KR20080043941A - 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법 - Google Patents
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Abstract
본 발명은 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법을 제공하기 위한 것으로, 공정 데이터를 적분하는 제 1 단계와; 상기 제 1 단계 후 고조파항의 영향을 제거하여 임계이득을 계산하는 제 2 단계;를 포함하여 구성함으로서, 릴레이 되먹임 신호를 적분하여 사용하여 고조파의 영향을 대폭 제거하여 공정의 임계정보와 주파수 모델을 구할 수 있게 되는 것이다.
릴레이 되먹임(Relay feedback), 적분(Integrals), 자동동조(Autotuning), 공정확인(Identification), PID(Proportional integral derivative, 비례 적분 미분)
Description
도 1은 종래 릴레이 되먹임 방법과 적분을 보인 도면이다.
도 2는 종래 릴레이 되먹임 신호 응답과 적분 응답을 보인 도면이다.
도 3은 본 발명의 일 실시예에 의한 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법을 보인 흐름도이다.
도 4는 도 3에서 파라미터 모델 제공을 위한 상세 흐름도의 일예이다.
도 5는 순환적 정상상태에서의 릴레이 신호들의 응답과 사인(sine) 신호를 보인 도면이다.
도 6은 일차시간지연공정 (G(s)=exp(-ds)/(τs+1))의 경우, 제안한 방법들과 기존 방법의 임계정보 모델링 성능을 보인 도면이다.
도 7은 일차시간지연공정 (G(s)=exp(-ds)/(τs+1))의 경우, 제안한 방법들과 기존 방법의 주파수모델 성능을 보인 도면이다.
도 8은 일차시간지연공정 (G(s)=exp(-ds)/(τs+1))의 경우, 시상수 모델링 성능을 보인 도면이다.
도 9는 일차시간지연공정 (G(s)=exp(-ds)/(τs+1))의 경우, 측정오차에 대한 시상수 모델링 성능을 보인 도면이다.
도 10은 커버쳐(Curvature)와 일차시간지연공정 (G(s)=exp(-ds)/(τs+1)) 간의 관계성을 보인 도면이다.
도 11은 고차 공정에 있어 일차시간지연 모델링 성능 (Solid line: Eq. (32), dotted line: Eq. (34)+Eq. (37), dashed line: Eq. (35)+Eq. (38) and Eq. (36)+Eq. (39))을 보인 도면이다.
도 12는 고차 공정에 있어 일차시간지연 모델링 성능 (Solid line: FOPTD model, dotted line: CDPTD model, dashed line: SOPTD model)을 보인 도면이다.
도 13은 측정 노이즈 조건하에서 릴레이 되먹임 응답을 보인 도면이다.
도 14는 모델링 성능 (Solid line: process, dotted line: FOPTD model, dash-dotted line: CDPTD model, and dashed line: SOPTD model)을 보인 도면이다.
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[27] Yu, CC. Autotuning of PID controllers: A relay feedback approach. 2nd ed. Springer, London, 2006.
본 발명은 PID(Proportional integral derivative, 비례 적분 미분)의 자동동조에 관한 것으로, 특히 릴레이 되먹임 신호를 적분하여 사용하여 고조파의 영향 을 대폭 제거하여 공정의 임계정보와 주파수 모델을 구하기에 적당하도록 한 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법에 관한 것이다.
일반적으로 PID 제어기는 금세기 초반부터 각종 산업용 설비 및 제어기기 등에 널리 이용되어 온 제어기로서, 구조가 간단하고 제어 성능이 우수하며 제어이득 조정이 쉽기 때문에 산업현장에서 많이 사용되고 있으며, 비례제어, 적분제어, 미분제어를 단독으로 사용하거나 또는 두 가지 이상을 결합한 형태로 사용한다.
지금까지 PID 제어기의 자동동조를 위해 릴레이 되먹임 방법들은 광범위하게 사용되어 왔다. 종래의 릴레이 되먹임 방법들은 따로 공정입출력 데이터를 처리하지 않고 바로 데이터의 진동주기와 진동 크기를 이용하여 공정의 주파수 모델을 계산해 왔다. 이를 상세히 설명하면 다음과 같다.
