NO320238B1 - Metode for a simulere et saertrekk ved et fysisk system - Google Patents

Description

Foreliggende oppfinnelse vedrører generelt en simulering av minst ett karaktertrekk av et fysisk system. I et aspekt vedrører oppfinnelsen en fremgangsmåte for simulering av et fysisk system så som et hydrokarbonbærende reservoar for å forutsi fluidegenskaper og oppførsel i reservoaret.

Numerisk simulering er mye brukt i det industrielle felt som en fremgangsmåte for å simulere et fysisk system ved hjelp av en datamaskin. I de fleste tilfeller har man et ønske om å modellere transportprosessene som skjer i de fysiske systemene. Det som transporteres er typisk masse, energi, bevegelsesmengde eller en kombinasjon av disse. Ved å bruke numerisk simulering er det mulig å reprodusere og observere et fysisk fenomen og å bestemme designparametere, uten bruk av faktiske eksperimenter ved hjelp av en modell og apparater. Det forventes derfor at designtiden og kost-naden kan reduseres betydelig.

En type simulering som er av stor interesse er en prosess der man utleder oppførselen av et virkelig hydrokarbonbærende reservoar fra resultatet av en modell av reservoaret. Formålet med reservoarsimuleringen er å forstå de kompli-serte kjemiske- og fysiske prosessene, samt fluidstrøm-ningsprosessene i reservoaret i tilstrekkelig grad til å forutse den fremtidige oppførselen av reservoaret for å maksimalisere hydrokarbongjenvinningen. Reservoarsimulering refererer seg ofte til hydrodynamikken av strømningene i et reservoar, men i en større sammenheng kan reservoarsimulering også referere til det totale petroleumsystem som omfatter reservoaret, injeksjonsbrønner, produksjonsbrønner, rørledningen på overflaten og prosesseringsanlegg på overflaten.

Grunnlaget for en numerisk simulering er å numerisk løse ligninger som beskriver et fysisk fenomen ved hjelp av en datamaskin. Slike ligninger er generelt ordinære differensialligninger og partielle differensialligninger. For å lø-se slike ligninger numerisk kan man anvende metoder kjent som den endelige elementmetode, den endelige differanseme-tode, den endelige volummetode og lignende. I hver av disse metodene deles det fysiske system som skal modelleres inn i mindre celler (et sett av hvilke kalles et gitter eller en maske), idet tilstandsvariablene som kontinuerlig skifter i hver celle representeres av et verdisett for hver celle. En original differensialligning erstattes med et ligningssett for å uttrykke de fundamentale prinsipper av massekonserve-ring, energikonservering og/eller bevegelsesmengdekonservering innenfor hver av de mindre enhetene eller cellene samt massebevegelsen, energibevegelsen og/eller bevegeIsesmeng-debevegelsen mellom cellene. Disse ligningene kan utgjøre millioner i antall. En slik erstatning av kontinuerlig skiftende verdier med et endelig antall verdier for hver celle kalles en "diskretering". For å analysere et fenomen som forandrer seg i tid er det nødvendig å beregne fysiske mengder ved diskrete tidsintervaller kalt tidstrinn, uav-hengig av de kontinuerlig endrede forhold som en funksjon av tid. Tidsavhengig modellering av transportprosessene skrider frem som en etterfølgende rekke av tidstrinn.

For de fleste transportprosesser vil de styrende ligningene være ikke-lineære, da mengden av masse, energi eller bevegelsesmengde i en celle og en bevegelse av masse, energi og bevegelsesmengde mellom celler typisk har ikke-lineære forhold til de variabler som definerer den fysiske tilstanden av cellen. Ved simulering av et hydrokarbonreservoar vil ligningene som modellerer reservoaret for eksempel være ikke-lineære, partielle differensialligninger som beskriver den ustasjonære strømning av alle fluider i reservoaret og som relaterer trykket og satureringsendringer av fluidet med hensyn til tid gjennom reservoaret.

For å simulere mange fysiske systemer er det ønskelig å bruke implisitte beregninger der en bevegelse av en trans-portert enhet mellom cellene avhenger av løsningen ved enden av et tidstrinn. Implisitte beregninger krever at de ukjente ved enden av et tidstrinn alle bestemmes sammen. Som et resultat, dersom ligningene er ikke-lineære, beregnes de ukjente typisk ved hjelp av iterasjon. Iterasjon in-nebærer en initiell gjetning av den ukjente for så å anvende en repetitiv beregning for å forbedre gjetningen inntil ligningene kommer innenfor et akseptabelt toleransenivå etter et tilstrekkelig antall iterasjoner. Da hver iterasjon krever beregningstid, har man et ønske om å bruke en iterativ fremgangsmåte som reduserer beregningstiden så mye som mulig. Et antall iterative fremgangsmåter er blitt foreslått for å løse ikke-lineære ligningssett. Et eksempel er den velkjente Newton-Raphson-metoden.

Tilnærmingen brukt i en Newton-Raphson-iterajon resulterer i et lineært sett av ligninger som relaterer de ukjente ved hver celle til ukjente ved cellens naboer. Disse lignings-settene settes sammen til en global matriselingning som så løses for å oppnå det neste estimatet av løsningen. En tilsvarende matriseligning oppnås dersom representasjonen av det fysiske system er lineært. I begge tilfeller er matriseligningen generelt ganske stor og løses lettest på en iterativ måte. En iterativ metode for å løse slike matriseligninger er en prosedyre kalt "punkt Gauss-Seidel". I punkt Gauss-Seidel beregnes et nytt løsningsestimat celle for celle. I hver celle oppnås det nye estimat ved å løse masse, energi og bevegelsesmengdebalanseligningene for den cellen, mens de ukjente, tilsvarende verdiene i de nabobeliggende cellene holdes uendret ved sine siste estimater.

I denne prosedyren er en nabobeliggende celle én som den

gjeldende cellen står i kommunikasjon med. En celles masse, energi eller bevegelsesmengdebalanseligninger vil inneholde ledd som multipliserer de ukjente ved sine naboer. Når denne beregningen gjentas for alle ligninger i systemet, dannes en ny rekke svar. Denne rekken kontrolleres så for å

bestemme om verdiene tilfredsstiller celleligningene. For å gjøre dette er det praktisk å definere en rest (r) for hver ligning. Dersom de nye verdiene tilfredsstiller ligningene, vil alle restene være null eller i hvert fall meget små.

Hvis ikke, gjentas prosessen med oppdaterte verdier av de ukjente som er basert på den foregående iterasjon. Denne prosessen gjentas til alle restverdiene er tilstrekkelig nærme null. Denne type iterativ metode kalles en punktite-rativ metode fordi metoden metoden utføres i ett punkt eller én celle om gangen.

En raskere konvergering kan oppnås dersom "punkt Gauss-Seidel" erstattes med en punktsuksessiv overrelaksering, eller PSOR. I PSOR mulitpliseres forandringen av den estimerte løsning ved hver iterasjon med en overrelakseringspa-r ame ter co, som må ha en verdi mellom en og to.

Vellykket anvendelse av PSOR i simuleringen er generelt begrenset til relativt enkle modeller. Da PSOR-metodene er "eksplisitte" metoder der bare én celles ukjente verdi beregnes om gangen, gjennomgår PSOR-metodene ofte en langsom konvergering. Denne begrensningen har ført til forsøk på å gjøre løsningsmetodene mer implisitte. En måte for å gjøre dette på kalles en linjesuksessiv overrelaksering (LSOR). LSOR forbedrer PSOR ved å beholde implisittheten i én retning. Masse-, energi- eller bevegelsesmengdebalanseling-ningene for en kolonne eller rekke av celler løses samtidig mens bidragene fra nabobeliggende kolonner eller rekker holdes fast ved sine siste estimater. Eksempler på LSOR-anvendelser finner man i (1) Mattax, CC. og Dalton, R.L., Reservoir Simulation, Monograph Volume 13, Society of Petroleum Engineers (1990) og (2) Aziz, K. og Settari, A., Petroleum Reservoir Simulation, Applied Science Publishers Ltd, London, 1979.

LSOR-metoden som er blitt brukt tidligere, er blitt anvendt først og fremst i forbindelse med modeller der cellene er organisert i et ensartet, strukturert gitter med veldefi-nerte rader eller kolonner. Mange modeller er blitt foreslått der i hvert fall noen av cellene som er ordnet i gitre mangler denne ensartede strukturen. Det antas at utøvel-sen av foreliggende oppfinnelse representerer den første anvendelse av LSOR-prinsippene. i forbindelse med ustrukturerte gitter. En kommersiell bruk av ustrukturerte gitter er blitt bremset ned av de høye kostnadene for løsningstek-nikken i forbindelse med ustrukturerte gitre, sammenlignet med strukturerte gitte. Det eksisterer behov for en simule-ringsmetode som kan brukes for å analysere representasjoner av fysiske systemer som anvender alle typer cellekonfigura-sjoner.

