KR890002471B1 - 갈로이스 필드 2^8내에서의 연산식 간소화 회로 - Google Patents

Abstract

내용 없음.

Description

갈로이스 필드 28내에서의 연산식 간소화 회로

제1도는 제1도는 종래의 R-S부호복호기의 에러값 연산회로.

제2도는 본 발명에 따른 R-S부호복호기의 에러값 연산회로.

* 도면의 주요부분에 대한 부호의 설명

30,35 : 가산기 31 : 3승회로

32 : 역수회로 33 : 곱셈기

34 : 제곱근회로

본 발명은 갈로이스 필드(Galois Fieod) GF(2⁸)내에서의 에러 정정용 R-S복호기의 에러위치와 에러값을 간단히 연산하는 회로에 관한 것이다.

디지탈 통신 분야나 디지탈 오디오 분양에 있어서는 전송로 또는 정보원의 오류에 대해 사용자가 정확하고 오류가 없는 정보를 접하도록 데이터에 패리티(Parity)를 첨가하여 부호화하고 수신측은 이 부호화된 신호를 입력하여 에러를 정정하는 복호를 행하는 방법이 널리 사용되어 왔다. 이와같이 부호화 하는 방식중에서도 단일 오류 정정 부호인 해밍(Hamming)부호는 다중 오류 정정능력이 어렵게 되어 가장 강력한 다중 에러 정정능력을 가진 BCH(Bose Chaudhuri Hocquenghem)부호를 사용하므로써 다중 에러를 정정하는데 사용하여 왔었다. 이 BCH부호는 2원 BCH부호와 비 2원 BCH부호로 나눌수 있으며 이 비 2원 BCH중 R-S(Read-Solomon)부호는 그 대표적인 부호로서 BCH부호 계보중 중요한 위치를 차지하고 있다.

GF(2^m)상의 R-S부호의 복호는 신드롬(Syndrome)으로부터 에러위치 다항식 관계를 계산하는 과정이 통상적으로 필요시나 이 스텝을 생략한 2진 BCH의 직접 복호법이 있어왔다. 이 2진 BCH의 직접 복호법은 치엔(Chien)에 의해 IEEE Trans. on Information Theory(1964년 10월호 10권 페이지 357-363)에 발표된 것으로 신드롬 레지스터를 사용하여 순회 시킴으로서 에러위치를 구하는 방식이었다. 한편 비 2진 BCH부호중 실용상 중요한 역할을 하는 GF(2^m)상의 확대 R-S부호의 직접 복호법으로는 하기와 같은 방법이 있어왔다.

지금 α를 GF(2^m)상의 원시근이라 하고 n=2^m-1이라 하면 t중 에러정정 확대 R-S부호의 신드롬 원소 Sj는 U( t)개의 에러가 발생했다 가정하면 하기의 식과 같이 쓸수 있다.

여기서 xi와 yi는 각각 Ki(i=1,2,…U)에 대응하는 에러위치 α^ki와 에러값 l^ki에 대응한다.

한편 신드롬을 원소로 하는 u,x,u행렬 Mu(S)를 하기 식(2)와 같이 정의하면 Mu(S)의 행렬식｜Mu(S)｜의 값은 u개의 에러가 있을때는 "0"이 아니고, 에러의 갯수가 u보다 적을 때에는 "0"이다.

따라서 이 성질을 이용하여 에러의 갯수가 판정된다.

지금, u개의 에러가 발생했다 가정하면 상기 식(1)에 의해 ｜Mu(S)｜는 하기와 같은 식이 표현된다.

지금 신드롬에 관해 하기의 관계식을 도입한다.

한편, A_j(x)에 관한 식(2)의 형태의 행렬식의 값을 ｜Mu(A(x))｜로하면 식(3)과 같이 하기의 식으로 표현된다.

