RU2666285C1 - Способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-логарифмическом формате представления с плавающей точкой на гибридных многоядерных процессорах - Google Patents

Abstract

Изобретение относится к вычислительной технике и предназначено для выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой. Техническим результатом является упрощение выполнения операции умножения. Способ осуществляется на гибридных многоядерных процессорах и содержит процедуру умножения двух чисел в модулярном формате с плавающей точкой, включая контроль переполнения, потери порядка, масштабирования.

Description

Изобретение относится к вычислительной технике и предназначено для выполнения операции умножения чисел, представленных в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой на гибридных многоядерных процессорах.

Известен способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате представления с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014), в котором операция умножения t-разрядных позиционных мантисс сомножителей заменяется n параллельно выполняемыми операциями умножения q-разрядных знакопозиций чисел в системе счисления в остаточных классах. Недостаток данного способа состоит в том, что не определено, каким образом выявляются ситуации переполнения диапазона представления модулярных мантисс при выполнении операции умножения и выполняется процедура масштабирования мантисс, таким образом, способ (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014) может быть использован для выполнения операции умножения не для всех операндов из заявленного диапазона представления.

Наиболее близким к заявленному способу является способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате (Исупов К.С., Мальцев А.Н. Способ представления чисел с плавающей точкой большой разрядности, ориентированный на параллельную обработку //Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2014. Т. 15, №4. С. 631-643), в котором масштабирование мантиссы осуществляется методом, использующим таблицы поправочных коэффициентов с применением интервально-позиционных характеристик. Недостаток данного способа состоит в том, что необходимо хранить таблицы поправочных коэффициентов большого размера, а также использовать вычислительные устройства с плавающей точкой для вычисления интервальной позиционной характеристики.

Техническим результатом применения способа организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-логарифмическом формате представления с плавающей точкой на гибридных многоядерных процессорах является оптимизация выполнения операции умножения в

раз, где q - разрядность знакопозиций чисел в системе счисления в остаточных классах, за счет использования только целочисленных операций при умножении, проверке выхода за границы диапазона, масштабировании модулярных мантисс степенью двойки, при этом не требуется использования операций с плавающей точкой и подстановочных таблиц. Минимальное время выполнения операции умножения предложенным способом равно минимальному времени выполнения операции умножения способом (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014), при этом способ может быть применен для умножения любых операндов из заявленного диапазона представления, в чем заключается универсальность предлагаемого способа.

Описание способа организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-логарифмическом формате представления с плавающей точкой на гибридных многоядерных процессорах: реализация способа осуществляется посредством подачи набора электрических, нейронных либо других сигналов на устройства управления каждого вычислительного ядра многоядерного гибридного процессора, которые, в соответствии с данными сигналами, формируют управляющие команды для операционных устройств соответствующих вычислительных ядер.

В позиционных двоичных форматах с плавающей точкой стандарта IEEE-754 любое вещественное число представляется трехэлементным набором:

где М - рациональная мантисса, е - порядок числа, e_min=2-2^ν-1 и e_{m a x}=2^ν-1-1, S-знак числа.

Величина чисел, записанных в таком формате, выражается формулой -1^S⋅М⋅2^е. Машинными представлениями чисел вида (1) являются (ν+t+1)-разрядные двоичные векторы (Sr_ν-1…r₂r₁d_t…d₂d₁), где разряды с d₁ по d_t отводятся под представление рациональных двоичных мантисс М=d_td_t-1…d₂d₁, разряды с r₁ по r_ν отводятся под представление целочисленных двоичных порядков е, записанных в форме с избытком Е=r_νr_ν-1…r₂r₁=е+e_{m a x}, разряд S выражает знак числа.

Определим целочисленную мантиссу М'=d_td_t-1…d₂d₁ как t-разрядное неотрицательное целое двоичное число, такое, что М=М'⋅2^1-t. Определим перемещенный порядок λ как целое двоичное число со знаком, такое, что λ=е-t+1, где е - ν-разрядный порядок числа, представленного в двоичном формате (1).

Зададим n целочисленных положительных q-разрядных оснований системы остаточных классов p₁,р₂, …, p_n, таких, что ∀i₁, i₂∈{1, 2, …, n), i₁≠i₂:

, q≤k, где

- наибольший общий делитель для

и

, k - размер разрядной сетки процессора.

Целочисленную мантиссу М'=d_td_t-1…d₂d₁ преобразуем в систему остаточных классов с заданными основаниями р₁, p₂, …, p_n, получая тем самым модулярную мантиссу

:

,

где m_i∈[0, р_i-1], i=1, 2, …, n - q-разрядные цифры (модулярные разряды) модулярной мантиссы

, q - разрядность оснований p₁, p₂, …, p_n,

- операция получения остатка от деления М' на i-ое основание p_i.

Определим ранг модулярной мантиссы как значение R, такое, что выполняется условие:

,

где

- мультипликативная инверсия Р_i по модулю рi∈[1, n], n - количество модулей.

R∈[0,n-1] и вычисляется по формуле:

,

где

- наибольшее целое, не превышающее

При условии, что 2^q-1<p_i<2^q, где q - разрядность оснований р₁, р₂, …, р_n, величина

может быть вычислена по формуле

, где w_i - s-разрядные весовые коэффициенты. Тогда величина ранга может быть вычислена по формуле:

.

Определим верхнюю и нижнюю границы величины ранга модулярного числа как

,

,

где

,

, при условии, что 2^q-1<р_i<2^q,

- наибольшее целое, не превышающее

, s - разрядность коэффициентов w_i.

Согласно теоретико-числовой теореме Эйлера мультипликативную инверсию

, соответствующую сравнению

, можно вычислить следующим образом

,

где ϕ(p_i) - функция Эйлера, равная количеству целых чисел в диапазоне [1, р_i], взаимно простых с р_i.

Пример. Вычислим значения мультипликативных инверсий P_i по модулям р_i для системы с основаниями: р₁=11, р₂=13, р₃=15:

; ϕ(11)=10;

;

; ϕ(13)=12;

;

; ϕ(15)=12;

Определим логарифмическую характеристику числа как значение двоичного логарифма от этого числа. Тогда логарифмическая характеристика модуля числа, представленного в формате [М, е, S], вычисляется следующим образом:

log₂(М'⋅2^1-t⋅2^е)=log₂(М')+е-t+1=log₂(М')+λ.

Определим интервальную логарифмическую характеристику мантиссы числа как целочисленный интервал [L_min, L_{m а х}], нижняя и верхняя границы L_min, L_{m а х} которого представлены r-разрядными двоичными числами без знака и вычисляются следующим образом:

L_min=[log₂(М')⋅2^r-h-1],

L_{m а х}=L_min+1

где

,

- наибольшее целое, не превышающее

, [log₂(М')⋅2^r-h-1] - наибольшее целое, не превышающее log₂(М')⋅2^r-h-1.

Диапазон представления нижней и верхней границ L_min, L_{m а х} интервальной логарифмической характеристики:

;

,

где

- значение нижней границы интервальной логарифмической характеристики диапазона представления модулярных мантисс

,

- наибольшее целое, не превышающее

.

Таким образом, число с плавающей точкой вида (1) можно преобразовать к следующему модулярно-логарифмическому формату:

где 〈m₁, m₂, …, m_n〉 - набор знакопозиций (модулярных разрядов) модулярной мантиссы

, λ- позиционный перемещенный порядок, представляющий собой целое двоичное число со знаком, L_min, L_{m a x} - границы интервальной логарифмической характеристики мантиссы числа, представляющие собой целые двоичные числа без знака, σ - знак числа, причем если σ=-1, то число отрицательное, σ=1 - положительное, σ=0 - машинный ноль.

Диапазон допустимых значений модулярных мантисс

в системе остаточных классов с основаниями p₁, p₂, … , р_n определяется интервалом

; таким образом, t-разрядная позиционная мантисса М=d_td_t-1…d₂d₁ может быть представлена в системе остаточных классов набором из n взаимно независимых q-разрядных знакопозиций 〈m₁, m₂, …, m_n〉, причем q≈t/n (при условии, что все основания р₁, p₂, …, p_n q-разрядные).