Fremgangsmåten ifølge foreliggende oppfinnelse brukes for å simulere minst ett karaktertrekk av et fysisk system, uav-hengig av om det fysiske systemet er diskretisert til celler som oppviser strukturerte eller ustrukturerte gitre eller en kombinasjon av begge. Det første trinn ifølge metoden er å diskretisere det fysiske systemet til et antall volumetriske celler som er anordnet ved siden av hverandre slik at de har en grense mellom hvert nabobeliggende cellepar. For hver celle konstrueres det lineære ligninger som relaterer en celles tilstandsvariabler til tilstandsvariablene av sine nabobeliggende celler. De neste trinn er å assosiere en transportabilitetsverdi til hver grense og så rangere grensene i en avtagende rekkefølge av transportabilitetsverdier. Grenserangeringene arrangeres så for å konstruere topologiske, endimensjonale cellerekker. En matriseligning utvikles for hver streng ved å sette sammen de lineære ligninger som er tilknyttet med cellene av hver streng. Forbedrede estimater av tilstandsvariablene av cellene oppnås så ved å løse matriseligningen for hver streng, en streng om gangen, til matriseligningene for alle strengene er løst. Denne prosessen gjentas iterativt inntil en konvergeringsbetingelse er tilfredsstilt. Denne løsningen tilveiebringer tilstandsvariabler for alle celler som samtidig tilfredsstiller de lineære ligningene for alle cellene. Tilstandsvariablene tilveiebrakt ved iterasjon kan brukes for å simulere i hvert fall ett karaktertrekk av det fysiske system. Oppfinnelsen er definert i kravene 1 og 25.

I en foretrukket utførelse konstruksjonen av strengene anvendes en regel som fremmer dannelsen av strenger som har høye transportabilitetsverdier ved cellegrensene i streng-cellene.

Foreliggende oppfinnelse og dens fordeler vil forstås bedre i lys av den følgende detaljerte beskrivelse og under henvisning til de vedføyde tegninger, der tilsvarende elementer er angitt med tilsvarende henvisningstall og der: Fig. 1 er et forenklet eksempel på et todimensjonalt karte-sisk gittersystem med fire rekker og ti kolonner der geometrien av cellene indikerer styrken av koplingen mellom cellene, idet koplingen mellom cellene er sterkest for strømningen i den vertikale retningen (innenfor kolonner). Fig. 2 er et forenklet eksempel av et todimensjonalt, kar-tesisk gittersystem tilsvarende eksempelet på fig. 1, bortsett fra at koplingen mellom cellene for strømning i den horisontale retning avtar fra venstre til høyre og for strømning i den vertikale retning øker fra venstre til høy-re. Fig. 3 er et forenklet eksempel på et todimensjonalt ustrukturert gittersystem der cellene ikke har samme form og der koplingen mellom cellene ikke følger et fast mønster. Fig. 4 angir et enkelt, todimensjonalt 3 ganger 5 gitter med 15 celler, idet transportabilitetsrangeringen mellom cellene er vist. Fig. 5 angir gitret på fig. 4 og viser det initielle trinn ved dekomponeringen av gitret bestående av 15 celler til en cellestreng. Fig. 6 angir gitret på fig. 4 etter at strengen vist på fig. 5 er blitt skåret ned til to strenger. Fig. 7 angir et enkelt, todimensjonalt 3 ganger 6 gitter med 18 celler som viser transportabilitetsrangeringen mellom cellene. Fig. 8 angir gitret på fig. 7 og viser det initielle trinn ved dekomponering av gitret bestående av 18 celler til to cellestrenger. Fig. 9 angir gitret på fig. 7 etter at de to strengene vist på fig. 8 er skjært ned til fire strenger.

Tegningene er ikke ment å ekskludere fra oppfinnelsens ramme andre utførelser som er resultat av normale og forvente-de modifikasjoner av disse spesielle utførelser.

Foreliggende oppfinnelse tilveiebringer en ny metode for simulering av et fysisk system som er numerisk representert av partielle differensialligninger. Metoden kan brukes for å simulere to- og tredimensjonale domener som er diskretisert i strukturerte gitre, ustrukturerte gitre eller en kombinasjon av begge. Den kan også brukes i situasjoner der beregningsmetoden gir en topologi som har mer en tre dimen-sjoner, noe som skjer ved simulering av frakturerte, porøse medier. Oppfinnelsen er spesielt egnet for å simulere et særtrekk av et fysisk system der det skjer transportfenomen. Begrepet "transportfenomen" som anvendt i dette skrift brukes i en bred betydning for å omfatte bevegelsesmengde-transport (viskøs strømning), energitransport (varmeleding, konveksjon og stråling) og massetransport (diffusjon). Foreliggende oppfinnelse kan anvendes på meget forskjellige områder så som fysikk, fjellgrunnskarakteristikker, krys-tallografi, elektro, biologi, matematikk, fluidmekanikk og petroleumsteknikk.

Vanlig praksis i simuleringsoperasjoner er å representere et lineært sett av ligninger som resultat av diskretiseringen av de bestemmende partielle differensialligninger over det fysiske domenet som skal simuleres ved hjelp av ligningen Mx=y ( der M er en koeffisientmatrise med størrel-sen n x n, dvs n rekker ganger n kolonner, x er en kolonnevektor av størrelse n som representerer vik jente verdier, y er en kolonnevektor av størrelse n som representerer et sett av kjente verdier). En grunnleggende operasjon i simu-leringsoperasjonene er å løse dette lineære ligningssyste-met. Denne operasjonen oppstår for eksempel i Newton-Raphson-metoden for ikke-lineær ligningsløsning, så vel som under den implisitte integrering av ordinære differensialligninger. Tradisjonelle metoder for å løse de partielle differensialligninger avhenger av en blokkpartisjonering av koef f isientmatrisen AT. Denne løsningsmetoden innbefatter iterative teknikker så som linjebasert relaksering, konver-geringsaksellerasjonsmetoder så som additiv korrigering, og forhåndsbetingelser så som nestet faktorisering. Før denne oppfinnelsen, oppstod det betydelige problemer ved dannelsen av blokkstrukturer av ustrukturerte gitre. Metoden ifølge foreliggende oppfinnelse overkommer dette problemet ved å sortere og samle opp noder i et ustrukturert gitter for å danne en blokkmatrisestruktur i koeffisientmatrisen M, som tillater at blokkbaserte numeriske løsningsalgorit-mer kan brukes og samtidig fremmer en god konvergering.

Oppfinneren har oppdaget at de bestemmende matriseligninger for et fysisk system kan løses ved å bruke toplogiske celles trenger som er konstruert på basis av transportabili-tetsverdirangeringer som bestemmes for grenser mellom hvert nabobeliggende cellepar. Når koeffisientmatrisen M er dannet, vil hver streng være tilknyttet en blokk i M.

Begrepet transportabilitet som anvendt i dette skrift refererer til et mål for graden av eller evnen til en eller annen enhet, så som materie, energi eller elektrisk ladning, å bevege seg over en cellegrense (eller celleforbindelse) i et gitt tidsintervall. Enheten som transporteres kan for eksempel være en fluidmasse eller et fluidvolum, antall partikler, termisk energi, stråling eller elektrisitet. Dersom det fysiske system som simuleres er et hydrokarbonreservoar, vil transportabilitet som brukt i denne beskrivelse av oppfinnelsen være synonymt med overførbarhet ("transmissibility"), et begrep som er kjent for fagmannen som et mål på et fluids evne til å strømme mellom to nabobeliggende celler som representerer et volum i et porøst medium. Overførbarhet uttrykkes som — , der k er den ef-Ajc

fektive permeabilitet av det porøse medium, A er arealet av grensen mellom de nabobeliggende celler og Ax er gjennom-snittsavstanden eller den karakteristiske avstanden som fluidet må tilbakelegge for å bevege seg mellom de to cellene .

Ved utførelsen av fremgangsmåten ifølge foreliggende oppfinnelse omfatter det første trinn å diskretisere det fysiske system til et antall metriske celler anordnet ved siden av hverandre, slik at man får en grense mellom hvert nabobeliggende cellepar. Diskretiseringen utføres ved hjelp av endelige differansemetoder, endelige volummetoder, endelige elementmetoder eller tilsvarende metoder som er basert på å dele opp det fysiske system som skal modelleres inn i mindre enheter. Den påfølgende beskrivelse av foreliggende oppfinnelse refererer hovedsakelig til endelige differansemetoder. Fagmannen vil forstå at oppfinnelsen også kan anvendes i forbindelse med endelige elementmetoder eller endelige volummetoder. Når den anvendes med endelige elementmetoder, vil cellene danne endelige elementer, og når det anvendes endelige volummetoder, vil cellene danne endelige volumer. Uansett hvilke av disse metodene som brukes, vil de alle redusere partielle differensialligninger til et endelig dimensjonalt system av algebraiske ligninger.

