KR101112164B1 - 정다면체 학습 교구 - Google Patents

Abstract

본 발명은 정다면체 학습 교구에 관한 것으로, 복수의 판재(13,14,15,16)가 상호 직교하는 상태로 결합된 뼈대가 정다면체(10)의 내부에 꽉 들어차게 설치된다.
상기 뼈대에 의해 정다면체(10)의 내부 공간에 상기 정다면체(10)의 각 면을 연결하는 다양한 선과 면이 존재하게 되고, 또한 상기 내부 공간이 다수로 분할된다.
따라서, 정다면체의 외형을 관찰하는 것에 더하여, 내부 공간을 고찰하고 임의 꼭지점 간의 거리, 정다면체의 부피, 각 분할 공간의 부피 등을 구하면서 정다면체를 보다 다양한 방식으로 학습할 수 있다.

Description

정다면체 학습 교구{teaching aids for a regular polyhedron study}

본 발명은 정다면체 학습 교구에 관한 것으로, 특히 정다면체에 관해 보다 다양한 학습이 가능하도록 된 정다면체 학습 교구에 관한 것이다.

정다면체는 볼록 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어지고, 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형을 말한다.

상기의 조건을 만족하는 경우는 도 1에 도시된 바와 같이, 정사면체(a), 정육면체(b), 정팔면체(c), 정십이면체(d), 정이십면체(e)뿐으로 정다면체는 오직 5종류만이 존재한다.

현재 중학교 1학년 수학교육 과정 중에는 도형의 이해>입체도형>다면체의 단원 아래에 정다면체에 대한 내용이 포함되어 있으며, 이때 종이나 플라스틱 판지, 또는 골격을 이루는 막대와 막대의 연결부재 등으로 제작된 정다면체를 제작하고, 이를 학습 교구를 사용하고 있다.

그러나, 사용되고 있는 정다면체 학습 교구는 단순한 정다면체로서, 정다면체를 이루는 모든 면이 합동인가? 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은가? 등의 정다면체의 정의 관련 내용과, 면의 수, 모서리의 수, 꼭지점의 수 등을 세어보고 확인하는 정도로만 이용되고 있다.

즉, 기존의 정다면체 학습 교구는 정다면체의 외형만을 관찰하는 것으로 이용되고 있어 실제 교육에 있어 활용도가 높지 않았다.

이에 본 발명은 상기와 같은 점을 개선하여, 정다면체의 외형뿐만 아니라 내부 공간에 대한 이해도를 높일 수 있고, 보다 다양한 학습에 이용할 수 있게 되어 활용도가 향상된 정다면체 학습용 교구를 제공함에 그 목적이 있다.

상기와 같은 목적을 달성하기 위한 본 발명은,

내부가 보이는 정다면체와;

판재로 이루어져 상기 정다면체의 내부에 설치된 뼈대;

를 포함하며,

상기 정다면체는 정십이면체이고,

상기 뼈대는 장방향 중심선에 관통형 슬릿이 형성된 두 장의 직사각형 판재와,

장방향 중심선을 따라 일측 단부가 개방된 개방형 슬릿이 형성된 한 장의 직사각형 판재를 포함하고,

상기 관통형 슬릿이 형성된 두 장의 직사각형 판재중 하나의 판재가 다른 하나의 판재에 형성된 관통형 슬릿에 직각으로 삽입되고, 상기 삽입된 직사각형 판재의 관통형 슬릿에 상기 개방형 슬릿이 형성된 직사각형 판재가 직각으로 삽입되며,

상기 직사각형 판재들의 단변이 상기 정십이면체의 모서리에 맞닿고, 상기 직사각형 판재들의 단변의 길이와 상기 정십이면체의 모서리의 길이가 동일한 것을 특징으로 한다.

상기와 같은 구성으로 이루어진 본 발명에 따르면,

합동인 복수의 판재가 상호 직교하는 상태로 결합되어 이루어진 뼈대가 정다면체의 내부에 꽉 들어차게 설치된다.

상기 뼈대에 의해 정다면체의 내부에 합동인 복수의 사각형이 꽉 들어차게 설치될 수 있음을 알 수 있다.

