KR100441081B1 - 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 선형방정식을 통해 오차 범위를 0%~0.16% 이내로 줄여줌으로써 보다 나은 화질을 갖으면서 왜곡되지 않은 영상을 빠른 속도로 생성하기 위한 것으로서, API, 3차원 그래픽 가속기 그리고 디스플레이부로 구성되는 3차원 컴퓨터 시스템에 있어서, 상기 3차원 그래픽 가속기에서의 삼각함수 계산 방법은 삼각함수 곡면 내에 있는 x축의 구간을 소정 간격으로 균등하게 분할하는 단계와, 상기 분할된 각 구간의 경계점에서의 수직 방향 직선과 상기 삼각함수가 교차하는 교차점들의 값을 구하는 단계와, 상기 구해진 교차점들의 이웃하는 점들을 연결하는 직선의 방정식을 이용하여 각 구간 내부의 값에 대한 삼각함수의 값을 구하는 단계와, 상기 구해진 삼각함수의 값을 이용하여 프래그먼트의 색상 값을 결정하는 단계를 포함하여 이루어지는데, 이는 삼각함수 연산을 필요로하는 기하처리부, 범프 매핑과 변환 매칭을 포함하는 매핑부에서 이용된다.

Description

선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법{Methods for calculating the trigonometric function using linear equations}

본 발명은 3차원 그래픽 처리 기술에 관한 것으로, 특히 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법에 관한 것이다.

최근 멀티미디어 환경에서 핵심 기술로써 떠오르고 있는 3차원 그래픽 처리 기술은 도 1에서 나타내고 있는 것과 같이 API(100), 3차원 그래픽 가속기(200) 그리고 디스플레이부(300)로 구성되어 있으며, 3차원 공간상에서 객체를 표현하기 위해 상기 3차원 그래픽 가속기(200)를 이용하여 대부분 직교 좌표계를 이용하고 있다.

그리고 상기 3차원 그래픽 가속기는 전달된 3차원 모델 데이터를 회전, 좌표 변화 그리고 크기 변환 등을 수행하는 기하학 처리부(210)와, 상기 기하학 처리부(210)에서 출력되는 3차원 데이터에 대해 2차원 화면좌표로 변환을 수행하고, 3차원 모델을 이루는 폴리곤 데이터에 대한 프래그먼트를 생성하는 래스터라이저부(221)와, 상기 생성된 프래그먼트에 대해 은면제거 과정과 실감 영상 생성을 위한 맵핑 과정을 수행하는 영상 생성부(222)와, 새로 입력된 프래그먼트 중 제거되지 않은 프래그먼트의 영역마스크, 깊이 값, 그리고 색상 값을 저장하는 프레임 버퍼(223)로 구성된다.

그런데 3차원 그래픽의 정밀도가 증가됨에 따라 처리되어야할 3차원 데이터의 양이 급격히 증가하게 되어, 이를 효율적으로 처리하기 위한 데이터 표현 방식으로 최근 다수의 연구 그룹에서 극좌표계에 대해 연구가 진행되고 있다.

그러나, 상기 극좌표계를 이용할 경우는 데이터의 연산량과 전송량에 있어서는 상당한 효과를 보이는데 반해서, 삼각함수와 같은 복잡한 연산을 처리해야 하는 문제점을 가지고 있다.

또한, 이러한 복잡한 연산을 통한 기존 방식들의 경우는 상당한 정밀도를 요구하는 응용분야에서나 그 사용이 적합한데, 3차원 그래픽 영상을 생성하는 분야는 높은 정밀도를 요구하는 응용분야가 아니기 때문에 그 사용에 있어서 적절치 못하다.

즉, 상기 3차원 그래픽 처리는 사람 눈의 색 구별 능력의 한계를 적절히 이용하여 허용범위 내의 근사값을 구하면 충분하기 때문에 복잡한 연산을 통한 방식을 사용할 필요가 없다.

