KR20060048942A

KR20060048942A - 양자 계산을 수행하는 시스템 및 방법

Info

Publication number: KR20060048942A
Application number: KR1020050069563A
Authority: KR
Inventors: 체탄 나약; 키릴 슈텐겔; 마이클 프리드맨
Original assignee: 마이크로소프트 코포레이션
Priority date: 2004-07-30
Filing date: 2005-07-29
Publication date: 2006-05-18
Also published as: US7109593B2; EP1622071A3; US20070162407A1; US7474010B2; US7453162B2; US20080120259A1; CN1755715A; EP1622071A2; US7579699B2; US20060033097A1; JP2006065854A; US20060022190A1

Abstract

양자 계산을 수행하는 장치 및 방법이 개시된다. 이러한 장치 및 방법은 준입자가 배치된 시스템을 지니는 격자의 제1 양자 상태를 식별하고, 적어도 하나의 소정의 규칙에 따라 상기 준입자를 격자내에서 이동시키고, 상기 준입자가 이동된 후 격자의 제2 양자 상태를 식별하고, 격자의 제2 양자 상태에 기초하여 계산 결과를 판정하는 것을 포함할 수 있다.

양자 계산, 준입자, 격자, 양자 상태

Description

양자 계산을 수행하는 시스템 및 방법{SYSTEMS AND METHODS FOR PERFORMING QUANTUM COMPUTATIONS}

도 1a, 1b 및 1c는 동위체 현상(isotopy)을 설명하는 데에 유용한 도면.

도 2는 본 발명에 따른 예시적인 카고미 격자(Kagome lattice)의 도면.

도 3은 본 발명에 따른 예시적인 카고미 격자의 도면.

도 4는 본 발명의 양상을 설명하기에 유용한 예시적인 격자의 도면.

도 5는 본 발명에 따라 이중합체 운동(dimer moves)을 설명하기에 유용한 예시적인 격자의 도면.

도 6은 본 발명의 양상이 구현될 수 있는 예시적인 컴퓨팅 환경을 보여주는 블록도.

<도면의 주요부분에 대한 부호의 설명>

120 : 처리 장치

121 : 시스템 버스

130 : 시스템 메모리

134, 144 : 운영 체제

135, 145 : 애플리케이션 프로그램

136, 146 : 기타 프로그램 모듈

137, 147 : 프로그램 데이터

본 발명은 일반적으로 양자 컴퓨팅 분야에 관한 것이다. 보다 구체적으로는, 본 발명은 위상수학적 양자 컴퓨팅(topological quantum computing)에 관한 것이다.

1982년의 분수 양자 홀 효과(fractional quantum Hall effect)의 발견 이래로, 전자의 위상수학적 위상은 굉장한 관심사가 되어 왔다. 많은 가환성 위상수학적 위상이 양자 홀 체제의 문맥으로 발견되어 왔다. 최근에는, 고온 초전도 및 기타 복합 물질이 가환성 위상수학적 위상의 추가 이론 연구 및 가환성 위상수학적 위상에 대한 실험 연구를 촉진해오고 있다. 이러한 위상을 허락하는 미시 모델의 유형은 이제 더 잘 이해되고 있다. 비가환성 위상수학적 위상에 대해서는 덜 알려져 있다. 이것은 애매하고 복잡하다고 평이 나 있고 비가환성 위상수학적 위상을 고려하는 실험적 동기 부여가 거의 없었다. 그러나, 비가환성 위상수학적 상태는 양자 계산에 대해 매력적인 환경일 것이다.

컴퓨터의 새로운 세대가 양자 기계의 중첩을 활용하도록 구축되는 경우, 막대한 기술적 관계가 따를 것이라는 것이 점점 명백해지고 있다. 특히, 고체 물리학, 화학 및 의학은 막강한 새 도구를 지니게 될 것이고, 암호학에도 역시 혁명이 일어날 것이다.

양자 계산에 대한 표준 어프로치는 원자핵 스핀과 같이 자유로운 상태의 로컬 정도에서의 컴퓨팅을 예상하는 양자 비트(quantum bit:qubit) 모델에 근거를 둔다. 양자 비트 컴퓨터에서, 정보의 각 비트는 통상적으로 예를 들어 전자 또는 광자와 같은 단일 입자의 상태에서 인코딩된다. 이것은 정보를 취약하게 한다. 환경 교란이 입자의 상태를 변화시키는 경우, 이 정보는 영원히 분실된다. 이것은 결맞음 상실(decoherence) - 상태의 양자 특성의 손실(즉, 전형적이 되고자 하는 시스템의 경향)이라 알려져 있다. 결맞음 상실을 제어하는 모든 방식은, 작용하기 위해, 큰 노력을 요하고 실현 가능하지 않은 정확도 임계치에 도달해야만 한다.

위상 기하학은 양자 정보를 안정화시키기 위해 제안되어 왔다. 위상수학적 양자 컴퓨터는 종래의 0 및 1이 아닌 서로 다른 끈(braids) 구성(매듭과 유사하지만 서로 얽혀있는 몇몇의 서로 다른 실로 구성됨)으로 정보를 인코딩할 것이다. 컴퓨터는 물리적으로 시공의 끈을 짤 것이고, 물질계는 그것을 이어 받아, 복잡한 계산을 매우 빨리 수행할 것이다. 단일 입자 대신 끈으로 정보를 인코딩함으로써, 위상수학적 양자 컴퓨터는 큐빗 모델의 큰 노력을 필요로 하는 분리를 필요로 하지 않고 결맞음 상실이라는 문제에 대해 새로운 어프로치를 나타낸다.

1997년에 Kitaev 및 Freedman에 의해, 충분히 풍부한 TQFT(topological quantum field theory)의 "물리적 힐버트 공간(physical Hilbert space)" V가 제조되고 조작될 수 있다면, 양자 컴퓨팅이 달성될 수 있다는 독립적인 제안이 있었다. 힐버트 공간은 시스템에서의 자유로운 상태의 정도를 설명한다. 수학 구성 V는 물질에 대해 새롭고 주목할 만한 상태로서 실현되고 뜻대로 조작될 필요가 있을 것이 다.

2000년에 Freedman은 기저 상태가 V인, 일부 엄청나게 복잡한 로컬 해밀토니안 H(Hamiltonian H)가 기록될 수 있다는 것을 밝혔다. 그러나 이 H는 실존 수학 정리일 뿐이고, 너무 복잡해서 물리적 실현에 대한 시작 포인트가 될 수 없다.

2002년에 Freedman은 네 개의 바디 상호작용을 포함하는 해밀토니안을 밝혔고, 적합한 동요 이후 H의 기저 상태 다양체가 원하는 상태 V가 될 것이라는 것을 밝혔다. 이 H는 이전에 개발된 H보다 덜 복잡하지만, 이것은 여전히 수학 구성일 뿐이다. 사람들은 입자, 이온, 전자, 또는 종래 기술 모델의 물리적 세계의 임의의 무미건조한 성분을 보지 못한다. 해밀토니안은 시스템의 모든 가능한 물리적 상태(고유상태) 및 그 에너지 값(고유값)을 설명하는 에너지 연산자(operator)이다.

Freedman은 또한 d-동위체 현상의 개념을 정의하고, 이것이 합리적인 해밀토니안의 기저 상태로서 구현될 수 있다면, 이것은 V 및 위상수학적 양자 계산에 이를 것이라는 것을 밝혔다. 동위체 현상은 변형(deformation)으로 정의되고, 동위원소인 두 개의 구조는 동일하다고 간주된다. 도 1a 및 1b의 환원체(1 및 2)에 도시된 대로, 예를 들어 X 및 X'는 각각 동위원소인데, 그 이유는 하나가 단계적으로 다른 하나로 변형될 수 있기 때문이다. d-동위체 현상에서, 작은 원은 인수(factor)=d로서 흡수될 수 있다. 이러한 패쇄된 곡선은 멀티곡선 또는 멀티루프라 지칭된다. (환원체(3) 주위를 감는) 도 1c의 루프 X''는 X 또는 X'에 동위원소가 아니다. 중요하지 않은 루프(왜냐하면, 예를 들어, 이 루프들은 수축성의 원을 포 함하기 때문)는 명백한 루프(trivial loops)라 불리며, 이것은 하나하나 갯수를 셀 뿐만 아니라 제거되는 것이 바람직하다. 명백한 루프가 제거될 때마다, 화상에 "d"가 곱해진다. 다시 말해, 수축성의 원의 존재를 제외하고는 두 개의 멀티루프가 동일하고, 따라서 그 함수 값은 인수 d, 고정된 양의 실수에 따라 다르다.

