KR100299883B1

KR100299883B1 - 반도체디바이스의시뮬레이션방법

Info

Publication number: KR100299883B1
Application number: KR1019980013004A
Authority: KR
Inventors: 이꾸히로 요꼬따; 다까히로 이이즈까
Original assignee: 가네꼬 히사시; 닛뽕덴끼 가부시끼가이샤
Priority date: 1997-04-11
Filing date: 1998-04-11
Publication date: 2001-09-06
Also published as: KR19980081335A; JPH10289995A; JP3221354B2; US6023575A; EP0871135A1

Abstract

본 발명은 컴퓨터에 의한 반도체 디바이스의 수치해석에서, 에너지 수송모델을 결합법 (Newton 법) 을 이용하여 해석하는 경우에, 높은 인가 바이어스의 해석이나 인가 바이어스의 변동이 큰 해석에서도, 비교적 짧은 계산시간으로 해에 근사한 캐리어 온도의 초기값을 부여하여, 시뮬레이션을 고정밀도화 및 고속화하는 시뮬레이션 방법을 제공하는 것이다.

본 발명은 반도체 디바이스의 수치해석에서, 에너지 수송모델을 결합법 (Newton 법) 을 이용하여 해석하는 경우에, 캐리어 온도의 초기값을 드리프트 확산 모델을 해석하여 얻은 전계의 값을 이용하여 전계와 캐리어 온도의 관계식으로부터 계산하여 설정하는 처리수단을 갖는다.

Description

반도체 디바이스의 시뮬레이션 방법{METHOD OF SIMULATING A SEMICONDUCTOR DEVICE}

본 발명은 반도체 디바이스의 시뮬레이션 방법에 관한 것이다.

반도체 디바이스 시뮬레이션 기술로는, 예를들어, 하기의 문헌 등을 참조할 수 있다.

(1) 단 료 편저, 「프로세스·디바이스·시뮬레이션기술」, 산업도서, pp.99 ∼ 104, 1990 년.

(2) R. Thoma et al., "Hydrodynamic Equations for Semiconductors with Nonparabolic Band Structure", IEEE Transactions on Electron Devices, Vol. 38, No.6, pp.1343∼1353, June, 1991.

(3) 요꼬야마 기요유끼 외, "완화시간근시의 기본 검토" (A Study on Relaxation Time Application for Semiconductor Device Analysis), 신학기법SSD 84-68, Vol.84, No. 180, pp. 31∼36, 1984.

(4) K. W. Chai et al., "HYDRODYNAMIC SIMULATION OF ELECTRON HEATING IN CONVENTIONAL AND LIGHTLY-DOPED-DRAIN MOSFETS WITH APPLICATION TO SUBSTRATE CURRENT CALCULATION", International J. of Numercial Modelling : Electronic Networks, Devices and Fields, Vol. 5, pp. 53∼66, 1992.

(5) R. K. Cook, "Numerical Simulation of Hot-Carrier Transport in Silicon Bipolar Transistors", IEEE Transaction on Electron Devices, Vol. 30, No. 9, pp. 1103 ∼ 1109, 1983.

(일반적인 디바이스 시뮬레이션의 개요)

반도체 디바이스의 수치 해석에 있어서는, 캐리어 (전자, 정공)를 유체로 간주하여 근사시킨 드리프트 확산모델과, 보다 고차원으로 근사시킨 에너지 수송모델이 널리 사용되고 있다. 정상상태에서의 드리프트 확산모델의 디바이스 시뮬레이션에서는, 기본 방정식으로서, 이하에 나타낸 바와 같은, 전하보존식, 전자전류연속식 및 정공전류연속식이 설정된다 (상기 문헌 (1) 참조).

div D = ρ (전하보존식) … (1)

D = εE … (2)

E = -grad φ … (3)

ρ = q (p - n + N_D- N_A) … (4)

D = 전속밀도

ρ = 전하밀도

E = 전계

ε = 유전율

q = 단위 전하

p = 정공 밀도

n = 전자 밀도

N_D= 도너 밀도

N_A= 억셉터 밀도

div J_n= q·(R-G) (전자전류연속식) … (5)

div J_p= -q·(R-G) (정공전류연속식) … (6)

J_n= 전자전류

J_p= 정공전류

R = 캐리어 재결합항

G = 캐리어 생성항

J_n= q·n·μ_n·E + q·D_n·grad n … (7)

J_p= q·p·μ_p·E - q·D_p·grad p … (8)

μ_n: 전자이동도

μ_p: 정공이동도

D_n: 전자확산계수

D_p: 정공확산계수

D_n＝ μ_n·｛(k_B·T)/q｝… (9)

D_p＝ μ_p·｛(k_B·T)/q｝… (10)

k_B: 볼쯔만 상수

T : 격자온도

상기 식에서 알 수 있는 변수는 포텐셜 (φ), 전자밀도 (n), 정공밀도 (p)이다.

