KR20120057274A - Ｉｄ－ｆｄｔｄ 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법 - Google Patents

Ｉｄ－ｆｄｔｄ 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법 Download PDF

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KR20120057274A
KR20120057274A KR1020100118939A KR20100118939A KR20120057274A KR 20120057274 A KR20120057274 A KR 20120057274A KR 1020100118939 A KR1020100118939 A KR 1020100118939A KR 20100118939 A KR20100118939 A KR 20100118939A KR 20120057274 A KR20120057274 A KR 20120057274A
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Abstract

평행육면체 격자를 이용하여 컴퓨터에서 이용 가능한 업데이트 방정식을 만들어 전자기파를 수치해석하는 방법의 오차 저감 방법이 개시된다. 이 오차 저감 방법은, ID 공간 차분 연산자
Figure pat00344
를 적용하여 업데이트 방정식을 만들고; 상기 격자의 크기, 주파수, 시간 간격, 매질 종류를 초기 조건으로 하여, 상기 업데이트 방정식의 파라미터들을 결정하되, 상기 ID 공간 차분 연산자
Figure pat00345
는 상기 격자의 면, 꼭지점 및 선분에 위치한 필드값들을 이용한 3종류의 공간 차분 연산자들을 웨이팅 팩터 및
Figure pat00347
적용하에 합친 것으로 구성된다.

Description

ＩＤ－ＦＤＴＤ 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법{NUMERCIAL ANALYSIS METHOD AND SYSTEM FOR ELECTROMAGNETIC WAVE USING ID－FDTD METHOD}
본 발명은 컴퓨터를 이용한 수치 해석(numerical analysis) 기법과 관련되어 있고, 특히, 전자기파 현상을 분석하기 위한 모의 실험(simulation) 방법과 연관되어 있다. 전자기파 현상을 분석하기 위해서는 일반적으로 맥스웰(Maxewell) 방정식을 풀고, 다양한 근사법을 이용해 컴퓨터에서 맥스웰 방정식을 다룰 수 있도록 수식을 변형한다. 본 발명은 이를 컴퓨터를 이용해 풀기 위해서, 전자기파 수치해석 방법 중 유한 차분 시간 영역 방법 (finite-difference time-domain :FDTD)의 정확도를 개선한 ID(isotropic dispersion)-FDTD 방법과 관련된다.
안테나 분석이나 EMI/EMC 분석 등 다양한 대상에 대한 전자기파 현상을 분석하는 방법은 2 종류가 있다. 첫번째는 직접 실험을 통해 결과를 얻는 것이고, 두번째는 맥스웰 방정식(Maxwell equation)을 해당 대상의 조건에 맞게 풀어서 해를 얻는 것이다. 이 해를 얻는 방법은 다시 두 종류로 나눌 수 있다. 그 중 하나는 분석적 해(analytic solution)를 직접 푸는 것이고, 다른 하나는 컴퓨터에서 해석을 할 수 있도록 맥스웰 방정식을 근사화시켜서 수치 해석적으로 푸는 것이다. FDTD 방법은 수치 해석 방법에 속한다.
맥스웰 방정식 중 미분 방정식을 기반으로 하는 FDTD 방법에 대하여 도 1을 참조하여 설명하면 다음과 같다.
● 맥스웰 미분 방정식
소스를 포함하지 않는 무손실, 등방성 매질에서의 전기장과 자기장의 관계를 나타내는 맥스웰 미분 방정식은 아래의 식 (1)과 같다.
Figure pat00001
여기서,
Figure pat00002
는 전기장을 나타내고,
Figure pat00003
는 자기장을 나타낸다. ε는 전기적 특성을 나타내는 유전율이고, μ는 자기적 특성을 나타내는 투자율이다.
식 (1)은 전기장과 자기장의 연속적인 데이터를 공간 변화와 시간 변화에 따른 관계로 나타낸 것이다. 식 (1)에서 전기장의 시간적 변화는 전기장과 수직한 벡터 방향의 자기장의 공간적인 변화와 관련이 있고, 그 역 관계인, 자기장의 시간적 변화는 자기장과 수직한 벡터 성분의 전기장의 공간상의 변화와 연관이 있음을 나타낸다.
● 유한 차분법
식 (1)을 컴퓨터에서 이용하기 위해서는 연속적인 아날로그 전기장과 자기장의 데이터 대신에 이산화(sampled 또는 discretized)된 디지털 데이터를 사용하여야 한다. 또한, 이산화된 데이터를 맥스웰 미분 방정식에서 사용하기 위해서는 미분 방정식 역시 이산 데이터를 다룰 수 있는 형식으로 변경되어야 한다. "IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 14, no, 3, pp.302-307, 1996"에 "Numercial solution of initial boundary value problems involving Maxwell'equations in isotropic media"의 명칭으로 개재된 논문을 통해, K. Yee는 유한 차분법(finite diference method)을 사용하여 미분 방정식을 차분 방정식으로 변경하는 방법(이하, 'Yee 방법'이라 한다)을 제안하였고, 맥스웰 방정식을 차분 방정식으로 변형하여, 이산화된 전자기파 데이터를 컴퓨터에서 처리할 수 있게 하였다.
유한 차분법을 적용하는 방법을 두 단계로 나타내면 다음과 같다.
(a) 공간상, 시간상의 전기장과 자기장의 연속적인 변화를 이산화시킴.
Figure pat00004
Figure pat00005
여기서 x, y, z 는 각각 직교 좌표계에서 x, y, z축의 성분이고,
Figure pat00006
,
Figure pat00007
,
Figure pat00008
는 공간 영역을 기본 격자로 분할하였을 때, 기본 격자의 각 축 방향의 크기이고, I, J, K는 x, y, z축을 각각
Figure pat00009
,
Figure pat00010
,
Figure pat00011
간격으로 이산화 했을 때, 각 축 방향의 인덱스를 의미한다. 또한, t는 시간을 나타내고,
Figure pat00012
는 시간 영역을 일정한 간격으로 분할한 시간 간격을 나타내고, n은 시간 영역을 시간 간격
Figure pat00013
로 분할하였을 때, 각각의 시간 인덱스를 의미한다.
(b) 맥스웰 미분 방정식을 유한 차분 방정식으로 변경시킴.
Figure pat00014
이라 할 때, x 방향 공간 미분 방정식을 테일러 시리즈(Taylor's series)를 적용하면 다음과 같은 차분 방정식으로 변경할 수 있다. 이때
Figure pat00015
는 충분히 작다고 가정한다.
Figure pat00016
마찬가지로, 시간 영역의 미분 방정식은 다음과 같은 차분 방정식으로 변경한다. 이때,
Figure pat00017
역시 충분히 작다고 가정한다.
Figure pat00018
위와 같은 유한 차분법을 중앙 차분법(central difference)이라 한다. 그 외에 널리 알려진 유한 차분법은 후방차분법(backward difference)와 전방차분법(forward difference)이 있다. 공간 미분 연산자를 중앙차분법으로 근사화시키는 공간 차분 연산자를
Figure pat00019
로 표시하고 아래의 식 (4)와 같이 정의하도록 한다.
Figure pat00020
여기서,
Figure pat00021
이고,
Figure pat00022
와
Figure pat00023
는 수식을 간결히 표현하기 위해서 도입한 이동 연산자로서 정의는 다음과 같이 한다.
Figure pat00024

