KR20060053184A - 잉크젯 시뮬레이션용 2차원 중앙 차분법 레벨 세트 투영방법 - Google Patents

Abstract

시뮬레이션을 더 쉽게 하고, 실행을 더 빠르게 하며, 메모리 요구를 저감하기 위해, 결합 레벨 세트 투영 방법이 유한 차분법에 기초한 잉크젯 시뮬레이션 방법에 통합된다. 결합 레벨 세트 투영 방법은 균일한 직사각형 그리드에 대한 중앙 차분 이산화에 기초한다. 유한 차분 투영 오퍼레이터 또는 유한 요소 투영 오프레이터 중 하나의 형태로 구성된 수치 투영 오프레이터는, 결과적인 선형 시스템이 멀티 그리드 방법에 의해 풀어질 수 있는 경우에, 중앙 차분 도식에 사용될 수 있다. 유한 차분 투영 오퍼레이터는 유체 속도가 그리드 포인트에 위치하고 압력이 셀 중앙에 위치할 때 사용되는 반면에, 유한 요소 투영 오퍼레이터는 유체 속도가 셀 중앙에 위치하고 압력이 그리드 포인트에 위치할 때 사용된다.

Description

잉크젯 시뮬레이션용 2차원 중앙 차분법 레벨 세트 투영 방법{2D CENTRAL DIFFERENCE LEVEL SET PROJECTION METHOD FOR INK-JET SIMULATIONS}

도 1은 t=tⁿ에서의 속도와 압력의 위치를 나타내는 그리드의 개략도이다.

도 2는 본 발명의 실시예에 사용하는 엇갈림 그리드의 개략도이다.

도 3은 본 발명의 일 실시예에 따른 알고리즘을 나타내는 플로우차트이다.

도 4는 t=tⁿ⁺¹에서의 무발산이 아닌 속도 수정인자와 압력의 위치를 나타내는 개략도이다.

도 5는 t=tⁿ⁺²에서의 무발산이 아닌 속도 수정인자와 압력의 위치를 나타내는 개략도이다.

도 6은 라이터 주위 유체에 떨어지는 유체 기포의 시뮬레이션을 나타내는 도면이다.

도 7은 잉크젯 시뮬레이션에서의 노즐 유입물에 인가되는 동적 압력을 나타내는 도면이다.

도 8은 2D 작은 물방울 배출의 시뮬레이션을 나타내는 도면이다.

도 9는 본 발명의 양태들을 실시하는데 사용될 수 있는 예시적인 시스템을 나타내는 블록도이다.

<도면의 주요부분에 대한 부호의 설명>

90 : 시스템 91 : CPU

92 : 시스템 메모리 93 : 입력 제어기

94 : 입력 디바이스 95 : 저장 제어기

96 : 저장 디바이스 97 : 표시 제어기

98 : 표시 디바이스 99 : 프린터 제어기

101 : 프린터 102 : 통신 제어기

103 : 통신 디바이스 104 : 버스

본 출원은 2003년 3월 14일에 출원된, "Coupled Quadrilateral Grid Level Set Scheme for Piezoelectric Ink-Jet Simulation"이란 명칭의 출원번호 10/390,239호와 관련된다. 이 관련 출원의 개시내용은 "관련 출원"으로서 이하의 설명에 참고로 일체화되어 있다.

본 발명은 압전 프린트 헤드로부터의 잉크 배출을 시뮬레이트 및 해석하기 위한 개량 모델 및 수반하는 알고리즘에 관한 것이다. 이러한 시뮬레이션 모델 및 알고리즘에 대한 개량은 2상 흐름(two-phase flows)을 위한 결합 레벨 세트 투영 방법용의 중앙 차분 도식(central difference scheme)의 개발을 포함하고, 본 발명은 또한 이러한 중앙 차분 도식에 사용될 수 있는 멀티 그리드 호환 분리 투영 오 프레이터(multi-grid-compatible discrete projection operators)의 구성에 관한 것이다. 시뮬레이션 모델 및 알고리즘은 수반하는 모니터 상에서 시청되는 경시적인 시뮬레이션에 의해, 소프트웨어로 구현될 수 있고 컴퓨터에서 실행될 수 있다.

상술한 관련 출원은 사변형 그리드에 대한 결합 레벨 세트 투영 방법을 개시한다. 그 발명에서, 속도 성분과 레벨 세트는 셀 중앙에 위치되지만, 압력은 그리드 포인트에 위치된다. Navier-Stokes 방정식(Navier-Stokes equations)이 먼저 비압축성의 조건을 고려하지 않고 매 단계에서 풀어진다. 그래서, 얻어진 속도가 무발산 필드(divergence-free field)의 공간으로 "투영"된다. 사변형 그리드에 대한 Godunov 상류 도식(Godunov upwind scheme)이 Navier-Stokes 방정식과 레벨 세트 대류 방정식에서의 대류 항목을 평가하는데 사용된다. 시간과 공간에서의 테일러 전개가 에지 속도 및 레벨 세트를 얻기 위해 행해진다. 수직 셀 에지에 대해 좌측 및 우측 사이드로부터, 그리고 수평 에지에 대해 상측 및 하측으로부터 외삽이 행해질 수 있기 때문에, 각 셀 에지에 2개의 외삽된 값이 존재한다(관련 출원의 식 (50)-(52) 참조). 그래서, Godunov 상류 방법이 취하는 외삽값을 결정하기 위해 채용된다(관련 출원의 식 (53) 및 (54) 참조). Godunov 상류 방법에서, 로컬 Riemann 문제점(local Riemann problem)이 실제로 해결된다. 뉴튼성 유체에 있어서, 로컬 Riemann 문제점은 관련 출원의 식 (53) 및 (54)로 주어지는 바와 같이 매우 간단한 해를 갖는 1차원 Burger 방정식(one-dimensional Burger's equation)으로 환산한다. 그러면 기본적으로, 로컬 속도 방향이 뉴튼성 유체용으로 사용하기 위한 외삽값을 결정한다. 그러나, 유체가 뉴튼성 유체가 아닌 경우, 로컬 Riemann 문제점은 간단한 해를 갖지 않을 수도 있고 그 결과 Godunov 상류 방법이 프로그램하기 매우 어렵게 될 것이다. 이러한 이류(advection) 항목에 대한 상류 도식의 이점은 그리드 점도가 더 낮고 수치해가 더 높다는 것이다. 그 결점은 시간과 공간 양쪽에서의 테일러 외삽과 Godunov 상류 방법을 수행하는데 필요한 코드 복잡성이 증가된다는 것이다.

이상을 고려하여, 본 발명의 목적은 압전 프린트 헤드로부터의 잉크 배출을 시뮬레이트 및 해석하기 위한 개량된 모델 및 그에 수반하는 알고리즘을 제공하는 것이다.

또 다른 목적은 개량된 모델 및 알고리즘에 결합 레벨 세트 투영 방법용의 중앙 차분 도식을 포함하고, 선택적으로 중앙 차분 도식에 사용될 수 있는 멀티 그리드 호환 분리 투영 오퍼레이터를 더 포함하는 것이다.

본 발명의 중앙 차분 도식에서는, 재차 내비어 스토크 방정식이 먼저 비압축성의 조건을 고려하지 않고 매 단계에서 풀어진다. 그래서, 얻어진 속도가 무발산 필드의 공간으로 "투영"된다. 그러나, 관련 출원의 상류 도식과 대조적으로, 중앙 차분 도식은 여기에서 엇갈림 셀 평균을 사용하고, 로컬 속도의 방향은 중요하지 않다. 테일러의 시간 외삽은 시간 집중(time-centered) 속도 및 레벨 세트 예측인자를 산출하는데 여전히 사용된다. 그러나, 그러한 외삽은 시간에서의 외삽이기 때문에, 코드 실시가 더욱 쉽다. 중앙 차분 도식의 하나의 특징은 시간 단계 t=tⁿ에서 속도 및 레벨 세트가 셀 중앙에 위치되는 경우, 이들은 다음 시간 단계 t=tⁿ⁺¹에서는 그리드 포인트에 위치된다. 속도 및 레벨 세트는 시간 단계 t=tⁿ⁺²에서는 다시 셀 중앙에 있게 된다. 속도 및 레벨 세트가 일련의 시간 단계에 걸쳐 위치를 번갈아 바꾸는 것은 이 방법이 "엇갈린" 그리드를 사용하는 것으로 기술되기 때문이다.

