JP2014520295A - 反復画像再構成においてｐｉｘｏｎ写像を決定する方法 - Google Patents

Abstract

ｐｉｘｏｎ法を使用して、雑音を含む信号を反復的に再構成するための方法は、反復において画像の更新に使用された変数からｐｉｘｏｎ写像を決定する。更新変数は、最適化されたメリット関数に基づき、反復の間、更新変数を平滑化する。更新画像はまた、場合により、反復の間に決定されたｐｉｘｏｎ写像を使用して、反復終了時にさらに平滑化されてもよい。
【選択図】図４

Description

関連出願の相互参照
本出願は、２０１１年４月１５日に出願された米国仮特許出願第６１／４７６，０１２号明細書の優先権を主張し、その開示は、その全体が参照により本明細書に組み込まれる。

本発明は、信号再構成および強調のための方法に関し、より具体的には、入力物体における雑音を適応的に低減するための方法に関する。

信号内に含まれるデータの最適な抽出は、雑音や機器上の制限などの欠陥の除去を必要とする。データの最適化された抽出および再構成が求められる重要な領域は、画像強調の分野である。事実上、雑音がないように機器を仕上げることができるときでさえ、有限空間、スペクトルまたは時間分解能に関連する機器シグネチャを抱えたままである。現段階では、機器シグネチャを除去するには、画像再構成が必要とされる。画像強調の応用ならびにデータ抽出に悪影響を及ぼし得る雑音源および他の要因は広範囲にわたり、それは、発信元がかすかなものであり得、大気干渉が雑音や歪みを発生させる天体観測および惑星探査や、光が微弱なものであり得、対象物の急激な移動がコントラストを低くし、不鮮明にする軍事偵察および安全監視や、明瞭さの欠如にしばしば悩まされる医用画像処理や、伝送および機器の制限ならびにリアルタイム応答の必要性が画像鮮鋭度および画像詳細に悪影響を及ぼし得るビデオ画像を含む。

様々なセンサによって収集された不鮮明で雑音を伴うデータの高品質でロバストな再構成を提供するため、デジタル画像処理が開発されている。本分野は、測定雑音による破損を受けない鮮明な像を一貫して生成する撮像機器の構築が不可能なため存在する。それにもかかわらず、現実世界の機器から得られた非理想的なデータから基本的な画像を数学的に再構成することは可能であり、その結果、存在するがデータ内に隠されている情報をより鮮明で雑音が少ない状態で抽出することができる。そのような多くの方法は、予測モデルが構築され、データと比較されて、モデルとデータとの適合精度が評価されるプロセスを利用する。

この書面による明細全体にわたり、「データ」は、画像再構成のプロセスを通じてそこから未知の「画像」が推定される、いかなる測定数量も指す。画像という用語は、観測データを生じさせる推定解または真の基本的な画像の何れかを示す。論考により、通常、どちらの文脈が当てはまるかが明確となり、曖昧性が生じる可能性がある場合は、「画像モデル」を使用して推定解を示す。データと画像は、同様なものである必要はなく、異なる次元性を有するものであり得る（例えば、断層撮影画像再構成は、投影された２Ｄデータからの３Ｄ画像の決定に努める）ことに留意されたい。画像に対する代替の用語は、「物体」であり、モデルの方が画像より一般的である場合があるという考えを伝える。以下、２つの用語は、同義語として使用される。

統計学者は、長い間、適合の解釈および予測精度を改良するため、データとの適合に使用されるパラメータを制限することに努めてきた。標準の技法は、パラメータのいくつかは重要でないものとして見出され、適合から除外される、部分集合の選択（例えば、Ｍｉｌｌｅｒ ２００２）、および、適合において使用されるメリット関数に正則化項を追加することによってパラメータの値が制約される、リッジ回帰（例えば、Ｔｉｋｈｏｎｏｖ １９６３）である。Ｔｉｂｓｈｉｒａｎｉ（１９９６）は、２つの方法を、最小絶対収縮および選択演算子（ＬＡＳＳＯ：Ｌｅａｓｔ Ａｂｓｏｌｕｔｅ Ｓｈｒｉｎｋａｇｅ ａｎｄ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ Ｏｐｅｒａｔｏｒ）として知られる技法に組み合わせた。

適合におけるパラメータの数を制限する必要性は、パラメータの数がデータポイントの数より大きいかまたはそれに匹敵する劣決定問題または不完全決定問題に不可欠である。最小二乗法（Ｇａｕｓｓ １８０９）および最尤法（Ｆｉｓｈｅｒ １９１２、１９２２）の統計的方法の発案者によって既に強調されているように、これらの方法は、データポイントの数が適合パラメータの数をはるかに超える漸近極限でのみ有効である。この漸近極限から離れると、雑音は信号として組み込まれ、この組み込みにより、適合は、その解釈力および予測力を失う。

Ｐｕｅｔｔｅｒ ｅｒ ａｌ（２００５）は、画像モデルをデータに反復的に適合させる反復画像再構成方法を含む、現在の使用における多くの再構成アルゴリズムを再検討している。最尤解に収束するように設計された多くの従来の技術の反復スキームは、過剰適合を回避するために早期に終了されるときでさえ、ゆっくりと収束する。収束は、変数に対してメリット関数の二次偏導関数のヘッセ行列を使用することによって、より早く達成することができる（Ｈｅｓｓｅ １８７６）。残念ながら、この手法を使用しても、ヘッセ行列は、例えば、画像がかなりの放射を伴う大多数の画素を含む場合の画像再構成においてしばしば遭遇する大規模問題に対処する際は、大きすぎて計算できない。そのような事例では、行列要素は、数兆個にも達し得る。このサイズの行列は、単純には、今日のコンピュータで処理することも、ましてやメモリに格納することさえもできない。

今日ではスパーシティ（ｓｐａｒｓｉｔｙ）と呼ばれる、劣決定問題または不完全決定問題におけるパラメータの数を制限することへの希望は、最小限の複雑度のより抽象的な概念（Ｓｏｌｏｍｏｎｏｆｆ １９６４、Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ １９６５、Ｃｈａｉｔｉｎ １９６６）に基づき、思考節約の原理（ｐａｒｓｉｍｏｎｙ ｏｆ ｐｏｓｔｕｌａｔｅ）を主張したＯｃｋｈａｍのＷｉｌｌｉａｍの中世の研究に遡る。簡単に言えば、他の条件が同じであれば、簡単な説明の方が複雑な説明よりも優れているということである。

例えば、ｌ_０ノルム正則化項をメリット関数に追加することによってスパース解を見出すことは、ＮＰ困難問題であり、その計算量は、パラメータの数において、いかなる多項式よりも急激に増加する。これは、ｌ_０ノルムをｌ_１ノルムと置き換える結果へと導き（Ｃｈｅｎ，Ｄｏｎｏｈｏ ＆ Ｓａｕｎｄｅｒｓ １９９９）、その結果、パラメータに対する適合の最適化は、可解の凸問題となる。Ｃａｎｄｅｓ，Ｒｏｍｂｅｒｇ ＆ Ｔａｏ（２００４）は、さらに一歩先を行き、圧縮センシング法として知られる技法であるインコヒーレント性の条件の下、適合に必要とされるデータ量をランダムに減少させる方法を示した。Ｄｏｎｏｈｏ（２００６）は、パラメータ化に使用される基底関数の中、同様のインコヒーレント性の条件の下、最小ｌ_１ノルム解は最もスパースな解でもあることを示した。

ｌ_１ノルム法の欠点は２つある。第１に、多くの対象問題は、単純にはインコヒーレント性の条件を満たさず、ｌ_１ノルム法に不適切である。第２に、対象問題がインコヒーレント性の条件を満たすときでさえ、大規模問題は、過度の計算量を必要とする。したがって、それらは、凸問題であり、原理上可解ではあるが、実際には、数百万以上のパラメータを伴う今日の問題（従来の統計的方法を悪化させることにもなる問題）に適用することはできない。Ｄｏｎｏｈｏ ｅｔ ａｌ（２００６）は、ｌ_１ノルムを使用することなく、そのような大規模問題により効率的にランダム性を適用する方法について論じている。

ｐｉｘｏｎ法は、厳密なスパーシティを要求することなく、ｌ_１ノルムを利用する方法で必要とされるインコヒーレント性の条件なしで、画素ベースのデータ（大規模問題を含む）の複雑解を最小限度で得る、効率的な技法である（例えば、その開示が参照により本明細書に組み込まれる、Ｐｉｎａ ＆ Ｐｕｅｔｔｅｒ １９９３、Ｐｕｅｔｔｅｒ ＆ Ｙａｈｉｌ １９９９、Ｐｕｅｔｔｅｒ，Ｇｏｓｎｅｌｌ ＆ Ｙａｈｉｌ ２００５および米国特許第５，９１２，９９３号明細書、第６，３５３，６８８号明細書、第６，４９０，３７４号明細書、第６，８９５，１２５号明細書、第６，９９３，２０４号明細書、第７，８６３，５７４号明細書、第７，９２８，７２７号明細書、第８，０１４，５８０号明細書、第８，０２６，８４６号明細書、第８，０５８，６０１号明細書、第８，０５８，６２５号明細書、第８，０８６，０１１号明細書、第８，０９０，１７９号明細書、第８，０９４，８９８号明細書、第８，１０３，４８７号明細書を参照）。したがって、ｐｉｘｏｎ法は、画像再構成またはスペクトル分析などの大規模な劣決定逆問題または不完全決定逆問題に有益である。最小限の複雑度は、カーネルのライブラリの中で最も広いカーネルによって各画素位置で適応的に平滑化することによって達成され、その結果、このカーネルおよびより狭いすべてのカーネルでの平滑化は、検討中の画素のデータフットプリントへの適切な適合を提供する。各画素でどのカーネルを使用するかを指定する写像は、ｐｉｘｏｎ写像と呼ばれる。

