗ на I цепи	Для КЗ на II цепи
		$\dot{U}'$		$\dot{I}'_{I}$	$\dot{I}'_{I I}$	${\dot{I}}_{K}$
		$\dot{U'}'$		$\dot{I}''_{I}$	$\dot{I}''_{I I}$
Однофазное	А	$\dot{U}'_{A}$		$\dot{I}'_{A I} + {\dot{k}}_{I} 3 \dot{I}'_{01}$	$\dot{I}'_{A I I} + {\dot{k}}_{I I} 3 \dot{I}'_{0 I I}$	$3 \dot{I}'_{2 I} + 3 \dot{I}''_{2 I}$ или $3 \dot{I}'_{0 I} + 3 \dot{I}''_{0 I}$
		$\dot{U}''_{A}$		$\dot{I}''_{A I} + {\dot{k}}_{I} 3 \dot{I}''_{01}$	$\dot{I}''_{A I I} + {\dot{k}}_{I I} 3 \dot{I'}'_{0 I I}$	$3 \dot{I}'_{2 I I} + 3 \dot{I}''_{2 I I}$ или $3 \dot{I}'_{0 I I} + 3 \dot{I}''_{0 I I}$
	В	$\dot{U}'_{B}$		$\dot{I}'_{B I} + {\dot{k}}_{I} 3 \dot{I}'_{01}$	$\dot{I}'_{B I I} + {\dot{k}}_{I I} 3 {\dot{I'}}_{0 I I}$	$3 a (\dot{I}'_{2 I} + \dot{I}''_{2 I})$ или $3 a (\dot{I}'_{0 I} + \dot{I}''_{0 I})$
		$\dot{U}''_{B}$		$\dot{I}''_{B I} + {\dot{k}}_{I} 3 \dot{I'}'_{01}$	$\dot{I}''_{B I I} + {\dot{k}}_{I I} 3 {\dot{I''}}_{0 I I}$	$3 a (\dot{I}'_{2 I I} + \dot{I}''_{2 I I})$ или $3 a (\dot{I}'_{0 I I} + \dot{I}''_{0 I I})$
	С	$\dot{U}'_{C}$		$\dot{I}''_{C I} + {\dot{k}}_{I} 3 \dot{I}'_{01}$	$\dot{I}'_{C I I} + {\dot{k}}_{I I} 3 {\dot{I'}}_{0 I I}$	$3 a (\dot{I}'_{2 I} + \dot{I}''_{2 I})$ или $3 a (\dot{I}'_{0 I} + \dot{I}''_{0 I})$
		$\dot{U}''_{C}$		$\dot{I}'''_{C I} + {\dot{k}}_{I} 3 \dot{I'}'_{01}$	$\dot{I}''_{C I I} + {\dot{k}}_{I I} 3 {\dot{I''}}_{0 I I}$	$3 a^{2} (\dot{I}'_{2 I I} + \dot{I}''_{2 I I})$ или $3 a^{2} (\dot{I}'_{0 I I} + \dot{I}''_{0 I I})$
Двухфазное	А-В	$\dot{U}'_{A} \dot{U}'_{B}$		$\dot{I}'_{A 1} - \dot{I}'_{B 1}$	${\dot{I'}}_{A I I} - \dot{I}'_{B I I}$	$(1 - a) (\dot{I}'_{2 I} + \dot{I}''_{2 I})$
		$\dot{U}''_{A} - \dot{U}''_{B}$		$\dot{I'}'_{A 1} - \dot{I'}'_{B 1}$	$\dot{I'}'_{A I I} - \dot{I'}'_{B I I}$	$(1 - a) (\dot{I}'_{2 I I} + \dot{I}''_{2 I I})$
	В-С	$\dot{U}'_{B} - \dot{U}'_{C}$	$\dot{I}'_{B I} - \dot{I}'_{C I}$		$\dot{I}'_{B I I} - {\dot{I'}}_{_{C I I}}$	$(a - a^{2}) ({\dot{I}}_{2 I} + \dot{I}''_{2 I})$
		$\dot{U}''_{B} - \dot{U'}'_{C}$	$\dot{I}''_{B I} - {\dot{I''}}_{C I}$		$\dot{I}''_{B I I} - {\dot{I''}}_{_{C I I}}$	$(a - a^{2}) (\dot{I}'_{2 I I} + \dot{I}''_{2 I I})$
	А-С	$\dot{U}'_{C} - \dot{U}'_{A}$	$\dot{I}'_{C I} - {\dot{I'}}_{A I}$		$\dot{I}'_{C I I} - {\dot{I'}}_{A I I}$	$(a^{2} - 1) (\dot{I}'_{2 I} + \dot{I}''_{2 I})$
		$\dot{U}''_{C} - \dot{U'}'_{A}$	$\dot{I}''_{C I} - {\dot{I''}}_{A I}$		$\dot{I}''_{C I I} - {\dot{I''}}_{A I I}$	$(a^{2} - 1) (\dot{I}'_{2 I} + \dot{I}''_{2 I I})$
Двухфазное на землю	А, В	$\dot{U}'_{A} - \dot{U}'_{B}$	$\dot{I}'_{A I} - \dot{I}'_{B I}$		$\dot{I}'_{A I I} - {\dot{I'}}_{_{B I I}}$	$(1 - a^{2}) ((\dot{I}'_{1 I} - a \dot{I}'_{2 I} - \dot{I}'_{1 H I}) + (\dot{I}''_{1 I} - a \dot{I}''_{2 I} - \dot{I}''_{1 H I}))$
		$\dot{U}''_{A} - \dot{U'}'_{B}$	$\dot{I'}'_{A I} - \dot{I'}'_{B I}$		$\dot{I}''_{A I I} - {\dot{I''}}_{B I I}$	$(1 - a^{2}) ((\dot{I}'_{1 I I} - a \dot{I}'_{2 I I} - \dot{I}'_{1 H I I}) + (\dot{I}''_{1 I I} - a \dot{I}''_{2 I I} - \dot{I}''_{1 H I I}))$
	В, С	$\dot{U}'_{B} - \dot{U}'_{C}$	$\dot{I}'_{B I} - \dot{I}'_{C I}$		$\dot{I}'_{B I I} - {\dot{I'}}_{_{C I I}}$	$(a^{2} - a) ((\dot{I}'_{1 I} - \dot{I}'_{2 I} - {\dot{I}}_{1 H I}) + (\dot{I}''_{1 I} - \dot{I}''_{2 I I} - \dot{I}''_{1 H I}))$
		$\dot{U}''_{B} - \dot{U'}'_{C}$	$\dot{I}''_{B I} - \dot{I'}'_{C I}$		$\dot{I}''_{B I I} - {\dot{I''}}_{C I I}$	$(a^{2} - a) ((\dot{I}'_{1 I I} - \dot{I}'_{2 I I} - {\dot{I}}_{1 H I I}) + (\dot{I}''_{1 I I} - \dot{I}''_{2 I I I} - \dot{I}''_{1 H I I}))$
	А, С	$\dot{U}'_{C} - \dot{U}'_{A}$	$\dot{I}'_{C I} - \dot{I}'_{A I}$		$\dot{I}'_{C I I} - {\dot{I'}}_{A I I}$	$(a - 1) ((\dot{I}'_{1 I} - a^{2} \dot{I}'_{2 I} - {\dot{I}}_{1 H I}) + (\dot{I}''_{1 I} - a^{2} \dot{I}''_{2 I} - \dot{I}''_{1 H I}))$
		$\dot{U}''_{C} - \dot{U'}'_{A}$	$\dot{I}''_{C I} - \dot{I}''_{A I}$		$\dot{I}''_{C I I} - {\dot{I''}}_{A I I}$	$(a - 1) ((\dot{I}'_{1 I} - a^{2} \dot{I}'_{2 I I} - {\dot{I}}_{1 H I I}) + (\dot{I}''_{1 I I} - a^{2} \dot{I}''_{2 I I} - \dot{I}''_{1 H I I}))$
Трехфазное	А, В, С	$\dot{U}'_{A} - \dot{U}'_{B}$	$\dot{I}'_{A I} - \dot{I}'_{B I}$		$\dot{I}'_{A I I} - {\dot{I'}}_{_{B I I}}$	$(1 - a^{2}) ((\dot{I}'_{1 I} - \dot{I}'_{1 H I}) + (\dot{I}''_{1 I} - \dot{I}''_{1 H I}))$
		$\dot{U}''_{A} - \dot{U'}'_{B}$	$\dot{I}''_{A I} - \dot{I}''_{B I}$		$\dot{I}''_{A I I} - {\dot{I''}}_{B I I}$	$(1 - a^{2}) ((\dot{I}'_{1 I I} - \dot{I}'_{1 H I I}) + (\dot{I}''_{1 I I} - \dot{I}''_{1 H I I}))$
где а = e^j120; а² = e^j240 - поворотные коэффициенты; ${\dot{k}}_{I} = \frac{{\underline{z}}_{Л_п р о д_0} - {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\underline{z}}_{Л_п р о д_1}} + \frac{\dot{I}'_{0 I}}{{\dot{I}}_{0 I I}} \frac{{\underline{z}}_{M}}{3 \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}} = \frac{{\underline{z}}_{Л_п р о д_0} - {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\underline{z}}_{Л_п р о д_1}} + \frac{\dot{I}''_{0 I}}{\dot{I}''_{0 I I}} \frac{{\underline{z}}_{M}}{3 \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}$ - коэффициент компенсации для двухцепной линии при повреждении на первой цепи; ${\dot{k}}_{I I} = \frac{{\underline{z}}_{Л_п р о д_0} - {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\underline{z}}_{Л_п р о д_1}} + \frac{\dot{I}'_{0 I I}}{\dot{I}'_{0 I}} \frac{{\underline{z}}_{M}}{3 \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}} = \frac{{\underline{z}}_{Л_п р о д_0} - {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\underline{z}}_{Л_п р о д_1}} + \frac{\dot{I}''_{0 I I}}{\dot{I}''_{0 I}} \frac{{\underline{z}}_{M}}{3 \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}$ - коэффициент компенсации для двухцепной линии при повреждении на второй цепи; ${\underline{z}}_{M}$ - удельное магнитное сопротивление между цепями линии. ${\underline{z}}_{Л_п р о д_1}$ и ${\underline{z}}_{Л_п р о д_0}$ - удельные продольные сопротивления линии прямой и нулевой последовательностей соответственно; $\dot{U}'_{A}$ , $\dot{U}'_{B}$ , $\dot{U}'_{C}$ и $\dot{U'}'_{A}$ , $\dot{U'}'_{B}$ , $\dot{U}''_{C}$ - основная гармоника фазных напряжений в начале и конце линии соответственно; $\dot{I}'_{A I}$ , $\dot{I}'_{B I}$ , $\dot{I}'_{C I}$ и $\dot{I}''_{A I}$ , $\dot{I}''_{B I}$ , $\dot{I}''_{C I}$ - основная гармоника фазных токов в начале и конце первой цепи линии соответственно; $\dot{I}'_{A I I}$ , $\dot{I}'_{B I I}$ , $\dot{I}'_{C I I}$ и $\dot{I}''_{A I I}$ , $\dot{I}''_{B I I}$ , $\dot{I}''_{C I I}$ - основная гармоника фазных токов в начале и конце второй цепи линии соответственно;
$\dot{I}'_{1 I}$ , $\dot{I}'_{2 I}$ , $\dot{I}'_{0 I}$ и $\dot{I}''_{1 I}$ , $\dot{I}''_{2 I}$ , $\dot{I}''_{0 I}$ - токи прямой, обратной и нулевой последовательностей в начале и конце первой цепи линии соответственно; $\dot{I}'_{1 I I}$ , $\dot{I}'_{2 I I}$ , $\dot{I}'_{0 I I}$ и $\dot{I}''_{1 I I}$ , $\dot{I}''_{2 I I}$ , $\dot{I}''_{0 I I}$ - токи прямой, обратной и нулевой последовательностей в начале и конце второй цепи линии соответственно; $\dot{I}'_{1 H I}$ и $\dot{I}''_{1 H I}$ - основная гармоника прямой последовательности тока нагрузки в предаварийном режиме в начале и конце первой цепи линии (для двухконцевой линии можно считать равными); $\dot{I}'_{1 H I I}$ и $\dot{I}''_{1 H I I}$ - основная гармоника прямой последовательности тока нагрузки в предаварийном режиме в начале и конце второй цепи линии (для двухконцевой линии можно считать равными).

