KR20030017888A - 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치 및 그 방법 - Google Patents

표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치 및 그 방법 Download PDF

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Abstract

본 발명은 물체 표면의 법선 벡터를 이용함으로써, 효율적인 삼각형 메쉬 영역화를 실현할 수 있도록 한다는 것으로, 이를 위하여 본 발명은, 삼각형들로 구성되는 특정 물체의 모델에 대해 인접한 두 삼각형의 법선 벡터 사이의 각도와 기 설정된 임계값을 비교하고, 그 비교 결과와 각 삼각형에 대한 같은 영역 또는 다른 영역의 포함 여부에 의거하여, 두 삼각형을 같은 영역으로 병합하거나, 다른 영역 또는 새로운 영역으로 분류하는 방식으로 서브 영역화를 수행하고, 분할된 각 서브 영역의 평균 법선 벡터를 산출하여 인접하는 두 서브 영역의 평균 법선 벡터의 각도와 기 설정된 임계값을 비교하여, 임계값 이내이면 하나의 영역으로 합병하고 그렇지 않으면 병합하지 않는 방식으로 메인 영역화를 수행하며, 인접하는 선분간의 각도, 크기에 의거하여 분할된 각 메인 영역으로 경계선을 보정함으로써, 특정 물체에 대한 메쉬 영역화를 효과적으로 수행할 수 있는 것이다.

Description

표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치 및 그 방법{TRIANGULAR MESH SEGMENTATION APPARATUS AND METHOD BASED ON SURFACE NORMAL}
본 발명은 삼각형 메쉬 영역화를 실현하는 기법에 관한 것으로, 더욱 상세하게는 전체 물체의 형태 유지가 무엇보다 중요한 다중 해상도 모델링 기법에 적용하는데 적합한 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치 및 그 방법에 관한 것이다.
통상적으로, 컴퓨터 비전 분야에서는 공간 부호화 거리 측정기나 레이저 스캐너 등을 이용하여 취득한 3차원 데이터를 효율적으로 표현하기 위하여, 취득한거리 데이터를 일반적으로 삼각형 메쉬로 모델링하여 사용한다. 그러나, 이러한 삼각형 메쉬 모델은 삼각형을 구성하는 점들 사이의 연결 정보만 가지고 있을 뿐이며, 전체 모델의 구조에 대한 고수준의 정보를 담고 있지 못하다.
한편, 메쉬 모델에 고수준의 구조적인 정보를 부여하는 하나의 방법으로는 전체 모델을 인접한 영역과의 연결 정보를 가지는 영역들의 집합으로 나누는 것이다. 그러나, 삼각형들의 연결 정보 이외에 물체의 구조에 대한 어떠한 정보도 없다면, 메쉬 자체의 형태 정보로부터 영역과 연결 정보를 추출할 수밖에 없다. 이와 같이 3차원 물체의 표면을 나타내는 메쉬 데이터를 의미 있는 연결된 영역들로 나누는 과정을 메쉬 영역화라고 한다. 대상 물체에 대한 분석적, 체계적인 인식을 위하여 2차원 영상에서 경계선 탐색(edge detection) 및 영역화를 수행하는 것이 중요한 것처럼, 3차원 메쉬 모델이 이해 과정에 있어서도 영역화는 매우 중요하다.
지금까지 3차원 데이터의 영역화는 주로 점으로 취득된 거리 데이터에 대하여 집중적으로 연구되어 왔다. 그러나, 3차원 거리 데이터는 특정 시각 방향에서 보이는 물체의 일부에 대한 정보만을 가지는 영상에 불과하다. 즉, 화소 값으로 밝기 정보 대신 깊이 정보를 가지고 있는 2차원 영상과 동일하게 생각할 수 있기 때문에, 균일한 격자 구조로 이루어진 2차원 밝기 영상에서 이용하던 영역화 기법을 큰 무리 없이 적용해서 사용할 수가 있다. 그러나 이와는 달리, 물체 전체의 기하학적인 정보를 가지는 3차원 메쉬 데이터는 균일한 2차원 격자 구조로 표현할 수가 없기 때문에 기존의 거리 영상의 영역화 기법을 그대로 적용하기에는 무리가 따른다. 따라서 3차원 메쉬 데이터의 영역화를 위해서는 기존의 거리 영상의 영역화 기법과는 다른 새로운 접근 방식이 필요하다.
잘 알려진 바와 같이, 메쉬 데이터는 그 목적에 따라 여러 가지 기준으로 분할할 수 있는데, 메쉬 영역화를 수행하는 목적에 따라 그 기준은 얼마든지 바뀔 수 있으며, 영역이 잘 분할되었는지 아닌지의 판단 또한 그 목적에 종속적이라 할 수 있다.
종래, 3차원 메쉬 데이터를 대상으로 하는 메쉬 영역화 기법을 그 목적에 따라 살펴보면 다음과 같은 것들이 있다.
먼저, 종래 3차원 메쉬 영역화 기법으로는, [Z. Yan, S. Kumar, J. Li and C. -C. Jay Kuo, "Robust Coding of 3D Graphic Models Using Mesh Segmentation and Data Partitioning," Proc. IEEE International Conference on Image Processing, vol. 4. pp 352-356, Kobe, Japan, Oct. 1999.]에 개시된 내용이 있으며, 여기에서는 3차원 그래픽 모델의 부호화를 위하여 메쉬 영역화를 수행하였다.
이들은 여러 개의 초기 점(seed vertex)으로부터 인접한 메쉬의 연결선(edge)을 따라 이동하면서, 단지 인접한 삼각형들이 아직 다른 영역에 포함되지 않은 점인 경우에만 같은 영역으로 병합하는 방법을 제안하였다.
그러나, 여기에서 개시하고 있는 메쉬 영역화의 목적은 각 영역에서 독립적인 인코딩, 디코딩이 가능하도록 함으로써 부호화 중에 발생할 수 있는 에러를 각 영역 내에서 제한하기 위함이다.
이들의 영역화 기법은 물체의 형태에 대한 고수준의 정보를 담고 있지 못하며, 영역의 크기 또한 물체의 형태 정보와 무관한 채널(channel)의 에러 발생비율(error rate)에 따라 결정된다. 따라서, 이들의 메쉬 영역화 기법은 물체의 형태 정보를 이용하는 다른 방면의 응용에 적용하는데는 한계를 가질 수밖에 없다.
