KR100948721B1

KR100948721B1 - 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법 및오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크를 포함하는 장치

Info

Publication number: KR100948721B1
Application number: KR1020087004875A
Authority: KR
Inventors: 모하메드 에프. 맨소우어
Original assignee: 텍사스 인스트루먼츠 인코포레이티드
Priority date: 2005-07-29
Filing date: 2006-07-31
Publication date: 2010-03-22
Also published as: KR20080032639A; EP1913496A4; WO2007016445A2; US20070027679A1; WO2007016445A3; US7197453B2; EP1913496A2

Abstract

오버샘플링된 필터 뱅크(100)의 동작을 최적화하는 시스템 및 방법과, 이 시스템 또는 방법에 의해 설계된 오버샘플링된 이산 푸리에 변환(DFT) 필터 뱅크가 기술되어 있다. 일 실시예에서, 이 시스템은 (1) 오버샘플링된 필터 뱅크의 제1 윈도우에 기초하여 완벽 재구성 조건 행렬의 영 공간(null space)의 기저(basis)를 생성하도록 구성되어 있는 영 공간 발생기(null space generator), 및 (2) 기저 발생기와 연관되어 있고 또 오버샘플링된 필터 뱅크의 제2 윈도우를 구성하기 위해 영 공간 및 최적화 조건을 이용하도록 구성되어 있는 최적화기를 포함한다.

필터 뱅크, 오버샘플링된 이산 푸리에 변환, 최적화기, 영 공간

Description

오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법 및 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크를 포함하는 장치{SYSTEM AND METHOD FOR OPTIMIZING THE OPERATION OF AN OVERSAMPLED DISCRETE FOURIER TRANSFORM FILTER BANK}

본 발명은 일반적으로 디지털 필터에 관한 것으로서, 보다 상세하게는 오버샘플링된 이산 푸리에 변환(DFT) 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 시스템 및 방법에 관한 것이다.

변조 필터 뱅크(modulated filter bank)가 많은 신호 처리 응용(예를 들어, 데이터 압축 및 서브대역 적응 필터링)에서 기본적인 도구이었던 이유는, 이들이 신호 변환을 위해 공지의 이산 코사인 변환(DCT) 또는 이산 푸리에 변환(DFT)을 사용하여 다상 디지털 유한 임펄스 응답(FIR) 필터(polyphase digital finite impulse response filter)로서 효율적으로 구현될 수 있기 때문이다. 변조 필터 뱅크는 현재 사용 중인 가장 성공적인 신호 처리 방식들 중 하나인 MPEG(Moving Picture Experts Group) 표준(예를 들어, http://www.mpeg.org를 참조)을 비롯한 최근의 멀티미디어 표준에 채택되었다.

임계 샘플링된 변조 필터 뱅크(critically sampled modulated filter bank)는 일반적으로 서브대역 샘플의 처리가 계수의 양자화만을 필요로 하는 신호 압축 응용에 아주 적합한 것으로 판명되었는데, 그 이유는 그와 같은 최소의 처리량이 인접 대역들 간의 엘리어싱을 그다지 증가시키지 않기 때문이다. 그렇지만, 광범위한 서브대역 샘플 처리를 필요로 하는 응용, 예를 들어, 서브대역 적응 필터링(Haykin의 "Adaptive Filter Theory(적응 필터 이론)," 4th edition, Prentice Hall, 2002의 제7장 참조) 및 서브대역 동적 범위 압축(Brenna 등의 "A Flexible Interbank Structure for Extensive Signal Manipulations in Digital Hearing Aids(디지털 보청기에서의 광범위한 신호 처리를 위한 유연한 인터뱅크 구조)," IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), vol. 6, pp. 569-572(1998년) 참조)에 있어서, 오버샘플링은 엘리어싱을 완화시키는 데 필요하다.