Из выражения (1.5):

\dot{U}' = \dot{I}'_{I} \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1} + {\dot{I}}_{K} \cdot R_{П}

;

\frac{\dot{U}' - \dot{I}'_{I} \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}} = R_{П}

;

Im (\frac{\dot{U}' - \dot{I}'_{I} \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}}) = Im (R_{П})

;

Im (\frac{\dot{U}' - \dot{I}'_{I} \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}}) = 0

;

Im (\frac{\dot{U}'}{{\dot{I}}_{K}}) - Im (\frac{\dot{I}'_{I} \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}}) = 0

;

Im (\frac{\dot{I}'_{I} \cdot n \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}}) = Im (\frac{\dot{U}'}{{\dot{I}}_{K}}) . (1.6)

Из выражения (1.6) расстояние до места повреждения от начала линии (системы А) в относительных единицах:

n'_{I} = \frac{Im (\frac{\dot{U}'}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}'_{I} \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})} . (1.7)

n''_{I} = (1 - n'_{I}) = \frac{Im (\frac{\dot{U}''}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}''_{I} \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}, (1.8)

где

\dot{U}''

и

\dot{I}''_{I}

зависят от вида повреждения и определяются по выражениям, приведенным в Таблице 2.

При повреждении на второй цепи линии расстояние до места повреждения от начала линии (системы А) в относительных единицах:

n'_{I I} = (1 - n'_{I}) = \frac{Im (\frac{\dot{U}'}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}'_{I I} \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}, (1.9)

При повреждении на второй цепи линии расстояние до места повреждения от противоположного конца линии (системы Б) в относительных единицах:

n''_{I I} = (1 - n'_{I I}) = \frac{Im (\frac{\dot{U}''}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}''_{I I} \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}, (1.10)

Для двухцепной линии (2-й вариант)

Для нулевой последовательности симметричной двухцепной линии электропередачи, соединенной по концам, могут быть записаны следующие системы дифференциальных уравнений [Чернин А.Б. Вычисление электрических величин и поведение релейной защиты при неполнофазных режимах в электрических системах. М.: Госэнергоиздат, 1963. - 416с.: ил.]:

{\begin{matrix} - \frac{d \dot{U}'_{0}}{d x} = {\underline{z}}_{Л_п р о д_0} \cdot \dot{I}'_{I_0} + {\underline{z}}_{Л_}_{п р о д_0} \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_I - I I_0} \cdot {\dot{I}}_{I I_0} \\ - \frac{d \dot{I}'_{I_0}}{d x} = {\underline{y}}_{Л_п о п е р_0} \cdot \dot{U}'_{0} + {\underline{y}}_{Л_п о п е р_I - I I_0} \cdot \dot{U}'_{0} \end{matrix}; (1.11)

{\begin{matrix} - \frac{d \dot{U}'_{0}}{d x} = {\underline{z}}_{Л_п р о д_0} \cdot \dot{I}'_{I I_0} + {\underline{z}}_{Л_}_{п р о д_0} \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_I I - I_0} \cdot {\dot{I}}_{I_0} \\ - \frac{d \dot{I}'_{I I_0}}{d x} = {\underline{y}}_{Л_п о п е р_0} \cdot \dot{U}'_{0} + {\underline{y}}_{Л_п о п е р_I - I_0} \cdot \dot{U}'_{0} \end{matrix}; (1.12)

где

{\underline{z}}_{Л_п р о д_0}

- удельное продольное сопротивление нулевой последовательности первой цепи и второй цепи линии;

{\underline{z}}_{Л_п р о д_I - I I_0} = {\underline{z}}_{Л_п р о д_I I - I_0}

- удельное продольное сопротивление нулевой последовательности между первой и второй цепями линии (сопротивление взаимоиндукции);

{\underline{y}}_{Л_п о п е р_0}

- удельная поперечная проводимость нулевой последовательности первой цепи и второй цепи линии;

{\underline{y}}_{Л_п о п е р_I - I I_0} = {\underline{y}}_{Л_п о п е р_I I - I_0}

- удельная поперечная проводимость нулевой последовательности между первой и второй цепями линии;

\dot{U}'_{0}

- напряжение нулевой последовательности в начале линии;

{\dot{I'}}_{I 0}

и

{\dot{I'}}_{I I 0}

- ток нулевой последовательности в начале первой цепи и второй цепи линии соответственно;

\frac{d \dot{U}'_{0}}{d x}

- первая производная напряжения нулевой последовательности в начале линии;

\frac{d \dot{I}'_{I 0}}{d x}

и

\frac{d \dot{I}'_{I I 0}}{d x}

- первая производная тока нулевой последовательности в начале первой цепи и второй цепи линии соответственно;

dx - бесконечно малая величина линии.

