RU2207622C2 - Способ выделения тренда путем размножения оценок его единственной исходной реализации (разоц) и устройство для его осуществления - Google Patents

Abstract

Изобретение относится к области вычислительной техники и может быть использовано в системах управления. Техническим результатом является упрощение способа. Способ заключается в том, что исходную реализацию нестационарного случайного процесса, представляющую сумму полезного сигнала и шума, предварительно разбивают на интервалы с помощью генератора случайных чисел, распределенных по равномерному закону, после чего по методу среднего арифметического усредняют полученные оценки тренда. 9 ил.

Description

Предлагаемое изобретение относится к информационно-измерительным устройствам и может быть использовано в вычислительной технике и т.п.

Пусть наблюдаемым временным рядом является последовательность y₁, y₂,... , y_n результатов измерений. Мы будем понимать эту запись следующим образом. Имеется последовательность значений измерений, представляющих собой наблюдение некоторой переменной в n равноотстоящих моментов времени t₁, t₂,..., t_n. Рассматриваемая модель временного ряда представляет собой сумму некоторой систематической составляющей (детерминированная составляющая, полезный сигнал, тренд) S(t) и случайной составляющей (шум, погрешности измерений и др.) u(t):
y(t)=S(t)+u(t).

Относительно случайной составляющей будем предполагать также, что Мu_t=0, Du_t = σ², и, кроме того, ее значения в разные моменты времени некоррелированы (т.е. соv(u_t,u_s)=0, t≠S), хотя эти условия не являются существенными.

Основная решаемая задача - выделение полезного сигнала (тренда) в условиях недостаточной априорной информации о статистических характеристиках аддитивного шума и функции полезного сигнала (тренда) при наличии единственной реализации измеряемого процесса. Априорно предполагается известным, что исходная функция полезного сигнала является гладкой по Андерсону ([1], с. 61), т.е. исходная функция на некоторых не слишком малых интервалах времени может быть достаточно точно аппроксимирована полиномом не выше второй степени. Подобная задача может возникать: 1) в работе приемопередающих устройств дальней или космической связи; 2) в радиотехнике при оценке помехоустойчивости схем (алгоритмов) обработки сигналов в моделируемых системах; 3) в экономических расчетах при выделении основной тенденции развития каких-либо показателей и удалении результатов воздействия случайных факторов; 4) в метеорологии при измерении различных характеристик состояния атмосферы и т.д. В тех случаях, когда тренд имеет вполне определенную структуру (т.е. функция S(t) принадлежит известному классу функций) и определяется конечным числом параметров, используются параметрические методы оценивания этих параметров (сюда входят методы регрессионного анализа, основу которых составляет классическая теория наименьших квадратов). В тех же случаях, когда отсутствует информация о функции полезного сигнала, для оценивания тренда используются непараметрические методы, такие как сглаживание. Известно, что наилучший способ сглаживания - усреднение по ансамблю (семейству) реализации у_j(t) (или y_jt) исходного процесса ([2], с.35 и 36). Однако на практике, как правило, мы располагаем лишь единственной реализацией измеряемого процесса. В этом случае целесообразно пользоваться способами сглаживания (фильтрации), которые "работают" с этой единственной реализацией, либо способами, позволяющими "размножать" имеющуюся реализацию изучаемого процесса.

Для сглаживания сигнала (подавления шума, выделения тренда) часто используют линейные фильтры. Если известен сигнал (реализация исходного процесса) {y_k}_k=1 ⁿ, то линейный фильтр - это преобразование свертки вида ([1], с.434)

Сигнал { z_m} получается в этом случае "локальным усреднением" сигнала { y_k} с помощью набора "весов" h={h_k}. Линейный фильтр реализован в методах скользящего среднего (простого и взвешенного) и экспоненциального сглаживания.

Известен способ скользящего среднего ([3], с. 154, 170). Это один из самых простых методов механического сглаживания временных рядов. Для применения этого метода достаточно одной реализации y₁, y₂,..., y_n исходного процесса.