종래기술의 문헌 정보의 문헌 번호 [2](이하에서는 종래기술의 문헌 정보의 문헌 번호를 기재함) Astrom과 Hagglund (1984)가 릴레이 되먹임 방법을 소개한 이후로 많은 수의 새로운 릴레이 되먹임 방법들이 개발되었다([3] Astrom과 Hagglund, 1995; [27] Yu, 2006; [6] Hang 등, 2002). 포화릴레이([27] saturation relay, Yu, 2006), P 제어를 이용한 릴레이([23] Tan 등, 2005), 두 단(two level) 릴레이([18] 성 등, 1995)는 고조파항을 억제함으로써 보다 정확한 공정의 임계정보를 얻을 수 있었다. 또한 히스테르시스와 시간지연항을 릴레이에 접목하여 위상각이 -180도가 아닌 어떤 위상각에 해당하는 주파수 모델을 구하는 방법들도 소개되었다([3] Astrom과 Hagglund, 1995; [10] Kim, 1995; [24] Tan등, 1996; [4] Chiang과 Yu, 1993). 최근에는, 주어진 위상각에 해당하는 주파수 모델을 구하기 위한 두 채널 (two channel) 릴레이 방법이 개발되었다([5] Friman 과 Waller, 1997; [20] 성 등, 2006). 모르는 외란이 공정에 들어왔을 때 이를 효과적으로 제거하여 외란이 없는 경우와 같은 릴레이 진동을 보이도록 하는 방법들도 있다([7] Hang 등, 1993; [17] Shen 등, 1996b; [21] 성 과 이, 2006). 공정의 정상상태 이득과 임계정보를 한 번의 릴레이 테스터로 동시에 구해낼 수 있는 편향된 릴레이(biased relay) 방법도 소개 되었다([16] Shen등, 1996a). [8] Huang 등 (2005)은 공정의 정상상태 이득을 구하기 위해 릴레이 응답 데이터의 적분 값을 이용하였다.
FFT(fast Fourier transformations)기술을 이용하여 한 번의 릴레이 되먹임 방법으로부터 많은 수의 주파수 정보를 구할 수 있는 방법도 개발되었다([25] Wang 등, 1997a). 그 방법은 공정의 여러 가지 주파수 특징을 제공할 수 있으나 계산이 복잡하고 릴레이 되먹임 공정 데이터 전체를 저장해야 하는 문제점을 가지고 있다. 같은 목적으로, 주기 함수의 라플라스 변환(Laplace transformation)을 이용한 방법도 있다([13] Ma 와 Zhu, 2006).
몇몇 저자([9] Kaya 와 Atherton (2001), [14] Panda 와 Yu (2003))는 릴레이 응답과 일차시간지연모델의 모델파라미터 사이의 정확한 관계식을 구해내고 이것을 일차시간지연 모델링에 활용하였다. 그러나 이 방법들은 공정과 모델의 구조적 불일치나 비선형성과 같은 공정의 불확실성에 대해 매우 민감한 결과를 보이기 때문에 실질적인 적용에 무리가 있다([15] Panda 와 Yu, 2005). 순환 정상상태(cyclic steady state)의 릴레이 되먹임 응답으로부터 이차시간지연 모델을 해석 적으로 구해내는 방법도 소개되었으나 이 방법 역시 불확실성에 강건하지 못하다. 또한 제어기를 부가한 릴레이 되먹임 방법과 두개의 릴레이를 조합한 방법들은 강건성 문제를 해결하였으나 복잡한 단점이 있다([22]성등, 1996; [19]성과이, 1997).
이에 본 발명은 상기와 같은 종래의 제반 문제점을 해결하기 위해 제안된 것으로, 본 발명의 목적은 릴레이 되먹임 신호를 적분하여 사용하여 고조파의 영향을 대폭 제거하여 공정의 임계정보와 주파수 모델을 구할 수 있는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법을 제공하는데 있다.
상기와 같은 목적을 달성하기 위하여 본 발명의 일실시예에 의한 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법은,
공정 데이터를 적분하는 제 1 단계와; 상기 제 1 단계 후 고조파항의 영향을 제거하여 임계이득을 계산하는 제 2 단계;를 포함하여 수행함을 그 기술적 구성상의 특징으로 한다.
