KR101933964B1

KR101933964B1 - 임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템의 적응 관측기 기반 출력 제약 추종을 이용한 제어 장치

Info

Publication number: KR101933964B1
Application number: KR1020170078812A
Authority: KR
Inventors: 유성진; 이승우
Original assignee: 중앙대학교 산학협력단
Priority date: 2017-06-21
Filing date: 2017-06-21
Publication date: 2018-12-31

Abstract

임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템의 제어 장치가 제공된다.
임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템의 제어 장치는, 임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템; 상기 비아핀 비선형 시스템의 출력이 유계(有界)가 되는 상태 변수를 산출하는 적응형 관측기; 및 상기 상태 변수를 이용하여 상기 비아핀 비선형 시스템의 제어 입력을 산출하는 제어기; 를 포함하고, 상기 비아핀 비선형 시스템은 하기의 수학식을 이용하여 설계될 수 있다.

여기서

에 대해

는 상태 변수 벡터이고,

는 상기 비아핀 비선형 시스템 출력이고,

는 임의의 스위칭 신호이고,

이고

인 모든 i와 j에 대해서 j번째 서브 시스템의 제어 입력은

이고,

는 j 번째 서브 시스템의 알려지지 않은 연속 비선형 함수를 의미한다.

Description

임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템의 적응 관측기 기반 출력 제약 추종을 이용한 제어 장치 {Control Apparatus for Arbitrarily Switched Uncertain Non-affine Nonlinear System using Adaptive Observer based Output Constrained Tracking}

본 발명은 임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템의 적응 관측기 기반 출력 제약 추종을 이용한 제어 방법 및 장치에 관한 것이다. 보다 자세하게는, 시간에 따라 변하는 출력 제약과 알 수 없는 제어 방향을 갖는 임의로 스위치 된 순 피드백 비선형 시스템의 적응 관측기 기반 출력 제약 추종을 이용한 제어 방법 및 그 방법을 수행하는 장치에 관한 것이다.

최근 몇 년간, 출력 제약 문제가 비선형 시스템의 제어 업계로부터 상당한 주목을 받았다. 기존에는 이 문제에 관해서, 출력 제약이 과도 및 정상 상태 제어 성능에 대한 규정된 사양이자 포화 및 물리적 중단과 같은 물리적 한계로 간주되어 왔다.

이러한 제어 시스템의 안정성 및 제약 충족을 동시에 분석하기 위해서 BLF(Barrier Lyapunov Function) 방법이 널리 사용되고 있다. 제어 입력에 일치하지 않는 비선형성이 있는 비선형 시스템을 위해 BLF를 사용하는 제어 설계 접근 방식이 활발하게 제시되고 있다.

그리고 시간에 따라 변하는 출력 제약을 해결하기 위해 아핀(Affine) 과 비아핀(Non-Affine)의 비선형 시스템에 대한 재귀적 제어 설계를 유도하였다. 또한 시간에 따라 변하는 출력 제약을 출력 추종 성능의 경계로 간주하고, 사용된 신경망의 입력에 모든 상태 변수가 포함된 순 피드백 비선형 시스템의 출력 제약 제어 설계를 위한 출력 변환 방법이 최근에 제시되었다.

그러나 이러한 노력에도 불구하고 종래의 기술은 출력 제약이 있는 비 스위치 된 비선형 시스템에서만 사용할 수 있으며, 전체 상태 변수를 측정해야 한다.

다른 한편으로는, 제어 설계 및 스위치 된 시스템의 분석에 관한 집중적인 연구 활동이 보고되고 있다. 스위치 된 시스템에 대한 연구는 다중 Lyapunov 함수 및 공통 Lyapunov 함수 방법으로 분류된다.

스위칭 신호가 제어 입력의 구성 요소로 간주되는 경우, 각각의 스위치 된 서브 시스템에 대한 개별 컨트롤러를 설계하고, 적절한 스위칭 법칙을 이용하여 스위치 된 폐루프 시스템(closed-loop systems)을 안정화시키기 위해 다중 Lyapunov 함수 방법을 주로 이용한다.

또 다른 연구에서는, 모든 서브 시스템이 불안정한 스위치 된 선형 시스템의 안정화 문제를 연구하였으며, 스위칭 신호의 허용 유지 시간의 안정성 영역을 계산하기 위한 다중 Lyapunov 함수 방법에 기반한 알고리즘이 제시되어 있다.

또 다른 연구에서는, 일부 불안정한 모드가 있는 스위치 된 비선형 시스템의 안정화 결과를 유지 시간 체계에 요구되는 상수비 조건과 무관하게 제안하였다.

또 다른 연구에서는, 전체가 불안정한 모드인 스위치 된 선형 시스템의 안정화 결과를 다루었으며, 원점의 점근적 안정성을 보장하기 위해 주기적인 스위칭 법칙을 제안하였다. 이러한 결과는 스위칭 법칙의 설계에 대한 일부 조건을 요구하며, 임의로 스위치 된 조건 아래에서는 안정성을 보장할 수 없다.

반면에 공통 Lyapunov 함수 방법이 임의로 스위치 된 신호가 있는 스위치 된 시스템의 제어 분야에 널리 사용되고 있다. 특히, 백스테핑 기법(backstepping technique)이 제어 입력에 일치하지 않는 스위치 된 비선형성이 있는 제어 시스템에 적용되었다.

A Lower Triangular Form의 미지의 스위치 된 비선형성을 처리하기 위해, 최근에는 이러한 연구 결과를 신경망 또는 퍼지 시스템을 사용하는 온라인 함수 근사화 기법과 결합하여 제어 체계의 함수 근사기로 미지의 비선형성을 추정하였다.

