NO320103B1 - Seismisk prosessering med generelle ikke-hyperbolske gangtidskorreksjoner - Google Patents

Description

Bakgrunn for oppfinnelsen

Oppfinnelsen gjelder en framgangsmåte for å lage en basis av funksjoner, som kan brukes for å bygge approksimasjoner av enveis- eller toveis-seismisk gangtid som funksjon av offset, slik som beskrevet i introduskjonsdelen i krav 1. Oppfinnelsen har å gjøre med framgangsmåter for seismisk prosessering, nærmere bestemt med en framgangsmåte for å lage bedre basisfunksjoner for å konstruere refleksjons- eller diffraksjonsgangtidskurver. Med konvensjonelle seismisk datainnsam-lingsteknikker sender man akustisk energi inn i jorden, enten direkte på bakken, eller i vannet for marin seismikk, og man måler de seismiske signalene reflektert fra grensen mellom forskjellige geologiske enheter i jorden (reflektorer). Disse målingene foretas på flere forskjellige steder sam-tidig, og en seismisk undersøkelse bruker mange forskjellige kilde- og mottakerposisjoner. De seismiske signalene er vanligvis organisert i samlinger av traser, for eksempel felles-midtpunkt samlinger, kalt common-midpoint (CMP) gather, hvor hver trase i samlingen er relatert til kilde-mottakker par som har felles midtpunkt. En sekvens av forskjellige prosesseringsteknikker anvendes vanligvis på de seismiske samlingene. Noen av disse teknikkene beskrives i korte trekk herved.

Stakking består av å addere sammen de forskellige trasene i en seismisk samling (f .eks. et CMP gather). Før dette korrigerer man for gangtidsdifferansen mellom små og store offset (d.v.s. kilde-mottaker avstander), noe som kalles for normal moveout (NMO) correction. Vanligvis bygger NMO korreksjon på en hyperbolsk approksimasjon av gangtiden t:

hvor x er offset. Den ekte gangtiden til signaler reflektert i jorden blir tilnærmet ved hjelp av den "optimale" hyperbelen, det vil si at parametrene til hyperbelen (do og d2) velges slik at man får den best mulige tilpasningen mellom gangtidsapproksimasjon (1) og den ekte gangtidskurven. Dette kan gjøres for eksempel ved å maksimalisere koherens (vanligvis målt vha. "semblance") av NMO-korrigerte signaler i et tidsvindu rundt den målte refleksjon av interesse, eller ved å minimalisere (for eksempel ved hjelp av minste-kvadrats metoden eller andre optimaliseringsteknikker) differansen mellom approksimasjonen og gangtider plukket på dataene.

Merk at ligning (1) blir eksakt in det spesielle tilfellet hvor jorden består av et enkelt homogent

og isotropt lag over en plan horisontal reflektor ved dyp d, med kilde og mottakere ved dyp 0. I dette tilfellet har vi do = £(0)<2> = 4cP/ V2 og d2 = l/ V2, der V er hastigheten til kompresjonelle bølger. Å bruke den hyperbolske approksimasjonen betyr dermed at man tilnærmer de kinematiske egenskapene til jorden ned til dyp d ved hjelp av et hypotetisk enkelt homogent lag med gjennomsnitlige egenskaper. Mange andre prosesseringsteknikker, som tidsmigrasjon etter stakk, tidsmigrasjon før stakk og DMO bruker også denne tilnærmingen med et enkelt lag med gjennomsnitlige egenskaper.

For eksempel, for å lage et bilde av jorden ved hjelp av null-offset tidsmigrasjon av null-offset samlinger (seismiske samlinger hvor kilde og mottaker er plassert ved samme sted for hver trase), kan hvert punkt M i jorden betraktes som en mulig diffraktor. Hvis M virkelig er en diffraktor, plassert ved dyp d i et homogent lag med kompresjonen hastighet V (som mulighens representerer et "gjennomsnitlig" lag som tilnærmer den ekte fordeling av hastigheter i jorden), må det finnes diffrakterte signaler i null-offset samlingen langs en diffraksjonsgangtidskurve t( x) beskrevet av ligning (1), hvor x nå representerer den horisontale avstanden mellom diffraktoren og kilde/mottaker paret, og med do = t( 0) 2 = Ad2/ V2 og d2 = A/ V2. Signalene kan justeres for ankomsttiden ved hjelp av den hyperbolske diffraksjonstidskorreksjon (1) og summeres konstruktivt (vanligvis med forskjellig vekt for hver trase), noe som vil gi en høy amplitude som tilordnes punkt M i bildet. Hvis M derimot ikke er en diffraktor vil ikke signaler med ankomsttiden justert ved hjelp at den hyperbolske diffrasjonsgangtidskorreksjon summeres konstruktivt, og en lav amplitude vil følgelig bli tilordnet punkt M. Denne prosedyren repeteres for forskjellige mulige posisjoner av M, og man får til slutt et bilde av diffraktorer og reflektorer i jorden.

Refleskjonsgangtider kan kalles "toveis" gangtider fordi de tilsvarer bølger som har gått først fra kilden til reflektoren, og deretter fra reflektoren til mottakerne. Det er også interessant å be-trakte "enveis" gangtider, det vil si gangtider for bølger som har forplantet seg mellom en kilde (eller mottaker) og et punkt i jorden. Diffraksjongangtidskurver for tidsmigrasjon etter stakk eller før stakk kan bygges ved å kombinere enveis gangtidskurver. Vår oppfinnelse omfatter approksimasjoner for enten enveis eller toveis gangtidskurver.

