KR20230149708A - 동형 암호문에 대한 재부팅 연산을 수행하는 장치 및 방법 - Google Patents

Abstract

암호문 처리 방법이 개시된다. 본 암호문 처리 방법은 에러를 포함하는 근사 메시지에 대한 동형 암호문에 대한 연산을 수행하는 단계, 연산에 의해 획득된 연산 결과 암호문 내의 근사 메시지 비중이 임계치를 초과하면, 연산 결과 암호문의 평문 공간을 확장하는 단계를 포함하고, 평문 공간을 확장하는 단계는, 연산 결과 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제1 중간 암호문을 생성하는 단계, 연산 결과 암호문과 제1 중간 암호문 간의 감산 연산 결과에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제2 중간 암호문을 생성하는 단계, 및 제1 중간 암호문에 제2 중간 암호문의 감산 연산을 수행하여 평문 공간이 확장된 동형 암호문을 생성하는 단계를 포함한다.

Description

동형 암호문에 대한 재부팅 연산을 수행하는 장치 및 방법{APPARATUS FOR BOOTSTRAP PROCESSING HOMOMORPHIC ENCRYPTED MESSAGES AND METHODS THEREOF}

본 개시는 동형 암호문에 대한 재부팅 방법을 효율적으로 수행하기 위한 장치 및 방법에 대한 것이다.

통신 기술이 발달하고, 전자 장치의 보급이 활발해짐에 따라, 전자 장치 간의 통신 보안을 유지하기 위한 노력이 지속적으로 이루어지고 있다. 이에 따라, 대부분의 통신 환경에서는 암호화/복호화 기술이 사용되고 있다.

암호화 기술에 의해 암호화된 메시지가 상대방에게 전달되면, 상대방은 메시지를 이용하기 위해서는 복호화를 수행하여야 한다. 이 경우, 상대방은 암호화된 데이터를 복호화하는 과정에서 자원 및 시간 낭비가 발생하게 된다. 또한, 상대방이 연산을 위해 일시적으로 메시지를 복호화한 상태에서 제3자의 해킹이 이루어지는 경우, 그 메시지가 제3자에게 손쉽게 유출될 수 있다는 문제점도 있었다.

이러한 문제를 해결하기 위하여 동형 암호화 방법이 연구되고 있다. 동형 암호화(homomorphic encryption)에 따르면, 암호화된 정보를 복호화하지 않고 암호문 자체에서 연산을 하더라도, 평문에 대해 연산한 후 암호화한 값과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 따라서, 암호문을 복호화하지 않은 상태에서 각종 연산을 수행할 수 있다.

하지만, 동형 곱셈과 같은 동형 연산을 수행하게 되면, 동형 암호문 내의 평문 공간이 감소하게 되고, 평문 공간이 일정 크기 이하로 줄어들게 되면 더 이상 연산이 불가능해 진다. 이러한 점에서, 최근에는 동형 암호문의 평문 공간을 확장할 수 있는 재부팅 방법이 이용되고 있다.

그러나 기존의 재부팅 방법은 스케일링 팩터의 반영 과정에서 에러로 같이 증폭되어 계산 정확도가 변경될 수 있는 문제점이 있었다는 점에서, 계산 정확도가 높은 재부팅 방법이 요구되었다.

따라서 본 개시는 상술한 바와 같은 문제점을 해결하기 위한 고안된 것으로, 동형 암호문에 대한 재부팅 연산을 효율적으로 수행하기 위한 장치 및 방법을 제공하는 데 있다.

본 개시는 이상과 같은 목적을 달성하기 위한 것으로, 본 개시의 일 실시 예에 따른 동형 암호문 처리방법은 에러를 포함하는 근사 메시지에 대한 동형 암호문에 대한 연산을 수행하는 단계, 및 연산에 의해 획득된 연산 결과 암호문 내의 근사 메시지 비중이 임계치를 초과하면, 상기 연산 결과 암호문의 평문 공간을 확장하는 단계를 포함하고, 상기 평문 공간을 확장하는 단계는, 상기 연산 결과 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제1 중간 암호문을 생성하는 단계, 상기 연산 결과 암호문과 상기 제1 중간 암호문 간의 감산 연산 결과에 대해서 상기 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제2 중간 암호문을 생성하는 단계, 상기 제1 중간 암호문에 상기 제2 중간 암호문의 감산 연산을 수행하여 평문 공간이 확장된 동형 암호문을 생성하는 단계를 포함한다.

이 경우, 상기 제1 중간 암호문을 생성하는 단계는, 상기 연산 결과 암호문의 기설정된 범위를 갖도록 스케일링 팩터를 반영하고, 스케일링 팩터가 반영된 연산 결과 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하고, 상기 기설정된 재부팅 연산이 적용된 결과에 상기 스케일링 팩터를 반영하여 상기 제1 중간 암호문을 생성할 수 있다.

이 경우, 상기 기설정된 범위는, [-1, 1]일 수 있다.

한편, 상기 기설정된 범위는 [-2^(k-1)n, 2^(k-1)n]이고, 여기서 k는 평문 공간을 확장하는 단계의 반복 횟수, n은 정밀도일 수 있다.

한편, 상기 기설정된 재부팅 연산은, 동형 암호문의 모듈러스를 확장하는 단계, 상기 모듈러스가 확장된 동형 암호문을 다항식 형태로 선형 변환하는 단계, 다항식 형태로 변환된 동형 암호문을 기설정된 범위 내의 입력 값들이 정수점에 근사하도록 설정된 다차 방정식을 이용하여 근사 모듈러스 연산하는 단계, 상기 근사 모듈러스 연산된 결과를 동형 암호문의 형태로 선형 변환하는 단계를 포함할 수 있다.

한편, 상기 기설정된 재부팅 연산은, 상기 동형 암호문을 다항식 형태로 선형 변환하는 단계, 상기 다항식 형태로 선형 변환된 동형 암호문의 모듈러스를 확장하는 단계, 상기 모듈러스가 확장된 결과에 근사 모듈러스 연산하는 단계, 상기 근사 모듈러스 연산된 결과를 동형 암호문의 형태로 선형 변환하는 단계를 포함할 수 있다.

한편, 본 개시의 일 실시 예에 따른 연산 장치는 에러를 포함하는 근사 메시지에 대한 동형 암호문을 저장하는 메모리, 및 상기 동형 암호문에 대한 연산을 수행하는 프로세서를 포함하며, 상기 프로세서는, 상기 동형 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제1 중간 암호문을 생성하고, 상기 연산 결과 암호문과 상기 제1 중간 암호문 간의 감산 연산 결과에 대해서 상기 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제2 중간 암호문을 생성하고, 상기 제1 중간 암호문에 상기 제2 중간 암호문의 감산 연산을 수행하여 평문 공간이 확장된 동형 암호문을 생성한다.

이 경우, 상기 프로세서는 상기 연산 결과 암호문의 기설정된 범위를 갖도록 스케일링 팩터를 반영하고, 스케일링 팩터가 반영된 연산 결과 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하고, 상기 기설정된 재부팅 연산이 적용된 결과에 상기 스케일링 팩터를 반영하여 상기 제1 중간 암호문을 생성할 수 있다.

이 경우, 상기 기설정된 범위는, [-1, 1]일 수 있다.

한편, 상기 기설정된 범위는 [-2^(k-1)n, 2^(k-1)n]이고, 여기서 k는 평문 공간을 확장하는 단계의 반복 횟수, n은 정밀도일 수 있다.

한편, 상기 프로세서는 동형 암호문의 모듈러스를 확장하고, 상기 모듈러스가 확장된 동형 암호문을 다항식 형태로 선형 변환하고, 다항식 형태로 변환된 동형 암호문을 기설정된 범위 내의 입력 값들이 정수점에 근사하도록 설정된 다차 방정식을 이용하여 근사 모듈러스 연산하고, 상기 근사 모듈러스 연산된 결과를 동형 암호문의 형태로 선형 변환하여 상기 기설정된 재부팅 연산을 수행할 수 있다.

한편, 상기 프로세서는 상기 동형 암호문을 다항식 형태로 선형 변환하고, 상기 다항식 형태로 선형 변환된 동형 암호문의 모듈러스를 확장하고, 상기 모듈러스가 확장된 결과에 근사 모듈러스 연산하고, 상기 근사 모듈러스 연산된 결과를 동형 암호문의 형태로 선형 변환하여 상기 기설정된 재부팅 연산을 수행할 수 있다.

