KR20090092584A - 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 인간형의 이족 보행 로봇이 안정적이고 에너지 효율적이면서도 정확한 보행을 할수 있도록 하지 관절 모터의 각 궤적을 컴퓨터로 계산하는 방법에 관한 것으로, 사상(projection) 기법을 이용하여 상기 로봇의 3차원 모델을 계산하는 단계; 상기 로봇의 하지 각 링크의 길이와 질량을 이용하여 보행시 각 관절에서 발생시키는 토크를 계산하는 단계; 상기 3차원 모델로부터 이족 보행 시 매 시점의 영 모멘트 점(zero moment point;ZMP)를 계산하는 단계; 상기 로봇의 3차원 모델에서 기하학 각도를 관절 모터 각도로 변환하는 단계; 다항 함수(polynomial function)를 이용해서 상기 로봇의 하지 관절 모터의 각 궤적 추이를 생성하는 단계; 컴퓨터 최적화 기법을 이용해서 상기 다항 함수의 계수들을 컴퓨터로 탐색하는 단계를 포함한다.

Description

이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법{Optimal Trajectory Generation of a Humanoid Robot for Biped Walking}

본 발명은 인간형 로봇에 관한 것으로, 구체적으로 원하는 보폭과 보행 주기를 만족시키는 하지 관절 모터의 최적 회전 궤적을 최적화 기법으로 구하여 안정적이고 에너지 효율이 우수한 보행이 가능하도록 한 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법에 관한 것이다.

현재 급속한 인구의 노령화로 각 가정에서 설거지, 청소, 홈 케어 등 인간의 활동을 보조 또는 대체할 지능형 서비스 로봇의 요구가 증대되고 있음을 고려할 때, 서비스 로봇의 가장 훌륭한 대안이 되는 휴머노이드의 보행기술이 대단히 중요함을 알 수 있다.

따라서, 휴머노이드가 계단이나 경사면 또는 복잡한 보행 환경에서도 안정적으로 보행할 수 있게 하는 지능적 이족보행 기술의 발전이 크게 요구되고 있다.

이족 로봇의 보행에서 관절 모터의 기준궤적을 생성하는 것은 매우 중요하면서도 어려운 일이다. 이족 보행을 수행하기 위해서는 착지하는 발의 위치가 목표점에 정확히 안착해야 하며, 안정도를 위해 zero moment point(ZMP)가 지면에 접촉되어 있는 발의 convex hull 내에 존재해야 한다.

또한 로봇의 이동성을 향상시키기 위해 배터리를 장착할 경우, 각 모터에서 생성하는 토크의 합이 최소가 되어야 장시간 로봇을 운용할 수 있다.

현재까지 이족보행의 안정성에 많은 연구가 진행되고 있으며 ZMP의 보상 방식에 따라 크게 잉여 자유도에 의한 균형추의 균형운동 방법(노경곤 외, "지능 알고리즘 기반의 이족 보행로봇의 보행 구현", 제어.자동화.시스템공학 논문지 제10권 제12호, 2004)과, 보행로봇의 특정 관절을 이용한 제어방법[J. Yamaguchi 외, "Development of a biped walking robot adapting to a horizontally uneven surface,IEEE/RSJ Int . Conf . on Intelligent Robots and Systems, pp. 1156-1163, 1994)등의 연구가 이루어져 왔다.

그리고 모터의 소비에너지를 고려한 최적의 궤적을 생성하기 위한 연구에서는 일반적으로 보행궤적을 근사화하기 위한 기저 함수의 계수들이 설계변수로 이용되었다.

Lee와 Chen은 최적 궤적을 생성하기 위해 기저 함수로 cubic B-spline을 사용하고, gradient-base 알고리듬을 이용했다.(T.T.Lee 외, "Minimum-fuel path planning of a 5-link biped robot", Proc . of the Twentieth Southeastern Sym . on System Theory, pp. 459-463, 1988)

그리고 Roussel 등은 보행 궤적을 근사화하기 위해 piecewise constant method를 사용하였다.(L. Roussel 외, "Generation of　energy optimal complete gait cycles for biped robots, Proc . of the IEEE Int . Conf . on Robotics and Automation, pp. 2036-2041, 1998.)