Примеры преобразования позиционных чисел с плавающей точкой в модулярно-логарифмический формат: пусть числа представлены в 10-разрядном двоичном формате вида (1), в котором под смещенный порядок Е, отводится четыре бита (максимальный порядок е_{m a x}=2^4-1-1=7, соответственно е=Е-7), под дробную часть мантиссы - пять бит (т.е. t=6, причем целая часть d₆ рациональной мантиссы М в явном виде не записана) и под знак числа - один бит.Пусть для представления модулярных мантисс в модулярно-логарифмическом формате [〈m₁, m₂, …, m_n〉, λ, L_min, L_{m a x}, σ] используется три основания: р₁=11, р₂=13, р₃=15. Диапазон представления чисел Р=11⋅13⋅15=2145. Разрядность оснований q=4, разрядность интервальной логарифмической характеристики r=5.

Пример 1: необходимо перевести число X=3.3125₁₀=[1.65625, 1, 0]=-1⁰⋅1.65625⋅2¹, представленное в двоичном формате [М, е, S], в модулярно-логарифмический формат [〈m₁, m₂, …, m_n〉, L_min, L_{m a x}, λ, σ].

С учетом принятых характеристик двоичного формата [М, е, S], число X будет записано в памяти ЭВМ в виде двоичного вектора 〈0100010101〉. Для его преобразования в модулярно-логарифмический формат (2) необходимо выполнить следующие действия:

1. Выделить составные части числа X: знак числа S=0, дробная часть рациональной мантиссы d₅…d₂d₁=10101₂, смещенный (избыточный) порядок Е=1000₂=8.

2. Восстановить целую часть d₆ мантиссы М=d₆d₅…d₂d₁:d₆=1, т.к. Е>0, следовательно, М=1.10101₂.

3. Определить порядок е: е=Е-е_{m a x}=8-7=1, т.к. Е>0.

4. Определить знак σ, перемещенный позиционный порядок λ и целочисленную мантиссу М': σ=1, λ=е-t+1=1-6+1=-4, М'=d₆d₅…d₂d₁=110101₂=53.

5. Найти модулярную мантиссу

:

.

6. Вычислить интервально-логарифмическую характеристику мантиссы L_min, L_mах: L_min=[log₂(53)⋅2^5-3-1]=11, L_{m a x}=11+1=12.

В результате получается число X, представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой: X=[〈9, 1, 8〉, 11, 12, -4, 1].

Пример 2: необходимо перевести число X=0.02783203125₁₀=[1.78125, -5, 1]=-1¹⋅1.78125⋅2^-5 из двоичного формата [М, е, S] в модулярно-логарифмический формат [〈m₁, m₂, …, m_n〉, L_min, L_{m a x}, λ, σ].

С учетом принятых характеристик двоичного формата [М, е, S], число X будет записано в памяти ЭВМ в виде двоичного вектора 〈1000111001〉. Для его преобразования в модулярно-логарифмический формат (2) необходимо выполнить следующие действия:

1. Выделить составные части числа X: знак числа S=1, дробная часть d₅…d₂d₁=11000₂, смещенный порядок Е=0001₂=1.

2. Восстановить целую часть d₆ мантиссы М=d₆d₅…d₂d₁:d₆=1, т.к. Е>0, следовательно, М=1.11001₂.

3. Определить порядок е. е=е_min=1-7=-6, т.к. Е=0.

4. Определить знак σ, перемещенный порядок λ и целочисленную мантиссу М': σ=-1, λ=e-t+l=-6-6+1=-11, М'=d₆d₅…d₂d₁=111001₂=57.

5. Найти модулярную мантиссу

:

6. Вычислить интервально-логарифмическую характеристику мантиссы L_min, L_{m a x}: L_min=log₂(57)⋅2^5-3-1]=11, L_{m a x}=11+1=12.

В результате получается число X, представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой: X=[〈2, 5, 12〉, 11, 12, -11, -1].

Алгоритм 1. Вычисление ранга числа, представленного в модулярно-логарифмическом формате.

Пусть

- число, представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, где

- модулярная мантисса числа А. Для того чтобы найти ранг R модулярной мантиссы

, необходимо:

1. Вычислить значение минимальной величины ранга R_min модулярной мантиссы

:

, где

,

, мультипликативная инверсия Р_i по модулю р_i,

,

- наибольшее целое, не превышающее

,

- наибольшее целое, не превышающее

, s - разрядность

, при условии, что 2^q-1<рi<2^q, s>1+log₂n.

2. Вычислить значение максимальной величины ранга R_{m a x} модулярной мантиссы

:

где

,

- мультипликативная инверсия Р_i по модулю р_i,

,

- наибольшее целое, не превышающее

,

- наибольшее целое, не превышающее

, s - разрядность

, при условии, что 2^q-1<рi<2^q, s>1+log₂n.

3. Если R_min=R_{m a x}, то R=R_min, иначе выполнить сравнение: если

, то есть значение мантиссы меньше половины максимально возможного значения, то R=R_{m a x}, если

, то есть значение мантиссы больше или равно половине максимально возможного значения, то R=R_min, где L_Р/2=L_Р-2^r-h-1,

,

, r - разрядность интервальной логарифмической характеристики числа

.

Пример: необходимо вычислить ранги чисел A=53 и B=57. Используется три основания: р₁=11, р₂=13, р₃=15. Р=р₁⋅р₂⋅р₃=2145 - произведение оснований (верхний предел допустимого диапазона представления модулярных мантисс).

,

,

,

,

,

. Разрядность оснований q=4. Разрядность коэффициентов w_i:s=5.

Значения верхних и нижних границ

,

коэффициентов для значений модулей р₁=11, р₂=13, р₃=15 равны соответственно

,

,

,

,

,

.

Значения мультипликативных инверсий

для модулей р₁=11, р₂=13, р₃=15 равны соответственно

,

,

.

Вычислим значение ранга первого числа.

1. Вычислим значение минимальной величины ранга R_min модулярной мантиссы:

2. Вычислим значение максимальной величины ранга R_{m a x} модулярной мантиссы:

3. Так как R_min=R_{m a x}, то R^A=R_min=1. Вычислим значение ранга второго числа.

Вычислим значение ранга второго числа.

1. Вычислим значение минимальной величины ранга R_min модулярной мантиссы:

2. Вычислим значение максимальной величины ранга R_{m a x} модулярной мантиссы:

3. Так как R_min=R_{m a x}, то R^B=R_min=1.

Алгоритм 2. Деление модулярной мантиссы числа, представленного в модулярно-логарифмическом формате, на число 2^x (масштабирование степенью двойки).

Пусть

- число, представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, где

- модулярная мантисса числа А. Для того чтобы найти результат деления модулярного числа

на позиционное число 2^x, необходимо:

1. Вычислить α. Если x>q-1, то вычислить значение

, где

- наименьшее целое, не превышающее

, α=|х|_q-1; если x≤q-1, то α=х.

2. Вычислить значение ранга R для модулярного числа в соответствии с алгоритмом 1.

3. Вычислить остаток от деления модулярного числа на р_n+1=2^q-1:

где

,

,

- мультипликативная инверсия Р_i по модулю р_i.

Если 0<α<q-1, то

, если α=0, то уменьшить j на 1.

4. Вычислить значение

, для чего вычесть из каждого значения знакопозиций модулярного числа

значение остатка от деления

на 2^α

.

5. Вычислить значение

, для чего умножить каждое значение знакопозиций модулярного числа

на мультипликативные инверсии 2^α по соответствующим модулям.

,

где

- мультипликативная инверсия числа 2^α по модулю р_i - результат сравнения

.

6. Если

, то прибавить к

величину

.

7. Шаги 2-6 выполнить j раз для α=q-1.