어느 연구에서는, 스위치 된 strict-feedback 비선형 시스템을 위한 적응형 신경망 제어 접근 방식을 제시하였다. 이 결과는 임의의 스위칭이 있는 스위치 된 순 피드백 비선형 시스템의 적응형 제어 설계로 확대 적용되었다. 제약이 있는 스위치 된 비선형 시스템을 위한 일부 제어 접근 방식도 제시되었다.

다른 연구에서는, 추종 제약이 있는 불확실한 스위치 된 strict-feedback 비선형 시스템에 대한 p회 미분할 수 있는 무계 함수(unbounded functions)를 사용하는 강건한 제어 문제를 연구하였다.

그러나, 이러한 종래의 연구에서는 1) 결과가 모든 상태 변수를 측정할 수 있다는 가정에 기반을 둔, 소위 전체 상태 피드백 제어 방법이 제시되어 있으며, 2) 그 결과는 제약이 없거나 정적 제약이 있는 스위치 된 비선형 시스템에만 이용할 수 있다는 두 가지 단점이 있다.

이에, 시간 가변성 출력 제약이 있는 임의로 스위치 된 비아핀인 비선형 시스템의 출력 피드백 제어 문제를 해결할 수 있는 제어 방법이 필요하다.

K.B. Ngo, R. Mahony, Z.P. Jiang, Integrator backstepping using barrier functions for systems with multiple state constraints, in: Proceeding of the 44th Conf. Decision and Control, Seville, 2005, pp. 8306-8312. K.P. Tee, S.S. Ge, E.H. Tay, Barrier Lyapunov functions for the control of output constrained nonlinear systems, Automatica 45 (4) (2009) 918-927.

본 발명이 해결하고자 하는 기술적 과제는 임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템의 적응 관측기 기반 출력 제약 추종을 이용한 제어 방법 및 장치를 제공하는 것이다.

본 발명의 기술적 과제들은 이상에서 언급한 기술적 과제들로 제한되지 않으며, 언급되지 않은 또 다른 기술적 과제들은 아래의 기재로부터 통상의 기술자에게 명확하게 이해될 수 있을 것이다.

상술한 과제를 해결하기 위하여, 다음과 같은 임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템의 제어 장치가 제공된다.

임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템의 제어 장치는, 임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템; 상기 비아핀 비선형 시스템의 출력이 유계(有界)가 되는 상태 변수를 산출하는 적응형 관측기; 및 상기 상태 변수를 이용하여 상기 비아핀 비선형 시스템의 제어 입력을 산출하는 제어기; 를 포함하고, 상기 비아핀 비선형 시스템은 하기의 수학식을 이용하여 설계될 수 있다.

여기서

에 대해

는 상태 변수 벡터이고,

는 상기 비아핀 비선형 시스템 출력이고,

는 임의의 스위칭 신호이고,

이고

인 모든 i와 j에 대해서 j번째 서브 시스템의 제어 입력은

이고,

바람직하게는, 상기 출력은, 하기의 수학식을 이용하여 정의되는 유계를 제약 조건으로 가질 수 있다.

여기서

와

는 미리 선택 가능한 연속 미분 가능한 함수로 출력 y의 하한 경계와 상한 경계를 의미한다.

바람직하게는, 상기 비아핀 비선형 시스템을 변환된 출력과 일차 필터를 이용하여 하기와 같이 정의할 수 있다.

여기서 공통 제어 법칙

는 상기 수학식의 시스템의 상태 변수이다. 그리고

는 새로운 공통 제어 입력이다. 그리고,

인 상수이고,

는 변환된 출력이고,

는 smooth invertible이고 strictly increasing 함수이다.

바람직하게는, 상기 비아핀 비선형 시스템은 좌표 변환을 이용하여 하기의 식으로 변환될 수 있다.

여기서

이고,

이다. 그리고

인 경우에

이다.

바람직하게는, 하기 적응형 관측기는, 하기의 수학식을 이용하여 상기 변환된 시스템의 상태 변수를 산출할 수 있다.

여기서

는 ξ의 추정치이고,

는 행렬

가 strict Hurwitz를 만족하도록 선택된 설계 벡터이고,

와

는 설계 상수이고,

는 알 수 없는 파라미터

의 추정치이고, K는

와 같이 정의한다.

바람직하게는, 상기 제어 입력은, 하기의 수학식을 통해 산출될 수 있다.

여기서,

,

, ,

,

은 설계 상수이고,

는 미지의 파라미터

의 추정치이다.

바람직하게는, 상기 비아핀 비선형 시스템은, 생화학 공정, 항공기 비행 제어 시스템, 선박 기동 시스템, 연속 교반 탱크 반응기와 같은 시스템들을 표현할 수 있다.

본 발명에 따른 효과는 다음과 같다.

시스템 변환 방법을 사용하는 기존의 제어 결과는 신경망의 입력으로 전체 상태 변수를 필요로 하였다. 따라서, 종래 연구에서는 출력 제약이 있는 비 스위칭 비선형 순 피드백 시스템의 전체 상태 피드백 추종 문제를 검토하였다.

그러나, 본 발명은 종래의 방법에서 더 나아가 출력 제약이 있는 임의로 스위치 된 비선형 순 피드백 시스템의 시스템 변환 기반 출력 피드백 추종 문제를 해결할 수 있다. 특히 종래의 연구와는 달리, 제어 이득 함수의 부호를 몰라도 된다는 장점이 있다.