또한, 상기 뼈대에 의해 정다면체의 내부 공간에 상기 정다면체의 각 면을 연결하는 다양한 선과 면이 존재하게 되고, 또한 상기 내부 공간이 다수로 분할된다.

따라서, 면, 변, 꼭지점의 수와 면의 형상 및 꼭지점에 모인 면의 수 등, 정다면체의 외형을 관찰하는 것에 더하여, 상기 정다면체의 내부 공간을 보다 다양하게 고찰할 수 있다.

즉, 정다면체의 임의 꼭지점 간의 거리, 정다면체의 부피, 각 분할 공간의 부피 등을 구하는 학습을 더 실시할 수 있다.

따라서, 정다면체 교육시 보다 다양한 내용을 학습할 수 있으며, 이에 정다면체에 대한 이해도를 향상시킬 수 있는 효과가 있다.

도 1은 정다면체의 사시도,
도 2 내지 도 4는 뼈대를 갖춘 정사면체의 3가지 실시예의 구성 및 조립 설명도,
도 5는 뼈대를 갖춘 정육면체의 구성 및 조립 설명도,
도 6은 뼈대를 갖춘 정팔면체의 구성 및 조립 설명도,
도 7은 뼈대를 갖춘 정십이면체의 구성 및 조립 설명도,
도 8은 뼈대를 갖춘 정이십면체의 구성 및 조립 설명도이다.

이하, 본 발명의 실시예를 첨부된 예시도면을 참조하여 상세히 설명한다.

도 1은 정다면체들의 사시도로서, (a)는 4면이 합동인 정사면체, (b)는 6면이 합동인 정육면체, (c)는 8면이 합동인 정팔면체, (d)는 12면이 합동인 정십이면체, (e)는 20면이 합동인 정이십면체이다.

상기 정사면체와 정팔면체와 정이십면체는 면의 형상이 정삼각형이고, 상기 정육면체는 면의 형상이 정사각형이며, 상기 정십이면체는 면의 형상이 정오각형으로 이루어져 있다.

본 발명은 정다면체의 내부에 사각형의 판재로 이루어진 구조물(이하, 뼈대로 지칭한다.)이 구비된 것을 특징으로 한다.

상기 뼈대가 외부에서 보일 수 있어야만 하므로 상기 정다면체는 투명한 판재로 제작되거나, 또는 모서리 부분만 선형재료(금속, 플라스틱, 나무 재질의 막대로 구성하고 면 부분은 뚫려 있는 형태)로 제작할 수 있다.

이제 각 정다면체의 내부에 다양한 구조의 뼈대를 설치한 실시예들을 살펴 본다.

도 2는 정사면체(10)의 내부에 1장의 정사각형 판재(11)가 설치된 실시예이다.

상기 정사각형 판재(11)는 네 꼭지점이 정사면체(10)의 각 모서리의 중심점에 위치되고, 네 변이 정사면체(10)의 각 면에 밀착된다.

상기 정사각형 판재(11)가 상기와 같은 상태로 설치됨으로써 상기 정사면체(10)의 내부공간은 상기 정사각형 판재(11)를 기준으로 상호 90°틀어진 합동의 공간으로 2등 분할된다.

도 3은 정사면체(10)의 내부에 2장의 정사각형 판재(11,12)가 내장된 실시예로서, 각 정사각형 판재(11,12)는 하나의 꼭지점과 정사각형의 중심 사이에 판재의 두께와 동일한 폭을 가지는 슬릿(11a,12a)이 형성된다.(본 발명에서 모든 판재의 두께는 동일하고, 모든 슬릿은 판재가 끼워질 수 있도록 판재와 두께와 동일한 폭을 갖는다.)

그리고, 상기 두 정사각형 판재(11,12)가 각각 상대방의 슬릿(11a,12a)에 삽입되어 결합되는데, 두 정사각형 판재(11,12)는 상호 90°틀어진 직교 상태가 된다.

상기와 같은 구조의 뼈대가 정사면체(10)의 내부에 내장된다. 이 경우에도 각 정사각형 판재(11,12)의 꼭지점은 모두 정사면체(10) 모서리의 중심점에 위치되고, 각 변은 정사면체(10)의 각 면에 밀착된다.