그리고 Westervelt와 Grizzle은 SQP 알고리듬과 cubic spline의 변수를 사용한 최적화 패키지를 사용하였다.(E. R. Westervelt 외, "Design of asymptotically stable walking for a 5-link planar biped walker via optimization", Proc . of the IEEE Int . Conf . on Robotics and Automation, pp. 3117-3122, 2002)

또한, 각 관절의 각도를 4차 다항식으로 정의하고, 에너지 소비를 최소화하는 다항식 계수값들을 유전 알고리듬으로 탐색하는 방법도 사용되었다.(최무성 외, "유전자 알고리즘을 이용한 이족 보행 로봇의 최적 설계 및 최적 보행 궤적 생성", 제어.자동화.시스템공학 논문지 제10권 제9호, 2004)

이와 같은 이족보행의 안정성 및 모터의 소비에너지를 고려한 최적의 궤적을 생성하기 위한 연구들은 2차원 모델에 대해서만 적용되었으며, 최적화해야 할 총 파라미터들이 과도하게 많은 문제점이 있다.

본 발명은 이족 보행 로봇에 관한 종래 기술의 문제를 해결하기 위한 것으로, 원하는 보폭과 보행 주기를 만족시키는 하지 관절 모터의 최적 회전 궤적을 최적화 기법으로 구하여 안정적이고 에너지 효율이 우수한 보행이 가능하도록 한 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법을 제공하는데 그 목적이 있다.

본 발명은 3차원에서의 인간형 로봇을 2차원으로 사상(projection) 시키는 방법으로써 각 관절의 3차원 좌표를 구하고, 상기 3차원 모델로부터 보행시 동역학과 ZMP를 계산하여 안정성과 에너지 최소화, 정확한 보폭을 동시에 만족시키는 하지 관절의 최적 궤적을 생성시키는 기술을 제공하는데 그 목적이 있다.

본 발명은 관절의 최적 궤적 형상을 최소의 파라미터로 구현하기 위해 다항 함수가 사용되며, 계산식의 복잡성 때문에 비용함수의 미분 식이 필요하지 않은 연산적 최적화 기법(computational optimization method)을 사용한 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법을 제공하는데 그 목적이 있다.

이와 같은 목적을 달성하기 위한 본 발명에 따른 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법은 인간형 로봇의 이족 보행을 위한 최적 궤적 생성을 위하여, 상기 로봇의 3차원 모델을 계산하고, 상기 로봇의 보행시 각 관절에서 발생시키는 토크를 계산하는 단계;상기 3차원 모델로부터 이족 보행시의 ZMP를 계산하는 단계;상기 로봇의 3차원 모델에서 기하학 각도를 관절 모터 각도로 변환하는 단계;다항 함수(polynomial function)를 이용해서 상기 로봇의 하지 관절 모터의 각 궤적 추이를 생성하는 단계;상기 다항 함수의 계수들을 연산적 최적화 기법으로 탐색하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 한다.

이와 같은 본 발명에 따른 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법은 다음과 같은 효과를 갖는다.

첫째, 본 발명은 새롭게 제안된 인간형 로봇의 3차원 모델을 이용하여, 이족 보행시 상기 로봇의 기구학과 동역학, ZMP를 컴퓨터로 계산할 수 있게 하며, 원하는 보폭과 보행 주기를 만족시키는 각 관절 모터의 최적 회전 궤적을 컴퓨터 최적화 기법을 이용하여 용이하게 구할 수 있게 한다.

둘째, 본 발명은 하지를 구성하는 각 링크의 길이와 질량, 관절 모터의 기준 회전 방향만 알면 로봇의 종류와 상관없이 모든 인간형 로봇에 적용할 수 있는 장점이 있다.