I reservoarsimuleringer dannes endelige differanseligninger som er representative for fjell- og fluidegenskaper for hvert fluid for hver gittercelle. Disse ligningene overfø-rer i praksis det fysiske system som skal analyseres til et volumetrisk system som omfatter et antall mindre, tilgren-sende celler. Ved bruk av de endelige referansemetoder og endelige volummetoder, kalles de mindre enhetene typisk celler eller gitterblokker, og ved bruk av den endelige elementmetode kalles cellene typisk elementer. Disse cellene kan i antall strekke seg fra mindre enn hundre til millioner. I dette skrift anvendes for enkelhets skyld begrepet "celle", men det forstås at dersom en simulering anvender den endelige elementmetode vil begrepet "element" ers-tatte begrepet "celle" i denne beskrivelsen.

I utførelsen av denne oppfinnelsen kan cellene utgjøre enhver geometrisk form, så som parallellepipeder (eller ku-ber) eller hexahedroner (som har fire vertikale hjørnekan-ter som kan variere i lengde), eller tetraheder, romber, trapeser eller triangler. Gitret kan omfatte rektangulære celler som er organisert i et regulært, strukturert møns-ter, eller kan omfatte celler som har forskjellige former utlagt i et uregelmessig, ustrukturert mønster, eller det kan omfatte et flertall av både strukturerte og ustrukturerte mønstre. Fullstendig ustrukturerte gitre kan settes sammen slik at de inntar nesten enhver form. Alle cellene er fortrinnsvis grenseinnrettet slik at ingen av celleside-ne kommer i kontakt med sidene av to andre celler.

X dette skrift er begrepet "grense" ensbetydende med begrepet "forbindelse". To celler har en forbindelse dersom det kan være en bevegelse av materie, energi eller elektrisk ladning fra en celle til den andre. I et strukturert gitter har hver celle et fast antall naboer som den er forbundet med. I et ustrukturert gitter kan antallet forbindelser variere fra celle til celle.

Det neste trinn i metoden er å velge ut tilstandsvariabler for hver celle. Tilstandsvariablene er de variablene som er nødvendige og tilstrekkelige for å spesifisere tilstanden til systemet. Gitt tilstandsvariablene, må det være mulig å beregne alle andre egenskaper av cellen. For reservoarsimulering vil en av tilstandsvariablene nesten alltid være trykk. De andre kan omfatte fysiske egenskaper så som metning, sortkonsentrasjoner og sortmengder. For enkelhets skyld vil den påfølgende beskrivelse referere til tilstandsvariabler i tillegg til trykk, så som metninger, med den forståelse at de kan omfatte en rekke fysiske egenskaper som ikke nødvendigvis omfatter metning. Disse egenska-pene kan helt eller delvis oppnås fra faktiske reservoardata, eller de kan bestemmes eksperimentelt eller estimeres, avhengig av typen reservoarsimulering som utføres og til-gjengeligheten av de faktiske reservoardata. Bestemmelse av egnede tilstandsvariabler og estimering av deres initielle verdier kan lett bestemmes av fagmannen.

Beskrivelsen av oppfinnelsen antar at et tidsavhengig prob-lem løses. Det er imidlertid noen ganger ønskelig å løse stasjonære problemer. Prinsippene angitt i denne beskrivelse kan også anvendes i forbindelse med stasjonære problemer. I likhet med tidsavhengige problemer involverer stasjonære problemer det å løse en matriseligning én eller flere ganger.

For hver celle konstrueres lineære ligninger som relaterer en celles tilstandsvariabler med tilstandsvariablene av dens nabobeliggende celler. Disse ligningene konstrueres for å uttrykke de fundamentale prinsipper av massekonserve-ring, energikonservering eller bevegelsesmengdekonservering innen hver celle samt bevegelsen av masse, energi eller bevegelsesmengde mellom cellene. I reservoarsimuleringen li-neæriseres de ikke-lineære leddene i de ikke-lineære, endelige differanseligningene og basert på denne lineæriseringen konstrueres et lineært sett av algebraiske ligninger. Disse ligningene kan variere betydelig avhengig av metoden som velges for simuleringsoperasjonen. Metodene som er blitt foreslått for simulering av et reservoar skiller seg fra hverandre primært ved hvordan de behandler måten reservoartilstandsvariablene (så som trykk og metning) va-rierer i tid. I mange av disse metodene er verdiene for tilstandsvariablene ikke kjent før beregningene av tidstrinnet er sluttført. Som et resultat må de bestemmes ved hjelp av en iterativ prosess.

En vanlig brukt prosedyre for å simulere reservoarer kalles den implisitt trykk, eksplisitt-metningsmetoden (IMPES-metoden). I IMPES-metoden beregnes strømninger mellom nabobeliggende celler på basis av trykk ved verdiene ved enden av tidstrinnet og metningene ved verdiene ved begynnelsen av tidstrinnet. I denne metoden er trykkene ved enden av tidstrinnet avhengig av hverandre og må bestemmes samtidig. Denne metoden kalles "implisitt" fordi hvert trykk avhenger av andre mengder (for eksempel andre trykk ved enden av tidstrinnet) som bare er kjent implisitt. Den grunnleggende prosedyren er å tilveiebringe en enkel trykkligning ved en kombinasjon av konserveringsligningene. Etter at trykket er fremskutt i tid, oppdateres metningene eksplisitt. Etter at metningene er beregnet, kan nye relative permeabiliteter og kapillære trykk beregnes, hvorpå de anvendes eksplisitt i

det neste tidstrinn.

En annen prosedyre anvendt ved reservoarsimuleringer kalles "Fully Implicit"-metoden som behandler både trykk og metninger implisitt. Strømningshastigheter beregnes ved hjelp av fasetrykk og metninger ved enden av hvert tidstrinn. Beregningen av strømningshastighetene, trykket og metnings-løsningene medfører løsninger av ikke-lineære ligninger ved hjelp av en egnet iterativ teknikk. Når trykkene og metningene er funnet, vil oppdateringen av disse leddene fort-sette ved hjelp av nye verdier for trykk og metning. Itera-sjonsprosessen avsluttes når konvergeringskriteriene er tilfredsstilt.

Enda en annen prosedyre anvendt i reservoarsimuleringer kalles den sekvensielle, implisitte metode (SEQ-metode). Denne metoden innbefatter en implisitt behandling av metninger, men uten en samtidig beregning av trykkene og metningene. Den består av to trinn. Det første trinnet beregner et sett av trykkiigninger på nøyaktig samme måte som i IMPES-metoden. Dette settet omfatter én enkel ligning per celle og beregningen gir en fullstendig, ny trykkfordeling ved enden av et tidstrinn. I et andre trinn brukes trykk-fordelingen for å beregne summen av hastighetene av alle faser ved hver grense mellom cellene. Disse totale hastighetene brukes for å konstruere et sett av metningsligninger. Dette settet omfatter to ligninger per celle i de tilfeller der man har tre faser og én ligning per celle i de tilfeller der man har to faser, og beregnes samtidig slik at man får metningene ved det nye tidstrinnet. Det andre trinnet er en implisitt beregning av metninger ved hjelp av lineæriserte, implisitte hastigheter. Metningene i hver celle bestemmes ved å bruke implisitte (slutten av tidstrinnet) , lineæriserte verdier av de relative permeabiliteter og kapillærtrykk i de ledd som uttrykker en fluidstrøm-ning mellom cellene. Denne metoden krever en samtidig beregning av alle metningsligninger.

Lineæriseringen av ikke-lineære ligninger og trinnene som brukes for å løse ligningene er avhengig av hverandre. X lineæriseringsprosessen vil de algebraiske ligninger ha forskjellige former avhengig av løsningsteknikken som velges. For eksempel vil XMPES-metoden bare lineærisere de trykkavhengige leddene, så som spesifikt volum. Det spesi-fikke volumet uttrykkes derfor som en lineær funksjon av trykk. SEQ-metoden lineæriserer de samme trykkavhengige ledningene med hensyn til trykk og den lineæriserer også fasefraksjonsstrømningsleddene med hensyn til metninger. Fully Implisitt-metoden lineæriserer de trykkavhengige ledd med hensyn til trykk og de metningsavhengige leddene (som omfatter de relative permeabiliteter og kapillærtrykkene) med hensyn til metninger.

Det er mulig å bruke disse metodene på en ikke-iterativ måte der løsningen av de lineæriserte ligninger gir en løs-ning ved enden av hvert tidstrinn. Med Fully Implisitt-metoden gjøres dette imidlertid sjeldent. I stedet finner man normalt Fully Implisitt-løsningen for et tidstrinn ved hjelp av en Newton-Raphson-iterasjon, der løsningen av de lineæriserte ligninger gir en tilnærmet løsning. Newton-Raphson- iterasjoner gjentas til de resulterende estimater av løsningene regnes som nøyaktige nok på basis av forhåndsbestemte konvergeringskriterier.