상기 직교하는 두 정사각형 판재(11,12)에 의해 정사면체(10)의 내부공간은 4분할된다.

도 4는 상호 직교하는 상태로 교차 결합된 3장의 직사각형 판재로 이루어진 뼈대가 정사면체(10)의 내부에 설치된 경우이다.

실제로 3장의 직사각형 판재를 상호 직각인 상태로 교차 결합하는 것은 불가능하므로 1장의 직사각형 판재는 대각선을 따라 완전히 분할되어 2장의 직각삼각형 판재로 제작되어 사용된다.

각 판재의 형상을 설명한다.

1장의 정사각형 판재(13)에는 서로 마주보는 두 꼭지점을 연결하는 선 즉, 대각선을 따라 일측 꼭지점으로부터 정사각형의 중심점을 지나는 슬릿(13a)이 형성된다. 상기 슬릿(13a)의 내측 단부(판재의 내부에 위치하는 단부)는 정사각형의 중심점과 타측 꼭지점 사이의 중간 부분에 위치된다.

또 다른 1장의 정사각형 판재는 전술한 바와 같이 대각선을 따라 완전히 분할되어 2장의 직각삼각형 판재(14,15)로 분할된다.

상기 직각삼각형 판재(14,15)는 각각 빗변의 중심점으로부터 그 빗변과 마주보는 꼭지점을 연결하는 선이 일부 절개되어 슬릿(14a,15a)이 형성된다.

상기 슬릿(14a,15a)의 내측 단부는 빗변의 중심과 대응 꼭지점 사이의 중간 부분에 위치된다.

한편, 마지막 1장의 정사각형 판재(16)는 세 꼭지점으로부터 정사각형의 중심을 향하여 절개된 슬릿(16a,16b,16c)이 형성된다.

상기 슬릿(16a,16b,16c)들의 내측 단부는 꼭지점과 정사각형의 중심 사이 길이의 중간 부분에 위치된다.

상기 2장의 정사각형 판재(13,16)와 2장의 직각삼각형 판재(14,15)는 다음과 같이 결합된다.

먼저 세 꼭지점 부위에 슬릿(16a,16b,16c)이 형성된 정사각형 판재(16)를 중심에 수평으로 배치하고, 이어 반대쪽에 슬릿이 형성되지 않은 슬릿(16b)에 다른 하나의 정사각형 판재(13)의 슬릿(13a)을 맞추어 수평인 상기 정사각형 판재(16)에 대해 상호 90°엇갈린 상태(직각인 상태)로 결합한다. 즉, 상기 13번 정사각형 판재는 수직 상태로 결합된다.

이후, 상기 수평의 정사각형 판재(16)에서 상기 수직 정사각형 판재(13)의 양쪽 방향에 위치한 상기 나머지 두 슬릿(16a,16c)에 각각 직각삼각형 판재(14,15)의 슬릿(14a,15a)을 맞추어 상기 수평 정사각형 판재(16)에 대해 직각인 상태로 결합한다.

상기 직각삼각형 판재(14,15)들의 빗면은 상기 수직인 정사각형 판재(13)의 양측면에 맞닿아 상기 수평 정사각형 판재(16) 및 수직 정사각형 판재(13)에 대해 모두 직각인 또 다른 정사각형 판재를 구성하게 된다.

따라서, 상기 뼈대는 결과적으로 3장의 정사각형 판재가 상호 직각인 상태에서 대각선 방향으로 결합된 구조를 이룬다.

상기 뼈대는 도시된 바와 같이(도 4의 (d)) 모든 꼭지점이 정사면체의 각 모서리 중심점에 위치하는 상태로 정사면체의 내부에 설치될 수 있다.

상기와 같은 뼈대를 갖춘 정사면체를 보고, 3장의 정사각형 판재가 대각선 방향으로 상호 직교하는 구조로 이루어진 뼈대가 정사면체 내부에 꽉 들어차게 설치될 수 있다는 것을 알 수 있다.