Способ скользящего среднего предполагает запоминание входной реализации y₁, y₂,..., y_n случайного процесса, определение длины m отрезка ряда y₁, y₂, . . . , y_n (или ширины "скользящего окна"), для которого будет производиться вычисление среднего арифметического, вычисление среднего арифметического

значений y₁, y₂, . . ., y_m, замену центрального из значений y₁, y₂,..., y_m найденным средним

, сдвиг "скользящего окна" на одно значение вправо (т.е. выбор вместо отрезка y_k, y_k+1,..., y_k+m-1 ряда другого отрезка y_k+1, y_k+2,.. . , y_k+m), снова вычисление среднего арифметического выбранных значений ряда и так до тех пор, пока не будет достигнут правый конец ряда.

Сначала для временного ряда определяется интервал сглаживания m, т.е. натуральное число m<n. Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности больше; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным. Для первых m значений временного ряда вычисляется их среднее арифметическое значение; это будет сглаженное значение временного ряда, находящееся в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на одно значение вправо, повторяется вычисление среднего арифметического и т.д. По этой причине этот способ называют методом скользящего среднего, т.к. при выполнении процедуры происходит скольжение окном шириной 2p+1 по всему ряду от начала до конца. Ширину окна обычно берут нечетной, т.к. теоретическое значение рассчитывается для центрального значения. Отсюда получаем формулу для вычисления сглаженных значений временного ряда:

где p=(m-1)/2 (m - нечетное число).

В результате такой процедуры получаются n-m+1 сглаженных значений ряда. Среднее квадратичное отклонение σ_m сглаженного ряда равно

где через σ обозначено среднее квадратичное отклонение исходных членов ряда. Поэтому чем больше интервал сглаживания, тем сильнее усреднение данных и менее изменчива выделяемая тенденция. Чаще всего сглаживание производят по трем, пяти и семи членам исходного ряда. При этом следует учитывать следующие особенности скользящего среднего: если рассмотреть ряд с периодическими колебаниями постоянной длины, то при сглаживании на основе скользящего среднего с интервалом сглаживания, равным или кратным периоду, колебания полностью устраняться. Нередко сглаживание на основе скользящего среднего столь сильно преобразует ряд, что выделенная тенденция проявляется лишь в самых общих чертах, а более мелкие, но важные для анализа детали (волны, изгибы и т. д. ) исчезают. После сглаживания мелкие волны могут иногда поменять направление на противоположное - на месте "пиков" появляются "ямы" и наоборот. Все это требует осторожности в применении простого скользящего среднего и заставляет искать более тонкие методы выделения тренда.

Признаки способа-аналога, совпадающие с признаками заявляемого технического решения, следующие: дискретизация сигнала по времени, запоминание цифрового сигнала, выделение временных отрезков, нахождение среднего арифметического значений сигнала, попавших в выделенные отрезки времени, замена исходного временного ряда сглаженным.

Недостатки известного способа:
- первые p и последние p значения ряда теряются (не сглаживаются); этот недостаток особенно заметно сказывается в случае, когда длина ряда невелика или если необходимо провести экстраполяцию за пределы рассматриваемого временного интервала;
- способ недостаточно эффективен, поскольку не учитывает мелкие детали тренда;
- этот способ желательно применять для временных рядов, имеющих линейную тенденцию;
- этот способ вызывает автокорреляцию остатков, даже если она отсутствовала в исходном ряду, т.е. в сглаженном временном ряде возникает взаимозависимость соседних значений ряда (эффект Слуцкого-Юла).

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключаются в следующем:
- если ширина окна сглаживания равна 2p+1, то первые p и последние p значения ряда не подвергаются обработке;
- поскольку центральное значение окна (отрезка) сглаживания вычисляется как среднее арифметическое соседних, то новые значения временного ряда становятся зависимыми;
- замена центрального значения окна (отрезка) сглаживания средним арифметическим соседних значений будет заметной (существенным) лишь в том случае, когда центральное значение существенно отклоняется от среднего, и практически не скажется на результате, когда центральное значение колеблется около среднего значения.