이때, 뒤의 발명의 내용 중에서 설명할 ID-FDTD 에서는 두 종류의 공간 차분 연산자가 추가되기 때문에, 기본적인 중앙 차분법이 적용된 공간 차분 연산자는 첨자를 1번으로 표기하여 ID-FDTD에서 추가되는 공간 연산자들로부터 구분하였다.
시간 미분 연산자 역시 중앙 차분법을 적용해서 다음과 같이 쓰도록 한다
Figure pat00025
위의 두 단계는 일반적으로 미분 방정식을 차분 방정식으로 변형하기 위해서 유한 차분법을 적용할 때 기본적으로 행해지는 방법이다.
한편, Yee가 제안한 FDTD 방법은 맥스웰 미분 방정식의 특성을 컴퓨터에서 보다 쉽고 정확하게 계산할 수 있도록 두 가지 방법을 적용하였다.
(a) 전기장과 자기장의 공간 배치 방법 : Yee 격자
Yee 방법에 따르면 공간, 즉, 전자기파 해석 영역을 균일한 직육면체 격자로 분할하였고, 각 격자에 이산화한 전기장과 자기장을 배치하였다. 앞서 설명하였듯이, 전자기파는 공간상에서 전기장과 자기장의 수직 성분들이 서로 영향을 준다. 이를 반영하기 위해서, 하나의 격자에 전기장과 자기장의 공간상 배치를 Yee 방법은 도 2에 도시된 것과 같이 하였고, 이러한 배치를 포함한 격자 구조를 Yee 격자라 부른다. 직육면체의 선분 중심에 선분 방향(
Figure pat00026
축,
Figure pat00027
)의 전기장 벡터 성분(
Figure pat00028
)을 위치시키고, 면의 중심에는 면에 수직한 방향의 자기장 벡터 성분(
Figure pat00029
Figure pat00030
이고,
Figure pat00031
는 면의 normal vector)을 위치시킨다. Yee 격자 상의 배치는 앞서 설명한 전기장과 자기장의 공간적 관계를 보다 직접적으로 반영하도록 구상된 형태이다. 이때, 각 필드의 성분들 성분들(Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz)는 동일한 위치에 존재하지 않고 서로 다른 위치에 존재한다. 또한, 전기장과 자기장의 위치를 각각
Figure pat00032
,
Figure pat00033
,
Figure pat00034
씩 이동시키면, 전기장이 직육면체 격자의 면 중심에 위치하고, 자기장은 선분의 중심에 위치하게 된다.
(b) 시간 진행 방법 : 립-프로그 타임 스테핑(leap-frog time stepping)
FDTD 방법은 전기장과 자기장 모두 시간 간격 마다 데이터를 새로운 값으로 업데이트 한다. 이때, 전기장과 자기장의 시간 축의 이산화는 동일한 시간이 아닌
Figure pat00035
만큼 차이가 나는 엇갈린 형태가 되도록 한다. 이때, 전자기장의 업데이트는 아래와 같이 전기장과 자기장이 서로 엇갈려서 순차적으로 시간 업데이트를 수행한다. 예를 들면,
Figure pat00036
에서의 자기장
Figure pat00037
의 업데이트는 과거의 자기 자신 데이타
Figure pat00038
와
Figure pat00039
시간 전의 전기장
Figure pat00040
의 결과를 이용해 이루어진다. 이렇게 전기장과 자기장이 서로 엇갈려서 시간적으로 업데이트 하는 방법을 립프로그(leap frog) 방식이라고 한다.
Figure pat00041