한편, 종래의 다른 3차원 메쉬 영역화 기법으로는, [A. P. Mangan and R. T. Whitaker, "Partitioning 3D Surface Meshes Using Watershed Segmentation," IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, vol. 5, no. 4, pp. 308-321, Oct.-Dec. 1999]에 개시된 것이 있다.
이러한 메쉬 영역과 기법에서는 각 영역이 물체의 형태 정보를 담고 있도록 메쉬 영역화를 수행하였는데, 2차원 밝기 영상의 영역화에 이용되는 watershed 알고리즘을 3차원 메쉬 데이터에서도 이용할 수 있도록 일반화하여 적용하였으며, 대상 함수로는 삼각형 메쉬를 구성하는 각 꼭지점에서의 곡률을 계산하여 사용하였다.
그러나, watershed 알고리즘은 그 자체가 물체 표면의 노이즈(noise)나 작은 굴곡에까지도 민감하기 때문에, 모든 국소치들을 각각의 영역으로 나누게 될 경우, 영역으로 나누는 자체가 의미를 가지지 못할 정도로 많은 부분들로 분할되는 문제가 있다.
따라서, 제안자들은 잘게 나누어진 영역들을 의미 있는 영역들로 병합하기 위하여, watershed 깊이(depth)에 대한 문턱 값을 설정하고 주어진 문턱 값 이내의 watershed 깊이를 가지는 영역을 모두 하나의 영역으로 병합하는 방법을 제안하였다.
그러나, 이들의 영역화 기법은 물체 표면의 곡률을 이용하기 때문에 균일한곡률을 가지는 물체에 대해서는, 일 예로서 도 10에 도시된 바와 같이, 같은 영역화만 가능하며, 평면 조각으로는 분할하지 못하는 치명적인 단점을 갖는다.
따라서, 본 발명은 상기한 종래 기술의 문제점을 해결하기 위한 것으로, 물체 표면의 법선 벡터를 이용함으로써, 효율적인 삼각형 메쉬 영역화를 실현할 수 있는 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치 및 그 방법을 제공하는데 그 목적이 있다.
상기 목적을 달성하기 위한 일 관점에 따른 본 발명은, 다수의 삼각형으로 분할된 물체의 모델을 메쉬 영역화하는 장치에 있어서, 상기 각 삼각형의 법선 벡터를 각각 산출하고, 인접하는 삼각형 쌍의 법선 벡터 사이의 각도와 기 설정된 제1임계값간의 비교를 통해 그에 상응하는 서브 병합 제어신호를 발생하는 수단; 상기 서브 병합 제어신호에 응답하여, 인접하는 각 삼각형들을 서브 영역으로 선택적으로 병합하는 수단; 상기 병합된 각 서브 영역의 평균 법선 벡터를 각각 산출하고, 인접하는 서브 영역 쌍의 평균 법선 벡터 사이의 각도와 기 설정된 제2임계값간의 비교를 통해 그에 상응하는 메인 병합 제어신호를 발생하는 수단; 상기 메인 병합 제어신호에 응답하여, 인접하는 각 서브 영역들을 다수의 메인 영역으로 선택적으로 병합하는 수단; 및 병합된 상기 각 메인 영역들의 경계선에 따른 선분, 경계 버텍스를 이용하여 상기 각 메인 영역들간의 경계선을 다듬는 수단으로 이루어진 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치를 제공한다.
상기 목적을 달성하기 위한 다른 관점에 따른 본 발명은, 다수의 삼각형으로분할된 물체의 모델을 메쉬 영역화하는 방법에 있어서, 인접하는 각 삼각형 사이의 법선 벡터를 산출하는 제 1 과정; 삼각형 쌍을 선택하여 그 법선 벡터 사이의 각도를 검출하는 제 2 과정; 상기 검출된 각도와 기 설정된 제1임계값간의 비교 조건을 체크하고, 이 체크 결과에 의거하여, 인접하는 각 삼각형들을 다수개의 서브 영역으로 선택적으로 분할하는 제 3 과정; 검출되는 각 법선 벡터 사이의 각도가 상기 제1임계값을 벗어날 때까지 상기 제 2 과정 및 제 3 과정을 반복 수행하는 제 4 과정; 상기 분할된 각 서브 영역의 평균 법선 벡터를 산출하는 제 5 과정; 인접하는 서브 영역 쌍을 선택하여 그 평균 법선 벡터 사이의 각도를 검출한 후 기 설정된 제2임계값과 비교하는 제 6 과정; 상기 비교 결과에 의거하여, 각 서브 영역간을 선택적으로 병합하여 메인 영역화하는 제 7 과정; 검출되는 모든 평균 법선 벡터 사이의 각도와 상기 제2임계값을 벗어날 때까지 상기 제 6 과정 및 제 7 과정을 반복 수행하는 제 8 과정; 및 병합된 상기 각 메인 영역들의 경계선에 따른 선분, 경계 버텍스를 이용하여 상기 각 메인 영역들간의 경계선을 다듬는 제 9 과정으로 이루어진 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 방법을 제공한다.
도 1은 본 발명의 바람직한 실시 예에 따른 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치의 블록구성도,
도 2는 도 1에 도시된 경계선 처리 블록의 세부적인 블록구성도,
도 3은 본 발명의 바람직한 실시 예에 따라 표면 법선 기반에서 삼각형 메쉬를 영역화하는 과정을 도시한 플로우챠트,
도 4는 영역화된 삼각형 메쉬의 경계선을 후처리(다듬기) 과정을 도시한 플로우챠트,
도 5a 및 5b는 경계 버텍스에 근거하는 인접하는 선분간의 각도에 의거하여 선분 버텍스를 결정하는 과정을 설명하기 위해 도시한 예시도,
도 6a 및 6b는 선분의 길이와 방향성을 고려하여 잡음 성분을 제거하는 과정을 설명하기 위해 도시한 예시도,
도 7a 내지 7d는 10%의 가우시안 잡음이 첨가된 정이십면체 모델에 대해 메쉬 영역화를 수행한 결과를 보여주는 예시도,
도 8a 내지 8d는 팬 모델에 대해 메쉬 영역화를 수행한 결과를 보여주는 예시도,
도 9a 및 9b는 파라메터에 따른 메쉬 영역화를 수행한 결과를 보여주는 예시도,
도 10은 watershed 알고리즘을 이용하여 메쉬 분할한 일 예를 보여주는 예시도.