이하, 상기와 같은 본 발명, 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법의 기술적 사상에 따른 일실시예를 도면을 참조하여 설명하면 다음과 같다.
도 2는 본 발명의 일 실시예에 의한 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법을 보인 흐름도이고, 도 3은 도 2에서 파라미터 모델을 제공하기 위 한 상세 흐름도의 일예 이다.
이에 도시된 바와 같이, 공정 데이터를 적분하는 제 1 단계(ST1)와; 상기 제 1 단계 후 고조파항의 영향을 제거하여 임계이득을 계산하는 제 2 단계(ST2);를 포함하여 수행하는 것을 특징으로 한다.
상기 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법은, 상기 제 2 단계 후 주파수 공정 모델과 파라미터 모델을 제공하는 제 3 단계(ST3);를 더욱 포함하여 수행하는 것을 특징으로 한다.
상기 제 3 단계는, 도 3에 도시된 바와 같이, 이차시간지연모델 
을 설정하는 제 3-1 단계(ST3-1)와; 상기 제 3-1 단계 후 릴레이 되먹임 응답 데이터로부터 
, 
, qb 와 주기 p를 구하고, d=p/4 로 정하는 제 3-2 단계(ST3-2)와; 상기 제 3-2 단계 후 
으로부터 a1 을 계산하는 제 3-3 단계(ST3-3)와; 상기 제 3-3 단계 후 
으로부터 a2 를 계산하는 제 3-4 단계(ST3-4)와; 상기 제 3-4 단계 후 
이 만족되도록 d 를 조정하는 제 3-5 단계(ST3-5);를 포함하여 수행하는 것을 특징으로 한다.
상기 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법은, 상기 제 3 단계 후 튜닝방법을 사용하여 제어기 튜닝파라미터를 계산하고 적용하는 제 4 단계(ST4);를 더욱 포함하여 수행하는 것을 특징으로 한다.
이와 같이 구성된 본 발명에 의한 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법의 바람직한 실시예를 첨부한 도면에 의거하여 상세히 설명하면 다음과 같다. 하기에서 본 발명을 설명함에 있어 관련된 공지 기능 또는 구성에 대한 구체적인 설명이 본 발명의 요지를 불필요하게 흐릴 수 있다고 판단되는 경우에는 그 상세한 설명을 생략할 것이다. 그리고 후술되는 용어들은 본 발명에서의 기능을 고려하여 정의된 용어들로서, 이는 사용자, 운용자의 의도 또는 판례 등에 따라 달라질 수 있으며, 이에 따라 각 용어의 의미는 본 명세서 전반에 걸친 내용을 토대로 해석되어야 할 것이다.
먼저 본 발명은 릴레이 되먹임 신호를 적분하여 사용하여 고조파의 영향을 대폭 제거하여 공정의 임계정보와 주파수 모델을 구하고자 한 것이다. 즉, 종래의 릴레이 되먹임 방법들은 따로 공정입출력 데이터를 처리하지 않고 바로 데이터의 진동주기와 진동 크기를 이용하여 공정의 주파수 모델을 계산해 왔다. 본 발명에서는 공정의 입출력 데이터를 바로 이용하는 기존의 방법과 달리 공정데이터를 적분한 신호를 이용하는 새로운 방법을 제시한다. 공정 데이터의 적분을 이용하면 고조파의 영향을 대폭 제거할 수 있기 때문에 구해진 주파수 공정 모델과 파라미터 모델의 정확도가 크게 향상될 수 있다.
그래서 본 발명에서는 전통적인 릴레이 되먹임 응답으로부터 보다 정확한 주 파수 정보와 파라미터 모델을 구해낼 수 있는 방법을 소개하고자 한다. 제시한 방법은 공정 모델링 성능을 향상시키기 위해서 공정의 입출력 데이터를 바로 이용하는 종래의 방법들과 달리 공정데이터를 적분한 신호를 이용하여 고조파항(harmonic term)의 영향을 대폭 제거함으로써 보다 정확한 주파수 공정 모델과 파라미터 모델을 제공할 수 있다. 제시한 방법은 릴레이 되먹임 응답 데이터 전체를 저장할 필요가 없고 매우 간단하기 때문에 값싸고 성능이 낮은 마이크로프로세서를 사용하는 상업용 PID제어기에 적용하는데 문제가 없다.