● 업데이트 방정식
맥스웰 미분 방정식의 시간 영역(time domain)에서 유한 차분법(finite difference)을 적용해서 최종적으로 얻는 결과물은 컴퓨터에서 동작할 수 있는, 이산화된 업데이트 방정식이다. 구체적으로 Yee 격자와 립프로그 업데이트 방식이 적용된 업데이트 방정식을 구해보도록 한다.
도 6의 (a)와 같이 격자의 중심점에서 어떤 필드의 미분값을 구하는 경우
Figure pat00042
은 격자의 면의 중심에 존재하는 필드 값 두 개를 이용하는 방식이다. 예를 들면, 도 6의 (a)와 같이 격자의 중심에서
Figure pat00043
을 구한다면, 다음과 같이 쓸 수 있다.
Figure pat00044
이러한 방식으로 전기장과 자기장 x, y, z 벡터 성분에 적용을 하면, 다음과 같은 업데이트 방정식을 얻을 수 있다.
Figure pat00045
여기서,
Figure pat00046
의 위치는
Figure pat00047
번째 격자의 중심 위치를 의미한다. 또한,
Figure pat00048
,
Figure pat00049
은 각각 자유 공간(free space)의 유전율과 투자율이고, 상대 유전율
Figure pat00050
이고,
Figure pat00051
이고,
Figure pat00052
는 전도율이고,
Figure pat00053
은 상대 투자율로 매질의 특성을 나타내는 파라미터들이다. 그리고
Figure pat00054
는 각속도를 의미한다.
Yee가 전자기파 해석 방법으로 제안한 표준 FDTD 방법(standard FDTD method)의 문제점을 설명하면 아래와 같다.
표준 FDTD 방법은 시간 영역 유한 차분법(Finite difference time domain)으로서 수치 해석 방법들에 비해 쉬운 구현성과 광대역 해석의 편리성 그리고 넓은 범위의 적용성 때문에 전자기파 수치 해석 분야에서 널리 이용되고 있다. 그러나, 이러한 장점에 불구하고, 대형 문제를 해석하거나 긴 거리 전파 진행시에는 전파 방향에 따른 비등방성 특성을 포함한 수치적 분산 오차(numerical dispersion error)의 증가로 인해 큰 물체의 레이다 반사 면적(Radar Cross Section; RCS) 계산이나 긴 거리의 전파 해석 그리고, 위상에 민감한 문제에 대한 해석이 적합하지 않았다.
전술한 바와 같이, 전자기파 수치해석의 대표적 방법인 FDTD 방법은 직육면체 격자를 이용해 시간 영역에서 전자기파 광대역 해석을 쉽게 수행할 수 있다. 그러나, FDTD 방법은 전파 진행 방향에 따라서 전파 속도가 달라지는 비등방성 오차(anisotropic error)의 문제가 있다. 전파 해석 알고리즘이 정확한 물리적 전파 속도를 예측하지 못하면, 대형 문제 해석시 매우 부정확한 해석값을 도출하는 문제점이 발생한다.
이러한 문제를 개선하기 위해서, ID-FDTD(isotropic-FDTD) 방법이 개발되었다. ID-FDTD 방법은 기존의 FDTD 방법을 개선해서 비등방성 오차와 수치 전파 상수 오차를 최소화한 시간 영역 전자기파 수치해석 방법이다. ID-FDTD 방법의 전파 진행 방향에 따른 오차를 최소화시키기 위해서 세 종류의 공간 차분 연산자가 제안되었고, 세 종류의 연산자에 가중치를 부여해 합친 ID 공간 차분 연산자를 제안하였고, 이를 최적화하여 오차를 크게 줄일 수 있었다.
그러나, 종래의 ID-FDTD 방법은, 정육면체 형태의 격자 구조에서만 적용 가능하여 다른 평행 육면체 형태의 격자 구조인 직육면체 형태 격자 구조에서는 적용이 어려웠고, 다양한 해석 조건(주파수, 시간 간격, 격자 모양과 크기, 매질 종류)에 따라서, 쉽고 빠르게 컴퓨터에서 최적화할 수 있는 알고리즘을 제시하지 못하였다.
따라서, 본 발명이 해결하려는 과제는 다양한 해석 조건(격자 크기, 격자 형태, 매질, 시간 간격, 주파수)에서 ID-FDTD 방법의 전파 진행 방향에 의한 비등방성 오차와 전파 상수값 오차를 최소화함으로써, 전자기파 해석의 오차를 줄이는 방법을 제공하는 것이다.
본 발명이 해결하려는 다른 과제는 다양한 해석 조건(격자 크기, 격자 형태, 매질, 시간 간격, 주파수)에서 ID-FDTD 방법을 컴퓨터에서 빠르게 최적화 시키기 위한 수치해석 알고리즘을 제공하는 것이다.
본 발명의 일 측면에 따라, 컴퓨터에서 이용 가능한 업데이트 방정식을 이용해 전자기파를 수치해석하는 방법이 제공된다. 이 방법은, 전처리 장치가 전자기파 해석 영역을 복수의 평행육면체 격자로 분할하는 전처리 단계와; 입력부가 상기 격자의 크기, 주파수, 시간 간격, 매질 종류를 포함하는 초기 조건을 입력받는 단계와; 연산 처리부가 ID 공간 차분 연산자
Figure pat00055
를 적용한 업데이트 방정식을 기반으로, 상기 초기 조건을 이용해 상기 업데이트 방정식의 파라미터들을 결정하는 파라미터 결정 단계와; 출력부가 상기 파라미터들에 의해 완성된 업데이트 방정식을 이용하여 시뮬레이션을 수행하는 출력단계를 포함하며, 상기 ID 공간 차분 연산자
Figure pat00056
는 상기 격자의 면, 꼭지점 및 선분에 위치한 필드값들을 이용한 3종류의 공간 차분 연산자들을 웨이팅 팩터
Figure pat00057
및
Figure pat00058
적용하에 합친 것으로 이루어진다.
본 명세서에서, 용어 '평행육면체'는 정육면체와 직육면체를 포함하지만 이웃하는 면들 사이의 각도가 90도 아닌 면을 포함하는 육면체의 경우, 평행육면체가 아닌 것으로 정의한다.
바람직하게는, 상기 3종류의 공간 차분 연산자는 상기 격자의 면 중심에 존재하는 필드 값 두개를 이용하는 공간 차분 연산자
Figure pat00059
, 상기 격자의 꼭지점에 위치하는 필드값을 이용하는 공간 차분 연산자
Figure pat00060
, 상기 격자의 선분 중점에 위치하는 필드값을 이용하는 공간 차분 연산자
Figure pat00061
를 포함한다. 더 바람직하게는, 상기 ID 공간 차분 연산자는
Figure pat00062
로 정의된다.
바람직하게는, 상기 업데이트 방정식은 상기 격자의 세 축 방향 수치 전파 속도를 동일하게 만들기 위한 세 종류의 스케일링 팩터
Figure pat00063
,
Figure pat00064
,
Figure pat00065
가 적용된 것이며, 상기 ID 공간 차분 연산자는
Figure pat00066
로 변경된 것이다.
바람직하게는, 상기 파라미터 결정 단계는 주파수, 격자 크기, 시간 간격, 매질 종류의 초기 조건 하에서, 상기 스케일링 팩터
Figure pat00067
,
Figure pat00068
및
Figure pat00069
과, 축 방향에 따른 전파 상수의 손실 성분의 오차를 줄이기 위한 스케일링 팩터
Figure pat00070
를 계산하는 한편 최적화된 웨이팅 팩터를 계산하여, 상기 업데이트 방정식을 완성하는 파라미터들을 결정한다.
바람직하게는, 상기 최적화된 웨이팅 팩터의 계산을 위해 LMS(최소 평균 자승법)을 이용한다.
바람직하게는, 상기 업데이트 방정식은 아래의 식과 같으며,
Figure pat00071
여기에서, H는 자기장, E는 전기장,
Figure pat00072
,
Figure pat00073
은 각각 자유 공간(free space)의 유전율과 투자율, 상대 유전율
Figure pat00074
이고,
Figure pat00075
이고,
Figure pat00076
는 전도율이고,
Figure pat00077
은 상대 투자율로 매질의 특성을 나타내는 파라미터들,
Figure pat00078
는 각속도,
Figure pat00079
,
Figure pat00080
및
Figure pat00081
는 ID 공간 차분 연산자,
Figure pat00082
,
Figure pat00083
,
Figure pat00084
,
Figure pat00085
는 스케일링 팩터이다.
본 발명의 다른 측면에 따라, 평행육면체 격자를 이용하여 컴퓨터에서 이용 가능한 업데이트 방정식을 만들어 전자기파를 수치 해석하는 방법이 제공되며, 이 방법은, ID 공간 차분 연산자
Figure pat00086
를 적용하여 만들어진 아래의 업데이트 방정식이 저장되는 단계와
Figure pat00087
(여기에서, 여기서, H는 자기장, E는 전기장,
Figure pat00088
,
Figure pat00089
은 각각 자유 공간(free space)의 유전율과 투자율, 상대 유전율
Figure pat00090
이고,
Figure pat00091
이고,
Figure pat00092
는 전도율이고,
Figure pat00093
은 상대 투자율로 매질의 특성을 나타내는 파라미터들,
Figure pat00094
는 각속도,
Figure pat00095
,
Figure pat00096
및
Figure pat00097
는 ID 공간 차분 연산자,
Figure pat00098
,
Figure pat00099
,
Figure pat00100
,
Figure pat00101
는 스케일링 팩터);