＜도면의 주요부분에 대한 부호의 설명＞
102 : 메모리 블록 104 : 서브 영역 결정 블록
106 : 서브 영역화 블록 108 : 메인 영역 결정 블록
110 : 메인 영역화 블록 112 : 경계선 처리 블록
1121 : 영역 메모리 블록 1122 : 경계 버텍스 추출 블록
1123 : 인접 선분간 각도 비교 블록 1124 : 경계 버텍스 보정 블록
1125 : 잡음 성분 보정 블록
본 발명의 상기 및 기타 목적과 여러 가지 장점은 이 기술분야에 숙련된 사람들에 의해 첨부된 도면을 참조하여 하기에 기술되는 본 발명의 바람직한 실시 예로부터 더욱 명확하게 될 것이다.
이하 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 바람직한 실시 예에 대하여 상세하게 설명한다.
본 발명의 핵심 기술요지는, 삼각형들로 구성되는 특정 물체의 모델에 대해 인접한 두 삼각형의 법선 벡터 사이의 각도와 기 설정된 임계값을 비교하고, 그 비교 결과와 각 삼각형에 대한 같은 영역 또는 다른 영역의 포함 여부에 의거하여, 두 삼각형을 같은 영역으로 병합하거나, 다른 영역 또는 새로운 영역으로 분류하는 방식으로 서브 영역화를 수행하고, 분할된 각 서브 영역의 평균 법선 벡터를 산출하여 인접하는 두 서브 영역의 평균 법선 벡터의 각도와 기 설정된 임계값을 비교하여, 임계값 이내이면 하나의 영역으로 합병하고 그렇지 않으면 병합하지 않는 방식으로 메인 영역화를 수행하며, 인접하는 선분간의 각도, 크기에 의거하여 분할된 각 메인 영역으로 경계선을 보정한다는 것으로, 이러한 기술적 수단을 통해 본 발명에서 목적으로 하는 바를 쉽게 달성할 수 있다.
도 1은 본 발명의 바람직한 실시 예에 따른 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치의 블록구성도로서, 메모리 블록(102), 서브 영역 결정 블록(104), 서브 영역화 블록(106), 메인 영역 결정 블록(108), 메인 영역화 블록(110) 및 경계선 처리 블록(112)을 포함한다.
도 1을 참조하면, 메모리 블록(102)에는 삼각형들로 나누어진 물체의 모델 데이터가 저장되며, 여기에 저장된 물체의 모델 데이터는 라인(L11)을 통해 서브 영역 결정 블록(104) 및 서브 영역화 블록(106)으로 전달된다.
먼저, 서브 영역 결정 블록(104)은 인접하는 두 삼각형(삼각형 쌍)에 대해 병합 연산자를 수행, 즉 병합 연산자를 수행하고자 하는 각 삼각형의 법선 벡터를 산출하고, 인접하는 삼각형 쌍을 선택하여 그 법선 벡터 사이의 각도(θ1)를 검출하며, 이 검출된 각도(θ1)와 기 설정된 임계값(Th1)을 비교하고, 그 비교 결과와 각 삼각형에 대한 영역 분류 여부, 같은 영역 또는 다른 영역의 포함 여부를 체크하여 그에 상응하는 서브 병합 제어신호, 즉 두 삼각형을 새로운 다른 영역으로 분류하거나, 두 삼각형을 새로운 같은 영역으로 분류하거나, 영역이 미분류된 하나의 삼각형을 분류된 다른 삼각형의 영역으로 병합하거나, 영역이 미분류된 하나의 삼각형을 새로운 영역으로 분류하거나, 분류된 영역에 각각 속한 두 삼각형의 영역을 같은 영역으로 병합하거나 혹은 두 삼각형을 각각 분류된 영역에 각각 병합하는 등의 서브 병합 제어신호를 발생하여 라인(L12)을 통해 서브 영역화 블록(106)으로 전달한다. 여기에서, 병합 연산자를 적용하기 위한 삼각형 쌍은 법선 벡터 사이의 각도가 가장 작은 삼각형 쌍을 선택하는 방식으로 반복적으로 수행된다.
이때, 임계값(Th1)으로는, 예를 들면 20 - 30도 정도를 설정할 수 있는데, 이러한 임계값은 필요(즉, 모델을 표현하고자 하는 용도)에 따라 조절할 수 있다. 즉, 임계값이 작을수록 영역이 세분화, 즉 서브 합병 제어신호에 따라 적응적으로 분할되는 서브 영역의 개수가 많아지고, 임계값이 클수록 서브 영역의 개수가 작아진다.
따라서, 서브 영역화 블록(106)은, 라인(L12)을 통해 서브 영역 결정 블록(104)으로부터 제공되는 서브 병합 제어신호에 응답하여, 라인(L11)을 통해 제공되는 모델내 각 삼각형들을, 새로운 다른 영역으로 분류(두 법선 벡터 사이의 각도가 임계값을 벗어날 때)하거나, 새로운 같은 영역으로 분류(각도가 임계값 이내이고, 두 삼각형이 영역 미분류 삼각형(즉, 기 분류된 서브 영역에 속하지 않은 삼각형)일 때)하거나, 영역이 미분류된 하나의 삼각형을 분류된 다른 삼각형의 영역으로 병합(각도가 임계값 이내이고, 하나의 삼각형만이 영역 분류된 삼각형이며, 주어진 조건을 만족할 때)하거나, 영역이 미분류된 하나의 삼각형을 새로운 영역으로 분류(각도가 임계값 이내이고, 하나의 삼각형만이 영역 분류 삼각형이며, 주어진 조건을 만족하지 않을 때)하거나, 분류된 영역에 각각 속한 두 삼각형의 영역을 같은 영역으로 병합(각도가 임계값 이내이고, 두 삼각형이 영역 분류된 삼각형이며, 주어진 조건을 만족할 때)하거나 혹은 두 삼각형을 각각 분류된 영역에 각각 병합(각도가 임계값 이내이고, 두 삼각형이 영역 분류된 삼각형이며, 주어진 조건을 만족하지 않을 때)하는 방식을 반복적으로 수행함으로써, 삼각형 메쉬 모델에 대한 서브 영역화를 수행하며, 이와 같이 서브 영역화된 모델 데이터는 라인(L13)을 통해 메인 영역 결정 블록(108)과 메인 영역화 블록(110)으로 각각 전달된다.