その現在の形式では、ｐｉｘｏｎ再構成は、３つのステップからなる。第１に、それは、いかなるｐｉｘｏｎ制約もない状態で、「疑似画像」を再構成する。第２に、この疑似画像を使用して、ｐｉｘｏｎ写像を決定する。第３に、ｐｉｘｏｎ写像によって導かれた制約された再構成によって最終画像を得る。第２および第３のステップは、幾度か繰り返すことができるが、第１のステップで合理的な疑似画像が得られれば、通常、これは実際には必要ではない。ｐｉｘｏｎ法およびその応用についてのより完全な論考については、Ｐｕｅｔｔｅｒ ＆ Ｙａｈｉｌ（１９９９）、Ｐｕｅｔｔｅｒ ｅｔ ａｌ （２００５）および米国特許第５，９１２，９９３号明細書、第６，３５３，６８８号明細書、第６，４９０，３７４号明細書、第６，８９５，１２５号明細書、第６，９９３，２０４号明細書、第７，８６３，５７４号明細書、第７，９２８，７２７号明細書、第８，０１４，５８０号明細書、第８，０５８，６０１号明細書、第８，０５８，６２５号明細書、第８，０８６，０１１号明細書、第８，０９０，１７９号明細書、第８，０９４，８９８号明細書、第８，１０３，４８７号明細書を参照されたい。

図２は、画像検出器２１０と、ｐｉｘｏｎ再構成ユニット２２０とを備えた一般的な撮像システム２００を示す。再構成は、ｐｉｘｏｎ再構成アルゴリズム２３０と相互作用するｐｉｘｏｎ写像Ｐを使用するｐｉｘｏｎ法に基づく。ｐｉｘｏｎ法は、ｐｉｘｏｎ平滑化の基礎として、各物体ポイントに形状またはボリュームを割り当てることによって、物体空間の各ポイント（以下、「物体ポイント」）を平滑化する方法を指す。物体空間は、画像再構成の結果が定義され、撮像システム２００を使用して画像化されたドメインに相当する空間である（「画像空間」は「物体空間」の同義語であり、２つの用語は以下で交換可能に用いられることに留意されたい）。対応するデータ空間は、画像検出器２１０で測定されたデータポイントによって与えられる。

ｐｉｘｏｎ法は、データ空間の測定データセットｄから物体空間の画像物体Ｉの高品質の再構成を提供する。空間的に適応型の再構成方法として、ｐｉｘｏｎ法は、データ誘導平滑化演算をあらゆる物体ポイントに適用する。その際、ｐｉｘｏｎ法は、平滑化演算の基礎であるｐｉｘｏｎカーネル関数をあらゆる物体ポイントに割り当てる際に最小限の複雑度の原理を使用する。ｐｉｘｏｎ再構成ユニット２２０内では、ｐｉｘｏｎ写像Ｐは、どのｐｉｘｏｎカーネル関数が物体ポイントの各々に割り当てられるかを定義する。

撮像システム２００では、画像検出器２１０は、測定データセットｄを検出し、ｐｉｘｏｎ再構成ユニット２２０に伝達する。ｐｉｘｏｎ再構成ユニット２２０は、特別に適応させたｐｉｘｏｎ再構成アルゴリズム２３０を使用して、取得したデータセットｄを画像物体Ｉに再構成する。その際、ｐｉｘｏｎ再構成アルゴリズム２３０は、システム行列Ｈを使用して、撮像システム２００の特性について記述し、画像物体Ｉの基礎であるデータモデルを調整することによって反復的に改良された画像物体を推定する。画像物体Ｉは、例えば、周知のレンダリング技法を使用して、ディスプレイ２４０上に表示される。

あらゆる物体ポイントに対し、ｐｉｘｏｎ写像Ｐは、最小限の複雑度方法に基づいて決定されるｐｉｘｏｎカーネル関数を提供する。このｐｉｘｏｎカーネル関数は、物体空間に適用されるｐｉｘｏｎ平滑化演算に使用される。

また、ｐｉｘｏｎ法は、データが得られた画素よりも微細な画素を有する画像を再構成するため、画像の非負性および最小限の複雑度を利用して、超解像度形式で圧縮センシング法を可能にすることができる。これは、非負性および最小限の複雑度の追加の条件のため、Ｎｙｑｕｉｓｔ（１９２８）およびＳｈａｎｏｎ（１９４９）による標本化定理に対する違反ではない（例えば、Ｐｕｅｔｔｅｒ ｅｔ ａｌ ２００５）。回折限界を超える空間周波数は、データにおいて切り捨てられ、画像において同様に再構成することができる。

図３は、ｐｉｘｏｎ法の例示的なプロセスフローを示す。Ｐｉｘｏｎ平滑化は、標準の再構成アルゴリズムに連続して適用される。

標準の再構成アルゴリズムを使用することで、入力画像を測定データセットｄに適合させる（ステップ３００）。上記で論じられるｐｉｘｏｎカーネル作用素Ｋの使用によれば、結果として生じる画像の推定は、疑似画像と呼ばれる。ｐｉｘｏｎ写像Ｐは、疑似画像および測定データセットｄを使用して決定される（ステップ３１０）。疑似画像は、ｐｉｘｏｎ平滑化演算（ステップ３２０）の初期の物体でもある。ｐｉｘｏｎ平滑化演算の間（ステップ３２０）、疑似画像の各物体ポイントは、ｐｉｘｏｎカーネル関数を通じて平滑化される（既存のｐｉｘｏｎ法のいくつかの変形形態では、ｐｉｘｏｎ写像は、各反復において、更新画像から計算することによって更新することもできる。

反復画像再構成方法は、画像モデルを測定データに反復的に適合させ、したがって、最終画像上の雑音の影響を最小限に抑える。再構成アルゴリズムの結果は、アルゴリズムの規則に従って、測定データセットｄに適合させた近似画像である。

ｐｉｘｏｎ法では、近似画像は、ｐｉｘｏｎ平滑化、ｐｉｘｏｎ再構成およびｐｉｘｏｎ写像の決定のための入力物体として使用することができる。

ｐｉｘｏｎ法は、物体と測定データセットｄとの適切な適合をともにサポートする、物体空間の各ポイントでの最大限広範なｐｉｘｏｎカーネル関数の検索を含む。具体的には、ｐｉｘｏｎ写像は、特定のｐｉｘｏｎカーネル関数を各物体ポイントに割り当てる。

そこからｐｉｘｏｎ写像を決定することができる疑似画像を計算する第１のステップには欠点があり得る。このプロセスは、より多くの計算を必要とし、アーチファクトを疑似画像に導入するというリスクを冒し、それにより、ｐｉｘｏｎ写像ひいては最終画像再構成にバイアスが付加され得る。その上、物体空間からデータ空間への変換が非局所的であれば、ｐｉｘｏｎ写像の決定はあまりうまくいかない（Ｂｈａｔｎａｇａｒ ＆ Ｃｏｒｎｗｅｌｌ ２００４）。例えば、干渉法および磁気共鳴画像法では、データは、画像（雑音が加わる）のフーリエ変換であり、各フーリエ波（画像の基底関数）は、画像全体に広がっている。別の例は、断層撮影における部分的に非局所的な変換である。データは、３Ｄ画像の２Ｄ投影（雑音が加わる）であり、投影方向に直角には局所的だが、投影方向に沿って非局所的である変換である。

前述を考慮すると、ｐｉｘｏｎ法内でｐｉｘｏｎ写像を決定するための改良された方法の必要性が存在する。

本明細書の発明によれば、３段階ｐｉｘｏｎ法の上述の困難は、反復の間、ｐｉｘｏｎ写像を計算して更新することによって回避される。改良された手法は、反復において画像の更新に使用される変数、すなわち、「更新変数」からｐｉｘｏｎ写像を決定し、反復の間、この更新変数を平滑化する。また、更新画像は、通常、反復の間に決定されたｐｉｘｏｎ写像を使用して、反復終了時にさらなる平滑化も行われる。対照的に、既存のｐｉｘｏｎ法は、更新された後に画像からｐｉｘｏｎ写像を決定し、そのｐｉｘｏｎ写像を用いて画像の平滑化へと進む。

本発明によれば、更新変数は、再構成方法に依存するが、通常、メリット関数の勾配または乗法更新係数である（例えば、Ｐｕｅｔｔｅｒ ｅｔ ａｌ ２００５）。この更新変数は、ｐｉｘｏｎカーネルによって平滑化され、各画像位置で選択されるカーネルは、平滑化による更新変数の変化の二乗と更新変数の分散との比率がそれおよびより狭いすべてのカーネルに対する既定の閾値よりも小さい最も広いカーネルである。次いで、通常、同じカーネルを使用して、次の反復に進む前に、その位置での更新画像の平滑化も行われる。さらなる改善により、「補間カーネル」が可能になる。本発明の一態様では、物理的なプロセスから得られたデータセットから物体モデルを再構成するための方法において、データセットは雑音を含む、方法は、データ空間で定義されたデータセットを受信するステップと、物体空間に物体モデルを構築するステップにおいて、物体モデルは複数の物体ポイントを含む、ステップと、物体空間からデータ空間への物体モデルの変換を考案してデータモデルをもたらすステップにおいて、変換はそれによりデータセットが得られる物理的なプロセスに相当する、ステップと、データモデルとデータセットとの適合を決定するためにメリット関数を選択するステップと、メリット関数に基づいて、物体空間の物体モデルの更新変数を決定するステップと、複数のｐｉｘｏｎカーネルの各々を用いて更新変数を畳み込み積分すること、および、入力物体の各物体ポイントに対して、既定の最低基準を満たす最大サイズを有するｐｉｘｏｎカーネルを選択することによって、更新変数を平滑化して、平滑化された更新変数を決定するステップと、選択されたｐｉｘｏｎカーネルに対応する入力物体の各物体ポイントでインデックスを割り当てることによって、ｐｉｘｏｎ写像を生成するステップと、ｐｉｘｏｎ写像内のインデックスに基づいて実質的に脱雑音された物体モデルを含む出力を生成するステップとを含む。一実施形態では、メリット関数は、共役勾配法を使用して決定され、更新変数は、負勾配（ｎｅｇｒａｄｉｅｎｔ）である。