변조 필터 뱅크는 통상 2개의 윈도우, 분석 윈도우(analysis window) 및 합성 윈도우(synthesis window)로 동작한다. 이들 윈도우의 상대적 배치 및 형상이 변조 필터 뱅크의 동작을 결정한다. Portnoff의 "Time-Frequency Representation of Digital Signal and Systems Based on Short-Time Fourier Analysis(단시간 푸리에 분석에 기초한 디지털 신호 및 시스템의 시간-주파수 표현)," IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. ASSP-28, No. 1, pp. 55-69(1980년 2월)(여기에 인용함으로써 그 전체 내용이 본 명세서에 포함됨)은 균일한 DFT 필터 뱅크에 대해 언급하고 있고 기술 분야에서 그에 대한 "완벽 재구성 조건(perfect reconstruction conditions)"이라고 알려져 있는 것을 기술하고 있다. (당업자라면 "완벽"이 기술 용어이고 구어체에서의 절대적 완벽을 의미 하지 않는다는 것을 잘 알 것이다.) Crochiere의 "A Weighted Overlap-Add Method of Short-Time Fourier Transform(단시간 푸리에 변환의 가중 중첩-가산 방법)," IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-28, No. 1, pp. 99-102(1980년 2월)은 합성 윈도우 중첩-가산 기술을 사용하여 DFT 필터 뱅크를 비교적 효율적으로 구현하는 것을 기술하고 있다. 그 후의 연구(예를 들어, Shapiro 등의 "Design of Filters for the Discrete Short-Time Fourier Transform Synthesis(이산 단시간 푸리에 변환 합성을 위한 필터 설계)," IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP)(1985년), Shapiro 등의 "An Algebraic Approach to Discrete Short-Time Fourier Transform Analysis and Synthesis(이산 단시간 푸리에 변환 분석 및 합성의 대수적 방법)," ICASSP, pp. 804-807(1984년), 및 Bolsckei 등의 "Oversampled FIR and IIR Filter Banks and Weyl-Heisenberg Frames(오버샘플링된 FIR 및 IIR 필터 뱅크 및 Weyl-Heisenberg 프레임)," ICASSP, Vol. 3, pp. 1391-1394(1996년))은 합성 윈도우의 설계를 언급하고 있다. 비록 합성 윈도우를 설계하는 것의 문제점이 비교적 오래된 것이지만, 이들 연구에 개시된 기술들은 보통 "최소 노옴(minimum-norm)" 해(solution)이었다. 예를 들어, 서브대역 샘플이 처리될 때, 그 문제를 최소-제곱 문제로 수식화한 후에, 상기한 Shapiro 등의 "Design of Filters...(...필터의 설계)" 및 Shapiro 등의 "An Algebraic Approach...(... 대수적 방법)" 둘다는 서로 다른 차수의 분석 윈도우에 대한 최소-노옴 해를 제안하였다. 상기한 Bolsckei 등의 문헌에서, 유사-일원 프로토타입(para-unitary prototype)을 사용하여 합성 윈도우를 설계하기 위한 프레임-이론 기법이 기술되었다.

그에 따라, 기술 분야에 오버샘플링된 DFT 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 더 나은 기술이 필요하다. 또한, 기술 분야에 이 기술에 의해 최적화되고 그에 의해 개선된 동작을 가져오는 DFT 필터 뱅크가 필요하다.

종래 기술의 상기한 결점을 해소하기 위해, 본 발명은, 한 측면에서, 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 시스템을 제공한다. 일 실시예에서, 이 시스템은 (1) 오버샘플링된 필터 뱅크의 제1 윈도우에 기초하여 완벽 재구성 조건 행렬의 영 공간(null space)의 기저(basis)를 생성하도록 구성되어 있는 영 공간 발생기(null space generator), 및 (2) 기저 발생기와 연관되어 있고 또 오버샘플링된 필터 뱅크의 제2 윈도우를 구성하기 위해 기저 및 최적화 조건을 이용하도록 구성되어 있는 최적화기를 포함한다.

다른 측면에서, 본 발명은 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법을 제공한다. 일 실시예에서, 이 방법은 (1) 오버샘플링된 필터 뱅크의 제1 윈도우에 기초하여 완벽 재구성 조건 행렬의 영 공간(null space)의 기저(basis)를 생성하는 단계, 및 (2) 오버샘플링된 필터 뱅크의 제2 윈도우를 구성하기 위해 기저 및 최적화 조건을 이용하는 단계를 포함한다.

또다른 측면에서, 본 발명은 오버샘플링된 DFT 필터 뱅크를 제공한다. 일 실시예에서, DFT 필터 뱅크는 (1) 오버샘플링된 필터 뱅크의 제1 윈도우에 기초하여 완벽 재구성 조건 행렬의 영 공간(null space)의 기저(basis)를 생성하는 단계, 및 (2) 제2 윈도우를 구성하기 위해 기저 및 최적화 조건을 이용하는 단계에 의해 설계된 제2 윈도우를 기술하는 계수들에 부분적으로 기초하여 출력 신호를 산출하기 위해 입력 신호를 처리하도록 구성되어 있는 복수의 저역 통과 필터를 포함한다.

