KR101061368B1 - 델타형 다중 입출력 상태공간 모델인식 시스템 및 모델인식 방법 - Google Patents

델타형 다중 입출력 상태공간 모델인식 시스템 및 모델인식 방법 Download PDF

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Abstract

본 발명은 다중 입출력 상태공간 모델 인식 시스템 및 방법에 관한 것으로, 소정의 샘플링 시간을 갖는 급속처리 제어장치; 상기 공정장치 주파수의 유사-랜덤 이진신호의 최소주기를 확장하는 입력신호를 생성하는 입력신호 생성기; 상기 입력신호의 입력을 통한 상기 급속처리 제어장치의 출력 데이터를 전처리하고, ARX 모델의 매개변수를 추정하여 델타형 다중 입출력 상태공간 모델을 결정하는 모델인식기를 포함한다.
이와 같은 발명을 제공하면, 이와 같은 발명을 제공하면, 짧은 샘플링 주기를 필요로 하는 급속 공정장치의 공정모델을 결정하는데 있어서 공정을 효과적으로 여기 시킬 수 있는 입력신호를 생성하고, 적은 양의 공정데이터로도 수치적으로 안정하며 정확하게 매개변수를 추정하는 모델인식 시스템을 구축할 수 있으며, 이를 통해 최소의 균형 잡힌 델타형 다중 입출력 상태공간 모델을 계산하고 그 성능을 평가할 수 있다.
특히, 본 발명에 따른 모델인식 시스템 및 방법은 추정할 매개변수 수의 증가 없이 효과적으로 시간지연을 모델에 반영할 수 있게 된다.
모델인식, 매개변수 추정, 급속 열처리, ARX, 델타형 모델인식, 공정시간

Description

델타형 다중 입출력 상태공간 모델인식 시스템 및 모델인식 방법{IDENTIFICATION SYSTEM FOR DELTA MULTI INPUT AND MULTI OUTPUT STATE SPACE MODEL, AND THEREOF METHOD}
본 발명은 공정의 모델인식 시스템 및 인식방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 짧은 샘플링 시간을 갖는 급속 처리공정의 다중 입출력 상태공간 모델인식 시스템 및 모델인식 방법에 관한 것이다.
급속 열처리장치는 실리콘 웨이퍼를 빠른 시간 내에 원하는 온도까지 상승시킨 후, 풀림(annealing), 산화막 형성(oxidation), 질화막 형성(nitridation) 등의 가공을 짧은 시간 내에 수행하기 위한 반도체 가공장치로 실리콘 웨이퍼 생산 및 반도체 공정에서 많이 사용되고 있다. 기존의 노(furnace)에서 이러한 웨이퍼 가공 공정을 수행하는 경우, 고온상태에서 웨이퍼가 장시간 노출됨에 따라 도판트(dopant)들의 과도촉진확산(transient enhanced diffusion)이 심각하게 나타나는 문제가 발생하게 된다.
현재 반도체 산업에서 반도체 선폭이 빠르고 지속적으로 줄어듦에 따라 과도 촉진확산의 허용 한계도 매우 낮아졌으며, 이로 인해 급속 열처리장치가 기존의 노공정의 대부분 대체하고 있는 실정이다.
급속 열처리장치의 운전에서 가장 중요한 것은 웨이퍼 표면의 온도를 균일하게 유지시키는 것이다. 일반적으로 급속 열처리장치는 사전에 정해진 온도 궤적을 따라 운전되는데, 웨이퍼 표면의 온도 균일도가 낮은 경우 웨이퍼의 휨 현상이 나타나게 된다. 이러한 웨이퍼의 휨 현상은 높은 온도 균일도를 위해 웨이퍼를 회전시키는 급속 열처리장치에서 위험한 상황을 초래할 수 있을 뿐만 아니라, 석판인쇄(lithography) 공정에서 형태 오차를 유발하는 중요한 원인이 되기도 한다.
한편, 8인치 웨이퍼에서는 웨이퍼 면적이 넓지 않고 비교적 선폭이 크기 때문에 허용되는 온도분포 편차가 여유가 있었으며, 이러한 요구사항을 다중 PID 제어만으로도 만족시킬 수 있었다.
그러나 12인치 웨이퍼에서는 넓어진 면적에 더하여 선폭도 미세해짐에 따라
허용 온도 분포 편차가 작아졌으며, 이로 인해 PID 제어만으로 높은 온도 균일도를 얻기 힘들게 되었다. 그 이유는 기존의 PID 제어는 일정한 설정 값을 잔류오차 없이 추종할 수 있지만, 되먹임(feedback) 제어의 특성상 시변(time-varying) 설정 값에 대해서는 오차를 보이기 때문이다. 이러한 PID 제어의 한계는 고속 풀림 공정과 같이 빠른 온도상승을 요구하는 공정의 경우, 더욱 큰 단점으로 작용한다.
따라서 현대의 급속 열처리장치에서는 기존의 PID 제어기술을 그대로 적용하기 힘들며, 시변 설정 값에 대해서도 높은 온도 균일도를 유지할 수 있는 모델기반의 고급제어기술이 요구되는 실정이다. 이러한 모델기반의 고급제어기법들은 모델 을 통해 공정의 출력을 예측하고, 이를 바탕으로 제어 오차를 최소화하는 공정입력을 계산하기 때문에, 그 성능은 공정모델의 정확성에 의해 결정된다.
그러므로 실제 공정의 거동을 잘 표현하는 정확한 모델을 결정하는 것은 매우 중요하다. 하지만 일반적으로 제어의 대상이 되는 시스템이 매우 복잡한 구조로 설계되어 있기 때문에, 대상 시스템의 동특성을 물리법칙을 통해 모델링 하기란 쉽지않다. 따라서 모델기반의 제어기 설계에서는 모델인식실험을 통해 경험적 공정모델을 결정하는 방법을 일반적으로 취한다.
실험적으로 공정모델을 얻기 위한 대표적인 방법은 1970년대 말에 Ljung에 의해서 일반화된 예측오차방법(prediction error method)과 1990년대 초에 제안된 부공간 모델인식 방법 (subspace identification method)이다. 이중 부공간 모델인식 방법은 비반복적인 방법을 사용하기 때문에 항상 수렴가능하며, QR과 특이치 분해만을 사용하기 때문에 수치적으로 안정하며 균형 잡힌(balanced) 다중 입출력 (MIMO; Multi Input Multi Output) 상태공간 모델을 찾아주는 특징을 갖는다.
Van Overschee와 DeMoor에 의한 N4SID가 가장 유명하며, 이들의 기여 이후 부공간 모델인식 방법의 이론과 적용에 대한 많은 연구가 수행되었다. 그러나 부공간 모델인식 방법은 닫힌 루프 데이터를 이용하는 경우 편의(biased)된 모델을 추정하기 때문에, 불안정하여 열린 루프 상태로 모델인식 실험을 할 수 없는 위험한 공정에 대해서는 모델인식이 어렵게 된다. 또한 최적화 개념에 의한 모델추정 방법이 아니기 때문에 동일한 정밀도의 모델을 얻기 위해서는 예측오차방법에 비해 많은 데이터가 필요하다는 단점을 지닌다.
한편, 매개변수화 (parametric) 방법을 대표하는 예측 오차방법은 기본적으로 단일 입출력 (SISO; Single Input Single Output) 또는 단일 입력 다중 출력 (SIMO; Single Input Multi Output) 모델을 대상으로 하며 예측오차를 최소화하는 모델 매개변수를 결정하기 때문에 적은 양의 측정 데이터로도 상대적으로 정확한 모델 매개변수를 구할 수 있다는 장점을 가진다.