셋째, 본 발명에 의해 생성된 상기 최적 궤적은 기존의 인간형 로봇에 기준 궤적(reference trajectory)으로 사용되어 보행 성능을 향상시킬 수 있다.

넷째, 본 발명에 따른 3차원 모델과 관절 궤적 생성 방법은 향후 인간형 로봇의 다양한 동작(계단 오르기, 물건 옮기기, 춤 추기 등) 구현에도 적용 가능하다.

도 1은 인간형 로봇의 이족 보행을 위한 역진자의 3차원 운동 모델을 나타낸 구성도

도 2는 인간형 로봇의 정면 모델을 나타낸 구성도

도 3은 인간형 로봇의 측면 모델을 나타낸 구성도

도 4는 두 개의 궤적으로 구성된 혼합 다항식 형상을 나타낸 구성도

도 5는 세 개의 궤적으로 구성된 혼합 다항식 형상을 나타낸 구성도

도 6은 최적화 알고리듬을 이용해서 7개의 모터에 대한 최적 궤적 계산 실시예를 나타낸 구성도

도 7은 도 6의 관절 궤적 조합에 의해 구현된 이족 보행 컴퓨터 시뮬레이션 결과

도 8은 도 7의 이족 보행 수행시 ZMP를 이용한 안정성(stability) 확인 결과

이하, 본 발명에 따른 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법의 바람직한 실시예에 관하여 상세히 설명하면 다음과 같다.

본 발명에 따른 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법의 특징 및 이점들은 이하에서의 각 실시예에 대한 상세한 설명을 통해 명백해질 것이다.

도 1은 인간형 로봇의 이족 보행을 위한 역진자의 3차원 운동 모델을 나타낸 구성도이다.

그리고 도 2는 인간형 로봇의 정면 모델을 나타낸 구성도이고, 도 3은 인간형 로봇의 측면 모델을 나타낸 구성도이다.

본 발명은 인간형의 이족 보행 로봇이 안정적이고 에너지 효율적이면서도 정해진 보폭으로 걸어갈 수 있도록 하지 관절 모터의 각 궤적을 컴퓨터로 계산하는 방법에 관한 것이다.

본 발명에 따른 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법은 사상(projection) 기법을 이용하여 상기 로봇의 3차원 모델을 계산하는 단계와, 상기 로봇의 하지 각 링크의 길이와 질량을 이용하여 보행시 각 관절에서 발생시키는 토크를 계산하는 단계와, 상기 3차원 모델로부터 이족 보행 시 매 시점의 ZMP를 계산하는 단계와, 상기 로봇의 3차원 모델에서 기하학 각도를 관절 모터 각도로 변환하는 단계와, 다항 함수(polynomial function)를 이용해서 상기 로봇의 하지 관절 모터의 각 궤적 추이를 생성하는 단계와, 컴퓨터 최적화 기법을 이용해서 상기 다항 함수의 계수들을 컴퓨터로 탐색하는 단계를 포함한다.

먼저, 본 발명에 따른 사상(projection) 기법을 이용하여 상기 로봇의 3차원 모델을 계산하는 단계를 구체적으로 설명한다.

도 1은 인간형 로봇의 이족 보행을 위한 3차원 모델을 설명하기 위해 간단한 역진자를 나타낸 것으로, 각 링크의 길이가 l이고 무게가 m인 역진자를 -y축 방향으로 회전시킨 후, x축 방향으로 회전시킨 것을 나타내며 역진자의 최종 좌표는 수학식 1에서와 같이 회전 행렬(rotation matrix)을 이용해서 계산된다.

상기 수학식 1로부터, 후행 회전이 일어나는 평면(x-z 평면, 이하 측면평면)에서 보면 y-z 평면(이하 정면평면)에서 발생된 선행 회전은 링크의 길이를 에서 로 사상(projection)시키는 역할을 한다.

이러한 특성을 적용하여 모든 하지 관절에 대해 3차원 모델의 각 관절 좌표를 계산하면 수학식 2에서와 같이 표현된다.