이상에서 본 발명의 양호한 대안적인 특징들의 개요를 기술하였으며, 따라서 당업자라면 이하의 본 발명의 상세한 설명을 더 잘 이해할 수 있을 것이다. 본 발명의 청구항의 주제를 이루고 있는 본 발명의 부가적인 특징들은 이후에 기술될 것이다. 당업자라면 이들이 개시된 개념 및 특정의 실시예를 본 발명의 동일한 목적을 수행하기 위한 다른 구조를 설계 또는 수정하는 기초로서 즉시 사용할 수 있다는 것을 잘 알 것이다. 당업자라면 또한 이러한 등가 구성이 본 발명의 정신 및 범위를 벗어나지 않는다는 것도 잘 알 것이다.

도 1은 다운샘플링 인자(downsampling factor)가 필터 뱅크에서의 대역의 수보다 작고 본 발명의 원리들에 따라 구성된 오브샘플링된 필터 뱅크의 개략도.

도 2는 Kaiser 윈도우에 의한 윈도잉을 사용하여 설계된 2π/M의 차단 주파수를 갖는 0-위상 저역 통과 필터(zero-phase low pass filter)의 그래프를 나타낸 도면.

도 3은 도 2의 분석 윈도우에 대해 합성 윈도우의 다른 차수에 대한 재구성 평균-제곱 에러(reconstruction mean-square error)의 그래프를 나타낸 도면.

도 4는 최소-차수 합성 윈도우의 그래프를 나타낸 도면.

도 5a 및 도 5b는

에 대한 합성 윈도우 및 최소-노옴(minimum-norm) 합성 윈도우의 시간 및 주파수 응답을 각각 나타낸 도면.

도 6a 및 도 6b는

도 7a 및 도 7b는 사인파(sinusoid) 및 백색 잡음 템플릿(white noise template)에 대응하는 최소-제곱(least-square) 합성 윈도우를 각각 나타낸 도면.

도 8은 본 발명의 원리들에 따라 수행되는 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법의 일 실시예의 흐름도.

도 9는 반올림 해(rounding solution) 및 최소 양자화 에러 해(minimum quantization error solution)에 대한 재구성 SNR(signal-to-noise ratio, 신호대 잡음비)의 그래프를 나타낸 도면.

도 10은 DSP(digital signal processor, 디지털 신호 처리기)에 구현되고 본 발명의 원리들에 따라 구성된 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 시스템의 일 실시예의 블록도.

당업자라면 잘 아는 바와 같이 또 상기한 바와 같이, 오버샘플링된 필터 뱅크는 분석 윈도우와 합성 윈도우를 갖는다. 분석 윈도우는 보통 필터 뱅크가 사용될 용도와 관련한 하나 이상의 미리 정의된 기준을 만족시키도록 설계된다. 합성 윈도우는 거의 항상 분석 윈도우의 설계에 기초하여 설계된다. 분석 윈도우가 주어진 경우 합성 윈도우가 설계될 수 있는 새롭고 일반적인 정형화(formulation)가 본 명세서에 소개된다. 일반적인 정형화는 최적의 합성 윈도우 설계를 결정하기 위해 완벽 재구성 조건 행렬의 영 공간을 사용하고 한결같이 합성 윈도우의 "최소-노옴" 해와 관련되어 있는 종래의 기술과 뚜렷하게 대조를 이룬다. 합성 윈도우의 서로 다른 최적화 기준이 개시될 것이며, 서로 다른 최적화 조건의 명시적인 닫힌-형태의 해(explicit, closed-form solution)에 대해 기술된다.

본 명세서는 완벽 재구성 조건을 만족시키는 합성 윈도우 설계 기법에 초점이 맞추어져 있다. 프레임-이론 방법(frame-theoretic approach)보다는 상기한 Portnoff에 기술된 대수적 방법 및 상기한 Shapiro 등의 "... 필터의 설계"가 본 명세서에서 사용될 것인데, 그 이유는 이하에서 기술될 최적화 목적 함수(optimization objective function)를 더 잘 설명하기 때문이다.

오버샘플링은 서로 다른 방식으로 이용될 수 있는 추가의 자유도(degrees of freedom)를 산출한다. 상세하게는, 오버샘플링은 완벽 재구성 조건 행렬의 영이 아닌 영 공간을 생성할 수 있다. 이 영 공간은 완벽 재구성을 희생시키지 않고 서로 다른 기준의 목적 함수를 최적화하는 데 이용될 수 있다. 합성 윈도우 설계의 닫힌 형태의 해는 이하의 최적화 기준에 대해 기술된다.