그런데 상기 식(7)의 항

는 U차의 에러위치 다항식l(x)와 같게 되면 u개의 에러가 있을 때에는 전술한 바와같이 ｜Mu(S)｜

0이므로 u개의 에러위치는 ｜Mu(A(x))｜=0……(8)로 부터 구해진다.

또한 ｜Mu(A(x))｜=0을 만족하는 한개의 x에 대응하는 에러값 y는 하기의 식으로부터 구해진다.

한개의 x에 해당하는 에러값 y가 상기 식(9)와 같이 구하여질 수 있는 것을 나타내기 위해 우선 에러위치 x1의 경우에 대한 에러값 y1에 대하여 증명한다.

x=x₁ ^-1일때 ｜Mu(A(x₁ ^-1)｜=0

또

에 의해서

그러므로

이 된다.

따라서 u개의 에러위치와 에러값은 각각 전술한 식(8)과 (9)로부터 구해진다.

상기 식(8)과 (9)를 풀기 위해서는 x에 α⁰α¹…α^n-1을 차례로 대입하면 되는데 복호순서는 하기와 같이 행해진다.

<1>S_j= S_j(0 j 2t-1) 단 우변의 Sj는 신도롬의 초기값 1=0에 세트한다.

<2>u=t에 세트

<3>｜Mu(S)｜를 계산

<4>｜Mu(S)｜ 0이면 〈5〉에 그렇지 않으면 u=u-1로 하며 〈3〉으로 돌아가 순서를 진행한다.

<5>｜Mu(S)｜=0이면 〈6〉의 순서로 돌아가 진행하고 그렇지 않으면 〈7〉의 순서를 진행한다. 단 A_j=S_j+S_j±1

<6>에러값 y=｜Mu(S)｜/｜M_u-1(B)｜를 구해서 에러를 정정한다. 단 B_j=S_j+S_j±2, ｜Mo(B)｜=1

<7>l=n-1이면 중단하고 그렇지 않으면 S_j=S_jα^j(0 j 2t-1), l-l+1로 하여 <2>의 순서로 돌아가 진행한다.

상기의 순서 <7>의 조작 S_j=S_jα^j는 신드롭 레지스터 S_j를 1회 쉬프트 하는 것에 해당한다. 직접 복호법은 쉬프트 정도에 신드롬 레지스터의 상태를 순서 <4>-<6>과 같이 모니텨에서 에러를 정정한다.

따라서 쉬프트 싸이클의 사이에 ｜Mu(S)｜,｜Mu(A)｜,｜M_u-1(B)｜(1 U t)를 계산할 필요가 있는데 이것은 Mt(f)의 계산식에 부분 행렬식｜M_t-1(f)｜…｜M1(f)｜가 포함되는 것을 이용하여 ｜M3(f)｜계산회로를 구성해 놓고 레지스터의 각 쉬프트 싸이클 사이에 ｜Mt(f)｜계산회로의 입력 f에 S,A,B를 순서로 분할 입력하면 ｜Mu(S)｜,｜Mu(A)｜,｜M_u-1(B)｜를 순차로 계산할 수 있다.

상기와 같은 GF(2^m)상의 확대 R-S직접 복호방법을 사용하여 2중 에러 정정 능력을 갖는 복호기중 에러값을 구하는 종래의 회로를 보인 도변은 제1도에 도시한 바와같다.

전술한 바와같이 2중 에러복호기의 경우 에러위치는 ｜M2(A)｜=A1+ A0 A2이고 에러값 y=SO+SO(1+ A0/A2)로 상기 식(8)과 (9)의 변형식을 사용하여 복호기를 구현할 수 있는데 제1도의 종래의 R-S복호기의 에러값 연산회로는 에러값 y=SO+AO(1+ A2/A0)^-1를 연산하는 회로였다.