本発明の別の態様では、ソフトウェアを含む非一時的なコンピュータ可読媒体は、物理的なプロセスから得られたデータセットから物体モデルを再構成するための命令において、データセットは雑音を含む、命令を含み、命令は、データ空間で定義されたデータセットを受信するステップと、物体空間に物体モデルを構築するステップにおいて、物体モデルは複数の物体ポイントを含む、ステップと、物体空間からデータ空間への物体モデルの変換を考案してデータモデルをもたらすステップにおいて、変換はそれによりデータセットが得られる物理的なプロセスに相当する、ステップと、データモデルとデータセットとの適合を決定するためにメリット関数を選択するステップと、メリット関数に基づいて、物体空間の物体モデルの更新変数を決定するステップと、複数のｐｉｘｏｎカーネルの各々を用いて更新変数を畳み込み積分すること、および、入力物体の各物体ポイントに対して、既定の最低基準を満たす最大サイズを有するｐｉｘｏｎカーネルを選択することによって、更新変数を平滑化して、平滑化された更新変数を決定するステップと、選択されたｐｉｘｏｎカーネルに対応する入力物体の各物体ポイントでインデックスを割り当てることによって、ｐｉｘｏｎ写像を生成するステップとを含む。例示的な実施形態では、メリット関数は、共役勾配法を使用して決定され、更新変数は、負勾配である。

図１は、本発明を実践することができる一般的なコンピューティング環境のブロック図である。 図２は、ｐｉｘｏｎ法に基づく従来の技術の撮像システムの概観である。 図３は、ｐｉｘｏｎ再構成のための従来の技術の手法を使用した画像再構成の例を示すフローチャートである。 図４は、本発明によるｐｉｘｏｎ法を使用した画像再構成の例を示すフローチャートである。 図５は、ｐｉｘｏｎ法を使用した代替の画像再構成プロセスの例を示すフローチャートである。 図６は、雑音なしの、正常な、陽子密度（ＰＤ）ＳＢＤの「真の」脳の画像を示す。 図７は、データ空間への図６の画像のフーリエ変換の絶対値の対数（底１０）を示す。 図８は、最も明るい画像ボクセルの３％の標準偏差でランダムな（白色）ガウス雑音が画像に追加された図６の画像を示す。 図９は、データ空間への図８の画像のフーリエ変換の絶対値の対数（底１０）を示す。 図１０は、高周波が切り捨てられ、利用可能な周波数の３分の１に制限された周波数適用範囲に相当する図９と同じデータを示す。図１０のデータは、図１１〜１４に示される画像の再構成への入力を含む。 図１１は、図１０のデータの単純な逆フーリエ変換を示し、相関（白色ではない）雑音と鋭い縁でのリンギングの２種類のアーチファクトを明示する。 図１２は、ｐｉｘｏｎ係数０．３での図１０のデータのｐｉｘｏｎ再構成の結果を示す。 図１３は、ｐｉｘｏｎ係数０．５での図１０のデータのｐｉｘｏｎ再構成の結果を示す。 図１４は、ｐｉｘｏｎ係数１．０での図１０のデータのｐｉｘｏｎ再構成の結果を示す。

本発明の態様について説明する前に、本発明を実装することができる適切なコンピューティングシステム環境１００（図１）について簡単に説明することは有益であり得る。コンピューティングシステム環境１００は、適切なコンピューティング環境の単なる一例であり、本発明の使用範囲または機能性に対していかなる限定も示唆することを意図しない。例示的な動作環境１００に示されるコンポーネントのうちの何れか１つもしくはその組合せに関連する依存関係を有するものとして、または、それに関連する要件を有するものとしての何れにも、コンピューティング環境１００を解釈してはならない。

本発明は、他の多くの一般用途または特殊用途のコンピューティングシステム環境または構成で動作可能である。本発明との使用に適し得る周知のコンピューティングシステム、環境および／または構成の例は、これらに限定されないが、パーソナルコンピュータ、サーバコンピュータ、ハンドヘルドまたはラップトップデバイス、マルチプロセッサシステム、マイクロプロセッサベースのシステム、セットトップボックス、プログラム可能家庭用電化製品、ネットワークＰＣ、ミニコンピュータ、メインフレームコンピュータ、電話システム、上記のシステムまたはデバイスの何れかを含む分散コンピューティング環境および同様のものを含む。

本発明は、コンピュータによって実行される、プログラムモジュールなどのコンピュータ実行可能命令の一般的状況において説明することができる。一般に、プログラムモジュールは、特定のタスクを実行するか、または、特定の抽象データタイプを実装するルーチン、プログラム、オブジェクト、コンポーネント、データ構造などを含む。当業者は、コンピュータ実行可能命令として本明細書の説明および／または図を実装することができ、コンピュータ実行可能命令は、以下で論じられるコンピュータ可読媒体のいかなる形式上でも実体化することができる。

また、本発明は、通信ネットワークを通じてリンクされるリモート処理デバイスによってタスクが実行される分散コンピューティング環境で実践することができる。分散コンピューティング環境では、プログラムモジュールは、メモリ記憶装置を含むローカルコンピュータ記憶媒体とリモートコンピュータ記憶媒体の両方に位置し得る。

図１を参照すると、本発明を実装するための例示的なシステムは、コンピュータ１１０の形式の一般用途のコンピューティングデバイスを含む。コンピュータ１１０のコンポーネントは、これらに限定されないが、処理ユニット１２０と、システムメモリ１３０と、システムメモリを含む様々なシステムコンポーネントを処理ユニット１２０と結合するシステムバス１２１とを含み得る。システムバス１２１は、様々なバスアーキテクチャの何れかを使用した、メモリバスまたはメモリコントローラ、周辺機器用バスおよびローカルバスを含む、いくつかのタイプのバス構造の何れでもあり得る。制限ではなく、例示として、そのようなアーキテクチャは、業界標準アーキテクチャ（ＩＳＡ）バス、マイクロチャネルアーキテクチャ（ＭＣＡ）バス、拡張ＩＳＡ（ＥＩＳＡ）バス、ビデオ電子機器規格協会（ＶＥＳＡ：Ｖｉｄｅｏ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｓｔａｎｄａｒｄｓ Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ）ローカルバスおよびメザニン（Ｍｅｚｚａｎｉｎｅ）バスとしても知られる周辺機器相互接続（ＰＣＩ）バスを含む。

コンピュータ１１０は、通常、様々なコンピュータ可読媒体を含む。コンピュータ可読媒体は、コンピュータ１１０からアクセスすることができる任意の利用可能な媒体であり得、揮発性媒体と不揮発性媒体の両方とも、着脱可能な媒体と着脱不能な媒体の両方とも含む。制限ではなく、例示として、コンピュータ可読媒体は、コンピュータ記憶媒体および通信媒体を備え得る。コンピュータ記憶媒体は、コンピュータ可読命令、データ構造、プログラムモジュールまたは他のデータなどの情報の格納のための任意の方法または技術で実装される揮発性媒体と不揮発性媒体の両方とも、着脱可能な媒体と着脱不能な媒体の両方とも含む。コンピュータ記憶媒体は、これらに限定されないが、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、フラッシュメモリもしくは他のメモリ技術や、ＣＤ−ＲＯＭ、デジタル多用途ディスク（ＤＶＤ）もしくは他の光ディスク記憶装置や、磁気カセット、磁気テープ、磁気ディスク記憶装置もしくは他の磁気記憶装置や、所望の情報の格納に使用することができ、コンピュータ１１０からアクセスすることができる他の任意の媒体を含む。通信媒体は、通常、コンピュータ可読命令、データ構造、プログラムモジュール、または、搬送波もしくは他の輸送メカニズムなどの変調データ信号の他のデータを実体化し、任意の情報搬送媒体を含む。「変調データ信号」という用語は、信号の情報を符号化するように設定または変更されたその特性の１つまたは複数を有する信号を意味する。制限ではなく、例示として、通信媒体は、有線ネットワークまたは有線直結接続などの有線媒体や、音響、ＲＦ、赤外線および他の無線媒体などの無線媒体を含む。また、上記の何れの組合せも、コンピュータ可読媒体の範囲内に含めるべきである。

システムメモリ１３０は、読み取り専用メモリ（ＲＯＭ）１３１およびランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）１３２などの揮発性および／または不揮発性メモリの形式のコンピュータ記憶媒体を含む。起動中になど、コンピュータ１１０内の要素間での情報の転送を支援する基本的なルーチンを含む、基本的な入力／出力システム１３３（ＢＩＯＳ）は、通常、ＲＯＭ １３１に格納される。ＲＡＭ １３２は、通常、処理ユニット１２０からの速やかなアクセスが可能なおよび／または処理ユニット１２０上で現在動作中のデータおよび／またはプログラムモジュールを含む。制限ではなく、例示として、図１は、オペレーティングシステム１３４、アプリケーションプログラム１３５、他のプログラムモジュール１３６およびプログラムデータ１３７を示す。