1. 최소 지연(minimum delay) 설계. 최소 지연 설계는 합성 윈도우의 인과적 구현(causal implementation)의 최소 출력 지연(output lag)을 생성하고 최소의 계산 자원을 필요로 하는 최소-차수 필터(minimum-order filter)를 나타낸다.

2. 최소 대역외(minimum out-of-band) 설계. 최소 대역외 설계는 최상의 주파수 선택성을 생성한다.

3. 최소 제곱(least-square) 설계. 최소-제곱 설계는 주어진 템플릿에 가장 가까운 합성 윈도우를 생성한다.

4. 최소 양자화-에러(minimum quantization-error) 설계. 최소 양자화-에러 설계는 고정-소수점 구현에 대한 양자화 에러를 최소화시킨다.

완벽 재구성 조건에 대해 먼저 살펴본다. 이어서, 최소-노옴 해 및 완벽 재구성 조건 행렬의 영 공간의 기저를 사용하는 합성 윈도우에 대한 일반적인 최적화 모델에 대해 기술된다. 그 다음에, 다른 최적화 기준들이 기술되고 템플릿 저역 통과 분석 윈도우를 사용하는 기준들 각각에 대한 예가 제공된다.

최적화 모델

도 1은 다운샘플링 인자 D가 필터 뱅크에서의 대역(예를 들어, 110, 120, 130)의 수 M보다 작고 본 발명의 원리들에 따라 구성된 오버샘플링된 필터 뱅크(100)의 개략도를 나타낸 것이다. 필터 뱅크(100)는 소위 "완벽 재구성(PR) 필터 뱅크"이며, 이는 필터 뱅크(100)가 필터링 및 서브샘플링에 의해 입력 신호 X(z)(140)를 분해하고 이어서 영의 삽입, 필터링 및 합산에 의해 출력 신호

를 산출하도록 재구성하는 것으로 동작한다는 것을 의미한다. 일반적인 PR 필터 뱅크를 설명하기 위해, 예를 들어, http://cas.ensmp.fr/~chaplais/Wavetour_presentation/filtres/Perfect_Reconstru ction.html을 참조하기 바란다.

H(z) 및 F(z)가 프로토타입 분석 및 합성 필터를 (각각) 나타내는 경우, k번째 대역 분석 및 합성 필터는 다음과 같다.

이고,

이며,

즉,

이고

라고 가정할 때,

이고,

이다. 재구성된 신호

는 수학식 1의 형태를 갖는다.

여기서,

(단, 임)

이다.

상기한 Portnoff에 따르면, 완벽 재구성을 위한 필요 충분 조건은,

1. 완벽 재구성 조건:

(단, )

2. 엘리어싱 소거 조건:

(단, )

이다.

이하에서, 설명에 더 도움이 되는 다른 (그렇지만 등가의) 완벽 재구성 조건이 사용된다. 수학식 1 및 2로부터, 완벽 재구성 조건은 다음과 같이 도출될 수 있다.

이 조건은 다음과 같이 표현될 수 있다.

여기서,

(단,

)이고,

(단,

이고

)이며,

(단,

이고

)이며,

환언하면,

(단,

이고

)이다.

2개의 완벽 재구성 조건의 동치를 보여주는 것은 간단하다. 수학식 5로부터,

조건들 전체가 존재한다. (필터 엣지에서의) 이들 조건 중 일부는 종속적일 수 있다. 완벽 재구성 조건은 다음과 같이 행렬 형태로 될 수 있다.

여기서,

는 합성 윈도우이다.

는 조건 행렬(수학식 5의 조건들로부터 구성됨)이고,

이다.

유의할 점은

라는 것이다.

최소-노옴 해

는 다음과 같이 계산된다.

여기서,

은 조건 행렬

의 의사-역(pseudo-inverse)(Golub 등의 Matrix Computation, 3rd edition, The John Hopkins University Press(1996년)의 제5장 참조)이다.

의 영 공간의 차원은 다음과 같다.

영 공간의 기저가

인 경우, 완벽 재구성 조건을 만족시키는 합성 윈도우

에 대한 일반식(general formula)은 다음과 같다.

여기서,

는 스칼라이다. 수학식 9는 이하에서 사용될 최적화에 대한 일반 모델을 나타낸다.

라는 영 공간 내의 어떠한 벡터도 수학식 5에 기술된 완벽 재구성 조건과 모순되지 않는다. 따라서, 영 공간 내의 어느 벡터

라도 이하의 조건을 만족시킨다.