Пример. Необходимо разделить числа А=53 и В=57 на число 2¹. Используется три основания: р₁=11, р₂=13, р₃=15. Р=р₁⋅р₂⋅р₃=2145 - произведение оснований (верхний предел допустимого диапазона представления модулярных мантисс),

,

. Разрядность оснований q=4.

Значения мультипликативных инверсий

для модулей р₁=11, р₂=13, р₃=15 равны соответственно

,

,

.

Значения мультипликативных инверсий

по модулям р₁=11, р₂=13, р₃=15 и для значений α=1, 2, 3 равны соответственно

;

;

;

;

;

;

;

.

Значения остатков от деления

и

на 2^α для значений модулей р₁=11, р₂=13, р₃=15 и для значений α=1, 2, 3 равны соответственно

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Вычисляем значение

.

1. α=x=1, так как x=1<q=4-1.

2. Вычисляем ранг числа A=53 соответствии с алгоритмом 1. R^A=1.

3. Вычисляем остаток от деления модулярного числа на 2^4-1=8:

.

Вычисляем остаток от деления модулярного числа на р₄=2¹

.

4. Вычитаем из модулярного числа

модулярное значение остатка от деления на 2

:

5. Умножаем на мультипликативные инверсии двойки по соответствующим модулям:

6. Прибавляем к

величину 1=(1, 1, 1), так как

:

Вычисляем значение

1. α=х=1, так как х=1<q=4-1.

2. Вычисляем ранг числа В=57 соответствии с алгоритмом 1. R^B=1.

3. Вычисляем остаток от деления модулярного числа на 2^4-1=8:

Вычисляем остаток от деления модулярного числа на р₄=2¹

4. Вычитаем из модулярного числа

модулярное значение остатка от деления на 2

:

5. Умножаем на мультипликативные инверсии двойки по соответствующим модулям:

.

6. Прибавляем к

величину 1=(1, 1, 1), так как

:

Алгоритм 3. Выполнение операции умножения с плавающей точкой в модулярно-логарифмическом формате. Для того чтобы найти произведение

чисел

и

, представленных в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, необходимо:

1. Проверить результат на равенство 0. Если σ^С=σ^А⋅σ^В=0, что означает равенство нулю одного из операндов или обоих операндов сразу, то

.

Если оба операнда ненулевые, то перейти к следующему шагу.

2. Присвоить знак произведению σ^С=σ^А⋅σ^В. Определить верхнюю и нижнюю границы интервальной логарифмической характеристики результата

,

. Определить порядок результата λ^С=λ^А+λ^В.

3. Проверить выход результата за границы диапазона представления чисел. Если

, то

. Если

,то

. Если

и

, то перейти к следующему шагу.

4. Проверить выход мантиссы результата за границы диапазона представления модулярных мантисс и выполнить умножение модулярных мантисс.

4.1. Если

, то выполнить коррекцию операндов следующим образом:

4.1.1. Вычислить значения поправочных коэффициентов L₁ и L₂:

,

, где

- наибольшее целое, не превышающее

,

- наибольшее целое, не превышающее

Если |L₁|≤|L₂| и L₂≥0, то z_А=L₁, z_В=0.

Если |L₁|≤|L₂| и L₂<0, то z_А=0, z_В=L₁.

Если |L₁|>|L₂|и |L₁+L₂|₂=1, то

,

.

Если |L₁|>|L₂|и |L₁+L₂|₂=0, то.

,

.

4.1.2. Вычислить значения скорректированных мантисс

и

операндов и скорректировать значение верхней и нижней границы интервальной логарифмической характеристики результата.

Если

и

I, то

,

.

Если

и

, то

,

, если

, то

.

Если

и

, то

,

, если

, то

.

Если

и

, то

,

если

, то

.

Если

и

, то

,

если

, то

.

Если

и

, то

,

, если

, то

, иначе

.

Если

и

, то

,

, если

то

если

, то

.

Если

и

, то

,

, если

, то

, если

, то

.

Если

и

, то

,

, если

, то

, иначе

.

4.1.3. Скорректировать значение порядка результата λ^C=λ^C+L₁.

4.1.4. Скорректировать значение верхней и нижней границы интервальной логарифмической характеристики результата если

, то

, иначе

;

4.2. Выполнить умножение модулярных мантисс

путем нахождения значений

, где

- наибольшее целое, не превышающее

4.3. Если

и

, то выполнить коррекцию результата следующим образом.

4.3.1. Вычислить значение поправочного коэффициента

.

4.3.2. Вычислить значение скорректированной мантиссы

результата:

.

4.3.3. Вычислить значение порядка результата λ^C=λ^C-z_C.

4.3.4. Выполнить коррекцию значений верхней и нижней границы интервальной логарифмической характеристики результата

,

.

4.4. Если

и

, то выполнить коррекцию результата следующим образом:

4.4.1. Вычислить значение поправочного коэффициента

.

4.4.2. Вычислить значение скорректированной мантиссы

результата и скорректировать значение верхней и нижней границы интервальной логарифмической характеристики результата.

Если

, то

.

Если

, то

, если

, то

.

Если

то

если

, то

.

4.4.3. Вычислить значение порядка результата λ^С=λ^С+z_С.

4.4.4. Выполнить коррекцию значений верхней и нижней границы интервальной логарифмической характеристики результата

;

.

В результате выполнения данных операций получается произведение

чисел

и

, представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой.

Пусть

- числа, представленные в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, где

и

- модулярные мантиссы чисел А и В соответственно. Тогда способ умножения С=А⋅В чисел А и В, представленных в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой (2), на гибридном многоядерном процессоре, содержащем n q-разрядных модулярных вычислительных ядер, одно k-разрядное и два r-разрядных универсальных целочисленных ядра, два специализированных s-разрядных векторных ядра, одно специализированное q-разрядное векторное ядро, одно специализированное управляющее ядро, определяется следующим образом.

1. Множитель

и множимое

, представленные в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, загружают в гибридный многоядерный процессор, содержащий n q-разрядных модулярных вычислительных ядер, одно k-разрядное и два r-разрядных универсальных целочисленных ядра, два специализированных s-разрядных векторных ядра, одно специализированное q-разрядное векторное ядро, одно специализированное управляющее ядро, следующим образом:

- в первое модулярное ядро гибридного многоядерного процессора загружают разрядные двоичные представления первых знакопозиций

и

модулярных мантисс

и

чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р₁ и значение мультипликативной инверсии Р₁ по модулю р₁

;

- параллельно с этим во второе модулярное ядро гибридного многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления вторых знакопозиций

и

модулярных мантисс

и

чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р₂ и значение мультипликативной инверсии Р₂ по модулю р₂

;

- и т.д.;

- параллельно с этим в n-ое модулярное ядро гибридного многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления n-ых знакопозиций

и

модулярных мантисс

и

чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р_n и значение мультипликативной инверсии Р_n по модулю р_n

;

- параллельно с этим в первое универсальное вычислительное ядро загружают k-разрядные двоичные порядки λ^А и λ^В, а также знаки σ^А и σ^В чисел А и В соответственно;

- параллельно с этим во второе универсальное вычислительное ядро загружают r-разрядные значения нижних границ интервальных логарифмических характеристик

и

чисел А и В соответственно;

- параллельно с этим в третье универсальное вычислительное ядро загружают r-разрядные значения верхних границ интервальных логарифмических характеристик

и

чисел А я В соответственно, а также r-разрядное значение нижней границы интервальной логарифмической характеристики диапазона представления модулярных мантисс L_р;

- параллельно с этим в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор s-разрядных констант коэффициентов

;

- параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор s-разрядных констант коэффициентов

;

- параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор разрядных констант остатков от деления

;

- параллельно с этим в управляющее ядро загружают k-разрядные двоичные порядки λ^А и λ^В, r-разрядные значения нижних границ интервальных логарифмических характеристик

и

и r-разрядные значения верхних границ интервальных логарифмических характеристик

и

чисел А и В соответственно, а также r-разрядное значение нижней границы интервальной логарифмической характеристики диапазона представления модулярных мантисс L_р.

