KR20140024890A

KR20140024890A - 반복적 영상 재구성에서 픽손 맵을 결정하는 방법

Info

Publication number: KR20140024890A
Application number: KR1020137029753A
Authority: KR
Inventors: 아모스 야힐
Original assignee: 이미지레콘, 엘엘씨
Priority date: 2011-04-15
Filing date: 2012-04-16
Publication date: 2014-03-03
Also published as: RU2532704C1; EP2697740A1; SG194169A1; EP2697740B1; EP2697740A4; CN103608825A; KR101453711B1; US20120263393A1; JP2014520295A; CA2832990A1; HUE040074T2; IL228823A0; US8675983B2; WO2012142624A1; ES2697611T3; AU2012242457A1

Abstract

픽손 방법을 사용하여 잡음을 포함하는 신호의 반복적 재구성하는 방법은 반복에서 영상을 갱신하기 위하여 사용되는 변수로부터 픽손 맵을 결정한다. 갱신 변수는 최적화된 메리트 함수에 기반하고, 반복 중에 갱신 변수를 평활화한다. 또한 갱신된 영상은, 반복 중에 결정된 픽손 맵을 사용하여, 반복의 마지막에서 선택적으로 더욱 평활화될 수 있다.

Description

반복적 영상 재구성에서 픽손 맵을 결정하는 방법{METHOD TO DETERMINE A PIXON MAP IN ITERATIVE IMAGE RECONSTRUCTION}

본 발명은 신호 재구성 및 개선을 위한 방법, 더 상세하게는 입력 대상에 있는 잡음을 적응적으로 감소시키기 위한 방법에 관한 것이다.

관련 출원

본 출원서는 2011년 4월 15일에 출원된 미국 가출원 번호 61/476,012호의 우선권을 주장하며, 이 간행물의 개시 내용은 인용에 의해서 본 출원서에 전체적으로 포함된다.

신호 내에 포함된 데이터의 최적 추출에는 잡음 및 기구적 제한(instrumental limitation)과 같은 결함의 제거가 요구된다. 데이터의 최적화된 추출 및 재구성을 추구하는 핵심 영역은 영상 개선 분야이다. 기구가 사실상 잡음이 없이 만들어진 경우에도, 유한한 공간적, 스펙트럼적 또는 시간적 해상도(resolution)와 관련된 기구적 시그니처(signature)가 존재한다. 이러한 점에서, 기구적 시그니처를 제거하기 위하여 영상 재구성이 요구된다. 영상 개선의 응용예들 및 데이터 추출에 부정적으로 영향을 줄 수 있는 잡음 및 기타 요소들의 신호원들은, 신호원들이 미약해질 수 있고 대기 간섭이 잡음과 왜곡을 가져오는 천문학적 관찰 및 행성 탐사, 빛이 약해지고 목적물의 빠른 움직임이 불량한 대비 및 블러링(blurring)을 초래하는 군사 및 보안 경계, 종종 명확성 부족을 겪는 의료 영상화, 그리고 전송 및 기구 한계와 실시간 응답에 대한 필요가 영상 선명도와 세부 묘사(detail)에 부정적으로 영향을 미칠 수 있는 비디오 영상을 포함하는 넓은 범위를 포함한다.

디지털 영상 처리는 다양한 센서들에 의하여 수집된 흐릿하고 잡음이 있는 데이터의 고품질, 강건한 재구성(robust reconstruction)을 제공하기 위하여 개발되어 왔다. 본 분야는 측정 잡음에 의하여 오염되지 않은 지속적으로 선명한 그림을 생산하는 영상 기구를 수립하는 것이 불가능하기 때문에 존재한다. 그럼에도, 데이터에 존재하지만 숨겨진 정보가 더 적은 블러링과 잡음을 포함하여 추출될 수 있도록 실제-세계의 기구로부터 획득된 비이상적 데이터로부터 기본 영상을 수학적으로 재구성하는 것이 가능하다. 수많은 이러한 방법들은 예측 모델이 구성되고 데이터에 비교되어 그 모델의 그 데이터로의 피트(fit)의 정확도를 평가하는 프로세스를 사용한다.

본 기록된 설명 전반에 걸쳐, "데이터"는 영상의 재구성의 과정을 통하여 미지의 "영상"이 추정되는, 임의의 측정량(measured quantity)을 말한다. “영상” 이라는 용어는 추정된 해 또는 관찰된 데이터가 생기게 하는 진실의 기본 영상을 의미한다. 본 논의는 보통 어느 문맥이 적용되는지를 명확하게 하는데; 가능한 모호성의 경우에 추정된 해(solution)를 나타내기 위하여 "영상 모델"이 사용된다. 데이터와 영상은 유사할 필요가 없고 심지어 상이한 치수를 가질 수 있음에 주목해야 하는데, 그 예로서 단층 X선 사진 촬영 장치에 의한 재구성(tomographic reconstruction)은 투영된 2D 데이터로부터 3D 영상의 결정을 추구한다. 영상에 대한 대체적 용어는 "대상"인데, 모델이 영상보다 더 일반적일 수 있다는 느낌을 갖게 한다. 이 두 용어는 이하에서 동의어로 사용된다.

통계학자들은 오랫동안 피트(fit)의 해석 및 예측 정확도를 개선하기 위하여 데이터를 피팅(fitting)하기 위하여 사용된 파라미터들을 제한하는 것을 추구해 왔다. 표준 기술들은, 일부의 파라미터들이 중요하지 않은 것으로 발견되어 피트로부터 제외되는, 부분집합 선택(subset selection)(예컨대 Miller 2002), 및 정규화 항(regularization term)을 피트에 사용된 메리트 함수(merit function)에 부가함으로써 파라미터 값들이 제한되는, 리지 회귀(ridge regression)(예컨대 Tikhonov 1963)이다. Tibshirani(1996)는 Least Absolute Shrinkage and Selection Operator(LASSO)로 알려진 기술에서 두 가지 방법을 결합하였다.

피트에서 파라미터의 수를 한정할 필요는, 파라미터의 수가 데이터 점의 수보다 크거나 이에 상응할 정도인, 낮게 결정된(underdetermined) 또는 미흡하게 결정된 문제에 대해서 필수적이다. 최소의 최소 자승(minimum least square)(Gauss 1809) 및 최대 공산(maximum likelihood)(Fisher 1912, 1922)의 통계적 방법의 창시자에 의하여 이미 강조된 바와 같이, 이들 방법은 데이터 점의 수가 피팅된 파라미터의 수를 훨씬 초과하는 점근선 한계(asymptotic limit)에서만 유효하다. 이러한 점근선 한계로부터 멀어지면, 잡음은 신호로서 피팅되고, 이 피트는 해석 및 예측 능력을 상실한다.

Puetter et al(2005)은, 이미지 모델을 데이터에 반복적으로 피팅하는 반복적 영상 재구성 방법을 비롯하여, 현재 사용되고 있는 수많은 재구성 알고리즘을 검토한다. 최대-공산 해(maximum-likelihood solution)로 수렴하도록 설계된 많은 종래 기술의 반복적 계획들은, 이들이 과도 피팅(overfitting)을 피하기 위하여 일찍 종결될 때에도 천천히 수렴한다. 변수에 관하여 메리트 함수의 2차 편미분(second-order partial derivatives)의 헤시안 행렬(Hessian matrix)을 사용함으로써 수렴은 더 신속하게 달성될 수 있다(Hesse 1876). 불행하게도, 이러한 접근법을 사용하여도, 영상 재구성에서 빈번하게 접하게 되는 대규모 문제들 다룰 때에, 예로서 영상이 중요한 방출(emission)을 갖는 다수의 픽셀을 포함하는 경우에는 헤시안 행렬은 계산하기에 너무 크다. 이러한 경우에, 행렬 요소들은 그 수가 무수하게 될 것이다. 이러한 크기의 행렬들은 현존하는 컴퓨터에 의하여 처리될 수 없거나 심지어 메모리에 저장될 수도 없다.

낮게 결정된 또는 미흡하게 결정된 문제들에서 파라미터의 수를 제한하려고 하는 것(현재에는 희소성(sparsity)으로 명명됨)은, 상정(postulate)의 절약(parsimony)에 공헌한, 윌리엄 오캄(William of Ockham)의 중세 업적으로 회귀하는, 최소 복잡성이라는 더 추상적인 개념(Solomonoff 1964; Kolmogorov 1965; Chaitin 1966)에 기반한다. 간단히 말해서, 다른 것들이 같다고 가정하면, 더 단순한 설명이 더 복잡한 것보다 낫다.

예로서, l₀ 놈 정규화(norm regularization) 항을 메리트 함수에 부가함으로써, 희소의 해를 찾는 것은, 계산적 노력이 파라미터의 수에 있는 임의의 다항식보다 더 신속하게 증가하는, N-P 하드 문제(hard problem)이다. 이는 l₀ 놈의 l₁ 놈으로의 대체로 이끌었고(Chen, Donoho & Saunders 1999), 파라미터들에 대한 피트의 최적화가 해결 가능한 볼록 문제(convex problem)가 된다. Candes, Romberg & Tao(2004)는 한 단계 더 진전하였고, 비간섭(incoherence)의 조건하에서 피트를 위하여 요구되는 데이터의 양을 무작위로 줄이기 위한 방법, 압축된 센싱으로 알려진 기술을 보여주었다. Donoho(2006)는 파라미터화에서 사용된 기저 함수 사이에 비간섭의 유사 조건하에서 최소 l₁ 놈해(norm solution) 또한 가장 희소의 해라는 것을 보여주었다.

l₁ 놈 방법의 단점은 두 가지이다. 먼저, 흥미 있는 많은 문제는 단순히 비간섭 조건을 만족시키지 않고 l₁ 놈 방법에 부적합하다. 둘째로, 이들이 비간섭 조건을 만족하는 경우에도, 대규모 문제는 과도한 계산 노력을 요한다. 따라서, 이들이 볼록 문제이고 원칙적으로 해결 가능하다고 하더라도, 이들은 실제로 무수한 파라미터를 갖는 현시대의 문제, 전통적인 통계 방법을 저해하는 문제에 적용될 수 없다. Donoho et al(2006)은 l₁ 놈을 사용하지 않고 무작위(randomness)를 더 효과적으로 이러한 대규모 문제들에 적용하는 방법을 논의한다.

픽손 방법은 엄격한 희소성을 요구하지 않으면서 l₁놈을 사용하는 방법에 의하여 요구되는 비간섭 조건 없이 (대규모 문제를 포함하는) 픽셀-기반 데이터의 복잡한 해를 최소로 획득하는 효과적 기술이다(예로서, Pina & Puetter 1993; Puetter & Yahil 1999; Puetter, Gosnell & Yahil 2005, 및 미국 특허 5,912,993, 6,353,688, 6,490,374, 6,895,125, 6,993,204, 7,863,574, 7,928,727, 8,014,580, 8,026,846, 8,058,601, 8,058,625, 8,086,011, 8,090,179, 8,094,898, 8,103,487 참조, 이들 개시는 참조에 의하여 본 명세서에서 병합된다). 픽손 방법은 따라서 영상 재구성 또는 스펙트럼 분석과 같은 대규모의 낮게 결정된 또는 미흡하게 결정된 역 문제(inverse problem)에 유용하다. 커널(kernel)의 라이브러리 중에서 가장 넓은 커널에 의하여 각 픽셀 위치에서 적응적으로 평활화함으로써 최소 복잡성이 달성되고, 따라서 이 커널 및 모든 더 협소한 커널을 이용한 평활화는 고려중인 픽셀의 데이터 풋프린트(footprint)에 적합한 피트를 제공해준다. 각 픽셀에서 어느 커널을 사용할지를 특정하는 맵(map)은 픽손 맵으로 명명된다.