(단, 및 임)

이상의 논의에서

에 대해 어떤 구조도 가정되지 않았다. 사실,

가 임의의 벡터라고 하더라도, 상기한 완벽 재구성 식(perfect reconstruction formula)이 여전히 적용된다. 그렇지만, 대부분의 실제 응용에서,

는 2π/M의 대역폭을 갖는 저역 통과 필터이다.

유의할 점은 수학식 5에 기재된 완벽 재구성 조건에서,

및

는 완벽 재구성에 영향을 주지 않고 교환될 수 있다. 즉, 거의 동일한 절차를 사용하여 합성 윈도우가 먼저 설계되고 이어서 완벽 재구성 조건을 만족시키는 분석 윈도우가 선택될 수 있다.

최적화 기준

수학식 9를 만족시키는 합성 윈도우

를 구성하는 다양한 최적화 기준에 대해 이제부터 기술한다. 각각의 기준에서, 목적은 수학식 9에서 어떤 목적 함수를 최적화하는

을 찾는 것이다. 조건 행렬

의 영이 아닌 영 공간이 존재할 경우에는 항상 이 최적화가 가능하다. 합성 윈도우의 설계를 최적화하는 것보다는 이하에 기술하는 바와 같이 합성 윈도우의 차수를 감소시킴으로써 중복성(redundancy)이 이용될 수 있다. 본 명세서에 기술된 최적화 예는 수학식 9에 기술된 모델을 사용하여 다른 필터 설계 최적화로 확장될 수 있다.

다른 최적화 기준을 더 잘 설명하기 위해, 각각의 기준에서의 설계 예가 포함될 것이다. 모든 예에서, 이하의 필터 뱅크 파라미터 설정, M=32, D=8 및

이 사용된다. 분석 윈도우는 도 2에 나타낸 바와 같다. 즉, Kaiser 윈도우에 의한 윈도잉을 사용하여 설계되는 2π/M의 차단 주파수를 갖는 0-위상 저역 통과 필터 곡선(200)이다.

최소-차수 해(least-order solution)

합성 윈도우의 가장 작은 차수가 조건 행렬

의 계수(rank)에 직접 관련되어 있다. 합성 윈도우 차수가

와 같은 경우,

는 완전 계수 정방 행렬(full rank square matrix)이고 하나의 해만을 갖는다. 즉, 수학식 9에서와 같 이 설계를 최적화하기보다는 윈도우의 차수를 감소시킴으로써 중복성이 이용된다. 따라서, 합성 윈도우의 최소 차수는 다음 조건을 만족시킨다.

가 평가되고 가장 가까운 위쪽 정수(upper interger)로 근사화된다(이 결과

의 영 공간의 차수를 1로 증가시킬 수 있다). 근사화 이후에,

이고,

의 영 공간이 영 벡터만을 포함한다. 합성 윈도우가 더 길면 영 공간 차원이 더 커지게 되며, 이는 더 많은 자유도를 가능하게 해준다. 차후의 최적화 조건들 전부는 합성 윈도우 차수가

보다 큰 것으로 가정한다.

차수가

보다 작은 경우, 완벽 재구성이 더 이상 가능하지 않다. 그렇지만, 수학식 6의 최소-제곱 해는 주어진 차수에 대한 가능한 최상의 재구성을 산출한다. 도 3은

= 20인 경우에 도 2의 분석 윈도우에 대해 합성 윈도우의 서로 다른 차수에 대한 재구성 평균-제곱 에러 곡선(300)을 나타낸 것이다.

최소 차수 합성 윈도우에 있어서,

이 다. 도 4는 합성 윈도우(400)를 나타낸 것이다. 이 경우에, 영 공간의 차원은 1이다(위쪽 정수 근사화 때문임).

인과적 시스템(causal system)의 경우, 최소 차수 해는 많은 실시간 응용에서의 바람직한 특징인 최소 지연 해, 예를 들어, 서브대역 적응 필터링과 등가이다.

최소-노옴 해

수학식 9에서의

가

의 열들과 직교한다는 것에 유의한다. 그 결과,

이다. 따라서, 최소-노옴 해는

이다.

C. 최소 대역외 에너지 해

저역 통과 필터 프로토타입이 사용되는 경우, 분석/합성 윈도우의 대역폭은 2π/M이다.

의 DFT가

로 표시되는 경우, 목적 함수는 다음과 같다.