2. После того, как множитель

и множимое

представленные в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, загружены в гибридный процессор, содержащий n q-разрядных модулярных вычислительных ядер, одно k-разрядное и два r-разрядных универсальных целочисленных ядра, два специализированных s-разрядных векторных ядра, одно специализированное q-разрядное векторное ядро, одно специализированное управляющее ядро, операция их умножения выполняется следующим образом:

- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₁ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

и

модулярных мантисс

и

чисел А и В соответственно, путем нахождения значения

, где

- наибольшее целое, не превышающее

; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

-параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₂ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

и

модулярных мантисс

и

чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- и т.д.

- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р_n q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

и

модулярных мантисс

и

чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется сложение λ^C=λ^А+λ^В двоичных порядков λ^А и λ^В, а также умножение σ^С=σ^А⋅σ^В знаков σ^А и σ^В чисел А и В соответственно;

- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется сложение

двоичных значений нижних границ интервальных логарифмических характеристик

и

чисел А и В соответственно;

- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется сложение

двоичных значений верхних границ интервальных логарифмических характеристик

и

чисел А и В соответственно;

- параллельно с этим в управляющем ядре вычисляются следующие значения поправочных коэффициентов:

,

,

,

,

, z_А=L₁+1, z_В=0, если |L₁|≤|L₂| и L₂≥0, z_А=0, z_В=L₁+1, если |L₁|≤|L₂| и L₂<0,

,

, если |L₁|>|L₂| и |L₁+L₂|₂=1,

,

, если |L₁|>|L₂| и |L₁+L₂|₂=0.

3. После того, как получено промежуточное значение произведения

чисел

и

, выполняется коррекция результата следующим образом:

3.1. Если знак

промежуточного результата

произведения чисел А и Вне равен 0, и порядок

промежуточного результата

произведения чисел А и В принадлежит интервалу [2-2^k-1; 2^k-1-2], и значение

верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата

произведения чисел А и В меньше значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы, то есть

,

,

, то коррекции результата не требуется.

3.2. Если знак

промежуточного результата

произведения чисел А и В равен 0, то есть

, то:

- в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

двоичного порядка

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В.

3.3. Если знак

промежуточного результата

произведения чисел А и В не равен 0 и значение

, то есть модуль промежуточного результата

произведения чисел А и В выходит за границы минимально возможного представления, то:

- в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

двоичного порядка

и

знака

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

значения первой знакопозиций

промежуточного

результата произведения чисел А и В;

-параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

значения второй знакопозиций

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- и т.д.

- параллельно с этим в n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

значения n-ой знакопозиций

промежуточного результата

произведения чисел А и В.

3.4. Если знак

промежуточного результата

произведения чисел А и В не равен 0 и значение

, то есть модуль промежуточного результата

произведения чисел А и В выходит за границы максимального возможного представления, то:

- в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется присвоение

двоичному порядку

промежуточного результата

произведения числе А и В;

- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

значения первой знакопозиции

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

значения второй знакопозиции

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- и т.д.

- параллеьно с этим в n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

значения n-ой знакопозиции

промежуточного результта

произведения чисел А и В.

3.5. Знак

промежутоного результата

произведения чисел А и В не равен 0, и порядок

промежуточного результата

умножения чисел А и В принадлежит интервалу

, где

- наибольшее целое, не превышающее

, и значение

верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата

произведения чисел А и В меньше значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы

, то управляющее ядро передает во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения поправочных коэффициентов:

,

, где

- наибольшее целое, не превышающее

, после чего:

- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

) промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения

следующим образом: выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения

, полученного сдвигом числа 1 на

двоичных разрядов влево, путем нахождения значения

, где

- наибольшее целое, не превышающее

; затем, если

, то

раз выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения 2^q-1, полученного сдвигом числа 1 на (q-1) двоичных разрядов влево, путем нахождения значения

, где

- наибольшее целое, не превышающее

; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора

выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения

следующим образом: выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₂; затем, если

, то

раз выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₂;

- и т.д.

- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения

следующим образом: выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р_n; затем, если

, то

раз выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р_n;

- параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

двоичного порядка

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В.

3.6. Если знак

промежуточного результата

произведения чисел А и В не равен 0, и порядок

промежуточного результата

произведения чисел А и В принадлежит интервалу

, где

- наибольшее целое, не превышающее

, и значение

верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата

произведения чисел А и В меньше значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы

, то управляющее ядро передает во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значение поправочного коэффициента

, после чего:

3.6.1. Выполняется загрузка мультипликативных инверсий

и 2^q-1:

- в первое модулярное ядро загружают ^-разрядные двоичные значения

и

, мультипликативных инверсий

и 2^q-1 по модулю р₁;

- параллельно с этим во второе модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения

и

мультипликативных инверсий

и 2^q-1 по модулю р₂;

- и т.д.;

- параллельно с этим в n-ое модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения

и

мультипликативных инверсий

и 2_q-1 по модулю р_n;

- параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

двоичного порядка

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим в управляющем ядре вычисляется количество итераций j: j=0, если

,

, если

, где

- наибольшее целое, не превышающее

.

3.6.2. Если

, то действия 3.6.3-3.6.7 выполняются один раз для

, затем если количество итераций j≥1, то действия 3.6.3-3.6.7 выполняются j раз для α=q-1.

3.6.3. Вычисляются значения элементов вектора

:

- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии Р₁ по модулю р₁

, путем нахождения значения

где

- наибольшее целое, не превышающее

; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии Р₂ по модулю р₂

;

- и т.д.

- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии Р_n по модулю р_n

.

3.6.4. После того, как получены значения элементов вектора

, данный вектор загружается в векторные ядра следующим образом:

- в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

, q≤s;

- параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

, q≤s;

- параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

;

3.6.5. После того, как элементы вектора

загружены в векторные ядра, производится вычисление ранга и частичного остатка от деления на 2^q-1 модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А я В:

-в первом векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

и

, вычисляют значение

, где

- наибольшее целое, не превышающее

значение

передается в управляющее ядро;

- параллельно с этим во втором векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

и

вычисляют значение

, где

- наибольшее целое, не превышающее

, значение

передается в управляющее ядро;

- параллельно с этим в третьем векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

и

, значение

передается в управляющее ядро.

3.6.6. После того, как результаты скалярного произведения векторов переданы в управляющее ядро, в управляющем ядре вычисляется значение ранга

, если

или

, R=R_max, если

, и значение остатка от деления модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В

.

3.6.7. После того, как управляющее ядро передаст во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения

и α, выполняется деление модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В на число 2α:

- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения

следующим образом: если

, то

, если

, то

; после чего выполняется операция умножения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии 2_α по модулю р₁

путем нахождения значения

, где

- наибольшее целое, не превышающее

; после чего если

выполняется операция сложения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В следующим образом: если

, то

если

, то

; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения

, после чего выполняется операция умножения

по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

и значения мультипликативной инверсии 2α по модулю р₂

; после чего если

выполняется операция сложения

по модулю р₂;

- и т.д.

- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

промежуточного результата

произведения чисел А и В и значения

; после чего выполняется операция умножения

по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиций

и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю р_n

; после чего если

выполняется операция сложения

по модулю р_1n;

- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

если

, иначе

двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

, если

иначе

двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

3.7. Если знак

промежуточного результата

произведения чисел А и В не равен 0, и значение

верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата

произведения чисел А и В больше или равно значению нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы

, то управляющее ядро передает во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значение поправочных коэффициентов z_А, z_В, после чего:

3.7.1. Выполняется загрузка мультипликативных инверсий

,

и 2^q-1:

- в первое модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения

,

и

мультипликативных инверсий

,

и 2^q-1 по модулю р₁;

- параллельно с этим во второе модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения

,

и

мультипликативных инверсий

,

и 2^q-1 по модулю р₂;

- и т.д.;

- параллельно с этим в и-ое модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения

,

и

мультипликативных инверсий

,

и 2^q-1 по модулю р_n;

- параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

двоичного порядка

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим в управляющем ядре вычисляется количество итераций j_А=0, если z_А<q-1,

, если z_А>q-1 и j_В=0, если z_В<q-1,

, если z_В>q-1.