Vi har sett hvor viktig korreksjon for refleksjons- eller diffraksjonsgangtid er for seismisk prosessering. Prosesseringsmetoder som bruker slike gangtidskorreksjoner kan kalles tidsprosesser-ingsmetoder. Vi har også sett at gangtidskorreksjoner vanligvis utføres ved hjelp av en hyperbolsk gangtidsapproksimasjon (1), som stort sett bare er eksakt for et homogent isotropt medium. For et inhomogent og/eller anisotropt medium er vanligvis ikke gangtidskurvene hyperbler. For eksempel, for en forenklet jordmodell bestående av et stakk av homogene plane lag, og hvis refiektordyp er stort i forhold til største offset kan den kvadrerte gangtiden av seismiske refleksjoner tilnærmes ved hjelp av en uendelig rekke (Taner and Koehler, 1969, Velocity spectra - digital computer derivation and application of velocity functions. Geophysics, 34,859-881).

Koeffisientene Oi, i=0,2,4... i denne rekken kan lett beregnes som funksjon av parametrene i modellen, det vil si lagtykkelse og hastighet i hvert lag, og kan derfor kalles "eksakte" eller "teoretiske" koeffisienter. På den annen side kan lagtykkelse og hastighet i hvert lag beregnes fra verdien på de eksakte koeffisientene ved hjelp av en enkel inversformel (Dix, 19SS, Seismic velocities from sur-face measurements. Geophysics, 20,68-86). Koeffisientene do og d2 for den optimale hyperbelen gir estimater av de "teoretiske" koeffisientene Oo og a2, som vanligvis brukes for dette formålet. På denne måten kan man bygge en hastighetsprofil, det vil si beregne hastighet som funksjon av dyp. Repeterer man denne prosedyren for forksjellige CMPer kan man få en hastighetsmodell for hele området. Dette trenger man for alle dybdeprosesseirngsmetoder, som dybdemigrasjon før eller etter stakk. Gangtidskorreksjoner, vanligvis den hyperbolske approksimasjonen, er derfor viktige ikke bare for tidsprosessering, men også for å bygge hastighetsmodeller som funksjon av dyp for dybdeprosessering.

Dessverre er den hyperbolske approskimasjonen unøyaktig i mange tilfeller, for eksempel for lang-offset seismiske undersøkelser (der offset/dyp forholdet kan bli mye større enn for konvensjonell innsamling), for kompresjons-til-skjær (P-S) refleksjoner, målt i havbunnseismikk (hvor hastighetsmodellen for den konverterte bølgen er veldig inhomogen fordi bølgemodene er forskjellige på vei opp og ned), og når jorden er anisotrop (selv for et enkelt homogent lag). I disse tilfellene får man flere problemer ved bruk av den hyperbolske approksimasjon:

• unøyaktighet i gangtidskorreksjon, som resulterer i dårlig tidsprosessering.

• stor forskjell mellom de optimale koeffisientene d* og de teoretiske koeffisientene a*. For eksempel er den optimale hastigheten (stakking hastighet) forskjellig fra den teoretiske hastigheten (RMS hastigheten) (Al-Chalabi, 1973, Series approximation in velocity and traveltime com-putations. Geophys. Prosp., 21,783-795). Følgelig blir hastighetsprofiler og modeller bygd ved hjelp av hastighetsanalyse unøyaktige. • verdien på de optimale koeffisientene avhenger av offsetene som er brukt for estimeringen.

Hvis et offset-område ikke kan brukes (dette kan skje for eksempel på grunn av et hinder, som en platform, der man ikke kan samle inn data, eller på grunn av dårlig datakvalitet, for eksempel ved null-offset i multikomponent havbunnsdata), kan offset-gapet redusere nøyaktigheten av estimater av koeffisientene Oj.

For å unngå disse problemene kan den hyperbolske gangtidsapproksimasjonen erstattes av mer nøyaktige liten-offset approksimasjoner, for eksempel ved hjelp av et kvartisk ledd cl^ xa i tillegg til første og andre ordensleddene i den hyperbolske approksimasjonen (May and Straley, 1979, Higher-order velocity spectra, Geophysics, 44,1193-1207; Hake H., Helbig K., and Mesdag C. S., 1984, Three-term taylor series for i<2> — x<2->curves of P- and S-waves over layered transversely isotropic ground, Geophys. Prosp., 32,828-850; Chambers R. E., 1998, Extended offset data pro-cessing, United States Patent no.5761062.), eller andre treleddsligninger (Byun B. S., Corrigan D., and Gaiser J. E., 1989, Anisotropic velocity analysis for lithology discrimination, Geophysics, 54, 1564-1574; Tsvankin, I. and Thomsen, L., 1994, Nonhyperbolic reflection moveout in anisotropic media, Geophysics, 59,1290-1304.). Men nøyaktigheten på disse approksimasjonene minker tross alt ved større offset. I tillegg har man en vekselvirkning mellom det andre (kvadratiske) og det tredje (kvartiske) leddet. Derfor er de optimale koeffisientene dj, i=0, 2, 4 fremdeles forskjellige fra de teoretiske koeffisientene Oj, og de avhenger av offsetområdet som brukes i hastighet-sanalysen. Dette medfører en viss upålitelighet i estimeringen av parametrene i de forksjellige lagene, det vil si i (den om mulig anisotrope) hastighetsmodellen, som mange forfattere har pekt på (Tsvankin, I. and Thomsen, L., 1995, Inversion of reflection traveltimes for transverse isotropy, Geophysics, 60,1095-1107; Alkhalifah, T., 1997, Velocity analysis using nonhyperbolic moveout in transversely isotropic media, Geophysics, 62,1839-1864; Grechka, V. and Tsvankin, I, 1998, Feasibility of nonhyperbolic moveout inversion in transversely isotropic media, Geophysics, 63,957-969).