기저 벡터

각각의 DFT가

이면, 수학식 9는 다음과 같이 된다.

DFT이 길이가 N이라고 가정하면, 처음 N/2+1개 성분만이 유지된다(실수 대칭(real symmetry)이기 때문임). 즉,

및

이 크기 N/2+1의 어레이이다.

가 크기 (N/2+1)x(N/2+1)(단,

인 경우

이고, 그렇지 않은 경우

임)의 대각 행렬이고,

이 그의 열로서

행렬이며,

인 경우, 목적 함수는 다음과 같이 근사화될 수 있다.

여기서,

이고

이다.

에 대해 미분하면 다음과 같이 된다.

따라서, 이 경우의 최적해는 다음과 같다.

유의할 점은

가

행렬이고,

이 완전 계수를 가질 필요 조건이

라는 것이다.

최소 대역외 전력 설계에 대해

및

를 각각 갖는 2개의 예로 설명할 것이다. 도 5a 및 도 5b는 합성 윈도우의 시간 및 주파수 응답을

의 최소-노옴 합성 윈도우와 비교하여 나타낸 것이고, 도 6a 및 도 6b는 합성 윈도우의 시간 및 주파수 응답을

의 최소-노옴 합성 윈도우와 비교하여 나타낸 것이다. 도 5a 및 도 5b와 도 6a 및 도 6b는 대역외 전력(out-of-band power)에서 30dB를 넘는 감소를 나타낸다. 이러한 상당한 감소의 결과, 원래의 신호가 보통 노이즈로 오염되어 있는 실제 응용에서의 바람직한 특징인 주파수-선택성이 더 나은 윈도우가 얻어진다.

최소-제곱 해

이 경우에, 목적은 합성 윈도우와 윈도우 템플릿

간의 차이를 최소화하는 것이다. 즉, 목적 함수가 다음과 같다.

인 경우,

비용 함수는 이하의 형태를 갖는다.

따라서, 다음과 같이 된다.

그러므로, 이 경우의 최적해는 다음과 같다.

이고

(

가 H의 행 공간(row space)이기 때문임)라는 것에 유의함으로써, 상기 관계식은 다음과 같이 간략화될 수 있다.

최소-제곱 해의 중요성을 설명하기 위해, 2가지 극단적인 예에서 템플릿

이

와 상당히 다르도록 선택된다. 첫번째 예에서,

는 사인파가 되도록 선택된다. 두번째 예에서,

는 임의의 시퀀스가 되도록 선택된다. 그 결과 얻어지는 합성 윈도우가 도 7a 및 도 7b에 나타내어져 있다. 이들 예 둘다에서,

이 다.

최소 양자화-에러 해

실제 응용에서, 합성 윈도우는 유한-정밀도 산술(finite-precision arithmetic)을 사용하여 구현된다. 따라서, 계수 양자화 에러가 중요한 설계 기준이다. 전체적인 양자화 에러가 최소화되도록

에서의 각각의 성분의 (위쪽 또는 아래쪽 정수로의) 최상의 양자화에 대해 이제부터 생각해본다. 환언하면, 기존의 해

의 이웃에서의 최상의 양자화된 해가 검사된다. 이 경우에 목적 함수는 다음과 같다.

여기서,

는 다음과 같이 정의되는 양자화 에러 함수이고,

는 플로어 정수 함수(floor integer function)이다.

는 수학식 15에 정의된 바와 같고,

는 양자화 근사화를 나타내는

이진 벡터이다. 즉,

인 경우,

이고,

인 경우,

이다. 유의할 점은 수학식 18이 2개의 미지의 벡터

와

를 포함한다는 것이다.

가 초기 양자 화 에러를 나타내는 경우,

이다. 목적 함수는 이하의 형태로 쓰여질 수 있다.

의 임의의 값에 대해, 수학식 19의 최소 제곱 해를 산출하는

의 값은 다음과 같다.

이 때문에, 수학식 19의 목적 함수는 이하의 형태로 쓰여질 수 있다.

여기서,

이다. 이것은 사분 목적 함수(quadratic objective function)에서의 정수 프로그래밍 문제이다. 시뮬레이트된 어닐링 기법(simulated annealing technique)(예를 들어, Rardin의 Optimization in Operations Research, Prentice Hall(1998년)을 참조하기 바라며, 이는 여기에 인용함으로써 그 전체 내용이 본 명세서에 포함됨)이 이를 해결하기 위해 사용될 수 있다. Rardin이 개시한 시뮬레이트된 어닐링 기법은 이하의 7개 단계를 가지고 있다.