이상과 같은 본 개시의 다양한 실시 예들에 따르면, 기존보다 높은 정확도를 유지한 상태로 재부팅 동작을 수행할 수 있다.

도 1은 본 개시의 일 실시 예에 따른 네트워크 시스템의 구조를 설명하기 위한 도면,
도 2는 본 개시의 일 실시 예에 따른 연산 장치의 구성을 나타낸 블럭도,
도 3은 재부팅 동작을 설명하기 위한 도면,
도 4는 본 개시의 재부팅 동작을 설명하기 위한 도면,
도 5는 본 개시에 따른 동형 암호문 처리 방법을 설명하기 위한 흐름도,
도 6은 본 개시의 재부팅 동작을 설명하기 위한 흐름도,
도 7은 본 개시의 평문 공간을 확장하는 동작을 설명하기 위한 흐름도,
도 8은 본 개시의 제1 실시 예에 따른 재부팅 동작의 알고리즘을 도시한 도면,
도 9는 본 개시의 제2 실시 예에 따른 재부팅 동작의 알고리즘을 도시한 도면, 그리고,
도 10 및 도 11은 재부팅 동작에 의한 정밀도의 변화를 설명하기 위한 도면이다.

이하에서는 첨부 도면을 참조하여 본 개시에 대해서 자세하게 설명한다. 본 개시에서 수행되는 정보(데이터) 전송 과정은 필요에 따라서 암호화/복호화가 적용될 수 있으며, 본 개시 및 특허청구범위에서 정보(데이터) 전송 과정을 설명하는 표현은 별도로 언급되지 않더라도 모두 암호화/복호화하는 경우도 포함하는 것으로 해석되어야 한다. 본 개시에서 "A로부터 B로 전송(전달)" 또는 "A가 B로부터 수신"과 같은 형태의 표현은 중간에 다른 매개체가 포함되어 전송(전달) 또는 수신되는 것도 포함하며, 반드시 A로부터 B까지 직접 전송(전달) 또는 수신되는 것만을 표현하는 것은 아니다.

본 개시의 설명에 있어서 각 단계의 순서는 선행 단계가 논리적 및 시간적으로 반드시 후행 단계에 앞서서 수행되어야 하는 경우가 아니라면 각 단계의 순서는 비제한적으로 이해되어야 한다. 즉, 위와 같은 예외적인 경우를 제외하고는 후행 단계로 설명된 과정이 선행단계로 설명된 과정보다 앞서서 수행되더라도 개시의 본질에는 영향이 없으며 권리범위 역시 단계의 순서에 관계없이 정의되어야 한다. 그리고 본 명세서에서 "A 또는 B"라고 기재한 것은 A와 B 중 어느 하나를 선택적으로 가리키는 것뿐만 아니라 A와 B 모두를 포함하는 것도 의미하는 것으로 정의된다. 또한, 본 개시에서 "포함"이라는 용어는 포함하는 것으로 나열된 요소 이외에 추가로 다른 구성요소를 더 포함하는 것도 포괄하는 의미를 가진다.

본 개시에서는 본 개시의 설명에 필요한 필수적인 구성요소만을 설명하며, 본 개시의 본질과 관계가 없는 구성요소는 언급하지 아니한다. 그리고 언급되는 구성요소만을 포함하는 배타적인 의미로 해석되어서는 안 되며 다른 구성요소도 포함할 수 있는 비배타적인 의미로 해석되어야 한다.

그리고 본 개시에서 "값"이라 함은 스칼라값뿐만 아니라 벡터도 포함하는 개념으로 정의된다. 그리고 본 개시에서 '산출한다', '계산한다.' 등의 표현은 해당 산출 또는 계산의 결과물을 생성한다는 표현으로 대체될 수 있다. 또한, 별도의 언급이 없다면, 후술하는 암호문에 대한 연산은 동형 연산을 의미한다. 예를 들어, 동형 암호문에 대한 덧셈은 두 동형 암호문에 대한 동형 덧셈을 의미한다.

후술하는 본 개시의 각 단계의 수학적 연산 및 산출은 해당 연산 또는 산출을 하기 위해 공지되어 있는 코딩 방법 및/또는 본 개시에 적합하게 고안된 코딩에 의해서 컴퓨터 연산으로 구현될 수 있다.

이하에서 설명하는 구체적인 수학식은 가능한 여러 대안 중에서 예시적으로 설명되는 것이며, 본 개시의 권리 범위가 본 개시에 언급된 수학식에 제한되는 것으로 해석되어서는 아니된다.

설명의 편의를 위해서, 본 개시에서는 다음과 같이 표기를 정하기로 한다.

a ← D : 분포(D)에 따라서 원소(a)를 선택함

s1, s2 ∈ R : S1, S2 : S1, S2 각각은 R 집합에 속하는 원소이다.

mod(q) : q 원소로 모듈(modular) 연산

: 내부 값을 반올림함

이하에서는 첨부된 도면을 이용하여 본 개시의 다양한 실시 예들에 대하여 구체적으로 설명한다.

도 1은 본 개시의 일 실시 예에 따른 네트워크 시스템의 구조를 설명하기 위한 도면이다.

도 1을 참조하면, 네트워크 시스템은 복수의 전자 장치(100-1 ~ 100-n), 제1 서버 장치(200), 제2 서버 장치(300)를 포함할 수 있으며, 각 구성들은 네트워크(10)를 통해 서로 연결될 수 있다.

네트워크(10)는 다양한 형태의 유무선 통신 네트워크, 방송 통신 네트워크, 광통신 네트워크, 클라우드 네트워크 등으로 구현될 수 있으며, 각 장치들은 별도의 매개체 없이 와이파이, 블루투스, NFC(Near Field Communication) 등과 같은 방식으로 연결될 수도 있다.

도 1에서는 전자 장치가 복수 개(100-1 ~ 100-n)인 것으로 도시하였으나, 반드시 복수 개의 전자 장치가 사용되어야 하는 것은 아니며 하나의 장치가 사용될 수도 있다. 일 예로, 전자 장치(100-1 ~ 100-n)는 스마트폰, 태블릿, 게임 플레이어, PC, 랩톱 PC, 홈서버, 키오스크 등과 같은 다양한 형태의 장치로 구현될 수 있으며, 이밖에 IoT 기능이 적용된 가전 제품 형태로도 구현될 수 있다.

사용자는 자신이 사용하는 전자 장치(100-1 ~ 100-n)를 통해서 다양한 정보를 입력할 수 있다. 입력된 정보는 전자 장치(100-1 ~ 100-n) 자체에 저장될 수도 있지만, 저장 용량 및 보안 등을 이유로 외부 장치로 전송되어 저장될 수도 있다. 도 1에서 제1 서버 장치(200)는 이러한 정보들을 저장하는 역할을 수행하고, 제2 서버 장치(300)는 제1 서버 장치(200)에 저장된 정보의 일부 또는 전부를 이용하는 역할을 수행할 수 있다.

각 전자 장치(100-1 ~ 100-n)는 입력된 정보를 동형 암호화하여, 동형 암호문을 제1 서버 장치(200)로 전송할 수 있다.

각 전자 장치(100-1 ~ 100-n)는 동형 암호화를 수행하는 과정에서 산출되는 암호화 노이즈, 즉, 에러를 암호문에 포함시킬 수 있다. 구체적으로는, 각 전자 장치(100-1 ~ 100-n)에서 생성하는 동형 암호문은, 추후에 비밀키를 이용하여 복호화하였을 때 메시지 및 에러 값을 포함하는 결과 값이 복원되는 형태로 생성될 수 있다.

일 예로, 전자 장치(100-1 ~ 100-n)에서 생성하는 동형 암호문은 비밀키를 이용하여 복호화 하였을 때 다음과 같은 성질을 만족하는 형태로 생성될 수 있다.

[수학식 1]

Dec(ct, sk) = <ct, sk> = M+e(mod q)

여기서 < , >는 내적 연산(usual inner product), ct는 암호문, sk는 비밀키, M은 평문 메시지, e는 암호화 에러 값, mod q는 암호문의 모듈러스(Modulus)를 의미한다. q는 스케일링 팩터(scaling factor)(Δ)가 메시지에 곱해진 결과 값 M보다 크게 선택되어야 한다. 에러 값 e의 절대값이 M에 비해서 충분히 작다면, 암호문의 복호화 값 M+e 는 유효숫자연산에서 원래의 메시지를 동일한 정밀도로 대체할 수 있는 값이다. 복호화된 데이터 중에서 에러는 최하위 비트(LSB) 측에 배치되고, M은 차하위 비트 측에 배치될 수 있다.

