KR100414058B1 - 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법 및 장치 - Google Patents

Abstract

본 발명은 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법 및 장치에 관한 것으로 특히, 리메슁된 메쉬가 전체적으로 부드러움을 갖고 일반적인 연결성(topology)과 경계선(boundary)을 갖는 메쉬는 물론 복합적이지 않은 표면(non-manifold surface)에 대해서도 적용 가능하며 원래 메쉬와의 Hausdorff 거리(distance)를 기준 이내로 보장해 줄 수 있도록 최적화된 리메쉬를 제공함을 목적으로 한다. 이러한 목적을 달성하기 위한 본 발명은 원래의 메쉬를 단순화시키는 과정과, 상기에서 단순화된 메쉬를 세분화(subdivision)하여 리파인(refine)시키는 과정과, 상기에서 세분화된 메쉬를 원래 메쉬의 모양에 최대한 가깝게 변형시키는 과정과, 미리 설정된 조건이 만족될때까지 상기 세분화 과정과 최적화 과정을 반복 진행하는 것을 특징으로 한다.

Description

3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법 및 장치{REMESHING OPTIMIZING METHOD AND APPARATUS FOR POLYHEDRAL SURFACE}

본 발명은 다각형 표면의 리메슁(remeshing)에 관한 것으로 특히, 컴퓨터 그래픽스(computer graphics) 및 기하학적인 도형의 모델링(geometric modeling) 분야에 있어서 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법 및 장치에 관한 것이다.

현재 3차원상의 물체를 표현하기 위한 방법으로 다각형을 많이 사용하고 있다. 이는 어떠한 물체라도 다각형 표면으로 근사화(approximation)시켜 표현이 가능하기 때문이다.

특히, 물체를 삼각형(trinagle)으로 표현하는 것이 빠르고 효과적이기 때문에 현재 컴퓨터 그래픽스와 도형 모델링 기술에서는 삼각형의 메쉬(triangle mesh)가 3차원 물체의 형태를 표시하는 표준적인 방법이 되고 있다.

그런데, 경우에 따라 대상 물체는 수 백만개의 삼각형으로 표현될 수 있다. 이러한 경우 현재까지의 기술로는 실시간 처리(animation, rendering)가 불가능하고 또한, 파일 저장이나 전송 등에도 많은 부담이 따른다.

이러한 문제를 해결하기 위해 원래 모델의 모양을 최대한 유지하면서 보다 적은 숫자의 삼각형으로 모델을 표현하는 단순화(simplification) 방법과 다중 해상도 표현(multiresolution representation) 방법이 제안되었다. 특히, 다중 해상도 표현 방법에 웨이블릿(wavelet) 변환을 적용하여 좋은 결과를 얻을 수 있었다.

그러나, 다중 해상도 표현 방법에 웨이블릿 변환을 적용함에 있어서 세분화연결성(subdivision connectivity)을 가진 메쉬로 제한되는 단점이 있었다.

이러한 단점을 개선하기 위해 원래 메쉬의 포인트(point)들을 단순화된 메쉬로 맵핑(mapping)하여 불규칙적인 메쉬(irregular mesh)를 리메슁하는 매개화 변수(parameterization)를 이용한 리메슁 방법이 제안되었다.

그런데, 매개화 변수(parameterization)를 이용한 리메슁 방법은 메쉬가 충분히 부드럽지 않거나 복잡하면 맵핑시 일대일 대응이 이루어지지 않거나 잘못된 점으로 맵핑될 수 있는 문제점이 있었다.

이러한 문제점을 해소하기 위해 로컬 하모닉 맵(local harmonic map), 등각의 맵(conformal map) 또는, 쉬링크 랩핑(shrink wrapping)을 이용하는 리메슁 방법이 제시되었다.

그러나, 로컬 하모닉 맵 및 등각의 맵 방법은 매개화 변수(parameterization)를 이용한 리메슁 방법으로 구현이 어렵거나 리메슁된 메쉬가 전체적으로 부드러움을 갖지 못하는 단점이 있다. 특히, 쉬링크 랩핑을 이용하는 리메슁 방법은 임의의 꼭지점이 '6'이 아닌 값을 가질 수 있는 genus-zero triangle mesh에만 적용되며 아울러 base domain mesh가 원래 메쉬와 상당히 유사해야만 하는 제한이 있다.

본 발명은 종래의 문제점을 개선하기 위하여 리메슁된 메쉬가 전체적으로 부드러움을 갖고 일반적인 연결성(topology)과 경계선(boundary)을 갖는 메쉬는 물론 복합적이지 않은 표면(non-manifold surface)에 대해서도 적용가능하며 원래 메쉬와의 Hausdorff 거리(distance)를 기준 이내로 보장해 줄 수 있도록 리메슁을 최적화하도록 창안한 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법 및 장치를 제공함을 목적으로 한다.

도1은 본 발명의 실시예를 위한 리메슁 최적화 장치의 블럭도.

도2는 도1에서 단순화 처리부의 상세 블럭도.

도3은 에지 축소방법을 나타낸 도면.

도4는 2차원으로 근사화된 에지 축소를 나타낸 도면.

도5는 표면 유선화의 알고리즘을 나타낸 도면.

도6은 본 발명의 실시예에서 리메슁 과정을 보인 예시도.

도7은 토끼 모델에서의 B-to-B 투영을 보인 예시도.

도8는 도7에 있는 타원부분을 확대 표시한 예시도.

도9는 마네킹(mannequin)을 모델로 한 최적화 리메슁 과정을 보인 예시도.

도10은 말을 모델로 한 최적화 리메슁 과정을 보인 예시도.

도11은 본 발명과 기존 방법에서 토끼를 모델로 한 리메슁 결과를 보인 예시도.

도12는 QEM의 결과와 GORA(globally optimized remeshing algorithm)(ICP) 방법을 적용한 베이스 도메인의 평균 제곱 거리 에러를 비교한 도표.

도13은 MAPS와 GORA(ICP) 방법에서 거리 에러(distance error)를 나타낸 도표.

도14는 정규적 품질(Regularity quality)을 나타낸 도표.

도15는 메쉬 해상도(mesh resolution)를 나타낸 도표.

도16은 콤팩트니스의 히스토그램을 보인 예시도.

도17은 에지 길이 히스토그램을 보인 예시도.