따라서 모델인식 시스템 및 모델인식 방법은 불안정하여 열린 루프 상태로 모델인식 실험을 수행할 수 없는 공정의 모델인식에 있어서 닫힌 루프 상태의 모델인식 실험데이터를 이용하여 좋은 공정모델을 결정 가능하도록, 또한 적은 양의 입출력 데이터로도 상대적으로 정확한 공정모델을 결정 가능하도록 하기 위해 예측오
차방법의 한 종류로 개발될 필요가 있다.
그러나, 공정의 차수를 정확히 알기 어렵기 때문에 모델오류 (model mis-specification)가 발생하며 수치적으로 불안정해지는 문제가 있다. 공정모델의 차수가 실제 공정의 차수보다 작게 설정된 경우, 실제 공정의 거동을 잘 표현하는 모델을 결정하는 것은 불가능하다.
또한, 공정모델의 차수가 실제 공정의 차수와 동일하게 설정된 경우라도, 공정입력이 공정을 충분히 여기(exciting)시키지 못하면 공선성(collinearity)에 의한 불량조건(ill-conditioning)으로 시스템 매개변수 추정과정에서 발산하거나 잘못된 결과를 초래할 수 있다.
특히, 다중 입출력 공정은 풍부한 신호 정보를 갖도록 공정을 여기시키기 어렵기 때문에, 이로 인한 문제가 심각하다. 마지막으로, 공정모델의 차수가 실제 공 정의 차수보다 큰 경우, 유사-랜덤 이진신호(PRBS; pseudo random binary sequence)와 같이 다양한 주파수의 정보를 갖는 신호를 입력하더라도 공정입력과 출력사이의 상관관계로 인해 항상 공선성에 의한 문제가 발생하게 된다.
따라서 상기 모델오류로 인한 문제를 극복하며 수치적으로 안정하게 모델 매개변수를 추정하는 모델인식 시스템 및 모델인식 방법이 개발될 필요가 있다. 또한, 입출력 모델은 공정의 동특성을 정확하게 표현할 수 있는 구조로 설정되어야 하지만, 적은 양의 데이터로도 모델 매개변수를 정확하게 추정할 수 있도록 그 구조가 너무 복잡하지 않아야 한다.
한편, 현대의 컴퓨터는 모든 숫자를 0과 1의 조합인 이진법으로 표현하는데, 이러한 특성은 유효숫자의 절단에 의한 오차를 발생시키는 원인이 된다. 특히, 컴퓨터의 연산 비트(bit)수가 작은 경우, 이러한 오차는 더욱 크게 발생한다. 짧은 샘플링 시간을 주기로 공정을 제어하는 경우, 긴 샘플링 시간을 주기로 공정을 제어하는 경우에 비해 동일한 시간 동안 더 많은 제어동작의 계산을 수행하게 되며, 이로 인해 상기 컴퓨터의 유효숫자 절단에 의한 오차가 더욱 커지게 된다.
또한 이산시간 모델의 경우 샘플링 시간이 짧아짐에 따라, 전진이동연산자(forward shift operator)의 특성으로 인해 고유값(eigenvalue)이 단위원(unit circle)근처로 접근하게 되는데, 이로 인해 측정 잡음에 민감해지며 수치적으로 불안정해지는 문제가 발생한다.
급속 열처리장치는 웨이퍼 가열을 위한 조작변수로서 텅스텐-할로겐 (tunsten-halogen) 램프를 사용하며, 웨이퍼 온도측정을 위한 종속변수로서 고온계 (pyrometer)를 사용한다. 이때, 텅스텐-할로겐 램프의 열에너지가 복사에 의해 웨이퍼로 전달되기 때문에 조작변수의 변화가 종속변수의 변화에 나타나기까지 걸리는 시간을 의미하는 시간지연(time delay)이 발생하게 된다. 이러한 시간지연이 있는 경우, 이를 모델에 반영하기 위해 모델의 차수는 더욱 커져야 하며, 이로 인해 추정할 매개변수의 수가 증가하고 더욱 많은 공정의 입출력 데이터를 필요로 하게 된다.
더하여, 샘플링 시간이 짧아질수록 동일한 시간지연을 반영하기 위해 모델의 차수는 더욱 커져야 하므로, 시간지연을 갖는 공정은 샘플링 시간이 짧아질수록 심각한 모델차수가 증가한다는 문제점이 있다.
상술한 문제를 해결하기 위한 본 발명의 과제는 짧은 샘플링 시간에서도 수치적으로 안정하며 공정의 거동을 잘 표현하는 정확한 공정모델을 제작하기 위한 모델인식 시스템 및 모델인식 방법을 개발하는 것이다.
또한, 모델인식 시스템은 불안정하여 열린 루프 상태로 모델인식 실험을 수행 불가능한 공정에 대해서도 좋은 공정모델을 결정하기 위해, 닫힌 루프 상태의 모델인식 실험 데이터에서도 상대적으로 좋은 공정 모델을 결정 가능한 예측오차방법의 한 종류로 개발하는 것이다.
그리고, 모델인식 시스템을 통해 결정된 모델이 공정의 동특성을 충분히 포함할 수 있도록 모델의 차수는 고차로 설정되어야 하는데, 이로 인한 다중공선성의 문제를 해결할 수 있는 매개변수 추정방법이 개발되어야 하고, 짧은 샘플링 시간에서도 추정해야 하는 매개변수 수의 증가 없이 지연시간을 모델에 반영할 수 있도록 개발하는 것이다.
더하여, 다중 입출력 공정의 모델인식실험에 있어서 공정데이터가 공정에 대한 풍부한 신호 정보를 갖도록 하기 위해 공정을 효과적으로 여기 시키기 위한 입력신호의 생성 기술과 제작된 공정모델의 성능을 평가하기 위한 기술의 개발이 요구된다.
상술한 과제를 해결하기 위한 본 발명의 제1 특징은 소정의 샘플링 시간을 갖는 급속처리 제어장치; 기 공정장치 주파수의 유사-랜덤 이진신호의 최소주기를 확장하는 입력신호를 생성하는 입력신호 생성기; 및 상기 입력신호의 입력을 통한 상기 급속처리 제어장치의 출력 데이터를 전처리하고, ARX(auto regressive exogenous:이하 ARX라 한다) 모델의 매개변수를 추정하여 델타형 다중 입출력 상태공간 모델을 결정하는 모델인식기를 포함한다.
여기서, 상기 모델인식기를 통하여 생성된 모델의 출력과 상기 급속처리 제어장치의 출력을 비교하여 모델의 성능을 평가하는 모델평가기를 더 포함하는 것이 바람직하고, 상기 급속처리 제어장치는 급속 열처리장치인 것이 바람직하다.
또한, 상기 샘플링 시간(h)은,
Figure 112009022906338-pat00001
(여기서,
Figure 112009022906338-pat00002
는 공정의 시정수,
Figure 112009022906338-pat00003
는 공정의 샘플링 시간,
Figure 112009022906338-pat00004
는 공정의 시정수와 공정의 샘플링 시간의 비율이다.) 인 조건을 충족하는 것이 바람직하다.
본 발명의 제2 특징은 급속처리 공정의 상태공간 모델 인식방법에 있어서, (a) 입력신호 생성기가 입력신호를 생성하는 단계; (b) 상기 생성된 입력신호를 입력하고, 상기 공정으로부터 출력되는 데이터를 저장하는 단계; 및 (c) 상기 입출력 데이터를 이용하여 ARX(auto regressive exogenous) 모델의 매개변수를 추정하고 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 인식하는 단계를 포함한다.