상기 격자의 크기, 주파수, 시간 간격, 매질 종류를 초기 조건 하에, 상기 업데이트 방정식을 기반으로 상기 스케일링 팩터를 계산하고 최적화된 웨이팅 팩터를 계산하여 상기 업데이트 방정식의 파라미터들을 결정하는 단계를 포함한다. 이때, 상기 평행육면체 격자는 정육면체와 직육면체를 포함한다.
본 발명의 다른 측면에 따라, 컴퓨터에서 이용 가능한 업데이트 방정식을 이용해 전자기파를 수치해석하는 시스템이 제공되며, 이 시스템은, 전자기파 해석 영역을 복수의 평행육면체 격자로 분할하는 전처리 장치로부터 상기 격자의 크기, 주파수, 시간 간격, 매질 종류를 포함하는 초기 조건을 입력받는 입력부와; ID 공간 차분 연산자
Figure pat00102
를 적용한 업데이트 방정식이 저장된 저장부와; 상기 초기 조건을 이용해 상기 저장부에 저장된 상기 업데이트 방정식의 파라미터들을 결정하는 연산 처리부와; 상기 파라미터들에 의해 완성된 업데이트 방정식을 이용하여 시뮬레이션을 수행하는 출력부를 포함하며, 상기 ID 공간 차분 연산자
Figure pat00103
는 상기 격자의 면, 꼭지점 및 선분에 위치한 필드값들을 이용한 3종류의 공간 차분 연산자들을 웨이팅 팩터
Figure pat00104
및
Figure pat00105
적용하에 합친 것이 이용된다.
본 발명에 따르면, 세 종류의 연산자에 가중치를 부여해 합친 ID 공간 차분 연산자의 최적화한 업데이트 방정식을 이용에 의해, 비등방성 오차와 수치 전파 상수 오차를 크게 줄일 수 있으며, 이에 의해, 컴퓨터를 이용한 전자기파 수치 해석의 정밀성을 크게 높일 수 있었다. 또한, 본 발명은, 전자기파 해석 영역을 균일하게 분할하는 격자의 3축을 고려한 3종류의 스케일링 팩터의 제공을 통해, 직육면체 격자 이용시 각각의 축 방향으로 수치 전파 속도가 다른 것으로부터 야기되는 오차 발생을 최소화할 수 있다. 본 발명에 따르면, 전자기파 해석 영역을 분할하는 격자로 직육면체 격자를 이용함으로써, 과도하게 길거나 과도하게 크거나 또는 복잡한 해석 영역에 대하여 보다 정밀한 수치 해석이 가능하다.
도 1은 표준 FDTD 방법을 개략적으로 설명하기 위한 순서도.
도 2는 FDTD 및 ID-FDTD 방법에 이용되는 Yee 격자를 보여주는 도면.
도 3은 전파 진행 방향
Figure pat00106
,
Figure pat00107
에 따른 기존 표준 FDTD 방법의 일반화된 위상 속도의 오차를 보여주는 그래프.
도 4는 표준 FDTD 방법의 문제점을 개선하는 새로운 ID-FDTD 방법을 설명하기 위한 도면.
도 5a는 새로운 ID-FDTD 방법을 이용하는 본 발명의 전자기파 수치해석 시스템을 도시한 블록 구성도.
도 5b는 새로운 ID-FDTD 방법을 이용하는 본 발명의 전자기파 수치해석 방법을 도시한 순서도.
도 6은 직육면체 격자 구조에서의 ID 공간 차분 연산 방법을 설명하기 위한 도면.
도 7의 (a)는 매질 특성에 따른 정육면체 격자에서의 Yee FDTD, 기존의 ID-FDTD, 새로운 ID-FDTD의 수치 전파 상수 오차를 비교하여 보여주는 그래프.
도 7의 (b)는 직육면체 격자에서의 Yee FDTD와 새로운 ID-FDTD의 수치 전파 상수 오차를 비교하여 보여주는 그래프.
이하 첨부된 도면을 참조로 하여 본 발명에 대하여 보다 구체적으로 설명하고자 한다.
앞에서 언급한 종래 ID-FDTD 방법은 공간 미분 연산자를 유한 차분법으로 근사화시 기존 Yee FDTD 방법에서 사용한 방법 외에 추가적인 유한 차분 연산자를 도입해서 전파 방향에 따라서 동일한 분산 특성을 갖는 등방성 분산 특성(isotropic dispersion)을 갖는 유한 차분 연산자(finite difference operator)를 구성해 수치적 분산 오차를 줄이는 방식이다. 수치적 분산 오차는 실제 위상 속도와 수치 위상 속도의 차이에서 발생하는 속도 오차와 전파 진행 방향에 따라 수치 위상 속도가 달라지는 방향성 오차 두 종류가 존재한다. ID-FDTD 방법의 목적은 모든 전파 방향으로 수치 위상 속도와 실제 위상 속도의 오차를 줄이는 것이기 때문에, 새로운 공간 차분 연산자와 함께 스케일링 팩터(scaling factor)와 웨이팅 팩터(weighting factor) 두 종류의 최적화 팩터가 존재한다. 스케일링 팩터는 수치 위상 속도를 실제 위상 속도와 같게 맞추는 역할을 하고, 웨이팅 팩터는 전파 방향에 따라 달라지는 수치 위상 속도의 변화량을 줄이는 역할을 한다.
도 3은 전파 진행 방향
Figure pat00108
,
Figure pat00109
에 따른 기존 표준 FDTD 방법의 일반화된 위상 속도를 보여준다. 도 3에서, 값이 1이면, 실제 속도와 같은 의미로 오차가 없다는 뜻이다. 따라서, 모든 방향에서 1이 나오면 오차가 없음을 의미한다. 그러나, 도 3을 보면, 기존의 표준 FDTD 방법은 전파 방향에 따라서 일정한 값이 나타나지 않음을 알 수 있다. 이렇게 전파 방향에 따라서 전파 속도가 다르게 나타나는 현상을 비등방성 오차(anisotropic error)라고 하며, 또한, 실제 정확한 값 1이 나오지 않는 속도 오차(phase velocity error)가 존재한다. 따라서, 이 두 종류의 오차를 최소화하기 위해서는 전파 진행 방향으로 일반화된 위상 속도(normalized phase velocity)의 변화량을 최소화하고, 그 값은 1에 최대한 가깝게 해야한다. 위와 같은 이유로 ID-FDTD 방법이 제안된 것이다.
● ID-FDTD 방법의 기본 구성 : ID 공간 차분 연산자
ID-FDTD 방법의 시간 미분 연산자는 기존 표준 FDTD 방법과 동일하게 사용하고, 공간 미분 연산자를 변형해서 비등방성 오차를 줄이도록 한다.
ID-FDTD 방법은 두 개의 새로운 공간 차분 연산자
Figure pat00110
와
Figure pat00111
을 제안하였다.
Figure pat00112
는, 도 6의 (b)에서와 같이, 격자의 중심에서 공간 미분을 수행할 때 격자의 꼭지점에 위치하는 필드값을 이용하는 공간 차분 연산자이고,
Figure pat00113
는, 도 6의 (c)에서와 같이, 격자의 선분 중점에 위치하는 필드값을 이용하는 공간 차분 연산자이다. 앞선 배경기술의 설명에서 공간 미분 연산자를 중앙차분법으로 근사화시키는 공간 차분 연산자
Figure pat00114
에 대해서는 도 6의 (a)를 참조하여 이미 소개된 바 있다.
위와 같은 세 종류의 공간 차분 연산자를 가중치 합으로 새롭게 구성한 ID-FDTD의 ID 공간 차분 연산자
Figure pat00115
는 다음과 같이 정의한다.
Figure pat00116
여기서,
Figure pat00117
와
Figure pat00118
는
Figure pat00119
, 를 만족하는 임의의 상수로 ID 공간 차분 연산자의 웨이팅 팩터를 의미한다. 최적의
Figure pat00120
와
Figure pat00121
를 적용하면, 기존 FDTD 방법의 비등방성 오차를 최소화 할 수 있다.
격자의 꼭지점에 위치하는 필드값을 이용하는 공간 차분 연산자를 쉽게 이해하기 위해서,
Figure pat00122
예를 통해 살펴보면 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.
Figure pat00123
여기서
Figure pat00124
는 격자 꼭지점에 위치하는
Figure pat00125
값을 의미한다. 그러나, Yee 격자에서 꼭지점에
Figure pat00126
를 배치하지 않았기 때문에 주변의
Figure pat00127
값을 이용해 꼭지점의
Figure pat00128
를 나타내야 한다. 예를 들어, 꼭지점의
Figure pat00130
는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure pat00131
(11)
여기서,
Figure pat00132
이며., 따라서,
Figure pat00133
는 새로운 이동 연산자
Figure pat00134
을 통해 다음과 같이 쓸 수 있다.
Figure pat00135
따라서
Figure pat00136
는 간단히
Figure pat00137
로 나타낼 수 있다. 또한,
Figure pat00138
와
Figure pat00139
는 각각
Figure pat00140
와
Figure pat00141
로 쓸 수 있다.
Figure pat00142
를 유도한 것과 비슷한 방법으로 격자 선분 중점에 위치하는 필드값을 이용하는 공간 차분 연산자
Figure pat00143
는 이동 연산자
Figure pat00144
와
Figure pat00145
로 다음과 같이 쓸 수 있다.
Figure pat00146
여기서
Figure pat00147
,
Figure pat00148
와
Figure pat00149
와
Figure pat00150
이고
Figure pat00151
. 예를 들면
Figure pat00152
는 다음과 같이 쓸 수 있다.