1. 전통적인 릴레이 되먹임 방법
본 발명을 소개하기 전에 도 1과 도 2의 전통적인 릴레이 방법을 소개할 필요가 있다. 공정 입출력 신호가 정상상태일 때 릴레이 되먹임이 시작된다.
도 1에서 Ua(s)는 공정 입력이고, Ya(s)는 공정 출력이며, 1/s는 적분이고, Ub(s)는 공정 입력의 적분 신호이며, Yb(s)는 공정 출력의 적분 신호이고, G(s)는 공정의 전달 함수이다.
그래서 1단계에서, 공정출력이 어떤 주어진 값까지 상승할 때까지 릴레이 온(on) 출력을 공정에 적용시킨다. 2단계에서, 공정 출력이 초기상태 보다 크면 릴레이 오프(off) 출력을 적용하고, 반대면 릴레이 온 출력을 적용한다. 이런 방식으로 3주기 정도 지나면 공정출력과 릴레이 출력은 순환적 정상상태(cyclic steady state)에 이르게 된다. 즉, 공정 출력은 일정한 진동 주기와 크기를 가지게 된다.
[2] Astrom과 Hagglund, (1984)는 공정의 임계정보를 구해내기 위해 진동주기와 진동 크기를 이용하였다. 시간 
이후로 공정출력이 순환적 정상상태이고 그때, 
와 
를 공정 입력과 출력이라고 하자. 공정 입출력은 다음의 퓨리어 시리즈로 표현될 수 있다.
여기서 
, h 는 릴레이의 크기, 릴레이 주파수는 
이다. p는 진동주기를 나타낸다. 수학식 1은 다음의 시간에 대해 유효하다.
공정출력 
는 다음과 같이 표현될 수 있다.
여기서 
는 공정의 전달함수이다. 고조파항(harmonic term)을 무시하고 릴레이 주파수에서 공정의 위상각이 -180도(즉, 
)라고 가정하면, 
, 
이 성립된다. 그러면 다음의 근사식을 구할 수 있다.
여기서 
와 
는 각각 임계주기와 임계이득, a 는 공정출력 
의 진동크기를 나타낸다. 위 수학식을 유도할 때 고조파항(harmonic term)을 무시하였다, 그러나 경우에 따라서는 이 항의 크기가 무시되기에는 너무 크다. 그래서 일차시간지연 공정에 대해 계산된 임계 주기와 임계이득은 각각 5% 와 18%까지의 상대 에러(relative error) 값을 보인다. 18%의 임계이득 에러는 심각하게 제어기 동조 성능을 저하시킨다.
2. 발명된 임계 정보 계산 방법
본 발명에서는 공정 입출력 신호를 적분함으로써 보다 정확한 임계정보를 구해내는 방법을 제시한다.
다음과 같이 
와 
를 각각 공정 입력(릴레이 출력)과 공정출력의 적분 신호라고 정의하자.
여기서 ub(t)는 공정 입력의 적분 신호이며, yb(t)는 공정 출력의 적분 신호이다.
그러면 수학식 1로부터 다음을 구할 수 있다.
여기서 ubm 은 다음과 같이 ub(t) 의 평균값이다.
수학식 3으로부터, yb(t) 는 다음과 같이 유도된다.
여기서 ybm 은 다음과 같은 yb(t) 의 평균값이다.
우리는 다음과 같은 응답신호를 합성할 수 있다.
여기서 
는 구형파이고, 
는 삼각파이다. 
는 세 번째 고조파항(harmonic term)이 제거되도록 두 신호를 조합한 것이다. 즉, 
와 
는 
에 비해 사인파에 더 가깝다. 도 5는 전형적인 신호의 모양을 보여주고 있다.
또한 고조파항(harmonic term)을 무시하고 위상각 
라고 가정을 하면, 
와 
이 얻어진다. 그러므로 우리는 다음 수학식을 이용하여 임계이득 
를 계산할 수 있다.