Структурная схема устройства, реализующего рассмотренный способ-аналог, содержит генератор тактовых импульсов, коммутатор, блок управления, первый и второй регистры, сумматор, выход которого подключен к информационному входу первого регистра, выход которого соединен с первым информационным входом коммутатора, второй выход которого является входом устройства [8].

Этот вариант метода называется способом простого скользящего среднего. Способ взвешенного скользящего среднего отличается от предыдущего способа сглаживания тем, что значения временного ряда, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами ([3], с. 155). Здесь для вычисления сглаженных значений временного ряда

применяется формула взвешенного среднего арифметического:

причем веса ρ_k определяются с помощью метода наименьших квадратов. Эти веса рассчитываются для различных степеней аппроксимирующего полинома и различных интервалов сглаживания. Так, для полиномов второго и третьего порядков числовая последовательность весов при интервале сглаживания m=5 имеет вид {-3; 12; 17, 12; -3}, а при m=7 имеет вид {-2; 3; 6; 7; 6; 3; -2}.

Для взвешенного скользящего среднего недостатком по-прежнему является невозможность сгладить значения временного ряда на концах. Кроме того, применение этого способа без отрицательных весов вызывает автокорреляцию остатков, т.е. имеет место эффект Слуцкого-Юла.

В способе скользящего среднего могут быть использованы как среднее арифметическое (простое и с весами), так и медиана. Такой способ сглаживания называется медианным сглаживанием ([4], с. 56). Для применения этого способа достаточно одной реализации y₁, y₂, ..., y_n исходного процесса. Основное достоинство медианного сглаживания - устойчивость к выбросам. В основе способа лежит вычисление скользящей медианы.

Способ медианного сглаживания предполагает запоминание входной реализации y₁, y₂,..., y_n случайного процесса, определение длины m отрезка ряда y₁, y₂, . .., y_n (или ширины "скользящего окна"), для которого будет производиться вычисление медианы, ранжирование (упорядочивание по возрастанию) выбранного отрезка ряда, определение медианы

(центрального члена) ранжированного отрезка временного ряда, замену центрального (до ранжирования) из значений выбранного отрезка y₁, y₂,..., y_m найденной медианой

, сдвиг "скользящего окна" на одно значение вправо (т.е. выбор вместо отрезка y_k, y_k+1,..., y_k+m-1 ряда другого отрезка y_k+1, y_k+2,..., y_k+m) снова вычисление медианы на новом отрезке временного ряда и так до тех пор, пока не будет достигнут правый конец ряда.

Сначала для временного ряда определяется интервал сглаживания, т.е. "скользящее окно", протяженностью m отсчетов, где m<n. Количество отсчетов рекомендуется брать нечетным (m=2р+1), хотя медианное сглаживание можно проводить и при четной ширине "окна". Для первых m значений временного ряда вычисляется их медиана; это будет сглаженное значение временного ряда, находящееся в середине интервала сглаживания. При этом заметим, что медиана ряда во временном интервале определяется как центральный член вариационного ряда - последовательности значений ряда, входящих в этот временной интервал, упорядоченной по возрастанию, а именно операция медианной фильтрации последовательности значений сигнала характеризуется соотношением

где фиксированное значение p=1, 2,... определяет ширину "окна". Затем интервал сглаживания сдвигается на одно значение вправо, повторяется вычисление медианы и снова центральное значение интервала сглаживания заменяется вычисленной медианой. Таким образом, для того, чтобы найти значение скользящей медианы в точке с порядковым номером j, вычисляется медиана значений ряда во временном интервале [j-p, j+р].