また、コンピュータ１１０は、他の着脱可能／着脱不能な揮発性／不揮発性のコンピュータ記憶媒体も含み得る。単なる例示として、図１は、着脱不能な不揮発性の磁気媒体から読み取るかまたは同磁気媒体へ書き込むハードディスクドライブ１４１や、着脱可能な不揮発性の磁気ディスク１５２から読み取るかまたは同磁気ディスク１５２へ書き込む磁気ディスクドライブ１５１や、ＣＤ−ＲＯＭまたは他の光学媒体などの着脱可能な不揮発性の光ディスク１５６から読み取るかまたは同光ディスク１５６へ書き込む光ディスクドライブ１５５を示す。例示的な動作環境で使用することができる他の着脱可能／着脱不能な揮発性／不揮発性のコンピュータ記憶媒体は、これらに限定されないが、磁気カセットテープ、フラッシュメモリカード、デジタル多用途ディスク、デジタルビデオテープ、ソリッドステートＲＡＭ、ソリッドステートＲＯＭおよび同様のものを含む。ハードディスクドライブ１４１は、通常、インターフェース１４０などの着脱不能なメモリインターフェースを通じてシステムバス１２１に接続され、磁気ディスクドライブ１５１および光ディスクドライブ１５５は、通常、インターフェース１５０などの着脱可能なメモリインターフェースによってシステムバス１２１に接続される。

上記で論じられ、図１に示されるドライブおよびそれらの関連コンピュータ記憶媒体は、コンピュータ可読命令、データ構造、プログラムモジュールおよびコンピュータ１１０のための他のデータの格納を提供する。図１では、例えば、ハードディスクドライブ１４１は、オペレーティングシステム１４４、アプリケーションプログラム１４５、他のプログラムモジュール１４６およびプログラムデータ１４７を格納するものとして示されている。これらのコンポーネントは、オペレーティングシステム１３４、アプリケーションプログラム１３５、他のプログラムモジュール１３６およびプログラムデータ１３７と同じであっても異なるものであってもよいことに留意されたい。ここでは、オペレーティングシステム１４４、アプリケーションプログラム１４５、他のプログラムモジュール１４６およびプログラムデータ１４７には、最低でもそれらが異なるコピーであることを示すために異なる番号が与えられている。

ユーザは、キーボード１６２や、マイクロホン１６３（電話を通じて提供される入力も表し得る）や、マウス、トラックボールまたはタッチパッドなどのポインティングデバイス１６１などの入力デバイスを通じて、コマンドおよび情報をコンピュータ１１０に入力することができる。他の入力デバイス（図示せず）は、ジョイスティック、ゲームパッド、衛星放送受信アンテナ、スキャナまたは同様のものを含み得る。これらのおよび他の入力デバイスは、しばしば、システムバスと結合されたユーザ入力インターフェース１６０を通じて処理ユニット１２０に接続されるが、パラレルポート、ゲームポートまたはユニバーサルシリアルバス（ＵＳＢ）などの他のインターフェースおよびバス構造によって接続することもできる。また、モニタ１９１または他のタイプのディスプレイデバイスも、ビデオインターフェース１９０などのインターフェースを介してシステムバス１２１に接続される。モニタに加えて、コンピュータは、スピーカ１９７およびプリンタ１９６などの他の周辺出力デバイスも含み得、これらは、出力周辺インターフェース１９５を通じて接続することができる。

コンピュータ１１０は、リモートコンピュータ１８０などの１つまたは複数のリモートコンピュータへの論理接続を使用して、ネットワーク接続環境で動作することができる。リモートコンピュータ１８０は、パーソナルコンピュータ、ハンドヘルドデバイス、サーバ、ルータ、ネットワークＰＣ、ピアデバイスまたは他の共通のネットワークノードであり得、通常、コンピュータ１１０に関連して上記で説明される要素の多くまたはすべてを含む。図１に描写される論理接続は、ローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）１７１および広域ネットワーク（ＷＡＮ）１７３を含むが、他のネットワークも含み得る。そのようなネットワーク環境は、オフィス、企業規模のコンピュータネットワーク、イントラネットおよびインターネットではありふれたものである。

ＬＡＮネットワーク環境で使用される場合、コンピュータ１１０は、ネットワークインターフェースまたはアダプタ１７０を通じてＬＡＮ １７１に接続される。ＷＡＮネットワーク環境で使用される場合、コンピュータ１１０は、通常、インターネットなどのＷＡＮ １７３上での通信を確立するためのモデム１７２または他の手段を含む。内蔵型でも外付け型でもあり得るモデム１７２は、ユーザ入力インターフェース１６０を介してシステムバス１２１に、または、他の適切なメカニズムに接続することができる。ネットワーク接続環境では、コンピュータ１１０に関連して描写されるプログラムモジュールまたはその部分は、リモートメモリ記憶装置に格納することができる。制限ではなく、例示として、図１は、リモートコンピュータ１８０上に存在するものとしてリモートアプリケーションプログラム１８５を示す。示されるネットワーク接続は例示的なものであり、コンピュータ間で通信リンクを確立する他の手段を使用することができることが理解されよう。

この出願内では、「ｐｉｘｏｎ」を使用して、米国特許第５，９１２，９９３号明細書、第６，８９５，１２５号明細書および他の関連特許で説明されているような、ｐｉｘｏｎ法、すなわち、画像物体を平滑化する際の物体ポイント特有の形状の使用について言及する用語、方法、目的などを示す。例えば、割り当てられる形状は、ｐｉｘｏｎカーネル関数によって定義され、ｐｉｘｏｎ写像Ｐは、どのｐｉｘｏｎカーネル関数が各物体ポイントに割り当てられるかについての情報を格納する。

データへの適合は、雑音を伴う逆問題の解である。データは以下の通りモデル化される。
ｄ＝Ｈ（Ｉ）＋ε （１）
式中、ｄは、測定データを含むアレイであり、Ｉは、適合パラメータを含むアレイであり、Ｈは、パラメータ空間からデータ空間への変換関数であり、εは、データへの雑音寄与を含むアレイである。例示の目的で、画像再構成に適切な表記法が数１で使用される、すなわち、ｄは、画素データであり、Ｉは、再構成画像である。しかし、本明細書の発明は、ｐｉｘｏｎ法を使用して解くことができる任意の雑音を伴う逆問題への広範な応用を有するため、この例は、限定することを意図しない。

多くの応用に対し、変換Ｈは線形であり、数１は以下の通り記載することができる。
ｄ＝ＨＩ＋ε （２）
式中、ｄおよびＩはベクトルとして、Ｈは行列として（システム行列として知られる）扱われる。以下の論考は、数２が線形の場合に制限されるが、線形化することによって、すなわち、Ｈ（Ｉ）がほぼ線形である制限された画像ドメインを考慮することによって、非線形問題に一般化することができる。

実際には、ｄおよびＩは、多次元であり得、同じ次元性（例えば、断層撮影において）を有することさえ必要ないことに留意されたい。しかし、長ベクトルとして多次元の画素を常に配列することができ、Ｈを行列と見なすことができる。以下のデータモデルは、雑音がないデータの信号部分である。
ｍ＝ＨＩ＝ｄ−ε （３）
また、データの期待値でもある。
ｍ＝Ｅ（ｄ） （４）
その理由は、雑音の期待値は、一般性を失うことなく、すべてのデータのポイントに対して同様にゼロに設定することができるためである。
Ｅ（ε）＝０ （５）
雑音の共分散行列は、一般に、ゼロではなく、位置（画素位置）および／またはデータモデル値の関数であり得る。
Ｖ（ε）＝Ｖ（ｍ） （６）
通常、データポイントは独立しており、したがって、Ｖは対角行列であるが、相関データも存在し得、その場合、Ｖはゼロではない非対角要素である。

画像再構成は、データｄ、システム行列Ｈおよび雑音εの統計モデルを考慮して、画像Ｉに対して数２（または、より一般的には、数１）を解く逆問題である。以下のデータモデルを考慮して、データのメリット関数を最適化することによってそれを解く。

メリット関数の選択は、雑音統計に依存する。通常、対数尤度関数（ＬＬＦ）となるように選択され、最尤法に関連する（例えば、Ｐｕｅｔｔｅｒ ｅｔ ａｌ ２００５）。

ガウス雑音の場合、ＬＬＦは、χ^２まで減少する。

式中、ｉの総和は、データ画素の範囲を移動し、αの総和は、画像画素の範囲を移動し、σ_ｉは、画素ｉの雑音のガウス標準偏差である。ガウスＬＬＦは、画像Ｉにおいて二次であるという利点を有し、したがって、Ｉに対するその勾配は、Ｉにおいて線形である。

ポアソン雑音の場合、ＬＬＦは、より複雑な非線形関数である。

上記関数は、非線形最適化（例えば、Ｐｒｅｓｓ ｅｔ ａｌｌ ２００７）によって、または、代理関数（Ｌａｎｇｅ，Ｈｕｎｔｅｒ ＆ Ｙａｎｇ １９９９）を使用することによって解くことができる。Ｍｉｇｈｅｌｌ（１９９９）は、代わりに、ポアソンＬＬＦに二次近似を使用することを推奨し、それにより、低カウントの極限でさえも、バイアスのないデータモデルが生じる。