여기서 b 는 
신호의 진동폭을 나타낸다. b 는 물리적으로 도 2에서 
의 빗금 친 영역의 반에 해당된다. 수학식 1, 3, 8, 10에서 알 수 있듯이 
의 경우가 
의 경우에 비해 상대적으로 주 주파수항(fundamental term)이 고조파항(harmonic term)에 비해 훨씬 크다. 그래서 본 발명에서 제안한 방법인 수학식 14는 종래의 수학식 5에 비해 보다 더 정확한 임계 정보를 제공한다.
수학식 12, 13에서, 다음을 유도하였다.
또한 다음의 적분을 고려하자.
여기서 수학식 16, 17은 수학식 3과 10으로부터 사인과 코사인 함수의 직교성을 이용하여 유도되었다(부록 A 참조). 수학식 16, 17을 계산하기 위해서 ya(t) 와 yb(t) 의 모든 데이터를 저장할 필요가 없기 때문에 간단한 마이크로프로세서를 이용하여 계산할 수 있다. qa 와 qb 의 고조파항을 무시하면, 다음을 유도할 수 있다.
도 6은 임계주기와 임계이득을 계산하는데 있어 상대 에러를 보여 주고 있다. 일차시간지연공정의 경우, 시상수에 대한 시간지연의 비가 0.1과 5사이 일 때, 수학식 14, 15, 18 그리고 수학식 19는 약 6% 이하의 에러를 가진다. 임계이득을 계산하기 위한 종래의 방식인 수학식 5는 나쁜 결과를 보이고 있다.
3. 발명된 주파수 모델 계산법
이전 장까지는 릴레이 주기가 임계주기라는 가정하에 임계이득을 구하는 발명에 대해 설명하였다. 본 장에서는 릴레이 주기에 해당하는 위상각과 공정 이득을 동시에 구하는 발명에 대해 설명을 하고자 한다.
이 장의 발명 목표는 릴레이 주기에서 다음의 주파수 모델 즉, 증폭비(amplitude ratio)와 위상각(phase angle)을 구하는 방법을 개발하는 것이다.
여기서 
과 
는 각각 공정의 증폭비와 위상각을 나타낸다. 수학식 16으로부터, 고조파를 무시하면 우리는 
주파수에서 공정의 증폭비를 다음과 같이 계산할 수 있다.
만약, 공정이 
을 만족한다면 모델링 에러는 
이다.
이제, 다음을 고려하자.
고조파를 무시하면 다음의 위상각을 얻을 수 있다.
그러므로 수학식 21과 23을 이용하여 공정의 증폭비와 위상각을 계산할 수 있다.
또한 수학식 17로부터, 고조파를 무시하면 우리는 
주파수에서 공정의 증폭비를 다음과 같이 계산할 수 있다.
공정이 
을 만족한다면 모델링 에러는 다음과 같다.
실제 적용 면에서 수학식 25는 충분한 정확도를 가진다. 위상각은 수학식 23을 이용하여 계산할 수 있다.
도 7은 일차시간지연 모델에 대해 발명한 수학식 21과 수학식 23의 에러를 보여주고 있다. 에러가 0.5% 이하로 매우 정확한 결과를 보여줌을 알 수 있다.
4. 정상상태 이득 계산
파라미터 모델에 대한 발명을 설명하기 전에 정상상태 이득을 구하는 방법에 대해 언급할 필요가 있다. 릴레이 되먹임 신호 중에 순환 정상상태 데이터는 주파수 
와 그것의 배수 주파수 정보만을 가지고 있다. 그래서 정상상태 정보(주파수 0의 정보)를 구하기 위해서는 릴레이 되먹임 신호 중에 초기의 비정상상태 부분이 요구된다. 여기서는 릴레이 데이터를 저장할 필요가 없으며 간단하게 정상상태 이득을 구할 수 있는 종래의 방법을 소개하고자 한다. [13] Ma 와 Zhu (2006)는 공정 입력과 공정 출력에 대해 각각 다음이 성립됨을 보였다.
다음을 정의하자.
공정의 전달함수는 
이므로 다음이 성립된다(부록 B 참조).
여기서,
수학식 28은 [8] Huang 등 (2005)과 같은 결과이다.
또한 다음의 수학식 29를 이용하여 
을 구할 수 있다(부록 B 참조).
여기서,
이 정보는 고차 공정의 모델링에 매우 중요하다.