부정합 조건인 비선형성이 있는 불확실한 스위치 된 시스템에 대한 기존의 전체 상태 피드백 결과와는 대조적으로, 제안된 출력 피드백 체계에는 단 두 가지의 적응형 파라미터가 포함되어 있으며 따라서 종래의 제어 체계에 비해 한층 단순한 구조라는 장점이 있다.

미지의 제어 방향성이 존재하는 제안된 적응형 출력 피드백 추종 방법의 안정성 분석을 위해, Nussbaum 이득 함수의 유계를 확인하는 일부 기술적 보조정리를 제안하고 있다.

본 발명의 효과들은 이상에서 언급한 효과들로 제한되지 않으며, 언급되지 않은 또 다른 효과들은 아래의 기재로부터 통상의 기술자에게 명확하게 이해될 수 있을 것이다.

도 1 내지 도 3c는 본 발명의 일 실시예에 따른 제어 방법을 설명하기 위한 예제 1의 도면이다.
도 4 내지 도 6c는 본 발명의 일 실시예에 따른 제어 방법을 설명하기 위한 예제 2의 도면이다.
도 7은 본 발명의 일 실시예에 따른 제어 장치의 블록도이다.

본 발명은 다양한 변경을 가할 수 있고 여러 가지 실시예를 가질 수 있는 바, 특정 실시예들을 도면에 예시하고 상세한 설명에 상세하게 설명하고자 한다. 그러나, 이는 본 발명을 특정한 실시 형태에 대해 한정하려는 것이 아니며, 본 발명의 사상 및 기술 범위에 포함되는 모든 변경, 균등물 내지 대체물을 포함하는 것으로 이해되어야 한다. 각 도면을 설명하면서 유사한 참조부호를 유사한 구성요소에 대해 사용하였다.

제1, 제2, A, B 등의 용어는 다양한 구성요소들을 설명하는데 사용될 수 있지만, 상기 구성요소들은 상기 용어들에 의해 한정되어서는 안 된다. 상기 용어들은 하나의 구성요소를 다른 구성요소로부터 구별하는 목적으로만 사용된다. 예를 들어, 본 발명의 권리 범위를 벗어나지 않으면서 제1 구성요소는 제2 구성요소로 명명될 수 있고, 유사하게 제2 구성요소도 제1 구성요소로 명명될 수 있다. 및/또는 이라는 용어는 복수의 관련된 기재된 항목들의 조합 또는 복수의 관련된 기재된 항목들 중의 어느 항목을 포함한다.

어떤 구성요소가 다른 구성요소에 "연결되어" 있다거나 "접속되어" 있다고 언급된 때에는, 그 다른 구성요소에 직접적으로 연결되어 있거나 또는 접속되어 있을 수도 있지만, 중간에 다른 구성요소가 존재할 수도 있다고 이해되어야 할 것이다. 반면에, 어떤 구성요소가 다른 구성요소에 "직접 연결되어" 있다거나 "직접 접속되어" 있다고 언급된 때에는, 중간에 다른 구성요소가 존재하지 않는 것으로 이해되어야 할 것이다.

본 출원에서 사용한 용어는 단지 특정한 실시예를 설명하기 위해 사용된 것으로, 본 발명을 한정하려는 의도가 아니다. 단수의 표현은 문맥상 명백하게 다르게 뜻하지 않는 한, 복수의 표현을 포함한다. 본 출원에서, "포함하다" 또는 "가지다" 등의 용어는 명세서상에 기재된 특징, 숫자, 단계, 동작, 구성요소, 부품 또는 이들을 조합한 것이 존재함을 지정하려는 것이지, 하나 또는 그 이상의 다른 특징들이나 숫자, 단계, 동작, 구성요소, 부품 또는 이들을 조합한 것들의 존재 또는 부가 가능성을 미리 배제하지 않는 것으로 이해되어야 한다.

다르게 정의되지 않는 한, 기술적이거나 과학적인 용어를 포함해서 여기서 사용되는 모든 용어들은 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 일반적으로 이해되는 것과 동일한 의미를 가지고 있다. 일반적으로 사용되는 사전에 정의되어 있는 것과 같은 용어들은 관련 기술의 문맥 상 가지는 의미와 일치하는 의미를 가지는 것으로 해석되어야 하며, 본 출원에서 명백하게 정의하지 않는 한, 이상적이거나 과도하게 형식적인 의미로 해석되지 않는다.

이하, 본 발명에 따른 바람직한 실시예를 첨부된 도면을 참조하여 상세하게 설명한다.

스위치 된 비아핀 비선형 시스템

상술한 과제를 해결하기 위하여, 스위치 된 비아핀 비선형 시스템을 수학식으로 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

[수학식 1]

여기서

에 대해

인 상태 변수 벡터이고,

는 시스템 출력이고,

는 스위칭 신호이다.

이고

인 모든 i와 j에 대해서 j번째 서브 시스템의 제어 입력은

이다. 그리고

는 j 번째 서브 시스템의 알려지지 않은 연속 비선형 함수이다.

비고 1. 수학식 1의 상태-공간 모델은 비아핀 비선형 시스템을 표현하기 위한 것으로, 예를 들면 생화학 공정, 항공기 비행 제어 시스템, 선박 기동 시스템, 연속 교반 탱크 반응기 시스템 등과 같은 특정 물리적 시스템이 수학식 1의 시스템에 해당한다. 따라서, 수학식 1의 비아핀 비선형 시스템은 앞서 예시한 동작 환경에 따라 스위치 되는 시스템의 모델 파라미터 및 함수를 기술할 수 있다.

