KR20070035384A - 퍼지 기법을 이용한 상태관측기 설계 방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 퍼지 기법을 이용한 시스템의 상태관측기를 설계하는 방법에 관한 것이다. 시스템의 제어를 위하여 상태궤환 제어기를 사용할 경우에 시스템의 상태를 계측해야 하지만 기술적, 경제적인 원인으로 모든 상태를 직접 계측하는 것이 어렵다. 이러한 경우에 선형모델을 기반으로 한 상태관측기를 설계하고 제어에 이용하는 것이 일반적이다. 그러나 시스템의 동작범위가 넓어져서 선형 모델과 다른 동작 특성이 나타나면 시스템의 상태를 정확하게 관측할 수 없는 경우가 발생한다. 따라서 본 발명에서는 시스템의 비선형성 등이 발생할 경우에도 시스템의 상태를 정확히 관측할 수 있도록 퍼지 상태관측기를 고안한다.

퍼지기법, 퍼지모델, 상태관측기, 상태궤환 제어

Description

퍼지 기법을 이용한 상태관측기 설계 방법{Design of a Fuzzy State Observer}

도 1은 시스템과 퍼지모델의 개념도이다.

도 2는 퍼지모델의 퍼지집합이다.

도 3은 퍼지 상태관측기의 개념도이다.

<도면의 주요 부분에 대한 부호의 설명>

10...시스템 20...퍼지모델

30...퍼지 상태관측기

본 발명은 퍼지 기법을 이용한 상태관측기의 설계 방법에 관한 것이다. 더욱 상세하게는 시스템이 넓은 범위에서 동작할 경우에 그 특성이 변화할 경우에도 정확한 상태를 관측하기 위하여 시스템의 퍼지모델을 얻고 이를 기반으로 상태관측기를 설계하는 방법이다.

상태 궤환 제어(State Feedback Control)기법은 설계 방법과 안정성에 대한 증명이 잘 정립되어 있어 폭넓게 사용되고 있는 방법 중의 하나이다. 이 방법은 제어기를 구현하기 위하여 모든 상태변수의 궤환을 요구하지만, 실제 제어환경에서는 상태변수를 모두 측정하는 것이 곤란한 경우가 많다. 또한, 모든 상태변수의 계측이 가능하더라도 경제적, 기술적인 이유로 계측이 어려운 변수들이 있을 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위한 방법은 시스템의 선형 모델을 얻고 이 모델에 근거하여 상태관측기를 설계하고 제어에 적용하는 것이다.

그러나 최근의 시스템은 그 규모가 커지고 복잡해짐에 따라 파라미터 변동, 모델링 오차, 비선형 요소, 외란 등 여려가지 불확실성을 내포하게 되어 정확한 모델을 얻는 것이 어렵다. 모델을 얻는다 해도 동작 중에 시스템의 파라미터가 변동하면 모델과 시스템 사이에 오차가 발생하게 된다. 이런 현상으로 인하여 모델을 근거로 설계된 상태관측기는 시스템의 정확한 상태를 추정하지 못할 경우가 발생하며 이는 상태 궤환 제어기의 성능을 저하하는 원인이 될 수 있다.

이를 보완하기 위한 한 방법은 퍼지이론을 이용하는 것이다. 퍼지이론은 정성적으로 불확실한 정보를 다룰 수 있을 뿐만 아니라, 인간이 사용하는 언어적인 형태로 기술되는 전문가의 지식을 도입하기가 용이하여 많은 응용연구가 이루어지고 있으며 또한 실제 시스템에 성공적으로 적용한 사례가 많다. 그러나 이를 직접 적용함에 있어서 현실적으로 발생하는 문제점으로는 입출력공간의 퍼지분할, 소속함수와 제어규칙의 결정 등에 있어서 체계적인 해석방법이 부족하고, 고유의 비선형 연산과 추론 때문에 이를 포함한 전체 시스템의 안정성을 증명하기가 대단히 어렵다는 것이다.