(여기서 k는 1,2,3 등과 같은 레벨이고, 이것은 Cherns-Simons 이론의 자연 매개변수(a natural parameter)임)이라는 것이 밝혀졌다.

Freedman에 따르면, 매개변수 d는 "특별한" 값, 1, 루트 2, 황금 비, 루트 3,

(여기서 k는 자연수임)만을 취할 수 있다. d=1에서, 고체 물리학에서 관찰되지 않는 경우, 공간 V는 이미 공지된 어떤 것이 된다. d＞1에 대해, V는 새로운 주제이다. Freedman 등은 d-동위체 현상이 장 이론(field theory)에 의해 설명될 수 있고, 영역 월(domain wall)로서의 멀티루프가 또한 윌슨 루프 연산자(Wilson loop operator)로 해석될 수 있다는 것을 이후에 밝혔다. 따라서, d-동위체 현상은 멀티루프에 부과될 수 있는 수학 구조이고, Cherns-Simon 이론에 기초한다.

물질의 색다른 형태는 분수 양자 홀 유체(fractional quantum Hall fluid)이다. 이것은 두 개의 반도체의 평면 인터페이스에서 전자가 강력한 자기 장의 영향을 받아 온도가 절대 온도 0 가까이로 떨어지는 경우에 발생한다. 평면상의 전자는 통합이 안 된 전자의 액정 바다를 형성하고, 일부 여분의 전자가 추가되는 경우, 애니온(anyons)이라 불리는 준입자가 나타난다. 전자 또는 양자와는 달리, 애니온은 정수 분수인 전하(charge)를 가질 수 있다.

(제 1 란다우 레벨(Landau level)의) 1/3 충만의 분수 양자 홀 유체는 이미 TQFT의 V의 기본(가환성) 예제이다. 양자 계산을 달성하기 위해, FQHE(fractional quantum Hall effect) 유체보다 더 안정되고 더 쉽게 조작되는 상태를 구성하는 것이 바람직할 것이다.

애니온의 한 가지 속성은, 입자들이 서로의 주위에서 이동될 때, 이 입자들은 경로의 복잡함에 개의치 않고 그들이 따라온 경로의 마디(knottedness)를 물리적 감각으로 기억한다는 것이다. 위상수학적 양자 계산 시스템에서 계산을 수행하기 위해, 비가환성 변형이라 불리는, 충분히 복잡한 변형을 지닌 시스템에서 애니온을 사용하는 것이 바람직하다.

전술된 견지에서, 종래 기술의 한계와 결점을 극복하는 시스템 및 방법이 요구된다.

본 발명의 장치 및 방법은 준입자가 배치된 격자의 제1 양자 상태를 식별하고, 적어도 하나의 소정의 규칙에 따라 상기 준입자를 격자내에서 이동시키고, 상기 준입자가 이동된 후 격자의 제2 양자 상태를 식별하고, 격자의 제2 양자 상태에 기초하여 계산 결과를 판정하는 것을 포함한다. 예를 들어 준입자는 비가환성 입자일 수 있다.

준입자는 실제 입자(real particle) 시스템의 최소 에너지 상태의 여기(excitation)일 수 있다. 최소 에너지 상태 및 준입자는 실제 입자들의 상호작용으로부터 정의되는 해밀토니안 연산자(Hamiltonian operator)에 의해 결정될 수 있 다. 해밀토니안 연산자는 루프를 생성하고 변형하고 제거하는 규칙을 야기하는 멀티루프상의 프로세스를 야기시킬 수 있다. 실제 입자는 기초가 되는 격자(아마도 삼각형 격자)의 제1 이중합체 커버링(covering)을 정의할 수 있고, 이것은 제2의 고정된 백그라운드 이중합체 커버링과 공동으로 하나 이상의 멀티루프를 정의할 수 있다. 최소의 에너지 상태는 멀티루프의 중첩일 수 있고, 준입자는 중첩의 기준 여기(canonical excitation)일 수 있다.

격자는 카고미 격자에 대해 모서리 중심이 복수의 육각형을 포함하는 삼각형 격자일 수 있다. 각 육각형은 단 하나의 실제 입자를 포함할 수 있다. 카고미 격자는 복수의 삼각형 서브 격자를 포함할 수 있고, 삼각형 서브 격자의 모서리는 카고미 격자의 사이트(site)이다. 격자는 복수의 격자 사이트를 포함할 수 있지만, 격자 사이트 중 그 어떠한 것도 하나 이상의 이중합체를 호스트할 수 없다.

소정의 규칙은 하나 이상의 조합 운동(combinatorial moves)을 포함할 수 있다. 조합 운동은 보우 타이 운동(bow-tie move), 삼각형 운동(triangle move) 및 마름모꼴 플립(rhombus flip)을 포함할 수 있으나 이에 제한되지 않는다. 준입자를 이동시키는 것은, 격자의 2D+1 차원의 시공에서 구성될 양자 끈을 발생시키기 위해 제2의 준입자에 대해 준입자를 이동시키는 것을 포함할 수 있다. 계산 결과는 양자 끈에 기초할 수 있고, 이것은 준입자가 제2의 준입자에 대해 어떻게 이동되었는가에 관한 표시를 제공할 수 있다.

본 발명의 추가의 특징 및 이점은 첨부된 도면과 함께 진행되는 예시적인 실시예에 대한 이하의 상세 설명으로부터 더욱 명백해질 것이다.

전술된 요약뿐만 아니라 바람직한 실시예에 대한 이하의 상세한 설명은 첨부된 도면과 함께 판독될 때 더 잘 이해된다. 본 발명을 도시하기 위해, 본 발명의 예시적인 구성이 도면에 도시된다. 그러나, 본 발명은 개시된 특정 방법 및 수단에 제한되지 않는다.

본 발명에 따른 장치 및 방법은 준입자가 배치된 격자의 제1 양자 상태를 식별하고, 적어도 하나의 소정의 규칙에 따라 격자내에서 상기 준입자를 이동시키고, 상기 준입자가 이동된 후 격자의 제2 양자 상태를 식별하고, 격자의 제2 양자 상태에 기초하여 계산 결과를 판정하는 것을 포함한다.

본 발명에 따라, "실제적인(realistic)" 미시(microscopics)가 d-동위체 현상에 제공되고, 여기서 "실제적인"은, 예를 들어 루프 및 곡선과는 대조적으로, 원자 및 전자를 지칭한다. 특히, "실제적인"은 로컬 상호작용(입자들이 서로 가까이에 있고 서로의 존재를 알고 있음)이 있는, 자유로운 상태의 물리적 정도를 의미한다. 상호작용은 원자들을 서로 가까이에 있게 하는 위치 에너지 비용이다. 반데르발스의 힘(van der waals forces)과 같은 기존의 물리적 관계가 터널 링 진폭(tunneling amplitudes)과 같은 기타 물리적 특징과 함께 사용될 수 있다. d-동위체 현상의 수학 구성의 물리적 실시예를 획득하는 것이 바람직하다. 다시 말해, d-동위체 현상의 추상적인 설명을 공지의 물리적 프로세스(예를 들어, 터널링, 척력(repulsion), 쿨롱 상호작용(Coulomb interaction))로 바꾸는 것이 바람직하다.

