NO343912B1

NO343912B1 - Anriket multipunkts fluksapproksimasjon

Info

Publication number: NO343912B1
Application number: NO20091041A
Authority: NO
Inventors: Qian-Yong Chen; Richard T Mifflin; Jing Wan; Yahan Yang
Original assignee: Exxonmobil Upstream Res Co
Priority date: 2006-08-14
Filing date: 2009-03-10
Publication date: 2019-07-08
Also published as: CN101501700B; BRPI0714972A2; EP2057577A2; US20090281776A1; NO20091041L; CN101501700A; WO2008020906A3; EP2057577A4; WO2008020906A2; CA2660444A1; US7983883B2; CA2660444C

Description

Område for oppfinnelsen

Den foreliggende oppfinnelsen vedrører generelt modellering av hydrokarbonreservoaret og spesielt for å tilveiebringe mer konsistent og nøyaktig representasjon av fluidstrømmer og trykkgradienter.

Beskrivelse av beslektet teknikk

Lokalisering av petroleumsavsetninger, borebrønner og håndtering av petroleumsekstraksjon fra en avsetning gjøres ved store kostnader. Pga. den kompliserte og kritiske naturen av å lokalisere og håndtere hydrokarbonavsetninger, har nye profesjoner utviklet seg og spesielle teknologier har blitt utviklet for å redusere usikkerhet, senke kostnader og optimalisere produksjon. Petroleumsingeniører, produksjonsingeniører, geofysikere og geologer bruker nå datamaskinbaserte modeller av jordskorpen for å planlegge utvinning og håndtere produksjon av petroleumsreservoarer.

Reservoarbetingelser er ikke statiske, og gass og væsker i et reservoar kan bevege seg raskt. Ingeniører bruker numeriske simuleringer i modellering av gass- og væskebevegelser i hydrokarbonreservoarer. Disse simuleringene hjelper ingeniørene med å få en bedre forståelse av reservoarets struktur og flytegenskaper, så vel som å hjelpe til i utvikling av en optimal produksjonsstrategi, som maksimerer utvinning og oppnår det beste økonomiske resultatet. Moderne reservoarmodellering har utviklet seg raskt i kompleksitet og kan innebære integrasjon av flere datamaskinpakker og beregningsmaskiner. Imidlertid kan en modelleringsoppgave generelt brytes ned i to hovedtrinn: geologisk modellering, gitterdannelse og egenskapsgenerering, initiering, historietilpasning og prediksjon.

Geologisk modellering vedrører etablering av reservoargeometri, reservoargrenser og forkastninger, så vel som å etablere grunnleggende bergartsegenskaper så som porøsitets- og permeabilitetsfordelinger. For å tilveiebringe en nøyaktig representasjon av et reservoar, kan data innlemmes fra et svært stort antall av kilder, inkludert fysiske undersøkelser, seismografiske undersøkelser og brønndata. Ingeniører har ofte svært detaljerte data om karakteristikker og egenskaper av spesifikke og diskrete lokasjoner innenfor reservoaret. Ved initialisering kan disse dataene brukes til å bestemme den totale fluidmengden, så vel som fluidsammensetninger og fasemetninger i diskrete celler. Historietilpasning kan utføres etter en simuleringskjøring ved å sammenligne numeriske resultater (for eksempel for brønnproduksjonsrate, gass/oljeforhold, vannkutt, osv.) mot virkelige feltdata, og justeringer kan gjøres med reservoarmodellen for å redusere avvik.

Straks en modell er raffinert kan den brukes til å predikere fremtidige brønnproduksjonsrater, og en brønnhåndteringsstrategi basert på de simulerte reservoarstrømningsforholdene kan konstrueres, som har som mål å optimalisere den samlede utvinningen eller økonomiske resultater.

Gitteroppbygging utføres typisk for å diskretisere et reservoar til et endelig antall celler for å simulere reservoarets oppførsel. Det er ofte tilfelle at gitterorientering, gitterstørrelse og gittergeometri har en stor innvirkning på nøyaktigheten i en simulering. Generelt, for å løse trykk-, metnings- eller permeabilitetsvariasjon over reservoaret, er det nødvendig å bruke mindre gitterceller som skal brukes hvor en slik variasjon er stor. For eksempel må cellestørrelser i omgivelsene for en brønn være små, pga. det uvanlige store trykknedtrekket ved disse lokasjonene.

Foruten gitterstørrelse, kan gitterorientering og gittergeometri også ha en sterk innvirkning på simuleringsresultater. For å redusere effekten av gitterorientering, kan for eksempel gitteret stilles langs sentrale geologiske særtrekk i reservoaret, så som facia eller forkastninger, så vel som strømningslinjer for fluidflyt. Med alminnelig brukt kartesisk gitter, med anvendelse av lokale raffinementer, kan det være mulig å generere gitteret med celler av forskjellig størrelse, men det kan være vanskelig å stille celler opp på linje langs geologiske særtrekk eller flytstrømslinjer. For isotropiske permeabilitetsfordelinger og særtrekk som er horisontale eller vertikale, kan dette gitterorienteringsproblemet med kartesisk gitter delvis løses med fremkomst av K-ortogonale gitre hvor gitternodene kan fordeles mer eller mindre fritt i rommet for å samsvare med reservoargeometri. For anisotrope og svært heterogene permeabilitetsfelt, er det tilnærmet umulig å danne K-ortogonale gitre. Derfor kan konvensjonell topunkts fluksapproksimasjon (TPFA), som beregner fluksen for en flate mellom tilgrensende gitterblokker ved stykkevis lineær interpolasjon av gittercelletrykkene, ikke lenger være nøyaktig eller gyldig, og multipunkts fluksapproksimasjon (MPFA) bør anvendes. MPFA innebærer en større stensil for å beregne fluksen og er anerkjent av ingeniører som en måte å forbedre numerisk nøyaktighet på.

Med MPFA blir formler for å beregne flukser først avledet for enkeltfasestrømmer, og deretter generalisert for fasestrømmer i multifase, ved å ta hensyn til metningseffekter på relativ permeabilitet. Målet i utledningen er å løse for et trykkgradientsfelt i reservoaret, som gir flukser som er konsistente over grenseflatene mellom gitterceller. For å beregne trykkgradienten i 2D, lages vekselvirkningsområder rundt hvert vertex i gitteret ved å sammenføye sentret i hver gittercelle som deler vertexen med sentret for cellekantene som møtes ved vertexen. I 3D dannes vekselvirkningsområder ved å bygge flater som er bundet med linjer som kopler blokksentra og flatesentra, og linjer som forbinder flatesentra og kantsentra for celler rundt vertexen.

Beregning av en trykkgradient ved anvendelse av MPFA kan beskrives med henvisning til fig.1, som viser et forbilledlig sett av tilgrensende gitterceller 1101- 1104som deler et felles vertex O. Et vekselvirkningsområde 120 lages ved å sammenføye cellesentra C1-C4med sentra M1-M4av cellekanter som møter ved vertex O. For å gjøre diskusjonen lettere, blir hver del av et vekselvirkningsområde som er innholdt i en av cellene referert til som et subvolum. For eksempel, i fig.1, er kvadrilateraler C2M1OM2, C3M2OM3, C4M3OM4 og C1M4O M1�de fire subvolumene av vekselvirkningsområdet 120.