Для вторых производных напряжений и токов для нулевой последовательности симметричной двухцепной линии электропередачи из(1.11) и (1.12) могут быть получены следующие системы уравнений по аналогии с [Чернин А.Б. Вычисление электрических величин и поведение релейной защиты при неполнофазных режимах в электрических системах. М.: Госэнергоиздат, 1963. - 416 с.: ил.]:

{\begin{matrix} - \frac{d^{2} \dot{U}'_{0}}{d x^{2}} = {\underline{γ^{2}}}_{0} \cdot \dot{U}'_{0} - {\underline{σ}}_{0}^{2} \cdot \dot{U}'_{0} = 0 \\ - \frac{d^{2} \dot{I}'_{I 0}}{d x^{2}} = {\underline{γ}}_{0}^{2} \cdot \dot{I}'_{I 0} - {\underline{σ}}_{0}^{2} \cdot \dot{I}'_{I I 0} = 0 \end{matrix}; (1.13)

{\begin{matrix} - \frac{d^{2} \dot{U}'_{0}}{d x^{2}} - {\underline{γ^{2}}}_{0} \cdot \dot{U}'_{0} - {\underline{σ}}_{0}^{2} \cdot \dot{U}'_{0} = 0 \\ - \frac{d^{2} \dot{I}'_{I I 0}}{d x^{2}} - {\underline{γ}}_{0}^{2} \cdot \dot{I}'_{I I 0} - {\underline{σ}}_{0}^{2} \cdot \dot{I}'_{I 0} = 0 \end{matrix}; (1.14)

где

{\underline{γ}}_{0}^{2} = {\underline{z}}_{Л_п р о д_0} \cdot {\underline{y}}_{Л_п о п е р_0} + {\underline{z}}_{I - I I_Л п о п е р_0}; (1.15)

{\underline{σ}}_{0}^{2} = {\underline{z}}_{Л_п р о д_0} \cdot {\underline{y}}_{I - I I_Л_п о п е р_0} + {\underline{z}}_{I - I I_Л_п о п е р_0} {\underline{y}}_{Л_п о п е р_0}; (1.16)

\frac{d^{2} \dot{U}'_{0}}{d x^{2}}

- вторая производная напряжения нулевой последовательности в начале двухцепной линии;

\frac{d^{2} \dot{I}'_{I 0}}{d x^{2}}

- вторая производная тока нулевой последовательности в начале первой цепи линии;

\frac{d^{2} \dot{I}'_{I I 0}}{d x^{2}}

- вторая производная тока нулевой последовательности в начале второй цепи линии.

Для сокращения записи введем следующие обозначения:

{\underline{z}}_{I} = {\underline{z}}_{Л_п р о д_0}; (1.17)

{\underline{z}}_{I - I I} = {\underline{z}}_{Л_п р о д_I - I I_0}; (1.18)

{\underline{y}}_{I} = {\underline{y}}_{Л__{п о п е р 0}}; (1.19)

{\underline{y}}_{I - I I} = {\underline{y}}_{Л_{п о п е р I I - I 0}}; (1.20)

\dot{U} = \dot{U}'_{0}; (1.21)

\dot{I_{I}} = \dot{I}'_{I 0}; (1.22)

\dot{I_{I I}} = \dot{I}'_{I I 0}; (1.23)

\underline{γ} = {\underline{γ}}_{0}; (1.24)

\underline{σ} = {\underline{σ}}_{0} . (1.25)

Тогда системы (1.11) и (1.12) перепишутся:

{\begin{matrix} - \frac{d \dot{U}}{d x^{2}} = {\underline{z}}_{1} \cdot {\dot{I}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\dot{I}}_{I I} \\ - \frac{d {\dot{I}}_{I}}{d x} = {\underline{y}}_{I} \cdot \dot{U} + {\underline{y}}_{I - I I} \cdot \dot{U} \end{matrix}; (1.26)

{\begin{matrix} - \frac{d \dot{U}}{d x} = {\underline{z}}_{1} \cdot {\dot{I}}_{I I} + {\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\dot{I}}_{I} \\ - \frac{d {\dot{I}}_{I I}}{d x} = {\underline{y}}_{I} \cdot \dot{U} + {\underline{y}}_{I - I I} \cdot \dot{U} \end{matrix}, (1.27)

Системы (1.13) и (1.14) перепишутся:

{\begin{matrix} - \frac{d^{2} \dot{U}}{d x^{2}} = {\underline{γ}}^{2} \cdot \dot{U} - {\underline{σ}}^{2} \cdot \dot{U} = 0 \\ - \frac{d^{2} {\dot{I}}_{I}}{d x^{2}} = {\underline{γ}}^{2} \cdot \dot{I_{I} -} {\underline{σ}}^{2} \cdot \dot{I_{I I} = 0} \end{matrix}; (1.28)

{\begin{matrix} - \frac{d^{2} \dot{U}}{d x^{2}} = {\underline{γ}}^{2} \cdot \dot{U} - {\underline{σ}}^{2} \cdot \dot{U} = 0 \\ - \frac{d^{2} {\dot{I}}_{I I}}{d x^{2}} = {\underline{γ}}^{2} \cdot \dot{I_{I I} -} {\underline{σ}}^{2} \cdot \dot{I_{I} = 0} \end{matrix} . (1.29)

Из (1.28) и (1.29) определим напряжение:

\frac{d^{2} \dot{U}}{d x^{2}} - {\underline{γ}}^{2} \cdot \dot{U} - {\underline{σ}}^{2} \cdot \dot{U} = 0. (1.30)

Найдем решение уравнения (1.30).

Будем искать частное решение дифференциального уравнения второго порядка в виде:

\dot{U} = \dot{A} e^{\dot{p} x} . (1.31)

Подставим (1.31) в (1.30):

\frac{d^{2} (\dot{A} e^{\dot{p} x})}{d x^{2}} - {\underline{γ}}^{2} \cdot (\dot{A} e^{\dot{p} x}) - {\underline{σ}}^{2} \cdot (\dot{A} e^{\dot{p} x}) = 0; (1.32)

p^{2} \cdot \dot{A} e^{\dot{p} x} - {\underline{γ}}^{2} \cdot \dot{A} e^{\dot{p} x} - {\underline{σ}}^{2} \cdot \dot{A} e^{\dot{p} x} = 0; (1.33)

p^{2} - {\underline{γ}}^{2} - {\underline{σ}}^{2} = 0; (1.34)

p^{2} = {\underline{γ}}^{2} + {\underline{σ}}^{2}; (1.35)

p_{1} = \sqrt{{\underline{γ}}^{2} + {\underline{σ}}^{2}}; (1.36)

p_{2} = \sqrt{{\underline{γ}}^{2} + {\underline{σ}}^{2}}; (1.37)

p_{2} = - p_{1} . (1.38)

Подставим в (1.36) и (1.37) выражения (1.15) и (1.16), используя (1.17)-(1.25):

\begin{array}{l} p_{1} = \sqrt{{\underline{γ}}^{2} + {\underline{σ}}^{2}} = \sqrt{{\underline{z}}_{I} \cdot {\underline{y}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\underline{y}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{1} \cdot {\underline{y}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\underline{y}}_{I}} = \\ = \sqrt{{\underline{z}}_{I} \cdot ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I}) + {\underline{z}}_{I - I I} ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I}) =} \sqrt{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}) \cdot ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})} \end{array}