상기 수학식 2에서,

는 지지하는 다리의 발목 관절, 무릎 관절, 대퇴부 관절들의 좌표를 각각 나타내며,

는 내딛는 다리의 대퇴부 관절, 무릎 관절, 발목 관절, 발의 중심점들의 좌표를 각각 나타내고,

는 측면평면에서 -y 축을 기준으로 회전하는 각도를 나타내며,

는 측면평면으로 사상된 링크 길이를 나타내며 다음과 같이 표현된다.

상기 수학식3에서 는 정면 평면에서 회전하는 각도를 의미하며 도 2에 도시되어 있다.

그리고 본 발명에 따른 로봇의 하지 각 링크의 길이와 질량을 이용하여 보행시 각 관절에서 발생시키는 토크를 계산하는 단계를 구체적으로 설명하면 다음과 같다.

본 발명에서는 인간형 로봇의 운용 시간을 극대화하기 위해 이족 보행시 전력 소비를 최소화하는 관절 모터 궤적을 생성하기 위한 것이다.

이를 위해 상기 로봇의 이족 보행시 각 관절에서 발생시키는 토크를 다음과 같이 Euler-Lagrange 수식을 이용해서 정확하게 계산한다.

상기 수학식 4에서 d_ij는 관성행렬(inertia matrix) 의 i번째 행, j번째 열의 원소를 나타내고, 는 k번째 관절의 중력 벡터를 의미하며,는 k번째 관절에서 발생시키는 토크를 나타내며,는 Christoffel symbol로서 수학식 5에서와 같이 정의된다.

그리고 수학식 4의 관성행렬은 수학식 6에서와 같이 표현된다.

상기 수학식 6에서 항은 병진 운동 에너지(translational kinetic energy)를 표현하는 식이며,

는 i번째 링크의 중심점에서의 Jacobian(관절 공간의 회전운동을 직각 좌표공간의 직선운동으로 변환하는 행렬)을 의미하며, ci는 도 2와 도 3에 검은 점으로 도시된 바와 같이 i번째 링크의 중심점을 나타내고,는 i번째 링크의 관성 모멘트(moment of inertia)를 의미한다.

를 계산한 결과는 수학식 7에서와 같다.

수학식 7에서 는 를 의미한다. 마찬가지로 이후에 로 표현되는 항은 를 나타낸다.

그리고 수학식 4를 이용해서 첫번째 관절에서 발생시키는 토크를 계산한 식은 수학식 8에서와 같다.

그리고 본 발명에 따른 3차원 모델로부터 이족 보행시 매 시점의 ZMP를 계산하는 단계를 구체적으로 설명하면 다음과 같다.

이족 보행시 한 발을 지면에서 떼었을 때 상기 로봇이 넘어지지 않기 위해서는 지지하는 발이 지면과 접촉하는 평면 내에, 각 시점의 ZMP가 존재해야 한다.

그러므로 안정도 확인을 위해 ZMP의 x 좌표와 y 좌표를 상기 3차원 모델에 기반해서 계산해야 한다.

먼저, 이족 보행시의 ZMP의 x좌표는 수학식 9에서와 같이 구해진다.

상기 수학식 9에서 g는 중력가속도를 나타내며, 는 i번째 링크 무게중심 점에서의 x 좌표를 시간에 대해 두 번 미분한 값을 나타내며, 두 번째 링크에 대한 수식은 수학식 10에서와 같다.

수학식 9에서 는 i번째 링크 무게중심 점에서의 z 좌표를 시간에 대해 두 번 미분한 값을 나타내며, 두 번째 링크에 대한 수식은 수학식 11에서와 같다.

그리고 ZMP의 y좌표를 구하는 식은 수학식 12에서와 같다.

상기 수학식 12에서 는 i번째 링크 무게중심 점에서의 y 좌표를 시간에 대해 두 번 미분한 값을 나타내며, 두 번째 링크에 대한 수식은 수학식 13에서와 같이 표현된다.