문제 1. 우리의 문제는 임의로 스위치 된 비아핀 비선형성 및 알려지지 않은 제어 방향의 조건 아래 수학식 1의 시스템의 공통 출력 피드백 제어기인

를 설계하는 것이다. 이를 통해

인 모든 t에 대해서

로 출력 y가 제한되도록 하는 것이다.

여기서

와

는 미리 선택 가능한 연속 미분 가능한 함수로 출력 y의 하한 경계와 상한 경계를 의미한다. 그리고 원하는 신호

는

를 만족한다. 이는

가 추종 에러인 상황에서 임의로 스위칭이 발생하는 순간에도

임을 보장한다.

가정 1.

,

라고 하자. 단 여기서

이고

이다. 그러면

는 0이 아니며, 값을 알 수 없으며, 부호 역시 알 수 없다. 또한,

가 되도록 하는 상수

가 존재한다. 단 여기서,

가 compact set일 때,

이고

이다.

가정 2. 원하는 신호

는 연속적이며,

에 대해

는 이용 가능하고, 상수

에 대해

를 경계로 한다.

비고 2. 가정 1은 순 피드백 형태의 수학식 1의 시스템에 대한 충분한 제어 가능성 조건에 대한 일반적인 가정이다. 또한, 스위치 또는 비 스위치 비선형성을 갖는 시스템의 출력 제한적 전체 상태 피드백 제어 문제와 비교할 때, 문제 1은 스위치 된 제어 이득 함수의 부호를 알 수 없는 스위치 된 비아핀 비선형 시스템의 출력 제한적 출력 피드백 추종 문제를 나타낸다. 그러므로, 종래의 연구들은 문제 1에 적용할 수 없다.

신경 회로망과 Nussbaum 이득 함수

RBFNNs는 제안된 적응 제어 기법의 설계에서 유도된 미지의 비선형 함수를 근사화 하기 위해 사용된다. 여기서 RBFNN은 다음의 수학식 2로 표현될 수 있다.

[수학식 2]

단

는 입력 벡터이고, 노드 넘버

에 대해

는 가중치 벡터이다. 그리고

,

에 대해

는 가우시안 함수(Gaussian functions)이다.

RBFNN의 보편적 근사 속성에 따르면, RBFNN은 compact set

에 대해 연속적인 실수 값 함수

를 근사할 수 있다. 즉, 다음의 수학식 3으로 표현할 수 있다.

[수학식 3]

여기서

은 네트워크 재구성 오차를 나타내며

는

로 정의되는 최적 가중치 벡터이다.

가정 3. 최적의 가중치 벡터

와 근사 오차

는

및

를 경계로 한다. 여기서

및

는 값을 알 수 없는 양의 상수이다.

다음의 보조 정리는 벡터

에 대한 상한을 제공한다.

보조 정리 1. 가우스 RBFNN을 고려하면

인 상수에 대해

이다.

알려지지 않은 제어 방향을 처리하기 위해 다음과 같은 Nussbaum 이득 함수가 제어 설계 절차에 사용된다.

정의 1. 임의의 연속 함수

는 Nussbaum 유형의 함수로 다음의 수학식 4 및 수학식 5와 같은 특성을 가진다.

[수학식 4]

[수학식 5]

이하 본 발명에서는

는 Nussbaum 함수로 선택된다.

보조 정리 2.

와

가

에 정의된 smooth 함수라고 가정하자. 이때,

,

이다. 그리고,

가 Nussbaum 유형의 smooth 함수라고 하자. 이때 다음의 수학식 6에 해당하는 부등식이 성립한다.

[수학식 6]

,

는

의 경계를 가진다. 단 여기서,

and

는 양의 상수이고,

는

의 조건과 함께 알 수 없는 닫힌 인터벌

에서 값을 가지는 시간에 따라 변하는 파라미터이다.

시스템 변환

제어 입력의 출력 제약 조건과 비아핀 속성을 다루는 데 있어 설계상의 어려움을 극복하기 위해 입력 및 출력 변환은 각각 1차 필터와 비선형 변환 함수를 사용하여 고려된다. 비 스위치 시스템의 경우와 달리 스위치 된 시스템에 대해서는 다음의 수식과 같이 변환을 수행한다.

[수학식 7]

[수학식 8]

여기서

인 상수이고,

는 공통 제어 입력이고,

는 새로운 공통 제어 입력이고,

는 변환된 출력이고,

는 smooth invertible이고 strictly increasing 함수이다. 이를 통해 다음의 수학식을 얻을 수 있다.

[수학식 9]

[수학식 10]

[수학식 11]

여기서,

는 방정식 형태로서 부등식 형태의

출력 제약을 표현하기 위한 것이다. 그러면

는 다음의 수학식 12와 같이 정의할 수 있다.

[수학식 12]

이때, 수학식 8과 수학식 12를 적용하면 변환된 출력은 다음의 수학식 13과 같이 정의할 수 있다.

[수학식 13]

이를 통해 수학식 1은 다음의 수학식 14와 같이 다시 정리할 수 있다.

[수학식 14]

여기서 공통 제어 법칙

는 수학식 14의 시스템의 상태 변수이다. 그리고

는 새로운 공통 제어 입력이다. 추가로 수학식 13으로부터

의 경계는

인 모든 t에 대해서

를 보장한다.

그러므로 우리의 제어 문제는 출력 제약 조건, 알려지지 않은 스위치 된 비아핀 비선형성 및 제어 방향의 존재 하에서,

이 균일하게 경계를 가지도록 공통 출력-피드백 제어기를 설계하는 것으로 재정의할 수 있다.