추상적인 d-동위체 현상에서부터 실제 물리학에 이르기까지, 멀티루프(즉, 멀티곡선)가 구현된다. 이 멀티루프는 절곡선(broken curves)(즉, "이중합체 커버(dimer covers)"(종래 물리학의 표준 용어임))으로 구현되는 것이 바람직하다. 또한 이하의 규칙 (1) 동위체 현상 규칙 - 화상(또는 화상의 일부)의 진폭은 화상이 구부러질 때 변경되지 않음 및 (2) d 규칙 - 작은 루프와 관련된 값을 설명하기 위함이 구현되는 것이 바람직하다. 이 규칙들은 서로 다른 두 상태(예를 들어 두 상태사이에서 깜빡거림)에 관한 해밀토니안의 항인 "요동(fluctuations)"으로 바뀐다.

예시적인 실시예는 2차원 카고미 격자 및 링-교환 항(ring-exchange term)(이하에 설명됨)을 지니는 확장 허바드 모델(extended Hubbard model)에 관한 것이다. (루프와 같은) 위상 기하학 및 (d-동위체 현상 규칙과 같은) 규칙과 함께 (1/6이 채워진 키고미 격자와 같은) 이중합체 커버는 예시적인 확장 허바드 모델내에 포함되는 것이 바람직하다. 예시적인 확장 모델과 함께 사용되는 예시적인 입자는 보손 입자(bosons) 또는 스핀이 없는 페르미 입자(spinless fermions)일 수 있다.

1/6 충만율에서, 모델이 동요 이론(perturbation theory)의 가장 낮은 0이 되지 않는 차수(non-vanishing order)로 분석된다. 입자(예를 들어 전자)의 일부 백분율로 파퓰레이트된 격자에 대해, 입자는 자연적으로 흩어져서 "완벽한" 구성을 형성한다. 따라서, 삼각형 격자 모서리의 1/6이 입자(예를 들어 전자)로 채워지는 경우, 그 결과 (예를 들어 쿨롱 척력의 결과로서) 전자의 완벽한 정합이 이루어진다.

기저 상태(ground state) 다양체(manifold)가 광범하게 퇴화된 "d-동위체 현상 공간"(비가환성 위상수학적 차수의 일부 유형에 대한 필수 조건임)인, 정확한 녹는 점이 결정된다. 값

가까이에서, 이 공간은 레벨 k의 SU(2) Chern-Simons 이론에 밀접하게 관련된 입자 여기로 안정된 위상수학적 위상으로 붕괴된다.

해밀토니안 클래스는 표준 물리 프로세스로부터 기저 상태 다양체 V = d-동위체 현상(일부 경우 "약한 d-동위체 현상")을 생성한다. 해밀토니안은 추가의 "링 교환 항"을 지니는 일부 경우의 "확장 허바드 모델"이다. 예시적인 모델이 동작하는 격자와 함께 매개변수 영역이 설명된다. 예시적인 격자는 카고미 격자이다. 본 명세서에 설명된 예시적인 모델은 물질 Vd 위상의 구성에 대한 청사진으로서 기능할 수 있고, 이것은 양자 정보 처리에 있어 유용하다. 본 발명은 양자 컴퓨터로의 위상수학적 경로를 연다.

확장 허바드 모델은 개개의 입자 위치("사이트 전위상에서") 및 쌍방식 위치(예를 들어 쿨롱 척력)에 좌우되는 에너지 비용 이외에, 해밀토니안(운동 + 위치 에너지)을 터널링 항으로서 공식화한다. 이 예시적인 모델에 대해, 링 교환 항이 추가될 수 있고, 이것은 많은 입자 그룹(예를 들어 네 개의 입자 그룹)의 집합적인 회전을 모델링한다. 예시적인 실시예에 따라, 입자가 페르미 입자인 경우 또는 보손 입자인 경우가 별도로 다루어진다. 입자는 전자, 쿠퍼 쌍(Cooper pairs), 중성 원자, 음자(phonons), 또는 차지온(chargeons)과 같이 좀 색다른 "전자 파편(electron fractions)"일 수 있다. 스핀이 예시적인 실시예에서 고려되지 않으므 로, 입자가 전자가 되도록 특수화되는 경우, 스핀이 자기장으로 인해 꼼짝 못하게 되거나 또는 레벨의 초미세 조각이 용인되어야 한다는 것을 유의한다. 또한, 모델에 기초한 이러한 점유가 단지 스핀 모델로 간주될 수 있도록 형식 변환이 수행될 수 있다는 것을 유의한다.

카고미 격자는 다소 모호한 기저 상태로 매우 "부진한(frustrated)" 스핀 모델을 지원하기 위해 고체 물리학에 공지되어 있다. 카고미 격자는 삼각형 격자 모서리의 중심을 이용하여 형성되고, 육각형을 연결하는 삼각형이 있는 복수의 육각형을 닮는다. 본 명세서에서 사용된 예시적인 카고미 격자는 도 2에 도시된 바와 같이 구별되는 서브격자로 도시된다.

수학식 (1)에 의해 산출되는 해밀토니안은 사이트 i의 점유 번호(occupation number)이고, μ_i는 대응하는 화학 전위(chemical potential)이다. U₀은 일반적인 온사이트 허바드 에너지 U₀(스핀이 없는 페르미 입자에 대해 과잉임)이다. U는 동일한 육각형에서 두 개의 입자를 지니는 (양의) 쿨롱 페널티이고, V_ij는 "보우 타이(bow-ties)"의 반대 코너를 점유하는 두 개의 입자에 대한 페널티를 나타낸다(다시 말해, 직선 중 하나에서 가장 근접하는 다음 이웃임). 이종의 가능성을 허용하여, 모든 V_ij 가 똑같다고 가정되지 않는다. 특히,

를 정의하는데, 여기서 a는 사이트 (i)의 컬러이고, b는 사이트 (j)의 컬러이고, c는 이들사이의 사이트의 컬러이다. 도 2의 격자에서,

,

및

각각은 구별이 가능하고, 여기서 r∈R, g∈G 및 b∈B=K＼(R∪G)이다. t_ij는 환경 t_ij≡t_cab(여기서 c는 삼각형의 제3 사이트의 컬러를 지칭함)의 컬러에만 좌우된다고 또한 가정되는, 일반적이며 가장 근접한 이웃 터널링 진폭이다. "링"은 링 교환 항 - 일부 패쇄된 경로를 따라 입자를 "옮기는(shift)" 상호관련된 멀티입자 홉을 허용하기 위해 특별하게 해밀토니안에 추가되는 추가의 운동 에너지 항이다.

온사이트 허바드 에너지 U₀는 문제에서 가장 큰 에너지로 간주되고, 이것은 무한으로 설정되어, 점유되지 않았거나 또는 단독으로 점유된 사이트를 지니는 저 에너지 다양체로 주의를 제한한다. 나머지 에너지는 이하의 관계

를 충족시킨다.

이 확장 허바드 모델의 기저 상태 다양체에 대해 동요 이론에서 2차 방정식이 도출될 수 있다. 이러한 방정식이 이하에 제공된다. 솔루션은 d-동위체 현상이라 불리는 위상의 존재에 대해 허바드 모델내의 매개변수 체제(regime)를 설명한다. 이론적으로, 카고미의 점선 서브격자는 결점 시스템에 의해 수정되는 것이 바람직하고, 또는 "링 교환 항"은 d-동위체 현상을 달성하기 위해 도입되는 것이 바람직하다; 베어 모델(bare model)이 기저 상태 다양체 "약한 d-동위체 현상"을 산출하지만, 이 구별은 단지 이론적인 것이다. "약한" 및 "일반적인" 둘 다 다음 단계에서 유사하게 행동한다.