또한, 상기 뼈대에 의해 정사면체의 내부 공간이 육면체 4개(정사면체의 꼭지점 부분에 위치)와, 4면체 4개(정사면체의 모서리 중심을 연결하는 삼각형 부분에 위치)로 이루어진 8개의 조각으로 분할되는 것을 확인할 수 있다.

한편, 상기 뼈대의 오목한 부분을 모두 메우면 합동인 정삼각형 8개로 이루어진 정팔면체가 됨을 알 수 있는 바, 정사면체의 내부에 정팔면체의 각 꼭지점이 상기 정사면체의 모서리 중심에 위치하도록 꽉 들어찬 상태로 설치될 수 있음을 확인할 수 있다.

또한, 정사면체의 모든 면을 지나면서 제자리로 돌아오는 최소 거리는 바로 상기 정사면체의 내부에 내장된 정팔면체에서 그 정팔면체를 구성하는 정사각형 판재의 둘레와 같음을 알 수 있다.

도 5는 정육면체의 내부에 뼈대가 설치된 실시예를 도시한 것으로, 정육면체의 뼈대는 3장의 정사각형 판재가 상호 중심선 방향으로 교차 결합하여 이루어진다.

상기 정육면체의 뼈대를 구성하기 위한 정사각형 판재들의 슬릿은 다음과 같이 형성된다.

하나의 정사각형 판재(21)에는 중심선을 따라 즉, 일측 변의 중심으로부터 마주보는 변의 중심을 향해 절개된 슬릿(21a)이 형성되되, 상기 슬릿(21a)의 개방되지 않은 단부(도면의 우측 단부)는 상기 중심선의 중심으로부터 마주보는 변까지 거리의 중간지점에 위치된다.

또 다른 정사각형 판재는 중심선(서로 마주보는 양쪽 변의 중심점을 연결하는 선)을 따라 완전히 절단되어 2장의 직사각형 판재(22,23)가 구성되고, 상기 직사각형 판재(22,23) 각각의 일측 장변 중심으로부터 마주보는 장변의 중심을 향해 장변과 장변 사이 거리의 절반이 절개되어 각각의 슬릿(22a,23a)이 형성된다.

나머지 하나의 정사각형 판재(24)는 한 변을 제외한 나머지 세변의 중심으로부터 정사각형의 중심을 향해 변과 정사각형의 중심 사이 거리의 반이 절개되어 3개의 슬릿(24a,24b,24c)이 형성된다.

상기 정사각형 및 직사각형 판재(21,22,23,24)들의 결합은, 3변의 중심에 슬릿(24a,24b,24c)이 형성된 정사각형 판재(24)를 수평으로 배치하고, 상기 정사각형 판재(24)의 슬릿 중 대응하는 변 쪽에 슬릿이 형성되지 않은 슬릿(세 슬릿 중 가운데 위치한 슬릿;24b)에 중심선을 따라 길게 하나의 슬릿(21a)이 형성된 정사각형 판재(21)의 상기 슬릿(21a)을 맞추어 상호 직각 교차 상태로 결합한다.

이후, 상기 수직으로 배치된 정사각형 판재(21)의 양쪽에서 상기 수평 정사각형 판재(24)의 양쪽 슬릿(24a,24c)에 상기 직사각형 판재(22,23)의 슬릿(22a,23a)을 맞추어 상호 직각 교차 상태로 결합한다.

결과적으로 상기와 같이 조립된 뼈대는 3장의 정사각형 판재가 상호 직교하는 상태로 중심선을 따른 방향으로 결합된 형태를 갖는다.

상기 정육면체의 뼈대는 각 꼭지점이 정육면체의 각 모서리의 중심에 위치하는 상태로 꽉 들어차게 내장될 수 있다. 상기 뼈대의 각 모서리는 정육면체의 면에 밀착된다.

상기와 같은 뼈대가 내장된 경우, 정육면체의 내부공간은 합동인 8개의 정육면체로 분할됨을 알 수 있다.

즉, 정육면체는 합동인 3장의 정사각형 판재로 8등 분할할 수 있음을 알 수 있다.