제어기 설계를 위해서 상태 변수를

로 정의한다. 그러면, 수학식 1, 수학식 7, 수학식 8을 이용하여 상태 변수의 시간 도함수를 다음의 수학식 15와 같이 얻을 수 있다.

[수학식 15]

여기서

,

에 대해

는 이항 계수이고

,

이다.

그러면 가정 1로부터 다음의

조건들로 인해

에 대해서

를 만족하는 값을 알 수 없는 상수

가 존재한다.

와

의 변환을 통해 smooth map과 diffiomorphism을 가지게 되었으므로, 수학식 15의 변환된 시스템이 제어기 설계에 더 적합하다.

수학식 15의 변환된 시스템의 벡터는 다음의 수학식 16으로 표현이 가능하다.

[수학식 16]

여기서

이고,

이다. 그리고

인 경우에

이다.

적응적 상태 관측기

상태 수학식 15의 변환된 시스템의 상태

는 알 수 없는 함수

로 인해서 이용할 수 없다. 그러므로 출력 측정

만을 사용하는 공통 적응 상태 관측기는 다음의 수학식 17 및 수학식 18과 같이 설계한다.

[수학식 17]

[수학식 18]

여기서

는 ξ의 추정치이며,

는 행렬

가 strict Hurwitz를 만족하도록 선택된 설계 벡터이다. 또한

와

는 설계 상수이다. 그리고

는 추후에 정의될 알 수 없는 파라미터

의 추정치다. 그리고 K는

와 같이 정의한다.

여기서 양의 명확한 행렬

는 설계 상수

0과 양의 한정 행렬 Q를 갖는 다음의 대수적인 Riccati 식 방정식

에 의해 주어진다. 안정한

에 대해

를 만족하는 해 P가 항상 존재함을 주목할 필요가 있다.

적응적 제어기

수학식 15의 시스템의 제어기 설계는 오차 표면 φ에 기초하여 다음의 수학식 19와 같이 정의할 수 있다.

[수학식 19]

여기서

는 다항식

가 Hurwitz가 되도록 선택된다. 따라서 φ의 경계는 추종 오차

의 경계를 보장한다. φ의 동역학식은 다음의 수학식 20과 같이 얻을 수 있다.

[수학식 20]

수학식 15의 시스템에 대한 적응 제어 법칙은 다음의 수학식 21 내지 23과 같다.

[수학식 21]

[수학식 22]

[수학식 23]

여기서,

,

은 설계 상수이다. 그리고,

는 나중에 결정될 미지의 파라미터

의 추정치이다.

보조정리 3. 수학식 22의 적응 법칙에 대해,

인 모든 t에 대해

라면

인 compact set

가 존재한다.

증명.

로 정의한다. 그러면 이의 시간 도함수는 다음의 수학식 24와 같다.

[수학식 24]

여기서,

일 때

는 음이다. 그러므로

인 모든 t에 대해 만약

라면

이다.

보조정리 4. 수학식 23의 제어법에 대해,

인 모든 t에 대해

라면

인 compat set

가 존대한다.

증명.

로 고려한다. 그러면 보조 정리 3을 사용하여

의 시간 도함수는 다음의 수학식 25와 같다.

[수학식 25]

여기서,

일 때

는 음이다. 그러므로

인 모든 t에 대해 만약

라면

이다.

비고 3. 보조 정리 4는 Nussbaum 함수

의 매개 변수 ζ가 제시된 수학식 24의 미분 방정식을 사용하여 제한될 수 있음을 보여준다. 이 보조 정리는 시스템 변환 기반 제어 프레임 워크에서 알려지지 않은 제어 방향 문제를 처리하기 위해 개발되었다. 이 문제에 대하여,

의 경계는 추후 제시할 시스템 변환 기법을 사용하여 제안된 제어 시스템의 안정성 분석에 필요하다.

비고 4. 시스템 변환을 이용한 적응 제어 설계는 시간에 따라 변하는 출력 제약 조건을 가진 비 스위치 비선형 순 피드백 시스템에서 이미 연구되었다. 종래에 보고된 관찰자와 제어기는 하나의 신경망 (즉, 전체 제어 계획을 위한 두 개의 신경망)을 필요로 하고 전체 상태 변수는 각 신경망의 입력으로 사용되었다.

따라서, 종래에 제시된 결과는 모든 상태-피드백 변수를 측정 할 필요가 있다. 그러나, 본 발명의 수학식 17 내지 수학식 18의 관측기 및 수학식 21 내지 수학식 23의 제어기는 두 개의 적응형 파라미터

및

만을 포함하고 출력 변수만을 측정하면 충분하다 또한 본 발명에서는 알려지지 않은 스위치 된 비선형 성 및 제어 방향을 고려한다.

비고 5. 종래에, 함수 근사 기법을 이용한 제어 접근법이 A Lower Triangular Form의 스위치 된 비선형 시스템에 대해 제시되었다. 여기서 제어기를 설계하기 위해 백스테핑 방법을 사용 했으므로 각 가상 컨트롤러와 실제 컨트롤러에는 함수 근사기의 가중치와 관련된 적응 파라미터가 포함되어 있다.

따라서, 시스템의 차수가 증가함에 따라, 적응 파라미터의 수가 증가한다. 더욱이 종래에 보고된 제어기를 구현하기 위해서는 모든 상태 변수를 측정해야 한다. 그러나, 상태 변환을 사용하는 본 발명에서 제안된 제어 방식은 시스템의 차수에 관계없이 2 개의 적응형 파라미터만을 포함하고, 출력 변수만을 측정함으로써 구현될 수 있으며, 성능 경계로 간주되는 시변 출력 제한을 다룬다.