1. 실행가능 해(feasible solution)

부터 시작하여, 목적 함수의 대응하는 값을 계산한다. 이 값을 잠정해(incumbent solution)

및 피벗해(pivot solution)

로 설정한다.

2. 다른 실행가능 해를 가져오는 모든 실행가능 이동(feasible move)의 세트

를 정의한다.

3. 이동

를 임의적으로 선택하고, 새로운 해

를 계산하며, 새로운 목적 함수

를 계산한다.

4.

가 확률

(단, q는 알고리즘 파라미터임)로 잠정해를 개선하는 경우,

로 설정한다.

5.

가 잠정해보다 나은 경우,

로 설정한다.

6. 충분한 수의 반복 후에 q를 감소시킨다.

7.

에 대해 반복한다.

에서의 임의의 이동(move)의 최대 가중치가, 예를 들어, 5로 제한될 수 있다. 초기해는 반올림 해로 설정된다. 즉,

이다.

일 실시예에서, 시뮬레이트된 어닐링 기법은 단계 5에서 새로운 최적치가 발견되면 이동 리스트(moving list)로부터 임의적으로 선택하기 이전에 1의 해밍 거 리 내의 모든 이웃하는 해가 조사되도록 약간 수정될 수 있다.

상기 설명이 대체로 DFT 필터 뱅크에 관한 것이지만, 본 발명의 원리들은 다른 유형의 오버샘플링된 필터 뱅크에 바로 적용된다. 조건 행렬은 다른 구조를 갖지만 오버샘플링의 결과 생기는 중복성이 본 발명의 범위를 벗어나지 않고 이용될 수 있다.

도 8은 본 발명의 원리들에 따라 수행되는 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법의 일 실시예의 흐름도를 나타낸 것이다. 이 방법은 시작 단계에서 시작한다. 단계(810)에서, 완벽 재구성 조건 행렬의 영 공간이 오버샘플링된 필터 뱅크의 제1 윈도우에 기초하여 생성된다. 단계(820)에서, 영 공간 및 최적화 기준이 오버샘플링된 필터 뱅크의 제2 윈도우를 구성하는 데 이용된다. 단계(830)에서, 제1 및 제2 윈도우를 기술하는 필터 계수가 DSP와 연관된 메모리에 저장된다. 필터 계수가 이어서 DSP와 연관된 필터 뱅크에서 이용될 수 있다. 이 방법은 종료 단계에서 종료된다.

도 9는 본 발명의 개시된 실시예의 성능을 반올림 해(종래에 고정 소수점 시스템에 사용됨)와 대비하여 나타낸 것이다. 테스트 데이터는 단위 분산(unity variance)을 갖는 임의적인 신호이다. 반복 횟수(t_max)는 10⁵이고

이다. 도 9는 분해능(resolution)을 증가시킬 필요없이 18dB까지의 향상을 나타내고 있다. 이것은 3 비트의 분해능을 DFT 필터 뱅크에 추가하는 것과 동등하다.

도 10은 전체적으로 1010으로 나타낸 DSP에 구현되고 본 발명의 원리들에 따 라 구성된 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 시스템(전체적으로 1000으로 나타냄)의 일 실시예의 블록도를 나타낸 것이다. 오버샘플링된 필터 뱅크는 제1 윈도우를 기술하는 계수들에 부분적으로 기초하고 제2 윈도우를 기술하는 계수들에 부분적으로 기초하여 출력 신호를 생성하기 위해 입력 신호를 처리하도록 구성된 복수의 저역 통과 필터(도 10에는 도시되어 있지 않고 도 1에 도시되어 있음)를 포함한다. 제1 윈도우는 분석 윈도우일 수 있고, 제2 윈도우는 합성 윈도우일 수 있다.

시스템(1000) 내의 영 공간 발생기(1020)는 제1 윈도우에 기초하여 완벽 재구성 조건 행렬의 영 공간의 기저를 생성하도록 구성되어 있다. 최적화기(1030)는 영 공간 발생기(1020)와 연관되어 있다. 최적화기(1030)는 제2 윈도우를 구성하기 위해 상기 기저 및 최적화 기준을 이용하도록 구성되어 있다. 이 프로세스의 결과가 DSP(1010)와 연관된 메모리(1040)에 저장되게 되어 있는 복수의 필터 계수이다. 필터 계수는 이어서 DSP(1010)의 동작 동안에 메모리(1040)로부터 오버샘플링된 필터 뱅크(1050)에 이용가능하게 된다.