Признаки способа-аналога, совпадающие с признаками заявляемого технического решения, следующие: дискретизация сигнала по времени, запоминание цифрового сигнала, выделение временных отрезков, замена исходного временного ряда сглаженным
Недостатки известного способа:
- первые р и последние р значения ряда теряются (не сглаживаются);
- вследствие нелинейности нельзя строго разграничить влияние медианной фильтрации на сигнал и шум (при наличии свойства линейности такая задача решается сравнительно просто);
- медианное сглаживание можно рассматривать как эффективный метод предварительной обработки временного ряда (сигнала) в условиях импульсных помех, но при отсутствии явных выбросов этот метод приводит к более "зубчатым" кривым (чем сглаживание скользящим средним),
- медианное сглаживание не позволяет использовать веса, т.е. адаптивные возможности у этого метода отсутствуют.

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключаются в следующем:
- если ширина окна сглаживания равна 2p+1, то первые p и последние p значения ряда не подвергаются обработке;
- при медианной фильтрации не выполняется свойство аддитивности (а значит, медианная фильтрация не обладает свойством линейности): med{ y_j ⁽¹⁾+у_j ⁽²⁾}≠mеd{у_j ⁽¹⁾}+med{y_j ⁽²⁾};
- медианный фильтр сохраняет монотонно изменяющиеся участки сигнала (и поэтому при малой ширине "скользящего окна" сглаживание недостаточно эффективно).

Структурная схема устройства, реализующего рассмотренный способ-аналог, содержит генератор тактовых импульсов, коммутатор, блок управления, регистр хранения, блок ранжирования, блок выбора среднего значения, выходной регистр, где хранится сглаженный ряд исходной реализации.

Известен способ экспоненциального сглаживания временных рядов ([5], с. 262). Его особенность заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного значения используются только предшествующие значения исходного ряда, взятые с определенным "весом", причем "вес" измерения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение ряда. Для применения этого способа достаточно одной реализации y₁, y₂,.. ., y_n исходного процесса.

Способ экспоненциального сглаживания предполагает запоминание входной реализации y₁, y₂,..., y_n случайного процесса, выбор параметра сглаживания α, характеризующего "вес" текущего (самого нового) наблюдения (0<α<1), выбор величины Q₀, характеризующей начальные условия, вычисление сглаженных значений временного ряда по рекуррентным формулам

(где k= 1, 2,..., n), замену исходных значений y₁, y₂,...y_n временного ряда сглаженными значениями Q₁, Q₂,...,Q_n.

Сначала при применении экспоненциального сглаживания для временного ряда определяется начальное значение Q₀ сглаженного ряда и параметр сглаживания α. В зависимости от выбора параметра α (в частности, если α близко к нулю) начальное значение Q₀ сглаженного ряда может оказать существенное воздействие на результат обработки временного ряда. В практических рекомендациях по применению экспоненциального сглаживания ([3], с. 156) предлагается брать в качестве начального значения Q₀ либо первое значение ряда, либо среднее арифметическое нескольких первых членов ряда, например Q₀= (y₁+y₂+y₃)/3. С другой стороны, влияние выбора уменьшается с увеличением длины ряда и становится несущественным при большом числе измерений (наблюдений). После выбора Q₀ и α вычисляются сглаженные значения временного ряда, которыми заменяются исходные значения:
Q₁=αy₁+(1-α)Q₀,
Q₂=αy₂+(1-α)Q₁=αy₂+α(1-α)y₁+(1-α)²Q₀,
.................................................. ...

Признаки способа-аналога, совпадающие с признаками заявляемого технического решения, следующие: дискретизация сигнала по времени, запоминание цифрового сигнала, представление значений сглаженного ряда в виде многочлена от значений исходного ряда, замена исходного временного ряда сглаженным.

Недостатками известного способа являются:
- неопределенность выбора параметра сглаживания α; в отдельных случаях предлагается (необоснованно) определять величину α исходя из длины сглаживаемого ряда: α= 2/(n+1) ([3] , с. 156); на практике параметр сглаживания часто отыскивают с помощью "сетки", т.е. возможные значения параметра разбиваются "сеткой" с определенным шагом, например рассматривается сетка значений от α=0,1 до α=0,9 с шагом 0,1, а затем выбирается α, для которого сумма квадратов остатков является минимальной;
- неопределенность выбора начального значения Q₀, что часто приводит к необходимости многократного повторного применения способа экспоненциального сглаживания при другом выборе α и Q₀.