여기에서, 인접하는 삼각형 쌍의 법선 벡터 사이의 각도가 기 설정된 임계값을 벗어날 때 두 삼각형은 합병되지 않는데, 이때 두 삼각형의 공통 선분(edge)은 두 영역간의 경계선이 된다.
보다 상세하게, 인접하는 두 삼각형의 법선 벡터 각도가 기 설정된 임계값 내에 들어올 때는 다음의 세 가지 경우로 나누어 서브 영역화가 수행된다.
첫째, 두 삼각형 모두 아직 어떠한 영역으로도 분류되지 않은 경우, 두 삼각형을 새로운 같은 영역으로 분류한다.
둘째, 두 삼각형 중 하나는 아직 영역으로 분류되지 않았고, 나머지 하나는 이미 영역으로 분류되어 있는 경우, 아직 다른 영역에 포함되지 않은 삼각형을 T',나머지 삼각형을 Sk = {T1, T2, --- , Tnk} 라고 할 때, 다음의 수학식 1을 만족시키면 T'를 Sk에 병합시킨다.
상기한 수학식 1에서, δTri는 각도 임계값을 의미하고, ang(Ti, T')는 삼각형 Ti와 T' 의 법선 벡터 사이의 각도를 의미한다.
만약, T'가 상기한 수학식 1을 만족시키지 않으면 T'를 새로운 영역으로 분류한다. 이 경우, 두 삼각형의 공통 선분은 두 영역의 경계선이 된다.
셋째, 두 삼각형이 각각 서로 다른 영역에 포함되어 있는 경우, 각 삼각형과 나머지 삼각형이 포함된 영역에 대하여 상기한 수학식 1을 적용한다. 만약, 두 삼각형 모두 수학식 1의 조건을 만족시키면 두 삼각형이 포함된 영역을 같은 영역으로 병합하고, 그렇지 않으면 병합하지 않는다.
따라서, 본 발명에서는 상술한 바와 같은 일련의 과정을 통해 기 설정된 임계값의 범위 내에서 항상 유일한 서브 영역화 결과를 얻을 수 있다.
만약, 물체 표면의 법선 벡터가 연속적으로 변하는 구와 같은 물체를 하나의 서브 영역으로 영역화하고자 한다면, 상기한 수학식 1 대신에 각 영역 내에서의 전체 에러(같은 영역으로 분할된 삼각형들의 법선 벡터 사이의 각도를 의미) 수준을 제한하는 max 연산자를 제거한 다음의 수학식 2를 사용하여 서브 영역화를 실현할 수 있다.
상술한 바와 같은 경우를 지역적인 형태 제한(Local Shape Constraint)이 없는 경우의 서브 영역화라고 하며, LSC OFF로 표기하며, 지역적인 제한이 있는 경우는 LSC ON으로 표기한다.
다음에, 메인 영역 결정 블록(108)은 라인(L13)을 통해 서브 영역화 블록(106)으로부터 제공되는 각 서브 영역들에 대해 평균 법선 벡터를 산출하고, 각각의 서브 영역 쌍(즉, 인접하는 서브 영역 쌍)을 결정하며, 결정된 서브 영역 쌍의 평균 법선 벡터 사이의 각도(θ2)를 검출하고, 이 검출된 각도{θ2}와 기 설정된 임계값(Th2)을 비교하며, 그 비교 결과에 상응하는 메인 병합 제어신호를 발생하여 라인(L14)을 통해 메인 영역화 블록(110)으로 전달한다. 여기에서, 반복적인 영역 병합 연산자를 적용하기 위한 서브 영역 쌍은 평균 법선 벡터 사이의 각도가 가장 작은 인접한 서브 영역 쌍을 선택하는 방식으로 수행된다.
따라서, 메인 영역화 블록(110)은, 라인(L14)을 통해 메인 영역 결정 블록(108)으로부터 제공되는 메인 병합 제어신호에 응답하여, 라인(L13)을 통해 제공되는 각 서브 영역들을 선택적으로 병합, 즉 인접하는 서브 영역의 평균 법선 벡터 사이의 각도가 기 설정된 임계값 이내일 때 인접하는 두 서브 영역을 하나의 영역으로 병합하고, 인접하는 서브 영역의 평균 법선 벡터 사이의 각도가 기 설정된 임계값을 벗어날 때 두 서브 영역을 병합하지 않는 방식으로 메인 영역화를 수행하며, 이와 같이 메인 영역화된 데이터들은 다음 단의 경계선 처리 블록(112)으로 전달된다.
여기에서, 분할된 각 서브 영역들에 대해 인접한 서브 영역과의 평균 법선 벡터 사이의 각도와 임계값에 의거하여 메인 영역화를 적용하는 것은 지역적인 형태 제한이 있을 때(LSC ON)의 영역화의 경우 에러 수준이 낮은 표면의 굴곡에 민감한 알고리즘의 특성 때문에 메쉬 표면이 영역화의 의미가 없을 정도로 많은 영역들로 분할되는 것을 방지하기 위해서이다.
한편, 경계선 처리 블록(112)에서는 전달받은 메인 영역들의 경계를 이루는 선분의 경계 버텍스, 인접 선분간의 각도, 선분 버텍스 등을 이용하여 메인 영역간에 경계를 이루는 경계선을 다듬어 최적의 영역화를 수행하고, 메인 영역 사이에 존재하는 잡음 성분이 제거하는 등의 처리를 수행하는데, 이러한 처리를 수행하는 구체적인 과정에 대해서는 첨부된 도 2를 참조하여 상세하게 설명한다.
도 2는 도 1에 도시된 경계선 처리 블록의 세부적인 블록구성도로서, 영역 메모리 블록(1121), 경계 버텍스 추출 블록(1122), 인접 선분간 각도 비교 블록(1123), 경계 버텍스 보정 블록(1124) 및 잡음 성분 보정 결정 블록(1125)을 포함한다.
도 2를 참조하면, 경계 버텍스 추출 블록(1122)은 영역 메모리 블록(1121)으로부터 제공되는 메인 영역들간의 경계선에 있는 경계 버텍스, 예를 들어 도 5a에 도시된 바와 같이, 경계 버텍스 v1, v2, v3를 추출한다. 여기에서, 경계 버텍스는 메인 영역의 경계선을 포함하는 모든 버텍스의 영역 형상을 결정하는 버텍스로서정의한다.
