KR20220134487A - 동형 암호문을 처리하는 전자 장치 및 그 방법 - Google Patents

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KR20220134487A
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신준범
안호섭
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홍동연
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주식회사 크립토랩
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Abstract

전자 장치가 개시된다. 본 전자 장치는 곱셈 연산 가능 횟수를 포함하는 동형 암호문 및 재부팅 임계값을 저장하는 메모리 및 프로세서를 포함하며, 프로세서는, 동형 암호문에 대한 곱셈 연산 명령을 입력 받으면, 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 확인하고, 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행하고, 재부팅이 수행된 동형 암호문에 대해 곱셈 연산을 수행할 수 있다.

Description

동형 암호문을 처리하는 전자 장치 및 그 방법{ELECTRONIC DEVICE FOR CALCULATING ENCRYPTED MESSAGES AND METHODS THEREOF}
본 개시는 동형 암호문을 처리하는 전자 장치 및 방법에 관한 것으로, 구체적으로, 동형 암호문에 대한 곱셈 연산 가능 횟수에 기초하여 동형 암호문의 재부팅이 필요한 경우 동형 암호문의 연산 수행 전 재부팅을 수행할 수 있는 전자 장치 및 방법에 관한 것이다.
전자 및 통신 기술의 발달에 힘입어 다양한 장치들 간에 데이터를 송수신하여 활용하는 다양한 서비스가 지원되고 있다. 그 중 일 예로, 사용자가 자신의 개인 정보 등을 서버에 저장하여 두고, 서버의 정보를 이용하는 클라우드 컴퓨팅 서비스도 활발하게 사용되고 있다.
이러한 환경에서는 데이터 유출을 방지하기 위한 보안 기술의 사용이 필수적이다. 따라서, 서버는 암호화된 데이터를 저장하게 된다. 이 경우, 서버는 저장된 데이터를 검색하거나 그 데이터에 기초한 일련의 작업을 할 때마다, 암호화된 데이터를 복호화하여야 하므로, 자원 및 시간 낭비가 발생하게 된다.
또한, 서버에서 연산을 위해 일시적으로 복호화한 상태에서 제3자의 해킹이 이루어지는 경우, 개인 정보가 제3자에게 손쉽게 유출될 수 있다는 문제점도 있었다.
이러한 문제를 해결하기 위하여 동형 암호화 방법이 연구되고 있다. 동형 암호화 방식을 이용하면, 암호화된 정보를 복호화하지 않고 암호문 자체에서 연산을 하더라도, 평문에 대해 연산한 후 암호화한 값과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 따라서, 암호문을 복호화하지 않은 상태에서 각종 연산을 수행할 수 있다.
한편, 동형 암호문은 연산을 일정 횟수 이상 수행하면 내부 에러가 증가하여 더 이상 연산이 불가능한 상태가 된다. 이에 따라, 일정 횟수 이상 연산을 수행한 동형 암호문은 재부팅을 수행해야 한다. 그러나 동형 암호문에 대한 재부팅이 필요한 경우 사용자가 직접 재부팅 코드를 입력해야 하는 문제가 있었다. 이에 따라, 재부팅이 필요한 시점에 사용자가 재부팅 코드를 입력하지 못할 경우, 동형 암호문의 재부팅이 수행되지 않아 데이터가 손상되는 문제가 있었다.
따라서 본 개시는 상술한 바와 같은 문제점을 해결하기 위한 것으로, 동형 암호문에 대한 곱셈 연산 가능 횟수에 기초하여 동형 암호문의 재부팅이 필요한 경우 자동으로 재부팅을 수행할 수 있는 전자 장치 및 방법을 제공하는 데 있다.
이상과 같은 목적을 달성하기 위하여, 본 개시의 일 실시 예에 따른 전자 장치는 곱셈 연산 가능 횟수를 포함하는 동형 암호문 및 재부팅 임계값을 저장하는 메모리 및 프로세서를 포함하며, 상기 프로세서는, 상기 동형 암호문에 대한 곱셈 연산 명령을 입력 받으면, 상기 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 확인하고, 상기 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 상기 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 상기 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행하고, 상기 재부팅이 수행된 동형 암호문에 대해 상기 곱셈 연산을 수행할 수 있다.
이 경우, 상기 곱셈 연산 가능 횟수는, 상기 동형 암호문의 생성 시 사용되는 파라미터의 값에 기초하여 결정될 수 있다.
이 경우, 상기 프로세서는, 상기 동형 암호문에 대한 재부팅이 수행되면, 상기 재부팅이 수행된 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 초기값으로 설정할 수 있다.
한편, 상기 프로세서는, 상기 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 상기 재부팅 임계값보다 크면, 상기 동형 암호문에 대해 상기 곱셈 연산을 수행하고, 상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 상기 곱셈 연산 가능 횟수에서 상기 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감할 수 있다.
이 경우, 상기 프로세서는, 상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 상기 곱셈 연산 가능 횟수에서 상기 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감한 수가 상기 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행할 수 있다.
본 개시의 일 실시 예에 따른 전자 장치의 동형 암호문 연산 방법은, 곱셈 연산 가능 횟수를 포함하는 동형 암호문 및 재부팅 임계값을 저장하는 단계, 동형 암호문에 대한 곱셈 연산 명령을 입력 받는 단계, 상기 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 확인하는 단계, 상기 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 상기 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 상기 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행하는 단계 및 상기 재부팅이 수행된 동형 암호문에 대해 상기 곱셈 연산을 수행하는 단계를 포함할 수 있다.
이 경우, 상기 곱셈 연산 가능 횟수는, 상기 동형 암호문의 생성 시 사용되는 파라미터의 값에 기초하여 결정될 수 있다.
이 경우, 상기 연산 방법은, 상기 동형 암호문에 대한 재부팅이 수행되면, 상기 재부팅이 수행된 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 초기값으로 설정하는 단계를 더 포함할 수 있다.