그 현재 형태에서, 픽손 재구성은 세 단계로 구성된다. 먼저, 그것은 임의의 픽손 제한 없이 "거짓 영상(pseudoimage)"을 재구성한다. 둘째로, 이 거짓 영상은 픽손 맵을 결정하기 위하여 사용된다. 셋째로, 최종 영상은 픽손 맵에 의하여 가이드된 제한된 재구성에 의하여 획득된다. 단계 2 및 3은 여러 번 반복될 수 있지만, 합리적 거짓 영상이 제1 단계에서 획득된다고 가정하면, 이는 보통 실제로 반드시 필요하지는 않다. 픽손 방법 및 그 응용예의 더 많은 완전한 논의에 대해서는 Puetter & Yahil(1999), Puetter et al(2005) 및 미국특허번호 5,912,993, 6,353,688, 6,490,374, 6,895,125, 6,993,204, 7,863,574, 7,928,727, 8,014,580, 8,058,601, 8,058,625, 8,086,011, 8,090,179, 8,094,898, 및 8,103,487을 참조하도록 한다.

도 2는 영상화 검출기(210) 및 픽손 재구성 유닛(220)을 갖는 일반적 영상화 시스템(200)을 예시한다. 재구성은, 픽손 재구성 알고리즘(230)과 상호 작용하는, 픽손 맵 P를 사용하는 픽손 방법에 기반한다. 픽손 방법은 픽손 평활화에 대한 기초로서 대상 공간에 있는 각 점(이하에서 "대상 점")을 각 대상 점(object point)에 형태 또는 체적을 할당함으로써 평활화하는 방법을 나타낸다. 대상 공간은 영상 재구성의 결과가 정의되고 영상화 시스템(200)을 사용하여 영상화된 영역에 대응하는 공간이다. ("영상 공간"은 "대상 공간"의 동의어이고, 이들 두 용어는 이하에서 상호 교체 가능하게 사용된다는 점에 주목한다.) 대응하는 데이터 공간은 영상화 검출기(210)로 측정된 데이터 점에 의하여 부여된다.

픽손 방법은 데이터 공간에 있는 측정된 데이터 집합 d로부터 대상 공간에 있는 영상 대상 I의 고품질 재구성을 제공한다. 공간적으로 적응적인 재구성 방법으로서, 픽손 방법은 모든 대상 점에 데이터-동기화된 평활화 작업을 적용한다. 이렇게 함에 있어서, 픽손 방법은 모든 대상 점에, 평활화 작업에 대한 기초인, 픽손 커널 함수를 할당할 때 최소 복잡성의 원칙을 사용한다. 픽손 재구성 유닛(220) 내에서, 픽손 맵 P는 각 대상 점들에 어떤 픽손 커널 함수가 할당되는지를 정의한다.

영상화 시스템(200)에서, 영상화 검출기(210)는 측정된 데이터 집합 d를 검출하고 픽손 재구성 유닛(220)으로 전달한다. 픽손 재구성 유닛(220)은 획득한 데이터 집합 d를 영상 대상 I로 재구성하기 위하여 공간적으로-적응된 픽손 재구성 알고리즘(230)을 사용한다. 이렇게 함에 있어서, 픽손 재구성 알고리즘(230)은 영상화 시스템(200)의 속성을 설명하고, 영상 대상 I에 대한 기초인, 데이터 모델을 조정함으로써 반복적으로 개선된 영상 대상을 추정하기 위하여 시스템 행렬 H를 사용한다. 영상 대상 I는, 예를 들면, 잘-알려진 렌더링 기술을 사용하여 디스플레이(240) 상에 디스플레이된다.

모든 대상 점에 대하여, 픽손 맵 P는 최소 복잡성 방법을 기반으로 결정되는 픽손 커널 함수를 제공한다. 이러한 픽손 커널 함수는 대상 공간에 적용된 픽손 평활화 작업에 사용된다.

픽손 방법은 또한, 데이터가 획득된 것들보다 더 미세한 픽셀을 갖는 영상을 재구성하기 위하여 영상의 비음성(nonnegativity) 및 최소 복잡성을 사용하여, 초-해상도(super-resolution)의 형태로 압축 센싱을 가능하게 할 수 있다. 이는 비음성 및 최소 복잡성의 추가적 조건(extra condition) 때문에 Nyquist(1928) 및 Shanon(1949)에 따른 샘플링 이론의 위배는 아니다(예로서, Puetter et al 2005). 회절 한계를 넘어선 공간 주파수는 데이터에서 절단되는(truncated) 것으로서, 영상에서 유사하게 재구성될 수 있다.

도 3은 픽손 방법의 예시적 프로세스 흐름을 예시한다. 픽손 평활화는 표준 재구성 알고리즘에 순차적으로 적용된다.

표준 재구성 알고리즘을 사용하여, 입력 영상은 측정된 데이터 집합 d로 피팅된다(단계 300). 픽손 커널 오퍼레이터 K의 전술한 사용에 따라, 영상의 결과적 추정은 거짓 영상으로 명명된다. 픽손 맵 P는 거짓 영상 및 측정된 데이터 집합 d를 사용하여 결정된다(단계 310). 거짓 영상은 또한 픽손 평활화 작업(단계 320)에 대한 초기 대상이다. 픽손 평활화 작업(단계 320) 중에, 거짓 영상의 각 대상 점은 픽손 커널 함수 상에서 평활화된다. (기존 픽손 방법의 일부 변형들에서, 픽손 맵은 또한 갱신된 영상으로부터 계산함으로써 각 반복에서 갱신될 수 있다.)

반복적 영상 재구성 방법은 영상 모델을 측정된 데이터로 반복적으로 피팅하고 따라서 최종 영상에 있는 잡음의 효과를 최소화한다. 재구성 알고리즘의 결과는 이 알고리즘의 법칙에 따른 측정된 데이터 집합 d로 피팅된 근사화된 영상이다.

픽손 방법에서, 근사화된 영상은 픽손 평활화, 픽손 재구성, 및 픽손 맵의 결정을 위한 입력 대상으로 사용될 수 있다.

픽손 방법은 함께 측정된 데이터 집합 d로의 대상의 적합한 피팅을 지원하는 대상 공간에 있는 각 점에서 가장 넓은 가능한 픽손 커널 함수의 검색을 포함한다. 특히, 픽손 맵은 각 대상 점에 특정의 픽손 커널 함수를 할당한다.

픽손 맵이 결정될 수 있는 거짓 영상을 처음으로 계산하는 단계에 있어서 문제점들이 존재할 수 있다. 이 프로세스는 더 많은 계산을 요하고, 픽손 맵을 왜곡시키고 따라서 최종 영상 재구성을 왜곡시킬 수 있는, 거짓 영상 내로 아티팩트(artifact: 본래의 것이 아닌 것)를 도입하는 위험을 무릅쓴다. 또한, 픽손 맵의 결정은 대상 공간으로부터 데이터 공간으로의 변환이 비국부적인(nonlocal) 경우에 덜 잘 수행된다(Bhatnagar & Cornwell 2004). 예를 들면, 간섭 측정(interferometry) 및 자기-공진 영상화에서, 데이터는, 전체 영상에 대하여 퍼져있는 푸리에 웨이브(Fourier wave)(영상의 기초 함수)를 갖는, 영상(및 잡음)의 푸리에 변환이다. 또 다른 예는 단층 촬영(tomography)에서의 부분적 비국부적인 변환이다. 데이터는 3D 영상(및 잡음)의 2D 투영이고, 투영 방향에 횡방향으로는 국부적이지만 투영 방향을 따라서는 비국부적인 변환이다.

전술한 바에 따르면, 픽손 방법 내에서 픽손 맵을 결정하기 위한 개선된 방법에 대한 필요가 존재한다.

본 발명은 반복적 영상 재구성에서 픽손 맵을 결정하는 방법을 제공하는 것을 목적으로 한다.

본 발명에 따라, 3-단계 픽손 방법의 전술한 어려움은 반복 중에 픽손 맵을 계산 및 갱신함으로써 피할 수 있다. 개선된 접근은 영상을 반복에서 갱신하기 위하여 사용된 변수, 즉 "갱신 변수"로부터 픽손 맵을 결정하고 반복 중에 이 갱신 변수를 평활화한다. 또한, 갱신된 영상은 보통 반복 중에 결정된 픽손 맵을 사용하여, 반복의 마지막에서 더욱 평활화된다. 이와 달리, 기존의 픽손 방법은 갱신된 이후에 영상으로부터 픽손 맵을 결정하고 그 픽손 맵으로 영상을 평활화하도록 진행한다.

본 발명에 따르면, 갱신 변수는 재구성 방법에 의존하지만, 메리트 함수 또는 배수 갱신 인자의 그래디언트이다(예로서, Puetter et al 2005). 이 갱신 변수는 픽손 커널에 의하여 평활화되고, 각 영상 위치에서 선택된 커널은 평활화에 따른 갱신 변수에서의 변화의 제곱과 갱신 변수의 분산 간의 비율이 그것과 모든 더 좁은 커널에 대한 사전에 결정된 임계값보다 작은 가장 넓은 것이다. 이때 다음 반복으로 진행하기 전에 그 위치에서 갱신 영상을 평활화하기 위하여 동일한 커널이 또한 보통 사용된다. 더 나아간 개선은 "보간 커널"을 허용한다.

본 발명의 하나의 양태에서, 잡음을 포함하며 물리적 프로세스로부터 획득한 데이터 집합으로부터 대상 모델을 재구성하는 방법은, 데이터 공간에 정의된 데이터 집합을 수신하는 단계; 대상 공간에서 복수의 대상 점을 포함하는 대상 모델을 구성하는 단계; 대상 공간으로부터 데이터 공간으로의 상기 대상 모델의 변환을 만들어 데이터 모델을 남기는 단계로서, 상기 변환은 상기 데이터 집합이 획득되는 상기 물리적 프로세스에 대응하는 것인 단계; 데이터 모델의 상기 데이터 집합으로의 피트를 결정하기 위한 메리트 함수를 선택하는 단계; 상기 메리트 함수에 기반하여 대상 공간에서 상기 대상 모델의 갱신 변수를 결정하는 단계; 평활화된 갱신 변수를 결정하기 위하여, 복수의 픽손 커널 각각을 가지고 상기 갱신 변수를 컨벌루션하고 그리고 상기 입력 대상의 각 대상 점에 대하여 사전에 결정된 최소 요건(minimum criteria)을 만족하는 최대 크기를 갖는 픽손 커널을 선택함으로써, 상기 갱신 변수를 평활화하는 단계; 상기 선택된 픽손 커널에 대응하는 입력 대상의 각 대상 점에 인덱스들을 할당함으로써 픽손 맵을 생성하는 단계; 및 상기 픽손 맵 내의 상기 인덱스들에 기반하여 현저하게 잡음 제거된 대상 모델을 포함하는 출력을 생성하는 단계를 포함한다. 일 구현예에서, 상기 메리트 함수는 복소 그래디언트 방법(conjugate gradient method)을 사용하여 결정되고, 상기 갱신 변수는 니그래디언트(negradient)이다.