안정도 분석

이상으로 본 발명에서 제안하는 제어 방법을 살펴 보았다. 다음으로는 제안된 적응 제어 기법의 안정성을 분석하기로 한다. 본 발명의 주요 특징은 다음의 정리로 제시된다.

정리 1. 시간에 따라 변하는 출력 제약과 임의로 스위치 되는 수학식 1의 불확실한 스위치 된 비아핀 비선형 시스템을 살펴보자. 가정 1 내지 3에서 수학식 17 내지 수학식 18의 적응 관측기 및 수학식 23 내지 수학식 23의 제어기로 구성된 제안된 적응 출력-피드백 제어 방식은 다음을 보장한다.

우선 1) 폐루프 시스템의 모든 신호는 한정되어 있다. 2)

가 추종 에러라 할 때,

인 모든 t에 대해

를 만족한다.

증명. Lyapunov 함수 후보를

로 고려하자. 여기서

와

는 다음의 수학식 26 및 수학식 27과 같다.

[수학식 26]

[수학식 27]

여기서,

이고,

이다.

우선

를 살펴보자. 수학식 16, 수학식 17,

,

에 따른

의 시간 도함수는 다음의 수학식 28과 같다.

[수학식 28]

수학식 28은

인 모든

에 대해서 성립한다. 이 때 알려지지 않은 연속 함수

이 다음의 수학식 29와 같이 존재한다.

[수학식 29]

여기서

이다. 그러면 RBFNN의 함수 근사 특성으로부터 알 수 없는 연속 함수

은 다음과 같이 compact set

에 대해 수학식 30과 같이 근사 될 수 있다.

[수학식 30]

여기서 W₁은 최적 가중치 벡터이고, S₁은 가우스 함수 벡터이고, ε₁은

아래에서

를 만족하는 재구성 오차를 나타낸다. 수학식 29, 수학식 30 및 보조 정리 1을 사용하면 다음의 수학식 31을 얻을 수 있다.

[수학식 31]

여기서

는 상수이다 그리고, 보조 정리 1에서

인

는 상수이다. 수학식 18과 수학식 31을 수학식 28에 대입하면 다음의 수학식을 얻을 수 있다.

[수학식 32]

다음으로

를 살펴보자. 수학식 20에 따른

의 시간 도함수는 다음의 수학식 33과 같다.

[수학식 33]

수학식 33은

인 모든

에 대해서 성립한다. 이 때 알려지지 않은 연속 함수

이

인 모든

에 대해 존재한다. 알려지지 않은 연속 함수

를 RBFNN에 의해 근사하면 다음의 수학식 34와 같다.

[수학식 34]

여기서

이고, S₂은 가우스 기본 함수 벡터이고, W₂는 최적 가중치 벡터이다. 그리고 ε₂은

아래에서

를 만족하는 재구성 오차를 나타낸다. 수학식 34를 수학식 30에 대입하면 다음의 수학식 35를 얻을 수 있다.

[수학식 35]

수학식 21을 수학식 35에 대입하면 다음의 수학식 36을 얻을 수 있다.

[수학식 36]

여기에

와 수학식 23 내지 수학식 36을 적용하면 다음의 수학식 37을 얻을 수 있다.

[수학식 37]

마지막으로 V를 살펴보자. 수학식 32와 수학식 37을

에 대입하면 V의 시간 도함수는 다음의 수학식 38과 같다.

[수학식 38]

보조 정리 3과 보조정리 4에서

와

의 상한 경계는 각각

와

로 정의할 수 있다. 그러므로 ?의 경계로부터

를 만족하는 상수

이 존재한다. 그러면 수학식 38은 다음의 수학식 39와 같이 정리할 수 있다.

[수학식 39]

여기서

이고

이다.

와 Young의 부등식을 이용하면, 다음의 수학식 40 내지 수학식 43의 부등식을 얻을 수 있다.

[수학식 40]

[수학식 41]

[수학식 42]

[수학식 43]

여기서

는 보조정리 1에 의해

인 상수이다.

수학식 39, 수학식 40, 수학식 41 및

로부터 (그림크기수정)

를 만족시키기 위한 ?가 주어진다. 보조정리 1로부터

인 경우에

를 만족하는 상수

가 존재한다. 그러면

에 의해서 수학식 44를 얻을 수 있다.

[수학식 44]

여기서 (수식짤림)

이고,

는 Q의 최소 고유치이다. 그리고

는 Q의 최대 고유치이다. 그리고

이다. 그러면 수학식 44의 양변을 적분하면 수학식 45를 얻을 수 있다.

[수학식 45]

여기서

이다. 보조정리 2로부터

,

는

를 경계로 가진다. 폐루프 시스템의 해답의 경계는

를 보장한다. 그러면

를 만족하는

상수가 존재한다. 수학식 45와 V의 정의로부터 다음의 수학식 46을 얻을 수 있다.

[수학식 46]

수학식 46은

으로 이어진다. 그러므로 폐루프 시스템의 신호는 compact set

로 모인다.

또한,

의 경계와

의 정의로부터

는

의 범위를 갖는다. 추가로 수학식 13으로부터

의 범위는

임을 보장한다. 이는

로 이어진다.

비고 6. 각각의 스위치 된 서브 시스템에 대한 Lyapunov 함수가 일반적으로 Lyapunov 함수 접근법에서 공통적으로 선택되고 임의의 스위칭이 허용될 수 있는 반면, 다중 Lyapunov 함수 접근법은 스위치 된 각각의 다른 Lyapunov 함수를 사용함으로써 각 스위칭 간격에서 제어 시스템의 안정성을 분석함으로써, 스위칭 신호에 대한 일부 설계 조건이 유도된다.