メリット関数を最適化するための多くの方法が存在するが、システム行列Ｈおよびその転置行列Ｈ^Ｔが大きくなり過ぎて、スパース行列技法を使用したとしても、計算も格納もできず、作用素としてのみ適用することができるため、適切な大規模問題はほとんどない。これにより、基本的には、期待値最大化（ＥＭ）法（Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ １９７２、Ｌｕｃｙ １９７４、Ｄｅｍｐｓｔｅｒ，Ｌａｉｒｄ ＆ Ｒｕｂｉｎ １９７７、Ｓｈｅｐｐ ＆ Ｖａｒｄｉ １９８２）または共役勾配（ＣＧ）法（Ｆｏｘ，Ｈｕｓｋｅｙ ＆ Ｗｉｌｋｉｎｓｏｎ １９４８、Ｈｅｓｔｅｎｅｓ ＆ Ｓｔｉｅｆｅｌ １９５２、Ｐｒｅｓｓ ｅｔ ａｌ ２００７）の２つの方法に委ねられる。順序部分集合期待値最小化（ＯＳＥＭ：Ｏｒｄｅｒｅｄ−ｓｕｂｓｅｔｓ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ）は、ＥＭの加速変形態であり、各反復においてデータの部分集合のみを使用する（Ｈｕｄｓｏｎ ＆ Ｌａｒｋｉｎ １９９４）。同じ手順をＣＧにも適用することができる。

ＣＧ法は、メリット関数の逐次最小下り勾配を見出すことによって進める。より正確には、ＣＧ法は、勾配の線形結合である共役勾配方向を使用する（例えば、Ｐｒｅｓｓ ｅｔ ａｌ ２００７）。有用な概念は、負勾配の概念であり、それは、画像に対するメリット関数の負の勾配の半分として定義される。数８のガウスメリット関数の場合、負勾配は以下の通りである。

ベクトル行列表記法では、数１１は以下の通り記載することができる。
Ｇ＝Ｈ^ＴＶ^−１ｒ （１２）
式中、以下が当てはまる。
ｒ＝ｄ−ｍ＝ｄ−ＨＩ （１３）
数１３は残差であり、雑音の分散は以下の通りである。
Ｖ＝Ｄｉａｇ（σ^２）（ガウス雑音分散） （１４）
式中、Ｄｉａｇ（σ^２）は、対角要素がσ^２（標準偏差の二乗）である対角行列を示す。

ポアソン雑音の場合、Ｍｉｇｈｅｌｌ（１９９９）

メリット関数の負勾配は、以下の通りである。

Ｍｉｇｈｅｌｌポアソン負勾配もまた、画像Ｉにおいて線形であり、数１２のコンパクトなベクトル行列表記法で記載することができる。式中、残差は以下の通りである。
ｒ＝ｄ＋Ｍｉｎ（ｄ、１）−ｍ＝ｄ＋Ｍｉｎ（ｄ、１）−ＨＩ（Ｍｉｇｈｅｌｌ残差） （１６）
雑音分散は以下の通りである。
Ｖ＝Ｄｉａｇ（ｄ＋１）（Ｍｉｇｈｅｌｌ雑音分散） （１７）
ＣＧ法は、プレコンディショナを追加し（例えば、Ｇｏｌｕｂ ＆ Ｖａｎ Ｌｏａｎ １９９６、Ｓａａｄ ２００３）、メリット関数の勾配を数１８で置き換えることによって大いに加速することができる。
Ｇ＝Ｐ^−１Ｈ^ＴＶ^−１ｒ（プレコンディショナ付き負勾配） （１８）
Ｐｘ＝ｂ （１９）
式中、数１９の線形方程式は、容易に解くことができる。結果として生じる方法は、前処理付き共役勾配（ＰＣＧ）法として知られている。

また、制約は、しばしば、凸集合への射影方法によって取り扱うことができる（Ｂｉｅｍｏｎｄ，Ｌａｇｅｎｄｉｊｋ ＆ Ｍｅｒｓｅｒｅａｕ １９９０）。例えば、非負性Ｉ≧０は、単に画像の負の成分のゼロ未満を切り捨て、まるで切り捨てを行わなかったかのように続行することによって各反復後に課すことができる（Ｐｕｅｔｔｅｒ ｅｔ ａｌ．２００５）。また、各反復において、その反復時にゼロ画像値を有する画素でのいかなる負の共役勾配成分もゼロに設定することも有益である。これは、最小化の終了時に結果として生じる負の画像値のゼロ未満が切り捨てられるのを見るためだけにこれらの画素が最小化に加わるのを防ぐ。

本明細書の発明では、ｐｉｘｏｎ写像は、更新された後の画像からではなく、更新変数から決定され、更新変数は、このｐｉｘｏｎ写像に従って平滑化される。これは、各反復において、ｐｉｘｏｎ写像が更新され、更新変数が平滑化されるため、初期の疑似画像を計算する必要性を除去する。

ＣＧ法の場合、更新変数は、負勾配（数１２）と捉えられる（前処理付き負勾配（数１８）は、類似した様式で取り扱われる）。負勾配は、ｐｉｘｏｎカーネルライブラリのカーネルによって平滑化され、各画像位置で選択されるカーネルは、平滑化による負勾配の変化の二乗と負勾配の分散との比率がそれおよびより狭いすべてのカーネルに対する既定の閾値よりも小さい最も広いカーネルである。

具体的には、カーネル関数のライブラリは、物体空間上で選択され、定義される。
Ｋ^（ｊ）（τ）ｊ＝１，．．．，Ｊ （２０）
カーネル関数の第０および第１のモーメントは以下の通り設定される。

そして、第２のモーメントは、低い方から順に配列される。

式中、積分は、実際には、画素の総和で近似される。第２のモーメントは、通常、マルチスケール画像構造の最適特性化のための上昇等比級数を形成するように設計される。数２１〜２３では次元性が重要であり、したがって、以前に使用された１Ｄ画像画素インデックスαはベクトルインデックスτおよびｘで置き換えられることに留意されたい。

次いで、一連の平滑化された負勾配の変化ΔＧ^（ｊ）は、カーネルの各々を用いて順に負勾配を畳み込み積分し、元の負勾配を減ずることによって得られる。

次いで、ｐｉｘｏｎ写像は、各画素で、選択されたインデックスが、各画素の平滑化された負勾配の変化の二乗が負勾配のｐ^２の倍数以下である最大のものであるような、インデックスの画像である。

式中、ｐは、以下で論じられるｐｉｘｏｎ係数である。平滑化された負勾配は、そのｐｉｘｏｎインデックスに対応する平滑化された負勾配の変化を各画像画素での負勾配に加えることによって得られる。

ユーザが調整可能なｐｉｘｏｎ係数ｐがｐｉｘｏｎ平滑化の強度を制御することは、数２５から容易に理解されよう。ｐが大きい程、いかなる画素ｘでも数２５を満たすことができるｊは大きくなり、それにより、Ｍ（ｘ）の値が増加する。その結果、負勾配は、より強く平滑化される（数２６）。対照的に、ｐが小さい程、ｊをより小さい値に制限することができ、それにより、Ｍ（ｘ）の値が減少し、より弱く平滑化される。結論として、ユーザは、ｐを調整し、雑音と平滑化との間のトレードオフを設定することができる。ｐが大きい程、分解能のいくらかの損失を犠牲にして、雑音をより良く抑える一方で、ｐが小さい程、高雑音レベルを犠牲にして、より良い分解能を保つ。

図４は、画像再構成プロセスでｐｉｘｏｎ写像を決定するための改良された方法を用いた例示的なフローチャートを示す。ステップ４００では、画像再構成は、数７のデータモデルを考慮してデータｄのメリット関数を最適化することによって開始する。例示的な実施形態では、共役勾配（ＣＧ）法が使用される。ステップ４０２では、ＣＧ法は、負勾配の決定に使用され、負勾配は、更新変数（ＵＶ）として使用される。ステップ４０４では、負勾配は、ＵＶを平滑化するため、ｐｉｘｏｎカーネルライブラリ４０６からのカーネルの各々を用いて畳み込み積分される。各画像位置で選択されるカーネルは、平滑化による更新変数の変化の二乗と更新変数の分散との比率がそれおよびより狭いすべてのカーネルに対する既定の閾値よりも小さい最も広いカーネルである。ｐｉｘｏｎ写像４１０は、選択されたカーネルのインデックスの画像を使用して形成される。また、通常、次の反復に進む前のその同じ位置での更新画像４０８の平滑化には、同じカーネルが使用される。既存のｐｉｘｏｎ法ごとに、反復的に改良された画像は、出力画像Ｉの基礎であり、ディスプレイ上に表示する、および／または、メモリ媒体に格納することができる。

以前に述べた通り、画像再構成への例示的な応用は、限定することを意図せず、改良された方法は、ｐｉｘｏｎ法を使用するいかなる信号再構成プロセスにも適用可能である。カーネル関数は、非局所的なものに一般化することが可能であり、それにより、より複雑な平滑化を実行する。例えば、多くの同一の窓を含むアパートの画像では、単一の非連続カーネルを使用して、画像のすべての窓をまとめて平滑化することが可能である。あるいは、データは、例えば、株価など、幾何学的意味を全く有さない場合があり、その場合、画素化は、株のための何らかのインデックススキームと置き換えられる。畳み込み積分（数２４）は、そのようなシステムに対して、より一般的な関係で置き換えられる。

通常、数２１と同様の正規化条件を維持することが有益である。

しかし、数２２〜２３はもはや重要ではなく、問題特有の条件で置き換えなければならない。重要な点は、ｐｉｘｏｎ法に関する限り、数２５〜２６が重要なままであり続けるように、カーネル関数が望ましい順を維持することである。

さらなる改善は、試験的な負勾配間に補間することによって、「分数インデックス」および「中間カーネル」を用いて連続ｐｉｘｏｎ写像を形成することである。これは、負勾配をさらに平滑化する、および／または、より少ないカーネル関数の使用を可能にする。中間ｐｉｘｏｎインデックスは、Ｍ（ｘ）＋δ（ｘ）と定義され、式中、Ｍ（ｘ）は、数２５によって指定される整数ｐｉｘｏｎインデックスであり、δ（ｘ）は、ΔＧ（ｘ）^２／Ｖ（Ｇ（ｘ））をｐ^２に線形補間する増分である。