한편, 도 6은 뼈대가 내장된 정팔면체를 도시한 것으로, 이 경우의 뼈대는 합동인 직사각형 판재 3장이 상호 직각으로 교차하는 상태로 결합된다.

그 중 두 장의 직사각형 판재(31,32)에는 서로 마주보는 양쪽 단변의 중심을 잇는 중심선(직사각형의 장방향 중심선)을 따라 다른 직사각형 판재가 관통될 수 있는 길이를 가진 슬릿(31a,32a)이 형성된다.

상기 슬릿(31a,32a)은 상기 직사각형 판재(31,32)와 중심 위치가 동일하게 형성된다.

나머지 한 장의 직사각형 판재(33)에는 상기 장방향 중심선을 따라 슬릿(33a)이 형성되되, 상기 슬릿(33a)의 일측 단부는 직선으로 연장되어 인접한 쪽의 단변 쪽으로 개방되어 있다.

따라서, 양단이 막힌 관통형 슬릿(32a)이 형성된 직사각형 판재(32)를 수평으로 배치하고, 상기 수평 직사각형 판재(32)의 슬릿(32a)에 또 다른 양단이 막힌 관통형 슬릿(31a)이 형성된 직사각형 판재(31)를 수직으로 삽입한 후, 나머지 하나의 직사각형 판재(33)의 슬릿(33a)에 상기 수평 직사각형 판재(32)의 장변이 삽입되도록 하면서 상기 직사각형 판재(33) 자신도 상기 수직의 직사각형 판재(31)의 슬릿(31a)으로 삽입되도록 한다.

이로써 합동인 직사각형 판재(31,32,33) 3장이 상호 직각으로 교차하는 상태로 결합이 이루어진다.

상기 직사각형 판재(31,32,33)는 정팔면체(30)의 내부에 존재하는 가상의 3개의 직교하는 정사각형과 각각 동일 평면상에 설치된다.(정팔면체의 모서리중 동일 평면상의 모서리를 연결하면 정사각형이 된다.)

또한, 상기 직사각형 판재(31,32,33)의 꼭지점이 정팔면체(30)의 모서리를 황금비로 분할한 분할점에 위치되도록 상기 직사각형 판재(31,32,33)들의 장변과 단변의 길이를 정할 수 있다.

상기와 같이 상기 직사각형 판재(31,32,33)들의 장변과 단변의 길이를 정한 경우, 상기 직사각형 판재(31,32,33)들이 상호 직각으로 교차하여 형성된 뼈대의 꼭지점을 모두 연결하면 정이십면체가 됨을 알 수 있다.

즉, 정팔면체(30)의 각 모서리를 황금비로 나누고 그 점을 모두 연결하면 정이십면체가 됨을 알 수 있고, 이로써 정팔면체(30)의 내부에 정이십면체를 꽉 들어차게 설치할 수 있음을 알 수 있다.

도 7과 도 8은 각각 정십이면체(40)와 정이십면체(50)의 내부에 서로 합동인 직사각형 판재 3장이 상호 직교하는 상태로 결합된 뼈대가 내장된 실시예이다.

상기 정십이면체(40)와 정이십면체(50)에 내장되는 뼈대의 경우도 직사각형 판재 3장을 상호 직교하도록 결합하기 위하여 각각의 판재에 형성되는 슬릿의 형상은 도 6의 정팔면체(30)의 뼈대를 이루는 직사각형 판재(31,32,33)의 경우와 동일하다.

즉, 중심선에 관통형 슬릿(41a,42a;51a,52a)이 형성된 2장의 직사각형 판재(41,42;51,52)와, 상기 관통형 슬릿(41a,42a;51a,52a)의 일측면이 연장되어 단변쪽으로 개방된 개방형 슬릿(43a;53a)이 형성된 1장의 직사각형 판재(43,53)으로 이루어진다.

그 조립방법 또한 전술한 도 6의 경우와 같으므로 반복 설명은 생략한다.

도 7에 도시된 상기 정십이면체(40)의 경우, 12개의 정오각형으로 이루어지는데 서로 인접한 두 정오각형의 공유 모서리는 반대쪽에 동일한 조건(서로 인접한 두 정오각형의 공유 모서리)의 모서리를 가진다.