다음에, 인접 선분간 각도 비교 블록(1123)은 인접하는 선분간의 각도(ABV)를 검출하고, 이 검출된 인접 선분간의 각도가 기 설정된 임계값(Th3)을 초과하는 지의 여부를 판단하며, 그 판단 결과에 상응하는 경계 버텍스 보정신호를 발생하여 경계 버텍스 보정 블록(1124)으로 전달한다. 여기에서, 임계값은 입력 메쉬 모델의 해상도에 따라 결정할 수 있는데, 예를 들면 10 -20도 정도로 설정할 수 있다.
이어서, 경계 버텍스 보정 블록(1124)은, 경계 버텍스 보정신호에 응답하여, 경계 버텍스를 보정(즉, 경계선의 수정)한다. 일 예로서, 도 5a에 도시된 바와 같은 형상에서, 두 선분(LS1, LS2)간의 각도(ABV1)와 두 선분(LS3, LS4)간의 각도(ABV3)가 기 설정된 임계값(Th3)을 벗어나고, 두 선분(LS2, LS3)간의 각도(ABV2)가 기 설정된 임계값(Th3) 이내라고 가정할 때, 경계 버텍스 보정 블록(1124)에서는, 일 예로서 도 5b에 도시된 바와 같이, 경계 버텍스 v1과 v3간을 선분으로 결정하여 보정(즉, 경계선의 수정)한다.
여기에서, 인접 선분간의 각도와 기 설정된 임계값간의 비교를 통해 경계 버텍스를 보정하는 과정은 서로 인접하는 모든 선분간의 각도가 기 설정된 임계값 이내가 되지 않을 때까지 반복 수행된다.
다음에, 잡음 성분 보정 블록(1125)에서는 경계 버텍스가 보정된 각 선분들을 일정한 방향으로 트래킹하여 각 선분의 길이와 방향 및 크기를 고려하여 잡음 성분을 검출한 후 이를 보정한다.
여기에서, 잡음 성분이란, 인접한 삼각형과의 법선 벡터 사이의 각도로만 판단하면 같은 영역에 포함되어야 하는 것이 옳지만, 그 영역에 존재하는 법선 벡터의오차가 큰 삼각형 때문에, 전술한 수학식 1을 만족시키지 못하여 다른 영역으로 분류된 경우를 의미한다. 그리고, 법선 벡터의 오차 때문에 다른 영역으로 분류되었지만, 사람이 인식하기에 같은 영역으로 분류되는 것이 합리적인 경우 또한 잡음이 생긴 것으로 생각한다. 메쉬 영역화에서의 경계선 처리(다듬기)는 바로 이와 같은 경계에 발생하는 잡음을 제거하여, 영역의 경계가 전체 물체의 형태 정보를 효율적으로 표현하도록 하기 위한 것이다.
예를 들어, 도 6a에 도시된 바와 같은 경계 버텍스 v1, v2, v3, v4를 갖는 선분들이 있다고 가정할 때, 주된 방향에 있는 선분들의 길이와 각 선분의 크기를 비교해 볼 때, 경계 버텍스 v1과 v2 사이의 선분, v2와 v3 사이의 선분 및 v3와 v4 사이의 선분은, 그 크기 및 방향을 고려할 때 잡음 성분으로 검출되며, 이와 같이 검출되는 잡음 성분들은 잡음 성분 보정 블록(1125)을 통해 보정되며, 그 결과 전체적인 선분은, 일 예로서 도 6b에 도시된 바와 같이 보정(즉, 경계선의 수정)된다.
다음에, 상술한 바와 같은 구성을 갖는 본 발명의 삼각형 메쉬 영역화 장치를 이용하여 삼각형 메쉬를 영역화하는 과정에 대하여 설명한다.
도 3은 본 발명의 바람직한 실시 예에 따라 표면 법선 기반에서 삼각형 메쉬를 영역화하는 과정을 도시한 플로우챠트이다.
도 3을 참조하면, 병합 연산자를 수행하고자 하는 각 삼각형의 법선 벡터를 각각 산출하고(단계 301), 법선 벡터 사이의 각도가 가장 작은 두 삼각형을 삼각형쌍으로 선택한다(단계 302).
다음에, 단계(304)에서는 선택된 삼각형 쌍의 법선 벡터 사이의 각도(θ1)를 검출한 후 검출된 각도(θ1)와 기 설정된 임계값(Th1)을 비교하는데, 여기에서의 비교 결과 검출된 각도(θ1)가 기 설정된 임계값(Th1)의 범위를 벗어나면 삼각형 쌍 내의 두 삼각형을 서로 다른 새로운 서브 영역으로 분류하며(단계 306), 처리는 후술하는 단계(328)로 진행된다.
상기 단계(304)에서의 비교 결과, 검출된 각도(θ1)가 기 설정된 임계값(Th1)의 범위 이내이면, 두 삼각형 각각이 기 분류된 서브 영역에 속하는 지의 여부를 체크하며(단계 308), 체크 결과 두 삼각형 각각이 기 분류된 서브 영역에 속해 있지 않으면, 두 삼각형을 새로운 같은 서브 영역으로 분류(병합)하며(단계 310), 처리는 후술하는 단계(328)로 진행된다.
다음에, 단계(312)에서는 삼각형 쌍 내의 두 삼각형 중 어느 하나가 기 분류된 서브 영역에 속해 있는지의 여부를 체크하는데, 여기에서의 체크 결과 두 삼각형 중 어느 하나가 기 분류된 서브 영역에 속해 있는 것으로 판단되면, 다시 두 삼각형이 전술한 수학식 1의 조건을 만족하는 지의 여부를 체크한다(단계 314).
상기 단계(314)에서의 체크 결과, 두 삼각형이 전술한 수학식 1을 만족하면, 기 분류된 서브 영역에 속해 있지 않은 삼각형을 나머지 삼각형이 속해 있는 기 분류된 서브 영역으로 병합하고(단계 316), 두 삼각형이 전술한 수학식 1을 만족하지 않으면, 기 분류된 서브 영역에 속해 있지 않은 삼각형을 새로운 서브 영역으로 분류하며(단계 318), 그 이후의 처리는 후술하는 단계(328)로 진행된다.