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключаются в следующем: способ экспоненциального сглаживания является адаптивным способом фильтрации временных рядов (сигналов), но не является "самонастраивающимся" способом, поскольку выбор параметров α и Q₀ осуществляется субъективно и зависит от опыта и практических навыков исследователя.

Структурная схема устройства, реализующего рассмотренный способ-аналог, содержит генератор тактовых импульсов, коммутатор, блок управления, регистр хранения, сумматор, блок умножения, выходной регистр хранения сглаженного ряда исходной реализации.

В условиях, когда имеется единственная реализация исходного процесса, целесообразно использовать способы, позволяющие "размножать" имеющуюся реализацию случайного процесса. В статистическом анализе известен способ бутстрепа ([6] , с.342), предназначенный для "размножения" выборок, т.е. для моделирования новых выборок на основании имеющейся выборки. Этот способ применяют также для увеличения объема малых выборок. Суть этого способа состоит в следующем. Пусть имеются n результатов измерения случайной величины Х - исходная выборка

. Определяем заранее количество k моделируемых выборок Далее, по классической схеме случайной выборки (с возвращением) получаем новый n-мерный вектор

, j=1, 2,..., k,
где каждая компонента вектора

случайным образом выбирается из элементов x₁, x₂,..., x_n. Иными словами, x_i ^(j)=х_l, причем l есть случайное целое число из диапазона 1÷n.

Недостаток бутстрепа состоит в том, что этот способ предназначен для моделирования новых выборок, а не временных рядов. Для последних характерной особенностью является упорядоченность наблюдений (измерений) во времени, а бутстреп нарушает эту упорядоченность. Изменение порядка элементов временного ряда приведет к изменению функции полезного сигнала.

Из известных способов выделения тренда наиболее близким по технической сущности к заявляемому является способ усреднения по ансамблю реализаций ([7] , с. 22) Рассмотрим этот способ в качестве прототипа. Пусть имеется N реализаций исходного процесса. Каждая реализация представляет собой временной ряд результатов наблюдений (измерений) процесса y(t), полученных в n равноотстоящих моментов времени t₁, t₂,..., t_n. Эти результаты наблюдений можно представить в виде матрицы реализаций:

где y_j1, y_j2,..., y_jn - j-я реализация исходного процесса, представляющая собой сумму функции полезного сигнала S(t) и шумовой составляющей u(t).

Способ усреднения по ансамблю реализаций предполагает запоминание N входных реализаций y_j1, y_j2,..., y_jn (j=1, 2,..., N), полученных в n равноотстоящих моментов времени, вычисление среднего арифметического значений этих реализаций в каждый момент времени, замену значений исходных реализаций случайного процесса полученной усредненной реализацией.

При применении способа-прототипа вычисляются средние арифметические по столбцам матрицы реализации (1):

В результате получаем сглаженный временной ряд

Признаки способа-прототипа, совпадающие с признаками заявляемого технического решения, следующие: дискретизация сигнала по времени, запоминание цифрового сигнала, нахождение среднего арифметического, замена исходного временного ряда сглаженным.

Недостатки известного способа-прототипа:
- для применения способа-прототипа необходимо иметь несколько реализаций,
- способ недостаточно эффективен.

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключаются в следующем: особенности способа-прототипа не позволяют обрабатывать одну реализацию исходного процесса, а также не позволяют применить его к уже сглаженным значениям (в отличие от способов, "работающих" с единственной реализацией), результат обработки нескольких реализаций существенно зависит от количества реализации, статистических характеристик шумовой составляющей, от отношения сигнал/шум.