5. 발명된 일차시간지연모델을 구하기 위한 방법
일차시간지연 모델은 다음과 같다.
종래의 방법들은 다음 수학식들을 이용하여 일차시간지연모델을 구한다 ([26] Wang 등, 1997b; [9] Kaya와Atherton, 2001; [15] Panda와Yu, 2005).
여기서 a 는 공정출력의 진동폭, p 는 릴레이 진동 주기를 나타낸다. 수학식 31은 수학식 28에 해당한다. 수학식 31, 32, 33은 공정이 일차시간지연인 경우에는 정확한 결과를 보장한다.
또한 수학식 33은 시간지연이 큰 공정인 경우 정확한 결과를 보장하지 못한다. 이 문제점을 우리는 
의 진폭비 a 대신 
의 진폭비 b 를 사용하여 극복하고자 한다. 본 발명에서는 시상수를 다음의 수학식으로 계산한다.
여기서 
와 
이다. 이 수학식은 다음의 표 1의 p 와 b 에 대한 수학식들을 다시 정리하여 유도되었다. 표 1은 릴레이 응답과 일차시간지연공정 사이의 해석적 관계식이다.
표 1의 마지막 5 가지 수학식은 표 1에서 기존에 제시된 위쪽 3 가지 수학식 ([9] Kaya와Atherton, 2001; [15] Panda와Yu, 2005)으로부터 유도되었다.
표 1에서 qa 와 qb 식으로부터 다음의 두 수학식을 유도하였다.
여기서 
와 
이다.
여기서 
와 
이다.
수학식 34, 35, 36은 일차시간지연 공정에 대해 정확한 모델링 결과를 보장한다. 이 방법들은 일차비선형방정식을 풀어야 하기 때문에 실제적용상에 바람직하지 않다. 그래서 다음의 근사식을 유도하였다.
이 수학식들은 표 1의 수학식들에 perturbation analysis 방법을 적용하여 구하였다.
수학식 19와 
으로 부터 다음의 시상수를 유도하였 다.
수학식 31, 33, 40을 이용하면 일차시간지연 모델을 구할 수 있다.
도 8은 수학식 34~36과 근사식 37 ~ 39 방법들을 사용한 경우와 수학식 40을 사용한 경우에 대한 모델링 에러를 보여주고 있다. 수학식 40만 제외하고 나머지 근사식은 1% 내의 매우 정확한 결과를 보여주고 있다. 도 9는 측정치 a, b, qa 와 qb 에 측정 오차가 있을 경우 모델링 에러를 보여 주고 있다. a 로부터 시상수를 구하는 종래의 방법인 수학식 32는 시간지연이 큰 공정일 경우, 측정오차에 매우 민감한 결과를 보여주고 있다. 이렇게 좋지 못한 결과는 시간지연이 큰 공정일 경우 시상수의 변화가 ya(t) 의 a 값에 큰 변화를 주지 못하기 때문이다.
또한 커버쳐 요인(curvature factor)은 
값을 대략적으로 유추하는데 유용하다([12] Luyben (2001)). 본 발명에서는 다음의 수학식에 의한 커버쳐 요인을 권장한다.
도 10은 일차시간지연공정에 대해 [12] Luyben (2001)의 커버쳐 요인(curvature factor)과 제시한 수학식 41을 보여주고 있다. 본 발명에서 제안한 수학식 41은 모델링 작업을 수행하기 전에 어떤 모델링 방법을 사용할 것인지 결정하는데 활용될 수 있다. 예를 들어, 도 8에서 알 수 있듯이 수학식 32는 수학식 41의 값이 약 0.7(
= 1.0에 해당) 보다 크면 사용을 하면 안 된다.
또한 도 11은 다양한 공정에 대해 발명한 방법들과 기존 방법의 성능을 비교하고 있다. IAE(the integral of absolute error) 값은 다음과 같이 정의되고 이 값이 작을수록 성능이 우수하다.
본 발명에서 발명한 방법들(수학식 34 ~ 39)이 종래의 방법(수학식 32)에 비해 우수한 성능을 보여준다.
6. 발명한 임계이차시간지연모델을 구하기 위한 방법
임계이차시간지연 모델은 다음과 같다.