* 도면의 주요 부분에 대한 부호 설명 *

100 : 단순화 처리부 110~130 : 단순화 회로

200 : 세분화 처리부 210 : 중간점 세분화 회로

220 : 평탄화 필터 300 : 최적화 처리부

400 : 기준메쉬 입력부

본 발명은 상기의 목적을 달성하기 위하여 원래의 메쉬를 단순화시키는 과정과, 상기에서 단순화된 메쉬를 세분화(subdivision)하여 리파인(refine)시키는 과정과, 상기에서 세분화된 메쉬를 원래 메쉬의 모양으로 변형(deformation)하는 최적화 과정과, 상기에서 원래 메쉬의 형태로 변형된 메쉬가 미리 설정된 조건을 만족할 때까지 상기 세분화 과정부터 반복 실행하여 세분화 연결성(subdivision connectivity)을 갖는 최적화된 새로운 메쉬를 얻도록 함을 특징으로 한다.

상기 단순화 과정은 모든 정점의 위치를 계산하는 단계와, 모든 정점에 대해 유효쌍을 선택하는 단계와, 상기에서 선택된 유효쌍에 대해 새로운 위치를 계산하여 해당 유효쌍을 힙(heap)에 정렬시키는 단계를 반복하여 에지를 감축시키는 것을 특징으로 한다.

상기 세분화 과정은 중간점에 대해 베이스 메쉬를 세분화하는 단계와, 상기에서 세분화된 메쉬를 표면 유선화 방법을 적용하여 평탄화하는 단계로 이루어짐을 특징으로 한다.

상기 표면 유선화 방법은 모든 정점에 대해 이웃하는 정점들로부터 오차를 계산하는 단계와, 각 정점에 대해 오차의 임의의 배수만큼의 값을 합하는 단계와, 상기 오차값에 임의의 상수값을 곱하여 각 정점에 더하는 단계로 이루어짐을 특징으로 한다.

상기 최적화 과정은 원래의 메쉬에서 변형될 메쉬로 일정하게 분포되는 점을(으로) 투영(projection)하는 방법을 정의하는 단계와, 상기에서 정의된 투영 정보를 이용하여 에너지 함수(energy function)을 최소화하는 정점(vertex)의 위치를 반복적으로 구하여 메쉬를 변형시키는 단계를 수행하여 두 메쉬 사이의 거리를 최소화하기 위한 GORA(ICP) 알고리즘을 이용하는 것을 특징으로 한다.

상기 최적화 과정은 원래 메쉬의 형태와 경계(boundary)의 유지 및 단순화를 최적화하기 위해 ICP(Iterated Closest Point) 방법을 베이스 영역에 우선 적용하는 것을 특징으로 한다.

이하, 본 발명을 도면에 의거 설명하면 다음과 같다.

도1은 본 발명의 실시 예를 위한 리메슁 장치의 블럭도로서 이에 도시한 바와 같이, 입력 메쉬의 형태를 단순화하는 단순화 처리부(100)와, 단순화된 베이스 메쉬를 세분화하여 평탄화 처리하는 세분화 처리부(200)와, 상기 단순화 처리부(100)에서의 베이스 메쉬로부터 상기 세분화 처리부(200)에서의 출력인 세분화된 메쉬() 상으로의 투영을 실행하여 상기 세분화된 메쉬의 정점 위치를 조정함에 의해 두 메쉬간의 거리를 최소화하는 최적화 처리부(300)와, 원래 메쉬 및 상기 단순화 처리부(100)에서 순차적으로 단순화 처리된 베이스 메쉬를 기준 메쉬()로 하여 상기 최적화 처리부(300)로 입력시키는 기준 메쉬 입력부(400)를 구비하여 구성한다.

상기 단순화 처리부(100)는 도2의 블럭도에 도시한 바와 같이, 원래의 메쉬를 1차 단순화 처리하여 기준메쉬 입력부(400)로 입력시키는 단순화 회로(110)와, 이 메쉬 단순화 회로(110)에서의 메쉬를 2차 단순화 처리하여 상기 기준메쉬 입력부(400)로 입력시키는 단순화 회로(120)와, 이 메쉬 단순화 회로(120)에서의 메쉬를 3차 단순화 처리하여 최적화 처리부(300)로 입력시키는 단순화 회로(130)를 구비하여 구성한다.

상기 세분화 처리부(200)는 최적화 처리부(300)에서 출력되는 성긴 베이스 메쉬(coarse base mesh)를 입력으로 중간점에 대하여 세분화하는 중간점 세분화 회로(210)와, 상기 세분화된 메쉬를 평탄화하여 상기 최적화 처리부(300)로 입력시키는 평탄화 필터(220)를 구비하여 구성한다.

상기 평탄화 필터(220)는 메쉬 유선화 필터로 구성한다.

이와같이 구성한 본 발명의 실시예에 대한 동작 및 작용 효과를 상세히 설명하면 다음과 같다.

본 발명의 실시 예는 단순화 처리부(100)가 원래 메쉬를 단순화하여 세분된 연결성(subdivision connectivity)을 갖는 새로운 메쉬를 얻는 과정과, 세분화 처리부(200)가 상기 단순화 처리부(100)에서 단순화된 메쉬를 세분화(subdivision)하여 리파인(refine)시키는 과정과, 최적화 처리부(300)가 상기 세분화 처리부(200)에서 세분화된 메쉬를 원래 메쉬의 모양으로 변형(deformation)하는 과정을 구비하여 상기 최적화 처리부(300)에서 변형된 메쉬가 미리 설정된 조건을 만족할 때까지 상기 과정을 반복 실행하는 동작을 수행하게 된다.

이러한 본 발명의 실시 예에서의 동작을 각 과정별로 설명하면 다음과 같다.

1. 임의의 대상 물체를 표현하는 다각형 표면의 단순화(polygonal surface simplification) 과정을 도3 및 도5를 참조하여 설명하기로 한다.

본 발명의 실시 예에서의 단순화 과정은 원래 모델의 모양을 최대한 유지하면서 보다 적은 숫자의 다각형으로 모델을 표현하도록 원래의 모델에 대해 반복적인 에지 감축(iterative edge contraction)을 실행한다. 이는 단순화 처리부(100)에서 실행된다.

상기 단순화 처리부(100)는 대상 물체를 표현하는 원래의 메쉬를 다수개의 단순화 회로(110~130)를 순차적으로 통해 단순화하고 그 최종적으로 단순화된 메쉬를 최적화 처리부(300)로 입력시킨다.

그리고, 기준메쉬 입력부(400)는 상기 단순화 회로(110~130)에 입력되는 메쉬를 기준 메쉬()로 하여 상기 최적화 처리부(300)에 입력시키게 된다.

