RU2012132328A - Способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате представления с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах - Google Patents

Abstract

Способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате представления с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах, заключающийся в том, что:универсальный многоядерный вычислитель содержит g k-разрядных вычислительных ядер, каждое из которых обеспечивает выполнение системы из f операций, в состав которых входят операции алгебраического умножения и алгебраического сложения над числами, представленными в позиционных целочисленных форматах данных;при организации выполнения операций умножения каждое число, множитель и множимое, представляется в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой в виде (1+k+q·n) - элементного вектора, где:первый слева разряд s является старшим разрядом в формате числа и отводится под значение знака числа, причем если s=0, то число считается положительным, а если s=1, то число считается отрицательным;следующие за первым разрядом s числа k разрядов отводятся под хранение позиционного порядка числа, представляющего собой целое двоичное число λ со знаком s, изменяющееся для конечных чисел с плавающей точкой в диапазоне λ≤λ≤λи получаемое в результате преобразования числа из позиционного формата с плавающей точкой посредством вычисления выражения λ=е-t+1, где е определяет величину числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой в выражении (-1·М·2) при 0≤М<2, являющейся рациональной t-разрядной мантиссой числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой, λ=2-2, λ=2-2, при s=0 порядок λ считается положительным, а при s=1 порядок λ считается отрицательным;следующие за (k+1) разрядами q·n разрядов, причем q≤k, отводятся для представления

Claims (1)

1. Способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате представления с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах, заключающийся в том, что:

   универсальный многоядерный вычислитель содержит g k-разрядных вычислительных ядер, каждое из которых обеспечивает выполнение системы из f операций, в состав которых входят операции алгебраического умножения и алгебраического сложения над числами, представленными в позиционных целочисленных форматах данных;

   при организации выполнения операций умножения каждое число, множитель и множимое, представляется в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой в виде (1+k+q·n) - элементного вектора, где:

   первый слева разряд s является старшим разрядом в формате числа и отводится под значение знака числа, причем если s=0, то число считается положительным, а если s=1, то число считается отрицательным;

   следующие за первым разрядом s числа k разрядов отводятся под хранение позиционного порядка числа, представляющего собой целое двоичное число λ со знаком s_λ, изменяющееся для конечных чисел с плавающей точкой в диапазоне λ_min≤λ≤λ_max и получаемое в результате преобразования числа из позиционного формата с плавающей точкой посредством вычисления выражения λ=е-t+1, где е определяет величину числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой в выражении (-1^s·М·2^е) при 0≤М<2, являющейся рациональной t-разрядной мантиссой числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой, λ_min=2-2^k-1, λ_max=2^k-1-2, при s_λ=0 порядок λ считается положительным, а при s_λ=1 порядок λ считается отрицательным;

   следующие за (k+1) разрядами q·n разрядов, причем q≤k, отводятся для представления мантиссы числа $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$

   

   в модулярно-позиционном формате, причем данная мантисса представляется в системе остаточных классов с n основаниями р₁, р₂, …, p_n, n - количество знакопозиций мантиссы, q-разрядность каждой знакопозиции; причем, каждая i-ая знакопозиция, где 1≤i≤n, представляется целым неотрицательным числом m_i в двоичной позиционной системе счисления; значение m_i каждой i-ой знакопозиции определяется по выражению $$m_i={\left|M\text{'}\right|}_{p_i}$$

   

   , где М' - целое неотрицательное двоичное число, определяемое выражением М'=М·2^t-1, М - рациональная t-разрядная мантисса числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой, $${\left|M\text{'}\right|}_{p_i}$$

   

   - операция получения остатка от деления М' на i-oe основание p_i;

   диапазон изменения модулярной мантиссы $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$

   

   в позиционной системе счисления определяется интервалом $$\left[\mathrm{0,}P={\displaystyle \prod _{i=1}^n{p}_i}\right)$$

   

   ;

   значения порядка λ и мантиссы $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$

   

   положительных конечных чисел при s=0 в модулярно-позиционном формате [λ,s,〈m₁,m₂,…,m_n〉] находятся соответственно в следующих диапазонах: 2-2^k-1≤λ≤2^k-1-2, 〈0₁,0₂,…,0_n〉 ≤ $$\tilde{M}$$

   

   ≤ 〈(p₁-1),(p₂-1),…,(p_n-1)〉;

   значения порядка λ и мантиссы $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$

   