Med konvensjonell MPFA, antas trykkgradienten å være konstant i hvert subvolum og oppnås ved å anvende førsteordens Taylor-ekspansjon eller lineær interpolasjon basert på trykkverdien ved cellesentret (Ci,,i = 1 til 4) og de ved kantsentrene (Mi,i = 1 til 4) av samme subvolum. Ved anvendelse av trykkgradienten og Darcy’s lov,

F = n<γ>λК∇p

kan flukser bli skrevet uttrykt ved pc iog pci, hvor F er fluks i fot per dag, n er normalvektoren, λ er fluidmobilliteten i 1/cp, К er en permeabilitetssensor i millidarcy, ∇ er gradientoperatøren i 1/ft og p er trykk i pund per kvadrattomme. Selv om det ikke er skrevet eksplisivt, kan en omdanningsfaktor for enhet på 0,00633 anvendes på høyre side for å gjøre om md*psi/ft*cp til fot/dag. Ved å utligne flukser over hver halvkant på innsiden av vekselvirkningsområdet (M1M2, M2M3, M3M4, og M4M1) kan en formel for trykk ved et hvilket som helst punkt pciutledes som lineære funksjoner av pci. Ved substitusjon kan disse ligningene gi uttrykk for flukser som lineære funksjoner av alle trykkverdier ved gittercellesentra. De eksakte formene på disse lineære relasjonene kan avhenge av den valgte cellegeometrien og permeabilitetssensorene på gitterceller som omslutter subvolumet. I reservoarsimulering kan deretter trykk i blokksentra løses for å bestemme strømmene og tilstanden i systemet.

Generelt, med MPFA er økningen i beregningskostnaden sammenlignet med TPFA relativt liten, men resultater viser seg å bli mer nøyaktig, som forventet. Imidlertid har det blitt observert at MPFA kan føre til alvorlige ikke-fysiske oscillasjoner i numeriske løsninger for enkeltfasetrykkligning

-∇ ∗K∇p = g

dersom permeabilitetsfeltet er sterkt anisotropisk, hvor g er et kilde/avløpsuttrykk og en konstant mobilitet på 1 antas å forenkle benevningene. Disse numeriske oscillasjonene kan knyttes til mangel på monotonhet i løsningsmatriksen for diskretiseringsproblemet, og anstrengelse har blitt gjort for å forbedre MPFA slik at matriksmonotoniheten kan gjenopprettes. I alle tilfelle kan mulig forekomst av disse oscillasjonene påføre en alvorlig begrensning på anvendelsen av MPFA i mange applikasjoner.

Således, det som er nødvendig er en forbedret fremgangsmåte for approksimering av fluksgradienter.

NORDBOTTEN J.M. ET AL., "Discretization on Quadrilateral Grids With Improved Monotonicity Properties", JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS, (2005), vol.

203, side 744 – 760, beskriver en fremgangsmåte for modellering av fluidstrømning innenfor et reservoar. Fremgangsmåten omfatter å dele opp reservoaret i et antall gitterceller og definere vekselvirkningsområder innenfor tilgrensede celler, samt utføre trykkinterpolasjon i de nevnte områdene ved bruk av den såkalte MPFA-Z-metoden.

Annen relevant teknikk fremgår av KHATTRI S.K., "A New Smoothing Algorithm for Quadrilateral and Hexahedral Meshes", COMPUTATIONAL SCIENCE-ICCS 2006, (20060512), vol.3992, side 239 – 246,

US 6826520 B1,

KLAUSEN R.A. ET AL., "Relationships Among Some Locally Conservative Discretization Methods Which Handle Discontinuous Coefficients", COMPUTATIONAL GE-OSCIENCES, (200412), vol.8, no.4, side 341 – 377,

IVAR AAVATSMARK, "An Introduction to Multipoint Flux Approximations for Quadrilateral Grids", COMPUTATIONAL GEOSCIENCES, KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS, DO, (20020901), vol.6, no.3-4, ISSN 1573-1499, side 405 – 432, og NORDBOTTEN J M ET AL, "Monotonicity conditions for control volume methods on uniform parallelogram grids in homogeneous media", COMPUTATIONAL GEOSCI-ENCES, KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS, DO, (20050301), vol.9, no.1, ISSN 1573-1499, side 61 – 72.

OPPSUMMERING AV OPPFINNELSEN

Utførelsesformer av den foreliggende oppfinnelsen tilveiebringer generelt fremgangsmåter og apparatur for å lage multipunkts approksimasjoner.

Omfanget av oppfinnelsen fremgår av de etterfølgende patentkrav.

For noen utførelsesformer tilveiebringes mer nøyaktige fremgangsmåter for å beregne trykkgradient og flukser over diskrete områder eller volumer innenfor en petroleumsreservoarmodell. Skadelige oscillasjoner i numeriske løsninger kan reduseres ved introduksjon av ytterligere ukjente parametere (for eksempel ukjente trykk) i vekselvirkningsområder. Tilsats av en eller flere ukjente parametere tillater oppbygging av en kontinuerlig trykkinterpolasjon med et særskilt vekselvirkningsområde ved bruk av stykkevise lineære eller stykkevise bilineære, eller trilineære i 3D, teknikker.

I en utførelsesform er en fremgangsmåte for å modellere flyt av et fluid innenfor et reservoar. Fremgangsmåten inkluderer oppdeling av reservoaret inn i et endelig antall gitterceller, som danner et gitter av reservoaret; definere vekselvirkningsområder inneholdt innenfor tilgrensende gitterceller i gitteret; og utføre anrikede multipunkts fluksapproksimasjonsoperasjoner som tillater kontinuerlig trykkinterpolasjon innenfor et av vekselvirkningsområdene, ved å introdusere minst en ukjent trykkparameter innenfor det ene av vekselvirkningsområdene.

I en annen utførelsesform er en fremgangsmåte for predikering av fluid i et reservoar beskrevet. Fremgangsmåten inkluderer (a) dele opp et reservoar i et endelig antall gitterceller som danner et gitter av reservoaret; (b) definere vekselvirkningsområder inneholdt innenfor tilgrensende gitterceller i gitteret; (c) generere et lineært system av ligninger uttrykt ved globale trykkparametre ved å utføre anrikede operasjoner av multipunkts fluksapproksimasjon, som tillater kontinuerlig trykkinterpolasjon innenfor multiple vekselvirkningsområder ved å introdusere minst en ukjent trykkparameter innenfor hvert av de multiple vekselvirkningsområdene; og (d) løse det lineære ligningssystemet.

I enda en utførelsesform er det beskrevet et datamaskinavlesbart lagringsmedium som inneholder instruksjoner som kan utføres. Det datamaskinavlesbare lagringsmediet, som utføres av en prosessor, utfører operasjoner for anriket multipunkts fluksapproksimasjon. De utførbare instruksjonene omfatter (a) definisjon av vekselvirkningsområder inneholdt innenfor tilgrensende gittercelle av et endelig antall av gitterceller som danner et gitter som deler opp et reservoar; og (b) generere et lineært system av ligninger uttrykt ved globale trykkparametere ved å utføre operasjoner med anriket multipunkts fluksapproksimasjon som tillater kontinuerlig trykkinterpolasjon innenfor multiple vekselvirkningsområder ved å introdusere minst en ukjent trykkparameter innenfor hvert av de multiple vekselvirkningsområdene.

I en annen alternativ utførelsesform er det beskrevet en fremgangsmåte for å predikere en eller flere flytbaserte materialegenskaper for et reservoar. Fremgangsmåten omfatter å dele opp reservoaret i et endelig antall gitterceller som danner et gitter av reservoaret; definere et vekselvirkningsområde inneholdt innenfor tilgrensende gitterceller i gitteret; utlede et ligningssett for interpolasjon av en parameter innenfor vekselvirkningsområdene uttrykt ved minst fem ukjente verdier av parameteren lokalt med vekselvirkningsområdet, inkludert minst en ukjent parameter innenfor vekselvirkningsområdet; utlede, utfra settet av interpolasjonsligninger, et system av ligninger uttrykt ved globalt ukjente parametere; og løse ligningssystemet for å predikere den ene eller flere flytbaserte materialegenskapene.