;

\begin{array}{l} p_{2} = \sqrt{{\underline{γ}}^{2} + {\underline{σ}}^{2}} = \sqrt{{\underline{z}}_{I} \cdot {\underline{y}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\underline{y}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{1} \cdot {\underline{y}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\underline{y}}_{I}} = \\ = \sqrt{{\underline{z}}_{I} \cdot ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I}) + {\underline{z}}_{I - I I} ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I}) =} \sqrt{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}) \cdot ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})} \end{array}

;

p_{1} = \sqrt{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}) \cdot ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}; (1.39)

p_{2} = - \sqrt{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}) \cdot ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})} . (1.40)

Общее решение уравнения (1.30) будет иметь следующий вид:

\dot{U} = C_{1} \cdot e^{\dot{p_{1} x}} + C_{2} \cdot e^{\dot{p_{2} x}} = C_{1} \cdot e^{\dot{p_{1} x}} + C_{2} \cdot e^{\dot{- p_{1} x}} (1.41)

Из системы (1.26) и (1.27)

- \frac{d \dot{U}}{d x} = {\underline{z}}_{I} \cdot {\dot{I}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\dot{I}}_{I I}; (1.42)

- \frac{d \dot{U}}{d x} = {\underline{z}}_{I} \cdot {\dot{I}}_{I I} + {\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\dot{I}}_{I}; (1.43)

- {\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\dot{I}}_{I I} = {\underline{z}}_{I} \cdot {\dot{I}}_{I} + \frac{d \dot{U}}{d x}; (1.44)

- {\underline{z}}_{I} \cdot {\dot{I}}_{I I} = {\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\dot{I}}_{I} + \frac{d \dot{U}}{d x} . (1.45)

Разделим (1.44) на (1.45);

\frac{{\underline{z}}_{I - I I}}{{\underline{z}}_{I}} = \frac{{\underline{z}}_{I} \cdot {\dot{I}}_{I} + \frac{d \dot{U}}{d x}}{{\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\dot{I}}_{I} + \frac{d \dot{U}}{d x}}; (1.46)

Подставим (1.41) в (1.46):

\frac{{\underline{z}}_{I - I I}}{{\underline{z}}_{I}} = \frac{{\underline{z}}_{I} \cdot {\dot{I}}_{I} + \frac{d (C_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + C_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x})}{d x}}{{\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\dot{I}}_{I} + \frac{d (C_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + C_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x})}{d x}} = \frac{{\underline{z}}_{I} \cdot {\dot{I}}_{I} + C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x}}{{\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\dot{I}}_{I} + C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x}}

;

\frac{{\underline{z}}_{I - I I}}{{\underline{z}}_{I}} = \frac{{\underline{z}}_{I} \cdot {\dot{I}}_{I} + C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x}}{{\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\dot{I}}_{I} + C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x}}

;

{\underline{z}}_{I - I I} ({\underline{z}}_{I - I I} \cdot {\dot{I}}_{I} + C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x}) = {\underline{z}}_{I} ({\underline{z}}_{I} \cdot {\dot{I}}_{I} + C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x})

;

{\underline{z}}_{I - I I}^{2} \cdot {\dot{I}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I} \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + {\underline{z}}_{I - I I} \cdot C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x} = {\underline{z}}_{I}^{2} \cdot {\dot{I}}_{I} + {\underline{z}}_{I} \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + {\underline{z}}_{I} \cdot C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x}

;

{\underline{z}}_{I - I I}^{2} \cdot {\dot{I}}_{I} - {\underline{z}}_{I}^{2} \cdot {\dot{I}}_{I} = {\underline{z}}_{I} \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + {\underline{z}}_{I} \cdot C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x} - {\underline{z}}_{I - I I} \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} - {\underline{z}}_{I - I I} \cdot C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x}

;

{\dot{I}}_{I} = \frac{{\underline{z}}_{I} \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + {\underline{z}}_{I} \cdot C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x} - {\underline{z}}_{I - I I} \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} - {\underline{z}}_{I - I I} \cdot C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{2} x}}{({\underline{z}}_{I - I I}^{2} - {\underline{z}}_{I}^{2})}

.

Учитывая, что

{\dot{p}}_{2} = - {\dot{p}}_{1}

\begin{array}{l} {\dot{I}}_{I} = \frac{{\underline{z}}_{I} \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} - {\underline{z}}_{I} \cdot C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} - {\underline{z}}_{I - I I} \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + {\underline{z}}_{I - I I} \cdot C_{2} \cdot {\dot{p}}_{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I}^{2} - {\underline{z}}_{I}^{2})} = \\ = \frac{({\underline{z}}_{I} - {\underline{z}}_{I - I I}) \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} - {\underline{z}}_{I}) ({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})} - \frac{({\underline{z}}_{I} - {\underline{z}}_{I - I I}) \cdot C_{2} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} - {\underline{z}}_{I}) ({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})} = - \frac{C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})} + \frac{C_{2} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})} \end{array}

.

{\dot{I}}_{I} = - \frac{C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})} + \frac{C_{2} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})} . (1.47)

По аналогии

{\dot{I}}_{I I} = - \frac{C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})} + \frac{C_{2} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})} . (1.48)

Таким образом ток и напряжение в любой точке однофазной линии (а также нулевой или обратной последовательности) могут быть найдены по следующим выражениям:

\dot{U} = C_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + C_{2} \cdot e^{{\dot{- p}}_{1} x}; (1.49)

{\dot{I}}_{I} = - \frac{C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})} + \frac{C_{2} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})}; (1.50)

{\dot{I}}_{I I} = - \frac{C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})} + \frac{C_{2} \cdot {\dot{p}}_{1} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x}}{({\underline{z}}_{I - I I} + {\underline{z}}_{I})} . (1.51)

где

p_{1} = \sqrt{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}) \cdot ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}; (1.52)

p_{1} = - \sqrt{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}) \cdot ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}; (1.53)

Определим коэффициенты C₁и C₂ в (1.49)-(1.51).

Пусть при х=0 напряжение и токи в начале каждой линии

\dot{U}'

,

\dot{I}'_{I}

,

\dot{I}'_{I I}

соответственно. Тогда выражения (1.49)-(1.51) примут вид:

\dot{U} = C_{1} + C_{2}; (1.54)

\dot{I}'_{I} = - \frac{C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} + \frac{C_{2} \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} . (1.55)

\dot{I}'_{I I} = - \frac{C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} + \frac{C_{2} \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} . (1.56)

Из (1.54):

C_{2} = \dot{U}' - C_{1} . (1.57)

Подставим (1.57) в (1.56):

\dot{I}'_{I} = - \frac{C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} + \frac{(\dot{U} - C_{1}) \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}};

\begin{array}{l} \dot{I}'_{I} = - \frac{C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} + \frac{(\dot{U}' - C_{1}) \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} = - \frac{C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} + \frac{\dot{U}' \cdot {\dot{p}}_{1} - C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} = \\ = \frac{- C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} + \dot{U}' \cdot {\dot{p}}_{1} - C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} = \frac{\dot{U}' \cdot {\dot{p}}_{1} - 2 \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} \end{array}

\dot{I}'_{I} = \frac{\dot{U}' \cdot {\dot{p}}_{1} - 2 \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}}

;

\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}) = \dot{U}' \cdot {\dot{p}}_{1} - 2 \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1}

;

\dot{2 \cdot C_{1} \cdot {\dot{p}}_{1} =} \dot{U}' \cdot {\dot{p}}_{1} - \dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})

;

C_{1} = \frac{\dot{U}' \cdot {\dot{p}}_{1} - \dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 \cdot {\dot{p}}_{I}}; (1.58)

Подставим (1.58) в (1.57):

C_{2} = \dot{U}' - \frac{\dot{U}' \cdot {\dot{p}}_{1} - \dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}}; (1.59)

Подставим (1.60) и (1.61) в (1.49) и (1.50):

C_{1} = \frac{\dot{U}' \cdot {\dot{p}}_{1} - \dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} = \frac{\dot{U}'}{2} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}}; (1.60)

C_{2} = \dot{U}' - \frac{\dot{U}' \cdot {\dot{p}}_{1} - \dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} = \frac{\dot{U}'}{2} + \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} . (1.61)