そして、数２６は数３０で置き換えられる。

これは、補間カーネルの使用に相当する。

反復ＣＧ法は、平滑化された負勾配が元の平滑化されていない負勾配を置き換えた状態で、通常通り進める（例えば、Ｐｒｅｓｓ ｅｔ ａｌ ２００７）。

また、それ自体が数３１の補間カーネルを使用した状態で、連続ｐｉｘｏｎ写像Ｍ（ｘ）＋δ（ｘ）を平滑化することも有益である。この背後にある論拠は、ｐｉｘｏｎ写像が、画像の各位置で、その位置でのｐｉｘｏｎインデックスに適切なｐｉｘｏｎカーネルの幅の規模で、平滑であるべきであるということである。したがって、それ自体でのｐｉｘｏｎ写像の平滑化は、有意な追加の平滑化を画像に導入してはならないが、アーチファクトを平滑化する場合があり、ｐｉｘｏｎ写像を計算するプロセスに導入されている場合がある。

更新画像は通常、補間カーネル（数３１）によって反復後にさらに平滑化される。しかし、負勾配を適正に平滑化するカーネルは全画像を過度に平滑化する傾向にあるため、追加の平滑化は、反復での解の何らかの振動につながり得る。振動を抑える簡単な方法は、現行のおよび前回の反復で決定されたカーネルの平均を用いて画像を平滑化することである（第１の反復に対し、「前回の」カーネルは、デルタ関数である）。

図５は、補間カーネルを使用して、画像再構成プロセスでｐｉｘｏｎ写像を決定するための改良された方法を用いた例示的なフローチャートを示す。ステップ５００では、画像再構成は、数７のデータモデルを考慮してデータｄのメリット関数を最適化することによって開始する。例示的な実施形態では、共役勾配（ＣＧ）法が使用される。ステップ５０２では、ＣＧ法は、負勾配の決定に使用され、負勾配は、更新変数（ＵＶ）として使用される。ステップ５０４では、負勾配は、ＵＶを平滑化するため、ｐｉｘｏｎカーネルライブラリ５０６からのカーネルの各々を用いて畳み込み積分される。各画像位置で選択されるカーネルは、更新変数の変化の二乗と更新変数の分散との比率がそれおよびより狭いすべてのカーネルに対する既定の閾値よりも小さい最も広いカーネルである。ｐｉｘｏｎ写像５１０は、選択されたカーネルのインデックスの画像を使用して形成される。ｐｉｘｏｎカーネルライブラリからのカーネルを用いた畳み込み積分が完了すると、ステップ５０８において、補間カーネルを生成して、ｐｉｘｏｎ写像の作成に使用されるＵＶをさらに平滑化することができる。次の反復に進む前のその位置での更新画像５１２の平滑化には、同じ補間カーネルを使用することができる。既存のｐｉｘｏｎ法ごとに、反復的に改良された画像は、出力画像Ｉの基礎であり、ディスプレイ上に表示する、および／または、メモリ媒体に格納することができる。

ｐｉｘｏｎ写像の決定に極めて重要な負勾配の分散は、データが統計的に独立している場合であっても、システム行列の転置行列Ｈ^Ｔ（数１２）が画像画素間で相関を生み出すため、慎重に計算しなければならない。いくつかの事例では、例えば、Ｈ^Ｔがフーリエ変換であれば、負勾配の分散は、分析的に計算することができる。他の事例では、大規模問題に対する分散を計算するための便利なモンテカルロ法は、データを多くの非重複データ部分集合に分割し、残差ｒを雑音εのランダム実現と置き換えて、各部分集合に対して、数１２から負勾配Ｇを計算するためのものである。
Ｇ（ｓ）＝Ｈ^ＴＶ^−１ε^（ｓ）（部分集合勾配） （３２）
式中、上付き文字ｓは、部分集合を指定する。

雑音の期待値は各画素においてゼロであるため（数５）、各部分集合勾配の期待値もまたゼロである。
Ｅ（Ｇ^（ｓ））＝０ （３３）
したがって、大多数の部分集合の極限では、負勾配の分散は、部分集合勾配の二乗の和に近似され得る。

分散のモンテカルロ推定の相対誤差は以下の通りである。
Δ（Ｖ（Ｇ）／Ｖ（Ｇ）〜Ｓ^−１／２ （３５）
式中、Ｓは、部分集合の数である。

ガウス雑音の場合、負勾配の分散は、雑音の標準偏差σのみに依存し、データにも画像にも依存しないことに留意されたい。したがって、負勾配の分散は、反復とともには変化せず、画像再構成の開始時に一度計算すれば十分である。

数１５の項［ｄ_ｉ＋１］^−１は複雑で非線形的な方法で雑音を伴うデータに依存するため、Ｍｉｇｈｅｌｌ

のポアソン負勾配については厳密には同じことは言えない。しかし、実践により、これらの項の分散は、残差
Ｖ（ｒ）≒ ｄ （ポアソン残差の分散）（３６）
の分散ほど重要ではないことが示されており、データから近似され得る。
したがって、数３６の残差の近似分散は、データに依存する一方で、画像には依存しない。したがって、反復とともに変化することもなく、また、画像再構成の開始時に一度計算することができる。

また、類似のｐｉｘｏｎ法は、ＥＭ再構成にも適用することができる。しかし、そこには、乗法更新係数の分散（Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ １９７２、Ｌｕｃｙ １９７４、Ｓｈｅｐｐ ＆ Ｖａｒｄｉ １９８２）は、反復とともに変化し、各反復において再度計算する必要があるという問題が存在する。これは、ＥＭ法の周知のより遅い分解能回復に加えて、計算量をかなり増加させ、同程度の分解能回復にかなり多くの反復を必要とする。統合すると、これらの考慮事項は、ＥＭ法よりもＣＧ法を使用することに賛成する根拠を示す。

ｐｉｘｏｎ法を使用した入力信号の再構成への本発明の方法の応用の以下の実施例。これらの実施例は、単なる例示であり、限定することを意図しない。

実施例１：開口合成法
開口合成法は、望遠鏡のアレイからの信号を混合して、全アレイサイズの機器と同じ角分解能を有する画像を生成する一種の干渉法である。各距離間隔および方位において、干渉計のローブパターンは、観測された物体の輝度の空間分布のフーリエ変換の一成分である出力を生成する。発信元の画像（または「写像」）は、これらの測定値から生成される。開口合成法は、入力信号の振幅と位相の両方とも各望遠鏡によって測定される場合にのみ可能である。電波の場合、これは、電子機器によって可能である一方で、可視光線の場合、電磁場を直接測定してソフトウェアで相関させることはできないが、感度の高い光学機器によって伝播され、光学的に干渉されなければならない。

高品質の画像を生成するため、異なる望遠鏡間の複数の異なる距離間隔が必要とされる（電波源から見える任意の２つの顕微鏡間の投影された距離間隔は基線と呼ばれる）、すなわち、良質の画像を得るため、できる限り多くの異なる基線が必要とされる。ｎ個の望遠鏡のアレイに対する基線の数（ｎｂ）は、ｎｂ＝（ｎ^２−ｎ）／２によって得られる。例えば、天体用の電波望遠鏡の中で、超大型電波干渉計（ＶＬＡ）は、２７個の望遠鏡を有し、一度に３５１個の独立した基線を与える一方で、アタカマ大口径ミリ波／サブミリ波合成電波望遠鏡（ＡＬＭＡ）が現在建設中であり、完成すると、６６個の望遠鏡を有し、２１４５個の独立した基線を与えることになる。大抵の開口合成干渉計は、地球の回転を使用して、観測に含まれる基線方位の数を増加する。地球の回転が望遠鏡を新しい基線に移動させるため、追加の望遠鏡を購入する必要も、手動で望遠鏡を動かす必要もなく、異なる時間にデータを取ることにより、異なる望遠鏡距離間隔および角度を有する測定値が提供される。さらに、個々の望遠鏡の異なる構成への移動を可能にすることによって、柔軟性が提供され、それにより、強力で可変の「ズーム」がアレイに提供される。

開口合成法の他の応用は、干渉合成開口レーダ（ＩｆＳＡＲまたはＩｎＳＡＲ）、合成開口レーダ（ＳＡＲ）および逆合成開口レーダ（ＩＳＡＲ）、合成開口ソーナー、ビーム形成および合成開口磁気測定を含む。

元々は、ある最大限までは、本質的にはあらゆる基線長および方位で、測定を行うことが必要であると考えられ、そのような完全に抽出されたフーリエ変換は、正式には、最大基線と等しい開口直径を有する従来の望遠鏡からの画像と全く等しい情報を含むため、開口合成という名が付けられている。多くの事例において、有用な画像は、非線形画像再構成方法を利用して、比較的スパースな不規則な基線セットで作成できることはすぐに発見された。

ｐｉｘｏｎ法は、そのような強力な非線形画像再構成方法の１つであるが、その使用は、フーリエ変換の非局所的な性質によって妨げられた（Ｂｈａｔｎａｇａｒ ＆ Ｃｏｒｎｗｅｌｌ ２００４）。本明細書の発明におけるｐｉｘｏｎ写像を決定する新しい方法は、この障害を克服することができる。