또한, 상기 급속처리 공정의 샘플링 시간(h)은,
Figure 112009022906338-pat00005
(여기서,
Figure 112009022906338-pat00006
는 공정의 시정수,
Figure 112009022906338-pat00007
는 공정의 샘플링 시간,
Figure 112009022906338-pat00008
는 공정의 시정수와 공정의 샘플링 시간의 비율이다.)인 조건을 충족하는 것이 바람직하다.
더하여, 상기 (c) 단계는 상기 저장된 입출력 데이터를 전처리하는 단계;
상기 전처리된 입출력 데이터를 이용하여 고차 단일 입출력 ARX 모델의 매개변수를 추정하는 단계; 상기 고차 단일 입출력 ARX 모델을 고차 단일 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계; 상기 고차 단일 입출력 상태공간 모델을 다중 입출력 상태공간 모델로 결합하는 단계; 및 상기 다중 입출력 상태공간 모델을 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계를 포함하는 것이 바람직하다.
또한, 상기 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계는 상기 모델의 균형 실현화(balanced realization) 및 저차화(balanced truncation)을 이용하는 것이 바람직하고, 상기 매개변수를 추정하는 단계는 부분 최소자승회귀법 또는 최소자승법을 이용하는 것이 바람직하다.
본 발명의 제3 특징은 급속처리 공정의 상태공간 모델 인식방법에 있어서, (a) 입력신호 생성기가 입력신호를 생성하는 단계; (b) 상기 생성된 입력신호를 입력하고, 상기 공정으로부터 출력되는 데이터를 저장하는 단계; (c) 상기 입출력 데 이터를 이용하여 ARX 모델의 매개변수를 추정하고 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 인식하는 단계; 및 (d) 상기 인식된 모델의 출력과 상기 공정의 출력을 비교하여 상기 모델의 성능을 평가하는 단계를 포함한다.
여기서, 상기 급속처리 공정의 샘플링 시간은.
상기 샘플링 시간(h)은,
Figure 112009022906338-pat00009
(여기서,
Figure 112009022906338-pat00010
는 공정의 시정수,
Figure 112009022906338-pat00011
는 공정의 샘플링 시간,
Figure 112009022906338-pat00012
는 공정의 시정수와 공정의 샘플링 시간의 비율이다.)인 조건을 충족하는 것이 바람직하다.
그리고, 바람직하게는 상기 (c) 단계는 상기 저장된 입출력 데이터를 전처리하는 단계; 상기 전처리된 입출력 데이터를 이용하여 고차 단일 입출력 ARX 모델의 매개변수를 추정하는 단계; 상기 고차 단일 입출력 ARX 모델을 고차 단일 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계; 상기 고차 단일 입출력 상태공간 모델을 다중 입출력 상태공간 모델로 결합하는 단계; 및 상기 다중 입출력 상태공간 모델을 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계를 포함하는 것일 수 있다.
또한, 상기 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계는 상기 모델의 균형 실현화(balanced realization) 및 저차화(balanced truncation)를 이용하는 것이 바람직하고, 상기 매개변수를 추정하는 단계는 부분 최소자승회귀법 또는 최소자승법을 이용하는 것이 바람직하다.
이와 같은 발명을 제공하면, 짧은 샘플링 주기를 필요로 하는 급속 공정장치의 공정모델을 결정하는데 있어서 공정을 효과적으로 여기 시킬 수 있는 입력신호를 생성하고, 적은 양의 공정데이터로도 수치적으로 안정하며 정확하게 매개변수를 추정하는 모델인식 시스템을 구축할 수 있으며, 이를 통해 최소의 균형 잡힌 델타형 다중 입출력 상태공간 모델을 계산하고 그 성능을 평가할 수 있다.
특히, 본 발명에 따른 모델인식 시스템 및 방법은 추정할 매개변수 수의 증가 없이 효과적으로 시간지연을 모델에 반영할 수 있게 된다.
아래에서는 첨부한 도면을 참고로 하여 본 발명의 실시예에 대하여 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자가 용이하게 실시할 수 있도록 상세히 설명한다. 그러나 본 발명은 여러 가지 상이한 형태로 구현될 수 있으며 여기에서 설명하는 실시예에 한정되지 않는다.
그리고 도면에서 본 발명을 명확하게 설명하기 위해서 설명과 관계없는 부분
은 생략하였으며, 명세서 전체를 통하여 유사한 부분에 대해서는 유사한 도면 부호를 붙였다. 또한 어떤 부분이 어떤 구성요소를 “포함”한다고 할 때, 이는 특별히 반대되는 기재가 없는 한 다른 구성요소를 제외하는 것이 아니라 다른 구성요소를 더 포함할 수 있는 것을 의미한다.
또한, 도면들에 도시된 요소(element)들은 장치, 하드웨어, 소프트웨어 또는 이들의 조합으로 된 여러 형태로 실시될 수 있다. 본 발명의 실시예에 따른 급속 열처리장치는 최대 150 rpm으로 회전하는 12인치 웨이퍼(wafer)의 가공을 위한 두 개의 동일한 챔버(chamber)를 가지고 있다.(도시하지 않음)
챔버 벽면의 안쪽 표면은 최대 반사율을 위해 도금되어 있으며, 챔버 벽면의 온도는 벽면 안쪽을 순환하는 냉각수에 의해 조절된다. 한편, 본 발명의 실시예에 따른 급속 열처리장치에는 최대 0.7kw의 전구 형태의 텅스텐-할로겐 램프 220개가 10개의 동심원 모양으로 설치되어 있으며, 웨이퍼 가열을 위해 사용된다. 10개의 램프 그룹에 입력되는 전력은 독립적으로 조절 가능하며 조작변수의 역할을 한다. 또한, 웨이퍼 표면의 온도는 6개의 고온계(pyrometer)를 통해측정되며 종속변수의 역할을 한다.
본 발명의 실시예에 따른 급속 열처리장치는 웨이퍼 표면 전체에 걸쳐 높은 온도 균일도를 유지하는 것이 매우 중요하다. 일반적으로 급속 열처리장치 내 웨이퍼는 정해진 온도 궤적을 따라 가공되는데, 보통 상온에서 400℃까지 열린-루프 상태로 운전되며, 400℃에서 985℃까지 75℃/초의 속도로 온도를 상승시킨 후, 985℃에서 약 30초간 운전하고 온도를 하강시키게 된다. 이때, 985℃의 정상상태로 운전하는 휴지(休止, dwell) 구간뿐만 아니라, 75℃/초의 빠른 온도 상승구간에서 온도를 정밀하게 제어하기 위해 샘플링 시간이 매우 짧아져야 한다.
하지만 샘플링 시간이 짧아질 경우, 이산시간 모델은 전진이동연산자의 특성으로 인해 수치적으로 불안정해지는 특성을 지닌다. 모델기반의 제어기법들은 공정 모델의 수치적 안정성이나 정확성에 의해 그 성능이 좌우되므로, 정밀한 온도제어를 위해 정확하며 짧은 샘플링 시간에서도 수치적으로 안정하도록 모델을 찾아주는 것이 필요하다.
여기서, 본 발명의 실시예에서 짧은 샘플링 시간을 갖는 공정이란 다음의 식과 같이 정의된다.
Figure 112009022906338-pat00013
즉, 본 발명의 실시예에 따른 "짧은 샘플링 시간을 갖는 공정"이란 상기 수학식의 정의에 따라 공정의 시정수와 샘플링 시간의 비율인
Figure 112009022906338-pat00014
가 100보다 큰 공정을 말한다. 이하에서 "짧은 샘플링 시간을 갖는 공정"이라 함은 바로 이러한 조건을 충족하는 공정을 말한다.