En mulig angrepsmåte for å forbedre stakking ved store offset er å bruke en lang-offset gangtidsapproksimasjon (Causse, E., Haugen, G., and Rommel, B., 2000, Large-offset approximation to seismic reflection traveltimes, Geophysical Prospecting, vol. 48, no. 4, pp 763-778):

Denne ligningen er nøyaktig ved store offset, men dessverre unøyaktig ved små offset.

For å redusere vekselvirkningen mellom de forskjellige leddene er det mulig å dekomponere den kvadrerte gangtiden på en ortogonal basis av funksjoner av offset:

der Sij representerer Kronecker-symbolet. En ortogonal basis av polynomfunksjoner <fc(x) kan fåes for eksempel ved hjelp av Gram-Schmidts ortogonaliseirngsprosedyre (May and Straley, 1979) eller ved bruk av Chebychev polynomer (Kaila K.L. and Sain K., 1994, Errors in RMS velocity and zero-offset two-way time as determined from wide-angle seismic reflection traveltimes using truncated series. Journal of seismic exploration, 3,173-188). Men disse polynom-funksjonene er ikke spesielt tilpasset seismiske gangtider. Minst tre ledd bør dessuten brukes for å få en ikke-hyperbolsk approksimasjon (og derfor må minst tre koeffisienter estimeres, for eksempel for NMO-korreksjon).

Det er derfor et behov for forbedrede og mer praktiske approksimasjoner for seismisk refleksjonsgangtidskurver. Oppfinnelsen foreslår et svar på dette behovet.

Formålet med oppfinnelsen

Formålet med oppfinnelsen er å forbedre seismisk gangtidsapproksimasjoner og estimater av koeffisientene som parametriserer disse approksimasjonene, som vanligvis er lite nøyaktige og pålitelige når man har anisotropi, bølgemodekonvertering, store offset eller offset-gap i dataene.

Sammendrag av oppfinnelsen

Formålet med oppfinnelsen oppnås med en framgangsmåte med trekk som beskrevet in den karak-teriserende delen av krav 1. Andre trekk er spesifisert i de uselvstendige kravene. Den tradisjonelle måten å approksimere gangtidskurver på kan betraktes som en dekomponering av de eksakte kvadrert-gangtids funksjonene på en basis av enkle polynomer eller rasjonelle funksjoner, slik som (1, x<2>, x<4>,...) for ligning (2). Disse er generelle matematiske funksjoner som ikke egner seg spesielt for seismiske gangtider.

Oppfinnelsen har å gjøre med konstruksjonen av en basis av funksjoner av offset, som er bedre egnet til ikke-hyperbolske gangtidsapproksimasjoner. Noen fordeler med basisen bygget med den foreslåtte framgangsmåten er: • den er ortogonal. Dette bidrar til å begrense vekselvirkningen mellom koeffisienter. De teoretiske og optimale koeffisientene ligger nær hverandre, og er mindre følsomme for offset-intervallet som brukes i innsamlingen enn det som er tilfellet med en ikke-ortogonal basis. • basisfunksjonene er ikke enkle matematiske funksjoner, men generelle funksjoner av offset. En ikke-hyperbolsk approksimasjon fåes selv med bare ett eller to ledd i ligningen. Basisfunksjonene er valgt på en optimal måte, ved hjelp av a priori informasjon, og gir en nøyaktig approksimasjon med færre ledd enn for konvensjonelle gangtidsapproksimasjoner.

For å bygge basisen av funksjoner, antas en fordeling av mulige bakgrunnshastighetsmodeller for området av interesse å være tilgjengelig (a priori informasjon). Enveis eller toveis gangtidskurver blir modellert i hver av disse hastighetsmodellene ved hjelp av en eller annen gangtidsmod-elleringsteknikk. Dette gir en fordeling av mulige gangtidskurver. En samling av diskrete offset-verdier velges. En matrise T bygges slik at kolonne i i denne matrisen representerer gangtidene for forskjellige økende offset-verdier i modellen i, hvor indeks i spenner den totale fordeling av offset-modeller. Basisen av offset funksjoner fåes ved hjelp av singulær-verdi dekomponering av denne matrisen. Gangtidsapproskimasjoner kan finnes som lineærkombinasjon av basisfunksjonene. En operator O kan anvendes på gangtidene før matrisen bygges. I dette tilfellet må en inversoperator anvendes på den lineærkombinasjonen av basisfunskjoner for å finne gangtidsapproksimasjonen.

Kort beskrivelse av tegningene

Figur 1: eksakt og referanse hastighetsmodeller.

• Figur 2: eksakt og referanse offset-gangtid funksjoner.

• Figur 3: de fire første funksjonene f i ( i = 1 til 4) som funksjon av kvadrert offset.

• Figur 4: toledds (Fig. 4a og 4b) og treledds (Fig. 4c og 4d) gangtidsapproksimasjoner (Fig. 4a og 4c) og gangtidsresidualer, d.v.s. forksjellen mellom approksimasjon og den ekte gangtidskurven (Fig. 4b og 4d), beregnet med den konvensjonelle approksimasjonen (d.v.s. Taner og Koehler ligning (2) med to eller tre ledd, og treledds ligningen til Tsvankin og Thomsen (1994)) og med oppfinnelsen.

Detaljert beskrivelse av oppfinnelsen

Vi forklarer nå hvordan man kan bygge en basis av offset-funksjoner for gangtidsapproksimasjoner ved hjelp av oppfinnelsen.