본 발명의 또 다른 양태에서, 비-일시적(non-transitory) 컴퓨터 판독 가능 매체는, 물리적 프로세스로부터 획득한 데이터 집합으로부터 대상 모델을 재구성하기 위한 명령(instruction)을 포함하는 소프트웨어를 포함하고, 상기 데이터 집합은 잡음을 포함하며, 상기 명령은 데이터 공간에 정의된 상기 데이터 집합을 수신하는 것; 대상 공간에서 복수의 대상 점을 포함하는 대상 모델을 구성하는 것; 대상 공간으로부터 데이터 공간으로의 상기 대상 모델의 변환을 만들어 데이터 모델을 남기는 것을 포함하며, 이때 상기 변환은 상기 데이터 집합이 획득되는 상기 물리적 프로세스에 대응하며; 데이터 모델의 상기 데이터 집합으로의 피트를 결정하기 위한 메리트 함수를 선택하는 것; 상기 메리트 함수에 기반하여 대상 공간에서 상기 대상 모델의 갱신 변수를 결정하는 것; 평활화된 갱신 변수를 결정하기 위하여, 복수의 픽손 커널 각각을 가지고 상기 갱신 변수를 컨벌루션하고 그리고 상기 입력 대상의 각 대상 점에 대하여 사전에 결정된 최소 요건(minimum criteria)을 만족하는 최대 크기를 갖는 픽손 커널을 선택함으로써, 상기 갱신 변수를 평활화하는 것; 및 상기 선택된 픽손 커널에 대응하는 입력 대상의 각 대상 점에 인덱스들을 할당함으로써 픽손 맵을 생성하는 것을 포함한다. 예시적 구현예에서, 상기 메리트 함수는 복소 그래디언트 방법을 사용하여 최적화되고, 상기 갱신 변수는 니그래디언트이다.

도 1은 본 발명이 실시될 수 있는 일반적인 컴퓨팅 환경의 블록도이다.
도 2는 픽손 방법에 기반하는 종래의 영상화 시스템의 개략도이다.
도 3은 픽손 재구성을 위한 종래의 접근방식을 사용한 영상 재구성의 예를 도시하는 순서도이다.
도 4는 본 발명에 따른 픽손 방법을 사용한 영상 재구성의 예를 도시하는 순서도이다.
도 5는 픽손 방법을 사용한 대체적 영상 재구성 프로세스의 예를 도시하는 순서도이다.
도 6은 무잡음, 정상, 양성자-밀도(proton-density, PD) SBD "실제" 뇌 영상을 도시한다.
도 7은 도 6의 영상의 데이터 공간으로의 푸리에 변환의 절대값의 로그(밑 10)를 도시한다.
도 8은 가장 밝은 영상 복셀(voxel)의 3%의 표준 편차를 갖는 영상에 부가된 랜덤 (백색) 가우스 잡음을 갖는 도 6의 영상을 도시한다.
도 9는 도 8의 영상의 데이터 공간으로의 푸리에 변환의 절대값의 로그(밑 10)를 도시한다.
도 10은 가용 주파수의 1/3로 제한된 주파수 범위에 대응하는, 절단된 높은 주파수를 가진, 도 9와 동일한 데이터를 도시한다. 도 10에 있는 데이터는 도 11 내지 14에 도시된 영상의 재구성으로의 입력을 포함한다.
도 11은 두 유형의 아티팩트, 즉 상관 (비백색) 잡음 및 선명한 에지(sharp edge)에서의 링잉(ringing)을 보여주는, 도 10의 데이터의 단순 역 푸리에 변환을 도시한다.
도 12는 0.3의 픽손 인자를 가진 도 10의 데이터의 픽손 재구성의 결과를 도시한다.
도 13은 0.5의 픽손 인자를 가진 도 10의 데이터의 픽손 재구성의 결과를 도시한다.
도 14는 1.0의 픽손 인자를 가진 도 10의 데이터의 픽손 재구성의 결과를 도시한다.

본 발명의 양태를 설명하기 전에, 본 발명이 구현될 수 있는 적합한 컴퓨터 시스템 환경(100)(도 1)의 개략적 설명을 제공하는 것이 유용할 수 있다. 컴퓨터 시스템 환경(100)은 적합한 컴퓨터 환경의 단지 하나의 예이고 본 발명의 실시 또는 기능성의 범위로 임의의 한정을 암시하도록 의도되지는 않는다. 또한, 컴퓨터 환경(100)은 예시적 동작 환경(100)에 예시된 구성 요소들의 임의의 하나 또는 조합과 관련하여 임의의 종속 사항 또는 요구 사항을 갖는 것으로 해석되지 않는다.

본 발명은 수많은 다른 일반적 목적들 또는 특수 목적 컴퓨터 시스템 환경 또는 구성을 가지고 동작한다. 본 발명의 실시에 적합할 수 있는 잘 알려진 컴퓨터 시스템, 환경, 및/또는 구성의 예들로 개인용 컴퓨터, 서버 컴퓨터, 휴대용 또는 랩톱 장치, 다중프로세서 시스템, 마이크로프로세서-기반 시스템, 셋톱 박스, 프로그램 가능한 소비자 전자장치, 네트워크 PC, 소형컴퓨터, 메인 프레임 컴퓨터, 전화 시스템, 상기 시스템 또는 장치 중 하나를 포함하는 분산 컴퓨터 환경, 및 기타 등등을 포함하지만, 이에 한정되지는 않는다.

본 발명은, 컴퓨터에 의하여 실행되는 프로그램 모듈과 같은, 컴퓨터-실행 가능한 명령의 일반적 내용으로 설명될 수 있다. 일반적으로, 프로그램 모듈은 특수한 작업을 수행하거나 특수한 추상적 데이터 유형을 구현하는, 루틴, 프로그램, 객체, 컴포넌트, 데이터 구조를 포함한다. 본 기술분야에서의 당업자는 하기에서 논의되는 컴퓨터 판독 가능 매체의 임의의 형태에 구현될 수 있는, 컴퓨터-실행 가능 명령으로서 본 발명의 상세한 설명 및/또는 도면을 구현할 수 있다.

본 발명은 또한 통신 네트워크를 통하여 연결된 원격 프로세싱 장치에 의하여 작업이 수행되는 분산 컴퓨터 환경에서 실시될 수 있다. 분산 컴퓨터 환경에서, 프로그램 모듈은 메모리 저장장치를 포함하는 지역 및 원격 컴퓨터 저장 매체에 위치될 수 있다.

도 1을 참조하면, 본 발명을 구현하기 위한 예시적 시스템은 컴퓨터(110)의 형태의 범용 컴퓨터 장치를 포함한다. 컴퓨터(110)의 구성 요소는 프로세싱 유닛(120), 시스템 메모리(130), 및 시스템 메모리를 포함하는 다양한 시스템 컴포넌트들을 프로세싱 유닛(120)으로 결합시키는 시스템 버스(121)를 포함할 수 있지만, 이에 한정되지는 않는다. 시스템 버스(121)는 메모리 버스 또는 메모리 컨트롤러, 주변 버스(peripheral bus) 및 지역 버스를 비롯하여, 다양한 버스 아키텍처의 하나를 사용하는 몇몇 유형의 버스 구조의 하나일 수 있다. 한정이 아닌, 예시로서, 이러한 아키텍처는 산업 표준 아키텍처(Industry Standard Architecture, ISA) 버스, 마이크로 채널 아키텍처(Micro Channel Architecture, MCA) 버스, 향상된 ISA(Enhanced ISA, EISA) 버스, 비디오 전자 표준 협회(Video Electronics Standards Association, VESA) 지역 버스, 및 메자닌 버스(Mezzanine bus)로 알려진 주변 컴포넌트 상호연결(Peripheral Component Interconnect, PCI) 버스를 포함한다.

컴퓨터(110)는 전형적으로 다양한 컴퓨터 판독 가능 매체를 포함한다. 컴퓨터 판독 가능 매체는 컴퓨터(110)에 의하여 접근될 수 있는 임의의 가용 매체일 수 있고 휘발성 및 비-휘발성 매체, 제거 가능(removable) 및 비-제거 가능 매체를 모두 포함한다. 한정이 아닌 예시로서, 컴퓨터 판독 가능 매체는 컴퓨터 저장 매체 및 통신 매체를 포함할 수 있다. 컴퓨터 저장 매체는 컴퓨터 판독 가능 명령, 데이터 구조, 프로그램 모듈 또는 기타 데이터와 같은 정보의 저장을 위한 임의의 방법 또는 기술로 구현되는 휘발성 및 비-휘발성, 제거 가능 및 비-제거 가능 매체를 포함한다. 컴퓨터 저장 매체는 RAM, ROM, EEPROM, 플래시 메모리 또는 기타 메모리 기술, CD-ROM, DVD(digital versatile disk) 또는 기타 광학 디스크 저장소, 자기 카세트, 자기 테이프, 자기 디스크 저장소 또는 기타 자기 저장 장치, 또는 원하는 정보를 저장하기 위하여 사용될 수 있고 컴퓨터(110)에 의하여 접근될 수 있는 임의의 기타 매체를 포함하지만, 이에 한정되지는 않는다. 통신 매체는 전형적으로 컴퓨터 판독 가능 명령, 데이터 구조, 프로그램 모듈 또는 캐리어 웨이브(carrier wave) 또는 기타 전송 메커니즘과 같은 모듈화된 데이터 신호에 있는 기타 데이터를 구현하고 임의의 정보 전달 매체를 포함한다. 용어 "모듈화된 데이터 신호"는 신호 내의 정보를 인코딩하도록 하는 방식으로 설정 또는 변화된 하나 이상의 특성을 갖는 신호를 의미한다. 한정이 아닌 예로서, 통신 매체는 유선 네트워크 또는 직접-유선(direct-wired) 연결과 같은 유선 매체 그리고 음향, RF, 적외선 및 기타 무선 매체와 같은 무선 매체를 포함한다. 이들의 임의의 조합 또한 컴퓨터 판독 가능 매체의 범위 내에 포함되어야 한다.

시스템 메모리(130)는 ROM(read only memory)(131) 및 RAM(random access memory)(132)와 같은 휘발성 및/또는 비-휘발성 메모리의 형태의 컴퓨터 저장 매체를 포함한다. 시동중과 같이, 컴퓨터(110) 내의 요소들 사이에 정보를 전달하는데 협조하는 기본 루틴을 포함하는, 기본 입력/출력 시스템(133)(BIOS)은 전형적으로 ROM(131)에 저장된다. RAM(132)은 전형적으로 프로세싱 유닛(120)에 즉시 접근가능하고/하거나 이에 의하여 현재 동작하는 데이터 및/또는 프로그램 모듈을 포함한다. 한정이 아닌, 예로서, 도 1은 운영 시스템(134), 응용 프로그램(135), 기타 프로그램 모듈(136), 및 프로그램 데이터(137)를 예시한다.

컴퓨터(110)는 또한 다른 제거 가능/비-제거 가능 휘발성/비-휘발성 컴퓨터 저장 매체를 포함할 수 있다. 단지 예시로서, 도 1은 비-제거 가능, 비-휘발성 자기 매체로부터 읽거나 이에 기록하는 하드 디스크 드라이브(141), 제거 가능, 비-휘발성 자기 디스크(152)로부터 읽거나 이에 기록하는 자기 디스크 드라이브(151), 및 CD ROM 또는 기타 광학 매체와 같은 제거 가능, 비-휘발성 광학 디스크(156)로부터 읽거나 이에 기록하는 광학 디스크 드라이브(155)를 예시한다. 예시적 운영 환경에서 사용될 수 있는 기타 제거 가능/비-제거 가능, 휘발성/비-휘발성 컴퓨터 저장 매체는 자기 테이프 카세트, 플래시 메모리 카드, DVD, 디지털 비디오 테이프, 솔리드 스테이트 RAM, 솔리드 스테이트 ROM 및 이와 유사한 것을 포함하지만, 이에 한정되지는 않는다. 하드 디스크 드라이브(141)는 전형적으로 인터페이스(140)와 같은 비-제거 가능 메모리 인터페이스를 통하여 시스템 버스(121)에 연결되고, 자기 디스크 드라이브(151) 및 광학 디스크 드라이브(155)는 전형적으로 인터페이스(150)와 같은 제거 가능 메모리 인터페이스에 의하여 시스템 버스(121)에 연결된다.