메시지의 크기가 너무 작거나 너무 큰 경우, 스케일링 팩터를 이용하여 그 크기를 조절할 수도 있다. 스케일링 팩터를 사용하게 되면, 정수 형태의 메시지뿐만 아니라 실수 형태의 메시지까지도 암호화할 수 있게 되므로, 활용성이 크게 증대할 수 있다. 또한, 스케일링 팩터를 이용하여 메시지의 크기를 조절함으로써, 연산이 이루어지고 난 이후의 암호문에서 메시지들이 존재하는 영역, 즉, 유효 영역의 크기도 조절될 수 있다.

실시 예에 따라, 암호문 모듈러스 q는 다양한 형태로 설정되어 사용될 수 있다. 일 예로, 암호문의 모듈러스는 스케일링 팩터 Δ의 지수승 q=Δ^L 형태로 설정될 수 있다. Δ가 2라면, q=2¹⁰ 과 같은 값으로 설정될 수 있다.

그리고 본 개시에 따른 동형 암호문은 고정 소수점을 사용하는 것을 가정하여 설명하나, 부동 소수점을 사용하는 경우에도 적용될 수 있다.

제1 서버 장치(200)는 수신된 동형 암호문을 복호화하지 않고, 암호문 상태로 저장할 수 있다.

제2 서버 장치(300)는 동형 암호문에 대한 특정 처리 결과를 제1 서버 장치(200)로 요청할 수 있다. 제1 서버 장치(200)는 제2 서버 장치(300)의 요청에 따라 특정 연산을 수행한 후, 그 결과를 제2 서버 장치(300)로 전송할 수 있다.

일 예로, 두 개의 전자 장치(100-1, 100-2)가 전송한 암호문 ct1, ct2가 제1 서버 장치(200)에 저장된 경우, 제2 서버 장치(300)는 두 전자 장치(100-1, 100-2)로부터 제공된 정보들을 합산한 값을 제1 서버 장치(200)로 요청할 수 있다. 제1 서버 장치(200)는 요청에 따라 두 암호문을 합산하는 연산을 수행한 후, 그 결과 값(ct1 + ct2)을 제2 서버 장치(300)로 전송할 수 있다.

동형 암호문의 성질상, 제1 서버 장치(200)는 복호화를 하지 않은 상태에서 연산을 수행할 수 있고, 그 결과 값도 암호문 형태가 된다. 본 개시에서는 연산에 의해 획득된 결과값을 연산 결과 암호문이라 한다.

제1 서버 장치(200)는 연산 결과 암호문을 제2 서버 장치(300)로 전송할 수 있다. 제2 서버 장치(300)는 수신된 연산 결과 암호문을 복호화하여, 각 동형 암호문들에 포함된 데이터들의 연산 결과값을 획득할 수 있다.

제1 서버 장치(200)는 사용자 요청에 따라 연산을 수차례 수행할 수 있다. 이 경우, 매번 연산마다 획득되는 연산 결과 암호문 내의 근사 메시지 비중이 달라진다. 제1 서버 장치(200)는 근사 메시지 비중이 임계치를 초과하면, 재부팅(Bootstrapping) 동작을 수행할 수 있다. 이와 같이 제1 서버 장치(200)는 연산 동작을 수행할 수 있다는 점에서, 연산 장치라 지칭될 수도 있다.

구체적으로는, 상술한 수학식 1에서 q가 M보다 작다면 M+e(mod q)는 M+e와 다른 값을 가지므로 복호화가 불가능해진다. 따라서, q 값은 항상 M보다 크게 유지되어야 한다. 하지만, 연산이 진행됨에 따라 q 값은 점차 감소하게 된다. 따라서, q 값이 항상 M보다 크도록 변화시키는 동작이 필요하며, 이러한 동작을 재부팅 동작이라 한다. 이와 같은 재부팅 동작이 수행됨에 따라 암호문은 다시 연산할 수 있는 상태가 될 수 있다. 재부팅과 관련된 구체적인 동작은 도 3 내지 4를 참조하여 후술한다.

한편, 도 1에서는 제1 전자 장치 및 제2 전자 장치에서 암호화를 수행하고, 제2 서버 장치가 복호화를 수행하는 경우를 도시하였으나, 반드시 이에 한정되는 것은 아니다.

도 2는 본 개시의 일 실시 예에 따른 연산 장치의 구성을 나타낸 블럭도이다.

구체적으로, 도 1의 시스템에서 제1 전자 장치, 제2 전자 장치 등과 같이 동형 암호화를 수행하는 장치, 제1 서버 장치 등과 같이 동형 암호문을 연산하는 장치, 제2 서버 장치 등과 같이 동형 암호문을 복호하는 장치 등을 연산 장치라고 지칭할 수 있다. 이러한 연산 장치는 PC(Personal computer), 노트북, 스마트폰, 태블릿, 서버 등 다양한 장치일 수 있다.

도 2를 참조하면, 연산 장치(400)는 통신 장치(410), 메모리(420), 디스플레이(430), 조작 입력 장치(440) 및 프로세서(450)를 포함할 수 있다.

통신 장치(410)는 연산 장치(400)를 외부 장치(미도시)와 연결하기 위해 형성되고, 근거리 통신망(LAN: Local Area Network) 및 인터넷망을 통해 외부 장치에 접속되는 형태뿐만 아니라, USB(Universal Serial Bus) 포트 또는 무선 통신(예를 들어, WiFi 802.11a/b/g/n, NFC, Bluetooth) 포트를 통하여 접속되는 형태도 가능하다. 이러한 통신 장치(410)는 송수신부(transceiver)로 지칭될 수도 있다.

통신 장치(410)는 공개키를 외부 장치로부터 수신할 수 있으며, 연산 장치(400) 자체적으로 생성한 공개키를 외부 장치로 전송할 수 있다.

그리고 통신 장치(410)는 외부 장치로부터 메시지를 수신할 수 있으며, 생성한 동형 암호문을 외부 장치로 송신할 수 있다.

또한, 통신 장치(410)는 암호문 생성에 필요한 각종 파라미터를 외부 장치로부터 수신할 수 있다. 한편, 구현시에 각종 파라미터는 후술하는 조작 입력 장치(440)를 통하여 사용자로부터 직접 입력받을 수 있다.

또한, 통신 장치(410)는 외부 장치로부터 동형 암호문에 대한 연산을 요청받을 수 있으며, 그에 따라 계산된 결과를 외부 장치에 전송할 수 있다.

메모리(420)는 연산 장치(400)를 구동하기 위한 O/S나 각종 소프트웨어, 데이터 등을 저장하기 위한 구성요소이다. 메모리(420)는 RAM이나 ROM, 플래시 메모리, HDD, 외장 메모리, 메모리 카드 등과 같은 다양한 형태로 구현될 수 있으며, 어느 하나로 한정되는 것은 아니다.

메모리(420)는 암호화할 메시지를 저장한다. 여기서 메시지는 사용자가 각종 인용한 각종 신용 정보, 개인 정보 등일 수 있으며, 연산 장치(400)에서 사용되는 위치 정보, 인터넷 사용 시간 정보 등 사용 이력 등과 관련된 정보일 수도 있다.

그리고 메모리(420)는 공개키를 저장할 수 있으며, 연산 장치(400)가 직접 공개키를 생성한 장치인 경우, 비밀키뿐만 아니라, 공개키 및 비밀키 생성에 필요한 각종 파라미터를 저장할 수 있다.

그리고 메모리(420)는 후술한 과정에서 생성된 동형 암호문을 저장할 수 있다. 그리고 메모리(420)는 외부 장치에서 전송한 동형 암호문을 저장할 수도 있다. 또한, 메모리(420)는 후술하는 연산 과정에서의 결과물인 연산 결과 암호문을 저장할 수도 있다.

디스플레이(430)는 연산 장치(400)가 지원하는 기능을 선택받기 위한 사용자 인터페이스 창을 표시한다. 구체적으로, 디스플레이(430)는 연산 장치(400)가 제공하는 각종 기능을 선택받기 위한 사용자 인터페이스 창을 표시할 수 있다. 이러한 디스플레이(430)는 LCD(liquid crystal display), OLED(Organic Light Emitting Diodes) 등과 같은 모니터일 수 있으며, 후술할 조작 입력 장치(440)의 기능을 동시에 수행할 수 있는 터치 스크린으로 구현될 수도 있다.