I en annen utførelsesform er det beskrevet en fremgangsmåte for å predikere trykkgradienten i et reservoar. Denne fremgangsmåten omfatter å dele opp reservoaret i et endelig antall av gitterceller som danner gitter av reservoaret; definere et vekselvirkningsområde inneholdt innenfor tilgrensende gitterceller i gitteret; utlede et ligningssett for trykkinterpolasjon innenfor vekselvirkningsområdene uttrykt ved minst fem ukjente trykkparametere lokalt med vekselvirkningsområdet, inkludert minst en ukjent trykkparameter innenfor vekselvirkningsområdet; utlede, utfra settet av trykkinterpolasjonsligninger, et system av ligninger uttrykt ved globalt ukjente trykkparametere; og løse ligningssystemet for å predikere trykkgradienten i reservoaret.

KORT BESKRIVELSE AV TEGNINGENE

De foregående og andre aspekter og fordeler forstås bedre utfra den følgende detaljerte beskrivelsen av en foretrukket utførelsesform av oppfinnelsen, med henvisning til tegningene, hvor:

Fig. 1 illustrerer et eksempelvis vekselvirkningsområde og tilsvarende subvolumer brukt i konvensjonell multipunkts fluksapproksimasjon (MPFA).

Fig. 2 er et flytdiagram av eksempelvise operasjoner for å utføre anriket multipunkts fluksapproksimasjon (EMPFA), i samsvar med utførelsesformer av den foreliggende oppfinnelsen.

Figurer 3A og 3B illustrerer et eksempelvis vekselvirkningsområde og subvolumer bygget opp for å utføre EMPFA, i samsvar med utførelsesformer av den foreliggende oppfinnelsen.

Fig. 4 illustrerer et eksempelvis integrasjonsområde og subvolumer bygget opp for å utføre EMPFA, i samsvar med utførelsesformer av den foreliggende oppfinnelsen.

Fig. 5 illustrerer et eksempelvis integrasjonsområde og subvolumer bygget opp for å utføre EMPFA, i samsvar med utførelsesformer av den foreliggende oppfinnelsen.

Fig. 6 illustrerer et eksempelvis ikke-passende gitter og et tilsvarende integrasjonsområde for å utføre EMPFA, i samsvar med utførelsesformer av den foreliggende oppfinnelsen.

Fig. 7 illustrerer et eksempelvis 3-D vekselvirkningsområde og subvolumer bygget opp for å utføre EMPFA, i samsvar med utførelsesformer av den foreliggende oppfinnelsen.

Figurene 8A-8F illustrerer eksempelvise subvolumer av 3-D integrasjonsområdet vist i fig. 7.

Fig. 9 illustrerer et vilkårlig gitter generert ved å senke et kartesisk gitter.

Fig. 10 illustrerer et gitter brukt til å undersøke numeriske oscillasjoner ved anvendelse av EMPFA.

Fig. 11 illustrerer en graf av resultatet oppnådd ved å bruke konvensjonell EMPFA.

Fig. 12 illustrerer en graf av resultater oppnådd ved anvendelse av EMPFA.

Fig. 13 illustrerer et 3-dimensjonalt diagram som illustrerer løsninger fra EMPFA sammenlignet med EMPFA.

Fig. 14 illustrerer en graf av feil i resultatet oppnådd ved anvendelse av konvensjonell MPFA mot EMPFA.

Figurene 15A og 15B illustrerer et eksempelvis beregningsområde med diskontinuerlig permeabilitet, og et gitter av områder med diskontinuerlige områder.

DETALJERT BESKRIVELSE AV DEN FORETRUKNE UTFØRELSESFOR-

MEN

Utførelsesformer ved den foreliggende oppfinnelsen tilveiebringer generelt en fremgangsmåte, apparatur og system som kan anvendes for å redusere eller eliminere numeriske oscillasjoner i løsninger som skjer ved anvendelse av konvensjonell EMPFA. Teknikken kan refereres til som anriket multipunkts fluksapproksimasjon (EMPFA).

EMPFA, som beskrevet her, kan anvendes i en rekke applikasjoner, så som modellering av generelle enkelt- eller multifasestrømninger ved anvendelse av forskjellige fluidmodeller (for eksempel svart olje eller tilstandsligning eller annet sammensetningsmessig) i 2-dimensjonale (2D) eller 3-dimensjonale (3D) reservoarmodeller. EMPFA kan anvendes for å modellere den konjuktive flyten av energi. Videre kan EMPFA anvendes på kartesiske, Voronoi- eller til og med vilkårlig gitre. I en særskilt applikasjon kan EMP-FA anvendes for å forbedre konsistensen og nøyaktigheten i oppbygging av trykkinterpolasjoner i gitterceller for formålet av å bestemme fluksligninger som anvendes i predikering av en strømning i et reservoar.

Som tidligere beskrevet, med den konvensjonelle fremgangsmåten av MPFA, behandles en trykkgradient som en konstant innenfor hvert subvolum av et vekselvirkningsområde basert på lineær interpolasjon av trykk ved blokksenteret og de to tilgrensende kantsentrene, som kan gi opphav til en inkonsistens ved at det lineært interpolerte trykket kan være diskontinuerlig over hver halvkant delt med tilgrensende subvolumer. EMPFA kan overkomme denne mangelen ved å tilføre flere frihetsgrader innenfor vekselvirkningsområdet (for eksempel ved vertexen innenfor hvert vekselvirkningsområde), som kan tillate kontinuerlig trykkinterpolasjon innenfor tilvirkningsområdet og mer nøyaktig fluksapproksimasjon.

Således kan EMPFA-teknikker beskrevet her brukes med fordel i en hvilken som helst type applikasjon som kan gjøre nytte av mer nøyaktige trykk- eller fluksapproksimasjoner. Slike applikasjoner inkluderer, men er ikke begrenset til, oppskalering, modellering av dispersjon/diffusjon og kopling av material- og energiflyt i termisk simulering.

For å gjøre det lettere å forstå, vil den følgende beskrivelsen referere seg til å bestemme flukser i et petroleumsreservoar modelleringssystem som et spesifikt, men ikke begrensende, eksempel på en nyttig applikasjon av EMPFA. Imidlertid vil fagfolk anerkjenne at fremgangsmåten og anordningen beskrevet her og/eller benyttet på den måten beskrevet her kan anvendes i en stor enfoldighet av applikasjoner på nummerisk modeller.

EN EKSEMPELVIS FREMGANGSMÅTE FOR ANRIKET MULTIPUNKTS FLUKSAPPROKSIMASJON

Fig. 2 er et flytdiagram 200 av forbilledlige operasjoner 200 som kan utføres for nøyaktig å beregne flukser ved grenseflater i gitterceller, i samsvar med utførelsesformer av den foreliggende oppfinnelsen. Operasjonene kan for eksempel utføres i en anstrengelse for å oppnå en rekke fluksligninger for alle cellegrenseflater (for eksempel uttrykt ved trykk ved cellesentra) som kan anvendes i en global anstrengelse for å predikere strømning i en reservoarmodell.

Operasjonene begynner ved blokk 202 ved å dele opp et reservoar i et endelig antall gitterceller. Ved blokk 204 er et vekselvirkningsområde inneholdt innenfor tilgrensende celler i gitteret definert. Som beskrevet tidligere kan cellene være konstruert med forskjellig cellestørrelse, cellegrensegeometri og orientering (for eksempel K-ortogonalt gitter hvor gitternoder (hjørner) kan fordeles mer eller mindre fritt i rommet for å samsvare med reservoargeometri) som kan hjelpe til i nøyaktig simulering.

