KR20170119197A - 궤도 추적 에러의 최대 진폭을 줄이기 위한 제어기 설계 방법 및 이를 이용한 제어기 - Google Patents

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Abstract

입력 값에 대한 제어 대상물의 출력 값의 에러 값을 정해진 연산 방정식을 통해 연산하여 제어 대상물의 제어 값을 제공하는 제어기의 설계 방법은, 미리 설계된 제어기가 제공하는 제어 값에 의해 목표 동작 궤도를 추적하는 제어 대상물의 추적 동작 궤도를 산출하고, 상기 목표 동작 궤도와 상기 추적 동작 궤도의 에러("궤도 추적 에러")의 최대 진폭을 산출하고, 상기 궤도 추적 에러의 최대 진폭이 감소하도록 상기 제어기의 파라미터를 조정한다.

Description

궤도 추적 에러의 최대 진폭을 줄이기 위한 제어기 설계 방법 및 이를 이용한 제어기{Method for designing the controller for suppressing the maximum amplitude of trajectory tracking errors and Controller using the same}
본 발명은 제어기 설계 방법 및 이를 이용한 제어기에 관한 것으로서, 더욱 상세하게는 입력 값에 대한 제어 대상물의 출력 값의 에러 값을 정해진 연산 방정식을 통해 연산하여 제어 대상물의 제어 값을 제공하는 제어기의 설계 방법 및 상기 설계 방법에 의해 설계된 제어기에 관한 것이다.
비례-적분-미분 제어기(PID 제어기) 또는 비례-미분 제어기(PD) 제어기 등은 실제 응용분야에서 가장 많이 사용되는 대표적인 제어 기법이다.
이러한 제어기는 기본적으로 피드백 제어기의 형태를 가지며, 제어하고자 하는 대상(제어 대상물)의 출력 값을 측정하여 입력 값(또는 설정 값)과 비교해 에러(error)를 계산하고, 그 에러 값을 이용하여 제어에 필요한 제어 값을 계산하는 구조로 되어 있다.
PID 제어기는 에러 값의 비례항, 에러 값의 적분항, 에러 값의 미분항에 해당하는 연산을 수행하는 연산 방정식을 가지고, 그 항의 계수는 PID 제어기의 성능 및 특성을 좌우하는 제어 파라미터가 된다. 이들 제어 파라미터를 게인(gain)이라고도 한다. 이러한 제어 파라미터의 결정이 제어기 설계에 큰 영향을 미친다.
종래 기술에 따르면, 제어 파라미터의 부여 기준이 명확하게 정해진 바가 없어서, 대부분 설계자의 경험과 직관에 의존해 제어 파라미터를 결정하는 일이 많았다. 이와 같은 경우 많은 시행착오가 발생할 수밖에 없다.
따라서, 제어 파라미터를 조정함에 있어서, 정량적인 평가 기준을 부여하기 위한 연구가 이루어지고 있다.
비특허문헌 1에서는, 소위 L 2 놈(Norm)을 이용한 소위 H∞ 최적화(Optimization) 기법이 제안되었다.
이러한 제안에서는, 다음과 같은 가정하에서, 궤도 추적 에러의 L 2 놈을 줄이기 위한 PID 제어기 설계 방법을 제안하였다.
(1) 제어 시스템에 미치는 외란을 에너지가 유한한 외란으로 가정. 이러한 외란에 대한 평가 기준으로서 신호의 에너지에 해당하는 L 2 놈을 적용하고, 외란이 유한한 값의 L 2 놈을 갖는다고 가정.
(2) 궤도 추적 에러 또한, 시간에 따라 감쇠하며 유한한 에너지를 지닌다고 가정. 궤도 추적 에러에 대한 평가 기준으로 L 2 놈을 적용하고, 궤도 추적 에러가 유한한 값의 L 2 놈을 갖는다고 가정.
하지만, 외란은 시간이 증가함에 따라 감쇠하지 않고 지속적으로 존재하기 때문에 일반적으로 무한한 에너지를 지닌다. 따라서, '외란이 유한한 에너지를 가진다'는 가정은 현실의 로봇 팔 등 기계 메커니즘의 동작 제어 시스템에 적용하기에는 적절치 않으며, 매우 제한적인 상황에만 부합하게 된다.
비특허문헌 1에서 제안한 궤도 추적 에러의 L 2 놈을 줄이는 PID 제어기의 설계는 궤도 추적 에러의 에너지를 줄이는 것에 해당하기 때문에 에너지 효율 측면에서는 장점을 가질 수는 있으나, 순간적으로 에러가 급증하는 현상은 제어할 수 없다.
따라서, 로봇 시스템이 주변 사물과 부딪치는 상황을 피하기 위한 소위 "충돌 회피"와 같은 안전과 관련된 측면에서는 비특허문헌 1의 결과는 충분한 성능을 보장하지 않는다.