중앙 차분 도식의 성능을 향상시키기 위해, 2개의 분리 투영 오퍼레이터가 무발산 공간으로 속도를 투영하도록 구성된다. 투영 오프레이터에 기인한 선형 시스템은 멀티 그리드 방법에 의해 신속하게 해결될 수 있다. 투영 오퍼레이터는 차분 조건으로 사용되는 유한 차분 투영 및 유한 요소 투영을 포함한다. 유한 차분 투영 오퍼레이터는 속도가 그리드 포인트에 위치되고 셀 중앙에 압력이 위치될 때 사용된다. 유한 요소 투영 오프레이터는 속도가 셀 중앙에 위치되고 그리드 포인트에 압력이 위치될 때 사용된다. 유한 차분 투영이 채택될 때, 셀 밀도는 1/2 시간 단계만큼 시간 지연된다. 이러한 셀 밀도 시간 지연은 "지연된(retarded)" 밀도라고 한다.

본 발명에 의해 의도되는 바와 같이, 중앙 차분 도식의 이점은 (ⅰ) 쉬운 실시, (ⅱ) 더 낮은 컴퓨터 메모리 요구량, 및 (ⅲ) 비뉴튼성 유체 흐름에 적용하기 위한 더 쉬운 일반화를 포함한다.

본 발명의 일 양태에 따르면, 채널로부터의 유체 배출을 시뮬레이트 및 해석 하는 방법이 제공된다. 바람직하게는, 이 채널은 압전 잉크젯 헤드의 일부인 잉크젯 노즐을 포함한다. 채널을 통해 흐르는 제1 유체(예컨대, 잉크)와 제2 유체(예컨대, 공기) 사이에 경계가 존재한다. 이 방법은 (a) 균일한 직사각형 그리드 상에 중앙 차분법에 기초한 이산화(discretization)를 공식화하는 단계, (b) 중앙 차분법에 기초한 이산을 사용하여 균일한 직사각형 그리드에 대해 유한 차분 해석을 실행하여, 채널을 통한 적어도 제1 유체의 흐름을 관리하는 방정식을 푸는 단계, 및 (c) 실행된 유한 차분 해석에 기초하여 채널로부터의 배출 및 통한 제1 유체의 흐름을 시뮬레이트하는 단계를 포함한다.

바람직하게는, 단계 (b)를 실행할 때, 채널에서의 경계의 특징을 포착하는데 레벨 세트 방법이 사용된다.

바람직하게는, 균일한 직사각형 그리드는 복수의 셀을 포함하고, 중앙 차분에 기초한 이산화는 각 셀마다 채널에서의 경계의 특징을 포착하기 위한 레벨 세트값과 제1 유체의 속도를 결정하기 위한 속도 벡터가 존재하도록 공식화된다. 각 셀마다의 대응하는 속도 벡터 및 레벨 세트값은 하나의 시점에서는 셀의 대략 중앙에 위치하고 다음 시점에서는 셀의 그리드 포인트에 위치한다.

바람직하게는, 단계 (a)는 유한 차분 투영 오퍼레이터와 유한 요소 투영 오퍼레이터를 포함하는 멀티 그리드 호환 투영 오퍼레이터를 구성하는 단계를 포함한다.

바람직하게는, 단계 (b)에서, 유한 차분 해석은 각 시점에서 각 셀내의 채널을 통해 적어도 제1 유체의 흐름을 관리하는 방정식을 풀기 위해 중앙 차분에 기초 한 이산화를 사용하여 균일한 직사각형 그리드에 대해 실행되고, 유한 차분 투영 오퍼레이터는 단계 (b)가 그리드 포인트에 위치되는 레벨 세트값과 속도 벡터에 의해 실행된 후에 적용되며, 유한 요소 투영 오퍼레이터는 단계 (b)가 대략 셀 중앙에 위치되는 레벨 세트값과 속도 벡터에 의해 실행된 후에 적용된다.

다른 양태에서, 본 발명은 채널을 통해 흐르는 제1 유체와 제2 유체 사이에 경계를 갖는 채널로부터의 유체 배출을 시뮬레이트 및 해석하기 위한 장치를 포함한다. 이 장치는 상술한 처리를 실행하기 위해 구성되는 하나 이상의 구성요소 또는 모듈을 포함한다. 이러한 처리의 일부 또는 모두는 소프트웨어, 하드웨어, 또는 그 조합으로 실현되는 명령들의 프로그램에 의해 편리하게 특정될 수 있다. 이 구성요소 중 하나는 바람직하게는 시뮬레이션의 가시적인 관측을 가능하게 하기 위한 디스플레이를 포함한다.

본 발명의 또 다른 양태에 따르면, 본 발명의 다양한 양태들이 컴퓨터나 실행을 위한 프로세서 제어 장치에 저장되거나 이송될 수 있는 소프트웨어의 형태일 수 있는 명령들의 프로그램에 의해 실현될 수 있다. 이와 달리, 명령들의 프로그램은 하드웨어(예컨대, 주문형 집적 회로(ASIC), 디지털 신호 처리 회로 등)로 직접 실현될 수 있거나, 그러한 명령들은 소프트웨어와 하드웨어의 조합으로서 실시될 수 있다.

다른 목적 및 이점은 본 발명의 더욱 완전한 이해와 함께 첨부하는 도면과 관련하여 취해진 이하의 설명 및 특허청구범위를 참조함으로써 명확해지고 이해될 것이다.

도면에서 유사한 참조부호는 유사한 부품을 나타낸다.

Ⅰ. 도입

본 발명은 2차원 2상 흐름 특히 잉크젯 시뮬레이션을 위해 균일한 직사각형 그리드에 대해 중앙 차분 레벨 세트 투영 방법의 발전에 관한 것이다. Navier-Stokes 방정식이 먼저 비압축성의 조건을 고려하지 않고 각 시간 단계에서 풀어진다. 그래서 얻어진 속도는 무발산 필드의 공간으로 "투영된다" 관련 출원의 상류 도식과 대조적으로, 중앙 차분 도식은 여기에서 엇갈린 셀 평균을 사용하고, 로컬 속도의 방향은 중요하지 않다. Navier-Stokes 방정식을 풀기 위해, 속도와 레벨 세트 기울기가 먼저 산출된다. 테일러의 시간 외삽이 시간 중심 속도 및 레벨 세트 예측인자를 산출하는데 사용된다. 이들 예측인자는 무발산이 아닌 속도 수정인자를 산출하기 위해 채용된다.

중앙 차분 도식의 하나의 특징은 시간 단계 t=tⁿ에서 속도 및 레벨 세트가 셀 중앙에 위치하면, 다음의 시간 단계 t=tⁿ⁺¹에서 속도 및 레벨 세트는 그리드 포인트에 위치하게 된다. 속도 및 레벨 세트는 시간 단계 t=tⁿ⁺²에서 다시 셀 중앙에 위치하게 된다. 속도 및 레벨 세트가 일련의 시간 단계에 걸쳐 위치를 번갈아 바꾸는 것은 이 방법이 "엇갈린" 그리드를 사용하는 것으로 기술되기 때문이다.

중앙 차분 도식의 성능을 향상시키기 위해, 2개의 분리 투영 오퍼레이터가 무발산 공간으로 속도를 투영하도록 구성된다. 투영 오프레이터에 기인한 선형 시스템은 멀티 그리드 방법에 의해 신속하게 해결될 수 있다. 투영 오퍼레이터는 차 분 조건으로 사용되는 유한 차분 투영 및 유한 요소 투영을 포함한다. 유한 차분 투영 오퍼레이터는 속도가 그리드 포인트에 위치되고 셀 중앙에 압력이 위치될 때 사용된다. 유한 요소 투영 오프레이터는 속도가 셀 중앙에 위치되고 그리드 포인트에 압력이 위치될 때 사용된다. 유한 차분 투영이 채택될 때, 셀 밀도는 1/2 시간 단계만큼 시간 지연된다. 이러한 셀 밀도 시간 지연은 "지연된(retarded)" 밀도라고 한다.