Utvelgelsen av egnede simuleringsmetoder og konstruksjonen av egnede lineære ligninger for simulering av et fysisk system kan lett utføres av fagmannen. Denne oppfinnelsen er ikke begrenset til IMPES-, Fully Implicit- eller SEQ-simuleringsmetoder. Andre kjente simuleringsmetoder, samt simuleringsmetoder som enda ikke er oppdaget kan brukes i utførelsen av foreliggende oppfinnelse. Eksempler på metoder for å konstruere matematiske modeller for reservoaret er beskrevet i Peaceman, D.W., Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation, Elsevier Scientific Publishing Com-pany, Amsterdam, (1977); and Mattax, CC. and Dalton, R.L., Reservoir Simulation, Monograph Volume 13, Society of Petroleum Engineers (1990).

Neste trinn ifølge foreliggende oppfinnelse er å assosiere en transportabilitetsverdi til hver grense (eller forbindelse) mellom nabobeliggende cellepar. Transportabili-tetsverdiene tilsvarer koplingsstyrken av hver forbindelse mellom celler, og er et mål for hvor sterkt forbindelsen kopler de to forbundne cellene med hverandre. Dersom to celler er sterkt koplet, vil de ha en sterk kommunikasjon med hverandre. En forandring i tilstandsvariablene ved én celle vil ha en betydelig virkning på tilstandsvariablene i den andre cellen. Dersom to celler er svakt koplet (svakt forbundet), vil en forandring ved én celle ha liten virkning på den andre. For simulering av et fluidbærende, po-røst medium ved hjelp av endelige differanser kan koplingsstyrken betraktes som forbindelsens overførbarhet. For si-muler ingsoperasjoner av andre fysiske systemer kan koplingsstyrken tilsvare andre kjente eller lett bestembare fysiske størrelser. For visse typer modellering kan kop-lings styrken bestemmes direkte fra koeffisientene av matriseligningene. Fagmannen vil være i stand til å bestemme en egnet måling av koplingsstyrken mellom celler for det fysiske system som analyseres. Når trånsportabilitetsverdiene er bestemt, rangeres celleforbindelsen (koplingsstyrkene) fra den som har den største styrken til den som har den minste styrken. Ved å gjøre dette kan koplingsstyrkebånd brytes på enhver egnet måte. Rangeringen av forbindelses-styrke utføres fortrinnsvis ved hjelp av en egnet sorteringsprosess. En foretrukket sorteringsprosess bruker QUICKSORT-algoritmen som er beskrevet i en bok av William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, og Bri-an P. Flannery, Numerical Recipes, Second Edition, Cambrid-ge University Press (1994).

Basert på rangeringene av trånsportabilitetsverdiene mellom cellene, konstrueres deretter topologiske, endimensjonale strenger av celler. Strengene konstrueres for å innholde så mange av de sterkeste forbindelsene (høyeste trånsportabilitetsverdiene) som mulig. Fra den høyeste rangerte transportabilitetsverdi (dvs den sterkeste forbindelsen) dannes en strengforbindelse mellom de to cellene som den forbinder. Så utvelges den nest høyeste rangerte transportabilitetsverdi og en andre strengforbindelse plasseres mellom de to cellene som den forbinder. Denne prosessen gjentas rekursivt inntil alle celleforbindelsene er vurdert for en mulig inklusjon i en streng av celler. I denne metoden tillates hver celle å ha ikke mer enn to strengeforbin-delser. Hvis én av en forbindelses celler allerede har to strengforbindelser, kan ikke en ny forbindelse legges til strengen. Hver celle kan forbindes til høyst to andre celler i den samme strengen. Derfor kan ikke mer enn to av cellenes naboer være i samme streng. En av naboene vil ligge over eller bak i strengen, og en vil ligge under eller foran den. Nesten alle celler vil ha strengforbindelser til to naboer. Celler som ligger ved en strengs ende vil ha en strengforbindelse til bare én nabo. Noen få celler vil muligens ikke ha strengforbindelser til noen naboer. Disse cellene vil danne enkeltcellestrenger. En streng som omfatter et flertall celler danner en topologisk, endimensjonal linje, men linjen er ikke nødvendigvis fysisk beredt.

Etter at strengene er blitt dannet vil noen av strengene muligens og sannsynligvis berøre seg selv. En streng berø-rer seg selv dersom den inneholder en celle som er forbundet med mer enn to andre celler i strengen. I tillegg kan sirkulære strenger dannes. I den foretrukne regel for strengforbindelser, tillates verken sirkulære strenger eller strenger som berører seg selv. Hvis en av disse forhol-dene oppstår i en streng, kuttes strengen.

Selv om et antall kutteprosedyrer kan anvendes, beskriver det følgende en foretrukket prosedyre. Dersom strengen er sirkulær, kan strengen kuttes hvor som helst, men fortrinnsvis gjøres kuttet ved strengens lavest rangerte strengforbindelse. For kutting av en ikke-sirkulær streng som berører seg selv, begynner man ved toppen av strengen, fortsetter nedover strengen og bestemmer ved hver celle om en celle berører (er forbundet med) en annen celle i samme streng som er foran, men ikke umiddelbart foran, innenfor strengen. Dersom en celle berører en annen celle i den samme strengen som er foran, men ikke umiddelbart foran, innenfor strengen, vil strengen kuttes et sted mellom gjeldende celle og cellen som den berører. Denne identifise-ringsprosessen fortsetter nedover cellene av strengen inntil den siste cellen er identifisert som berører en annen celle i den samme strengen som er foran, men ikke umiddelbart foran, innefor strengen og den første cellen er identifisert som berører en annen celle i samme streng som er bak, men ikke umiddelbart bak, innenfor strengen. Strengen kuttes fortrinnsvis ved den lavest rangerte forbindelse mellom disse to cellene. Denne analysen av strengen samt kutteprosessen gjentas etter behov inntil ingen deler av en streng berører seg selv.

Det ønskede, endelige resultat er et sett av strenger som tilfredsstillede regler at (1) hver streng ikke har forbin-deiser med seg selv annet enn de som er innenfor strengen og (2) ingen streng er sirkulær. Dersom en streng ikke tilfredsstiller disse reglene, kuttes strengen slik at den tilfredsstiller reglene. Ved representasjon av cellene i en datamaskin tildeles hver celle et indeksnummer som identifiserer den. Hver streng vil identifiseres ved hjelp av en sortert liste av disse indeksnumrene, idet det første indeksnummeret indikerer cellen der strengen begynner, det neste indeksnummeret indikerer den neste cellen i strengen osv, inntil det siste indeksnummeret som indikerer cellen der strengen ender. Resultatet er at cellens posisjon i strengen indikeres av dens indeksnummers posisjon i listen av indeksnummeret.

En mer detaljert beskrivelse av den fortrukne, kutteprosess av strenger er som følger: Det første trinn er å kutte de sirkulære strengene. Først må man finne de sirkulære strengene. Dette gjøres ved en elimineringsprosess ved hjelp av følgende prosedyre. Som nevnt ovenfor er cellene gitt indeksnummer. Begynn med cellen som har det laveste indeksnummeret : 1. Undersøk hver celle for å bestemme om den er blitt markert som tilhørende en ikke-sirkulær streng. Dersom den er det, fortsett til cellen som har et større indeksnummer . 2. Dersom cellen ikke er blitt markert som tilhørende en ikke-sirkulær streng, bestem om den har strengforbindelser til to andre celler. Dersom den har det, fortsett til cellen med større indeksnummer. 3. Dersom cellen ikke har celleforbindelser, tilhører den en enkeltcellestreng. Den markeres som tilhørende en ikke-sirkulær stren, strengen tilføres listen av strenger og cellens indeksnummer tilføres den nye

strengens liste av celler.

4. Dersom cellen har en strengforbindelse, danner den begynnelsen av den neste strengen. Cellen markeres som tilhørende en ikke-sirkulær streng, tilfør strengen til listen av strenger, initialiser strengens liste av celler og tilføy så cellens indeksnummer til denne listen av celler. Følg strengen fra en celle til den neste ved å følge strengforbindelsene, idet hver celle markeres som tilhørende en ikke-sirkulær streng og tilføyes hver celles indeksnummer til strengens liste av celler. Når en celle nås som ikke har en strengforbindelse til en annen celle, markerer dette enden av strengen.

Disse trinnene gjentas inntil alle cellene er blitt eksaminert. Ved dette punktet vil enhver celle som ikke er blitt markert som tilhørende en ikke-sirkulær streng, tilhøre en sirkulær streng.

Når en sirkulær streng er blitt identifisert, vil det neste trinn være å kutte hver sirkulære streng ved dets svakeste forbindelse. Begynn med cellen som har det minste indeksnummeret : 1. Eksaminer hver celle for å bestemme om den er blitt markert som tilhørende en ikke-sirkulær streng. Hvis den er det, fortsett til cellen med større indeksnummer. 2. Dersom cellen ikke tilhører en ikke-sirkulær streng, tilhører den en sirkulær streng. Spor strengen fra én celle til den neste ved å følge dens strengforbindelser mens man holder styr på den minste transportabilitetsverdien, samt de to cellene den forbinder. Når den initielle cellen er funnet, vil sirkelen være fullstendig traversert. Fjern strengforbindelsen som har den minste transportabilitetsverdien fra de to cellene den forbinder. Betrakt den cellen som har den minste indeksverdien som begynnelsen av den neste strengen. Markér denne cellen som tilhørende en ikke-sirkulær streng, tilføy strengen listen av strenger, initialiser strengens liste av celler og tilføy så cellens indeksnummer denne listen av celler. Spor strengen fra én celle til neste ved å følge strengforbindelsene mens hver celle markeres som tilhørende en ikke-sirkulær streng og tilføy hver celles indeksnummer til strengens liste av celler. Når en celle er nådd som ikke har en strengforbindelse til en annen celle, vil

dette være enden av strengen.