Подставим (1.60) (1.61) в (1.49) и (1.50)

\begin{array}{l} \dot{U} = (\frac{\dot{U}'}{2} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}}) \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + (\frac{\dot{U}'}{2} + \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}}) \cdot e^{{\dot{- p}}_{1} x} = \\ = \frac{\dot{U}'}{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + \frac{\dot{U}'}{2} \cdot e^{{\dot{- p}}_{1} x} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} \cdot e^{{\dot{- p}}_{1} x} = \\ = \frac{\dot{U}'}{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + \frac{\dot{U}'}{2} \cdot e^{{\dot{- p}}_{1} x} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} + \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} \cdot e^{{\dot{- p}}_{1} x} = \\ = \dot{U}' \cdot \frac{e^{{\dot{p}}_{1} x} + e^{{\dot{- p}}_{1} x}}{2} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{{\dot{p}}_{I}} \cdot \frac{e^{{\dot{p}}_{1} x} + e^{{\dot{- p}}_{1} x}}{2} = \dot{U} \cdot c h ({\dot{p}}_{1} x) - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{{\dot{p}}_{I}} \cdot s h ({\dot{p}}_{1} x) . \end{array}

\begin{array}{l} \dot{I} = - \frac{1}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} \cdot ((\frac{\dot{U}'}{2} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}}) \cdot {\dot{p}}_{1} e^{{\dot{p}}_{1} x} + (\frac{\dot{U}'}{2} + \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}}) \cdot (- {\dot{p}}_{1}) e^{{\dot{- p}}_{1} x}) = \\ = - \frac{{\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} \cdot ((\frac{\dot{U}'}{2} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}}) \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} - ((\frac{\dot{U}'}{2} + \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}}) \cdot e^{{\dot{- p}}_{1} x}) = \\ = - \frac{{\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} \cdot (\frac{\dot{U}'}{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} - \frac{\dot{U}'}{2} \cdot e^{- {\dot{p}}_{1} x} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} \cdot e^{{\dot{- p}}_{1} x}) = \\ = - \frac{{\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} \cdot (\frac{\dot{U}'}{2} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} - \frac{\dot{U}'}{2} \cdot e^{{\dot{- p}}_{1} x} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} \cdot e^{{\dot{p}}_{1} x} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} \cdot e^{{\dot{- p}}_{1} x}) = \\ = - \frac{{\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} \cdot (\dot{U}' \cdot \frac{e^{{\dot{p}}_{1} x} - e^{- {\dot{p}}_{1} x}}{2} - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{2 {\dot{p}}_{I}} \cdot \frac{\dot{e^{{\dot{p}}_{1} x} + e^{{\dot{- p}}_{1} x}}}{2}) = \\ = - \frac{{\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} \cdot (\dot{U}' \cdot s h ({\dot{p}}_{1} x) - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{{\dot{p}}_{I}} \cdot c h ({\dot{p}}_{1} x)) = \\ = \dot{I}'_{I} \cdot s h ({\dot{p}}_{1} x) - \frac{\dot{U}' {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} s h ({\dot{p}}_{1} x) \end{array}

Таким образом выражения для определения токов и напряжений на расстоянии x от начала двухцепной линии через ток и напряжение в начале линии запишутся:

\dot{\dot{U} = U}' \cdot c h ({\dot{p}}_{1} x) - \frac{\dot{I}'_{I} ({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{{\dot{p}}_{I}} \cdot s h ({\dot{p}}_{1} x); (1.62)

\dot{I} = \dot{I}'_{I} \cdot c h ({\dot{p}}_{1} x) - \frac{\dot{U}' \cdot {\dot{p}}_{1}}{{\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}} s h ({\dot{p}}_{1} x); (1.63)

где

p_{1} = \sqrt{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}) ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})} . (1.64)

Подстановка (1.64) в (1.62) и (1.63) дает

\dot{\dot{U} = U}' \cdot c h ({\dot{p}}_{1} x) - \dot{I}'_{I} \sqrt{\frac{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}} \cdot s h ({\dot{p}}_{1} x); (1.65)

\dot{\dot{I} = \dot{I}}'_{I} \cdot c h ({\dot{p}}_{1} x) - \dot{U}' \cdot \sqrt{\frac{({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}} s h ({\dot{p}}_{1} x) . (1.66)

Выражения (1.65) и (1.66) можно переписать

\dot{U} = \dot{U}' \cdot {\dot{A}}_{11} + \dot{I}'_{I} \cdot {\dot{A}}_{12}; (1.67)

\dot{I} = \dot{I}'_{I} \cdot {\dot{A}}_{21} + \dot{U}' \cdot {\dot{A}}_{22}; (1.68)

\dot{\dot{A_{12}} =} - \sqrt{\frac{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}} \cdot s h ({\dot{p}}_{1} x); (1.70)

\dot{\dot{A_{21}} =} c h ({\dot{p}}_{1} x); (1.71)

\dot{\dot{A_{22}} =} - \sqrt{\frac{({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}} s h ({\dot{p}}_{1} x); (1.72)

По аналогии можно получить и вторую систему уравнений:

\dot{U} = \dot{U}' \cdot {\dot{A}}_{11} + \dot{I}'_{I I} \cdot {\dot{A}}_{12}; (1.73)

\dot{I} = \dot{I}'_{I I} \cdot {\dot{A}}_{21} + \dot{U}' \cdot {\dot{A}}_{22}; (1.74)

где

\dot{\dot{A_{11}} =} c h ({\dot{p}}_{1} x); (1.75)

\dot{\dot{A_{12}} =} - \sqrt{\frac{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}} \cdot s h ({\dot{p}}_{1} x); (1.76)

\dot{\dot{A_{21}} =} c h ({\dot{p}}_{1} x); (1.77)

\dot{\dot{A_{22}} =} - \sqrt{\frac{({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}} s h ({\dot{p}}_{1} x) . (1.78)

Предположим, что на двухцепной линии электропередачи произошло повреждение на расстоянии l_K от начала линии в первой цепи. Тогда напряжения на первой и второй цепи в месте повреждения запишутся, соответственно (согласно (1.67) и (1.68)):

{\dot{U}}_{K I} = \dot{U}' \cdot \dot{A}'_{11} + \dot{I}'_{I} \cdot \dot{A}'_{12}; (1.79)

{\dot{I}}_{K I} = \dot{I}'_{I} \cdot \dot{A}'_{21} + \dot{U}' \cdot \dot{A}'_{22}; (1.80)

{\dot{U}}_{K I I} = \dot{U}' \cdot \dot{A}'_{11} + \dot{I}'_{I I} \cdot \dot{A}'_{12}; (1.81)

{\dot{I}}_{K I I} = \dot{I}'_{I I} \cdot \dot{A}'_{21} + \dot{U}' \cdot \dot{A}'_{22}; (1.82)

где

\dot{\dot{A'_{11}} =} c h ({\dot{p}}_{1} l_{K}); (1.83)

\dot{\dot{A'_{12}} =} - \sqrt{\frac{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}} \cdot s h ({\dot{p}}_{1} l_{K}); (1.84)

\dot{\dot{A'_{21}} =} c h ({\dot{p}}_{1} l_{K}); (1.85)

\dot{\dot{A'_{22}} =} - \sqrt{\frac{({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}} s h ({\dot{p}}_{1} l_{K}) . (1.86)

Вычтем (1.81) из (1.79):

Сложим (1.81) и (1.79):

Выражения аналогичные (1.87) и (1.88) могут быть получены через токи и напряжения противоположного конца линии. Обозначив токи первой и второй цепей линии противоположного конца соответственно через

\dot{I}''_{I}

и

\dot{I}''_{I I}

и напряжение через

\dot{U}''

, получим:

{\dot{U}}_{K I} - {\dot{U}}_{I I} = (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot \dot{A}''_{12} . (1.89)

где

\dot{\dot{A''_{11}} =} c h ({\dot{p}}_{1} (l - l_{K})); (1.91)

\dot{\dot{A''_{21}} =} c h ({\dot{p}}_{1} (l - l_{K})); (1.93)

\dot{\dot{A''_{22}} =} - \sqrt{\frac{({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}} \cdot s h ({\dot{p}}_{1} (l - l_{K})); (1.94)

(l-l_K) - расстояние до места повреждения от конца линии электропередачи.