본 발명의 중앙 차분 알고리즘은 Godunov 상류 도식을 이용하는 시뮬레이션 알고리즘보다 더 고속이고, 더 낮은 컴퓨터 오버헤드 요구량을 갖는데, 그 이유는 (1) 시간에서의 테일러의 외삽만이 시간과 공간 양자에서의 테일러의 외삽 대신 채용되고, (2) 해결할 로컬 Riemann 문제점이 없으며, (3) 각 시간 단계에서 해결할 투영 방정식이 하나만 있기 때문이다(관련 출원에서의 각 시간 단계에서 해결할 방정식은 2개 즉, MAC 투영 및 FEM 투영이 존재한다).

Ⅱ. 운동의 방정식

이하의 설명은 Kupferman 및 Tadmor에 의한 단상 유체용 중앙 차분 도식을 2상 흐름 시뮬레이션에 어떻게 확장하는지를 설명한다. 잉크젯 시뮬레이션에서 해결할 지배 방정식(governing equations)은 이 섹션에서 확인되고, 여기에 언급된 다른 번호가 부여된 방정식과 함께 첨부물(Appendix)에 나타낸다. 이류 항목에 대해 보존 형태를 사용하는 것을 선호하기 때문에, Navier-Stokes 방정식 및 레벨 세트 이류 방정식은 관련 출원에서 나타낸 것과 약간 상이하다. 2상 흐름용 중앙 차분 도식과 알고리즘의 일 실시예를 나타내는 플로우차트를 섹션 Ⅲ에서 설명한다. 고속 멀티 그리드 방법과 호환 가능한 2개의 분리 투영 오퍼레이터를 섹션 Ⅳ에서 설명한다. 시뮬레이션 예들을 섹션 Ⅴ에서 제공한다.

A. 지배 방정식

2상 흐름용 지배 방정식은 연속 방정식 (1)과 Navier-Stokes 방정식 (2)를 포함한다. 이들 방정식에서, 변형 텐서의 레이트와 유체 속도는 각각 방정식 (3)에 정의된다.

는 Lagrangian 시간 미분이고, ρ는 상대 밀도, p는 압력, μ는 상대 역학 점도(relative dynamic viscosity), σ는 표면 인장 계수, k는 곡률, δ는 Dirac 델타 함수, 및

는 레벨 세트가다.

레벨 세트 공식은 2개의 유체, 예컨대 잉크와 공기 사이의 계면을 정의하기 위해 사용되고, 따라서 상대 밀도, 상대 역학 점도 및 곡률이 모두 방정식 (4)에 나타내는 바와 같이 레벨 세트

에 의해 정의된다.

여기에서, 레벨 세트 함수

는 계면까지의 표시된 거리로서 초기화된다, 즉 레벨 세트값은 액체측에서 계면까지의 최단 거리이고 공기측에서 최단 거리의 음의 값이다. 유체 2로부터 유체 1로 끌어당겨진 계면에 수직인 유닛과 계면의 곡률은 방정식 (5)에서와 같이

에 의해 표현될 수 있다.

지배 방정식을 무차원으로 만들기 위해, 방정식 (6)에 나타내는 바와 같은 아래의 정의가 선택된다. 프라임이 붙은 양들은 무차원이고, L, U, ρ₁, μ₁은 각각 특정 길이, 특정 속도, 유체 1의 밀도 및 유체 1의 역학 점도이다. 특정 속도 및 특정 길이는 시뮬레이션의 결과에 영향을 주지 않기 때문에 임의로 선택될 수 있다.

방정식 (6)의 관계를 방정식 (1) 및 (2)에 치환하고 프라임을 빼면, 방정식 (7) 및 (8)이 산출되며, 여기에서 상대 밀도비 ρ(

), 상대 점도비 μ(

), Reynolds 수(Re), 및 Weber 수(We)가 방정식 (9)에 의해 정의된다.

계면은 유체와 함께 이동하기 때문에, 레벨 세트의 에볼루션(evolution)은 방정식 (10)에 의해 지배된다.

방정식 (5), (7) 및 (8)이 벡터 표기법에 의해 표현되기 때문에, 이들은 데카르트 좌표 및 축대칭 좌표에서 동일한 형태를 취한다.

본 발명을 기술하기 위해, 이류 항목에 대해 보존 형태의 사용을 선호한다. 따라서, 방정식 (8) 및 (10)은 각각 방정식 (11) 및 (12)로 재기입된다. 방정식 (8), (10) 및 (11), (12)의 등가는 이류 항목을 전개함으로써 확인될 수 있다. 예를 들면, 방정식 (12)에서, 전개는 방정식 (13)에 나타낸다. 유체가 비압축성인 한, 즉

·u = 0인 한은 최종적인 등가가 유지된다.

B. 경계 조건

강체 벽 상에서 속도의 수직 및 탄젠셜 성분의 양쪽이 0이 되는 것으로 가정하지만, 이러한 가정은 삼중점에서 변형되어야 한다. 유입과 유출 양쪽에서, 본 발명의 공식은 속도(14) 또는 압력(15) 경계 조건 중 어느 하나를 정할 수 있게 한다. 방정식 (15)에서, 기호 n은 유입 또는 유출 경계에 수직인 유닛을 나타낸다. 잉크젯 시뮬레이션을 위해, 시간 종속 유입 조건이 용기로부터 노즐로 잉크에 힘을 가하는 전하 구동 메커니즘과 유사한 등가 회로 모델에 의해 제공된다.

C. 접촉 모델

공기와 잉크가 강체 벽과 만나는 삼중점에서, 2002년 3월 22일에 출원된 "A Slipping Contact Line Model and the Mass-Conservative Level Set Implementation for Ink-Jet Simulation"이란 명칭의 미국 출원 번호 10/105,138호에 나타내는 바와 같은 슬립핑(slipping) 접촉 라인 모델이 사용된다. 이 출원의 개시물은 참고로 본 명세서에 일체화되어 있다.

Ⅲ. 중앙 차분 도식

이하 균일한 직사각형 그리드에 대한 수치 알고리즘이 공식화된다. 이하에서는, 즉 방정식 (16) 등에서 위첨자 n(또는 n+1)은 시간 단계를 나타낸다.

양들 uⁿ, pⁿ,

ⁿ을 가정하면, 알고리즘의 목적은 비압축성의 조건을 만족하는 uⁿ⁺¹, pⁿ⁺¹,

ⁿ⁺¹을 얻기 위함이다. 여기에 설명된 명시적(explicit) 알고리즘은 시간에서의 1차 정확성과 공간에서 2차 정확성이다.

A. 계면의 스미어링(smearing)

Dirac 델타 함수에 의해 및 계면을 가로지르는 점성과 밀도의 급격한 변화에 의해 초래되는 계산상의 어려움으로 인해, Heaviside 및 Dirac 델타 함수가 계면을 소량의 비트 스미어하기 위해 평활된 것으로 치환된다. Heaviside 함수는 방정식 (17)로 재정의된다. 따라서, 평활된 델타 함수는 방정식 (18)에 나타낸 것과 같다.

파라미터 ε은 일반적으로 (19)에 나타내는 바와 같이 셀의 평균 크기에 비례하도록 선택되며, 여기에서 Δx는 직사각형 셀의 평균 크기이다. 일반적으로

를 1.7과 2.5 사이에서 선택한다.

따라서, 밀도와 점도는 방정식 (20)에 나타내는 바와 같이 된다.