実施例２：磁気共鳴画像法
磁気共鳴画像法（ＭＲＩ）は、詳細な内部構造を可視化するために放射線学で使用される医用画像技法である。ＭＲＩは、核磁気共鳴の特性を利用して、人体内の原子核を画像化する。ＭＲＩマシンは、強力な磁場を使用して人体の何らかの原子核の磁化を整合し、高周波磁場を使用してこの磁化の整合を系統的に変更する。これにより、核は、スキャナで検出可能な回転磁場を生成し、この情報は、人体のスキャンエリアの画像を構築するために記録される。磁場勾配により、異なる位置の核は、異なる速度で回転する。異なる方向に勾配を使用することで、２Ｄ画像または３Ｄボリュームを任意の向きで得ることができる。ＭＲＩは、人体のあらゆる部分の画像化に使用され、脳、筋肉、結合組織およびほとんどの腫瘍など、多くの水素核を有し、密度コントラストがほとんどない組織に対して特に有益である。

人体は、主に、水分子で構成されている。各水分子は、２つの水素核または陽子を有する。ある人物がスキャナの強力な磁場の中にいる場合、多くの陽子の平均磁気モーメントは、磁場の方向と整合することになる。高周波送信機が短時間オンにされ、変動電磁場が生成される。この電磁場は、吸収、磁場での陽子のスピンの反転にまさに適切な、共鳴周波数として知られる周波数を有する。電磁場がオフにされた後、陽子のスピンは熱力学的平衡に戻り、バルク磁化は静磁場と再度整合されるようになる。この緩和の間、高周波信号が生成され、高周波信号は受信コイルで測定することができる。異なる組織の陽子は、異なる緩和率でその平衡状態に戻る。スピン密度、Ｔ１およびＴ２緩和時間、フローおよびスペクトルシフトを含む異なる組織変数を使用して画像を構築することができる。スキャナの設定を変えることにより、この効果を使用して、機能的ＭＲＩ（ｆＭＲＩ）および拡散ＭＲＩと同様に、異なるタイプの人体組織間または他の特性間のコントラストを作成することができる。

３Ｄ空間における信号の起源についての情報は、スキャン中に追加の磁場を印加することによって学習することができる。勾配磁場コイル中に電流を通すことによって生成されるこれらの磁場は、磁石内の位置に応じて磁場の強度を変動させる。これはまた、予測できる方法で、放出された電波信号の周波数をその起源に依存させるため、通常、逆フーリエ変換を使用することによって、数学的に信号から人体の陽子の分布を回復することができる。

ＭＲＩの主な限度はスキャンの持続時間であり、それは、患者の苦痛を増やし、患者スループットを低下させる。ＭＲＩスキャンは、２つの方法のうちの１つでまたはそれらの組合せで速度を上げることができる。各高周波でのスキャンの持続時間を短縮することができる、および／または、スキャンされる高周波の数を減少することができる。前者は、雑音の増加へとつながり、後者は、不完全な周波数適用範囲をもたらし、開口合成法と同様の技法が必要とされる。非線形ｐｉｘｏｎ画像再構成は、以下に示されるように、雑音の低減を支援し、紛失しているフーリエデータを補うことができる。

残念ながら、ｉｎ ｖｉｖｏで得られたＭＲＩデータの分析のための「グラウンドトゥルース（ｇｒｏｕｎｄ ｔｒｕｔｈ）」も究極の判断基準も存在しない。したがって、シミュレートされた脳のデータベース（ＳＢＤ）は、ＭｃＧｉｌｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙで構築された（ｗｗｗ．ｂｉｃ．ｍｎｉ．ｍｃｇｉｌｌ．ｃａ／ｂｒａｉｎｗｅｂで公的に利用可能なデータベース、Ｋｗａｎ，Ｅｖａｎｓ ＆ Ｐｉｋｅ １９９９）。ＳＢＤは、ＭＲＩシミュレータによって生成された現実的なＭＲＩデータ量セットを含む。神経画像コミュニティでこれらのデータを使用して、真実が知られている設定での様々な画像分析方法の性能を評価することができる。

現在、ＳＢＤは、健常者および多発性硬化症（ＭＳ）患者の２つの解剖学的モデルに基づくシミュレートされた脳のＭＲＩデータを含む。これらの両者とも、３つのシーケンス（Ｔ１強調、Ｔ２強調および陽子密度（ＰＤ）強調）ならびに様々なスライス厚、雑音レベルおよび強度不均一性レベルを使用して、完全な三次元データ量がシミュレートされた。これらのデータは、三面図（横断面、矢状面および冠状面）での閲覧やダウンロードに利用可能である。ＳＢＤの作成についてのさらなる詳細は、公的資源を通じて利用可能である。

図６は、雑音なしの、正常な、陽子密度（ＰＤ）ＳＢＤの「真の」脳の画像を示し、図７は、データ空間へのその変換の絶対値の対数（底１０）を示す。両図において、上側のパネルは、冠状スライス（左側のパネル）および矢状スライス（右側のパネル）を示す。下側のパネルは、横断スライスである。物体空間からデータ空間への変換は、２Ｄフーリエ変換からなり、一度に一横断スライスずつ行われ、ゼロ周波数を中心に表示するため、そのディスプレイは、横方向に周期的にシフトされた。図８は、最も明るい画像ボクセルの３％の標準偏差でランダムな（白色）ガウス雑音が画像に追加された図６の画像を示す。図９は、データ空間への図８のフーリエ変換を示す。雑音は高周波でデータを支配しているように見える（データ表示の横方向周辺）。図１０は、高周波が切り捨てられ、利用可能な周波数の３分の１に制限された周波数適用範囲に相当する図９と同じデータを示す。図１０のデータは、画像の再構成への入力を含む。

図１１は、データの単純な逆フーリエ変換を示し、２種類のアーチファクトを示す。第１に、雑音は画像全体にわたって明確に見られ、データの遮断周波数のため、それは、もはや無相関の白色雑音ではない。第２に、Ｇｉｂｂｓ（１８９８、１８９９）によって最初に説明された現象のため、鋭い縁の隣にリンギングが見られる。データ（図示せず）に適合する非負の最小二乗法（ＮＮＬＳ）は、本質的には、正逆フーリエ変換と同一である。それらの画像の違いは、体外バックグラウンドでのみ現れ、その関心は薄く、とにかく非常に小さい。より有意な画像改良は図１２〜１４で見られ、ｐｉｘｏｎ係数０．３、０．５および１．０でのｐｉｘｏｎ再構成の結果をそれぞれ示す。すべての再構成が雑音およびＧｉｂｂｓリンギングをかなり低減しているが、同じ量ではない。数２５〜２６の文脈で上記で説明されるように、雑音と平滑化との間のトレードオフが存在し、これは、ｐｉｘｏｎ係数ｐを用いてユーザが制御することができる。ｐが大きい程、分解能のいくらかの損失を犠牲にして、雑音をより良く抑える一方で、ｐが小さい程、高雑音レベルを犠牲にして、より良い分解能を保つ。このトレードオフは、図１２〜１４で明白であり、結果として生じる分解能のいくらかの損失を伴いながら、ｐの増加とともに次第に強くなる平滑化を示す。

実施例３：コンピュータ断層撮影法
コンピュータ断層撮影法（ＣＴ）は、患者または試験対象物の内部構造は、プロセスにおいて、患者に外科手術を行う必要も、試験対象物に損傷を与える必要もなく検査できるということを活用して、医療および試験工学用の診断および測定方法を提供する。この場合、様々な角度から記録された検査すべき物体の多くの投影が存在し、そこから、物体の３Ｄ記述を計算することが可能である。

断層画像は、観測された投影（データ）を画像に変換することによって生成される。例えば、ｘ線ＣＴ画像法では、ｘ線ビームは物体に向けられ、物体内の異なる構造のため、ビームは様々な数量によって減衰する。物体の反対側では、減衰したビームが検出器で測定される。そのような投影は、物体の周りで、多くの異なる角度で生成される。これらの測定値が雑音を伴うばかりでなく、相対雑音レベルは減衰量に依存する。骨および特に金属などの高密度物質を通じての投影は、新鮮な水または他の低密度物質を通じての投影よりも低い信号対雑音比を有する。検出された光子の数における大きく空間的な様々な変動への対処には、しばしば、画像を改良するための統計的な平滑化技法が必要とされる。

統計的な画像再構成手法では、物理的モデルおよび統計的モデル（恐らく非線形の）に従って、測定値に最良適合する画像を見出す際に問題を引き起こす。適正な統計的なモデル化は、低雑音画像につながり得、それにより、患者へのＸ線量の減少を可能にする。

実施例４：放出断層撮影法
放出断層撮影法は、ＣＴで使用されるものと同様の断層撮影技法を使用して、人体の機能的プロセスの３Ｄ画像を生成する核医療画像技法である。その違いは、ガンマ放出または陽電子放出放射性同位元素（核種と呼ばれる）が患者の血流に注入されることである。ガンマ放出核種は単一光子を放出し、画像法は、単一光子放出コンピュータ断層撮影法（ＳＰＥＣＴまたは時折ＳＰＥＴ）として知られる。対照的に、放出たれた陽電子は、人体で電子とともに消滅し、反対方向に移動する２つの光子を形成し、それらは同時に検出される。その画像法は、陽電子放出断層撮影法（ＰＥＴ）として知られる。

大抵の場合、その放射性特性にのみ関心が持たれるマーカー放射性同位元素は、特異的リガンドと結合して放射性リガンドを生み出し、ある種の組織に対するその化学結合特性に関心が持たれる。この結合により、リガンドと放射性同位元素との組合せ（放射性医薬品）を人体の対象部位に運んで結合させることができ、次いで、それにより、リガンド濃度を画像化することができる（同位元素の直接または間接的なガンマ放出のため）。