Referansemodell

Vi antar at en fordeling av mulige "referansebakgrunnshastighetsmodeller" er tilgjengelig. Hva vi mener med bakgrunnshastighetsmodell er informasjon om hastigheter og hastihgetsvariasjoner i jorden som er tilstrekkelige for å beskrive kinematikken av lydbølger i området av interesse med til-fredstillende nøyaktighet, og for å beregne enveis eller toveis refleksjonsgangtidskurver for enhver mulig potensiell reflektor i modellen. Modellene kan være horisontalt lagdelte, dvs. avhengig bare av dyp z, todimensjonale (avhengig av z og en lateral koordinat), or tredimensjonale (avhengig av z og to laterale koordinater). Hver model kan bestå av bare en hastighetsmodell for P-bølger (akustisk modell). I dette tilfellet kan man bygge enveis eller toveis seismiske gangtidsapproksimasjoner bare for kompresjonsbølger (P-bølger). Modellene kan også omfatte hastigheter for skjærbølger (S-bølger). I dette tilfellet kan man bygge enveis gangtidsapproksimasjoner for både kompresjons- og skjær bølger, og toveis gangtidsapproksimasjoner for kompresjonsbølger, skjærbølger og konverterte bølger (d.v.s. bølger med forksjellig bølgemode på vei ned og opp, f.eks. P-S bølger). Modellene kan også være anisotrope og dempende, og inneholde flere parametre enn hastigheten til P- og S-bølger.

Vi kan betegne en slik hastighetsmodell rrij. Samlingen { rrij, j=l to N}, hvor N er antall referansemodeller, kan bygges ved hjelp av a priori informasjon om de seismiske hastighetene i området av interesse. Noe a priori informasjon er alltid tilgjengelig. For eksempel har man vanligvis et nøyaktig estimat av dypet på havbunnen i marinseismikk, og man kjenner fornuftige grenser for hastighet i vann og i underjordiske bergarter og sedimenter. En statistisk fordeling av modeller som respekterer disse grensene kan for eksempel konstrueres. Den eksakte måten å bygge en slik fordeling er ikke en del av oppfinnelsen. Vi bare antar at en realistisk fordeling av hastighetsmodeller finnes. Figure 1 gir et eksempel på fordeling av lagdelte modeller. Den "eksakte" modellen ligger et sted midt i fordelingen.

Konstruksjon av referansegangtidskurvene

Et dybdeintervall [ z\\ z2] velges, som for eksempel kan representere et området av interesse i jorden. I det som følger forklarer vi hvordan man kan få en basis av funksjoner for å approksimere enveis gangtidskurver ned til dette området, eller toveis refleksjonsgangtidskurver for reflektorer som befinner seg i dette området.

For hver modell rrij, velges et dyp Zj i intervallet fø; 22], enten vilkårlig, eller ved hjelp av en egnet fordeling. En slik fordeling kan for eksempel bygges sammen med modellfordeligen. Gangtiden tj( x) for en bølge som forplanter seg i modellen rrij beregnes. For å få en approksimasjon for enveis gangtider må tj( x) beregnes for en bølge som forplanter seg mellom et punkt ved overflaten og et punkt ved dyp Zj, og x representerer den horisontale avstanden mellom de to punktene. For å få en approksimasjon for toveis gangtider må tj( x) beregnes for en bølge som forplanter seg ned til dyp Zj og reflekteres opp av en reflektor ved dette dypet. I dette tilfellet representerer x offset. Gangtidsberegningene kan gjøres ved hjelp av en passende algoritme, f.eks. en algoritme som bygger på stråleteori, eller en som løser eikonalligningen ved hjelp av endelig-differanse metoden. En full-bølgeform algoritme (f.eks. som bruker endelig-differanse metoden) etterfulgt av plukking av gangtider kan også brukes for denne beregningen av gangtider. Gangtid tj( x) kan representere enveis eller toveis gangtiden for en P- eller S-bølge, og muligens toveis gangtiden for en konvertert bølge i modell rrij.

Vi har nå en samling av N referansegangtidsfunksjoner tj{ x), som representerer enveis eller toveis gangtid for dyp Zj i modell rrij. Figur 2 viser gangtidskurven for kompresjonelle bølger reflektert ved den dypeste reflektoren i hver av modellene vist i Figur 1 . Legg merke til at denne modellen inneholder et høyhastighetslag (4600 m/s), og at veldig store offset brukes. Den eksakte gangtidskurven (refleksjonsgangtidskurven for den eksakte modellen) er derfor sterkt ikke-hyperbolsk i dette eksemplet. Figur 2 viser at fordelingen av referansegangtidskurver mer eller mindre "inneholder" den eksakte gangtidskurven, selv om den eksakte modellen er antatt å være ukjent i dette eksemplet.

Anvendelse av en operator O på referansegangitdsfunksjonene

En operator O anvendes på referansegangtidsfunksjonene tj( x). Å anvende en operator er ikke påkrevet, d.v.s operatoren kan være identitetsoperatoren 0[*(x)] = t(x) (slik at 0[i,(x)] representerer gangtider). Imidlertid kan egenskapene til basisfunksjonene justeres for forskjellige anvendelser ved å bruke en passende (lineær eller ikke) operator som er forskjellig fra identiteten. Operatoren kan være en polynomfunksjon, f.eks. 0[i(x)] = t2( x) (slik at 0[£(x)] representerer kvadrert gangtid), eller en eller annen passende funksjon 0[i(x)] = /i[t(x)]. Den kan være en vektfunksjon 0[i(x)] = t( x) w( x) eller en derivasjonsoperator, f.eks., 0[t(x)] = dt( x)/ dx. Andre mulige operatorer er for eksempel 0[i(x)] = t(x)/t(x,) og 0[i(x)] = t(x) — i(x»), hvor x, er en gitt offset-verdi (f.eks. x* = 0). Andre operatorer, for eksempel kombinasjoner av operatorene nevnt ovenfor kan anvendes. I eksemplet valgt for å illustrere framgangsmåten ble operatoren 0[ t{ x)} = i<2>(x) brukt.

