KR20210094634A - 레지스트 변형 예측 방법 - Google Patents
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Abstract
패터닝 프로세스에서 레지스트의 변형을 결정하는 방법. 본 방법은 패턴을 갖는 레지스트의 레지스트 변형 모델 - 레지스트 변형 모델은 패턴의 적어도 하나의 피처의 윤곽에 작용하는 모세관력들로 인한 레지스트의 유체 유동을 시뮬레이션하도록 구성됨 - 을 획득하는 단계; 및 레지스트 변형 모델을 통해, 레지스트 변형 모델에의 입력 패턴에 기초하여 현상되는 레지스트 패턴의 변형을 결정하는 단계를 포함한다.
Description
관련 출원에 대한 상호 참조
본 출원은 2018년 12월 31일자로 제출되고 그 전체가 본 명세서에 참조로 편입되어 있는 미국 출원 제62/786,637의 우선권을 주장한다.
기술 분야
본 명세서의 기재는 기판 상에의 패턴 형성을 포함하는 프로세스들에 관한 것으로, 특히 기판 상의 패턴화된 층의 레지스트 변형을 결정하는 방법에 관한 것이다.
예를 들면, 집적 회로들(integrated circuits: ICs) 또는 다른 디바이스들의 제조에 리소그래피 장치가 사용될 수 있다. 이러한 경우에, 패터닝 디바이스(예를 들면, 마스크)는 디바이스의 개별 층("설계 레이아웃")에 대응하는 패턴을 포함하거나 제공할 수 있으며, 이 패턴은 패터닝 디바이스 상의 패턴을 통해 타겟부를 조사하는 것과 같은 방법에 의해 방사선 감수성 물질("레지스트")의 층으로 코팅된 기판(예를 들면, 실리콘 웨이퍼) 상의 (예를 들면, 하나 이상의 다이를 포함하는) 타겟부에 전사될 수 있다. 일반적으로 단일 기판은, 한 번에 하나의 타겟부씩 리소그래피 장치에 의해 패턴이 연속적으로 전사되는 복수의 인접한 타겟부를 포함한다. 일 유형의 리소그래피 장치에서는, 패터닝 디바이스 전체 상의 패턴이 한 번의 수행으로 하나의 타겟부에 전사되는데; 이러한 장치는 흔히 스테퍼(stepper)로 지칭된다. 흔히 스텝 앤드 스캔(step-and-scan) 장치로 지칭되는 대체 장치에서는, 기판을 주어진 기준 방향("스캐닝" 방향)에 평행하게 또는 역평행(anti-parallel)하게 동기화하여 이동시키는 동안 투영 빔이 이 기준 방향으로 패터닝 디바이스 위를 스캐닝한다. 패터닝 디바이스 상의 패턴의 상이한 부분들이 점진적으로 하나의 타겟부에 전사된다. 일반적으로, 리소그래피 장치는 배율 M(일반적으로 < 1)을 가지므로, 기판이 이동되는 속도 F는 투영 빔이 패터닝 디바이스를 스캔하는 속도의 M 배가 되게 된다.
디바이스 제조 프로세스의 패터닝 디바이스로부터 기판으로 패턴을 전사하는 디바이스 제작 절차에 앞서, 기판은 프라이밍(priming), 레지스트 코팅, 및 소프트 베이크(soft bake)와 같은 디바이스 제조 프로세스의 다양한 디바이스 제작 절차들을 거칠 수 있다. 패턴 전사 후에, 기판은 노광 후 베이크(post-exposure bake: PEB), 현상(development), 하드 베이크(hard bake), 및 전사된 패턴의 측정/검사와 같은 디바이스 제조 프로세스의 다른 디바이스 제작 절차들을 거칠 수 있다. 이 일련의 디바이스 제작 절차들은 디바이스, 예를 들면 IC의 개별 층을 제작하기 위한 기초로 이용된다. 기판은 그리고 나서 에칭, 이온 주입(도핑), 금속화(metallization), 산화, 화학 기계적 연마, (예를 들면, 주사 전자 현미경(SEM)을 사용한) 계측 등과 같은 디바이스 제조 프로세스의 다양한 디바이스 제작 절차들을 거칠 수 있는데, 이들 모두는 디바이스의 개별 층을 완성하기 위한 것이다. 디바이스에 여러 층이 필요한 경우, 전체 프로세스 또는 그 변형이 각 층에 대해 반복된다. 최종적으로, 기판 상의 각 타겟부에 디바이스가 존재하게 된다. 복수의 디바이스가 있는 경우, 이들 디바이스는 그리고 나서 다이싱(dicing) 또는 소잉(sawing)과 같은 기법에 의해 서로 분리되며, 개별 디바이스들은 캐리어에 장착하거나, 핀에 연결되는 등이 이루어질 수 있다.
그래서, 반도체 디바이스들과 같은 디바이스들을 제조하는 것은 전형적으로 디바이스들의 다양한 피처들(features) 및 복수의 층을 형성하기 위해 다수의 제작 프로세스를 사용하여 기판(예를 들면, 반도체 웨이퍼)을 처리하는 것을 포함한다. 이러한 층들 및 피처들은 전형적으로, 예를 들면 퇴적, 리소그래피, 에칭, 화학 기계적 연마, 및 이온 주입을 사용하여 제조 및 처리된다. 복수의 디바이스가 기판 상의 복수의 다이 상에서 제조되며, 그리고 나서 개별 디바이스들로 분리될 수 있다. 이 디바이스 제조 프로세스는 패터닝 프로세스로 여겨질 수 있다. 패터닝 프로세스는 기판 상에 패턴을 제공하기 위해 리소그래피 장치를 사용하는 광학 또는 나노임프린트 리소그래피와 같은 패터닝 단계를 포함하며, 전형적으로, 하지만 선택적으로, 현상 장치에 의한 레지스트 현상, 베이크 툴을 사용한 기판의 베이킹, 에칭 장치를 사용한 패턴을 사용한 에칭 등과 같은 하나 이상의 관련 패턴 처리 단계들을 포함한다. 또한, 하나 이상의 계측 프로세스가 전형적으로 패터닝 프로세스에 관여한다.
반도체 제조 프로세스들이 계속 진보함에 따라, 통상적으로 "무어의 법칙"으로 지칭되는 추세에 따라 디바이스 당 트랜지스터들과 같은 기능 요소들의 양은 수십 년 동안 꾸준히 증가하고 있는 한편 기능 요소들의 치수는 지속적으로 감소되고 있다. 현재의 기술 상태에서는, 심자외선(deep-ultraviolet) 조명 소스로부터의 조명을 사용하여 설계 레이아웃에 대응하는 패턴을 기판에 투영하며, 그에 따라 100 ㎚ 훨씬 미만의, 즉 조명 소스(예를 들면, 193 ㎚의 조명 소스)로부터의 방사선의 파장의 절반 미만의 치수를 갖는 개별 기능 요소들을 생성하는 리소그래피 투영 장치를 사용하여 디바이스들의 층들이 제조된다. 리소그래피 투영 장치의 고전적인 분해능 한계보다 더 작은 치수를 갖는 피처들이 프린트되는 이 프로세스는 분해능 공식 CD = k1×λ/NA에 따라 통상적으로 로우 k1(low-k1)의 리소그래피로 알려져 있는데, 여기서 λ는 사용되는 방사선의 파장(현재 대부분의 경우 248 ㎚ 또는 193 ㎚)이고, NA는 리소그래피 투영 장치에서 투영 광학계의 개구수(numerical aperture)이며, CD는 "임계 치수" - 일반적으로는 프린트되는 최소의 피처 크기 - 이고, k1은 실험적 분해능 계수이다. 일반적으로, k1이 작을수록 특정의 전기적 기능 및 성능을 달성하기 위해 회로 설계자에 의해 계획된 형상 및 치수와 유사한 패턴을 기판 상에 재현하기가 더 어려워진다. 이러한 어려움을 극복하기 위해, 정교한 미세 튜닝 단계들이 리소그래피 투영 장치 및/또는 설계 레이아웃에 대응하는 패턴에 적용된다. 이들은 예를 들면, NA 및/또는 광 코히어런스 세팅(optical coherence settings)의 최적화, 맞춤형 조명 스킴(customized illumination schemes), 위상 쉬프팅 패터닝 디바이스들의 사용, (패턴 피처의 바이어싱, 어시스트 피처의 추가, 패턴 피처에 세리프(serif)의 적용 등과 같은) 설계 레이아웃에 대응하는 패턴의 광학 근접 보정(optical proximity correction: OPC), 또는 일반적으로 "분해능 강화 기법"(resolution enhancement techniques: RET)으로 정의되는 다른 방법들을 포함하나, 이에 국한되지는 않는다.
실시예에서는, 패터닝 프로세스에서 레지스트의 변형을 결정하는 방법이 제공된다. 본 방법은 패턴을 갖는 레지스트의 레지스트 변형 모델 - 레지스트 변형 모델은 패턴의 적어도 하나의 피처의 윤곽에 작용하는 모세관력들로 인한 레지스트의 유체 유동을 시뮬레이션하도록 구성됨 - 을 획득하는 단계, 및 프로세서와 레지스트 변형 모델을 통해, 레지스트 변형 모델에의 입력 패턴에 기초하여 현상되는 레지스트 패턴의 변형을 결정하는 단계를 포함한다. 레지스트 변형 모델은 선형화된 나비에-스톡스(Navier-Stokes) 유동 방정식을 기초로 한다. 유체 유동은 스톡스 유동 및/또는 힐리-쇼(Hele-Shaw) 유동을 특징으로 한다.
또한, 실시예에서는, 패터닝 프로세스의 파라미터를 결정하는 방법이 제공된다. 본 방법은 (i) 패턴을 갖는 레지스트의 레지스트 변형 모델 - 레지스트 변형 모델은 패턴의 적어도 하나의 피처의 윤곽에 작용하는 모세관력들로 인한 레지스트의 유체 유동을 시뮬레이션하도록 구성됨 - 을 포함하는 패터닝 프로세스 모델, 및 (ii) 타겟 패턴을 획득하는 단계; 타겟 패턴을 패터닝 프로세스 모델에의 입력으로 하여 패터닝 프로세스 모델의 시뮬레이션을 기초로 프로세서를 통해 레지스트 패턴 - 레지스트 패턴과 타겟 패턴 사이에는 차이가 존재함 - 을 결정하는 단계; 및 프로세서를 통해 패터닝 프로세스의 시뮬레이션을 기초로 패터닝 프로세스의 파라미터의 값 - 파라미터의 값은 레지스트 패턴과 타겟 패턴 사이의 차이가 감소되도록 결정됨 - 을 결정하는 단계를 포함한다. 실시예에서, 패터닝 프로세스의 파라미터는 선량, 초점, 광학 근접 보정 중 적어도 하나를 포함한다. 본 방법은 패터닝 프로세스 중에 리소그래피 장치에 패터닝 프로세스의 파라미터의 값을 적용하는 단계를 더 포함한다.
또한, 실시예에서는, 패터닝 프로세스에서 형성되는 패턴의 변형을 결정하는 방법이 제공된다. 본 방법은 형성되는 패턴과 관련된 패턴 정보를 레지스트 변형 모델(예를 들면, 박막 기반의 모델)에 입력하는 단계 - 모델은 레지스트의 부분의 변형을 시뮬레이션하도록 구성되고, 상기 부분은 레지스트의 현상된 영역과 현상된 영역을 둘러싸는 레지스트의 영역 사이의 경계에 위치된 경계 액체 층을 포함하며, 모델은 경계 액체 층의 유체 유동에 의해 야기되는 경계 액체 층의 제1 변형 성분 및 경계 액체 층의 유체 유동에 의해 야기되는 경계 액체 층의 제2 변형 성분을 결정하도록 구성됨 -, 및 프로세서를 통해, 입력된 패턴 정보에 기초하여 레지스트에 형성되는 패턴의 변형 - 변형은 경계 액체 층의 제1 변형 성분과 제2 변형 성분의 조합을 포함함 - 을 결정하는 단계를 포함한다. 경계 액체 층은 경계에서의 레지스트의 현상된 영역의 길이보다 작은 두께를 갖는다.
실시예에서, 제1 변형 성분은 경계 액체 층의 유량의 수평 성분을 기초로 수평 평면에서 결정되고, 제2 변형은 경계 액체 층의 유량의 수직 성분을 기초로 수평 평면에서 결정된다.
또한, 패터닝 프로세스에서 형성되는 패턴의 변형을 결정하는 방법이 제공된다. 본 방법은 형성되는 패턴과 관련된 패턴 정보를 레지스트 변형 모델에 입력하는 단계 - 모델은 레지스트의 부분의 변형을 시뮬레이션하도록 구성되고, 상기 부분은 레지스트의 현상된 영역과 현상된 영역을 둘러싸는 레지스트의 영역 사이의 경계에 위치된 경계 액체 층을 포함하며, 모델은 경계 액체 층의 수평 유체 유동에 의해 야기되는 경계 액체 층의 변형을 결정하도록 구성됨 -; 및 프로세서를 통해, 입력된 패턴 정보에 기초하여 레지스트 변형 모델을 시뮬레이션함으로써 레지스트에 형성되는 패턴의 변형을 결정하는 단계를 포함한다. 경계 액체 층은 경계에서의 레지스트의 현상된 영역의 길이보다 작은 두께를 갖는다.
또한, 프로세서로 하여금 전술한 방법의 단계들을 수행하게 하기 위한 기계 가독 명령어들을 포함하는 비일시적 컴퓨터 프로그램 제품이 제공된다.
본 명세서에 편입되어 그 일부를 구성하는 첨부 도면들은 하나 이상의 실시예를 도시하며, 발명의 설명과 함께 이들 실시예를 설명한다. 이제 대응하는 참조 부호들이 대응하는 부분들을 나타내는 첨부된 개략도들을 참조하여 예로서만 본 발명의 실시예들이 설명될 것이다.
도 1은 실시예에 따른 리소그래피 시스템의 다양한 서브시스템들의 블록도이다.
도 2는 실시예에 따른 전산 리소그래피 기법의 시뮬레이션 모델들의 블록도이다.
도 3a는 실시예에 따른 웨이퍼 상에 프린트된 복수의 피처(예를 들면, 바(bars))를 갖는 패턴의 웨이퍼 이미지를 도시한다.
도 3b는 실시예에 따른, 도 3a의 웨이퍼 상에 프린트된 패턴의 에어리얼 이미지이다.
도 3c는 실시예에 따른, 도 3b의 에어리얼 이미지로부터 획득된 윤곽들의 예를 도시한다.
도 4a는 실시예에 따른 레지스트 변형 모델을 사용하여 레지스트 변형을 획득하기 위한 예시적인 플로차트이다.
도 4b는 실시예에 따른 레지스트 도메인 내의 예시적인 피처를 도시한다.
도 4c는 실시예에 따른, 각각 인접한 정점들 i-1 및 i+1에 기초하여 결정된 정점 i에서의 힘 Fi.
도 4d는 실시예에 따른, 레지스트 도메인에서의 수직 방향(예를 들면, y 축을 따라서)의 합성 유출 및 수평 방향(예를 들면, x 축을 따라서)의 합성 유입을 도시한다.
도 4e는 실시예에 따른, 로틀릿들(rotlets)(R1, R2, R3, 및 R4)이 피처 주위의 경계 코너 포인트들에 배치된 예시적인 경계 조건을 도시한다.
도 4f는 실시예에 따른, 노 플럭스(no flux) 상태로 지칭되는 경계 조건의 예를 도시한다.
도 4g는 실시예에 따른, 레지스트 도메인 경계 주위에 적용된 벽 조건의 예를 예시한다.
도 4h는 실시예에 따른, 레지스트 도메인 경계 주위에 적용된 주기적 경계 조건의 예를 도시한다.
도 5는 실시예에 따른, 레지스트 변형을 결정하는 다른 예를 도시한다.
도 6은 실시예에 따른 스퀴즈 모드 속도장(squeeze mode velocity field)을 도시한다.
도 7은 실시예에 따른, 초기 피처 형상들 및 초기 피처들에 대응하는 변형된 피처들의 예들을 도시한다.
도 8a는 실시예에 따른 레지스트 변형을 결정하는 방법의 플로차트이다.
도 8b는 실시예에 따른, 도 8a에서 사용된 레지스트 변형 모델의 시뮬레이션 방법의 플로차트이다.
도 9는 실시예에 따른, 레지스트 변형 모델에 기초하여 계산된 레지스트 변형에 기초하여 패터닝 프로세스의 파라미터를 결정하는 방법의 플로차트이다.
도 10a 및 도 10b는 각각 실시예에 따른, 레지스트 및 그 내부에 피처를 갖는 기판의 상부 단면도 및 측면 단면도이다.
도 10c는 실시예에 따른, 레지스트 내의 피처 주위의 경계 액체 층을 도시한다.
도 11은 본 발명에 따른, 초기 윤곽, 전유체(full-fluid) 레지스트 변형 모델을 기초로 한 변형된 윤곽, 및 박막 기반의 레지스트 변형 모델 사이의 비교를 나타낸다.
도 12a는 본 발명에 따른, 도 10c에 기초한 레지스트 변형 모델의 경계 액체 층에 따른 예시적인 정점들 및 그들의 움직임을 도시한다.
도 12b는 본 발명에 따른, 도 10c의 경계층의 수직 유동 결정에 사용되는 예시적인 기호들을 도시한다.
도 13은 본 발명에 따른, 수직 유동으로 인한 수축 후의 예시적인 단면을 도시한다.
도 14a는 본 발명에 따른, 경계층 기반의 레지스트 변형 모델을 사용하여 현상되는 패턴의 변형을 결정하는 방법의 플로차트이다.
도 14b는 본 발명에 따른, 경계층의 수평 유동으로 인한 변형을 결정하는 방법의 예시적인 플로차트이다.
도 15는 도 14a의 방법에서 사용된 레지스트 모델을 기초로 한 예시적인 변형을 도시한다.
도 16은 실시예에 따른 예시적인 컴퓨터 시스템의 블록도이다.
도 17은 실시예에 따른 리소그래피 투영 장치의 개략도이다.
도 18은 실시예에 따른 다른 리소그래피 투영 장치의 개략도이다.
도 19는 실시예에 따른, 도 18의 장치의 보다 상세한 도면이다.
도 20은 실시예에 따른, 도 18과 도 19의 장치의 소스 컬렉터 모듈의 보다 상세한 도면이다.
도 1은 실시예에 따른 리소그래피 시스템의 다양한 서브시스템들의 블록도이다.
도 2는 실시예에 따른 전산 리소그래피 기법의 시뮬레이션 모델들의 블록도이다.
도 3a는 실시예에 따른 웨이퍼 상에 프린트된 복수의 피처(예를 들면, 바(bars))를 갖는 패턴의 웨이퍼 이미지를 도시한다.
도 3b는 실시예에 따른, 도 3a의 웨이퍼 상에 프린트된 패턴의 에어리얼 이미지이다.
도 3c는 실시예에 따른, 도 3b의 에어리얼 이미지로부터 획득된 윤곽들의 예를 도시한다.
도 4a는 실시예에 따른 레지스트 변형 모델을 사용하여 레지스트 변형을 획득하기 위한 예시적인 플로차트이다.
도 4b는 실시예에 따른 레지스트 도메인 내의 예시적인 피처를 도시한다.
도 4c는 실시예에 따른, 각각 인접한 정점들 i-1 및 i+1에 기초하여 결정된 정점 i에서의 힘 Fi.
도 4d는 실시예에 따른, 레지스트 도메인에서의 수직 방향(예를 들면, y 축을 따라서)의 합성 유출 및 수평 방향(예를 들면, x 축을 따라서)의 합성 유입을 도시한다.
도 4e는 실시예에 따른, 로틀릿들(rotlets)(R1, R2, R3, 및 R4)이 피처 주위의 경계 코너 포인트들에 배치된 예시적인 경계 조건을 도시한다.
도 4f는 실시예에 따른, 노 플럭스(no flux) 상태로 지칭되는 경계 조건의 예를 도시한다.
도 4g는 실시예에 따른, 레지스트 도메인 경계 주위에 적용된 벽 조건의 예를 예시한다.
도 4h는 실시예에 따른, 레지스트 도메인 경계 주위에 적용된 주기적 경계 조건의 예를 도시한다.
도 5는 실시예에 따른, 레지스트 변형을 결정하는 다른 예를 도시한다.
도 6은 실시예에 따른 스퀴즈 모드 속도장(squeeze mode velocity field)을 도시한다.
도 7은 실시예에 따른, 초기 피처 형상들 및 초기 피처들에 대응하는 변형된 피처들의 예들을 도시한다.
도 8a는 실시예에 따른 레지스트 변형을 결정하는 방법의 플로차트이다.
도 8b는 실시예에 따른, 도 8a에서 사용된 레지스트 변형 모델의 시뮬레이션 방법의 플로차트이다.
도 9는 실시예에 따른, 레지스트 변형 모델에 기초하여 계산된 레지스트 변형에 기초하여 패터닝 프로세스의 파라미터를 결정하는 방법의 플로차트이다.
도 10a 및 도 10b는 각각 실시예에 따른, 레지스트 및 그 내부에 피처를 갖는 기판의 상부 단면도 및 측면 단면도이다.
도 10c는 실시예에 따른, 레지스트 내의 피처 주위의 경계 액체 층을 도시한다.
도 11은 본 발명에 따른, 초기 윤곽, 전유체(full-fluid) 레지스트 변형 모델을 기초로 한 변형된 윤곽, 및 박막 기반의 레지스트 변형 모델 사이의 비교를 나타낸다.
도 12a는 본 발명에 따른, 도 10c에 기초한 레지스트 변형 모델의 경계 액체 층에 따른 예시적인 정점들 및 그들의 움직임을 도시한다.
도 12b는 본 발명에 따른, 도 10c의 경계층의 수직 유동 결정에 사용되는 예시적인 기호들을 도시한다.
도 13은 본 발명에 따른, 수직 유동으로 인한 수축 후의 예시적인 단면을 도시한다.
도 14a는 본 발명에 따른, 경계층 기반의 레지스트 변형 모델을 사용하여 현상되는 패턴의 변형을 결정하는 방법의 플로차트이다.
도 14b는 본 발명에 따른, 경계층의 수평 유동으로 인한 변형을 결정하는 방법의 예시적인 플로차트이다.
도 15는 도 14a의 방법에서 사용된 레지스트 모델을 기초로 한 예시적인 변형을 도시한다.
도 16은 실시예에 따른 예시적인 컴퓨터 시스템의 블록도이다.
도 17은 실시예에 따른 리소그래피 투영 장치의 개략도이다.
도 18은 실시예에 따른 다른 리소그래피 투영 장치의 개략도이다.
도 19는 실시예에 따른, 도 18의 장치의 보다 상세한 도면이다.
도 20은 실시예에 따른, 도 18과 도 19의 장치의 소스 컬렉터 모듈의 보다 상세한 도면이다.
실시예들에 대한 배경으로서 도 1을 참조하면, 예시적인 리소그래피 투영 장치(10A)가 도시되어 있다. 주요 컴포넌트들은 심자외선 엑시머 레이저 소스 또는 극자외선(EUV) 소스를 포함하는 다른 유형의 소스일 수 있는 방사선 소스(12A), (시그마로 표기되는) 부분 코히어런스을 정의하며 소스(12A)로부터의 방사선을 성형하는 광학계(14A, 16Aa, 및 16Ab)를 포함할 수 있는 조명 광학계; 패터닝 디바이스(18A)를 유지하도록 구성된 지지부; 및 패터닝 디바이스 패턴의 이미지를 기판 평면(22A) 상에 투영하는 투영 광학계(16Ac)이다. 투영 광학계의 동공 평면에 있는 조정 가능한 필터 또는 개구(20A)는 기판 평면(22A)에 충돌하는 빔 각도의 범위를 제한할 수 있으며, 가능한 최대 각도는 투영 광학계의 개구수 NA = sin(Θmax)를 정의한다. 실시예에서, 리소그래피 투영 장치 자체는 방사선 소스(12A)를 가질 필요는 없다.
그래서, 리소그래피 투영 장치에서, 광학계(16Ac)는 패터닝 디바이스 패턴의 에어리얼 이미지(전형적으로는 축소된 버전)를 기판 상으로 지향시킨다. 에어리얼 이미지(AI)는 기판 레벨에서의 방사선 강도 분포이다. 기판 상의 레지스트 층이 노광되며 에어리얼 이미지가 내부의 잠상의 "레지스트 이미지"(RI)로서 레지스트 층에 전사된다. 레지스트 이미지(RI)는 레지스트 층에서의 레지스트의 용해도의 공간적 분포로 정의될 수 있다.
이제, 패터닝 프로세스가 기판 상에 원하는 패턴을 어떻게 생성하는지를 전산적으로 결정할 수 있는 것이 종종 바람직하다. 그래서, 프로세스의 하나 이상의 부분을 시뮬레이션하기 위해 시뮬레이션이 제공될 수 있다. 예를 들어, 패터닝 디바이스 패턴을 기판의 레지스트 층으로 전사하는 리소그래피 프로세스뿐만 아니라 레지스트의 현상 후에 그 레지스트 층에 생성된 패턴을 시뮬레이션할 수 있는 것이 바람직하다.
리소그래피 투영 장치에서 리소그래피를 시뮬레이션하기 위한 예시적인 플로차트가 도 2에 도시되어 있다. 조명 모델(31)은 (방사선 강도 분포 및/또는 위상 분포를 포함하는) 조명의 광학적 특성을 나타낸다. 투영 광학계 모델(32)은 (투영 광학계에 의해 야기되는 방사선 강도 분포 및/또는 위상 분포의 변화를 포함하는) 투영 광학계의 광학적 특성을 나타낸다. 설계 레이아웃 모델(35)은 (주어진 설계 레이아웃에 의해 야기되는 방사선 강도 분포 및/또는 위상 분포의 변화를 포함하는) 설계 레이아웃의 광학적 특성을 나타내며, 설계 레이아웃은 패터닝 디바이스 상의 또는 패터닝 디바이스에 의해 형성된 피처들의 배치의 표현이다. 조명 모델(31), 투영 광학계 모델(32), 및 설계 레이아웃 모델(35)을 사용하여 에어리얼 이미지(36)가 시뮬레이션될 수 있다. 레지스트 모델(37)을 사용하여 에어리얼 이미지(36)로부터 레지스트 이미지(38)가 시뮬레이션될 수 있다. 리소그래피의 시뮬레이션은 예를 들면, 레지스트 이미지의 윤곽들 및/또는 CD들을 예측할 수 있다.
보다 구체적으로, 조명 모델(31)은 NA-시그마(σ) 설정 및 임의의 특정 조명 형상(예를 들면, 환형, 4 중극(quadrupole), 2 중극(dipole) 등과 같은 축외 조명)을 포함하지만 이에 국한되지 않는 조명의 광학적 특성을 나타낼 수 있다는 것에 유의하자. 투영 광학계 모델(32)은 투영 광학계의 광학적 특성들을 나타낼 수 있으며, 예를 들면 수차, 왜곡, 굴절률, 물리적 크기 또는 치수 등을 포함한다. 설계 레이아웃 모델(35)은 예를 들면, 그 전체가 참조로 편입되어 있는 미국 특허 제7,587,704호에 기재된 바와 같은, 물리적 패터닝 디바이스의 하나 이상의 물리적 특성을 또한 나타낼 수 있다. 리소그래피 투영 장치와 관련된 광학적 특성들(예를 들면, 조명, 패터닝 디바이스, 및 투영 광학계의 특성들)은 에어리얼 이미지를 결정한다. 리소그래피 투영 장치에 사용되는 패터닝 디바이스는 변경될 수 있으므로, 적어도 조명 및 투영 광학계, 및 그에 따라 설계 레이아웃 모델(35)을 포함하는 리소그래피 투영 장치의 나머지 부분의 광학적 특성들로부터 패터닝 디바이스의 광학적 특성들을 분리하는 것이 바람직하다.
레지스트 모델(37)은 에어리얼 이미지로부터 레지스트 이미지를 계산하는데 사용될 수 있는데, 그 일례는 그 전체가 본 명세서에 참조로 통합된 미국 특허 제8,200,468호에서 찾을 수 있다. 레지스트 모델은 전형적으로 레지스트 층의 특성들(예를 들면, 노광, 노광 후 베이킹 및/또는 현상 중에 발생하는 화학 프로세스들의 영향)에만 관련된다.
시뮬레이션의 목적은 예를 들면, 엣지 배치들, 에어리얼 이미지 강도 기울기들, 및/또는 CD들 - 이들은 다음으로 의도하는 설계와 비교될 수 있음 - 을 정확하게 예측하는 것이다. 의도하는 설계는 일반적으로 GDSII, OASIS, 또는 다른 파일 형식과 같은 표준화된 디지털 파일 형식으로 제공될 수 있는 OPC 전(pre-OPC) 설계 레이아웃으로 정의된다.
설계 레이아웃으로부터, "클립(clips)"으로 지칭되는 하나 이상의 부분이 식별될 수 있다. 실시예에서는, 설계 레이아웃의 복잡한 패턴들을 나타내는 클립 세트가 추출된다(전형적으로는 약 50 내지 1000 개의 클립이지만, 임의의 개수의 클립이 사용될 수 있다). 본 기술분야의 통상의 기술자에 의해 이해되는 바와 같이, 이들 패턴 또는 클립은 설계의 작은 부분(예를 들면, 회로들, 셀들 등)을 나타내며, 특히 클립들은 특별한 주의 및/또는 검증이 필요한 작은 부분을 나타낸다. 즉, 클립들은 중요한 피처들이 경험(고객이 제공한 클립들을 포함함)에 의해, 시행 착오에 의해, 또는 풀칩(full-chip) 시뮬레이션을 실행함으로써 식별되는 설계 레이아웃의 일부일 수도 있고, 설계 레이아웃의 일부와 유사하거나 유사한 거동을 가질 수 있다. 클립들은 종종 하나 이상의 테스트 패턴 또는 게이지 패턴을 포함한다. 특정의 이미지 최적화를 요하는 설계 레이아웃의 알려진 중요한 피처 영역들을 기초로 고객에 의해 초기의 보다 큰 클립 세트가 사전에 제공될 수 있다. 혹은 다른 실시예에서는, 중요한 피처 영역들을 식별하는 모종의 (머신 비전과 같은) 자동화 또는 수동 알고리즘을 사용하여 설계 레이아웃 전체로부터 초기의 보다 큰 클립 세트가 추출될 수 있다.
몇몇 예에서, 시뮬레이션과 모델링은 패터닝 디바이스 패턴의 하나 이상의 피처(예를 들면, 광학 근접 보정을 수행하는 것), 조명의 하나 이상의 피처(예를 들면, 형상을 변경하는 것과 같은, 조명의 공간/각도 강도 분포의 하나 이상의 특성을 변경하는 것), 및/또는 투영 광학계의 하나 이상의 피처(예를 들면, 개구수 등)를 구성하는 데 사용될 수 있다. 이러한 구성은 일반적으로 각각 마스크 최적화, 소스 최적화, 및 투영 최적화로 지칭될 수 있다. 이러한 최적화들은 자체적으로 수행될 수도 있고 또는 상이한 조합들로 조합될 수도 있다. 이러한 예 중 하나는 조명의 하나 이상의 피처와 함께 패터닝 디바이스 패턴의 하나 이상의 피처를 구성하는 것을 포함하는 소스-마스크 최적화(source-mask optimization: SMO)이다. 최적화 기법들은 클립들 중 하나 이상에 초점을 맞출 수 있다. 최적화는 다양한 파라미터들의 값들을 생성하기 위해 본 명세서에 기재된 시뮬레이션들을 이용할 수 있다.
시스템의 최적화 프로세스에서, 시스템의 성능 지수는 비용 함수로 나타낼 수 있다. 최적화 프로세스는 비용 함수를 최소화하는 시스템의 파라미터(설계 변수들) 세트를 찾는 프로세스로 귀결된다. 비용 함수는 최적화의 목표에 따라 임의의 적절한 형식을 가질 수 있다. 예를 들어, 비용 함수는 시스템의 특정 특성들(평가 포인트들)의 의도된 값들(예를 들면, 이상적인 값들)에 대한 이들 특성들의 편차의 가중 RMS(root mean square)일 수 있으며; 비용 함수는 이들 편차의 최대값(즉, 최악의 편차)일 수도 있다. 여기서 "평가 포인트들"이라는 용어는 시스템의 임의의 특성들을 포함하도록 폭넓게 해석되어야 한다. 시스템의 설계 변수들은 시스템의 구현의 실용성으로 인해 유한한 범위들로 제한될 수 있고 및/또는 상호 종속적일 수 있다. 리소그래피 투영 장치의 경우, 제약조건들은 흔히 튜닝 가능한 범위들과 같은 하드웨어의 물리적 속성들 및 특성들과 관련되며, 및/또는 패터닝 디바이스의 제조 가능성 설계 규칙들 및 평가 포인트들은 기판 상의 레지스트 이미지 상의 물리적 포인트들뿐만 아니라 선량 및 초점과 같은 비물리적 특성들도 포함할 수 있다.
위에서 언급한 바와 같이, 기판 상의 층에는 패턴이 전사될 수 있다. 이러한 층은 일반적으로 레지스트 층으로 지칭되게 되며 다양한 화학적 조성을 가질 수 있다. 실시예에서, 레지스트 층은 방사선 감수성 물질의 층이다. 레지스트 층은 보통 레지스트에 이미징되는 패턴들과 크기가 비견될 수 있는 작지만 유한한 두께를 갖는다. 레지스트 층은 리소그래피 프로세스에서 다양한 처리들을 거칠 수 있다. 예를 들어, 레지스트는 이 레지스트에 화학 반응들을 유발하는 EUV 또는 DUV와 같은 방사선에 노광될 수 있다. 레지스트는 노광 후 베이크(post-exposure bake: PEB), 현상(예를 들면, 포지티브 톤 현상 또는 네거티브 톤 현상), 및/또는 하드 베이크를 거칠 수 있다. 이들 처리 각각은 레지스트를 1 차원, 2 차원, 또는 3 차원으로 변형시킬 수 있으며, 변형은 위치에 종속적일 수 있다(예를 들면, 3 차원 위치에 종속적일 수 있다). 레지스트의 변형은 물질 퇴적 및 에칭과 같은 하류의 처리들에 영향을 미칠 수 있다. 네거티브 톤 현상을 사용하는 리소그래피 프로세스에서, 레지스트 변형이 레지스트 상단부 손실 및 임계 치수에 미치는 영향은 특히 중대할 수 있다. 따라서, 레지스트의 변형을 예측하는 능력을 가진 레지스트 모델(37)은 보다 정확한 리소그래피 및 보다 높은 수율에 유익하다. 레지스트 모델(37)은 리소그래피 프로세스에서의 다양한 다른 물리적 및 화학적 처리들에 대한 레지스트 층의 반응도 또한 예측할 수 있다. 본 발명의 양태에 따른 예시적인 레지스트 모델이 후술된다.
예를 들어, 레지스트 층을 패터닝 디바이스를 통해 방사선에 노광시킴으로써 레지스트 층에 패턴이 형성된다. 레지스트 층은 PEB와 같은 노광 후 처리들을 거칠 수 있으며, 변형된 패턴을 갖는 변형된 레지스트 층으로 변형될 수 있다. 실시예에서, 노광 중에 충분히 높은 선량을 받은 변형된 레지스트 층의 부분은 네거티브 톤 현상 후에 기판 상에 남고, 변형된 레지스트 층의 나머지(예를 들면, 부분들)는 네거티브 톤 현상 후에 용해된다. 혹은, 노광 중에 충분히 높은 선량을 받은 변형된 레지스트 층의 부분은 포지티브 톤 현상 중에 용해되게 되고, 변형된 레지스트 층의 나머지는 포지티브 톤 현상 후에 기판 상에 남게 된다. 부분이 남는지 용해되는지는 레지스트의 화학 조성과 현상액의 화학 조성에 따라 달라진다.
위에서 언급한 바와 같이, 시뮬레이션 모델들은 레지스트 프로파일의 패턴들을 정확하게 예측하려고 한다. 레지스트는 점탄성 물질이며, 일정 기간 동안 레지스트는 중요한 유체 거동을 나타낼 수 있다. 이 가정 하에서, 분자간 힘들, 압력들, 및/또는 다른 힘들(본 명세서에서는 일반적으로 유체내 힘들로 지칭됨)은 점성 유동을 유발하는 유체에 응력을 초래할 수 있다. 시뮬레이션 모델들은 레지스트 내의 이러한 점성 유동을 고려하지 못한다. 또한, 레지스트에 작용하는 유체내 힘들의 영향은 레지스트 패턴이 조밀할 때 중대해지는 경향이 있다. 그래서, 시뮬레이션 모델들은 레지스트의 레지스트 패턴(특히 조밀한 패턴들 또는 곡률이 높은 패턴들)의 형상들을 높은 정확도로 예측할 수 없는데, 이는 모델링 에러와 같은 하류 효과(downstream effects)로 이어질 수 있다.
레지스트 패턴은 레지스트로 둘러싸인 복수의 현상된 부분을 포함한다. 하나 이상의 유체내 힘(예를 들면, 표면 장력)은 전형적으로 레지스트에 작용하며, 그에 의해 레지스트의 현상된 부분들의 경계들에서 레지스트를 변형시킨다. 그래서, 현상된 부분에 대응하는 레지스트 패턴의 형상은 현상된 부분의 경계를 따라 여러 위치에서 변형된다. 실시예에서는, 모세관 및 점성 유동 효과가 지배적이라는 가정하에서 레지스트 변형 모델이 개발된다. 또한, 레지스트 변형 모델은 연속체 기술(continuum description)이 성립한다는 가정하에 개발된다. 실시예에서, 레지스트에 작용하는 구동력은 예를 들면, 아래에서 도 3c의 이미지(320)의 윤곽들과 관련하여 논의되는 바와 같이, 레지스트 및 현상된 부분의 내측 부분(예를 들면, 공기)과 같은 두 물질 사이의 계면에 작용하는 모세관력(capillary force)이다. 실시예에서, 윤곽은 본 기술분야의 통상의 기술자에게 알려진 리소그래피 시뮬레이션 및 윤곽 추출 알고리즘들을 통해 획득된다.
실시예에서는, 웨이퍼 상에 프린트되는 패턴의 마스크 패턴 레이아웃이 획득된다. 마스크 패턴 레이아웃으로부터, 예를 들면 Tachyon, HyperLith, 또는 ProLith와 같은 리소그래피 시뮬레이션 소프트웨어 또는 마스크 패턴 레이아웃으로부터 에어리얼 이미지를 생성하도록 구성된 다른 소프트웨어를 통해, (예를 들면, 도 3b의) 에어리얼 이미지가 생성된다. 전형적인 상황에서, 에어리얼 이미지는 그레이스케일 이미지이며, 이미지의 각 픽셀은 상이한 방사선 강도(즉, 방사선이 레지스트에 충돌하기 전에)에 대응한다. 웨이퍼 상에 프린트된 에어리얼 이미지(예를 들면, 310) 및 대응하는 패턴(예를 들면, 300)의 예가 각각 도 3b 및 도 3a에 도시되어 있다.
도 3a는 웨이퍼 상에 프린트된 복수의 피처(예를 들면, 바들(bars))를 갖는 패턴의 웨이퍼 이미지(300)를 도시한다. 웨이퍼 상의 레지스트의 변형으로 인해 피처들의 윤곽들이 변형됨을 알 수 있다. 원하는 패턴들이 결함없이 프린트되고, 그에 의해 패터닝 프로세스의 수율을 높이도록 패터닝 프로세스의 파라미터들을 조정 또는 제어하기 위해 레지스트 내의 패턴의 이러한 피처들의 변형을 예측하는 것이 유익하다. 실시예에서, 레지스트에서의 이러한 변형은 예를 들면, 도 4a 및 도 5와 관련하여 아래의 본 발명에서 논의되는 레지스트 변형 모델(예를 들면, 유체 역학 모델)에 기초하여 예측된다.
도 3b는 (도 3a의) 웨이퍼 상에 프린트된 패턴의 에어리얼 이미지(310)이다. 실시예에서, 에어리얼 이미지(310)는 그레이스케일 이미지이며, 각 픽셀은 (광이 레지스트에 부딪히기 전의) 상이한 광 강도에 대응한다. 에어리얼 이미지(310)로부터, 패턴의 윤곽들이 소정의 역치 레벨에서 추출될 수 있다. 예를 들면, 원하는 역치를 위반하는 강도 값에서 에어리얼 이미지의 윤곽들을 추출하는 것.
도 3c는 레지스트의 변형을 결정하기 위해 본 발명의 변형 모델에 입력될 수 있는 에어리얼 이미지(310)로부터 획득된 레지스트(323)의 윤곽들(레지스트 윤곽들로도 지칭됨)을 포함하는 이미지(320)의 예를 도시한다. 실시예에서, 윤곽들을 포함하는 이미지(320)는 2 진(바이너리) 이미지이다. 이미지(320)는 레지스트로 둘러싸인 패턴의 피처들(예를 들면, 바들, 컨택트 홀들 등)의 복수의 윤곽을 포함한다. 2 진 이미지는 패턴의 피처들 각각의 아웃라인을 나타낸다.
실시예에서는, 윤곽들(320)에서, 추출된 윤곽들 내부의 모든 것은 가스(321)(흰색 영역)이고 이들 윤곽의 외부는 레지스트(323)(회색 영역)이다. 그러면, 레지스트(323)와 가스(321) 양자 모두는 윤곽들의 변형을 결정하기 위해 상이하거나 동일한 유체들로서 시뮬레이션될 수 있다. Stokeslet(스톡슬릿) 또는 Hele-Shaw(힐리-쇼) 유동을 사용할 때, 유체들(323 및 321)은 동일한 점도를 갖는 것으로 간주된다. 실시예에서, 시뮬레이션은 2D 레지스트 변형 모델을 기초로 하며, 여기서 레지스트 높이 또는 두께는 고려되지 않는다. 하지만, 본 발명은 2D 모델에 국한되지 않으며, 3D 레지스트에도 적용되도록 수정될 수 있다. 레지스트 변형 프로세스의 예는 도 4a와 관련하여 설명된다.
도 4a는 레지스트 변형 모델을 사용하여 레지스트 변형을 획득하기 위한 예시적인 플로차트이며, 여기서 레지스트 변형 모델은 하나 이상의 유체내 힘으로부터 발생하는 레지스트 내의 점성 유동을 포착하여 레지스트의 대응하는 변형을 계산하는 Navier-Stokes(나비에-스톡스) 방정식에 기초한 유체 역학 모델이다. 그래서, 유체 역학 모델은 예를 들면, 레지스트 패턴의 복잡한 형상들을 정확하게 예측할 수 있다. 실시예에서, 유체 역학 모델은 선형화되는데, 예를 들면 선형화된 나비에-스톡스 방정식으로 표현되는 스톡스 유동(예를 들면, 2D 스톡스 유동)이다.
실시예에서, 레지스트 변형을 획득하는 것은 피처(들)의 윤곽(들)을 포함하는 이미지를 입력으로 사용하는 유체 역학 모델의 시뮬레이션을 포함한다. 실시예에서, 윤곽들은 위에서 도 3b 및 도 3c와 관련하여 논의된 바와 같이 (예를 들면, 310의) 에어리얼 이미지로부터 (예를 들면, 320으로) 추출된다. 추출된 윤곽들은 그레이스케일 이미지 또는 2 진 이미지일 수 있다. 실시예에서, 추출된 윤곽은 표면 장력으로 인한 힘이 작용하게 되는 포인트들을 가리킨다.
추출된 윤곽들에서는, 윤곽들을 따라 상이한 위치에서의 힘들(모세관력들로도 지칭됨)이 결정되어, 역장(force field)을 발생시킨다. 윤곽들을 따라서의 힘들 또는 역장은 피처들의 변형을 유발한다. 실시예에서, 다른 피처들에 작용하는 힘들은 원하는 피처의 변형을 유발할 수 있다. 힘들은 레지스트의 피처들의 윤곽들에서 및 그 주위에서 속도장(velicity field)(또는 유동장(flow field))을 결정하는 데에도 또한 사용된다. 실시예에서, 속도장은 시간 경과에 따른 윤곽들의 엣지들의 움직임 - 종극적으로는 레지스트 내의 피처의 윤곽의 최종 변형을 초래함 - 을 모방한다.
실시예에서, 시뮬레이션은 반복적인 프로세스이다. 반복에서, 제1 단계(P41)는 원하는 윤곽을 따라서의 위치(i)에서 힘(Fi)을 결정하는 것을 포함한다. 실시예에서, 힘은 인접한 위치들(j)에서의 힘들에 기초하여 (예를 들면, 도 4b에 도시된 바와 같이) 원하는 윤곽을 따라서의 위치(i)에 대해 계산되는데, 여기서 j는 i와 다르다. 이러한 힘(Fi)은 윤곽을 따라서의 다른 위치들에 기초하여 윤곽을 따라서의 각 위치에 대해 계산된다. 실시예에서, 위치(i) 및/또는 (j)는 정점 또는 포인트로 표시된다. 힘을 결정하는 데 사용되는 수학식 및 접근법은 본 명세서에서 나중에 설명된다(예를 들면, 수학식 3 내지 5). 실시예에서, 힘은 아래에 주어진 바와 같이(수학식 1), 관성 항들을 무시함으로써 얻어진 나비에-스톡스 방정식의 선형화 버전인 스톡스 방정식을 사용하여 계산될 수 있다:
수학식 1에서, 압력 P는 속도장의 발산이 레지스트 도메인에서 소멸되도록 이루어진다. 속도 
는 그래서 액체에 가해지는 힘 
에 의해 완전히 결정된다. 이 수학식은은 선형이다. 그래서, 유동장(상호 교환 가능하게 속도 또는 속도 유동장으로도 지칭됨)은 점력(point force)에 대한 응답과 가해진 힘들의 컨벌루션이다. 실시예에서, 속도장은 나중에 논의되는 수학식(3 내지 5)을 사용하여 결정되는 모세관력들에 의해 구동된다.
윤곽을 따라 각 위치에서의 힘들이 결정되면, 제2 단계(P43)는 포인트 i 이외의 모든 포인트들에서의 힘(Fi)에 의한 전체 속도장(u)을 결정하는 것을 포함한다. 실시예에서, 포인트 j에서의 속도장은 수학식 
+ 정칙화를 계산함으로써 결정되며, 여기서 
이다(여기서는 아인슈타인의 합산 규약(summation convention)이 표기법으로 사용된다). 실시예에서, 유체 역학 모델을 사용하여 속도장를 푸는 것은 (예를 들면, 윤곽을 따라서의 정점 또는 포인트에서 발생할 수 있는 특이점으로 인해) 불안정한 시뮬레이션을 초래할 수 있는 불량 조건 문제(ill-posed problem)일 수 있으므로, 유체 역학 모델은 정칙화(regularization)를 필요로 할 수 있다. 그래서, 정칙화는 시뮬레이션에서 안정성을 제공할 수 있다. 실시예에서, 정칙화는 스톡슬릿의 특이 거동(singular behavior)과 같은 문제를 풀도록 행해질 수 있다. 이러한 특이 거동은 가해진 힘이 단일 포인트에 가해지는 대신에 선분에 걸쳐 분산될 때 사라지는데, 이는 선분의 양끝에 동일한 크기이면서 부호가 반대인 한 쌍의 로틀릿(rotlets)을 적용하는 것에 상응한다(예를 들면, 도 4e 참조).
실시예에 따르면, 위치 
에서의 점력에 대한 위치 x에서의 속도 응답 
는 아래의 수학식 2로 주어진 스톡슬릿으로 불린다:
실시예에서, 유동은 2D 스톡스 유동일 수 있고, (위에서 언급한 수학식에서) G는 Green 함수를 나타낸다. 속도를 결정하는 데 사용되는 수학식 및 접근법(예를 들면, 스톡슬릿들 및 경계 조건들을 사용함)은 본 발명에서 나중에 설명된다. 실시예에서, 레지스트 또는 레지스트 도메인에서의 경계 조건들은 예를 들면, 도 4d 내지 도 4f에 도시되고 본 발명에서 나중에 상세히 설명되는 바와 같이, 상이한 방식들로 구현될 수 있다. 이들 경계 조건은 레지스트 도메인에 적용되는데, 이는 수학식 1 및 2와 같은 수학식들이 시뮬레이션될 때 레지스트 변형을 결정할 수 있게 한다.
실시예에서, 반복은 포인트 i에서의 속도가 결정되는 제3 단계(P45)를 포함한다. 실시예에서, 포인트 i에서의 속도는 수학식 
에 의해 결정되는데, 여기서 r은 포인트 i의 인접한 포인트들 xi-1과 xi+1 사이의 거리이고, n은 법선 벡터이며, ui는 포인트 i에서의 속도이다. 실시예에서, 이 단계는 원하는 다각형의 표면적을 보존하기 위해 적용되거나 또는 그 문제에 대해 임의의 다른 다각형에 적용된다.
또한, 제1 단계(P41), 제2 단계(P43), 및/또는 제3 단계(P45)가 반복되며, 윤곽을 따라서의 모든 위치들에서의 속도장들 및 각각의 이러한 위치에 대응하는 보정들이 중첩되어 시간 스텝 tn에서의 전체 속도장를 결정한다. 또한, 단계 P47에서, 최종 변형을 결정하기 위해 위치 차가 속도와 동일시 될 수 있다. 예를 들면, 원하는 피처 또는 일반적으로 레지스트의 최종 변형을 결정하기 위해 위치 xi에 대해 미분 방정식 
를 풀 수 있다. 예를 들어, 정확한 해(솔루션)를 구하기 위해 작은 시간 스텝들을 필요로 하거나 고차의 Runge-Kutta 방법들을 사용하는 오일러 양해법(Euler explicit method)과 같은 ODE 해법들을 사용하여 이 미분 방정식을 풀 수 있다.
레지스트 변형 모델의 시뮬레이션을 가능케 하는 레지스트 변형 및 관련 조건들을 결정하기 위한 프로세스의 예가 도 4b 내지 도 4f와 관련하여 원하는 피처(452)에 대해 설명된다.
도 4b는 레지스트 도메인(450) 내의 예시적인 피처(452)을 도시한다. 피처(452)는 상호 교환 가능하게 윤곽(452)으로 지칭된다. 앞서 언급한 바와 같이, 윤곽(452)은 대응하는 에어리얼 이미지로부터 추출될 수 있다. 실시예에서, 윤곽(452)은 레지스트 도메인(450) 내의 위치들의 세트를 나타내는 452a, 452b, 452c, 452d 등과 같은 정점들 또는 포인트들로 분할된다. 이러한 정점들 또는 포인트들(예를 들면, 452a 내지 452d)은 윤곽(452) 내의 면적이 보존되도록 윤곽(452)을 따라 배치되거나 분포될 수 있다. 이러한 정점들에서의 힘들과 속도들이 또한 계산된다.
실시예에서, 도 4c를 참조하면, 정점 i 및 인접한 정점들 i-1 및 i+1에 각각 기초하여 결정된 정점 i에서의 힘 Fi. 실시예에서, 힘 Fi는 두 액체 사이의 계면의 계면 장력(σ)과 정점 i 전후의 접선 벡터들 τ를 기초로 계산된다. Fi를 계산하는 데 사용되는 예시적인 수학식은 다음과 같다:
수학식 3에서, σ는 기판에 패턴을 프린트하는 데 사용되는 레지스트의 특성인 계면에서(즉, 피처의 윤곽에서)의 표면 장력이다. 접선 벡터들은 수학식 4 내지 5를 사용하여 계산된다. 힘들이 결정되고 나면, 힘들로부터 발생되는 속도는 예를 들면, 스톡슬릿들을 기초로 결정된다. 또한, 속도 결정은 레지스트 도메인에 특정 경계 조건들을 할당하는 것을 포함하며, 예를 들어 경계 조건들은 도 4d 내지 도 4f와 관련하여 도시되어 있다.
실시예에서는, 추가 속도장를 생성하기 위해 레지스트 도메인 외부의 벽을 따라 역점들(force points)이 정의된다. 실시예에서, 각 역점에서의 힘의 값은 중첩된 총 속도장이 경계 포인트들에서 0의 속도로 합산되거나(예를 들면, 노 플럭스) 상반 위치들에 있는 경계 노드들의 속도와 같아지도록 이루어진다. (예를 들면, 벽을 따라서의) 모든 역점들은 함께 동일한 개수의 미지수를 갖는 방정식들의 세트(집합)를 제공한다. 실시예에서, 다수의 역점은 레지스트 도메인의 경계에 있는 속도 노드들의 개수에 대략적(또는 실시예에서는, 동일)이다. 실시예에서, 역점들의 위치들은 이상적으로는 속도 노드에 가깝지만 이와 동일하지는 않다. 역점들의 간격은 피처로부터 벽까지의 최소 거리 이하이다.
실시예에서, 레지스트의 윤곽(452)을 따라서의 개별 힘들은 레지스트 도메인에서 스퀴즈 모드(squeeze mode)를 야기하는 레지스트 도메인 경계(예를 들면, 450)에 작용하는 유효 힘들을 초래한다. 이러한 스퀴즈 모드는 인접한 피처들로부터의 유효 힘들로 인한 원하는 피처들의 변형 또는 이동을 가리킨다. 실시예에서, 스퀴즈 모드는 도 4d 내지 도 4f와 관련하여 논의된 바와 같이, 하나 이상의 경계 조건을 적용함으로써 제거된다.
실시예에서, 도 4d는 레지스트 도메인(450)에서의 수평 방향(예를 들면, x 축을 따라서)의 합성 유입(resultant influx) 및 수직 방향(예를 들면, y 축을 따라서)의 합성 유출을 도시한다. 실시예에서, 레지스트 도메인(450)은 시뮬레이션 목적상 무한 도메인으로 간주된다. 또한, 경계 조건들이 정의되지 않는다. 그래서, 복수의 피처는 함께 전체적인 스퀴즈 모드 유동을 초래할 수 있다. 스퀴즈 모드를 제거하고 관심 모션(예를 들면, 피처(452)의 모션)만을 유지하기 위해, 도 4e에 나타낸 바와 같이 로틀릿들(rotlets)(R1, R2, R3, 및 R4)이 피처(452) 주위의 경계 코너 포인트들에 배치된다. 로틀릿들(R1 내지 R4)은 피처(452)를 따라서의 힘들 때문에 생성된 것과 상반되는 유동을 발생시킨다. 예에서는, 대응하기 위해, 도 4e에 그려진 로틀릿들(R1 내지 R4)은 방향을 변경한다(즉, 시계 방향이 반시계 방향으로 변경되고 그 반대도 마찬가지이다).
실시예에서, 스퀴즈 모드는 윤곽의 정점들에서의 모든 힘들의 제1 모멘트를 0으로 만드는 것에 기초하여 정의된 강도 S의 로틀릿들을 적용함으로써 제거된다. 예를 들어, 수학식 
를 사용하면, 여기서 Fxn과 Fyn은 각각 x 및 y 방향의 힘들이고, n은 힘이 결정되는 레지스트 도메인(450)을 따라서의 포인트들(예를 들면, 포인트들(450a, 450b, 450c, 450d 등))의 개수를 가리키며, xn 및 Yn은 n 번째 노드(n th -node)의 위치를 가리킨다.
다른 실시예에서, 도 4f를 참조하면, 경계 조건은 n 개의 경계 포인트(450a, 450b, 450c, 450d 등)에서의 유출 및/또는 유입을 각각 상쇄하여, 노 플럭스(no flux) 상태를 부과하도록 외부 위치(460)에, 즉 도메인(450)으로부터 특정 거리에 n 개의 역점(460a, 460b, 460c 등)를 추가함으로써 달성되는 노 플럭스 상태일 수 있다. n 개의 경계 포인트(450a, 450b, 450c, 450d 등)는 속도 노드(velocity nodes)로도 지칭될 수 있다. 속도 노드들은 속도장이 결정되는 도메인 경계 상의 노드들이다. 이들 속도 노드에 경계 조건이 적용될 수 있다.
경우에 따라서는, 주기적 경계 조건들 또는 벽 경계 조건들이 필요하다. 실시예에서, 특이점 방법(예를 들면, Green 함수가 x = 0에서 특이인 경우)에서 이러한 경계 조건들을 구현하는 것은 경계 조건들을 만족하는 기본해들(fundamental solutions)의 사용을 포함한다. 유감스럽게도, 주기적인 도메인에서의 2D 스톡스 유동에 대한 기본해를 도출하는 것은 상당한 노력이며, 닫힌 형태의 해(closed form solutions)는 종래 기술에서는 찾을 수 없다. 경계 조건들을 만족하는 기본해를 사용하는 대신에, 본 방법들은 경계 조건들을 직접 부과한다.
도 4g는 벽 조건의 예를 도시한다. 이 도면은 피처들(또는 일반적으로는 피처)의 윤곽들을 따라서의 힘들로 인한 속도장을 나타낸다. (레지스트 도메인 외부의) 벽(475)에서, 벽(475)에 인접한 액체(예를 들면, 경계(470) 내의 레지스트)는 벽과 동일한 속도로 이동한다. 벽(475)이 정지 상태이면, 벽(475)에서의 액체 속도의 두 성분은 모두 0이다. 벽(475)은 액체(470)에 힘을 가함으로써 액체(470)의 속도를 0이 되게 유지한다. 제안된 방법에서는, 그 전체 길이를 따라 액체에 힘이 가해지며, 그래서 그 전체 길이를 따라 속도를 0으로 유지한다. 실시예에서, 힘은 벽(475)을 따라 유한 개수의 포인트(475a, 475b, 475c 등)(노드로도 지칭됨)에 가해진다. 이는 유한 개수의 포인트에서 속도가 0으로 설정될 수 있음을 또한 의미한다. 소정의 정칙화를 사용하지 않는 한 기본해는 거기에서 특이(singular)이기 때문에, 이들 포인트는 힘이 가해지는 포인트들과 일치할 수 없다. 실시예에서는, (도 4f의 노드들과 유사한) 노드들이 도메인 경계(470)에 배치되고, 역점들(force points)(475a, 475b, 475c 등)은 도메인 경계(470)의 노드들의 간격과 거의 유사한 역점들 사이의 거리를 가지면서 도메인의 외부에 배치된다.
실시예에서, 도메인 경계 포인트들(또는 노드들)의 개수는 (모델의 근사화로 인한) 절사 에러(truncation error)를 충분히 작게 만들 수 있을 만큼 충분히 커야 하지만 계산 시간이 허용될 만큼 충분히 작아야 한다. 실시예에서, 노드들 사이의 간격은 경계까지의 피처들의 최소 거리에 비해 크지 않다. 실시예에서, 간격은 경계까지의 피처들의 최소 거리와 같다. 이러한 벽 조건에 기초하여, 발생되는 변형 및 벽 경계 조건들을 갖는 2D 스톡스 유동에 대한 속도장들이 도 4g에 도시되어 있다. 힘들은 도메인 경계(470) 외부의 도트들로 표시된 위치들(예를 들면, 475a, 475b, 475c 등)에서 벽(475)을 따라 가해진다. 이들 힘은 도메인 경계(470)를 따라서의 도트들에서의 속도가 0이 되도록 이루어진다.
도 4h에 도시된 실시예에서는, 도메인 경계 주위에 주기적 경계 조건들이 적용된다. 이 도면은 피처들(또는 일반적으로는 피처)의 윤곽들을 따라서의 힘들로 인한 속도장을 나타낸다. 주기적 경계 조건들은 추가 제약조건들을 갖는다. 첫 번째 제약조건은 도메인의 상반측들에서의 속도가 같아야 한다는 것이다. 두 번째 제약조건은 경계의 응력이 상반측의 응력과 반대여야 한다는 것이다. 실시예에서, 이러한 주기적 제약조건은 임의의 포인트 및 그 연결된 포인트에서 동일하면서 반대인 힘들의 쌍으로 부과된다. 이는 총 힘(total force)이 0이 되는 것을 보장한다. 상쇄되는 힘들은 토크를 가하지 않기 때문에, 부과된 힘들도 토크가 0이 된다. 도메인의 어딘가에 토크가 가해지면, 주기적 경계 조건 알고리즘이 이에 대응한다. 임의의 쌍의 힘들의 합은 0이다. 그래서, 한 쌍의 힘의 차가 결정된다. 이 힘의 차의 크기에 대한 기준은 레지스트 도메인의 대응하는 노드들에서의 속도 차가 사라져야 한다는 것이다. 한 쌍의 힘으로 인한 노드에서의 속도는 기본해들의 차를 계산함으로써 얻어진다. 모든 노드에서 이들 속도의 합이 피처들로 인한 속도들과 반대가 되어야 한다는 요건은 선형 방정식, 미분 방정식, 또는 다른 수학적 계산 세트를 풀도록 구성된 Matlab과 같은 과학 소프트웨어를 사용하여 풀 수 있는 선형 방정식들의 시스템을 구성한다.
실시예에서, 발생되는 변형 및 주기적 경계 조건들을 갖는 2D 스톡스 유동에 대한 속도장들이 계산된다. 힘들은 외부 경계(485)를 따라 표시된 위치들(점들)에 가해진다. 이들 힘은 도메인 경계(480)를 따라서 각 도트에서의 속도가 480의 반대 위치에서의 속도와 같도록 이루어진다.
도 5는 레지스트 변형을 결정하는 다른 예를 도시한다. 앞서 도 3c 및 도 4a에서 논의된 바와 같이, 에어리얼 이미지로부터의 피처들의 윤곽들 또는 추출된 윤곽들이 다각형으로 변환된다. 다각형들은 윤곽들의 형상을 나타내며, 다각형의 면적이 유지되도록 제약될 수 있다. 실시예에서, 다각형은 입력(500)에서 (예를 들면, 도트들로 나타내는) 정점들로 나타내는 경계 또는 엣지를 포함한다. 실시예에서, 복수의 정점은 윤곽들을 따라서의 위치 정보와 관련된다. 예를 들면, 도시된 바와 같이, 입력(500)은 피처의 점선들(예를 들면, 501)로 나타내는 정점들을 포함하는데, 각 정점은 입력(500) 내의 위치 정보와 관련된다. (예를 들면, 501의) 정점의 위치는 데카르트 좌표, 극좌표, 다른 피처에 대한 상대 위치 등으로 표시된다.
입력(500)은 다각형 또는 다각형을 나타내는 정점들로 변환되는 복수의 피처(예를 들면, 바들(bars), 구멍들, 라인들 등)를 포함할 수 있다. 피처의 복수의 정점과 각 정점의 위치는 그에 따라 피처의 윤곽의 기하학적 형상을 나타낸다. 실시예에서, 복수의 정점은 각 윤곽의 기하학적 형상의 면적(또는 3D 레지스트 변형 프로세스의 경우에는 체적)을 보존하면서 이들이 대략적으로 균등하게(또는 균일하게) 이격되도록 재분포된다. 그래서, 실시예에서는, 입력(500)의 각 피처(예를 들면, 501, 503, 505 등)가 복수의 정점으로 변환될 수 있으며, 또한 정점들은 각각의 피처 또는 피처를 나타내는 윤곽의 면적이 보존되도록 재분포되거나 제약될 수 있다.
실시예에 따르면, 시뮬레이션은 예를 들면, 스톡슬릿들(위에서 논의된 수학식 2)을 사용하여 힘을 속도로 변환하는 힘과 속도 사이의 행렬의 계산을 포함하기 때문에, 레지스트 변형의 시뮬레이션 중에 안정성을 유지하기 위해 복수의 정점의 재분포가 바람직할 수 있다. 예를 들어, 다른 정점들에서의 속도가 알려지면 정점에서의 속도는 연속성으로부터 계산될 수 있기 때문에, 스톡슬릿은 소스 정점에서는 계산될 필요가 없다. 하지만, 이러한 접근법은 절사 에러들이 정점의 속도에 수집되는 결과를 초래한다. 몇몇 정점의 경우, 이는 대각선 상에서 우세(diagonally dominant)하지 않은 힘으로부터 속도로의 행렬(force to velocity matrix)을 발생시켜, 속도들이 위치들을 진행하는 데 사용될 때 불안정한 스킴으로 된다. 그래서, 실시예에서, 간격을 균등하게 하기 위해 정점들을 재분포시키는 것은 레지스트 변형의 시뮬레이션에서 안정성을 유지하는 데 충분할 수 있다.
입력(500)이 획득되고 나면, 레지스트 내의 피처들의 윤곽의 움직임을 나타내는 힘들과 속도의 측면에서 레지스트의 유체 역학이 결정된다. 실시예에서, 피처 또는 다각형의 윤곽과 같은 모세관 표면에서 힘들 또는 역장이 계산되고, 윤곽들을 따라서의 복수의 정점의 움직임이 추적된다.
실시예에서, 액체(예를 들면, 레지스트)의 유동은 컴팩트한 영역 또는 선택된 영역(레지스트 도메인으로도 지칭됨)에서 모세관력들에 의해 구동되는 2D 스톡스 유동으로 여겨진다. 실시예에 따르면, 윤곽의 각 정점에 가해지는 힘은 정점의 양측의 장력들의 합이다. 이 힘은 액체의 윤곽의 상이한 위치를 따라 가해지며, 그래서 정점마다 스톡슬릿이 결정된다. 스톡슬릿의 강도는 수학식 3 내지 5와 관련하여 도 4a에서 논의된 바와 같이, 두 액체 사이의 계면의 계면 장력(σ)과 정점 전후의 접선 벡터들에 종속적이다. 실시예에서, 곡률은 정점마다 2 개의 인접한 정점 사이뿐만 아니라 보다 많은 인접한 정점으로부터도 계산될 수 있다. 실시예에서는, 모세관력들의 계산을 위한 이러한 고차 차분 스킴(higher order differencing schemes), 즉 2 개 초과의 인접한 정점에 기초한 곡률 결정이 가능하다. 하지만, 이러한 고차 차분 스킴은 체적을 보존하고 시뮬레이션 중에 안정적인 스킴을 결정하는 것을 (너무) 어렵게 한다. 또한, 공식화가 훨씬 더 복잡해져, 에러 가능성을 높인다. 기존의 방법들은 본 명세서에 기재된 저차수 방법을 사용하지 않았으며, 그것이 불가능하다고 믿고 있다.
실시예에서, 수학식 3 내지 5는 입력(500)의 각 피처(예를 들면, 501, 503, 505) 및 피처에 대응하는 정점들에 적용된다. 이에 의해, 입력(500)은 주어진 시간 스텝에서 속도장으로 변환된다. 예를 들면, 제1 시간 스텝 t1에서의 속도장(510)이 표시되어 있다. 속도장(510)에서, 피처들(예를 들면, 503 및 505)에서 및 그 주위에서 유동 벡터들(513, 515, 511)이 획득된다.
실시예에서, 힘들은 이들 힘을 스톡슬릿의 계수로 취함으로써 액체(예를 들면, 레지스트)에 가해지며, 그래서 정점들의 위치들을 제외한 모든 곳에서 속도를 찾는다. 스톡슬릿 
는 
에서, 즉 정점의 위치에서 특이이기 때문에 정점들의 위치들은 제외된다. 정점의 속도들을 획득하기 위해, 해당 정점에서의 힘으로 인한 유동은 특별한 처리를 요한다. 모든 다른 정점들에서의 힘들로 인한 유동은 특별한 처리를 요하지 않는다. 예를 들어, 정점에서의 속도를 계산하기 위해서는, 그 동일한 정점으로 인한 유동장만 정칙화할 필요가 있다.
추가 시뮬레이션에 따라, 제2 시간 스텝 t2에서의 속도장(520)이 속도장(510)에 추가로 획득된다. 유동이 진행됨에 따라, 513(또는 515)과 같은 피처가 변형된 피처(523)(또는 525)로 변형됨을 알 수 있다. 변형된 피처(523)(또는 525)는 입력(500)의 피처(503)(또는 505)의 원래의 세장형 형상과 비교하여 곡선 또는 원형으로 보인다. 하지만, 앞서 언급한 바와 같이, 레지스트 도메인에 적용되는 제약조건들 및 경계 조건들은 피처의 변형시에 피처(503)(또는 505)의 면적을 보존한다. 그래서, 입력(500)의 변형된 피처들(523)(또는 525) 및 피처들(503)(또는 505)의 면적은 거의 유사하지만, 형상은 크게 변경될 수 있다. 도 5에 나타낸 속도장들(510 및 520) 및 피처들의 변형은 단순히 레지스트 변형 모델의 시뮬레이션의 사례이다. 예를 들면, 위에서 논의된 경계 조건들과 함께 상이한 정점들에서의 수학식 세트(1 내지 5)의 시뮬레이션. 실시예에서, 변형된 피처가 결정되어야 하는 시간의 사례에 기초하여 다른 변형 사례가 획득될 수 있다. 예를 들어, 시뮬레이션은 10 초 동안 실행될 수 있으며, 그러면 결과는 10 초에서의 변형된 레지스트 및 대응하는 피처이다. 유사하게, 상이한 변형 사례들을 획득하기 위해 시뮬레이션은 20 초, 50 초 등 동안 실행될 수 있다.
앞서 언급한 바와 같이, 시뮬레이션 프로세스 중에, 가해진 힘이 단일 포인트에 가해지는 대신에 선분에 걸쳐 분포될 때 스톡슬릿의 특이 거동 문제가 사라진다. 실시예에서, (예를 들면, 스톡슬릿에 기초한) 속도장의 정칙화는 예를 들면, 다음의 수학식 6을 기초로 수행될 수 있다:
수학식 6은 일정한 힘 밀도(force density)로 선분에 걸쳐 분포된 힘 F로 인한 선분의 중심에서의 속도를 제공한다. 이 속도는 유한한 길이의 임의의 선분에 대해 유한한데, 이는 모든 곳에서 속도를 계산할 수 있게 한다.
앞서 언급한 바와 같이, 레지스트 내의 다각형(윤곽 또는 피처로도 불림)은 실제 계면 형상의 근사화이다. 이 도해(representation)의 예리한 코너들의 존재가 모세관력들이 유한한 개수의 포인트에 집중되게 하는 원인이다. 실시예에서, 전체 계면은 곡선이며, 그래서 힘은 계면 전체에 걸쳐 가해진다. 하나의 정점이 고려될 때, 조금 멀리 떨어진 영역에 걸친 힘들의 분포는 비교적 덜 중요하다. 힘들이 어떻게 분포되는가는 해당 영역의 크기가 그 영역의 거리와 필적할 때 관련성이 있게 된다. 최소한, 정점에 바로 인접한 계면의 섹션들로 인한 힘은 위에서 계산된 바와 같이 선분에 걸쳐 분포되어야 한다.
다른 실시예에서, 다른 정점들에서의 속도가 알려지면 정점에서의 속도는 연속성으로부터 계산될 수 있기 때문에, 스톡슬릿은 소스 정점에서는 계산되지 않을 수 있다. 각 정점에 대해, 곡선 길이 
가 할당되고, 각각 x 및 y 축을 따라서의 법선 벡터들 nx 및 ny가 다음과 같이 수학식 7과 8에 따라 할당된다:
연속성과 발산 정리에 의해, 외향 플럭스(outward flux)의 합은 0이 되어야 하는데, 이는 아래의 수학식 9를 기초로 계산될 수 있다.
위의 수학식 9에서, 정칙화 작업은 연속성 방정식이 충족되도록 
를 알고 있을 때 
를 결정하는 것을 포함한다. 다시 말하면, i를 제외한 모든 다른 정점들에서 속도가 결정된다. 수학식 9는 필요한 속도를 직접 산출한다. 또한 연속성 기반의 정칙화에 의해, 간격을 균등화하기 위해 포인트들을 재분포시키면 시뮬레이션 중에 안정성이 유지된다.
실시예에 따르면, 레지스트 변형에 대한 모델로서의 2D 스톡스 유동의 제한점은 도메인 크기 문제들이다. 주어진 힘 작용에 대해, 속도장은 레지스트 도메인 주위의 벽의 위치에 종속적이다. 무한 도메인에서, 속도는 발산한다. 그래서, 실시예에서, 속도 발산에 대한 완화는 합산이 0이 되는 힘 분포만을 고려하는 것이다. 그래서, 공간의 대부분에 걸쳐있는 모세관력들을 갖는 피처들의 분포로 인한 유동장이 계산된다. 멀리 떨어져 있는 피처들로 인한 속도장에 대한 기여도는 작아야 한다. 이는 r-2로 감쇠하는 속도장을 필요로 한다. 이와 같이, 피처들에 대한 모세관력들로 인한 속도장이 분해된다. 실시예에서, 속도장은 스퀴즈 유동(squeeze flow)(도 7 참조)과 r-2 이상으로 감쇠하는 부분으로 분해된다. 스퀴즈 모드 속도장은 힘의 모멘트인 
의 대각선 부분에 의해 구동된다. 실시예에서, 스퀴즈 모드를 제거하기 위해, 스톡슬릿들의 힘의 모멘트의 대각선 부분과 스퀴즈 모드 유동장의 합이 0으로 합산되도록 제약조건이 정의된다.
도 6은 스퀴즈 모드 속도장(600)를 도시한다. 이 속도장은 수직 도메인 경계들에서 스톡슬릿들을 합산함으로써 계산되었다. 좌측의 경계의 단위길이 당 힘은 일정하며, 우측의 경계의 단위길이 당 힘 - 이 또한 일정함 - 과 반대이다.
다른 접근법에서는, 도 4f와 관련하여 앞에서 언급한 바와 같이, 레지스트 도메인의 수평 벽들을 통해 제로의 총 플럭스(zero total flux) 상태가 부과되며, 그래서 확장형 단순 유동을 추가함으로써 수직 벽들을 통해 제로 플럭스가 부과된다.
스톡슬릿 기반의 계산의 직접 구현에서, 모든 경계 포인트는 모든 다른 경계 포인트에 직접 영향을 미친다. 따라서, 다수의 경계 포인트 N의 극한에서, 속도장을 계산하는 데 필요한 부동 소수점 연산(floating-point operations: FLOPS)의 횟수는 제곱이다(즉, N2).
실시예에서, 스톡슬릿 기반의 계산에서의 스케일링을 개선하기 위해, 멀리 떨어진 피처들로 인한 속도장은 절사된 다중극 전개(truncated multipole expansion)로 대체된다. 다중극 전개의 가장 단순한 형태에서는, 스퀴즈 모드만이 유지되고 모든 고차 항들은 무시된다. 이는 더 많은 먼 항들이 포함됨에 따라 모든 스퀴즈 모드 항들의 영향은 수렴되지 않는데 반해, R과 R+dR 사이의 거리에 있는 피처들로 인한 고차 항들은 R이 증가함에 따라 0으로 가기 때문이다. 각 거리 피처로 인한 스퀴즈 모드 유동이 계산되며, 각 피처는 전술한 바와 같이 4 개의 로틀릿(rotlets)의 조합으로 대체된다. 이들 로틀릿은 피처의 경계 직사각형과 같은, 대체된 피처에 비해 크지 않은 직사각형의 코너들에 배치된다. 그래서, 그 영향이 이와 같이 단순화된 각 피처에 대해, 글로벌 계산 N에서의 포인트들의 개수는 n 개의 힘을 합산하는 댓가로 n-4만큼 저감된다. 이는 글로벌 계산의 연산 비용이 N2에 비례하기 때문에 대폭적인 개선이다. 그래서, 실시예에서, 피처 당 n 개의 포인트 및 m 개의 피처를 갖는 속도 계산의 스케일링은 n2m2로부터 n2 + nm2로 개선된다. 예를 들어, n = 103 및 m = 109라고 가정하면, 이는 103 배의 개선을 의미하는데, 이는 상당한 것이다. 실시예에서, (예를 들면, 고속 다중극 방법을 사용하여) 비교적 멀리 떨어진 영역들에서 피처들의 다중극 전개를 수집함으로써 스케일링은 더욱 개선될 수 있다.
또한, 실시예에서, 훨씬 더 많은 먼 피처들을 완전히 무시함으로써 계산 시간의 추가 개선이 얻어질 수 있다. 이 근사화에서는, 국소 상호작용들만이 존재한다. 상호작용들이 무시되는 거리는 상대 크기에 대한 허용오차로 지정될 수 있다. 상대 크기로서, 주어진 거리에서의 속도비는 피처 크기와 동일한 거리에서의 속도에 대해 취해질 수 있다. 예를 들면, 이 근사화로 인한 14 % 상대오차의 허용오차가 설정되고, 포인트 간격으로 인한 5 % 상대오차의 허용오차가 설정되면, 총 상대오차는 20 % 미만이다. 각 피처에 대한 컷오프 거리는 그 피처의 다중극 전개의 상대 크기가 허용오차 미만으로 떨어지는 거리로 계산된다. 이는 피처들의 개수 및 피처 당 포인트들의 개수에서 선형인 계산 시간 스케일링을 제공한다. 즉, FLOPS는 대략 nm이다.
속도장들이 계산된 후, 원하는 위치에서 최종 변형이 결정된다. 원하는 위치는 레지스트의 임의의 포인트, 원하는 피처의 윤곽 상의 포인트, 또는 원하는 윤곽 상의 복수의 포인트일 수 있다. 실시예에서, 임의의 시간 "t"에서의 최종 위치는 원하는 위치에서 또는 그 주위에서의 속도장의 적분을 기초로 결정된다. 예를 들어, 최종 변위는 다음과 같이 변위 수학식 11을 사용하여 결정될 수 있다:
위의 수학식에서, 
는 시간 t에서의 포인트 i의 변위이고, u는 앞서 논의된 바와 같이 예를 들면, 스톡슬릿들을 사용하여 결정된 속도장이다. 실시예에서, 속도장 
는 시간 t0(즉, 시작 시간)와 te(즉, 시뮬레이션의 종료 시간) 사이에서 결정된다. 실시예에서, 입력(예를 들면, 도 4a에서 500), 속도장(예를 들면, 510, 520)은 픽셀화된 이미지들로 나타낼 수 있다. 그래서, 실시예에서는, 임의의 위치에서 시간 t0에서의 픽셀 값들이 내삽에 의해 결정될 수 있다. 픽셀 값들은 유체(예를 들면, 레지스트)와 함께 이동하는 포인트들에 의해 그려지는 공간-시간(space-time)의 곡선을 따라 일정해야 한다. 그래서, 포인트 i는 픽셀 값에 대응할 수 있고, 픽셀의 변위는 레지스트의 변위에 대응할 수 있다.
실시예에서, 피처 형상들은 윤곽 발견 알고리즘에 의해 이미지로부터 획득된다. 실시예에서, 힘과 속도의 계산을 다시 하는 일 없이 윤곽의 값을 변경하는 것이 바람직할 수 있다. 그래서, 실시예에서는, 2D 스톡스 유동에 따른 변형 후에 입력 이미지가 계산될 수 있다. 변형으로부터 입력 이미지의 이러한 역 계산은 또한 필요할 수 있는 추가 분석을 가능케 한다. 예를 들면, 도 7에 도시된 바와 같이 변형된 윤곽의 바로 근처와 같은, 이미지의 일부만 계산하는 옵션이 필요할 수 있다.
도 7에는, 초기 피처 형상들(703 및 705)(둥근 세장형 직사각형 피처들)이 참조로 도시되며, 변형된 피처들(713 및 715)은 초기 피처들(703 및 705)에 대응한다. 변형된 피처들(713 및 715)은 레지스트 변형 모델과 도 4a 및 도 5와 관련하여 논의된 시뮬레이션 프로세스에 기초하여, 초기 피처들(703 및 705)에 대응하는 힘들 및 속도들의 시뮬레이션으로부터 획득된다. 실시예에서는, 초기 피처들(703 및 705)의 변형이 결정될 뿐만 아니라, 예를 들면 변형된 피처들(713 및 715)의 윤곽에 작용하는 힘들과 속도들에 기초하여, 721의 여러 사례로 나타내는 레지스트의 바로 근처의 변형도 또한 결정될 수 있다.
실시예에서, 레지스트 도메인 전체의 변형은 예를 들면, 위치 정보 및 상기 변위 수학식 11을 사용하여 획득될 수 있다. 수학식들(예를 들면, 수학식 2 내지 11)에 기초하여, 속도장의 각 픽셀에 대해 변형이 결정될 수 있으며, 이에 의해 레지스트 도메인 전체의 변형이 산출된다.
상기 방법들 및 예들은 개념들을 전달하기 위해 2D 스톡스 유동과 관련하여 설명되었음을 본 기술분야의 통상의 기술자는 이해할 수 있다. 하지만, 상기 방법들은 2D 스톡스 유동에 국한되지 않으며, 임의의 다른 유동이 유체 역학 모델을 나타내는 데 사용될 수 있고 관련 경계 조건들이 힘들과 속도장을 결정하는 데 적용될 수 있다. 실시예에서, 모세관력들에 의해 구동되는 2D 스톡스 유동은 본질적으로 원하는 피처에 국소적일 수 있으며, 그래서 요구되는 정확도에는, 거리 - 이 거리보다 더 멀리 떨어져 있는 피처 엣지들로 인해 속도장이 무시될 수 있음 - 가 존재한다. 예를 들어, 유체 역학 모델은 보다 글로벌한 해(솔루션)를 제공할 수 있는 힐리-쇼(Hele-Shaw) 유동을 기초로 할 수 있다. 힐리-쇼 유동에서, 속도 유동은 솔레노이드인데, 이는 그 자체의 힘으로 인한 역점(force point)의 속도를 획득하는 데 유용하다. (깊이가 평균화된) 힐리-쇼 유동의 기본해는 단순히 스톡슬릿의 대체이다. 그래서, 힐리-쇼 유동에 대한 점력(point force)으로 인한 속도 응답은 2D 스톡스 유동과 관련된 (예를 들면, 수학식 2의) 함수 G를 힐리-쇼 유동과 관련된 다른 함수 G로 대체함으로써 결정될 수 있다.
실시예에서, 도 8a 및 도 8b를 참조하면, 레지스트 변형을 결정하고 패터닝 프로세스의 파라미터들을 조정하기 위해 레지스트 변형 모델을 또한 적용하는 방법(800)이 제공된다. 실시예에서, 레지스트 변형 모델은 변형을 결정하기 위해 획득 및 시뮬레이션될 수 있다.
본 방법은 프로세스 P82에서 패턴을 갖는 레지스트의 레지스트 변형 모델(801)을 획득하는 단계를 포함한다. 실시예에서, 레지스트 변형 모델은 패턴의 피처 윤곽에 작용하는 모세관력들로 인한 레지스트의 유체 유동을 시뮬레이션하도록 구성된다. 또한, 실시예에서, 입력 패턴(803)(예를 들면, 도 3c에서와 같이)이 레지스트 변형 모델(801)에 의해 처리되도록 획득될 수 있다. 실시예에서는, 해당 위치에서 피처의 존재를 나타내는 모종의 다른 양(quantity)이 피처 경계들을 획득하기 위해 역치화된다. 다른 양들(quantities)의 예는 컬러 이미지의 적색 성분, 컬러 이미지의 청색 성분, 컬러 이미지의 녹색 성분, 이미지의 색조, 이미지의 채도, 이미지의 픽셀 값들 등을 포함하나 이들에 국한되지는 않는다. 입력 패턴(803)은 컨볼루션 필터 또는 다른 엣지 검출 필터로부터의 출력일 수도 있다.
실시예에서, 레지스트 변형 모델은 논의된 바와 같이, 예를 들면 도 4a 및 도 5와 관련하여 위에서 논의된 바와 같이 획득될 수 있다. 실시예에서, 레지스트 변형 모델은 유체 역학 모델이다. 실시예에서, 레지스트 변형 모델을 획득하는 단계는 도 4a 및 도 5에서 논의된 바와 같이 유체 역학 모델을 정의하는 단계 및 경계 조건들을 정의하는 단계를 포함하는 모델을 생성하는 단계를 포함한다. 실시예에서, 레지스트 모델을 획득하는 단계는 네트워크를 통해 레지스트 모델을 수신하는 단계를 포함한다. 실시예에서, 레지스트 모델은 데이터베이스로부터 수신될 수도 있고 또는 프로세스는 레지스트 모델이 구현되는 다른 프로세스와 통신하도록 구성될 수도 있다. 실시예에서, 유체 역학 모델은 도 4a 및 도 5에서 논의된 바와 같이 선형화된 나비에-스톡스 유동 방정식을 기초로 한다. 예를 들어, 유체 유동은 2D 스톡스 유동(스톡스 유동의 예) 또는 힐리-쇼 유동을 특징으로 한다.
본 방법은 프로세스 P84에서 프로세서(예를 들면, 프로세서(104)) 및 레지스트 변형 모델(예를 들면, 2D 스톡스 유동 기반의 수학식 2 내지 11 및 도 4e 내지 도 4h의 대응하는 경계 조건들)의 시뮬레이션을 통해, 레지스트 변형 모델에의 입력 패턴(803)에 대한 현상된 레지스트 패턴의 변형을 결정하는 단계를 포함한다. 경계 조건들과 속도장에 따라, 획득되는 변형들은 다를 수 있다. 예를 들어, 도 4g와 관련하여 논의된 바와 같이 벽 경계 조건에 대응하는 변형을 나타내고, 4h는 주기적 경계 조건이 적용될 때의 변형을 나타내며, 도 7은 레지스트 도메인의 일부의 변형을 도시한다.
실시예에서, 시뮬레이션은 도 8b와 관련하여 논의되는 P844 내지 P848과 같은 다음의 프로세스들을 더 포함한다. 실시예에서, 시뮬레이션은 프로세스 P842에서 피처 윤곽을 따라 초기 정점들을 정의하는 단계를 포함한다. 실시예에서, 초기 정점들은 시뮬레이션 프로세스를 안정화시키기 위해 특정 조건을 만족하도록 재배치될 수 있다. 예를 들어, 프로세스 P844는 패턴의 피처 윤곽의 면적 또는 체적을 보존하면서 정점들이 균등하게 이격되도록 정점들을 재분포시키는 것을 포함한다.
또한, 시뮬레이션 프로세스는 프로세스 P846에서 패턴의 피처 윤곽을 따라서 주어진 정점에서의 모세관력을 결정하는 단계를 포함한다. 실시예에서, 주어진 정점에 작용하는 모세관력은 주어진 정점의 양측의 장력들의 합이다. 힘은 예를 들면, 수학식 3 내지 5를 사용하여 결정될 수 있다. 실시예에서, 힘들은 피처들의 대규모 이동을 야기하는 수직 레지스트 도메인 경계들을 통한 순 내향 플럭스(net inward flux) 또는 순 외향 플럭스(net outward flux)로 인한 레지스트의 유동인 스퀴즈 유동을 야기할 수 있다. (예를 들면, 도 6에 도시된 바와 같은) 이러한 스퀴즈 유동은 도 4a와 관련하여 논의된 적절한 경계 조건들을 적용함으로써 제거될 수 있다.
프로세스 P848은 예를 들면, 스퀴즈 유동을 제거하기 위해 유체 역학 모델에 경계 조건을 적용하는 단계를 포함한다. 경계 조건들의 예들 및 이러한 경계 조건들을 구현하는 방법은 본 발명의 앞부분에서 도 4a 내지 도 4h와 관련하여 논의되어 있다.
힘들과 경계 조건들이 적용되고 나면, 프로세스 P850은 스톡슬릿들(Stokeslets) 및 경계 조건들의 중첩에 기초하여 모세관력들로 인한 유체 유동의 속도장(850)(도 5의 520 및 도 7의 721의 예)을 결정하는 단계를 포함한다. 실시예에서, 프로세스 P850은 주어진 정점에서의 모세관력으로 인한 모든 다른 정점들의 속도들에 기초하여 피처 윤곽을 따라서의 주어진 정점에서 속도를 획득하는 단계를 포함한다. 이는 주어진 정점에서의 힘과 주어진 정점을 중심으로 하는 스톡슬릿의 곱, 및 다른 정점들에서 이를 계산함으로써 달성된다. 첫 번째 정점에서의 힘으로 인한 주어진 정점에서의 속도는 이 속도가 피처의 면적 또는 체적을 보존하도록 이루어진다. 실시예에서, 속도는 힘에 대해 수직 방향이다.
실시예에서, 스퀴즈 유동은 속도장를 분해하고 이러한 스퀴즈 유동을 제거하기 위한 적절한 경계 조건들을 결정함으로써 결정될 수 있다. 예를 들어, 프로세스 P852는 속도장(850)을 스퀴즈 유동(예를 들면, 도 6의 600)과 고차 속도 유동(도시되지 않음)으로 분해하는 단계를 포함한다. 다음으로, 프로세스 P854는 경계 조건을 적용함으로써 속도장으로부터 스퀴즈 유동을 제거하는 단계를 포함한다. 실시예에서, 경계 조건은: 레지스트의 경계를 통과하는 유량을 0으로 설정하는 것; 및/또는 레지스트의 경계를 가로지르는 속도를 노 플럭스(no-flux) 상태로 설정하는 것을 포함한다. 앞서 논의된 바와 같이, 레지스트 도메인의 경계의 코너들에 (예를 들면, 수학식 10을 사용하고 도 4e와 관련하여 논의된 바와 같이) 적절한 강도의 로틀릿들(예를 들면, 도 4e 참조)의 조합을 제공함으로써 수직 경계들을 통한 도메인 내로의 유량은 0으로 설정된다. 실시예에서는, 동일한 크기이면서 교호적인 부호의 로틀릿들이 레지스트 도메인의 4 개의 코너에 배치된다.
도 8a로 돌아가면, 본 방법은 프로세스 P86에서 선택적으로 레지스트 내의 부분 영역에서 힘들을 결정하는 단계 및 예를 들면, 도 7과 관련하여 논의된 바와 같이 부분 영역에서의 힘들을 사용하여 레지스트 변형 모델의 시뮬레이션에 기초하여 레지스트의 전 영역의 변형을 획득하는 단계를 포함한다.
실시예에서, 본 방법은 프로세스 P88에서, 원하는 시간 인스턴스까지 레지스트 변형 모델의 시뮬레이션을 통해 원하는 시간 인스턴스에서 레지스트 변형을 획득하기 위한 시뮬레이션을 포함할 수 있다. 실시예에서는, 모세관력들이 작용하는 영역으로부터 보다 멀리 떨어진 피처들로 인한 속도장에 대한 기여도는 무시할 수 있다.
앞서 논의된 바와 같이, 입력 패턴(예를 들면, 도 3c)은 입력 패턴의 이미지의 형태로 레지스트 변형 모델에 제공된다. 이미지는 2 진 이미지일 수 있다. 실시예에서, 입력 패턴은 설계 패턴, 레지스트 이미지, 마스크 패턴, 및/또는 에어리얼 이미지이다. 실시예에서, 입력 패턴을 획득하는 단계는 2 진 이미지를 생성하는 단계를 포함한다. 2 진 이미지는 입력 패턴에 대응하는 패터닝 디바이스 패턴을 획득하고, 패터닝 프로세스의 시뮬레이션을 통해 패터닝 디바이스 패턴에 기초하여 에어리얼 이미지를 산출하며; 및 2 진 이미지를 생성하기 위해 에어리얼 이미지에서 패턴의 경계들을 추출함으로써 생성될 수 있다.
실시예에서, 상기 방법들(400, 500, 또는 800)은 레지스트 변형 모델을 사용하여 현상된 레지스트 패턴의 경계에 배치된 한 쌍의 위치 사이의 임계 치수를 계산하는 단계; 및 계산된 임계 치수와 실제 현상된 레지스트 패턴의 측정된 임계 치수 사이의 에러를 계산하는 단계를 더 포함할 수 있다. 이러한 CD 및 에러 값들은 패터닝 프로세스의 최적화, 예를 들면 OPC, 마스크 최적화, 소스 최적화, 또는 이들의 조합을 수행하는 데 더 사용될 수 있다.
실시예에서, 변형은 복수의 위치에서 결정되는데, 각 위치는 입력 패턴에 대한 현상된 레지스트 패턴의 현상된 부분의 경계에 놓인 포인트에 대응한다. 실시예에서, 레지스트는 화학적으로 또는 비화학적으로 증폭된 네거티브 톤 레지스트 또는 포지티브 톤 레지스트이다.
도 9는 위에서 논의된 변형 모델에 기초하여 계산된 레지스트 변형에 기초하여 패터닝 프로세스의 파라미터를 결정하는 방법(900)의 플로차트이다. 본 방법(900)은 프로세스 P92에서 (i) 패턴을 갖는 레지스트의 (예를 들면, 도 4a 및 도 5d의 방법들과 관련하여 논의된) 레지스트 변형 모델을 포함하는 패터닝 프로세스 모델(901), 및 (ii) 타겟 패턴(903)(예를 들면, 설계 패턴)을 획득하는 단계를 포함한다. 패턴의 적어도 하나의 피처의 윤곽에 작용하는 모세관력들로 인한 레지스트의 유체 유동을 시뮬레이션하도록 구성된 레지스트 변형 모델. 실시예에서, 레지스트 변형 모델은 패턴의 피처 윤곽에 작용하는 모세관력들로 인한 레지스트의 유체 유동을 시뮬레이션하도록 구성된 유체 역학 모델이다.
프로세스 P94는 타겟 패턴(903)을 패터닝 프로세스 모델에의 입력으로 하여 패터닝 프로세스 모델(901)의 시뮬레이션을 기초로 프로세서(예를 들면, 프로세서(104))를 통해 레지스트 패턴(904)을 결정하는 단계를 포함하는데, 레지스트 패턴과 타겟 패턴 사이에는 차이가 존재한다. 예시적인 입력 패턴(예를 들면, 도 5의 500)의 레지스트 변형(예를 들면, 520) 내의 레지스트 패턴들의 예들이 도 5 및 도 7에 도시되어 있다. 2D 스톡스 유동을 기초로 한 힘들과 속도에 기초한 변형 프로세스는 도 4a의 방법(400)과 관련하여 논의되어 있다.
프로세스 P96은 프로세서를 통해 패터닝 프로세스의 시뮬레이션을 기초로 패터닝 프로세스의 파라미터의 값을 결정하는 단계를 포함하는데, 파라미터의 값은 레지스트 패턴과 타겟 패턴 사이의 차이가 감소되도록 결정된다. 실시예에서, 패터닝 프로세스의 파라미터는 선량, 초점, 광학 근접 보정 중 적어도 하나를 포함한다. 예를 들어, 레지스트 변형 모델은 패터닝 프로세스의 레지스트 프로세스의 레지스트 모델에 포함될 수 있다. 이러한 레지스트 모델을 사용한 패터닝 프로세스의 시뮬레이션은 선량, 초점, 광학 파라미터들, OPC 등과 같은 파라미터들의 최적 값들을 결정하는 단계를 포함하여 패터닝 프로세스의 최적화를 가능케 할 수 있다. 최적화 프로세스는 레지스트 패턴과 입력 패턴 사이의 차이를 포함하는 비용 함수를 저감시키는 단계를 포함할 수 있다.
프로세스 P98은 패터닝 프로세스 중에 리소그래피 장치에 패터닝 프로세스의 파라미터의 값을 적용하는 단계를 포함한다. 이러한 파라미터 값들을 기초로 프린트된 웨이퍼가 (예를 들면, 광학 툴들 또는 SEM을 사용하여) 추가로 측정되어, 변형 모델의 결과들을 검증하는 데 사용될 수 있다. 예를 들면, 계측 툴을 통해 획득된 프린트된 웨이퍼의 SEM 이미지. SEM 이미지는 변형 모델의 시뮬레이션의 원하는 인스턴스에서 획득된 변형과 비교될 수 있는(예를 들면, 시뮬레이션 이미지와 SEM 이미지의 패턴들 사이의 EPE) 레지스트 패턴들을 결정하기 위해 추가로 처리될 수 있다. 비교에 기초하여, 유체 역학 모델이 검증되거나 수정될 수 있다. 예를 들어, 변형 모델에는 추가 에러 또는 페널티 항들이 포함될 수 있다. 에러 또는 페널티 항들은 기판의 시뮬레이션된 값과 실제 측정된 값의 차에 대응할 수 있다.
실시예들이 레지스트 패턴 이미지로서 2 진 이미지들의 측면에서 설명되었으나, 실시예에서는, 입력 레지스트 패턴 이미지가 그레이스케일일 수도 있고 및/또는 출력된 변형된 레지스트 패턴 이미지가 그레이스케일일 수도 있다. 또한, 실시예들은 이미지들의 사용의 측면에서 설명되었으나, 레지스트 패턴은 CD들, 좌표 위치들, 벡터들 등과 같은 데이터의 측면에서 보다 일반적으로 특징지어질 수 있으며, 그래서 입력 레지스트 패턴 데이터 및/또는 출력된 변형된 레지스트 패턴 레지스트 변형 데이터는 CD 값들, 좌표 위치들, 벡터들 등과 같은 비이미지 형태일 수도 있음을 이해할 것이다.
실시예에서, 유체 역학 모델은 레지스트 패턴 이미지 데이터의 2 진화를 채택함으로써 비교적 고속일 수 있다. 추가적으로 또는 대체로서, 풀칩(full-chip) 솔루션에 대한 보다 고속의 적용을 위한 나비에-스톡스 방정식의 단순화는 방정식들을 이산화하고 커널 함수들의 합으로 나타냄으로써 수행될 수 있다.
그래서, 요약하면, 표면 장력과 같은 유체내 힘들이 레지스트 패턴에 미치는 영향이 전산 유체 역학 모델을 사용한 레지스트 패턴의 예측에 포함된다. (예를 들면, ASML의 Tachyon 제품을 사용하여 생성된 광학 이미지(또는 이로부터 파생된 이미지)와 같은) 레지스트 패턴에 관한 데이터가 모델에의 입력으로 사용된다. 실시예에서는, 처리를 고속화하기 위해, 완전히 현상된 것으로 가정되는 영역과 나머지 영역으로 2 진화된다. 나머지 레지스트는 층류의 2 상 유동장(laminar two-phase flow field)에서 점도가 일정하거나 일정하지 않은 유체로 취급된다. 다음으로, 현상된 레지스트의 경계들에 작용하는 표면 장력과 같은 유체내 힘들이 효과적으로 모델링된다. 모델은 예를 들면, 유체 속도와 압력을 결정하고, 그 결과 나비에-스톡스 방정식과 같은 유체 역학 방정식들을 풂으로써 레지스트의 변형이 계산된다. 그래서, 유체 역학은 레지스트 프로파일 예측을 가능케 하는 데 사용되며, 유체 역학 모델은 예를 들면, 표면 장력 효과를 효율적으로 포함할 수 있다. 특히, 실시예에서는, 고밀도의 패턴화된 형상들의 스트레인(strain) 및 곡률 효과들이 유체 역학을 사용하여 캡처된다.
모델이 물리적 및 물질 파라미터들의 값들이 알려지지 않은(예를 들면, 점도, 밀도 등이 알려지지 않은) 특정 패터닝 프로세스에 적합하도록 하기 위해, 모델은 실제 변형된 피처들에서 측정된 값들(예를 들면, X 및 Y 방향으로의 실험적인 CD 값들)에 (예를 들면, 회귀(regression)에 의해) 피팅될 수 있다.
따라서, 실시예에서는, 레지스트 변형 예측을 패터닝 프로세스 구성을 위한 기존 알고리즘들에 비교적 쉽게 통합할 수 있도록 정확도와 속도의 균형을 이루는 레지스트 변형을 결정하는 방법이 제공된다. 예를 들면, 실시예에서는, 과거의 모델링보다 레지스트 패턴의 변형의 보다 우수한 예측을 제공할 수 있는 유체 역학 모델이 제공된다. 추가적으로 또는 대체로서, 유체 역학 모델은 과거의 모델링보다 더 빠른 변형 예측을 제공할 수 있다.
도 10a 및 도 10b에 나타낸 바와 같이, 현상 스테이지 중에, 용매가 레지스트(1010) 또는 그 안의 피처로 확산되는데, 이는 레지스트의 외층(예를 들면, 1020)을 연화시킨다. 이러한 거동을 모델링하는 한 가지 방법은 (i) 모세관 및 점성 유동 영향이 지배적이라는 것과 (ii) 레지스트 및/또는 레지스트와 관련된 액체 층 내에서 연속체 기술(continuum description)이 성립한다는 가정을 기초로 한다.
모세관력들은 용매가 다시 증발할 때까지 탄성적으로 또는 점성 유동을 통해 이 외층(1020)을 변형시킨다. 두 변형 프로세스 모두 작은 변형의 경우에 유사한 방정식들에 의해 대략적으로 지배되기 때문에, 박층의 유동은 점성 유동으로 간주된다. 실시예에 따르면, 피처 경계 주위의 레지스트(1010)의 얇은 액체 층(1020)(경계 액체 층(1020)으로도 지칭됨)은 모세관력들에 의해 구동되어 흐르게 된다. 피처 경계와 피처 주위의 액체 층은 서로 연관되어 있고 액체 층의 임의의 변형은 피처의 형상의 변화를 초래하므로, 피처의 "경계 액체 층", "박막", 및 "윤곽" 또는 "경계"라는 용어는 본 명세서에서 상호 교환 가능하게 사용될 수 있다. 따라서, 경계 액체 층의 변형은 피처의 경계/윤곽의 변형을 가리킨다. 실시예에서, 피처들은 (예를 들면, 도 10b에 나타낸 바와 같이) 기판의 표면에 대해 정해진 높이(H)에서 (예를 들면, 도 10a의) 그 경계들로 나타낼 수 있다.
실시예에서, 경계 액체 층(1020)의 유체 유동은 각각 도 10a 및 도 10b에 나타낸 바와 같이, 수평 유동과 수직 유동의 두 성분으로 분해된다. 따라서, 유체 유동에 의해 야기되는 경계 액체 층(및/또는 이와 관련된 피처)의 변형은 수평 유동 성분(예를 들면, 1011, 1012, 1013, 1015, 및 1016)에 의해 야기되는 제1 변형 성분과 수직 유동 성분(예를 들면, 1021, 1022, 1023)에 의해 야기되는 제2 변형 성분의 합성(resultant)일 수 있다. 실시예에서, 피처의 경계는 기판 위의 소정 높이(예를 들면, H)에서 순 내향 움직임(net inward motion)을 가질 수 있다.
도 10a에 나타낸 바와 같이, 수평 평면에서의 수평 유동 성분(예를 들면, 1011, 1012, 1013, 1015, 및 1016)은 피처의 레이아웃 또는 기하학적 형상(예를 들면, 선 또는 원)의 경계를 따라 작용한다. 수평 유동 성분은 경계 액체 층(1020)의 이 형상의 변화를 초래하지만, 피처의 전체 면적은 변화를 초래하지 않는다. 실시예에서, 수평 유동은 수평 평면에서의 피처의 곡률에 종속적이다.
도 10b에 나타낸 바와 같이, 수직 평면에서의 수직 유동 성분은 경계 액체 층(또는 이와 관련된 피처)의 수직 평면에서 단면의 형상을 따라 작용한다. 수직 유동은 전체 면적을 변화시킬 수 있다. 수직 유동은 수직 방향의 곡률에 종속적이다.
그래서, 레지스트 변형 모델(예를 들면, 박막 모델)은 유체 유동의 수평 유동 성분으로 인해 초래되는 제1 변형을 결정하고 수직 유동 성분에 의해 초래되는 제2 변형에 대응하도록 제1 변형을 또한 조정하도록 구성된다.
실시예에서, 레지스트 변형 모델은 수평 유동 및 수직 유동 성분들의 상이한 측면들(예를 들면, 유량들, 변형들, 질량 및/또는 체적의 보존 등)을 캡처하도록 구성된다. 또한, 박막 근사화에 따르면, 임의의 피처의 변형은 다른 인접한 피처들의 변형에 독립적이다. 이는 계산 시간이 피처들의 개수에 선형이 되게 하는데, 이는 가능한 최상의 스케일링이다. 마지막으로, (피처의 윤곽을 따라서의) 임의의 포인트는 그 가장 가까운 이웃들 및 그 다음으로 가장 가까운 이웃들과만 상호작용하기 때문에 모델의 직접 구현은 매우 잘 병렬화된다. 또한, 레지스트 변형 모델은 윤활 근사화(lubrication approximation)를 기초로 한 수축으로 인한 피처들의 변형을 결정하도록 구성된다. 윤활 근사화에서, 수직 전단 응력은 무시된다. 변형이 층 두께보다 훨씬 더 긴 거리에 걸쳐 수평 방향으로 서서히만 변하는 경우에 수직 전단 응력은 무시할 수 있다.
도 10c는 본 발명에 따른 레지스트의 피처에 인접한 경계 액체 층의 개략적인 평면도를 묘사한다. 도 10c는 경계 액체 층(즉, 겔형 층)이 획정된 노광된 레지스트의 모델의 평면도이다. 이 모델에서는, 폭(950)(층 두께 δ로도 지칭됨)을 갖는 경계 액체 층(930)이 현상된 또는 개방된 영역들(910)(예를 들면, 트렌치들)에 대해 획정된다. 레지스트(900)의 부분들 사이의, 트렌치와 같은, 현상된 또는 개방된 영역(910)은 현상에 의해 형성된다. 이 예에서, 영역(910)은 내부에 가스를 가질 수 있다.
레지스트(900)는 경계 액체 층(930)에 비해 (예를 들면, 30 % 이상, 50 % 이상, 75 % 이상, 100 % 이상, 200 % 이상, 500 % 이상, 또는 1000 % 이상) 상대적으로 높은 탄성 계수를 갖는 고체 또는 높은 점도를 갖는 액체로 지정됨으로써 전혀 또는 거의 변형되지 않도록 지정된다. 사실, 레지스트(900)는 모델에서 지정될 필요조차 없을 수 있으며, 대신에 고점도의 인접 영역 또는 전혀 또는 거의 변형될 수 없는 인접 영역을 지정하는 것에 상당하는 경계 조건이 경계 액체 층(930)에 적용된다. 그래서 경계 액체 층(930)은 영역(910) 내로의 변형의 전부 또는 대부분을 나타낸다. 이 예에서, 레지스트(900) 상부의 경계 액체 층(930)의 확장은 도시되지 않는다. 하지만, 레지스트(900)의 전부 또는 일부는 경계 액체 층(930)으로 덮일 수 있다.
레지스트 변형 모델은 레지스트 패턴의 현상된 또는 개방된 영역과 레지스트(900) 사이의 경계에 위치된 경계 액체 층(930) 면에서 특징지어진다. 경계 액체 층(930)은 경계에서 레지스트의 폭보다 작은 폭을 가지며, 경계 액체 층의 파라미터 또는 이와 관련된 파라미터는 피처의 경계에서(개방된 영역에서) 및 현상된 또는 개방된 영역의 반대편의 경계 액체 층의 측면에서의 적절한 경계 조건에 따라 변경될 수 있다. 예를 들어, 경계 액체 층에 적용되는 경계 조건은 고점도의 인접 영역 또는 전혀 또는 거의 변형될 수 없는 인접 영역을 지정하는 것에 상당할 수 있다.
실시예에서, 레지스트 변형 모델은 모세관 및 점성 유동 영향이 지배적이라는 가정하에 개발된다. 또한, 레지스트 변형 모델은 연속체 기술(continuum description)이 성립한다는 가정하에 개발된다. 그래서, 물리적 결과들에 대한 모델의 적용 가능성은 길이 스케일 및/또는 시간 스케일(예를 들면, 폭, 변형을 시뮬레이션하는 기간 등)로 제한된다. 실시예에서, 폭은 사전 결정된 양, 예를 들면 사용자에 의해 지정되고 바람직하게는 본질적으로 불용성 레지스트 쪽으로의 최대 예상 변형보다 더 크도록 선택될 수 있다. 실시예에서, 폭은 5 nm 내지 300 nm의 범위, 5 nm 내지 200 nm의 범위, 5 nm 내지 100 nm의 범위, 5 nm 내지 50 nm의 범위, 10 nm 내지 40 nm의 범위, 또는 5 nm 내지 30 nm의 범위, 또는 5 nm 내지 20 nm의 범위로부터 선택된다. 이러한 실시예에서, 폭은 교정 루틴의 일부로서 변경되지 않을 수 있다. 또는, 실시예에서, 사전 결정된 폭은 시작점일 수 있으며, 폭은 점도 등의 파라미터 또는 이와 관련된 파라미터와 같이 변할 수 있다.
실시예에서, 폭은 (바로 위에 기재된 범위들과 같은) 범위일 수 있는데, 이 범위는 제약조건으로 기능할 수 있다. 그래서, 이러한 실시예에서는, 특정 폭은 시작점일 수 있으며, 폭은 점도 등의 파라미터 또는 이와 관련된 파라미터와 같이 변할 수 있으나 주어진 범위 내로 제약될 수 있다.
실시예에서, 폭은 경계 액체 층을 따라서의 상이한 위치들에서 다를 수 있다. 예를 들어, 폭은 상이한 현상된 또는 개방된 영역들에서 또는 현상된 또는 개방된 영역을 따라서의 상이한 부분들에서 다를 수 있다. 다른 예로서, 폭은 레지스트의 상부 표면에서(예를 들면, 평면도에서) 현상된 영역의 측벽에서(예를 들면, 측면도에서)와 다를 수 있다. 실시예에서는, 폭의 차를 제약하도록 측벽 폭과 상부 표면 폭 사이에 관계(예를 들면, 비)가 지정될 수 있다.
그래서, 실시예에서는, 힘의 짧은 범위의 상호작용이 바람직할 때, 유한한(그리고 30 nm 이하와 같이 비교적 작은) 폭을 갖는 액체 물질의 영역이 현상된 또는 개방된 영역과 레지스트의 경계에서 정의될 수 있으며, 경계에서의 영역은 경계에서의 레지스트보다 작은 폭을 갖는다. 현상된 또는 개방된 영역의 반대측에서, 모델은 변형되지 않거나 유한 폭을 갖는 영역의 물질보다 훨씬 적게 변형되는(예를 들면, 유한 폭을 갖는 영역의 물질보다 훨씬 더 높은 점도를 갖는) 다른 물질, 예를 들면 고체를 가질 수 있거나, 그 위치에서 변형이 적거나 또는 전혀 없도록 상응하게 지정하는 경계 조건을 가질 수 있다. 그 결과, 반대측에서의 속도장은 0 또는 0에 근접할 수 있으며, 그래서 그 위치에서(및 이로부터 유한 폭의 다른 영역에 맞닥뜨릴 때까지의 외향 위치들에서) 변형에는 변화가 거의 또는 전혀 없게 된다.
도 11은 예를 들면, 패턴 정보(예를 들어, 도 3c와 관련하여 앞서 논의된 바와 같이, 에어리얼 이미지로부터 추출된 윤곽들)를 사용하여 레지스트 변형 모델의 시뮬레이션에 의해 얻어진 예시적인 개략적 출력을 묘사한다. 구체적으로, 도 11은 (i) 초기 윤곽들(Mi)(예를 들면, AI로부터 추출된 입력 윤곽(Mi1, Mi2, 및 Mi3)), (ii) (즉, 레지스트의 박층이 아니라 레지스트 전체가 액체로 취급되는) 전유체 역학 모델(full-fluid dynamics model)로부터 획득된 변형된 윤곽들(M1o)(윤곽들(111, 1112, 및 1113)을 포함함), 및 (iii) 본 발명에 따른 레지스트 변형 모델로부터 획득된 다른 변형된 윤곽들(M2o)(윤곽들(1121, 1122, 및 1123)을 포함함)을 묘사한다.
도 11에서, 전유체 모델로부터 획득된 (출력(M1o)의 일부인) 변형된 윤곽들(1111 및 1113)은 윤곽들이 각각 대응하는 입력 윤곽들(Mi1 및 Mi2)에 대해 레지스트(1010)로 외측으로 변형되고, 변형된 윤곽(1112)은 대응하는 입력 윤곽(Mi3)에 대해 내측으로 변형된다고 예측한다(예를 들면, M1o). 이러한 변형된 윤곽들(1111, 1112, 및 1113)은 레지스트(1010) 전체가 유체로 가정되기 때문에 개별 윤곽들(Mi1, Mi2, 및 Mi3)의 변형 사이의 상호작용으로 인해 야기된다. 다시 말하면, 하나의 피처(또는 그 윤곽)의 변형은 인접한 피처(또는 그 윤곽)의 변형을 초래할 수 있다.
(본 발명의) 박막 유체 모델로부터 획득된 (출력(M2o)의 일부인) 변형된 윤곽들(1121 및 1123)은 윤곽들이 각각 대응하는 입력 윤곽들(Mi1 및 Mi2)에 대해 내측으로 변형되고, 변형된 윤곽(1122)은 대응하는 입력 윤곽(Mi3)에 대해 변형되지 않거나 약간 변형된다고 예측한다(예를 들면, M2o). 이러한 모델 내에서는, 피처 주위의 박층만이 유체 유동으로 인해 변형된다고 가정되는 한편, 박층으로부터 더 멀리 떨어진 레지스트(1010)의 영역들은 변형되지 않거나 무시할 정도로만 변형되기 때문에, 하나의 피처의 변형된 것은 다른 인접한 피처와 독립적이다. 알 수 있다시피, 입력 윤곽(Mi1)과 관련하여 1121과 같은 윤곽들의 곡선 부분들에는 비교적 작지만 유의미한 변형이 존재하며, 입력 윤곽(Mi1)의 유사한 곡선 부분들에서의 윤곽(1111)의 변형과는 크게 다르다.
실시예에서, 레지스트 변형 모델은 (i) 윤활 근사화에 따라 단순화된 운동량 방정식, (ii) 질량과 체적의 보존, 및 (iii) 경계 조건들과 같은 박막 모델과 관련된 공식들을 포함한다. 이하의 설명은 경계 액체 층의 유체 유동의 수평 유동 성분과 수직 유동 성분으로 인한 변형을 결정하기 위한 레지스트 변형 모델의 예시적인 공식화(formulation)를 제공한다.
실시예에서, 경계층(예를 들면, 930)의 유체 유동의 수평 유동 성분은 경계 액체 층의 점도가 일정하다고 가정하여, 압력 구동 윤활 유동(pressure driven lubrication flow)을 기초로 결정될 수 있다. 수평 유동은 피처들의 체적과 경계 액체 층의 체적을 보존하면서 결정된다. 수평 유동에서, 피처의 윤곽의 곡률은 변형이 발생하는 방식에 제한 조건들을 부과한다. 실시예에서는, 피처의 윤곽을 따라서의 복수의 정점에 대해 변형 계산이 수행되는데, 각 정점은 피처의 윤곽 상의 위치이다. 계산은 유한 차분법을 기초로 변형의 시간 도함수의 야코비안(Jacobian)을 결정하는 것을 또한 포함한다.
또한, 윤곽의 오목한 부분이 이동함에 따라, 복수의 정점이 일치할 수 있는데, 이는 바람직하지 않다. 이와 같이, 정점들 사이의 간격을 조정하기 위해 재분포된 복수의 정점이 수행된다.
실시예에서는, 정점에서의 압력이 다음의 수학식을 사용하여 결정될 수 있다:
상기 수학식에서, i는 복수의 정점 중 i 번째 정점이고; 
는 i 번째 정점의 가장 가까운 정점들 사이의 선에 수직이며; 
는 i 번째 정점의 가장 가까운 이웃들까지의 평균 거리이고, 여기서 x가 정점의 위치이면, 
는 
로 주어지며; 
는 i 번째 정점에서의 힘이다. 실시예에서, 힘은 예를 들면, 전유체 모델을 사용하지 않고 앞서 논의된 힘을 결정하기 위한 프로세스만을 사용하여 스톡슬릿 기반의 모델을 사용하여 결정될 수 있다.
본 발명에 따르면, 유체 유량은 점도 μ, 경계 액체 층의 두께 δ, 및 수평 평면에서의 압력 구배 
에 종속적이다.
유량을 계산하기 위해, 속도 u가 층 두께 δ에 걸쳐 적분된다. 본 모델에 따르면, 점도는 스트레인의 전단률(shear rate)에 종속적이지 않다, 즉 경계 액체는 뉴턴 유체(Newtonian)이다. 점도는 레지스트의 높이 H에 종속적일 수 있다. 개념의 설명을 단순화하기 위해, 점도는 층 두께에 걸쳐 일정하다고 가정한다. 그러나 점도는 변할 수 있다.
속도는 윤활 근사화의 운동량 방정식과 다음의 수학식 세트로 기술되는 경계 조건들을 기초로 결정될 수 있다:
상기 수학식 세트에서, y는 법선 방향의 좌표, 즉 피처 주위의 고체 표면(즉, 레지스트)으로부터의 거리이고, x는 접선 방향 좌표이다. 실시예에서는, 속도 구배 
가 자유 표면(예를 들면, 피처의 카운터에서 경계층의 표면을 나타내는 외측 엣지)에서 0이 되도록 설정된 동적 경계 조건. 또한, 운동학적 경계 조건은 속도 u가 고체(예를 들면, 피처의 윤곽과 반대측의 경계층의 표면을 나타내는 내측 엣지)에서 0이 되도록 설정된다.
압력이 변함에 따라, 위의 수학식은 층 두께가 0 또는 음수 값들을 취하게 할 수 있는데, 이는 시뮬레이션을 불안정하게 할 수 있다. 그래서, 층 두께는 다음과 같이 포인트들 i 번째 정점과 i+1 번째 정점 사이의 중간으로 결정된다: 
.
또한, 압력 구배 
는 포인트들 i 번째 정점과 i+1 번째 정점 사이(예를 들면, 중간)에 있다.
다음으로, 속도는 다음의 수학식을 사용하여 계산될 수 있다:
또한, 속도를 적분하면 수평 평면에서의 경계층의 유량 Q(예를 들면, 아래의 수학식)를 얻을 수 있다. 이 공식은 압력 구배와 해당 정점들 사이의 층 두께의 함수로서 하나의 정점으로부터 그 다음 정점까지의 유량 Q를 제공한다.
또한, 층 두께를 포함하는 상태 변수의 시간 도함수가 시간 스텝마다 결정된다. 예를 들어, 
이다. 실시예에서, 두께의 시간 도함수는 임의의 주어진 포인트에서의 두께를 결정하기 위해 적분될 수 있다.
시간 도함수 계산은 효율적인 계산을 위해 시간 도함수의 야코비안의 계산을 포함한다. 포인트(예를 들면, i 번째 정점)의 시간 도함수는 그 가장 가까운 이웃들과 그 다음으로 가장 가까운 이웃들의 위치에 종속적이다. 이러한 야코비안은 5대각 행렬(pentadiagonal matrix)이며, 그래서 매우 희소성이다(sparse). 야코비안 행렬은 많은 다른 방법으로 계산될 수 있다. 실시예에서, 5 대각이란 0이 아닌 원소들을 갖는 주대각선(즉, 예컨대 정사각형 행렬의 경우 (1,1)에서 (n, n)까지 통과하는 행렬의 가장 긴 대각선) 및 0이 아닌 원소들을 갖는 주대각선에 인접한 2 개의 대각선을 가리키며, 야코비안 행렬의 나머지 원소들은 0이다. 얼핏 보면, (예를 들면, 사전 정의된 ODE 솔버를 통해) 자동 미분을 사용할 수 있다. 하지만, 이는 코드를 더욱 읽기 어렵고 이식성이 떨어지게 할 수 있다. 이들 이유로, 자동 미분은 바람직하지 않다. 다른 실시예에서, 야코비안은 분석적으로 계산될 수 있다. 하지만, 분석적 계산은 지배 방정식과 그 도함수를 구성 및 재구성하는 것을 요하는데, 이는 고도로 시간 소모적이며 에러가 발생하기 쉽다. 한편, 본 모델에 따르면, 결과적인 야코비안은 희소성이며, 이는 유한 차분의 사용을 가능케 한다. 유한 차분법은 예를 들면, 정점과 그 4 개의 인접한 정점이 변형을 계산하는 데 사용될 때 도함수의 6 번의 계산만을 필요로 하므로 보다 빠른 계산 시간과 비용 절감을 제공한다.
수평 유동으로 인한 변형을 결정함에 있어서의 추가 고려사항은 오목한 코너 또는 둥근 엣지들을 포함한다. 오목한 코너들에서는, 정점들이 서로 접근하게 된다. 결국, 이들은 만나게 된다. 그렇게 되면, 곡률 반경이 층 두께에 비해 커야 하므로, 박막 근사화는 무효화될 수 있다. 정점들이 만나면, 곡률 반경은 0이다. 그래서, 정점들이 일치하면, 법선 방향은 정의되지 않으며, 그래서 불안정한 시뮬레이션을 야기한다. 이 문제를 완화하기 위해, 복수의 정점은 연속적으로 재분포되며, 그래서 이들은 서로 일치하지 않는다. 본 발명은 정점들을 연속적으로, 즉 각 시간 스텝에서 재분포시키는 것에 국한되지 않으며, 본 기술분야의 통상의 기술자는 이산 시간 간격에서도 재분포를 수행할 수 있다.
실시예에서, 정점들의 재분포는 적어도 층 두께의 진화의 시간 스케일과 같은 크기 정도의 시간 스케일로 정의될 수 있다. 연속성에 의해, 단위 시간당 층 두께의 감소는 접선 좌표에 대한 유량의 도함수로서 결정될 수 있다. 이렇게 얻어진 시간 스케일은 상이한 정점들에 대해 상이할 수 있다.
또한, 정점들을 어떻게 재분포시키는지, 및 그것이 어떻게 각 정점의 층 두께를 변화시키는지가 결정된다. 예시적인 재분포는 다음과 같은 3 가지 사양을 기초로 한다. 첫째, 재분포는 피처의 전체 체적을 보존해야 한다. 이는 가장 가까운 인접 정점들 사이의 선에 평행한 방향으로만 정점을 이동시킴으로써 달성된다. 둘째, 재분포는 수렴해야 한다, 즉 성장 모드(growing modes)를 갖지 않아야 한다. 이는 정점 간격의 확산을 재분포로 사용함으로써 달성할 수 있는데, 각 정점의 속력은 가장 가까운 인접 정점들 사이의 중간의 선까지의 그 거리에 비례한다. 비례 상수는 재분포의 시간 스케일을 결정한다. 셋째, 경계 액체 층의 체적은 보존되어야 한다. 이는 경계 액체 층의 기하학적 표현을 계산함으로써 달성될 수 있다.
도 12a를 참조하면, 경계 액체 층이 층 두께와 정점 위치들로 표현되어 있다. 경계 액체 층과 고체 부분(즉, 레지스트) 사이의 내측 엣지(BLi)가 파선으로 그려져 있다. 외측 엣지(BLo)는 실선으로 그려지고, 도트들(1208, 1209, 1210, 1211, 및 1212)은 샘플 정점들이다. 중간 정점(1210)(예를 들면, i 번째 정점)에 대해, 중심선, 접선(1230), 및 운동 방향이 도시되어 있다. 외측 엣지 상(즉, 피처의 윤곽에서)의 각 정점의, 위치와 층 두께가 상태 변수들이다. 재분포에 의해, 법선 및 접선 벡터들이 외측 엣지(BLo) 정점들(1208, 1209, 1210, 1211, 및 1212)의 순간 위치들로부터 획득된다.
재분포는 외측 정점들(즉, 경계층의 외측 엣지(BLo) 상의 정점들)을 인접한 외측 엣지 정점들 사이의 선의 방향으로 이동시킨다. 법선 방향들이 변하지 않게 되면, 내측 엣지 정점들(즉, 내측 엣지(BLi)를 따라서의 정점들)(도시되지 않음)은 인접한 내측 엣지 정점들 사이의 선의 방향으로 이동하게 된다. 법선 방향의 변화를 고려하기 위해서는 층 두께의 추가 변화가 있어야 한다. 하나의 외측 정점이 접선 방향으로 이동하면, 이는 대응하는 내측 정점 및 그 가장 가까운 이웃들이 대응하는 외측 정점들의 접선 방향으로 이동하게 한다. 층 두께의 변화들은 그 운동 방향이 이들 내측 정점의 접선 방향이 되도록 이루어져야 한다. 실시예에서, 재분포는 아래의 다음과 같은 시간 스케일 수학식을 기초로 달성되는데, 여기서 Δx는 연속적인 정점들 사이의 거리이고 λ는 2Δx의 공간 주기이다.
실시예에서, 경계 액체 층의 체적을 보존하기 위해 내측 법선 방향의 속도는 0이어야 하며, 이는 다음의 수학식으로 이어진다:
위의 수학식에서, 
는 내측 정점의 외측 접선 속도이고; 
는 외측 접선 방향을 가리키며; 
는 내측 법선 방향을 가리키고; 
는 외측 법선 방향을 가리킨다. 위의 수학식 19는 정점들의 재분포 하에서 경계 액체 층의 체적을 보존하는 층 두께의 시간 변화율을 제공한다. 층 두께의 이 시간 변화율은 외측 정점들이 외측 접선 방향으로 이동할 때 체적을 보존한다. 이는 외측 정점들이 외측 법선 방향으로 이동하게 하는 유동으로 인한 층 두께의 시간 변화율에 추가되어야 한다.
또한, 인접한 외측 정점이 이동하면, 이는 법선 방향을 변화시킨다. 법선 벡터의 시간 도함수는 인접한 정점의 속도와 인접한 정점들 사이의 거리에 종속적이다. 이는 인접한 정점들이 접선 방향을 결정하기 때문이다. 이제 법선 벡터들은 시뮬레이션 중에 변할 수 있으므로, 법선 벡터는 유동으로 인한 변화를 고려해야 한다. 물질의 유동은 외측 법선 방향으로의 외측 정점의 속도 성분을 초래한다. 이는 인접한 정점들의 법선 방향을 변경시키는데, 이는 내측 접선 속도를 변화시킨다.
재분포 프로세스의 종료는 경계층의 수평 유동으로 인한 제1 변위 성분을 야기한다. 또한, 제1 변위 성분은 유체 유동의 수직 유동으로 인한 제2 변위를 포함하도록 조정된다.
실시예에서, 경계층(예를 들면, 930)의 유체 유동의 수직 유동 성분은 다음과 같이 결정될 수 있다. 수직 유동의 계산은 (모델링 목적상) 수평 유동에 독립적이다(라고 가정한다). 그래서, 실시예에서는, 수평 유동만에 의한 변형, 수직 유동만에 의한 변형, 또는 이들의 조합이 결정될 수 있다. 실시예에서, 수직 유동 성분은 경계층의 변형을 결정하는 데 사용되는 층 두께의 시간 도함수의 추가 성분을 초래한다. 변형은 수직 전단 응력이 무시되는 윤활 근사화로 계산된다. 변형이 층 두께보다 훨씬 더 긴 거리에 걸쳐 수평 방향으로 서서히만 변하는 경우에 수직 전단 응력은 무시할 수 있다.
실시예에서, 수직 유동은 레지스트 수축 모델을 기초로 결정된다. 도 12b는 레지스트 변형 모델의 수직 유동을 정의하는 데 사용되는 예시적인 명명법을 도시하며, 수축 모델은 다음과 같이 정의된다:
위의 수학식에서 및 도 12b를 참조하면, y는 법선 방향의 좌표, 즉 피처의 고체 표면으로부터의 거리이고; x는 접선 방향의 좌표이며; 
는 수평 유동으로 인한 층 두께의 시간 도함수이고, δ는 층 두께이며, k는 체적 수축이고, h는 피처의 높이이다.
수직 유동을 계산하기 위해서는, 입력 패턴 정보로부터 (예를 들면, 도 10b에 나타낸 바와 같은) 측면들의 형상을 추출하고 윤활 근사화를 기초로 수축으로 인한 레지스트 변형 모델을 적용한다. 또한, 변형은 비압축성이라고 가정한다. 실시예에서, 변형은 2 차원 변형인데, 이는 예를 들면, 선(라인) 피처의 변형에 양호한 근사화가 된다. 하지만, 본 공식화는 피처의 특정 형상에 국한되지 않고, 임의의 피처 형상으로 확장될 수 있다.
수직 유동 결정에 있어서의 레지스트 변형 모델은 물질에 어떠한 체적력(body forces)도 작용하지 않기 때문에 응력 
의 발산이 피처의 물질에서 소멸되는 공식화를 기초로 한다. 모든 힘들은 경계들에 작용한다. 따라서, 응력들과 스트레인들이 공식화로부터 제거되는 경계 액체 층에서의 변위들을 기술하는 탄성 공식화가 사용될 수 있다. 예를 들면, 경계 액체 층이 수직 유동으로 인해 어떻게 변형되는지를 결정하기 위해 Navier-Cauchy(나비에-코시) 방정식으로 정의된 선형 탄성 공식화가 위의 가정들과 함께 사용될 수 있다.
실시예에서는, 나비에 방정식이 다음과 같이 주어진 (x 방향으로의) 수평 변위만의 측면에서의 지배 방정식을 획득하는 데 사용된다.
위의 수학식에 더해, 실시예에서, 피처 엣지 너머에는 잡아당길 물질이 존재하지 않기 때문에 상단(y = δ)에서의 경계 조건은 응력이 사라져야 한다는 것이다. 그리고, 하단(y = 0)에서의 경계 조건은 변위가 사라져야 한다는 것이다. 수직 평면에서의 레지스트의 단면의 변형된 형상의 예가 도 13에 도시되어 있다. 도 13에서, 엣지들(1301, 1303, 및 1305)은 레지스트로부터 떨어져 있으며 위에서 논의된 바와 같이 수직 유동으로 인해 변형된다. 경계 조건에 따라 고체 부분 또는 레지스트의 엣지는 변형되지 않음을 알 수 있다.
도 14a는 윤활 근사화에 따라 단순화된 박막 기반의 유체 모델에 기초하여 패터닝 프로세스 중에 레지스트에 형성되는 패턴의 변형을 결정하는 예시적인 방법(1400)의 플로차트이다. 실시예에서는, 제1 평면에서의 유체 유동(예를 들면, 수평 유동)을 기초로 피처의 제1 변형이 시뮬레이션된다. 또한, 제2 평면(예를 들면, 수직 평면)에서의 유체 유동을 기초로, 제1 변형은 앞서 논의된 바와 같이 수직 유동에 대응하기 위해 추가로 변형된다(제2 변형으로 지칭됨). 그 결과는 수평 유동과 수직 유동 양자 모두로 인한 변형에 대응한 패턴의 변형이다.
본 방법(1400)은 프로세스 P141에서 형성되는 패턴과 관련된 패턴 정보(1401)를 레지스트 변형 모델에 입력하는 단계를 포함하고, 모델은 레지스트의 부분의 변형을 시뮬레이션하도록 구성되며, 상기 부분은 레지스트의 현상된 영역과 현상된 영역을 둘러싸는 레지스트의 영역 사이의 경계에 위치된 경계 액체 층(예를 들면, 도 10c의 930)을 포함한다.
실시예에서, 패턴 정보(1401)는 입력으로서 피처(들)의 윤곽(들)을 포함하는 이미지의 형태이다. 실시예에서, 윤곽들은 위에서 도 3b 및 도 3c와 관련하여 논의된 바와 같이 (예를 들면, 310에서) 에어리얼 이미지로부터 (예를 들면, 320에서) 추출된다. 추출된 윤곽들은 그레이스케일 이미지 또는 2 진 이미지일 수 있다. 실시예에서, 추출된 윤곽은 표면 장력으로 인한 힘이 가해지는 포인트들을 가리킨다.
프로세스 P143은 앞서 논의된 바와 같이 수평 유동에 기초하여 제1 변형(1410)을 결정하는 단계를 포함한다. 실시예에서, 변형을 결정하는 단계는 레지스트의 현상된 또는 개방된 영역의 윤곽을 따라서 (예를 들면, 도 12a 및 도 15의) 복수의 정점을 정의하는 단계; 윤곽을 따라서의 주어진 정점에서 모세관력 
를 결정하는 단계; 및, (i) 레지스트의 현상된 영역의 체적이 보존되고, (ii) 재분포가 수렴되어야 하며, (iii) 경계 액체 층의 체적이 보존되도록 정점들을 재분포시키는 단계를 더 포함한다. 예시적인 재분포 프로세스는 수평 유동 및 도 12a와 관련하여 앞에서 설명되어 있다.
예를 들면, 수평 유동으로 인한 변형을 결정하는 단계는 경계층(피처의 윤곽)의 각 정점에서의 힘들 
, 윤곽의 각 정점에서의 속도와 유량, 및 현상된 영역에서의 경계층(즉, 피처의 윤곽) 상의 정점들 및 현상된 영역 반대편의 엣지에서(레지스트에서)의 정점들의 제1 변위를 획득하기 위해 정점들의 재분포를 결정하는 단계를 포함한다. 도 14b는 수평 유동에 기초하여 변형(1410)을 결정하는 방법의 예시적인 플로차트이다.
도 14b에서, 패턴 정보(1401)를 사용하여 제1 변형을 결정하는 프로세스는 프로세스들 P1431, P1433, P1435, 및 P1437을 포함하는 반복 프로세스이다. 프로세스 P1431은 예를 들면, 앞서 논의된 수학식 3 내지 5를 사용하여 복수의 정점 중 하나의 정점에서 힘 
를 결정하는 단계를 포함한다. 정점에서의 힘 
는 예를 들면, 위에서 논의된 수학식 12를 사용하여 정점에서의 압력 
를 계산하는 데에도 또한 사용된다. 또한, 프로세스 P1433은 압력 구배와 층 두께에 기초하여 속도와 유량을 결정하는 단계를 포함한다. 수학식 12의 압력으로부터, 정점에서의 압력 구배가 결정되어, 수학식 13 내지 16과 관련하여 논의된 속도를 결정하는 데에도 또한 사용된다. 속도를 기초로, 하나의 정점에서 다른 정점까지의 유량이 위에서 논의된 수학식 17을 사용하여 결정될 수 있다. 프로세스 P1435는 예를 들면, 수학식 18로 정의되는 시간 스케일 및 위에서 논의된 바와 같이, (i) 피처의 전체 체적을 보존하고, (ii) 재분포가 수렴되어야 하며, (iii) 경계 액체 층의 체적이 보존되어야 하는 3 가지 사양에 기초하여, 복수의 정점을 재분포시키는 단계를 포함한다. 재분포는 경계 액체 층의 유량의 수평 성분을 기초로 시간 스케일을 결정하는 단계, 및 시간 스케일에 기초하여 정점들을 이동시키는 단계를 포함한다.
또한, 프로세스 P1437은 예를 들면, 유량(예를 들면, 수학식 17)의 속도 도함수를 사용하여 제1 변형(1410)을 결정하는 단계를 포함한다. 실시예에서, 프로세스 P143은 경계층의 유량에 기초하여 경계 액체 층의 두께 변화율(예를 들면, 
)을 결정하는 단계; 및 재분포된 정점들(예를 들면, 도 15의 1521)을 기초로, 경계 액체 층의 두께 변화율에 기초하여 자유 표면을 따라서의 다른 복수의 정점(예를 들면, 도 15의 1522)을 조정하는 단계를 또한 포함한다.
수평 유동으로 인한 변형(1410)은 프로세스 P145에서 수직 유동을 기초로 조정된다. 프로세스 P145는 예를 들면, 앞서 논의된 바와 같이 수학식 20 및 21을 사용하여 수직 유동에 기초하여 제2 변형(1420)을 결정하는 단계를 포함한다. 수직 유동의 계산은 수평 유동에 독립적이다. 실시예에서, 제2 변형은 수평 유동으로 인한 층 두께(예를 들면, 1410)의 시간 도함수 및 기판에 대한 피처의 높이를 포함하는 수축 모델을 사용하여 결정된다. 응력의 발산이 0이 되는 지배 방정식. 또한, 수직 전단 응력이 무시되는 윤활 근사화가 사용된다. 가정들은 나비에 방정식(예를 들면, 수학식 21)의 단순화된 버전 - 이를 기초로 경계 액체 층 및 이와 관련된 피처의 속도 및 변형(1420)이 결정될 수 있음 - 으로 이어진다.
도 15는 (예를 들면, 윤활 근사화에 의한 박층을 기초로 한) 레지스트 변형 모델을 기초로 한 (예를 들면, 앞서 논의된 바와 같이 에어리얼 이미지로부터 추출된) 입력 윤곽(1501)의 변형의 예를 도시한다. 도 15에서, 입력 윤곽(1501)은 폭 δ로 다른 윤곽(1502)으로 또한 둘러싸이며, 그에 의해 폭 δ를 갖는 경계 액체 층(1510)을 형성한다. 그래서, 위에서 논의된 레지스트 변형 모델을 사용하는 것과 관련하여, 윤곽(1501)은 피처에서의 윤곽으로 기능하고 다른 윤곽(1502)은 피처에서 멀리 떨어진 (즉, 고체로 가정되는 레지스트에서) 윤곽으로 기능한다. 또한, 윤곽들(1501, 1502)에서 복수의 정점이 정의되고, 복수의 정점에 대해 경계층의 변형이 결정된다. 실시예에서, 윤곽(1501) 상의 복수의 정점은 위에서 논의된 속도 및 유체 유동 수학식에 따라 이동하며, 또한 경계층에 걸친 압력 구배 및 경계층의 폭에 기초하여, 다른 윤곽(1502)의 다른 복수의 정점의 이동이 결정된다.
실시예에서, 윤곽(1501)을 따라서의 정점들의 변형은 예를 들면, 방법(1400)에서, 특히 프로세스 P143에서 논의된 바와 같이 수평 유동 공식화를 기초로 결정된다. 프로세스 P143에서 논의된 공식화를 적용하면 각각 윤곽(1501 및 1502)의 제1 변형(1521 및 1521)이 산출된다. 그래서, 수평 유동으로 인한 변형된 경계층(1520)이 얻어진다.
또한, 변형된 윤곽(1521 및 1522) 상의 정점들의 변형은 예를 들면, 상기 프로세스 P145에서 논의된 바와 같이 수직 유동 공식화에 기초하여 결정된다. 수직 유동 공식화를 적용하면 도시된 바와 같이 변형된 윤곽들(1531 및 1532)이 발생된다. 그래서, 수직 유동으로 인한 변형에 대응하는 최종 변형된 경계층(1530)이 얻어진다.
실시예에서는, 패터닝 프로세스에서 레지스트의 변형을 결정하는 방법이 제공된다. 상기 방법은 패턴을 갖는 레지스트의 레지스트 변형 모델 - 레지스트 변형 모델은 패턴의 적어도 하나의 피처의 윤곽에 작용하는 모세관력들로 인한 레지스트의 유체 유동을 시뮬레이션하도록 구성됨 - 을 획득하는 단계; 및 프로세서와 레지스트 변형 모델을 통해, 레지스트 변형 모델에의 입력 패턴에 기초하여 현상되는 레지스트 패턴의 변형을 결정하는 단계를 포함한다.
실시예에서, 레지스트 변형 모델은 선형화된 나비에-스톡스 유동 방정식을 기초로 한다.
실시예에서, 유체 유동은 스톡스(Stokes) 유동 및/또는 힐리-쇼(Hele-Shaw) 유동을 특징으로 한다.
실시예에서, 유체 유동은 적어도 1/R의 속도로 레지스트의 특정 위치까지의 거리에 따라 감쇠하며, 레지스트 내에서 정규(regular)이거나 레지스트 내의 위치에서만 특이(singular)인 기본해를 특징으로 한다.
실시예에서, 변형을 결정하는 단계는 적어도 하나의 피처의 윤곽을 따라서 복수의 정점을 정의하는 단계; 적어도 하나의 피처의 윤곽을 따라서의 주어진 정점에서 모세관력을 결정하는 단계; 및 적어도 하나의 피처의 윤곽을 따라서의 정점들의 복수의 정점 중 하나 이상에서의 속도 응답 - 속도 응답은 주어진 정점에 인접한 정점에 작용하는 모세관력으로 인한 것임 - 의 중첩 및 경계 조건을 기초로, 모세관력으로 인한 유체 유동의 속도 유동장을 결정하는 단계를 포함한다.
실시예에서, 복수의 정점을 정의하는 단계는 적어도 하나의 피처의 윤곽의 면적 또는 체적을 보존하면서 복수의 정점이 균등하게 이격되도록 복수의 정점을 분포시키는 단계를 포함한다.
실시예에서, 주어진 정점에 작용하는 모세관력은 주어진 정점의 양측의 장력들의 합이다. 실시예에서, 속도 응답은 스톡슬릿(Stokeslet)을 특징으로 하고, 스톡슬릿은 스톡스 유동에서 점력으로 인한 속도장이다.
실시예에서, 속도 유동장을 결정하는 단계는 속도장을 스퀴즈 유동과 고차 속도 유동으로 분해하는 단계; 스퀴즈 유동에 대응하는 경계 조건을 적용하는 단계; 및 경계 조건을 기초로 속도장으로부터 스퀴즈 유동을 제거하는 단계를 더 포함한다.
실시예에서, 스퀴즈 유동은 피처들의 대규모 이동을 야기하는 수직 도메인 경계들을 통한 순 내향 플럭스(net inward flux) 또는 순 외향 플럭스(net outward flux)로 인한 레지스트의 유동이다.
실시예에서, 경계 조건을 적용하는 단계는 레지스트 도메인의 경계를 통과하는 유량을 0으로 설정하는 단계; 및/또는 레지스트 도메인의 경계를 가로지르는 속도를 노 플럭스(no-flux) 상태로 설정하는 단계를 포함한다.
실시예에서, 수직 도메인 경계들을 통과하는 총 내향 유량(total inward flow rate)은 레지스트 도메인의 경계의 하나 이상의 코너에 적절한 강도의 로틀릿(rotlet)을 제공함으로써 0으로 설정된다.
실시예에서, 도메인 경계를 횡단할 때 동일한 크기 및 교호적인 부호의 로틀릿들이 직사각형 레지스트 도메인의 4 개의 모서리에 배치된다. 실시예에서, 속도 유동장을 결정하는 단계는 스톡슬릿들(Stokeslets)과의 곱셈에 의해 다른 정점들 각각에서의 모세관력으로 인해 야기되는 모든 다른 정점들의 속도들에 기초하여 적어도 하나의 피처의 윤곽을 따라서의 주어진 정점에서 속도를 획득하는 단계를 더 포함한다.
실시예에서, 주어진 정점에서 멀리 떨어진 피처들로 인한 속도 유동장에 대한 기여는 무시할 수 있다.
실시예에서, 상기 방법은 레지스트 내의 부분 영역에서 힘들을 결정하는 단계; 및 부분 영역에서의 힘들을 사용하여 레지스트 변형 모델의 시뮬레이션에 기초하여 레지스트의 전체 영역의 변형을 획득하는 단계를 더 포함한다.
실시예에서, 입력 패턴은 그레이스케일 이미지 및/또는 2 진 이미지이다. 실시예에서, 입력 패턴은 설계 패턴 또는 에어리얼 이미지이다.
실시예에서, 상기 방법은 2 진 이미지를 생성하는 단계를 더 포함하고, 생성하는 단계는 입력 패턴에 대응하는 패터닝 디바이스 패턴을 획득하는 단계; 프로세스 모델의 시뮬레이션을 통해, 패터닝 디바이스 패턴을 기초로 에어리얼 이미지를 생성하는 단계; 및 2 진 이미지를 생성하기 위해 에어리얼 이미지의 패턴의 경계들을 추출하는 단계를 포함한다.
실시예에서, 상기 방법은 레지스트 변형 모델을 사용하여, 현상된 레지스트 패턴의 적어도 하나의 피처의 경계에 배치된 한 쌍의 위치 사이의 임계 치수를 계산하는 단계; 및 계산된 임계 치수와 실제 현상된 레지스트 패턴의 측정된 임계 치수 사이의 에러를 계산하는 단계를 더 포함한다.
실시예에서, 에러를 계산하는 단계는 프린트된 웨이퍼 데이터와 시뮬레이션된 이미지 사이의 교차 상관(cross-correlation) 행렬을 사용하여 비교하는 단계를 포함한다.
실시예에서, 변형은 복수의 위치에서 결정되고, 각 위치는 입력 패턴에 대한 현상된 레지스트 패턴의 현상된 부분의 경계에 놓인 포인트에 대응한다.
실시예에서, 레지스트는 화학적으로 또는 비화학적으로 증폭된 네거티브 톤 레지스트 또는 포지티브 톤 레지스트이다.
실시예에서는, 패터닝 프로세스의 파라미터를 결정하는 방법이 제공되며, 상기 방법은 (i) 패턴을 갖는 레지스트의 레지스트 변형 모델 - 레지스트 변형 모델은 패턴의 적어도 하나의 피처의 윤곽에 작용하는 모세관력들로 인한 레지스트의 유체 유동을 시뮬레이션하도록 구성됨 - 을 포함하는 패터닝 프로세스 모델, 및 (ii) 타겟 패턴을 획득하는 단계; 타겟 패턴을 패터닝 프로세스 모델에의 입력으로 하여 패터닝 프로세스 모델의 시뮬레이션을 기초로 프로세서를 통해 레지스트 패턴 - 레지스트 패턴과 타겟 패턴 사이에는 차이가 존재함 - 을 결정하는 단계; 및 프로세서를 통해 패터닝 프로세스의 시뮬레이션을 기초로 패터닝 프로세스의 파라미터의 값 - 파라미터의 값은 레지스트 패턴과 타겟 패턴 사이의 차이가 감소되도록 결정됨 - 을 결정하는 단계를 포함한다.
실시예에서, 패터닝 프로세스의 파라미터는 선량, 초점, 광학 근접 보정 중 적어도 하나를 포함한다.
실시예에서, 상기 방법은 패터닝 프로세스 중에 리소그래피 장치에 패터닝 프로세스의 파라미터의 값을 적용하는 단계를 더 포함한다.
실시예에서는, 패터닝 프로세스에서 형성되는 패턴의 변형을 결정하는 방법이 제공된다. 상기 방법은 형성되는 패턴과 관련된 패턴 정보를 레지스트 변형 모델에 입력하는 단계 - 모델은 레지스트의 부분의 변형을 시뮬레이션하도록 구성되고, 상기 부분은 레지스트의 현상된 영역과 현상된 영역을 둘러싸는 레지스트의 영역 사이의 경계에 위치된 경계 액체 층을 포함하며, 모델은 경계 액체 층의 유체 유동에 의해 야기되는 경계 액체 층의 제1 변형 성분 및 경계 액체 층의 유체 유동에 의해 야기되는 경계 액체 층의 제2 변형 성분을 결정하도록 구성됨 -; 및 프로세서를 통해, 입력된 패턴 정보에 기초하여 레지스트에 형성되는 패턴의 변형 - 변형은 경계 액체 층의 제1 변형 성분과 제2 변형 성분의 조합을 포함함 - 을 결정하는 단계를 포함한다.
실시예에서, 경계 액체 층은 경계에서의 레지스트의 현상된 영역의 길이보다 작은 두께를 갖는다.
실시예에서, 제1 변형 성분은 경계 액체 층의 유량의 수평 성분을 기초로 수평 평면에서 결정되고, 제2 변형은 경계 액체 층의 유량의 수직 성분을 기초로 수평 평면에서 결정된다.
실시예에서, 모델에는 경계 액체 층의 자유 표면에서 거의 0과 같은 속도 구배를 포함하는 제1 경계 조건이 정의되며, 자유 표면은 현상된 또는 개방된 영역의 반대편에 있다.
실시예에서, 모델에는 현상된 또는 개방된 영역의 표면에서 거의 0과 같은 속도를 포함하는 제2 경계 조건이 정의된다.
실시예에서, 모델에는 경계 액체 층의 두께 및 경계 액체 층의 두께에 걸친 압력 구배의 함수로서 속도가 정의된다.
실시예에서, 모델에는 경계 액체 층의 두께에 걸친 속도의 적분의 함수로서 경계 액체 층의 유량이 정의된다.
실시예에서, 모델에는 경계 액체 층의 유량의 함수로서 변형이 정의된다.
실시예에서, 변형을 결정하는 단계는 경계 액체 층의 유량의 수평 성분에 의해 야기되는 제1 평면에서의 제1 변형 성분을 결정하는 단계; 제2 평면 - 제2 평면은 제1 평면에 수직임 - 에서의 경계 액체 층의 유량의 수직 성분에 기초하여 제1 변형 성분을 조정함으로써 제1 평면에서의 최종 변형을 결정하는 단계를 포함한다.
실시예에서, 제1 평면은 수평 평면이다.
실시예에서, 변형을 결정하는 단계는 레지스트의 현상된 또는 개방된 영역의 윤곽을 따라서 복수의 정점을 정의하는 단계; 윤곽을 따라서의 주어진 정점에서 모세관력을 결정하는 단계; 및 (i) 레지스트의 현상된 영역의 체적이 보존되고 (ii) 경계 액체 층의 체적이 보존되도록 정점들의 재분포를 더 포함한다.
실시예에서, 정점들의 재분포는 경계 액체 층의 유량의 수평 성분에 기초하여 시간 스케일을 결정하는 단계, 및 시간 스케일 및 경계층의 유량에 기초하여, 복수의 정점을 이동시키는 단계를 포함한다.
실시예에서, 상기 방법은 경계층의 유량에 기초하여 경계 액체 층의 두께 변화율을 결정하는 단계; 및 재분포된 정점들에 기초하여, 경계 액체 층의 두께 변화율에 기초하여 자유 표면을 따라서 다른 복수의 정점을 조정하는 단계를 더 포함한다.
실시예에서, 모델은 윤활 근사화를 기초로 단순화된 박막 모델이고, 윤활 근사화는 0인 수직 전단 응력 값을 포함한다.
또한, 패터닝 프로세스에서 형성되는 패턴의 변형을 결정하는 방법이 제공된다. 상기 방법은 형성되는 패턴과 관련된 패턴 정보를 레지스트 변형 모델에 입력하는 단계 - 모델은 레지스트의 부분의 변형을 시뮬레이션하도록 구성되고, 상기 부분은 레지스트의 현상된 영역과 현상된 영역을 둘러싸는 레지스트의 영역 사이의 경계에 위치된 경계 액체 층을 포함하며, 모델은 경계 액체 층의 수평 유체 유동에 의해 야기되는 경계 액체 층의 변형을 결정하도록 구성됨 -; 및 입력된 패턴 정보에 기초하여 레지스트 변형 모델을 시뮬레이션함으로써 레지스트에 형성되는 패턴의 변형을 (예를 들면, 프로세스 P143에서) 결정하는 단계를 포함한다. 경계 액체 층은 경계에서의 레지스트의 현상된 영역의 길이보다 작은 두께를 갖는다.
실시예에서는, 프로세서로 하여금 전술한 방법들을 수행하게 하기 위한 기계 가독 명령어들을 포함하는 비일시적 컴퓨터 프로그램 제품이 제공된다.
도 16은 본 명세서에 개시된 방법들과 플로들(flows)의 하나 이상의 양태를 수행하는 컴퓨터 시스템(100)을 도시하는 블록도이다. 컴퓨터 시스템(100)은 정보를 전달하기 위한 버스(102) 또는 다른 통신 메커니즘, 및 정보를 처리하기 위해 버스(102)와 결합된 프로세서(104)(또는 복수의 프로세서(104 및 105))를 포함한다. 컴퓨터 시스템(100)은 프로세서(104)에 의해 실행되는 명령어들 및 정보를 저장하기 위해 버스(102)에 결합된, 랜덤 액세스 메모리(RAM) 또는 다른 동적 스토리지 디바이스와 같은 메인 메모리(106)를 또한 포함한다. 메인 메모리(106)는 프로세서(104)에 의해 실행되는 명령어들의 실행 중에 임시 변수들 또는 다른 중간 정보를 저장하는 데에도 또한 사용될 수 있다. 컴퓨터 시스템(100)은 프로세서(104)를 위한 명령어들 및 정적 정보를 저장하기 위해 버스(102)에 결합된 읽기 전용 메모리(ROM)(108) 또는 다른 정적 스토리지 디바이스를 더 포함한다. 정보 및 명령어들을 저장하기 위해 자기 디스크 또는 광 디스크와 같은 스토리지 디바이스(110)가 제공되어 버스(102)에 결합된다.
컴퓨터 사용자에게 정보를 디스플레이하기 위해 컴퓨터 시스템(100)은 버스(102)를 통해 CRT(음극선관) 또는 평면 패널 또는 터치 패널 디스플레이와 같은 디스플레이(112)에 결합될 수 있다. 정보 및 명령 선택을 프로세서(104)에 전달하기 위해 영숫자(alphanumeric) 및 기타 키들을 포함하는 입력 디바이스(114)가 버스(102)에 결합된다. 방향 정보 및 명령 선택을 프로세서(104)에 전달하고 디스플레이(112) 상에서 커서의 움직임을 제어하기 위한 다른 유형의 사용자 입력 디바이스는 마우스, 트랙볼, 또는 커서 방향 키와 같은 커서 제어부(116)이다. 이 입력 디바이스는 전형적으로 2 축, 즉 제1 축(예를 들면, x) 및 제2 축(예를 들면, y)으로 2의 자유도를 갖는데, 이는 디바이스가 평면에서 위치를 지정할 수 있게 한다. 터치 패널(스크린) 디스플레이도 또한 입력 디바이스로 사용될 수 있다.
일 실시예에 따르면, 본 명세서에서 기재된 프로세스의 부분들은 메인 메모리(106)에 포함된 하나 이상의 명령어의 하나 이상의 시퀀스를 실행하는 프로세서(104)에 응답하여 컴퓨터 시스템(100)에 의해 수행될 수 있다. 이러한 명령어들은 스토리지 디바이스(110)와 같은 다른 컴퓨터 가독 매체로부터 메인 메모리(106)로 읽혀질 수 있다. 메인 메모리(106)에 포함된 명령어들의 시퀀스들의 실행은 프로세서(104)로 하여금 본 명세서에 기재된 프로세스 스텝들을 수행하게 한다. 메인 메모리(106)에 포함된 명령어들의 시퀀스들을 실행하기 위해 멀티 프로세싱 구성의 하나 이상의 프로세서가 사용될 수도 있다. 대체 실시예에서는, 하드 와이어드 회로(hard-wired circuitry)가 소프트웨어 명령어들 대신에 또는 소프트웨어 명령어들과 함께 사용될 수 있다. 그래서, 본 명세서의 설명은 하드웨어 회로 및 소프트웨어의 특정 조합에 국한되지 않는다.
본 명세서에서 사용되는 "컴퓨터 가독 매체"라는 용어는 실행을 위해 프로세서(104)에 명령어들을 제공하는 데 관여하는 임의의 매체를 지칭한다. 이러한 매체는 비휘발성 매체, 휘발성 매체, 및 전송 매체를 포함하지만 이에 국한되지 않는 많은 형태를 취할 수 있다. 비휘발성 매체는 예를 들면, 스토리지 디바이스(110)와 같은 광 디스크 또는 자기 디스크를 포함한다. 휘발성 매체는 메인 메모리(106)와 같은 동적 메모리를 포함한다. 전송 매체는 버스(102)를 포함하는 와이어를 포함하여, 동축 케이블, 구리 와이어, 및 광섬유를 포함한다. 전송 매체는 무선 주파수(RF) 및 적외선(IR) 데이터 통신 중에 발생되는 것과 같은, 음향파 또는 광파의 형태를 취할 수도 있다. 컴퓨터 가독 매체의 통상적인 형태는 예를 들면, 플로피 디스크, 플렉시블 디스크, 하드 디스크, 자기 테이프, 기타 자기 매체, CD-ROM, DVD, 기타 광학 매체, 펀치 카드, 종이 테이프, 구멍 패턴을 갖는 기타 물리적 매체, RAM, PROM 및 EPROM, FLASH-EPROM, 기타 메모리 칩 또는 카트리지, 이하에 설명되는 반송파, 또는 컴퓨터가 읽을 수 있는 기타 매체를 포함한다.
다양한 형태의 컴퓨터 가독 매체가 실행을 위해 하나 이상의 명령어의 하나 이상의 시퀀스를 프로세서(104)로 전달하는 데 관여될 수 있다. 예를 들어, 명령어들은 초기에는 원격 컴퓨터의 자기 디스크에 있을 수 있다. 원격 컴퓨터는 명령어들을 그 동적 메모리에 로드하고는 모뎀을 사용하여 전화 회선을 통해 명령어들을 송신할 수 있다. 컴퓨터 시스템(100)에 로컬에 있는 모뎀은 전화 회선 상에서 데이터를 수신하고는 적외선 송신기를 사용하여 데이터를 적외선 신호로 변환할 수 있다. 버스(102)에 결합된 적외선 검출기는 적외선 신호에 반송되는 데이터를 수신하고는 이 데이터를 버스(102)에 배치할 수 있다. 버스(102)는 데이터를 메인 메모리(106)로 전달하며, 프로세서(104)는 메인 메모리(106)로부터 명령어들을 검색하고는 실행한다. 메인 메모리(106)에 의해 수신되는 명령어들은 프로세서(104)에 의한 실행 전 또는 후에 스토리지 디바이스(110)에 선택적으로 저장될 수 있다.
컴퓨터 시스템(100)은 또한 바람직하게는 버스(102)에 결합된 통신 인터페이스(118)를 포함한다. 통신 인터페이스(118)는 로컬 네트워크(122)에 연결된 네트워크 링크(120)에 양방향 데이터 통신 결합을 제공한다. 예를 들면, 통신 인터페이스(118)는 대응하는 유형의 전화 회선에 데이터 통신 연결을 제공하기 위한 ISDN(Integrated Services Digital Network: 통합 서비스 디지털 네트워크) 카드 또는 모뎀일 수 있다. 다른 예로서, 통신 인터페이스(118)는 호환성 있는 LAN(local area network)에 데이터 통신 연결을 제공하기 위한 LAN 카드일 수 있다. 무선 링크도 또한 구현될 수 있다. 임의의 이러한 구현에서, 통신 인터페이스(118)는 다양한 유형의 정보를 나타내는 디지털 데이터 스트림을 반송하는 전기, 전자, 또는 광학 신호들을 송수신한다.
네트워크 링크(120)는 전형적으로 하나 이상의 네트워크를 통해 다른 데이터 디바이스들에 데이터 통신을 제공한다. 예를 들면, 네트워크 링크(120)는 로컬 네트워크(122)를 통해 호스트 컴퓨터(124)에 또는 인터넷 서비스 제공자(ISP)(126)에 의해 운영되는 데이터 장비에 대한 연결을 제공할 수 있다. ISP(126)는 다시 현재는 통상적으로 "인터넷"(128)으로 지칭되는 월드와이드 패킷 데이터 통신 네트워크를 통해 데이터 통신 서비스를 제공한다. 로컬 네트워크(122) 및 인터넷(128) 양자 모두는 디지털 데이터 스트림을 반송하는 전기, 전자, 또는 광학 신호들을 사용한다. 다양한 네트워크를 통한 신호들 및 네트워크 링크(120) 상의 신호들 및 컴퓨터 시스템(100)과의 사이에서 디지털 데이터를 반송하는 통신 인터페이스(118)를 통한 신호들은 정보를 운반하는 반송파의 예시적인 형태들이다.
컴퓨터 시스템(100)은 네트워크(들), 네트워크 링크(120), 및 통신 인터페이스(118)를 통해 메시지를 전송하고 프로그램 코드를 포함하는 데이터를 수신할 수 있다. 인터넷의 예에서, 서버(130)는 인터넷(128), ISP(126), 로컬 네트워크(122), 및 통신 인터페이스(118)를 통해 애플리케이션 프로그램에 대해 요청된 코드를 전송할 수 있다. 하나의 이러한 다운로드된 애플리케이션은 예를 들어, 본 명세서에 기재된 프로세스를 제공할 수 있다. 수신된 코드는 수신될 때 프로세서(104)에 의해 실행될 수도 있고, 및/또는 나중에 실행하기 위해 스토리지 디바이스(110)에 또는 다른 비휘발성 스토리지에 저장될 수도 있다. 이러한 방식으로, 컴퓨터 시스템(100)은 애플리케이션 코드를 반송파의 형태로 획득할 수 있다.
도 17은 본 명세서에 기재된 방법들에 사용하기 위한 예시적인 리소그래피 투영 장치를 개략적으로 묘사한다. 본 장치는 이하를 포함한다:
- 방사선 빔(B)을 컨디셔닝하기 위한 조명 시스템(IL). 이 특정 경우에, 조명 시스템은 방사선 소스(SO)도 또한 포함함;
- 패터닝 디바이스(MA)(예를 들면, 레티클)를 유지하기 위한 패터닝 디바이스 홀더가 구비되고, 물품(PS)에 대해 패터닝 디바이스를 정확하게 위치시키기 위한 제1 포지셔너에 연결된 제1 대물 테이블(예를 들면, 마스크 테이블)(MT);
- 기판(W)(예를 들면, 레지스트 코팅된 실리콘 웨이퍼)을 유지하기 위한 기판 홀더가 구비되고, 물품(PS)에 대해 기판을 정확하게 위치시키기 위한 제2 포지셔너에 연결된 제2 대물 테이블(기판 테이블)(WT);
- 패터닝 디바이스(MA)의 조사된 부분을 기판(W)의 (예를 들면, 하나 이상의 다이를 포함하는) 타겟부(C) 상에 이미징하기 위한 투영 시스템("렌즈")(PS)(예를 들면, 굴절형, 반사형, 반사굴절형 광학 시스템).
여기에 묘사된 바와 같이, 상기 장치는 투과형이다(즉, 투과형 마스크를 갖는다). 하지만, 일반적으로, 예를 들면 (반사형 마스크를 갖는) 반사형일 수도 있다. 혹은, 상기 장치는 고전적인 마스크의 사용에 대한 대체로서 다른 종류의 패터닝 디바이스를 이용할 수 있으며; 예로는 프로그래머블 미러 어레이 또는 LCD 매트릭스가 포함된다.
소스(SO)(예를 들면, 수은 램프 또는 엑시머 레이저)는 방사선 빔을 생성한다. 이 빔은 직접 또는 예를 들면, 빔 익스팬더(Ex)와 같은 컨디셔닝 수단을 통과한 후에 조명 시스템(일루미네이터)(IL)에 공급된다. 일루미네이터(IL)는 빔의 강도 분포의 외측 및/또는 내측 반경방향 범위(통상적으로는, 각각 σ-외측 및 σ-내측으로 지칭됨)를 설정하기 위한 조정 수단(AD)을 포함할 수 있다. 또한 일루미네이터는 일반적으로 적분기(integrator: IN) 및 집광기(condenser: CO)와 같은 다양한 다른 컴포넌트를 포함하게 된다. 이와 같이, 패터닝 디바이스(MA)에 충돌하는 빔(B)은 그 단면에 원하는 균일성 및 강도 분포를 갖는다.
도 17과 관련하여, (예를 들면, 소스(SO)가 수은 램프인 경우에 흔히 그러하듯이) 소스(SO)는 리소그래피 투영 장치의 하우징 내에 있을 수 있다는 것과, 하지만 또한 리소그래피 투영 장치로부터 멀리 떨어져 있을 수도 있으며, 그 생성하는 방사선 빔은 (예를 들면, 적절한 지향 미러들의 도움을 받아) 장치로 유도된다는 것에 유의해야 하는데; 이 후자의 시나리오는 소스(SO)가 (예를 들면, KrF, ArF 또는 F2 레이저를 기반으로 한) 엑시머 레이저일 때 흔히 그러하다.
빔(PB)은 이어서 패터닝 디바이스 테이블(MT) 상에 유지되는 패터닝 디바이스(MA)를 가로지른다. 패터닝 디바이스(MA)를 통과한 후에, 빔(B)은 렌즈(PL)를 통과하는데, 렌즈(PL)는 빔(B)을 기판(W)의 타겟부(C) 상에 포커싱한다. 제2 포지셔닝 수단(및 간섭 측정 수단(IF))의 도움으로, 예를 들면 빔(PB)의 경로에 상이한 타겟부들(C)을 위치시키기 위해 기판 테이블(WT)이 정확하게 이동될 수 있다. 유사하게, 예를 들면 패터닝 디바이스 라이브러리로부터 패터닝 디바이스(MA)의 기계적인 인출 후에 또는 스캔 중에 제1 포지셔닝 수단은 빔(B)의 경로에 대해 패터닝 디바이스(MA)를 정확하게 위치시키는 데 사용될 수 있다. 일반적으로, 대물 테이블들(MT, WT)의 이동은 도 17에는 명시적으로 묘사되지는 않은 롱 스트로크 모듈(long-stroke module)(대략 위치설정) 및 숏 스트로크 모듈(미세 위치설정)의 도움으로 실현되게 된다. 하지만, (스텝 앤드 스캔 툴과 대조되는) 웨이퍼 스테퍼의 경우에, 패터닝 디바이스 테이블(MT)은 단지 숏 스트로크 액추에이터에만 연결되거나 고정될 수 있다.
묘사된 툴은 2 가지 상이한 모드로 사용될 수 있다:
- 스텝 모드에서는, 패터닝 디바이스 테이블(MT)이 본질적으로 정지 상태로 유지되며, 패터닝 디바이스 이미지 전체가 한 번에(즉, 단일 "플래시"로) 타겟부(C) 상에 투영된다. 기판 테이블(WT)은 그 다음에 상이한 타겟부(C)가 빔(PB)에 의해 조사될 수 있도록 x 및/또는 y 방향으로 쉬프트된다;
- 스캔 모드에서는, 주어진 타겟부(C)가 단일 "플래시"로 노광되지 않는다는 것을 제외하고는, 기본적으로 동일한 시나리오가 적용된다. 대신에, 패터닝 디바이스 테이블(MT)은 속도 v로 주어진 방향(소위 "스캔 방향", 예를 들면 y 방향)으로 이동 가능하며, 그래서 투영 빔(B)은 패터닝 디바이스 이미지 위를 스캔하도록 되고; 동시에, 기판 테이블(WT)은 속도 V = Mv로 동일 방향 또는 반대 방향으로 동시에 이동되는데, 여기서 M은 렌즈(PL)의 배율(전형적으로는 M = 1/4 또는 1/5)이다. 이러한 방식으로, 분해능을 저하시키는 일 없이 비교적 큰 타겟부(C)가 노광될 수 있다.
도 18은 본 명세서에 기재된 방법들에 사용될 수 있는 다른 예시적인 리소그래피 투영 장치(1000)를 개략적으로 묘사한다.
리소그래피 투영 장치(1000)는 다음을 포함한다:
- 소스 컬렉터 모듈(SO);
- 방사선 빔(B)(예를 들면, EUV 방사선)를 컨디셔닝하도록 구성된 조명 시스템(일루미네이터)(IL);
- 패터닝 디바이스(예를 들면, 마스크 또는 레티클)(MA)를 지지하도록 구성되고 패터닝 디바이스를 정확하게 위치시키도록 구성된 제1 포지셔너(PM)에 연결된 지지 구조(예를 들면, 마스크 테이블)(MT);
- 기판(예를 들면, 레지스트 코팅된 웨이퍼)(W)을 유지하도록 구성되고 기판을 정확하게 위치시키도록 구성된 제2 포지셔너(PW)에 연결된 기판 테이블(예를 들면, 웨이퍼 테이블)(WT); 및
- 패터닝 디바이스(MA)에 의해 방사선 빔(B)에 부여된 패턴을 기판(W)의 (예를 들면, 하나 이상의 다이를 포함하는) 타겟부(C) 상에 투영하도록 구성된 투영 시스템(예를 들면, 반사형 투영 시스템)(PS).
여기에 묘사된 바와 같이, 본 장치(1000)는 (예를 들면, 반사형 마스크를 사용하는) 반사형이다. 대부분의 물질은 EUV 파장 범위 내에서 흡수성이기 때문에, 마스크는 예를 들면, 몰리브덴과 실리콘의 멀티 스택을 포함하는 다층 반사체를 가질 수 있다는 것에 유의하자. 일례에서, 멀티 스택 반사체는 각 층의 두께가 1/4 파장인 몰리브덴과 실리콘의 40 층 쌍을 갖는다. X-레이 리소그래피로는 훨씬 더 짧은 파장이 생성될 수 있다. 대부분의 물질은 EUV 및 X-레이 파장에서 흡수성이기 때문에, 패터닝 디바이스의 토포그래피 상의 패턴화된 흡수물질 박편(thin piece of patterned absorbing material)(예를 들면, 다층 반사체 상단의 TaN 흡수체)이 피처들이 프린트되는(포지티브 레지스트) 또는 프린트되지 않는(네거티브 레지스트) 위치를 규정한다.
도 18을 참조하면, 일루미네이터(IL)는 소스 컬렉터 모듈(SO)로부터 극자외 방사선 빔을 수신한다. EUV 방사선을 생성하는 방법은 하나 이상의 방출선이 EUV 범위에 있는 상태로, 재료를 적어도 하나의 원소, 예를 들면 크세논, 리튬, 또는 주석을 갖는 플라즈마 상태로 변환하는 것을 포함하나, 반드에 이에 국한되는 것은 아니다. 종종 레이저 생성 플라즈마(laser produced plasam: "LPP")라고 불리는 이러한 방법 중 하나에서, 레이저 빔으로 선 방출(line-emitting) 요소를 갖는 재료의 액적, 스트림, 또는 클러스터와 같은 연료를 조사함으로써 플라즈마가 생성될 수 있다. 소스 컬렉터 모듈(SO)은 연료를 여기시키는(exciting) 레이저 빔을 제공하기 위한, 도 18에는 도시되지 않은, 레이저를 포함하는 EUV 방사선 시스템의 일부일 수 있다. 생성된 플라즈마는 출력 방사선, 예를 들면 EUV 방사선을 방출하는데, 이는 소스 컬렉터 모듈에 배치된 방사선 컬렉터를 사용하여 수집된다. 예를 들어, 연료 여기를 위한 레이저 빔을 제공하기 위해 CO2 레이저가 사용되는 경우, 레이저와 소스 컬렉터 모듈은 별개의 엔티티일 수 있다.
이러한 경우에, 레이저는 리소그래피 장치의 일부를 형성하는 것으로 여겨지지 않으며, 방사선 빔은 예를 들면, 적절한 지향 미러들 및/또는 빔 익스팬더를 포함하는 빔 전달 시스템의 도움으로 레이저로부터 소스 컬렉터 모듈로 전달된다. 다른 경우에, 예를 들면 소스가 종종 DPP 소스라고 하는 방전 생성 플라즈마(discharge produced plasma) EUV 발생기일 때, 소스는 소스 컬렉터 모듈의 일체형 부분일 수 있다.
일루미네이터(IL)는 방사선 빔의 각도 강도 분포(angular intensity distribution)를 조정하기 위한 조정기(adjuster)를 포함할 수 있다. 일반적으로, 일루미네이터의 동공 평면에서 강도 분포의 적어도 외측 및/또는 내측 반경방향 범위(통상적으로는, 각각 σ-외측 및 σ-내측으로 지칭됨)가 조정될 수 있다. 또한, 일루미네이터(IL)는 패싯 필드 및 퓨필 미러(facetted field and pupil mirror) 디바이스들과 같은 다양한 다른 컴포넌트들을 포함할 수 있다. 일루미네이터는 방사선 빔의 그 단면에 원하는 균일성 및 강도 분포를 갖도록 방사선 빔을 컨디셔닝하는 데 사용될 수 있다.
방사선 빔(B)은 지지 구조(예를 들면, 마스크 테이블)(MT) 상에 유지되는 패터닝 디바이스(예를 들면, 마스크)(MA)에 입사되어 패터닝 디바이스에 의해 패턴화된다. 패터닝 디바이스(예를 들면, 마스크)(MA)로부터 반사된 후, 방사선 빔(B)은 투영 시스템(PS)을 통과하는데, 투영 시스템(PS)은 빔을 기판(W)의 타겟부(C) 상에 포커싱한다. 제2 포지셔너(PW) 및 위치 센서(PS2)(예를 들면, 간섭계 디바이스, 리니어 인코더 또는 용량성 센서)의 도움으로, 예를 들면 방사선 빔(B)의 경로에 상이한 타겟부들(C)을 위치시키기 위해 기판 테이블(WT)이 정확하게 이동될 수 있다. 유사하게, 제1 포지셔너(PM) 및 다른 위치 센서(PS1)는 방사선 빔(B)의 경로에 대해 패터닝 디바이스(예를 들면, 마스크)(MA)를 정확하게 위치시키는 데 사용될 수 있다. 패터닝 디바이스(예를 들면, 마스크)(MA) 및 기판(W)은 패터닝 디바이스 정렬 마크들(M1, M2) 및 기판 정렬 마크들(P1, P2)을 사용하여 정렬될 수 있다.
도시된 장치(1000)는 다음 모드들 중 적어도 하나에서 사용될 수 있다:
1. 스텝 모드에서, 지지 구조(예를 들면, 마스크 테이블)(MT) 및 기판 테이블(WT)은 본질적으로 정지 상태로 유지되는 한편, 방사선 빔에 부여된 패턴 전체는 한 번(즉, 단일의 정적 노광)에 타겟부(C) 상에 투영된다. 기판 테이블(WT)은 그 다음에 상이한 타겟부(C)가 노광될 수 있도록 x 및/또는 y 방향으로 쉬프트된다.
2. 스캔 모드에서, 지지 구조(예를 들면, 마스크 테이블)(MT) 및 기판 테이블(WT)은 동기화되어 스캐닝되는 한편, 방사선 빔에 부여된 패턴이 타겟부(C) 상에 투영된다(즉, 단일의 동적 노광). 지지 구조(예를 들면, 마스크 테이블)(MT)에 대한 기판 테이블(WT)의 속도 및 방향은 투영 시스템(PS)의 배율(축소율) 및 이미지 반전 특성에 의해 결정될 수 있다.
3. 다른 모드에서, 지지 구조(예를 들면, 마스크 테이블)(MT)는 프로그래머블 패터닝 디바이스를 유지하면서 본질적으로 정지 상태로 유지되고, 기판 테이블(WT)이 이동 또는 스캐닝되는 한편, 방사선 빔에 부여된 패턴이 타겟부(C) 상에 투영된다. 이 모드에서는, 일반적으로 펄스 방사선 소스가 사용되며, 프로그래머블 패터닝 디바이스는 기판 테이블(WT)의 각각의 이동 후에 또는 스캔 중에 연속적인 방사선 펄스들의 사이에 필요에 따라 업데이트된다. 이 작동 모드는 위에서 언급한 유형의 프로그래머블 미러 어레이와 같은, 프로그래머블 패터닝 디바이스를 이용하는 무마스크(mask-less) 리소그래피에 용이하게 적용될 수 있다.
도 19는 소스 컬렉터 모듈(SO), 조명 시스템(IL), 및 투영 시스템(PS)을 포함하는 장치(1000)를 보다 상세히 도시한다. 소스 컬렉터 모듈(SO)은 소스 컬렉터 모듈(SO)의 인클로저 구조(220) 내에 진공 환경이 유지될 수 있도록 구성 및 배치된다. 방전 생성 플라즈마 소스에 의해 EUV 방사선 방출 플라즈마(210)가 형성될 수 있다. 전자 스펙트럼의 EUV 범위에서 방사선을 방출하도록 초고온 플라즈마(210)가 생성되는 가스 또는 증기, 예를 들면 Xe 가스, Li 증기, 또는 Sn 증기에 의해 EUV 방사선이 생성될 수 있다. 초고온 플라즈마(210)는 예를 들면, 적어도 부분적으로 이온화된 플라즈마를 유발하는 방전에 의해 생성된다. 효율적인 방사선 생성을 위해서는 예를 들면, 10 Pa의 Xe, Li, Sn 증기 또는 기타 적절한 가스 또는 증기의 분압이 필요할 수 있다. 실시예에서는, EUV 방사선을 발생시키기 위해 여기된 주석(Sn)의 플라즈마가 제공된다.
고온 플라즈마(210)에 의해 방출된 방사선은 소스 챔버(211)의 개구부 내에 또는 뒤에 위치된 선택적인 가스 배리어(gas barrier) 또는 오염물질 트랩(contaminant trap)(230)(경우에 따라서는 오염물질 배리어 또는 포일 트랩이라고도 지칭됨)을 통해 소스 챔버(211)로부터 컬렉터 챔버(212)로 전달된다. 오염물질 트랩(230)은 채널 구조를 포함할 수 있다. 오염 트랩(230)은 또한 가스 배리어 또는 가스 배리어와 채널 구조의 조합을 포함할 수도 있다. 본 명세서에서 추가로 제시된 오염물질 트랩 또는 오염물질 배리어(230)는 적어도 본 기술분야에 알려진 바와 같이 채널 구조를 포함한다.
컬렉터 챔버(211)는 소위 그레이징 입사 컬렉터(grazing incidence collector)일 수 있는 방사선 컬렉터(CO)를 포함할 수 있다. 방사선 컬렉터(CO)는 상류 방사선 컬렉터측(251) 및 하류 방사선 컬렉터측(252)을 갖는다. 컬렉터(CO)를 가로지르는 방사선은 격자 스펙트럼 필터(240)에서 반사되어, 1점쇄선 'O'로 표시된 광축을 따라 가상 소스 포인트(IF)에 포커싱될 수 있다. 가상 소스 포인트(IF)는 통상적으로 중간 초점으로 지칭되며, 소스 컬렉터 모듈은 중간 초점(IF)이 인클로저 구조(220)의 개구부(221)에 또는 그 근처에 위치되도록 배치된다. 가상 소스 포인트(IF)는 방사선 방출 플라즈마(210)의 이미지이다.
이어서 방사선은 조명 시스템(IL)을 통과하는데, 조명 시스템(IL)은 패터닝 디바이스(MA)에서의 방사선 빔(21)의 원하는 각도 분포(angular distribution)뿐만 아니라 패터닝 디바이스(MA)에서의 방사선 강도의 원하는 균일성을 제공하도록 배치된 패싯 필드 미러(facetted field mirror) 디바이스(22) 및 패싯 퓨필 미러(facetted pupil mirror) 디바이스(24)를 포함할 수 있다. 지지 구조(MT)에 의해 유지되는 패터닝 디바이스(MA)에서의 방사선 빔(21)의 반사 시에, 패턴화된 빔(26)이 형성되며, 패턴화된 빔(26)은 투영 시스템(PS)에 의해 반사 요소들(28, 30)을 통해, 기판 테이블(WT)에 의해 유지되는 기판(W) 상으로 이미징된다.
일반적으로 조명 광학 유닛(IL) 및 투영 시스템(PS)에는 도시된 것보다 더 많은 요소가 존재할 수 있다. 격자 스펙트럼 필터(240)는 리소그래피 장치의 유형에 따라 선택적으로 존재할 수 있다. 또한, 도면에 도시된 것들보다 더 많은 미러가 존재할 수 있는데, 예를 들면 도 19에 도시된 것보다 투영 시스템(PS)에는 1 내지 6 개의 추가 반사 요소가 존재할 수 있다.
컬렉터 광학계(CO)는 도 19에 도시된 바와 같이, 단지 컬렉터(또는 컬렉터 미러)의 예로서, 그레이징 입사 반사체들(253, 254, 및 255)을 갖는 네스트형 컬렉터(nested collector)로 묘사되어 있다. 그레이징 입사 반사체들(253, 254, 및 255)은 광축(O)을 중심으로 축 대칭으로 배치되며, 이 유형의 컬렉터 광학계(CO)는 바람직하게는 종종 DPP 소스로 불리는 방전 생성 플라즈마 소스와 조합하여 사용된다.
혹은, 소스 컬렉터 모듈(SO)은 도 20에 나타낸 바와 같이 LPP 방사선 시스템의 일부일 수도 있다. 레이저(LA)는 크세논(Xe), 주석(Sn), 또는 리튬(Li)과 같은 연료에 레이저 에너지를 축적하도록 배치되어, 수십 eV의 전자 온도를 갖는 고도로 이온화된 플라즈마(210)를 생성한다. 이들 이온의 탈여기(de-excitation) 및 재결합 중에 생성되는 고에너지 방사선이 플라즈마로부터 방출되어, 거의 수직의 입사 콜렉터 광학계(CO)에 의해 수집되고는, 인클로저 구조(220)의 개구부(221)에 포커싱된다.
다음의 조항들을 사용하여 실시예들이 추가로 설명될 수 있다:
1. 패터닝 프로세스에서 레지스트의 변형을 결정하는 방법으로서,
패턴을 갖는 레지스트의 레지스트 변형 모델 - 레지스트 변형 모델은 패턴의 적어도 하나의 피처(feature)의 윤곽에 작용하는 모세관력들(capillary forces)로 인한 레지스트의 유체 유동을 시뮬레이션하도록 구성됨 - 을 획득하는 단계; 및
프로세서와 레지스트 변형 모델을 통해, 레지스트 변형 모델에의 입력 패턴에 기초하여 현상되는 레지스트 패턴의 변형을 결정하는 단계:
를 포함하는, 방법.
2. 조항 1의 방법에서, 레지스트 변형 모델은 선형화된 나비에-스톡스 유동 방정식을 기초로 한다.
3. 조항 1 또는 조항 2의 방법에서, 유체 유동은 스톡스(Stokes) 유동 및/또는 힐리-쇼(Hele-Shaw) 유동을 특징으로 한다.
4. 조항 1 또는 조항 2의 방법에서, 유체 유동은 적어도 1/R의 속도로 레지스트의 특정 위치까지의 거리에 따라 감쇠하며, 레지스트 내에서 정규(regular)이거나 레지스트 내의 위치에서만 특이(singular)인 기본해를 특징으로 한다.
5. 조항 1 내지 조항 4 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 변형을 결정하는 단계는:
적어도 하나의 피처의 윤곽을 따라서 복수의 정점(vertices)을 정의하는 단계;
적어도 하나의 피처의 윤곽을 따라서의 주어진 정점에서 모세관력을 결정하는 단계; 및
적어도 하나의 피처의 윤곽을 따라서의 정점들의 복수의 정점 중 하나 이상에서의 속도 응답 - 속도 응답은 주어진 정점에 인접한 정점에 작용하는 모세관력으로 인한 것임 - 의 중첩 및 경계 조건을 기초로, 모세관력으로 인한 유체 유동의 속도 유동장(flow field)을 결정하는 단계:
를 포함한다.
6. 조항 5의 방법에서, 복수의 정점을 정의하는 단계는:
적어도 하나의 피처의 윤곽의 면적 또는 체적을 보존하면서 복수의 정점이 균등하게 이격되도록 복수의 정점을 분포시키는 단계:
를 포함한다.
7. 조항 1 내지 조항 6 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 주어진 정점에 작용하는 모세관력은 주어진 정점의 양측의 장력들의 합이다.
8. 조항 5의 방법에서, 속도 응답은 스톡슬릿(Stokeslet)을 특징으로 하고, 스톡슬릿은 스톡스 유동에서 점력(point force)으로 인한 속도장이다.
9. 조항 5의 방법에서, 속도 유동장을 결정하는 단계는:
속도장을 스퀴즈 유동과 고차 속도 유동으로 분해하는 단계;
스퀴즈 유동에 대응하는 경계 조건을 적용하는 단계; 및
경계 조건을 기초로 속도장으로부터 스퀴즈 유동을 제거하는 단계:
를 더 포함한다.
10. 조항 9의 방법에서, 스퀴즈 유동은 피처들의 대규모 이동을 야기하는 레지스트 도메인 경계들을 통한 순 내향 플럭스(net inward flux) 또는 순 외향 플럭스(net outward flux)로 인한 레지스트의 유동이다.
11. 조항 7 내지 조항 10 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 경계 조건을 적용하는 단계는:
레지스트 도메인의 경계를 통과하는 유량을 0으로 설정하는 단계; 및/또는
레지스트 도메인의 경계를 가로지르는 속도를 노 플럭스(no-flux) 상태로 설정하는 단계:
를 포함한다.
12. 조항 9의 방법에서, 레지스트 도메인 경계들을 통과하는 총 내향 유량(total inward flow rate)은 레지스트 도메인의 경계의 하나 이상의 코너에 적절한 강도의 로틀릿(rotlet)을 제공함으로써 0으로 설정된다.
13. 조항 10의 방법에서, 도메인 경계를 횡단할 때 동일한 크기 및 교호적인 부호의 로틀릿들이 직사각형 레지스트 도메인의 4 개의 모서리에 배치된다.
14. 조항 5 내지 조항 13 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 속도 유동장을 결정하는 단계는:
스톡슬릿들(Stokeslets)과의 곱셈에 의해 다른 정점들 각각에서의 모세관력으로 인해 야기되는 모든 다른 정점들의 속도들에 기초하여 적어도 하나의 피처의 윤곽을 따라서의 주어진 정점에서 속도를 획득하는 단계:
를 더 포함한다.
15. 조항 5의 방법에서, 주어진 정점에서 멀리 떨어진 피처들로 인한 속도 유동장에 대한 기여는 무시할 수 있다.
16. 조항 5 내지 조항 13 중 어느 하나의 조항의 방법은,
레지스트 내의 부분 영역에서 힘들을 결정하는 단계; 및
부분 영역에서의 힘들을 사용하여 레지스트 변형 모델의 시뮬레이션에 기초하여 레지스트의 전체 영역의 변형을 획득하는 단계:
를 더 포함한다.
17. 조항 1 내지 조항 16 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 입력 패턴은 그레이스케일 이미지 및/또는 2 진 이미지이다.
18. 조항 1 내지 조항 17 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 입력 패턴은 설계 패턴, 레지스트 이미지, 마스크 패턴, 및/또는 에어리얼 이미지이다.
19. 조항 18의 방법은, 2 진 이미지를 생성하는 단계를 더 포함하고, 생성하는 단계는:
입력 패턴에 대응하는 패터닝 디바이스 패턴을 획득하는 단계;
프로세스 모델의 시뮬레이션을 통해, 패터닝 디바이스 패턴을 기초로 에어리얼 이미지를 생성하는 단계; 및
2 진 이미지를 생성하기 위해 에어리얼 이미지의 패턴의 경계들을 추출하는 단계:
를 포함한다.
20. 조항 1 내지 조항 19 중 어느 하나의 조항의 방법은,
레지스트 변형 모델을 사용하여, 현상된 레지스트 패턴의 적어도 하나의 피처의 경계에 배치된 한 쌍의 위치 사이의 임계 치수를 계산하는 단계; 및
계산된 임계 치수와 실제 현상된 레지스트 패턴의 측정된 임계 치수 사이의 에러를 계산하는 단계:
를 더 포함한다.
21. 조항 20의 방법에서, 에러를 계산하는 단계는 프린트된 웨이퍼 데이터와 시뮬레이션된 이미지 사이의 교차 상관(cross-correlation) 행렬을 사용하여 비교하는 단계를 포함한다.
22. 조항 1 내지 조항 21 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 변형은 복수의 위치에서 결정되고, 각 위치는 입력 패턴에 대한 현상된 레지스트 패턴의 현상된 부분의 경계에 놓인 포인트에 대응한다.
23. 조항 1 내지 조항 22 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 레지스트는 화학적으로 또는 비화학적으로 증폭된 네거티브 톤 레지스트 또는 포지티브 톤 레지스트이다.
24. 패터닝 프로세스의 파라미터를 결정하는 방법으로서,
(i) 패턴을 갖는 레지스트의 레지스트 변형 모델 - 레지스트 변형 모델은 패턴의 적어도 하나의 피처의 윤곽에 작용하는 모세관력들로 인한 레지스트의 유체 유동을 시뮬레이션하도록 구성됨 - 을 포함하는 패터닝 프로세스 모델, 및 (ii) 타겟 패턴을 획득하는 단계;
타겟 패턴을 패터닝 프로세스 모델에의 입력으로 하여 패터닝 프로세스 모델의 시뮬레이션을 기초로 프로세서를 통해 레지스트 패턴 - 레지스트 패턴과 타겟 패턴 사이에는 차이가 존재함 - 을 결정하는 단계; 및
프로세서를 통해 패터닝 프로세스의 시뮬레이션을 기초로 패터닝 프로세스의 파라미터의 값 - 파라미터의 값은 레지스트 패턴과 타겟 패턴 사이의 차이가 감소되도록 결정됨 - 을 결정하는 단계:
를 포함하는 방법.
25. 조항 24의 방법에서, 패터닝 프로세스의 파라미터는 선량, 초점, 광학 근접 보정 중 적어도 하나를 포함한다.
26. 조항 24 내지 조항 25 중 어느 하나의 조항의 방법은,
패터닝 프로세스 중에 리소그래피 장치에 패터닝 프로세스의 파라미터의 값을 적용하는 단계:
를 더 포함한다.
27. 패터닝 프로세스에서 형성되는 패턴의 변형을 결정하는 방법으로서,
형성되는 패턴과 관련된 패턴 정보를 레지스트 변형 모델에 입력하는 단계 - 모델은 레지스트의 부분의 변형을 시뮬레이션하도록 구성되고, 상기 부분은 레지스트의 현상된 영역과 현상된 영역을 둘러싸는 레지스트의 영역 사이의 경계에 위치된 경계 액체 층을 포함하며, 모델은 경계 액체 층의 유체 유동에 의해 야기되는 경계 액체 층의 제1 변형 성분 및 경계 액체 층의 유체 유동에 의해 야기되는 경계 액체 층의 제2 변형 성분을 결정하도록 구성됨 -; 및
프로세서를 통해, 입력된 패턴 정보에 기초하여 레지스트에 형성되는 패턴의 변형 - 변형은 경계 액체 층의 제1 변형 성분과 제2 변형 성분의 조합을 포함함 - 을 결정하는 단계:
를 포함하는, 방법.
28. 조항 27의 방법에서, 경계 액체 층은 경계에서의 레지스트의 현상된 영역의 길이보다 작은 두께를 갖는다.
29. 조항 27 내지 조항 28 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 제1 변형 성분은 경계 액체 층의 유량의 수평 성분을 기초로 수평 평면에서 결정되고, 제2 변형은 경계 액체 층의 유량의 수직 성분을 기초로 수평 평면에서 결정된다.
30. 조항 27 내지 조항 29 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 모델에는 경계 액체 층의 자유 표면에서 거의 0과 같은 속도 구배를 포함하는 제1 경계 조건이 정의되며, 자유 표면은 현상된 또는 개방된 영역의 반대편에 있다.
31. 조항 27 내지 조항 30 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 모델에는 현상된 또는 개방된 영역의 표면에서 거의 0과 같은 속도를 포함하는 제2 경계 조건이 정의된다.
32. 조항 31의 방법에서, 모델에는 경계 액체 층의 두께 및 경계 액체 층의 두께에 걸친 압력 구배의 함수로서 속도가 정의된다.
33. 조항 32의 방법에서, 모델에는 경계 액체 층의 두께에 걸친 속도의 적분의 함수로서 경계 액체 층의 유량이 정의된다.
34. 조항 29의 방법에서, 모델에는 경계 액체 층의 유량의 함수로서 변형이 정의된다.
35. 조항 27 내지 조항 34 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 변형을 결정하는 단계는:
경계 액체 층의 유량의 수평 성분에 의해 야기되는 제1 평면에서의 제1 변형 성분을 결정하는 단계; 및
제2 평면- 제2 평면은 제1 평면에 수직임 - 에서의 경계 액체 층의 유량의 수직 성분에 기초하여 제1 변형 성분을 조정함으로써 제1 평면에서의 최종 변형을 결정하는 단계:
를 포함한다.
36. 조항 35의 방법에서, 제1 평면은 수평 평면이다.
37. 조항 27 내지 조항 36 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 변형을 결정하는 단계는:
레지스트의 현상된 또는 개방된 영역의 윤곽을 따라서 복수의 정점을 정의하는 단계;
윤곽을 따라서의 주어진 정점에서 모세관력을 결정하는 단계; 및
(i) 레지스트의 현상된 영역의 체적이 보존되고 (ii) 경계 액체 층의 체적이 보존되도록 정점들의 재분포:
를 더 포함한다.
38. 조항 37의 방법에서, 정점들의 재분포는:
경계 액체 층의 유량의 수평 성분에 기초하여 시간 스케일을 결정하는 단계; 및
시간 스케일 및 경계층의 유량에 기초하여, 복수의 정점을 이동시키는 단계:
를 포함한다.
39. 조항 38의 방법은,
경계층의 유량에 기초하여 경계 액체 층의 두께 변화율을 결정하는 단계; 및
재분포된 정점들에 기초하여, 경계 액체 층의 두께 변화율에 기초하여 자유 표면을 따라서 다른 복수의 정점을 조정하는 단계:
를 더 포함한다.
40. 조항 27 내지 조항 39 중 어느 하나의 조항의 방법에서, 모델은 윤활 근사화를 기초로 단순화된 박막 모델이고, 윤활 근사화는 0인 수직 전단 응력 값을 포함한다.
41. 패터닝 프로세스에서 형성되는 패턴의 변형을 결정하는 방법으로서,
형성되는 패턴과 관련된 패턴 정보를 레지스트 변형 모델에 입력하는 단계 - 모델은 레지스트의 부분의 변형을 시뮬레이션하도록 구성되고, 상기 부분은 레지스트의 현상된 영역과 현상된 영역을 둘러싸는 레지스트의 영역 사이의 경계에 위치된 경계 액체 층을 포함하며, 모델은 경계 액체 층의 수평 유체 유동에 의해 야기되는 경계 액체 층의 변형을 결정하도록 구성됨 -; 및
프로세서를 통해, 입력된 패턴 정보에 기초하여 레지스트 변형 모델을 시뮬레이션함으로써 레지스트에 형성되는 패턴의 변형을 결정하는 단계:
를 포함하는, 방법.
42. 조항 41의 방법에서, 경계 액체 층은 경계에서의 레지스트의 현상된 영역의 길이보다 작은 두께를 갖는다.
43. 프로세서로 하여금 조항 1 내지 조항 42 중 어느 하나의 조항의 방법을 수행하게 하기 위한 기계 가독 명령어들을 포함하는 비일시적 컴퓨터 프로그램 제품.
본 명세서에서는 IC들과 같은 디바이스들의 제조에 대해 구체적인 언급이 이루어질 수 있으나, 본 명세서의 기재는 다수의 다른 가능한 용도를 갖는다는 것을 분명히 이해해야 한다. 예를 들면, 통합 광학 시스템들, 자구(magnetic domain) 메모리들용의 가이던스 및 검출 패턴들, 액정 디스플레이 패널들, 박막 자기 헤드들 등의 제조에 이용될 수 있다. 통상의 기술자는 이러한 대체 용도의 맥락에서, 본 명세서에서의 "레티클", "웨이퍼", 또는 "다이"라는 용어의 모든 사용은 보다 일반적인 용어인 "마스크", "기판", 및 "타겟부"와 각각 상호 교환 가능한 것으로 간주되어야 함을 이해할 것이다.
"마스크", "레티클", 및 "패터닝 디바이스"라는 용어는 본 명세서에서 상호 교환 가능하게 사용된다는 점에 유의하자. 또한, 본 기술분야의 통상의 기술자는 특히 리소그래피 시뮬레이션/최적화의 맥락에서, "마스크"/"패터닝 디바이스" 및 "설계 레이아웃"이라는 용어는 리소그래피 시뮬레이션/최적화에서와 같이 상호 교환 가능하게 사용될 수 있으며, 물리적 패터닝 디바이스가 반드시 사용되는 것은 아니지만 설계 레이아웃이 물리적 패터닝 디바이스를 나타내는 데 사용될 수 있다는 것을 인지할 것이다.
본 문서에서, "방사선" 및 "빔"이라는 용어는 (예를 들면, 365, 248, 193, 157, 또는 126 ㎚의 파장을 갖는) 자외 방사선 및 (예를 들면, 5 내지 20 ㎚ 범위의 파장을 갖는) 극자외 방사선(extreme ultra-violet: EUV)을 포함한 모든 유형의 전자 방사선을 포괄하도록 사용된다.
본 명세서에서 사용되는 "최적화하는" 및 "최적화"라는 용어는 (리소그래피와 같은) 패터닝 프로세스의 결과들 및/또는 프로세스들이 기판 상에의 설계 레이아웃들의 투영의 보다 높은 정확도, 보다 큰 프로세스 윈도우 등과 같은 보다 바람직한 특성을 갖도록 리소그래피 투영 장치 및/또는 패터닝 프로세스를 조정하는 것을 의미한다. "최적화하는" 및 "최적화"라는 용어는 리소그래피의 결과들 및/또는 프로세스들이 기판 상에의 설계 레이아웃들의 투영의 최고의 정확도, 최대의 프로세스 윈도우 등과 같은 가장 바람직한 특성들을 갖는 것을 반드시 요하지는 않는다.
위에서 참조된 패터닝 디바이스는 설계 레이아웃들을 포함하거나 형성할 수 있다. 설계 레이아웃들은 CAD(computer-aided design) 프로그램을 사용하여 생성될 수 있는데, 이 프로세스는 종종 EDA(electronic design automation: 전자 설계 자동화)로 지칭된다. 대부분의 CAD 프로그램은 기능적인 설계 레이아웃/패터닝 디바이스를 생성하기 위해 사전 결정된 설계 규칙 세트(set of predetermined design rules)를 따른다. 이들 규칙은 처리 및 설계 제약사항들에 의해 설정된다. 예를 들어, 설계 규칙들은 회로 디바이스들 또는 라인들이 바람직하지 않은 방식으로 서로 상호작용하지 않도록, (게이트들, 커패시터들 등과 같은) 회로 디바이스들 또는 인터커넥트 라인들 사이의 공간 공차(space tolerance)를 규정한다. 설계 규칙 제약사항들은 전형적으로 "임계 치수들"(critical dimensions: CD)로 지칭된다. 회로의 임계 치수는 라인 또는 구멍의 최소 너비(폭) 또는 2 개의 라인 또는 2 개의 구멍 사이의 최소 공간으로 정의될 수 있다. 그래서, CD는 설계된 회로의 전체 크기와 밀도를 결정한다. 물론, 집적 회로 제작에 있어서의 목표들 중 하나는 (패터닝 디바이스를 통해) 기판에 원래의 회로 설계를 충실하게 재현하는 것이다.
본 명세서에서 사용되는 "마스크" 또는 "패터닝 디바이스"라는 용어는 입사 방사선 빔에 기판의 타겟부에 생성하고자 하는 패턴에 대응하는 패턴화된 단면을 부여하는 데 사용될 수 있는 일반적인 패터닝 디바이스를 가리키는 것으로 폭넓게 해석될 수 있으며; "광 밸브(light valve)"라는 용어도 이 맥락에서 사용될 수 있다. 고전적인 마스크(투과형 또는 반사형, 바이너리, 위상 쉬프팅, 하이브리드 등) 외에, 이러한 패터닝 디바이스들의 다른 예로는 프로그래머블 미러 어레이(programmble mirror array) 및/또는 프로그래머블 LCD 어레이가 포함된다.
본 명세서에 개시된 개념들은 임의의 패터닝 프로세스를 시뮬레이션하거나 수학적으로 모델링할 수 있으며, 점점 더 짧은 파장을 생성할 수 있는 이미징 기술에 특히 유용할 수 있다. 이미 사용되고 있는 이러한 이미징 기술의 예들에는 EUV(극자외선), ArF 레이저를 사용하여 193 ㎚의 파장 및/또는 불소(Fluorine) 레이저를 사용하여 157 ㎚의 파장을 생성할 수 있는 DUV 리소그래피가 포함된다. 또한, EUV 리소그래피는 예를 들면, 싱크로트론(synchrotron)을 사용하거나 고에너지 전자들로 재료(고체 또는 플라즈마)를 타격하여 약 5 nm 내지 약 20 ㎚ 범위 내의 광자를 생성함으로써 이 범위 내의 파장을 생성할 수 있다.
본 명세서에 개시된 개념들은 실리콘 웨이퍼와 같은 기판 상에 이미징하는 것을 포함하는 패터닝 프로세스들에 사용될 수 있으나, 개시된 개념들은 임의의 유형의 리소그래피 시스템들, 예를 들면 실리콘 웨이퍼들 이외의 기판들 상에 이미징하는 데 사용되는 리소그래피 시스템들에도 사용될 수 있음을 이해해야 한다.
블록도들에서, 도시된 컴포넌트들은 개별 기능 블록들로 묘사되지만, 실시예들은 본 명세서에 기재된 기능이 도시된 바와 같이 구성되는 시스템들로 국한되지 않는다. 컴포넌트들 각각에 의해 제공되는 기능은 현재 묘사된 것과 다르게 구성되는 소프트웨어 또는 하드웨어 모듈들에 의해 제공될 수 있으며, 예를 들어 이러한 소프트웨어 또는 하드웨어는 혼합, 결합, 복제, 분할, (예를 들면, 데이터 센터 내에서 또는 지리적으로) 분산될 수 있거나, 상이하게 구성될 수 있다. 본 명세서에 기재된 기능은 유형의(tangible) 비일시적 기계 가독 매체에 저장된 코드를 실행하는 하나 이상의 컴퓨터의 하나 이상의 프로세서에 의해 제공될 수 있다. 경우에 따라서는, 제3 자 콘텐츠 전달 네트워크들이 네트워크들을 통해 전달되는 정보의 일부 또는 전부를 호스팅할 수 있는데, 이 경우에 정보(예를 들면, 콘텐츠)가 공급되거나 달리 제공된다고 하는 범위에서, 정보는 콘텐츠 전달 네트워크로부터 그 정보를 회수하기 위한 명령어들을 송신함으로써 제공될 수 있다.
구체적으로 달리 명기되지 않는 한, 논의로부터 분명하듯이, 본 명세서 전체에 걸쳐 "처리", "컴퓨팅", "계산", "결정" 등과 같은 용어들을 사용하는 논의들은 특수 목적 컴퓨터 또는 유사한 특수 목적 전자 처리/컴퓨팅 디바이스와 같은 특정 장치의 동작들 또는 프로세스들을 지칭한다는 것이 이해된다.
독자는 본 출원이 여러 발명을 기재하고 있다는 것을 이해해야 한다. 이들 발명을 복수의 독립된 특허 출원으로 분리하는 대신에, 그 관련 주제가 출원 과정의 경제성에 도움이 때문에 이들 발명은 단일 문서로 그룹화되었다. 그러나, 이러한 발명들의 구분되는 이점들과 양태들이 혼동되어서는 안 된다. 경우에 따라, 실시예들은 본 명세서에서 언급된 결함들 모두를 다루지만, 본 발명들은 독립적으로 유용하며, 몇몇 실시예는 이러한 문제점들의 서브세트만을 다루거나 본 발명을 검토하는 본 기술분야의 통상의 기술자에게 분명하게 되는 다른 언급되지 않은 이익들을 제공한다는 것을 이해해야 한다. 비용의 제약으로 인해, 본 명세서에 개시된 몇몇 발명은 현재 특허청구되지 않을 수 있으며, 계속 출원과 같은 추후 출원으로 또는 본 청구범위를 보정함으로써 특허청구가 이루어질 수 있다. 유사하게, 공간의 제약으로 인해, 본 명세서의 요약서 또는 발명의 개요 섹션 어느 것도 그러한 모든 발명들 또는 그러한 발명들의 모든 양태들의 포괄적인 목록을 포함하는 것으로 받아들여서는 안 된다.
설명 및 도면들은 본 발명을 개시된 특정 형태로 한정하고자 함이 아니며, 오히려 그 반대로, 그 의도는 첨부된 청구범위에 의해 정의되는 본 발명들의 사상과 범위 내에 있는 모든 수정들, 동등물들, 및 대체물들을 포괄하는 것임을 이해해야 한다.
본 설명을 고려하면 본 기술분야의 통상의 기술자에게 본 발명들의 다양한 양태들의 수정들 및 대체의 실시예들이 분명해질 것이다. 따라서, 본 설명 및 도면들은 단지 예시적인 것으로 해석되어야 하며 본 기술분야의 통상의 기술자에게 본 발명들을 수행하는 일반적인 방식을 가르치기 위한 것이다. 본 명세서에 도시되고 설명된 발명들의 형태들은 실시예들의 예들로서 취해져야 한다는 것을 이해해야 한다. 본 설명의 이점을 이해하고 난 후에 모두 당업자에게 분명해지듯이, 본 명세서에 도시되고 설명된 것들 대신에 요소들 및 재료들이 대체될 수 있고, 부품들 및 프로세스들은 반대로 되거나 생략될 수 있으며, 특정 특징들은 독립적으로 이용될 수도 있고, 실시예들 또는 실시예들의 특징들은 결합될 수도 있다. 다음의 청구범위에 기재된 바와 같은 본 발명의 사상과 범위로부터 일탈함이 없이 본 명세서에 기재된 요소들에는 변경이 이루어질 수 있다. 본 명세서에서 사용되는 제목들은 구성 목적만을 위한 것으로, 설명의 범위를 제한하는 데 사용하고자 하는 것은 아니다.
본 출원서 전체에 걸쳐서 사용되는, "일/할 수 있다(may)"라는 단어는 강제적 의미(즉, 해야 한다(must)는 의미)가 아니라 허용적 의미(즉, ~할 가능성을 갖는 의미)로 사용된다. "포함한다(include)", "포함하는", 및 "포함한다(includes)" 등의 단어들은 포함하지만 이에 국한되지 않음을 의미한다. 본 출원서 전체에 걸쳐 사용되는, 단수형들 "a", "an", 및 "the"는 그 내용이 명시적으로 달리 명기되지 않는 한 복수의 지시 대상을 포함한다. 그래서, 예를 들면, 요소("an" element 또는 "a" element)에 대한 언급은 "하나 이상(one or more)"과 같은 하나 이상의 요소에 대한 다른 용어들 및 어구들의 사용에도 불구하고, 2 개 이상의 요소의 조합을 포함한다. "또는"이라는 용어는 달리 명시되지 않는 한 비배타적인, 즉 "와(and)" 및 "또는(or)" 양자 모두를 포함한다. 조건부 관계들을 기술하는 용어들, 예를 들어 "X, Y에 응답하여", "X, Y에 따라", "X, Y가 ~ 이면", "X, Y가 ~ 일 때" 등은 선행 조건이 필요 인과 조건이거나, 선행 조건이 충분 인과 조건이거나, 또는 선행 조건이 후사의 기여 인과 조건인 인과 관계들을 포함하는데, 예를 들면 "상태 X는 조건 Y 획득시 발생한다"는 "X는 전적으로 Y에 의해서 발생한다" 및 "X는 Y와 Z에 의해서 발생한다"에 대한 총칭이다. 어떤 결과들은 지연될 수 있고, 조건문에서 선행 조건들은 그 후사들에 연결되므로, 예를 들어 선행 조건은 후사가 발생할 가능성과 관련이 있으므로, 이러한 조건부 관계들은 선행 조건 획득에 바로 뒤이어지는 결과들에 국한되지 않는다. 복수의 속성 또는 기능이 복수의 객체에 매핑되는(예를 들면, 단계들 A, B, C, 및 D를 수행하는 하나 이상의 프로세서) 서술은 달리 명시되지 않는 한, 그러한 모든 속성들 또는 기능들이 그러한 모든 객체들에 매핑되는 것과 속성들 또는 기능들의 서브세트들이 속성들 또는 기능들의 서브세트들에 매핑되는 것 양자 모두(예를 들면, 모든 프로세서들 각각이 단계 A 내지 D를 수행하는 것과, 프로세서 1이 단계 A를 수행하고, 프로세서 2가 단계 B 및 단계 C의 일부를 수행하고, 프로세서 3이 단계 C의 일부 및 단계 D를 수행하는 경우의 양자 모두)를 포함한다. 또한, 달리 명시되지 않는 한, 하나의 값 또는 동작이 다른 조건 또는 값을 "기초로 한다는" 서술은 조건 또는 값이 유일한 요인인 경우들과 조건 또는 값이 복수의 요인 중 하나의 요인인 경우들 양자 모두를 포함한다. 달리 명시되지 않는 한, 모종의 컬렉션의 "각(each)" 사례는 모종의 특성을 갖는다는 서술은 보다 큰 컬렉션의 모종의 달리 동일하거나 유사한 구성원들이 특성을 갖지 않는 경우들을 배제하도록 읽어서는 안 된다, 즉 각(each)은 반드시 각각 모든(each and every)을 의미하지는 않는다. 범위로부터의 선택에 대한 참조는 그 범위의 종점들을 포함한다.
위의 설명에서는, 본 기술분야의 통상의 기술자가 이해할 수 있다시피, 플로차트들의 임의의 프로세스들, 설명들, 또는 블록들이 프로세스의 특정 논리 기능들 또는 단계들을 구현하기 위한 하나 이상의 실행 가능한 명령어를 포함하는 코드의 모듈들, 세그먼트들, 또는 부분들을 나타내는 것으로 이해되어야 하며, 대체의 구현예들은 관련된 기능에 따라 실질적으로 동시에 또는 역순으로를 포함하여, 도시되거나 논의된 순서를 벗어나서 기능들이 실행될 수 있는 본 진전의 예시적인 실시예들의 범위 내에 포함된다.
특정 실시예들이 설명되었으나, 이들 실시예는 단지 예로서만 제시되었으며, 본 발명의 범위를 한정하려는 의도는 아니다. 실제로, 본 명세서에 기재된 신규한 방법들, 장치들, 및 시스템들은 다양한 다른 형태로 실시될 수 있으며; 또한, 본 발명의 사상으로부터 일탈함이 없이 본 명세서에 기재된 방법들, 장치들, 및 시스템들의 형태에 있어서 다양한 생략, 대체, 및 변경이 이루어질 수 있다. 첨부된 청구범위 및 그 동등물들은 본 발명의 범위 및 사상에 속하는 그러한 형태들 또는 변형들을 포괄하도록 의도된다.
Claims (15)
- 패터닝 프로세스에서 레지스트의 변형을 결정하는 방법으로서,
패턴을 갖는 상기 레지스트의 레지스트 변형 모델 - 상기 레지스트 변형 모델은 상기 패턴의 적어도 하나의 피처(feature)의 윤곽에 작용하는 모세관력들(capillary forces)로 인한 상기 레지스트의 유체 유동을 시뮬레이션하도록 구성됨 - 을 획득하는 단계; 및
프로세서와 상기 레지스트 변형 모델을 통해, 상기 레지스트 변형 모델에의 입력 패턴에 기초하여 현상되는 레지스트 패턴의 변형을 결정하는 단계:
를 포함하는, 방법. - 제1 항에 있어서,
상기 레지스트 변형 모델은 나비에-스톡스(Navier-Stokes) 유동 방정식을 기초로 하고, 상기 유체 유동은 스톡스(Stokes) 유동 및/또는 힐리-쇼(Hele-Shaw) 유동을 특징으로 하며, 상기 유체 유동은 적어도 1/R의 속도로 상기 레지스트의 특정 위치까지의 거리에 따라 감쇠하며, 상기 레지스트 내에서 정규(regular)이거나 상기 레지스트 내의 상기 위치에서만 특이(singular)인 기본해(fundamental solution)를 특징으로 하는.
방법. - 제1 항에 있어서,
상기 변형을 결정하는 단계는:
상기 적어도 하나의 피처의 상기 윤곽을 따라서 복수의 정점(vertices)을 정의하는 단계;
상기 적어도 하나의 피처의 상기 윤곽을 따라서의 주어진 정점에서 모세관력을 결정하는 단계; 및
상기 적어도 하나의 피처의 상기 윤곽을 따라서의 정점들의 상기 복수의 정점 중 하나 이상에서의 속도 응답 - 상기 속도 응답은 상기 주어진 정점에 인접한 정점에 작용하는 모세관력으로 인한 것임 - 의 중첩을 기초로 및 경계 조건을 기초로, 상기 모세관력으로 인한 상기 유체 유동의 속도 유동장(flow field)을 결정하는 단계:
를 포함하는,
방법. - 제3 항에 있어서,
상기 복수의 정점을 정의하는 단계는:
상기 적어도 하나의 피처의 상기 윤곽의 면적 또는 체적을 보존하면서 상기 복수의 정점이 균등하게 이격되도록 상기 복수의 정점을 분포시키는 단계:
를 포함하며,
상기 주어진 정점에 작용하는 상기 모세관력은 상기 주어진 정점의 양측의 장력들의 합(sum)인,
방법. - 제3 항에 있어서,
상기 속도 응답은 스톡슬릿(Stokeslet)을 특징으로 하고, 상기 스톡슬릿은 스톡스 유동에서 점력(point force)으로 인한 속도 유동장을 나타내는,
방법. - 제3 항에 있어서,
상기 속도 유동장을 결정하는 단계는:
상기 속도 유동장을 스퀴즈 유동(squeeze flow)과 고차 속도 유동으로 분해하는 단계;
상기 스퀴즈 유동에 대응하는 제1 경계 조건을 적용하는 단계; 및
상기 제1 경계 조건을 기초로 상기 속도 유동장으로부터 상기 스퀴즈 유동을 제거하는 단계:
를 더 포함하는,
방법. - 제6 항에 있어서,
상기 스퀴즈 유동은 상기 레지스트 패턴의 피처들의 대규모 이동을 야기하는 레지스트 도메인 경계들을 통한 순 내향 플럭스(net inward flux) 또는 순 외향 플럭스(net outward flux)로 인한 레지스트의 유동인,
방법. - 제6 항에 있어서,
상기 제1 경계 조건을 적용하는 단계는:
레지스트 도메인의 경계를 통과하는 유량을 0으로 설정하는 단계; 및/또는
상기 레지스트 도메인의 경계를 가로지르는 속도를 노 플럭스(no-flux) 상태로 설정하는 단계:
를 포함하는,
방법. - 제7 항에 있어서,
상기 레지스트 도메인 경계들을 통과하는 총 내향 유량(total inward flow rate)은 상기 레지스트 도메인의 경계의 하나 이상의 코너에 선택된 강도의 로틀릿(rotlet)을 제공함으로써 0으로 설정되는,
방법. - 제3 항에 있어서,
상기 속도 유동장을 결정하는 단계는:
스톡슬릿들(Stokeslets)과의 곱셈에 의해 다른 정점들 각각에서의 상기 모세관력으로 인해 야기되는 모든 다른 정점들의 속도들에 기초하여 상기 적어도 하나의 피처의 윤곽을 따라서의 상기 주어진 정점에서 속도를 획득하는 단계:
를 더 포함하고,
상기 주어진 정점에서 멀리 떨어진 피처들로 인한 상기 속도 유동장에 대한 기여는 무시되는,
방법. - 제3 항에 있어서,
상기 레지스트 내의 부분 영역에서 힘들을 결정하는 단계; 및
상기 부분 영역에서의 힘들을 사용하여 상기 레지스트 변형 모델의 시뮬레이션에 기초하여 상기 레지스트의 전체 영역의 변형을 획득하는 단계:
를 더 포함하는, 방법. - 제1 항에 있어서,
상기 입력 패턴은 설계 패턴, 레지스트 이미지, 마스크 패턴, 및/또는 에어리얼 이미지(aerial image)이고, 상기 레지스트는 화학적으로 또는 비화학적으로 증폭된 네거티브 톤 레지스트 또는 포지티브 톤 레지스트이며, 또한 상기 입력 패턴은 그레이스케일 이미지 및/또는 2 진(binary) 이미지인,
방법. - 제1 항에 있어서,
상기 레지스트 변형 모델을 사용하여, 상기 현상된 레지스트 패턴의 상기 적어도 하나의 피처의 경계에 배치된 한 쌍의 위치 사이의 임계 치수를 계산하는 단계; 및
상기 계산된 임계 치수와 실제 현상된 레지스트 패턴의 측정된 임계 치수 사이의 에러를 계산하는 단계 - 상기 에러를 계산하는 단계는 프린트된 웨이퍼 데이터와 시뮬레이션된 이미지 사이의 교차 상관(cross-correlation) 행렬을 사용하여 비교하는 단계를 포함함 -:
를 더 포함하는,
방법. - 제1 항에 있어서,
상기 변형은 복수의 위치에서 결정되고, 각 위치는 상기 입력 패턴에 대한 상기 현상된 레지스트 패턴의 현상된 부분의 경계에 놓인 포인트에 대응하는,
방법. - 프로세서로 하여금 제1 항의 방법을 수행하게 하기 위한 기계 가독 명령어들을 포함하는 비일시적 컴퓨터 프로그램 제품.
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