Figure pat00153
ID-FDTD의 업데이트 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. 기본 형태는 표준 FDTD 와 매우 유사하다.
Figure pat00154
여기서
Figure pat00155
과
Figure pat00156
은 스케일링 팩터로 ID-FDTD 수치 전파 상수를 실제값(exact value)과 동일하게 조정하는 역할을 한다. ID 공간 차분 연산자의 가중치
Figure pat00157
,
Figure pat00158
는 수치 전파 상수의 비등방성 오차를 감소시키기 위해 이용되고, 스케일링 팩터는 실제값과 가깝게 만드는 기능을 한다.
이하에서는 본 발명에 따라 더 새롭게 개선된 ID-FDTD 방법에 대한 구체적인 설명이 이루어질 것이다.
● 새로운 ID-FDTD 방법을 이용한 수치 해석시스템 및 방법
도 4는 본 발명의 실시예에 따른 ID-FDTD 방법을 설명하기 위한 순서도이다. 도 4에 도시된 ID-FDTD 방법은, 도 1에 도시된 표준 FDTD 방법과 비교할 때, 기존 업데이트 방정식 대신에 그로부터 변경된 업데이트 방정식을 이용함을 알 수 있다. 그 다음, 변경된 업데이트 방정식을 기반으로 스케일링 팩터와 웨이팅 팩터를 계산하고, 이를 바탕으로 업데이트 방정식의 파라미터들을 결정함으로써, 비등방성 오차와 위상 속도 오차를 줄인다.
도 5a는 본 발명의 일 실시예에 따른 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치 해석시스템을 도시한 블록구성도이고, 도 5b는 도 5a에 도시된 전자기파 수치 해석시스템을 이용하는 전자기파 해석방법을 도시한 순서도이다.
도 5a를 먼저 참조하면, 본 실시예에 따른 수치해석 시스템(1)은, 초기 조건 입력부(10), 저장부(20), 연산 처리부(30) 및 출력부(40)를 포함한다. 또한, 상기 전자기파의 수치 해석에는, 상기 수치해석 시스템과 더불어, Yee 방법에 의해 전자기파 영역을 복수의 평행육면체 격자로 분할하는 프로세스와 립-프로그 타임 스테핑 방식으로 전기장과 자기장 모두 시간 간격
Figure pat00159
마다 데이터를 새로운 값으로 업데이트하는 프로세스를 하는 전처리 장치(2)가 함께 이용된다. 상기 입력부(10)는 해석에 필요한 초기 조건 데이터를 입력받으며, 상기 저장부(20)는 이하 자세히 설명되는 새롭게 변경된 업데이트 방정식을 저장한다. 상기 연산 처리부(30)는 상기 저장부(20)에 저장된 업데이트 방정식을 기반으로 상기 초기 초건 데이터를 이용하여 상기 업데이트 방정식의 파라미터들을 결정하는 연산 처리를 한다. 상기 초기 조건 데이터는 격자의 크기, 주파수, 시간 간격, 매질 종류를 포함하다. 상기 연산 처리부(30)는 상기 초기 조건 데이터를 이용하여 전파 위상속도(phase velocity)를 보정하기 위한 격자의 3축을 고려한 3 종류의 스케일링 팩터들(
Figure pat00160
,
Figure pat00161
및
Figure pat00162
)과, 감쇄 정도를 보정하기 위한 스케일링 팩터(
Figure pat00163
)를 계산하는 스케일링 팩터 계산부(32)와, 최적화된 웨이팅 팩터들을 계산하기 위한 웨이팅 팩터 계산부(34), 그리고, 나머지 다른 파라미터들을 계산하는 기타 파라미터 계산부(36)를 포함한다. 상기 연산 처리부(30)에 의해 결정된 파라미터들에 의해 상기 업데이트 방정식은 시뮬레이션이 가능한 상태로 완성된다. 상기 출력부(40)는 상기 완성된 업데이트 방정식을 이용하여 분석 대상을 시뮬레이션 한다.
도 5b를 참조하면, 본 실시예에 따른 전자기파 수치해석 방법은, ID-FDTD 방법을 이용하는 것으로서, 전자기파 해석 영역을 복수의 평행육면체 격자로 분할하는 전처리 단계(S1)와, 상기 격자의 크기, 주파수, 시간 간격, 매질 종류를 포함하는 초기 조건을 입력 받는 단계(S2)와, ID 공간 차분 연산자
Figure pat00164
를 적용한 업데이트 방정식을 기반으로, 상기 초기 조건을 이용해 상기 업데이트 방정식의 파라미터들을 결정하는 파라미터 결정 단계(S3)와, 상기 파라미터들에 의해 완성된 업데이트 방정식을 이용하여 시뮬레이션을 수행하는 출력단계(S4)를 포함한다.
도 5a와 도 5b를 참조하면, 상기 전처리 단계(S1)는 전처리 장치(2)에 의해 수행되며, 상기 입력 단계(S2)는 상기 입력부(10)에 의해 상기 촉기 조건들이 입력되어 이루어진다. 상기 파라미터 결정 단계(S3)는 연산 처리부(30)는 상기 저장부(20)에 저장된 식 (16)과 같은 업데이트 방정식을 기반으로 하여 이루어지며, 이때, 상기 초기 조건의 데이터들이 파라미터들의 결정을 위한 연산에 이용된다. 상기 파라미터 결정 단계(S3)에서 상기 스케일링 팩터들의 계산과 상기 웨이팅 팩터들의 계산과, 기타 다른 업데이트 방정식의 파라미터 계산들이 이루어진다. 이에 의해, 완성된 업데이트 방정식을 얻을 수 있으며, 상기 업데이터 방정식을 이용하여 이루어지는 시뮬레이이션 작업이 상기 출력부(40)을 통해 출력된다.
위에서 설명한 종래 ID-FDTD 방법은
Figure pat00165
인 정육면체 격자 구조에서만 최적화가 가능했기 때문에, 본 발명에서는 정육면체가 아닌 일반적인 형태의 직육면체까지도 ID-FDTD 방법을 확장 적용하도록 한다. 또한, 앞에서 설명한 ID-FDTD 방법은 해석 조건(시간 간격, 격자 크기, 매질 종류 등)에 따라서, 최적의 가중치
Figure pat00166
,
Figure pat00167
를 컴퓨터 기반으로 빠르고 정확하게 구하는 구체적인 알고리즘을 제공하지 못하였다. 이를 개선하기 위해 위에서 언급한 바와 같이 격자의 3 축을 고려한 위상 속도 또는 전파 속도를 보정하는 3종류의 스케일링 팩터들(
Figure pat00168
,
Figure pat00169
및
Figure pat00170
)과 전파 진행시 감쇄 또는 손실을 보정하는 스케일링 팩터(
Figure pat00171
)와 컴퓨터를 이용해 공간 차분 연산자의 웨이팅 팩터(
Figure pat00172
,
Figure pat00173
) 를 최적화하는 알고리즘이 본 발명에 따라 제안된다.
● 새로운 ID-FDTD 방법의 업데이트 방정식
수치 전파 속도의 오차를 줄이기 위해서는 특정 전파 진행 방향을 기준으로 비등방성 오차를 줄이는 방식을 사용한다. 따라서, 기준이 되는 전파 진행 방향의 수치 전파 상수는 실제값(exact value)을 가질 필요성이 있다.
ID-FDTD 방법은 기준이 되는 전파 진행 방향을 축 방향으로 정하고, 스케일링 팩터를 이용해 축 방향의 수치 전파 속도가 실제값과 같도록 갖도록 조정한다. 이때, 정육면체 격자 구조에서는 세 축 방향으로 수치 전파 속도가 모두 동일하게 나타나기 때문에, 기준 축 선택에 따른 수식의 변화가 발생하지 않는다. 그러나, 정육면체(
Figure pat00174
)가 아닌 직육면체 격자 구조에서는 각 축 방향의 수치 전파 속도가 다르게 나타나기 때문에, 기존 방법으로 하나의 축 방향을 수치 전파 속도의 기준으로 잡을 수가 없다. 따라서, 각기 다른 축 방향의 수치 전파 속도를 동일하게 만드는 과정이 필요하다. 이에 업데이트 방정식을 다음과 같이 변경하도록 한다.
변경 전의 경우, 스케일링 팩터
Figure pat00175
을 유전율과 투자율에 변화를 가해 수치 전파 속도를 조정하는 기능을 하였으나, 이하의 더 개선된 방법에서는 스케일링 팩터
Figure pat00176
대신에 각 축 방향의 수치 전파 속도를 조절하기 위해서 세 축을 고려한 세 종류의 스케일링 팩터
Figure pat00177
,
Figure pat00178
,
Figure pat00179
를 제안하고, 업데이트 방정식에서
Figure pat00180
를
Figure pat00181
로 변경한다.
동시에 각 축 방향의 전파 감쇄 또는 손실 성분을 반영하기 위해, 기존의 스케일링 팩터
Figure pat00182
대신에 축 방향의 손실 성분 스케일링 팩터
Figure pat00183
(여기서, u=x,y,z)를 평균한 스케일링 팩터
Figure pat00184
를 제안한다. 이에 따라 각 필드의 업데이트 방정식은 다음의 식 (16)과 같이 나타난다.
Figure pat00185