Valg av en samling diskrete offset-verdier

En samling av diskrete offset-verdier {x<, i=l to M} (sortert i økende rekkefølge) velges, med M > N. Offset-intervallet som spennes av de diskrete offsetene bør helst inkludere eller være lik det offset-området som dekkes i datainnsamlingen. Både negative og positive offset kan brukes. Avstanden mellom etterfølgende offset-verdier kan være konstant eller ikke. Samlingen av offset kan representere offsetene brukt i den virkelige innsamlingen eller ikke. I eksemplet valgt for å illustrere framgangsmåten er offsetene regulæret fordelt, med offset-inkrement 100 m.

Konstruksjon av referansematrisen T

En M x N matrise T lages, slik at

Kolonne j i matrise T representerer dermed referansegangtiden i referansemodellen j ved alle offset Xi, modifisert av operatoren O. T innholder informasjon om de (modifiserte) referansegangtidene, og vil derfor bli kalt for referansematrisen. Referansegangtidskurvene modifisert med operatoren O, 0[ tj( xi)], vil bli kalt for de modifiserte referansegangtidskurvene.

Konstruksjon av en basis av funksjoner fj( x)

Vi gjør en singulær-verdi dekomponering av referansematrisen T. Dette gir tre matriser U, A og

V, slik at

U og V er henholdsvis ortogonale M x M og N x AT matriser, og A er en M x N matrise der den øverste delen er diagonal. Vi antar at de singulære verdiene på diagonalen er sortert i avtagende rekkefølge (d.v.s. An er den største singulær-verdi). Vi kaller den N x N matrisen som består av den diagonale øverste delen av A for D, og den matrisen som består av de N første kolonnene i matrise U for F. F er en M x N matrise som T. Til slutt definerer vi en N x N matrise W slik at Nå kan vi skrive

I denne representasjonen er kolonne j av T (som representerer den modifiserte referansegangtid-skurve for modell j) en lineærkombinasjon av kolonnene i matrise F, hvor vektene for hver kolonne i F er gitt av kolonne j i W. Fordi V er en ortogonal matrise, og fordi de singulære verdiene i D er sortert i avtagende rekkefølge, er de første kolonnene i F tilknyttet de største vektene. Vi definerer fi( x) som kolonne i i matrisen F. Her representerer x offset ved de diskrete verdiene Xj. Funksjonene fi( x), i = 1, N representerer en basis av ortogonale funksjoner som spenner rom-met definert av de modifiserte gangtidskurvene ved offsetene x,-. I tillegg representerer den første funksjonen fi( x) den viktigste komponenten i alle modifiserte referansegangtidskurvene (siden den er tilknyttet den største singulær verdi). Den andre funksjonen h( x) er den nest viktigste, og så videre.

Gangtidsapporksimasjon

Den eksakte gangtidskurve t( x) som vi ønsker å approksimere, modifisert med operator O, kan approksimeres ved hjelp av en ligning på følgende form:

For å få en approksimasjon for enhver offset-verdi x i offset-området spent av de diskrete offsetene Xj, interpoleres basisfunksjonene f i mellom de diskrete verdiene ved hjelp av en eller annen interpolasjonesteknikk (f.eks. lineær interpolasjon).

I følge ligning (9), er hver eneste av de modifiserte referansegangtidskurvene eksakt lik en lineærkombinasjon av alle de N basisfunksjonene fi{ x). Men, i denne lineærkombinasjonen spiller basisfunksjonene tilknyttet de minste singulære verdiene en mindre rolle, og kan bli utelatt. Det betyr at en veldig god approksimasjon av hver av de "referanse" modifiserte gangtidskurvene kan oppnås ved å bruke bare de L første basisfunkjsonene fi( x) ( L < N). Hvis gangtidskurvene tj( x) blir fornuftig valgt, kan man derfor forvente at en approksimasjon av type (10) med L ledd også kan gi en veldig god approksimasjon av den eksakte gangtidskurven 0[ tj( x)]. For å få en approksimajon av gangtidskurven i stedet for den modifiserte gangtidskurven må effekten av operator O fjernes. Hvis operatoren som ble valgt er inverterbar, kan man anvende dens invers O-<1>, og få en gangtidsapproksimasjon med følgende form:

Ligning (11) representerer en approksimasjon av enveis eller toveis gangtid som er parametrisert med koeffisientene bi, b%, h,... Dette representerer et alternativ til konvensjonelle gangtidsapproksimasjoner, for eksempel ligning (2), som er parametrisert med koeffisientene oo, ai, a2,... For å bygge en approksimasjon av den eksakte gangtidskurven av interesse må koeffisientene bi i ligning (11) velges riktig, f.eks. ved hjelp av teknikker som ligner på de som brukes for å estimere koeffisientene Oj i ligning (2). Figur 3 viser de første fire basisfunksjonene. De representerer kvadrert gangtid, og er tegnet her som funksjone av kvadrert offset. Figur 4 viser de approksimerte gangtidskurvene man får ved hjelp av en approksimasjon med to ledd (Fig. 4a and 4b) eller tre ledd (Fig. 4c and 4d). Den eksakte gangtidskurven ble beregnet ved hjelp av stråleteorie i den eksakte modellen i Figur 1. For treledds ligningen til Tsvankin og Thomsen (1994) brukte vi en horisontal hastighet (som inngår i uttrykket på en av koeffisientene) lik den høyeste hastigheten i modellen (d.v.s. 4600 m/s). Koeffisientene bi er optimale koeffisienter som minimiserer minste-kvadrats feilen mellom den eksakte gangtidskurve og approksimasjonene. Den optimale approksimasjon gitt av Taner og Koehler (som reduseres til en hyperbel hvis bare to ledd brukes) er tegnet for å kunne sammenligne. De optimale koeffisientene for denne approksimasjonen ble også beregnet med en minste-kvadrats metode. Approksimasjoner med teoretiske koeffisienter (d.v.s. beregnet direkte fra den eksakte modellen hvis denne er kjent) vises også i figuren for sammenligning. For å tydeliggjøre nøyaktigheten på de forskjellige gangtidsapproksimasjonene vises forskjellen mellom den eksakte gangtiden og approksimasjonene i de nedre panelene i figuren.