한편, 상기 연산 방법은, 상기 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 상기 재부팅 임계값보다 크면, 상기 동형 암호문에 대해 상기 곱셈 연산을 수행하는 단계 및 상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 상기 곱셈 연산 가능 횟수에서 상기 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감하는 단계를 더 포함할 수 있다.
이 경우, 상기 연산 방법은, 상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수에서 상기 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감한 수가 상기 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행하는 단계를 더 포함할 수 있다.
이상과 같은 본 개시의 다양한 실시 예들에 따르면, 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행하기 위해 사용자가 직접 재부팅 코드를 입력하지 않아도 재부팅이 필요한 시점에 자동으로 재부팅을 수행할 수 있다. 또한, 연산을 수행하기 전 재부팅 필요 여부를 확인하므로, 재부팅 미수행으로 인한 데이터 손상을 방지할 수 있다. 한편, 재부팅이 필요한 최적의 시점에 재부팅을 수행할 수 있으므로, 재부팅으로 인한 연산의 지연을 최소화할 수 있다.
도 1은 본 개시의 일 실시 예에 따른 네트워크 시스템의 구조를 설명하기 위한 도면이다.
도 2는 본 개시의 일 실시 예에 따른 전자 장치의 구성을 나타낸 블록도이다.
도 3은 본 개시의 일 실시 예에 따른 전자 장치의 구체적인 구성을 나타낸 블록도이다.
도 4는 본 개시의 일 실시 예에 따른 전자 장치의 동형 암호문 연산 방법을 설명하기 위한 흐름도이다.
이하에서는 첨부 도면을 참조하여 본 개시에 대해서 자세하게 설명한다. 본 개시에서 수행되는 정보(데이터) 전송 과정은 필요에 따라서 암호화/복호화가 적용될 수 있으며, 본 개시 및 특허청구범위에서 정보(데이터) 전송 과정을 설명하는 표현은 별도로 언급되지 않더라도 모두 암호화/복호화하는 경우도 포함하는 것으로 해석되어야 한다. 본 개시에서 "A로부터 B로 전송(전달)" 또는 "A가 B로부터 수신"과 같은 형태의 표현은 중간에 다른 매개체가 포함되어 전송(전달) 또는 수신되는 것도 포함하며, 반드시 A로부터 B까지 직접 전송(전달) 또는 수신되는 것만을 표현하는 것은 아니다.
본 개시의 설명에 있어서 각 단계의 순서는 선행 단계가 논리적 및 시간적으로 반드시 후행 단계에 앞서서 수행되어야 하는 경우가 아니라면 각 단계의 순서는 비제한적으로 이해되어야 한다. 즉, 위와 같은 예외적인 경우를 제외하고는 후행 단계로 설명된 과정이 선행단계로 설명된 과정보다 앞서서 수행되더라도 개시의 본질에는 영향이 없으며 권리범위 역시 단계의 순서에 관계없이 정의되어야 한다. 그리고 본 명세서에서 "A 또는 B"라고 기재한 것은 A와 B 중 어느 하나를 선택적으로 가리키는 것뿐만 아니라 A와 B 모두를 포함하는 것도 의미하는 것으로 정의된다. 또한, 본 개시에서 "포함"이라는 용어는 포함하는 것으로 나열된 요소 이외에 추가로 다른 구성요소를 더 포함하는 것도 포괄하는 의미를 가진다.
본 개시에서는 본 개시의 설명에 필요한 필수적인 구성요소만을 설명하며, 본 개시의 본질과 관계가 없는 구성요소는 언급하지 아니한다. 그리고 언급되는 구성요소만을 포함하는 배타적인 의미로 해석되어서는 안 되며 다른 구성요소도 포함할 수 있는 비배타적인 의미로 해석되어야 한다.
본 개시는 전자적 연산이 가능한 컴퓨터, 서버, 스마트폰과 같은 모바일 디바이스 등의 전자적인 연산 장치에 의해 수행될 수 있으며, 후술하는 본 개시의 각 단계의 수학적 연산 및 산출은 해당 연산 또는 산출을 하기 위해 공지되어 있는 코딩 방법 및/또는 본 개시에 적합하게 고안된 코딩에 의해서 컴퓨터 프로그램의 실행에 다른 연산으로 구현될 수 있다. 본 개시를 실행하는 컴퓨터 프로그램은 컴퓨터에 의해 판독 가능한 기록 매체에 저장될 수 있다.
그리고 본 개시에서 "값"이라 함은 스칼라값뿐만 아니라 벡터, 행렬, 다항식 등 수학식으로 표현될 수 있는 모든 값을 포함하는 광의의 개념으로 정의될 수 있다.
본 개시에서 특정 값에 대한 암호화 또는 해시 등과 같은 연산을 하여 소정의 값을 획득한다는 의미는 해당 특정 값뿐만 아니라, 해당 특정 값의 변형 값(예를 들어, 특정 값에 소정의 값을 추가로 연산하거나 소정의 규칙에 따라서 해당 특정 값을 변화시키는 등의 과정을 통해서 산출된 다른 값)에 대한 암호화 또는 해시 등의 연산도 포함하는 것으로 정의될 수 있다.
후술하는 본 개시의 각 단계의 수학적 연산 및 산출은 해당 연산 또는 산출을 하기 위해 공지되어 있는 코딩 방법 및/또는 본 개시에 적합하게 고안된 코딩에 의해서 컴퓨터 연산으로 구현될 수 있다.
이하에서 설명하는 구체적인 수학식은 가능한 여러 대안 중에서 예시적으로 설명되는 것이며, 본 개시의 권리 범위가 본 개시에 언급된 수학식에 제한되는 것으로 해석되어서는 아니된다.