상기 3차원 그래픽 처리 분야에서는 일정한 근사값 만을 구하여 3차원 그래픽 영상을 생성하는 대표적으로 방법으로 테이블 방법을 이용한다.

이 테이블 방법은 적은 메모리만을 필요로 하고 복잡한 연산을 간단한 테이블 참조만을 통하여 빠르게 처리해 줄 수 있는 장점이 있다.

따라서, 3차원 그래픽 처리에 있어서 삼각함수를 계산하는 방식으로는 단일 테이블을 이용하는 방식이 주로 이용된다.

상기 단일 테이블 방식은 0도에서 90도 사이의 각을 세분화하여 테이블화하는 방식을 사용하여 삼각함수의 근사값을 구하는 방식이다.

그리고 상기 구간 [0,90]을 넘어서는 각에 대해서는 대칭을 이용하여 값을 구한다.

그러나, 이 테이블 방식은 사인(sine)의 경우에는 0도에 가까워질수록, 그리고 코사인(cosine)의 경우에는 90도에 가까워질수록 값의 정확도가 급격히 떨어져 영상이 왜곡되게 된다.

실험에 의하면, 0.7도 간격으로 테이블 엔트리를 구성했을 경우 오차율이 0% ~ 700%로 대단히 크게 나타난다.

도 2 는 코사인의 값을 테이블로 구성했을 때 생길 수 있는 오차율을 나타내는 그래프이다.

도 2에서 보는 것과 같이, 75도 이후에는 오차율이 5% 이상으로 증가하며 90도에 가까워질수록 오차율의 범위가 기하급수적으로 커짐을 알 수 있다.

이와 같이 테이블을 이용한 방식은 코사인의 경우 90도에 가까워질수록, 사인의 경우 0도에 가까워질수록 음영의 경계에 해당하는 부분의 조명 계산에 있어 오류가 생기는 것을 알 수 있다.

따라서, 본 발명은 상기와 같은 문제점을 해결하기 위해 안출한 것으로서, 선형방정식을 통해 오차 범위를 0%~0.16% 이내로 줄여줌으로써 보다 나은 화질을 갖으면서 왜곡되지 않은 영상을 빠른 속도로 생성하는데 그 목적이 있다.

도 1 은 종래 기술에 따른 3차원 그래픽 처리과정을 나타낸 도면

도 2 는 코사인의 값을 테이블로 구성했을 때 생길 수 있는 오차율을 나타내는 그래프

도 3 은 본 발명에 따른 균등 구간 분할을 이용한 삼각함수 계산 방법의 실시예

도 4 는 본 발명에 따른 균등각 구간 분할을 이용한 삼각함수 계산 방법의 실시예

도 5 는 본 발명에 따른 삼각함수 계산 방법에서 코사인 계산 유닛의 구조를 나타낸 실시예

*도면의 주요부분에 대한 부호의 설명

100 : API 200 : 3차원 그래픽 가속기

210 : 기하 처리부 220 : 렌더링 처리부

221 : 래스터라이저부 222 : 영상 생성부

223 : 프레임 버퍼 300 : 디스플레이부

상기와 같은 목적을 달성하기 위한 본 발명에 따른 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법의 특징은 API, 3차원 그래픽 가속기 그리고 디스플레이부로 구성되는 3차원 컴퓨터 시스템에 있어서, 상기 3차원 그래픽 가속기에서의 삼각함수 계산 방법은 삼각함수 곡면 내에 있는 x축의 구간을 소정 간격으로 균등하게 분할하는 단계와, 상기 분할된 각 구간의 경계점에서의 수직 방향 직선과 상기 삼각함수가 교차하는 교차점들의 값을 구하는 단계와, 상기 구해진 교차점들의 이웃하는 점들을 연결하는 직선의 방정식을 이용하여 각 구간 내부의 값에 대한 삼각함수의 값을 구하는 단계와, 상기 구해진 삼각함수의 값을 이용하여 프래그먼트의 색상값을 결정하는 단계를 포함하여 이루어지는데 있다.