정상상태의 에너지 수송모델은 상기 드리프트 확산모델의 방정식에 캐리어 (전자와 정공) 의 에너지 보존식이 부가되어 다음과 같은 형태의 식으로 설정된다 (상기 문헌 (2) 참조).

div D ＝ ρ (전하보존식) … (11)

D ＝ εE … (12)

E ＝－grad φ … (13)

ρ ＝ q(p－n＋N_D－N_A) … (14)

div J_n＝ q·(R－G) (전자전류연속식) … (15)

div J_p＝－q·(R－G) (정공전류연속식) … (16)

…(17)

…(18)

T_n ^＊: 전자온도

T_p ^＊: 정공온도

τ_in: 전자운동량 완화시간

τ_ip: 정공운동량 완화시간

…(19)

…(20)

m_n ^＊: 전자의 유효질량

m_p ^＊: 정공의 유효질량

M_n ^－1: 전자의 역유효질량 텐서

M_p ^－1: 정공의 역유효질량 텐서

〈〉: k 공간에서의 평균조작

(전자에너지보존식) …(21)

(정공에너지보존식) …(22)

S_n: 전자에너지류 밀도

S_p: 정공에너지류 밀도

T_n _eq: 전자평형온도

T_p _eq: 정공평형온도

… (23)

… (24)

: 평균전자에너지

: 평균정공에너지

: 전자평형에너지

: 정공평형에너지

τ_wn: 전자에너지 완화시간

τ_wp: 정공에너지 완화시간

… (25)

… (26)

… (27)

… (28)

τ_sn: 전자에너지류 밀도 (S_n) 에 대응하는 완화시간

τ_sp: 정공에너지류 밀도 (S_p) 에 대응하는 완화시간

v_n: 전자속도

v_p: 정공속도

상기 에너지 수송모델의 식으로 알 수 있는 변수는 포텐셜 (φ), 전자밀도 (n), 정공속도 (p), 전자온도 (T_n ^＊) 및 정공온도 (T_p ^＊) 이다. 여기서, 캐리어온도의 기호에 ＊ 을 붙인 것은 다음 식과 같은 열역학적인 온도의 정의와 구별하기 위함이다. 번잡을 피하기 위하여, 하기 설명에서는 ＊ 을 생략하기로 한다.

… (29)

… (30)

일반적으로, 지정된 복수의 인가 디바이스를 경계조건으로 하여, 순차적으로 바이어스를 갱신하여 이들 전하보존식, 전자전류연속식, 정공전류연속식, 전자에너지 보존식 및 정공에너지 보존식의 5 가지 방정식이 계산된다.

이들 식은 비선형 방정식이므로, 일반적으로 「뉴튼법」 이라 불리는 반복계산을 실행하여 해를 구한다. 뉴튼법이란 다음과 같은 수법이다.

변수(x) 에 대하여 방정식 (31) 이 주어져 있다고 하자. 어떤 초기값 (x₀) 를 부여하였을 때, 어떤 변수량 (δx₀) 을 x₀에 가한 값이 해를 줄 수 있으면, 다음 식 (32) 으로 된다.

F(x) ＝ 0 … (31)

F(x₀＋δx₀) ＝ 0 … (32)

그리고, F(x) 의 미분계수를 F′(x₀) 로서, F(x₀＋δx₀) 을 δx₀에 대해 일차 테일러 전개를 실시하면, 다음 식 (33), (34) 으로 된다.

F(x₀＋δx₀)

＝ F(x₀) ＋ F′(x₀)δx₀

＝ 0 … (33)

δx₀＝－F(x₀)/F′(x₀) … (34)

그러면, 이번에는 다음 식 (35) 에 있어서, x₁에 대하여 동일한 계산을 한다.

x₁＝ x₀＋δx₀… (35)

이를 순차적으로 반복하여 ⅰ 회째 계산에서의 δx_ⅰ이 적당한 미소량 (ε)보다 작아졌으면 (이것을 “수렴(converge)하였다”라 하고, 이 판정을 “수렴판정”, 미소량 (ε) 을 “수렴조건” 이라 함), 이때의 x_ⅰ가 방정식 (31) 의 해이다.