전술하고 도 1에 예시된 드라이브 및 이와 연관된 컴퓨터 저장 매체는 컴퓨터 판독 가능 명령, 데이터 구조, 프로그램 모듈 및 기타 컴퓨터(110)를 위한 데이터의 저장을 제공한다. 도 1에서, 예를 들면, 하드 디스크 드라이브(141)는 운영 시스템(144), 응용 프로그램(145), 기타 프로그램 모듈(146) 및 프로그램 데이터(147)를 저장하는 것으로서 도시된다. 이들 구성요소들은 운영 시스템(134), 응용 프로그램(135), 기타 프로그램 모듈(136) 및 프로그램 데이터(137)와 동일하거나 상이할 수 있음에 주목한다. 운영 시스템(144), 응용 프로그램(145), 기타 프로그램 모듈(146) 및 프로그램 데이터(147)는, 최소한 이들이 상이한 복제물임을 예시하기 위하여 여기에서는 상이한 번호가 주어진다.

사용자는 키보드(162), 마이크(163)(전화를 통하여 제공된 입력을 나타낼 수도 있음), 및 마우스, 트랙 볼 또는 터치패드 등의 포인팅 장치(161)와 같은 입력 장치를 통하여 컴퓨터(110)로 명령과 정보를 입력할 수 있다. 기타 입력 장치(도시되지 않음)로 조이스틱, 게임 패드, 위성 안테나(satellite dish), 스캐너, 기타 이와 유사한 것을 포함할 수 있다. 이들 및 기타 입력 장치는 종종 시스템 버스에 연결된 사용자 입력 인터페이스(160)를 통하여 프로세싱 유닛(120)에 연결되지만, 병렬 포트, 게임 포트 또는 유니버설 직렬 버스(USB)와 같은 기타 인터페이스 및 버스 구조에 의하여 연결될 수 있다. 모니터(191) 또는 기타 유형의 디스플레이 장치가 또한 비디오 인터페이스(190)와 같은 인터페이스를 경유하여 시스템 버스(121)에 연결된다. 모니터 이외에, 컴퓨터는 또한 출력 주변 인터페이스(195)를 통하여 연결될 수 있는, 스피커(197) 및 프린터(196)와 같은 기타 주변 출력 장치를 포함할 수 있다.

컴퓨터(110)는 원격 컴퓨터(180)와 같은 하나 이상의 원격 컴퓨터에의 논리적 연결을 사용하는 네트워크 환경에서 동작할 수 있다. 원격 컴퓨터(180)는 개인용 컴퓨터, 휴대용 장치, 서버, 라우터, 네트워크 PC, 피어 장치 또는 기타 공통 네트워크 노드일 수 있고, 전형적으로 컴퓨터(110)에 관련하여 전술한 구성 요소들 중 다수 또는 전부를 포함한다. 도 1에 도시된 논리적 연결은 근거리 네트워크(LAN)(171) 및 광역 네트워크(WAN)(173)를 포함하지만, 또한 다른 네트워크도 포함할 수 있다. 이러한 네트워크 환경은 사무실, 기업-범위 컴퓨터 네트워크, 인트라넷 및 인터넷에서 보편적이다.

LAN 네트워크 환경에서 사용될 때, 컴퓨터(110)는 네트워크 인터페이스 또는 어댑터(170)를 통하여 LAN(171)에 연결된다. WAN 네트워크 환경에서 사용될 때, 컴퓨터(110)는 전형적으로 모뎀(172) 또는 인터넷과 같은, WAN(173) 상에서 통신을 수립하기 위한 다른 수단을 포함한다. 모뎀(172)은 내장 또는 외장일 수 있는데, 사용자-입력 인터페이스(160) 또는 기타 적절한 메커니즘을 경유하여 시스템 버스(121)에 연결될 수 있다. 네트워크 환경에서, 컴퓨터(110) 또는 이들의 부분들에 관련하여 설명된 프로그램 모듈은 원격 메모리 저장 장치에 저장될 수 있다. 한정되지 않은, 예시로서, 도 1은 원격 컴퓨터(180)에 존재하는 원격 응용 프로그램(185)을 예시한다. 도시된 네트워크 연결은 예시이고 컴퓨터 사이의 통신 링크를 수립하는 다른 수단이 사용될 수 있음이 이해될 것이다.

이러한 응용에서, "픽손"은 용어, 방법, 대상 등이 픽손 방법, 즉 미국 특허 5,912,993, 6,895,125, 및 다른 관련된 특허에 개시된 바와 같이 영상 대상을 평활화할 때 대상 점 특정 형태의 사용을 의미함을 나타내기 위하여 사용된다. 예를 들면, 할당된 형태는 픽손 커널 함수에 의하여 정의되고, 픽손 맵 P는 어느 픽손 커널 함수가 각 대상 점에 할당되는지에 관한 정보를 저장한다.

데이터로의 피트(fit)는 잡음이 있는 역 문제(inverse problem)에 대한 해이다. 데이터는 다음과 같이 모델링된다.

(1)

여기에서, d는 측정된 데이터를 포함하는 배열이고, I는 피트 파라미터를 포함하는 배열이고, H는 파라미터 공간으로부터 데이터 공간으로의 변환 함수이고, ε는 데이터에 대한 잡음 기여도(noise contribution)를 포함하는 배열이다. 예시를 목적으로, 영상 재구성에 적절한 표기법이 사용되는데 즉 식 (1)에서, d는 픽셀 데이터이고 I는 재구성 영상이다. 그러나 이 예는 본 발명이 폭넓은 응용예를 포함하기 때문에, 픽손 방법을 사용하여 해결될 수 있는 임의의 잡음이 있는 역 문제에 한정되는 것을 의도하지 않는다

많은 응용예들에 대하여, 변환 H는 선형이고, 식 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

(2)

여기에서 d 및 I는 벡터로, H는 시스템 행렬로 알려진 행렬로 취급된다. 이하의 논의는 식 (2)의 선형 예에 한정되지만, 선형화, 즉 H(I)가 근사적으로 선형인 제한된 영상 도메인을 고려함으로써 비선형 문제로 일반화될 수 있다.

실제로, d 및 I는 다중차원일 수 있고 동일한 차원(예로서, 단층 촬영에서)을 가질 필요가 없음에 주목하라. 그러나 다중차원 픽셀은 항상 긴 벡터로 배열될 수 있고, 다음에 행렬로서 H가 고려될 수 있다.

데이터 모델

(3)

은 데이터의 무잡음의 신호 부분이다. 이것은 또한 데이터

(4)

의 기대치이고, 그 이유는 잡음의 기대치가 일반성을 잃지 않고 모든 데이터 점들에 대하여 0으로

(5)

동일하게 설정될 수 있기 때문이다.

잡음의 공분산 행렬(covariance matrix)은 일반적으로 0이 아니고 위치(픽셀 위치) 및/또는 데이터 모델 값의 함수일 수 있다.

(6)

정상적으로는, 데이터 점들은 독립적이고, 따라서 V는 대각 행렬이지만, 또한 V가 0이 아닌 비-대각 성분을 포함하는 상관 데이터가 존재할 수 있다.

영상 재구성은 데이터 d, 시스템 행렬 H, 및 잡음 ε의 통계적 모델을 고려할 때, 영상 I에 대하여 식 (2)(또는 더 일반적으로는 식 (1))를 푸는 역 문제이다. 이는 아래의 데이터 모델을 고려할 때 데이터의 메리트 함수를 최적화함으로써 풀린다

(7)

메리트 함수의 선정은 잡음 통계에 의존한다. 이것은 일반적으로 최대 우도(maximum likelihood)(예로서, Puetter et al 2005)과 관련된, 로그-우도 함수(log-likelihood function, LLF)가 되도록 선정된다.

가우스 잡음(Gaussian noise)에 대하여, LLF는 χ²로 축소되고

(가우스 LLF), (8)

여기에서 i에 대한 합은 데이터 픽셀에 대하여 적용되고, α에 대한 합은 영상 픽셀에 대하여 적용되고, σ_i는 픽셀 i에 있는 잡음의 가우스 표준 편차이다. 가우스 LLF는 영상 I에서 2차가 되는 이점을 가지고, 따라서 I에 관한 그래디언트는 I에서 선형이다.

프와송 잡음(Poisson noise)에 대하여, LLF는 더 복잡한 비선형 함수이고

(프와송 LLF), (9)

비선형 최적화(예로서, Press et al 2007)에 의하여 또는 대리 함수(surrogate function)(Lange, Hunter & Yang 1999)를 사용함으로써 풀 수 있다. 미겔(Mighell, 1999)은, 대신에, 심지어 낮은 카운트(low count)의 한계에서도, 비-왜곡된 데이터 모델을 만드는, 프와송 LLF로의 2차 근사를 사용하는 것을 제안했다

(10)

메리트 함수를 최적화하기 위한 수많은 방법이 존재하지만, 시스템 행렬 H와 그 전치 H^T가 (희소 행렬 기법을 사용하더라도) 계산하거나 저장하기에 너무 크게 되기 때문에, 소수만이 대규모 문제에 적합하고 단지 오퍼레이터로서 적용될 수 있다. 이는 기본적으로 두 방법을 남긴다: 기대-최대화(expectation maximization, EM) 방법(Richardson 1972; Lucy 1974; Dempster, Laird & Rubin 1977; Shepp & Vardi 1982) 또는 복소-그래디언트(conjugate-gradient, CG) 방법(Fox, Huskey & Wilkinson 1948; Hestenes & Stiefel 1952; Press et al 2007). 순서-부분집합 기대 최소화(ordered-subsets expectation minimization, OSEM)는, 각 반복에서 데이터의 부분 집합만을 사용하는, EM의 가속된 이형(accelerated variant)이다(Hudson & Larkin 1994). 동일한 절차가 또한 CG에도 적용될 수 있다.

CG 방법은 메리트 함수의 후속하는 최소 다운 그래디언트를 발견함으로써 진행한다. 더 상세하게는, 이는 그래디언트의 선형 조합인 복소-그래디언트 방향을 사용한다(예로서, Press et al 2007). 유용한 개념은, 영상에 대한 메리트 함수의 그래디언트의 음의 반으로 정의되는, 니그래디언트(negradient) 개념이다. 가우스 메리트 함수, 식 (8)에 대하여, 니그래디언트는 다음과 같다.

(가우스 니그래디언트) (11)

벡터 행렬 표기법에서, 식 (11)은 다음과 같이 쓸 수 있는데

(12)

여기에서

(13)

는 나머지이고, 잡음의 분산이

(가우스 잡음 분산) (14)

이며, 여기에서 Diag(σ²)은 대각 원소가 σ², 표준 편차의 제곱인 대각 행렬을 나타낸다.

프와송 잡음에 대하여, 미겔(1999)의 니그래디언트 χ_r ² 메리트 함수는 다음과 같다.

(미겔 니그래디언트) (15)

미겔 프와송 니그래디언트는 또한 영상 I에서 선형이고 식 (12)의 콤팩트 벡터-행렬 표기법으로 쓸 수 있고, 여기에서 나머지는

(미겔 나머지)(16)

이고, 잡음 분산은 다음과 같다.