Merke at med de konvensjonelle tilnærmingene beskrevet tidligere er gangtidskurvene med en eller to ledd henholdsvis en rett linje og en hyperbel. Med den framgangsmåten som foreslås her er stakking kurven med ett ledd en ikke-hyperbolsk gangtidsapproksimasjon med en form som mer eller mindre tilsvarer den gjennomsnitlige formen av alle referansegangtidsfunksjoner. Å introdusere et annet ledd bidrar til å rafinere denne approksimasjonen ved å redusere forksjellen mellom den eksakte kurven og den gjennomsnitlige kurven.

Hvis operatoren O ikke er inverterbar eksisterer det ingen invers operator O-<1>, og ligning (11) kan ikke brukes. Eksempler på slike operatorer er Ø[t(x)] = t( x)/ t( x+) og 0[i(x)] = t( x) — t( x*). Med disse operatorene kan man finne to funksjoner t\ og t2 slik at ti( x) ^ t2(ar) og 0[ti(x)] — 0\ Li( x)]- F°r å rekonstruere den originale funksjonen t( x) fra 0[t(x)] er det nok å henholdsvis multiplisere med en konstant t( xt) eller addere en konstant t( xt), men verdien på konstanten kan ikke beregnes direkte fraO[t(i)]. I dette tilfellet kan denne konstanten betraktes som en ukjent koeffisient som kan estimeres slik som de andre koeffisientene i approksimasjonen. For eksempel, hvis operatoren 0[*(x)] = t( x)/ t( x*) er blitt brukt kan en approksimasjon som følger brukes: og hvis operatoren 0[f (x)] = t( x) — t( xt) er blitt brukt kan man bruke følgende approksimasjon:

I disse tilfellene kan multiplikasjon eller addisjon med bo betraktes som anvendelsen av en estimert "pseudo-inverse operator". Derfor, selv om operatoren O anvendt på referansegangtidene ikke er inverterbar kan basisfunksjonene f i brukes for å bygge en gangtidsapproksimasjon, med en form som kan være litt forskjellig fira ligning (11).

Anvendelser

Tidsprosessering

Vi har beregnet en basis av ortogonale funksjoner for seismisk gangtidsapproksimasjoner. Disse approksimasjonene kan brukes for å utføre alle operasjoner som bruker gangtidsapproksimasjoner innen seismisk prosessering, slik som stakking, DMO, migrasjon før og etter stakk, osv. Disse prosesseringsmetodene bruker ofte hyperbelske gangtidsapproksimasjoner. I grunnen betyr dette at den eksakte hastighetsmodellen ned til dyp z erstattes av et enkelt (homogent isotropt) lag med gjennomsnitlige kinematiske egenskaper beskrevet av i(0) og Vrms- Den nye framgangsmåten gir derimot mulighet for å erstatte den eksakte hastighetsmodellen ned til dyp z med et enkelt lag med kinematiske egenskaper beskrevet av koeffisientene k i ligning (11), som bedre approksimerer den ekte kinematiken til seismiske bølger i innsmalingsområdet. De fleste av tidsprosesseringsmeto-dene som eksisterer kan derfor oppdateres og forbedres ved å bruke den nye approksimasjonen.

Hastighetsanalyse

En annen interessant anvendelse som fortjener videre forklaring er hastighetsanalyse. Som vi allerede har pekt ut kan koeffisienten oq og a2 i ligning (2) brukes for å beregne lagtykkelser og hastigheter i et lagdelt medium. Koeffisient a4 gir ekstra informasjon om anisotropi (Alkhalifah T. and Tsvankin I., 1995. Velocity analysis for transversely isotropic media. Geophysics, 62,1550-1566). Vi har vist at de optimale koeffisientene åi vanligvis brukes som estimater av de teoretiske koeffisientene aj i denne fremgangsmåten, og at dette kan medføre feil, siden disse estimatene kan bli unøyaktige. Vi forklarer her hvordan oppfinnelsen hjelper med å få nye estimater a, av koeffisientene di. Vi antar at fremgangsmåten for å bygge funksjonene f i er blitt brukt, med operator Ø[t(x)] = t2( x). I dette tilfellet representerer referansekurvene referansegangtider kvadrert. Vi antar også at optimale koeffisienter bi er blitt estimert for å bygge en gangtidsapproksimasjon med samme form som ligning (11). Vi viser her hvordan disse koeffisientene bi, (for i = 0,2,4...) kan transformeres til estimater av de "teoretiske" koeffisientene a* (for i = 1,2,3...).

Vi har uttrykt de modifiserte referansegangtidsfunksjonene som en lineærkombinasjon av basisfunksjonene f i ( x) (ligning (9)). Omvendt kan hver basisfunksjon f i ( x) uttrykkes som en lineærkombinasjon av de modifiserte referansegangtidsfunksjonene. Siden vi kjenner modellene som ble brukt for å generere disse gangtidsfunksjonene kan vi approksimere referansegangtidsfunksjonen kvadrert ved hjelp av Taner og Koehler, ligning (2) med så mange ledd som vi ønsker, og med teoretiske koeffisienter direkte beregnet fra de kjente modellparametre. Så, så snart vi har ap-proksimert den eksakte kvadrerte gangtidskurven ved en lineærkombinasjon av basisfunksjonene f i ( x), kan vi også uttrykke den som en tilnærmet lineærkombinasjon av basisfunskjonene 1, x<2>, x4,... i Taner og Koehler, ligning (2). Legg merke til at man kan allerede få et estimat av alle mulige koeffisienter a< ved å bruke ligning (11) med bare ett ledd. NMO-hastigheten kan for eksempel estimeres selv når man bruker en approksimasjon med ett ledd, og den kvartiske koeffisienten 04 kan estimeres ved hjelp av en approksimasjon med bare ett eller to ledd.