C* 대수학 이론으로부터 "특별한"

에 대해 d-동위체 현상은, 만약 깨어지는 경우, 기저 상태 다양체의 광범위한 퇴화가 단순히 유한한 퇴화(이것은 위상기하학 및 경계 조건에 좌우됨)로 경감되는 고유의 대칭을 지니고 있다는 것이 알려져 있다. 일단 이 대칭성이 깨지는 경우, 그 결과가 위상수학적 위상 Vd라는 것이 또한 알려져 있다. Vd는 범용 양자 컴퓨터로서 기능한다. 본 발명에 따라, 동요의 큰 영역하에서, 이 대칭은 깨어질 것이다. 따라서, 본 발명에 따라 해밀토니안은 d-동위체 현상에 대한, 그리고 동요 후에는 범용 양자 계산 시스템에 대한 청사진이다. 이러한 시스템은 결맞음상실(decoherence)로부터의 어느 정도의 위상수학적 보호를 지니는데, 이것은 양자 계산의 적이다. 이 보호의 강도는 Vd위의 스펙트럼 갭의 크기(계산하기는 어렵지만 임의의 소정의 이식의 에너지 크기로부터 바운딩될 수 있는 양)에 좌우된다. 이 스펙트럼 갭이 작을 것이라고 단언하는 것에 대한 (FQHE에서 존재하는 것과 같은) 선험적 기반은 없다.

방정식이 우선 카고미 기하학으로 점유 모델을 해결하지만, 본 발명은 그 "특별한" 값에서 d-동위체 현상에 고유한 대칭을 어김으로써 진행되는 SU(2) Chern-Simons 이론(및 그들의 Kauffman-Turaev-Viro) 변량의 양자 복수의 임의의 물리적 구현으로 확대된다. 이러한 구현은 스핀 또는 자유로운 상태의 점유 정도가 있는 격자 모델에 기초하거나 장 이론에 기초할 수 있다.

발생하는 비가환성(non-abelian) 위상수학적 위상은 종래 기술에서 설명된 복수 SU(2) Chern-Simons 이론과 관련된다. 이 위상은 원환체(torus) T2상의 (k+1)²-겹의 기저 상태 퇴화로 특징지어지고, 초기 구성요소 k=1로서 Z₂ 게이지 이론의 위상수학적(한정되지 않은) 위상을 포함하는 자연군(natural family)으로 간주되어야 한다. k≥2에 대해, 여기는 비가환성이다. k=3 및 k≥5에 대해, 여기는 계산적으로 범용이다.

이러한 위상수학적 위상에 있기 위해 미시 모델이 충족시켜야 하는 조건이 설명된다. 이러한 미시 모델을, 저 에너지 힐버트 공간이 양자 루프 가스로 설명될 수 있는 연속체 모델의 격자 규칙화로 간주하는 것은 유용하다. 보다 정확하게, 상태는 교차하지 않는 루프의 집합으로서 정의된다. 이러한 상태에서 작동하는 해밀토니안은 이하의 것들을 할 수 있다:(i) 루프가 계속하여 변형될 수 있음 - 이 "운동"은 동위체 현상 운동이라 지칭됨; (ii) 작은 루프가 생성되거나 없어질 수 있음 - 이 운동과 동위체 현상 운동의 결합된 효과는 'd-동위체 현상'이라 지칭됨; 및 (iii) 정확하게 (k+1)개의 밧줄(strand)이 일부 로컬 이웃에서 만나는 경우, 해밀토니안은 그것을 자르고 그 결과 발생하는 "느슨한 끝(loose ends)"을 쌍방식으로 다시 연결시켜 새로이 형성된 루프는 여전히 교차하지 않는다.

보다 구체적으로, 이 모델이 위상수학적 위상에 있기 위해 이 해밀토니안의 기저 상태는, (i) 두 개의 화상이 계속하여 서로로 변형될 수 있는 경우, 두 화상은 동일한 중력으로 기저 상태 중첩으로 되고; (ii) 추가 루프를 지니는 화상의 진폭은 이러한 루프가 없는 화상의 진폭의 d배이고; 및 (iii) 이 중첩은 k+1개의 밧줄을 다시 연결함으로써 로컬로 동작하는 Jones-Wenzl(JW) 투영선을 적용함으로써 없어질 수 있음과 같은 추가의 요구사항을 지니는 이러한 모든 화상을 중첩해야만 한다. 본 명세서에서 설명되었듯이, 이 투영선의 특정 형태는 매우 제약되고,

의 특별한 값에 대해 명백하지 않은 힐버트 공간(non-trivial Hilbert space)에 이르게 한다. 이것의 기저 상태 다양체(ground state manifold:GSM)에 대해 d-동위체 현상을 집행하는 해밀토니안이 구성된다.

도 3에 도시된 카고미 격자(도 2에 도시된 것과 유사함)에 예시적인 모델이 정의된다. 이 격자의 사이트는 완전히 동등하지 않고, 두 개의 서브격자가 도시되는데, 이것은 R(red) 및 G(green)으로 나타내어진다. 도 3에서, 점(solid dots) 및 파선(dashed lines)은 사이트 및 카고미 격자 K와 특별한 서브격자 R 및 G의 본드(bond)를 나타낸다. 실선(solid lines)은 둘러싸고 있는 삼각형 격자를 정의한다.

이중합체 커버는 단 하나(즉 하나 및 단 하나)의 모서리를 만나는 각 꼭지점을 지칭한다. 이중합체 커버는 물리적으로(자연적으로) 척력에 의해 발생한다. 예를 들어, 전자는 서로를 밀어내어 이중합체 커버를 형성한다.

도시된 대로, 녹색(green)은 완벽한 정합(상술됨)이고, 적색(red)은 제2의 완벽한 정합이다. 두 개의 완벽한 정합으로 인해 그 결과 (녹색, 적색, 녹색, 적색 등과 같이) 컬러가 교대로 바뀌는 멀티루프가 생긴다.

녹색 이중합체 및 적색 이중합체가 동일한 모서리를 커버(cover)하는 것이 가능하다. 솔루션은 이것을 길이 2(적색 및 녹색 - 적색 및 녹색 중 하나가 약간 옮겨져서 그것을 "평평한(flat)" 루프라고 가정함)인 가장 짧은 루프로 간주한다. 멀티루프는 이 이중합체들을 교대할 것이다.

예시적인 양자 컴퓨팅 모델에 대해 인코딩이 바람직하다. 루프가 이중합체로 인코딩되고, 규칙은 입자(예를 들어 전자) 상호작용(예를 들어 척력 또는 터널링)으로 인코딩된다. 일부 상황에서, 전자들이 너무 가까와진 경우, 시스템은 기저 상태로부터 여기 상태로 되었다가 다시 기저 상태로 돌아간다. 이것은 제2 차 동요 이론에서 나타나는 가상 프로세스이고 요동을 구축하는 데에 사용된다:이것은 변형을 생성한다.

도핑되지 않은("undoped") 시스템은 충만율(filling fraction) 1/6(즉,

, 여기서 N은 격자의 사이트 개수임)에 대응한다. 그 후 가장 낮은 에너지 대역은 육각형마다 정확하게 하나의 입자가 있는 구성으로 이루어지고, 따라서 모든 U-항은 0으로 설정된다. 이 상태는 삼각형 격자 T(이 삼각형 격자 T의 사이트가 육각형 K(여기서 K는 T에 대한 주위 격자임)의 중심과 일치함)가 고려될 때 더 쉽게 구체화된다. 그 후 K의 입자는 K의 두 개의 인접 육각형의 중심을 서로 연결하는 T의 이중합체에 의해 나타내어진다.

육각형마다 하나의 입자라는 조건은 이중합체들이 하나의 사이트를 공유하지 않는다는 요구조건으로 해석된다. 1/6 충만된 경우, 이 저에너지 다양체는 T의 모든 이중합체 커버링(완벽한 정합)의 세트와 일치한다. T의 이 "적색" 본드들(서브격자 R의 사이트에 대응하는 것들)은 스스로 이러한 하나의 이중합체 커버링, 소위 "엇갈림 구성(staggered configuration)"을 형성한다. 이 특정 커버링은 특별하다:이것은 "플립가능한 양각(flippable plaquette)" 또는 이중합체에 의해 점유된 두 개의 대면을 지닌 마름모꼴을 포함하지 않는다. 인접한 육각형의 중심을 서로 연결함으로써 K로부터 획득된 삼각형 격자 T를 도시하는 도 4를 참조하라. 특별한 서브격자 R과 G에 대응하는 본드가 각각 파선 및 점선으로 도시되어 있다. 하나의 적색 면을 지니는 삼각형들은 흐리게 되어 있다.