(미겔 잡음 분산) (17)

CG 방법은 프리컨디셔너(예로서, Golub & Van Loan 1996; Saad 2003)를 부가하여, 메리트 함수의 그래디언트를 아래의 것으로 대치함으로써 매우 가속될 수 있는데

(프리컨디셔너를 갖는 니그래디언트) (18)

여기에서 선형 방정식

(19)

는 쉽게 풀 수 있다. 그 결과의 방법은 프리컨디션 복소-그래디언트(preconditioned conjugate-gradient, PCG) 방법으로 알려져 있다.

제약 조건들(constraints)은 또한 볼록 집합 상으로의 투영의 방법에 의하여 다루어질 수 있다(Biemond, Lagendijk & Mersereau 1990). 예를 들면, 비음성(nonnegativity) I ≥ 0은 단순히 영상의 음의 성분을 0으로 절단하고, 어떠한 절단도 발생하지 않은 것처럼 지속함으로써, 각 반복 이후에 부여할 수 있다(Puetter et al. 2005). 각 반복에서는, 그 반복에서 0의 영상 값(zero image value)을 갖는 픽셀에서 임의의 음의 복소-그래디언트 성분을 0으로 설정하는 것이 또한 유용하다. 이는 이들 픽셀이 최소화에 참여하는 것을 금지하여, 최소화의 끝에서 0으로 절단된 그 결과의 음의 영상 값을 보게 된다.

본 발명에서, 픽손 맵은 갱신된 이후의 영상이 아닌 갱신 변수로부터 결정되고, 갱신 변수는 이 픽손 맵에 따라 평활화된다. 이는, 픽손 맵이 갱신되고 갱신 변수가 각 반복에서 평활화되기 때문에, 초기 거짓 영상을 계산할 필요를 제거한다.

CG 방법에 대하여, 갱신 변수는 니그래디언트인 식 (12)가 되도록 처리된다. (프리컨디션 니그래디언트인 식 (18)은, 유사한 방식으로 다루어진다.) 니그래디언트는 픽손 커널 라이브러리에 있는 커널에 의하여 평활화되고, 각 영상 위치에서 선택된 커널은 가장 넓은 것이고, 이에 대하여 평활화에 따른 니그래디언트에서의 변화의 제곱과 니그래디언트의 분산 간의 비율은 이것 및 모든 더 좁은 커널에 대하여 사전에 결정된 임계값보다 작다.

구체적으로, 커널 함수의 라이브러리는 대상 공간 상에서 선택, 정의된다.

(20)

커널의 영차(zeroth) 및 제1 모멘트는 다음과 같이 설정되고

(21)

(22)

제2 모멘트는 증가하는 순서로 배열되고

(23)

여기에서 적분은 실제로 픽셀에 대한 합에 의하여 근사화된다. 제2 모멘트는 통상 다중규모 영상 구조의 최적 특성에 대하여 상승 기하 급수(rising geometric series)를 형성하도록 설계된다. 식 (21) 내지 (23)에서는 차원이 중요함에 주목하며, 따라서 이전에 사용된 1D 영상 픽셀 인덱스 α는 벡터 인덱스 τ 및 x에 의하여 대체된다.

평활화된 니그래디언트 변화 △G^(j)의 급수는 이때 니그래디언트를 각 커널로 교대로 컨벌루션하고 원래의 니그래디언트를 뺌으로써 획득된다.

(24)

이때 픽손 맵은 각 픽셀에서, 선정된 인덱스가 평활화된 니그래디언트 변화의 제곱이 니그래디언트의 배수인 p²보다 작거나 같은 가장 큰 것이 되도록 하는 인덱스의 영상이고,

(25)

여기에서 p는 후술되는 픽손 인자이다. 평활화된 니그래디언트는 각 영상 픽셀에서 니그래디언트로 그 픽손 인덱스에 대응하는 평활화된 니그래디언트 변화를 부가함으로써 획득된다.

(26)

식 (25)로부터, 사용자 조정 가능한 픽손 인자 p가 픽손 평활화의 강도를 제어한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 더 큰 p는 더 큰 j가 임의의 픽셀 x에서 식 (25)를 만족시킬 수 있도록 할 수 있고, 따라서 M(x)의 값을 증가시킨다. 그 결과로 니그래디언트는 더 강하게 평활화된다(식 (26)). 이와 달리, 더 작은 p는 j를 더 작은 값으로 제한할 수 있고, 따라서 M(x)를 감소시키고 덜 평활화시킨다. 그 결과로 사용자는 잡음과 평활화 사이에서 트레이드오프를 설정하기 위하여 p를 조절할 수 있다. 더 큰 p는 해상도의 일부의 손실을 대가로 잡음을 더 잘 억제하는 반면에, 더 작은 p는 더 높은 잡음 수준의 대가로 해상도를 더 잘 보존한다.

도 4는 영상 재구성 과정에 있는 픽손 맵을 결정하기 위한 개선된 방법에 대한 예시적 순서도를 도시한다. 단계 400에서, 식 (7)의 데이터 모델을 고려할 때 데이터 d의 메리트 함수를 최적화함으로써 영상 재구성이 개시된다. 예시적인 구현예에서는 복소 그래디언트(conjugate gradient, CG) 방법이 사용된다. 단계 402에서는 갱신 변수(updating variable, UV)로 사용될 니그래디언트를 결정하기 위하여 CG 방법이 사용된다. 단계 404에서, UV를 평활화하기 위하여 니그래디언트는 픽손 커널 라이브러리(406)로부터의 각 커널과 컨벌루션된다. 각 영상 위치에서 선택된 커널은 평활화에 따른 갱신 변수에서의 변화의 제곱과 갱신 변수의 분산 간의 비율이 이것과 모든 더 좁은 커널에 대하여 사전에 결정된 임계값보다 작은 가장 넓은 것이다. 픽손 맵(410)은 선택된 커널의 인덱스의 영상을 사용하여 형성된다. 이와 동일한 커널은 또한 다음 반복으로 진행하기 전에 그 동일한 위치에서 갱신된 영상(408)을 평활화하기 위하여 보통 사용된다. 기존의 픽손 방법마다, 반복적으로 개선된 영상은 디스플레이 상에 디스플레이되고/되거나 메모리 매체에 저장될 수 있는 출력 영상 I에 대한 기초이다.

전술한 바와 같이, 영상 재구성에 대한 응용예는 한정됨을 의도하지 않고, 그 개선된 방법은 픽손 방법을 사용하는 임의의 신호 재구성 프로세스에 적용 가능하다. 커널 함수를, 더 복잡한 평활화를 수행하는 비국부적인 것으로 일반화하는 것이 가능하다. 예를 들면, 많은 동일한 창문을 포함하는 아파트 빌딩의 영상에서, 영상에 있는 모든 창문을 단일 비인접 커널을 사용하여 함께 평활화하는 것이 가능하다. 또는 그 데이터는, 예를 들면 주식 가격과 같이, 어떠한 기하학적 의미도 포함하지 않을 수 있는데, 이 경우에 픽셀화(pixelizing)는 주식에 대한 일부 인덱싱 계획으로 대체된다. 컨벌루션 적분, 식 (24)는, 이러한 시스템에 대하여 더 일반화된 관계로 대체된다.

(27)

식 (21)에 유사한 정규화 조건을 유지하는 것이 통상 유익하지만

(28)

식 (22) 내지 (23)은 더 이상 의미가 없고 문제-특이적 조건으로 대체되어야 한다. 픽손 방법이 관련되는 한에 있어서, 중요한 점은 커널 함수가, 식 (25) 내지 (26)이 의미를 유지하도록, 선호의 순서를 유지한다는 것이다.

더 나아간 개선은 시도 니그래디언트(trial negradient) 사이에서 보간함으로써 "단편적 인덱스(fractional index)" 및 "중간 커널(intermediate kernel)"을 갖는 연속 픽손 맵을 형성하는 것이다. 이는 니그래디언트를 더 평활화하고/하거나 더 적은 커널 함수의 사용을 허용한다. 중간 픽손 인덱스는 M(x) + δ(x)로 정의되고, 여기에서 M(x)는 식 (25)에 의하여 구체화되는 정수 픽손 인덱스이고, δ(x)는 △G(x)²/V(G(x))를 p²로 선형적으로 보간하는 증가량이고

(29)

식 (26)은

(30)

으로 대체되는데 이는 보간 커널의 사용에 대응한다.

(31)

반복적 CG 방법은, 평활화된 니그래디언트가 원래 비평활화된 것을 대체하는, 보통의 방식으로(예로서, Press et al 2007) 진행한다.

연속 픽손 맵, 즉 M(x) + δ(x)을 그 자체로 식 (31)의 보간 커널을 사용하여 평활화하는 것도 또한 유용하다. 픽손 맵은 그 위치에서 픽손 인덱스에 적절한 픽손 커널의 폭 규모의 영상에서 각 위치에서 평활화되어야 한다는 것이 그 배후에 있는 이론이다. 따라서 픽손 맵을 그 자체로 평활화하는 것은 영상에 중요한 부가적 평활화를 도입하지 말아야 하지만, 픽손 맵을 계산하는 프로세스에 도입되었을 아티팩트 상에서 평활화할 수 있다.

갱신된 영상은 보통 보간 커널, 식 (31)에 의한 반복 이후에 더욱 평활화된다. 그러나 부가적 평활화는 니그래디언트를 올바르게 평활화하는 커널이 전체 영상을 과-평활화하는 경향이 있기 때문에, 반복되는 해의 일부 발진을 초래할 수 있다. 이 발진을 막는 단순한 방법은 현재 및 이전 반복에서 결정된 커널의 평균으로 영상을 평활화하는 것이다. (제1 반복에 대하여, "이전" 커널은 델타 함수이다.)

도 5는 보간 커널을 사용하는 영상 재구성 프로세스에서 픽손 맵을 결정하기 위한 개선된 방법의 예시적 순서도를 도시한다. 단계 500에서, 식 (7)의 데이터 모델을 고려할 때 데이터 d의 메리트 함수를 최적화함으로써 영상 재구성이 개시된다. 예시적 구현예에서는 복소 그래디언트(CG) 방법이 사용된다. 단계 502에서는 갱신 변수(UV)로 사용될 니그래디언트를 결정하기 위하여 CG 방법이 사용된다. 단계 504에서, 니그래디언트는 UV를 평활화하기 위하여 픽손 커널 라이브러리(506)로부터의 각 커널로 컨벌루션된다. 각 영상 위치에서 선택된 커널은 갱신 변수에서의 변화의 제곱 및 갱신 변수의 분산 간의 비율이 이것과 모든 더 좁은 커널에 대한 사전에 결정된 임계값보다 작은 가장 넓은 것이다. 픽손 맵(510)은 선택된 커널의 인덱스의 영상을 사용하여 형성된다. 픽손 커널 라이브러리로부터의 커널과의 컨벌루션이 완성된 후, 픽손 맵을 생성하기 위하여 사용된 UV를 더 평활화하기 위하여 보간 커널이 단계 508에서 생성될 수 있다. 다음 반복으로 진행하기 전에 그 위치에서 갱신 영상(512)을 평활화하기 위하여 이와 동일한 보간 커널이 사용될 수 있다. 기존의 픽손 방법마다, 반복적으로 개선된 영상은, 디스플레이 상에 디스플레이되고/되거나 메모리 매체에 저장될 수 있는 출력 영상 I에 대한 기초이다.