이때, 상기 삼각함수 곡면 내에 있는 x축의 구간은 0도에서 90도 사이의 구간인 것이 바람직하다. 그 외의 각은 삼각함수의 대칭성을 이용하여 구한다.

그리고 상기 교차점들의 값은 다음 수학식

들에 의해서 계산되는 것이 바람직하다.

여기서의 수학식은 코사인의 경우를 예로 든 것이다.

상기와 같은 목적을 달성하기 위한 본 발명에 따른 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법의 특징은 API, 3차원 그래픽 가속기 그리고 디스플레이부로 구성되는 3차원 컴퓨터 시스템에 있어서, 상기 3차원 그래픽 가속기에서의 삼각함수 계산 방법은 삼각함수 곡면 위의 점과 이루는 각을 균등하게 분할하는 직선들을 구하는 단계와, 상기 구한 다수개의 직선들과 상기 삼각함수 곡선과의 교차되는 교차점들의 값들을 구하는 단계와, 상기 구해진 교차점들을 x축에 수직으로 투영시켜 x축에 만나는 x 값들을 구하는 단계와, 상기 구해진 교차점들의 이웃하는 점들을 연결하는 직선의 방정식을 이용하여 각 구간 내부의 값에 대한 삼각함수의 값을 구하는 단계와, 상기 구해진 삼각함수의 값을 이용하여 생성된 프래그먼트의 색상 값을 결정하는 단계를 포함하여 이루어지는데 다른 특징이 있다.

이때, 상기 균등각으로 분할하는 직선들은 0도에서 90도 사이의 각으로 다음 수학식인

로 계산되는 것이 바람직하다.

그리고 상기 교차점들은 다음 수학식

로 계산되는 것이 바람직하다.

그리고 상기 삼각함수의 값은 다음 수학식(s는 기울기 벡터, i_y는 y-절편(intercepts) 벡터)로 계산되는 것이 바람직하다.

본 발명의 다른 목적, 특성 및 이점들은 첨부한 도면을 참조한 실시예들의 상세한 설명을 통해 명백해질 것이다.

본 발명에 따른 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산방법의 바람직한 실시예에 대하여 첨부한 도면을 참조하여 설명하면 다음과 같다.

도 3 은 본 발명에 따른 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법의 실시예로서, 균등 구간 분할을 통한 코사인의 계산 방법을 나타낸 도면이다.

도 3에서 나타내고 있는 것과 같이, 균등 구간 분할 방법은 x축의 구간을 단순히 균등하게 나눈 후, 각 구간의 경계점에서의 수직 방향 직선과 삼각함수가 만나는 점들을 연결하는 직선의 방정식들을 이용하여 각 구간 내부의 값에 대한 삼각함수의 값을 구하는 방식이다.

상기 균등 구간 분할 방법을 구체적으로 설명하면 다음과 같다.

먼저, 수학식 1과 같이 x축 위의 구간을 소정 간격으로 균등하게 나눈다.

각 구간의 경계점들에서의 수직 방향 직선들과 만나는 삼각함수(여기서는 코사인 함수를 가정함) 위의 점들을 수학식 2와 같이 구한다.

그리고 상기 수학식 2와 같이 구해진 점들에 의해 생성된 직선 구간을 나타내는 직선의 방정식을 구한다.

위의 과정을 거쳐 생성된 구간들의 직선방정식들을 통해 해당 구간 내의 입력간에 대한 코사인의 값을 계산한다.

도 4 는 본 발명에 따른 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법의 실시예로서, 균등각 구간 분할을 통한 코사인의 계산 방법을 나타낸 도면이다.