Ved blokk 206 utføres anriket multipunkts fluksapproksimasjon (EMPFA) som tillater kontinuerlig trykkinterpolasjon med et vekselvirkningsområde, ved å introdusere et ytterligere trykk som er ukjent innenfor vekselvirkningsområdet (for eksempel ved vertexen). Ved å tillate kontinuerlig interpolasjon innenfor vekselvirkningsområdet, kan EMPFA eliminere eller redusere numeriske oscillasjoner knyttet til konvensjonell MPFA. Ligninger for kontinuerlig interpolasjon innenfor vekselvirkningsområdet kan utledes ved å benytte et mangfold av forskjellige teknikker som benytter ukjente trykk ved kantsentra av et vekselvirkningsområde og et ytterligere trykk innenfor vekselvirkningsområdet, slik som ved vertexen.

For eksempel, for en utførelsesform kan stykkevise bilineære approksimasjonsteknikker anvendes for å utlede et ligningssett. Med stykkevis bilineær approksimasjon kan et trykkfelt bygges opp for hvert subvolum av et vekselvirkningsområde i to trinn. Først kan kvadrilateralen som definerer et subvolum (i x-y koordinatrom) kartlegges til et element i standardreferansekvadrat (1x1) i et annet koordinatrom.

Figurene 3A og 3B illustrerer kartlegging av subvolumer til et vekselvirkningsområde 120 i et x-y koordinatrom til referansekvadrat (1x1) subvolumer 3221-3224av et vekselvirkningsområde 320 i et annet (ξ, η) koordinatrom. Subvolumene kan kartlegges via de følgende ligningene:

x=x1+ (x2– x1)ξ (x3– x1)η (x4– x3– x2+ x1)ξη

y =y1+ (y2– y1)ξ (y3– y1)η+ (y4– y3– y2+ y1)ξη

hvor (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), og (x4, y4) er x-y koordinater for de fire kvadrilaterale hjørnepunktene til subvolumet (for eksempel C1, O, M1og M4, for det viste subvolumet kartlagt i fig.3B).

Deretter, for hvert (kartlagte) kvadratiske subvolum, kan en bilineære trykkligning defineres som følger:

p(ξ, η)=p1(1-ξ)(1-η)+p2ξ(1-η)+p3ξη+p4(1-ξ)η

hvor p1,p2,p3og p4er trykkverdier ved de fire hjørnene av kvadrilateralen (for eksempel C1,O, M1og M4, henholdsvis). Trykkfunksjonen p (ξ, η) definert ved ligning (4) blir en funksjon av p(x, y) på kvadrilateralen når kombinert med kartleggingen i ligning (3). Mens den eksakte formen på trykk, uttrykt ved x- og y- variable avledet av disse ligningene, p(x, y), kan være relativt komplisert, kan det verifiseres at på hver side av kvadrilateralen er p(x, y) lineær langs kanten.

Således bestemmes p(x, y) langs en felles kant unikt av trykkverdiene på de to endepunktene, som betyr at p(x, y) fra bilineære interpolasjoner på tilgrensende subvolumer er like langs den felles kanten. Med andre ord er trykk fra denne bilineære approksimasjonen kontinuerlig innenfor hele vekselvirkningsområdet.

For en utførelsesform kan stykkevise lineære approksimasjonsteknikker anvendes for å utlede et sett av ligninger benyttet for å generere en kontinuerlig trykkinterpolasjon innenfor et vekselvirkningsområde. Med stykkevis lineær approksimasjon kan hvert subvolum i et vekselvirkningsområde først deles opp i to deler ved en linje som sammenføyer vertexen til blokksenteret.

For eksempel, med henvisning til fig.4 kan subvolum C1,M4OM1deles opp i trekanter C1OM1og trekant C1OM4med linje C1O. Innenfor hver trekant antas trykk å være lineært og interpolert fra trykkverdier ved de tre hjørnene, som hver inkluderer vertexen, et blokksenter og en kantsenter. For eksempel kan trykk innenfor trekant C1OM1i fig.1 interpoleres fra trykkverdier ved punkter C1, O og M1, ut fra den følgende ligningen:

hvor p1, p2og p3er trykkverdier ved C1, O og M1, henholdsvis, og (x1,y1), (x2, y2) og (x3, y3) er x-y koordinatene for disse punktene.

Lineariteten for interpolasjonen medfører at trykk langs hver halvkant er kun avhengig av trykkverdiene på de to endepunktene på linjen, og er således uavhengig av trekanten hvorfra den lineære approksimasjonen er laget. For eksempel gir lineær interpolasjon på trekant C1OM1og den på trekant C2OM1det samme resultatet langs halvkant OM1. Pga. dette er trykk avledet fra stykkevis lineær approksimasjon kontinuerlig innenfor vekselvirkningsområdet. Over grenser mellom forskjellige vekselvirkningsområder kan imidlertid trykk interpolert således ikke være kontinuerlig fordi prosedyren for å utjevne flukser innenfor tilgrensende områder kan produsere forskjellige trykkverdier for de tilsvarende kantsentrene.

De mellomliggende ukjente trykkene ved kantsentrene og vertexen introdusert for EMPFA, uavhengig av de anvendte teknikkene (for eksempel stykkevis lineær eller bilineær) ovenfor, kan elimineres slik at ligninger for trykkgradient og fluksene kan uttrykkes ved et system av ukjente parameter bare, slik som trykk ved gittercellesentra. For å eliminere de mellomliggende ukjente trykkene ved kantsentrene, kan fluksutjevningsligninger utledes for hver halvkant av vekselvirkningsområdet.

Som det første trinnet av denne tilnærmelsen kan flukser beregnes fra Darcy’s lov for hvert subvolum, for eksempel basert på trykkinterpolasjonsskjema introdusert tidligere. Med stykkevis lineær eller stykkevis bilineær interpolasjon kan en trykkgradientligning skrives uttrykt ved trykkverdier ved blokksentra, kantsentra og vertexen. Substitusjon av denne trykkgradientligningen inn i ligning (1) ovenfor (F = nT (K/μ∇p) gir en ligning av følgende form:

hvor subskrift i er en index (1-4) for cellesentra, og k er en index for kantsentra.

Ved hver halvkant gir utjevnende flukser beregnet fra de to subvolumene (identifisert nedenfor med symboler og -) på hver side av kanten ligningen:

For stykkevis lineær proksimasjon er К, ∇p og F konstante langs kanten. Følgelig gjelder fluksutjevningsligningen for hvert punkt langs kanten. For stykkevis bilineær approksimasjon er imidlertid К konstant, men ∇p og F er ikke. Følgelig gjelder fluksutjevningen kun ved kantsentrene. I ethvert tilfelle, for å eliminere trykk som er ukjent ved vertexen (po) introdusert for EMPFA-teknikkene beskrevet ovenfor, kan en ytterligere ligning bygges opp. Flere forskjellig teknikker basert på en enkeltfase og stasjonær tilstandstrykkligning kan anvendes for denne oppbygningen.

For en utførelsesform kan en integrasjon av strømning innenfor vekselvirkningsområdet anvendes. Med denne tilnærmelsen kan integrasjon utføres på hver side av trykkligningen (2) ovenfor, -∇.К∇p=g over vekselvirkningsområde. Denne integrasjonen kan utvikles ved den følgende ligningen:

hvor ∂Ω er grensen for vekselvirkningsområde Ω. Ved å uttrykke ∇p som en lineær kombinasjon og pci,pdkog poog sette inn i ligning (8) i den ønskede ligningen, som kan skrives på den følgende formen:

hvor konstanter β<c>, β<e>og β<v>er funksjoner av permabilitetssensoren.

En annen tilnærmelse for å generere ligninger for å eliminere mellomliggende ukjente trykk er å anvende en 2D-vertex begrensningsflyt integrasjon. Med denne tilnærmelsen utføres fortsatt integrasjon med hver side av ligningen, som med 2D-flytintegrasjonstilnærmelsen beskrevet ovenfor, men kun på et subdomene, Ωεav vekselvirkningsområde Ω som kan utrykkes ved den følgende ligningen:

Subdomenet Ωεkan lages ved å kople punkter, Dk,på hver halvkant, med den betingelsen at av standen mellom hvert punkt Dkpå vertexen er proporsjonal med lengden til kanten Dette er illustrert i figur 5, som illustrerer et forbilledlig subdomene 510 av et vekselvirkningsområde 500 dannet ved koplingspunkter D1-D4på halvkanter 5021-5024, henholdsvis, for vekselvirkningsområdet 500.

Ved å skrive ∇p uttrykt ved pci,,pεkog poigjen, gir ligning (10) :

Ved å anta at g er bundet eller ubundet, men kvadratintegrerbar, kan det vises at høyre side av ligning (11) ovenfor reduserer til o(ε). Dividerer av begge sider med ligningen med ε, og tar grensen ettersom ε nærmer seg null (ε→0), gir en ligning som kan brukes for å løse for trykket ved vertexen p0:

Forskjellige numeriske metoder, så som lokal endelige elementers metode (FEM), kan også anvendes for å løse en enkeltfase-trykkligning. Som et eksempel kan ligning (2) listet opp ovenfor løses i vekselvirkningsområde ved å anvende FEM, for eksempel med Dirichlet-grensebetingelser. Fra denne FEM-løsningen, kan ytterligere ukjent trykk (for eksempel trykket ved vertexen) utvikles som en lineær funksjon av trykkverdier ved kantsentrene og blokksentrene.

Med de begrensningsligningene avledet ovenfor for trykk ved kantsentra over vertexen, kan de mellomliggende trykk ukjente parameterne, pekog p0elimineres fra uttrykket for flukser gitt ved ligning (6). Således kan flukser over hver kant mellom tilgrensende gitterceller tilslutt oppnås ved å summere med flukser fått på en tilsvarende måte fra tilgrensende vekselvirkningsområder, via formen:

hvor summeringen kan utføres over alle gitterceller hvor grensen avskjærer kanten.

For noen utførelsesformer, ifølge en minste kvadraters trykkapproksimasjonsmetode, kan en lineær trykkfunksjon søkes for hvert subvolum som grenser til kanten, som best tilnærmes (minimerer feil) trykkverdier ved cellesenteret og cellekantsenteret for et subvolum. En slik minste kvadratisk tilnærmelse er beskrevet i større detalj nedenfor, med henvisning til et 3D-subvolum.

Ikke-tilpassede gitterceller

For ikke-tilpassede gitterceller kan stykkevis lineære og stykkevis bilineære interpolasjoner kombineres for å beregne fluksene. Fig.6 illustrerer et forbilledlig vekselvirkningsområde 620, inneholdt innenfor ikke-tilpassede gitterceller 6101,6102og 6103.Siden kvadrilateral C1M1OM3er degenerert, kan den ikke kartlegges til en standard kvadrat via en bilineær transform via ligning 4 beskrevet ovenfor, uten å gjøre O til et singulært punkt. Imidlertid kan trekant C1M1OM3deles opp i to subtrekanter, hvorpå lineær interpolasjon kan anvendes. For ikke-degenererte subvolumer, for eksempel kvadrilateral C2M1OM2og C3M2OM3, kan enten stykkevise lineær eller bilineær interpolasjon anvendes. Med denne blandede interpolasjonen kan teknikkene beskrevet ovenfor for utjevning av flukser og for å eliminere de mellomliggende ukjente trykkene også utføres for ikke-tilpassede gitre.

Utvidende EMPFA for 3D- reservoarmodeller

Trykkinterpolasjoner i 3D

EMPFA-teknikkene beskrevet her kan utvides og anvendes på 3D-gitteret. For 3D- gitteret kan subvolumer innenfor vekselvirkningsområder representeres som hexahedra, som illustrert ved hexahedraet 730 vist i fig. 7. Med hvert subvolum hexaheder er det fire typer av hjørnepunkter, nemlig et blokksenter, tre flate sentra, tre kantsentra og et vertex- punkt. For subvolum hexahedra 730 vist i fig.7, er punkt C blokksentret, mens punkter B, G og F er flate sentra, punkter E, H og D er kantsentra, og punkt A er vertexen. Dette er i motsetning til 2D-gittere, for hvilke det kun er tre typer punkter som er bundet som subvolum: et blokksenter, to kantsentra og en vertex.

Den ytterligere hjørnepunktstypen for subvolumer i 3D betyr at ytterligere mellomliggende ukjente parametere kan være nødvendig i fluksberegningene. Spesifikt kan trykkinterpolasjon innebære trykkverdier ved blokksentra, trykkverdier ved flatesentra, trykkverdier ved kantsentra og en trykkverdi på vertexen. På tilsvarende måte som ovenfor, kan disse verdiene behandles som midlertidig ukjente parametere, med unntak av verdien ved blokksenteret. Med disse mellomliggende ukjente parametrene introdusert, kan trykkinterpolasjon utføres for 3D-gitteret ved anvendelse av forskjellige tilnærmelser på tilsvarende måte som i 2D-tilfellet, som beskrevet nedenfor.

Analogt med stykkevis bilineær approksimasjon i 2D, kan stykkevise trilineære approksimasjonsligninger bygges opp for 3D-gitteret. For å bygge opp trilineære trykkapproksimasjonsligninger, blir hexahedriske subvolumer først kartlagt til enhetskuben, ved anvendelse av trilineære funksjoner:

hvor (ξ, η, χ) er i ([0, 1] x [0, 1] x [0, 1]). Ved å begrense ligning 14 til å kartlegge de åtte hjørnene av en enhetskube til hjørnene på det hexahedriske subvolumet, kan alle ukjente koeffisienter på høyre side bestemmes. Deretter kan en ligning for å approksimere trykk ved anvendelse av den trilineære funksjonen bygges opp:

Med interpolasjoner bygget opp på denne måten, er det mulig å verifisere at trykkverdier ved punkter på hver flate bestemmes unikt ved trykkverdier på de fire flate hjørnene. Denne egenskapen medfører at verdier fra to forskjellige trykkinterpolasjoner på tilgrensende subvolumer er like ved felles grenseflate, som betyr at trykk fra trilineær interpolasjon er kontinuerlig innenfor hele vekselvirkningsområdet.

For å bygge opp stykkevis lineær approksimasjon i 3D deles det heksahedriske subvolumet opp i seks tetrahedra. For eksempel kan heksahedra subvolumet 730 vist i fig.7 deles opp i seks tetrahedra CBDE, CDEA, CDEAG, CAGH, CEAF og CAHF, som vist i figurene 8A-8F. Denne dekomponeringen er fortsatt mulig med et tilfeldig gitter hvor flere enn tre flater kan møtes ved vertexen, selv om antallet tetrahedra kan være større enn 6. I alle tilfeller, innenfor hvert tetrahedra kan lineær interpolasjon brukes for å bestemme trykk ved anvendelse av følgende ligning:

Null- og førsteordens koeffisientene a0,axayog azkan løses fra trykkverdier ved de fire tetrahedriske hjørnepunktene. Som et eksempel ved å ta tetraheder CBDE vist i fig.8A, kan det følgende lineære ligningssystemet brukes for å bestemme verdier for a0,ax,ayog ax:

Tilsvarende applikasjonen i 2D kan det vises at trykk bygget opp på denne måten stemmer overens med felles grenseflater mellom tilgrensende subvolumer slik at interpolasjonen som en helhet er kontinuerlig innenfor hele vekselvirkningsområdet.