Структурная схема устройства, реализующего рассмотренный способ-прототип, содержит для n реализаций n буферных блоков, входы которых являются информационными входами устройства, а выходы подключены через коммутаторы ко входам блоков хранения результатов измерений, выходы которых подсоединены ко входам арифметического устройства также через коммутаторы, чей выход подключен ко входу регистра хранения тренда, а выход регистра является информационным выходом устройства.

Предлагаемый способ исходит из наличия единственной дискретной реализации исследуемого процесса y₁, y₂,..., y_n, где y_k=y(t_k), k=1, 2,..., n, представляющего собой сумму полезного сигнала и шума, т.е. y(t)=S(t)+u(t). Априорная информация об исследуемом процессе заключается в том, что на некоторых подынтервалах Δ_j⊂[t₁,t_n] полезный сигнал достаточно точно описывается полиномом второй степени:
S_j(t)=a_j+b_jt+c_jt².

Рассматриваемый способ предполагает: 1) запоминание входной реализации y₁, y₂,..., y_n; 2) разбиение временного отрезка [t₁,t_n] (длительности реализации) на случайные промежутки, длины которых подчинены равномерному закону распределения; 3) проверку того, что промежутки разбиения включают не менее l значений исходной реализации, где l>3 (если это условие не выполняется, то генерирование следующего разбиения); 4) нахождение для каждого промежутка разбиения оценок коэффициентов аппроксимирующего полинома a+bt+ct² методом наименьших квадратов; 4) повторение процедур, описанных в пунктах 2-4 N раз; 5) нахождение сглаживающей (аппроксимирующей) функции как среднего арифметического "кусочно-квадратичных" аппроксимирующих функций, полученных для каждого разбиения временного отрезка [t₁, t_n].

Сначала с помощью генератора (датчика) случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0; 1), получаем m-1 чисел
ξ $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{1}}$ , ξ $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{2}}$ , ..., ξ $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{m-1}}$ ∈(0,1).

Затем по формуле y=t₁+(t_n-t₁)x, осуществляющей отображение промежутка (0; 1) на промежуток (t₁; t_n), получаем соответствующее разбиение числами α $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{1}}$ , α $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{2}}$ , ..., α $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{m-1}}$ промежутка (t₁; t_n) на m частей, где
α $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{i}}$ = t₁+(t_n-t₁)ξ $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{i}}$ , i = 1,2, ..., m-1.
Обозначим промежутки разбиения

Проверяем выполнение условия: каждый промежуток Δ $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{i}}$ (i=1, 2, ..., m) должен содержать не менее l значений из набора {y₁, y₂,..., y_n}. Если это условие не выполнено, то отбрасываем числа ξ $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{1,}}$ ξ $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{2}}$ , ..., ξ $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(1)}}{\text{m-1}}$ и генерируем следующие. Наличие этого условия означает, что, по крайней мере, lm≤n. Далее, повторяем N раз процедуру разбиения отрезка [t₁; t_n] на m промежутков случайной длины (с проверкой вышеуказанного условия). В результате получаем набор разбиений временного отрезка [t₁; t_n]:

Для каждого промежутка Δ $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(j)}}{\text{i}}$ методом наименьших квадратов находим оценки

коэффициентов аппроксимирующего полинома a+bt+ct².

Результатом действия описанного алгоритма ("размножения" оценок

коэффициентов этого полинома) будет набор определенных на отрезке [t₁; t_n] сглаживающих функций

(j=1, 2,..., N), каждая из которых является "кусочно-квадратичной":

Находим аппроксимирующую функцию

как среднее арифметическое функций

(по всем N разбиениям отрезка [t₁; t_n]:

Оценку среднего квадратичного отклонения аппроксимирующей функции находим по формуле

где S(t) - исходная функция полезного сигнала.

Сущность предлагаемого способа и устройства поясняется чертежом.