제1도에 도시한 종래의 2중 에러를 정정할 수 있는 R-S복호기에서의 에러값 연산회로는 신드롬 SO-S3를 각각 계산하는 신드롬 SO내지 S3계산회로 (1)-(4)와, 상기 신드롬 SO-S3로부터 에러값 및 에러위치 연산을 위한 전술한 식(5)의 A0,A1,A2를 구하기 위한 가산기 (6)-(8)와, 상기 가산기(6)로부터 라인(12)을 통해 출력하는 A0(A0=S0+S1)와 가산기(8)고부터 라인(14)를 통해 출력하는 A2(A2=S2+S3)를 입력하여 상기 에러값중 AO(1+ A2/A0)^-1을 연산하는 연산회로(9)와, 상기 연산회로(9)로부터 라인(15)를 통해 출력하는 상기 연산값과 신드롭 S0 계산회로(1)로부터 라인(11)을 통해 출력하는 신도롬 S0를 가산하여 라인(16)으로 에러값을 출력하는 가산기(10)로 구성되어 있었다.

이때 상기 제1도의 에러값 연산회로의 가산기의 연산동작은 배타적 놀리함(Exclusive OR)연산이다.

그러나 종래의 제1도에 도시한 바와같은 에러값 연산회로중 연산회로(9)는 전술한 AO(1+ A2/A0)^-1를 연산하는 복잡한 연산회로로 실현할 수 밖에 없었다.

즉 전술한 연산회로(9)는 AO(A1+ A2/A0)^-1을 연산하기 위해

를 위한 나눗셈회로와,

를 위한 2승근회로와, (1+

)^-1을 위한 역수회로와,

을 위한 곱셈회로등이 사용되었다.

이때 나눗셈회로는 대단히 복잡하며 A0를 역수로 하는 역수회로와 A2와

을 곱하는 회로가 사용된다. 또한

에서

에 1을 더하는 회로가 추가되어 6개의 연산을 하는 어려움이 있어왔다.

따라서 본 발명의 목적은 R-S집적 복호기내에서 에러값 연산을 간략화 할 수 있는 에러값 연산회로를 제공함에 있다.

상기와 같은 목적을 달성하기 위하여 본 발명은 신드롬을 계산하는 신드롬 계산회로와, 상기 신드롬 출력값으로부터 에러값을 연산하는 에러값 연산회로와, 상기 신드롬 계산회로로부터 출력하는 신드롬으로부터 에러위치를 연산하는 에러위치 연산회로와, 상기 에어위치에 따라 상기 연산된 에러값을 출력하는 게이트 회로를 구비하여 유한체 GF(2⁸)상의 2중 에러정정용 R-S부호의 직접 복호를 하는 회로의 상기 에러값 연산회로에 있어서, 상기 신드롬 계산회로에서 출력하는 소정의 신드롬을 가산하는 가산기들과, 상기 가산기의 소정의 출력값을 입력하여 3승 연산을 하는 3승회로와, 상기 가산기의 또다른 소정의 출력값을 입력하여 역수역산을 수행하는 역수회로와, 상기 3승 연산값과 상기 역수값을 입력하여 곱셈연산을 하는 곱셈기와, 상기 곱셈값을 2승근 연산하는 제곱근회로 및 상기 제곱근 연산값과 소정의 신드롭 값을 가산하는 가산기를 제공함으로써 에러값을 구하는 에러값 연산 간력화 회로를 제공함을 특징으로 한다.

이하 본 발명을 상세히 설명한다.

2중 에러 정정용 R-S부호 복호기의 에러값 연산식을 전술한 바와같이 y=SO+SO(1+ A2/A0)가 됨을 이미 상술하였다.

상기 에러값 연산식중

을변형하면 하기와 같이 변형할 수 있다.

즉,

이때 GF(2_m)에 있어서의 상기식(10)(11)(12)의 모든 가산은 전술한 바와같이 배타적 논리합(Exclusive OR)연산이다.