Y. Choi, W. K. Chung and I. H. Suh, "Performance and H∞ Optimality of PID Trajectory Tracking Controller for Lagrangian Systems," IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 17, No. 6, December, pp. 857~869, 2001
본 발명은 상술한 종래기술의 문제점을 해결하기 위한 것으로서, 외란과 궤도 추적 에러가 무한한 에너지를 가질 수 있도록 가정하여 궤도 추적 에러의 최대 진폭을 줄이도록 제어기를 설계함으로써, 에러가 급증하는 상황을 회피하고 안정성을 보장하는 제어기를 제공하는 것을 목적으로 한다.
상기 목적을 달성하기 위하여, 본 발명의 일 측면에 따르면, 입력 값에 대한 제어 대상물의 출력 값의 에러 값을 정해진 연산 방정식을 통해 연산하여 제어 대상물의 제어 값을 제공하는 제어기의 설계 방법으로서, 미리 설계된 제어기가 제공하는 제어 값에 의해 목표 동작 궤도를 추적하는 제어 대상물의 추적 동작 궤도를 산출하고, 상기 목표 동작 궤도와 상기 추적 동작 궤도의 에러("궤도 추적 에러")의 최대 진폭을 산출하고, 상기 궤도 추적 에러의 최대 진폭이 감소하도록 상기 제어기의 파라미터를 조정하는 제어기의 설계 방법이 제공된다.
일 실시예에 따르면, 상기 제어기의 파라미터를 변수로 가지며 그 연산 값(β)이 상기 궤도 추적 에러의 최대 진폭과 비례하여 변화하는 평가 함수를 정의하고, 상기 β가 감소하도록 상기 제어기의 파라미터를 조정하여 상기 궤도 추적 에러의 최대 진폭을 감소시키는 제어기의 설계 방법이 제공된다.
일 실시예에 따르면, 상기 제어기는 에러 값에 대한 비례 연산, 에러 값에 대한 적분 연산 및 에러 값에 대한 미분 연산을 수행하는 비례-적분-미분(proportional-integrate-derivative: PID) 제어기이고, 상기 궤도 추적 에러는 에러 값의 적분값, 에러 값 및 에러 값의 미분값을 요소로 가지는 벡터 함수이다.
일 실시예에 따르면, 미리 결정된 제어기의 파라미터의 초기 값을 통해 평가 PID 제어기를 설정하고, 초기 값을 평가 함수에 대입하여 평가 β를 산출하며, 평가 PID 제어기에 의해 제어 대상물을 제어하여 산출된 궤도 추적 에러의 최대 진폭을 산출하고, 궤도 추적 에러의 최대 진폭이 소정의 기준치를 만족하지 않으면, 파라미터 중 적어도 하나를 조절하여 수정 값을 결정하며, 파라미터의 수정 값은, 수정 값을 평가 함수에 대입하여 산출된 수정 β의 값이 상기 평가 β의 값보다 작아지도록 결정된다.
일 실시예에 따르면, 파라미터 중 K를 수정하여 수정 β를 산출한다. 이때, α 값은 일정하게 고정될 수 있다.
일 실시예에 따르면, 에러 값의 최대 진폭, 에러 값의 적분값의 최대 진폭 및 에러 값의 미분값의 최대 진폭을 비교하여, 에러 값의 적분값의 최대 진폭이 상대적으로 큰 값을 가지는 경우, K I 를 수정한다.
일 실시예에 따르면, 에러 값의 최대 진폭, 에러 값의 적분값의 최대 진폭 및 에러 값의 미분값의 최대 진폭을 비교하여, 에러 값의 최대 진폭이 상대적으로 큰 값을 가지는 경우, K p 를 수정한다.
일 실시예에 따르면, 상기 제어 대상물은 인접한 링크가 조인트에 의해 회전 가능하게 연결되는 로봇이고, 상기 제어 값(τ)은 상기 조인트에 구비되는 모터의 토크이며, 에러 값은 목표 회전각에 대한 조인트의 출력 회전각의 에러 값이다.
본 발명의 다른 측면에 따르면, 입력 값에 대한 제어 대상물의 출력 값의 에러 값을 정해진 연산 방정식을 통해 연산하여 제어 대상물의 제어 값을 제공하는 제어기로서, 상기 설계 방법에 의해 연산 방정식의 파라미터가 확정된 제어기가 제공된다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 제어 시스템의 블록도이다.
도 2는 본 발명의 일 실시예에 따른 제어기의 설계 방법에 대한 순서도이다.
도 3은 도 1의 제어 시스템의 제어 대상물인 로봇을 개략적으로 도시한 것이다.