3.7.2. Если |Z_A|_q-1>0, то действия 3.7.3-3.7.7 выполняются один раз для

затем если количество итераций j_А≥1, то действия 3.7.3-3.7.7 выполняются j_А раз для α=q-1.

3.7.3. Вычисляются значения элементов вектора

:

- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа А и значения мультипликативной инверсии Р₁ по модулю р₁

, путем нахождения значения

, где

- наибольшее целое, не превышающее

; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

и значения мультипликативной инверсии Р₂ по модулю р₂

;

- и т.д.

- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

и значения мультипликативной инверсии Р_n по модулю р_n

;

3.7.4. После того, как получены значения элементов вектора

, данный вектор загружается в векторные ядра следующим образом:

- в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

, q≤s;

- параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

, q≤s;

- параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

.

3.7.5. После того, как элементы вектора

загружены в векторные ядра, производится вычисление ранга и частичного остатка от деления на 2^q-1 модулярной мантиссы

числа А следующим образом:

- в первом векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

и

, вычисляют значение

, где

- наибольшее целое, на превышающее

, значение

передается в управляющее ядро;

- параллельно с этим во втором векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

и

, вычисляют значение

, где

- наибольшее целое, не превышающее

, значение

передается в управляющее ядро;

- параллельно с этим в третьем векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

и

, значение

передается в управляющее ядро.

3.7.6. После того, как результаты скалярного произведения векторов переданы в управляющее ядро, в управляющем ядре вычисляется значение ранга

, если

или

, R=R_{m а х}, если

и значение остатка от деления модулярной мантиссы

числа А на 2^α:

.

3.7.7. После того, как управляющее ядро передаст во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения

и α, выполняется деление модулярной мантиссы

числа А на число 2^α:

- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа А и значения

следующим образом: если

, то

, если

, то

; после чего выполняется операция умножения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа А и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю р₁

путем нахождения значения

, где

- наибольшее целое, не превышающее

; после чего если

выполняется операция сложения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа А следующим образом: если

, то

если

, то

; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа А и значения

, после чего выполняется операция умножения

по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

и значения мультипликативной инверсии 2_α по модулю р₂

; после чего если

выполняется операция сложения

по модулю р₂;

- и т.д.

- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа А и значения

; после чего выполняется операция умножения

по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиций

и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю р_n

; после чего если

выполняется операция сложения

по модулю р_n;

- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

, если

, иначе

двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

, если

, иначе

двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

3.7.8. Если |z_B|_q-1>0, то действия 3.7.9-3.7.13 выполняются один раз для α=|z_B|_q-1; затем если количество итераций j_В≥1, то действия 3.7.9-3.7.13 выполняются затем j_В раз для α=q-1.

3.7.9. Вычисляются значения элементов вектора

:

- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа В и значения мультипликативной инверсии Р₁ по модулю р₁

, путем нахождения значения

, где

- наибольшее целое, не превышающее

; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

и значения мультипликативной инверсии Р₂ по модулю р₂

;

- и т.д.

- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

и значения мультипликативной инверсии Р_n по модулю р_n

;

3.7.10. После того, как получены значения элементов вектора

, данный вектор загружается в векторные ядра следующим образом:

- в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

;

- параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

;

- параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

3.7.11. После того, как элементы вектора

загружены в векторные ядра, производится вычисление ранга и остатка от деления на 2^q-1 следующим образом:

- в первом векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

и

значение

передается в управляющее ядро;

- параллельно с этим во втором векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

и

, значение

передается в управляющее ядро;

- параллельно с этим в третьем векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

и

, значение

передается в управляющее ядро;

3.7.12. После того, как результаты скалярного произведения векторов переданы в управляющее ядро, в управляющем ядре вычисляется значение ранга

, если

или

,

, если

и значение остатка от деления модулярной мантиссы

числа В на 2^α:

.

3.7.13. После того, как управляющее ядро передаст во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения

и α, выполняется деление модулярной мантиссы

числа В на число 2^α:

- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа В и значения

следующим образом: если

, то

, если

, то

, после чего выполняется операция умножения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа В и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю р₁

путем нахождения значения

, где

- наибольшее целое, не превышающее

; после чего если

, выполняется операция сложения

по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа В следующим образом: если

, то

, если

то

; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа В и значения

, после чего выполняется операция умножения

по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиций

и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю p₂

; после чего, если

, выполняется операция сложения

по модулю р₂;

- и т.д.

-параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиций

модулярной мантиссы

числа В и значения

; после чего выполняется операция умножения

по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиций

и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю р_n

после чего, если

выполняется операция сложения

по модулю р_n;

- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

, если

, иначе

двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

, если

, иначе

двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

промежуточного результата

произведения чисел А и В;

3.7.14. После того, как выполнена коррекция мантисс

и

чисел А и В соответственно, выполняется их умножение следующим образом:

- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₁ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

и

модулярных мантисс

и

чисел А и В соответственно, путем нахождения значения

, где

- наибольшее целое, не превышающее

; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р₂ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

и

модулярных мантисс

и

чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- и т.д.

- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

по модулю р_n q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

и

модулярных мантисс

и

чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления.

В результате выполнения данных операций получается произведение

чисел

и

, представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой.

Для выполнения операции сложения двух целых q-разрядных двоичных чисел требуется устройство, состоящее из q элементарных двоичных устройств, для выполнения операции умножения двух целых q-разрядных двоичных чисел требуется устройство, состоящее из q×q элементарных двоичных устройств, для выполнения операции модулярного умножения двух целых q-разрядных двоичных чисел требуется устройство, состоящее из 2×q×q элементарных двоичных устройств, для хранения одного бита информации требуется устройство, состоящее из одного элементарного двоичного устройства, для сложения двух q-разрядных двоичных чисел в формате с плавающей точкой с направленным округлением требуется устройство, состоящее из 2×q элементарных двоичных устройств. Для выполнения операции умножения способом (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014) требуется устройство, состоящее из (2×k×k×n+k) элементарных двоичных устройств, где k - разрядность одного ядра универсального многоядерного процессора, n - количество модулей. Для выполнения операции умножения способом (К.С. Исупов, А.Н. Мальцев. «Способ представления чисел с плавающей точкой большой разрядности, ориентированный на параллельную обработку», Вычислительные методы и программирование, 15:4 (2014), с. 631-643.), требуется устройство, состоящее из (2^β-l)×n×q+2×q×q×n+k+2×2×γ, где β - шаг масштабирования, n - количество моделей, q - разрядность модулей, k - разрядность порядка, γ - разрядность интервальной позиционной характеристики). Для выполнения операции умножения предложенным способом, требуется устройство, состоящее из 2×q×q×n+k+2×r+2×(n×s×s+(n-1)×(s+log₂n))+(n×q×q+(n-1)×q), где n - количество моделей, q - разрядность модулей, k -разрядность порядка, r - разрядность интервальной логарифмической характеристики, s -разрядность весовых коэффициентов. При условии, что k=r=s=q, β=q-1, γ=2⋅q, для выполнения операции умножения способом (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014) требуется устройство, состоящее из (q⋅(2⋅n⋅q+1)) элементарных двоичных устройств, для выполнения операции умножения способом (К.С. Исупов, А.Н. Мальцев. «Способ представления чисел с плавающей точкой большой разрядности, ориентированный на параллельную обработку», Вычислительные методы и программирование, 15:4 (2014), с. 631-643.), требуется устройство, состоящее из (q⋅((2^q-1-1)⋅n+2⋅q+9)), для выполнения операции умножения предложенным способом, требуется устройство, состоящее из (5⋅n⋅q²+3⋅n⋅q+(n-1)⋅log₂n).