처리의 흐름은 도 6 에 흐름도로 나타낸 수순으로 된다.

또한, 도 7 은 이 수순을 개략적으로 나타낸 것이다. 일차원의 경우에는, 도 7 과 같이, 접선과 x 축의 교점을 다음번의 x 값으로 하면서 해에 근접해간다. 주어진 초기값이 해에 가까우면 가까울수록, 해를 구하는데 필요한 반복회수가 작아도 되므로, 해를 얻기까지의 계산시간이 짧아진다. 즉, 해에 보다 가까운 초기값일수록, 보다 좋은 초기값이다. 이상이 뉴튼법의 수법이다.

상기 뉴톤법 설명에 있어서는, 변수가 1개인 방정식인 경우였으나, 디바이스 시뮬레이션에서는 해석영역 전체에 메쉬를 생성하고, 메쉬점 상의 변수에 대하여 방정식을 설정한다. 해석 메쉬의 예를 도 5 에 나타낸다. 즉, 포텐셜, 전자 밀도, 정공 밀도, 전자 온도 및 정공 온도가 메쉬점의 갯수 (N) 의 수만큼 수가 변화되어 나타나므로, 5 N 개의 연립 방정식을 풀게 된다. 상술된 전하보존식, 전자전류연속식, 정공전류연속식, 전자에너지보존식 및 정공에너지보존식을, 우변의 항을 이항 (移項) 시킨 형태로, 다음 식과 같이 나타낸다.

F_Φ(Φ, n, p, T_n, T_p) = 0 (전하보존식) … (36)

F_n(φ, n, p, T_n, T_p) = 0 (전하전류보존식) … (37)

F_p(φ, n, p, T_n, T_p) = 0 (정공전류보존식) … (38)

F_Tn(φ, n, p, T_n, T_p) = 0 (전자에너지보존식) … (39)

F_Tp(φ, n, p, T_n, T_p) = 0 (정공에너지보존식) … (40)

상기 식의 φ, n, p, T_n, T_p는, 각각 포텐셜, 전자밀도, 정공밀도, 전자온도 및 정공온도만을 나타내며, 또한 각각 N 개의 변수를 나타낸다.

이 경우, 전하보존식, 전자전류연속식, 정공전류보존식, 전자에너지보존식 및 정공에너지보존식을 동시에 푸는 결합법(커플법) 과, 전하보존식, 전자전류연속식, 정공전류보존식, 전하에너지보존식 및 정공에너지보존식을 별개로 푸는 비결합법(디커플법) 이 있다.

결합법의 수순을 도 8 에 나타내고, 비결합법의 수순을 도 9 에 나타낸다. 도 8 의 처리수순 (802) 의 행렬식에 있어서, F_Φn′의 기호는 다음의 편미분을 나타낸다.

… (41)

다른 첨자의 경우도 동일하다. 결합법에서는 모든 변수를 동시에 구한다.

한편, 비결합법에서는, 주목받고 있는 변수 이외에는 고정시켜 각각의 방정식을 푼다. 예를 들어, 전자에너지보존방정식을 푸는 처리수순에서는 전자온도 이외의 포텐셜, 전자밀도, 정공밀도 및 정공온도가 고정된다.

각각을 반복하여 방정식을 풀기 위해서는, 행렬계산이 실시된다. 1 회의 반복으로, 결합법에서는 5N ×5N 의 행렬을 1 개 풀고, 비결합법에서는 N ×N 의 행렬을 5 개 푼다.

결합법은 적은 반복 회수로 해를 얻을 수는 있으나, 좋은 초기값을 부여하여 계산하지 않으면, 수렴되지 않는 경우가 있다.

비결합법은 초기값 의존성이 크지 않으나, 반복 회수를 많이 할 필요가 있다. 1 회의 반복에 걸리는 계산 시간은 비결합법이 결합법보다 짧으나, 반복 회수는 결합법 쪽이 비결합법보다도 적어진다.

많은 경우, 해를 얻기까지 걸리는 전체 계산시간은, 결합법이 짧은 것으로 알려져 있다. 따라서, 좋은 초기값만 부여될 수 있다면, 결합법에 의하여 반도체 다바이스를 짧은 계산시간으로 해석할 수 있다. 즉, 보다 좋은 초기값을 설정하는 것이 중요해진다.