Приравняем правые части выражений (1.87) и (1.89):

(\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}) \cdot \dot{A}'_{12} = (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot \dot{A}''_{12} . (1.95)

Подставим (1.84) и (1.92) в (1.95):

(\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}) \cdot (- \sqrt{\frac{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}} \cdot s h ({\dot{p}}_{1} l_{K})) = (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot (- \sqrt{\frac{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I})}{({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}} \cdot s h ({\dot{p}}_{1} (l - l_{K})))

;

(\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}) \cdot s h ({\dot{p}}_{1} l_{K}) = (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot s h ({\dot{p}}_{1} (l - l_{K}))

;

(\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}) \cdot s h ({\dot{p}}_{1} l_{K}) = (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot (s h ({\dot{p}}_{1} l) c h ({\dot{p}}_{1} l_{K}) - c h ({\dot{p}}_{1} l) (s h ({\dot{p}}_{1} l_{K})) . (1.96)

Разделим обе части (1.96) на

:

(\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}) \cdot t h ({\dot{p}}_{1} l_{K}) = (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot (s h ({\dot{p}}_{1} l) - c h ({\dot{p}}_{1} l) t h ({\dot{p}}_{1} l_{K}))

;

(\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}) \cdot t h ({\dot{p}}_{1} l_{K}) = (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot s h ({\dot{p}}_{1} l) - (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot c h ({\dot{p}}_{1} l) t h ({\dot{p}}_{1} l_{K})

;

(\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}) \cdot t h ({\dot{p}}_{1} l_{K}) + (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot c h ({\dot{p}}_{1} l) t h ({\dot{p}}_{1} l_{K}) = (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot s h ({\dot{p}}_{1} l)

;

((\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}) + (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot c h ({\dot{p}}_{1} l)) \cdot t h ({\dot{p}}_{1} l_{K}) = (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot s h ({\dot{p}}_{1} l)

;

t h ({\dot{p}}_{1} l_{K}) = \frac{(\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot s h ({\dot{p}}_{1} l)}{(\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}) + (\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}) \cdot c h ({\dot{p}}_{1} l)}

;

где

\dot{s} = \frac{\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}}{\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}}, (1.98)

p_{1} = \sqrt{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}) ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})} . (1.99)

Расстояние до места повреждения от конца линии:

l - l_{K} = \frac{1}{{\dot{p}}_{1}} \cdot a r c t h (\frac{s h ({\dot{p}}_{1} l)}{s + c h ({\dot{p}}_{1} l)}), (1.100)

где

s = \frac{\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}}{\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}}, (1.101)

p_{1} = \sqrt{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}) ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})} . (1.102)

Таким образом, расстояние от начала линии до места повреждения в именованных единицах через параметры обратной последовательности:

где

p_{1_2} = \sqrt{{\underline{z}}_{Л_п р о д_2} \cdot {\underline{y}}_{Л_п о п е р_2}}

;

\dot{s}'_{2} = \frac{\dot{I}'_{2 I} - \dot{I}'_{2 I I}}{\dot{I}''_{2 I} - \dot{I}''_{2 I I}}

.

Расстояние от конца линии до места повреждения в именованных единицах через параметры обратной последовательности:

l''_{K} = \frac{1}{{\dot{p}}_{1_2}} \cdot a r c t h (\frac{s h ({\dot{p}}_{1_2} l)}{\dot{s}''_{2} + c h ({\dot{p}}_{1_2} l)}), (1.104)

где

p_{1_2} = \sqrt{{\underline{z}}_{Л_п р о д_2} \cdot {\underline{y}}_{Л_п о п е р_2}}

;

\dot{s}''_{2} = \frac{\dot{I}''_{2 I} - \dot{I'}'_{2 I I}}{\dot{I}'_{2 I} - \dot{I}'_{2 I I}}

.

Расстояние от начала линии до места повреждения в именованных единицах через параметры нулевой последовательности:

где

p_{1_0} = \sqrt{({\underline{z}}_{Л_п р о д_0} + {\underline{z}}_{M}) \cdot ({\underline{y}}_{Л_п о п е р_0} + {\underline{y}}_{Л_п о п е р_0_I - I I})}

;

\dot{s}'_{0} = \frac{\dot{I}'_{0 I} - \dot{I}'_{0 I I}}{\dot{I}''_{0 I} - \dot{I}''_{0 I I}}

.

Расстояние от конца линии до места повреждения в именованных единицах через параметры нулевой последовательности:

l''_{K} = \frac{1}{{\dot{p}}_{1_0}} \cdot a r c t h (\frac{s h ({\dot{p}}_{1_0} l)}{\dot{s}''_{0} + c h ({\dot{p}}_{1_0} l)}), (1.106)

где

p_{1_0} = \sqrt{({\underline{z}}_{Л_п р о д_0} + {\underline{z}}_{M}) \cdot ({\underline{y}}_{Л_п о п е р_0} + {\underline{y}}_{Л_п о п е р_0_I - I I})}

;

\dot{s}''_{0} = \frac{\dot{I}''_{0 I} - \dot{I}''_{0 I I}}{\dot{I}'_{0 I} - \dot{I}'_{0 I I}}

.

Способ реализуют следующим образом.

В случае одноцепной линии на стадии выдачи уставок определяют удельные продольные сопротивления прямой и нулевой последовательностей линии (

{\underline{z}}_{Л_п р о д_1}

,

{\underline{z}}_{Л_п р о д_0}

) и задают полную длину линии (l).

Перечисленные величины представляют собой исходные условия и их заносят на стадии наладки в устройство определения места повреждения.

1. В момент, предшествующий короткому замыканию, измеряют и определяют величины прямой последовательности основной гармоники тока нагрузки с одного и второго конца линии (

\dot{I}'_{1 H}

и

\dot{I}''_{1 H}

- для двухконцевой линии равны).

2. В момент короткого замыкания измеряют и определяют первую гармонику фазных токов в начале линии (

\dot{I}'_{A}

,

\dot{I}'_{B}

,

\dot{I}'_{C}

), фазных токов в конце линии (

\dot{I}''_{A}

,

\dot{I}''_{B}

,

\dot{I}''_{C}

), фазных напряжений в начале линии (

\dot{U}'_{A}

,

\dot{U}'_{B}

,

\dot{U}'_{C}

), фазных напряжений в конце линии (

\dot{U}''_{A}

,

\dot{U}''_{B}

,

\dot{U}''_{C}

).

3. Передают по каналам связи фазные токи первой гармоники (

\dot{I}'_{A}

,

\dot{I}'_{B}

,

\dot{I}'_{C}

) от начала линии к концу линии и фазные токи первой гармоники от конца линии к началу линии (

\dot{I}''_{A}

,

\dot{I}''_{B}

,

\dot{I}''_{C}

).

4. На каждом из концов линии определяют токи прямой, нулевой и обратной последовательностей начала (

\dot{I}'_{0}

,

\dot{I}'_{1}

,

\dot{I}'_{2}

) и конца линии (

\dot{I}''_{0}

,

\dot{I}''_{1}

,

\dot{I}''_{2}

).

5. На основании полученных величин в предыдущих пунктах и выражений Таблицы 1 на первом конце линии определяют величины

\dot{U}'

,

\dot{I}'

,

{\dot{I}}_{K}

, на втором -

\dot{U}''

,

\dot{I}''

,

{\dot{I}}_{K}

.

6. Определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в относительных единицах по выражению

n' = \frac{Im (\frac{\dot{U}'}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}' \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}

и определяют расстояние от конца линии до места повреждения (в конце линии) в относительных единицах по выражению

n'' = \frac{Im (\frac{\dot{U}''}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}'' \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}

.

7. Определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в именованных единицах по выражению l'_K=n'·l и определяют расстояние от конца линии до места повреждения (в конце линии) в именованных единицах по выражению l''_K=n''·l.

В случае двухцепной линии (при использовании 1-го метода) на стадии выдачи уставок определяют удельные продольные сопротивления прямой и нулевой последовательностей линии первой и второй цепи (

{\underline{z}}_{Л_п р о д_1}

,

{\underline{z}}_{Л_п р о д_0}

), удельное сопротивление нулевой последовательности между первой и второй цепями (

{\underline{z}}_{M}

) и задают полную длину линии (l).