Устройство для выделения тренда методом размножения оценок его единственной исходной дискретной реализации (РАЗОЦ) содержит (фиг.9) буферный блок 1, вход которого является информационным входом устройства, а выход подключен к информационным входам блоков хранения результатов измерений 2.n, к управляющим входам которых через коммутаторы К, на управляющие входы которых подаются последовательно управляющие сигналы с блока синхронизации 12, подключен информационный выход блока разбиения исходной реализации, который содержит генератор случайных чисел 8, распределенных по равномерному закону, выход которого подключен ко входу блока устранения связанных значений 9, выход которого подсоединен ко входу блока ранжирования 10, к выходу которого подключен регистр хранения выборки случайных чисел 11, чей выход является информационным выходом блока разбиения; к выходам блоков хранения 2.n подключены входы блоков аппроксимации 4.n, выходы которых подключены ко входам регистров хранения оценок исходной функции 5.n, выходы которых подключены ко входам арифметического суммирующего устройства 6, выход которого подключен ко входу регистра хранения тренда 7, чей выход является информационным выходом устройства. Синхронность работы устройства обеспечивается генератором тактовых импульсов 12.

Устройство для выделения тренда работает следующим образом. Исходная дескретная реализация результатов измерений в каждом из n каналов обработки исходной информации разбивается на m независимых интервалов случайной длины, которые подчиняются равномерному закону. На каждом из m интервалов производится аппроксимация исходной реализации по методу наименьших квадратов в пределах данного интервала. Таким образом, определяются n оценок исходной реализации. Полученные оценки по методу среднего арифметического суммируются в каждый момент времени дискретизации исходной дискренной реализации результатов измерений, и окончательная оценка тренда поступает на выход устройства через блок хранения оценки тренда.

Такой метод выделения тренда реализуется следующим образом. В блоки хранения результатов измерений 2.n через буферный блок 1 записывается исходная дискретная реализация результатов измерений. Блок разбиения 3 формирует ранжированные последовательности случайных чисел, распределенных по равномерному закону с устраненными "связками", которые поступают последовательно через коммутатор К, при наличии управляющих сигналов с выхода блока синхронизации 12, на каждый из блоков 2.n. На полученных интервалах в блоках 4.n производится аппроксимация исходной реализации по методу наименьших квадратов результатов измерений. Полученные оценки исходной дискретной функции полезного сигнала (тренда) последовательно записываются в регистр хранения оценок функции полезного сигнала (тренда) 5.n. После того, как вся реализация результатов измерений блока хранения 2.n будет обработана, в каждом из регистров хранения 5.n будут записаны независимые оценки исходной дискретной функции полезного сигнала (тренда). Содержимое регистров блока хранения оценок 5. n последовательно подается на входы арифметического суммирующего устройства 6, с выхода которого окончательная оценка функции полезного сигнала (тренда) записывается в регистр хранения 7. Полученная оценка функции сигнала (тренда) с выхода регистра хранения 7 выводится для дальнейшего анализа.

Технический результат - уменьшение погрешности оценки функции полезного сигнала (тренда) при ограниченном объеме априорной информации о статистических характеристиках аддитивного шума и функции полезного сигнала (тренда), которая достигается с помощью параллельной обработки единственной исходной реализации результатов измерении, "размножения" оценок аппроксимирующих полиномов и последующего усреднения полученных оценок функции полезного сигнала (тренда).

Технические особенности применения предлагаемого способа на этапе "размножения" оценок коэффициентов аппроксимирующих полиномов состоят в следующем. Пусть y_ij - значения временного ряда, попавшие в промежуток разбиения Δ $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(j)}}{\text{i}}$ и отвечающие отсчетам времени t_ij. Тогда оценки

коэффициентов аппроксимирующего полинома
S_ij(t)=a_i ^(j)+b_i ^(j)t+c_i ^(j)t²
определяются из условия минимизации суммы квадратов отклонений элементов ряда y_ij, попавших в промежуток разбиения Δ $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{(j)}}{\text{i}}$ , от значений полинома S_ij(t) в соответствующих точках, т.е. из условия
∑(y_ij-S_ij(t_ij))²→min,
где суммирование распространяется на все значения у_ij, попавшие в указанный промежуток разбиения. Для определения оценок

получаем систему линейных уравнений

Вводя обозначения
A = ∑t $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{4}}{\text{ij}}$ , B = ∑t $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{3}}{\text{ij}}$ , C = ∑t $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{2}}{\text{ij}}$ , D = ∑t_ij,
E = ∑t $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{2}}{\text{ij}}$ y_ij, E = ∑t_ijy_ij, G = ∑y_ij,
перепишем систему (2) (относительно неизвестных a, b, с) в виде

Решая систему (3), получим

где К=АD²-АnС+В²n-2BCD+C³.