상기 단순화 처리부(100)에서 메쉬를 단순화할 때 에지를 제거하게 되는데, 임의의 에지를 제거할 때 그 에지의 양 끝점이 새로운 정점으로 치환된다. 보통 경계선 에지의 경우에는 하나의 페이스가 제거되고 경계선 에지가 아닌 경우에는 2개의 페이스가 제거된다.

단순화 과정에서 원래 모델의 모양을 최대한 유지시키기 위해 어떤 에지를 먼저 제거할 것인가에 대한 선택기준과 새로운 정점의 위치를 결정하는 조건에 따라 여러 가지 방법으로 세분될 수 있다.

본 발명의 실시예에서는 기하학(geometry)이나 위상 기하학(topology)에 대한 제약이 적고 비교적 실행속도가 빠르며 좋은 결과를 얻을 수 있는 Garland가 제안한 QEM(Quadric Error Metrices)를 이용한 반복적인 에지 붕괴(collapse) 방법을 예로 들어 설명하기로 한다.

즉, 단순화 처리부(100)는 QEM(Quadric Error Metrices)를 이용한 반복적 에지 감축(edge contraction)을 실행하여 표면 단순화를 달성하는 과정을 도3을 참조하여 설명하면 다음과 같다.

(1) 초기의 모든 정점들에 대해 Q 행렬들(matrices)을 계산한다.

(2) 축소시키기 위한 모든 에지 또는 정점의 유효 쌍(valid pair)(v₁,v₂)을 선택한다.

(3) 각각의 유효 쌍(v₁,v₂)에 대한 새로운 정점 위치()를 계산한다. 이때, 새로운 정점의 에러(는 이 쌍의 값(cost)이 된다.

(4) 위에서 구한 값에 따라 모든 쌍들을 힙(heap)에 정렬시킨다. 이때, 가장 적은 값을 가진 쌍이 힙(heap)의 꼭대기에 위치하게 된다.

(5) 힙에서 가장 작은 코스트를 가진 쌍(v₁,v₂)을 반복적으로 계산한다. 이때, 유효 쌍(v₁,v₂)을 축소(contraction)시키고 정점(v₁)을 포함하는 다른 모든 쌍들의 값을 업데이트(update)시킨다.

도3은 정점(v₁,v₂)의 쌍이 한점()으로 축소되는 에지 축소 방법을 나타낸 도면으로서 이때, 에지를 축소시키기 위해 유효 쌍(v₁+v₂)의 값과 새로운 정점()의 위치를 계산하기 위해 QEM을 이용한다.

그런데, QEM(Quadric Error Matrix)을 이용한 반복적인 에지 감축(collapse) 방법은 메쉬의 기하학(geometry)이나 위상 기하학(topology)에 대한 제약이 적고 비교적 실행 속도가 빠르며 좋은 품질을 얻을 수 있지만, 경계선에서 때때로 스파이크(spike)가 발생하고 그 경계선 주변에서 정점의 각도(degree)가 커지는 문제가 있다.

즉, 2차 곡면 에러(quadric error ; E_Q)가 발생할 수 있다.

아래에 2차 곡면 에러(quadric error ; E_Q)를 정의하고 유도하는 과정을 기재하였다.

메쉬(mesh)상의 각 정점에는 몇 개의 면(face)이 인접하게 된다. 예로, 정규적인 메쉬인 경우 각 정점에는 6개의 메쉬가 인접해 있다.

이때, 각 정점에서 근사화된 에러는 인접해 있는 면까지의 거리 제곱의 합으로 정의할 수 있다.

인접 면은 도4에 도시한 바와 같이, n^Tv+d=0을 만족하는 평면(plane)에 속한다. 여기서, n=[a b c]^T는 평면의 단위 노멀 벡터(normal vector)이고, d는 평면에서 정의되는 상수이다.

도 4는 2차원으로 근사화된 에지 축소를 나타낸 도면이다.

임의의 정점(v=[x,y,z]^T)에서 평면까지의 거리의 제곱을 아래의 [수학식 1]과 같이 정의할 수 있다.

이때, 2차 곡면(Quadric) 함수(Q)를 (A,b,c)=(nn^T,dn,d²)으로 정의하면 정점(v)에서의 2차 곡면 함수(Q(v))는 Q(v)=v^TAv+2b^Tv+c가 된다.

또한, 임의의 정점(v)에서 2차 곡면 에러(E_Q)는 아래의 [수학식 2]와 같이 2차 곡면 함수(Q_i)의 합으로 정의된다.

따라서, 상기 [수학식 2]에 의해 새로운 정점()의 위치를 다음과 같이 계산할 수 있다.

함수(Q())는 2차식(quadratic)이기 때문에 거리 에러(distance error)의 최소값을 갖는 정점()의 위치는 아래의 [수학식 3]을 만족하는 지점이 된다.

이때,가 되고,을 풀면 최적의 정점 위치=-A^-1b를 구할 수 있다.

요약하면, 2차의 에러 매트릭스를 이용하여 에지를 축소시키기 위해 유효 쌍(v₁+v₂)의 값을 상기 [수학식 2]에 의해 구한다. 이로부터 새로운 정점의 위치는=-A^-1b 가 되며, 새로운 정점()의 근사화된 거리 에러는 Q(v₁)과 Q(v₂)의 합으로 정의된다.

띠라서, 새로운 정점의 위치를 경계선 에지상의 QEM을 최소로 하는 점으로 제한하여 스파이크를 방지하고 정점이 가질 수 있는 각도(degree)를 제한한다.

2. 베이스 메쉬에 대한 세분화(subdivision) 과정을 도5를 참조하여 설명하기로 한다.

세분화 과정은 단순화 과정에서 원래의 메쉬에 대해 베이스 메쉬가 생성되면 그 베이스 도메인에 연속적인 세분화를 적용하여 세분화된 연결성(subdivision connectivity)을 갖는 메쉬를 얻는 과정으로, 이는 세분화 처리부(200)에서 이루어진다.

상기 세분화 처리부(200)는 중간점 세분화 회로(210)가 최적화 처리부(300)에서 출력되는 성긴 베이스 메쉬(coarse base mesh)를 입력으로 중간점에 대하여 세분화하고 평탄화 필터(320)가 상기 세분화된 메쉬를 평탄화하여 상기 최적화 처리부(300)로 입력시키게 된다.

상기 평탄화 필터(320)는 메쉬 체적을 축소시킴이 없이 세분화된 메쉬를 평탄하게 만든다.