또한, 단계(320)에서는 삼각형 쌍 내의 두 삼각형이 기 분류된 서브 영역에 각각 속해 있는지의 여부를 체크하는데, 여기에서의 체크 결과 두 삼각형이 기 분류된 서브 영역에 각각 속해 있는 것으로 판단되면, 다시 두 삼각형이 전술한 수학식 1의 조건을 만족하는 지의 여부를 체크한다(단계 322).
상기 단계(322)에서의 체크 결과, 두 삼각형이 전술한 수학식 1을 만족하면, 두 삼각형이 각각 속해 있는 두 서브 영역을 하나의 서브 영역으로 병합하고(단계 324), 두 삼각형이 전술한 수학식 1을 만족하지 않으면, 두 영역을 같은 영역으로 병합하지 않으며(단계 326), 처리는 후술하는 단계(328)로 진행된다.
다음에, 단계(328)에서는 물체 모델에 대한 서브 영역화가 모두 완료되었는지의 여부를 체크한다. 즉, 모든 삼각형 쌍에 대한 각각의 법선 벡터 사이의 각도(θ1)가 기 설정됨 임계값(Th1)의 범위를 벗어날 때까지 전술한 단계(302) 내지 단계(326)의 과정을 반복적으로 수행하게 되는데, 단계(328)에서는 이의 검출을 통해 서브 영역화의 완료 여부를 체크한다.
이어서, 상술한 바와 같은 일련의 과정들을 통해 물체 모델에 대한 서브 영역화가 완료되면, 분할된 모든 서브 영역들에 대한 평균 법선 벡터를 산출한다(단계 330).
다음에, 인접하는 두 서브 영역으로 된 서브 영역 쌍을 선택(예를 들어, 평균 법선 사이의 각도가 가장 작은 두 서브 영역을 서브 영역 쌍으로 선택)한 후(단계 332), 서브 영역 쌍의 평균 법선 벡터 사이의 각도(θ2)와 기 설정된 임계값(Th2)을 비교한다(단계 334).
상기 단계(334)에서의 비교 결과, 평균 법선 벡터 사이의 각도(θ2)가 기 설정된 임계값(Th2)을 벗어나면 두 서브 영역을 병합하지 않고(단계 336), 평균 법선 벡터 사이의 각도(θ2)가 기 설정된 임계값(Th2)의 범위 이내이면 두 서브 영역을 하나의 영역으로 병합(메인 영역화)하며(단계 338), 이후의 처리는 후술하는 단계(340)로 진행된다.
다음에, 단계(328)에서는 각 서브 영역화에 대한 메인 영역화가 모두 완료되었는지의 여부를 체크한다. 즉, 모든 서브 영역 쌍에 대한 각각의 평균 법선 벡터 사이의 각도(θ2)가 기 설정됨 임계값(Th2)의 범위를 벗어날 때까지 전술한 단계(332) 내지 단계(338)의 과정을 반복적으로 수행하게 되는데, 단계(340)에서는 이의 검출을 통해 메인 영역화의 완료 여부를 체크한다.
이어서, 상술한 바와 같은 일련의 과정들을 통해 메인 영역화가 완료되면, 후속하는 단계(342)에서는 각 메인 영역간을 구분하는 경계선에 대한 후처리(다듬기)를 수행하는데, 이러한 경계선 후처리를 수행하는 과정에 대해서는 첨부된 도 4를 참조하여 하기에 상세하게 설명한다.
도 4는 영역화된 삼각형 메쉬의 경계선을 후처리(다듬기) 과정을 도시한 플로우챠트이다.
도 4를 참조하면, 각 메인 영역간을 구분하는 경계선을 추적하여 경계선 상에 있는 경계 버텍스(또는 에지 버텍스)(예를 들면, 도 5a의 v1, v2, v3)를 추출하고(단계 402), 이어서 인접하는 선분(즉, 인접하는 버텍스 간을 잇는 선분)간의 각도(예를 들면, 도 5b의 ABV1, ABV2, ABV3, ABV4)를 검출한다(단계 404).
다음에, 검출된 인접 선분간의 각도(ABV)와 기 설정된 임계값(Th3)을 비교하며(단계 406), 여기에서의 비교 결과 검출된 인접 선분간의 각도(ABV)가 기 설정된 임계값(Th3) 벗어나면 경계 버텍스의 보정(경계선의 수정) 없이 처리는 후술하는 단계(410)로 진행된다.
상기 단계(406)에서의 비교 결과, 검출된 인접 선분간의 각도(ABV)가 기 설정된 임계값(Th3)의 범위 이내이면, 경계 버텍스를 보정(경계선의 수정)한 후 처리는 후술하는 단계(410)로 진행된다.
예를 들어, 도 5a에 도시된 바와 같은 형상에서, 두 선분(LS1, LS2)간의 각도(ABV1)와 두 선분(LS3, LS4)간의 각도(ABV3)가 기 설정된 임계값(Th3)을 벗어나고, 두 선분(LS2, LS3)간의 각도(ABV2)가 기 설정된 임계값(Th3) 이내인 경우라고 가정할 때, 단계(406) 및 단계(408)에서의 처리에 따라, 도 5b에 도시된 바와 같이, 경계 버텍스 v1과 v3간을 선분으로 결정되어 보정(즉, 경계선의 수정)된다.
다음에, 단계(410)에서는 각 영역을 구분하는 경계선에 대한 보정이 모두 완료되었는지의 여부를 체크한다. 즉, 모든 인접하는 선분간의 각도가 기 설정됨 임계값(Th3)의 범위를 벗어날 때까지 전술한 단계(404) 내지 단계(408)의 과정을 반복적으로 수행하게 되는데, 단계(410)에서는 이의 검출을 통해 경계선의 보정 완료 여부를 체크한다.
이어서, 상술한 바와 같은 일련의 과정들을 통해 경계선 보정(즉, 경계선의 일직선화)이 완료되면 경계선 상에 존재하는 잡음 성분을 제거하는 처리를 수행하게 되는데, 이를 위하여 단계(412)에서는 경계 버텍스가 보정된 각 선분(경계선)들을 일정한 방향으로 트래킹하여 각 선분의 길이와 방향 및 크기를 고려하여 잡음 성분을 검출하며, 단계(414)에서는 검출된 잡음 성분을 보정(즉, 잡음 성분의 제거)한다.