   отрицательных конечных чисел при s=1 в модулярно-позиционном формате находятся соответственно в следующих диапазонах: 2-2^k-1≤λ≤2^k-1-2, 〈0₁,0₂,…,0_n〉 ≤ $$\tilde{M}$$

   

   ≤ 〈(p₁-1),(p₂-1),…,(p_n-1)〉;

   значение положительной бесконечности представляется в модулярно-позиционном формате следующим образом: s=0, λ=λ_max+1=2^k-1-1, $$\tilde{M}=\langle 0_1{\mathrm{,0}}_2,\dots {\mathrm{,0}}_n\rangle$$

   

   ;

   значение отрицательной бесконечности представляется в модулярно-позиционном формате следующим образом: s=1, λ=λ_max+1=2^k-1-1, $$\tilde{M}=\langle 0_1{\mathrm{,0}}_2,\dots {\mathrm{,0}}_n\rangle$$

   

   ;

   для положительных нечисловых величин (NaN) в модулярно-позиционном формате [λ,s,〈m₁,m₂,…,m_n〉], при s=0, значение позиционного порядка λ определяется выражением λ=λ_max+1=2^k-1-1 а значения мантиссы $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$

   

   находятся в диапазоне 〈1₁,1₂,…,1_n〉 ≤ $$\tilde{M}$$

   

   ≤ 〈(p₁-1),(p₂-1),…,(p_n-1)〉;

   для отрицательных нечисловых величин (NaN) в модулярно-позиционном формате, при s=1, значение позиционного порядка λ определяется выражением λ=λ_max+1=2^k-1-1, а значения мантиссы $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$

   

   находятся в диапазоне 〈1₁,1₂,…,1_n〉 ≤ $$\tilde{M}$$

   

   ≤ 〈(p₁-1),(p₂-1),…,(p_n-1)〉;

   величины в модулярно-позиционном формате, имеющие значение позиционного порядка λ=λ_min-1=1-2^k-1, при изменении значений модулярной мантиссы в диапазоне 〈1₁,1₂,…,1_n〉 ≤ $$\tilde{M}$$

   

   ≤ 〈(p₁-1),(p₂-1),…,(p_n-1)〉, служат для расширенного кодирования исключительных ситуаций, таких как потеря или переполнение порядка, необходимость округления мантиссы и т.д., которые могут возникнуть в процессе вычислений;

   по сигналу процессора, множитель $$\text{A=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{A}},m_2^A,\dots m_n^A\rangle ,{\lambda }_A,s_A\right]$$

   

   и множимое $$\text{B=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{B}},m_2^B,\dots m_n^B\rangle ,{\lambda }_B,s_B\right]$$

   

   , представленные в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой, загружаются в универсальный k-разрядный процессор, содержащий g вычислительных ядер, следующим образом:

   при условии, что g≥n+1, т.е. если число вычислительных ядер процессора превышает число оснований системы остаточных классов, используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$

   

   〉 и $${\tilde{M}}_B$$

   

   =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$

   

   〉 чисел А и В соответственно, то:

   в первое ядро универсального многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления первых знакопозиций $$m_1^A$$

   

   и $$m_1^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$

   

   〉 и $${\tilde{M}}_B$$

   

   =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$

   

   〉 чисел А и В соответственно, а так же основание системы остаточных классов p₁;

   параллельно с этим, во второе ядро универсального многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления вторых знакопозиций $$m_1^A$$

   

   и $$m_1^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   и $${\tilde{M}}_B$$

   

   чисел А и В соответственно, а так же основание системы остаточных классово p₂; и т.д.

   параллельно с этим, в n-е ядро универсального многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления n-х знакопозиций $$m_1^A$$

   

   и $$m_1^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   и $${\tilde{M}}_B$$

   

   чисел А и В соответственно, а так же основание системы остаточных классово p_n;

   параллельно с этим, в (n+1)-е ядро универсального многоядерного процессора загружают k-разрядные двоичные порядки λ_A и λ_B, а так же знаки s_A и s_B чисел А и В соответственно;

   при условии, что g<n+1, т.е. если число оснований системы остаточных классов используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$

   

   〉 и $${\tilde{M}}_B$$

   

   =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$

   

   〉 чисел А и В соответственно равно числу вычислительных ядер универсального вычислителя, либо превышает его, то:

   q-разрядные двоичные представления первых знакопозиций $$m_1^A$$

   

   и $$m_1^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   и $${\tilde{M}}_B$$

   