따라서, 합동인 직사각형 판재(41,42,43)의 단변의 길이를 정이십면체(40)의 모서리의 길이 즉, 정십이면체(40)를 구성하는 정오각형의 한 변의 길이와 같게 하고, 장변의 길이를 정십이면체(40)에서 서로 마주보는 모서리 사이의 길이와 같게 하면, 정십이면체(40)의 내부에 합동인 3장의 직사각형 판재(41,42,43)로 이루어진 뼈대를 꽉 들어차게 설치할 수 있음을 알 수 있다.

한편, 도 8에 도시된 정이십면체(50)는 정삼각형 20개가 모여 이루어진 것으로, 꼭지점의 수는 12개이며, 임의의 모서리에 대해 맞은편에 동일한 모서리가 존재함을 알 수 있다.

따라서, 서로 합동인 직사각형 판재(51,52,53)을 서로 직교하는 상태로 결합하여 뼈대를 만들었을때 그 뼈대 또한 꼭지점의 수가 12(직사각형의 꼭지점 4 × 판재의 수 3)이고, 모서리도 반드시 마주하는 모서리가 존재하므로 상기 정이십면체(50)의 내부에도 합동인 직사각형 판재(51,52,53) 3장으로 구성된 상기 뼈대를 꽉 들어차게 설치할 수 있음을 알 수 있다.

한편, 상기 직사각형 판재(51,52,53)의 단변은 정이십면체(50)의 한 변(모서리)의 길이와 동일하게 할 수 있다. 이 경우, 상기 3장의 직사각형 판재(51,52,53)로 이루어진 뼈대의 모든 꼭지점을 연결한 선은 정이십면체(50)의 모든 모서리에 각각 일치함을 알 수 있다. 즉, 상기 뼈대의 꼭지점을 연결하여 이루어진 입체도형과 정이십면체 양자의 모서리 간에 짝을 이루지 않고 남거나 모자라는 모서리가 존재하지 않으며, 양자가 정확히 일치될 수 있는 것이다.

즉, 서로 합동인 직사각형 판재(51,52,53)의 꼭지점을 연결하여 정이십면체를 만들 수 있음을 알 수 있다.

또한, 상기와 같이 만들어진 정이십면체가 정팔면체의 내부에 꽉 들어차게 설치될 수 있음은 도 6에 관한 기재에서 이미 설명한 바 있다.

10 : 정사면체 11,12,13,16 : 정사각형 판재
14,15 : 직각삼각형 판재 11a,12a,13a,14a,15a,16a,16b,16c : 슬릿
20 : 정육면체 21,24 : 정사각형 판재
22,23 : 직사각형 판재 21a,22a,23a,24a,24b,24c : 슬릿
30 : 정팔면체 40 : 정십이면체
50 : 정이십면체 31,32,33,41,42,43,51,52,53 : 직사각형 판재
31a,32a,33a,41a,42a,43a,51a,52a,53a : 슬릿

Claims (1)

1. 내부가 보이는 정다면체와;
   판재로 이루어져 상기 정다면체의 내부에 설치된 뼈대;
   를 포함하며,
   상기 정다면체는 정십이면체이고,
   상기 뼈대는 장방향 중심선에 관통형 슬릿이 형성된 두 장의 직사각형 판재와,
   장방향 중심선을 따라 일측 단부가 개방된 개방형 슬릿이 형성된 한 장의 직사각형 판재를 포함하고,
   상기 관통형 슬릿이 형성된 두 장의 직사각형 판재중 하나의 판재가 다른 하나의 판재에 형성된 관통형 슬릿에 직각으로 삽입되고, 상기 삽입된 직사각형 판재의 관통형 슬릿에 상기 개방형 슬릿이 형성된 직사각형 판재가 직각으로 삽입되며,
   상기 직사각형 판재들의 단변이 상기 정십이면체의 모서리에 맞닿고, 상기 직사각형 판재들의 단변의 길이와 상기 정십이면체의 모서리의 길이가 동일한 것을 특징으로 하는 정다면체 학습 교구.

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