상기식(10)(11)(12)의 연산 결과 동일한 GF(2⁴)내의 원시근(Primitive element)인 α를 대입하여 증명한다. 우선 GF(2⁴)내 원시근 α값을 살피면 하기 표와 같다.

우선 상기식(10)(11)(12)에 있어서 A₀=α², A_rα²이라 가정하여 상기 식(10)(11)(12)에 각각 대입하여 계산하면 하기의 (가)(나)(다)식과 같다.

이때 상기 (가)식에 있어서, α+α⁴는 전술한 표의 값으로 배타적 연산하면,

로써 원시근 α⁰값을 "1"이 된다.

상기 (다)에 있어서 α²+α⁸는 전술한 표의 값을 각각 가지므로 배타적 논리합을 연산하면,

으로써 원시근 α⁰값을 가지어 "1"이 된다.

따라서 상기 (가)(나)(다)식에 의해 전술한 식(10)(11)(12)의 연산의 결과가 같음을 알 수 있다. 따라서 상기 (12)으로부터 에러값 y는 하기와 같은 식으로 표현할 수 있다.

그러므로 상기 식(11)을 실현하는 에러값 연산회로를 실현하면 에러값을 구할 수 있게 되는데 상기 식(12)의

을 연산하려면 A0을 연산하는 3승회로와, A0+A2를 계산하는 가산기와,

를 연산하는 역수회로와,

을 연산하기 위한 곱셈기와,

을 연산하는 제곱근회로가 필요하다. 또한 여기서 유의해야 하는것은 상기 에러값을 연산하는 회로의 실현에 있어 나눗셈을 행하는 연산이 한번 밖에 사용되지 않는다는 사실이다.

제2도는 본 발명에 따른 R-S부호 복호기의 에러값 연산회로로써, GF(2^m)의 확대 R-S부호의 m=s에러 정정능력 t=2인 경우의 에러값 연산을 간소화 한 일실시예를 나타낸 도면이다. 도면중 신드롬 SO-S3계산회로(1)-(4)와 가산기(6)-(8)은 종래의 회로도인 제1도의 회로도와 동일한 부분으로서 사용 참조번호를 동일한 번호로 표시하였다.

가산기(6)의 출력을 입력하여 3승연산을 하는 3승회로(31)와, 가산기(6) 및 (8)의 출력을 입력하여 가산을 하는 가산기(30)와, 상기 가산기(30)의 출력을 역수로 하는 역수회로(32)와 상기 3승연산회로(31)의 출력과 역수회로(32)의 출력을 곱셈연산하는 곱셈기(33)과, 상기 곱셈기(33)의 출력을 2승근 연산을 하는 제곱근회로(34)와 상기 제곱근회로(34)의 연산값과 상기 신드롬 S0계산기(1)을 출력을 가산하는 가산기(35)로 구성된 부분이 본 발명 에 따른 에러값 연산회로(100)이다.

이때 상기한 제2도의 회로에 있어서는 모든 가산동작은 배타적 논리합(Exclusive PR)연산이다.

전술한 바와같이 본 발명은 GF(2^m)상의 m=8이고 2중 에러정정능력을 갖는 R-S복호기의 에러값 연산회로의 연산 간소화를 위한 변형식인 식(12)을 이용한 제2도의 회로도는 2중 에러 정정에 필요한 신드롬을 신드롬 S0-S3계산회로(1)-(4)에서 각각 계산하고 가산기(6)는 상기 신드롬 S0 계산회로(1)와 신드롬 S1 계산회로(2)에서 출력하는 도면표시의 신드롬 S0 및 S1을 입력하여 가산하므로서 전술한 식(5)의 값 A0를 출력하며, 동시에 가산기(8)는 신드롬 S2 계산회로(3)와 신드롬 S3계산회로(4)에서 출력하는 신드롬 S2와 S3를 입력하여 가산하므로서 식(5)의 값 A2를 출력한다. 상기 값 A0와 A2를 입력하는 본 발명에 따른 에러값 연산회로(100)는 상기 두값을 가산기(30)가 입력하여 가산값(A0+A2)을 라인(50)으로 출력한다. 한편 상기 입력값 A0는 3승 연산회로(31)에서 3승 연산처리를 하므로써 연산값 A0을 라인(52)으로 출력하고 상기 라인(50)상의 연산값 A0+A2는 역수회로(32)에서 역수 연산처리를 한후 역수값인 (A0+A2)^-1을 라인(53)상으로 출력한다. 상기 라인(53)상의 연산값인 A0³과 (A0+A2)^-1값은 곱셈기(33)에서 서로 곱해지고 이 결과치는 제곱근회로(34)에서 2승근 연산처리를 함으로써