설명의 편의를 위해서, 본 개시에서는 다음과 같이 표기를 정하기로 한다.
a ← D : 분포(D)에 따라서 원소(a)를 선택함
s1, s2 ∈ R : S1, S2 각각은 R 집합에 속하는 원소이다.
mod(q) : q 원소로 모듈(modular) 연산
Figure pat00001
: 내부 값을 반올림함
이하에서는 첨부된 도면을 이용하여 본 개시의 다양한 실시 예들에 대하여 구체적으로 설명한다.
도 1은 본 개시의 일 실시 예에 따른 네트워크 시스템의 구조를 설명하기 위한 도면이다.
도 1을 참조하면, 네트워크 시스템은 복수의 단말 장치(100-1 ~ 100-n), 전자 장치(200), 서버 장치(300)를 포함할 수 있으며, 각 구성들은 네트워크(10)를 통해 서로 연결될 수 있다.
네트워크(10)는 다양한 형태의 유무선 통신 네트워크, 방송 통신 네트워크, 광통신 네트워크, 클라우드 네트워크 등으로 구현될 수 있으며, 각 장치들은 별도의 매개체 없이 와이파이, 블루투스, NFC(Near Field Communication) 등과 같은 방식으로 연결될 수도 있다.
도 1에서는 단말 장치가 복수개(100-1 ~ 100-n)인 것으로 도시하였으나, 반드시 복수개의 단말 장치가 사용되어야 하는 것은 아니며 하나의 장치가 사용될 수도 있다. 일 예로, 단말 장치(100-1 ~ 100-n)는 스마트폰, 태블릿, 게임 플레이어, PC, 랩톱 PC, 홈서버, 키오스크 등과 같은 다양한 형태의 장치로 구현될 수 있으며, 이밖에 IoT 기능이 적용된 가전 제품 형태로도 구현될 수 있다.
사용자는 자신이 사용하는 단말 장치(100-1 ~ 100-n)를 통해서 다양한 정보를 입력할 수 있다. 입력된 정보는 단말 장치(100-1 ~ 100-n) 자체에 저장될 수도 있지만, 저장 용량 및 보안 등을 이유로 외부 장치로 전송되어 저장될 수도 있다. 도 1에서 전자 장치(200)는 이러한 정보들을 저장하는 역할을 수행하고, 서버 장치(300)는 전자 장치(200)에 저장된 정보의 일부 또는 전부를 이용하는 역할을 수행할 수 있다.
각 단말 장치(100-1 ~ 100-n)는 입력된 정보를 동형 암호화하여, 동형 암호문을 전자 장치(200)로 전송할 수 있다.
각 단말 장치(100-1 ~ 100-n)는 동형 암호화를 수행하는 과정에서 산출되는 암호화 노이즈, 즉, 에러를 암호문에 포함시킬 수 있다. 예를 들어, 각 단말 장치(100-1 ~ 100-n)에서 생성하는 동형 암호문은, 추후에 비밀 키를 이용하여 복호화하였을 때 메시지 및 에러 값을 포함하는 결과 값이 복원되는 형태로 생성될 수 있다.
일 예로, 단말 장치(100-1 ~ 100-n)에서 생성하는 동형 암호문은 비밀 키를 이용하여 복호화 하였을 때 다음과 같은 성질을 만족하는 형태로 생성될 수 있다.
[수학식 1]
Dec(ct, sk) = <ct, sk> = M+e(mod q)
여기서 < , >는 내적 연산(usual inner product), ct는 암호문, sk는 비밀 키, M은 평문 메시지, e는 암호화 에러 값, mod q는 암호문의 모듈러스(Modulus)를 의미한다. q는 스케일링 팩터(scaling factor)(Δ)가 메시지에 곱해진 결과 값 M보다 크게 선택되어야 한다. 에러 값 e의 절대값이 M에 비해서 충분히 작다면, 암호문의 복호화 값 M+e 는 유효숫자연산에서 원래의 메시지를 동일한 정밀도로 대체할 수 있는 값이다. 복호화된 데이터 중에서 에러는 최하위 비트(LSB) 측에 배치되고, M은 차하위 비트 측에 배치될 수 있다.
메시지의 크기가 너무 작거나 너무 큰 경우, 스케일링 팩터를 이용하여 그 크기를 조절할 수도 있다. 스케일링 팩터를 사용하게 되면, 정수 형태의 메시지뿐만 아니라 실수 형태의 메시지까지도 암호화할 수 있게 되므로, 활용성이 크게 증대할 수 있다. 또한, 스케일링 팩터를 이용하여 메시지의 크기를 조절함으로써, 연산이 이루어지고 난 이후의 암호문에서 메시지들이 존재하는 영역, 즉, 유효 영역의 크기도 조절될 수 있다.
실시 예에 따라, 암호문 모듈러스 q는 다양한 형태로 설정되어 사용될 수 있다. 일 예로, 암호문의 모듈러스는 스케일링 팩터 Δ의 지수승 q=ΔL 형태로 설정될 수 있다. Δ가 2라면, q=210 과 같은 값으로 설정될 수 있다.
또 다른 예로, 암호문 모듈러스는 복수의 서로 다른 스케일링 팩터들을 곱한 값으로 설정될 수도 있다. 각 팩터들은 유사 범위 이내의 값, 즉, 서로 비슷한 크기의 값으로 설정될 수 있다. 예를 들어, q=q1 q2 q3…qx로 설정될 수 있으며, q1, q2, q3 ,…, qx 각각은 스케일링 인수 Δ와 비슷한 크기이며 서로 소 관계의 값으로 설정될 수 있다.
스케일링 팩터를 이와 같은 방식으로 설정하게 되면, CRT(Chinese　Remainder Theorem)에 따라 전체 연산을 복수개의 모듈러스 연산으로 분리하여 진행할 수 있게 되므로, 연산 부담을 경감시킬 수 있다.