● 스케일링 팩터 계산
FDTD 방법의 수치 전파 속도가 실제값과 차이가 발생하는 이유는 연속적인 미분식을 유한 차분식으로 근사화하면서 수치적 오차가 발생할 수 있기 때문이다. FDTD의 최종 결과물은 컴퓨터에서 계산에 이용할 수 있는 업데이트 방정식이고, 이는 맥스웰 미분 방정식의 근사화한 유한 차분 방정식 형태이다. 업데이트 방정식을 이용해 해석조건의 전자기파 해의 관계식을 해석적으로 구한 것이 분산 관계식(dispersion relation)이다. 분산 관계식을 통해 제안한 알고리즘의 정확도를 가 분석할 수 있다.
새로운 업데이트 방정식의 분산 관계식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
Figure pat00186
여기서
Figure pat00187
,
Figure pat00188
,
Figure pat00189
,
Figure pat00190
,
Figure pat00191
,
Figure pat00192
그리고,
Figure pat00193
.
Figure pat00194
는 수치 전파 상수이다. 아래 첨자
Figure pat00195
는
Figure pat00196
의 순환 배열 이고,
Figure pat00197
와
Figure pat00198
는 웨이팅 팩터이다.
스케일링 팩터
Figure pat00199
과
Figure pat00200
는 수치 전파 상수
Figure pat00201
를 실제 전파 상수
Figure pat00202
와 같게 만드는 값으로 결정된다. 기본 격자의 x-, y-,z-축 방향 길이가 다를 경우, 각 축 방향의 수치 전파 상수를 실제 값과 같도록
Figure pat00203
을 결정 한다. 각 축 방향의 분산 관계식은 다음의 식 (18)과 같다.
Figure pat00204