도 4는 도 3의 로봇의 동작을 지령하는 목표 동작 궤도를 도시한 것이다.
도 5는 파라미터 변화에 따른 목표 동작 궤도에 대한 추적 동작 궤도를 비교 도시한 것이다.
도 6 및 도 7은 각각 시간에 따른 도 3의 로봇의 조인트 위치 에러의 적분 값 및 조인트 위치 에러 값을 파라미터 변화에 따라 나타낸 것이다.
이하, 본 발명의 바람직한 실시예를 첨부한 도면을 참조하여 설명한다. 본 발명은 도면에 도시된 실시예를 참고로 설명되었으나 이는 하나의 실시예로서 설명되는 것이며, 이것에 의해 본 발명의 기술적 사상과 그 핵심 구성 및 작용은 제한되지 않는다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 제어 시스템(1)의 블록도이다.
도 1에 도시된 바와 같이, 본 실시예에 따른 제어 시스템(1)은 입력 값(q d )에 대한 제어 대상물(20)의 출력 값(q)의 에러 값(e)을 정해진 연산 방정식을 통해 연산하여 제어 대상물(20)의 제어 값(τ)을 제공하는 제어기(10)를 포함한다.
본 실시예에 따른 제어기(10)는 에러 값(e)에 대한 비례 연산, 에러 값에 대한 적분 연산 및 에러 값에 대한 미분 연산을 수행하는 비례-적분-미분(proportional-integrate-derivative: PID) 제어기이다.
본 실시예에 따르면, 제어기(10)의 연산 방정식을 하기 [수학식 1]의 형태로 설정한다.
[수학식 1]
Figure pat00001
여기서 τ는 제어기(10)가 출력하는 제어 값이고, e는 q d - q에 해당하는 에러 값으로, 로봇(20)의 관절 에러의 벡터 표현이다. I는 단위 행렬이고, α, K, K I 및 K p 는 연산 방정식의 가변의 파라미터이다.
구체적으로, α는 제어 시스템(1)의 안정성 계수에 해당하는 스칼라이고, K는 궤도 추적 에러의 최대값을 줄이기 위한 공통 계수(행렬)이며, K I 는 적분 계수(행렬)이고, K p 는 비례 계수(행렬)이다.
본 실시예에 따르면, 제어기(10)의 파라미터를 결정함에 있어, ⅰ) α는 0.5보다 크거나 같은 값으로 정하고, ⅱ) K, K I 및 K p 는 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)이며, ⅲ)
Figure pat00002
라는 조건을 만족하도록 한다.
이러한 조건은 PID 제어기에 있어서, ISS(extended disturbance input to state stability) 안정성을 효과적으로 제공하도록 할 수 있다.
본 실시예에 따르면, α, K, K I 및 K p 는 연산 방정식의 가변의 파라미터를 적절히 조정하여, 최적화된 PID 제어기(10)를 설계한다.
도 2는 본 실시예에 따른 제어기의 설계 방법에 대한 순서도이다.
도 2를 참조하면, 먼저 제어 대상물(20)의 목표 동작 궤도를 생성한다.
목표 동작 궤도는 시간에 따른 제어 대상물의 동작을 지정하는 함수로서, 하기 [수학식 2]와 같이, 입력 값(q d )과, 입력 값의 적분 값 및 입력 값의 미분 값을 요소로 하는 벡터 함수 형태를 가진다.
[수학식 2]
Figure pat00003
목표 동작 궤도가 입력되면, 제어 대상물(20)은 목표 동작 궤도를 추적하도록 동작하게 되고, 제어 대상물(20)에 구비된 각종 센서의 측정치를 이용해 제어 대상물(20)의 실제 동작을 나타내는 추적 동작 궤도를 산출할 수 있다.
추적 동작 궤도 역시 입력 값에 대한 출력 값(q)과, 출력 값의 적분 값 및 출력 값의 미분 값을 요소로 하는 벡터 함수 형태를 가진다.
[수학식 2]
Figure pat00004
상기 목표 동작 궤도와 추적 동작 궤도의 차이는 제어 대상물의 "궤도 추적 에러"로 정의할 수 있으며, 궤도 추적 에러는 하기 [수학식 3]과 같이 입력 값에 대한 출력 값의 에러 값(e)과, 에러 값의 적분 값 및 에러 값의 미분 값을 요소로 가지는 벡터 함수가 된다.
[수학식 3]
Figure pat00005
본 실시예에 따르면 목표 동작 궤도를 추적하도록 제어 대상물(20)을 제어하기 위한 제어 값을 산출하도록 제어기(10)의 파라미터(α, K, K I , K p )의 초기값을 임의로 지정한다. 이때, 파라미터는 상기 ⅰ) 내지 ⅲ)의 조건을 만족하여야 한다.