예를 들어, 도 6a에 도시된 바와 같은 경계 버텍스 v1, v2, v3, v4를 갖는 선분들이 있다고 가정할 때, 주된 방향에 있는 선분들의 길이와 각 선분의 크기를 비교해 볼 때, 경계 버텍스 v1과 v2 사이의 선분, v2와 v3 사이의 선분 및 v3와 v4 사이의 선분은, 그 크기 및 방향을 고려할 때 잡음 성분으로 검출되며(단계 412), 이와 같이 검출되는 잡음 성분들은 단계(414)에서의 처리를 통해, 일 예로서 도 6b에 도시된 바와 같이 보정(즉, 경계선의 수정)된다.
따라서, 본 발명은 상술한 바와 같은 과정들을 통해 표면 법선 기반의 메쉬 영역화를 완료하게 된다.
한편, 본 발명의 발명자들은 제안한 메쉬 영역화 알고리즘의 성능을 평가하기 위하여 표준편차가 다음의 수학식 3과 같은 가우시안 잡음이 첨가된 정이십면체 모델에 대한 모의 실험을 수행하였다.
상기한 수학식3에 있어서, Dm은 입력 메쉬 모델의 평균 선분 거리를 의미하고, X는 퍼센트 단위의 비율을 의미한다.
여기에서, 모의 실험에 사용된 정이십면체 모델은 642개의 점과 1280개의 삼각형으로 구성되어 있고, 이를 도 7a에 도시하였으며, X=10인 가우시안 노이즈를 표함한다. 도 7b는 지역적인 형태 제한이 있는 경어에, 에러 범위를 20도 각도로 하여 반복적인 삼각형 병합 과정을 수행한 결과 영상으로, 모두 213개의 영역(서브 영역)으로 과도하게 분할되어 있음을 보여준다.
이러한 결과에 에러 범위를 25도 각도로 하여 반복적인 영역 병합 과정을 수행한 결과, 일 예로서 도 7c에 도시된 바와 같이, 작은 영역(서브 영역)들이 모두 21개의 영역(메인 영역)으로 병합되었다.
이어서, 21개의 영역(메인 영역)으로 병합된 결과에 대해 본 발명에 따라 경계선 후처리(다듬기)를 수행한 결과, 일 예로서 도 7d에 도시된 바와 같이, 20개의 영역으로 구성된 최종적인 영역화 결과를 얻을 수 있었다.
즉, 642개의 점과 1280개의 삼각형으로 구성된 정이십면체 모델을 본 발명에 따라 메쉬 영역화할 경우, 잡음 성분이 첨가되어 왜곡이 있더라도 지각적으로 인식하는 바와 같이 20개의 영역으로 영역화됨을 알 수 있다.
도 8a는 1375개의 점과 2750개이 삼각형으로 이루어진 팬(fan) 모델을 도시한 것으로, 지역적인 형태 제한이 있는 경우에, 에러 범위를 20도 각도로 하여 반복적인 삼각형 병합 과정을 수행한 결과, 도 8b에 도시된 바와 같이, 모두 313개의 영역(서브 영역)으로 분할됨을 알 수 있었다.
또한, 서브 영역화의 결과에 대해 에러 범위 25도 각도로 반복적인 영역 병합 과정을 수행한 결과, 도 8c에 도시된 바와 같이, 313개의 영역(서브 영역)이 89개의 영역(메인 영역)으로 병합됨을 알 수 있었으며, 이의 결과에 대해 경계선 다듬기를 수행한 결과, 도 8d에 도시된 바와 같이, 팬 모델이 68개의 영역으로 표현됨을 알 수 있었다.
도 9a는 팬 모델에 대해, 지역적인 형태 제한이 없는 경우에, 에러 범위를 20도 각도로 하여 반복적인 삼각형 병합 과정을 수행한 결과를 도시한 것으로, 모두 31개의 영역으로 영역화되었다. 이 모의 실험에서는, 지역적인 형태 제한이 없기 때문에, 도 8에서의 결과와는 달리, 팬 모델의 각 날개와 중심의 원기둥 부분의 표면이 각각 하나의 영역으로 영역화되었음을 알 수 있었다. 도 9b는 삼각형 병합 과정을 수행한 결과에 대해 에러 범위 25도 각도의 반복적인 영역 병합 과정과 경계선 다듬기 과정을 수행한 결과를 도시한 것으로, 모두 38개의 영역으로 영역화됨을 알 수 있었다. 이 모의 실험 결과를 도 8d의 결과와 비교해 볼 때, 증가한 에러 범위로 인하여 팬의 날개 표면의 꺾이는 부분이 하나의 영역으로 영역화되어, 도 9a와 유사한 결과를 얻음을 알 수 있었다.
따라서, 본 발명은 같은 메쉬 모델이더라도 파라메터값을 조정함으로써, 곡면으로 이루어진 부분을 사용자의 필요에 따라 도 8d, 도 9a, 도 9b와 같이 다양하게 영역화할 수 있다. 이것이 본 발명을 다양한 응용 분야(예를 들면, 다중 해상도 모델링 등)에 적용하는데 있어서 범용성을 갖게 해 준다.
이상 설명한 바와 같이 본 발명에 따르면, 삼각형들로 구성되는 특정 물체의 모델에 대해 물체 표면의 법선 벡터를 이용한 삼각형 병합 연산자를 수행하여 각 삼각형을 서브 영역화하고, 각 서브 영역의 평균 법선 벡터를 이용하여 각 서브 영역을 메인 영역화하며, 영역간을 구분하는 선분의 각도 및 크기를 이용하여 경계선 다듬기를 수행함으로써, 특정 물체의 모델에 대한 메쉬 영역화를 효과적으로 수행할 수 있다.

Claims (9)

  1. 다수의 삼각형으로 분할된 물체의 모델을 메쉬 영역화하는 장치에 있어서,
    상기 각 삼각형의 법선 벡터를 각각 산출하고, 인접하는 삼각형 쌍의 법선 벡터 사이의 각도와 기 설정된 제1임계값간의 비교를 통해 그에 상응하는 서브 병합 제어신호를 발생하는 수단;
    상기 서브 병합 제어신호에 응답하여, 인접하는 각 삼각형들을 서브 영역으로 선택적으로 병합하는 수단;
    상기 병합된 각 서브 영역의 평균 법선 벡터를 각각 산출하고, 인접하는 서브 영역 쌍의 평균 법선 벡터 사이의 각도와 기 설정된 제2임계값간의 비교를 통해 그에 상응하는 메인 병합 제어신호를 발생하는 수단;
    상기 메인 병합 제어신호에 응답하여, 인접하는 각 서브 영역들을 다수의 메인 영역으로 선택적으로 병합하는 수단; 및
    병합된 상기 각 메인 영역들의 경계선에 따른 선분, 경계 버텍스를 이용하여 상기 각 메인 영역들간의 경계선을 다듬는 수단으로 이루어진 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치.