풀어야 할 기본 방정식을 해석 메쉬 상에서 표현되는 식으로 변형하는 이산화 (離散化) 에는 컨트롤 볼륨법이 사용된다. 도 10 의 실선으로 표시되어 있는 삼각형 메쉬의 일부를 예로 들면, 도 10 의 파선으로 나타내어지는 메쉬점에 연결되는 메쉬 에지의 2 등분에 의해 만들어지는 다각형이 컨트롤 볼륨이다.

컨트롤 볼륨의 다각형 정점은, 메쉬의 삼각형 요소의 외심 (외접원의 중심) 으로 되어 있다.

컨트롤 볼륨법에서는 메쉬 에지 (IJ) 상의 물리량의 흐름 (예를 들어, 전류) 은, 그 에지 상의 흐름 밀도 (예를 들어, 전류밀도) 에 컨트롤 볼륨의 변 (OP) 의 길이 (일반적으로, 2 차원인 경우에도 「단면적 (cross section) 이라고 호칭) 」을 곱한 양으로 표시된다.

(에너지수송모델해석의 초기값 추정의 종래 기술)

에너지수송모델해석에서는, 캐리어 온도 (전자온도, 정공온도) 의 초기값을 보다 좋게, 즉 보다 해에 가까운 값으로 설정할 필요가 있다.

제 1 의 종래방법은, 열평형 온도를 캐리어 온도의 초기값으로 하는 것이다(상기 문헌 (3) 참조) (도 11 참조). 상기 방정식 중에서의 기호로 나타내면, 다음의 식 (42), (43) 이 된다. 여기서, 첨자인 k 로 접속점을 구별하였다.

T_nk= T_neq(k = 1~N) (42)

T_pk= T_peq(k = 1~N) (43)

에너지수송모델 해석에서는, 디바이스 전극에 바이어스가 인가 (印加) 됨에 따라서, 캐리어 온도는 높아지고, 열평형온도에서 큰 편차가 발생된다. 그래서, 이 종래의 수법은, 바이어스가 인가된 상태에서, 초기값이 해로부터 멀어지기 때문에, 수렴성이 나빠진다.

제 2 의 종래 방법에서는, 근사 (近似) 해석을 실시하여 얻은 답을 초기값으로 하는 것이다(상기 문헌 (4) 참조) (도 12 참조).

우선, 드리프트 확산모델을 풀어, 포텐셜, 전자밀도 및 정공밀도를 구한다 (도 12 : 스텝 1202). 얻어진 포텐셜, 전자밀도 및 정공밀도를 이용하여, 전자에너지보존식 및 정공에너지보존식을 풀어, 전자온도와 정공온도를 구한다 (도 12 : 스텝 1203). 이렇게 하여 얻어진 전자온도와 정공밀도를 캐리어온도 초기값으로 한다 (도 12 ; 스텝 1204).

이 종래의 방법에서는, 에너지 보존식을 1 회로 구하고 있기 때문에 해에 가까운 초기값을 구하는 반면, 에너지 보존식을 풀기 위한 행렬계산을 필요로 하므로, 계산시간이 소요된다.

제 3 종래의 방법에서는, 직전의 바이어스 조건으로 해석하여 얻어진 해를 초기값으로 하는 것이다 (상기 문헌 (5) 참조) (도 13 참조).

먼저, 최초의 바이어스 조건에 대해서는 열평균온도를 캐리어온도의 초기값으로서, 인가 바이어스까지 과도해석적으로 에너지수송모델을 계산한다 (도 13 ; 스텝 1301).

제 2 바이어스 이후에 대해서는, 직전의 바이어스 조건의 해석으로 얻어진 해를 캐리어온도 초기값으로 설정한다 (도 13 ; 스텝 1302).

이 종래의 방법은, 초기값 설정을 위해 행렬계산을 실시하고 있지 않으므로, 계산시간이 적게 소요된다. 또, 인가 바이어스가 자세하게 새겨져 있을 때에는 해에 가까운 초기값이 얻어진다. 그러나, 인가 바이어스의 변화가 큰 때에는 해에서 먼 초기값이 되어 수렴성이 나빠진다.

상기와 같이, 에너지 수송 모델 해석의 초기값 추정의 제 1 종래의 방법에서는, 인가 바이어스가 높은 상태에서 수렴이 악화되는 문제점이 있다.