정해진 파라미터(α, K, K I , K p )의 초기값을 상기 [수학식 1]에 대입하여 성능이 평가될 평가 제어기를 설정한다.
이어, 평가 제어기가 제공하는 제어 값에 의해 주어진 목표 동작 궤도를 추적하도록 제어 시스템(1)을 실행하여 추적 동작 궤도를 산출해낸다.
이후, 목표 동작 궤도와 추적 동작 궤도를 비교하여 궤도 추적 에러를 산출한다.
본 실시예에 따르면, PID 제어기(10)의 최적화를 위한 성능 조절을 위해 아래 [수학식 4]로 정의되는 무한대 놈(Infinite Norm)(L ∞ norm)의 개념을 도입한다.
[수학식 4]
Figure pat00006
여기서, f i (t)는 벡터 f(t)의 i 번째 요소이다. 무한대 놈은 벡터 함수의 요소들의 진폭들 중 최대 진폭 값을 의미한다.
구체적으로, 제어 시스템(1)에 대한 외란은 충분한 시간이 지나도 감쇠하지 않고 지속적으로 존재하는 외란 즉, 무한한 에너지를 가질 수 있는 외란으로 가정한다. 이러한 외란의 평가 기준으로 신호의 최대 진폭에 해당하는 무한대 놈을 정의하였고, 외란이 유한한 값의 무한대 놈을 갖는다고 가정한다.
또한, 궤도 추적 에러 또한, 충분한 시간이 지나도 감쇠하지 않고 지속적으로 존재한다고 가정한다. 즉, 궤도 추적 에러가 무한한 에너지를 가질 수 있다고 간주한다.
궤도 추적 에러를 위 무한대 놈의 개념을 이용하여 평가하며, 유한한 값의 무한대 놈을 갖는다고 가정한다.
일반적인 기계 시스템에서 정의되는 확장된 외란(extended disturbance)(ω pid )은 하기 [수학식 5]로 정의할 수 있다.
[수학식 5]
Figure pat00007
여기서 M은 Inertia에 해당하는 양의 정부호 행렬이고, C는 콜리오리(Coriolis) 원심 토크에 해당하는 행렬이며,
Figure pat00008
를 만족한다. 또한, g(q)는 중력에 의해 발생하는 토크이며, d(t)는 시스템의 외란을 의미한다.
궤도 추적 에러의 무한대 놈의 제어기의 제어 성능에 대한 영향을 평가하기 위하여, 먼저, 연속적이고, 양의 정부호를 가지며, 반경적으로 경계지어지지 않는(radially unbounded) 리아프노프(Lyapunov) 함수 V pid (x pid , t)를 아래 [수학식 6]과 같이 정의한다.
[수학식 6]
Figure pat00009
여기서, x pid는 궤도 추적 에러이고, P pid는 아래 [수학식 7]과 같다.
[수학식 7]
Figure pat00010
이때, 리아프노프(Lyapunov) 함수 V pid (x pid , t)는 하기 [수학식 8]을 만족하는 양의 정부호를 가지는 함수가 되며, 그 미분 값을 하기 [수학식 9]와 같이 얻을 수 있다.
[수학식 8]
Figure pat00011
여기서,
Figure pat00012
이다.
[수학식 9]
Figure pat00013
본 실시예에 따르면,
Figure pat00014
이 되도록 하는 궤도 추적 에러 x pid(t)의 무한대 놈을 제어 대상물의 구동 한계(performance limitation)(γ pid )로 정의한다.
또한, 상기 [수학식 1]과 같은 연산 방정식을 가지는 제어기(10)에 있어서, 아래 [수학식 10]인 행렬(T pid )을 정의한다.
[수학식 10]
Figure pat00015
이때, 구동 한계(γ pid )는 하기 [수학식 11]의 부등식을 만족하게 된다.
[수학식 11]
Figure pat00016
여기서, λ min(T pid )는 행렬 T pid 의 최소 고유치 값이고, n q 는 제어 대상물의 동작 자유도이다.
이에 대한 해석을 통해, 궤도 추적 에러(x pid )는 구동 한계(γ pid )의 감소에 따라 감소하게 될 것이라는 것을 예측할 수 있다. 또한, 구동 한계(γpid)는
Figure pat00017
보다 늦지 않은 수렴 비율을 가지고 감소하게 될 것이므로, 궤도 추적 에러(x pid )의 무한대 놈 역시 동일한 수렴 비율을 가지게 될 것이라는 것을 알 수 있다.
따라서, 본 실시예에 따르면, 상기 [수학식 1]의 연산 방정식을 가지는 제어기(10)의 파라미터들을 변수로 가지는 아래 [수학식 12]의 제어기의 성능 평가 함수로 설정하였다.