B. 중앙 도식

그리드는 크기 Δx ×Δy의 균일한 직사각형 셀로 구성된다. 이들 셀은 (x_i=(i-1/2)Δx, y_j=(j-1/2)Δy)에서 중앙에 있게 된다. 도 1에 도시된 바와 같이, 시간 단계 tⁿ에서, 이산 속도 uⁿ=(u_i,j, v_i,j) 및 레벨 세트

_i,j가 셀 중앙에 위치되고 압력 pⁿ _i,j가 그리드 포인트에 있다고 가정한다. 그 목적은 t=tⁿ⁺¹에서의 속도, 압력 및 레벨 세트를 얻기 위함이다.

B.1. 보간

제1 단계는 방정식 (21)에 나타내는 바와 같이, 셀 중앙에 이산 속도 및 레벨 세트값으로부터 필드를 선형적으로 재구성하기 위한 것이다. 이들 방정식에서,

는 각각 x 및 y 방향의 이상 속도(레벨 세트) 기울기이다. 이들 기울기를 산출하기 위한 여러 가지 방법이 존재한다. 예를 들어, 하나는 상술한 관련 출원에서의 방정식 (60)-(62)에서 논의된 바와 같은 2차 단조성 제한 기울기(monotonicity-limited slopes)를 채용할 수 있다. 이와 달리, 여 기에서 바람직한 바와 같이, 이들 기울기는 방정식 (22)에 나타내는 간단한 중앙 차분을 사용하여 계산된다.

B.2. 예측인자

제2 단계는 t=t^n+1/2에서 속도 및 레벨 세트 예측인자를 얻기 위한 것이다. 이것은 방정식 (23)에서와 같이 시간에서의 테일러의 전개에 의해 쉽게 달성될 수 있다. (23)의 우변에 대한 시간 미분은 방정식 (11) 및 (12)를 치환함으로써 값이 구해지고, 그 결과 방정식 (24)가 된다. 셀 중앙에서의 레벨 세트 예측인자

_i,j ^n+1/2가 얻어진 후, 시간 집중 밀도(ρ(

^n+1/2)) 및 점도(μ(

^n+1/2))가 방정식 (20)을 사용하여 산출된다. 이들 밀도 및 점도는 t=t^n+1/2에서 여전히 셀 중앙에 있다.

B.3. 수정인자

제3 단계는 tⁿ 내지 tⁿ⁺¹에서 불연속 선형 어림수(piecewise linear approximants)(21)를 이끌어내기 위한 것이다. 새로운 속도 필드 및 레벨 세트가 먼저 방정식 (25)에 나타내는 바와 같이 자신의 엇갈림 셀 평균에 의해 실현된다. 도식의 중앙 차분 성질은 (25)에서 엇갈림 평균에 강하게 링크되고, 이것은 도 2에 나타내는 제어 박스 C_i+1/2,j+1/2 ×[tⁿ,tⁿ⁺¹]에서 적분되어야 한다. 일례로서 레벨 세트 이류 방정식을 취하면, 방정식 (26)을 (25)의 첫 번째 식에 치환하여 방정식 (27)을 산출한다. 방정식 (27)의 우변상의 제1항에 있어서, 선형적으로 재구성된 레벨 세트(즉, (21)에서의 두번째 식)에 연결한다. 제2 및 제3항에 있어서, 공간 및 시간에서의 중간점 구적법(mid-point quadrature)을 사용한다. 일례로서 제2항을 취하면, 방정식 (28)에 치환이 나타나고, 여기에서 시간 집중량이 이전 단계에서 얻어진 그들의 속도 및 레벨 세트 예측인자이며, 미분 오프레이터 D_x ⁺ 및 평균 오퍼레이터 μ_y ⁺가 방정식 (29)에 나타내는 바와 같이 정의된다. 이하에서, (27)에 대해서도 유사하게 정의되어 있는 D_y ⁺, D_x ^-, μ_x ⁺와 같은 유사하게 정의된 미분 및 평균 오퍼레이터를 사용한다.

선형적으로 재구성된 필드 및 예측인자에 연결한 후, 방정식 (27)의 엇갈림 레벨 세트 평균은 방정식 (30)에 나타내는 바와 같이 된다. 유사하게, 속도 필드는 방정식 (31) 및 (32)에 나타내는 바와 같다.

이들 레벨 세트 및 속도 수정인자는 그리드 포인트에 위치되는 것에 주의하라. 비압축성 조건은 강화되지 않았기 때문에, 방정식 (31) 및 (32)에 의해 주어지는 속도 필드는 무발산이 아니다.

B.4. uⁿ⁺¹에 대한 투영

방정식 (33)에 나타내는 t=tⁿ⁺¹에서의 속도 필드 uⁿ⁺¹은 비압축성이다. (33)의 양변에 발산 오퍼레이터를 적용하고

·uⁿ⁺¹ = 0이라면, 방정식 (34)의 결과가 얻어진다. 투영 방정식 (34)는 타원형이다. 이것은 밀도비 ρ(

^n+1/2)이 상수인 경우 Poisson's 방정식으로 변환된다. 투영 방정식의 유한 요소 공식이 방정식 (35)에 나타나 있고, 여기에서 Γ₁은 유입 또는 유출 속도 u^BC가 주어지는 모든 경계를 나타낸다. 이것은 Γ₁에서의 내포된 경계 조건이 방정식 (36)에 나타내는 바와 같은 발산 이론에 의해 검증될 수 있다. 경계 압력이 유입과 유출의 양쪽에서 주어지는 경우 (35)의 우변상의 제2항이 0이 되는 것은 주목할 만하다. 투영 단계는 이산화 방정식 (34) 또는 (35) 중 어느 하나에 의해 행해질 수 있다.

압력 pⁿ⁺¹이 방정식 (34) 또는 (35)로부터 풀어진 후, 속도 필드 uⁿ⁺¹이 방정식 (33)에 의해 얻어질 수 있다.

B.5. 엇갈림 성질

앞의 서브섹션에 따르면, 중앙 차분 도식은 먼저 연속성 조건 없이 Navier-Stokes 방정식을 적분한다. t=tⁿ에서 속도 및 레벨 세트는 셀 중앙에 위치하는 반면에 압력은 그리드 포인트에 위치한다. 시간 집중 속도 및 레벨 세트 예측인자가 시간에서의 테일러 전개를 사용하여 먼저 산출된다. 시간 집중 밀도 예측인자는 시간 집중 레벨 세트를 사용하여 산출된다. 셀 중앙에 위치하는 이들 예측인자는 그 후 그리드 포인트에서의 속도 및 레벨 세트 수정인자를 산출하는데 사용된다. 압력과 속도간의 상대 위치가 동일한 상태로 유지되기를 원하기 때문에, 투영 단계 에서 얻어진 속도 uⁿ⁺¹은 그리드 포인트에 위치하고, 압력 pⁿ⁺¹은 셀 중앙에 위치한다.

t=tⁿ⁺¹로부터 t=tⁿ⁺²까지의 상황은 반대이다. t=tⁿ⁺¹에서 속도는 그리드 포인트에 위치하고 압력은 셀 중앙에 위치한다. 중앙 차분 도식은 그리드 포인트에서의 시간 집중 속도 및 레벨 세트 예측인자를 먼저 산출한다. 이들 예측인자는 그후 셀 중앙에서의 수정인자를 얻기 위해 사용된다. 투영이 행해진 후, 비압축성 속도 uⁿ⁺²가 셀 중앙에 위치하고 압력 pⁿ⁺²가 그리드 포인트에 위치한다. 계산 도식에서의 이산 속도 및 압력의 위치가 매 시간 단계마다 변화하기 때문에, "엇갈림 성질"이라는 것을 갖는다.

C. 레벨 세트의 재초기화

계면을 정확하게 포착하고 표면 장력을 정확하게 산출하기 위해, 레벨 세트는 계면에 대해 표시된 거리 함수로 유지될 필요가 있다. 그러나, 레벨 세트가 방정식 (7)에 의해 갱신되면, 그래도 유지되지 않는다. 따라서, 그 대신에 시뮬레이션이 주기적으로 정지되고, 원래의 레벨 세트 함수의 제로 레벨 세트를 변화시키지 않고 표시된 거리 함수 즉,

인 새로운 레벨 세트 함수

가 재생성된다.