For å relatere koeffisientene bi (t = 1,2,3...) og a* (i = 0,2,4...) til hverandre, starter vi med

å beregne de teoretiske koeffisientene i Taner og Koehler rekken, aoj, a2j, a4j-,...fra den kjente modellen j. En approksimasjon av referansekurve j kan fåes ved å beholde de L første leddene i denne rekken.

Vi gjør dette for hver referansekurve, og definerer en L x N matrise A bestående av teoretiske

Taner og Koehler koeffisienter, ved Aij = 02(,_i)j, der indeksen i går fra 1 til L, og indeksen j fra 1 til N. På matriseform kan L-ledds Taner og Koehler approksimasjonen (2) for hele mengden av

referansekurver skrives

der X er en matrise slik at dens kolonne i inneholder offset i potens av 2(t — 1), dvs. den første kolonne inneholder tallet en, den andre kolonnen representerer offset i kvadrat xj., k = 1, M, etc. Disse kolonnene representerer de tradisjonelle basisfunksjonene i Taner og Koehlers rekkeutvikling. Gangtidsapproksimasjonen (2) med eksakte (men ukjente) koeffisienter 0+ kan uttrykkes som Den nye gangtidsapproksimasjonen (10), med K ledd { K < N) som inneholder estimerte koeffisienter bi, kan skrives Fra ligningene (9) og (8), og fra det faktum at V 1 = V<T>, finner vi Ved å bruke dette uttrykket sammen med ligning (14), kan ligning (16) omskrives som

Ved å sammenligne med ligning (IS) finner vi til slutt et nytt estimat av koeffisientene i Taner og Koehlers rekke, som funksjon av de K koeffisientene bit i — 1, Jf:

Siden funksjonene /,-(x) er ortogonale, er koeffisientene Si i teorien uavhengige av hverandre (strengt tatt er dette bare gyldig hvis koeffisientene er estimert ved å minimalisere en minste-kvadrats feil mellom de approksimerte og eksakte gangtidene modifisert ved operatoren O). Dette kan forenkle søkingen etter de optimale koeffisientene. En annen konsekevens er at de beste estimerte og teoretiske koeffisientene bi og bi i prinsipp blir like. Koeffisientene bi blir mer eller mindre uavhengige av offset-intervallet som er brukt til å estimere dem (i det minste i fravær av støy) og i tilfelle av mulige manglende offset. Derfor vil estimering av koeffisienter a. ved bruk av denne framgangsmåten være et interessant alternativ til konvensjonell hastighetsanalyse. Dette kan redusere usikkerheten i estimeringen av intervall lagtykkelser, hastigheter, og andre parametre (f.eks. forbundet med anisotropi). Tabellene 1 og 2 viser koeffisientene di estimert ved minste-kvadratstilpasning av Taner og Koehlers ligning og ved framgangsmåten som er foreslått i oppfinnelsen, for eksemplet som er gitt i figurene.

En lignende framgangsmåte kan anvendes for å estimere koeffisientene q i ligning (3). I dette tilfellet bør referansematrisen inneholde gangtider, heller enn kvadrerte gangtider (fordi ligning (3) representerer gangtider), dvs. operatoren O bør være identitetsoperatoren. Koeffisientene q kan beregnes hvis hastighetsmodellen er kjent (Causse, Haugen and Rommel, 1999). Estimater av disse koeffisientene vil derfor gi informasjon om hastighetsmodellen. Estimater av koeffisientene for andre typer gangtidsapproksimasjoner kan på lignende måte relateres til koeffisientene tø for gangtidsapproksimasjoner som bruker basisfunksjonene fra oppfinnelsen.

Andre anvendelser

Oppfinnelsen kan brukes til å bygge effektive parametirseringer av approksimasjoner for gangtidskurver. Fra disse gangtidskurvene kan andre størrelser av interesse beregnes, som geometrisk spredning C, slowness-vektoren p og polarisasjonsvektoren g. Disse størrelsene kan beregnes fra gangtider ved bruk av ligninger som inneholder partielle deriverte av gangtidene (se f.eks. Hok-stad, K., 1999, Elastic imaging of multicomponent seismic data, Dr. ing. avhandling, Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet). De partielle deriverte kan beregnes ved analytisk eller numerisk derivasjon av gangtidskurvene. Av dette følger at oppfinnelsen indirekte kan brukes til å beregne approksimasjoner for andre størreler som kan være nyttige i seismisk prosessering: • approksimasjoner til geometrisk spredning kan brukes for å gjøre amplitudekorreksjoner i migrasjonsbilder, for å gjøre såkalt sann-amplitude migrasjon. Migrasjonsbildene representerer da den vinkelavhengige reflektiviteten til den avbildede geologiske grenseflaten. • approksimasjoner til polarisasjonsvektorer kan brukes for å migrere multikomponent seismiske data (f.eks. havbunnseismikk eller brønnseismikk) der partikkelhastighet i tre ortogonale retninger måles, istedenfor eller i tillegg til trykk. I dette tilfellet er de seismiske data gitt ved en vektor og ikke en skalar. Kjennskap til polarisasjonsvektoren er nødvendig for å finne hvordan datavektoren projiserers på de forskjelige retninger.

slowness-vektoren kan brukes til å beregne stråleparameteren (den horisontale komponenten av slowness-vektoren). Stråleparameteren er relatert til strålenes innfallsvinkel på reflektoren gjennom enkle ligninger hvis mediet består av plane lag. De beregnede vinkler kan brukes til å utføre konstant-vinkelmigrasjon, eller stråleparameteren kan benyttes direkte for å gjøre konstant-stråleparametermigrasjon (se f.eks. Thierry, Lambaré and Alérini, 1999, Angle-dependent reflectivity maps via 3D migration/inversion - an opportunity for AVA, 6Ist EAGE Conference, Expanded Abstracts, 4-51). De approksimerte vinkler eller stråleparametre kan også brukes til å finne sammenhengen mellom offset og vinkel.