도 4에서 나타내고 있는 것과 같이, 균등각 구간 분할 방법은 도 3과 같이, x축을 기준으로 구간을 분할하지 않고 각을 균등하게 나눠주는 직선에 의해 교차하는 코사인 곡선 위의 점들을 구한 다음, 이 점들에 의해 생성되는 직선 구간들을 x축에 수직으로 투영하여 각 구간을 구한다.

상기 균등각 구간 분할 방법을 구체적으로 설명하면 다음과 같다.

먼저, 도 4와 같이 0도에서 90도 사이의 각을 균등하게 나눠주는 직선들을 수학식 3과 같이 구한다.

다음으로, 이 직선들과 코사인 곡선과의 교점들을 수학식 4에 의해 구한다.

계속해서 수학식 4에 의해 구해진 점들을 x축에 수직으로 투영시켜 만나는 점들을 구하고, 구간을 표현하는 직선의 방정식을 구한다.

그리고 위의 두 가지 방식인 균등 구간 분할을 통한 코사인의 계산 방법 및 균등각 구간 분할을 통한 코사인의 계산 방법에 의해 구해진 구간과 구간에 따른 직선의 방정식을 통해 원하는 각에서의 코사인 값을 수학식 5와 같이 구한다.

상기 수학식 5에서 s는 기울기 벡터를, i_y는 y-절편(intercepts) 벡터를 의미하며, 각각 구간별 직선의 기울기들과 y-절편들로 구성된다.

이와 같은 방식들은 입력된 x의 값에 따라 해당 함수의 계수 s, i_y를 선택하여 코사인 값을 구한다.

그리고 상기 계산된 코사인 값을 이용하여 프래그먼트의 색상 값을 결정하는 라이팅 단계를 수행하고, 새로 입력된 프래그먼트 중 제거되지 않은 프래그먼트의 영역마스크, 깊이 값, 그리고 색상 값을 프레임 버퍼에 저장한 후, 이를 이용하여 디스플레이 한다.

상기 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법들의 하드웨어 구현에 대해 설명하면 다음과 같다.

도 5 는 본 발명에 따른 삼각함수 계산 방법에서 코사인 계산 유닛의 구조를 나타낸 실시예이다.

도 5와 같이, 각 입출력 단위를 16비트로 가정하고 있으며, 입력값 x에 의해 직선 방정식의 계수를 결정하기 위해서는 두 개의 멀티플렉서가 필요하며, 이를 이용하여 하나의 코사인 계산 유닛을 구현하는데 한 개의 곱셈기, 그리고 한 개의 덧셈기를 필요로 한다.

이때, 멀티플렉서의 제어에 필요한 비트는이다. 그리고, 입력값 x의 범위는 0도에서 90도 사이의 값이며, 이 범위를 벗어난 입력에 대해서는 코사인의 대칭을 통해 해당 각에 대한 코사인의 값을 쉽게 구할 수 있다.

즉, 입력값 x의 상위 4()비트로 16 x 1 멀티플렉서를 제어하여 해당 구간의 직선 방정식의 기울기와 y-절편(intercepts)을 결정한 다음, 결정된 계수 s, i_y로부터 원하는 코사인 값을 계산한다.

그리고 이렇게 계산된 코사인 값을 이용하여 3차원 공간상에서 객체를 표현한다.

또한, 코사인 이외의 삼각함수에 대해서도 위에서 제안한 방식에 의해 전체적인 구간에 걸쳐 오차가 일정하고, 상대적으로 오차가 크지 않은 삼각함수의 근사값을 구할 수 있다.

이상에서 설명한 바와 같은 본 발명에 따른 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법은 3차원 데이터를 처리하는 방식에서 복잡한 삼각함수 연산을 구간별로 단순한 선형(직선) 방정식을 이용하여 해당 각에 대한 함수 값을 구함으로써, 3차원 그래픽 처리 과정 중 삼각함수의 값을 계산해야 하는 변환과 조명계산 과정의 연산 속도를 빠르게 수행할 수 있으며, 오차율을 0.16% 이내로 줄일 수 있는 효과가 있다. 또한, 전 구간에 걸쳐서도 일정한 오차율을 보인다는 장점이 있다.