[수학식 12]
Figure pat00018
상술한 바와 같이, 이러한 평가 함수의 연산 값(β)은 궤도 추적 에러의 무한대 놈(최대 진폭) 즉, 에러 값(e)의 무한대 놈, 에러 값의 적분 값의 무한대 놈 및 에러 값의 미분 값의 무한대 놈에 비례하여 증감하는 특성을 가진다(즉, 평가 함수와 궤도 추적 에러의 무한대 놈은 하기 [수학식 13]와 같은 관계를 가진다).
[수학식 13]
Figure pat00019
본 실시예에 따르면, 위와 같은 [수학식 12]의 평가 함수가 궤도 추적 에러의 최대 진폭을 예측할 수 있는 기준이 된다.
이하에서는, 평가 함수의 연산 값이 제어기의 성능 조정에 미치는 영향에 대한 실험 결과를 설명한다.
도 3은 본 실시예에 따른 제어 시스템(1)의 제어 대상물(20)인 로봇(로봇 팔)을 개략적으로 도시한 것이다.
로봇 팔(20)은 일반적인 기계 시스템의 예시로서 3 자유도를 가지는 직렬 구조를 가지며 중력의 영향을 받는다.
구체적으로 로봇 팔(20)은 베이스(21)로부터 세 개의 링크(22, 23, 24)가 일렬로 연장되는 팔 형태를 가지고, 세 개의 관절(Joint)(31, 32, 33)에는 브러시 리스 직류(brush-less direct current) 모터가 구비되어, 대응하는 링크를 회전시킨다.
세 개의 링크(22, 23, 24)는 각각 0.3 m, 0.3 m, 0.1 m의 길이를 가진다. 제1조인트(Jont 1)(31)에 구비되는 모터는 19.3 Nm의 출력을 가지고, 제2조인트(Joint 2)(32) 및 제3조인트(Joint 3)(33)에 구비되는 모터는 각각 13.5 Nm의 출력을 가진다.
이러한 3자유도의 매니퓰레이터 시스템인 로봇 팔(20)은 1 kHz의 샘플링 주파수로 동작한다.
도 4는 로봇 팔(20)의 동작을 지령하는 목표 동작 궤도를 도시한 것이다.
목표 동작 궤도(
Figure pat00020
)는 조인트 각도(Joint Angle)와 속도가 t = 0 s, 5 s 및 10 s에서 0이 되도록 설정된 시간에 대한 6차 다항식이다. 목표 동작 궤도에 대한 총 이행 시간은 10 s이다.
조인트 각도에 관련된 입력 값인 목표 동작 궤도가 입력되면, 제어기(10)는 목표 동작 궤도를 추적하기 위한 모터의 토크(τ)를 제어 값으로 출력한다. 해당 제어 값을 통해 로봇 팔이 동작하며 목표 동작 궤도를 추적하는 추적 동작 궤도를 그리게 된다. 추적 동작 궤도는 로봇 팔의 각 조인트에 구비된 각도 측정기 등 각종 센서에 의해 실측된 정보를 통해 얻어진다.
상기 [수학식 1]에 대하여, 파라미터 α는 0.5로 고정하고, K, K I , K p 는 각각 하기 [수학식 14]과 같이 설정한다.
[수학식 14]
Figure pat00021
이때, k p 는 15, k I 는 15로 설정한다.
K 파라미터의 수행 파라미터인 ρ가 증가함에 따라서 평가 함수의 λ min(T pid ) 값이 증가할 것이므로, ρ가 증가(K의 조절)이 증가하면 궤도 추적 에러(x pid )의 무한대 놈이 감소할 것으로 예상하였다. 본 실험에서는 ρ 값을 1, 2 및 4로 변화시켜 결과를 도출하였다.
도 5는 ρ 값의 변화에 따른 목표 동작 궤도(
Figure pat00022
)에 대한 추적 동작 궤도(
Figure pat00023
)를 비교 도시한 것이다. 도면에서 q Ndes (N= 1, 2, 3)가 N번째 조인트에 대한 목표 동작 궤도를 나타내고, q N (N= 1, 2, 3)가 N번째 조인트의 추적 동작 궤도를 나타낸다.
목표 동작 궤도와 추적 동작 궤도로부터, 에러 값으로서 조인트 위치 에러(
Figure pat00024
), 조인트 위치 에러의 적분 값(
Figure pat00025
) 및 조인트 위치 에러의 미분 값(즉, 조인트의 속도)(
Figure pat00026
)을 구할 수 있다.
도 6 및 도 7은 각각 시간에 따른 조인트 위치 에러의 적분 값(Accumulated Joint Position Errors)(
Figure pat00027
) 및 조인트 위치 에러 값(Join Position Errors)(
Figure pat00028
)을 ρ 값에 따라 나타낸 것이다.