레벨 세트 산출시에 그렇게 할 필요성은 재초기화를 갖는 것으로서 이전에 인식되어 왔다. 재초기화를 위한 직접적이고 간단한 방법은 윤곽 플로터를 사용하여 계면(제로 레벨 세트)를 먼저 찾은 후에 각 셀로부터 계면까지의 표시된 거리를 재계산하는 것이다. 다른 간단한 재초기화 선택은 방정식 (37)에 나타내는 바와 같은 교차 시간 문제점을 해결하는 것이고, 여기에서 F는 소정의 정상 속도이다. t'가 의사 시간 변수이고 방정식이 재초기화의 목적으로만 풀리는 것을 강조하기 위해 t'가 방정식 (37)에서 사용되고 있는 것이 주목할 만하다. F=1이면, 시간의 순방향 및 역방향으로 계면을 흐르게 하고, 레벨 세트 함수가 각 셀에 대한 부호를 변화시키는 시간 t'를 산출한다. 교차 시간(양 및 음의 양쪽)은 표시된 거리와 동일하다. 이들 2개의 간단한 방법의 어느 하나는 본 발명에 사용하기에 적합하다. 양자는 시뮬레이션 결과에서 현저한 차이가 없도록 시도되고 있다.

본 발명에서 사용하기 위한 더욱 양호한 재초기화 도식은 2003년 12월 5일에 출원된 "Selectively Reduced Bi-cubic Interpolation for Ink-Jet Simulations on Quadrilateral Grids"란 명칭의 미국 출원 번호 10/729,637호에 기재되어 있다. 이 출원의 개시내용은 참고로 본 명세서에 일체화되어 있다. 이 재초기화 도식은 더욱 양호한 질량 보존 성능을 나타낸다.

D. 시간 단계에 대한 제한

시간 적분 도식은 이류 항목에 대해 2차 양함수 표시이고 점도에 대해 1차 양함수 표시이며, 시간 단계 Δt에 대한 제한은 방정식 (38)에 나타내는 바와 같이 CFL 조건, 표면 장력, 점도 및 총 가속에 의해 결정되며, 여기에서 h=min(Δx,Δy)이고 Fⁿ은 방정식 (19)에서 정의된다.

E. 플로우차트

도 3의 플로우차트에 의해 나타내는 바와 같이, 계산 알고리즘은 기본적으로 순차적이다. 코드는 먼저 노즐 구조를 판독하고(단계 301), 또한 tend(시뮬레이션의 종료 시간),

(계면 스미어링의 범위), ifq_reini(얼마나 자주 레벨 세트가 재초기화되어야 하는가)와 같은 제어 파라미터를 판독한다(단계 302). 소정의 노즐 구조에 의해, 코드는 균일한 직사각형 그리드를 생성한다(단계 303). 시간과 현재 시간 단계의 갯수는 0으로 설정도기ㅗ, 초기 유체 속도는 언제나 0으로 설정된다(단계 304). 소정의 스미어링 파라미터(

)에 의해, 계면 두께가 방정식 (19)를 사용하여 설정된다(단계 305). 레벨 설정은 초기 잉크 공기 계면이 편평하다고 가정함으로써 초기화된다(단계 306).

이하 t<tend인지를 체크함으로써 시간 루프를 시작한다(단계 307). t<tend이면, 일관된 백 압력이 2003년 8월 29일에 출원된 "Consistent Back Pressure for Piezoelectric Ink-Jet Simulation"이란 명칭의 미국 출원 번호 10/652,386호의 방법에 따라 결정되며, 그 개시내용은 참고로 본 명세서에 일체화되어 있다(단계 308). 그 후, 시간 단계는 코드의 안정성을 보증하기 위해 방정식 (38)에 의해 결정된다(단계 310). 시간 단계 및 잉크 유속(초기 유속은 0이다)이 현재의 시간 단계에 대한 유입 압력을 산출하는 등가 회로 또는 유사한 분석 기구에 전달된다(단계 311). 등가 회로로부터 유입 속도를 수신한 후에, CFD 코드는 부분 미분 방정식을 풀기 위해 진행한다. 속도 및 레벨 세트의 기울기가 먼저 방정식 (22)에 따라 산출된다(단계 312). 그 후 예측인자가 방정식 (24)를 이용하여 산출된다(단계 313). 시간 집중 점도 및 밀도는 레벨 설정 예측인자가 얻어지면 또한 산출된다. 속도 및 레벨 세트 수정인자는 방정식 (30) 내지 (32)를 사용하여 산출된다(단계 314). ifq_reini 시간 단계마다, 레벨 세트가 또한 다시 멀어진다(단계 315 및 316). 새로운 유체 점도 및 밀도가 새로운 레벨 세트값을 사용하여 산출된다(단계 317). 점도 필드는 새로운 압력 및 비압축성 속도 필드를 얻기 위해 비발산 공간으로 투영된다(단계 318). 루프에서 행하는 최종적인 것은 잉크 유속을 산출하는 것(단계 319)과 시간 단계의 갯수를 갱신하는 것(단계 320)이다.

Ⅳ. 멀티 그리드 호환 투영

이 섹션에서는, 멀티 그리드 방법과 호환 가능한 이산 투영 오퍼레이터의 구성을 설명한다. 앞의 섹션에서 설명한 중앙 차분 도식은 "엇갈림" 특징을 갖고, 즉, 압력이 셀 중앙에 위치되는 것과 압력이 그리드 포인트에 위치되는 것의 2개의 이산 투영 오퍼레이터가 필요하다. 여기에서 유한 차분 투영 및 유한 요소 투영을 제안한다. 이들은 교대로 시뮬레이션에 채용된다. 유한 차분 투영 오퍼레이터는 속도가 그리드 포인트에 위치하고 압력이 셀 중앙에 위치할 때 사용된다. 유한 요소 투영 오퍼레이터는 속도가 셀 중앙에 위치하고 압력이 그리드 포인트에 위치할 때 사용된다. 유한 차분 투영이 채택될 때, 셀 밀도는 1/2 시간 단계만큼 시간 지연되고, 이것을 "지연된" 밀도라고 한다.

A. t=tⁿ⁺¹에서의 투영

앞의 섹션에 따르면, t=tⁿ⁺¹의 종단에서의 속도는, t=tⁿ에서 셀 중앙에 있으면, 그리드 포인트에 위치한다. 압력과 속도간의 상대 위치가 동일하게 유지되길 원하기 때문에, 투영 단계에서 풀어야 될 압력 즉, pⁿ⁺¹은 셀 중앙에 위치해야 한다. 상대 위치는 도 4에 도시되어 있으며, 여기에서

에서의 "틸데(tilde)"는 이들 속도가 비압축성이 아닌 속도 수정인자인 것을 나타낸다. 도시되지 않은 밀도 수정인자가 또한 그리드 포인트에 위치되는 것에 주의하라.

유한 요소 방법(FEM) 투영은 압력을 계산하고 무발산 속도를 얻기 위해 사용될 수 있다. FEM 투영은 압력을 불연속적인 선형이 되게 하고 속도 그레디언트를 불연속적으로 일정하게 함으로써 직접적인 방식으로 이산화될 수 있다. 이러한 선형 시스템을 해결하기 위해 IMSL 다이렉트 솔버(direct solver)가 호출될 수 있다. 그러나, 압력이 셀 중앙에 위치하고 밀도가 그리드 포인트에 위치하기 때문에, 비압축성이 아닌 경우 코드 성능을 향상시키기 위해 선형 시스템을 해결하는데 고속 멀티 그리드 방법을 적용하는 것은 매우 어렵다. IMSL 다이렉트 솔버는 멀티 그리드 방법에 비해 매우 느리다.

따라서, 여기에서 "약간 지연된" 중앙 밀도 예측인자를 갖는 유한 차분 투영(34)의 사용이 제안된다. 도 4를 참조하고 중앙 차분을 고려하면, 방정식 (34)는 방정식 (39)에 나타내는 바와 같이 이산화될 수 있다.