디스플레이(430)는 비밀키 및 공개키 생성에 필요한 파라미터의 입력을 요청하는 메시지를 표시할 수 있다. 그리고 디스플레이(430)는 암호화 대상이 메시지를 선택하는 메시지를 표시할 수 있다. 한편, 구현시에 암호화 대상은 사용자가 직접 선택할 수도 있고, 자동으로 선택될 수 있다. 즉, 암호화가 필요한 개인 정보 등은 사용자가 직접 메시지를 선택하지 않더라도 자동으로 설정될 수 있다.

조작 입력 장치(440)는 사용자로부터 연산 장치(400)의 기능 선택 및 해당 기능에 대한 제어 명령을 입력받을 수 있다. 구체적으로, 조작 입력 장치(440)는 사용자로부터 비밀키 및 공개키 생성에 필요한 파라미터를 입력받을 수 있다. 또한, 조작 입력 장치(440)는 사용자로부터 암호화될 메시지를 설정받을 수 있다.

프로세서(450)는 연산 장치(400) 내의 각 구성을 제어한다. 이러한 프로세서(450)는 CPU(central processing unit), ASIC(application-specific integrated circuit)과 같은 단일 장치로 구성될 수 있으며, CPU, GPU(Graphics Processing Unit) 등의 복수의 장치로 구성될 수도 있다.

프로세서(450)는 전송하고자 하는 메시지가 입력되면 메모리(420)에 저장한다. 프로세서(450)는 메모리(420)에 저장된 각종 설정 값 및 프로그램을 이용하여, 메시지를 동형 암호화한다. 이 경우, 공개키가 사용될 수 있다.

프로세서(450)는 암호화를 수행하는데 필요한 공개키를 자체적으로 생성하여 사용할 수도 있고, 외부 장치로부터 수신하여 사용할 수도 있다. 일 예로, 복호화를 수행하는 제2 서버 장치(300)가 공개키를 다른 장치들에게 배포할 수 있다.

자체적으로 키를 생성하는 경우, 프로세서(450)는 Ring-LWE 기법을 이용하여 공개키를 생성할 수 있다. 구체적으로 설명하면, 프로세서(450)는 먼저 각종 파라미터 및 링을 설정하여, 메모리(420)에 저장할 수 있다. 파라미터의 예로는 평문 메시지 비트의 길이, 공개키 및 비밀키의 크기 등이 있을 수 있다.

링은 다음과 같은 수학식으로 표현될 수 있다.

[수학식 2]

여기서 R은 링, Zq는 계수, f(x)는 n차 다항식이다.

링(Ring)이란 기 설정된 계수를 가지는 다항식의 집합으로, 원소들 사이에 덧셈과 곱셈이 정의되어 있으며 덧셈과 곱셈에 대해서 닫혀 있는 집합을 의미한다. 이러한 링은 환으로 지칭될 수 있다.

일 예로, 링은 계수가 Zq인 n차 다항식의 집합을 의미한다. 구체적으로는, n이 Φ(N)일 때, N차 사이클로토믹 다항식 (N-th cyclotomic polynomial)을 의미한다. (f(x))란 f(x)로 생성되는 Zq[x]의 이데알(ideal)을 나타낸다. Euler totient 함수 Φ(N)이란 N과 서로소이고 N보다 작은 자연수의 개수를 의미한다. Φ_N(x)를 N차 사이클로토믹 다항식으로 정의하면, 링은 다음과 같은 수학식 3으로도 표현될 수 있다.

[수학식 3]

비밀키(sk)는 다음과 같이 표현될 수 있다.

한편, 상술한 수학식 3의 링은 평문 공간에서 복소수를 갖는다. 한편, 동형 암호문에 대한 연산 속도를 향상하기 위하여, 상술한 링의 집합 중 평문 공간이 실수인 집합만을 이용할 수도 있다.

이와 같은 링이 설정되면, 프로세서(450)는 링으로부터 비밀키(sk)를 산출할 수 있다.

[수학식 4]

sk ← (1, s(x)), s(x) ∈ R

여기서, s(x)는 작은 계수로 랜덤하게 생성한 다항식을 의미한다.

그리고 프로세서(450)는 링으로부터 제1 랜덤 다항식(a(x))을 산출한다. 제1 랜덤 다항식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

[수학식 5]

a(x) ← R

또한, 프로세서(450)는 에러를 산출할 수 있다. 구체적으로, 프로세서(450)는 이산 가우시안 분포 또는 그와 통계적 거리가 가까운 분포로부터 에러를 추출할 수 있다. 이러한 에러는 다음과 같이 표현될 수 있다.

[수학식 6]

e(x) ←Dⁿ _αq

에러까지 산출되면, 프로세서(450)는 제1 랜덤 다항식 및 비밀키에 에러를 모듈러 연산하여 제2 랜덤 다항식을 산출할 수 있다. 제2 랜덤 다항식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

[수학식 7]

b(x) = -a(x)s(x) + e(x)(mod q)

최종적으로 공개키(pk)는 제1 랜덤 다항식 및 제2 랜덤 다항식을 포함하는 형태로 다음과 같이 설정된다.

[수학식 8]

pk = (b(x), a(x))

상술한 키 생성 방법은 일 예에 불과하므로, 반드시 이에 한정되는 것은 아니며, 이 밖에 다른 방법으로 공개키 및 비밀키를 생성할 수도 있음은 물론이다.

하편, 프로세서(450)는 공개키가 생성되면, 다른 장치들에 전송되도록 통신 장치(410)를 제어할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 메시지에 대한 동형 암호문을 생성할 수 있다. 구체적으로, 프로세서(450)는 메시지에 대해서 앞서 생성된 공개키를 적용하여 동형 암호문을 생성할 수 있다. 이때, 프로세서(450)는 암호문의 길이를 스케일링 팩터의 크기에 대응되도록 생성할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 동형 암호문이 생성되면 메모리(420)에 저장하거나, 사용자 요청 또는 기 설정된 디폴트 명령에 따라 동형 암호문을 다른 장치에 전송하도록 통신 장치(410)를 제어할 수 있다.

한편, 본 개시의 일 실시 예에 따르면, 패킹(packing)이 이루어질 수도 있다. 동형 암호화에서 패킹을 이용하게 되면, 다수의 메시지를 하나의 암호문으로 암호화하는 것이 가능해진다. 이 경우, 연산 장치(400)에서 각 암호문들 간의 연산을 수행하게 되면, 결과적으로 다수의 메시지에 대한 연산이 병렬적으로 처리되므로 연산 부담이 크게 줄어들게 된다.

구체적으로는, 프로세서(450)는 메시지가 복수의 메시지 벡터로 이루어지는 경우, 복수의 메시지 벡터를 병렬적으로 암호화할 수 있는 형태의 다항식으로 변환한 후, 그 다항식에 스케일링 팩터를 승산하고 공개키를 이용하여 동형 암호화할 수도 있다. 이에 따라, 복수의 메시지 벡터를 패킹한 암호문을 생성할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 동형 암호문에 대한 복호가 필요한 경우, 동형 암호문에 비밀키를 적용하여 다항식 형태의 복호문을 생성하고, 다항식 형태의 복호문을 디코딩하여 메시지를 생성할 수 있다. 이때 생성한 메시지는 앞서 설명한 수학식 1에서 언급한 바와 같이 에러를 포함할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 암호문에 대한 연산을 수행할 수 있다. 구체적으로, 프로세서(450)는 동형 암호문에 대해서 암호화된 상태를 유지한 상태에서 덧셈 또는 곱셈 등의 연산을 수행할 수 있다. 구체적으로, 프로세서(450)는 연산에 사용될 동형 암호문 각각을 제1 함수 처리하고, 제1함수 처리된 동형 암호문 간에 덧셈 또는 곱셈 등의 연산을 수행하고, 연산 수행된 동형 암호문을 제1 함수에 역함수인 제2 함수 처리할 수 있다. 이러한 제1 함수 처리 및 제2 함수 처리는 후술한 재부팅 과정에서의 선형 변환 기술이 이용될 수 있다.

한편, 연산 장치(400)는 연산이 완료되면, 연산 결과 데이터로부터 유효 영역의 데이터를 검출할 수 있다. 구체적으로, 연산 장치(400)는 연산 결과 데이터를 라운딩 처리를 수행하여 유효 영역의 데이터를 검출할 수 있다. 라운딩 처리란 암호화된 상태에서 메시지의 반올림(round-off)을 진행하는 것을 의미하며, 다르게는 리스케일링(rescaling)이라고 할 수도 있다. 구체적으로는, 연산 장치(400)는 암호문 각각의 성분에 스케일링 인수의 역수인 Δ^-1을 곱하고 반올림하여, 노이즈 영역을 제거한다. 노이즈 영역은 스케일링 팩터의 크기에 대응되도록 결정될 수 있다. 결과적으로 노이즈 영역이 제외된 유효 영역의 메시지를 검출할 수 있다. 암호화 상태에서 진행되므로 추가적인 에러가 발생하지만 크기는 충분히 작으므로 무시할 수 있다.

또한, 연산 장치(400)는 연산 결과 암호문 내의 근사 메시지 비중이 임계치를 초과하면, 암호문에 대한 재부팅 동작을 수행할 수 있다. 이때, 연산 장치(400)는 일반적인 방식의 재부팅 동작을 수행하거나, 본 개시에 따른 메타 부트스트래핑 방식의 재부팅 동작을 수행할 수 있다. 구체적으로, 연산 장치(400)는 동형 암호문의 연산 속도 또는/및 정밀도를 고려하여, 재부팅 방식을 결정할 수 있다. 예를 들어, 연산 장치(400) 빠른 재부팅이 필요한 경우에는 일반적인 방식으로 재부팅을 수행할 수 있으며, 높은 정밀도가 필요하거나, 동형 암호문 간의 값 차이가 큰 것으로 예측되는 경우에는 메타 부트스트래핑 방식으로 재부팅을 수행하는 것으로 결정할 수 있다.

일반적인 재부팅 방식을 이용하는 경우, 연산 장치(400)는 기설정된 재부팅 연산을 수행하여 재부팅 동작을 수행할 수 있다. 구체적으로, 연산 장치(400)는 동형 암호문의 모듈러스를 확장하고, 모듈러스가 확장된 동형 암호문을 다항식 형태로 선형 변환하고, 다항식 형태로 변환된 동형 암호문을 기설정된 범위 내의 입력 값들이 정수점에 근사하도록 설정된 다차 방정식을 이용하여 근사 모듈러스 연산하고, 근사 모듈러스 연산된 결과를 동형 암호문의 형태로 선형 변환하여 상술한 재부팅 연산을 수행할 수 있다. 이때, 연산 장치(400)는 상술한 모듈러스 확장 동작과 선형 변환 동작의 순서를 변경하여 수행할 수도 있다.

한편, 메타 부트스트래핑 방식을 이용하는 경우에, 연산 장치(400)는 동형 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제1 중간 암호문을 생성하고, 연산 결과 암호문과 제1 중간 암호문 간의 감산 연산 결과에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제2 중간 암호문을 생성하고, 제1 중간 암호문에 제2 중간 암호문의 감산 연산을 수행하여 평문 공간이 확장된 동형 암호문을 생성할 수 있다. 본 개시에 따른 메타 부트스트래핑 방식에 대해서는 도 3에서 자세히 설명한다.

이상과 같이 본 개시의 일 실시 예에 따른 연산 장치(400)는 동형 암호문에 대해서 재부팅 동작을 수행하는바, 보다 효율적인 동형 연산이 가능하다. 또한, 본 개시의 일 실시 예에 따른 메타 부트스트래핑 방식을 이용함으로써, 부트스트래핑 과정에서 발생될 수 있는 정밀도가 저하되는 것을 방지할 수 있다.

도 3은 재부팅 동작을 설명하기 위한 도면이다. 구체적으로, 도 3에서는 두 개의 동형 암호문(10, 20)에 대한 연산 및 재부팅 과정을 나타낸다. 이와 같은 재부팅이라는 용어는 부트스트래핑 또는 평문 공간 확장 등으로 표현될 수도 있다.

각 동형 암호문(10, 20)은 근사 메시지 영역(11, 21)을 각각 포함할 수 있다. 근사 메시지 영역(11, 21)에는 메시지 및 에러(m1+e1, m2+e2)가 함께 들어가 있다.

연산 장치(400)는 두 동형 암호문(10, 20)을 입력값으로 하여, 특정 연산을 수행할 수 있다.

연산 결과 암호문(30)은 각 근사 메시지 간의 연산 결과(m3+e3)가 담긴 근사 메시지 영역(31)을 포함할 수 있다. 연산 결과가 입력 값보다 커짐에 따라 근사 메시지 영역도 커지고 따라서 남은 평문 공간(32)이 줄어들게 된다. 이러한 연산이 수차례 수행되면, 결국 남은 평문 공간(32)이 없어지거나 한계치보다 작아지게 되어, 연산할 수 없어진다. 이러한 상태로 판단되면, 연산 장치(400)는 재부팅 동작을 수행할 수 있다.

재부팅이 이루어진 암호문(40)은 근사 메시지 영역(41)은 일정하고, 평문 공간(42)이 확장됨을 알 수 있다.

이와 같이 재부팅 방식은 평문 공간을 확장한다는 점에서, 동형 암호문에 대해서 지속적인 연산 처리를 수행할 수 있도록 한다. 다만, 기존의 재부팅 방식에서는 그 과정 중에 정밀도의 손실(또는 에러의 증폭)이 발생할 수 있었다. 이에 대해서 도 10을 참조하여 자세히 설명한다.

숫자를 표현하는 방식에서는 고정 소숫점 방식과 부동 소숫점 방식이 있다. 유효 숫자를 보전하는 측면에서는 부동 소숫점 방식이 유리하나, 암호문 내의 데이터 누출 가능성 등을 방지하기 위하여 많은 동형 암호문이 고정 소수점 방식을 채택하고 있다.

그런데 고정 소수점 방식을 이용하고, 사용하는 데이터의 범위가 넓은 경우에는 다음과 같은 문제점이 발생한다. 이하에서는 설명을 용이하게 하기 위하여, 동형 암호문에 대해서 30-bit의 정밀도를 지원하고, 두 개의 슬롯(slot[0], slot[1]) 각각에 2²⁰, 1의 값이 들어가 있다고 가정한다.

만약, 부동 소숫점 방식(또는 이상적인 방식)에서 정밀도 30을 만족하는 경우라면, 슬롯[0](1010)은 소숫점 위 20자리, 소수점 아래 10자리를 합쳐서 30자리를 보장하는 것이고), 슬롯[1](1020)은 소수점 아래 30자리를 보장하는 것이다.

그러나 고정 소숫점 방식에서 30-bit 정밀도란, 가장 높은 자릿수로부터 30자리를 세어서, 그것이 일괄적으로 보존되는 것이다. 따라서, 슬롯[0]은 앞선 부동 소수점 방식과 동일한 소숫점 위 20자리, 소수점 아래 10자리를 합친 30자리가 보장이 된다. 그러나 슬롯[1] 은 슬롯[0]과 동일한 자리 수를 가져야 하는바, 소숫점 위 20자리, 소수점 아래 10자리를 갖는다. 이와 같이 슬롯[1]에 대해서, 고정 소숫점 방식에서는 소숫점 아래 10자리만 보장이 되는바, 해당 슬롯에 대한 실질적인 정밀도는 10bit가 된다.

에러의 증폭이라는 관점에서 말하자면, 주어진 데이터 x = {slot[0], slot[1] 이라 할 때, 부트스트래핑(x/2^20)*2^20으로 재부팅하므로, 에러가 2²⁰만큼 증폭된다고 할 수 있다. 결과적으로, 슬롯[1]은 정밀도가 10자리로 줄어들게 된다.

다시 말해서, 일반적으로 다루고 있는 데이터 슬롯들의 절대 값의 최대값이 2^M, 최소값이 2^N으로 바운드된다고 하면, 재부팅을 할 때, 재부팅의 정밀도와 부동 소수점에서의 정밀도는 (M-N) bit 만큼 차이나게 된다.

이와 같은 내용을 반영하여, 일반적인 재부팅 동작을 설명한다. 일반적인 재부팅은 1) 근사 알고리즘이 적용하는 범위로의 동형 암호문의 범위를 변화하는 동작, 2) 근사 알고리즘의 적용하는 동작, 3) 범위 복원 동작이 순차적으로 수행된다. 예를 들어, [-1, 1]로 근사 범위를 갖는 근사 알고리즘을 이용하여 CT₃ = m₃+e₃에 대한 재부팅을 수행한다면, 범위 조정을 위하여 차수(또는 스케일링 팩터)를 반영하여(2^-22*CT₃ = 2^-22*(m₃+e₃)), 근사 알고리즘을 적용하고(CT₃'= 1/2²²*m₃' + e₄), 차수의 역수를 반영하는 동작을 수행하게 된다(CT₃' = 2²²(1/2²²*m₃' + e₄) = m3' + 2²²e₄ .

이와 같이 일반적인 재부팅 동작을 수행하는 경우, 근사 알고리즘 적용을 위한 스케일링 과정에서 에러의 커지는 문제점이 발생한다.

따라서, 본 개시는 이와 같은 기존의 재부팅 과정에서의 문제점을 해결하기 위하여, 부트스트래핑 결과가 근사 알고리즘이 허용하는 오차 범위 내의 에러만을 갖도록 하는 것을 목적으로 한다.

이와 같은 목적을 달성하기 위해서는 i) 부트스트래핑 결과에 포함된 에러 중 근사 알고리즘이 허용하는 오차 범위 이상의 에러 확인, ii) 확인된 에러를 제거하는 동작이 필요하다.

이하에서는 도 4를 참조하여, 상술한 목적을 달성하기 위한 기본적인 하나의 방식을 설명하나, 구현시에는 상술한 방식을 다양하게 변형하는 것이 가능하다.

도 4는 본 개시의 재부팅 동작을 설명하기 위한 도면이다.

본 개시에 따른 새로운 재부팅 동작은 기존의 재부팅 동작을 이용한다. 이용 중에 기존의 재부팅 동작을 수정하거나 기존의 재부팅 동작을 변형하여 이용하는 것도 가능하다. 우선은 설명을 용이하게 하기 위하여, 본 개시 이전의 사용되는 일반적인 재부팅 동작을 기설정된 재부팅 동작이라고 지칭하고, 본 개시에 따른 새로운 재부팅 동작을 메타 부트스트래핑(Meta Bootstrapping)이라고 지칭한다. (이하,

, n은 정밀도)

도 4를 참조하면, 메타 부트스트래핑을 수행하는 경우, 제1 동형 암호문(50)에 대한 기설정된 재부팅 동작을 수행한다. 여기서 기설정된 재부팅 동작은 앞서 설명한 바와 같이 일반적으로 알려진 기존과 같은 재부팅 동작일 수 있으며, 본 개시에서 후술하는 기존의 재부팅 동작을 일부 변경한 방식일 수도 있다. 이와 같은 재부팅 동작이 수행되면, 제1 중간 암호문(또는 재부팅된 동형 암호문)(60)이 생성될 수 있다. 예를 들어, 제1 동형 암호문이 CT₁ = m₁+ e₁ 이면(m₁은 메시지, e₁ 에러), 제1 중간 암호문은 CT₁'= m₁+e₂= m₁ + 2ⁿe₁'+ e₁ (여기서, 2ⁿe₁'는 부트스트랩 에러)일 수 있다.

그리고 재부팅 이후에 포함된 에러 중 '근사 알고리즘이 허용하는 오차 범위 이상의 에러'를 확인하기 위하여, 즉, 메시지 이외의 에러 값을 확인하기 위하여, 기설정된 부트스트래핑(또는 재부팅) 전후의 두 동형 암호문에 대한 감산 동형 연산을 수행한다. 이에 따라 제2 중간 암호문(70)이 생성될 수 있다. 예를 들어, 제2 중간 암호문은 CT₂ = CT₁' - CT₁ = e₂- e₁ = 2ⁿe₁' -e₁ 일 수 있다.

그리고 제2 중간 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 동작을 수행한다. 이와 같은 기설정된 재부팅 동작은 일반적인 알려진 기존과 같은 재부팅 동작일 수 있으며, 본 개시에서 후술하는 기존의 재부팅 동작을 일부 변경한 것일 수 있다. 그리고 여기서 재부팅 과정은 최초 동형 암호문(CT₁)에 대해서 적용한 재부팅 방식과 동일한 것일 수 있으며, 다른 방식일 수도 있다. 이에 따라 제3 중간 암호문(80)을 생성할 수 있다. 예를 들어, 제3 중간 암호문 CT₃ = Bootstrapping(CT₂) = e_{3 =} 2ⁿe₁' + e₄ 일 수 있다.

이와 같은 제3 중간 암호문은 근사 알고리즘을 통과한 에러이기 때문에, 앞서 설명한 '근사 알고리즘이 허용하는 오차 범위 이상의 에러'라고 볼 수 있다. 따라서, 최종적으로 제1 중간 암호문에서 제3 중간 암호문을 빼게 되면, 근사 알고리즘이 허용하는 오차 범위 이하의 에러만 갖는 동형 암호문을 생성할 수 있게 된다. 즉, CT₁" = CT₁' -CT₃ = (m₁ + 2ⁿe₁ )-(2ⁿe₁ +e₄) = m₁ - e₄ 가 된다.

이와 같이 메타 부트스트래핑 과정을 통하여 재부팅된 동형 암호문은 근사 알고리즘이 허용하는 오차 범위 내의 오차만을 갖게 된다.

또한, 본 개시에 따른 메타 부트스트래핑 과정은 상술한 정밀도뿐만 아니라 다음과 같은 점에서도 장점이 있다.

구체적으로, ring(

)에서 링의 차수인 n=N/2가 주어졌을 때, 암호문 안전성(security)의 이유로, 사용할 수 있는 modulus의 총량에는 제한이 있다.

이 총량을 늘리기 위해서는 링의 차수를 높여야 한다. 만일, 재부팅의 각 과정의 정밀도를 높이는 경우에, 필연적으로 각 과정에서 소모되는 모듈러스의 양이 증가한다. 재부팅 이후에 사용할 수 있는 모듈러스의 양(혹은, 곱셈 가능횟수)은, 전체 모듈러스에서 재부팅에서 소모된 모듈러스의 양만큼 뺀 것이 되는바, 재부팅에서 소모되는 모듈러스가 늘어날수록 재부팅 이후에 쓸 수 있는 모듈러스의 양은 줄어들게 되고 재부팅의 효율이 낮아진다. 모듈러스의 제한을 높이기 위해서 n을 늘리는 경우에, 임의의 연산이 n에 비례하여 느려지게 되므로 또 다른 비효율을 초래한다.

이러한 점에서, 본 개시에 따른 메타 재부팅을 사용하면 낮은 정밀도의 재부팅을 여러 번 반복하게 되는 것이므로 재부팅에서 소모되는 모듈러스의 양은 여전히 낮게 유지된다. 따라서 다음과 같은 두 가지 장점이 있다:

첫째로, 낮은 n에서 기존의 방법으로는 달성 불가능한 정밀도를 달성할 수 있다.

두 번째로, 정밀도를 고정하는 경우에는 차수를 낮출 수 있다는 의미이므로, 높은 정밀도의 재부팅을 효율적으로 설계할 수 있다.

도 5는 본 개시에 따른 동형 암호문 처리 방법을 설명하기 위한 흐름도이다.

도 5를 참조하면, 먼저 에러를 포함하는 근사 메시지에 대한 동형 암호문에 대한 연산을 수행한다(S510). 일 예로, 연산은 승산, 제분, 가산, 감산 등과 같은 기본 연산으로 설정될 수도 있지만, 반드시 이에 한정되는 것은 아니다. 구체적으로는, 암호화된 메시지가 복소수 형태인 경우, 컨쥬게이트(conjugate) 연산이 수행될 수도 있고, 이밖에 통계나 소팅 등의 연산도 이루어질 수 있다.

그리고 연산에 의해 획득된 연산 결과 암호문 내의 근사 메시지 비중이 임계치를 초과하는지를 판단한다(S520). 도 5에서는 연산 이후에 근사 메시지 비중이 임계치를 초과하는지를 판단하는 것으로 도시하였으나 반드시 이에 한정되는 것은 아니다. 즉, 연산 전에 판단하는 것도 가능하다.

그리고 근사 메시지 비중이 임계치를 초과하면, 연산 결과 암호문의 평문 공간을 확장한다. 즉, 본 개시에 따른 메타 부트스트래핑을 수행할 수 있다. 본 개시의 메타 부트스트래핑의 자세한 동작은 도 6을 참조하여 이하에서 설명한다.

도 6은 본 개시의 재부팅 동작을 설명하기 위한 흐름도이다.

먼저, 연산 결과 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제1 중간 암호문을 생성한다(S610). 구체적으로, 연산 결과 암호문의 기설정된 범위를 갖도록 스케일링 팩터를 반영하고, 스케일링 팩터가 반영된 연산 결과 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하고, 기설정된 재부팅 연산이 적용된 결과에 스케일링 팩터를 반영하여 제1 중간 암호문을 생성할 수 있다. 여기서, 기설정된 범위는, [-1, 1] 이거나, [-2^(k-1)n, 2^(k-1)n](여기서, k는 평문 공간을 확장하는 단계의 반복 횟수로, 1 이상의 정수)일 수 있다. 기설정된 재부팅 연산의 구체적인 동작은 도 7을 참조하여 후술한다.

그리고 연산 결과 암호문과 제1 중간 암호문 간의 감산 연산 결과에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제2 중간 암호문을 생성한다(S620). 구체적으로, 연산 결과 암호문과 제1 중간 암호문 간의 감산 결과는 부트스트래핑 전후의 에러 변화 차이를 나타내며, 해당 암호문에 대한 재부팅 결과는 해당 에러 중 근사 알고리즘의 오차 범위 이상의 에러 값을 나타내게 된다.

그리고 제1 중간 암호문에 제2 중간 암호문의 감산 연산을 수행하여 평문 공간이 확장된 동형 암호문을 생성한다(S630). 구체적으로, 제1 중간 암호문에 해당 제2 중간 암호문을 빼는 감산 동형 연산을 수행하게 되면, 제1 중간 암호문에 있는 에러 중 근사 알고리즘의 오차 범위 이상의 에러만큼의 크기가 제거되게 되면, 즉, 최종 암호문은 메시지와 근사 알고리즘의 오차 범위 이내의 에러 값을 갖게 된다.

한편, 이상에서는 1번의 동작으로 재부팅 동작을 수행하는 것으로 도시하고 설명하였다. 그러나 구현시에는 상술한 동작은 구현 방식에 따라 복수번 수행될 수 있다.

도 7은 본 개시의 평문 공간을 확장하는 동작을 설명하기 위한 흐름도이다.

먼저, 동형 암호문의 모듈러스를 확장한다. 구체적으로, 평문 확장을 위하여 모듈러스를 확장할 수 있다(S710).

그리고 모듈러스가 확장된 동형 암호문을 다항식 형태로 선형 변환한다(S720). 구체적으로, 근사 모듈러스 연산은 다항식을 이용하여 연산이 수행된다. 따라서, 암호문을 다항식 형태로 변환하는 선형 변환을 수행할 수 있다. 이러한 선형 변환은 SlotToCoeff로 지칭될 수 있다. 구체적으로, 동형 암호문의 다항식은 복소수로 구성되는바, 다항식의 각 계수를 슬롯에 들어가 있는 형태로 변환하기 위하여 기정의된 행렬을 이용하여 선형 변환을 수행할 수 있다. 여기서 기정의된 행렬은 DFT(discrete Fourier Transform) 행렬일 수 있다. 한편, 본원은 메타 부트스트래핑 과정에서 기설정된 재부팅 동작을 두 번 수행하는데, 첫 번째 재부팅 동작과 두 번째 재부팅 과정에서 서로 다른 방식으로 선형 변환을 수행할 수 있다. 예를 들어, 첫 번째 재부팅 동작은 원래 메시지에 대해서 수행되는 것인바, 높은 정밀도를 갖는 방식으로 선형 변환을 수행하고, 두 번째 재부팅 동작은 암호문 내의 에러에 대해서 수행하는 것인바, 앞서 수행된 선형 변환보다는 낮은 정밀도를 갖는 방식의 선형 변환을 이용하여 수행하는 것도 가능하다.

다항식 형태로 변환된 동형 암호문을 기설정된 범위 내의 입력 값들이 정수점에 근사하도록 설정된 다차 방정식을 이용하여 근사 모듈러스 연산한다(S730). 구체적으로, 기설정된 범위 내의 입력 값들이 정수점에 근사하도록 설정된 다차 방정식을 이용하여 선형 변형된 동형 암호문을 근사 모듈러스 연산할 수 있다.

그리고 근사 모듈러스 연산된 결과를 동형 암호문의 형태로 선형 변환한다(S740). 구체적으로, 앞선 동형 암호문의 선형 변형시에 이용한 행렬에 대응되는 역행렬을 이용하여 근사 모듈러스 연산된 동형 암호문을 다항식 형태로 변환하고, 변환된 다항식을 암호문 형태로 변환할 수 있다.

한편, 도 7에서는 모듈러스 확장 이후에 다항식으로 선형 변환하는 동작을 수행하는 것으로 도시하고 설명하였지만, 구현시에는 선형 변환 동작을 먼저 수행하고, 모듈러스 확장 동작을 수행할 수도 있다. 이 경우, 선형 변환 동작시에 이용하는 DFT 행렬의 처리 과정 중에 모듈러스 확장을 위한 값을 반영하여 연산함으로써, 재부팅 과정에서의 연산 횟수의 차감을 줄일 수 있다.

또한, 도 7에서는 다항식으로 변환 동작을 수행하는 것으로 도시하고 설명하였지만, 구현시에는 다항식 형태로 암호문을 갖는 경우가 있을 수 있다. 이와 같은 경우에 상술한 다항식으로 선형 변환하는 동작은 생략될 수 있다. 즉, 도 7의 선형 변환 동작(720)은 생략된 형태로 구현될 수 있다.

도 8은 본 개시의 제1 실시 예에 따른 재부팅 동작의 알고리즘을 도시한 도면이다. 제1 실시 예에 따른 재부팅 동작 알고리즘은 [-1, 1] 입력 범위를 가지며, n-bit 정밀도를 갖는 경우를 가정한다. 그리고 도시된 표에서 x는 동형 암호문, p는 q 보다 큰 모듈러스를 의미한다.

도 8을 참조하면, 먼저, 동형 암호문에 정밀도를 반영하여 입력 범위를 변환한다(2^-n*op). 그리고 입력 범위가 변경된 동형 암호문에 대한 기설정된 재부팅 알고리즘을 적용하고(BTS(tmp)), 해당 결과에 앞서 반영한 입력 범위를 확장한다(2ⁿ*tmp).

여기까지만 진행하는 경우, 일반적인 재부팅 과정과 동일한바, 해당 과정 각각의 구체적인 알고리즘에 대한 설명은 생략한다.

그리고 재부팅 수행 전의 동형 암호문과 1차 재부팅된 결과 암호문 간의 차이를 산출하고(tmp-op), 산출된 결과에 대해서 2차 재부팅을 수행한다(BTS(temp2)).

마지막으로, 첫 번째 재부팅 결과에 2차 재부팅 결과(구체적으로, 재부팅 결과와 재부팅 전의 에러 차이에 대한 재부팅 결과)를 반영하여, 최종 동형 암호문을 생성할 수 있다.

도 9는 본 개시의 제2 실시 예에 따른 재부팅 동작의 알고리즘을 도시한 도면이다. 제2 실시 예에 따른 재부팅 동작 알고리즘은 [-2^(k-1)n, 2^(k-1)n]를 갖고, k는 재부팅 동작 알고리즘의 반복 회수로 1 이상의 정수, n은 정밀도를 갖는 경우를 가정한다.

도 9를 참조하면, 먼저, 동형 암호문에 정밀도를 반영하여 입력 범위를 변환한다(2^-n*op). 그리고 입력 범위가 변경된 동형 암호문에 대한 기설정된 재부팅 알고리즘을 적용하고(BTS^(k)(tmp)), 해당 결과에 앞서 반영한 입력 범위를 확장한다(2ⁿ*tmp).

그리고 재부팅 수행 전의 동형 암호문과 1차 재부팅된 결과 암호문 간의 차이를 산출하고(temp-op), 산출된 결과에 대해서 2차 재부팅을 수행한다(BTS(temp2)).

그리고 최종적으로, 첫 번째 재부팅 결과에 2차 재부팅 결과(구체적으로, 재부팅 결과와 재부팅 전의 에러 차이에 대한 재부팅 결과)를 반영하여, 최종 동형 암호문을 생성할 수 있다.

이하에서는 고정 소수점 방식의 동형 암호문을 본 개시에 따른 메타 부트스트래핑을 적용한 경우를 설명한다. 먼저, x = {slot[0], slot[1]), x의 레벨은 4로 가정한다.

Step 1: <<x, lv.4>> / 2²⁰ = <<x/2²⁰, lv.3>>

Step 2: Bootstrap(<<x/2²⁰, lv.3>>) = <<x/2²⁰ + e, lv.max>>

Step 3: 2²⁰ * <<x/2²⁰ + e, lv.max>> - <<x, lv.4>> = <<2²⁰ * e, lv.4>>

Step 4: Bootstrap(<<2²⁰ * e, lv.4>>) = <<2²⁰ * e + e’, lv.max>>

Step 5: <<x + 2²⁰ * e, lv.max>> - <<2²⁰ * e + e’, lv.max>> = <<x - e’, lv.max>>

이와 같이 최종 결과물인 동형 암호문은 e'를 에러로 포함하는데, e'는 재부팅 에러이므로 2^(-30)보다 작거나 같다. 즉, 슬롯[0]과 슬롯[1]이 둘 다 정밀도 30자리 이상을 가지게 되었음을 알 수 있다. 이를 그림으로 표현하면 도 11과 같다.

도 11을 참조하면, 고정 소수점 방식을 이용하는 경우에도, 30-bit 정밀도를 달성하였음을 알 수 있다. 사실 슬롯[0]은 30비트 정밀도가 아니라 50비트 정밀도를 달성한 것임을 알 수 있다.

이와 같이 본 개시에 따른 메타 부트스트래핑 방식을 이용하여, 고정 소수점 방식의 동형 암호문에 대해서도 정밀도의 손실 없이 평문 공간의 확장이 가능하게 된다.

한편, 상술한 다양한 실시 예에 따른 암호문 처리 방법은 각 단계들을 수행하기 위한 프로그램 코드 형태로 구현되어, 기록 매체에 저장되고 배포될 수도 있다. 이 경우, 기록 매체가 탑재된 장치는 상술한 암호화 또는 암호문 처리 등의 동작들을 수행할 수 있다.

이러한 기록 매체는, ROM, RAM, 메모리 칩, 메모리 카드, 외장형 하드, 하드, CD, DVD, 자기 디스크 또는 자기 테이프 등과 같은 다양한 유형의 컴퓨터 판독 가능 매체가 될 수 있다.

이상 첨부 도면을 참고하여 본 개시에 대해서 설명하였지만 본 개시의 권리범위는 후술하는 특허청구범위에 의해 결정되며 전술한 실시 예 및/또는 도면에 제한되는 것으로 해석되어서는 안 된다. 그리고 특허청구범위에 기재된 개시의, 당업자에게 자명한 개량, 변경 및 수정도 본 개시의 권리범위에 포함된다는 점이 명백하게 이해되어야 한다.

100: 전자 장치 200: 제1 서버 장치
300: 제2 서버 장치 400: 연산 장치
410: 통신 장치 420: 메모리
430: 디스플레이 440: 조작 입력 장치
450: 프로세서

Claims (12)

1. 에러를 포함하는 근사 메시지에 대한 동형 암호문에 대한 연산을 수행하는 단계; 및
   연산에 의해 획득된 연산 결과 암호문 내의 근사 메시지 비중이 임계치를 초과하면, 상기 연산 결과 암호문의 평문 공간을 확장하는 단계;를 포함하고,
   상기 평문 공간을 확장하는 단계는,
   상기 연산 결과 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제1 중간 암호문을 생성하는 단계;
   상기 연산 결과 암호문과 상기 제1 중간 암호문 간의 감산 연산 결과에 대해서 상기 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제2 중간 암호문을 생성하는 단계; 및
   상기 제1 중간 암호문에 상기 제2 중간 암호문의 감산 연산을 수행하여 평문 공간이 확장된 동형 암호문을 생성하는 단계;를 포함하는 동형 암호문 처리 방법.
2. 제1항에 있어서,
   상기 제1 중간 암호문을 생성하는 단계는,
   상기 연산 결과 암호문의 기설정된 범위를 갖도록 스케일링 팩터를 반영하고, 스케일링 팩터가 반영된 연산 결과 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하고, 상기 기설정된 재부팅 연산이 적용된 결과에 상기 스케일링 팩터를 반영하여 상기 제1 중간 암호문을 생성하는 동형 암호문 처리 방법.
3. 제2항에 있어서,
   상기 기설정된 범위는,
   [-1, 1]인 동형 암호문 처리 방법.
4. 제2항에 있어서,
   상기 기설정된 범위는
   [-2^(k-1)n, 2^(k-1)n]이고, 여기서 k는 평문 공간을 확장하는 단계의 반복 횟수, n은 정밀도인 동형 암호문 처리 방법
5. 제1항에 있어서,
   상기 기설정된 재부팅 연산은,
   동형 암호문의 모듈러스를 확장하는 단계;
   상기 모듈러스가 확장된 동형 암호문을 다항식 형태로 선형 변환하는 단계;
   다항식 형태로 변환된 동형 암호문을 기설정된 범위 내의 입력 값들이 정수점에 근사하도록 설정된 다차 방정식을 이용하여 근사 모듈러스 연산하는 단계; 및
   상기 근사 모듈러스 연산된 결과를 동형 암호문의 형태로 선형 변환하는 단계를 포함하는 동형 암호문 처리 방법.
6. 제1항에 있어서,
   상기 기설정된 재부팅 연산은,
   상기 동형 암호문을 다항식 형태로 선형 변환하는 단계;
   상기 다항식 형태로 선형 변환된 동형 암호문의 모듈러스를 확장하는 단계;
   상기 모듈러스가 확장된 결과에 근사 모듈러스 연산하는 단계; 및
   상기 근사 모듈러스 연산된 결과를 동형 암호문의 형태로 선형 변환하는 단계를 포함하는 동형 암호문 처리 방법.
7. 에러를 포함하는 근사 메시지에 대한 동형 암호문을 저장하는 메모리; 및
   상기 동형 암호문에 대한 연산을 수행하는 프로세서;를 포함하며,
   상기 프로세서는,
   상기 동형 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제1 중간 암호문을 생성하고, 상기 연산 결과 암호문과 상기 제1 중간 암호문 간의 감산 연산 결과에 대해서 상기 기설정된 재부팅 연산을 적용하여 제2 중간 암호문을 생성하고, 상기 제1 중간 암호문에 상기 제2 중간 암호문의 감산 연산을 수행하여 평문 공간이 확장된 동형 암호문을 생성하는 연산 장치.
8. 제7항에 있어서,
   상기 프로세서는,
   상기 연산 결과 암호문의 기설정된 범위를 갖도록 스케일링 팩터를 반영하고, 스케일링 팩터가 반영된 연산 결과 암호문에 대해서 기설정된 재부팅 연산을 적용하고, 상기 기설정된 재부팅 연산이 적용된 결과에 상기 스케일링 팩터를 반영하여 상기 제1 중간 암호문을 생성하는 연산 장치.
9. 제8항에 있어서,
   상기 기설정된 범위는,
   [-1, 1]인 연산 장치.
10. 제8항에 있어서,
    상기 기설정된 범위는
    [-2^(k-1)n, 2^(k-1)n]이고, 여기서 k는 평문 공간을 확장하는 단계의 반복 횟수, n은 정밀도인 연산 장치.
11. 제7항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    동형 암호문의 모듈러스를 확장하고, 상기 모듈러스가 확장된 동형 암호문을 다항식 형태로 선형 변환하고, 다항식 형태로 변환된 동형 암호문을 기설정된 범위 내의 입력 값들이 정수점에 근사하도록 설정된 다차 방정식을 이용하여 근사 모듈러스 연산하고, 상기 근사 모듈러스 연산된 결과를 동형 암호문의 형태로 선형 변환하여 상기 기설정된 재부팅 연산을 수행하는 연산 장치.
12. 제7항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    상기 동형 암호문을 다항식 형태로 선형 변환하고, 상기 다항식 형태로 선형 변환된 동형 암호문의 모듈러스를 확장하고, 상기 모듈러스가 확장된 결과에 근사 모듈러스 연산하고, 상기 근사 모듈러스 연산된 결과를 동형 암호문의 형태로 선형 변환하여 상기 기설정된 재부팅 연산을 수행하는 연산 장치.

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