이때
Figure pat00205
을 가정하면,
Figure pat00206
은 다음과 같다.
Figure pat00207

여기서
Figure pat00208
는 z의 실수부를 의미한다.
이때, 각 축 방향에 한해서 대신에
Figure pat00210
를 이용하면
Figure pat00211
는 다음을 만족한다.
Figure pat00212

여기서
Figure pat00213
는 z 의 허수부를 의미한다.
Figure pat00214
는 시간 변수에만 의존함으로, 축의 의존성을 제외하기 위해,
Figure pat00215
는 다음과 같은 평균값을 이용하도록 한다.
Figure pat00216

● LMS를 이용한 웨이팅 팩터의 최적화
3차원 공간의 모든 전파 진행 방향에 대해 비등방성 오차를 최소화시키는 최적의 가중치
Figure pat00217
와
Figure pat00218
는 해석 조건 (주파수, 격자 크기, 시간 간격, 매질의 종류등)에 영향을 받아 변화한다. 따라서, ID-FDTD를 실제 컴퓨터에서 계산에 이용하기 위해서는, 우선적으로 해석 조건에 적합한 최적의 가중치를 찾는 알고리즘이 필요하고, 본 발명에서는 최소 평균 자승법, 즉, LMS(least mean square) 기반의 알고리즘을 제안한다.
수치 전파 상수의 오차는 분산 관계식에서 계산되므로, 분산 관계식을 포함하는 보조 함수
Figure pat00219
를 다음과 같이 정의하도록 한다.
Figure pat00220
전파 진행 방향
Figure pat00221
와
Figure pat00222
에 따른 수치 전파 상수
Figure pat00223
의 미분식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure pat00224
일반적으로, FDTD 방법은 파장 대비 충분히 작은 크기의 격자를 사용하기 때문에,
Figure pat00225
값 주변의
Figure pat00226
에서
Figure pat00227
변화는 매우 적기 때문에, 여기서
Figure pat00228
는 상수로 가정하도록 한다. 그 결과
Figure pat00229
의 변화량은 의(
Figure pat00231
) 변화량에 비례한다고 할 수 있다. 따라서,
Figure pat00232
와
Figure pat00233
의 변화량을 최소화 시키면,
Figure pat00234
와
Figure pat00235
의 변화량를 최소화 시킨다고 할 수 있다. LMS 알고리즘을 통한 최적화를 수행하기 위해서 cost 함수로
Figure pat00236
를 구좌표계에서 다음과 같이 정의한다.
Figure pat00237
여기서
Figure pat00238
는 입체각(solid angle) 이다.
Figure pat00239
는 3차원의 모든 전파 진행 방향에서 수치 전파 상수
Figure pat00240
와 실제값
Figure pat00241
와의 차이, 즉 오차의 변화량을 누적하는 기능을 한다. 따라서
Figure pat00242
의 값을 최소화 시키는
Figure pat00243
,
Figure pat00244
값이 비등방성 오차를 최소화 시키는 최적의 가중치이고, 해당 조건은 다음 식을 만족시킨다.
Figure pat00245
식 (25)의 해는
Figure pat00246
의 공간적 변화량을
Figure pat00247
주변의 값으로 최소화 시킨 최적의 가중치
Figure pat00248
와
Figure pat00249
이다.
Figure pat00250
의 해를 찾는 과정을 살펴보자.
Figure pat00251
는 다음과 같이 쓸 수 있다.
Figure pat00252
여기서 다음과 같은 조건을 이용하도록 한다.
Figure pat00253
여기서
Figure pat00254
와
Figure pat00255
이고,
Figure pat00256
역시 같은 방법을 적용한다.
Figure pat00257
는
Figure pat00258
와
Figure pat00259
의 다항식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure pat00260
여기서
Figure pat00261
Figure pat00262
는 다음과 같이 나타내어진다.
Figure pat00263
여기서
Figure pat00264
. 따라서,
Figure pat00265
와
Figure pat00266
는 간단히 다음과 같이 주어진다.
Figure pat00267
Figure pat00268
과
Figure pat00269
는 다음과 같이 정리할 수 있다.
Figure pat00270
동일하게
Figure pat00271
위의 식 (32)와 식 (33)는 θ and φ에 대해서 변화가 완만한 함수(smooth function)이기 때문에, 가우스 구적법(Gauss quadarature)과 같은 수치 적분 방식을 사용하여도 매우 정확한 적분을 보장한다. 최종적으로,
Figure pat00272
의 해는 뉴턴-랩슨법(Newton-Raphson method)을 사용해 수치적으로 최적의
Figure pat00273
와
Figure pat00274
를 찾도록 한다.
도 7의 (a)는 매질 특성에 따른 적육면체 격자에서의 Yee FDTD, 기존의 ID-FDTD, 새로운 ID-FDTD의 수치 전파 상수 오차를 비교하여 보여주는 그래프이고, 도 7의 (b)는 직육면체 격자에서의 Yee FDTD와 새로운 ID-FDTD의 수치 전파 상수 오차를 비교하여 보여주는 그래프이다.

Claims (14)

  1. 컴퓨터에서 이용 가능한 업데이트 방정식을 이용해 전자기파를 수치해석하는 방법에 있어서,
    전처리 장치가 전자기파 해석 영역을 복수의 평행육면체 격자로 분할하는 전처리 단계;
    입력부가 상기 격자의 크기, 주파수, 시간 간격, 매질 종류를 포함하는 초기 조건을 입력 받는 단계;
    연산 처리부가 ID 공간 차분 연산자
    Figure pat00275
    를 적용한 업데이트 방정식을 기반으로, 상기 초기 조건을 이용해 상기 업데이트 방정식의 파라미터들을 결정하는 파라미터 결정 단계; 및
    출력부가 상기 파라미터들에 의해 완성된 업데이트 방정식을 이용하여 시뮬레이션을 수행하는 출력단계를 포함하며,
    상기 ID 공간 차분 연산자
    Figure pat00276
    는 상기 격자의 면, 꼭지점 및 선분에 위치한 필드값들을 이용한 3종류의 공간 차분 연산자들을 웨이팅 팩터
    Figure pat00277
    및
    Figure pat00278
    적용하에 합친 것을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법.
  2. 청구항 1에 있어서, 상기 3종류의 공간 차분 연산자는 상기 격자의 면 중심에 존재하는 필드 값 두개를 이용하는 공간 차분 연산자
    Figure pat00279
    , 상기 격자의 꼭지점에 위치하는 필드값을 이용하는 공간 차분 연산자
    Figure pat00280
    , 상기 격자의 선분 중점에 위치하는 필드값을 이용하는 공간 차분 연산자
    Figure pat00281
    를 포함하는 것을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법.
  3. 청구항 2에 있어서, 상기 ID 공간 차분 연산자는
    Figure pat00282
    로 정의된 것을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법.
  4. 청구항 1에 있어서, 상기 업데이트 방정식은 상기 격자의 세 축 방향 수치 전파 속도를 동일하게 만들기 위한 세 종류의 스케일링 팩터
    Figure pat00283
    ,
    Figure pat00284
    ,
    Figure pat00285
    가 적용된 것이며, 상기 ID 공간 차분 연산자는
    Figure pat00286
    로 변경된 것임을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법.
  5. 청구항 4에 있어서, 상기 파라미터 결정 단계는 주파수, 격자 크기, 시간 간격, 매질 종류의 초기 조건 하에서, 상기 스케일링 팩터
    Figure pat00287
    ,
    Figure pat00288
    및
    Figure pat00289
    과, 전파 진행시 손실 성분 오차를 줄이기 위한 스케일링 팩터
    Figure pat00290
    를 계산하는 한편 최적화된 웨이팅 팩터를 계산하여, 상기 업데이트 방정식을 완성하는 파라미터들을 결정하는 것을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법.
  6. 청구항 5에 있어서, 상기 최적화된 웨이팅 팩터의 계산을 위해 LMS(최소 평균 자승법)을 이용하는 것을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법.
  7. 청구항 1에 있어서, 상기 업데이트 방정식은 아래의 식과 같으며,
    Figure pat00291