3. Ovennevnte prosedyre gjentas til alle cellene er blitt eksaminert. Nå vil alle celler tilhøre de ikke-sirkulære strenger.

Det neste trinn er å kutte strenger som "berører" seg selv, dvs de er forbundet med seg selv via ikke-strengforbindelser. Dette gjøres én streng om gangen. Begynn ved den førs-te celle i en streng som har det minste indeksnummeret: 1. Bestem om noen av cellens forbindelser, andre enn strengforbindelsene, forbinder den med andre celler i strengen. Hvis ikke, fortsett til den neste strengen i

strengens liste av celler.

2. Dersom cellen har ikke-strengforbindelser til andre celler i strengen, bestem den forbundne celle som er nærmest begynnelsen av strengen, initialiser en posisjon Pl til den nåværende cellens posisjon og en andre posisjon P2 til den forbundne celles posisjon i strengen. Bestem om denne nye nåværende cellen har ikke-strengforbindelser til andre celler i strengen. Hvis den har det, sett Pl til den nåværende celleposi-sjonen. Bestem den forbundne cellen nærmest begynnelsen av strengen. Dersom den er nærmere begynnelsen enn

P2, sett P2 lik den forbundne cellens posisjon.

4. Dersom posisjonen til neste celle i strengen er P2, fortsett til trinn 5 nedenfor. Hvis ikke, gjenta trinn 3. 5. Finn forbindelsen i strengen mellom strengen ved Pl og cellen P2 som har den minste rangerte transportabilitetsverdi. Kutt denne forbindelsen symbolsk ved å ter-minere strenger ved den forbundne celle nærmere begynnelsen av strengen. Den andre forbundne celle vil være den første cellen i en ny streng. Tilføy denne strengen til listen av strenger, initialiser strengens liste av celler og tilføy så den forbundne cellens indeksnummer til denne listen av celler. Spor strengen fra en celle til den neste ved å følge dens strengforbindelse, idet man tilføyer hver celles indeksnummer til strengens liste av strenger. Når en celle er nådd som ikke har en strengforbindelse til en annen celle, danner denne enden av strengen.

Oen nye strengen vil befinne seg ved enden av listen av strenger. Når denne prosedyren utføres streng for streng, vil man til slutt nå en ny streng. Ved dette punkt kan strengen kuttes igjen. Hvis den ble kuttet, vil en ny streng være dannet. Til slutt vil alle strengene være behandlet, idet alle strenger vil tilfredsstille et forhånds-bestemt sett av strengkonstruksjonsregler.

Når strengene er konstruert, dannes en matriseligning for hver streng ved å sette sammen de lineære ligninger assosiert med cellene av hver streng. Formen av denne matriseligningen er den samme som for en LSOR-ligning i et strukturert gitterproblem. Koeffisientmatriseligningen inneholder leddene som vedrører strømmen mellom en celle og dens strengnaboer. Leddene vedrørende strømmen mellom en celle og dens utenforstrengnaboer bidrar til høyresiden av matriseligningen.

Forbedrede estimater av tilstandsvariablene av cellene tilveiebringes så ved å løse matriseligningen for hver streng, en streng om gangen, inntil alle strengenes matriseligninger er blitt løst. Denne prosessen gjentas iterativt inntil en konvergeringsbetingelse er tilfredsstilt. Iterasjonen som utføres er grunnleggende lik LSOR, bortsett fra at linjene er strenger av celler isteden for radene eller kolonner av en konvensjonell LSOR. Denne metoden kan derfor kalles en strengsuksessiv overrelaksering.

Strengene kan behandles i enhver rekkefølge, og de kan behandles ved å bevege seg fremover i en gitt rekkefølge og så tilbake gjennom samme rekkefølge. Dette gir en symmetrisk, suksessiv overrelakseringsmetode. Påfølgende disku-sjon antar en konvensjonell, i stedet for symmetrisk, suksessiv overrelaksering. Fagmannen vil være i stand til å konstruere en symmetrisk, suksessiv overrelakseringsform av metoden.

Når et sett av strenger er blitt dannet, vil løsningsfor-andringen over Newton-iterasjonen eller tidstrinnet oppnås som følger. Først sammenstilles settet av ligninger for hver streng. De initielle rester blir så beregnet dersom det ikke allerede er kjent. Disse må omfatte virkningene av leddene og forbinder strengens celler til cellene i andre strenger. Så utføres iterasjonene som hver omfatter de føl-gende trinn: 1. Løs strengens matriseligning ved hjelp av strengens nåværende rester som høyreside. 2. Multipliser løsningsforandringen tilveiebrakt i trinn 1 med en overrelakseringsparameter co som ligger mellom

en og to. Dersom Orthomin-aksellerasjonen anordnes, vil konvergeringshastigheten vanligvis avhenge noe av verdiene som velges, idet den optimale verdien vanligvis ligger mellom 1 og 1,5. Hvis Orthomin ikke brukes, vil den optimale verdien vanligvis være noe mindre enn to, og konvergeringshastigheten vil være mer følsom

for verdien som velges.

3. Oppdater strengens rester ved å multiplisere dem med verdien l-co. 4. Oppdater rester ved alle strenger forbundet med den nåværende streng for løsningsforandringen ved den nåværende strengen. Etter at dette er gjort, vil alle strengenes rester være i overensstemmelse med det nåværende løsningsestimat. Fagmannen vil være kjent med

slike beregninger.

5. Utfør trinnene 1-4 for hver streng. Strengene kan behandles i enhver rekkefølge, men den samme rekkefølgen

bør brukes for hver iterasjon.

6. Aksellerer eventuelt konvergeringen ved hjelp av den additive korreksjon som beskrevet nedenfor. 7. Aksellerer eventuelt konvergeringen ved hjelp av Orthomin eller annen Krylov underromsmetode som beskrevet

nedenfor.

8. Kontroller for konvergering gitt ved at konvergerings-målingene er mindre enn de forhåndsbestemte kriterier.

Ovennevnte iterasjonstrinn 1-8 gjentas til en tilfredsstil-lende konvergering er oppnådd.

I en foretrukket utførelse kan konvergeringen av den iterative metode ifølge foreliggende forbindelse forbedres ved å bruke en additiv korreksjon tilsvarende den brukt i forbindelse med konvensjonell LSOR. En beskrivelse av en foretrukket additiv korreksjon er beskrevet i en avhandling av J.W. Watts, med tittelen "An Iterative Matrix Solution Method Suitable for Anisotropic Problems", som ble publisert i Society of Petroleum Engineers Journal, bind 11, i mars 1971, på sidene 47-51.

For å anvende den additive korreksjon, er det først nødven-dig å konstruere en korreksjonsmatriseligning ved å summere ligningene for hver streng. Fagmannen som anvender additiv korregering i forbindelse med LSOR vil være i stand til å konstruere denne ligningen. Den additive korregering kan også anvendes ved å utføre de følgende trinn: (6a) Summer restene over cellene i hver streng. Dersom mer enn én sort konserveringsligning anvendes, summer restene for hver av disse ligningene over alle cellene i

strengen.

(6b) Løs korreksjonsmatriseligningen ved hjelp av de sum-merte restene fra trinn (6a) som høyresiden. Løsningen vil omfatte en additiv korreksjon for hver streng for

hver ukjent som løses.

(6c) Adder de additive korreksjonene bestemt i trinn 6(b)

for hver streng med de ukjente for hver celle innenfor

strengen.

(6d) Beregn nye rester for alle celler i alle strenger.

I en alternativ utførelse kan Orthomin-metoden også aksel-lerere konvergeringen eller en annen metode basert på orthogonalisering og minimalisering. Orthomin-metoden til-hører klassen av Krylov-underromsmetoder der løsningen pro-jiseres inn i et Krylov-underrom. Orthomin-aksellerasjonsprosedyren anvendes på basis av den totale løsningsforandringen som oppnås. Dette utføres ved å addere forandringen bestemt i iterasjonstrinnet 1-5 ovenfor med forandringen bestemt i de additive korreksjonstrinnene (a) til (d) ovenfor. Orthomin- metoden er beskrevet i en avhandling av P.K.W. Vinsome med tittelen "Orthomin, an Iterative Method for Solving Sparce Banded Sets of Simulta-neous Linear Eguations", avhandling nr. SPE 5729, presentert på Fourth SPE Symposium on Numerical Simulation of Reservoir Performance, Los Angeles, 19-20 februar 1976. Se også Saad,Y., 1989,"Krylov subspace methods on supercomput-ers", SIAM J. Sei.Stat.Comput., 10, side 1200-1232.