정상상태 이득 k 는 수학식 31을 사용하여 구한다. 본 발명에 의한 수학식 24와 
를 이용하면 다음의 시상수를 유도할 수 있다.
진동주기에 대한 해석적인 수학식은 다음과 같다([15] Panda와Yu, 2005; [27] Yu, 2006).
여기서 
이다.
뉴톤-랩슨(Newton-Raphson) 방법에 의해 수학식 45는 풀릴 수 있다. 이때 초기치는 다음과 같이 정할 수 있다.
7. 발명된 이차시간지연모델을 구하기 위한 방법
이차시간지연모델의 일반형은 다음과 같이 정의된다.
수학식 28으로부터 먼저 정상상태 이득을 구한다. 수학식 29과 수학식 17의 qb 그리고 p 로부터 다음의 수학식을 이용하여 나머지 파라미터를 계산할 수 있다.
계산 절차는 도 4에서와 같으며, 이를 설명하면 다음과 같다.
단계 0 : 릴레이 되먹임 응답 데이터로부터 
, 
, qb 와 주기 p 를 구한다. d=p/4 로 정한다.
단계 1 : 수학식 49로부터 a1 을 계산한다.
단계 2 : 수학식 50으로부터 a2 를 계산한다.
단계 3 : 수학식 51이 만족되도록 d 를 조정하고 단계 1과 단계 2를 반복한 다.
도 12는 다양한 공정에 대해 발명된 방법들의 IAE 값을 보여주고 있다. 대부분의 경우, 임계이차시간지연 모델이 수학식 31, 33, 36 및 39에 근거한 일차시간지연 모델보다 우수한 결과를 준다. 이차시간지연 모델이 가장 우수한 것을 볼 수 있다. 그러나 이차시간지연 모델은 더 많은 측정과 반복계산을 필요로 한다.
8. 모사(튜닝 파라미터 계산 및 적용)
샘플링, 이산화 오차와 잡음 환경 아래서의 각 방법의 성능을 조사하기 위하여 모사를 수행하였다. 즉, 모사에 의해 튜닝 파라미터 계산 및 적용을 하게 된다. 이는 다음 공정을 고려한다.
평균이 0이고 크기가 0.1인 균등분산 (uniformly distributed) 잡음 n(t) 가 출력에 인가되었다. 잡음의 응답에 대하여 qa 는 다음과 같이 조정되어야 한다([3] Astrom과Hagglund, 1995).
잡음의 특성, 
는 릴레이 되먹임 검사를 시작하기 전에 추정할 수 있다. 잡음이 개입되면 qb 도 qa 에서처럼 조정될 필요가 있다.
모사 결과는 도 13에 나타나 있다. 얻어진 모델은 다음의 표 2에 있고, 그것들의 나이퀴스트(Nyquist) 도표가 도 14에 있다. 표 2는 본 발명에서 제안한 방법들에 의한 모델링 결과이다.
일차시간지연 모델을 위해서는 예측 수학식 31, 33, 36 및 39 가 사용된다. 수학식 52에 의한 공정이 중간 정도의 시간지연을 갖는 과감쇄 공정이기 때문에 모든 예측된 모델이 도 14의 나이퀴스트 도표에 보인 것과 같이 우수하였다.
9. 결언
릴레이 되먹임 응답 데이터로부터 공정의 임계정보와 주파수 모델을 구해낼 수 있는 방법을 발명하였다. 본 방법은 종래의 방법과는 달리 릴레이 되먹임 신호를 적분하여 사용함으로써 고조파의 영향을 대폭 제거하였다. 결과적으로 간단하면서도 기존의 방법 보다 우수한 성능을 보인다. 일차시간지연공정의 경우, 종래의 방법은 15% 이상의 모델링 에러를 보이지만 본 발명에 의한 방법들은 5% 이내의 모델링 에러를 보인다. 또한 일차시간지연, (임계)이차시간지연모델을 구해낼 수 있는 방법들을 개발하였다.
10. 부록 A (사인과 코사인 함수의 직교성 ([11] Kreyzig, 1999))
다음의 함수
이 수학식을 이용하여, 수학식 16, 17을 유도할 수 있다. 예를 들어, 함수 
에 대해, 다음이 유도 될 수 있다.