및

와 같은 셀 에지 밀도가 셀 중앙에서 밀도 예측인자를 평균함으로써 근사된다. 일례가 방정식 (40)에 제공된다. 밀도 예측인자는 테일러의 전개에 의해 산출되는 레벨 세트 예측인자

를 사용하여 얻어진다는 것에 주의하라. 방정식 (39)에서 압력 과 속도의 양자가 t=tⁿ⁺¹에 대한 것이므로, 투영에 사용된 밀도는 1/2 시간 단계만큼 지연된다. 따라서, 그 밀도는 "지연된 밀도"라고 한다.

경계 조건들은 이산 방정식 (39)에서 실시하기 쉽다. 예를 들면, 강체 벽 경계가 셀 (i,j)와 (i+1,j) 사이의 에지를 통과하는 경우, Neumann 조건 dp/dn=0이 압력에 대해 적용될 필요가 있다. 이것은 (41)을 사용함으로써 간단히 행해질 수 있다. 속도 예측인자 및 수정인자가 산출될 때 속도에 대한 노슬립(no-slip) 조건이 이미 고려되어 왔다는 것에 주의하라. 따라서, 투영 시에 노슬립 조건은 관련없다.

유입에 있어서, 유입 압력은 p=p^BC로 주어지고, du/dn=0이 충족될 필요가 있다. 예를 들면, 유입 경계가 셀 (i,1)과 (i,0) 사이의 에지에 위치되는 경우, 유입 압력은 (42)를 설정함으로써 쉽게 이행될 수 있다. 투영은 예측인자 수정인자 산출 시에 미리 고려되기 때문에 투영을 행할 때, 유입에 있어서의 속도 조건, du/dn=0을 걱정할 필요가 없다.

이산화 투영 방정식 (39)와 경계 조건은 이후의 서브섹션에서 설명할 멀티 그리드 방법에 의해 해결될 수 있다. 셀 중앙 압력이 해결된 후에, 그리드 포인트에서의 비압축성 속도가 방정식 (33)을 사용하여 산출될 수 있다.

B. t=tⁿ⁺²에 있어서의 투영

t=tⁿ⁺¹에서, 속도 uⁿ⁺¹ 및 레벨 세트

ⁿ⁺¹은 그리드 포인트에 위치하고, 압력 pⁿ⁺¹은 셀 중앙에 위치한다. 그래서 t=tⁿ⁺²에 있어서 속도 uⁿ⁺² 및 레벨 세트

ⁿ⁺²는 셀 중앙에 구성되고 압력 pⁿ⁺²는 그리드 포인트에 구성된다.

FEM 투영은 비압축성 속도 및 압력을 얻기 위해 채택된다. 수정인자(비압축성이 아님)와 해결될 압력 사이의 상대 위치는 도 5에 도시된다. (43)에 나타내는 바와 같은 FEM 투영 방정식은 실시를 용이하게 하기 위해 사용되어야 한다. (43)에서, Γ₁은 유입 또는 유출 속도 u^BC가 주어지는 모든 경계를 나타낸다.

여기에서, 멀티 그리드 방법으로 동작할 수 있는 방정식 (43)의 이산화가 필요하다. 도 5에서는 압력이 그리드 포인트에 위치되고 속도 및 밀도가 셀 중앙에 위치되기 때문에, 압력은 표준 FEM 불연속 쌍일차 함수로 근사될 수 있고, 속도는 불연속 상수 함수로 근사될 수 있다. 테스팅 함수 는 불연속적인 쌍일차가 되도록 선택되고, 이산값이 압력과 결합되도록 선택된다. 이들 선택은 그리드 포인트 (i+1/2,j+1/2)에서의 연속적인 FEM 오퍼레이터가 (44)인 것을 나타내는 것과 등가이다. (44)는 본 발명의 멀티 그리드 코드에서의 이산화하기 위한 실제의 방정식이다. 이산화에의 방정식 (43)의 직접적인 사용은 멀티 그리드 솔버가 발산하게 만든다.

균일한 직사각형 그리드 상에서, (44)의 좌변은 (45)와 같이 이산화되는 반면에, 우변에서의 제1항은 (46)과 같이 기입될 수 있다. 우변에서의 제2항은 유입/유출 속도가 규정되어 있지 않으면 0으로 된다. 유입 속도가 주어진 경우에, 제2 항은 수치로 산출하기 쉽다. 예를 들면, 유입 속도가 일정하고 유입 경계가 수평이며 해 영역(solution domain)의 하부(즉, 셀 (i,1)과 (i,0)의 사이)에 위치하는 경우, 제2항은

^BC/2Δy로 변환하고, 여기에서

^BC는 규정된 유입 속도의 y 성분이다.

C. 멀티 그리드 방법의 이행

멀티 그리드 방법은 고속으로 변화하는 계수를 갖는 라플라스 방정식을 해결하는데 적용될 때 느리게 수렴하거나 발산하기 쉽다. 잉크젯 시뮬레이션에서, 최대 1000:1까지의 밀도비가 수용되어야 한다. 따라서, 계수는 잉크 공기 계면을 가로질러 매우 빠르게 변화한다. 투영으로부터 기인하는 선형 시스템을 해결하기 위해 멀티 그리드 방법을 채용할 때 주의를 기울어야 한다. 본 발명은 멀티 그리드 방법 자체에 직접 관련된 것이 아니기 때문에, 코딩 시에 멀티 그리드 솔버를 채택하는 선택이 간단히 아래에 리스트된다.

·가장 미세한 레벨에 대한 이산 투영 오퍼레이터는 앞의 2개의 서브섹션에서 정의된 바와 같다.

·일반적인 멀티 그리드 V 사이클이 채택된다.

·멀티 컬러 Jacobi 이트레이션(iteration)이 매 레벨에서 선형 시스템을 "완화"하는데 사용된다. 나머지는 다음의 더 조악한 레벨에서 사용되도록 제한된다. 해는 보간되어 다음의 더 정밀한 레벨에 가산된다.

·매우 높은 밀도비(예컨대, 1000:1)를 갖는 문제점에 있어서, 4개의 멀티 컬러 Jacobi 이트레이션이 V 사이클의 각 레벨에 대해 행해지고, 8-10 V 사이클이 나머지를 7차 내지 8차만큼 변환시키도록 반복된다.

·제한 오퍼레이터 및 보간 오퍼레이터는 쌍일차이고 결합된다.

·멀티 컬러 Jacobi 이트레이션 또는 공액 경사법(conjugate gradient method) 중 하나가 바닥(가장 조악한) 레벨에서 선형 시스템을 해결하기 위해 적용될 수 있다. 그러나 바닥 레벨에서의 나머지는 정확히 0일 필요는 없다. 그러나 요구되는 해 정확도보다 더 작은 적어도 2차이어야 한다.

·더 조악한 레벨에서의 수치 투영 오퍼레이터는 메쉬 크기(Δx 및 Δy)가 2의 계수만큼 증가되는 것을 제외하고 최상위(가장 미세한) 레벨과 정확히 동일하게 정의된다.

·더 조악한 레벨에서의 셀 밀도는 더 미세한 레벨에서의 셀 밀도를 평균함으로써 얻어질 수 있다.