즉, 세분화 과정에서는 반복적인 세분화를 적용하고 그때의 세분화된 메쉬를 평탄(smooth)하게 만들어 주는 루프 세분화(Loop subdivision) 방법을 사용한다.

그런데, 루프 세분화 방법을 적용하는 경우 리메슁 결과는 임시 정점들에서 불충분한 품질을 가질 수 있다.

즉, 루프 세분화 방법은 성긴 메쉬의 체적을 축소시키며 그러한 체적 축소는 최적화 처리 과정을 어렵게 만들 수 있다.

따라서, 본 발명의 실시예에서는 메쉬를 중간점을 가지고 세분화한 후 표면 유선화(fairing) 필터링을 수행하여 정규의 정점들에서 만큼 임시 정점들에서도 평탄화와 소형화를 개선되도록 한다.

즉, 상기 평탄화 필터(220)는 표면 유선화(surface fairing) 과정을 수행하여 중간점 세분화 회로(210)에서 세분화된 메쉬의 평탄화 정도(smoothness)를 증가시키게 된다.

표면 유선화(surface fairing) 방법의 일례로는 Taubin이 제시한 방법이 있다.

Taubin의 방법은 일반적인 위상(topology)을 갖는 삼각 메쉬의 유선화에 신호 처리적인 접근을 시도한 것으로, 메쉬에 일반적인 주파수(frequency)를 정의하기 위해 라플라시안(Laplacian)의 이산적 근사(discrete approximation)를 이용하고 이의 고유 벡터(eigen vector)를 주파수로 정의하였다.

이산적 표면 신호(discrete surface signal)의 이산적 라플라시안(descrete Laplacian)을 정의하면 아래의 [수학식 4]와 같다.

여기서, 가중치(weight) w_ij는 음이 아닌 값으로,=1이 된다.

본 발명의 실시예에서 표면 유선화 과정은 3단계로 이루어진다.

1단계 : 모든 정점들에 대해 도5(a)에 도시된 바와 같이 그 이웃하는 정점들로부터 근사치(△x)를 계산한다.

2단계 : 메쉬를 평탄화(smoothing)하는 동안 축소(shrinkage)가 발생하는 것을 방지하기 위하여 각 정점에 대해 근사치(△x)의 λ배 만큼을 더해준다. 여기서, λ는 0과 1사이의 값을 갖는다.

3단계 : 각 정점에 대해 λ대신 μ를 곱한 값을 더해준다. 여기서, μ는 음수로서 -λ보다 작은 값을 갖는다.

상기 과정은 메쉬가 충분히 평탄(smooth)하게 될 때까지 반복한다.

이러한 표면 유선화 방법은 구현된 회로의 메모리가 정점의 숫자에 비례하고 수행 시간이 매우 빨라 효과적이다.

3. 세분화된 메쉬를 기준메쉬의 형태에 가깝게 최적화하는 최적화 과정을 설명하기로 한다.

세분화 처리부(200)에서 세분화된 메쉬는 어떤 거리 에러를 가질 수 있고 또한, 충분히 평탄화되지 않을 수 있다.

최적화 과정은 세분화 처리부(200)에서 세분화된 메쉬를 기준 메쉬의 형태에 가깝게 최적화하는 과정으로, 최적화 처리부(300)에 의해 수행되어진다.

최적화 처리부(300)는 초기에 단순화 처리부(100)의 단순화 회로(130)에서의 베이스 메쉬를 기준메쉬 입력부(400)에서의 기준 메쉬()로 투영하여 그 기준 메쉬의 형태에 가깝게 변형하여 세분화 처리부(200)로 입력시키고 이 후, 세분화 처리부(200)에서의 베이스 메쉬를 상기 기준 메쉬 입력부(400)에서의 기준 메쉬()로 투영하여 그 기준 메쉬의 형태에 가깝게 변형하는 동작을 반복적으로 수행하게 된다.

상기 기준메쉬 입력부(400)는 단순화 처리부(100)의 단순화 회로(120),(110)에서의 베이스 메쉬, 상기 단순화 회로(100)로 입력되는 원래의 메쉬를 순차적으로 기준 메쉬()로 설정하여 최적화 처리부(300)로 입력시키게 된다.

따라서, 최적화 처리부(300)는 상기의 최적화 과정를 반복함에 의해 원래의 메쉬에 가깝게 변형된 메쉬를 복원시키게 된다.

이러한 최적화 과정은 도6의 예시도에 도시하였다.

이러한 최적화 과정은 전체적인(global) 에너지 함수를 최소화하는 것에 의해 메쉬 형태와 평탄화를 개선한다.

다시 말해서, 에너지 함수의 최소화는 방정식을 최소화하기 위한 세분화된 메쉬()의 모든 정점 위치를 계산하는 것으로, 이는 conjugate gradient 방법을사용하여 최소 제곱법 문제(least square problem)를 해결한다.

즉, 세분화된 메쉬의 정점 위치(position)(V)에 대해 에너지 함수 E(K,V)를 최소화할 때 선형 최소 제곱법 문제(linear least square problem)를 Conjugate Gradient method를 사용하여 해결한다.

이는 원래 메쉬에서 다른 메쉬로의 투영 정보를 이용하여 에너지 함수를 최소화하는 정점의 위치를 반복적으로 구하는 것으로, ICP(Iterated Closest Points 방법이라 한다.

이때, 기준 메쉬() 상의 점들을 세분화된 메쉬() 상의 가장 근접한 점들에 반복적으로 투영(projection)하는 방법은 세분화된 메쉬()의 정점들에 대하여 에너지 함수의 그레디언트(gradient)를 계산하고 이로부터 모든 정점의 위치들을 조정한다.

즉, 각 해상도 레벨 내에서 세분화된 메쉬()의 형태를 기준 메쉬()의 형태에 가능한 가깝게 최적화시킬 때 두 메쉬간의 거리를 계산하기 위하여 기준 메쉬() 상의 점들의 집합은 세분화된 메쉬() 상으로 투영시킨다.

만일, 임의의 점들이 세분화된 메쉬() 상의 임의의 점으로 투영되지 않을 때 세분화된 메쉬()의 면 상의 4 점들은 기준 메쉬() 상의 가장 근접한 점들로 투영된다.

이때, 가장 근접한 점들은 4 점들의 일치하는 점들이라고 가정하면 기준 메쉬() 상의 4개의 가장 근접한 점들과 이웃하는 영역에 있는 점의 집합()의임의의 점들은 세분화된 메쉬() 상의 4 점의 이웃 영역으로 재투영된다.