또한, 상기 제 2 종래의 방법에서는, 초기값의 계산에 시간을 요하는 문제점이 있다.

그리고, 상기 제 3 종래의 방법에서는, 인가 바이어스의 변화가 큰 경우에는, 수렴이 악화되는 문제점이 있다.

따라서, 본 발명의 목적은 상기 문제점을 해소하고, 컴퓨터에 의한 반도체 디바이스의 수치해석에 있어서, 좋은 초기값을 비교적 짧은 계산시간으로 설정하여, 디바이스 시뮬레이션의 고정밀도화 및 고속화를 도모하는 디바이스 시뮬레이션 방법을 제공하는데 있다.

상기 목적을 달성하기 위해, 본 발명의 제 1 발명은, 결합법 (Newton 법)을 이용하여 에너지 수송 모델을 해결하는 경우에, 캐리어온도의 초기값을, 드리프트 확산모델을 풀어서 얻어진 전계의 값을 이용하여, 전계와 캐리어온도의 관계식으로부터 계산하여 설정하는 단계를 갖는다.

또, 전계와 캐리어온도의 관계식에, 몬테칼로(Monte Carlo)법 시뮬레이션의 계산결과로부터 얻은 근사식을 이용하는 단계를 갖는다.

또한, 본원 발명의 제 2 발명에서는, 본원 발명의 제 1 발명에서, 포텐셜 대신에 의사 페르미 포텐셜을 이용하여 전계를 계산하는 단계를 갖는다.

도 1 은 본 발명의 제 1 실시예의 처리순서를 나타낸 흐름도.

도 2 는 본 발명의 제 2 실시예의 처리순서를 나타낸 흐름도.

도 3 은 몬테칼로법 시뮬레이션으로 얻은 전계와 전자온도의 관계 그래프.

도 4 는 몬테칼로법 시뮬레이션으로 얻은 전계와 정공온도의 관계 그래프.

도 5 는 디바이스 시뮬레이션에서 이용되는 메쉬의 예를 나타낸 도면.

도 6 은 뉴튼법 처리순서의 흐름도.

도 7 은 뉴튼법의 처리순서를 개략적으로 나타낸 도면.

도 8 은 결합법(커플법) 처리순서의 흐름도.

도 9 는 비결합법(디커플법) 처리순서의 흐름도.

도 10 은 컨트롤 볼륨을 개략적으로 나타낸 도면.

도 11 은 제 1 의 종래기술의 처리순서를 나타낸 흐름도.

도 12 는 제 2 의 종래기술의 처리순서를 나타낸 흐름도.

도 13 은 제 3 의 종래기술의 처리순서를 나타낸 흐름도.

본 발명의 디바이스 시뮬레이션 방법은, 그 바람직한 실시형태에서, 반도체디바이스의 수치해석에서, 결합법 (Newton 법)을 이용하여 에너지수송모델을 푸는 경우에, 캐리어온도의 초기값를, 드리프트 확산모델을 풀어서 얻어진 전계의 값을 이용하여, 전계와 캐리어온도의 관계식으로부터 계산하여 설정하도록 한 것으로, 에너지수송모델의 해석에서, 비교적 짧은 계산시간으로 좋은 초기값을 설정할 수 있어, 시뮬레이션의 고속화 및 고정밀도화를 도모할 수 있다.

실시예

이하, 상기의 본 발명의 실시형태에 대하여 더욱 상세하게 설명하기 위해, 본 발명의 실시에에 대하여 도면을 참조하여 설명한다.

실시예 1

도 1 은 본 발명의 실시예의 처리 순서를 설명하기 위한 순서도이다.

각 바이어스 조건의 설정 (스텝 101)을 한 후, 드리프트 확산모델을 푼다 (스텝 102). 이때, 수렴조건을 느슨하게 하여 푸는 것에 의해, 계산시간을 단축할 수 있다. 이 초기값계산을 위한 드리프트 확산모델의 계산은, 그 만큼 정밀도를 필요로 하지 않으므로, 수렴조건이 느슨해도 악영향이 없다.

이 계산에 의해, 포텐셜, 전자밀도 및 정공밀도를 구한다. 이들 양은, 드리프트 확산모델의 해로서, 에너지 수송모델의 해와는 다르지만, 어느 정도 근사한 것이다.