   чисел А и В соответственно, а так же основание системы остаточных классов р₁ загружают в первое ядро универсального многоядерного процессора;

   параллельно с этим, q-разрядные двоичные представления вторых знакопозиций $$m_2^A$$

   

   и $$m_2^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   и $${\tilde{M}}_B$$

   

   чисел А и В соответственно, а так же основание системы остаточных классов р₂ загружают во второе ядро универсального многоядерного процессора; и т.д.,

   параллельно с этим, q-разрядные двоичные представления (q-1)-х знакопозиций $$m_{g-1}^A$$

   

   и $$m_{g-1}^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   и $${\tilde{M}}_B$$

   

   чисел А и В соответственно, а так же основание системы остаточных классов p_g-1 загружают в (g-1)-е ядро универсального многоядерного процессора;

   q-разрядные двоичные представления g-ых знакопозиций $$m_g^A$$

   

   и $$m_g^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   и $${\tilde{M}}_B$$

   

   чисел А и В соответственно, а так же основание системы остаточных классово загружают в первое ядро универсального многоядерного процессора;

   q-разрядные двоичные представления (g+1)-х знакопозиций $$m_{g+1}^A$$

   

   и $$m_{g+1}^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   и $${\tilde{M}}_B$$

   

   чисел А и В соответственно, а так же основание системы остаточных классов p_g+1 загружают во второе ядро универсального многоядерного процессора;

   и т.д., пока не будут загружены n-е знакопозиций $$m_n^A$$

   

   и $$m_n^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$

   

   〉 и $${\tilde{M}}_B$$

   

   =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$

   

   〉 чисел A и В соответственно;

   параллельно с этим, k-разрядные двоичные порядки λ_A и λ_B, а так же знаки s_A и s_B чисел А и В соответственно загружают в g-e ядро универсального многоядерного процессора;

   после того, как множитель $$A=\left[\langle m_1^A,m_2^A,\dots ,m_n^A\rangle ,{\lambda }_A,s_A\right]$$

   

   и множимое $$B=\left[\langle m_1^B,m_2^B,\dots ,m_n^B\rangle ,{\lambda }_B,s_B\right]$$

   

   , представленные в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой, загружены в универсальный k-разрядный процессор, содержащий g вычислительных ядер, операция их умножения выполняется следующим образом:

   при условии, что g≥n+1, т.е. если число вычислительных ядер процессора превышает число оснований системы остаточных классов, используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A=\langle m_1^A,m_2^A,\dots ,m_n^A\rangle$$

   

   и $${\tilde{M}}_B=\langle m_1^B,m_2^B,\dots ,m_n^B\rangle$$

   

   чисел А и В соответственно, то:

   в первом вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения $$m_1^C={\left|m_1^A\cdot m_1^B\right|}_{p_{{}_1}}$$

   

   по модулю р₁ q-разрядных двоичных представлений $$m_1^A$$

   

   и $$m_2^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A=\langle m_1^A,m_2^A,\dots ,m_n^A\rangle$$

   

   и $${\tilde{M}}_B=\langle m_1^B,m_2^B,\dots ,m_n^B\rangle$$

   

   чисел А и В соответственно, путем нахождения значения $$m_1^C={\left|m_1^A\cdot m_1^B\right|}_{p_{{}_1}}=m_1^A\cdot m_1^B-\lfloor \frac{m_1^A\cdot m_1^B}{p_1}\rfloor \cdot p_1$$

   

   , где $$\lfloor \frac{m_1^A\cdot m_1^B}{p_1}\rfloor$$

   

   - наибольшее целое, не превышающее $$\frac{m_1^A\cdot m_1^B}{p_1}$$

   

   ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

   параллельно с этим, во втором вычислительном ядре процессора выполняется операция умножения $$m_2^C={\left|m_2^A\cdot m_2^B\right|}_{p_{{}_2}}$$

   

   по модулю р₂ q-разрядных двоичных представлений знакопозиции $$m_1^A$$

   

   и $$m_2^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   и $${\tilde{M}}_B$$

   

   чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

   и т.д.,

   параллельно с этим, в n-м вычислительном ядре процессора выполняется операция умножения $$m_n^C={\left|m_n^A\cdot m_n^B\right|}_{p_n}$$

   

   по модулю p_n q-разрядных двоичных представлений знакопозиции $$m_n^A$$

   

   и $$m_n^B$$

   

   модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   и $${\tilde{M}}_B$$

   

   чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

   параллельно с этим, в (n+1)-м вычислительном ядре процессора выполняется сложение двоичных порядков λ_A и λ_B, а так же сложение по модулю два s_C=|s_A+s_B|₂ знаков s_A и s_B чисел А и В соответственно;

   при условии, что g<n+1, т.е. если число оснований системы остаточных классов используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A=\langle m_1^A,m_2^A,\dots ,m_n^A\rangle$$

   

   и $${\tilde{M}}_B=\langle m_1^B,m_2^B,\dots ,m_n^B\rangle$$

   

   чисел А и В соответственно равно числу вычислительных ядер универсального вычислителя, либо превышает его, и в каждое j-ое вычислительное ядро из первых (g-1) вычислительных ядер процессора загружено w_j знакопозиций $$m_{i\cdot (g-1)+j}^A$$

   

   и $$m_{i\cdot (g-1)+j}^B$$

   

   , i=0,1,…,w₁-1, то:

   в первом вычислительном ядре процессора последовательно выполняются операции умножения $$m_{i\cdot (g-1)+1}^C={\left|m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B\right|}_{p_{{}_i}\cdot (g-1)+1}$$

   

   по модулям p_i·(g-1)+1, i=0,1,…,w₁-1, q-разрядных двоичных представлений всех w₁ загруженных в него знакопозиций $$m_{i\cdot (g-1)+1}^A$$

   

   и $$m_{i\cdot (g-1)+1}^B$$

   

   , i=0,1,…,w₁-1 модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A=\langle m_1^A,m_2^A,\dots ,m_n^A\rangle$$

   

   и $${\tilde{M}}_B=\langle m_1^B,m_2^B,\dots ,m_n^B\rangle$$

   

   чисел A и B соответственно, путем нахождения значений $${\left|m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B\right|}_{p_{{}_i}\cdot (g-1)+1}=m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B-\lfloor \frac{m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B}{p_{i\cdot (g-1)+1}}\rfloor \cdot p_{i\cdot (g-1)+1}$$

   

   , i=0,1,…,w₁-1, где $$\lfloor \frac{m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B}{p_{i\cdot (g-1)+1}}\rfloor$$

   

   - наибольшее целое, не превышающее $$\frac{m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B}{p{i}_{\cdot (g-1)+1}}$$

   

   ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

   параллельно с этим, во втором вычислительном ядре процессора последовательно выполняются операции умножения $$m_{i\cdot (g-1)+2}^C={\left|m_{i\cdot (g-1)+2}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+2}^B\right|}_{p_{{}_i}\cdot (g-1)+2}$$

   

   по модулям p_i·(g-1)+2, i=0,1,…,w₂-1, q-разрядных двоичных представлений всех w₂ загруженных в него знакопозиций $$m_{i\cdot (g-1)+2}^A$$

   

   и $$m_{i\cdot (g-1)+2}^B$$

   

   , i=0,1,…,w₂-1 модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   и $${\tilde{M}}_B$$

   

   чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

   и т.д.,

   параллельно с этим, в (g-1)-м вычислительном ядре процессора последовательно выполняются операции умножения $$m_{(i+1)\cdot (g-1)}^C={\left|m_{(i+1)\cdot (g-1)}^A\cdot m_{(i+1)\cdot (g-1)}^B\right|}_{p_{(i+1)\cdot (g-1)}}$$

   

   по модулям р_(i+1)·(g-1), i=0,1,…, w_g-1-1, q-разрядных двоичных представлений всех w₂ загруженных в него знакопозиций $$m_{(i+1)\cdot (g-1)}^A\text{ и }{m}_{(i+1)\cdot (g-1)}^B$$

   

   , i=0,1,…,w_g-1-1 модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$

   

   и $${\tilde{M}}_B$$

   

   чисел А и B соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

   параллельно с этим, в g-м вычислительном ядре процессора выполняется сложение двоичных порядков λ_A и λ_B, а так же сложение по модулю два s_C=|s_A+s_B|₂ знаков s_A и s_B чисел A и В соответственно;

   в результате выполнения данных операций получается произведение $$\text{C=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{C}},m_2^C,\dots m_n^C\rangle ,{\lambda }_C,s_C\right]$$

   

   чисел $$\text{A=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{A}},m_2^A,\dots m_n^A\rangle ,{\lambda }_A,s_A\right]$$

   

   и $$\text{B=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{B}},m_2^B,\dots m_n^B\rangle ,{\lambda }_B,s_B\right]$$

   

   , представленное в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой.