BRPI0714972A2

BRPI0714972A2 - mÉtodos para modelar fluxo de um fluido dentro de um reservatàrio, para predizer fluxo em um reservatàrio, para predizer uma ou mais propriedades de material baseadas em fluxo de um reservatàrio, e para predizer o gradiente de pressço em um reservatàrio, e, meio de armazenamentoo legÍvel por computador

Info

Publication number: BRPI0714972A2
Application number: BRPI0714972-7A
Authority: BR
Inventors: Qian-Yong Chen; Richard T Mifflin; Jing Wang; Yahan Yang
Original assignee: Exxonmobil Upstream Res Co
Priority date: 2006-08-14
Filing date: 2007-05-18
Publication date: 2012-12-25
Also published as: CN101501700A; EP2057577A4; WO2008020906A2; CN101501700B; US7983883B2; US20090281776A1; CA2660444A1; NO20091041L; CA2660444C; EP2057577A2; WO2008020906A3; NO343912B1

Abstract

MÉTODOS PARA MODELAR FLUXO DE UM FLUIDO DENTRO DE UM RESERVATàRIO, PARA PREDIZER FLUXO EM UM RESERVATàRIO, PARA PREDIZER UMA OU MAIS PROPRIEDADES DE MATERIAL BASEADOS EM FLUXO DE UM RESERVATàRIO, E PARA PREDIZER O GRADIENTE DE PRESSçO EM UM RESERVATàRIO, E, MEIO DE ARMAZENAMENTO LEGÍVEL POR COMPUTADOR. Métodos e sistemas para reduzir ou eliminar oscilações numéricas em soluções que ocorrem ao usar MPFA convencional ao modelar fluxo em um reservatório, são providos. A técnica pode ser chamada aproximação de fluxo de multiponto enriquecida (EMPFA) e pode ser usada para melhorar a consistência e precisão em construir interpolações de pressão em células para o propósito de determinar equações de fluxo usadas em predizer fluxo em um reservatório.

Description

"MÉTODOS PARA MODELAR FLUXO DE UM FLUIDO DENTRO DE UM RESERVATÓRIO, PARA PREDIZER FLUXO EM UM RESERVATÓRIO, PARA PREDIZER UMA OU MAIS PROPRIEDADES DE MATERIAL BASEADAS EM FLUXO DE UM RESERVATÓRIO, E PARA PREDIZER O GRADIENTE DE PRESSÃO EM UM RESERVATÓRIO, E, MEIO DE ARMAZENAMENTO LEGÍVEL POR COMPUTADOR"

Este pedido reivindica o benefício de Pedido Provisório US No. 60/837.499, depositado em 14 de agosto de 2006.

FUNDAMENTO DA INVENÇÃO Campo da Invenção

A presente invenção relaciona-se geralmente à modelagem de reservatórios de hidrocarbonetos e particularmente a prover uma representação mais consistente e precisa de fluxos de fluido e gradientes de pressão.

Descrição da Arte Relacionada

Localizar depósitos de petróleo, perfurar poços e administrar a extração de petróleo de um depósito é fito à grande despesa. Devido à natureza complicada e crítica de localizar e administrar depósitos de hidrocarbonetos, novas profissões evoluíram e tecnologias especiais foram desenvolvidas a fim de reduzir incerteza, custos mais baixos, e otimizar produção. Engenheiros de petróleo, engenheiros de produção, geofísicos e geólogos usam agora modelos computadorizados da crosta da terra para planejar exploração e administrar produção de reservatórios de petróleo.

Condições de reservatório não são estáticas e gás e líquidos em um reservatório podem se mover rapidamente. Engenheiros usam simulações numéricas em modelar os movimentos de gás e líquido em reservatórios de hidrocarbonetos. Estas simulações ajudam os engenheiros em ganhar um melhor entendimento da estrutura e propriedades de fluxo de um reservatório, como também ajudando em desenvolver uma estratégia ótima de produção que maximiza recuperação e alcança o melhor resultado econômico. Moderna modelagem de reservatório cresceu rapidamente em complexidade e pode envolver a integração de numerosos pacotes de software e máquinas computacionais. Porém, uma tarefa de modelagem pode ser geralmente dividida em cinco etapas principais: modelagem geológica, gradeamento e geração de propriedade, iniciação, casamento de história e predição.

Modelagem geológica relaciona-se a estabelecer a geometria de reservatório, limites e falhas de reservatório, como também estabelecer propriedades básicas de rocha tais como distribuições de porosidade e permeabilidade. A fim de prover uma representação precisa de um reservatório, dados podem ser incorporados de um número muito grande de fontes incluindo prospecções físicas, prospecções sismográficas, e dados de poços. Engenheiros têm freqüentemente dados muito detalhados sobre as características e propriedades de locais específicos e discretos dentro do reservatório. Durante iniciação, estes dados podem ser usados para determinar a quantidade total de fluidos como também composições de fluido e saturações de fase em células discretas. Casamento de história pode ser executado depois de correr uma simulação comparando resultados numéricos (por exemplo, para taxa de produção de poço, relação de gás/petróleo, corte de água, etc.) contra dados de campo atuais e ajustes podem ser feitos ao modelo de reservatório para reduzir discrepâncias. Uma vez que um modelo seja refinado, ele pode ser usado para predizer taxas de produção de poço futuras e uma estratégia de administração de poço baseada nas condições de fluxo de reservatório simuladas pode ser projetada que visa otimizar recuperação global ou resultados econômicos.

Gradeamento é executado tipicamente para tornar discreto um reservatório em um número finito de células a fim de simular o comportamento do reservatório. É freqüentemente o caso que orientação de grade, tamanho de grade e geometria de grade tem um grande impacto na precisão de uma simulação. Em geral, para solucionar pressão, saturação, ou variação de permeabilidade pelo reservatório, células de grade menores precisam ser usadas onde tal variação é grande. Por exemplo, tamanhos de célula nos arredores de um poço pode precisar ser pequenos por causa da extração de pressão normalmente grande nesses locais.

Além de tamanhos de grade, orientação de grade e geometria de grade também podem ter um forte impacto em resultados de simulação. Para reduzir efeito de orientação de grade, por exemplo, grades podem ser alinhadas ao longo de características geológicas de reservatório principais, tais como facies ou falhas, como também linhas de circulação para fluxos de fluido. Com grade Cartesiana usada geralmente usando refinamentos locais, pode ser possível gerar grades com células de tamanhos variados, mas pode ser difícil alinhar células ao longo de características geológicas ou linhas de circulação de fluxo. Para distribuições de permeabilidade isotrópicas e características que são horizontais ou verticais, este problema de orientação de grade com grade Cartesiana pode ser resolvido parcialmente com o advento de uma grade ortogonal K, onde nós de grade podem ser distribuídos mais ou menos livremente no espaço para se conformar à geometria de reservatório. Para campos de permeabilidade anisotrópica e altamente heterogênea, é quase impossível criar grades ortogonais K. Portanto, aproximação de fluxo de dois pontos convencional (TPFA), que computa o fluxo de uma face entre dois blocos de grade adjacentes interpolando linearmente em pedaços as pressões de célula de grade, pode não ser mais precisa ou válida e aproximação de fluxo de multiponto (MPFA) deveria ser usada. MPFA envolve um modelo maior para calcular o fluxo e é reconhecido por pesquisadores como um modo para melhorar precisão numérica.

Com MPFA, fórmulas para calcular fluxos são derivadas primeiro para fluxos monofásicos, e então generalizadas para fluxos polifásicos respondendo por efeitos de saturação em permeabilidade relativa. A meta na derivação é resolver um campo de gradiente de pressão no reservatório que produz fluxos que estão consistentes por interfaces entre células de grade. Para computar o gradiente de pressão em 2D, regiões de interação são construídas ao redor de cada vértice da grade unindo o centro de cada célula de grade compartilhando o vértice com centros das bordas de célula que se encontram no vértice. Em 3D, regiões de interação são criadas construindo superfícies que são ligadas por linhas conectando centros de bloco e centros de face e linhas conectando centros de face e centros de borda de células ao redor do vértice.

Computar um gradiente de pressão usando MPFA pode ser descrito com referência à Figura 1, que mostra um conjunto exemplar de células de grade adjacentes IlOi-I IO4 compartilhando um vértice comum O. Uma região de interação 120 é construída unindo os centros de célula C1-C4 com centros MrM4 de bordas de célula que se encontram no vértice O. Para facilitar a discussão, cada porção de uma região de interação que está contida em uma das células é chamada um subvolume. Por exemplo, na Figura 1, quadriláteros C2M1OM2, C3M2OM3, C4M3OM4 e CiM4OM1 são os quatro subvolumes da região de interação 120.

Com MPFA convencional, o gradiente de pressão é assumido constante em cada subvolume e é obtido usando expansão de Taylor de primeira ordem ou interpolação linear baseada no valor de pressão no centro de célula (Q, i=l a 4) e aqueles nos centros de borda (Mi, I=I a 4) do mesmo subvolume. Usando o gradiente de pressão e a lei de Darcy: F=nTÀKVp (1)

fluxos podem então ser escritos em termos do pci e pck, onde F é fluxo em pés por dia, η é o vetor normal, λ é a mobilidade de fluido em 1/cp, K é um tensor de permeabilidade está em milidarcys, V é o operador de gradiente em l/pé, e ρ é pressão em libras por polegada quadrada. Embora não escrito explicitamente, um fator de conversão de unidade de 0,00633 pode ser usado no lado direito para converter md-psi/ft-cp para pé/dia (30,48 cm). Equilibrando fluxos por cada meia borda dentro da região de interação (MiM2, M2M3, M3M4, e M4M1), uma fórmula para pressão a qualquer ponto pci pode ser derivado como funções lineares de pci. Na substituição, estas equações podem produzir expressões para fluxos como funções lineares de todos os valores de pressão em centros de célula de grade. As formas exatas destas relações lineares podem depender da geometria de célula selecionada e tensores de permeabilidade em células de grade cercando o subvolume. Em simulação de reservatório, pressões a centros de bloco podem então ser resolvidas para determinar os fluxos e estado do sistema.

Em geral, com MPFA o aumento em custo computacional quando comparado a TPFA é relativamente pequeno, mas resultados são mostrados serem mais precisos, como esperado. Porém, foi observado que MPFA poderia resultar em oscilações não físicas severas em soluções numéricas para equação de pressão monofásica:

-V.KVp=g (2)

Se o campo de permeabilidade for fortemente anisotrópico, onde g é um termo de fonte/dissipador e uma constante de mobilidade de 1 é assumida para simplificar as notações. Estas oscilações numéricas podem estar ligadas à falta de caráter monotônico na matriz de solução para o problema de discretização e esforços foram feitos para melhorar MPFA de forma que caráter monotônico de matriz possa ser restabelecido. Em todo caso, a possível ocorrência destas oscilações pode por uma limitação severa ao uso de MPFA em muitas aplicações.

Por conseguinte, o que é precisado é um método melhorado para aproximar gradientes de fluxo.

SUMÁRIO DA INVENÇÃO Concretizações da presente invenção provêem geralmente métodos e aparelho para fazer aproximações de fluxo de multiponto.

Para algumas concretizações, métodos mais precisos para calcular o gradiente de pressão e fluxos por áreas discretas ou volumes dentro de um modelo de reservatório de petróleo, são providos. Oscilações prejudiciais em soluções numéricas podem ser reduzidas pela introdução de parâmetros desconhecidos adicionais (por exemplo, pressões desconhecidas) na região de interação. A adição de um ou mais parâmetros desconhecidos permite a construção de uma interpolação de pressão contínua dentro de uma região de interação particular pelo uso de técnicas lineares em pedaços ou bilineares em pedaços, ou trilineares em 3D.

Em uma concretização, um método de modelar fluxo de um fluido dentro de um reservatório é descrito. O método inclui dividir o reservatório em um número fmito de células de grade que forma uma grade do reservatório; definir regiões de interação contidas dentro de células de grade adjacentes na grade; e executar operações de aproximação de fluxo de multiponto enriquecidas que permitem interpolação de pressão contínua dentro de uma das regiões de interação introduzindo pelo menos um parâmetro de pressão desconhecido dentro da uma das regiões de interação.

Em outra concretização, um método de predizer fluxo em um reservatório é descrito. O método inclui (a) dividir um reservatório em um número finito de células de grade que forma uma grade do reservatório; (b) definir regiões de interação contidas dentro de células de grade adjacentes na grade; (c) gerar um sistema linear de equações em termos de parâmetros de pressão globais executando operações de aproximação de fluxo de multiponto enriquecidas que permitem interpolação de pressão contínua dentro de múltiplas regiões de interação introduzindo pelo menos um parâmetro de pressão desconhecido dentro de cada uma das múltiplas regiões de interação; e (d) resolver o sistema linear de equações.

Em ainda outra concretização, um meio de armazenamento legível por computador contendo instruções executáveis é descrito. O meio de armazenamento legível por computador que é executado por um processador, executa operações para aproximação de fluxo de multiponto enriquecida quando executado. As instruções executáveis incluem (a) definir regiões de interação contidas dentro de células de grade adjacentes de um número fínito de células de grade que formam uma grade dividindo um reservatório; e (b) gerar um sistema linear de equações em termos de parâmetros de pressão globais executando operações de aproximação de fluxo de multiponto enriquecidas que permitem interpolação de pressão contínua dentro de múltiplas regiões de interação introduzindo pelo menos um parâmetro de pressão desconhecido dentro de cada uma das múltiplas regiões de interação.

Em outra concretização alternativa, um método para predizer uma ou mais propriedades de material baseadas em fluxo de um reservatório é descrito. O método inclui dividir o reservatório em um número finito de células de grade que forma uma grade do reservatório; definir uma região de interação contida dentro de células de grade adjacentes na grade; derivar um conjunto de equações para interpolação de um parâmetro dentro das regiões de interação em termos de pelo menos cinco valores desconhecidos do parâmetro local para a região de interação, incluindo pelo menos um parâmetro desconhecido dentro da região de interação; derivar, do conjunto de equações de interpolação, um sistema de equações em termos de parâmetros desconhecidos globais; e resolver o sistema de equações para predizer a uma ou mais propriedades de material baseadas em fluxo.

Em outra concretização, um método para predizer o gradiente de pressão em um reservatório é descrito. Este método inclui dividir o reservatório em um número finito de células de grade que forma uma grade do reservatório; definir uma região de interação contida dentro de células de grade adjacentes na grade; derivar um conjunto de equações para interpolação de pressão dentro das regiões de interação em termos de pelo menos cinco parâmetros de pressão desconhecidos local para a região de interação, incluindo pelo menos um parâmetro de pressão desconhecido dentro da região de interação; derivar, do conjunto de equações de interpolação de pressão, um sistema de equações em termos de parâmetros de pressão de desconhecido globais; e resolver o sistema de equações para predizer o gradiente de pressão no reservatório.

BREVE DESCRIÇÃO DOS DESENHOS

Os aspectos e vantagens antecedentes e outros são melhor compreendidos da descrição detalhada seguinte de uma concretização preferida da invenção com referência aos desenhos, em que:

Figura 1 ilustra uma região de interação exemplar e subvolumes correspondentes usados em Aproximação de Fluxo de Multiponto (MPFA) convencional.

Figura 2 é um fluxograma de operações exemplares para executar Aproximação de Fluxo de Multiponto Enriquecida (EMPFA), de acordo com concretizações da presente invenção.

Figuras 3A e 3B ilustram uma região de integração exemplar e subvolumes construídos para executar EMPFA, de acordo com concretizações da presente invenção.

Figura 4 ilustra uma região de integração exemplar e subvolumes construídos para executar EMPFA, de acordo com concretizações da presente invenção.

Figura 5 ilustra uma região de integração exemplar e subvolumes construídos para executar EMPFA, de acordo com concretizações da presente invenção.

Figura 6 ilustra uma grade sem casamento exemplar e região de integração correspondente para executar EMPFA, de acordo com concretizações da presente invenção.

Figura 7 ilustra uma região de interação 3-D exemplar e subvolumes construídos para executar EMPFA, de acordo com concretizações da presente invenção.

Figuras 8A-8F ilustram subvolumes exemplares da região de integração 3-D mostrada na Figura 7.

Figura 9 ilustra uma grade aleatória gerada perturbando uma grade Cartesiana.

Figura 10 ilustra uma grade usada para investigar oscilações numéricas usando EMPFA.

Figura 11 ilustra um gráfico de resultados obtidos usando MPFA convencional.

Figura 12 ilustra um gráfico de resultados obtidos usando

EMPFA.

Figura 13 ilustra um diagrama tridimensional ilustrando soluções de MPFA comparadas a EMPFA.

Figura 14 ilustra um gráfico de erros em resultados obtidos usando MPFA convencional contra EMPFA.

Figuras 15A e 15B ilustram uma região de computação exemplar com permeabilidade descontínua, e uma grade de regiões com regiões descontínuas.

DESCRIÇÃO DETALHADA DA CONCRETIZAÇÃO PREFERIDA

Concretizações da presente invenção provêem geralmente um método, aparelho, e sistema que podem ser usados para reduzir ou eliminar oscilações numéricas em soluções que ocorrem ao usar MPFA convencional. A técnica pode ser chamada de aproximação de fluxo de multiponto enriquecida (EMPFA).

EMPFA, como descrito aqui, pode ser usada em uma variedade de aplicações, tal como modelar fluxos monofásicos ou polifásicos generais usando vários modelos de fluido (por exemplo, petróleo negro ou equação de estado ou outra combinação) em modelos de reservatório bidimensionais (2D) ou tridimensionais (3D). EMPFA pode ser usada para modelar os fluxos de energia de convecção. Ademais, EMPFA pode ser aplicada a grades Cartesianas, de Voronoi, ou até mesmo arbitrárias. Em uma aplicação particular, EMPFA pode ser usada para melhorar a consistência e precisão em construir interpolações de pressão em células de grade para o propósito de determinar equações de fluxo usadas em predizer fluxo em um reservatório.

Como previamente descrito, com o método de MPFA convencional, um gradiente de pressão é tratado como constante dentro de cada subvolume de uma região de interação baseado em interpolação linear de pressão no centro de bloco e nos dois centros de borda vizinhos, que podem dar origem a uma inconsistência visto que a pressão linearmente interpolada pode ser descontínua por cada meia borda compartilhada por subvolumes adjacentes. EMPFA pode superar esta deficiência introduzindo mais graus de liberdade dentro da região de interação (por exemplo, no vértice dentro de cada região de interação) que pode permitir interpolação de pressão contínua dentro da região de interação e aproximação de fluxo mais precisa.

Assim, técnicas de EMPFA descritas aqui podem ser usadas com vantagem em qualquer tipo de aplicação que poderia se beneficiar de aproximações de pressão ou fluxo mais precisas. Tais aplicações incluem, mas não estão limitadas a, expansão gradual, modelagem de dispersão/difusão, e acoplamento de material e fluxos de energia em simulação térmica.

Para facilitar entendimento, a descrição seguinte recorrerá a determinar fluxos em um sistema de modelagem de reservatório de petróleo como um exemplo específico, mas não limitante, de uma aplicação útil de EMPFA. Porém, aqueles qualificados na arte reconhecerão que o método e dispositivo descritos aqui podem ser usados e/ou utilizados da maneira descrita aqui em uma ampla variedade de aplicações de modelos numéricos. Um Método Exemplar para Aproximação de Fluxo de Multiponto Enriquecida

Figura 2 é um diagrama de fluxo 200 de operações exemplares 200 que podem ser executadas para calcular precisamente fluxos a interfaces de células de grade, de acordo com concretizações da presente invenção. As operações podem ser executadas, por exemplo, em um esforço para obter uma série de equações de fluxo para todas as interfaces de célula (por exemplo, em termos de pressões em centros de célula) que pode ser usada em um esforço global para predizer fluxo em um modelo de reservatório.

As operações começam, no bloco 202, dividindo um reservatório em um número finito de células de grade. No bloco 204, uma região de interação contida dentro de células adjacentes na grade é definida. Como previamente descrito, as células podem ser projetadas com tamanho de célula variado, geometria de limite de célula, e orientação (por exemplo, Grade ortogonal K onde nós de grade (cantos) podem ser distribuídos mais ou menos livremente no espaço para se conformar à geometria de reservatório) que pode ajudar em simulação precisa.

No bloco 206, aproximação de fluxo de multiponto enriquecida (EMPFA), que permite interpolação de pressão contínua dentro de uma região de interação introduzindo uma pressão adicional desconhecida dentro da região de interação (por exemplo, no vértice), é executada. Permitindo interpolação contínua dentro da região de interação, EMPFA pode eliminar ou reduzir oscilações numéricas ligadas à MPFA convencional. Equações para interpolação contínua dentro da região de interação podem ser derivadas utilizando uma variedade de técnicas diferentes que utilizam pressões desconhecidas em centros de borda de uma região de interação e uma pressão adicional dentro da região de interação, tal como no vértice.

Por exemplo, para uma concretização, técnicas de aproximação em pedaços bilineares podem ser usadas para derivar um conjunto de equações. Com aproximação bilinear em pedaços, um campo de pressão pode ser construído para cada subvolume de uma região de interação em duas etapas. Primeiro, o quadrilátero definindo um subvolume (em espaço de coordenadas x-y) pode ser mapeado a um elemento de quadrado de referência padrão (Ixl) em um espaço de coordenadas diferente.

Figuras 3A e 3B ilustram o mapeamento de subvolumes de uma região de interação 120 em um espaço de coordenadas x-y para referenciar subvolumes de quadrado (Ixl) 322r3224 de uma região de interação 320 em um espaço de coordenadas diferente (ξ, η). Os subvolumes podem ser mapeados pelas equações seguintes:

X=X1 +(X2 -X1 )ξ+(x3 -X1 >7+(x4 - JC3 - X2 + X1 )ξη

onde (X1, y2), (X2, yι), (Χ3, yi), e (x4, y4) são coordenadas x-y dos quatro pontos de canto de quadrilátero dos subvolumes (por exemplo, C1, O, M1 e M4, respectivamente, para o subvolume mostrado mapeado na Figura 3B).

Subseqüentemente, para cada subvolume quadrado (mapeado), uma equação de pressão bilinear pode ser definida como segue:

ρ(.ξ,*ΐ) = ΡίΟ-ξΧΙ-η) + ρ2ξί 1 - η)+ " ξ)ΐ W

onde ρ1? ρ2, Ρ3 e ρ4 são valores de pressão nos quatro cantos do quadrilátero (por exemplo, C1, O, M1 e M4, respectivamente). A função de pressão ρ (ξ, η) definida por Equação (4) se torna uma função de p(x, y) no quadrilátero quando combinada com o mapeamento na Equação (3). Enquanto a forma exata de pressão em termos de variáveis χ e y derivadas por estas equações, p(x, y), pode ser relativamente complicado, pode ser verificado que em cada lado do quadrilátero, p(x, y) é linear ao longo da borda.

Assim, p(x, y) ao longo de uma borda comum é determinado unicamente pelos valores de pressão nos dois pontos extremos, que significa p(x y) de interpolações bilineares em subvolumes vizinho são os mesmos ao longo da borda comum. Em outras palavras, pressão desta aproximação bilinear é contínua dentro da região de interação inteira.

Para uma concretização, técnicas de aproximação lineares em pedaços podem ser usadas para derivar um conjunto de equações usadas para gerar uma interpolação de pressão contínua dentro de uma região de interação. Com aproximação linear em pedaços, cada subvolume em uma região de interação podem ser dividida primeiro em duas partes por uma linha unindo o vértice ao centro de bloco.

Por exemplo, se referindo à Figura 4, subvolume CiM4OMi pode ser dividido em triângulos CiOMi e triângulo CjOM4 por linha CiO. Dentro de cada triângulo, pressão é assumida linear e é interpolada de valores de pressão nos três cantos, que cada um inclui o vértice, um centro de bloco, e um centro de borda. Por exemplo, pressão dentro de triângulo CiOMi na Figura 1 pode ser interpolada de valores de pressão a pontos Ci, O, e Mi, da equação seguinte:

(fl-AKXi-^Hft-AXx-y,) τ t (a- aX*.-*,)-(p!,-P1Xx,-χ,) -X1Xyt ->ϊ> (χ,-^χ* -ΛΜ* -Xfiiy1 -yj

onde pi, p2 e p3 são valores de pressão a Cj, O, e Mi, respectivamente, e (X1, yi), (x2, y2) e (x3, y3) são as coordenadas x-y desses pontos.

A linearidade da interpolação implica que pressão ao longo de cada meia borda só seja dependente dos valores de pressão nos dois pontos extremos da linha, e assim é independente do triângulo do qual a aproximação linear é construída. Por exemplo, interpolação linear em triângulo C1OM1 e aquela em triângulo C2OMi produz o mesmo resultado ao longo de meia borda OM1. Por causa disto, pressão derivada de aproximação linear em pedaços é contínua dentro da região de interação. Por limites entre regiões de interação diferentes, porém, pressão assim interpolada pode não ser contínua porque o procedimento para equilibrar fluxos dentro de regiões vizinhas pode produzir valores de pressão diferentes para os centros de borda correspondentes.

As pressões desconhecidas intermediárias nos centros de borda e no vértice introduzidas para EMPFA, independentemente das técnicas usadas (por exemplo, em pedaços linear ou bilinear) acima, podem ser eliminadas de forma que equações para gradiente de pressão e os fluxos só podem ser expressas em termos de parâmetros de desconhecido de sistema, tal como pressão em centros de célula de grade. Para eliminar as pressões desconhecidas intermediárias nos centros de borda, equações de equilíbrio de fluxo podem ser derivadas para cada meia borda da região de interação.

Como a primeira etapa desta aproximação, fluxos podem ser calculados da lei de Darcy para cada subvolume, por exemplo, baseado nos esquemas de interpolação de pressão introduzidos anteriormente. Com interpolação linear em pedaços ou bilinear em pedaços, uma equação de gradiente de pressão pode ser escrita em termos de valores de pressão a centros de bloco, centros de borda, e no vértice. Substituição desta equação de gradiente de pressão na Equação (1) acima (Ρ=ητ(Κ/μ)νρ) produz uma equação da forma seguinte:

F (6)

i k

onde subscrição i é um índice (1-4) para centros de célula, e k é um índice para centros de borda.

A cada meia borda, equilibrar fluxos calculados dos dois subvolumes (identificados abaixo com símbolos + e -) em qualquer lado da borda produz a equação:

+Σ«γα> =Σ<>, +«"Α, (7)

* * ι *

Para aproximação linear em pedaços, Κ, Vp, e F são constantes ao longo da borda. Como resultado, a equação de equilíbrio de fluxo se aplica a todo ponto ao longo da borda. Para aproximação bilinear em pedaços, porém, K é constante, mas Vp e F não são. Como resultado, equilíbrio de fluxo só se mantém nos centros de borda. Em todo caso, para eliminar a pressão desconhecida no vértice (p0) introduzida para as técnicas de EMPFA descritas acima, uma equação adicional pode ser construída.

Várias técnicas diferentes baseadas em uma única fase e equação de pressão de estado estável podem ser usadas para esta construção.

Para uma concretização, uma integração de fluxo dentro da região de interação pode ser aplicada. Com esta aproximação, integração pode ser executada em cada lado da equação de pressão (2) acima, -V.KVp = g, através da região de interação. Esta integração pode ser expressa pela equação seguinte:

- \nTKVpdS^\gdV (8)

η

onde 5Ω é o limite da região de interação Ω. Expressando Vp como uma combinação linear de pci, pck e p0 e substituindo isto na Equação (8) produz a equação desejada, que pode ser escrita na forma seguinte:

(9)

í *

onde constantes β°, βε e βν são funções do tensor de

permeabilidade.

Outra aproximação para gerar equações para eliminar pressões desconhecidas intermediárias é aplicar uma integração de fluxo de limite de vértice 2D. Com esta aproximação, integração é executada ainda com cada lado da equação como com a aproximação de integração de fluxo 2D descrita acima, mas só em um subdomínio Ωε, da região de interação Ω, que pode ser expressa pela equação seguinte:

- \nTKStpdS= \gdV (10)

sa, n,

O subdomínio Ωε pode ser construído conectando pontos, Dk, em cada meia borda, com a condição que a distância entre cada ponto Dk e o vértice seja proporcional ao comprimento da borda (|ODk| = s|OMk|). Isto é ilustrado na Figura 5, que ilustra um subdomínio exemplar 510 de uma região de interação 500 formada por pontos de conexão DrD4 em meia borda 502r 5024, respectivamente, da região de interação 500.

Escrevendo Vp em termos de pci, pck e p0 novamente, Equação (10) produz a equação:

tCLPfPc. +Σ \gdV (11)

' * n„

Assumindo que g está unido ou desunido, mas quadrado integrável, pode ser mostrado que o lado direito (RHS) da Equação (11) acima se reduz a ο(ε). Dividindo ambos os lados da equação por ε e tomando o limite quando ε se aproxima de zero (ε—>0), produz uma equação que pode ser usada para resolver a pressão no vértice p0:

ZAtV,, +Σ#χ =0 (12)

t i

Vários métodos numéricos, tais como métodos de elemento finito locais (FEMs), também podem ser usados em resolver uma equação de pressão monofásica. Como um exemplo, Equação (2) listada acima pode ser resolvida na região de interação aplicando FEM, por exemplo, com condições de limite de Dirichlet. Desta solução de FEM, a pressão adicional desconhecida (por exemplo, a pressão no vértice) pode ser expressa como uma função linear de valores de pressão nos centros de borda e centros de bloco.

Com as equações de constrangimento derivadas acima para pressão em centros de borda e no vértice, os parâmetros desconhecidos de pressão intermediária, pck e p0, podem ser eliminados da expressão para fluxos dados pela Equação (6). Assim, fluxos por cada borda entre células de grade vizinhas podem ser obtidos finalmente por adição com fluxos obtidos de uma maneira semelhante de regiões de interação vizinhas, pela fórmula: F-£><jr|t jt,.....(13)

/-i

onde a adição pode ser executada através de todas as células de grade cujo limite cruza a borda.

Para algumas concretizações, de acordo com um método de aproximação de pressão de mínimos quadrados, uma função de pressão linear pode ser buscada para cada subvolume que limita a borda que melhor aproxima (minimizando erro) valores de pressão no centro de célula e centros de borda de célula de um subvolume. Tal aproximação de mínimos quadrados é descrita em maior detalhe abaixo, com referência a um subvolume 3D.

Células de grade sem casamento

Para células de grade sem casamento, interpolações em pedaços linear e em pedaços bilinear podem ser combinadas para computar os fluxos. Figura 6 ilustra uma região de interação exemplar 620, contida dentro de células de grade sem casamento 610!, 6102, e 6103. Desde que quadrilátero CiM1OM3 está degenerado, ele não pode ser mapeado a um quadrado padrão por uma transformada bilinear pela Equação 4 descrita acima, sem fazer O um ponto singular. Porém, triângulo CjMiM3 pode ser dividido em dois subtriângulos, nos quais interpolação linear pode ser aplicada. Para subvolumes não degenerados, por exemplo, quadrilátero C2M1OM2 e C3M2OM3, tanto interpolação em pedaços linear ou bilinear pode ser usada. Com esta interpolação misturada, as técnicas descritas acima para equilibrar os fluxos e para eliminar as pressões desconhecidas intermediárias também podem ser executadas para grades sem casamento.

Estendendo EMPFA para Modelos de Reservatório 3D

Interpolações de Pressão 3D

As técnicas de EMPFA descritas aqui podem ser estendidas e aplicadas a grades 3D. Para grades 3D, subvolumes podem ser representados dentro de regiões de interação tais como hexaedros, como ilustrado pelo hexaedro 730 mostrado na Figura 7. Com cada hexaedro de subvolume, há quatro tipos de pontos de canto, isto é, um bloco centro, três centros de face, três centros de borda, e um ponto de vértice. Para o hexaedro de subvolume 730 descrito na Figura 7, ponto C é o centro de bloco, enquanto pontos B, G, e F são centros de face, pontos Ε, H, e D são centros de borda, e ponto A é o vértice. Isto está em contraste com grades 2D, para quais só há três tipos de pontos que limitariam um subvolume: um centro de bloco, dois centros de borda e um vértice.

O tipo de ponto de canto adicional para subvolumes em 3D significa que parâmetros desconhecidos intermediários adicionais podem ser precisados nos cálculos de fluxo. Especificamente, interpolação de pressão pode envolver valores de pressão em centros de bloco, valores de pressão em centros de face, valores de pressão em centros de borda, e um valor de pressão no vértice. De uma maneira semelhante àquela descrita acima, estes valores podem ser tratados como parâmetros desconhecidos temporários, exceto o valor no centro de bloco. Com estes parâmetros desconhecidos intermediários introduzidos, interpolação de pressão pode ser executada para grades 3D usando várias aproximações de uma maneira semelhante como no caso 2D, como descrito abaixo.

Análogo à aproximação bilinear em pedaços em 2D, equações de aproximação trilineares em pedaços podem ser construídas para grades 3D. Para construir equações de aproximação de pressão trilineares, subvolumes de hexaedro são mapeados primeiro ao cubo de unidade, usando funções trilineares:

x=X0+Xf f+χηη+Xi^+χ{ηξη+χ^ξχ +Χηζηχ+Χ^ξηχ

• y^x+y„nx+y^inx {14>

ζ-*»+ζ(ξ+ζηη+ζΧχ+Σίηξη+^ξχ+ζ^ηχ+ζ^ξηχ

onde (ξ, η, χ) está em ([0, l]x[0, 1]χ[0, 1]). Constrangendo a Equação 14 para mapear os oito cantos de um cubo de unidade aos cantos no subvolume de hexaedro, todos os coeficientes desconhecidos no lado direito podem ser determinados. A seguir, uma equação para aproximar pressão usando a função trilinear pode ser construída:

Com interpolações construídas desta maneira, é possível verificar que valores de pressão a pontos em cada face são determinados unicamente por valores de pressão nos quatro cantos de face. Esta propriedade implica que valores de duas interpolações de pressão diferentes em subvolumes adjacentes são os mesmos na interface comum, significando que pressão de interpolação trilinear é contínua dentro da região de interação inteira.

Para construir aproximação linear em pedaços em 3D, o

subvolume de hexaedro é dividido em seis tetraedros. Por exemplo, o subvolume de hexaedro 730 mostrado na Figura 7 pode ser dividido em seis tetraedros CBDE, CDEA, CDAG, CAGH, CEAF e CAHF, como mostrado nas Figuras 8A-8F. Esta decomposição ainda é possível com uma grade arbitrária, onde mais que três faces podem se encontrar no vértice, embora o número de tetraedros possa ser maior que 6. Em todo caso, dentro de cada tetraedro, interpolação linear pode ser usada para determinar pressão, usando a equação seguinte:

/Κ*νΛ*)«β0 +a,,x+ayy+atz (16)

Os coeficientes zero e de primeira ordem, a0, ax, ay e az podem ser resolvidos de valores de pressão nos quatro pontos de canto de tetraedro. Como um exemplo, tomando o tetraedro CBDE mostrado na Figura 8A, o sistema linear seguinte de equações pode ser usado para determinar valores de

ao? ax? % β az:

' a0 + JCcCx + ycay + zcat m pc ao + *ι>α* + yBar + zBa, = Pa

(17}

O0 + X0Ot +yDar + ZnQ1 =P0

«o + χεα* + ye°y + zEat ^PB Semelhante à aplicação em 2D, pode ser mostrado que pressão construída desta maneira concorda a interfaces comuns entre subvolumes adjacentes e assim a interpolação como um todo é contínua dentro da região de interação inteira.

Eliminação de Parâmetros Desconhecidos Intermediários

em 3D

Como com a aplicação em 2D, uma meta é eliminar pressões desconhecidas intermediárias nos centros de face, nos centros de borda, e no vértice introduzidas para interpolação de pressão acima para permitir a fluxos

serem expressos em termos de pressão a centros de bloco. O procedimento para construir equações de consistência ou constrangimento pode ser executado de um modo semelhante àquele para o caso 2D. No caso 3D, porém, mais equações são precisadas por causa dos parâmetros desconhecidos adicionais em centros de borda.

Para equilíbrio de fluxo, gradiente de pressão é computado de

interpolação linear ou trilinear e então substituído na lei de Darcy para obter a expressão seguinte para fluxos:

F =Σ«ιΧ +Σ<*'ρχ, +Σ»*Χ (18)

ι i *

onde pci, pg, pck e p0 representam valores de pressão em centros de célula, centros de face, centros de borda, e no vértice, respectivamente.

Equilibrando os fluxos pelas interfaces (com subvolumes em lados diferentes de uma interface denotados por símbolos + e -) de acordo com a equação seguinte:

Σ<Χ +Σα*'Χ = Σ«ΓΡ„ -Σ«ΓΙ\ +«-ρ. (19)

• t * * J *

dá nf equações de constrangimento, onde nf é o número de centros de face.

Semelhante a 2D, uma aproximação de integração de fluxo de

região de interação pode ser aplicada para construir uma equação de constrangimento para a pressão desconhecida no vértice. Usando esta aproximação, ambos os lados da Equação (2) podem ser integrados através da região de interação inteira, que dá uma relação de forma:

Σ fíPc +TfiIpfi + Σ &X +βΎρ, = ψ (20)

' i *

Alternativamente, uma integração de fluxo de limite de vértice pode ser executada em uma sub-região Ωε definida de um modo semelhante como no caso 2D, deixando ε ir a zero para obter uma versão homogênea de (20):

ΣΑ-χ +ZfifPfj +ΣΑ" P+ +fi* ρ. -ο (21)

' / *

Técnicas diferentes podem ser aplicadas para eliminar pressões desconhecidas intermediárias em centros de borda construindo equações de constrangimento. Por exemplo, de acordo com um método de aproximação de pressão de mínimos quadrados, uma função de pressão linear pode ser buscada para cada subvolume que limita a borda que melhor aproxima (minimizando erro) valores de pressão no bloco centro e centros de face de bloco do subvolume. Por exemplo, para centro de borda E na Figura 7, uma função linear como aquela em (16) pode ser definida para aproximar valores de pressão a centro de bloco C e centros de face B, F e G. Quando houver só quatro valores de pressão para aproximar, a função desejada é apenas uma interpolação linear. Porém, quando o número de valores de pressão é mais que quatro, que pode ser o caso se mais de três faces do volume de controle se encontram no vértice, minimizar a soma quadrada de erros podem ser realizado pela equação seguinte:

SiatrO1, OftOm)- +ayyf +οΛ -pt J1+a,xfj +aty/t +a,zfj -p,)1 (22)

A adição acima é através de toda a célula e centros de face dentro do mesmo subvolume como o centro de borda. Minimizar δ conduz ao seguinte sistema linear de equações: jjj j j ' y ' ' ' ' (23)

Jl JJJ

> > t i

onde rtf é o número de centros de face envolvidos na Equação (23). Resolvendo (23) dá a0, ax, ay e az como funções lineares de pc e pf.

aO =tVPe +Σ^/Α i

% ^ a^p. jfYp^stPit

L (24)

",-OysP*+ZPyf1Pf,

J

Substituindo (24) na função de pressão linear original (16) produz a equação seguinte:

A J J J

Uma equação de constrangimento final do método de aproximação direta pode ser obtida fixando pressão no centro de borda igual à média de p(x, y, z) computada acima de subvolumes diferente que compartilham a meia borda:

Σ^Α+ΙΑΑΛ,) +^Α+Σ^ΑΗ ^a «ΣΑ* .Ό**^ A +ΣΑ*, *

β β--—L—-- /—ι—................. J ι (26)

ι

onde subscrição i indica subvolumes diferentes. Pode ser notado que a equação de constrangimento acima, como também aquelas de equilibrar fluxos ou integração de equação de pressão, são relações lineares entre pc;, pfí, pck e p0. Como resultado, os parâmetros desconhecidos intermediários de EMPFA em 3 D podem ser eliminados com uma solução linear, como é o caso para problemas 2D. Em vez de minimizar erros para subvolumes calculando individualmente e subseqüentemente a média das pressões como descrito acima, também é possível derivar equações de constrangimento para pck minimizando a soma quadrada de erros que incluem contribuições de todos os subvolumes compartilhando a borda.

Integração de fluxo de volume de borda é outra aproximação que é semelhante ao método integral usado para construir a equação de constrangimento para a pressão desconhecida no vértice. Para cada pressão desconhecida em centros de borda, a integração pode ser executada através de um poliedro com o vértices que incluem o vértice dos volumes de controle dentro da região de interação e todos os centros de bloco na mesma face da região de interação como o centro de borda. Para construir o campo de gradiente, o poliedro pode ser dividido em vários tetraedros, cada um dos quais pode ter dois centros de volume de controle vizinhos, o vértice, e o centro da meia borda como os vértices. Para cada poliedro, interpolação linear pode ser usada para pressão, da qual gradiente de pressão é calculado e substituído na equação de pressão integrada.

Com as equações de constrangimento derivadas acima para pressão a centros de face, centros de borda e no vértice, todas as pressões desconhecidas intermediárias podem ser eliminadas da equação para fluxos dentro de cada região de interação. Semelhante à aplicação 2D, uma equação final para fluxos por cada interface de volumes de controle pode então ser obtida combinando esses de regiões de interação cruzando a interface. Semelhante à aproximação 2D descrita acima, outros métodos

numéricos também podem ser usados em resolver uma equação de pressão monofásica em aplicações 3D. Por exemplo, aplicando uma aproximação de FEM local, uma grade de escala fina local pode ser gerada e mais pressões desconhecidas podem ser introduzidas na região de interação. Equação (2) pode ser resolvida localmente para cada região de interação, por exemplo, por um método de elemento finito de Galerkin (FEM) com condições de limite de Dirichlet. Desta solução de FEM, o parâmetro desconhecido adicional (por exemplo, a pressão no vértice) pode ser expresso como uma função linear de valores de pressão nos centros de borda e centros de bloco. SIMULAÇÕES DE RESERVATÓRIO USANDO EMPFA

As equações para calcular fluxos derivados de EMPFA podem ser usadas para modelar fluxos de fluido polifásicos gerais em reservatório, que são governados pela seguintes equações de equilíbrio massa e volume: dN?

di ^y-'-*-**! (27)

V(p(,NitNi,...,Nlt^Vp

m m

onde N' é a massa total de componente m em bloco i, xv é a densidade de componente m em fase v, Fvj está o fluxo em fase ν por interface / do bloco, Aj a área de interface, e V e Vp são volume fluido e volume de poro do bloco, respectivamente. Fluxos para fluxos polifásicos podem ser calculados usando uma forma modificada de Equação (13), a fórmula de fluxo de EMPFA para fluxo monofásico, para responder por efeitos de saturação na permeabilidade e viscosidade de fluido:

r.^t^.K,.....(28,

AiZtT <»t

com kj r,v e são a permeabilidade relativa (ponderada a montante) e viscosidade de fase v, respectivamente, em bloco a montante à interface j, enquanto a adição é através de todos os blocos envolvidos nos cálculos de fluxo por regiões de interação.

Assim, um procedimento exemplar para executar simulação de reservatório (que pode envolver um modelo 2D ou 3D, com fluxo monofásico ou polifásico) usando EMPFA pode envolver, depois de construir uma grade (que pode ser Cartesiana, de Voronoi, ou arbitrária) e regiões de interação, gerar fórmulas de fluxo para cada interface (como mostrado na Figura 2). Como descrito aqui, as fórmulas de fluxo resultantes para cada interface podem estar na forma de uma função linear de pressão em centros de blocos cercando a interface, com os coeficientes sendo funções racionais de permeabilidade (que podem ser tensores isotrópicos ou completos) nesses blocos. Assim, um sistema linear de equações em termos de parâmetros desconhecidos de sistema primário pode ser derivado para predizer fluxo em um reservatório executando discretização na dimensão de tempo em (27) e aplicando condições de limite apropriadas. Dependendo da complexidade do fluxo sendo modelado, vários níveis de subentendido podem ser precisados, de forma que os parâmetros desconhecidos de sistema possam incluir só as pressões implícitas (IMPES - Saturações Explícitas de Pressão Implícita), ou pressão implícita, seguida por saturação implícita, então moles implícitas (Seqüenciais), ou pressão implícita e saturação de fase resolvidas simultaneamente (IMPSAT), ou pressão e todos os moles podem ser resolvidos simultaneamente (Implícito Acoplado). Em todo caso, este sistema linear de equações pode então ser resolvido, por exemplo, usando técnicas de software diretas ou iterativas (por exemplo, um resolvedor linear). Esta discretização de tempo pode ser descrita como executar iterativamente o conjunto seguinte de operações a períodos de tempo predeterminados para simular fluxo no reservatório.

Para cada fase de fluido, calcule permeabilidade relativa em cada bloco de grade baseado em saturações de fase. As fórmulas de fluxo derivadas por EMPFA (usando quaisquer das técnicas descritas aqui) podem ser modificadas respondendo por efeitos de saturação na permeabilidade relativa, por exemplo, por Equação (28). Fluxos de fase e linearizações necessárias podem ser computadas usando a fórmula modificada para cada uma das fases. Fluxos de componente e linearizações necessárias podem ser computados de fluxos de fase e composições de fase. A forma discretizada das equações de equilíbrio de massa e volume (Equação 27) pode então ser resolvida para cada componente de fluido e cada bloco de grade junto com uma condição de limite própria. A pressão, massas, e saturações em cada célula de grade podem então ser atualizadas baseado nestas soluções. Opcionalmente, este conjunto de operações pode ser executado uma vez por etapa de tempo, ou múltiplos vezes por etapa de tempo, por exemplo, até que soluções convirjam.

Simulações de exemplo usando o procedimento descrito acima foram executadas. Os resultados destas simulações, apresentados abaixo, validam a aproximação de EMPFA e demonstram suas vantagens sobre MPFA convencional. Para simplicidade, estas simulações foram executadas assumindo fluxos de estado estável monofásicos por Equação (2) acima. Soluções Exatas para Fluxos Uniformes Para quaisquer condições de campo e limite de permeabilidade constante prescritas por funções lineares, a solução linear exata é recuperada por EMPFA, usando tanto interpolação em pedaços linear ou em pedaços bilinear. Esta conclusão é verdadeira para grades Cartesianas 2D ou 3D, grades de Voronoi, e grades pseudo-aleatórias (arbitrárias) que podem ser geradas perturbando uma grade Cartesiana uniforme com a condição que todos os volumes de controle permaneçam convexos. Como um exemplo, Figura 9 ilustra um grade de exemplo arbitrária 900 de células de grade 910 geradas perturbando uma grade Cartesiana.

Equivalência de Métodos para Grades Ortogonais K Para grades ortogonais K, onde nTK a cada interface é paralelo à borda da região de interação cruzando a interface, EMPFA é equivalente à MPFA e TPFA. Considerando o caso 2D como um exemplo, com grades ortogonais K, fluxos em cada meia borda dentro de uma região de interação são dependentes só de gradiente de pressão ao longo da borda da região de interação. Para EMPFA usando interpolação de pressão linear ou bilinear, pressão é linear ao longo dessa borda e, assim, o gradiente é simplesmente a diferença de pressão entre os dois pontos de fim divididos pelo comprimento da borda, que é o mesmo para MPFA e TPFA. Conseqüentemente, todas as três aproximações são equivalentes sob estas condições.

Eliminação de Oscilações Não Físicas Teste indica que EMPFA é superior a MPFA porque soluções obtidas usando EMPFA são, diferente daquelas produzidas por MPFA, bem comportadas e livre de oscilações não físicas. Como um exemplo em 2D, [- 0,5, 0,5]x[-0,5, 0,5] é selecionado como o domínio de computação e uma grade quadrilátera 1000 como mostrada na Figura 10 é gerada. Para este exemplo, um campo de permeabilidade isotrópica é construído aplicando uma rotação a um tensor diagonal

K m f cos^ V- sen φ

sen (PVkl 0 ' COS?» JlsO kt/

(cos^p - sen φ* senç> COS φ^

(29)

onde φ é o ângulo de rotação e Ic1 e k2 são permeabilidades nas direções x-y antes da rotação.

Como condições de limite, um valor de pressão constante é

imposto ao limite de domínio e uma taxa de fluxo constante é especificada como o fluxo combinado pelas bordas do bloco de grade a (0, 0) para simular um poço lá. Resultados numéricos são apresentados como gráficos 1100 e 1200 das Figuras 11 e 12, correspondendo a MPFA e EMPFA,

respectivamente, para volumes de controle de quadrilátero e kj=l, k2=1000, e φ=π/3. Oscilações numéricas em soluções obtidas usando MPFA são indicadas claramente por valores negativos 1120 no gráfico 1100. Em contraste, em soluções obtidas usando EMPFA, mostradas em gráfico 1200 da Figura 12, nenhuma tal oscilação é vista.

Em 3D, grades de teste podem ser construídas para estudar

oscilações numéricas com o domínio primeiro dividido em camadas horizontais. Subseqüentemente, uma malha bidimensional pode ser construída no plano x-y, e então projetada em direção de ζ a cada camada do domínio. Opcionalmente, a grade é perturbada aleatoriamente usando verticalmente o

mapeamento seguinte:

(x,y,z} (*,?+*■ Azrand([—!,]])), 0< *r <0.5 (30)

onde Az é a espessura das camadas e constante κ está entre 0 e 0,5. Depois da perturbação, as faces de topo e fundo de cada bloco de grade não são mais horizontais, embora faces no lado permaneçam verticais. Semelhante ao caso 2D, um campo de permeabilidade anisotrópica pode ser

T

construído que leva a forma K=Ojr AOx, onde A = diag (u, ν, I) e Ox é a matriz de rotação ao redor de eixo x:

O,

\

'10 0 0 QQS φ sen φ ,0 —sen JP COS^

(31)

Para o teste, κ para a perturbação vertical pode ser fixado a 0,3, e parâmetros μ, ν e φ na definição de K são iguais a 1000, 1000 e π/6, respectivamente. Resultados para MPFA e EMPFA são mostrados como gráficos 1300 e 1350 mostrados na Figura 13. Novamente, gráfico 1300 mostra claramente oscilações não físicas 1310 que ocorrem nas soluções obtidas por MPFA, enquanto tais oscilações são eliminadas quando EMPFA é empregada.

Melhoria em Precisão de Solução

A equação de pressão 2D com permeabilidade dada pela Equação (29) admite uma solução analítica de forma ρ (χ, y) = - slog(r)+t, onde s e t são constantes er = ^ +r) , com:

(4)J*r o -Stn êVx}

UJ Io Jfc1-8 5J^nfl COS ΘXy)

Constantes s e t podem ser escolhidas de forma que p(x, y) > 0 em todos os lugares. Um poço pode ser assumido estar localizado ao meio do domínio de computação. Erros em aproximações obtidas por MPFA e EMPFA são desenhados como gráficos 1400 e 1450, respectivamente, mostrados na Figura 14. É evidente comparando gráficos 1400 e 1450 que erros em fluxos são muito menores para EMPFA que MPFA.

Convergência de Soluções

Testes também foram executados para verificar que soluções obtidas usando EMPFA convergem a uma taxa comparável àquelas obtidas usando MPFA. Considerando o caso 2D primeiro, para determinar a taxa de convergência de EMPFA, seguindo erro de L2 discreto pode ser definido para pressão:

<3.3

, i

<33)

onde a soma é através de todos os blocos no domínio de computação, e p, e P1 são solução exata e solução numérica para pressão, respectivamente. Para fluxos, o erro de L2 é:

o.s

Σ A. K Γ

JL_

Σ

(34)

onde a soma é através de todas as bordas, |IE| é o comprimento de borda, e Ve a soma de área de todos os subvolumes compartilhando a borda.

O primeiro exemplo usado para examinar convergência assume [-0,5, 0,5]x [-0,5, 0,5] como o domínio de computação e tensor de permeabilidade K=diag(10,l). Neste exemplo, Equação (2) admite uma solução analítica exata:

K*> y) ~ cos(ízx) cos{ny)+2 (35)

Usando valores de p(x, y) no limite de domínio como

condições de limite, o problema é resolvido numericamente. No processo, grades de níveis diferentes de refinamento foram geradas refinando primeiro a malha Cartesiana uniformemente e então perturbando a malha fina para obter uma grade aleatória. Resultados de convergência são apresentados na Tabela 1 abaixo. TABELA 1

# Blocos EWPFA MPFA δ, Φ Sp % Sf Ψ 8 0,01593 1,4039 0,01892 1,7415 16 0,00344 2,21 1,18 0,00369 2,38 0,7691 1,18 32 0,00082 2,06 0,2702 1,20 0,00100 1,88 0,3851 1,00 64 0,00023 1,81 0,1196 1,18 0,00029 1,78 0,1835 1,07

Um segundo exemplo para examinar convergência considera um campo de permeabilidade descontínua. Figura 15A mostra o domínio de computação que é dividido em quatro regiões, 1510ι-15 IO4, cada uma tendo uma permeabilidade diferente (ki). Dentro de cada região, a permeabilidade é assumida constante, isotrópica, e diagonal, ou Ki = ki I, onde o índice i vai de 1 a 4.

Este exemplo permite soluções analíticas exatas que levam a forma seguinte em coordenadas polares:

/>(·*> JOe'"(^1 sen {a0)+b, cos(cr0)) (36)

para (x, y) em cada região i. As constantes, a, ã\, e b, são determinadas de condições de continuidade para pressão e fluxo por limites de região e são funções de kj e φ. Para ki = 100, k2 = k3 = Ic4 = 1, e φ = 2π/3, um possível conjunto destas constantes é α = 0,7547, a.\ = 1,00995, a2 = a3 = a4 = 1,9999, b, = 1, e b2 = b3 = b4 = 100,98019. Usando valores de p(x, y) no limite de domínio como a condição de limite, e uma grade 1500 que honra descontinuidades de permeabilidade como mostrado na Figura 15B, a equação de pressão monofásica é novamente resolvida numericamente. Resultados na Tabela 2 indicam que, para EMPFA, a taxa de convergência está perto de h2a - a taxa ótima para se conformar a métodos de elemento finito. Resultados semelhantes foram obtidos para campos de permeabilidade com ki = k3 = 1, Ic2 = It4 = 5, 10 ou 100, e φ = π/2. TABELA 2

# Blocos EMPFA MPFA 4> «fe % Ψ 8 0,2688 6,5372 0,3350 4,9486 16 0,1044 1,38 4,1590 0,65 0,125$ 1,42 3,1238 0,68 32 0,0393 1,41 2,5827 0,89 0,0454 1,47 1,9380 0,69 64 0,0145 1,44 1,5803 0,71 0,0162 1,49 1,1877 0,71

O caso 3D pode ser considerado agora. Para determinar mais precisamente a taxa de convergência para problemas 3D, o seguinte erro discreto Hdiv é definido:

^f .ai*

Σ j(F n + KVp nfds

-?0,J

(37)

Mesmo tipo de grade bidimensional e unidimensional e tensor de permeabilidade anisotrópica como descrito acima para a eliminação de oscilações não físicas são usados. No teste, κ na Equação (30) é fixado a 0,3, e parâmetros μ, v, e φ na definição de K são iguais a 10, 10, e π/6, respectivamente. Resultados de convergência numéricos correspondendo a grades baseadas em malha de área quadrilátera ou poligonal são mostrados abaixo nas Tabela 3 e Tabela 4, que confirmam convergência de soluções obtidas por EMPFA que são comparáveis a, ou melhor que MPFA. TABELA 3 32

# Blocos 4 QP St Ψ St. div cItdiv 2 0,1351 6,2730 11,025 4 0,0207 2,18 3,2825 0,94 7,7657 0,51 8 0,0072 2,OS 1,4317 1,20 4,5238 0,78 16 0,0018 2,01 0,6645 1,11 2,8617 0,66

TABELA 4

# Blocos Sf Ψ fy tHv Qf, div 18 0.0497 6,2519 12,8438 100 0.0222 1,41 4,2373 0,68 10,6348 0,33 648 0.0068 1,90 2,2228 1,04 7,3477 0,59 4624 0.0019 1,92 1,1290 1,03 5,D205 0,58

Conclusão

Introduzindo uma pressão adicional desconhecida dentro de uma região de interação, técnicas de aproximação de fluxo de multiponto enriquecida (EMPFA) apresentadas aqui podem ser usadas para reduzir ou eliminar oscilações numéricas em soluções que ocorrem ao usar MPFA convencional. EMPFA pode ser usada para melhorar a consistência e precisão em construir interpolações de pressão em células para o propósito de determinar equações de fluxo usadas em modelar e predizer fluxo em um reservatório.

Como pode ser apreciado, os métodos e processos descritos acima podem ser executados por um sistema de computador. O sistema de computador pode incluir um processador e meio de armazenamento legível por computador contendo instruções executáveis para executar os vários métodos. O sistema de computador pode incluir várias interfaces de usuário para interagir com um usuário do sistema, tais como um mouse, monitor, teclado, ou outros dispositivos de interface semelhantes. Também, o meio de armazenamento pode incluir bancos de dados, discos rígidos e outros dispositivos de armazenamento adequados, por exemplo.

Claims

1. Método para modelar fluxo de um fluido dentro de um reservatório, caracterizado pelo fato de que inclui: dividir um reservatório em um número finito de células de grade que forma uma grade do reservatório; definir regiões de interação contidas dentro de células de grade adjacentes na grade; e executar operações de aproximação de fluxo de multiponto enriquecida que permitem interpolação de pressão contínua dentro de uma das regiões de interação introduzindo pelo menos um parâmetro de pressão desconhecido dentro de uma das regiões de interação.

2. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de que o parâmetro de pressão desconhecido inclui pressão a um vértice da região de interação.

3. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de que executar operações de aproximação de fluxo de multiponto enriquecidas inclui: executar aproximação linear em pedaços para derivar um conjunto de equações baseado no parâmetro de pressão desconhecido.

4. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de que executar operações de aproximação de fluxo de multiponto enriquecidas inclui: executar aproximação bilinear em pedaços para derivar um conjunto de equações baseado no parâmetro de pressão desconhecido.

5. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de que: a grade é uma grade tridimensional; as regiões de interação são tridimensionais; e executar operações de aproximação de fluxo de multiponto enriquecidas inclui executar aproximação trilinear em pedaços para derivar um conjunto de equações baseado no parâmetro de pressão desconhecido.

6. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de que executar operações de aproximação de fluxo de multiponto enriquecidas inclui: derivar um conjunto de equações contendo o parâmetro de pressão desconhecido dentro da uma das regiões de interação e parâmetros de pressão desconhecidos em centros de borda de bordas definindo as regiões de interação; e derivar equações de equilíbrio de fluxo para eliminar os parâmetros de pressão desconhecidos.

7. Método de acordo com a reivindicação 6, caracterizado pelo fato de que inclui derivar um conjunto de equações em termos de pressões em centros de célula de grade.

8. Método de acordo com a reivindicação 1, caracterizado pelo fato de que a grade inclui pelo menos uma de: uma grade Cartesiana e uma grade de Voronoi.

9. Método para modelar fluxo de um fluido dentro de um reservatório, caracterizado pelo fato de que inclui: dividir um reservatório em um número finito de células de grade que forma uma grade do reservatório; definir uma região de interação contida dentro de células de grade adjacentes na grade; derivar um conjunto de equações para interpolação de pressão dentro da região de interação em termos de pelo menos cinco parâmetros de pressão desconhecidos locais à região de interação, incluindo pelo menos um parâmetro de pressão desconhecido dentro da região de interação; e derivar, do conjunto de equações para interpolação de pressão, um conjunto de equações de fluxo em termos de parâmetros de pressão desconhecidos globais.

10. Método de acordo com a reivindicação 9, caracterizado pelo fato de que os pelo menos cinco parâmetros de pressão desconhecidos locais à região de interação incluem pelo menos quatro pressões desconhecidas em locais em bordas definindo a região de interação.

11. Método de acordo com a reivindicação 9, caracterizado pelo fato de que o pelo menos um parâmetro de pressão desconhecido dentro da região de interação inclui uma pressão desconhecida a um vértice da região de interação.

12. Método de acordo com a reivindicação 9, caracterizado pelo fato de que derivar o conjunto de equações para interpolação de pressão inclui pelo menos um de: interpolação linear em pedaços, bilinear em pedaços ou trilinear em pedaços.

13. Método de acordo com a reivindicação 9, caracterizado pelo fato de que os parâmetros de pressão desconhecidos globais incluem pressões em centros de célula de grade.

14. Método para predizer fluxo em um reservatório, caracterizado pelo fato de que inclui: (a) dividir um reservatório em um número finito de células de grade que forma uma grade do reservatório; (b) definir regiões de interação contidas dentro de células de grade adjacentes na grade; (c) gerar um sistema linear de equações em termos de parâmetros de pressão globais executando operações de aproximação de fluxo de multiponto enriquecidas que permitem interpolação de pressão contínua dentro de múltiplas regiões de interação introduzindo pelo menos um parâmetro de pressão desconhecido dentro de cada uma das múltiplas regiões de interação; e (d) resolver o sistema linear de equações.

15. Método de acordo com a reivindicação 14, caracterizado pelo fato de que ademais inclui calcular permeabilidade relativa para uma ou mais fases de fluido para múltiplas células de grade baseado em saturações de fase.

16. Método de acordo com a reivindicação 15, caracterizado pelo fato de que ademais inclui modificar o sistema linear de equações para responder por efeitos de saturação em permeabilidade relativa.

17. Método de acordo com a reivindicação 14, caracterizado pelo fato de que inclui repetir pelo menos as operações (c) e (d) para múltiplos pontos discretos em tempo para simular fluxo no reservatório.

18. Método de acordo com a reivindicação 17, caracterizado pelo fato de que pelo menos as operações (c) e (d) são repetidas múltiplas vezes a cada ponto discreto em tempo até que uma solução do sistema de equações convirj a.

19. Método de acordo com a reivindicação 14, caracterizado pelo fato de que os parâmetros de pressão globais incluem pressões em centros de grade.

20. Método de acordo com a reivindicação 14, caracterizado pelo fato de que a grade inclui uma grade tridimensional.

21. Método de acordo com a reivindicação 20, caracterizado pelo fato de que executar operações de aproximação de fluxo de multiponto enriquecidas que permitem interpolação de pressão contínua dentro de múltiplas regiões de interação introduzindo pelo menos um parâmetro de pressão desconhecido dentro de cada uma das múltiplas regiões de interação inclui interpolação trilinear dentro de regiões de interação tridimensionais.

22. Meio de armazenamento legível por computador, caracterizado pelo fato de que contém instruções executáveis que, quando executadas por um processador, executa operações para aproximação de fluxo de multiponto enriquecidas incluindo: (a) definir regiões de interação contidas dentro de células de grade adjacentes de um número finito de células de grade que formam uma grade dividindo um reservatório; e (b) gerar um sistema linear de equações em termos de parâmetros de pressão globais executando operações de aproximação de fluxo de multiponto enriquecidas que permitem interpolação de pressão contínua dentro de múltiplas regiões de interação introduzindo pelo menos um parâmetro de pressão desconhecido dentro de cada uma das múltiplas regiões de interação.

23. Meio de armazenamento legível por computador de acordo com a reivindicação 22, caracterizado pelo fato de que as operações ademais incluem: (c) resolver o sistema linear de equações.

24. Meio de armazenamento legível por computador de acordo com a reivindicação 23, caracterizado pelo fato de que as operações incluem repetir pelo menos as operações (b) e (c) para múltiplos pontos discretos em tempo para simular fluxo no reservatório.

25. Meio de armazenamento legível por computador de acordo com a reivindicação 24, caracterizado pelo fato de que pelo menos as operações (b) e (c) são repetidas múltiplas vezes a cada ponto discreto em tempo até que uma solução do sistema linear de equações convirja.

26. Método para predizer uma ou mais propriedades de material baseadas em fluxo de um reservatório, caracterizado pelo fato de que inclui: dividir um reservatório em um número finito de células de grade que forma uma grade do reservatório; definir uma região de interação contida dentro de células de grade adjacentes na grade; derivar um conjunto de equações para interpolação de um parâmetro dentro das regiões de interação em termos de pelo menos cinco valores desconhecidos do parâmetro local à região de interação, incluindo pelo menos um parâmetro desconhecido dentro da região de interação; derivar, do conjunto de equações de interpolação, um sistema de equações em termos de parâmetros desconhecidos globais; e resolver o sistema de equações para predizer a uma ou mais propriedades de material baseadas em fluxo.

27. Método para predizer o gradiente de pressão em um reservatório, caracterizado pelo fato de que inclui: dividir o reservatório em um número finito de células de grade que forma uma grade do reservatório; definir uma região de interação contida dentro de células de grade adjacentes na grade; derivar um conjunto de equações para interpolação de pressão dentro da região de interação em termos de pelo menos cinco parâmetros de pressão desconhecidos locais à região de interação, incluindo pelo menos um parâmetro de pressão desconhecido dentro da região de interação; derivar, do conjunto de equações de interpolação de pressão, um sistema de equações em termos de parâmetros de pressão desconhecidos globais; e resolver o sistema de equações para predizer o gradiente de pressão no reservatório.