Предложенный способ полностью описывает процедуру умножения двух чисел в модулярном формате с плавающей точкой, включая контроль переполнения, потери порядка, масштабирования, при этом требует для своего выполнения устройство всего в

раза сложнее, чем требуется для выполнения способа (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014) и в

раз проще, чем требуется для способа (Исупов К.С., Мальцев А.Н. Способ представления чисел с плавающей точкой большой разрядности, ориентированный на параллельную обработку // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2014. Т. 15, №4. С. 631-643).

Claims (145)

1. Способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-логарифмическом формате представления с плавающей точкой на гибридных многоядерных процессорах, заключающийся в том, что:
2. в гибридном многоядерном вычислителе, содержащем n q-разрядных модулярных вычислительных ядер, одно k-разрядное и два r-разрядных универсальных целочисленных ядра, два специализированных s-разрядных векторных ядра, одно специализированное q-разрядное векторное ядро и одно специализированное управляющее ядро, выполняется система из

   

   операций, в состав которой входят операции арифметического умножения и арифметического сложения над числами, представленными в позиционных целочисленных форматах данных, операции скалярного произведения векторов n чисел, представленными в позиционных целочисленных форматах данных, операции передачи управления и информации между ядрами;
3. при организации выполнения операций умножения каждое число, множитель и множимое, представляется в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой в виде (2+k+2⋅r+q⋅n) -элементного вектора, где:
4. первые два разряда слева σ являются старшими разрядами в формате числа и отводятся под значение знака числа, причем если σ=+1, то число считается положительным, если σ=-1, то число считается отрицательным, если σ=0, то число равно 0;
5. следующие за первыми двумя разрядами σ числа k разрядов отводятся под хранение порядка числа, представляющего собой целое двоичное число λ со знаком s_λ, изменяющееся для конечных чисел с плавающей точкой в диапазоне λ_min≤λ≤λ_mах и получаемое в результате преобразования числа из позиционного формата с плавающей точкой посредством вычисления выражения λ=е-t+1, где е определяет величину числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой в выражении -1^S⋅М⋅2^е при 0≤М≤2, являющейся рациональной t-разрядной мантиссой числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой, λ_min=2-2^k-1, λ_max=2^k-1-2, при s_λ=0, порядок λ считается положительным, а при s_λ=1 порядок λ считается отрицательным;
6. следующие за (k+2) разрядами 2⋅r разрядов отводятся под хранение интервальной логарифмической характеристики числа, представляющей собой пару целых двоичных чисел L_min, L_max без знака, изменяющихся в диапазоне 0≤L_min≤L_P, 0≤L_max≤L_P и получаемых в результате преобразования числа из позиционного формата с плавающей точкой -1^S⋅М⋅2^е посредством вычисления выражений L_min=

   

   L_max=L_min+1, где М' - целое неотрицательное двоичное число, определяемое выражением М'=М⋅2^t-1, М - рациональная t-разрядная мантисса числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой,

   

   

   

   

   - наибольшее целое, не превышающее log₂(M')⋅2^r-h-1,

   

   - наибольшее целое, не превышающее

   

   ,

   

   - наибольшее целое, не превышающее

   
7. следующие за (2⋅r+k+2) разрядами q⋅n разрядов отводятся для представления мантиссы числа

   

   в модулярно-логарифмическом формате, причем данная мантисса представляется в системе остаточных классов с n основаниями P₁, P₂, …, Р_n, n - количество знакопозиций мантиссы, q - разрядность каждой знакопозиции; причем каждая i-ая знакопозиция, где 1≤i≤n, представляется целым неотрицательным числом m_i в двоичной позиционной системе счисления; значение m_i каждой i-ой знакопозиции определяется по выражению m_i=

   

   , где М' - целое неотрицательное двоичное число, определяемое выражением М'=М⋅2^t-1, М - рациональная t-разрядная мантисса числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой,

   

   - операция получения остатка от деления М' на i-ое основание р_i;
8. диапазон изменения модулярной мантиссы

   

   в позиционной системе счисления определяется интервалом

   
9. значения порядка λ, мантиссы

   

   и верхней и нижней границ интервальной логарифмической характеристики L_min, L_max положительных конечных чисел при σ=+1 в модулярно-логарифмическом формате [〈m₁, m₂, …, m_n〉, L_min, L_max, λ, σ] находятся соответственно в следующих диапазонах: 2-2^k-1≤λ≤2^k-1-2,

   

   0≤L_min≤L_P, 0≤L_max≤Lp,
10. значения порядка λ, мантиссы

    

    и интервальной логарифмической характеристики L_min, L_max отрицательных конечных чисел при σ=-1 в модулярно-логарифмическом формате находятся соответственно в следующих диапазонах: 2-2^k-1≤λ≤2^k-1-2,

    

    0≤L_min≤L_P, 0≤L_max≤L_P;
11. значение машинного нуля представляется в модулярно логарифмическом формате следующим образом: σ=0, λ=0,

    

    L_min=0, L_max=0;
12. значение положительной бесконечности представляется в модулярно-логарифмическом формате следующим образом: σ=+1, λ=λ_mах+1=2^k-1-1,

    

    

    L_min=0, L_max=0;
13. значение отрицательной бесконечности представляется в модулярно-логарифмическом формате следующим образом: σ=-1, λ=λ_mаx+1=2^k-1-1,

    

    

    L_min=0, L_max=0;
14. для положительных нечисловых величин (NaN) в модулярно-логарифмическом формате при σ=+1 значение позиционного порядка λ определяется выражением λ=λ_mах+1=2^k-1-1, значение мантиссы

    

    находится в диапазоне 〈1₁, 1₂, …, 1_n〉≤

    

    ≤〈р₁-1), (р₂-1), …, (р₂-1)〉, значение верхней и нижней границ интервальной логарифмической характеристики L_min, L_max находятся в диапазонах 0≤L_min≤L_P, 0≤L_max≤L_P,
15. для отрицательных нечисловых величин (NaN) в модулярно-логарифмическом формате при σ=-1 значение позиционного порядка λ определяется выражением λ=λ_mах+1=2^k-1-1, значение мантиссы

    

    находится в диапазоне 〈1₁, 1₂, …, 1_n〉≤

    

    ≤ 〈р₁-1), (р₂-1), ..., (р₂-1)〉, значение верхней и нижней границ интервальной логарифмической характеристики L_min, L_max находятся в диапазонах 0≤L_min≤L_P, 0≤L_max≤L_P;
16. по сигналу процессора множитель

    

    и множимое

    

    представленные в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, загружают в гибридный многоядерный процессор следующим образом:
17. в первое модулярное ядро гибридного многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления первых знакопозиций

    

    и

    

    модулярных мантисс

    

    и

    

    чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р₁ и значение мультипликативной инверсии Р₁ по модулю

    
18. параллельно с этим во второе модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные представления вторых знакопозиций

    

    и

    

    модулярных мантисс

    

    и

    

    чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р₂ и значение мультипликативной инверсии Р₂ по модулю

    
19. параллельно с этим в третье ÷ n-ое модулярные ядра загружают q-разрядные двоичные представления третьих ÷ n-ых знакопозиций

    

    и

    

    модулярных мантисс

    

    и

    

    чисел А и В соответственно, а также основания системы остаточных классов р₃÷р_n и значения мультипликативных инверсий Р₃÷Р_n по модулям р₃÷р_n
20. 
21. параллельно с этим в первое универсальное вычислительное ядро загружают k-разрядные двоичные порядки λ^А и λ^B, а также знаки σ^А и σ^B чисел А и В соответственно;
22. параллельно с этим во второе универсальное вычислительное ядро загружают r-разрядные значения нижних границ интервальных логарифмических характеристик

    

    и

    

    чисел А и В соответственно;
23. параллельно с этим в третье универсальное вычислительное ядро загружают r-разрядные значения верхних границ интервальных логарифмических характеристик

    

    и

    

    чисел А и В соответственно, а также r-разрядное значение нижней границы интервальной логарифмической характеристики диапазона представления модулярных мантисс L_P;
24. параллельно с этим в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор s-разрядных коэффициентов

    
25. параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор s-разрядных коэффициентов

    
26. параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных остатков от деления

    
27. после того, как множитель

    

    и множимое

    

    загружены в гибридный многоядерный процессор, операция их умножения выполняется следующим образом:
28. в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₁ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

    

    и

    

    модулярных мантисс

    

    и

    

    чисел А и В соответственно, путем нахождения значения

    

    

    - наибольшее целое, не превышающее
29. 