수학식 12에서 는 i번째 링크 무게중심 점에서의 z 좌표를 시간에 대해 두 번 미분한 값을 나타내며, 두 번째 링크에 대한 수식은 아래의 수학식 14에서와 같이 표현된다.

그리고 본 발명에 따른 로봇의 3차원 모델에서 기하학 각도를 관절 모터 각도로 변환하는 단계는 다음과 같다.

이족 보행시 이전의 방법들은 각 하지 관절의 최적 궤적을 생성하기 위해 도 2와 도 3에 도시된 기하학적 각도 의 궤적 파라미터들을 직접적으로 최적화하는 방법을 적용하는데, 이 경우에는 파라미터들이 갖는 물리적인 의미를 알 수 없기 때문에 적절한 탐색 범위를 정하기가 어렵다.

이는 필요 이상으로 넓은 범위에서 최적값을 탐색하게 하므로 탐색 성능의 저하를 초래하여, 긴 탐색 시간을 요하거나 탐색을 불가능하게 한다.

본 발명에서는 효율적인 최적 궤적 생성을 위해 각 관절별 물리적 회전 각도(이하 모터 회전각)를 상기 기하학적 각도로부터 유도하고, 상기 모터 회전각에 대해 다항함수 형태의 궤적을 부여한다.

도 3으로부터 구해지는 기하 각도와 모터 각도의 관계식은 수학식 15에서와 같다.

수학식 15에서 아래첨자 an , kn , th는 하지의 발목, 무릎, 대퇴부 관절임을 각각 나타내고,위첨자 (1),(2)는 지지하는 다리와 내뻗은 다리임을 각각 나타낸다.

그리고 본 발명에 따른 다항 함수(polynomial function)를 이용해서 상기 로봇의 하지 관절 모터의 각 궤적 추이를 생성하는 단계는 다음과 같다.

각 관절의 모터 회전각 궤적은 최고차가 n차인 다항식을 사용해서 수학식 16에서와 같이 나타낸다.

수학식 16에서 은 실수 계수를 나타낸다.

그리고 최고차가 m차인 저차의 다항식으로 표현되는 궤적을 p개 이상 연속으로 이어 붙여서 혼합 다항식(blending polynomial)을 수학식 17에서와 같이 생성하여 모터 회전각 궤적으로 사용한다.

여기서, 은 실수 계수를 나타낸다.

일반적으로 관절 궤적은 모든 시점에서 부드러워야 하므로 상기 수학식 17의 연결 시간 노드 에서는 이전 궤적과 이후 궤적의 각도 값들과 각도 미분 값들(보다 엄밀하게는 각도의 두 번 미분값들)이 동일해야 한다.

도 4는 상기 혼합 다항식의 일례로 최고차가 3차인 다항식으로 표현된 두 개의 궤적을 2초일 때 하나로 연결한 것을 나타낸다.

그리고 도 5는 최고차가 3차인 다항식으로 표현된 세 개의 궤적을 시간이 1초와 2.5초 경과했을 때 연결한 것을 나타낸다.

그리고 본 발명에 따른 연산적 최적화 기법(computational optimization method)을 이용해서 상기 다항 함수의 계수들을 탐색하는 단계를 구체적으로 설명하면 다음과 같다.

본 발명에서는 인간형 로봇의 엄밀한 3차원 모델을 기반으로 각 관절의 위치와 토크, ZMP 등을 계산하기 때문에, 비용함수(cost function)의 미분 방정식 계산을 필요로 하지 않는 연산적 최적화 기법을 사용해야 한다.

본 발명에서 사용되는 연산적 최적화 기법으로는 Simulated Annealing, 유전 알고리듬, Particle Swarm Optimization, Dynamic Encoding Algorithm for Searches 등이 있다.

본 발명에서는 아래의 최적화 목표를 동시에 만족시키는 하지 관절 모터 회전각 궤적을 구한다.

첫째, 보행 안정도를 위해 보행시 계산된 ZMP의 x, y 좌표 값들이 접지한 발의 발바닥 영역 내에 최대한 오래 있어야 한다.