픽손 맵의 결정에 중요한 니그래디언트의 분산은, 데이터가 통계적으로 독립하는 경우에도, 시스템 행렬 전치, H^T, 식 (12)가 영상 픽셀을 따라 상관(correlation)을 생성하기 때문에, 주의 깊게 계산되어야 한다. 일부의 경우에, 예를 들면 H^T가 푸리에 변환일 때, 니그래디언트의 분산은 분석적으로(analytically) 계산될 수 있다. 다른 경우에, 대규모 문제에 대한 분산을 계산하는 편리한 몬테카를로 방법(Monte Carlo method)은 데이터를 다수의 비중첩(nonoverlapping) 데이터 부분 집합으로 분해하여 각 부분 집합에 대하여, 나머지 r을 잡음 ε의 랜덤 구현(random realizaton)으로 대체하는, 식 (12)로부터 니그래디언트 G를 계산하는 것이다.

(부분 집합 그래디언트) (32)

여기에서 s 첨자는 부분집합을 나타낸다.

잡음의 기대값이 식 (5)에서 각 픽셀에서 0이기 때문에, 각 부분 집합 그래디언트의 기대값 또한 0이다.

(33)

수많은 부분집합의 한계에서, 니그래디언트의 분산은 따라서 부분 집합 그래디언트의 제곱의 합으로 근사될 수 있다.

(34)

분산의 몬테카를로 추정의 상대적 오차는

(35)

이고, 여기에서 S는 부분집합의 수이다.

가우스 잡음에 대하여, 니그래디언트의 분산은, 데이터나 영상이 아닌, 잡음 σ의 표준 편차에만 의존한다는 것에 주목한다. 따라서 이는 반복으로 변하지 않고 영상 재구성의 개시에서 한 번만 계산될 필요가 있다.

식 (15)에서 [d_i + 1]^-1 항이 복잡한 비선형 방식으로 잡음이 있는 데이터에 의존하기 때문에, 동일한 것이 미겔의 프와송 니그래디언트 χ _r ² 에 대하여 엄격히 유지되지는 않는다. 그러나, 이 항에서 분산은, 다음의 데이터로부터 근사될 수 있는, 식 (16)의 나머지의 분산보다 덜 중요하다는 것이 실천적으로 알려졌다.

(프와송 나머지의 분산) (36)

따라서, 식 (36)에서 나머지의 근사적 분산이 데이터에 의존하지만, 이는 영상에 의존하지는 않는다. 따라서 이는 또한 반복으로 변하지 않고 또한 영상 재구성의 개시에서 한 번 계산될 수 있다.

유사한 픽손 방법이 또한 EM 재구성에 적용될 수 있다. 그러나, 여기에서 문제는 곱셈 갱신 인자의 분산(Richardson 1972; Lucy 1974; Shepp & Vardi 1982)이 반복으로 변하고 각 반복에서 재계산될 필요가 있다는 것이다. 이는, 동일한 정도의 해상도 회복을 위한 매우 더 많은 반복을 요하는, EM 방법의 잘 알려진 더 느린 해상도 회복에 더하여, 계산을 위한 노력을 매우 증가시킨다. 종합하면, 이러한 고려 사항들은 CG 방법보다는 EM 방법의 사용을 주장한다.

본 발명에 따른 방법의 이하의 응용 실시예들은 픽손 방법을 사용한 입력 신호의 재구성에 관한 것이다. 이들 실시예는 예시만을 위한 것이고 한정을 의도하는 것이 아니다.

실시예들

실시예 1: 구경 합성

구경 합성은 하나의 기구 크기의 전체 배열과 동일한 각도 분해능(angular resolution)을 갖는 영상을 생성하기 위하여 망원경 배열로부터의 신호를 혼합하는 간섭 측정(interferometry)의 한 유형이다. 각 분리 및 배향에서, 간섭 측정기의 로브-패턴(lobe-pattern)은 관측된 대상의 밝기의 공간 분포의 푸리에 변환의 한 성분인 출력을 생성한다. 신호원의 영상(또는 "맵")은 이들 측정으로부터 생성된다. 구경 합성은 유입되는 신호의 진폭 및 위상 모두가 각 망원경에 의하여 측정되는 경우에만 가능하다. 무선 주파수의 경우 이는 전자장치에 의하여 가능한 한편, 광학적 광선의 경우 전자기장은 직접 측정되고 소프트웨어에 상관될 수 없지만, 민감한 광학장치에 의하여 전파되고 광학적으로 간섭될 것이다.

양호한 품질의 영상을 얻기 위하여 가능한 한 많은 상이한 베이스라인이 요구됨에 따라, 고품질 영상을 생성하기 위하여, 상이한 망원경 사이에 수많은 상이한 분리가 요구된다(무선 신호원으로부터 보이는 바의 임의의 두 망원경 사이의 투영된 분리는 베이스라인이라고 명명됨) 됨. 망원경의 배열에 대한 베이스라인의 수(nb)는 nb = (n² - n)/2에 의하여 주어진다. 예를 들면, 천문학 무선 망원경 중에서, 베리 라지 어레이(Very Large Array; VLA)는 한 번에 351개의 독립적 베이스라인을 제공하는 27개의 망원경을 포함하고, 한편 현재 제작 중인 아타카마 라지 밀리미터/서브-밀리미터 어레이(Atacama Large Millimeter/sub-millimeter Array, ALMA)는, 완성되는 경우, 2145개의 독립적 베이스라인을 제공하는 66개의 망원경을 포함할 것이다. 대부분의 구경 합성 간섭 측정기는 관측에 포함된 베이스라인 배향의 수를 증가시키기 위하여 지구(Earth)의 회전을 사용한다. 상이한 회수에서 데이터를 취하는 것은, 지구의 회전이 망원경을 새로운 베이스라인으로 이동시키기 때문에, 추가로 망원경을 사거나 망원경을 수동으로 움직일 필요 없이 상이한 망원경 분리 및 각을 갖는 측정을 제공한다. 배열에 강력한 가변 "줌(zoom)"을 제공하는 상이한 구성으로 개별적인 망원경들이 움직일 수 있도록 함으로써 더 향상된 유연성이 제공된다.

구경 합성의 다른 응용예들로 간섭 측정 합성 구경 레이더(interferometric synthetic aperture radar)(IfSAR 또는 InSAR), 합성 구경 레이더(synthetic aperture radar)(SAR) 및 역 합성 구경 레이더(inverse synthetic aperture radar)(ISAR), 합성 구경 소나(synthetic aperture sonar), 빔 포밍(beam forming) 및 합성 구경 자기 측정(synthetic aperture magnetometry)을 포함한다.

원래는 본질적으로 모든 베이스라인 길이 및 배향에서의 측정을 일부 최대로 만드는 것이 필요하다고 생각했었다: 이러한 완전 샘플링된 푸리에 변환은 형식적으로 최대 베이스라인과 같은 구경 직경을 갖는 (따라서 구경 합성이라고 명명) 종래의 망원경으로부터의 영상에 완전히 등가인 정보를 포함한다. 많은 경우에 유용한 영상은 비선형 영상 재구성 방법의 도움으로 비교적 희소이고 불규칙한 집합의 베이스라인으로 형성될 수 있다는 것이 신속하게 발견되었다.

픽손 방법은 하나의 이러한 강력한 비선형 영상 재구성 방법이지만, 그 사용은 푸리에 변환의 비국부적인 성질에 의하여 방해를 받았다(Bhatnagar & Cornwell 2004). 본 발명에서 픽손 맵을 결정하는 새로운 방법은 이러한 장애를 극복할 수 있다.

실시예 2: 자기 공명 화상법

자기 공명 화상법(Magnetic Resonance Imaging; MRI)은 세부적 내부 구조를 시각화하기 위하여 영상의학(radiology)에서 사용되는 의료 영상 기술이다. MRI는 신체 내부의 원자의 핵을 영상화하기 위하여 핵 자기 공명의 속성을 이용한다. MRI 기계는 신체에서 일부 원자 핵의 자화를 정렬하기 위하여 강력한 자기장을 사용하고, 이 자화의 정렬을 체계적으로 변경하기 위하여 무선 주파수 장을 사용한다. 이는 핵이 스캐너에 의하여 검출될 수 있는 회전 자기장을 생성하도록 하고, 이 정보는 신체의 스캐닝된 영역의 영상을 구성하기 위하여 기록된다. 자기장 그래디언트는 핵을 상이한 위치에서 상이한 속도로 회전하도록 한다. 상이한 방향에 있는 그래디언트를 사용함으로써, 2D 영상 또는 3D 체적이 임의의 배향에서 획득될 수 있다. MRI는 신체의 모든 부분을 영상화하기 위하여 사용되고, 뇌, 근육, 결합 조직 및 대부분의 종양과 같은, 많은 수소 핵 및 저밀도 대비(contrast)를 갖는 조직에 특히 유용하다.

신체는 물 분자로 주로 구성된다. 각 물 분자는 두 개의 수소 핵 또는 양성자를 포함한다. 사람이 스캐너의 강력한 자기장 내부에 있을 때, 많은 양성자의 평균 자기 모멘트는 장의 방향으로 정렬된다. 무선 주파수 전송기가 잠시 켜지고, 가변 전자기장을 생성한다. 이 전자기장은, 자기장에서 흡수되어 양성자의 스핀을 돌리기 위한, 공명 주파수로 알려진, 단지 우측 주파수(right frequency)를 포함한다. 전자기장이 꺼진 후, 양성자의 스핀은 열역학적 평형으로 회복하고 벌크 자화는 정자기장으로 재정렬된다. 이러한 안정화 과정에서 무선 주파수 신호가 생성되고, 이는 수신기 코일을 가지고 측정될 수 있다. 상이한 조직에 있는 양성자는 상이한 안정화 속도에서 평형 상태로 회복된다. 스핀 밀도를 포함하는, 상이한 조직 변수, T1 및 T2 안정화 횟수 및 플로우 및 스펙트럼적 이동이 영상을 구성하는 데 사용될 수 있다. 스캐너 상의 설정을 변경함으로써, 이 효과는 기능적 MRI(functional MRI) 및 확산 MRI에서와 같이, 신체 조직의 상이한 유형 사이 또는 다른 속성들 사이에서 대비를 생성하는 데 사용된다.

3D 공간에 있는 신호의 근원에 대한 정보는 스캔 중 부가적 자기장을 인가함으로써 알아낼 수 있다. 이들 장은, 그래디언트 코일을 통하여 전류를 통과시킴으로써 생성되는데, 자기장의 강도가 자석 내에서의 위치에 따라 변하도록 한다. 이는 방출된 무선 신호의 주파수를 예측 가능한 방식으로 그 근원에 종속시키기 때문에, 신체에서 양성자의 분포는, 통상적으로 역 푸리에 변환을 사용함으로써, 신호로부터 수학적으로 회복될 수 있다.

MRI의 주요 한계는 스캔의 지연이고, 이는 환자의 불편을 증가시키고 검사 환자수를 낮추게 된다. MRI 스캔은 두 가지 방식 중 한 가지, 또는 이들의 조합으로 속도를 높일 수 있다. 각 무선 주파수에서 스캔 지연이 단축될 수 있고/있거나, 스캐닝된 무선 주파수의 수가 줄어들 수 있다. 전자는 잡음을 증가시키게 되는 한편, 후자는 불충분한 주파수 사용을 가져와, 구경 합성과 유사한 기술을 요구하게 된다. 비선형 픽손 영상 재구성은, 아래에 설명되는 바와 같이, 잡음을 줄이는 데 기여하고 손실된 푸리에 데이터를 보상할 수 있다.