그러므로, 본 발명의 델타형 다중 입출력 상태공간 모델인식 시스템 및 방법은 급속 열처리장치의 온도제어, 로봇의 움직임 제어 등 짧은 샘플링 시간을 갖는 공정에 대한 델타형 모델인식 시스템 및 그 인식방법이다.
본 발명의 실시예에서는 이상에서 짧은 샘플링 시간을 갖는 공정의 한 예로 급속 열처리장치의 특성을 토대로, 다음과 같이 급속 열처리장치의 델타형 다중 입출력 상태공간 모델의 모델인식 시스템을 예시한다.
상술한 바와 같이, 웨이퍼 표면의 균일한 온도제어를 위해 샘플링 시간이 짧 아져야 한다. 일반적으로, 짧은 샘플링 시간에서 델타연산자는 전진이동연산자보다 수치적으로 안정하다고 알려져 있다. 따라서, 본 발명의 실시예에서는 델타연산자를 도입함과 동시에 종래에 잘 알려진 기법들을 결합함으로써 급속 열처리장치의 델타형 다중 입출력 상태공간 모델의 모델인식 시스템을 개발하였다.
도 1은 본 발명의 실시예에 따른 급속 열처리장치의 델타형 다중 입출력 상태공간 모델의 모델인식 시스템을 나타낸다. 도 1에 도시한 바와 같이, 본 발명의 실시예에 따른 급속 열처리장치의 델타형 다중입출력 상태공간 모델의 모델인식 시스템은 급속 열처리장치(100), 입력신호 생성기(Input signal generator; 200), 모델인식기(300) 및 모델평가기(400)를 포함한다.
급속 열처리장치(100)는 웨이퍼 가열을 위한 텅스텐-할로겐 램프와 웨이퍼 온도 측정을 위한 고온계가 설치되어 있는 실제 모델인식의 대상이 되는 공정을 말한다. 본 발명의 실시예에 따른 급속 열처리장치(100)는 텅스텐-할로겐 램프에 입력되는 전력을 조작변수로 하고, 고온계를 통해 측정되는 온도를 종속변수로 하는 다중 입출력 공정이다.
입력신호 생성기(200)는 모델인식을 위한 상기 급속 열처리장치(100)의 입출력 데이터가 공정에 대한 풍부한 정보를 포함하도록 하기 위해, 입력신호 스펙트럼의 주파수대 영역이 급속 열처리장치(100)의 주파수 영역과 비슷하도록, 유사-랜덤 이진신호의 최소주기를 확장함으로써 입력신호를 생성한다.여기서, 유사-랜덤 이진신호는 0과 1로 이루어져 있으며, 백색잡음(white noise)과 비슷한 성질을 갖는다.
모델인식기(300)는 상기 입력신호 생성기(200)로부터 생성된 입력신호를 상 기 급속열처리장치(100)에 입력하였을 때 출력되는 공정의 입출력데이터를 이용하여 공정모델을 결정한다. 본 발명의 실시예에 따르면, 모델인식기(300)는 먼저 모델인식실험을 통해 얻어진 공정의 입출력데이터를 전처리하고, 부분 최소자승회귀를 이용하여 고차 단일 입출력 ARX모델의 매개변수를 추정한다. 한편, 얻어진 고차 단일 입출력 ARX모델을 고차 단일 입출력 상태공간 모델로 변형하고, 이를 다중 입출력 상태공간 모델로 결합한다.
마지막으로 상기 얻어진 다중 입출력 상태공간 모델을 균형 실현화(balanced realization) 및 저차화(balanced truncation)를 통해 차수를 감소시킴으로써, 최소의 균형 잡힌 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 변형한다. 모델평가기(400)는 상기 입력신호 생성기(200)로부터 생성된 입력신호를 상기 모델인식기(300)에 입력하며 모델의 출력을 저장하고, 이를 공정의 출력데이터와 비교함으로써 공정모델의 성능을 평가하는 역할을 수행한다.
도 2는 본 발명에 따른 델타형 다중 입출력 상태공간 모델의 모델인식 시스템의 모델인식 방법의 흐름도를 예시한 도면이다.
이하의 본 발명의 실시예는 도 1의 모델인식 시스템에 적용하여 모델인식 방법을 설명하기로 한다. 입력신호 생성기(200)가 유사-랜덤 이진신호의 최소주기를 확장함으로써 급속 열처리장치(200)에 입력할 입력신호를 생성하면(S100), 생성된 입력신호를 급속 열처리장치(100)에 입력하며, 공정출력을 측정 및 저장하는 모델인식 실험을 수행한다(S110).
모델인식 실험으로부터 급속 열처리장치(200)의 입출력데이터가 얻어지면, 모델인식기(300)가 얻어진 데이터에 포함되어 있는 이상치(outlier)를 제거하고, 입출력데이터의 편차를 취함으로써 편의(biased)된 변수를 제거하며, 표준편차로 나누어 정규화(normalization)함으로써 매개변수추정조건을 향상시키는 데이터의 전처리를 수행한다(S120).
급속 열처리장치(100)의 i번째 입력과 j 번째 출력 데이터의 전처리 과정을 수식으로 표현하면 다음의 [수학식 1]과 같다.
Figure 112009022906338-pat00015
여기서,
Figure 112009022906338-pat00016
와
Figure 112009022906338-pat00017
는 각각 입력신호 생성기(200)로부터 생성된 i 번째 입력신호와 생성된 입력신호를 급속 열처리장치(100)에 입력하였을 때 측정된 j 번째 공정출력을 저주파 필터(Low pass filter)를 통해 필터링(Filtering한 데이터이다. 이때, 저주파 필터의 차수는 모델의 차수와 동일하며 이득(GAin)이 1인 전달함수이다. 이러한 저주파 필터는 당업자라면 쉽게 알 수 있는 사항이므로 이하에서는 구체적인 설명은 생략한다.
한편, [수학식 1]에서
Figure 112009022906338-pat00018
와
Figure 112009022906338-pat00019
는
Figure 112009022906338-pat00020
와
Figure 112009022906338-pat00021
의 평균이며,
Figure 112009022906338-pat00022
와
Figure 112009022906338-pat00023
는 각 각
Figure 112009022906338-pat00024
와
Figure 112009022906338-pat00025
의 표준편차이다. p 와 q 는 각각 급속 열처리장치(100)의 입력과 출력의 수이다.
Figure 112009022906338-pat00026
와
Figure 112009022906338-pat00027
는 각각 상기 [수학식1]의 데이터 전처리를 통해 얻어진 급속열처리장치(100)의 i 번째 입력과 j 번째 출력의 데이터이다.
한편, 모델인식기(300)가 상기 전처리된 입출력 데이터를 이용하여 고차 단일 입출력 ARX모델의 매개변수를 추정한다(S130). 여기서, ARX모델은 비선형 회귀로 매개변수를 추정해야 하는 ARMAX(auto regressive moving average exogenous)모델과 달리, 간단한 선형 회귀방법으로 매개변수를 추정할 수 있으며 그 차수가 충분히 크면 ARMAX와 같은 복잡한 모델을 사용하지 않고도 실제 공정을 잘 표현할 수 있는 장점이 있다. i 번째 입력과 j 번째 출력 사이의 고차 단일 입출력 ARX모델은 다음과 같이 표현된다.
Figure 112009022906338-pat00028
여기서
Figure 112009022906338-pat00029
와
Figure 112009022906338-pat00030
는 [수학식1]로부터 얻어진 전처리된 i 번째 입력과 j 번째 출력의 데이터이며,
Figure 112009022906338-pat00031
은 모델의 차수를 나타낸다.