Ⅴ. 수치예

제1 예로서, 도 6의 시뮬레이션에 의해 나타내는 바와 같이, 제2의 더 가벼운 유체로 둘러싸인 2D 유체 기포의 적하를 고려한다. 원래의 기포는 직경 1의 원이라고 가정한다. 그 밀도는 제2 유체를 둘러싸는 높이의 2배이다. Reynolds 수는 400으로 선택되는 반면, Weber's 수는 무한대(즉, 표면 장력이 없다)로 설정된다. 해 영역은 5 ×5이고, 256 ×256의 균일한 사각형 메쉬가 시뮬레이션용으로 사용된다. 시간 단계는 0.005이다. 상기 지적한 바와 같이, IMSL 다이렉트 솔버 또는 멀티 그리드 솔버 중 어느 하나가 투영으로부터 선형 시스템을 해결하기 위해 채용될 수 있다. 단지 차이점은 멀티 그리드 솔버가 사용되는 경우, 투영의 이산화가 앞의 섹션에서와 같이 행해져야 되는 반면, 멀티 그리드 솔버는 수렴하지 않을 수 있다. IMSL과 멀티 그리드 솔버를 사용하여 얻어진 결과들이 가시적인 차이가 없을 정도로 가깝기 때문에, 결과들 중 하나의 세트만이 도시되는 것에 주의하라. 듀얼 Xeon 2.8GHz CPU 및 266MHz ECC SDRAM을 구비한 윈도우즈 XP 워크스테이션 상에서, 하나의 CPU 및 멀티 그리드 솔버를 사용하여 700 시간 단계에 대한 시뮬레이션은 약 930초 걸린다. IMSL 다이렉트 솔버를 사용하는 동일한 시뮬레이션은 약 1700초 걸린다. 투영의 이산화로부터 기인하는 선형 시스템을 해결하는데 소비된 CPU 시간을 비교하면, 수치는 IMSL 다이렉트 솔버에 대해서는 시스템당 1.38초이고 멀티 그리드 솔버에 대해서는 0.281초이다.

제2의 간단한 2D 예에 있어서, 도 7에서의 동적 압력에 의한 잉크 방울의 배출을 가정하며, 여기에서 최대 압력은 8이고 최소는 -7이다. 노즐 직경은 오프닝에서 1이고 바닥에서 2이다(유입). 노즐 오프닝부, 즉, 그 직경이 1인 부분의 길이는 1이다. 경사부의 길이는 2.2이다. 초기 잉크 공기 계면은 편형하고 노즐 오프닝으로부터 0.1 아래로 경사진 것으로 가정된다. 이 시뮬레이션에 사용되는 다른 파라미터들은 Reynolds 수가 50과 같고, Weber's 수가 31.3과 같다는 것이다. 32 ×336의 직사각형 그리드를 사용한 시뮬레이션 결과는 도 8에 도시된다. 시뮬레이션(t=0으로부터 t=9까지)은 종료할 때가지 900개의 시간 단계를 취하고, 매 단계에서 코드는 10750 ×10750 매트릭스 시스템을 해결한다. CPU 시간은 266MHz ECC SDRAM을 구비한 2.8GHz Xeon 윈도우즈 워크스테이션에서 509초이다.

Ⅵ. 응용 및 효과

이상 나타내는 바와 같이, 본 발명은 2상 잉크젯 시뮬레이션을 위한 결합 레벨 세트 투영 방법용의 중앙 차분 도식을 제공한다. 본 발명은 결과적인 선형 시스템이 멀티 그리드 방법으로 해결될 수 있도록 수치 투영 오퍼레이터를 또한 제공한다.

본 발명의 상세를 설명하였기 때문에, 이하 도 9를 참조하여 본 발명의 하나 이상의 양태를 실시하는데 사용될 수 있는 예시적인 시스템(90)을 설명한다. 도 9에 도시된 바와 같이, XP 윈도우즈 워크스테이션일 수 있는 시스템은 연산 자원을 제공하고 컴퓨터를 제어하는 중앙 처리 장치(CPU)(91)를 포함한다. CPU(91)는 마이크로프로세서 등으로 수행될 수 있고, 하나 이상의 CPU(예컨대, 듀얼 Xeon 2.8 GHz CPUs)를 나타낼 수 있으며, 그래픽 프로세서와 같은 하나 이상의 보조 칩을 포함할 수도 있다. 시스템(90)은 랜덤 액세스 메모리(RAM) 및 판독 전용 메모리(ROM)의 형태일 수 있는 시스템 메모리(92)를 더 포함한다.

다수의 제어기 및 주변 디바이스가 도 9에 도시된 바와 같이 또한 제공된다. 입력 제어기(93)는 키보드, 마우스 또는 스타일러스(stylus)와 같은 다양한 입력 디바이스(94)에 인터페이스를 제공한다. 저장 제어기(95)는 본 발명의 다양한 양태를 실현하는 프로그램들의 구현을 포함할 수 있는 운영 체계, 실용성 및 응용을 위한 명령들의 프로그램을 기록하는데 사용될 수 있는 자기 테이프나 디스크, 또는 광학 매체와 같은 저장 매체를 각각 포함하는 하나 이상의 저장 디바이스(96)와 인터페이스한다. 저장 디바이스(들)(96)는 본 발명에 따라 처리되거나 처리될 데이 터를 저장하는데 사용될 수도 있다. 표시 제어기(97)는 시뮬레이션을 시청하기 위한 임의의 공지된 종류일 수 있는 표시 디바이스(98)에 인터페이스를 제공한다. 프린터 제어기(99)는 프린터(101)와 통신하기 위해 또한 제공된다. 통신 제어기(102)는 인터넷, 근거리 통신망(LAN), 광역 통신망(WAN),을 포함하는 다양한 네트워크 중 어느 하나를 통해, 또는 적외선 신호를 포함하는 임의의 적절한 전자기 반송파 신호를 통해, 시스템(90)을 원격 디바이스에 접속할 수 있게 하는 하나 이상의 통신 디바이스(103)와 인터페이스한다.

상기 설명한 시스템에서, 모든 주요 시스템 구성요소들은 하나 이상의 물리 버스를 나타낼 수 있는 버스(104)에 접속한다. 그러나, 다양한 시스템 구성요소들은 서로 물리적으로 근접할 수도 하지 않을 수도 있다. 예를 들면, 입력 데이터 및/또는 출력 데이터가 하나의 물리 위치로부터 다른 물리 위치로 원격 송신될 수 있다. 또한, 본 발명의 다양한 양태를 실현하는 프로그램들이 네트워크를 통해 원격 위치(예컨대, 서버)로부터 액세스될 수 있다. 그러한 데이터 및/또는 프로그램들은 자기 테이프나 디스크 또는 광 디스크를 포함하는 다양한 머신 판독 가능 매체, 네트워크 신호, 또는 적외선 신호를 포함하는 임의의 적절한 전자기 반송파 신호 중 어느 하나를 통해 전달될 수 있다.

본 발명은 소프트웨어로 편리하게 실행될 수 있다. 그러나, 하드웨어 및/또는 소프트웨어/하드웨어 실행을 포함하는 대체 실현도 가능하다. 하드웨어 실행 기능은 ASIC(s), 디지털 신호 처리 회로 등을 사용하여 실현될 수 있다. 따라서, 청구범위에서의 구(句) "구성요소들 또는 모듈들"은 소프트웨어 및 하드웨어 실행 을 포함하도록 의도된다. 유사하게, 본 명세서에서 사용되는 용어 "머신 판독 가능 매체"는 소프트웨어, 명령들의 프로그램을 갖는 하드웨어, 또는 그 조합을 포함한다. 이들 실시 대체예를 고려하면, 도면 및 그에 수반하는 설명은 당업자에게 필요한 처리를 실행하기 위해 프로그램 코드(즉, 소프트웨어)를 기입하거나 회로(즉, 하드웨어)를 제조하는데 필요한 기능적인 정보를 제공하는 것이 이해될 것이다.

본 발명은 여러 개의 구체적인 실시예와 관련하여 설명하였지만, 추가의 치환, 수정, 변형 및 응용이 전술한 설명에 비추어 당업자에게는 명백해질 것이다. 따라서, 여기에 설명한 본 발명은 첨부하는 청구범위의 사상 및 범위 내에 있을 수 있는 치환, 수정, 변형 및 응용을 포함하도록 의도된다.

이상 설명한 바와 같이, 본 발명에 의하면, 압전 프린트 헤드로부터의 잉크 배출을 시뮬레이트 및 해석하기 위한 개량된 모델 및 그에 수반하는 알고리즘을 얻을 수 있다.

또한 본 발명에 의하면, 개량된 모델 및 알고리즘에 결합 레벨 세트 투영 방법용의 중앙 차분 도식을 얻을 수 있고, 선택적으로 중앙 차분 도식에 사용될 수 있는 멀티 그리드 호환 분리 투영 오퍼레이터를 얻을 수 있다.