특히 안정성 문제점을 효과적으로 해결하기 위하여 제안된 것 중에 한가지로 타가키-스게노(T-S)의 퍼지모델이 있다. 이는 논문 [1] T. Tagaki and M. Sugeno, "Fuzzy Identification of Systems and Its Application to Modeling and Control," IEEE Trans. on Sys., Man and Cyber., Vol. 15, No. 1, pp. 116-132, 1985와 [2] K. Tanaka and M. Sugeno, "Stability Analysis and Design of Fuzzy Control System," Fuzzy Sets and Systems, Vol. 45, pp. 135-156, 1992 [3] K. Tanaka, "Design of Model-based Fuzzy Controller Using Luapunov's Stability Approach and Its Application to Trajectory Stabilization of a Model Car," H. T. Nguyen et al.(Eds), John Wiley & Sons, Inc., pp. 31-50, 1995에 게시되어 있다.

T-S 퍼지모델은 제어기 설계에 기존의 선형 제어이론과 접목할 수 있고, 전체 시스템의 안정성이 보장되는 제어기를 설계할 수 있다는 의미에서 대단히 큰 장점을 가진다. 따라서 저자들은 유전알고리즘을 이용하여 T-S 형태의 최적 퍼지모델을 얻고 이에 기초하여 퍼지 제어기를 설계하는 한 방법을 제안하였다. 이는 논문 [4] 이현식, 진강규 외, “유전알고리즘을 이용한 비선형 시스템의 온라인 퍼지 모델링,” 퍼지 및 지능 시스템학회 논문지, 제8권, 제3호, pp. 80-87, 1998에 게시되어 있다. 여기서, "If-then" 문장으로 기술되는 각 규칙의 결론부는 비선형시스템의 국부적인 입출력 관계를 나타내도록 선형 연속방정식으로 표시되었다. 또한, 퍼지모델은 넓은 동작 영역에서 시스템과 유사한 동특성을 갖도록 시스템의 입출력 데이터와 유전알고리즘을 이용하여 그 조건부와 결론부 파라미터들이 최적으로 추정되었다. 추정된 모델의 각 서브시스템에 대응되는 국부적 상태궤환 제어규칙을 구하고 이들을 결합하여 퍼지 제어기가 설계되며 이때 목표치나 외란 변화에도 잘 추종하도록 설계되었다.

그러나, 제안된 제어기는 상태궤환 기법의 한 형태로서 이를 구현할 시에는 모든 상태변수의 궤환이 요구되는 문제점이 있다. 현실적으로 이러한 상태를 모두 계측하는 것은 어려울 뿐만 아니라 가능하다 하더라도 다수의 계측기가 필요하거나 계측기가 고가일 경우 경제성이 떨어진다.

본 발명이 이루고자 하는 기술적 과제는 상술한 기존의 문제점을 해결하기 위하여 퍼지 상태관측기를 설계하는 것이다. 즉, 시스템의 동작 특성과 가깝도록 퍼지모델을 얻고 이를 기반으로 상태관측기를 설계하여 퍼지 규칙을 구성하여 넓은 동작 범위에서도 시스템의 상태를 정확하게 추정할 수 있도록 하고자 하는 것이다.

본 발명이 이루고자 하는 다른 기술적 과제는 리아프노프(Lyapunov)의 안정성 이론을 이용하여 설계된 퍼지 상태관측기의 안정성을 수학적으로 증명하고자 하는 것이다.

본 발명에서 제안하고자 하는 퍼지 상태관측기(30)는 시스템(10)의 넓은 동작범위에서 동작 특성을 모델링한 퍼지모델(20)을 기반으로 한다. 본 발명에서 사용하는 퍼지모델(20)은 "If-then” 규칙들로 구성되며 각 규칙의 결론부는 시스템의 국부적인 입출력 관계를 나타낸다. 이러한 퍼지모델(20)은 다음의 수학식 1와 같이 선형 상태공간형으로 표시된다.