1. В момент, предшествующий короткому замыканию, замеряют токи нагрузки предаварийного режима в начале линии и конце линии и определяют величины прямой последовательности основной гармоники тока нагрузки с одного и второго конца линии в первой и второй цепи линии (

\dot{I}'_{1 H I}

,

\dot{I}'_{1 H I I}

,

\dot{I}''_{1 H I}

,

\dot{I}''_{1 H I I}

).

\dot{I}'_{A I}

,

\dot{I}'_{B I}

,

\dot{I}'_{C I}

,

\dot{I}''_{A I}

,

\dot{I}''_{B I}

,

\dot{I}''_{C I}

), фазных токов в конце линии (

\dot{I}''_{A I}

,

\dot{I}''_{B I}

,

\dot{I}''_{C I}

,

\dot{I}''_{A I I}

,

\dot{I}''_{B I I}

,

\dot{I}''_{C I I}

), фазных напряжений в начале линии (

\dot{U}'_{A}

,

\dot{U}'_{B}

,

\dot{U}'_{C}

), фазных напряжений в конце линии (

\dot{U}''_{A}

,

\dot{U}''_{B}

,

\dot{U}''_{C}

).

\dot{I}'_{A I}

,

\dot{I}'_{B I}

,

\dot{I}'_{C I}

,

\dot{I}'_{A I I}

,

\dot{I}'_{B I I}

,

\dot{I}'_{C I I}

\dot{I}''_{A I}

,

\dot{I}''_{B I}

,

\dot{I}''_{C I}

,

\dot{I}''_{A I I}

,

\dot{I}''_{B I I}

,

\dot{I}''_{C I I}

).

\dot{I}'_{0 I}

,

\dot{I}'_{1 I}

,

\dot{I}'_{2 I}

,

\dot{I}'_{0 I I}

,

\dot{I}'_{1 I I}

,

\dot{I}'_{2 I I}

) и конца линии (

\dot{I}''_{0 I}

,

\dot{I}''_{1 I}

,

\dot{I}''_{2 I}

,

\dot{I}''_{0 I I}

,

\dot{I}''_{1 I I}

,

\dot{I}''_{2 I I}

).

5. На основании полученных величин в предыдущих пунктах и выражений Таблицы 2 на первом конце поврежденной цепи линии определяют величины

\dot{U}'

,

\dot{I}'_{I}

,

\dot{I}'_{I I}

,

{\dot{I}}_{K}

, на втором конце

\dot{U}''

,

\dot{I}''_{I}

,

\dot{I}''_{I I}

{\dot{I}}_{K}

.

6. В случае повреждения на первой цепи линии определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в относительных единицах по выражению

n'_{I} = \frac{Im (\frac{\dot{U}'}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}'_{I} \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}

n''_{I} = \frac{Im (\frac{\dot{U}''}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}''_{I} \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}

. В случае повреждения на второй цепи линии определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в относительных единицах по выражению

n'_{I I} = \frac{Im (\frac{\dot{U}'}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}'_{I I} \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}

n''_{I I} = \frac{Im (\frac{\dot{U}''}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}''_{I I} \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}

7. Определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в именованных единицах при повреждении на первой цепи по выражению l'_KI=n'_I·l, при повреждении на второй цепи l'_KII=n'_II·l. Определяют расстояние от конца линии до места повреждения (в конце линии) в именованных единицах при повреждении на первой цепи по выражению l''_KI=n''_I·l, при повреждении на второй цепи l''_KII=n''_II·l.

В случае двухцепной линии (при использовании 2-го метода) на стадии выдачи уставок определяют все удельные поперечные проводимости и продольные сопротивления прямой, обратной и нулевой последовательностей линии (

{\underline{y}}_{Л_п о п е р_1}

,

{\underline{y}}_{Л_п о п е р_2}

,

{\underline{y}}_{Л_п о п е р_0}

,

{\underline{z}}_{Л_п р о д_1}

,

{\underline{z}}_{Л_п р о д_2}

,

{\underline{z}}_{Л_п р о д_0}

{\underline{z}}_{M}

), удельная проводимость нулевой последовательности между первой и второй цепями (

{\underline{y}}_{Л_п о п е р_0_I - I I}

) и задают полную длину линии (l).

1. В момент короткого замыкания измеряют и определяют первую гармонику фазных токов в начале линии (

\dot{I}'_{A I}

,

\dot{I}'_{B I}

,

\dot{I}'_{C I}

,

\dot{I}'_{A I I}

,

\dot{I}'_{B I I}

,

\dot{I}'_{C I I}

), фазных токов в конце линии (

\dot{I}''_{A I}

,

\dot{I}''_{B I}

,

\dot{I}''_{C I}

,

\dot{I}''_{A I I}

,

\dot{I}''_{B I I}

,

\dot{I}''_{C I I}

).

2. Передают по каналам связи фазные токи первой гармоники (

\dot{I}'_{A I}

,

\dot{I}'_{B I}

,

\dot{I}'_{C I}

,

\dot{I}'_{A I I}

,

\dot{I}'_{B I I}

,

\dot{I}'_{C I I}

\dot{I}''_{A I}

,

\dot{I}''_{B I}

,

\dot{I}''_{C I}

,

\dot{I}''_{A I I}

,

\dot{I}''_{B I I}

,

\dot{I}''_{C I I}

).

3. На каждом из концов линии определяют токи прямой, нулевой и обратной последовательностей начала (

\dot{I}'_{0 I}

,

\dot{I}'_{1 I}

, ,

\dot{I}'_{2 I}

\dot{I}'_{0 I I}

,

\dot{I}'_{1 I I}

,

\dot{I}'_{2 I I}

) и конца линии (

\dot{I}''_{0 I}

,

\dot{I}''_{1 I}

,

\dot{I}''_{2 I}

,

\dot{I}''_{0 I I}

,

\dot{I}''_{1 I I}

,

\dot{I}''_{2 I I}

).

4. Определяют

{\dot{p}}_{1} = \sqrt{({\underline{z}}_{I} + {\underline{z}}_{I - I I}) ({\underline{y}}_{I} + {\underline{y}}_{I - I I})}

,

где

при использовании величин нулевой последовательности:

{\underline{y}}_{I} = {\underline{y}}_{Л_п о п е р_0}

;

{\underline{y}}_{I - I I} = {\underline{y}}_{Л_п о п е р_0_I - I I}

;

{\underline{z}}_{I} = {\underline{z}}_{Л_п р о д_0}

;

{\underline{z}}_{I - I I} = {\underline{z}}_{M}

;

при использовании величин обратной последовательности:

{\underline{y}}_{I} = {\underline{y}}_{Л_п о п е р_2}

;

{\underline{y}}_{I - I I} = 0

;

{\underline{z}}_{I} = {\underline{z}}_{Л_п р о д_2}

;

{\underline{z}}_{I - I I} = 0

.

5. Определяют для начала линии

\dot{s}' = \frac{\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}}{\dot{I}''_{I} - \dot{I'}'_{I I}}

и для конца линии

\dot{s}'' = \frac{\dot{I}''_{I} - \dot{I}''_{I I}}{\dot{I}'_{I} - \dot{I}'_{I I}}

,

где

\dot{I}'_{I} = \dot{I}'_{0 I}

;

\dot{I}'_{I I} = \dot{I}'_{0 I I}

;

\dot{I}''_{I} = \dot{I}''_{0 I}

;

\dot{I}''_{I I} = \dot{I'}'_{0 I I}

;

\dot{I}'_{I} = \dot{I}'_{2 I}

;

\dot{I}'_{I I} = \dot{I}'_{2 I I}

;

\dot{I}''_{I} = \dot{I}''_{2 I}

;

\dot{I}''_{I I} = \dot{I'}'_{2 I I}

.

6. Определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в именованных единицах по выражению

l'_{K} = \frac{1}{{\dot{p}}_{1}} \cdot a r c t h (\frac{s h ({\dot{p}}_{1} l)}{\dot{s}' + c h ({\dot{p}}_{1} l)})

и определяют расстояние от конца линии до места повреждения (в конце линии) в именованных единицах по выражению

l''_{K} = \frac{1}{{\dot{p}}_{1}} \cdot a r c t h (\frac{s h ({\dot{p}}_{1} l)}{\dot{s}'' + c h ({\dot{p}}_{1} l)})

.