Den foretrukne utførelse anvender Orthomin, men andre ak-sel lerasjonsmetoder kan også brukes, så som GMRES, som er beskrevet i en publisert avhandling av Saad,Y. og Schultz, M.H., "A Generalized Minimum Residual Algorithm for Solving Nonsymmetrical Linear Systems", Technical Report 254, Yale University, 1993.

Orthominberegningen omfatter de følgende trinn:

(7a) Beregn parametrene anvendt av Orthomin.

(7b) Oppdater løsningsestimatene ved hjelp av disse parametrene .

(7c) Beregn nye rester for alle celler i alle strenger.

Korreksjonmatriseligningen anvendt i trinn 6 har samme form som den originale matriseligning. Som et resultat kan den løses ved hjelp av ovennevnte iterasjon. Dette involverer det å konstruere strenger av strenger.

Den iterative løsningen tilveiebringer en tilstandsvariabel for alle celler som samtidig tilfredsstiller de lineære ligninger for alle celler innenfor nøyaktigheten som tilsvarer de anvendte, forhåndsbestemte konvergeringskriteriene. Den forbedrede løsningen kan så anvendes for å simulere i hvert fall én karakteristikk av det fysiske system. Dersom det fysiske systemet er et reservoar, kan karakteris-tikken som simuleres for eksempel omfatte oljetrykk, vann-trykk, oljemetning og vannmetning. Andre karakteristikker kan utledes fra disse variablene, så som oljeproduksjons-hastighet og vannproduksjonshastighet.

De iterative beregninger kan gjentas for et antall tidstrinn og resultatene kan brukes for å forutsi en egenskap av det fysiske system og transportfenomenet som oppstår i systemet som en funksjon av tid.

Metoden ifølge foreliggende oppfinnelse blir nå beskrevet under henvisning til tegningene. Som bakgrunnsinformasjon for å hjelpe leseren til å forstå foreliggende oppfinnelse, blir det nå gitt en kort gjennomgang av prinsippene for linjesuksessiv overrelaksering (LSOR) med hensyn til figurene 1 og 2. Fig. 3 viser et forenklet eksempel av et ustrukturert gittersystem som før metoden ifølge foreliggende oppfinnelse ikke ville ha brukt LSOR i simuleringssi-tuasjoner. Figurene 4-9 gir eksempler på kart av gittersystemer Bom refereres til i beskrivelsen av en foretrukket utførelse for å konstruere strenger eller linjer av celler som er egnet for anvendelsene av LSOR-prinsippene i simuleringen .

Fig. 1 viser en forenklet, todimensjonal kartsisk modell av en fysisk system som er blitt delt inn i 50 celler organisert inn i 5 rader (a,b,c,d og e) og 10 kolonner (1 til 10). For en simulering basert på cellene i fig. 1 kan LSOR anvendes på linjer av celler som danner enten radene eller kolonnene. Dersom LSOR-linjene er kolonner og dersom det antas at simuleringsberegningene utføres fra venstre til høyre, vil det første trinn være å beregne en forbedret løsning i den første kolonne, mens man holder fast løsning-en i den andre kolonne ved dens nåværende estimat. Det andre trinn av LSOR-metoden beregner en forbedret løsning i den andre kolonnen mens løsningen i den første kolonnen holdes uforandret lik det nåværende estimat som ble beregnet i det første trinn, idet løsningen i den tredje kolonne også holdes fast. De neste trinnene beregner en forbedret løsning i den tredje kolonnen, fjerde kolonnen osv., inntil forbedrede løsninger er beregnet for alle kolonner. Denne prosessen vil utgjøre én LSOR-iterasjon. Den gjentas til en løsning med ønsket nøyaktighet er oppnådd.

I LSOR er orienteringen av linjene viktig. Det at LSOR kon-vergerer raskest når utført kolonnevis eller rådvis avhenger stort sett av styrken av koplingen mellom cellene innenfor rader og innenfor kolonner. Koplingen mellom to celler er sterk dersom forandringene i tilstanden av én av disse cellene sterkt påvirker tilstanden av den andre, og er svak dersom slike forandringer i den første celle har liten virkning på den andre. Ved simuleringer av et reservoar, vil to celler som har stor transmisibilitet over grensene mellom cellene regnes for å være sterkt koplet. LSOR kon-vergerer vanligvis raskest dersom den utføres av linjer som ligger i retningen av den sterkeste koplingen. Det faktum at cellene i fig. 1 har større bredde enn høyde, indikerer at koplingen er sterkere innenfor kolonner enn innenfor rader da styrken av koplingen mellom to celler typisk er direkte proporsjonal med tverrsnittarealet som er tilgjenge-lig for transport mellom dem og omvendt proporsjonal med avstanden mellom deres sentere. Når koplingen er sterkere innenfor kolonner enn innenfor rader, noe som er tilfelle for cellene vist i fig. 1, vil LSOR generelt konvergere raskere dersom linjene er kolonner enn hvis de er rader. Ved reservoarsimuleringer vil den iterative konvergeringen være raskere dersom linjeorienteringen er i retningen av høyest transmisibilitet, noe som ofte vil omfatte celler som er orientert langs kolonner av celler for regulære, strukturerte gittersystemer.

Det er kjent at LSOR-konvergeringen kan aksellereres ved å anvende en additiv korreksjon. Den additive korreksjon er mest effektiv når koplingen er mye sterkere i en retning enn i den andre retningen eller retningene og når en enkel ukjent skal bestemmes, så som hver celles temperatur i et varmelederproblem. Dersom LSOR utføres kolonnevis, vil den additive korreksjon være en verdi som adderes til hver temperatur i en kolonne av celler. Hver ligning som kreves for å beregne den additive korreksjon tilveiebringes ved å summere ligningene med en kolonne av celler, noe som i praksis bestemmer ligningen som skal gjelde dersom kolonnen av celler blir behandlet som en enkelt celle.

Retningen av den sterkeste koplingen kan noen ganger variere i rommet. Denne variasjonen i retning kan justeres ved gittercellene vist i fig. 2 som viser en todimensjonal modell av et fysisk system som er blitt delt inn i 75 celler organisert i 5 rader (a,b,c,d og e) og 15 kolonner (1 til 15). Som i fig. l angir geometrien av cellene i fig. 2 styrken av koplingen. Jo større grensen er mellom cellene, desto større er koplingen mellom cellene. På den venstre enden (kolonne 1) er koplingen sterkest innenfor rader, mens nær den høyre enden (kolonne 15) er koplingen sterkest mellom kolonnene. Begge mulige valgene av LSOR-orientering vil da representere et kompromiss. LSOR vil konvergere sak-te i en slik modell.

Fig. 3 viser et forenklet eksempel av et ustrukturert cel-legitter. Den kalles ustrukturert fordi alle cellene ikke har samme form og deres forbindelser ikke følger et fast mønster for alle cellene. Disse gitterne inneholder ikke bare linjer av celler, verken kolonner eller rader, da det er naturlig å anvende LSOR. Dersom LSOR skal anvendes for å løse ligningene for slike ustrukturerte celler, må LSOR-prosedyren først modifiseres. Oppfinneren har oppdaget en ny metode for å utvikle linjer (eller strenger) som kan brukes som en løsningsmetode basert på prinsippene av LSOR.

En foretrukket prosedyre for å konstruere strenger vil nå beskrives under henvisning til figurene 4, 5 og 6 som viser et topologisk, endimensjonalt kart av 15 celler nummerert 201 til 215. Hvert par av tilstøtende celler har en grense derimellom, med totalt 22 grenser for de 15 cellene. Strengene er konstruert ifølge en regel som fremmer det å inkludere i strenger så mange celler som mulig som har sto-re transportabilitetsverdier. Transportabilitetsverdier bestemmes først på enhver egnet måte og trånsportabilitetsverdiene rangeres med den største transportabilitetsverdien først til den minste transportabilitetsverdien nederst. Grensene (eller forbindelsene) rangeres dermed fra den sterkeste cellekoplingen til den svakeste. I figurene 4-6 rangeres transportabiliteten fra 1 til 22, da det er 22 grenser. I figurene 4-7 representerer numrene som er til-delt hver grense transportabilitetsrangeringen ved hver grense. For eksempel har grensen mellom blokkene 207 og 208 den største transportabilitetsverdien og tildeles derfor rangeringen 1. Grensen mellom cellene 208 og 209 har nest størst transportabilitetsverdi og tildeles en rangering 2. Denne prosessen gjentas for alle 22 grenser.