불행하게도, 생체 내에서 획득한 MRI 데이터의 분석을 위한 어떠한 "지상 검증 자료(ground truth)" 또는 확실한 표준이 존재하지 않는다. 따라서 SBD(Simulated Brain Database)가 McGill 대학교에서 구성되었다(월드 와이드 웹 bic.mni.mcgill.ca/brainweb 상에서 공개적으로 이용할 수 있는 데이터베이스; Kwan, Evans & Pike 1999). SBD는 MRI 시뮬레이터에 의하여 생성된 실제 MRI 데이터 볼륨의 집합을 포함한다. 이들 데이터는 사실이 알려진 설정에서 다양한 영상 분석 방법의 수행을 평가하기 위하여 신경영상화 커뮤니티에 의하여 사용될 수 있다.

현재, SBD는 두 개의 해부학 모델에 기반하는 시뮬레이션된 뇌 MRI 데이터를 포함한다: 정상 및 다발성 경화증(multiple sclerosis, MS). 이들 모두에 대하여, 완전 3-차원 데이터 볼륨은 세 개의 계열(T1-, T2-, 및 양성자-밀도-(PD-) 가중) 및 다양한 슬라이스(slice) 두께, 잡음 수준 및 강도 비균일성의 수준을 사용하여 시뮬레이션되었다. 이들 데이터는 세 개의 직교 뷰(횡, 시상(sagittal) 및 관상(coronal))에서 관찰하는 것이 가능하고, 다운로드가 가능하다. SBD의 생성에 대한 더 상세한 사항은 공개된 자료를 통하여 이용할 수 있다.

도 6은 잡음이 없는, 정상의 양성자-밀도(PD) SBD "실제" 뇌 영상을 도시하고, 도 7은 데이터 공간으로의 그 변환의 절대값의 (밑이 10인) 로그 값을 도시한다. 양 도면에서 상부 패널은 관상 슬라이스(좌측 패널) 및 시상 슬라이스(우측 패널)를 도시한다. 아래쪽 패널은 횡 슬라이스이다. 대상 공간으로부터 데이터 공간으로의 변환은 2D 푸리에 변환(한 번에 하나의 횡 슬라이스)으로 구성되었고, 그 디스플레이는 0 주파수가 중심에 있다는 것을 보여주기 위하여, 횡으로 순환하여 이동하였다. 도 8은 가장 밝은 영상 복셀의 3%의 표준 편차를 갖는 영상에 부가된 랜덤 (백색) 가우스 잡음을 갖는 도 6의 영상을 도시한다. 도 9는 도 8의 데이터 공간으로의 푸리에 변환을 도시한다. 잡음은 고주파에서 데이터를 지배하고 있음을 알 수 있다(데이터의 횡 방향의 주변부가 디스플레이된다). 도 10은, 가용 주파수의 1/3로 제한된 주파수 범위에 대응하는, 절단된 고주파를 갖는, 도 9와 동일한 데이터를 도시한다. 도 10의 데이터는 영상의 재구성에 대한 입력을 포함한다.

도 11은 두 유형의 아티팩트를 보여주는, 데이터의 단순 역 푸리에 변환을 도시한다. 먼저, 영상 전체에 잡음이 분명히 보인다; 데이터의 주파수 차단에 따라, 이는 더 이상 비상관 백색 잡음이 아니다. 둘째로, 깁스(Gibbs)(1898, 1899)에 의하여 최초로 설명된 현상에 기인하는 첨예한 에지 다음에 링잉(ringing)이 보인다. 데이터(도시되지 않음)로의 비음 최소-자승(nonnegative least-squares, NNLS) 피트는 직접 역 푸리에 변환과 본질적으로 동일하다. 이들 영상 사이의 차이는 체외 배경에서만 나타나는데, 이는 관심의 대상이 아니거나 극히 적다. 더 중요한 영상 개선은 도 12 내지 14에 보이는데, 0.3, 0.5 및 1.0 각각의 픽손 인자에 의한 픽손 재구성의 결과를 도시한다. 모든 재구성은 잡음과 깁스 링잉을 매우 줄이지만, 동일한 양만큼은 아니다. 식 (25) 내지 (26)과 관련하여 전술한 바와 같이, 사용자가 픽손 인자 p로 제어할 수 있는, 잡음과 평활화 간에 트레이드 오프(tradeoff)가 존재한다. 더 큰 p는 일부 해상도의 손실의 대가로 잡음을 더 잘 억제하는 반면, 더 작은 p는 더 높은 잡음 수준의 대가로 해상도를 더 잘 유지한다. 이러한 트레이드 오프는, p가 증가할 때 일부 해상도의 손실을 가져오면서, 점진적으로 더 강한 평활화를 보여주는, 도 12 내지 14에서 명백하다.

실시예 3: 컴퓨터 단층 촬영

컴퓨터 단층 촬영(Computed Tomography; CT)은 환자의 내부 구조나 검사 대상이 그 과정에서 환자에 외과 수술을 수행하거나 검사 대상을 손상시킬 필요 없이 검사할 수 있도록 도움을 제공하는 의료 및 검사 공학기술을 위한 진단 및 측정 방법을 제공한다. 이러한 경우에, 다양한 각도에서 대상의 3D 묘사를 계산하는 것을 가능하게 하는 검사 대상의 다수의 투영이 기록된다.

단층 촬영 영상은 관찰된 투영(데이터)을 영상으로 변환함으로써 생성된다. 예를 들면, x-레이 CT 영상에서, x-레이 빔은 대상에 직접 조사되고 빔은 대상 내에서 변하는 구조에 기인하여 다양한 양만큼 약화된다. 대상의 다른 측에서, 약화된 빔은 검출기로 측정된다. 이러한 투영은 대상 주위로 많은 상이한 각에서 생성된다. 이들 측정은 잡음이 있을 뿐만 아니라, 상대적 잡음 수준은 약화의 양에 의존한다. 뼈와 특히 금속과 같은, 고밀도 재료를 통한 투영은 살, 물 또는 기타 밀도가 낮은 재료를 통한 투영보다 낮은 신호 대 잡음비를 갖는다. 검출된 양성자 수에서 크게 그리고 공간적으로 변하는 변동에 대응하는 것은 종종 영상을 개선하기 위한 통계적 평활화 기법을 요구한다.

통계적 영상 재구성 접근법에서, (가능하게는 비선형) 물리적 모델 및 통계적 모델에 따라 측정을 가장 잘 피팅(fitting)하는 영상을 찾을 때 이 문제가 대두된다. 적합한 통계적 모델화는 낮은 잡음 영상을 가져오고, 따라서 환자에 가해지는 X-레이 양을 줄일 수 있게 한다.

실시예 4: 방출 단층 촬영

방출 단층 촬영은 CT에 사용된 것들과 유사한 단층 촬영 기술을 사용하여 신체에서 기능적 프로세스의 3D 영상을 생성하는 핵 의학 영상화 기술이다. 차이는 감마-방출 또는 양전자-방출 방사성 동위 원소(방사성 핵종으로 명명됨)가 환자의 혈관으로 주입되는 것이다. 감마-방출 방사성동위원소는 단일 양성자를 방출하고, 그 영상화 방법은 단일-양성자 방출 컴퓨터 단층 촬영(SPECT, 또는 종종 SPET)으로 알려져 있다. 이와 대조적으로, 방출된 양전자는 신체 내의 전자와 소멸하여, 동시에 검출되고 반대 방향으로 움직이는 두 개의 광자를 형성하고, 영상화 방법은 양성자 방출 단층 촬영(PET)으로 알려져 있다.

대체로, 그 방사성 성질만을 목적으로 하는 표지 방사성 동위 원소는 특정 유형의 조직에 대한 화학 결합 속성을 목적으로 하는, 방사성 리간드(radioligand)를 생성하기 위하여 특정 리간드에 부착된다. 이러한 결합은 리간드와 방사성 동위 원소(방사성 의약품)의 결합이 수행되고 신체 내의 관심 장소에 구속되도록 하며, 이때 (동위 원소의 직접 또는 간접 감마-방출에 기인하여) 리간드 농도가 영상화될 수 있도록 한다.

핵 스캔(nuclear scan)은 점점 더, 그 결합에 의하여 해부 및 대사 정보(즉, 무슨 구조이고, 생화학적으로 무엇을 하는지)를 제공하는, CT 또는 MRI 스캔과 함께 읽혀진다. 핵 영상화가 해부학적 영상화와 결합하여 가장 유용하기 때문에, 현대 핵 스캐너는 지금 통합 고급 다중-검출기-열 CT 스캐너 또는 최근에는 MRI와 함께 사용 가능하다. 이 두 스캔이 두 유형의 스캔 사이에서 위치를 바꾸지 않는 환자에 대하여, 같은 세션 중에, 즉시의 순서에서, 또는 심지어 동시에 수행될 수 있기 때문에, 이 두 세트의 영상은 더 정밀하게 등록되고, 따라서 핵 영상에서 비정상 영역은 CT 또는 MRI 영상에 있는 해부학적 구조와 더 완전하게 상관될 수 있다. 이는 더 높은 해부학적 변화를 갖는 움직이는 기관 또는 구조의 상세도를 보는 경우에 매우 유용하고, 뇌 외부에서 더 일반적이다.

비록 핵 영상화에서 수집된 데이터 집합이 CT보다 훨씬 적은 광자를 포함하여, 재구성 기술이 더 어려워진다고 하더라도, 컴퓨터 단층 촬영(CT)의 재구성과 매우 유사한 기술이 3D 영상을 생성하기 위하여 많이 사용된다. 이때 영상 품질을 개선하고/하거나 환자에게 주입되는 양을 줄이기 위하여 픽손 프로세싱이 사용될 수 있다.

실시예 5: 스펙트럼 분석

스펙트럼 분석기는 기구의 전체 주파수 범위 내에서 입력 신호의 크기 대 주파수를 측정한다. 주요 사용은 기지 및 미지의 신호의 스펙트럼의 전력을 측정하는 것이다. 스펙트럼 분석기가 측정하는 입력 신호는 전기 신호이지만, 음압파 및 광파와 같은 다른 신호의 스펙트럼 성분이 적절한 변환기의 사용을 통하여 고려될 수 있다. 전기 신호의 스펙트럼을 분석함으로써, 신호의 우세한 주파수, 전력, 왜곡, 조화파, 대역폭 및 기타 스펙트럼 성분이 관찰될 수 있는데, 시간 영역 파형에서는 쉽게 검출될 수가 없다. 이들 파라미터는 무선 전송기와 같은 전자 장치의 특성화에서 유용하다.

스펙트럼 분석기 유형은 신호의 스펙트럼을 획득하기 위하여 사용된 방법에 의하여 좌우된다. 스펙트럼 분석기에 기반한 스웹트-동조(swept-tuned) 및 고속-푸리에-변환(FFT)이 존재한다: 스웹트-동조 스펙트럼 분석기는 입력 신호 스펙트럼의 일부를 (전압-제어 발진기 및 믹서를 사용하여) 대역-통과 필터의 중심 주파수로 하향-변환하기 위하여 슈퍼헤테로다인 수신기를 사용한다. 슈퍼헤테로다인 아키텍처에 의하여, 전압-제어 발진기는 주파수의 범위를 통하여 스웹트되고, 기구의 전체 주파수 범위를 고려할 수 있게 한다. FFT 스펙트럼 분석기는 고속 푸리에 변환을 계산하고, 따라서 그 주파수 스펙트럼의 성분으로 입력 신호를 변환한다. 실시간 스펙트럼 분석기와 같은, 일부 스펙트럼 분석기는 입력 신호가 슈퍼헤테로다인 기술을 사용하여 더 낮은 주파수로 먼저 하향-변환되고 그 다음에 FFT 기술을 사용하여 분석되는 융합 기술을 사용한다.