    여기에서, H는 자기장, E는 전기장,
    Figure pat00292
    ,
    Figure pat00293
    은 각각 자유 공간(free space)의 유전율과 투자율, 상대 유전율
    Figure pat00294
    이고,
    Figure pat00295
    이고,
    Figure pat00296
    는 전도율이고,
    Figure pat00297
    은 상대 투자율로 매질의 특성을 나타내는 파라미터들,
    Figure pat00298
    는 각속도,
    Figure pat00299
    ,
    Figure pat00300
    및
    Figure pat00301
    는 ID 공간 차분 연산자,
    Figure pat00302
    ,
    Figure pat00303
    ,
    Figure pat00304
    ,
    Figure pat00305
    는 스케일링 팩터인 것을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법.
  8. 평행육면체 격자를 이용하여 컴퓨터에서 이용 가능한 업데이트 방정식을 만들어 전자기파를 수치해석하는 방법에 있어서,
    ID 공간 차분 연산자
    Figure pat00306
    를 적용하여 만들어진 아래의 업데이트 방정식이 저장되는 단계;
    Figure pat00307

    (여기에서, 여기서, H는 자기장, E는 전기장,
    Figure pat00308
    ,
    Figure pat00309
    은 각각 자유 공간(free space)의 유전율과 투자율, 상대 유전율
    Figure pat00310
    이고,
    Figure pat00311
    이고,
    Figure pat00312
    는 전도율이고,
    Figure pat00313
    은 상대 투자율로 매질의 특성을 나타내는 파라미터들,
    Figure pat00314
    는 각속도,
    Figure pat00315
    ,
    Figure pat00316
    및
    Figure pat00317
    는 ID 공간 차분 연산자,
    Figure pat00318
    ,
    Figure pat00319
    ,
    Figure pat00320
    ,
    Figure pat00321
    는 스케일링 팩터)
    상기 격자의 크기, 주파수, 시간 간격, 매질 종류를 초기 조건 하에, 상기 업데이트 방정식을 기반으로 상기 스케일링 팩터를 계산하고 최적화된 웨이팅 팩터를 계산하여 상기 업데이트 방정식의 파라미터들을 결정하는 것을 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법
  9. 청구항 8에 있어서, 상기 최적화된 웨이팅 팩터의 계산을 위해 LMS(최소 평균 자승법)을 이용하는 것을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 방법.
  10. 청구항 9에 있어서, 상기 평행육면체 격자는 정육면체와 직육면체를 포함하는 것을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치 해석 방법.
  11. 컴퓨터에서 이용 가능한 업데이트 방정식을 이용해 전자기파를 수치해석하는 시스템에 있어서,
    전자기파 해석 영역을 복수의 평행육면체 격자로 분할하는 전처리 장치로부터 상기 격자의 크기, 주파수, 시간 간격, 매질 종류를 포함하는 초기 조건을 입력 받는 입력부와;
    ID 공간 차분 연산자
    Figure pat00322
    를 적용한 업데이트 방정식이 저장된 저장부와;
    상기 초기 조건을 이용해 상기 저장부에 저장된 상기 업데이트 방정식의 파라미터들을 결정하는 연산 처리부와;
    상기 파라미터들에 의해 완성된 업데이트 방정식을 이용하여 시뮬레이션을 수행하는 출력부를 포함하며,,
    상기 ID 공간 차분 연산자
    Figure pat00323
    는 상기 격자의 면, 꼭지점 및 선분에 위치한 필드값들을 이용한 3종류의 공간 차분 연산자들을 웨이팅 팩터
    Figure pat00324
    및
    Figure pat00325
    적용하에 합친 것임을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 시스템.
  12. 청구항 11에 있어서, 상기 3종류의 공간 차분 연산자는 상기 격자의 면 중심에 존재하는 필드 값 두개를 이용하는 공간 차분 연산자
    Figure pat00326
    , 상기 격자의 꼭지점에 위치하는 필드값을 이용하는 공간 차분 연산자
    Figure pat00327
    , 상기 격자의 선분 중점에 위치하는 필드값을 이용하는 공간 차분 연산자
    Figure pat00328
    를 포함하는 것을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 시스템.
  13. 청구항 11 또는 청구항 12에 있어서, 상기 업데이트 방정식은 아래의 식과 같으며,
    Figure pat00329

    여기에서, H는 자기장, E는 전기장,
    Figure pat00330
    ,
    Figure pat00331
    은 각각 자유 공간(free space)의 유전율과 투자율, 상대 유전율
    Figure pat00332
    이고,
    Figure pat00333
    이고,
    Figure pat00334
    는 전도율이고,
    Figure pat00335
    은 상대 투자율로 매질의 특성을 나타내는 파라미터들,
    Figure pat00336
    는 각속도,
    Figure pat00337
    ,
    Figure pat00338
    및
    Figure pat00339
    는 ID 공간 차분 연산자,
    Figure pat00340
    ,
    Figure pat00341
    ,
    Figure pat00342
    ,
    Figure pat00343
    는 스케일링 팩터인 것을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 시스템.
  14. 청구항 13에 있어서, 상기 연산 처리부는,
    상기 스케일링 팩터들을 계산하는 스케일링 팩터 계산부와,
    상기 웨이팅 팩터들을 최적화하는 웨이팅 팩터 계산부와,
    상기 업데이트 방정식의 다른 파라미터들을 계산하는 기타 파라미터 계산부를 포함하는 것을 특징으로 하는 ID-FDTD 방법을 이용한 전자기파 수치해석 시스템.
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