둘째, 로봇의 안전을 위해 내뻗는 다리의 발바닥 최저점이 지면보다 항상 높아야 한다.

셋째, 보행 정밀도를 위해 착지하는 발바닥의 중심 좌표가 목표점의 x, y 좌표와 최대한 일치해야 한다.

넷째, 이동성을 극대화하기 위해 소비전력을 최소화해야 하며, 이를 위해서 각 관절 모터에서 발생시키는 토크의 합이 최소가 되어야 한다.

이와 같은 최적화 목표들을 동시에 만족시키는 모터 회전각 궤적을 구하기 위해 비용함수를 하기와 같이 정의한다.

여기서, 는 모터에서 소비하는 에너지 항에 곱해지는 가중치 계수이고, P는 상기 최적화 목표 첫째 ~ 셋째를 만족시키지 못할 경우 비용함수를 증가시키도록 고안된 벌칙함수(penalty function)를 나타낸다.

수학식 19는 벌칙함수의 일례를 나타낸다.

여기서, 는 상기 최적화 목표 중 i번째 목표를 만족시키지 못할 때 해당 벌칙값을 반영하기 위해 곱해지는 가중치 계수이고,

T는 보행 주기를 나타내고,

S는 보폭을 나타내며,

는 순시 ZMP 값인 값이 ZMP 영역 내에 있을 때는 0, 영역 외에 있을 때는 가까운 쪽 경계값과의 x값 차이와 y값 차이를 합한 값을 출력하는 함수를 나타내고, 과 은 착지하는 발의 중심점의 x, z 좌표 값 최종치를 각각 의미한다.

도 6은 도 4와 도 5에 도시된 혼합 다항함수와 유전 알고리듬을 이용해서 7개의 관절에 대한 최적 모터 회전각 궤적을 계산한 예를 나타낸 것이다.

도 7은 도 6의 관절 궤적 조합에 의해 인간형 로봇의 이족 보행을 컴퓨터 상에서 시뮬레이션한 것을 나타낸다.

그리고 도 8은 상기 도 7의 이족 보행 수행시 ZMP를 이용하여 안정성(stability)을 확인한 예로서, 직사각형으로 표현된 ZMP 영역 안에 대부분의 순시 ZMP가 존재함을 보인다.

이상에서 상세하게 설명한 바와 같이, 본 발명은 새롭게 제안된 인간형 로봇의 3차원 모델을 이용하여, 이족 보행시 상기 로봇의 기구학과 동역학, ZMP를 컴퓨터로 계산할 수 있게 하며, 원하는 보폭과 보행 주기를 만족시키는 각 관절 모터의 최적 회전 궤적을 컴퓨터 최적화 기법을 이용하여 용이하게 구할 수 있게 한다.

이상 설명한 내용을 통해 당업자라면 본 발명의 기술 사상을 일탈하지 아니하는 범위에서 다양한 변경 및 수정이 가능함을 알 수 있을 것이다.

따라서, 본 발명의 기술적 범위는 실시예에 기재된 내용으로 한정되는 것이 아니라 특허 청구의 범위에 의하여 정해져야 한다.

Claims (11)

1. 인간형 로봇의 이족 보행을 위한 최적 궤적 생성을 위하여,

   상기 로봇의 3차원 모델을 계산하고, 상기 로봇의 보행시 각 관절에서 발생시키는 토크를 계산하는 단계;

   상기 3차원 모델로부터 이족 보행시의 ZMP를 계산하는 단계;

   상기 로봇의 3차원 모델에서 기하학 각도를 관절 모터 각도로 변환하는 단계;

   다항 함수(polynomial function)를 이용해서 상기 로봇의 하지 관절 모터의 각 궤적 추이를 생성하는 단계;

   상기 다항 함수의 계수들을 연산적 최적화 기법으로 탐색하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법.
2. 제 1 항에 있어서, 상기 로봇의 3차원 모델의 계산은,