따라서, 입자들은 삼각형 격자의 본드상에 있고 이중합체로서 표현된다. 특히, 입자 홉은 이중합체의 종단점들 중 하나 주위에서 60도로 "회전하는(pivoting)" 이중합체에 대응한다.

는 마름모꼴의 두 개의 대면상의 두 개의 평행 이중합체의 위치 에너지이고, c는 마름모꼴의 짧은 대각선의 컬러이다.

삼각형 격자는 둘로 나뉘어지지 않는 것이 바람직하다. 둘로 나뉘어진 격자의 모서리상에서, 모델은 추가의, 원하지 않는, 보존된 양(적분 감음수(integral winding number), 이것은 k＞2에 대해 JW 투영선과 일치하지 않음)을 지닐 것이고, 따라서 삼각형 격자의 모서리는 단순 현실화(a simple realization)를 산출한다.

D의 단순 터널링 이벤트가 에너지 페널티 U로 이중합체 "충돌(collisions)"(두 개의 이중합체가 하나의 종단을 공유함)을 발생시키기 때문에, 터널링 프로세스가 효과적인 저에너지 해밀토니안에 기여하는 가장 낮은 차수는 2이다. 이 차수로 터널링 항은 그 위치 바깥으로 및 뒤로 회전하는 이중합체로 인해 베어 온사이트 전위의 재정규화 뿐만 아니라 두 개의 이중합체의 "플립가능한 양각"을 발생시킨다.

도 3에 도시된 대로 R을 고정함으로써, 두 개의 적색 대면을 지닌 작은 마름모꼴 없이, 바람직한 백그라운드 이합체화(dimerization)대로, 작은 운동 세트하에 서 에르고드성(ergodicity)과 함께 가장 작은 수의 방정식이 획득된다. 일반적인 경우와 달리, 백그라운드 이합체화 R은 단지 시선에 대한 안내가 아니라, 이것은 물리적으로 구별된다:화학적 위상 및 터널링 진폭은 다른 컬러의 본드에 대해 서로 다르다.

적절한 이중합체 커버링 조건을 보존하는 예시적인 단원소 이중합체 운동으로는 양각 플립, 삼각형 운동 및 보우 타이 운동이 있다. 양각(마름모꼴) 플립은 두 개의 격자 삼각형으로 만들어진 하나의 마름모꼴 주위의 두 개의 이중합체 운동이다. "적색" 본드가 이러한 마름모꼴의 한 면, 그 대각선을 형성하는지 또는 거기에 전혀 발견되지 않는지 여부에 따라, 양각은 각각 유형 1(또는 1'), 유형 2 또는 유형 3(도 5의 격자 도면 참조)으로 지칭된다. 도 5는 T의 이중합체 커버링(굵은 까만 선으로 도시됨)과 특별 서브격자 R에 대응하는 적색 커버링(파선으로 도시됨)의 중첩(overlap)을 도시한다. 흐리게 된 양각은 본 명세서에 설명된 각종 이중합체 운동에 대응한다.

양각 유형 1 및 유형 1'의 구별은 단지 방향에 대한 것이다:즉, 양각 유형 1의 대각선 본드는 수평이지만, 유형 1'에 대해서는 그렇지 않다. 이 구별은 바람직한 것인데 그 이유는 해밀토니안이 삼각형(또는 카고미) 격자의 회전 대칭을 어기기 때문이다. 삼각형 운동은 네 개의 기본 삼각형으로 만들어지는 하나의 삼각형 주위의 3-이중합체 운동이다. 이러한 하나의 "플립가능한" 삼각형이 도 5에 (4)로 표시되어 있다. 보우-타이 운동은 여섯 개의 기본 삼각형으로 만들어지는 하나의 "보우-타이" 주위의 4-이중합체 운동이다. 이러한 하나의 "플립가능한" 보 우 타이는 도 5에 (5)로 표시되어 있다.

상술된 운동 각각을 가능하게 만들기 위해, 실제 이중합체와 점유되지 않은 본드는 대응 형상 주위에서 교대되는 것이 바람직하다. 삼각형 및 보우 타이 운동 둘 다에 대해, "적색" 본드의 최대 가능한 수(각각 2 및 4)가 그 생성에 참여하는 경우가 설명된다. (최대 4개의 충돌하지 않는 이중합체에 의해 점유된) 8개의 격자 본드보다 적은 수의 교대 적색/흑색 링이 없다는 것을 유의한다. 링 운동은 적색 및 흑색 이중합체가 교대할 때에만 발생한다; 도 5에서 (4)로 도시된 삼각형은 이것과 관련된 링 항을 지니지 않지만, (5)로 도시된 보우 타이는 이것을 지닌다.

T의 J의 이합체화에 관한 마름모꼴 플립과 상술된 설명간의 일치가 이제 설명된다. 표면은 이제 아마도 주기적인 경계 조건을 지니는 평면 영역(예를 들어 환원체)이다. R∩J의 이중합체가 길이 2의 루프 또는 비곤(bigons)으로 간주된다는 관례에 따라, 루프의 집합이 R∪J에 의해 생성된다. 동위체 현상에 관해, 운동 (2)는 R∪J로부터 R∪J'로의 동위체 현상이지만, 그것 하나만으로는 거의 아무 것도 할 수가 없다. 유형 2 하나만으로부터 큰 운동을 구축하는 것은 불가능하다. 따라서 동위체 현상과 비슷하지 않지만 대신 d-동위체 현상으로 바로 진행한다는 것이 마름모꼴 플립의 특색이다. 유형 5 및 유형 1(1') 운동과 관련된 이하의 관계가 부과된다:

방정식 (2a)에서 한 개에서 네 개의 루프가 전달되기 때문에, 방정식 (2b)에 0개에서 한 개의 루프가 전달된다.

목표를 기술해보면, 효과적인 해밀토니안

는, 이 운동에 의해 연결된 이중합체 구성의 2차원 기반에서의 이중합체 운동에 대응하는 2*2 행렬이다. 이합체화 I, J∈D가 허용된 운동에 의해 연결되는 경우,

이고, 그렇지 않을 경우

이다.

그러므로, 오프-대각선 프로세스에 대해 이 2*2 행렬을 지정하는 것은 충분하다. 유형 (1) 내지 (3)의 운동에 대해, 이하가 산출된다:

는 이제 "작은 루프" 값 d로 조정될 수 있다.

이 운동들이 하나씩 작은 루프의 수를 변경시키기 때문에

이 요구된다. 유형 2의 운동이 동위체 현상 운동이기 때문에,

d＞1인 경우,

인데, 그 이유는 이것이 k＞1에 대해 허용되지 않는 두 개의 밧줄의 "수술(surgery)"을 나타내기 때문이다. 한편, k=1에 대해,

이다. 레벨 k=1에서 이러한 수술에 의해 달라지는 구성은 임의의 기저 상태 벡터 Ψ에서 동일한 계수를 지녀야 하는 반면, 레벨 k＞1에서 이러한 관계가 부과되어서는 안 된다. 따라서, k＞1에 대해, 행렬 관계(3a 내지 3d)는 모델 매개변수로 방정식을 산출한다:

해밀토니안이 베어 링 교환 항(여기서 링은 일부 상수 c3, x, y＞0에 대해 방정식(1)의 링

임)을 지니고, 링을 길이 8의 하나의 루프와 네 개의 비곤사이의 요동으로 간주하는 것으로부터 기인하는 추가의 방정식을 고려해 보자. 방정식 (2a)로부터 당연한 결과로서

이 되고, 따라서

수학식 (5)는 d-동위체 현상에 의해 특징지어지는 해결할 수 있는 포인트에 모델을 두기 위한 추가의 방정식(방정식(4)의 범위를 넘어서)이다.