또한, 서로 비슷한 크기의 팩터를 사용함에 따라, 후술하는 단계에서 라운딩 처리를 수행하였을 때, 앞선 예에서의 결과값과 거의 같은 결과를 얻을 수 있다.
전자 장치(200)는 수신된 동형 암호문을 복호화하지 않고, 암호문 상태로 저장할 수 있다.
서버 장치(300)는 동형 암호문에 대한 특정 처리 결과를 전자 장치(200)로 요청할 수 있다. 전자 장치(200)는 서버 장치(300)의 요청에 따라 특정 연산을 수행한 후, 그 결과를 서버 장치(300)로 전송할 수 있다.
일 예로, 두 개의 단말 장치(100-1, 100-2)가 전송한 암호문 ct1, ct2가 전자 장치(200)에 저장된 경우, 서버 장치(300)는 두 단말 장치(100-1, 100-2)로부터 제공된 정보들을 합산한 값을 전자 장치(200)로 요청할 수 있다. 전자 장치(200)는 요청에 따라 두 암호문을 합산하는 연산을 수행한 후, 그 결과 값(ct1 + ct2)을 서버 장치(300)로 전송할 수 있다. 이에 한정되는 것은 아니며, 전자 장치(200)는 요청에 따라 두 암호문을 곱하는 연산을 수행한 후, 그 결과값(ct1 * ct2)을 서버 장치(300)로 전송할 수 있다.
동형 암호문의 성질상, 전자 장치(200)는 복호화를 하지 않은 상태에서 연산을 수행할 수 있고, 그 결과 값도 암호문 형태가 될 수 있다. 이때, 전자 장치(200)는 연산 결과에 대한 부트 스트래핑을 수행할 수 있다.
전자 장치(200)는 연산 결과 암호문을 서버 장치(300)로 전송할 수 있다. 서버 장치(300)는 수신된 연산 결과 암호문을 복호화하여, 각 동형 암호문들에 포함된 데이터들의 연산 결과값을 획득할 수 있다. 그리고 전자 장치(200)는 사용자 요청에 따라 연산을 수차례 수행할 수 있다.
한편, 도 1에서는 제1 단말 장치(100-1) 및 제2 단말 장치(100-2)에서 암호화를 수행하고, 전자 장치(200)에서 동형 암호문에 대한 연산을 수행하고, 서버 장치(300)가 복호화를 수행하는 경우를 도시하였으나, 이에 한정되는 것은 아니다. 일 예로, 전자 장치(200)에서 암호화, 연산 및 복호화를 수행할 수도 있다.
도 2는 본 개시의 일 실시 예에 따른 전자 장치의 구성을 나타낸 블럭도이다.
도 2를 참조하면, 전자 장치(200)는 메모리(210), 프로세서(220)를 포함할 수 있다. 이러한 전자 장치(200)는 다양한 형태의 장치로 구현될 수 있으며, PC(Personal computer), 노트북, 서버 등 다양한 장치일 수 있다.
메모리(210)에는 전자 장치(200)에 관한 적어도 하나의 인스트럭션(instruction)이 저장될 수 있다. 예를 들어, 메모리(210)에는 본 개시의 다양한 실시 예에 따라 전자 장치(200)가 동작하기 위한 각종 프로그램(또는 소프트웨어)이 저장될 수 있다.
이러한 메모리(210)는 RAM 이나 ROM, Buffer, 캐쉬(Cache), 플래시 메모리, HDD, 외장 메모리, 메모리 카드 등과 같은 다양한 형태로 구현될 수 있으며, 어느 하나로 한정되는 것은 아니다.
메모리(210)는 암호화할 메시지를 저장할 수 있다. 여기서 메시지는 사용자가 각종 인용한 각종 신용 정보, 개인 정보 등일 수 있으며, 단말 장치(100)에서 사용되는 위치 정보, 인터넷 사용 시간 정보 등 사용 이력 등과 관련된 정보일 수도 있다.
그리고 메모리(210)는 공개 키를 저장할 수 있으며, 전자 장치(200)가 직접 공개 키를 생성한 경우, 비밀 키뿐만 아니라, 공개 키 및 비밀 키 생성에 필요한 각종 파라미터를 저장할 수 있다.
그리고 메모리(210)는 후술한 과정에서 생성된 동형 암호문을 저장할 수 있다. 그리고 메모리(210)는 외부 장치에서 전송한 동형 암호문을 저장할 수도 있다. 또한, 메모리(210)는 후술하는 연산 과정에서의 결과물인 연산 결과 암호문을 저장할 수도 있다.
한편, 메모리(210)는 곱셈 연산 가능 횟수를 포함하는 동형 암호문 및 재부팅 임계값을 저장할 수 있다. 곱셈 연산 가능 횟수는 동형 암호문에 대해 곱셈 연산을 수행할 수 있는 횟수를 의미하며, 재부팅 임계값은 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수에 따라 재부팅을 수행해야 하는 임계값을 의미한다.
곱셈 연산 가능 횟수 및 재부팅 임계값에 대해서는 후술할 연산이 수행된 동형 암호문에 대한 라운딩 처리에서 설명한다.
프로세서(220)는 전자 장치(200)의 전반적인 동작을 제어한다. 예를 들어, 프로세서(220)는 메모리(210)에 저장된 적어도 하나의 인스트럭션을 실행함으로써 전자 장치(200)의 동작을 전반적으로 제어할 수 있다. 이러한 프로세서(220)는 CPU(central processing unit), ASIC(application-specific integrated circuit)과 같은 단일 장치로 구성될 수 있으며, CPU, GPU(Graphics Processing Unit) 등의 복수의 구성으로 구성될 수도 있다.
프로세서(220)는 전송하고자 하는 메시지가 입력되면 메모리(210)에 저장할 수 있다. 그리고 프로세서(220)는 메모리(210)에 저장된 각종 설정 값 및 프로그램을 이용하여, 메시지를 동형 암호화할 수 있다. 이 경우, 공개 키가 사용될 수 있다.
프로세서(220)는 암호화를 수행하는데 필요한 공개 키를 자체적으로 생성하여 사용할 수도 있고, 외부 장치로부터 수신하여 사용할 수도 있다. 일 예로, 복호화를 수행하는 서버 장치(300)가 공개 키를 다른 장치들에게 배포할 수 있다.
자체적으로 키를 생성하는 경우, 프로세서(220)는 Ring-LWE 기법을 이용하여 공개 키를 생성할 수 있다. 예를 들면, 프로세서(220)는 먼저 각종 파라미터 및 링을 설정하여, 메모리(210)에 저장할 수 있다. 파라미터의 예로는 평문 메시지 비트의 길이, 공개 키 및 비밀 키의 크기 등이 있을 수 있다.
링은 다음과 같은 수학식 2로 표현될 수 있다.
[수학식 2]
Figure pat00002
여기서 R은 링, Zq는 계수, f(x)는 n차 다항식이다.
링(Ring)이란 기설정된 계수를 가지는 다항식의 집합으로, 원소들 사이에 덧셈과 곱셈이 정의되어 있으며 덧셈과 곱셈에 대해서 닫혀 있는 집합을 의미한다. 이러한 링은 환으로 지칭될 수 있다.
일 예로, 링은 계수가 Zq인 n차 다항식의 집합을 의미한다. 예를 들어, n이 Φ(N)일 때, N차 사이클로토믹 다항식 (N-th cyclotomic polynomial)을 의미할 수 있다. (f(x))란 f(x)로 생성되는 Zq[x]의 이데알(ideal)을 나타낸다. Euler totient 함수 Φ(N)이란 N과 서로 소이고 N보다 작은 자연수의 개수를 의미한다. ΦN(x)를 N차 사이클로토믹 다항식으로 정의하면, 링은 다음과 같은 수학식 3으로도 표현될 수 있다. 여기서 N은 217이 이용될 수 있다.
[수학식 3]
Figure pat00003
비밀 키(sk)는 다음과 같이 표현될 수 있다.
한편, 상술한 수학식 3의 링은 평문 공간에서 복소수를 갖는다. 한편, 동형 암호문에 대한 연산 속도를 향상하기 위하여, 상술한 링의 집합 중 평문 공간이 실수인 집합만을 이용할 수도 있다.
이와 같은 링이 설정되면, 프로세서(120)는 링으로부터 비밀 키(sk)를 산출할 수 있다.
[수학식 4]
sk ← (1, s(x)), s(x) ∈ R
여기서, s(x)는 작은 계수로 랜덤하게 생성한 다항식을 의미한다.
그리고 프로세서(120)는 링으로부터 제1 랜덤 다항식(a(x))을 산출할 수 있다. 제1 랜덤 다항식은 다음과 같이 표현될 수 있다.
[수학식 5]
a(x) ← R
또한, 프로세서(120)는 에러를 산출할 수 있다. 예를 들어, 프로세서(120)는 이산 가우시안 분포 또는 그와 통계적 거리가 가까운 분포로부터 에러를 추출할 수 있다. 이러한 에러는 다음과 같이 표현될 수 있다.
[수학식 6]
e(x) ←Dn αq
에러까지 산출되면, 프로세서(120)는 제1 랜덤 다항식 및 비밀 키에 에러를 모듈러 연산하여 제2 랜덤 다항식을 산출할 수 있다. 제2 랜덤 다항식은 다음과 같이 표현될 수 있다.
[수학식 7]
b(x) = -a(x)s(x) + e(x)(mod q)
최종적으로 공개 키(pk)는 제1 랜덤 다항식 및 제2 랜덤 다항식을 포함하는 형태로 다음과 같이 설정된다.
[수학식 8]
pk = (b(x), a(x))
상술한 키 생성 방법은 일 예에 불과하므로, 반드시 이에 한정되는 것은 아니며, 이 밖에 다른 방법으로 공개 키 및 비밀 키를 생성할 수도 있음은 물론이다.
한편, 프로세서(220)는 공개 키가 생성되면, 다른 장치들에 전송되도록 후술할 통신 장치(230)를 제어할 수 있다.
그리고 프로세서(220)는 메시지에 대한 동형 암호문을 생성할 수 있다. 예를 들어, 프로세서(220)는 메시지에 대해서 앞서 생성된 공개 키를 적용하여 동형 암호문을 생성할 수 있다.
생성된 동형 암호문은 복호화하였을 때 메시지에 스케일링 팩터를 반영한 값에 에러를 더한 결과값으로 복원되는 형태가 될 수 있다. 스케일링 팩터는 사전에 입력되어 설정된 값을 그대로 사용할 수도 있다.
또는, 프로세서(220)는 메시지 및 스케일링 팩터를 승산한 상태에서 바로 공개 키를 이용하여 암호화할 수도 있다. 이 경우, 암호화 과정에서 산출되는 에러가 메시지 및 스케일링 팩터를 승산한 결과값에 가산될 수 있다.
또한, 프로세서(220)는 암호문의 길이를 스케일링 팩터의 크기에 대응되도록 생성할 수 있다.
또한, 프로세서(220)는 생성된 동형 암호문에 곱셈 연산 가능 횟수를 포함시킬 수 있다. 곱셈 연산 가능 횟수는 메모리(210)에 저장된 파라미터에 기초하여 결정될 수 있다. 파라미터의 예로는 평문 메시지 비트의 길이, 공개 키 및 비밀 키의 크기 등을 포함하며, 곱셈 연산 가능 횟수의 결정은 후술할 라운딩 처리에서 설명한다.
프로세서(220)는 동형 암호문이 생성되면 메모리(210)에 저장하거나, 사용자 요청 또는 기설정된 디폴트 명령에 따라 동형 암호문을 다른 장치에 전송하도록 후술할 통신 장치(230)를 제어할 수 있다.
프로세서(220)는 동형 암호문에 대한 복호화가 필요한 경우, 동형 암호문에 비밀 키를 적용하여 다항식 형태의 복호문을 생성하고, 다항식 형태의 복호문을 디코딩하여 메시지를 생성할 수 있다. 이때 생성한 메시지는 앞서 설명한 수학식 1에서 언급한 바와 같이 에러를 포함할 수 있다.
도 3은 본 개시의 일 실시 예에 따른 전자 장치의 구체적인 구성을 도시한 블록도이다.
도 3을 참조하면, 전자 장치(200)는 통신 장치(230)를 더 포함할 수 있다.
통신 장치(230)는 전자 장치(200)를 외부 장치와 연결하기 위해 형성되고, 근거리 통신망(LAN: Local Area Network) 및 인터넷망을 통해 외부 장치에 접속되는 형태뿐만 아니라, USB(Universal Serial Bus) 포트 또는 무선 통신(예를 들어, WiFi 802.11a/b/g/n, NFC, Bluetooth) 포트를 통하여 접속되는 형태도 가능하다. 이러한 통신 장치(230)는 송수신부(transceiver)로 지칭될 수도 있다.
통신 장치(230)는 공개 키를 외부 장치로부터 수신할 수 있으며, 전자 장치(200) 자체적으로 생성한 공개 키를 외부 장치로 전송할 수 있다. 그리고 통신 장치(230)는 외부 장치로부터 메시지를 수신할 수 있으며, 생성한 동형 암호문 또는 연산 결과를 외부 장치로 송신할 수 있다. 또한, 통신 장치(230)는 암호문 생성에 필요한 각종 파라미터를 외부 장치로부터 수신할 수 있다. 한편, 구현시에 각종 파라미터는 사용자로부터 직접 입력받을 수도 있다.
또한, 통신 장치(230)는 외부 장치로부터 동형 암호문에 대한 연산을 요청받을 수 있으며, 그에 따라 계산된 결과를 외부 장치에 전송할 수 있다. 여기서 요청받은 연산은 덧셈, 뺄셈, 곱셈(예를 들어, 모듈러 곱셈 연산)과 같은 연산일 수 있다. 여기서 모듈러 곱셈 연산이란 q 원소로 모듈(modular) 연산하는 것을 의미한다.
한편, 프로세서(220)는 암호문에 대해 연산을 수행할 수 있다. 예를 들어, 프로세서(220)는 동형 암호문에 대해서 암호화된 상태를 유지한 상태에서 덧셈, 뺄셈, 또는 곱셈 등의 연산을 수행할 수 있다.
프로세서(220)는 연산이 완료되면, 연산 결과 데이터로부터 유효 영역의 데이터를 검출할 수 있다. 예를 들어, 전자 장치(200)는 곱셈 연산 결과 데이터를 라운딩 처리를 수행하여 유효 영역의 데이터를 검출할 수 있다.
여기서, 라운딩 처리란 암호화된 상태에서 메시지의 반올림(round-off)을 진행하는 것을 의미하며, 다르게는 리스케일링(rescaling)이라고 할 수도 있다. 예를 들어, 프로세서(220)는 연산이 수행된 동형 암호문 각각의 성분에 스케일링 인수의 역수인 Δ-1을 곱하고 반올림하여, 노이즈 영역을 제거할 수 있다. 노이즈 영역은 스케일링 팩터의 크기에 대응되도록 결정될 수 있다. 결과적으로 노이즈 영역이 제외된 유효 영역의 메시지를 검출할 수 있다. 암호화 상태에서 진행되므로 추가적인 에러가 발생하지만 크기는 충분히 작으므로 무시할 수 있다.
그리고 상술한 라운딩 처리는 상술한 바와 같은 모듈러 곱셈 연산이 이용될 수 있다.
한편, 상술한 바와 같이 라운딩 처리는 암호문의 각각의 성분에 스케일링 인수의 역수를 곱하는 바, 암호문의 크기는 곱셈 연산을 수행하며 점점 작아지게 된다.
이에 따라, 프로세서(220)는 연산 결과 암호문 내의 근사 메시지 비중이 임계치를 초과하면, 연산 결과 암호문의 평문 공간을 확장할 수 있다. 예를 들어, 상술한 수학식 1에서 q가 M보다 작다면 M+e(mod q)는 M+e와 다른 값을 가지므로 복호화가 불가능해진다. 따라서, q 값은 항상 M보다 크게 유지되어야 한다. 하지만, 연산이 진행됨에 따라 q 값은 점차 감소하게 된다. 평문 공간의 확장이란 암호문 ct를 더 큰 모듈러스(modulus)를 가지는 암호문으로 변화시키는 것을 의미한다. 평문 공간을 확장하는 동작은 다르게는 재부팅(rebooting)이라 할 수도 있다. 재부팅을 수행함에 따라, 암호문은 다시 연산이 가능한 상태가 될 수 있다.
그러나 재부팅은 많은 시간이 소요된다. 이에 따라 재부팅을 자주 수행하면 연산 속도가 느려지게 된다. 그러나 재부팅을 수행하지 않는 경우 동형 암호문은 복호화가 불가능한 상태가 되므로, 재부팅은 적절한 시점에 수행되어야 한다.
이에 따라, 프로세서(220)는 메시지를 동형 암호화 하면서 곱셈 연산 가능 횟수를 동형 암호문에 포함시킬 수 있다. 곱셈 연산 가능 횟수는 동형 암호문의 재부팅이 수행되어야 하기까지 곱셈 연산을 수행할 수 있는 횟수를 의미한다.
곱셈 연산 가능 횟수는 동형 암호문의 생성에 사용된 파라미터에 기초하여 결정될 수 있다. 일 예로, 스케일링 인수에 대한 모듈러스의 크기가 클수록 라운딩을 수행하며 더 작은 스케일링 인수의 역수를 곱하는 바 곱셈 연산을 수행하여도 암호문의 크기가 감소하는 양은 작을 수 있다. 이에 따라, 스케일링 인수에 대한 모듈러스의 크기가 클수록 곱셈 연산 수행 횟수는 커질 수 있다. 한편, 스케일링 인수와 모듈러스의 비율이 동일하여도 평문 메시지의 크기가 크면 모듈러스 값이 평문 메시지의 값에 더 빠르게 가까워지므로 곱셈 연산 가능 횟수는 작아질 수 있다.
곱셈 연산 가능 횟수를 결정하기 위해 메모리(210)에는 동형 암호문 생성에 사용된 파라미터의 값 별로 대응되는 곱셈 연산 가능 횟수를 저장할 수 있다. 이에 따라, 프로세서(220)는 동형 암호문 생성 시 파라미터의 값에 대응되는 곱셈 연산 가능 횟수를 결정하여 동형 암호문에 포함시킬 수 있다.
한편, 상술한 내용으로는 전자 장치(200)의 메모리(210)에 동형 암호문 생성에 사용된 파라미터가 저장되어 이를 기초로 동형 암호문 생성 시 곱셈 연산 가능 횟수를 동형 암호문에 포함시키는 것으로 설명하였으나, 이에 한정되는 것은 아니다.
일 예로, 단말 장치(100)에서 메시지에 대한 동형 암호문을 생성하고, 전자 장치(200)가 이를 수신할 수도 있다. 이 경우, 단말 장치(100)에서 동형 암호문을 생성할 때 파라미터의 값에 기초하여 곱셈 연산 가능 횟수를 동형 암호문에 포함한 후 전자 장치(200)로 전송할 수 있다.
또는, 전자 장치(200)가 곱셈 연산 가능 횟수가 포함되지 않은 동형 암호문을 수신한 경우, 외부 장치로부터 동형 암호문 생성에 사용된 파라미터의 값을 추가로 수신할 수 있다. 전자 장치(200)는 추가로 수신한 파라미터의 값을 기초로 수신한 동형 암호문의 곱셈 연산 가능 횟수를 결정하여 동형 암호문에 포함시킬 수도 있다.
한편, 메모리(210)는 재부팅 임계값을 저장할 수 있다. 재부팅 임계값은 프로세서(220)가 동형 암호문에 대한 재부팅 수행 여부를 결정하는 데 이용할 수 있다.
프로세서(220)는 동형 암호문에 대한 곱셈 연산 명령을 입력 받으면, 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 확인하고, 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 메모리(210)에 저장된 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 동형 암호문에 대한 재부팅을 먼저 수행할 수 있다. 프로세서(220)는 재부팅이 수행된 동형 암호문에 대해 곱셈 연산을 수행할 수 있다. 일 예로, 재부팅 임계값이 2 이고, 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 2인 경우, 프로세서(220)는 동형 암호문에 대한 재부팅을 먼저 수행하고, 이후 동형 암호문에 대한 곱셈 연산을 수행할 수 있다.
이에 따라, 프로세서(220)가 동형 암호문에 대한 연산을 수행함에 있어서, 동형 암호문에 대한 재부팅을 누락하여 동형 암호문이 손상되는 것을 방지할 수 있다.
프로세서(220)는 동형 암호문에 대한 재부팅이 수행되면, 재부팅이 수행된 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 초기값으로 설정할 수 있다. 곱셈 연산 가능 횟수의 초기값은 상술한 바와 같이 동형 암호문의 생성에 사용된 파라미터의 값에 기초하여 결정될 수 있다. 동형 암호문에 대한 재부팅 수행 후 곱셈 연산 가능 횟수가 초기값으로 설정되므로 프로세서(220)는 재부팅이 수행된 동형 암호문에 대한 연산을 추가로 수행할 수 있다.
프로세서(220)는 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 재부팅 임계값보다 크면, 동형 암호문에 대해 곱셈 연산을 먼저 수행하고, 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수에서 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감할 수 있다. 일 예로, 재부팅 임계값이 2이고, 곱셈 연산 가능 횟수가 4인 경우, 프로세서(220)는 동형 암호문에 대한 곱셈 연산을 수행하고, 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 3으로 설정할 수 있다.
한편, 프로세서(220)는 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수에서 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감한 수가 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행할 수 있다. 일 예로, 재부팅 임계값이 2이고, 곱셈 연산 가능 횟수가 3인 경우, 프로세서(220)가 동형 암호문에 대한 곱셈 연산을 수행하면 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문의 곱셈 연산 가능 횟수는 2가 되므로, 프로세서(220)는 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행할 수 있다. 이에 따라, 재부팅이 필요한 동형 암호문에 대해 사전에 재부팅을 수행할 수 있으므로, 이후 동형 암호문에 대한 연산에서 재부팅에 의한 연산 지연을 방지할 수 있는 효과가 있다.
상술한 바와 같이 프로세서(220)가 동형 암호문의 곱셈 연산 가능 횟수 및 재부팅 임계값에 기초하여 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행하는 바, 재부팅이 필요한 적절한 시점에 동형 암호문에 대한 재부팅을 자동으로 수행할 수 있는 바, 재부팅을 수행하지 않음으로써 발생하는 동형 암호문의 손상을 방지할 수 있다.
도 4는 본 개시의 일 실시 예에 따른 전자 장치의 동형 암호문 연산 방법을 설명하기 위한 흐름도이다.
도 4를 참조하면, 먼저 곱셈 연산 가능 횟수를 포함하는 동형 암호문 및 재부팅 임계값을 저장한다(S410). 그리고 동형 암호문에 대한 곱셈 연산 명령을 입력 받는다(S415). 이 경우, 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 확인한다(S420).
확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 재부팅 임계값보다 작거나 같으면(S425-Y), 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행한다(S430), 그리고 재부팅이 수행된 동형 암호문에 대해 곱셈 연산을 수행한다(S435).
곱셈 연산 가능 횟수 및 재부팅 임계값에 따른 재부팅 수행에 대한 내용은 상술한 부분에서 기재한 바 있으므로, 중복 설명은 생략한다.
한편, 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 재부팅 임계값보다 크면(S425-N), 동형 암호문에 대해 곱셈 연산을 수행한다(S440). 그리고 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행할 수 있다(S450).
한편, 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 재부팅 임계값보다 크면(S425-N), 동형 암호문에 대해 곱셈 연산을 먼저 수행한다(S440). 그리고, 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수에서 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감할 수 있다(S4445).
곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수에서 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감한 수가 재부팅 임계값보다 작거나 같으면(S450-Y), 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행할 수 있다(S455).
한편, 상술한 다양한 실시 예에 따른 시뮬레이션 방법은 각 단계들을 수행하기 위한 프로그램 코드 형태로 구현되어, 기록 매체에 저장되고 배포될 수도 있다. 이 경우, 기록 매체가 탑재된 장치는 상술한 동형 암호문의 연산 방법의 동작을 수행할 수 있다.
이러한 기록 매체는, ROM, RAM, 메모리 칩, 메모리 카드, 외장형 하드, 하드, CD, DVD, 자기 디스크 또는 자기 테이프 등과 같은 다양한 유형의 컴퓨터 판독 가능 매체가 될 수 있다.
이상 첨부 도면을 참고하여 본 개시에 대해서 설명하였지만 본 개시의 권리범위는 후술하는 특허청구범위에 의해 결정되며 전술한 실시 예 및/또는 도면에 제한되는 것으로 해석되어서는 안 된다. 그리고 특허청구범위에 기재된 개시의, 당업자에게 자명한 개량, 변경 및 수정도 본 개시의 권리범위에 포함된다는 점이 명백하게 이해되어야 한다.
100: 단말 장치 200: 전자 장치
300: 서버 장치 210: 메모리
220: 프로세서 230: 통신 장치

Claims (11)

  1. 전자 장치에 있어서,
    곱셈 연산 가능 횟수를 포함하는 동형 암호문 및 재부팅 임계값을 저장하는 메모리; 및
    프로세서;를 포함하며,
    상기 프로세서는,
    상기 동형 암호문에 대한 곱셈 연산 명령을 입력 받으면, 상기 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 확인하고, 상기 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 상기 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 상기 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행하고, 상기 재부팅이 수행된 동형 암호문에 대해 상기 곱셈 연산을 수행하는, 전자 장치.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 곱셈 연산 가능 횟수는,
    상기 동형 암호문의 생성 시 사용되는 파라미터의 값에 기초하여 결정되는, 전자 장치.
  3. 제1항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    상기 동형 암호문에 대한 재부팅이 수행되면, 상기 재부팅이 수행된 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 초기값으로 설정하는, 전자 장치.
  4. 제1항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    상기 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 상기 재부팅 임계값보다 크면, 상기 동형 암호문에 대해 상기 곱셈 연산을 수행하고, 상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 상기 곱셈 연산 가능 횟수에서 상기 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감하는, 전자 장치.
  5. 제4항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 상기 곱셈 연산 가능 횟수에서 상기 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감한 수가 상기 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행하는, 전자 장치.
  6. 전자 장치의 동형 암호문 연산 방법에 있어서,
    곱셈 연산 가능 횟수를 포함하는 동형 암호문 및 재부팅 임계값을 저장하는 단계;
    동형 암호문에 대한 곱셈 연산 명령을 입력 받는 단계;
    상기 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 확인하는 단계;
    상기 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 상기 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 상기 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행하는 단계; 및
    상기 재부팅이 수행된 동형 암호문에 대해 상기 곱셈 연산을 수행하는 단계;를 포함하는, 연산 방법.
  7. 제6항에 있어서,
    상기 곱셈 연산 가능 횟수는,
    상기 동형 암호문의 생성 시 사용되는 파라미터의 값에 기초하여 결정되는, 연산 방법.
  8. 제6항에 있어서,
    상기 동형 암호문에 대한 재부팅이 수행되면, 상기 재부팅이 수행된 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 초기값으로 설정하는 단계;를 더 포함하는, 연산 방법.
  9. 제6항에 있어서,
    상기 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 상기 재부팅 임계값보다 크면, 상기 동형 암호문에 대해 상기 곱셈 연산을 수행하는 단계; 및
    상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 상기 곱셈 연산 가능 횟수에서 상기 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감하는 단계;를 더 포함하는, 연산 방법.
  10. 제9항에 있어서,
    상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 포함된 상기 곱셈 연산 가능 횟수에서 상기 곱셈 연산을 수행한 횟수를 차감한 수가 상기 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 상기 곱셈 연산이 수행된 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행하는 단계;를 더 포함하는, 연산 방법.
  11. 전자 장치의 동형 암호문 연산 방법을 실행하기 위한 프로그램을 포함하는 컴퓨터 판독가능 기록매체에 있어서,
    상기 연산 방법은,
    곱셈 연산 가능 횟수를 포함하는 동형 암호문 및 재부팅 임계값을 저장하는 단계;
    동형 암호문에 대한 곱셈 연산 명령을 입력 받는 단계;
    상기 동형 암호문에 포함된 곱셈 연산 가능 횟수를 확인하는 단계;
    상기 확인한 곱셈 연산 가능 횟수가 상기 재부팅 임계값보다 작거나 같으면, 상기 동형 암호문에 대한 재부팅을 수행하는 단계; 및
    상기 재부팅이 수행된 동형 암호문에 대해 상기 곱셈 연산을 수행하는 단계;를 포함하는, 기록매체.
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