그러므로 다중 Lyapunov 함수 접근법은 임의의 스위칭 하에서 안정성을 보장 할 수 없다. 본 발명에서 제안한, 수학식 17 내지 수학식 18의 의 관측기 및 수학식 21 내지 수학식 23의 제어기를 스위치 형태로 변경하면 수학식 26 내지 수학식 27의 공통 Lyapunov 함수가 다중 Lyapunov 함수 형식 즉,

및

인 모든 j에 대한

로 재정의 된다.

그리고 스위칭 신호에 대한 설계 조건은 종래에 보고된 안정성 분석 기법으로부터 도출되었으므로, 제안된 제어 기법은 다중의 Lyapunov 함수를 갖는 더 일반적인 스위치 시스템으로 확장될 수 있다.

비고 7. 종래의 연구에서, 스위칭 비선형 시스템의 강건한 안정성 결과에 대한 새로운 개념은 불확실한 스위칭 장치 때문에 스위칭 신호의 불확실성이 존재하는 경우에 제시되었다.

시간 변화 비와 모드 변화 비는 스위칭 불확실성을 특성화하기 위해 제시되었다. 추후, 임의의 스위칭 신호에서 불확실성을 갖는 스위치 된 비아핀 비선형 시스템의 적응 관찰자 기반 출력 제한 추종 문제를 고려하는 것은 흥미로울 것이다.

도 1 내지 도 3c는 본 발명의 일 실시예에 따른 제어 방법을 설명하기 위한 예제 1의 도면이다.

예제 1

수학식 1에 해당하는 스위치 된 비아핀 비선형 시스템의 예로

,

조건을 갖는 시스템을 살펴보자.

원하는 신호

는

로 정의된다. 상태 변수의 초기 조건은

및

으로 설정된다. 경계 조건의 하한 및 상한은

,

와 같이 선택된다.

제안된 출력 피드백 제어 방법은 수학식 17 내지 수학식 18의 적응 관측기와 수학식 21 내지 수학식 23의 제어기와 같이 주어지고 그 파라미터들은 다음과 같이 선정된다.

,

는 수학식 13에 정의되어 있고,

,

이다.

도 1은 예제 1의 스위칭 신호 ?의 도면이다. 도 2a는 예제 1의 추종 결과이고, 도 2b는 추종 에러

이다. 도 3a는 예제 1의

와

이고, 도 3b는 예제 1의 ?이고, 도 3c는 공통 입력 u이다.

도 1에 도시 된 바와 같이, 비아핀 비선형 성에 대한 스위칭 효과는 임의로 변경된다. 도 2a와 도 2b는 시스템 출력 y가 임의의 스위칭의 발생에 상관없이 모든 t≥0에 대한 사전 정의된 출력 제한 내에 머물러 있는 추정 결과와 오차를 각각 나타낸다.

파라미터 추정치

,

, Nussbaum 파라미터 ? 및 제어 입력 u가 도 3a 내지 도 3c에 도시되어 있다. 이 도면은 제안된 적응 출력 피드백 제어 기법이 미지의 스위치 된 비아핀 비선형 성 및 제어 이득 함수가 있는 상태에서 양호한 추종 및 제약 만족을 달성함을 보여준다.

도 4 내지 도 6c는 본 발명의 일 실시예에 따른 제어 방법을 설명하기 위한 예제 2의 도면이다.

예제 2

이번에는 보다 실용적인 예제를 살펴보기로 한다. 풍력 발전 시스템은 고속으로 회전을 한다. 제안된 방법의 유효성을 검증하기 위해 다음의 수학식 47과 같은 형태의 풍력 발전 시스템을 가정해보자.

[수학식 47]

여기서 시스템의 출력

는 로터 각속도이고, 제어 입력

는 적용된 피치각이다.

는 총 관성이고,

는 총 외부 댐핑이고,

는 공기 밀도이고,

는 원주율이고,

는 로터 반지름이고,

는 풍속이다.

는 팁 속도 비율이고,

는 발전기의 토크이고, 비아핀 토크 함수

는 다음과 같이 주어진다.

스위치 된 비선형 시스템으로 수학식 47의 시스템을 기술하기 위해 기상 환경에 의해 결정된 공기 밀도는 기상 변화 (즉,

)에 따라 스위치 되는 것으로 가정한다. 그러면 수학식 47의 시스템은

,

인 스위치 비아핀 비선형 시스템으로 표현된다.

출력 제약 조건은 원하는 로터 각속도

에 대해서

및

로 주어진다. 상태 변수

의 초기 조건은

로 설정된다. 제안된 출력 피드백 제어 방법은 수학식 17 내지 수학식 18의 적응 관측기와 수학식 21 내지 수학식 23의 제어기와 같이 주어지고 그 파라미터들은 다음과 같이 선정된다.

,

이다.

도 4은 예제 2의 스위칭 신호 ?의 도면이다. 도 5a는 예제 2의 추종 결과이고, 도 5b는 추종 에러

이다. 도 6a는 예제 2의

와

이고, 도 6b는 예제 2의 ?이고, 도 6c는 공통 입력 u이다.

도 4는 공기 밀도에 대한 스위칭 신호를 표시한다. 그림 5에서, 시스템 출력 y는 모든 t≥0에 대해 시간에 따라 변하는 출력 제한 내에서 진화하고 원하는 로터 각속도 yd를 잘 따른다. 도 6은 파라미터 추정치

,

, Nussbaum 파라미터 ? 및 제어 입력 u를 도시한다. 이 수치에서 제안된 출력 피드백 기법이 예상치 못한 스위칭 및 알려지지 않은 제어 방향에 대한 제어 성능 및 제약 조건 만족을 보장한다는 것을 알 수 있다.