그리고, 세분화된 메쉬()가 거칠(coarse) 때 세분화된 메쉬()로부터 입력 메쉬를 상세하게 묘사할 수 없기 때문에 단순화된 입력 메쉬를 기준 메쉬()로 사용하는 다중 레벨 투영을 적용한다.

즉, 거친 베이스 메쉬는 입력 메쉬를 단순화하는 것에 의해 생성되기 때문에 베이스 메쉬의 형태는 세밀한 입력 메쉬의 형태보다 단순화된 입력 메쉬의 형태에 가깝다.

따라서, 단순화된 입력 메쉬로부터 베이스 메쉬로의 투영은 세밀한 입력 메쉬로부터 베이스 메쉬로의 투영보다 더 신뢰할 수 있다.

그런데, 입력 메쉬가 매우 복잡할 때 입력 메쉬 상의 점에 대해 세분화된 메쉬 상의 가장 근접한 점은 일치되는 점이 아닐 수 있다.

이 경우, 에너지 함수가 스프링 에너지 표현을 포함하더라도 전체적인 에너지 함수의 최소화는 불충분한 실행 즉, face flip, 불충분한 평탄화 및 큰 거리 에러를 야기시킬 수 있다. 즉, 잘못된 투영은 최적화된 메쉬가 나쁜 기하학적인 도형 특성 즉, face flip 과 나쁜 평탄화를 가지게 할 수 있다.

따라서, face flip을 방지하고 결과적으로 표면의 간결화(compactness)를 위하여 새로운 투영 방법을 사용하기로 한다.

일반적으로 메쉬는 경계선을 가질 수 있다.

이러한 경계선을 잘 보존하는 것은 메쉬의 전체적인 모양을 보존하는데 매우중요한 요소이다.

메쉬의 전체적인 모양을 보존하기 위해 F-to-F(Face to Face) 투영과 B-to-B(Boundary to Boundary) 투영을 각각 정의한다.

먼저, F-to-F 투영은 기준 메쉬상의 표면에서 면적에 따라 일정하게 분포되는 점을 선택하고 그 선택된 점을 세분화된 메쉬의 표면 상으로 투영시키는 것이다.

이때, 투영된 점이 임의의 정점에 가까울수록 그에 해당하는 무게중심 좌표 벡터에 비례해서 정점의 기울기(gradient)에 영향을 주게 된다.

즉, 하나의 면 내로 투영되는 하나의 점이 면의 3 정점중 하나에 근접하게 될 때 정점에서 에너지 함수의 그레디언트(gradient)는 투영점에 의해 좌우된다.

만일, 임의의 점이 하나의 면 상으로 투영되지 않을 경우 그레디언트는 면에 대한 정보를 포함하지 않고 있어 면은 간략화가 불충분하게 될 수 있고 면 주위이 영역도 평탄화가 불충분하게 될 수 있으므로 세분화된 메쉬 상의 임의의 점들을 선택하고 이를 기준 메쉬 상으로 투영하게 된다.

F-to-F 투영은 시간이 오래 걸리는 작업이므로 공간 분할 방법을 이용하여 투영 시간을 단축한다.

추가의 속도향상을 위해 각 단계마다의 결합의 긴밀성(coherence)을 이용할 수 있다. 즉, 임의의 레벨에서 투영은 이전 레벨에서의 투영 위치 근처로 수행된다는 점을 이용하면 수행시간을 크게 단축시킬 수 있다.

B-to-B 투영은 경계선 모양을 유지하기 위해 정의된 방법으로, 경계 에지들상의 모든 점들이 오직 다른 메쉬의 경계 에지들로 투영되므로 다른 메쉬의 형태에 가능한 더 가깝게 하나의 메쉬의 형태를 만드는 방법이다.

B-to-B 투영의 예는 도7에 도시하였다.

도7은 토끼 모델(bunny model)(920 faces)의 B-to-B 투영 예시도로서, 붉은 색 점은 원래의 메쉬상에 있는 경계선을 나타내고 검은색점은 투영된 점을 표시한다. 도8는 도7에서 타원부분을 확대 표시한 것이다.

즉, F-to-F 투영은 임의의 면에서 면으로의 투영이고 B-to-B 투영은 에지에서 에지로의 투영이라고 정의할 수 있다.

그런데, 최적화된 메쉬의 형태는 어떤 점들이 투영되었는지에 따라 크게 좌우되는데 만일, 경계가 복잡한 형태일 경우 오직 face-to-face 투영만을 사용하는 변형은 경계의 복잡한 형태를 유지하기가 어렵다.

따라서, 본 발명의 실시예에서는 F-to-F 투영과 B-to-B 투영을 함께 수행하도록 구현하며 이때 B-to-B 투영이 F-to-F 투영보다 큰 가중치를 갖도록 한다.

또한, 본 발명의 실시예에서 F-to-F 투영과 B-to-B 투영은 각각 따로 수행하도록 구현할 수 있다.

전체적인 에너지 함수에 있어서, B-to-B 투영은 F-to-F 투영보다 더 큰 가중치를 가지도록 한다.

한편, 상기의 최적화 과정을 수학식을 이용하여 설명하면 다음과 같다.

전체적인 에너지 함수는 각 세분화 메쉬로부터 입력 메쉬로의 거리와, 스프링 에너지 함수의 2가지로 표현된다.

그리고, 유사 함수(similar function)는 비성형의 파인트(unorganized pints)로부터 최적화된 메쉬의 생성을 위해 사용된다.

상기 최적화 처리부(300)는 세분화된 메쉬를 원래의 형태에 최대한 가깝게 변형시키기 위하여 세분화된 메쉬() 의 정점 위치를 조정하는 것에 의해 두 메쉬간의 거리를 최소화하게 된다.

이를 위해 에너지 함수(energy function)을 아래의 [수학식 5]와 같이 정의하고 이 에너지 함수를 최소화하는 변형된 메쉬를 찾는다.

그리고, 두 메쉬사이의 거리 에너지(distance energy)를 측정하기 위해 임의의 메쉬상에서 다른 메쉬로 면적에 따라 일정하게 분포되는 투영(projection)을 이용하며 이때, 투영 속도를 향상시키기 위해 공간 분할 데이터 구조를 사용한다.

두 메쉬 사이에 거리 제곱의 합을 아래의 [수학식 6]과 같이 거리 에너지로 표현할 수 있다.

상기 p_l은 원래 메쉬상의 한점이고, 상기 p_c는 다른 메쉬 상으로 투영되는 점이다.