Eliminering av intermediære ukjente parameter 3D

Som med applikasjonen i 2D er et mål å eliminere mellomliggende ukjente trykk ved flatesentrene, kantsentrene og ved vertexen introdusert for trykkinterpolasjon over for å tillate flukser å bli uttrykt ved trykk i blokksentrene. Prosedyren for å bygge opp konsistens- eller begrensningsligninger kan utføres på en måte som er tilsvarende det for 2D-tilfellet. I 3D-tilfellet er imidlertid flere ligninger nødvendig pga. de ytterligere ukjente parameterne ved kantsentrene.

For fluksutligning beregnes trykkgradient fra lineær eller trilineær interpolasjon og settes deretter inn i Darcy’s lov for å få det følgende uttrykket for flukser:

hvor pci,pfj,pckog porepresenterer verdier ved cellesentra, flatesentra, kantsentra og vertexen, henholdsvis. Utjevning av fluksene over grenseflatene (med subvolumer på forskjellige sider av en grenseflate benevnt ved og – symboler) ifølge den følgende ligningen:

gir nfbegrensningsligninger, hvor nfer antallet flatesentra.

Tilsvarende 2D, kan en – flytintegrasjonstilnærmelse for vekselvirkningsområdet anvendes for å bygge opp en begrensningsligning for trykket ukjent ved vertexen. Ved anvendelse av denne tilnærmelsen kan begge sider av ligning (2) integreres over hele vekselvirkningsområdet, som gir en relasjon av formen:

Alternativt kan en flytintegrasjon med vertexbegrensning utføres på et subområde Ωξdefinert på en tilsvarende måte som i 2D-tilfellet, hvor ξ går mot 0 for å får en homogen versjon av (20):

Forskjellige teknikker kan anvendes for å eliminere mellomliggende ukjente trykk ved kantsentra ved å bygge opp begrensningsligninger. For eksempel, ifølge en minste kvadraters trykkapproksimasjonsmetode, kan en lineær trykkfunksjon søkes etter for hvert subvolum som grenser til kanten og som best approksimerer (minimerer feil) trykkverdier ved blokksentre og blokkflatesentra til subvolumet. For eksempel, for kantsenter E i fig. 7 kan en lineær funksjon som den i (16) defineres til trykkverdier ved blokksenter C og flatesentra B, F og G. Når det kun er fire trykkverdier å approksimere, er den ønskede funksjonen kun en lineær interpolasjon. Imidlertid, når antallet trykkverdier er mer enn fire, som kan være tilfellet dersom mer enn tre flate av kontrollvolumet møtes ved vertexen, kan minimering av kvadratsummen av feil utføres i den følgende ligningen:

Summeringen ovenfor er over hele cellen og flatesentra innenfor det samme subvolumet som kantsentre. Minimering av δ fører til det følgende lineære ligningssystemet:

hvor nfer antallet flatesentra involvert i ligning (23). Løsning av (23) gir a0, ax, ayog az�som lineære funksjondata pcog pfj

Substitusjon av (24) i den opprinnelige lineære trykkfunksjonen (16) gir følgende ligning:

En endelig begrensningsligning fra den direkte approksimasjonsmetoden kan oppnås ved å sette trykket ved kantsentre lik gjennomsnittet av p(x, y, z ) beregnet ovenfor for forskjellige subvolumer, som deler halvkanten:

hvor subskrift i indikerer forskjellige subvolumer. Det kan nevnes at begrensningsligningen ovenfor, så vel som de fra utjevnende flukser eller integrasjon av trykkligning, er lineære relasjoner mellom pci,pfj, pckog po. Som et resultat kan de mellomliggende ukjente parameterne av EMPFA i 3D elimineres med en lineær løsning, som er tilfellet for 2D-problemer. Istedenfor å minimere feil for subvolumer individuelt, og deretter midle trykkene som beskrevet ovenfor er det også mulig å utlede begrensningsligninger for pek,ved å minimere kvadratsummen av feil som inkluderer bidrag fra alle subvolumer som deler kanten.

Kantvolumflytintegrasjon er en annen tilnærmelse som er tilsvarende integralmetoden benyttet for å bygge opp begrensningsligningen for trykket ukjent ved vertexen. For hvert trykk ukjent ved kantsentra kan integrasjonen utføres over et polyheder med vertexene som inkluderer vertexen for kontrollvolumene innenfor vekselvirkningsområdet og alle blokksentra på den samme flaten av vekselvirkningsområdet som kantsentre. For å bygge opp gradientfeltet må polyhedre deles opp i flere tetrahedra, som hver har to tilgrensende kontrollvolumsentra, vertexen og sentre for halvkanten som vertexene. For hvert polyheder kan lineær interpolasjon benyttes for trykk, hvorfra trykkgradient beregnes og substitueres inn i den integrerte trykkligningen.

Med begrensningsligningene avgrenset ovenfor for trykk ved flatesentra, kantsentra og vertexen, kan alle mellomliggende ukjente trykk elimineres fra ligningen for flukser innenfor hvert vekselvirkningsområde. Tilsvarende 2D-applikasjonen kan en endelig ligning for flukser over hver grenseflate av kontrollvolumer deretter oppnås ved å kombinere de fra vekselvirkningsområder som avskjærer grenseflaten.

Tilsvarende 2D-tilnærmelsen beskrevet ovenfor kan andre nummeriske metoder også benyttes for å løse en enkeltfase trykkligning i 3D- applikasjoner. For eksempel kan, ved å anvende en lokal FEM-tilnærmelse, et lokalt finskalagitter genereres og flere ukjente trykk kan introduseres i vekselvirkningsområde. Ligning (2) kan løses lokalt for hvert vekselvirkningsområde, for eksempel ved en Galerkin endeligelementmetode (FEM) med Dirichlet- grensebetingelser. Fra denne FEM-løsningen kan den ytterligere ukjente parameteren (for eksempel trykket ved vertexen) uttrykkes som en lineær funksjon av trykkverdier ved kantsentrene og blokksentrene.

RESERVOARSIMULERINGER VED ANVENDELSE AV EMPFA

Ligningene for beregning av flukser avledet fra EMPFA kan brukes for å modellere generelle multifasefluidstrømninger i reservoar, som styres av følgende masse- og volumbalanseligninger:

hvor Nm, er den totale massen av komponent m i blokk i, xm

ver densiteten for komponent m i fase v, Fv,jer fluksen i fase v over grenseflate j til blokken, Ajer grenseflatens areal og V og Vper fluidvolum og porevolum for blokken, henholdsvis. Flukser for multifasestrømninger kan beregnes ved anvendelse av en modifisert form av ligning (13), EMPFA-fluksformen for enkeltfasestrømning, for å ta hensyn til metningseffekter på permeabilitet og fluidviskositet:

hvor kj,r,vog μj,ver henholdsvis relativ permeabilitet (oppstrømsvektet) og viskositet for fase v, på blokk oppstrøms for grenseflate j, mens summeringen er over alle blokker involvert i fluksberegningene gjennom vekselvirkningsområder.

Således kan en forbilledlig prosedyre for å utføre reservoarsimulering (som kan innebære en 2D- eller 3D-modell, med enkeltfase eller multifasestrømning) som benytter EMPFA innebærer, etter å ha bygget opp et gitter (som kan være kartesisk, Voronoi eller vilkårlig) og vekselvirkningsområder, som genererer fluksformler for hver grenseflate (som vist i fig.2). Som beskrevet her kan de resulterende fluksformlene for hver grenseflate være i form av en lineær funksjon av trykk ved blokksentra som omslutter grenseflaten, hvor koeffisientene er rasjonelle funksjoner av permeabilitet (som kan være isotrope eller fulle tensorer) i de blokkene.