의 대각선 엔트리가 아마도 가장 자연적인 선택이 아니라는 것이 방정식 (5)로부터 명백하다(이들 엔트리가 로컬의 화학적인 환경에 영향을 받으므로 동등할 필요가 없음에도 불구하고). 또 다른 가능성은 비곤이 루프로 간주되어야만 하는가 여부의 모호성(이것은 x=y를 선택하는 것을 허용함)을 활용한다.

이 구성은 추가의 링 교환 항을 지니는 확장 허바드 모델(또는 동등한 양자 이중합체 모델)이 어떻게 그 GSM으로서 d-동위체 현상 공간을 가지도록 조정될 수 있는가를 보여준다. 그 후 그 특별한 값으로 추가로 조정함으로써 JW 투영선은 이 다양체를 d 값과 관련된 고유의 위상수학적 위상에 대응하는 올바른 기저 상태로 감소시킬 수 있다. 범용 양자 컴퓨터의 단순 후보는

으로 조정될 것이다.

삼각형 격자에 관해 예시적인 실시예가 도시되었지만, 사각형 또는 육각형 격자와 같은 다른 격자가 본 발명에 따라 사용될 수 있다는 것을 고려한다. 또한, 비규칙적인 격자의 사용도 고려될 수 있다.

예시적인 컴퓨팅 환경

도 6은 본 발명이 구현될 수 있는, 적합한 컴퓨팅 시스템 환경(100)의 일례를 도시하고 있다. 컴퓨팅 시스템 환경(100)은 적합한 컴퓨팅 환경의 단지 한가지 일례이며, 본 발명의 사용 범위 또는 기능에 관해 어떠한 제한을 제안하고자 하는 것이 아니다. 컴퓨팅 환경(100)이 예시적인 운영 환경(100)에서 도시된 임의의 하나의 컴포넌트 또는 컴포넌트들의 조합에 관해 임의의 종속성 또는 요구사항을 가지는 것으로 해석되어서는 안 된다.

본 발명은 많은 기타 범용 또는 특수 목적의 컴퓨팅 시스템 환경 또는 구성에서 동작할 수 있다. 본 발명과 함께 사용하기에 적합하고 잘 알려진 컴퓨팅 시스템, 환경 및/또는 구성의 예로는 퍼스널 컴퓨터, 서버 컴퓨터, 핸드-헬드 또는 랩톱 장치, 멀티프로세서 시스템, 마이크로프로세서 기반 시스템, 셋톱 박스, 프로그램가능한 소비자 가전제품, 네트워크 PC, 미니컴퓨터, 메인프레임 컴퓨터, 상기 시스템이나 장치 등의 임의의 것을 포함하는 분산 컴퓨팅 환경이 있지만 이에 제한되는 것은 아니다.

본 발명은 컴퓨터에 의해 실행되는 프로그램 모듈과 같은 컴퓨터 실행가능 명령어의 일반적인 문맥으로 구현될 수 있다. 일반적으로, 프로그램 모듈은 특정 태스크를 수행하고 또는 특정 추상 데이터 유형을 구현하는 루틴, 프로그램, 객체, 컴포넌트, 데이터 구조 등을 포함한다. 본 발명은 또한 통신 네트워크 또는 기타 데이터 통신 매체를 통해 링크된 원격 처리 장치들에 의해 태스크가 수행되는 분산 컴퓨팅 환경에서도 실행될 수 있다. 분산 컴퓨팅 환경에서, 프로그램 모듈 및 기타 데이터는 메모리 저장 장치를 포함하는 로컬 및 원격 컴퓨터 저장 매체 둘 다에 위치할 수 있다.

도 6과 관련하여, 본 발명을 구현하는 예시적인 시스템은 컴퓨터(110)의 형태인 범용 컴퓨팅 장치를 포함한다. 컴퓨터(110)의 컴포넌트는 처리 장치(120), 시스템 메모리(130) 및 시스템 메모리를 포함하는 각종 시스템 컴포넌트를 처리 장치(120)에 결합하는 시스템 버스(121)를 포함하지만 이에 제한되는 것은 아니다. 시스템 버스(121)는 메모리 버스 또는 메모리 컨트롤러, 주변 버스 및 각종 버스 아키텍처 중 임의의 것을 이용하는 로컬 버스를 포함하는 몇몇 유형의 버스 구조 중 어느 것이라도 될 수 있다. 예제로서, 이러한 아키텍처는 ISA(industry standard architecture) 버스, MCA(micro channel architecture) 버스, EISA(Enhanced ISA) 버스, VESA(video electronics standard association) 로컬 버스 그리고 메자닌 버스(mezzanine bus)로도 알려진 PCI(peripheral component interconnect) 버스 등을 포함하지만 이에 제한되는 것은 아니다.

컴퓨터(110)는 통상적으로 각종 컴퓨터 판독가능 매체를 포함한다. 컴퓨터(110)에 의해 액세스 가능한 매체는 그 어떤 것이든지 컴퓨터 판독가능 매체가 될 수 있고, 이러한 컴퓨터 판독가능 매체는 휘발성 및 비휘발성 매체, 이동식 및 이동불가식 매체를 포함한다. 예제로서, 컴퓨터 판독가능 매체는 컴퓨터 저장 매체 및 통신 매체를 포함하지만 이에 제한되는 것은 아니다. 컴퓨터 저장 매체는 컴퓨터 판독가능 명령어, 데이터 구조, 프로그램 모듈 또는 기타 데이터와 같은 정보의 저장을 위해 모든 방법 또는 기술로 구현되는 휘발성 및 비휘발성, 이동식 및 이동불가식 매체를 포함한다. 컴퓨터 저장 매체는 RAM, ROM, EEPROM, 플래시 메모리 또는 기타 메모리 기술, CD-ROM, DVD(digital versatile disk) 또는 기타 광 디스크 기억장치, 자기 카세트, 자기 테이프, 자기 디스크 저장장치 또는 기타 자기 저장장치, 또는 컴퓨터(110)에 의해 액세스되고 원하는 정보를 저장할 수 있는 임의의 기타 매체를 포함하지만 이에 제한되는 것은 아니다. 통신 매체는 통상적으로 반송파(carrier wave) 또는 기타 전송 메커니즘(transport mechanism)과 같은 피변조 데이터 신호(modulated data signal)에서 컴퓨터 판독가능 명령어, 데이터 구조, 프로그램 모듈 또는 기타 데이터 등을 구현하고 모든 정보 전달 매체를 포함한다. "피변조 데이터 신호"라는 용어는, 신호내의 정보가 암호화되도록 그 신호의 하나 이상의 특성을 설정 또는 변경시킨 신호를 의미한다. 예제로서, 통신 매체는 유선 네트워크 또는 다이렉트 유선 접속과 같은 유선 매체, 그리고 음향, RF, 적외선, 기타 무선 매체와 같은 무선 매체를 포함하지만 이에 제한되는 것은 아니다. 상술된 매체들의 모든 조합이 또한 컴퓨터 판독가능 매체의 영역 안에 포함되어야 한다.

시스템 메모리(130)는 판독 전용 메모리(ROM)(131) 및 랜덤 액세스 메모리(RAM)(132)와 같은 휘발성 및/또는 비휘발성 메모리의 형태로 컴퓨터 기억 매체를 포함한다. 시동 시 컴퓨터(110) 내의 구성요소들 사이의 정보 전송을 돕는 기본 루틴을 포함하는 기본 입/출력 시스템(BIOS)(133)은 통상적으로 ROM(131)에 저장되어 있다. RAM(132)은 통상적으로 즉시 액세스 가능하고 및/또는 처리 장치(120)에 의해 현재 동작되고 있는 데이터 및/또는 프로그램 모듈을 포함한다. 예제로서, 도 6은 운영 체제(134), 애플리케이션 프로그램(135), 기타 프로그램 모듈(136) 및 프로그램 데이터(137)를 도시하고 있지만 이에 제한되는 것은 아니다.