또한, 아래 [표]는 ρ 값에 따른 궤도 추적 에러의 최대 진폭과
Figure pat00029
의 값을 나타낸 것이다.
[표]
Figure pat00030
도 5로부터, ρ 값이 증가함에 따라서, 궤도 추적 제어 성능이 향상된다는 것을 알 수 있다. 이는, 도 6 및 도 7에 도시된 바와 같이, 궤도 추적 에러의 요소에 해당하는 에러 값, 에러의 적분 값의 최대 진폭이 ρ 값이 증가함에 따라서 감소(도시하지는 않았지만, 에러의 미분 값의 최대 진폭도 감소한 것으로 확인되었다)한 것과 큰 연관이 있다.
아울러, [표]에 나타난 바와 같이, 궤도 추적 에러의 최대 진폭은
Figure pat00031
보다 늦지 않은 수렴 비율을 보이는 것을 알 수 있다.
따라서, 상기 [수학식 12]의 평가 함수를 궤도 추적 에러의 최대 진폭을 예측할 수 있는 기준으로 설정하고, 평가 함수의 연산 값을 감소시키도록 제어기의 파라미터를 조정하는 것이, 궤도 추적 에러의 최대 진폭 감소(즉, 궤도 추적 성능의 향상)에 타당성이 있음을 확인하였다.
이하, 다시 도 2를 참조하여, 제어기의 성능 조정 방법에 대해 계속 설명한다.
추적 동작 궤도를 산출하여 궤도 추적 에러를 산출하면, 궤도 추적 에러의 무한대 놈 즉, 최대 진폭을 산출할 수 있다.
본 실시예에 따르면, 에러 값(e)의 무한대 놈, 에러 값의 적분 값의 무한대 놈 및 에러 값의 미분 값의 무한대 놈을 각각 산출하여, 파라미터 결정에 활용한다.
산출된 에러 값(e)의 무한대 놈, 에러 값의 적분 값의 무한대 놈 및 에러 값의 미분 값의 무한대 놈의 값이 소정의 기준치보다 작은지를 판단한다. 소정의 기준치는 궤도 추적 에러의 무한대 놈의 절대적인 크기로 정해질 수도 있고, 목표 동작 궤도에 대한 비율로 정해질 수도 있다.
궤도 추적 에러의 무한대 놈의 값이 소정의 기준치보다 작으면, 평가 제어기의 성능이 최적으로 정해진 것으로 보고, 최초로 정해진 파라미터(α, K, K I , K p )의 초기값을 제어기(10)의 파라미터로 확정한다.
반면, 궤도 추적 에러의 무한대 놈의 값이 소정의 기준치를 만족하지 못하면, 미리 정한 파라미터(α, K, K I , K p )를 조정하는 과정을 수행한다.
도 2를 참조하면, 파라미터(α, K, K I , K p )의 조정은 선택적으로 두 개의 경로(Route 1, Route 2)를 따라 수행할 수 있다.
경로 1(Route 1)은 파라미터 중 K 또는 α, 또는 K 및 α를 조정한다.
파라미터(α, K, K I , K p )이 초기 값이 정해지고 나면, 평가 제어기를 설정함과 더불어 파라미터(α, K, K I , K p )의 초기 값을 상기 [수학식 12]의 평가 함수에 대입하여, 평가 β값을 산출한다.
궤도 추적 에러의 무한대 놈의 값이 소정의 기준치를 만족하지 못하면, 상기 [수학식 12]에서 K 및/또는 α를 조정하여 수정 β값을 산출한다.
이때, (수정 β 《 평가 β)의 관계가 성립하도록, K 및/또는 α를 조정된다.
조정된 K 및/또는 α를 포함하는 제어기의 파라미터(α, K, K I , K p )의 수정 값(이때, K I , K p 은 기설정된 초기 값과 동일)에 따른 제어기의 성능을 평가하기 위하여, 파라미터(α, K, K I , K p )의 수정 값을 이용해 제어기 및 평가 함수의 연산 값(β)을 재설정한다.
재설정된 제어기 및 평가 함수의 연산 값(β)을 이용해 상기 과정을 반복 수행하여, 제어기의 파라미터를 최적화해 제어기의 성능을 조정한다.
본 실시예에서는 α도 조정 가능한 것으로 설명하였으나, 제어 시스템의 안정성 계수인 α는 0.5로 고정하고, K 값만을 조정하여 제어기의 성능 조정을 수행할 수도 있다.
K는 상기 [수학식 1]에서도 알 수 있듯이, 에러 값 및 그 미적분 값에 모두 영향을 미칠 수 있는 공통 계수로서, K 값을 조정함으로써 궤도 추적 에러의 최대 값 즉, 로봇 팔의 관절 각도 에러, 관절 속도 에러 및 관절 각도 에러의 적분량 모두의 최대 값을 효과적으로 줄일 수 있다.