    все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
30. параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₂ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

    

    и

    

    модулярных мантисс

    

    и

    

    чисел А и В соответственно;
31. параллельно с этим в третьем ÷ n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

    

    

    по модулю р₃ ÷ р_n q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

    

    модулярных мантисс

    

    и

    

    чисел А и В соответственно;
32. параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется сложение λ^C=λ^A+λ^B двоичных порядков λ^А и λ^B, а также умножение σ^C=σ^А⋅σ^B знаков σ^А и σ^B чисел А и В соответственно;
33. параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется сложение

    

    двоичных значений нижних границ интервальных логарифмических характеристик

    

    чисел А и В соответственно;
34. параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется сложение

    

    двоичных значений верхних границ интервальных логарифмических характеристик

    

    чисел А и В соответственно;
35. параллельно с этим в управляющем ядре вычисляются следующие значения поправочных коэффициентов:

    

    

    

    

    

    

    если

    

    

    если

    

    и L₂<0,

    

    z_B=

    

    если

    

    и

    

    

    

    если

    

    и
36. 
37. после того, как получено промежуточное значение произведения

    

    

    чисел

    

    и

    

    

    выполняется коррекция результата следующим образом:
38. в случае если знак

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В не равен 0, и порядок

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В принадлежит интервалу [2-2^k-1; 2^k-1-2], и значение

    

    верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В меньше значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы, то есть
39. 

    то коррекции результата не требуется;
40. в случае если знак

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В равен 0, то есть

    

    то:
41. в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    двоичного порядка

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
42. параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
43. параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
44. в случае если знак

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В не равен 0 и значение

    

    то есть модуль промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В выходит за границы минимально возможного представления, то:
45. в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    двоичного порядка

    

    и

    

    знака

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
46. параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
47. параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
48. параллельно с этим в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    значения первой знакопозиции

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
49. параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    значения второй знакопозиции

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
50. параллельно с этим в третьем ÷ n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    значения третьей ÷ n-ой знакопозиции

    

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
51. в случае если знак

    

    промежуточного результата С произведения чисел А и В не равен 0 и значение

    

    то есть модуль промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В выходит за границы максимально возможного представления, то:
52. в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется присвоение

    

    двоичному порядку

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
53. параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
54. параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
55. параллельно с этим в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    значения первой знакопозиции

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
56. параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    значения второй знакопозиции

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
57. параллельно с этим в третьем ÷ n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление

    

    значения третьей ÷ n-ой знакопозиции

    

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
58. в случае если знак

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В не равен 0, и порядок

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В принадлежит интервалу

    

    и значение

    

    верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В меньше значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы

    

    

    то управляющее ядро передает во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения поправочных коэффициентов

    

    

    после чего:
59. в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₁ знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения

    

    следующим образом: выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₁ знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения

    

    полученного сдвигом числа 1 на

    

    двоичных разрядов влево, путем нахождения значения

    

    где

    

    - наибольшее целое, не превышающее

    

    затем, если j_C>0, то j_C раз выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₁ знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения 2^q-1, полученного сдвигом числа 1 на (q-1) двоичных разрядов влево, путем нахождения значения

    

    где

    

    - наибольшее целое, не превышающее

    

    все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
60. параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₂ знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения

    

    следующим образом: выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₂; затем, если j_C>0, то j_C раз выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₂;
61. параллельно с этим в третьем ÷ n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

    

    

    по модулю р₃÷р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения

    

    следующим образом: выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₃÷р_n; затем, если j_C>0, то j_C раз выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₃÷р_n;
62. параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

    

    двоичного порядка

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
63. параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

    

    двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
64. параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

    

    двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
65. в случае если знак

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В не равен 0, и порядок

    

    промежуточного результата С произведения чисел А и В принадлежит интервалу

    

    и значение

    

    верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В меньше значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы

    

    

    то управляющее ядро передает во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значение поправочного коэффициента

    

    после чего:
66. в первое модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения

    

    и

    

    мультипликативных инверсий

    

    по модулю р₁;
67. параллельно с этим во второе модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения

    

    и

    

    мультипликативных инверсий

    

    и 2^q-1 по модулю р₂;
68. параллельно с этим в третье ÷ n-ое модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения

    

    и

    

    мультипликативных инверсий

    

    и 2^q-1 по модулю p₃÷р_n;
69. параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

    

    двоичного порядка

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
70. параллельно с этим в управляющем ядре вычисляется количество итераций j=0, если

    

    если

    
71. в случае если

    

    выполняется один цикл деления на 2^α, где

    

    затем, если количество итераций j≥1, выполняется j циклов деления на 2^α, где α=q-1;
72. цикл деления на 2^α состоит в следующем:
73. в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии P₁ по модулю

    

    путем нахождения значения

    

    

    где

    

    - наибольшее целое, не превышающее

    

    все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
74. параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии Р₂ по модулю

    
75. параллельно с этим в третьем ÷ n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

    

    по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии Р_n по модулю

    
76. после того, как получены значения элементов вектора

    

    данный вектор загружается в векторные ядра следующим образом:
77. в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

    
78. параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

    
79. параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

    
80. после того, как элементы вектора

    

    загружены в векторные ядра, производится вычисление ранга и частичного остатка от деления на 2^q-1 модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В:
81. - в первом векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

    

    и

    

    вычисляют значение

    

    

    где

    

    - наибольшее целое, не превышающее

    

    значение

    

    передается в управляющее ядро;
82. - параллельно с этим во втором векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

    

    и

    

    вычисляют значение

    

    где

    

    - наибольшее целое, не превышающее

    

    значение

    

    передается в управляющее ядро;
83. - параллельно с этим в третьем векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

    

    и

    

    значение

    

    передается в управляющее ядро;
84. после того, как результаты скалярного произведения векторов переданы в управляющее ядро, в управляющем ядре вычисляется значение ранга

    

    если

    

    или

    

    R=R_max, если

    

    и значение остатка от деления модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел

    
85. после того, как управляющее ядро передаст во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения

    

    и α, выполняется деление модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В на число 2^α:
86. в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

    

    по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения

    

    следующим образом: если

    

    

    то

    

    если

    

    то

    

    после чего выполняется операция умножения

    

    по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю

    

    путем нахождения значения

    
87. 