본 발명이 상세히 기술되어 있지만, 당업자라면 최광의의 형태의 청구된 발명의 범위를 벗어나지 않고 본 명세서에 기술된 예시적인 실시예에 여러 변동, 치환 및 변경이 행해질 수 있다는 것을 잘 알 것이다.

Claims

오버샘플링된 필터 뱅크(oversampled filter bank)의 동작을 최적화하는 방법으로서,

상기 오버샘플링된 필터 뱅크의 제1 윈도우에 기초하여 완벽 재구성 조건 행렬의 영 공간(null space)의 기저를 생성하는 단계, 및

상기 오버샘플링된 필터 뱅크의 제2 윈도우를 구성하기 위해 상기 기저 및 최적화 기준을 이용하는 단계를 포함하는 것인, 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법.
제1항에 있어서, 상기 오버샘플링된 필터 뱅크는 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크인, 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법.
제1항에 있어서, 상기 오버샘플링된 필터 뱅크는 저역 통과 필터(lowpass filter)를 포함하는, 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법.
제1항에 있어서, 상기 제1 윈도우는 분석 윈도우이고, 상기 제2 윈도우는 합성 윈도우(synthesis window)인, 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법.
제1항에 있어서, 상기 최적화 기준은,

최소-차수 설계 기준,

최소-노옴(norm) 설계 기준,

최소 대역외 에너지 설계 기준,

최소-제곱 설계 기준, 및

최소 양자화-에러 설계 기준으로 이루어지는 그룹으로부터 선택되는, 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법.
제1항에 있어서, 상기 기저 및 최적화 기준을 이용하는 단계는 상기 제2 윈도우를 구성하기 위해 시뮬레이트된 어닐링 기법을 이용하는 단계를 포함하는, 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법.
제1항에 있어서, 상기 제2 윈도우
는 일반식
을 가지며,

상기 기저 및 최적화 기준을 이용하는 단계는 상기 최적화 기준을
에 적용하는 단계를 포함하는, 오버샘플링된 필터 뱅크의 동작을 최적화하는 방법.
오버샘플링된 이산 푸리에 변환(DFT) 필터 뱅크를 포함하는 장치로서,

상기 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크는,

상기 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크의 제1 윈도우에 기초하여 완벽 재구성 조건 행렬의 영 공간(null space)의 기저를 생성하는 단계, 및

최적화기를 이용함으로써, 제2 윈도우를 구성하기 위해 상기 기저 및 최적화 기준을 이용하는 단계

에 의해 설계된 상기 제2 윈도우를 기술하는 계수들에 부분적으로 기초하여 출력 신호를 산출하기 위해 입력 신호를 처리하도록 구성되어 있는 복수의 저역 통과 필터를 포함하는, 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크를 포함하는 장치.
제8항에 있어서, 상기 제1 윈도우는 분석 윈도우이고, 상기 제2 윈도우는 합성 윈도우인, 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크를 포함하는 장치.
제8항에 있어서, 상기 최적화 기준은,

최소-차수 설계 기준,

최소-노옴 설계 기준,

최소 대역외 에너지 설계 기준,

최소-제곱 설계 기준, 및

최소 양자화-에러 설계 기준으로 이루어지는 그룹으로부터 선택되는, 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크를 포함하는 장치.
제8항에 있어서, 상기 최적화기는 상기 제2 윈도우를 구성하기 위해 시뮬레이트된 어닐링 기법을 이용하는, 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크를 포함하는 장치.
제8항에 있어서, 상기 제2 윈도우
는 일반식
을 가지며,

상기 최적화기는 상기 최적화 기준을
에 적용하는, 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크를 포함하는 장치.
제8항에 있어서, 상기 DFT 필터 뱅크는 디지털 신호 처리기에 구현되는, 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크를 포함하는 장치.
제8항 내지 제13항 중 어느 한 항에 정의된 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크를 포함하는 장치로서,

상기 오버샘플링된 필터 뱅크의 제1 윈도우에 기초하여 완벽 재구성 조건 행렬의 영 공간의 기저를 생성하도록 구성되어 있는 영 공간 발생기; 및

상기 영 공간 발생기와 연관되어 있고, 상기 오버샘플링된 필터 뱅크의 제2 윈도우를 구성하기 위해 상기 기저 및 최적화 기준을 이용하도록 구성되어 있는 최적화기를 더 포함하는, 오버샘플링된 이산 푸리에 변환 필터 뱅크를 포함하는 장치.