Således kan et lineært system av ligninger uttrykt ved primære systemukjente parametere avledet for å predikere strømning i et reservoar ved å utføre diskretisering i tidsdimensjonen på (27) og anvende passende grensebetingelser. Avhengig av kompleksiteten for strømmen som modelleres, kan det være nødvendig med forskjellig implisitetsnivåer, slik at de systemukjente parameterne kan inkludere bare de implisitte trykkene (IMPES- IMplisit Pressure Explicit Satuations), eller implisitt trykk, etterfulgt av implisitt metning, deretter implisitte mol (sekvensielt), eller implisitt trykk og fasemetning løst simultant (IMPSAT), eller trykk og alle mol kan løses simultant (koplet implisitt). I ethvert tilfelle kan dette lineære systemet av ligninger løses, for eksempel ved anvendelse av direkte eller iterative software teknikker (for eksempel en lineær løser). Denne tidsdiskretiseringen kan beskrives som iterativ utføring av det følgende sett av operasjoner ved en forutbestemt tidsperiode for å simulere strømning i reservoaret.

For hver fluidfase beregnes relativ permeabilitet på hver gitterblokk basert på fasemetninger. Fluksformlene avledet via EMPFA (ved anvendelse av en hvilken som helst av teknikkene beskrevet her) kan modifiseres ved å ta hensyn til metningseffekter på den relative permeabiliteten, for eksempel via ligning (28). Faseflukser og nødvendige lineariseringer kan beregnes ved anvendelse av den modifiserte formelen for hver av fasene. Komponentflukser og nødvendige lineariseringer kan beregnes fra faseflukser og fasesammensetninger. Den diskretiserte formen for masse- og volumbalanseligninger (ligning 27) kan deretter løses for hver fluidkomponent og hver gitterblokk sammen med en ordentlig grensebetingelse. Trykk, masser og metninger ved hver gittercelle kan deretter oppdateres basert på disse løsningene. Eventuelt kan dette settet av operasjoner utføres èn gang for hvert tidstrinn, eller flere ganger for hvert tidstrinn, for eksempel inntil løsninger konvergerer.

Eksempelsimuleringer utført ved anvendelse av prosedyren beskrevet ovenfor ble utført. Resultatene av disse simuleringene, presentert nedenfor, validerer EMPFA- tilnærmelsen og demonstrerer dens fordeler i forhold til konvensjonell EMPFA. For enkelhetsskyld ble disse simuleringene utført ved å anta enkeltfase, strøm i stasjonær tilstandstrømninger, i henhold til ligning (2) ovenfor.

Eksakte løsninger for ensartede strømmer

For ethvert felt med konstante formål av permeabilitet og grensebetingelser foreskrevet ved lineære funksjoner, gjenvinnes den eksakte lineære løsningen ved EMPFA, enten ved å anvende stykkevise lineær eller stykkevis bilineær interpolasjon. Denne konklusjonen er sann for 2D eller 3D kartesiske gitre, Voronoi-gittere og pseudovilkårlige (tilfeldige) gitre som kan genereres ved å avvike et ensartet kartesisk gitter med den betingelsen at alle kontrollvolumer forblir konvekse. Som et eksempel, fig.9 illustrerer et eksempel på vilkårlig gitter 900 av gitterceller 910 generert ved avvik av et kartesisk gitter.

Ekvivalens av fremgangsmåter for K-ortogonale gitre

For K-ortogonale gitre, hvor n<J>К ved hver grenseflate er parallelle med kanten av vekselvirkningsområde som avskjærer grenseflaten, er EMPFA ekvivalent med MPFA og TPFA. Ved å betrakte 2D-tilfellet som et eksempel, med K-ortogonale gitre, er flukser på hver halvkant innenfor et vekselvirkningsområde kun avhengig av trykkgradient langs kanten av vekselvirkningsområdet. For EMPFA som bruker lineær eller bilineær trykkinterpolasjon, er trykk lineært langs den kanten, og således er gradienten ganske enkelt trykkforskjellen mellom de to endepunktene dividert med lengden av kanten, som er det samme for MPFA og TPFA. Således er alle tre tilnærmelser ekvivalente under disse forholdene.

Eliminering av ikke-fysiske oscillasjoner

Testingen krever at EMPFA er overlegen i forhold til MPFA fordi løsninger fått fra anvendelse av MPFA er, til forskjell fra de som er produsert fra MPFA, godt ordnet og fri for ikke-fysiske oscillasjoner. Som et eksempel i 2D, velges[-0,5, 0,5]x[-0,5, 0,5] som beregningsdomene og et kvadrilateralt gitter 1000 som vist i fig.10 genereres. For dette eksempelet bygges et isotropisk permeabilitetsfelt ved å anvende en rotasjon på en diagonal tensor

hvor φ er rotasjonsvinkelen og k1og k2er permeabiliteter i x-y retningene før rotasjonen.

Som grensebetingelser påføres en konstant trykkverdi ved domenegrensen og en konstant strømningshastighet presiseres som den kombinerte fluksen gjennom kantene av gitterblokken ved (0,0) for å simulere en brønn der. Numeriske resultater presenteres som grafer 1100 og 1200 i figurer 11 og 12, tilsvarende henholdsvis MPFA og EMPFA, for kvadrilaterale kontrollvolumer og k1= 1, k2= 1000 og φ = ∏/3. Numeriske oscillasjoner i løsninger fått ved anvendelse av MPFA er klart indikert ved negative verdier 1120 i grafen 1100. I motsetning til dette, løsninger fått ved anvendelse av EMPFA, vist i graf 1200 av fig.12, ses ingen slike oscillasjoner.

I 3D kan testgitteret bygges opp for å studere numeriske oscillasjoner med domenet først delt opp i horisontale lag. Deretter kan et todimensjonalt nett bygges på x-y planet, og deretter projisert i z-retningen for hvert lag i domenet. Ideelt blir gitteret vilkårlig avdekket vertikalt ved anvendelse av følgende kartlegging:

hvor ∆z er tykkelsen på lagene og konstanten κ er mellom 0 og 0,5. Etter avviket er topp- og bunnflatene for hver gitterblokk ikke lenger horisontale, selv om flatene på siden forblir vertikale. Tilsvarende 2D-tilfellet kan et anisotropisk permeabilitetsfelt bygges opp, som har formen K= O<T>, ΛOx,hvor Λ = diag(μ, v, l) og Oxer rotasjonsmatriksen rundt X-aksen:

For testen kan κ for vertikale avviket settes til 0,3 og parametere μ, ν og φ i definisjonen av К er lik 1000, 1000 og π/6, henholdsvis. Resultater for MPFA og EMPFA er vist som grafer 1300 og 1350 i fig.13. Igjen viser graf 1300 klart ikke-fysiske oscillasjoner 1310 som forekommer i løsningene fått via MPFA, mens slike oscillasjoner elimineres når EMPFA benyttes.

Forbedring av løsningsnøyaktighet

2D-trykkligningen med permeabilitet ved ligning (29) tillater en analytisk løsning av formen p(x, y)= - s log (r) t, hvor s og t er konstante og ,, med:

Konstanter s og t kan velges slik at p(x, y) ≥ 0 overalt. En brønn kan antas å bli lokalisert i midten av beregningsdomenet. Feil i approksimasjoner fått via MPFA og EMPFA plottes som grafer 1400 og 1450, henholdsvis, vist i fig.14. Det er opplagt ved å sammenligne grafer 1400 og 1450 at feil i flukser er mye mindre for EMPFA enn MPFA.

Konvergens av løsninger

Tester har også blitt utført for å verifisere at løsninger fått ved anvendelse av EMPFA konvergerer ved en sammenlignbar hastighet med de som er fått ved anvendelse av MPFA. Først ved vurdering av 2D-tilfellet, for å bestemme konvergenshastigheten av MPFA, kan følgende diskrete L2-feil defineres for trykk:

hvor summen er over alle blokker i beregningsdomene, og piog pier henholdsvis eksakt løsning og numerisk løsning for trykk. For flukser er L2-feilen:

hvor summen er over alle kanter, |le| er kantlengden og Veer arealsummen av alle subvolumer som deler kanten.