이때, p_c가 면(face) 상의 한점이라면 기준 메쉬() 상의 점() 에 대하여 세분화된 메쉬() 상의 가장 근접한 점()이 면() 상에 위치할 때 그 근접한 점()은 아래의 [수학식 7]과 같이 나타낼 수 있다.

상기 v_i,v_j,v_k는 각각 면(face)의 세 정점을 나타내고, 상기,,는 무게중심 좌표 벡터(barycentric coordinate vector)를 나타낸다.

여기서,,,는 '0'~'1'의 값으로이다.

그런데, 입력 메쉬가 매우 복잡할 때 입력 메쉬 상의 점에 대해 세분화된 메쉬 상의 가장 근접한 점은 일치되는 점이 아닐 수 있다.

이 경우, 전체적인 에너지 함수의 최소화는 불충분한 실행 즉, face flip, 불충분한 평탄화 및 큰 거리 에러를 야기시킬 수 있다. 즉, 잘못된 투영은 최적화된 메쉬가 나쁜 기하학적인 도형 특성 즉, face flip 과 나쁜 평탄화를 가지게 할 수 있다.

따라서, face flip을 방지하고 결과적으로 표면의 간결화(compactness)를 위하여 스프링 에너지 함수를 사용한다.

에너지 함수가 최소값을 갖도록 하는 스프링 에너지 함수(spring energy function)는 아래의 [수학식 8]과 같이 정의한다.

상기,은 세분화된 메쉬() 상의 에지()의 두 끝 정점들이다.

이때, k값으로 에지 길이나 표면 영역 등을 고려할 수 있지만, 단순히 '1'로 해석하는 것은 계산량이 줄이고 좋은 결과를 얻을 수 있다.

따라서, 상기 [수학식 8]을 최소화하면 각 정점을 이웃 정점들과 끌어 당기도록 만들어 메쉬는 전체적으로 평탄화와 소형화된다.

즉, 세분화된 메쉬()를 원래의 메쉬에 최대한 가깝게 변형시키기 위한 에너지 함수는 아래의 [수학식 9]와 같이 나타낼 수 있다.

상기는 원래 메쉬상의 한점이고, 상기는 다른 메쉬 상에 대응되는 점이며, 상기는 각 세분화된 메쉬 상의 점()을 투영하기 위한 가중치 인자이고, 상기 λ은 사용자가 임의로 정할 수 있는 스프링 상수이다.

또한, 본 발명의 실시예에 대한 동작을 도면을 참조하여 설명하기로 한다.

우선, 본 발명의 전체적인 과정을 도6의 예시도를 참조하여 설명하면, 좌측 컬럼의 하단부터 우측 컬럼의 상단까지 시계 방향으로 표시된 메쉬가 단순화 처리부(100)에서 순차적으로 만들어 지는 메쉬이고 우측 컬럼의 상단부터 그 우측 컬럼의 하단까지 표시된 메쉬가 세분화 처리부(200)에 의해 만들어지는 메쉬이며 각 행의 좌,우측 컬럼간의 투영 과정이 최적화 처리부(300)에서 이루어진다.

그리고, 본 발명의 실시예에서의 효용성을 입증하기 위해 다양한 모델에 대해 리메슁 과정 및 결과를 도9 및 도10을 참조하여 설명하기로 한다.

도9는 마네킹을 모델로 하여 리메슁 과정과 결과를 도시한 것으로, 도9(a)는 원래의 메쉬(orginal mesh) M(25327 faces), 도9(b)는 Base mesh (4faces), 도9(c)는 Remesh M^J(J=1;16faces), 도9(d)는 Remesh M^J(J=2;64faces), 도9(e)는 Remesh M^J(J=3; 256faces), 도9(f)는 Remesh M^J(J=4; 1024faces), 도9(g)는 Remesh M^J(J=8; 262144faces)이다.

먼저, 리메슁을 하기 위해 도9(a)의 원래의 메쉬를 단순화 시켜 도9(b)의 베이스 도메인을 만든다.

이 후, 도9(b)의 베이스 도메인 메쉬를 세분화한 후 ICP 알고리즘을 이용해 도9(c)와 같이 원래의 메쉬에 최대한 가깝게 변형시킨다.

이 후, 주어진 조건(Hausdorff distance)을 만족할 때까지 세분화와 변형을 반복하여 순차적으로 도9(d)~도9(f)와 같은 베이스 메쉬로 순차적으로 변형시킨다.

따라서, 상기 과정을 반복함에 의해 최종적으로 도9(g)와 같은 리메슁 결과를 얻을 수 있다. 도9(g)는 Hausdorff distance를 5x10^-4로 정했을 때 GORA(ICP) 방법을 8번 적용한 결과를 도시한 것이다.

그리고, 도10은 말(horse)을 모델로 한 리메슁 과정과 그 결과를 나타낸 것으로, 도10(a)는 orginal mesh M(96966 faces), 도10(b)는 base mesh (200 faces), 도10(c)는 Remesh M^J(J=2; 3200faces), 도10(d)는 Remesh M^J(J=3; 12800faces), 도10(e)는 Remesh M^J(J=2; 3200faces)이다.

또한, 본 발명의 결과를 기존의 방법과 비교하였다.

도11은 토끼(Bunny)를 모델로 하여 각각의 방법(MAPS, shrink wrapping, GORA)을 이용한 리메슁 결과를 나타낸 도면으로, 도11(a)는 original bunny model, 도11(b)는 using MAPS, 도11(c)는 using shrink wrapping, 도11(d)는 using GORA이다.

따라서, 본 발명의 실시예의 결과를 기존에 제안된 매개 변수를 이용한 리메슁(MAPS)의 결과와 비교하면 메쉬 전 부분에 걸쳐 평탄화(smooth)되었음을 확인할 수 있다.

일반적으로 리메슁된 메쉬의 품질을 측정하기란 매우 어렵다. 이것은 절대적인 기준이 있는 것이 아니라 주어진 상황에 따라 기준이 달라질 수 있기 때문이다.

일반적으로 많이 쓰이고 있는 메쉬의 질을 측정하기 위한 기준으로 다음과 같은 것들이 있다.

첫째, 가장 중요한 요소는 원래 물체의 모양을 최대한 유지하는 것이다. 즉, 리메슁된 메쉬는 원래 메쉬의 모양과 최대한 비슷해야 한다.

여기에는 경계선(boundary) 모양의 유지도 함께 포함된다.

이를 위해 보통 Hausdorff distance나 평균 제곱거리 에러(average squareddistance error)를 많이 이용한다.