  2. 제 1 항에 있어서, 상기 서브 영역 병합 수단은, 상기 검출된 각도가 상기 제1임계값을 벗어날 때 상기 삼각형 쌍 내의 두 삼각형을 서로 다른 새로운 서브 영역으로 분류하고, 상기 검출된 각도가 상기 제1임계값 이내이면서 상기 삼각형쌍 내의 두 삼각형이 기 분류된 서브 영역에 속하지 않을 때 상기 두 삼각형을 같은 새로운 서브 영역으로 병합하며, 상기 검출된 각도가 상기 제1임계값 이내이고 상기 삼각형 쌍 내의 두 삼각형 중 어느 하나가 기 분류된 서브 영역에 속할 때 기 설정된 조건에 따라 속하지 않은 나머지 삼각형을 상기 기 분류된 서브 영역으로 병합하거나 다른 새로운 서브 영역으로 분류하고, 상기 검출된 각도가 상기 제1임계값 이내이고 상기 삼각형 쌍 내의 두 삼각형 모두가 기 분류된 서브 영역에 속할 때 상기 기 설정된 조건에 따라 두 삼각형이 속한 두 서브 영역을 하나의 서브 영역으로 병합하거나 다른 서브 영역으로 유지하는 것을 특징으로 하는 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치.
  3. 제 1 항 또는 제 2 항에 있어서, 상기 서브 병합 제어신호 발생 수단은, 법선 벡터 사이의 각도가 가장 작은 인접하는 두 삼각형을 상기 삼각형 쌍으로 선택하는 것을 특징으로 하는 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치.
  4. 제 1 항 또는 제 2 항에 있어서, 상기 메인 병합 제어신호 발생 수단은, 평균 법선 벡터 사이의 각도가 가장 작은 인접하는 두 서브 영역을 상기 서브 영역 쌍으로 선택하는 것을 특징으로 하는 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 장치.
  5. 다수의 삼각형으로 분할된 물체의 모델을 메쉬 영역화하는 방법에 있어서,
    인접하는 각 삼각형 사이의 법선 벡터를 산출하는 제 1 과정;
    삼각형 쌍을 선택하여 그 법선 벡터 사이의 각도를 검출하는 제 2 과정;
    상기 검출된 각도와 기 설정된 제1임계값간의 비교 조건을 체크하고, 이 체크 결과에 의거하여, 인접하는 각 삼각형들을 다수개의 서브 영역으로 선택적으로 분할하는 제 3 과정;
    검출되는 각 법선 벡터 사이의 각도가 상기 제1임계값을 벗어날 때까지 상기 제 2 과정 및 제 3 과정을 반복 수행하는 제 4 과정;
    상기 분할된 각 서브 영역의 평균 법선 벡터를 산출하는 제 5 과정;
    인접하는 서브 영역 쌍을 선택하여 그 평균 법선 벡터 사이의 각도를 검출한 후 기 설정된 제2임계값과 비교하는 제 6 과정;
    상기 비교 결과에 의거하여, 각 서브 영역간을 선택적으로 병합하여 메인 영역화하는 제 7 과정;
    검출되는 모든 평균 법선 벡터 사이의 각도와 상기 제2임계값을 벗어날 때까지 상기 제 6 과정 및 제 7 과정을 반복 수행하는 제 8 과정; 및
    병합된 상기 각 메인 영역들의 경계선에 따른 선분, 경계 버텍스를 이용하여 상기 각 메인 영역들간의 경계선을 다듬는 제 9 과정으로 이루어진 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 방법.
  6. 제 5 항에 있어서, 상기 제 3 과정은:
    상기 검출된 각도가 상기 제1임계값을 벗어날 때, 상기 삼각형 쌍 내의 두 삼각형을 서로 다른 새로운 서브 영역으로 분류하는 과정;
    상기 검출된 각도가 상기 제1임계값 이내이고, 상기 삼각형 쌍 내의 두 삼각형이 기 분류된 서브 영역에 속하지 않을 때, 상기 두 삼각형을 같은 새로운 서브 영역으로 병합하는 과정;
    상기 검출된 각도가 상기 제1임계값 이내이고, 상기 삼각형 쌍 내의 두 삼각형 중 어느 하나가 기 분류된 서브 영역에 속할 때, 기 설정된 조건에 따라 속하지 않은 나머지 삼각형을 상기 기 분류된 서브 영역으로 병합하거나 다른 새로운 서브 영역으로 분류하는 과정; 및
    상기 검출된 각도가 상기 제1임계값 이내이고, 상기 삼각형 쌍 내의 두 삼각형 모두가 기 분류된 서브 영역에 속할 때, 상기 기 설정된 조건에 따라 두 삼각형이 속한 두 서브 영역을 하나의 서브 영역으로 병합하거나 다른 서브 영역으로 유지하는 과정을 포함하는 것을 특징으로 하는 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 방법.
  7. 제 6 항에 있어서, 상기 기 설정된 조건은, 다음의 수학식과 같은 것을 특징으로 하는 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 방법.
    (상기 수학식에서, T'는 다른 서브 영역에 속하지 않는 삼각형을, Ti는 기 분류된 서브 영역에 속한 삼각형을, δTri는 각도 임계값을, ang(Ti, T')는 삼각형 Ti와 T' 의 법선 벡터 사이의 각도를 각각 의미함.)
  8. 제 5 항, 제 6 항 또는 제 7 항에 있어서, 상기 제 2 과정은, 법선 벡터 사이의 각도가 가장 작은 인접하는 두 삼각형을 상기 삼각형 쌍으로 선택하는 것을 특징으로 하는 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 방법.
  9. 제 5 항, 제 6 항 또는 제 7 항에 있어서, 상기 제 6 과정은, 평균 법선 벡터 사이의 각도가 가장 작은 인접하는 두 서브 영역을 상기 서브 영역 쌍으로 선택하는 것을 특징으로 하는 표면 법선 기반의 삼각형 메쉬 영역화 방법.
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