    - наибольшее целое, не превышающее

    

    после чего, если

    

    , выполняется операция сложения

    

    по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В следующим образом: если

    

    , если

    

    то

    

    все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
88. параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

    

    по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения

    

    после чего выполняется операция умножения

    

    по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

    

    и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю

    

    после чего, если

    

    , выполняется операция сложения

    

    по модулю р₂;
89. параллельно с этим в третьем ÷ n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

    

    по модулю р_1n q-разрядного двоичного представления знакопозиции

    

    модулярной мантиссы

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В и значения

    

    после чего выполняется операция умножения

    

    по модулю р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиции

    

    и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю

    

    после чего, если

    

    , выполняется операция сложения

    

    по модулю р_n;
90. параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

    

    если

    

    иначе

    

    двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
91. параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

    

    если

    

    иначе

    

    

    двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В; цикл деления на 2^α заканчивается;
92. если знак

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В не равен 0 и значение

    

    верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В больше или равно значению нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы

    

    то управляющее ядро передает во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значение поправочных коэффициентов z_A, z_B, после чего:
93. в первое модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения

    

    

    мультипликативных инверсий

    

    по модулю р₁;
94. параллельно с этим во второе модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения

    

    

    и

    

    мультипликативных инверсий

    

    

    и 2^q-1 по модулю р_2;
95. параллельно с этим в третье ÷ n-ое модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения

    

    

    и

    

    мультипликативных инверсий

    

    

    и 2^q-1 по модулю р₃÷р_n;
96. параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

    

    двоичного порядка

    

    промежуточного результата

    

    произведения чисел А и В;
97. параллельно с этим в управляющем ядре вычисляется количество итераций j_A=0, если z_A≤q-1,

    

    если z_A>q-1 и j_B=0, если z_B≤q-1,

    

    если z_B>q-1.
98. в случае если

    

    выполняется один цикл деления

    

    на 2^α, где

    

    

    затем, если количество итераций j_A≥1, выполняется j_A циклов деления

    

    на 2^α, где α=q-1;
99. цикл деления

    

    на 2^α состоит в следующем:
100. в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

     

     по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     числа А и значения мультипликативной инверсии Р₁ по модулю р₁

     

     , путем нахождения значения

     

     где

     

     - наибольшее целое, не превышающее

     

     все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
101. параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

     

     по модулю р₂ q- разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     и значения мультипликативной инверсии Р₂ по модулю

     
102. параллельно с этим в третьем ÷ n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

     

     

     по модулю р₃÷р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     и значения мультипликативной инверсии Р₃÷Р_n по модулю

     
103. после того, как получены значения элементов вектора

     

     данный вектор загружается в векторные ядра следующим образом:
104. в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

     
105. параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

     
106. параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

     
107. после того, как элементы вектора

     

     загружены в векторные ядра производится вычисление ранга и частичного остатка от деления на 2^q-1 модулярной мантиссы

     

     числа А следующим образом:
108. - в первом векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

     

     и

     

     вычисляют значение

     

     

     где

     

     - наибольшее целое, на превышающее

     

     значение

     

     передается в управляющее ядро;
109. - параллельно с этим во втором векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

     

     и

     

     вычисляют значение

     

     где

     

     - наибольшее целое, не превышающее

     

     значение

     

     передается в управляющее ядро;
110. - параллельно с этим в третьем векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

     

     и

     

     значение

     

     передается в управляющее ядро;
111. после того, как результаты скалярного произведения векторов переданы в управляющее ядро, в управляющем ядре вычисляется значение ранга

     

     , если

     

     или

     

     если

     

     и значение остатка от деления модулярной мантиссы

     

     числа А

     

     
112. после того, как управляющее ядро передаст во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения

     

     и α, выполняется деление модулярной мантиссы

     

     числа А на число 2^α:
113. в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

     

     по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     числа А и значения

     

     следующим образом: если

     

     то

     

     если

     

     то

     

     после чего выполняется операция умножения

     

     по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     числа А и значения мультипликативной инверсии 2^α по
114. модулю P₁

     

     путем нахождения значения

     

     -

     

     где

     

     - наибольшее целое, не превышающее

     

     после чего, если

     

     , выполняется операция сложения

     

     по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     

     числа А следующим образом: если

     

     то

     

     , если

     

     то

     

     все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
115. параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

     

     по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     числа А и значения

     

     после чего выполняется операция умножения

     

     по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю

     

     после чего, если

     

     , выполняется операция сложения

     

     по модулю р₂;
116. параллельно с этим в третьем ÷ n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

     

     по модулю р₃÷р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     числа А и значения

     

     после чего выполняется операция умножения

     

     по модулю р₃÷р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю

     

     после чего, если

     

     , выполняется операция сложения

     

     по модулю р₃÷р_n;
117. параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

     

     если

     

     иначе

     

     двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

     

     промежуточного результата

     

     произведения чисел А и В;
118. параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

     

     если

     

     иначе

     

     

     двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

     

     промежуточного результата

     

     произведения чисел А и В;
119. цикл деления

     

     завершается;
120. в случае если

     

     выполняется один цикл деления

     

     на 2^α, где α=

     

     затем если количество итераций j_B≥1, выполняется j_B циклов деления

     

     на 2^α, где α=q-1;
121. цикл деления

     

     на 2^α состоит в следующем:
122. в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

     

     по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     числа В и значения мультипликативной инверсии Р₁ по модулю р₁

     

     путем нахождения значения

     

     - наибольшее целое, не превышающее

     

     все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
123. параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

     

     по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     и значения мультипликативной инверсии Р₂ по модулю

     
124. параллельно с этим в третьем ÷ n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

     

     

     по модулю р₃÷р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     и значения мультипликативной инверсии Р₃÷Р_n по модулю

     
125. после того, как получены значения элементов вектора

     

     данный вектор загружается в векторные ядра следующим образом:
126. в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

     
127. параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

     
128. параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов

     
129. после того, как элементы вектора

     

     загружены в векторные ядра, производится вычисление ранга и остатка от деления на 2^q-1 следующим образом:
130. в первом векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

     

     и

     

     значение

     

     передается в управляющее ядро;
131. параллельно с этим во втором векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

     

     и

     

     значение

     

     передается в управляющее ядро;
132. параллельно с этим в третьем векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов

     

     и

     

     значение

     

     передается в управляющее ядро;
133. после того, как результаты скалярного произведения векторов переданы в управляющее ядро, в управляющем ядре вычисляется значение ранга R^B=R^B _min, если

     

     

     если

     

     и значение остатка от деления модулярной мантиссы

     

     числа В

     

     
134. после того, как управляющее ядро передаст во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения

     

     и α, выполняется деление модулярной мантиссы

     

     числа В на число 2^α:
135. в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

     

     по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы,

     

     числа В и значения

     

     следующим образом: если

     

     то

     

     если

     

     то

     

     после чего выполняется операция умножения

     

     по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     числа В и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю p₁

     

     путем нахождения значения

     

     -

     

     где

     

     - наибольшее целое, не превышающее

     

     после чего, если

     

     , выполняется операция сложения

     

     по модулю р₁ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     

     числа В следующим образом: если

     

     то

     

     , если

     

     то

     

     все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
136. параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

     

     по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     числа В и значения

     

     после чего выполняется операция умножения

     

     по модулю р₂ q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю

     

     после чего, если

     

     , выполняется операция сложения

     

     по модулю р₂;
137. параллельно с этим в третьем ÷ n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания

     

     по модулю р₃÷р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     модулярной мантиссы

     

     числа В и значения

     

     после чего выполняется операция умножения

     

     по модулю р₃÷р_n q-разрядного двоичного представления знакопозиции

     

     и значения мультипликативной инверсии 2^α по модулю

     

     после чего, если

     

     , выполняется операция сложения

     

     по модулю р₃÷р_n;
138. параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

     

     если

     

     иначе

     

     двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики

     

     промежуточного результата

     

     произведения чисел А и В;
139. параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция

     

     если

     

     иначе

     

     

     двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики

     

     промежуточного результата

     

     произведения чисел А и В;
140. цикл деления

     

     на 2^α завершается;
141. после того, как выполнена коррекция мантисс

     

     и

     

     

     чисел А и В соответственно, выполняется их умножение следующим образом:
142. в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

     

     по модулю р₁ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

     

     модулярных мантисс

     

     и

     

     чисел А и В соответственно, путем нахождения значения

     

     

     где

     

     - наибольшее целое, не превышающее

     
143. параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

     

     по модулю р₂ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

     

     модулярных мантисс

     

     и

     

     чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
144. параллельно с этим в третьем ÷ n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения

     

     

     по модулю р₃÷р_n q-разрядных двоичных представлений знакопозиций

     

     модулярных мантисс

     

     и

     

     чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
145. в результате выполнения данных операций получается произведение

     

     

     чисел

     

     и

     

     

     представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой.