KR20190007650A - 저 복잡성을 갖는 비선형 제어방법 - Google Patents

저 복잡성을 갖는 비선형 제어방법 Download PDF

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Abstract

본 발명은 저 복잡성을 갖는 비선형 제어방법에 관한 것으로, 출력 신호, 원하는 신호(desired signal) 및 미분 가능하고 연속인 함수를 통하여 정규화된 제1 오차(
Figure pat00138
)를 산출하는 단계; 상기 제1 오차를 통하여 산출되는
Figure pat00139
, 출력 신호 및 가상 제어식(
Figure pat00140
, virtual control law)으로 정규화된 오차들(
Figure pat00141
,
Figure pat00142
)을 산출하는 단계; 및 상기 정규화된 제1 오차(
Figure pat00143
) 및 정규화된 오차들(
Figure pat00144
,
Figure pat00145
)을 이용하여 제어기를 설계하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 한다.

Description

저 복잡성을 갖는 비선형 제어방법{ROBUST NONLINEAR CONTROL METHOD WITH LOW-COMPLEXITY}
본 발명은 저 복잡성을 갖는 강인 비선형 제어방법에 관한 것으로, 더욱 상세하게는 정규화된 오차들 및 이를 이용한 보조 오차들을 이용하여 이상적인 값을 추종하는 제어방법에 관한 것이다.
제어 알고리즘은 크게 선형과 비선형 제어 알고리즘으로 구분할 수 있다. 선형 제어 알고리즘은 PID 등과 같은 전통적인 제어 이론을 이용하는데, 다수의 입력 및 출력(multi-input multi-output)을 갖는 시스템을 위해서는 여러 개의 제어기를 설계해야 하는 문제점이 존재한다. 이를 해결하기 위해 상태 공간 방정식(state space equation)을 이용한 제어 기법을 사용할 수 있으나 이는 비선형 시스템을 선형화해야 하는 문제점이 있다. 즉, 선형화를 위해서는 동작 구간이 좁아야 하며, 비선형성이 강한 시스템의 경우 선형화했을 때 모델에 대한 오차가 크게 발생할 수 있는 문제점이 있다.
비선형 제어 알고리즘은 모델의 선형화 과정이 필요 없기 때문에 선형 제어기의 문제점을 해결할 수 있다. 이와 관련하여 강인 제어(Robust Control), 적응 제어(Adaptive Control), 지능 제어(Intelligent Control) 기법 등이 제안되었으며, 안정도 이론으로는 리아프노프(Lyapunov) 이론을 사용하는 것이 일반적이다. 비선형 제어 알고리즘은 선형에 비해 제어의 정밀도가 높으나 제어기 설계가 어렵고 구조가 복잡하다는 단점이 존재한다. 또한 안정도 분석이 어렵기 때문에 안정성을 중시하는 시스템(비행기, 우주 탐사 로봇)에는 비선형 제어 알고리즘 보다 선형 제어 알고리즘을 사용하는 것을 선호하는 경향이 있다.
이러한 선형 및 비선형 제어 알고리즘의 단점들을 극복하기 위해 최근 기정의 성능 함수(Prescribed performance function)를 이용한 비선형 제어 알고리즘이 제안되어 전 세계의 많은 연구자들에게 관심을 받고 있다. 이 알고리즘의 경우 제어기의 형태가 PID 제어기 중 P 제어기와 형태가 유사하면서도 비선형성을 가지고 있기 때문에 위에서 언급한 선형 및 비선형 제어 알고리즘을 단점들을 제거할 수 있다는 장점을 가지고 있다. 또한 기정의 성능 함수를 이용할 경우 모델의 불확실성 및 외란 등에 대해 보상하기 위해 사용되는 신경망, 퍼지 이론을 이용한 지능 기법과 적응 제어 기법 등의 사용이 불필요하기 때문에 제어기의 형태가 간단하다는 장점이 있다.
그러나 기정의 성능 함수 기반 비선형 제어 알고리즘은 다음과 같은 문제점을 가지고 있다. 첫째, 기정의 함수를 정의하기 위해서는 여러 매개 변수를 적절하게 선택해야 하는데, 매개 변수의 선택 과정이 복잡하고 안정도에 민감하게 반응한다. 둘째, 시스템이 안정된 후에 외란 등이 가해진다면 기정의 함수 범위를 벗어나므로 전체 시스템을 불안정하게 만들 수 있다. 셋째, 실제 실험을 위해서는 기정의 함수와 제어 알고리즘의 동기화가 이루어져야 하는데, 하드웨어의 특성상 이를 정확하게 일치시키는 것이 어렵다.
본 발명에서는 이와 같은 기존 비선형 제어 알고리즘의 문제점을 해결하고 선형제어 알고리즘의 장점은 유지할 수 있는 저 복잡성을 갖는 강인 비선형 제어 알고리즘을 새로이 제안하는데 있다.
본 발명의 목적은 정규화된 오차들 및 이를 이용한 보조 오차들을 이용하여 이상적인 값을 추종하기 위한 제어장치 및 방법을 제공 하는데 있다.
상기 기술적 과제를 해결하기 위하여 본 발명은 비선형 제어 방법에 있어서, 출력 신호, 원하는 신호(desired signal) 및 미분 가능하고 연속인 함수를 통하여 정규화된 제1 오차(
Figure pat00001
)를 산출하는 단계; 상기 제1 오차를 통하여 산출되는
Figure pat00002
, 출력 신호 및 가상 제어식(
Figure pat00003
, virtual control law)을 이용하여 정규화된 오차들(
Figure pat00004
,
Figure pat00005
)을 산출하는 단계; 및 상기 정규화된 제1 오차(
Figure pat00006
) 및 정규화된 오차들(
Figure pat00007
,
Figure pat00008
)을 이용하여 제어기를 설계하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 한다.
또한 상기 정규화된 제1 오차(
Figure pat00009
) 및 정규화된 오차들(
Figure pat00010
,
Figure pat00011
)은
Figure pat00012
로 제한되는 것을 특징으로 한다.
또한 상기 제어 오차
Figure pat00013
은 하기 수학식과 같이 제한되는 것을 특징으로 한다.
Figure pat00014
본 발명의 실시 예들에 따른 저 복잡성을 갖는 강인 비선형 제어방법의 효과에 대해 설명하면 다음과 같다.
본 발명은, 정규화된 오차를 만드는 과정에서 기정의 성능 함수 선정 부분을 최소화하고 외란에 대해서도 강인하며 기정의 성능 함수 선정에 대한 부담을 줄일 수 있도록 한다.
또한 제어기의 형태가 선형제어기와 같이 간단한 형태를 가져, 실제 실험에 적용하기에 용이하다.
다만, 본 발명의 실시 예들에 따른 비선형 제어방법이 달성할 수 있는 효과는 이상에서 언급한 것들로 제한되지 않으며, 언급하지 않은 또 다른 효과들은 아래의 기재로부터 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 명확하게 이해될 수 있을 것이다.
본 발명에 관한 이해를 돕기 위해 상세한 설명의 일부로 포함되는, 첨부도면은 본 발명에 대한 실시예를 제공하고, 상세한 설명과 함께 본 발명의 기술적 사상을 설명한다.
도 1은 본 발명에 따른 비선형 제어기를 설계하는 개념을 설명한 순서도이다.
도 2는 정규화된 제2 오차를 산출하는 방법을 나타낸 순서도이다.
도 3은 정규화된 제i 번째 오차를 산출하는 방법을 나타낸 순서도이다.
도 4의 (a)는 DSC에서 시간에 따른 출력 파형을 나타낸 그래프이고, (b)는 본 발명에서 시간에 따른 출력 파형을 나타낸 그래프이다.
도 5의 (a)는 DSC에서 시간에 따른 추종오차(tracking error)를 나타낸 그래프이고, (b)는 본 발명에서 시간에 따른 추종오차를 나타낸 그래프이다.
도 6의 (a)는 DSC에서 시간에 따른 제어입력을 나타낸 그래프이고, (b)는 본 발명에서 시간에 따른 제어입력를 나타낸 그래프이다.
본 명세서 및 특허청구범위에 사용된 용어나 단어는 통상적이거나 사전적인 의미로 한정하여 해석되어서는 아니되며, 발명자는 그 자신의 발명을 가장 최선의 방법으로 설명하기 위해서 용어의 개념을 적절하게 정의할 수 있다는 원칙에 입각하여, 본 발명의 기술적 사상에 부합되는 의미와 개념으로 해석되어야만 한다. 따라서 본 명세서에 기재된 실시예와 도면에 도시된 구성은 본 발명의 가장 바람직한 하나의 실시예에 불과할 뿐이고, 본 발명의 기술적 사상을 모두 대변하는 것은 아니므로, 본 출원시점에 있어서 이들을 대체할 수 있는 다양한 균등물과 변형예들이 있을 수 있음을 이해하여야 한다. 이하에서는, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 실시예에 따른 비선형 제어방법을 상세하게 설명하기로 한다.
도 1은 본 발명에 따른 비선형 제어기를 설계하는 개념을 설명한 순서도이다.
본 발명은 종래와 차별화되는 비선형 제어방법에 관한 것으로, 정규화된 오차들 및 이를 이용한 보조 오차들을 이용하여 이상적인 값을 추종하기 위한 제어기의 형태를 가상 제어기와 실제 제어기로 설계하는 것을 주요한 내용으로 한다.
구체적으로 본 발명은 미지의(unknown) 비선형 성을 가진 순궤환 시스템(Strict-feedback system)에 대한 제어 알고리즘을 설계하기 위한 방법에 관한 것이다. 순궤환 시스템은 다양한 응용 분야를 갖는 가장 간단한 형태의 시스템 모델이므로 본 제어 알고리즘 설계 기법을 이용하면 다양한 응용 분야에 적용 가능하다.
설계된 제어방법은 적응(Adaptive) 또는 불확실성을 보상하기 위한 지능(Intelligent)기법을 필요로 하지 않고, 추종(tracking) 및 안정화(regulation) 등의 제어 목적에 있어 제어 오차가 반-전역적(semi-global)인 범위 내에 있음을 보일 수 있다.
또한 순궤환 시스템(Strict-feedback system)을 위한 제어기를 설계하기 위해, 백 스테핑 기법(backstepping technique)을 사용할 때, 본질적으로 발생하는 '복잡성의 폭발'(explosion of complexity) 이라는 문제를 해결할 수 있다.
하기의 (수학식 1)로 표현되는 미지의 비선형 순궤환 시스템(strict-feedback system)을 가정한다.
(수학식 1)
Figure pat00015
여기서
Figure pat00016
,
Figure pat00017
,
Figure pat00018
는 상태변수벡터(state variable vector),
Figure pat00019
은 제어입력(control input)이다.
Figure pat00020
에서,
Figure pat00021
이라 할때,
Figure pat00022
은 미지의 연속적인 비선형성 함수이고,
Figure pat00023
는 구분적으로 연속적이고 측정할 수 없는 외부 외란(disturbance)이다.
여기서 수학식 (1)을 고려하자. 제어 오차
Figure pat00024
가 시간에 상관없이 일정 범위 내에 존재하도록 (1)에서 비선형 제어기법
Figure pat00025
를 설계하는 것이다. 여기서
Figure pat00026
는 원하는 신호(desired signal)이다.
원하는 신호
Figure pat00027
는 이용가능하며, 연속적이고, 경계가 정해져 있고, 그 미분된
Figure pat00028
는 경계가 정해져 있으나 이용이 가능하지 않고(가정 1), 외부 교란은 제한되어 있으나, 미지의 것(가정 2)이라고 가정한다.
도 2는 정규화된 제2 오차를 산출하는 방법을 나타낸 순서도이고, 도 3은 정규화된 제i 번째 오차를 산출하는 방법을 나타낸 순서도이다.
제어기를 설계함에 있어, 정규화된 오차(normalized erros)들, 즉, 정규화된 제1 오차(
Figure pat00029
) 및 제i번째 오차(
Figure pat00030
,
Figure pat00031
)은 하기 (수학식 2), (수학식 3)과 같이 정의된다.
(수학식 2)
Figure pat00032
(수학식 3)
Figure pat00033
여기서
Figure pat00034
는 가상 제어기(virtual control) 이고,
Figure pat00035
는 연속적이고 미분 가능하며, 양수인
Figure pat00036
함수이다.
이 때, 제어기는 하기 (수학식 4), (수학식 5)와 같이 설계된다.
(수학식 4)
Figure pat00037
(수학식 5)
Figure pat00038
여기서
Figure pat00039
,
Figure pat00040
는 제어 이득이고,
Figure pat00041
는 하기 (수학식 6)을 통해 산출된 값이다.
(수학식 6)
Figure pat00042
한편, (수학식 2), (수학식 3)의 정의로부터,
Figure pat00043
가
Figure pat00044
이 되도록 제한되어 있다. 상기 이러한 결과는 (수학식 6)의
Figure pat00045
의 한계(boundedness)를 초래한다.
본 발명이 개시하는 제어기 (수학식 4), (수학식 5)는 미지의 비선형성을 보상(compensating)하기 위한 어떠한 접근법 없이 수행된다. 즉, 적응 함수 근사기(approximators)의 사용 또는 비선형 성 범위에 대한 지식은 요구되지 않는다.
또한, 본 발명이 개시하는 방법은 저역-통과 필터(low-pass filters)를 사용하지 않고 백 스테핑 기술의 '복잡성 폭발' 문제를 완전히 피할 수 있다. 이를 통하여 제어 체계를 단순하게 만든다. 이로 인해 보다 적은 제어 이득이 사용되므로, 종래 기술에 비해 비해 실제 시스템에 적용하기 용이하다.
Ⅰ. 설계한 제어기의 안정성(stability) 분석
(수학식 1)을 따라 (수학식 2)와 (수학식 3)의 시간에 대한 도함수를 산출하면 하기 (수학식 7)과 같다.
(수학식 7)
Figure pat00046
(수학식 6)과 (수학식 7)을 사용하면,
Figure pat00047
의 동역학은 하기 (수학식 8)과같이 주어진다.
(수학식 8)
Figure pat00048
여기서
Figure pat00049
,
Figure pat00050
,
Figure pat00051
이다.
본 발명의 제어기에 따른 결과를 검증한다.
정리 1: 상기 (수학식 4)와 (수학식 5)에 의해 제어되는 미지의 순궤적 (strict- feedback) 비선형 시스템(수학식 1)과 리아프노프 함수(Lyapunov function)
Figure pat00052
을 고려한다.
Figure pat00053
인, 양수 c를 가정하고, 상기 언급한 가정 1 및 가정 2를 만족한다고 가정하자. 이 때,
Figure pat00054
,
Figure pat00055
가 되도록하는
Figure pat00056
집합이 존재한다. 또한, 추종 오차는
Figure pat00057
함수에 의해 조정된 범위에서 최종적으로 제한된다.
증명: 가정 1 및 가정 2와
Figure pat00058
의 정의에 의해,
Figure pat00059
되도록 하는
Figure pat00060
이 존재한다.
어떤 양의 상수
Figure pat00061
에서
집합
Figure pat00062
을 고려하고,
어떤 양의 상수
Figure pat00063
에서
집합
Figure pat00064
를 고려하자.
만약
Figure pat00065
라면, 집합
Figure pat00066
는
Figure pat00067
와
Figure pat00068
때문에 존재하고,
Figure pat00069
(
Figure pat00070
)는 각각
Figure pat00071
와
Figure pat00072
에 의해 제한된다.
Figure pat00073
는
Figure pat00074
그리고
Figure pat00075
(여기서
Figure pat00076
)로 구성되어 있는 것에 주목하자. 그러므로
Figure pat00077
(
Figure pat00078
)는
Figure pat00079
에서 최대
Figure pat00080
를 가진다.
(수학식 4), (수학식 5) 그리고 (수학식 8)을 따라
Figure pat00081
의 시간에 대한 도함수가 하기 (수학식 9)와 같이 산출된다.
(수학식 9)
Figure pat00082
Figure pat00083
일 때,
Figure pat00084
이다. 이것은
Figure pat00085
을 선택하면
Figure pat00086
에서
Figure pat00087
을 따른다는 것을 의미한다. 그러므로
Figure pat00088
는 변하지 않는(invariant) 집합이다.
Figure pat00089
가
Figure pat00090
와 같이 제한되기 때문에, (수학식 6)은 하기 (수학식 10)과 같이 이어질 수 있다.
(수학식 10)
Figure pat00091
(수학식 2)와 (수학식 10)을 사용하면, 하기 (수학식 11)로 쓰여질 수 있다.
(수학식 11)
Figure pat00092
(수학식 11)로부터 하기 (수학식 12)를 추론할 수 있다.
(수학식 12)
Figure pat00093
따라서 추종 오차(tracking error)는 최종적으로 제한되고,
Figure pat00094
를 적절하게 설정함으로써 조정될 수 있다.
Ⅱ. 시뮬레이션
예 1 : 동적 표면 제어 기법(DSC)과 비교하기 위해, 다음과 같은 (수학식 13)을 고려한다.
(수학식 13)
Figure pat00095
여기서
Figure pat00096
는 미지의 함수이고,
Figure pat00097
는 조작량(control input)을 의미한다.
본 발명이 해결하고자 하는 것은
Figure pat00098
이 기준 신호
Figure pat00099
를 추적하도록,
Figure pat00100
에서 상태 피드백 법칙을 설계하는 것이다.
시뮬레이션에 있어,
Figure pat00101
이다. DSC에 대한 제어 매개 변수는
Figure pat00102
,
Figure pat00103
,
Figure pat00104
,
Figure pat00105
, 그리고
Figure pat00106
로 선택된다. 초기 조건은
Figure pat00107
로 고정된다.
본원 발명이 개시하는 제어 방식에서, 제어 이득
Figure pat00108
(
Figure pat00109
) 그리고 초기 조건은 DSC 기법과 동일하게 선택된다.
Figure pat00110
는
Figure pat00111
로 주어진다.
도 4 내지 도 6은 기존의 비선형 제어 알고리즘인 동적 표면 설계 기법(Dynamic surface control method)과 본원 발명의 성능을 비교한 그래프이다.
도 4의 (a)는 DSC에서 시간에 따른 출력 파형을 나타낸 그래프이고, (b)는 본 발명에서 시간에 따른 출력 파형을 나타낸 그래프이다.
양자를 비교해보면, 도 4에서는 DFC의 경우, 0 sec 와 5 sec 구간에서 기준(Reference) 값과 실제(Actual) 값에 차이가 없는 것을 확인할 수 있으나, 본 발명에서는 0 sec 와 5 구간에서 차이가 나타나는 것을 확인할 수 있다.
도 5의 (a)는 DSC에서 시간에 따른 추종오차(tracking error)를 나타낸 그래프이고, (b)는 본 발명에서 시간에 따른 추종오차를 나타낸 그래프이고, 도 6의 (a)는 DSC에서 시간에 따른 제어입력을 나타낸 그래프이고, (b)는 본 발명에서 시간에 따른 제어입력를 나타내는 그래프이다.
도 5에서는 양자가 10 sec 와 20 sec 구간에서 추종오차(tracking error)가 나타내는 최대값과 최소값에 차이가 있는 것을 확인할 수 있고, 도 6에서는 양자가 0 sec 와 5 sec 구간에서 Control effort의 값에 차이가 나타나는 것을 확인할 수 있다.
이상에서 본 발명의 대표적인 실시예들을 상세하게 설명하였으나, 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자는 상술한 실시예에 대하여 본 발명의 범주에서 벗어나지 않는 한도 내에서 다양한 변형이 가능함을 이해할 것이다. 그러므로 본 발명의 권리범위는 설명된 실시예에 국한되어 정해져서는 안되며, 후술하는 특허청구범위뿐만 아니라 이 특허청구범위와 균등한 것들에 의해 정해져야 한다.

Claims (3)

  1. 비선형 제어 방법에 있어서,
    출력 신호, 원하는 신호(desired signal) 및 미분 가능하고 연속인 함수를 통하여 하기(수학식 1)로 표현되는 정규화된 제1 오차(
    Figure pat00112
    )를 산출하는 단계;
    (수학식 1)
    Figure pat00113

    (여기서,
    Figure pat00114
    는 원하는 신호,
    Figure pat00115
    은 초기 입력 신호, 는
    Figure pat00117
    가 되도록 하는 미분 가능하고 연속인 함수임.)
    상기 제1 오차, 하기 (수학식 2)를 통하여 산출되는
    Figure pat00118
    , 출력 신호 및 가상 제어식(
    Figure pat00119
    , virtual control law)을 이용하여 하기 (수학식 3)으로 표현되는 정규화된 오차들(
    Figure pat00120
    ,
    Figure pat00121
    )을 산출하는 단계; 및
    (수학식 2)
    Figure pat00122
    ,
    Figure pat00123

    (수학식 3)
    Figure pat00124

    (여기서,
    Figure pat00125
    이고,
    Figure pat00126
    ,
    Figure pat00127
    인 제어 이득임.)
    상기 정규화된 제1 오차(
    Figure pat00128
    ) 및 정규화된 오차들(
    Figure pat00129
    ,
    Figure pat00130
    )을 이용하여 하기 (수학식 3)으로 표현되는 제어기를 설계하는 단계;
    (수학식 3)
    Figure pat00131

    를 포함하는 비선형 제어방법.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 정규화된 제1 오차(
    Figure pat00132
    ) 및 정규화된 오차들(
    Figure pat00133
    ,
    Figure pat00134
    )은
    Figure pat00135
    로 제한되는 것을 특징으로 하는 비선형 제어방법.
  3. 제1항에 있어서,
    상기 제어 오차
    Figure pat00136
    은 하기 (수학식 4)와 같이 제한되는 것을 특징으로 하는 비선형 제어방법.
    (수학식 4)
    Figure pat00137

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* Cited by examiner, † Cited by third party
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JPH066799B2 (ja) * 1988-08-08 1994-01-26 上村工業株式会社 非晶質鉄−モリブデン合金皮膜の電析方法

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