Claims

Способ определения места повреждения по замерам с двух концов линии для одноцепной воздушной линии электропередачи, имеющей удельные продольные сопротивления прямой и нулевой последовательностей ${\underline{z}}_{Л_п р о д_1}$
и ${\underline{z}}_{Л_п р о д_0}$
, полную длину l, соединяющей две питающие системы, через измерение в момент короткого замыкания фазных токов ( $\dot{I}'_{A}$
, $\dot{I}'_{B}$
, $\dot{I}'_{C}$
) и напряжений ( $\dot{U}'_{A}$
, $\dot{U}'_{B}$
, $\dot{U}'_{C}$
) основной гармоники в начале линии, через измерение в момент короткого замыкания фазных токов ( $\dot{I}''_{A}$
, $\dot{I}''_{B}$
, $\dot{I}''_{C}$
) и напряжений ( $\dot{U}''_{A}$
, $\dot{U}''_{B}$
, $\dot{U}''_{C}$
) основной гармоники в конце линии, тока прямой последовательности нормального режима, предшествующего замыканию, в начале линии ( $\dot{I}'_{1 H}$
) и конце линии ( $\dot{I}''_{1 H}$
), через передачу информации о фазных токах начала линии ( $\dot{I}'_{A}$
, $\dot{I}'_{B}$
, $\dot{I}'_{C}$
) от начала линии к концу линии и через передачу фазных токов конца линии ( $\dot{I}''_{A}$
, $\dot{I}''_{B}$
, $\dot{I}''_{C}$
) от конца линии к началу линии посредством каналов связи, через определение симметричных составляющих фазных токов прямой, обратной и нулевой последовательностей ( $\dot{I}'_{1}$
, $\dot{I}'_{2}$
, $\dot{I}'_{0}$
, $\dot{I}''_{1}$
, $\dot{I}''_{2}$
, $\dot{I}''_{0}$
) на каждом из концов линии, через определение симметричных составляющих фазных напряжений прямой, обратной и нулевой последовательностей начала линии в начале линии ( $\dot{U}'_{1}$
, $\dot{U}'_{2}$
, $\dot{U}'_{0}$
) и фазных напряжений прямой, обратной и нулевой последовательностей конца линии в конце линии ( $\dot{U}''_{1}$
, $\dot{U}''_{2}$
, $\dot{U}''_{0}$
), через определение по таблице
Вид КЗ Фаза $\dot{U}'$
$\dot{I}'$
${\overset{'}{I}}_{K}$
$\dot{U}''$
$\dot{I}''$
Однофазное А $\dot{U}'_{A}$
$\dot{I}'_{A} + \dot{k} 3 \dot{I}'_{0}$
$3 \dot{I}'_{2} + 3 \dot{I}''_{2}$
или $3 \dot{I}'_{0} + 3 \dot{I}''_{0}$
$\dot{U}''_{A}$
$\dot{I}''_{A} + \dot{k} 3 \dot{I}''_{0}$
В $\dot{U}'_{B}$
$\dot{I}'_{B} + \dot{k} 3 \dot{I}'_{0}$
$3 a (\dot{I}'_{2} + \dot{I}''_{2})$
или $3 a (\dot{I}'_{0} + \dot{I}''_{0})$
$\dot{U}''_{B}$
$\dot{I}''_{B} + \dot{k} 3 \dot{I'}'_{0}$
С $\dot{U}'_{C}$
$\dot{I}'_{C} + \dot{k} 3 \dot{I}'_{0}$
$3 a^{2} (\dot{I}'_{2} + \dot{I}''_{2})$
или $3 a^{2} (\dot{I}'_{0} + \dot{I}''_{0})$
$\dot{U}''_{C}$
$\dot{I}''_{C} + \dot{k} 3 \dot{I'}'_{0}$
Двухфазное А-В $\dot{U}'_{A} - \dot{U}'_{B}$
$\dot{I}'_{A} - \dot{I}'_{B}$
$(1 - a) (\dot{I}'_{2} + \dot{I}''_{2})$
$\dot{U}''_{A} - \dot{U}''_{B}$
$\dot{I}''_{A} - \dot{I'}'_{B}$

В-С $\dot{U}'_{B} - \dot{U}'_{C}$
$\dot{I}'_{B} - \dot{I}'_{C}$
$(a - a^{2}) (\dot{I}'_{2} + \dot{I}''_{2})$
$\dot{U}''_{B} - \dot{U}''_{C}$
$\dot{I'}'_{B} - \dot{I'}'_{C}$
А-С $\dot{U}'_{C} - \dot{U}'_{A}$
$\dot{I}'_{C} - \dot{I}'_{A}$
$(a^{2} - 1) (\dot{I}'_{2} + \dot{I}''_{2})$
$\dot{U}''_{C} - \dot{U'}'_{A}$
$\dot{I}''_{C} - \dot{I'}'_{A}$
Двухфазное на землю А, В $\dot{U}'_{A} - \dot{U}'_{B}$
$\dot{I}'_{A} - \dot{I}'_{B}$
$(1 - a^{2}) ((\dot{I}'_{1} - a \dot{I}'_{1 H}) + (\dot{I}''_{1} - a \dot{I}''_{2} - \dot{I}''_{1 H}))$
$\dot{U}''_{A} - \dot{U}''_{B}$
$\dot{I}''_{A} - \dot{I'}'_{B}$
В, С $\dot{U}'_{B} - \dot{U}'_{C}$
$\dot{I}'_{B} - \dot{I}'_{C}$
$(a^{2} - a) ((\dot{I}'_{1} - \dot{I}'_{2} - \dot{I}'_{1 H}) + (\dot{I}''_{1} - \dot{I}''_{2} - \dot{I}''_{1 H}))$
$\dot{U}''_{B} - \dot{U}''_{C}$
$\dot{I'}'_{B} - \dot{I'}'_{C}$
А, С $\dot{U}'_{C} - \dot{U}'_{A}$
$\dot{I}'_{C} - \dot{I}'_{A}$
$(a - 1) ((\dot{I}'_{1} - a^{2} \dot{I}'_{2} - \dot{I}'_{1 H}) + (\dot{I}''_{2} - a^{2} \dot{I}''_{2} - \dot{I}''_{1 H}))$
$\dot{U}''_{C} - \dot{U'}'_{A}$
$\dot{I}''_{C} - \dot{I'}'_{A}$
Трехфазное A, B, C $\dot{U}'_{A} - \dot{U}'_{B}$
$\dot{I}'_{A} - \dot{I}'_{B}$
$(1 - a^{2}) ((\dot{I}'_{1} - \dot{I}'_{1 H}) + (\dot{I}''_{1} - \dot{I}''_{1 H}))$
$\dot{U}''_{A} - \dot{U}''_{B}$
$\dot{I}''_{A} - \dot{I'}'_{B}$
где а=e^j120; а²=e^j240- поворотные коэффициенты;
$\dot{k} = \frac{{\underline{z}}_{Л_п р о д_0} - {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}$
- коэффициент компенсации для одноцепной линии;

в зависимости от вида короткого замыкания тока в месте короткого замыкания ${\overset{\cdot}{I}}_{K},$
${\dot{I}}_{K}$
отличающийся тем, что определяют по таблице в зависимости от вида короткого замыкания значения расчетных токов и напряжений $\dot{U}'$
, $\dot{I}'$
, $\dot{U'}'$
, $\dot{I}''$
, рассчитывают: расстояние от начала линии до места повреждения (для устройства в начале линии) в относительных единицах по выражению $n' = \frac{Im (\frac{\dot{U}'}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}' \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}$
; расстояние от конца линии до места повреждения (для устройства в конце линии) в относительных единицах по выражению $n'' = \frac{Im (\frac{\dot{U}''}{{\dot{I}}_{K}})}{Im (\frac{\dot{I}'' \cdot {\underline{z}}_{Л_п р о д_1}}{{\dot{I}}_{K}})}$
, расстояние от начала линии до места повреждения (для устройства в начале линии) в именованных единицах по выражению l'_K=n'·l; расстояние от конца линии до места повреждения (для устройства в конце линии) в именованных единицах по выражению l"_K=n"·l.