컴퓨터(110)는 또한 기타 이동식/이동불가식, 휘발성/비휘발성 컴퓨터 저장 매체를 포함한다. 단지 예제로서, 도 6은 이동불가식, 비휘발성 자기 매체로의 기록 또는 그로부터의 판독을 위한 하드 디스크 드라이브(140), 이동식, 비휘발성 자기 디스크(152)로의 기록 또는 그로부터의 판독을 위한 자기 디스크 드라이브(151), CD-ROM 또는 기타 광 매체 등의 이동식, 비휘발성 광 디스크(156)로의 기록 또는 그로부터의 판독을 위한 광 디스크 드라이브(155)를 포함한다. 예시적인 운영 환경에서 사용될 수 있는 기타 이동식/이동불가식, 휘발성/비휘발성 컴퓨터 저장 매체로는 자기 테이프 카세트, 플래시 메모리 카드, DVD, 디지털 비디오 테이프, 고체(solid state) RAM, 고체 ROM 등이 있지만 이에 제한되는 것은 아니다. 하드 디스크 드라이브(141)는 통상적으로 인터페이스(140)와 같은 이동불가식 메모리 인터페이스를 통해 시스템 버스(121)에 접속되고, 자기 디스크 드라이브(151) 및 광 디스크 드라이브(155)는 통상적으로 인터페이스(150)와 같은 이동식 메모리 인터페이스에 의해 시스템 버스(121)에 접속된다.

드라이브들 및 이들과 관련된 컴퓨터 저장 매체는, 컴퓨터 판독가능 명령어, 데이터 구조, 프로그램 모듈 및 컴퓨터(110)의 다른 데이터를 저장한다. 도 6에서, 예를 들어, 하드 디스크 드라이브(141)는 운영 체제(144), 애플리케이션 프로그램(145), 기타 프로그램 모듈(146) 및 프로그램 데이터(147)를 저장하는 것으로 도시되어 있다. 여기서 주의할 점은 이 컴포넌트들이 운영 체제(134), 애플리케이션 프로그램(135), 기타 프로그램 모듈(136) 및 프로그램 데이터(137)와 동일할 수 도 있고 다를 수도 있다는 것이다. 이에 관해, 운영 체제(144), 애플리케이션 프로그램(145), 기타 프로그램 모듈(146) 및 프로그램 데이터(147)에 다른 번호가 주어졌다는 것은 적어도 이들이 서로 다른 본(copy)이라는 것을 도시한다. 사용자는 키보드(162) 및 포인팅 장치(161) 등의 입력 장치를 통해 명령 및 정보를 컴퓨터(110)에 입력할 수 있다. 다른 입력 장치(도시 생략)로는 마이크, 조이스틱, 게임 패드, 위성 안테나, 스캐너 등이 있을 수 있다. 이들 및 기타 입력 장치는 종종 시스템 버스에 결합된 사용자 입력 인터페이스(160)를 통해 처리 장치(120)에 접속되지만, 병렬 포트, 게임 포트 또는 USB(universal serial bus) 등의 다른 인터페이스 및 버스 구조에 의해 접속될 수도 있다. 모니터(191) 또는 다른 유형의 디스플레이 장치도 비디오 인터페이스(190) 등의 인터페이스를 통해 시스템 버스(121)에 접속될 수 있다. 모니터 외에, 컴퓨터는 스피커(197) 및 프린터(196) 등의 기타 주변 출력 장치를 포함할 수 있고, 이들은 출력 주변장치 인터페이스(195) 등을 통해 접속될 수 있다.

컴퓨터(110)는 원격 컴퓨터(180)와 같은 하나 이상의 원격 컴퓨터로의 논리적 접속을 사용하여 네트워크화된 환경에서 동작할 수 있다. 원격 컴퓨터(180)는 또 하나의 퍼스널 컴퓨터, 서버, 라우터, 네트워크 PC, 피어 장치 또는 다른 공통 네트워크 노드일 수 있고, 통상적으로 컴퓨터(110)와 관련하여 상술된 구성요소의 대부분 또는 그 전부를 포함하지만, 도 6에는 메모리 저장 장치(181)만이 도시되어 있다. 도시된 논리적 연결로는 LAN(171) 및 WAN(173)이 있지만, 다른 네트워크를 포함할 수도 있다. 이러한 네트워킹 환경은 사무실, 회사 전체에 걸친 컴퓨터 네 트워크, 인트라넷 및 인터넷에서 일반적인 것이다.

LAN 네트워킹 환경에서 사용될 때, 컴퓨터(110)는 네트워크 인터페이스 또는 어댑터(170)를 통해 LAN(171)에 연결된다. WAN 네트워킹 환경에서 사용될 때, 컴퓨터(110)는 통상적으로 인터넷과 같은 WAN(173) 상에서의 통신을 설정하기 위한 모뎀(172) 또는 기타 수단을 포함한다. 내장형 또는 외장형일 수 있는 모뎀(172)은 사용자 입력 인터페이스(160) 또는 기타 적절한 메커니즘을 통해 시스템 버스(121)에 접속될 수 있다. 네트워크화된 환경에서, 컴퓨터(110) 또는 그의 일부와 관련하여 기술된 프로그램 모듈은 원격 메모리 저장 장치에 저장될 수 있다. 그 예제로서, 도 6은 메모리 장치(181)에 위치하고 있는 원격 애플리케이션 프로그램(185)을 도시하고 있지만 이에 제한되는 것은 아니다. 도시된 네트워크 접속은 예시적인 것이며 이 컴퓨터들 사이의 통신 링크를 설정하는 다른 수단이 사용될 수 있다는 것을 이해할 것이다.

상술된 대로, 본 발명의 예시적인 실시예가 각종 컴퓨팅 장치와 함께 설명되었지만, 기초가 되는 개념은 임의의 컴퓨팅 장치 또는 시스템에 적용될 수 있다.

본 명세서에서 설명되는 각종 기술은 하드웨어 또는 소프트웨어 또는 적절한 경우 그 둘의 조합과 함께 구현될 수 있다. 따라서, 본 발명의 방법 및 장치 또는 본 발명의 일부 양상 및 그 일부는, 플로피 디스켓, CD-ROM, 하드 드라이브 또는 임의의 기타 기계 판독가능한 저장 매체와 같은 유형의 매체에 구현되는 프로그램 코드(예를 들어 명령어)의 형태를 취할 수 있고, 컴퓨터와 같은 기계에 의해 프로그램 코드가 실행되고 그 기계로 프로그램 코드가 로드되는 경우, 그 기계는 본 발 명을 실행하는 장치가 된다. 프로그램 가능한 컴퓨터상에서 프로그램 코드를 실행하는 경우, 컴퓨팅 장치는 일반적으로 프로세서, 프로세서에 의해 판독가능한 저장 매체(휘발성 및 비휘발성 메모리 및/또는 저장 장치 구성요소를 포함함), 적어도 하나의 입력 장치 및 적어도 하나의 출력 장치를 포함한다. 원하는 경우 프로그램은 어셈블리 또는 기계어로 구현될 수도 있다. 어떤 경우든지 언어는 컴파일되거나 또는 번역되고, 하드웨어 구현과도 결합될 수 있다.

본 발명의 방법 및 장치는 또한 전기 배선 또는 케이블과 같은 일부 전송 매체상에서 광섬유(fiber optics)를 통해 또는 임의의 기타 통신 형태를 통해 전송되는 프로그램 코드의 형태로 구현되는 통신을 통해 실행될 수 있고, 프로그램 코드가 수신되어 EPROM, 게이트 배열, PLD(programmable logic device), 클라이언트 컴퓨터 등과 같은 기계로 로드되고 이러한 기계에 의해 실행될 때, 이 기계는 본 발명을 실행하는 장치가 된다. 범용 프로세서에서 구현될 때, 프로그램 코드는 프로세서와 결합하여 본 발명의 기능을 호출하도록 동작하는 고유의 장치를 제공한다. 또한, 본 발명과 함께 사용되는 임의의 저장 기술은 언제나 변함없이 하드웨어 및 소프트웨어의 조합일 수 있다.