Figure 112009022906338-pat00032
는 시간지연을 나타내는 변수로 입력신호가 공정에 입력되었을 때, 출력에 변화가 나타날 때까지 걸린 시간을 의미한다.
Figure 112009022906338-pat00033
와
Figure 112009022906338-pat00034
는
Figure 112009022906338-pat00035
와
Figure 112009022906338-pat00036
사이의 관계식으로 정리된 상기 고차 단일 입출력 ARX모델의 매개변수이며,
Figure 112009022906338-pat00037
는 델타연산자로 다음의 [수학식3]과 같이 정의된다.
Figure 112009022906338-pat00038
여기서,
Figure 112009022906338-pat00039
는 전진이동연산자이며,
Figure 112009022906338-pat00040
는 샘플링 시간이다.
[수학식1]에 의해 처리된 i 번째 입력과 j 번째 출력의 데이터를 [수학식2]에 대입하고, 행렬식으로 재정리하면 다음의 [수학식4]와 같이 표현된다.
Figure 112009022906338-pat00041
여기서,
Figure 112009022906338-pat00042
은 측정되어 전처리된 입출력 데이터의 총 개수이며,
Figure 112009022906338-pat00043
는 [수학식2]의 i 번째 입력과 j 번째 출력 사이의 고차 단일 입출력 ARX모델의 매개변수를 원소로 포함하는 벡터이다.
Figure 112009022906338-pat00044
와
Figure 112009022906338-pat00045
는 i 번째 입력과 j 번째 출력의 데이터들로부터 계산되는 행렬이며, 상기 [수학식4]와 같이 계산된다. 본 발명의 실시예에 따르면, 상기 [수학식4]의 매개변수 벡터인
Figure 112009022906338-pat00046
를 추정하기 위해 부분 최소자승회귀를 사용하였다.
한편, [수학식2]의 고차 단일 입출력 ARX모델은 지연시간을 나타내는 변수
Figure 112009022906338-pat00047
가 포함된
Figure 112009022906338-pat00048
와
Figure 112009022906338-pat00049
사이의 관계식으로,
Figure 112009022906338-pat00050
와
Figure 112009022906338-pat00051
사이의 관계식으로 변형되어야 한다. 이와 같이 공정에 지연시간이 있는 경우, 이를 모델에 포함시키 기 위해서는 모델의 차수가 증가되어야 하며, 이로 인해 추정할 매개변수의 수가 증가하게 된다. 하지만 본발명의 실시예에 따르면, [수학식2]를 다음의 [수학식5]와 같이 정리함으로써 추정할 매개변수 수의 증가 없이 지연시간의 영향을 공정모델에 포함시킬 수 있다.
Figure 112009022906338-pat00052
여기서,
Figure 112009022906338-pat00053
와
Figure 112009022906338-pat00054
는
Figure 112009022906338-pat00055
와
Figure 112009022906338-pat00056
사이의 관계식으로 변형된, i 번째 입력과 j 번째 출력 사이의 고차 단일 입출력 ARX모델의 매개변수를 나타내며, 부분 최소자승회귀를 통해 추정된 [수학식4]의 매개변수 벡터
Figure 112009022906338-pat00057
로부터 계산된다. 이러한 [수학식2]의
Figure 112009022906338-pat00058
와
Figure 112009022906338-pat00059
사이의 고차 단일 입출력 ARX모델을 [수학식5]의
Figure 112009022906338-pat00060
와
Figure 112009022906338-pat00061
사이의 고차 단일 입출력 ARX모델로 변형하는 과정에 대해서는 뒤에서 자세히 설명하기로 한다.
한편, 모델인식기(300)가 상기 [수학식5]의 i 번째 입력과 j 번째 출력 사이의 고차단일 입출력 ARX모델을 다음의 i 번째 입력과 j 번째 출력 사이의 고차 단 일 입출력 상태 공간 모델로 변형한다.(S140)
Figure 112009022906338-pat00062
여기서
Figure 112009022906338-pat00063
는 i 번째 입력과 j 번째 출력 사이의 고차 단일 입출력 상태 공간 모델이며,
Figure 112009022906338-pat00064
는 상태(state)이다. 한편, 본 발명의 실시예에서는 고차 단일 입출력 상태공간 모델을 상기 [수학식6]과 같이 관찰가능한 표준형 상태공간 모델(Observable canonical state space model)로 표현하였다.
또한, 모델인식기(300)가 상기 얻어진 i 번째 입력과 j 번째 출력 사이의 고차 단일 입출력 상태공간 모델들을 다음의 [수학식7]과 같이 입출력 상태공간 모델로 결합한다.
Figure 112009022906338-pat00065
여기서,
Figure 112009022906338-pat00066
,
Figure 112009022906338-pat00067
,
Figure 112009022906338-pat00068
는 상기 [수학식6]의 고차 단일 입출력 상태공간 모델이며,
Figure 112009022906338-pat00069
와
Figure 112009022906338-pat00070
는 각각 급속 열처리장치(100)의 입력과 출력의 수이다. 한편,
Figure 112009022906338-pat00071
와
Figure 112009022906338-pat00072
는 각각 금속 열처리장치(100)의 입력과 출력을 원소로 갖 는 벡터이며,
Figure 112009022906338-pat00073
는 [수학식6]의 고차 단일 입출력 상태공간 모델의 상태들을 원소로 갖는 벡터이다.
공정입력을 제어하여 시스템의 상태를 임의로 조절할 수 있다면 그 시스템은 제어가능(controllable)하다고 하며, 측정된 출력으로부터 시스템의 상태를 결정할 수 있다면 그 시스템은 관찰가능(observable)하다고 한다. [수학식6]으로 표현된 i 번째 입력과 j 번째 출력 사이의 고차 단일 입출력 상태공간 모델
Figure 112009022906338-pat00074
은 제어가능하고 관찰가능한 상태만을 포함하는데, 이러한 상태공간 모델을 최소의 실현화(minimal realization)라고 한다.
하지만 이러한 고차 단일 입출력 상태공간 모델을 [수학식7]의 다중 입출력 상태공간 모델
Figure 112009022906338-pat00075
로 결합하면, 이 과정에서 제어불가능하거나 관찰불가능한 상태가 포함되는데, 이러한 상태공간 모델을 비최소의 현실화(non-minimal realization)라고 한다. 한편, 상기 다중 입출력 상태공간 모델로 결합하면서 제어가능성과 관찰가능성의 제기가 불균형되어 수치적으로 불안정한 상태가 된다.
따라서, 본 발명의 실시예에 따른 모델인식기(300)는 상기 [수학식7]의 다중 입출력 상태공간 모델을 균형 실현화와 균형 저차화를 통해 최소의 균형 잡힌 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 변형한다.(S160) 이러한 균형 실현화와 균형 저차화는 당업자라면 쉽게 알 수 있는 사항이므로 구체적인 설명은 생략한다.
최종적으로 모델평가기(400)가 입력신호 생성기(200)로부터 생성된 입력신호를 상기 모델인식기(300)에 의해 결정된 델타형 다중 입출력 상태공간 모델에 입력 하며 출력을 저장하고, 이를 급속 열처리장치(100)의 출력과 비교함으로써, 상기 델타형 다중 입출력 상태 공간 모델의 성능을 평가한다.(S170)
다음은 본 발명의 실시예에 따른 [수학식 2]의
Figure 112009022906338-pat00076
와
Figure 112009022906338-pat00077
사이의 고차 단일 입출력 ARX모델을 [수학식 5]의
Figure 112009022906338-pat00078
와
Figure 112009022906338-pat00079
사이의 고차 단일 입출력 ARX 모델로 변형하는 과정에 대하여 보다 상세하게 설명한다.