이것은 1D 예이고, 스펙트럼("영상")은 비국부적인 푸리에 변환에 의한 입력 데이터에 관한 것이다. 픽손 방법은 인용된 다른 푸리에 예들과 유사한 방식으로 이러한 데이터에 적용될 수 있다.

참고 문헌

1. Bhatnagar S, Cornwell TJ. 2004. Astron. Astrophys. 426:747-754

2. Biemond J, Lagendijk RL, Mersereau RM. 1990. Proc. IEEE 78:856-883

3. Candes EJ, Romberg J, Tao T. 2004, IEEE Tans. Info. Thry. 52:489-509

4. Chaitin GJ. 1966. J. Assoc. Comput. Mach. 13:547-569

5. Chen S, Donoho D, Saunders MA. 1999. SIAM J. Sci. Comp. 20:33-61

6. Dempster AP, Laird NM, Rubin DB. 1977. J. R. Stat. Soc. B 39: 1-38

7. Donoho DL 2006, Com. Pure Appl. Math. 59:797-829

8. Donoho DL, Tsaig Y, Drori I, Starck JL. 2006. "Sparse Solution of Underdetermined Linear Equations by Stagewise Orthogonal Matching Pursuit", Stanford Technical Report

9. Fisher RA 1912. Messenger Math. 41: 155cl60

10. Fisher RA 1922. Phil. Trans. Roy. Soc. A 222:309-368

11. Fox L, Huskey HD, Wilkinson JH. 1948. Quart. J. Mech. Appl. Math. 1:149-173

12. Gauss CF 1809. Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, English translation, 1963. Theory of Motion of the Heavenly Bodies (New York: Dover)

13. Gibbs JW. 1898. Nature 59:200

14. Gibbs JW. 1899. Nature 59:606

15. Golub GH, Van Loan CF. 1996. Matrix Computations, 3rd ed. (Baltimore: Johns Hopkins University Press)

16. Hesse LO. 1876. Vorlesungen uber Analytische Geometrie des Raumes, Insbesondere uber Oberflachen Zweiter Ordnung, (Leipzig: Teubner)

17. Hestenes MR, Stiefel E. 1952. J. Res. Nat. Bur. Standards, 49:409-436

18. Hudson HM, Larkin RS. 1994. IEEE Trans. Med. Imag. 13:601-609

19. Kolmogorov AN. 1965. Problems Inf. Transm. 1:4-7

20. Kwan RKS Evans AC Pike GB 1999. IEEE Trans. Med. Imag. 18: 1085-97

21. Lange K, Hunter DR, Yang I. 2000. J. Comp. Graph. Statist. 9: 1-59

22. Lucy LB. 1974. Astron. J. 79:745-54

23. Mighell KJ. 1999. Astrophys. J. 518:380-393

24. Miller, A 2002, Subset Selection in Regression, 2^nd ed., (Boca Raton: Chapman & Hall/CRC)

25. Nyquist H 1928. Trans. AIEE 47:617-644

26. Pina RK, Puetter RC. 1993. Publ. Astron. Soc. Pac. 105:630-637

27. Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT & Flannery BP. 2007. Numerical Recipes, 3^rd ed., (Cambridge: Cambridge University Press)

28. Puetter RC, Gosnell TR & Yahil A 2005. Annu. Rev. Astron. Astrophys. 43: 139-194

29. Puetter RC, Yahil A. 1999. Astron. Soc. Pac. Conf. Ser. 172:307-316

30. Richardson W. 1972. J. Opt. Soc. Am. 62:55-59

31. Saad Y.2003. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2^nd ed. (Philadelphia: SIAM)

32. Shannon CE. 1949. Proc. Institu. Radio Engineers. 37: 10-21

33. Shepp LA, Vardi Y. 1982. IEEE Trans. Med. Imaging 1: 113-22

34. Solomonoff RJ. 1964. Inf. Control 7: 1-22

35. Tibshirani R 1996. J. R. Statist. Soc. B 58:267-288

36. Tikhonov AN. 1963. Soviet Math. 4: 1035-1038

Claims

물리적 프로세스로부터 획득한 잡음을 포함한 데이터 집합으로부터 대상 모델을 재구성하는 방법으로서,
데이터 공간에 정의된 상기 데이터 집합을 수신하는 단계;
대상 공간에서 복수의 대상 점을 포함하는 대상 모델을 구성하는 단계;
대상 공간으로부터 데이터 공간으로의 상기 대상 모델의 변환을 만들어 데이터 모델을 남기는 단계로서, 상기 변환은 상기 데이터 집합이 획득되는 상기 물리적 프로세스에 대응하는 것인 단계;
데이터 모델의 상기 데이터 집합으로의 피트를 결정하기 위한 메리트 함수를 선택하는 단계;
상기 메리트 함수에 기반하여 대상 공간에서 상기 대상 모델의 갱신 변수를 결정하는 단계;
평활화된 갱신 변수를 결정하기 위하여:
각 복수의 픽손 커널로 상기 갱신 변수를 컨벌루션하고; 그리고
상기 입력 대상의 각 대상 점에 대하여 사전에 결정된 최소 요건(minimum criteria)을 만족하는 최대 크기를 갖는 픽손 커널을 선택함으로써
상기 갱신 변수를 평활화하는 단계;
상기 선택된 픽손 커널에 대응하는 각 대상 점에 인덱스들을 할당함으로써 픽손 맵을 생성하는 단계; 및
상기 픽손 맵 내의 상기 인덱스들에 기반하여 현저하게 잡음 제거된 대상 모델을 포함하는 출력을 생성하는 단계를 포함하는 방법.
제1항에 있어서,
상기 픽손 맵에 따라 상기 선택된 픽손 커널로 각 대상 점에서 상기 대상 모델을 컨벌루션함으로써 상기 대상 모델을 평활화하는 단계를 더 포함하는 방법.
제1항에 있어서,
상기 메리트 함수는 복소 그래디언트 방법(conjugate gradient method)을 사용하여 결정되는 방법.
제3항에 있어서,
상기 갱신 변수는 니그래디언트(negradient)인 방법.
제3항에 있어서,
프리컨디셔너(preconditioner)를 부가하는 단계를 더 포함하는 방법.
제1항에 있어서,
상기 메리트 함수가 최적화될 때까지 상기 갱신 변수를 반복적으로 평활화하고, 상기 평활화된 갱신 변수에 기반하여 상기 픽손 맵과 상기 대상 모델을 갱신하는 단계를 더 포함하는 방법.
제1항에 있어서,
상기 갱신 변수를 컨벌루션하는 단계 후에, 갱신 변수 변화를 결정하기 위하여 상기 갱신 변수를 빼는 단계를 더 포함하는 방법.
제7항에 있어서,
상기 사전에 결정된 최소 요건이 상기 갱신 변수 변화의 제곱과 상기 갱신 변수의 분산 간의 비율에 기반하는 방법.
제1항에 있어서,
상기 데이터 집합은 구경 합성(aperture synthesis), 간섭 측정 합성 구경 레이더(interferometric synthetic aperture radar)(IfSAR 또는 InSAR), 합성 구경 레이더(synthetic aperture radar)(SAR) 및 역 합성 구경 레이더(inverse synthetic aperture radar)(ISAR), 합성 구경 소나(synthetic aperture sonar), 빔 포밍(beam forming), 및 합성 구경 자기 측정(synthetic aperture magnetometry)으로 구성된 그룹에서 선택된 분석 프로세스와 관련하여 생성된 간섭 측정 데이터(interferometric data)를 포함하는 방법.
제1항에 있어서,
상기 데이터 집합은 자기 공명 화상법 데이터를 포함하는 방법.
제1항에 있어서,
상기 데이터 집합은 컴퓨터 단층 촬영(computed) 또는 방출 단층 촬영(emission tomography) 데이터를 포함하는 방법.
제1항에 있어서,
상기 데이터 집합은 스펙트럼 분석 데이터를 포함하는 방법.
제1항에 있어서,
상기 데이터 집합은 상이한 기구(instrument)로부터의 복수의 입력 신호를 포함하고, 상기 잡음 제거된 대상 모델은 상기 입력 신호들의 혼합(mixture)에 대응하는 단일 출력을 포함하는 방법.
소프트웨어를 포함하는 비-일시적(non-transitory) 컴퓨터 판독 가능 매체로서, 상기 소프트웨어는 물리적 프로세스로부터 획득한 데이터 집합으로부터 대상 모델을 재구성하기 위한 명령(instruction)을 포함하고, 상기 데이터 집합은 잡음을 포함하며, 상기 방법은:
데이터 공간에 정의된 상기 데이터 집합을 수신하는 것;
대상 공간에서 복수의 대상 점을 포함하는 대상 모델을 구성하는 것;
대상 공간으로부터 데이터 공간으로의 상기 대상 모델의 변환을 만들어 데이터 모델을 남기는 것을 포함하며, 이때 상기 변환은 상기 데이터 집합이 획득되는 상기 물리적 프로세스에 대응하며;
데이터 모델의 상기 데이터 집합으로의 피트를 결정하기 위한 메리트 함수를 선택하는 것;
상기 메리트 함수에 기반하여 대상 공간에서 상기 대상 모델의 갱신 변수를 결정하는 것;
평활화된 갱신 변수를 결정하기 위하여:
복수의 픽손 커널 각각으로 상기 갱신 변수를 컨벌루션하고; 그리고
상기 입력 대상의 각 대상 점에 대하여 사전에 결정된 최소 요건(minimum criteria)을 만족하는 최대 크기를 갖는 픽손 커널을 선택함으로써
상기 갱신 변수를 평활화하는 것; 및
상기 선택된 픽손 커널에 대응하는 상기 입력 대상의 각 대상 점에 인덱스들을 할당함으로써 픽손 맵을 생성하는 것을 포함하는 비-일시적 컴퓨터 판독 가능 매체.
제14항에 있어서,
상기 픽손 맵에 따라 상기 선택된 픽손 커널로 각 대상 점에서 상기 대상 모델을 컨벌루션함으로써 상기 대상 모델을 평활화하는 단계를 더 포함하는 비-일시적 컴퓨터 판독 가능 매체.
제14항에 있어서,
상기 메리트 함수는 복소 그래디언트 방법을 사용하여 최적화되는 비-일시적 컴퓨터 판독 가능 매체.
제16항에 있어서,
상기 갱신 변수는 니그래디언트인 비-일시적 컴퓨터 판독 가능 매체.
제17항에 있어서,
프리컨디셔너를 부가하는 단계를 더 포함하는 비-일시적 컴퓨터 판독 가능 매체.
제14항에 있어서,
상기 메리트 함수가 최적화될 때까지 상기 갱신 변수를 반복적으로 평활화하고, 상기 반복적으로 평활화된 갱신 변수에 기반하여 상기 픽손 맵과 상기 대상 모델을 갱신하는 단계를 더 포함하는 비-일시적 컴퓨터 판독 가능 매체.
제19항에 있어서,
상기 갱신 변수를 컨벌루션하는 단계 후에, 갱신 변수 변화를 결정하기 위하여 상기 갱신 변수를 빼는 단계를 더 포함하는 비-일시적 컴퓨터 판독 가능 매체.
제20항에 있어서,
상기 사전에 결정된 최소 요건이 상기 갱신 변수 변화의 제곱과 상기 갱신 변수의 분산 간의 비율에 기반하는 비-일시적 컴퓨터 판독 가능 매체.