다음으로, 얻어진 포텐셜을 이용하여 전계를 계산한다 (스텝 103). 상기와 같이, 포텐셜은 메쉬 접속점상에서 정의되는 양이기 때문에, 포텐셜의 기울기로 표현되는 전계는, 메쉬에지 상에서 정의되는 양으로 된다. 즉, 어느 메쉬에지를 (1) 로 나타내고, 그 양단의 점을 (i, j) 로 나타내면, 전계 (E₁) 는 포텐셜 (φ_i, φ_j) 에 의해, 다음 식 (44) 으로 된다. 여기서, (L₁) 은 메쉬에지 (1) 의 길이이다.

E₁＝－ (Φ_j－ Φ_i)/L … (44)

다음으로, 얻어진 전계를 이용하여, 캐리어 온도와 전계의 관계식으로부터, 캐리어온도를 구한다 (스텝 104).

일반적인 디바이스 시뮬레이션에서는, 시스템의 상태의 이력에 의존하지 않는 상황을 해석한다. (에너지 수송모델의 해석은 시스템의 상태의 이력에 의존하지 않음) 시스템의 상태의 이력에 의존하지 않은 해석을 실시하는 한, 캐리어온도와 전계의 관계를 일대일의 대응관계로 표현할 수 있으므로, 전계로부터 캐리어온도를 계산할 수 있다.

즉, 다음 식 (45), (46) 과 같이 해석적으로 표현할 수 있는 함수 (f 및 g) 를 준비하여 둘 수 있다.

Tn = f(E) … (45)

Tp = g(E) … (46)

해석적으로 표현된 식의 계산은, 제 2 종래기술과 같이, 행렬계산을 행하는 것에 비해, 계산시간이 훨씬 짧게 끝난다. 여기서 얻어진 캐리어온도도, 드리프트 확산모델의 해답을 근거로 하여 구해진 것이기 때문에, 에너지 수송모델의 해와는 다르지만, 어느 정도 근사한 것이다.

이 전계와 캐리어온도의 관계식에, 몬테칼로법 시뮬레이션에 의해 동일 전계 하에서의 캐리어 수송을 계산하여 구해진 전계와 캐리어온도의 관계를 근사식으로 나타낸 것을 이용할 수 있다.

몬테칼로법은, 방정식에 따라서 개별 입자의 운동을 시뮬레이션하고, 시간평균과 집합평균을 계산하여, 해를 구하는 수법이다. 이의 이점은, 원리적인 모델을 이용하여 계산을 할 수 있는 것이나, 캐리어 속도분포 등의 통계데이터가 얻어지는 점이다. 결점은, 극히 다수의 입자에 대해 계산해야 하므로, 계산시간이 매우 소요된다는 점이다.

몬테칼로법의 모델은 "입자모델" 로 불리는 반면, 상기 드리프트 확산모델과 에너지 수송모델은 "유체 모델" 로 불린다.

몬테칼로법에 의해, 도 3 및 도 4 와 같이, 전계와 캐리어 온도 (전자온도, 정공온도) 의 관계가 구해진다.

이 관계는 단순히 다음 식 (47) ∼ (52) 와 같이 꺽은선 근사식으로 나타낼 수 있다.

T_n= A_ni(E - E_ni) ＋ T_ni(i = 1 ∼ M_n－1) … (47)

A_ni= (T_ni＋1－T_ni)/(E_ni＋1－E_ni) … (48)

E_ni≤ E 〈 E_ni＋1… (49)

T_p= A_pi(E－E_pi) ＋ T_pi(i = 1 ∼ M_p－1) … (50)

A_pi= (T_pi＋1－T_pi)/(E_pi＋1－E_pi) … (51)

E_pi≤ E 〈 E_pi＋1… (52)

여기서, M_n, M_p는 각각 도 3 및 도 4 의 데이터의 갯수이며, (E_ni, T_ni), (E_pi, T_p,i) 는 데이터이다. 또한, 데이터가 있는 범위의 외측에 대해서는, 선형에 외삽을 행하여 캐리어온도를 구할 수 있다.

다음으로, 얻어진 캐리어온도를 에너지 수송 모델해석의 초기값으로 설정한다 (스텝 (105)). 전계가 메쉬 에지 상에서 정의되어 있기 때문에, 얻어진 캐리어 온도도 메쉬에지 상의 양으로 되어 있다. 이를 메쉬 접속점 상의 양으로 환산한다. 구체적으로는, 다음과 같이, 콘트롤볼륨에 의한 평균조작을 실시한다.