여기서 R ⁱ는 i번째 퍼지규칙, l은 규칙의 수, v= [v₁, …, v_r]^T∈R ^r, u는 퍼지 시스템의 입력, x= [x₁, …, x_n]^T∈R ⁿ은 퍼지 시스템의 상태벡터이며 y∈R ^q는 출력이다. 행렬 Aⁱ, Bⁱ (1≤i≤l)와 C는 적절한 차수를 가지며, 행렬 쌍 (Aⁱ, C) (1≤i ≤l)는 가관측한 것으로 가정한다. 일반적으로 v는 여러 가지 형태를 취할 수 있으나, 특별한 경우로 v= x _p∈R ⁿ을(r=n) 생각할 수 있다. x _p는 실제 시스템의 상태벡터를 의미한다.

수학식 1의 퍼지 시스템이 입력으로 v= x _p와 u를 가지면 i번째 규칙의 조건부 적합도 ρⁱ는 다음의 수학식 2와 같이 계산된다.

전체 규칙의 추론 결과는 다음의 수학식 3과 같게 된다.

여기서

인 것으로 간주한다.

시스템(10)을 기술하는 퍼지모델(20)이 얻어지면 모델(20)의 동작 특성이 시스템 (10)에 가깝도록 조건부 입력변수들의 공간을 적절히 퍼지 분할하고, 결론부 방정식의 계수를 최적 조정하는 작업이 요구되는데 결국 비선형 최적화 문제로 귀착된다. 입력 변수공간은 “외부(exterior)” 퍼지집합(33) 또는 “내부(interior)” 퍼지집합(34)으로 퍼지 분할되며 각각 수학식 4의 시그모이드와 가우스 형태의 소속함수를 사용하였다.

따라서,

가 조건부의 파라미터이고, 행렬 Aⁱ와 Bⁱ (1≤i≤l)가 결론부의 파라미터가 된다.

상기의 퍼지모델(20)을 기반으로 하여 퍼지 전차수 상태관측기와 축소차수 상태관측기를 설계하고자 한다.

먼저 y∈R ¹인 경우(q=1) 즉, 스칼라 출력 신호만을 측정하는 환경을 고려해서 출력과 제어입력값으로 시스템의 모든 상태변수를 추정하는 문제를 살펴본다. 앞서 구한 퍼지모델의 각 결론부에 대하여 전차수 상태관측기(full-order state observer)를 설계하고 퍼지규칙(31)으로 연결하면 다음의 수학식 5와 같은 퍼지 전차수 상태관측기(30)를 얻을 수 있다.

여기서

는 관측된 상태벡터이며 Lⁱ는 i번째 규칙의 관측기 이득행렬이다. Lⁱ는 극배치법, 2차 성능지수의 최소화에 근거한 방법 등으로 설계할 수 있다. 수학식 5는 다음의 수학식 6과 같이 추론(32)된다.

여기서

는 수학식 2에서 정의된 것과 같은 값을 가진다.

만약

가 안정한 행렬이 되도록 Lⁱ를 적절히 선택하면 상태관측기 (30)와 시스템(10)의 초기조건이 서로 달라도

는 x로 수렴하게 되는데, 이를 보이기 위하여 오차벡터

를 정의하면 다음의 수학식 7과 같게 된다.

단,

수학식 7로 표시되는 자유 시스템의 평형상태

는 만약 모든 서브시스템에 대해서 다음의 수학식 8과 같은 방정식

(1≤i≤l)

을 만족하는 공통의 양의 한정행렬 P가 존재하면 점근적으로 안정하다. 단, 이때 Qⁱ는 양의 한정행렬이다. 이를 증명하기 위하여 다음의 수학식 8과 같은 리아프노프 함수를 생각한다.

양변을 한 번 미분하면 다음의 수학식 9와 같고

∀i∈[1, l]에 대해

이 성립되기 위해서는 수학식을 만족하면 된다.

이는 행렬 Lⁱ가 정리의 조건을 만족하도록 선정된다면

됨을 의미한다.

다음으로 퍼지 축소차수 상태관측기(30)를 설계하고자 한다.