Den foretrukne regel for å konstruere cellestrenger er å danne topologiske, endimensjonale legemer av tilstøtende celler som inneholder så mange som mulig av de høyest rangerte transportabilitetsverdier. Denne regelen utføres ved å forbinde de to cellene på hver side av den høyest rangerte forbindelsen for så å forbinde de to cellene på hver side av den nest høyest rangerte forbindelsen og rekursivt fort-sette på denne måten, alltid med de to cellene på hver side av de høyest rangerte, gjenværende forbindelsene, såfremt ikke en eller begge av cellene på hver side av forbindelsen allerede er blitt forbundet med to andre celler, til listen av forbindelsene er uttømt. Dersom en celle på den ene eller den andre siden av en grense tidligere er blitt forbundet med to celler, vil den grensen ikke danne en forbindelse ved oppbygningen av en streng.

Ved å anvende denne strengkonstruksjonsregelen til gitret i fig. 4, sammenkoples forbindelsen mellom cellene 207 og 208 først ettersom de har de høyeste transportabilitetsverdirangeringene. Deretter sammenkoples cellene 208 og 209 ettersom forbindelsen mellom dem har rangeringsnummer 2. Rangeringsnummer 3 ligger mellom cellene 114 og 115, idet disse to cellene er de neste til å bli sammenkoplet. Denne prosessen fortsettes rekursivt, idet alle celleforbindelser regnes som mulige strengforbindelser. Selv om dette ikke er vist i fig. 4, kan denne konstruksjonsprosdyren resultere i at flere celler ikke har en forbindelse til en nabobeliggende celle, idet disse enkeltstående cellene danner enkel teel lede strenger. Ved hjelp av denne prosedyren for cellene i fig. 5, får man en enkelt streng som angitt i fig. 5.

Fig. 5 viser en streng 40 som utgjøres av celler som ligger på en topologisk endimensjonal linje. En analyse av strengen 40 viser at strengen berører seg selv. Ifølge foreliggende beskrivelse av oppfinnelsen, berører en streng seg selv dersom en gitt celle av en streng har en grense med en andre celle i strengen og den andre cellen ikke er en celle umiddelbart før eller etter den gjeldende cellen. Ifølge den foretrukne regel for strengkonstruksjonen, må derfor strengen 40 kuttes. Ved å bruke kutteprosedyren beskrevet

ovenfor, begynner kutteprosessen ved å analysere cellene av strengen 40 startende ved en ende. Cellene 207 berører cellene 212, 206 og 202. Av disse er cellen 212 nærmest begynnelsen av cellen. Posisjonen Pl peker til cellen 207 og posisjon P2 til cellen 212. Så vurderes celle 208. Den berø-rer cellene 203 og 213. Pl peker nå til celle 208 og P2 peker til celle 213 da 213 er nærmere begynnelsen av strengen enn 212. Så behandles celle 209. Den berører cellene 204 og 214. Pl peker nå til 209 og P2 til 214. Avslutningsvis be-rører cellen 210 cellen 205. Pl peker nå til celle 210. P2 er uforandret da cellen 205 ikke er nærmere begynnelsen av strengen enn cellen 214. Cellen 215 berører ikke en annen celle. Kuttet utføres mellom cellene 210 og 214 ved forbin-

deisen som har den laveste transportabilitetsverdien. Forbindelsene mellom 210 og 214 har transportabilitetsrangeringer på 3 og 9. Da den laveste rangeringen er 9, utføres kuttingen ved forbindelsen mellom cellen 210 og cellen 215.

Fig. 6 viser det endelige resultat etter å ha kuttet strengen 40 i fig. 5 slik at det dannes to strenger 50 og 51. Under henvisning til fig. 6 består strengen 50 av den topologisk endimensjonale linje av celler 205, 204, 203, 202, 201, 206, 211, 212, 213, 214 og 215, og strengen 51 består av den topologisk endimensjonale linje av cellene 207, 208, 209 og 210. Innenfor strengene 50 og 51 vil den høyest rangerte forbindelsen som ikke er i en celle være rangert ni (mellom cellene 210 og 215). Ni av de elleve høyest rangerte forbindelsene ligger innenfor strengene 50 og 51. Disse to strengene oppfyller formålet med å inkludere så mange som mulig av forbindelsene som har de høyest rangerte trånsportabilitetsverdiene i strengene.

Anvendelsen av ovennevnte konstruksjonsmetode er sammenfattet i tabell 1 nedenfor med hensyn til de 15 cellene vist i figurene 4-6. Den fjerde kolonnen av tabell 1 angir om en strengforbindelse får danne del av en streng (før noen strengkuttinger utføres). Forbindelsesrangering nr. 1 tilsvarer for eksempel grensen mellom cellene 207 og 208, og da denne er den første strengforbindelsen vil ingen av cellene på hver side av denne grensen fra før være forbundet med mer enn én celle. Denne prosessen anvendes på forbin-delsesrangeringene 1 til 22. Noen av forbindelsene får ikke danne forbindelser innenfor en streng. Under henvisning til tabell 1, vil for eksempel forbindelsen rangert nr. 12 (grensen mellom cellene 206, 207) ikke plasseres innenfor en streng da celle 206 tidligere var forbundet med cellene 211 og 201. Cellen 106 blir derfor betraktet som full. Ut-trykt på en annen måte kan cellene 206 og 207 ikke danne tilstøtende celler i en cellestreng. Forbindelserangering 20 mellom cellene 203 og 208 kan på tilsvarende måte ikke danne en forbindelse i en cellestreng da cellene 203 og 208 er fulle. Celle 203 ble tidligere forbundet med cellen 202 og 204 og celle 208 ble tidligere forbundet med cellene 207 og 209.

Figurene 7,8 og 9 viser et kart av 18 celler nummerert 301 til 318. Hvert tilstøtende cellepar har en grense seg imel-lom med totalt 27 grenser for de 18 cellene. På en måte

tilvarende rangeringsprosessen beskrevet ovenfor med hensyn til figurene 4-6, ble rangeringer av trånsportabilitetsverdiene nummerert fra 1 til 27 til de rette grensene. Figurene 7,8 og 9 viser transportabilitetsverdirangeringene tilknyttet hver grense. De samme strengkonstruksjonreglene som ble brukt for å konstruere streng 40 i fig. 5 brukes for å konstruere strenger fra det 18-cellede gitret angitt i fig. 7. Resultatet av strengkonstruksjonen er vist i fig. 8. Det er blitt dannet to strenger 60 og 61. Streng 60 omfatter den topologiske linje av cellene 313, 307, 301, 302, 308 og 314 og streng 61 omfatter den topologiske linje av cellene 310, 311, 312, 306, 305, 304, 303, 309, 315, 316, 317 Og 318.

Celle-for-celle-analysene av cellerangeringene for å konstruere strengene 60 og 61 er sammenfattet i tabell 2 nedenfor, idet de samme strengkonstruksjonsreglene ble brukt for å utvikle dataene i tabell 1.

Når strengene 60 og 61 er ferdig konstruert, er det neste trinn å vurdere om strengene må bli kuttet. Streng 61 behandles først fordi dens første celle er nummer 310, mens streng 60 starter med celle 313. Under henvisning til fig. 8 analyseres streng 61 for å bestemme om den må kuttes. Analysen starter med celle 310. Posisjonene Pl og P2 peker suksessivt til cellene 310 og 304, 311 og 305, og 312 og 305. Streng 61 kuttes ved de svakeste koplingen mellom cellene 305 og 312. De potensielle koplingene for denne kuttingen har transportabilitetsrangeringer 16 og 15, idet 16 er den svakeste koplingen. For å fremme innlemmelsen av de høyeste rangerte trånsportabilitetsverdiene, gjøres kuttet ved forbindelsen mellom cellene 305 og 306, den lavest rangerte forbindelsen, for å danne to strenger 72 og 73 som er viBt i fig. 9. Ved å utføre en tilsvarende analyse på cellene i streng 72 bestemmes det at en ytterligere kutting ikke er nødvendig da streng 72 ikke berører seg selv.

Så analyseres streng 60 for å bestemme om den også må kuttes. Analysen begynner ved cellen 313. Posisjonene Pl og P2 peker til cellene 313 og 314 og så til 307 og 308. Streng 60 kuttes ved å finne den svakeste forbindelsen mellom cellene 307 og 308. Mellom cellene 307 og 308 har forbindelsene kvalifisert for kutting transportabilitetsrangeringene 5, 22 og 9. Da 22 er den laveste rangeringen av disse 3, kuttes strengen 60 mellom cellene 301 og 302, slik at det dannes to strenger 70 og 71 som vist i fig. 9.

Foreliggende oppfinnelse skal ikke unødig begrenses til de ovennevnte eksempler, som kun er blitt presentert med il-lustrerende hensikter. En rekke modifikasjoner og alterna-tive utførelser vil forstås av fagmannen uten at disse ligger utenfor oppfinnelsens ramme og idé som angitt i de ved-føyde krav.