(첨부)

Claims (17)

1. 채널로부터의 유체 배출을 시뮬레이트 및 해석하는 방법으로서, 상기 채널을 통해 흐르는 제1 유체와 제2 유체 사이에 경계가 있고, 상기 방법은:

   (a) 균일한 직사각형 그리드 상에 중앙 차분법에 기초한 이산화를 공식화하는 단계;

   (b) 중앙 차분법에 기초한 이산을 사용하여 균일한 직사각형 그리드에 대해 유한 차분 해석을 실행하여, 채널을 통한 적어도 제1 유체의 흐름을 관리하는 방정식을 푸는 단계; 및

   (c) 상기 실행된 유한 차분 해석에 기초하여 상기 채널로부터의 배출 및 상기 채널을 통한 상기 제1 유체의 흐름을 시뮬레이트하는 단계를 포함하는, 유체 배출 시뮬레이트 및 해석 방법.
2. 제1항에 있어서, 상기 제1 유체는 잉크이고, 상기 제2 유체는 공기이며, 상기 채널은 압전 잉크젯 헤드의 일부인 잉크젯 노즐을 포함하는, 유체 배출 시뮬레이트 및 해석 방법.
3. 제1항에 있어서, 단계 (b)를 실행할 때, 상기 채널내의 상기 경계의 특징을 포착하기 위해 레벨 세트 방법이 사용되는, 유체 배출 시뮬레이트 및 해석 방법.
4. 제1항에 있어서, 상기 균일한 직사각형 그리드는 복수의 셀을 포함하고, 상기 중앙 차분법에 기초한 이산화는 각 셀에 대해, 상기 제1 유체의 속도를 결정하기 위한 속도 벡터와 상기 채널내의 상기 경계의 특징을 포착하기 위한 레벨 세트값이 존재하도록 공식화되어 있는, 유체 배출 시뮬레이트 및 해석 방법.
5. 제4항에 있어서, 각 셀에 대해, 상기 대응하는 속도 벡터 및 레벨 세트값이 하나의 시점에서의 상기 셀의 대략 중앙 및 다음 시점에서의 상기 셀의 그리드 포인트에 위치되는, 유체 배출 시뮬레이트 및 해석 방법.
6. 제5항에 있어서, 단계 (a)는 유한 차분 투영 오퍼레이터 및 유한 요소 투영 오퍼레이터를 포함하는 멀티 그리드 호환 투영 오프레이터를 구성하는 단계를 포함하는, 유체 배출 시뮬레이트 및 해석 방법.
7. 제6항에 있어서, 단계 (b)에서, 유한 차분 해석은 매 시점에서 각 셀내의 상기 채널을 통해 적어도 상기 제1 유체의 흐름을 관리하는 방정식을 풀기 위해 상기 중앙 차분법에 기초한 이산화를 사용하여 상기 균일한 직사각형 그리드에 대해 실행되고, 상기 유한 차분 투영 오프레이터는 단계 (b)가 상기 그리드 포인트에 위치되는 레벨 세트값과 상기 속도 벡터로 실행된 후에 적용되며, 상기 유한 요소 투영 오프레이터는 단계 (b)가 상기 대략 셀 중앙에 위치되는 레벨 세트값과 속도 벡터로 실행된 후에 적용되는, 유체 배출 시뮬레이트 및 해석 방법.
8. 채널로부터의 유체 배출을 시뮬레이트 및 해석하는 장치로서, 상기 채널을 통해 흐르는 제1 유체와 제2 유체 사이에 경계가 있고, 상기 장치는:

   (a) 균일한 직사각형 그리드 상에 중앙 차분법에 기초한 이산화를 공식화하고;

   (b) 중앙 차분법에 기초한 이산을 사용하여 균일한 직사각형 그리드에 대해 유한 차분 해석을 실행하여, 채널을 통한 적어도 제1 유체의 흐름을 관리하는 방정식을 풀며;

   (c) 상기 실행된 유한 차분 해석에 기초하여 상기 채널로부터의 배출 및 상기 채널을 통한 상기 제1 유체의 흐름을 시뮬레이트하도록 구성된 하나 이상의 구성요소 또는 모듈을 포함하는, 유체 배출 시뮬레이트 및 해석 장치.
9. 제8항에 있어서, 상기 하나 이상의 구성요소 또는 모듈의 처리는 소프트웨어, 하드웨어, 또는 이들의 조합으로 구현되는 명령들의 프로그램에 의해 특정되는, 유체 배출 시뮬레이트 및 해석 장치.
10. 제8항에 있어서, 상기 하나 이상의 구성요소 또는 모듈은 상기 시뮬레이션을 가시적으로 관측하기 위한 디스플레이를 포함하는, 유체 배출 시뮬레이트 및 해석 장치.
11. 제8항에 있어서, 상기 제1 유체는 잉크이고, 상기 제2 유체는 공기이며, 상기 채널은 압전 잉크젯 헤드의 일부인 잉크젯 노즐을 포함하는, 유체 배출 시뮬레이트 및 해석 장치.
12. 채널로부터의 유체 배출을 시뮬레이트 및 해석하는 방법을 실행하도록 머신에게 지시하는 명령들의 프로그램을 갖는 머신 판독 가능 매체로서, 상기 채널을 통해 흐르는 제1 유체와 제2 유체 사이에 경계가 있고, 상기 명령들의 프로그램은:

    (a) 균일한 직사각형 그리드 상에 중앙 차분법에 기초한 이산화를 공식화하기 위한 명령들;

    (b) 중앙 차분법에 기초한 이산을 사용하여 균일한 직사각형 그리드에 대해 유한 차분 해석을 실행하여, 채널을 통한 적어도 제1 유체의 흐름을 관리하는 방정식을 풀기 위한 명령들; 및

    (c) 상기 실행된 유한 차분 해석에 기초하여 상기 채널로부터의 배출 및 상기 채널을 통한 상기 제1 유체의 흐름을 시뮬레이트하기 위한 명령들을 포함하는, 머신 판독 가능 매체.
13. 제12항에 있어서, 명령들 (b)를 실행할 때, 상기 채널내의 상기 경계의 특징을 포착하기 위해 레벨 세트 방법이 사용되는, 머신 판독 가능 매체.
14. 제12항에 있어서, 상기 균일한 직사각형 그리드는 복수의 셀을 포함하고, 상 기 중앙 차분법에 기초한 이산화는 각 셀에 대해, 상기 제1 유체의 속도를 결정하기 위한 속도 벡터와 상기 채널내의 상기 경계의 특징을 포착하기 위한 레벨 세트값이 존재하도록 공식화되어 있는, 머신 판독 가능 매체.
15. 제14항에 있어서, 각 셀에 대해, 상기 대응하는 속도 벡터 및 레벨 세트값이 하나의 시점에서의 상기 셀의 대략 중앙 및 다음 시점에서의 상기 셀의 그리드 포인트에 위치되는, 머신 판독 가능 매체.
16. 제15항에 있어서, 명령들 (a)는 유한 차분 투영 오퍼레이터 및 유한 요소 투영 오퍼레이터를 포함하는 멀티 그리드 호환 투영 오프레이터를 구성하는 명령들을 포함하는, 머신 판독 가능 매체.
17. 제16항에 있어서, 명령들 (b)를 실행할 때, 유한 차분 해석은 매 시점에서 각 셀내의 상기 채널을 통해 적어도 상기 제1 유체의 흐름을 관리하는 방정식을 풀기 위해 상기 중앙 차분법에 기초한 이산화를 사용하여 상기 균일한 직사각형 그리드에 대해 실행되고, 상기 유한 차분 투영 오프레이터는 명령들 (b)가 상기 그리드 포인트에 위치되는 레벨 세트값과 상기 속도 벡터로 실행된 후에 적용되며, 상기 유한 요소 투영 오프레이터는 명령들 (b)가 상기 대략 셀 중앙에 위치되는 레벨 세트값과 속도 벡터로 실행된 후에 적용되는, 머신 판독 가능 매체.

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