[수학식 3]의 델타연산자의 정의로부터 다음의 [수학식 8]을 유도할 수 있다.
Figure 112009022906338-pat00080
여기서,
Figure 112009022906338-pat00081
는 샘플링 시간이며,
Figure 112009022906338-pat00082
는 [수학식 3]에 의해 정의된 델타연산자이다. 또한
Figure 112009022906338-pat00083
는 [수학식 1]의 데이터 전처리를 통해 얻어진 급속 열처리장치(100)의
Figure 112009022906338-pat00084
번째 출력의 데이터이다. 상기 [수학식 8]의 양변에 상수행렬
Figure 112009022906338-pat00085
의 역행렬을 곱함으로써, 다음의 [수학식 9]를 유도할 수 있다.
Figure 112009022906338-pat00086
여기서, 상수행렬
Figure 112009022906338-pat00087
는 상기 [수학식 8]의 상수행렬과 동일하다. 한편, 상기 유도한 [수학식 8]과 [수학식 9]를 이용하여, [수학식 2]의 좌변을 다음의 식과 같이 정리할 수 있다.
Figure 112009022906338-pat00088
여기서,
Figure 112009022906338-pat00089
는 샘플링 시간이며,
Figure 112009022906338-pat00090
는 [수학식 3]에 의해 정의된 델타연산자이다. 또한,
Figure 112009022906338-pat00091
는 [수학식 1]의 데이터 전처리를 통해 얻어진 급속 열처리장치(100)의
Figure 112009022906338-pat00092
번째 출력의 데이터이다.
한편,
Figure 112009022906338-pat00093
은 모델의 차수를 나타내며,
Figure 112009022906338-pat00094
는 시간지연을 나타낸다. 상수행렬
Figure 112009022906338-pat00095
는 [수학식 9]로부터 유도되며, 행과 열의 수가 각각
Figure 112009022906338-pat00096
과
Figure 112009022906338-pat00097
인 정사각 행렬이다. 또한, 상수행렬
Figure 112009022906338-pat00098
은 행과 열의 수가 각각
Figure 112009022906338-pat00099
과
Figure 112009022906338-pat00100
인 행렬이며, [수 학식 8]의 상수행렬
Figure 112009022906338-pat00101
의
Figure 112009022906338-pat00102
행부터
Figure 112009022906338-pat00103
행까지와 1열부터
Figure 112009022906338-pat00104
열까지를 원소로 포함한다.
Figure 112009022906338-pat00105
은 상기 [수학식 10]의 행렬
Figure 112009022906338-pat00106
,
Figure 112009022906338-pat00107
,
Figure 112009022906338-pat00108
,
Figure 112009022906338-pat00109
로 부터 계산된다.
[수학식 10]을 이용하여 [수학식 2]를 정리하면 다음의 [수학식 11]과 같다.
Figure 112009022906338-pat00110
상기 [수학식 11]의 양변을
Figure 112009022906338-pat00111
로 나누고 기호를 다시 정의하면, [수학식 5]의
Figure 112009022906338-pat00112
번째 입력과
Figure 112009022906338-pat00113
번째 출력 사이의 고차 단일 입출력 ARX 모델이 된다. 즉, [수학식 5]의 매개변수
Figure 112009022906338-pat00114
,
Figure 112009022906338-pat00115
는 [수학식 11]의 매개변수
Figure 112009022906338-pat00116
,
Figure 112009022906338-pat00117
와 다음의 관계를 갖는다.
Figure 112009022906338-pat00118
이처럼, 본 발명에 따른 실시예에서는 전진이동연산자가 아닌 델타형 연산자를 이용하여 다중 입출력 상태공간 모델을 결정하고 평가하는 모델 인식 시스템 및 인식방법을 제안하고 있는데, 이하에서
Figure 112009022906338-pat00119
연산자의 특성 및 장점에 대해 구체적으로 설명하기로 한다.
도 3은 미분연산자를 이용한 연속시간 모델(a), 전진이동연산자를 이용한 이산시간 모델(b), 델타 연산자를 이용한 이산시간 모델(c)의 안정(stable)하기 위한 고유값(eigenvalue)의 위치를 복소평면에 도시한 그래프이다.
도 3의 (c)에 도시된 바와 같이, 델타연산자로 표현되는 이산시간 모델이 안정하기 위한 고유값의 영역은 중심이
Figure 112009022906338-pat00120
이고, 반지름이
Figure 112009022906338-pat00121
인 원이다. 여기서 샘플링 시간인
Figure 112009022906338-pat00122
가 작아질수록 델타연산자로 표현되는 이산시간 모델이 안정하기 위한 고유값의 영역이 복소평면의 허수축 왼쪽으로 넓어지는 것을 볼 수 있다.
즉, 샘플링 시간이 짧아질수록 델타연산자로 표현되는 이산시간 모델이 안정하기 위한 고유값의 영역은 도 3의 (a)에 도시된 연속시간 모델의 안정한 고유값 영역을 닮아가게 된다.
이러한 특성은 샘플링 시간이 짧아질수록 델타형 모델이 연속시간 모델을 닮아간다는 것을 뜻하는데, 이는 샘플링 시간이 짧아질수록 잡음에 민감해져서 수치적으로 쉽게 불안정해지는 이산시간 모델의 특성과 대조된다.
이하에서는 샘플링시간이 짧은 경우, 전진이동연산자로 표현되는 이산시간 모델은 수치적으로 불안정해지는 반면, 델타연산자로 표현되는 이산시간 모델 (델타형 모델)은 수치적으로 안정함을 보이는 시뮬레이션 결과이다.
다음의 [수학식 13]은 시정수가 5.91인 연속시간 공정모델을 나타낸다.
Figure 112009022906338-pat00123
여기서,
Figure 112009022906338-pat00124
와
Figure 112009022906338-pat00125
는 각각 공정입력과 출력이며,
Figure 112009022906338-pat00126
는 연속시간 모델의 상태이다. 다음의 [수학식 14]는 전진이동연산자를 이용하여 [수학식 13]의 연 속시간 모델을 0.054의 샘플링 시간을 갖는 이산시간 모델로 변형한 것이다.
Figure 112009022906338-pat00127
여기서,
Figure 112009022906338-pat00128
와
Figure 112009022906338-pat00129
는 각각 공정입력과 출력이며,
Figure 112009022906338-pat00130
는 전진이동연산자로 표현되는 이산시간 모델의 상태이다. 다음의 [수학식 15]는 [수학식 13]의 연속시간 모델을 0.054의 샘플링 시간을 갖는 델타형 모델로 표현한 것이다.
Figure 112009022906338-pat00131
여기서,
Figure 112009022906338-pat00132
와
Figure 112009022906338-pat00133
는 각각 공정입력과 출력이며,
Figure 112009022906338-pat00134
는 델타연산자로 표현되는 이산시간 모델의 상태이다.
Figure 112009022906338-pat00135
는 샘플링 시간이다.
한편, 상기 [수학식 15]로 표현되는 델타연산자를 이용한 이산시간 모델의 계수는 상기 [수학식 14]으로 표현되는 전진이동연산자를 이용한 이산시간 모델의 계수와 달리, 상기 [수학식 13]로 표현되는 연속시간 모델의 계수와 매우 유사함을 알 수 있다. 즉, 델타연산자를 이용한 이산시간 모델의 계수는 샘플링 시간이 짧아질수록 연속시간 모델의 계수를 닮아가기 때문에, 이로 인해 짧은 샘플링 시간에서도 수치적 안정성을 나타내게 된다.