한편, 경로 2(Route 2)에서는, 파라미터(α, K, K I , K p ) 모두를 조정한다.
경로 2에 따르면, 궤도 추적 에러의 무한대 놈의 값이 소정의 기준치를 만족하지 못하면, 각각 산출된 에러 값(e)의 최대 진폭(무한대 놈), 에러 값의 적분 값의 최대 진폭 및 에러 값의 미분 값의 최대 진폭을 비교하여, 에러의 적분 값의 최대 진폭이 상대적으로 높은 값을 가지는지 여부를 판단한다.
에러의 적분 값의 최대 진폭이 상대적으로 높은 값을 가지는지 여부는 다른 에러 값 및 에러 값의 미분 값의 최대 진폭 값에 비해 높은 값을 가지는지 여부를 판단(상대적 기준)할 수도 있고, 또는 에러의 적분 값의 최대 진폭 자체가 기대한 수준 이상으로 큰지 여부로 판단(절대적 기준)할 수도 있다.
에러의 적분 값의 최대 진폭이 상대적으로 높은 값을 가지는 경우, 연산 방정식에서 적분 연산의 계수에 해당하는 파마리터 K I 를 조절한다(증가시킨다). 파라미터 K I 의 조절은 연산 방정식에서 적분항의 가중치를 조정하는 것에 의미가 있다. 조절된 파라미터 K I 의 값은 수정 β를 산출하기 위해 [수학식 12]의 평가 함수에 대입된다.
경로 2에 따르면, 에러의 적분 값의 최대 진폭이 상대적으로 높은 값을 갖지 않는 경우, 에러 값의 최대 진폭이 상대적으로 높은 값을 가지지 여부를 판단한다.
에러 값의 최대 진폭이 상대적으로 높은 값을 가지는 경우, 연산 방정식에서 비례 연산의 계수에 해당하는 파마리터 K P 를 조절한다(증가시킨다). 파라미터 K P 의 조절은 연산 방정식에서 비례 항의 가중치를 조정하는 것에 의미가 있다. 조절된 파라미터 K P 의 값은 수정 β를 산출하기 위해 [수학식 12]의 평가 함수에 대입된다.
이후, 위 과정에서 조정된 K I 및 K P 의 값을 반영하고 동시에, (수정 β 《 평가 β)의 관계가 성립하도록 K 및/또는 α를 조정하여, [수학식 12]의 평가 함수의 연산 값(β)을 감소시킨다.
조정된 제어기의 파라미터(α, K, K I , K p )의 수정 값에 따른 제어기의 성능을 평가하기 위하여, 파라미터(α, K, K I , K p )의 수정 값을 이용해 제어기 및 평가 함수의 연산 값(β)을 재설정한다.
재설정된 제어기 및 평가 함수의 연산 값(β)을 이용해 상기 과정을 반복 수행하여, 제어기의 파라미터를 최적화해 제어기의 성능을 조정한다.
본 실시예에 따르면, 신호의 최대 진폭을 다루는 수학적 지표에 입각해 PID 제어기의 제어 성능을 조정하였으므로, 지속적인 외란이 미치는 영향을 적절하게 반영할 수 있다.
또한, 임의의 궤도를 로봇 팔 등의 제어 대상물이 추적하고자 할 때 발생하는 모든 에러의 최대값 즉, 로봇 팔의 관절 각도 에러, 관절 속도 에러 및 관절 각도 에러의 적분량 모두의 최대 값을 효과적으로 줄일 수 있다.
또한, 궤도 추적 에러의 최대 진폭을 감소시키도록 제어기의 파라미터를 결정하게 되므로, 매우 정밀하게 궤도 추적 제어를 수행할 수 있게 된다.
한편, 상기 실시예에서는 PID 제어기의 성능 조정에 대해 설명하고 있지만, 이에 한정되지 않으며, 본 발명의 사상은 PD 제어기 등 다른 제어기의 설계에도 이용될 수 있다.
제어기가 에러 값에 대한 비례 연산 및 에러 값에 대한 미분 연산을 수행하는 비례-미분(proportional-derivative: PD) 제어기인 경우 제어기의 연산 방정식이 하기 [수학식 15]로 설정된다.
[수학식 15]
Figure pat00032
또한, PD 제어기에서 평가 함수는 하기 [수학식 16]로 설정된다.
[수학식 16]
Figure pat00033
여기서, 행렬 T pd 는 하기 [수학식 17]과 같다.