Claims (35)

1. Fremgangsmåte for simulering av minst ett karaktertrekk i et fysisk system omfattende de trinn: (a) å diskretisere det fysiske system inn i et flertall av volumetriske celler som er anordnet ved siden av hverandre, slik at de har en grense mellom hvert tilstøten-de cellepar, (b) å tildele et initialt estimat av tilstandsvariablene for hver celle, (c) å konstruere lineære ligninger for hver celle som relaterer cellens tilstandsvariabler til tilstandsvariablene av de tilstøtende cellene, (d) å assosiere en transportabilitetsverdi til hver grense og rangere grensene i henhold til fallende transportabilitetsverdier, (e) å bruke grenserangeringene for å konstruere topologiske, endimensjonale cellestrenger, (f) å utvikle en matrisefunksjon for hver streng ved å sammenstille de lineære ligninger som er assosiert med cellene i hver streng, (g) å tilveiebringe forbedrede estimater av tilstandsvariablene av cellene ved å løse matriseligningen for hver streng, en streng om gangen, inntil alle strengenes matriseligninger er løst, (h) å gjenta trinn (g) til en konvergeringsbetingelse er tilfredsstilt for derved å tilveiebringe tilstandsvariabler for alle celler som samtidig tilfredsstiller de lineære ligninger for alle celler, og (i) å anvende tilstandsvariablene bestemt i trinn (h) for å simulere minst ett særtrekk av det fysiske system.

2. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at konstruksjonen av strenger anvender en regel som fremmer konstruksjon av strenger som har høye transportabilitetsverdier ved celle-grenser mellom celler i den samme strengen.

3. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at den ytterligere omfatter de trinn: (i) å hierarkisk rangere grensene i forhold til de relative størrelsene av trånsportabilitetsverdiene, idet grensene rangeres i fallende rekkefølge fra den grensen som har høyest transportabilitetsverdi til den grensen som har laveste transportabilitetsverdi, og (ii) å konstruere strengene i trinn (e) ifølge en første regel som fremmer en inklusjon av celler som har så mange som mulig av de høyest rangerte trånsportabilitetsverdiene assosiert med grensene mellom cellene og en andre regel som krever at enhver gitt celle i en streng skal ha grenser med ikke mer enn to andre celler i den samme topologiske streng av celler.

4. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at enhver gitt streng anvendt i trinn (f) ikke omfatter noen celle som er forbundet med celler andre enn cellen umiddelbart før eller umiddelbart etter den gitte cellen i den gitte strengen.

5. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at strengen konstruert i trinn (e) er sirkulær, idet fremgangsmåten ytterligere omfatter det trinn å kutte strengen ved den lavest rangerte grensen i den sirkulære strengen av celler.

6. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at en gitt streng konstruert i trinn (e) omfatter en celle som berører en annen celle i den gitte streng som verken ligger umiddelbart før eller umiddelbart etter cellen, idet fremgangsmåten ytterligere omfatter det trinn å starte ved en ende av en ny streng og bestemme, celle for celle, om en gitt celle i den gitte streng berører en annen celle i den gitte streng som verken ligger umiddelbart bak eller umiddelbart foran den gitte cellen, å identifiserer den siste cellen i en streng som berører en annen celle i strengen, å identifisere den lavest rangerte grensen mellom nevnte siste celle og den nærmeste cellen før den siste cellen som berører en annen celle i strengen, og å kutte strengen ved den lavest rangerte grensen mellom den siste celle og den nærmeste cellen før den siste cellen som berører en annen celle i strengen, slik at det dannes to nye strenger av den gitte strengen.

7. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at matriseligningen sam-menstilt for hver streng i trinn (g) konstrueres for linjesuksessiv overrelaksering.

8. Fremgangsmåte ifølge krav 7, karakterisert ved at den ytterligere omfatter det trinn å anvende en additiv korreksjon for den forbedrede, estimerte løsningen av trinn (f) innenfor hver streng, idet den additive korreksjonen bestemmes slik at dens anvendelse bevirker til at summen av restene innenfor hver streng blir null.

9. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at den iterative løsning akselereres ved en Krylov-akselerasjonsmetode.

10. Fremgangsmåte ifølge krav 9, karakterisert ved at akselerasjonsmetoden anvender Orthomin-metoden.

11. Fremgangsmåte ifølge krav 9, karakterisert ved at akselerasjonsmetoden anvender GMRES-metoden.

12. Fremgangsmåte ifølge krav l, karakterisert ved at konstruksjonen av strengene i trinn (e) danner sirkulære strenger samt det ytterligere trinn å bryte hver sirkulære streng ved den grensen som har den lavest rangerte transportabilitetsverdi .

13. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at det fysiske system omfatter et hydrokarbonbærende reservoar, brønner som strek-ker seg fra jordoverflaten til reservoaret, hydrokarbonfø-rende rørledninger ved jordoverflaten og hydrokarbonproses-serende anlegg.

14. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at det fysiske system omfatter et vannførende sjikt under grunnen.

15. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at karaktertrekket som simuleres er varmeoverføring i det fysiske system.

16. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at det fysiske system som simuleres er et hydrokarbonbærende reservoar.

17. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at matriseligningene som løses resulterer fra bruken av endelig differanseapproksi-mas joner .

18. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at matriseligningen som løses resulterer fra bruken av endelige elementapproksi-masjoner.

19. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at matriseligningene som løses resulterer fra bruken av endelige volumapproksimasjo-ner.

20. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at de volumetriske cellene omfatter et flertall ustrukturerte celler.

21. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at de volumetriske celler omfatter både strukturerte og ustrukturerte celler.

22. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at den ytterligere omfatter de trinn (i) å identifisere en streng med en celle som har en grense med mer enn to celler av strengen, og (ii) å kutte strengen for derved å danne to strenger.

23. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at kuttingen av strengen skjer ved den grensen som har den laveste transportabilitetsverdi mellom de to cellene som berøver hverandre og cellene og grensene mellom to slike celler i den endimensjonale streng av celler.

24. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at der lineære ligninger av trinn (c) relaterer tilstandsvariablene av cellene ved enden av et tidsintervall til tilstandsvariablene av til-støtende celler ved enden av tidsintervallet.

25. Fremgangsmåte for å forutse et karaktertrekk ved et fysisk system som inneholder flere fluider, omfattende følgende trinn: (a) å diskretisere det fysiske system til et flertall volumetriske celler som er anordnet ved siden av hverandre slik at de har en grense mellom hvert tilstøten-de cellepar, (b) å tildele et initielt estimat av tilstandsvariablene for hver celle, (c) å konstruere lineære ligninger for hver celle som er representative for fluidenes oppførsel i cellen over et tidsintervall, der ligningene bruker fluid- og transportegenskaper beregnet ved enden av tidsintervallet, (d) å konstruere lineære ligninger ved å lineærisere de styrende ligningene, (e) å assosiere en transportablitetsverdi for hver grense og å rangere grensene i henhold til fallende transportabilitetsverdier, (f) å bruke grenserangeringene for å konstruere topologiske, endimensjonale cellestrenger, (g) å utvikle en matriseligning for hver streng ved å sammenstille de lineære ligningene assosiert med cellene av hver streng, (h) å tilveiebringe forbedrede estimater av tilstandsvariablene av cellene ved å løse matriseligninger for hver streng, en streng om gangen, inntil alle strengenes matriseligninger er blitt løst, (i) å gjenta trinn (h) til konvergeringsbetingelsen er tilfredsstilt for derved å tilveiebringe tilstandsvariabler for alle celler som samtidig tilfredsstiller de lineære ligningene for alle celler, (j) å anvende resultatene fra trinn (i) for å forutsi et karaktertrekk ved det fysiske system og fluidene det inneholder ved enden av tidsintervallet, og (k) å utføre trinnene (b) til (j) for et antall tidsintervaller og anvende resultatene for å forutsi en egenskap av det fysiske system og fluidene det inneholder som en funksjon av tid.

26. Fremgangsmåte ifølge krav 25, karakterisert ved at det fysiske system er en undergrunnsformasjon.

27. Fremgangsmåte ifølge krav 25, karakterisert ved at undergrunnsformasjonen inneholder hydrokarbonfluider.

28. Fremgangsmåte ifølge krav 25, karakterisert ved at det fysiske system omfatter fluidinneholdende anlegg assosiert med produksjonen av hydrokarboner fra en undergrunnshydrokarbonbærende for-masjon.

29. Fremgangsmåte ifølge krav 25, karakterisert ved at de fluidinneholdende anlegg er overflaterørledninger og brønnboringsrør.

30. Fremgangsmåte ifølge krav 25, karakterisert ved at resultatene fra trinn (i) anvendes for å forutsi trykket og metningen av et fluid i det fysiske system.

31. Fremgangsmåte ifølge krav 25, karakterisert ved at cellene er endelig differansegitterceller og de ledende ligninger er endelige differanseligninger.

32. Fremgangsmåte ifølge krav 25, karakterisert ved at cellene er ustrukturerte .

33. Fremgangsmåte ifølge krav 25, karakterisert ved at cellene er strukturerte.

34. Fremgangsmåte ifølge krav 25, karakterisert ved at cellene er endelige elementer og de ledende ligninger er endelige elementlig-ninger.

35. Fremgangsmåte ifølge krav 25, karakterisert ved at cellene er endelige volumer og de ledende ligninger er endelige volumligninger.