11. 부록 B (모멘트 분석 ([3] Astrom과Hagglund, 1995))
다음의 수학식 56에서 수학식 57을 유도할 수 있다.
따라서 부분적분을 적용하여,
여기서 
이고, ua(t) 및 ub(t) 는 
이후에는 주기적이다.
또한 다음에 조작을 적용하면,
이상에서 살펴본 바와 같이, 본 발명에 의한 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법은 릴레이 되먹임 신호를 적분하여 사용하여 고조파의 영향 을 대폭 제거하여 공정의 임계정보와 주파수 모델을 보다 정확하게 구할 수 있다.
이상에서 본 발명의 바람직한 실시예에 한정하여 설명하였으나, 본 발명은 이에 한정되지 않고 다양한 변화와 변경 및 균등물을 사용할 수 있다. 따라서 본 발명은 상기 실시예를 적절히 변형하여 응용할 수 있고, 이러한 응용도 하기 특허청구범위에 기재된 기술적 사상을 바탕으로 하는 한 본 발명의 권리범위에 속하게 됨은 당연하다 할 것이다.
Claims (21)
- 공정 데이터를 적분하는 제 1 단계와;상기 제 1 단계 후 고조파항의 영향을 제거하여 임계이득을 계산하는 제 2 단계;를 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법.
- 청구항 1에 있어서, 상기 제 2 단계는,고조파항을 무시하고 공정의 위상각이 -180도라고 가정하여 임계이득을 계산하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법.
- 청구항 1에 있어서, 상기 제 2 단계에서 임계이득은,
으로 구하고, 여기서는
신호의 진동폭을 나타내는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법.
- 청구항 1에 있어서, 상기 제 2 단계에서 임계이득은,
로 구하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 1에 있어서, 상기 제 2 단계에서 임계이득은,
로 구하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 1에 있어서, 상기 제 2 단계에서 임계이득은,
로 구하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 1 내지 청구항 6 중 어느 하나의 항에 있어서, 상기 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법은,상기 제 2 단계 후 주파수 공정 모델과 파라미터 모델을 제공하는 제 3 단계;를 더욱 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법.
- 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,
에 의해 증폭비를 구하여 상기 주파수 공정 모델을 구하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,
에 의해 위상각을 구하여 상기 주파수 공정 모델을 구하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,
에 의해 증폭비를 구하여 상기 주파수 공정 모델을 구하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,와
일 때,
에 의해 시상수를 구하여 일차시간지연모델을 구하는 것을 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,와
일 때,
에 의해 시상수를 구하여 일차시간지연모델을 구하는 것을 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,와
일 때,
에 의해 시상수를 구하여 일차시간지연모델을 구하는 것을 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,다음의 근사식
을 이용하여 일차시간지연모델을 구하는 것을 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,다음의 근사식
을 이용하여 일차시간지연모델을 구하는 것을 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,다음의 근사식
을 이용하여 일차시간지연모델을 구하는 것을 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,
에 의해 시상수를 구하여 일차시간지연모델을 구하는 것을 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,
의 커버쳐 요인에 의해 일차시간지연공정의 시간지연과 시상수의 비를 추론하는 것을 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,
에 의해 시상수를 구하여 임계이차시간지연모델을 구하는 것을 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 제 3 단계는,이차시간지연모델을 설정하는 제 3-1 단계와;
상기 제 3-1 단계 후 릴레이 되먹임 응답 데이터로부터,
, qb 와 주기 p 를 구하고, d=p/4 로 정하는 제 3-2 단계와;
상기 제 3-2 단계 후으로부터 a1 을 계산하는 제 3-3 단계와;
상기 제 3-3 단계 후으로부터 a2 를 계산하는 제 3-4 단계와;
상기 제 3-4 단계 후이 만족되도록 d 를 조정하는 제 3-5 단계;
를 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법. - 청구항 7에 있어서, 상기 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법은,상기 제 3 단계 후
의 공정을 고려하여 튜닝 파라미터 계산 및 적용을 수행하는 제 4 단계;를 더욱 포함하여 수행하는 것을 특징으로 하는 릴레이 되먹임 응답의 적분을 이용하는 자동동조 방법.
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