도 7은 본 발명의 일 실시예에 따른 제어 장치의 블록도이다.

도 7을 참고하면 수학식 1의 시스템의 출력 y의 상한과 하한을 제어하기 위해서, 수학식 17과 수학식 18의 적응 관측기와 수학식 21 내지 수학식 23의 제어기를 이용한다. 이를 통해 임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템의 제어가 가능하다.

본 발명을 통해 임의로 스위치 된 미지의 제어 방향성을 갖는 불확실한 스위치 순 피드백 비선형 시스템에 대한 출력 제약 출력 피드백 추종을 살펴보았다. 이를 통해 두 가지 적응형 파라미터에 기반을 둔 적응 관측기 및 제어기를 구성하여 시간 가변성 출력 제약이 존재하는 공통 적응형 출력 피드백 제어를 위한 새로운 보편적인 설계 방법을 확인하였다. Lyapunov 안정성 분석을 통해, 전체 폐루프의 모든 신호의 균일한 유계와 시간 가변성 출력 제약의 충족을 분석하였다. 따라서, 스위칭 시점에 출력 신호의 과도 응답이 사전 결정된 경계 내로 유지되었다.

이상 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 실시 예들을 설명하였지만, 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자는 본 발명이 그 기술적 사상이나 필수적인 특징을 변경하지 않고서 다른 구체적인 형태로 실시될 수 있다는 것을 이해할 수 있을 것이다. 그러므로 이상에서 기술한 실시 예들은 모든 면에서 예시적인 것이며 한정적이 아닌 것으로 이해해야만 한다.

Claims

임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템;
상기 비아핀 비선형 시스템의 출력이 유계(有界)가 되는 상태 변수를 산출하는 적응형 관측기; 및
상기 상태 변수를 이용하여 상기 비아핀 비선형 시스템의 제어 입력을 산출하는 제어기;
를 포함하고,
상기 비아핀 비선형 시스템은 하기의 [수학식 1]을 이용하여 설계되는 임의로 스위치 된 불확실한 비아핀 비선형 시스템의 제어 장치.

[수학식 1]

여기서
에 대해
는 상태 변수 벡터이고,
는 상기 비아핀 비선형 시스템 출력이고,
는 임의의 스위칭 신호이고,
이고
인 모든 i와 j에 대해서 j번째 서브 시스템의 제어 입력은
이고,
는 j 번째 서브 시스템의 알려지지 않은 연속 비선형 함수를 의미한다.
제 1 항에 있어서,
상기 출력은,
하기의 [수학식 2]를 이용하여 정의되는 유계를 제약 조건으로 가지는 비아핀 비선형 시스템의 제어 장치.

[수학식 2]

여기서
와
는 미리 선택 가능한 연속 미분 가능한 함수로 출력 y의 하한 경계와 상한 경계를 의미한다.
제 2 항에 있어서,
상기 [수학식 1]의 비아핀 비선형 시스템을 변환된 출력과 일차 필터를 이용하여 하기의 [수학식 14]와 같이 정의하는 비아핀 비선형 시스템의 제어 장치.

[수학식 14]

여기서 공통 제어 법칙
는 상기 수학식의 시스템의 상태 변수이다. 그리고
는 새로운 공통 제어 입력이다. 그리고,
인 상수이고,
는 변환된 출력이고,
는 smooth invertible이고 strictly increasing 함수이다.
제 3 항에 있어서,
상기 [수학식 14]의 비아핀 비선형 시스템을 좌표 변환을 이용하여 하기의 [수학식 16]과 같이 변환하는 비아핀 비선형 시스템의 제어 장치.

[수학식 16]

여기서
이고,
이고,
이다. 그리고
인 경우에
,
은 변환된 출력의 행렬로,
,
을 만족하는 행렬로 정의되며,
는 연속 비선형 함수로,
는
조건과 함께 닫힌 인터벌
에서 값을 가지는 시간에 따라 변하는 파라미터,
는
, T는 smooth invertible이고 strictly increasing 함수, y는 비아핀 비선형 시스템 출력이다.
제 4 항에 있어서,
하기 적응형 관측기는,
하기의 [수학식 17]를 이용하여 상기 [수학식 16]의 변환된 시스템의 상태 변수를 산출하는 비아핀 비선형 시스템의 제어 장치.

[수학식 17]

여기서
는 ξ의 추정치이고,
는 행렬
가 strict Hurwitz를 만족하도록 선택된 설계 벡터이고,
와
는 설계 상수이고,
는
의 추정치인데,
, W₁은 최적 가중치 벡터,
,
, S₁은 가우스 함수 벡터,
,
상수를 이용하여
을 정의할 수 있으며, K는
와 같이 정의하며, P 는 설계상수이다.
제 5 항에 있어서,
상기 제어 입력은,
하기의 [수학식 21]를 통해 산출되는 비아핀 비선형 시스템의 제어 장치.

[수학식 21]

여기서,
,
,
,
,
,
,
은 설계 상수이고,
는
의 추정치인데,
,
,
, S₂는 가우스 기본 함수 벡터, W₂는 최적 가중치 벡터를 이용하여
를 정의할 수 있으며, N()은 Nussbaum 함수,
는
로 정의되는 행렬인데 다항식
가 Hurwitz가 되도록 선택되는 것으로 정의되며,
는
인 모든 t에 대해
라면
인 compat set
를 만족하는 것으로 정의할 수 있다.