을 연산하여 라인(36)으로 출력한다.

따라서 상기 제곱근회로(34)의 출력과 신드롬 SO 계산회로(1)의 출력인 신드롬 SO는 가산기(35)에서 합해지므로써 에러값 y=S0+

을 연산하여 라인(36)으로 출력한다.

본 발명은 에러값 연산회로에 관한 것이지만 본 발명에 따른 에러값 연산회로(100)를 이용하여 복호기를 구성하기 위해서는 제2도의 가산기(7)로 입력하는 신드롬S1와 S2를 가산한값 A1을 상기 가산기(7)의 출력라인(13)으로 출력하고 이 가산값A1과 가산기(6) 및 (8)에서 출력하는 A0 및 A2를 입력하여 전술한 에러위치 -M2(A)-=A1+ A0A2를 연산하는 회로(도시하지 않았음)를 설치하므로써 도시하지 않은 게이트 회로에서 상기 에러위치 연산회로의 출력에 따른 본 발명의 에러값을 출력하게 함으로써 도시하지 않은 쉬프트레지스터로부터 출력하는 수신 부호신호를 상기 에러위치에서 올바른 정정된 값으로 정정하는 부호화 회로를 설계할 수 있다.

전술한 바와같이 본 발명은 2중 에러정정 R-S부호의 복호기에서 에러값 연산을 종래의 연산회수 보다 연산회수를 감소시킨 연산회로를 제공하고 하드웨어의 구성이 복잡한 나눗셈을 행하는 역수회로의 사용회수를 줄임으로써 연산의 간편화로 인한 상용 연산회로의 감소 및 지연시간을 짧게 함으로써 연산의 고속화 및 부호기의 고속화를 기할 수 있는 이점을 갖게 된다.

Claims (1)

1. 신도롬을 계산하는 신도롬 계산회로와, 상기 신도롬 출력값으로부터 에러값을 연산하는 에러값 연산회로와, 상기 신드롬 계산회로부터 출력하는 신드롬으로부터 에러위치를 연산하는 에러위치 연산회로와, 상기 에러위치에 따라 상기 연산된 에러값을 출력하는 게이트회로를 구비하여 유한재 GF(2⁸)상의 2중 에러정정용 R-S부호의 직접 복호를 하는 회로의 상기 에러값 연산회로에 있어서,상기 신드롬 계산회로에서 출력하는 소정의 신드롬을 가산하는 가산기들(6)(7)(8)(30)과, 상기 가산기의 소정의 출력값을 입력하여 3승 연산을 하는 3승회로(31)와, 상기 가산기의 또다른 소정의 출력값을 입력하여 역수연산을 수행히는 역수회로(32)와, 상기 3승 연산값고, 상기 역수값을 입력하여 곱셈연산을 하는 곱셈기(33)과, 상기 곱셈값을 2승근 연산하는 제곱근회로(34) 및 상기 제곱근 연산값과 소정의 신드롬값윽 가산하는 가산기(35)를 구비하여 하기식(1)의 에러값 연산을 하는 회로.

   

   여기서 y는 에러값이고, AO=SO+S1, A2=S2+S3이며, S1,S2,S3는 신도롬이다.

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