전차수 상태관측기(30)는 상태변수 중의 일부를 출력으로 측정할 수 있음에도 모든 상태를 추정하게 된다. 이것은 연산 관점에서 본다면 대단히 비경제적이다. 만약 dim(y)= q(≤n)이고, rank(C)= q인 경우에는 (n-q)개의 상태만을 추정할 수 있는 축소차수 상태관측기(30)의 설계가 가능하다. E^T= [C^T T^T]로 정의되는 행렬 E가 비특이행렬이 되도록 (n-q)×n 행렬 T를 임의로 선정하고, 수학식 1을 z= Ex로 등가변환하면 다음의 수학식 10을 얻을 수 있다.

y= [I _q 0]z= z ₁

여기서 z ^T= [z ₁ ^T z ₂ ^T]로서 z ₂는 측정할 수 없는 변수이고,

,

,

와

는 EAⁱE^-1로부터 각각 q×q, q×(n-q), (n-q)×q와 (n-q)×(n-q)의 차원을 갖도록 분할된 행렬이고,

와

또한 EBⁱ로부터 적절한 차원을 갖도록 분할된 행렬이며, I _q는 q×q 단위행렬이다.

이 관계를 미지의 변수 z ₂∈R ^(n-q)에 대한 방정식으로 표시하면 다음의 수학식 11과 같다.

: If v₁ is

and … and v_r is

, then (1≤i≤l)

y'=

여기서

로서 기지의 신호 y와 u의 함수이다. 수학식 11의 각 서브시스템은 쌍

가 가관측하면 상태관측기의 구성이 가능한데, 만약 (Aⁱ, C)가 가관측하면

는 가관측하게 된다.

수학식 11의 결론부 방정식에 대하여 상태관측기를 설계하면 다음의 수학식 12를 얻는다.

여기서 Lⁱ는 상태관측기의 이득행렬이다. 따라서 각 서브시스템의 축소차수 상태관측기를 퍼지규칙(31)으로 결합한 식은 다음의 수학식 13과 같이 표현된다.

: If v₁ is

and … and v_r is

,

then

(1≤i≤l)

단,

그러므로, 퍼지 축소차수 상태관측기(30)의 최종 출력은 다음의 수학식 14와 같이 추론(32)된다.

상기의 수학식 14에서 Lⁱ이 적절히 결정되면

가 z ₂를 추정할 수 있음을 보이기 위하여

로 정의하고 이를 이용하여 추론하면 다음의 수학식 15를 얻는다.

단,

이다.

그러므로, 전차수 상태관측기(30)에서의 증명 방법을 이용하면 수학식 15와 같이 표시되는 자유 시스템의 평형상태는 만약 모든 서브시스템에 대하여 다음의 수학식 16과 같은 조건을 만족하는 공통의 양의 한정행렬 P가 존재하면 점근적으로 안정하게 된다. 이때 Qⁱ는 양의 한정행렬이다.

(1≤i≤l)

이는 행렬 Lⁱ이 식 (18)의 조건을 만족하도록 선정된다면

이 됨을 의미한다.

상술한 바와 같이, 본 발명은 퍼지 기법을 이용한 상태관측기의 설계 기법을 제공한다. 본 발명은 해당 분야의 기존 방법의 단점을 보완하기 위하여 퍼지모델을 기반으로 한 퍼지 상태관측기를 설계한다. 이로써, 시스템의 운전 중에 동작 특성이 변하거나 운전환경이 변하는 경우에도 정확하게 상태를 추정할 수 있도록 한다. 또한, 설계된 퍼지 상태관측기의 안정성을 리아프노프 함수를 이용하여 증명한다. 따라서, 본 발명은 시스템의 제어를 위하여 신호를 계측할 때 발생하는 경제적, 기술적 난점을 해결하기 위하여 상태를 간접적으로 정확하게 관측할 수 있도록 효과적으로 사용될 수 있다.

Claims (1)

1. 퍼지 기법을 이용한 상태관측기 설계 방법에 있어서,

   시스템의 퍼지모델을 구하고 이를 기반으로 각 서브시스템에 대하여 상태관측기를 설계하고 이를 퍼지 규칙으로 결합하여 퍼지 전차수 및 축소차수 상태관측기를 설계하는 방법 및 리아프노프 함수를 이용하여 안정성을 증명하는 방법

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