[수학식 17]
Figure pat00034

Claims (13)

  1. 입력 값에 대한 제어 대상물의 출력 값의 에러 값을 정해진 연산 방정식을 통해 연산하여 제어 대상물의 제어 값을 제공하는 제어기의 설계 방법으로서,
    미리 설계된 제어기가 제공하는 제어 값에 의해 목표 동작 궤도를 추적하는 제어 대상물의 추적 동작 궤도를 산출하고,
    상기 목표 동작 궤도와 상기 추적 동작 궤도의 에러("궤도 추적 에러")의 최대 진폭을 산출하고,
    상기 궤도 추적 에러의 최대 진폭이 감소하도록 상기 제어기의 파라미터를 조정하는 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 제어기의 파라미터를 변수로 가지며 그 연산 값(β)이 상기 궤도 추적 에러의 최대 진폭과 비례하여 변화하는 평가 함수를 정의하고,
    상기 β가 감소하도록 상기 제어기의 파라미터를 조정하여 상기 궤도 추적 에러의 최대 진폭을 감소시키는 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.
  3. 제2항에 있어서,
    상기 제어기는 에러 값에 대한 비례 연산, 에러 값에 대한 적분 연산 및 에러 값에 대한 미분 연산을 수행하는 비례-적분-미분(proportional-integrate-derivative: PID) 제어기이고,
    상기 궤도 추적 에러는 에러 값의 적분값, 에러 값 및 에러 값의 미분값을 요소로 가지는 벡터 함수인 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.
  4. 제3항에 있어서,
    상기 제어기는 하기 [수학식 1]의 연산 방정식을 가지는 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.

    [수학식 1]
    Figure pat00035

    여기서, τ는 제어기가 출력하는 제어 값, e는 에러 값, I는 단위 행렬, α, K, K I 및 K p 는 제어기의 파라미터임.
  5. 제4항에 있어서,
    상기 [수학식 1]에서,
    α≥0.5인 스칼라 값이고,
    K, K I 및 K p 는 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)이고,
    Figure pat00036
    인 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.
  6. 제5항에 있어서,
    상기 평가 함수는 하기 [수학식 2]으로 표현되는 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.

    [수학식 2]
    Figure pat00037

    여기서, λ min(T pid )는 행렬 T pid 의 최소 고유치 값이고,
    행렬 T pid 는 하기 [수학식 3]으로 표현되는 행렬이며,

    [수학식 3]
    Figure pat00038

  7. 제4항에 있어서,
    미리 결정된 α, K, K I 및 K p 의 초기 값을 상기 [수학식 1]에 대입해 평가 PID 제어기를 설정하고, 상기 [수학식 2]에 대입해 평가 β를 산출하며,
    평가 PID 제어기에 의해 제어 대상물을 제어하여 산출된 궤도 추적 에러의 최대 진폭을 산출하고,
    궤도 추적 에러의 최대 진폭이 소정의 기준치를 만족하지 않으면, α, K, K I 및 K p 중 적어도 하나를 조절하여 α, K, K I 및 K p 의 수정 값을 결정하며,
    α, K, K I 및 K p 의 수정 값은, α, K, K I 및 K p 의 수정 값을 상기 [수학식 2]에 대입하여 산출된 수정 β의 값이 상기 평가 β의 값보다 작아지도록 결정되는 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.
  8. 제7항에 있어서,
    K를 수정하여 수정 β를 산출하는 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.
  9. 제8항에서 있어서,
    α 값은 일정하게 고정되는 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.
  10. 제7항에 있어서,
    에러 값(e)의 최대 진폭, 에러 값의 적분값(∫e)의 최대 진폭 및 에러 값의 미분값(de/dt)의 최대 진폭을 비교하여, 에러 값의 적분값(∫e)의 최대 진폭이 상대적으로 큰 값을 가지는 경우, K I 를 수정하는 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.
  11. 제7항에 있어서,
    에러 값(e)의 최대 진폭, 에러 값의 적분값(∫e)의 최대 진폭 및 에러 값의 미분값(de/dt)의 최대 진폭을 비교하여, 에러 값(e)의 최대 진폭이 상대적으로 큰 값을 가지는 경우, K p 를 수정하는 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.
  12. 제4항에 있어서,
    상기 제어 대상물은 인접한 링크가 조인트에 의해 회전 가능하게 연결되는 로봇이고,
    상기 제어 값(τ)은 상기 조인트에 구비되는 모터의 토크이며,
    에러 값(e)은 목표 회전각에 대한 조인트의 출력 회전각의 에러 값인 것을 특징으로 하는 제어기의 설계 방법.
  13. 입력 값에 대한 제어 대상물의 출력 값의 에러 값을 정해진 연산 방정식을 통해 연산하여 제어 대상물의 제어 값을 제공하는 제어기로서,
    상기 제어기는 제1항 내지 제11항 중 어느 한 항에 따른 제어기의 설계 방법에 의해 연산 방정식의 파라미터가 확정된 것을 특징으로 하는 제어기.
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