도 4는 상기 [수학식 13]로 표현되는 연속시간 모델, 상기 [수학식 14]으로 표현되는 전진이동연산자를 이용한 이산시간 모델, 상기 [수학식 15]로 표현되는 델타연산자를 이용한 이산시간 모델의 계단응답을 나타낸 그래프로서, 32bit 프로 세서에서 계산이 수행되었다.
여기서, 32bit 프로세서는 도 3의 본 발명의 실시예에 따른 급속 열처리장치의 DSP보드 프로세서의 연산 비트(bit)수와 동일한 것으로서, 지수(exponent)를 8bit로 표현하며 가수(mantissa; 假數)를 24bit로 표현한다. 도 4에 보여진 것과 같이, 전진이동연산자를 이용한 이산시간 모델은 짧은 샘플링 시간에서 수치적으로 불안정하여 계단응답이 연속공정의 계단응답에서 벗어나게 된다. 반면, 델타연산자를 이용한 이산시간 모델은 짧은 샘플링 시간에서도 수치적으로 안정하며, 그 결과 계단응답이 연속 공정의 계단응답과 동일하게 출력됨을 볼 수 있다.
이러한 수치적 불안정성에 기인한 오차는 샘플링 시간이 짧아질수록 뚜렷해질 뿐만 아니라, 중앙처리장치의 연산 비트(bit)수가 작을수록 큰 문제가 된다. 현대의 컴퓨터를 비롯한 중앙처리장치는 모든 숫자를 0과 1의 조합인 이진법으로 표현하는데, 만약 연산비트수가 작아 표현 가능한 이진수의 자릿수가 제한되는 경우 주어진 숫자를 0과 1의 조합만으로 정확히 표현하는 것은 어렵게 되며, 일부 유효숫자가 절단되어 연산과정에서 주어진 숫자의 크기가 조금 바뀌게 된다. 이러한 현상을 유효숫자 절단에 의한 수치적 오차라 한다.
한편, 전진이동연산자로 표현되는 이산시간 모델은 샘플링 시간이 짧아질수록 고유값이 단위원 근처로 접근하는 특성을 지니므로, 이러한 유효숫자 절단에 의한 오차에 더욱 민감해지게 된다.
즉, 중앙처리장치의 연산 비트수가 작은 경우, 고유값의 크기를 정확히 표현하지 못해 유효숫자 절단에 의한 오차가 발생하게 되고, 이로 인해 고유값의 위치 가 조금 달라지는데, 이때 고유값이 단위원을 벗어나 불안정해지는 문제가 발생하게 된다. 이러한 문제는 중앙처리장치의 연산 비트수가 작아서 유효숫자 표시에 대한 정확도가 떨어지는 경우 더욱 심각하다.
현대의 고급 컴퓨터는 64bit 중앙처리장치를 사용하고 있지만, 본 발명의 실시예에 따른 급속 열처리장치를 비롯한 실제 제어시스템에서는 32bit 혹은 더 낮은 비트수의 연산처리장치를 사용하고 있기 때문에, 상기 전진이동연산자 이산시간 모델의 수치적 불안정성에 의한 문제는 더욱 심각하다.
이에 반해, 델타연산자로 표현되는 이산시간 모델(델타형 모델)은 도 1에 도시된 바와 같이, 샘플링 시간이 짧아질수록 안정한 고유값의 영역이 연속시간의 안정한 고유값의 영역으로 사상(mapping; 寫像)되므로, 전진이동연산자로 표현되는 이산시간 모델과 달리 유효숫자 절단에 의한 수치적 오차에 강건하게(robust) 된다.
이하는 임의의 2×3 공정(공정출력이 2개, 공정입력이 3개)인 다중 입출력 공정을 대상으로 본 발명에서는 제안한 모델인식 시스템의 성능을 검증하는 시뮬레이션 결과를 설명하기로 한다.
본 발명의 실시예에 따른 델타형 다중 입출력 상태공간 모델의 모델인식시스템 및 모델인식 방법은 다음의 [수학식 16]로 주어지는 가상공정을 대상으로 모델인식을 수행함으로써 그 성능이 검증된다.
Figure 112009022906338-pat00136
여기서,
Figure 112009022906338-pat00137
,
Figure 112009022906338-pat00138
은 공정출력이며,
Figure 112009022906338-pat00139
,
Figure 112009022906338-pat00140
,
Figure 112009022906338-pat00141
은 공정입력이다. 도 5는 상기 [수학식 16]으로 표현되는 가상공정의 공정입력
Figure 112009022906338-pat00142
,
Figure 112009022906338-pat00143
,
Figure 112009022906338-pat00144
에 각각 40초 동안 유사-랜덤 이진신호를 입력하였을때 나타나는 공정출력
Figure 112009022906338-pat00145
,
Figure 112009022906338-pat00146
의 변화를 도시한 그래프이다. 샘플링 시간은 0.008초이며, 각 입력과 각 출력마다 총 5000개의 데이터를 취득하여 나타낸 것이다.
도 5는 본 발명의 실시예에 따른 균형 실현화와 균형 저차화를 통해 최종적으로 최소의 균형 잡힌 델타형 다중 입출력 상태공간 모델을 얻고 공정의 출력과 비교한 그래프이다. 도 5에 나타낸 바와 같이, 모델의 성능을 평가하기 위해, 얻어진 델타형 모델의 세 번째 입력에 유사-랜덤 이진신호를 입력하며 모델 출력의 변화를 저장하고, 이를 공정의 출력과 비교하였다. 이때, 첫 번째와 두 번째 입력에는 0을 입력하였다.
도 6은 본 발명에 따른 모델 인식방법에 의해 인식된 모델의 성능을 검증하기 위해 유사-랜덤 이진신호와, 정규화된 모델의 출력과 정규화된 가상공정의 출력 을 비교한 그래프이다. 도 6의 결과로부터, 본 발명의 실시예에 따른 델타형 다중 입출력 상태공간 모델의 모델인식 시스템을 통해 결정된 델타형 모델이 공정의 거동을 매우 잘 표현하고 있음을 알 수 있다.
이상에서는 본 발명의 실시예에 대해서 설명하였으나, 이 외에도 여러가지 다양한 변경 및 변형이 가능하다. 예컨데, 본 발명의 실시예에서는 매개변수 추정을 위하여 부분 최소자승회귀법을 사용하였으나, 이외에도 최소자승법 등의 매개변수 추정방법을 사용할 수도 있다. 또한, 본 발명의 실시예에서는 고차 단일 입출력 상태공간 모델을 관찰가능한 표준형 상태공간 모델로 나타내었으나, 이외에도 제어가능한 표준형 상태공간 모델(controllable canonical state space model) 등의 상태공간 모델로도 나타낼 수 있다.
한편, 모델인식 실험을 위해 유사-랜덤 이진 신호를 사용한다고 하였으나, 이외에도 계단입력신호등의 입력신호를 사용할 수도 있다. 본 발명의 실시예에서는 단일 입출력 모델을 ARX 모델로 나타낸다고 하였으나, 이외에도 ARMAX 등의 입출력 모델로도 나타낼 수 있다.
한편, 이상에서 설명한 본 발명의 실시예는 장치 및 방법을 통해서만 구현이 되는 것은 아니며, 본 발명의 실시에의 구성에 대응하는 기능을 실현하는 프로그램 또는 그 프로그램이 기록된 매체를 통해 구현될 수도 있으며, 이러한 구현은 앞서 설명한 실시예의 기재로부터 본 발명이 속하는 기술분야의 전문가라면 쉽게 구현할 수 있는 것이다.
이상에서 본 발명의 실시예에 대하여 상세하게 설명하였지만 본 발명의 권리 범위는 이에 한정되는 것은 아니고, 다음의 청구범위에서 정의하고 있는 본 발명의 기본 개념을 이용한 당업자의 여러 변형 및 개량 형태 또한 본 발명의 권리범위에 속하는 것이다.
도 1은 본 발명의 실시예에 따른 급속 열처리장치의 델타형 다중 입출력 상태공간 모델의 모델인식 시스템을 나타낸 도면,
도 2는 본 발명에 따른 델타형 다중 입출력 상태공간 모델의 모델인식 시스템의 모델인식 방법의 흐름도를 예시한 도면,
도 3은 미분연산자를 이용한 연속시간 모델(a), 전진이동연산자를 이용한 이산시간 모델(b), 델타 연산자를 이용한 이산시간 모델(c)의 안정(stable)하기 위한 고유값(eigenvalue)의 위치를 복소평면에 도시한 그래프,
도 4는 연속시간 모델, 전진이동연산자를 이용한 이산시간 모델, 델타연산자를 이용한 이산시간 모델의 계단응답을 나타낸 그래프,
도 5는 본 발명의 실시예에 따른 균형 실현화와 균형 저차화를 통해 최종적으로 최소의 균형 잡힌 델타형 다중 입출력 상태공간 모델을 얻고 공정의 출력과 비교한 그래프,
도 6은 본 발명에 따른 모델 인식방법에 의해 인식된 모델의 성능을 검증하기 위해 유사-랜덤 이진신호와, 정규화된 모델의 출력과 정규화된 가상공정의 출력을 비교한 그래프이다.

Claims (14)

  1. 소정의 샘플링 시간을 갖는 급속처리장치;
    입력신호 스펙트럼의 주파수대 영역이 상기 급속처리장치의 공정 주파수 영역과 유사하도록 유사-랜덤 이진신호의 최소주기를 확장하여 상기 급속처리장치에 입력할 입력신호를 생성하는 입력신호 생성기;
    상기 입력신호 생성기에서 생성된 입력 데이터 및 상기 급속처리장치에 상기 입력 데이터를 입력하여 출력된 출력 데이터를 전처리하고, 상기 입출력 데이터에 대한 ARX(auto regressive exogenous) 모델의 매개변수를 추정하여 델타형 다중 입출력 상태공간 모델을 결정하는 모델인식기를 포함하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 시스템.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 모델인식기를 통하여 생성된 모델의 출력과 상기 급속처리장치의 출력을 비교하여 모델의 성능을 평가하는 모델평가기를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 시스템.
  3. 제1항 또는 제2항에 있어서,
    상기 급속처리장치는 급속 열처리장치인 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 시스템.
  4. 제1항 또는 제2항에 있어서,
    상기 샘플링 시간(h)은,
    Figure 112009022906338-pat00147
    (여기서,
    Figure 112009022906338-pat00148
    는 공정의 시정수,
    Figure 112009022906338-pat00149
    는 공정의 샘플링 시간,
    Figure 112009022906338-pat00150
    는 공정의 시정수와 공정의 샘플링 시간의 비율이다.)
    인 조건을 충족하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 시스템.
  5. 급속처리장치 공정의 상태공간 모델 인식방법에 있어서,
    (a) 입력신호 스펙트럼의 주파수대 영역이 상기 급속처리장치 공정 주파수 영역과 유사하도록 유사-랜덤 이진신호의 최소주기를 확장하여 상기 공정을 수행하는 상기 급속처리장치에 입력할 입력신호를 생성하는 단계;
    (b) 상기 입력신호의 데이터 및 상기 생성된 입력신호를 상기 급속처리장치에 입력하여 상기 급속처리장치로부터 출력되는 데이터를 저장하는 단계; 및
    (c) 상기 입출력 데이터에 대한 ARX(auto regressive exogenous) 모델의 매개변수를 추정하고, 상기 매개변수를 이용하여 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 인식하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 방법.
  6. 제5항에 있어서,
    상기 급속처리 공정의 샘플링 시간(h)은,
    Figure 112009022906338-pat00151
    (여기서,
    Figure 112009022906338-pat00152
    는 공정의 시정수,
    Figure 112009022906338-pat00153
    는 공정의 샘플링 시간,
    Figure 112009022906338-pat00154
    는 공정의 시정수와 공정의 샘플링 시간의 비율이다.)
    인 조건을 충족하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 방법.
  7. 제5항 또는 제6항에 있어서,
    상기 (c) 단계는 상기 저장된 입출력 데이터를 전처리하는 단계;
    상기 전처리된 입출력 데이터를 이용하여 고차 단일 입출력 ARX(auto regressive exogenous) 모델의 매개변수를 추정하는 단계;
    상기 고차 단일 입출력 ARX(auto regressive exogenous) 모델을 고차 단일 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계;
    상기 고차 단일 입출력 상태공간 모델을 다중 입출력 상태공간 모델로 결합하는 단계; 및
    상기 다중 입출력 상태공간 모델을 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 방법.
  8. 제7항에 있어서,
    상기 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계는 상기 모델의 균형 실현화(balanced realization) 및 저차화(balanced truncation)을 이용하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 방법.
  9. 제7항에 있어서,
    상기 매개변수를 추정하는 단계는 부분 최소자승회귀법 또는 최소자승법을 이용하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 방법.
  10. 급속처리장치 공정의 상태공간 모델 인식방법에 있어서,
    (a) 입력신호 스펙트럼의 주파수대 영역이 상기 급속처리장치 공정 주파수 영역과 유사하도록 유사-랜덤 이진신호의 최소주기를 확장하여 상기 공정을 수행하는 상기 급속처리장치에 입력할 입력신호를 생성하는 단계;
    (b) 상기 입력신호의 데이터 및 상기 생성된 입력신호를 상기 급속처리장치에 입력하여 상기 급속처리장치로부터 출력되는 데이터를 저장하는 단계;
    (c) 상기 저장된 입출력 데이터를 이용하여 ARX(auto regressive exogenous) 모델의 매개변수를 추정하고, 상기 매개변수를 이용하여 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 인식하는 단계; 및
    (d) 상기 인식된 모델의 출력과 상기 공정의 출력을 비교하여 상기 모델의 성능을 평가하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 방법.
  11. 제10항에 있어서,
    상기 급속처리 공정의 샘플링 시간은.
    상기 샘플링 시간(h)은,
    Figure 112009022906338-pat00155
    (여기서,
    Figure 112009022906338-pat00156
    는 공정의 시정수,
    Figure 112009022906338-pat00157
    는 공정의 샘플링 시간,
    Figure 112009022906338-pat00158
    는 공정의 시정수와 공정의 샘플링 시간의 비율이다.)
    인 조건을 충족하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 방법.
  12. 제10항 또는 제11항에 있어서,
    상기 (c) 단계는 상기 저장된 입출력 데이터를 전처리하는 단계;
    상기 전처리된 입출력 데이터를 이용하여 고차 단일 입출력 ARX(auto regressive exogenous) 모델의 매개변수를 추정하는 단계;
    상기 고차 단일 입출력 ARX(auto regressive exogenous) 모델을 고차 단일 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계;
    상기 고차 단일 입출력 상태공간 모델을 다중 입출력 상태공간 모델로 결합하는 단계; 및
    상기 다중 입출력 상태공간 모델을 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 방법.
  13. 제12항에 있어서,
    상기 델타형 다중 입출력 상태공간 모델로 변형하는 단계는 상기 모델의 균형 실현화(balanced realization) 및 저차화(balanced truncation)를 이용하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 방법.
  14. 제12항에 있어서,
    상기 매개변수를 추정하는 단계는 부분 최소자승회귀법 또는 최소자승법을 이용하는 것을 특징으로 하는 다중 입출력 상태공간 모델인식 방법.
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