Посредством имитационного моделирования было установлено, что предлагаемый способ обладает следующими преимуществами:
- Средняя квадратичная погрешность оценки функции полезного сигнала (тренда) значительно меньше погрешностей оценки при использовании других ранее рассмотренных способов при ограниченном объеме априорной информации об исследуемом процессе.

- Средняя квадратичная погрешность оценки функции полезного сигнала (тренда) предлагаемого способа имеет явную тенденцию к уменьшению при увеличении числа реализаций оценок исходного процесса - при размножении оценок исходной реализации.

- Оценка функции полезного сигнала (тренда) независимо от вида исходной функции полезного сигнала (тренда) и статистических характеристик аддитивного шума достаточно полно отображает основные закономерности изменения полезного сигнала (тренда).

- Анализ остатков (т.е. разность между исходной реализацией и оценкой функции полезного сигнала) показывает отсутствие эффекта Слуцкого-Юла, т.е. остатки некоррелированы.

На фиг.1 приведена исходная функция измеряемого процесса, представляющая собою аддитивную смесь гармонического сигнала (тренда) и шума, распределенного по закону Гаусса. Как видно из исследуемой модели, исходная функция полезного сигнала (тренда) существенно отличается от функции, описывающейся полиномом второй степени. Несмотря на это полученная оценка, приведенная на фиг.2, практически полностью повторяет исходную функцию. Обработка проводилась при следующих исходных данных: число разбиений m временного отрезка равно 5, а число повторений N = 10.

На фиг.3 приведен сложный сигнал, состоящий из параболы, синусоиды, постоянной и экспоненты; на фиг.4 показана шумовая составляющая, а на фиг.5 - сигнал с аддитивным шумом. В результате обработки сигнала (фиг.6) заявляемым методом (РАЗОЦ) выделен полезный сигнал (тренд), сравнение которого с исходным сигналом приведено на фиг.7. График остатков приведен на фиг.8.

Литература
1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. - 765 с.

2. Переверткин С.М. и др. Бортовая телеметрическая аппаратура космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1977. - 208 с.

3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов./ Под ред. В.В Федосеева - М.: ЮНИТИ, 1999. - 399 с.

4. Васильев В.Н., Гуров И.П. Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометрическим системам. - СПб.: БХВ - Санкт-Петербург, 1998. - 240 с.

5. Колемаев В. А. , Калинина В.П. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ИНФРА-М, 1997. - 302 с.

6. Дубров А. М., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 352 с.

7. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. - М.: Мир, 1989. - 540 с.

8. Авт.св. 1193688, МПК 4 G 06 F 15/36.

Claims (1)

1. Способ выделения тренда методом размножения оценок его единственной дискретной исходной реализации, заключающийся в том, что исходная реализация нестационарного случайного процесса аппроксимируется по методу наименьших квадратов, отличающийся тем, что исходную реализацию нестационарного случайного процесса, представляющую сумму полезного сигнала и шума, предварительно разбивают на интервалы с помощью генератора случайных чисел, распределенных по равномерному закону, последующую упомянутую аппроксимацию исходной реализации нестационарного случайного процесса производят на каждом из упомянутых интервалов, разбиение на интервалы повторяют заданное число раз, затем последовательно в каждом промежутке разбиения исходной дискретной реализации нестационарного случайного процесса получают оценки тренда полезного сигнала, после чего по методу среднего арифметического усредняют полученные оценки тренда.

Images