核スキャンは、ＣＴまたはＭＲＩスキャンと並んでますます読み取られるようになっており、その組合せで、解剖学的情報と代謝情報の両方（すなわち、構造は何か、そして、生物学的に何をするか）が得られる。核画像法は解剖学的画像法と併せて最も有益であるため、現代の核スキャナは、現在、統合型高性能多列検出器ＣＴスキャナまたはより最近ではＭＲＩとともに利用可能である。２つのスキャンは、同じセッションの間、患者が２つのタイプのスキャン間で体位を変えない状態で、立て続けにも、ましてや同時にさえも実行できるため、２セットの画像はより正確に登録され、その結果、核画像上の異常エリアをＣＴまたはＭＲＩ画像上の構造とより完全に相関させることができる。これは、脳以外でよく見られる高頻度の解剖学的変異を有する運動器官または構造の詳細な図を示す際に非常に有益である。

コンピュータ断層撮影法（ＣＴ）の再構成とよく似た技法は、３Ｄ画像の生成に一般的に使用されるが、核画像法で収集されるデータセットはＣＴよりもはるかに少ない光子を有し、したがって、再構成技法はより難しい。次いで、Ｐｉｘｏｎ処理を使用して、画像品質の向上および／または患者への注入量の低減を行うことができる。

実施例５：スペクトル分析
スペクトル分析器は、機器の全周波数範囲内の周波数に対する入力信号の大きさを測定する。主な用途は、既知および未知の信号のパワースペクトルを測定することである。スペクトル分析器が測定する入力信号は電気的なものであるが、音圧波および光波などの他の信号のスペクトル組成は、適切なトランスデューサの使用を通じて検討することができる。電気信号のスペクトルを分析することによって、時間領域波形では検出が容易ではない、優位周波数、パワー、歪み、高調波、帯域幅および他の信号のスペクトル成分を観測することができる。これらのパラメータは、無線送信機などの電子デバイスの特性化において有益である。

スペクトル分析器タイプは、信号のスペクトルの取得に使用される方法によって決定される。掃引同調スペクトル分析器と高速フーリエ変換（ＦＦＴ）ベースのスペクトル分析器とがある。掃引同調スペクトル分析器は、スーパーヘテロダイン受信機を使用して、入力信号スペクトルの一部分を帯域通過フィルタの中心周波数に逓降変換する（電圧制御発振器および混合器を使用して）。スーパーヘテロダインアーキテクチャを用いることで、電圧制御発振器は、ある範囲の周波数を掃引し、機器の全周波数範囲の検討を可能にする。ＦＦＴスペクトル分析器は、高速フーリエ変換を計算し、それにより、入力信号をその周波数スペクトル成分に変換する。リアルタイムスペクトル分析器などの一部のスペクトル分析器は、ハイブリッド技法を使用し、ハイブリッド技法では、入力信号は、最初に、スーパーヘテロダイン技法を使用してより低い周波数に逓降変換され、次いで、ＦＦＴ技法を使用して分析される。

これは１Ｄの例であり、スペクトル（「画像」）は、非局所的なフーリエ変換によって入力データに関連する。ｐｉｘｏｎ法は、引用される他のフーリエの例に類似した様式で、そのようなデータに適用することができる。

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Claims (21)

1. 物理的なプロセスから得られたデータセットから物体モデルを再構成するための方法において、前記データセットは雑音を含み、前記方法は、
   データ空間で定義された前記データセットを受信するステップと、
   物体空間に物体モデルを構築するステップであって、前記物体モデルは複数の物体ポイントを含む、ステップと、
   物体空間からデータ空間への前記物体モデルの変換を考案してデータモデルをもたらすステップであって、前記変換は、前記物理的なプロセスであってそれにより前記データセットが得られる前記物理的なプロセスに相当する、ステップと、
   データモデルと前記データセットとの適合を決定するためにメリット関数を選択するステップと、
   前記メリット関数に基づいて、物体空間の前記物体モデルの更新変数を決定するステップと、
   複数のｐｉｘｏｎカーネルの各々を用いて前記更新変数を畳み込み積分すること、および、
   前記入力物体の各物体ポイントに対して、既定の最低基準を満たす最大サイズを有するｐｉｘｏｎカーネルを選択すること
   によって、前記更新変数を平滑化して、平滑化された更新変数を決定するステップと、
   前記選択されたｐｉｘｏｎカーネルに対応する各物体ポイントでインデックスを割り当てることによって、ｐｉｘｏｎ写像を生成するステップと、
   前記ｐｉｘｏｎ写像内の前記インデックスに基づいて実質的に脱雑音された物体モデルを含む出力を生成するステップと
   を含むことを特徴とする方法。
2. 請求項１に記載の方法において、前記ｐｉｘｏｎ写像に従って前記選択されたｐｉｘｏｎカーネルを用いて各物体ポイントで前記物体モデルを畳み込み積分することによって、前記物体モデルを平滑化するステップをさらに含むことを特徴とする方法。
3. 請求項１に記載の方法において、前記メリット関数は、共役勾配法を使用して決定されることを特徴とする方法。
4. 請求項３に記載の方法において、前記更新変数は、負勾配であることを特徴とする方法。
5. 請求項３に記載の方法において、プレコンディショナを追加するステップをさらに含むことを特徴とする方法。
6. 請求項１に記載の方法において、
   前記更新変数を反復的に平滑化し、前記平滑化した更新変数に基づいて、前記メリット関数が最適化されるまで、前記ｐｉｘｏｎ写像および前記物体モデルを更新するステップ
   をさらに含むことを特徴とする方法。
7. 請求項１に記載の方法において、前記更新変数を畳み込み積分する前記ステップの後に、前記更新変数を減じて更新変数の変化を決定するステップをさらに含むことを特徴とする方法。
8. 請求項７に記載の方法において、前記既定の最低基準は、前記更新変数の変化の二乗と前記更新変数の分散との比率に基づくことを特徴とする方法。
9. 請求項１に記載の方法において、前記データセットは、開口合成法、干渉合成開口レーダ（ＩｆＳＡＲまたはＩｎＳＡＲ）、合成開口レーダ（ＳＡＲ）および逆合成開口レーダ（ＩＳＡＲ）、合成開口ソーナー、ビーム形成および合成開口磁気測定からなる群から選択される分析プロセスと併せて生成される干渉法データを含むことを特徴とする方法。
10. 請求項１に記載の方法において、前記データセットは、磁気共鳴画像法データを含むことを特徴とする方法。
11. 請求項１に記載の方法において、前記データセットは、コンピュータまたは放出断層撮影法データを含むことを特徴とする方法。
12. 請求項１に記載の方法において、前記データセットは、スペクトル分析データを含むことを特徴とする方法。
13. 請求項１に記載の方法において、前記データセットは、異なる機器からの複数の入力信号を含み、前記脱雑音された物体モデルは、前記入力信号の混合体に相当する単一の出力を含むことを特徴とする方法。
14. 上にソフトウェアを含む非一時的なコンピュータ可読媒体において、前記ソフトウェアは、物理的なプロセスから得られたデータセットから物体モデルを再構成するための命令であって、前記データセットは雑音を含む、命令を含み、方法は、
    データ空間で定義された前記データセットを受信するステップと、
    物体空間に物体モデルを構築するステップであって、前記物体モデルは複数の物体ポイントを含む、ステップと、
    物体空間からデータ空間への前記物体モデルの変換を考案してデータモデルをもたらすステップであって、前記変換は前記物理的なプロセスであってそれにより前記データセットが得られる前記物理的なプロセスに相当する、ステップと、
    データモデルと前記データセットとの適合を決定するためにメリット関数を選択するステップと、
    前記メリット関数に基づいて、物体空間の前記物体モデルの更新変数を決定するステップと、
    複数のｐｉｘｏｎカーネルの各々を用いて前記更新変数を畳み込み積分すること、および、
    前記入力物体の各物体ポイントに対して、既定の最低基準を満たす最大サイズを有するｐｉｘｏｎカーネルを選択すること
    によって、前記更新変数を平滑化して、平滑化された更新変数を決定するステップと、
    選択された前記ｐｉｘｏｎカーネルに対応する前記入力物体の各物体ポイントでインデックスを割り当てることによって、ｐｉｘｏｎ写像を生成するステップと
    を含む非一時的なコンピュータ可読媒体。
15. 請求項１４に記載の非一時的なコンピュータ可読媒体において、前記ｐｉｘｏｎ写像に従って前記選択されたｐｉｘｏｎカーネルを用いて各物体ポイントで前記物体モデルを畳み込み積分することによって、前記物体モデルを平滑化するステップをさらに含むことを特徴とする非一時的なコンピュータ可読媒体。
16. 請求項１４に記載の非一時的なコンピュータ可読媒体において、前記メリット関数は、共役勾配法を使用して最適化されることを特徴とする非一時的なコンピュータ可読媒体。
17. 請求項１６に記載の非一時的なコンピュータ可読媒体において、前記更新変数は、負勾配であることを特徴とする非一時的なコンピュータ可読媒体。
18. 請求項１７に記載の非一時的なコンピュータ可読媒体において、プレコンディショナを追加するステップをさらに含むことを特徴とする非一時的なコンピュータ可読媒体。
19. 請求項１４に記載の非一時的なコンピュータ可読媒体において、
    前記更新変数を反復的に平滑化し、前記反復的に平滑化した更新変数に基づいて、前記メリット関数が最適化されるまで、前記ｐｉｘｏｎ写像および物体モデルを更新するステップ
    をさらに含むことを特徴とする非一時的なコンピュータ可読媒体。
20. 請求項１９に記載の非一時的なコンピュータ可読媒体において、前記更新変数を畳み込み積分する前記ステップの後に、前記更新変数を減じて更新変数の変化を決定するステップをさらに含むことを特徴とする非一時的なコンピュータ可読媒体。
21. 請求項２０に記載の非一時的なコンピュータ可読媒体において、前記既定の最低基準は、前記更新変数の変化の二乗と前記更新変数の分散との比率に基づくことを特徴とする非一時的なコンピュータ可読媒体。

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