Det første eksemplet som er brukt for å undersøke konvergens antar [-0,5, 0,5]x[-0,5, 0,5] som beregningsdomene og permeabilitets tensor K = diag (10,1). I dette eksemplet tillater ligning (2) en eksakt analytisk løsning

Ved anvendelse av verdier for p(x, y) ved domenegrensen som grensebetingelser, løses problemet numerisk. I prosessen har gitteret av forskjellig nivåer av raffinement generert ved først å raffinere det kartesiske nettet ensartet, og deretter avvike det fine nettet for å oppnå et vilkårlig gitter. Konvergensresultatet er presentert i tabell 1 nedenfor. TABELL 1

Et andre eksempel for undersøkelse av konvergens betrakter et diskontinuerlig permeabilitetsfelt. Fig.15A viser beregningsdomene som er delt opp i fire områder, 15101-15104,som hver har en forskjellig permeabilitet (ki). Innenfor hvert område antas permeabiliteten å være konstant, isotropisk og diagonal, eller Ki0 kix I hvor indeksen i går fra 1 til 4.

Dette eksempelet tillater for eksakt analytiske løsninger som tar følgende form i polare koordinater:

for (x, y) i hvert område i. Konstantene α, aiog bibestemmes fra kontinuitetsbetingelser for trykk og fluks over områdegrenser og er funksjoner av kiog φ. For k1= 100, k2= k3= k4= 1 og φ = 2π/3, er et mulig sett av disse konstantene α = 0,7547, a1= 1,00995, a2= a3= a4= 1,9999, b1= 1, og og b2 =b3= b4= 100,98019. Ved anvendelse av verdier for p(x, y) ved domenegrensen som grensebetingelse, og et gitter 1500 som honorerer permeabilitetsdiskontinuiteter som vist i fig.15B, løses enkeltfasetrykkligningen igjen nummerisk. Resultater i tabell 2 indikerer at, for EMPFA, er konvergenshastigheten nær opptil h2α – den optimale hastigheten for å få overensstemmelse med endelig elementmetoden. Tilsvarende resultater har blitt oppnådd for permeabilitetsfelt med k1= k3= 1, k2= k4= 5, 10 eller 100, og φ = π2.

TABELL 2

3D-tilfeller kan nå betraktes. For å kunne bestemme konvergenshastigheten for 3D-problemer mer nøyaktig, definerer den følgende diskrete Hdiv-feilen:

Samme type av to og halvdimensjonelt gitter og anisotropisk permeabilitetstensor, som beskrevet ovenfor for eliminering av ikke-fysiske oscillasjoner, benyttes. I testen settes κ i ligning (30) til 0,3, og parametere π, v, og φ i definisjonen av К er lik henholdsvis 10, 10 og π/6. Numeriske konvergensresultater som tilsvarer gitteret basert på kvadrilateralt eller polygonal arealnett er vist nedenfor i tabeller 3 og 4, som bekrefter konvergens av EMPFA-oppnådde løsninger som er sammenlignbare med eller bedre enn MPFA.

TABELL 3

TABELL 4

Konklusjon

Ved å introdusere et ytterligere trykk ukjent innenfor et vekselvirkningsområde, kan teknikker for anriket multipunkts fluksapproksimasjon (EMPFA) presentert her benyttes for å redusere eller eliminere numeriske oscillasjoner i løsninger som forekommer når det anvendes konvensjonell MPFA. EMPFA kan brukes for å forbedre konsistensen over nøyaktigheten i oppbygging av trykkinterpolasjoner i celler for formålet av å bestemme fluksligninger benyttet i modellering og ved predikering av strømning i et reservoar.

Det kan verdsettes at ovenfor beskrevne fremgangsmåter og prosesser kan utføres av et datamaskinsystem. Datamaskinsystemet kan inkludere en prosessor og et datamaskinavlesbart lagringsmedium inneholdende instruksjoner som kan utføres for å gjøre de forskjellige metodene. Datamaskinsystemet kan inkludere forskjellige brukergrenseflater for å vekselvirke med en bruker av systemet, så som en mus, monitor tastatur eller andre tilsvarende grenseflateanordninger. Dessuten kan lagringsmediet inkludere database, harddisker og andre anordninger og for eksempel andre egnede lagringsanordninger.

Claims

Patentkrav

1. Fremgangsmåte for leting etter eller styring av produksjon av hydrokarboner ved modellering av fluidstrømning innenfor et reservoar, omfattende:

(a) oppdeling av et reservoar i et endelig antall gitterceller som danner et gitter av reservoaret;

(b) definere vekselvirkningsområder inneholdt innenfor tilgrensende gitterceller i gitteret; idet hvert vekselvirkningsområde er definert av første og andre sett av punkter, idet det første settet av punkter representerer et gittercellesenter for hver av de tilgrensende gitterceller hvorfra hvert nevnte vekselvirkningsområde er definert, og det andre sett av punkter er kantsentre definert som sentre av linjer som skiller tilgrensende gitterceller som definerer hvert vekselvirkningsområde;

(c) definere subvolumer innenfor hvert vekselvirkningsområde, idet hvert subvolum definert av et gittercellesenter for en første av gittercellene, kantsentre for linjer som skiller den første av gittercellene som definerer hvert vekselvirkningsområde fra andre av gittercellene som definerer nevnte hvert vekselvirkningsområde, og en vertex som representerer et punkt der alle gitterceller som definerer nevnte hvert vekselvirkningsområde møtes;

(d) utføre, ved bruk av datamaskin, operasjoner av multipunkts fluksapproksimasjon som tillater kontinuerlig trykkinterpolasjon, innenfor et av vekselvirkningsområdene, ved å

for hvert subvolum, utføre stykkevis approksimasjon til å utlede et sett av ligninger i forhold til trykk ved gittercellesentre og kantsentre, idet settet av ligninger inneholder en ukjent trykkparameter ved vertexen, og

utlede og løse fluksbalanse-ligninger for å eliminere den ukjente trykkparameteren ved vertexen;

ved hjelp av trykkverdiene som oppnås ved multipunkts fluksapproksimasjon operasjoner, å modellere fluidstrømningen i reservoaret;

utmate fluidstrømningsmodellen; og

bruke fluidstrømningsmodellen innenfor et reservoar for leting etter eller styring av produksjon av hydrokarboner.

2. Fremgangsmåte ifølge krav 1, hvori den stykkevise approksimasjonen er en stykkevis lineær approksimasjon.

3. Fremgangsmåte ifølge krav 1, hvori den stykkevise approksimasjonen er en stykkevis bilineær approksimasjon.

4. Fremgangsmåte ifølge krav 1, hvori:

gitteret er et tredimensjonalt gitter;

vekselvirkningsområdene er tredimensjonale;

subvolumene er tredimensjonale og defineres videre av flatesentra; og den stykkevise approksimasjonen er en stykkevis trilineær approksimasjon.

5. Fremgangsmåte ifølge krav 1, hvori gitteret omfatter minst et av: et kartesisk gitter og et Voronoi-gitter.

6. Datamaskin-lesbart lagringsmedium som inneholder kjørbare instruksjoner som, når de utføres av en prosessor, utfører operasjoner for anriket multipunkts fluksapproksimasjon til bruk i fremgangsmåten som er definert i et hvilket som helst av kravene 1 til 5.

7. Datamaskin-lesbart lagringsmedium ifølge krav 6, hvori operasjonene omfatter å gjenta minst operasjoner (c) og (d) for flere diskrete punkter over tid for å simulere strømning i reservoaret.

8. Datamaskin-lesbart lagringsmedium ifølge krav 7, hvori i det minste operasjoner (c) og (d) gjentas flere ganger på hver av de flere diskrete punkter over tid inntil en løsning av det lineære system av ligninger konvergerer.