둘째, 메쉬의 모양이 비슷하다면 정점의 숫자가 적을수록 좋다. 이것은 데이터의 저장이나 랜더링등, 기타 처리시간이 감소함을 의미하기 때문이다.

셋째, 일반적인 메쉬에서 정점들간의 거리가 정규적(regular)일수록 좋다고 할 수 있는데, 이것은 메쉬의 전체적인 해상도가 증가함을 의미한다.

따라서, 본 발명에서 리메슁된 메쉬의 품질을 알아 보기 위해 Hausdorff distance, 평균 제곱거리 에러, 트라이앵글 콤팩트니스, 메쉬 해상도, 에지 길이 스프레드를 측정하여 비교하였다.

그 비교 결과는 도12~도17에 도시하였다.

본 발명의 리메슁 결과를 Lee와 Kobelt가 제안한 방법의 결과와 비교해보면 다음과 같다.

먼저, 도12는 QEM 결과와 GORA 방법을 적용한 베이스 도메인의 평균 제곱 거리 에러를 비교한 표로서, GORA 방법을 적용하였을 때 에러가 작음을 알 수 있다. 이때, 모든 메쉬에 대해 크기에 상관없이 일정한 처리를 위해 단일 입방체(unit cube)에 맞게 변환한 후 단순화 및 리메슁을 적용하였다.

그리고, 리메슁의 정확도를 비교하기 위해 원래의 메쉬와 리메슁된 메쉬 사이의 거리 에러를 측정하고, 그 결과를 도13의 도표에 도시하였다.

도13의 도표에 도시한 바와 같이, 본 발명의 방법(GORA)에 따른 결과가 Hausdorff 거리(Hausdorff distance)와 평균 제곱 거리(Average squared distance)에서 모두 작음을 알 수 있다. 즉, 본 발명에서 제안한 리메슁 방법이 MAPS의 방법보다 원래의 모양을 잘 유지한다고 말할 수 있다.

여기서, Kobelt의 리메슁결과는 위상(topology)이 원래의 모델과 다르기 때문에 거리 에러 비교에서는 제외시켰다.

다음으로 리메슁된 토끼 모델의 정규적 품질(regularity quality)를 측정하기 위해 모든 페이스들에 대해 콤팩트니스의 평균과 분산을 비교하였다. 이 결과는 도14의 표 및 도16의 예시도에 도시한 바와 같다.

도16은 본 발명과 기존 방법에 따른 콤팩트니스의 히스토그램을 도시한 것이다.

따라서, 본 발명에서 제안한 GORA 방법이 전체적인 콤팩트니스가 가장 높게 나옴을 알 수 있다. 이는 각 페이스의 정규적 품질이 다른 방법에 비해 좋음을 의미하는 것이다.

마지막으로 리메슁된 토끼 모델의 메쉬 해상도(resolution)와 에지 길이 스프레드(edge length spread)를 측정하였다. 이 결과는 도15에 도시한 바와 같다.

여기서, Shrink Wrapping 방법의 결과 메쉬는 페이스 숫자가 달라 절대적인 비교를 할 수 없지만, MAPS 방법과 비교하면 본 발명에서 제안한 방법의 결과가 도15의 표와 도17의 히스토그램에 도시된 바와 같이 해상도가 높고 에지 길이 폭(sprea)이 좁다는 것을 알 수 있다.

도 17은 에지 길이 히스토그램(edge length histogram)을 나타낸 것이다.

상기에서 상세히 설명한 바와 같이 본 발명은 원래의 메쉬를 단순화 시켜 베이스 도메인을 얻고 이 베이스 도메인을 세분화한 후 원래의 메쉬에 최대한 가깝게 변형시키도록 함으로써 기존에 제시된 방법보다 투영 에러를 작아지도록 하는 효과가 있다.

즉, 본 발명은 거리 에러(distance error)가 작아 원래 메쉬의 모양을 잘 보존하며 메쉬 해상도가 기존의 방법에 비해 높으로 전체적인 메쉬의 정규적 품질이 향상시킬 수 있는 효과가 있다.

이와같은 본 발명은 웨이블렛(wavelets)을 이용한 메쉬 압축이나 다른 다중해상도 표현(multiresolution representation) 등에 효과적으로 적용할 수 있다.

Claims (25)

1. 원래의 메쉬를 단순화시키는 과정과, 상기 단순화 과정에서 단순화된 메쉬를 세분화(subdivision)하여 리파인(refine)시키는 세분화 과정과, 상기에서 세분화된 메쉬를 최적화하여 원래 메쉬의 모양으로 변형(deformation)시키는 최적화 과정과, 상기에서 원래 메쉬의 형태로 변형된 메쉬가 미리 설정된 조건을 만족할 때까지 상기 세분화 과정부터 반복 실행하는 과정으로 이루어짐을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
2. 제1항에 있어서, 미리 설정된 조건은 Hausdorff distance임을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
3. 제 1항에 있어서, 단순화 과정은 모든 정점의 위치를 계산하는 단계와, 모든 정점에 대해 유효쌍을 선택하는 단계와, 상기에서 선택된 유효쌍에 대해 새로운 정점(vertex)의 위치를 계산하는 단계와, 상기에서 계산된 위치에 해당 유효쌍을 힙(heap)에 정렬시켜 에지를 감축시키는 단계를 반복 수행하는 QEM(Quadric Error Matrix)을 이용한 반복적인 에지 축소 과정을 적용하는 것을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
4. 제1항에 있어서, 상기 원래 메쉬의 모양에 최대한 가깝게 변형시키는 과정은두 메쉬 사이의 거리들을 최소화하기 위해 원래의 메쉬에서 변형될 메쉬로 일정하게 분포되는 투영(projection)을 정의하고, 정의된 프로젝션 정보를 이용하여 에너지 함수(energy function)을 최소화하는 정점(vertex)의 위치를 반복적으로 구하여, 정의된 프로젝션 거리를 최소화시키는 메쉬의 변형을 찾는 과정의 수순을 포함하는 ICP 알고리즘을 이용하는 것을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
5. 제1항에 있어서, 세분화 과정은 세분화된 연결성(subdivision connectivity)을 갖도록 중간점에 대하여 베이스 메쉬를 세분화하는 단계와, 이 세분화된 메쉬를 평탄화하는 단계로 이루어짐을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
6. 제5항에 있어서, 평탄화 단계는 표면 유선화 방법을 적용하는 것을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
7. 제5항 또는 제6항에 있어서, 평탄화 단계는 모든 정점에 대해 이웃하는 정점들로부터 오차를 계산하는 제1 단계와, 각 정점에 대해 오차의 임의의 배수값만큼을 합하는 제2 단계와, 상기 오차값에 임의의 상수값을 곱하여 각 정점에 더하는 제3 단계로 이루어짐을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
8. 제1항에 있어서, 최적화 과정은 원래의 메쉬에서 변형될 메쉬로 일정하게 분포되는 점으로의 투영(projection)을 정의하는 제1 단계와, 상기에서의 투영 정보를 이용하여 에너지 함수(energy function)을 최소화하는 정점(vertex)의 위치를 반복적으로 구하는 제2 단계와, 상기에서 구한 정점의 위치를 참조하여 두 메쉬간의 거리를 최소화하는 제3 단계로 이루어짐을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
9. 제8항에 있어서, 제1 단계의 투영은 기준 메쉬 상에 동일하게 분포된 점을 선택하고 세분화된 메쉬 상의 점을 투영하는 Face-to-Face 투영임을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
10. 제8항에 있어서, 제1 단계의 투영은 기준 메쉬 상에 동일하게 분포된 점을 선택하고 세분화된 메쉬 상의 점을 투영하는 Face-to-Face 투영과, 경계 에지 상의 모든 점들을 다른 메쉬 상의 경계 에지로 투영하는 B-to-B 투영을 함께 사용하는 것을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
11. 제10항에 있어서, B-to-B 투영의 가중치를 F-to-F 투영의 가중치보다 높게 설정하는 것을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
12. 제9항 또는 제10항에 있어서, F-to-F 투영의 속도를 향상시키도록 공간 분할데이터 구조를 사용하는 것을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
13. 제8항에 있어서, 제2 단계는 원래 메쉬의 형태 및 경계(boundary), 단순화된 메쉬를 최적화하도록 ICP(Iterated Closest Point) 방법을 베이스 영역에 우선 적용하는 것을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
14. 제8항에 있어서, 제3 단계는 아래의 수학식과 같이 거리 에너지와 스프링 에너지 함수의 합으로 표현된 에너지 함수를 최소화하는 것을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
15. 제14항에 있어서, 거리 에너지는 아래의 수학식과 같이 두 메쉬 사이의 거리의 제곱의 합으로 표현되는 것을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.