본 발명이 각종 도면의 바람직한 실시예와 함께 설명되면서, 본 발명을 벗어나지 않고 본 발명의 동일한 기능을 수행하기 위해 기타의 유사한 실시예가 사용되고 또는 설명된 실시예를 수정하거나 추가가 있을 수 있다는 것을 이해할 것이다. 따라서, 본 발명은 임의의 단일 실시예에 제한되어서는 안 되고 첨부된 청구항에 따라 그 폭 및 범위가 해석되어야 한다.

비가환성 변형이라 불리는, 충분히 복잡한 변형을 지닌 시스템에서 입자를 사용함으로써 위상수학적 양자 계산 시스템에서 계산을 수행할 수 있다.

Claims

양자 계산을 수행하는 방법에 있어서,

준입자가 배치된 시스템을 지니는 격자의 제1 양자 상태를 식별하는 단계,

적어도 하나의 소정의 규칙에 따라 상기 준입자를 상기 격자내에서 이동시키는 단계;

상기 준입자를 이동시킨 후에 상기 격자의 제2 양자 상태를 식별하는 단계; 및

상기 격자의 상기 제2 양자 상태에 기초하여 계산 결과를 결정하는 단계

를 포함하는 방법.
제1항에 있어서, 상기 준입자는 실제 입자 시스템의 최소 에너지 상태의 여기(excitations)인 방법.
제2항에 있어서, 상기 최소 에너지 상태 및 상기 준입자는 실제 입자들의 상호작용으로부터 정의되는 해밀토니안 연산자(Hamiltonian operator)에 의해 결정되는 방법.
제3항에 있어서, 상기 해밀토니안 연산자는 루프를 생성하고, 변형하고 및 없애는 규칙을 유도하는(induce), 멀티루프의 프로세스를 유도하는 방법.
제2항에 있어서, 상기 실제 입자는 기초가 되는 격자의 제1 이중합체 커버링을 정의하는 방법.
제5항에 있어서, 상기 제1 이중합체 커버링은 제2의 고정된 백그라운드 이중합체 커버링과 협력하여 하나 이상의 멀티루프를 정의하는 방법.
제6항에 있어서, 상기 최소 에너지 상태는 상기 멀티루프의 중첩(superposition)인 방법.
제7항에 있어서, 상기 준입자는 상기 중첩의 기준 여기(canonical excitations)인 방법.
제1항에 있어서, 상기 준입자는 애니온(anyons)인 방법.
제1항에 있어서, 상기 준입자는 비가환성(non-abelian) 애니온인 방법.
제1항에 있어서, 상기 격자는 카고미 격자(Kagome lattice)인 방법.
제11항에 있어서, 상기 카고미 격자는 복수의 육각형을 포함하고, 각 육각형 은 단 하나의 실제 입자를 포함하는 방법.
제11항에 있어서, 상기 카고미 격자는 삼각형 격자의 모서리 중심으로서 발생하는 방법.
제2항에 있어서, 상기 격자는 복수의 격자 사이트를 지니고, 기저 상태에서 상기 격자 사이트 중 그 어떠한 것도 하나 이상의 이중합체를 호스트하지 않고 상기의 각 사이트는 하나의 이중합체에 의해 커버되는 방법.
제1항에 있어서, 상기 적어도 하나의 소정의 규칙은 하나 이상의 조합 운동(combinatorial moves)을 포함하는 방법.
제15항에 있어서, 상기 조합 운동은 보우-타이 운동(bow-tie move), 삼각형 운동, 및 마름모꼴 플립 중 적어도 하나를 포함하는 방법.
제1항에 있어서, 상기 준입자를 이동시키는 상기 단계는 제2 준입자에 대해 상기 준입자를 이동시키는 단계를 포함하는 방법.
제17항에 있어서, 상기 제2 준입자에 대해 상기 준입자를 이동시키는 상기 단계는 양자 끈이 상기 격자의 2D+1 차원의 시공에 형성되도록 하는 방법.
제18항에 있어서, 계산 결과를 결정하는 상기 단계는 상기 양자 끈에 기초하여 상기 계산 결과를 결정하는 단계를 포함하는 방법.
제18항에 있어서, 상기 양자 끈은 상기 준입자가 상기 제2 준입자에 대해 어떻게 이동되었는가에 관한 표시를 제공하는 방법.
제1항에 있어서, 상기 소정의 규칙은 제1 루프를 자르고, 상기 잘려진 제1 루프의 느슨한 종단들을 다시 연결하여 제2 루프를 구성하는 규칙을 포함하는 방법.
양자 컴퓨팅 시스템에서,

복수의 준입자가 배치된 격자 - 상기 준입자는 상기 격자를 형성하는 실제 입자들의 시스템의 여기임 -,

상기 격자의 제1 양자 상태를 식별하는 수단,

소정의 규칙 세트에 따라 상기 준입자를 상기 격자내에서 이동시키는 수단;

상기 준입자를 이동시킨 후에 상기 격자의 제2 양자 상태를 식별하는 수단; 및

상기 격자의 상기 제2 양자 상태에 기초하여 계산 결과를 결정하는 수단

를 포함하는 시스템.
제22항에 있어서, 상기 복수의 준입자는, 상기 실제 입자들의 시스템의 최소 에너지 상태 이상으로 소정의 여기를 충족시키기 위해 상기 격자상에 배열되는 시스템.
제23항에 있어서, 상기 실제 입자들은 멀티루프 및 호(arc)의 제1 중첩을 형성하도록 배열되고, 상기 제1 중첩은 상기 격자의 제1 양자 상태를 정의하는 시스템.
제24항에 있어서, 상기 제2 양자 상태는 상기 준입자가 이동된 후 상기 격자에 형성된 멀티루프 및 호의 제2 중첩에 의해 정의되는 시스템.
제22항에 있어서, 상기 준입자는 비가환성 애니온인 시스템.
제23항에 있어서, 상기 격자는 많은 격자 사이트를 포함하고, 상기 복수의 준입자는 상기 격자 사이트의 서브세트 사이에서만 분포되는 시스템.
제27항에 있어서, 상기 복수의 준입자는 희박하게 분포되고, 상기 실제 입자는 모서리 격자의 원자가(valence)에 비례하여 상기 모서리 격자상에 분포되는 시스템.
제28항에 있어서, 상기 모서리 격자는 삼각형 격자이고, 상기 비는 1/6인 시스템.
제22항에 있어서, 상기 준입자는 카고미 격자내에서 형성된 삼각형 서브격자의 본드상에서 설정되는 시스템.
제22항에 있어서, 상기 준입자는 보손 입자(bosons)인 시스템.
제22항에 있어서, 상기 준입자는 페르미 입자(fermions)인 시스템.
양자 계산을 수행하는 방법에 있어서,

격자의 2D+1 차원의 시공에 하나 이상의 끈(braid)을 형성하기 위해 상기 격자내에서 복수의 준입자 중 적어도 하나를 이동시키는 단계; 및

상기 끈의 형성에 기초하여 계산 결과를 결정하는 단계

를 포함하는 방법.
제33항에 있어서, 상기 끈 형성은 상기 격자의 양자 상태의 변화에 대응하는 방법.
제33항에 있어서, 소정의 규칙에 따라 상기 격자내에서 상기 준입자를 이동시키는 단계를 더 포함하는 방법.
제33항에 있어서, 상기 준입자는 제1 루프를 자르고, 상기 잘려진 제1 루프의 느슨한 종단들을 다시 연결하여 제2 루프를 구성하는 규칙을 유도하는 해밀토니안 연산자에 의해 결정되는 방법.
제33항에 있어서,

이중합체 커버링의 중첩을 그 기저 상태 다양체로서 정의하는 해밀토니안 연산자를 통해 상기 격자내에서 상기 적어도 하나의 준입자를 이동시키는 단계를 더 포함하는 방법.
제33항에 있어서, 상기 준입자 중 적어도 하나는 비가환성 입자인 방법.
제33항에 있어서, 적어도 하나의 준입자를 이동시키는 상기 단계는 또 다른 상기 복수의 준입자에 대해 상기 적어도 하나의 준입자를 이동시키는 단계를 더 포함하는 방법.