따라서, 본 발명에서 제안하는 구조들은 3차원 그래픽 응용 분야에서 삼각함수 값을 효율적으로 계산할 수 있는 구조라 할 수 있다.

이상 설명한 내용을 통해 당업자라면 본 발명의 기술 사상을 이탈하지 아니하는 범위에서 다양한 변경 및 수정이 가능함을 알 수 있을 것이다.

따라서, 본 발명의 기술적 범위는 실시예에 기재된 내용으로 한정되는 것이 아니라 특허 청구의 범위에 의하여 정해져야 한다.

Claims (8)

1. API, 3차원 그래픽 가속기 그리고 디스플레이부로 구성되는 3차원 컴퓨터 시스템에 있어서, 상기 3차원 그래픽 가속기에서의 삼각함수 계산 방법은

   삼각함수 곡면 내에 있는 x축의 구간을 소정 간격으로 균등하게 분할하는 단계와,

   상기 분할된 각 구간의 경계점에서의 수직 방향 직선과 상기 삼각함수가 교차하는 교차점들의 값을 구하는 단계와,

   상기 구해진 교차점들의 이웃하는 점들을 연결하는 직선의 방정식을 이용하여 각 구간 내부의 값에 대한 삼각함수의 값을 구하는 단계와,

   상기 구해진 삼각함수의 값을 이용하여 프래그먼트의 색상 값을 결정하는 단계를 포함하여 이루어지는 것을 특징으로 하는 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산방법.
2. 제 1 항에 있어서,

   상기 삼각함수 곡면 내에 있는 x축의 구간은 0도에서 90도 사이의 구간인 것을 특징으로 하는 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법.
3. 제 2 항에 있어서,

   상기 x축의 구간을 벗어난 입력은 상기 x축 구간에 따른 코사인의 대칭되는값으로 해당 각을 설정하는 것을 특징으로 하는 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법.
4. 제 1 항에 있어서,

   상기 교차점들의 값은 다음 수학식

   들에 의해서 계산되는 것을 특징으로 하는 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법.
5. API, 3차원 그래픽 가속기 그리고 디스플레이부로 구성되는 3차원 컴퓨터 시스템에 있어서, 상기 3차원 그래픽 가속기에서의 삼각함수 계산 방법은

   삼각함수 곡면 위의 점과 이루는 각을 균등하게 분할하는 직선들을 구하는 단계와,

   상기 구한 다수개의 직선들과 상기 삼각함수 곡선과의 교차되는 교차점들의 값들을 구하는 단계와,

   상기 구해진 교차점들을 x축에 수직으로 투영시켜 x축에 만나는 x 값들을 구하는 단계와,

   상기 구해진 교차점들의 이웃하는 점들을 연결하는 직선의 방정식을 이용하여 각 구간 내부의 값에 대한 삼각함수의 값을 구하는 단계와,

   상기 구해진 삼각함수의 값을 이용하여 생성된 프래그먼트의 색상 값을 결정하는 단계를 포함하여 이루어지는 것을 특징으로 하는 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산방법.
6. 제 5 항에 있어서,

   상기 균등각으로 분할하는 직선들은 0도에서 90도 사이의 각으로 다음 수학식인

   로 계산되는 것을 특징으로 하는 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법.
7. 제 5 항에 있어서,

   상기 교차점들은 다음 수학식

   로 계산되는 것을 특징으로하는 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법.
8. 제 1 항 또는 5 항에 있어서,

   상기 삼각함수의 값은 다음 수학식

   (s는 기울기 벡터, i_y는 y-절편(intercepts) 벡터)

   로 계산되는 것을 특징으로 하는 선형방정식을 이용한 삼각함수 계산 방법.