    상기 p_l은 원래 메쉬상의 한점이고, 상기 p_c는 다른 메쉬 상으로 투영되는 점이다.
16. 제14항에 있어서, 스프링 에너지 함수(spring energy function)는 아래의 수학식과 같이 정의하여 에너지 함수가 최소값을 갖도록 함을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.

    상기,은 세분화된 메쉬() 상의 에지()의 두 끝 정점들이다.
17. 제16항에 있어서, k값은 '1'로 설정함을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
18. 제14항에 있어서, 에너지 함수는 기준 메쉬() 상의 점() 에 대하여 세분화된 메쉬() 상의 가장 근접한 점()이 면() 상에 위치한다고 가정하여 아래의 수학식과 같이 변형하는 것을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.

    상기는 원래 메쉬상의 한점이고, 상기는 다른 메쉬 상에 대응되는 점이며, 상기는 각 세분화된 메쉬 상의 점()을 투영하기 위한 가중치 인자이고, 상기 λ은 사용자가 임의로 정할 수 있는 스프링 상수이다.

    여기서,로서, 상기 v_i,v_j,v_k는 각각 면(face)의 세 정점을 나타내고, 상기,,는 무게중심 좌표 벡터(barycentric coordinate vector)를 나타낸다.
19. 제18항에 있어서, 무게중심 좌표 벡터(,,)는 '0'~'1'의 값으로을 만족하는 것을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 방법.
20. 입력 메쉬의 형태를 단순화하는 단순화 처리 수단과, 단순화된 베이스 메쉬를 세분화하여 평탄화 처리하는 세분화 처리 수단과, 상기 단순화 처리 수단에서의 베이스 메쉬로부터 상기 세분화 처리 수단에서의 세분화된 메쉬() 상으로의 투영을 실행하여 상기 세분화된 메쉬의 정점 위치를 조정함에 의해 두 메쉬간의 거리를 최소화하는 최적화 처리 수단과, 원래 메쉬 및 상기 단순화 처리 수단에서 순차적으로 단순화 처리된 베이스 메쉬를 기준 메쉬()로 하여 상기 최적화 처리 수단으로 입력시키는 기준 메쉬 입력 수단을 구비하여 구성함을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 장치.
21. 제20항에 있어서, 단순화 처리 수단은 원래의 메쉬를 1차 단순화 처리하여 기준메쉬 입력 수단으로 입력시키는 제1 단순화 회로와, 이 제1 단순화 회로에서의 메쉬를 2차 단순화 처리하여 상기 기준메쉬 입력 수단으로 입력시키는 제2 단순화회로와, 이 제2 단순화 회로에서의 메쉬를 3차 단순화 처리하여 최적화 처리 수단으로 입력시키는 제3 단순화 회로를 구비하여 구성함을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 장치.
22. 제20항에 있어서, 세분화 처리 수단은 최적화 처리 수단에서 출력되는 성긴 베이스 메쉬(coarse base mesh)를 입력으로 중간점에 대하여 세분화하는 중간점 세분화 회로와, 상기 세분화된 메쉬를 평탄화하여 상기 최적화 처리 수단으로 입력시키는 평탄화 필터를 구비하여 구성함을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 장치.
23. 제22항에 있어서, 평탄화 필터는 메쉬 유선화 필터로 구성함을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 장치.
24. 제20항에 있어서, 최적화 처리 수단은 기준 메쉬() 상의 점() 에 대하여 세분화된 메쉬() 상의 가장 근접한 점()이 면() 상에 위치한다고 가정할 때 아래의 수학식과 같은 에너지 함수를 최소화하도록 구성함을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 장치.

    상기는 원래 메쉬상의 한점이고, 상기는 다른 메쉬 상에 대응되는 점이며, 상기는 각 세분화된 메쉬 상의 점()을 투영하기 위한 가중치 인자이고, 상기 λ은 사용자가 임의로 정할 수 있는 스프링 상수이다.

    여기서,로서, 상기 v_i,v_j,v_k는 각각 면(face)의 세 정점을 나타내고, 상기,,는 무게중심 좌표 벡터(barycentric coordinate vector)를 나타낸다.
25. 제24항에 있어서, 무게중심 좌표 벡터(,,)는 '0'~'1'의 값으로임을 특징으로 하는 3차원 다각형 표면의 리메슁 최적화 장치.