   으로 이루어지고,

   여기서,는 지지하는 다리의 발목 관절, 무릎 관절, 대퇴부 관절들의 좌표를 각각 나타내며,

   는 내딛는 다리의 대퇴부 관절, 무릎 관절, 발목 관절, 발의 중심점들의 좌표를 각각 나타내는 것을 특징으로 하는 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법.
3. 제 2 항에 있어서, 는 측면평면에서 -y 축을 기준으로 회전하는 각도를 나타내며,는 측면평면으로 사상된 링크 길이를 나타내며, 이는

   으로 표현되고,

   여기서, 는 정면 평면에서 회전하는 각도를 의미하는 것을 특징으로 하는 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법.
4. 제 1 항에 있어서, 상기 로봇의 하지 관절 모터의 각 궤적 추이를 생성하기 위하여,

   측면 평면에서의 기하학적인 각도를 으로, 인간의 관절 움직임과 일치하도록 회전 방향을 정의하는 측면 평면에서의 모터 회전각 각도를

   으로 정의하면, 이들 각도의 관계는,

   으로 정의되고, 아래첨자 an , kn , th는 하지의 발목, 무릎, 대퇴부 관절임을 각각 나타내고,위첨자 (1),(2)는 지지하는 다리와 내뻗은 다리임을 각각 나타내는 것임을 특징으로 하는 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법.
5. 제 1 항 또는 제 4 항에 있어서, 각 관절이 발생시키는 토크의 계산은 기하학적인 각도 를 이용하여,

   으로 이루어지고,

   여기서, d_ij는 관성행렬(inertia matrix) 의 i번째 행, j번째 열의 원소를 나타내고, 는 k번째 관절의 중력 벡터를 의미하며,는 k번째 관절에서 발생시키는 토크를 나타내며,는 Christoffel symbol인 것을 특징으로 하는 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법.
6. 제 5 항에 있어서, Christoffel symbol 은,

   으로 정의되는 것을 특징으로 하는 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법.
7. 제 5 항에 있어서, 관성 행렬은,

   으로 정의되고, 여기서 항은 병진 운동 에너지(translational kinetic energy)를 표현하는 식이며,

   는 i번째 링크의 중심점에서의 Jacobian(관절 공간의 회전운동을 직각 좌표공간의 직선운동으로 변환하는 행렬)을 의미하며, ci는 도 2와 도 3에 검은 점으로 도시된 바와 같이 i번째 링크의 중심점을 나타내고,는 i번째 링크의 관성 모멘트(moment of inertia)를 의미하는 것을 특징으로 하는 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법.
8. 제 1 항 또는 제 4 항에 있어서, ZMP의 x좌표를 기하학적인 각도 를 이용하여,

   계산하고,

   여기서, g는 중력가속도를 나타내며, 는 i번째 링크 무게중심 점에서의 x 좌표를 시간에 대해 두 번 미분한 값을 나타내는 것을 특징으로 하는 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법.
9. 제 1 항 또는 제 4 항에 있어서, ZMP의 y좌표를 기하학적인 각도 를 이용하여,

   으로 계산되고, 여기서, 는 i번째 링크 무게중심 점에서의 y 좌표를 시간에 대해 두 번 미분한 값을 나타내는 것을 특징으로 하는 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법.
10. 제 1 항에 있어서, 상기 로봇의 하지 관절 모터의 각 궤적 추이를 생성하기 위하여,

    각 관절의 모터 회전각 궤적은 최고차가 n차인 다항식을 사용해서,

    으로 정의하고, 여기서, 은 실수 계수이고,

    최고차가 m차인 저차의 다항식으로 표현되는 궤적을 p개 이상 연속으로 이어 붙여서 혼합 다항식(blending polynomial)을

    으로 구하고, 여기서, 은 실수 계수를 나타내는 것임을 특징으로 하는 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법.
11. 제 10 항에 있어서, 연결 시간 노드 에서는 이전 궤적과 이후 궤적의 각도 값들과 각도 미분 값들이 동일한 것을 특징으로 하는 이족 보행을 위한 인간형 로봇의 최적 궤적 생성 방법.