Ved å kombinere approksimasjoner for geometrisk spredning og slowness-vektor, kan reflektiviteten til geologiske grenseflater finnes som funksjon av innfallsvinkel og stråleparameter. Det er da mulig å gjøre såkalt AVO (amplitude versus offset, amplitude mot offset) eller AVA (amplitude versus angle, amplitude mot vinkel) analyse, der vinkelavhengig reflektivitet brukes til å bestemme viktige litologiske eller petrofysiske parametre.

Merk at oppfinnelsen har blitt framstilt for seismiske data representert i t- x (gangtid - offset) domenet. Dette er den mest vanlig måten å representere seismiske data på, men dataene vil noen ganger bli transformert til andre domener, f.eks. r — p (kryssende gangtid - stråleparameter) domenet (se f.eks. Stoffa, Buhl, Diebold and Wenzel, 1981, direct mapping of seismic data to the domain of intercept time and ray parameter - a plane wave decomposition, Geophysics, 46,255-1267)). Noen prosesseringsmetoder kan anvendes for data i det nye domenet. Noen ganger vil det være hensiktsmessig å transformere dataene tilbake til gangtid-offset domenet ved en invers transformasjon. Oppfinnelsen kan i prinsippet brukes i et hvert annet domene der gangtidskurver kan representeres.

Claims (10)

1. Framgangsmåte for å lage en basis av funksjoner for å bygge approksimasjoner til enveis eller toveis seismiske gangtider som funksjon av offset, karakterisert ved en kombinasjon av Følgende trinn: (a) lage en fordeling av referanse enveis eller toveis gangtid-mot-offset funksjoner ved gangtidsmodellering i et sett av hastighetsmodeller som representerer mulige hastighetsfordelinger, (b) oppnå nye roferaiiscfunksjoner ved å modifisere referansegangtidsfunksjonene ved å anvende en operator O på dem, (c) velge ut en samling diskrete offset for å gjøre disse nye gangtidsfunksjonene diskrete, (d) ordne disse diskrete funksjonene i kolonner for å lage en matrise, (e) anvende singulær-verdi dekomponering på denne matrisen med singulære verdier sortert i avtagende rekkefølge, for å uttrykke dens kolonner som en lineærkombinasjon av kolonnene i en ortogonal matrise, og (f) bygge basisfunksjonene ved å interpolere kolonnene i den ortogonale matrisen.

2. Framgangsmåte for å konstruere basisfunksjoner som beskrevet i krav 1, karakterisert ved referansegangtidskurver som også er funksjoner av asimutvinkel, dvs. vinkelen mellom nord-syd-retniiigen og x-aksen som offset måles langs.

3. Framgangsmåte for å konstruere approksimasjoner til seismiske gangtider ved lineærkombinasjon av basisfunksjoner i henhold til krav 1 og 2, og anvende på denne lineærkombinasjonen inversen til operatoren O som ble brukt til å generere basisfunksjonene, hvis denne operatoren har en invers.

4. Framgangsmåte for å konstruere approksimasjoner til seismiske gangtider, karakterisert ved lineærkombinasjon av basisfunksjoner i henhold til krav 1 og 2, og anvende en pscudo-invers operator på denne lineærkombinasjonen.

5. Framgangsmåte for NMO-korreksjon av seismiske reflekterte signaler, der gangtidskorreksjoner er konstruert som beskrevet i krav 3, karakterisert ved vektene av de forskjellige basisfunksjoner i lineærkombinasjonen som er valgt for å oppnå den best mulige NMO-korreksjon av de forskjellige målte reflekterte signaler.

6. Framgangsmåte for NMO-korreksjon av seismiske reflekterte signaler, der gangtidskorreksjoner er konstruert som beskrevet i krav 4, karakterisert ved pseudo-invers operatoren og vektene til de forskjellige basisfunksjonene i lineærkombinasjonen som er valgt for å oppnå den best mulige NMO-korreksjon av de forskjellige målte reflekterte signaler.

7. Framgangsmåten som beskrevet i krav 5, karakterisert ved Here forskjellige sett av basisfunksjoner som benyttes for NMO-korreksjon av en samling målte seismiske signaler, reflektert fra forskjellige dybdeintcrvaller.

8. Framgangsmåten som beskrevet i krav 6, karakterisert ved flere forskjellige sett av basisfunksjoner som benyttes for NMO-korreksjon av en samling målte seismiske signaler, reflektert fra forskjellige dybdeintervaller.

9. Framgangsmåte for å beregne de eksakte vektene i gangtidsapproksimasjonen til Taner and Koehler, t2( x) ~ aQ + a2x' 2 + aAx<A> + aBx<e>..., som en lineærkombinasjon av optimale vekter for gangtidsapproksimasjonen i krav 3, der operator O representerer en kvadrering av referansegangtidsfunksjonene, og der disse optimale vektene estimeres med framgangsmåten i henhold til krav 5, 6, 7 eller 8.

10. Framgangsmåte for å beregne de eksakte vektene i gangtidsapproksimasjonen til Causse, Haugen and Rommel, t( x) = c\ x + c0 + + ^jr + + som en lineærkombinasjon av optimale vekter for gangtidsapproksimasjonen i krav 3, der operator O representerer identitetsoperatoren - som ikke modifiserer referansegangtidsfunksjonene -, og der disse optimale vektene estimeres med framgangsmåten i henhold til krav 5, 6, 7 eller 8.