… (53)

… (54)

여기서, T_ni및 T_pi는 메쉬 접속점 (i) 에서의 전자온도 및 정공온도이고, T_nl및 T_pl는 i 에 연결되어 있는 메쉬에지상에서의 전자온도 및 정공온도이며, h_l는 각 메쉬에지의 단면적이다. 다음으로, 에너지 수송모델의 해석을 실시한다 (스텝 106).

이상의 처리를 모든 바이어스 조건에 대하여 해석이 끝날 때까지 반복한다 (스텝 107).

이 방법에서는, 드리프트 확산모델을 풀고 있기 때문에, 바이어스 조건의 변화가 큰 경우에서도, 해에 가까운 초기값을 구하는 것이 가능하다. 종래의 방법과 비교하면, 정밀도에서는, 제 1 및 제 3 의 종래의 방법보다도 좋고, 계산시간에서는, 제 2 종래방법보다도 고속이다.

실시예 2

본 발명의 다른 실시예의 처리절차의 순서도를 도 2 에 나타낸다.

이 처리절차에서는, 도 1 의 실시예 1 의 처리수단에서, 포텐셜 대신에 의사 페르미 포텐셜을 사용하여 전계를 계산한다 (도 2 의 스텝 103). 즉, 전자와 정공에 대하여 각각 하기 식으로 표현된 전계 (E_n, E_p) 를 사용한다.

E_n＝－grad Φ_n… (55)

E_p＝－grad Φ_p… (56)

… (57)

… (58)

여기서, Φ_n및 Φ_p가 각각 전자 의사 페르미 포텐셜 및 정공 의사 페르미포텐셜이다. 또, n_ie는 진성 캐리어 밀도이다. 메쉬 에지 상의 값으로 나타내면, 다음 식과 같이 된다.

… (59)

… (60)

이상 설명한 바와 같이, 본 발명에 따르면, 비교적 짧은 계산시간으로 보다 해에 가까운 초기값을 구할 수 있어, 에너지 수송모델 해석의 수렴성(convergence) 을 높여, 고정밀도화와 고속화를 이룰 수 있는 효과를 갖는다.

Claims

반도체 디바이스 시뮬레이션을 전개하는 방법으로서,

드리프트 확산모델을 풀어 포텐셜, 전자농도 및 정공농도를 얻는 단계;

상기 얻어진 포텐셜로부터 전계를 계산하는 단계;

상기 계산된 전계에 기초하여 전자온도와 정공온도 각각에 대한 일대일 온도-전계 관계식을 전개하는 단계;

상기 전자온도와 정공온도 각각에 대한 일대일 온도-전계 관계식으로부터 정공온도와 전자온도의 초기값을 결정하는 단계;

상기 결정된 정공온도와 전자온도의 초기값을 사용하여, 에너지수송모델을 풀어 에너지수송모델해를 얻는 단계; 및

상기 에너지수송모델해에 기초하여 반도체 디바이스 시뮬레이션을 전개하는 단계를 구비하는 것을 특징으로 하는 방법.
제 1 항에 있어서,

드리프트 확산모델을 풀어 포텐셜, 전자농도 및 정공농도를 얻는 상기 단계는, 완화된 수렴조건 하에서 실시되는 것을 특징으로 하는 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 계산된 전계에 기초하여 전자온도와 정공온도 각각에 대한 일대일온도-전계 관계식을 전개하는 단계는 몬테칼로 시뮬레이션에 의해 완성되는 것을 특징으로 하는 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 얻어진 포텐셜로부터 전계를 계산하는 단계는, 전자의 전계와 정공의 전계를 계산하기 위해 의사 페르미 포텐셜을 사용하는 것을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
반도체 디바이스 시뮬레이션을 전개하는 프로그램가능 장치로서,

실행 시, 드리프트 확산모델을 풀어 포텐셜, 전자농도 및 정공농도를 얻는 제 1 프로그램부;

실행 시, 얻어진 포텐셜로부터 전계를 계산하는 제 2 프로그램부;

실행 시, 상기 계산된 전계에 기초하여 전자온도와 정공온도 각각에 대한 일대일 온도-전계 관계식을 전개하는 제 3 프로그램부;

실행 시, 상기 전자온도와 정공온도 각각에 대한 일대일 온도-전계 관계식으로부터 정공온도와 전자온도의 초기값을 결정하는 제 4 프로그램부;

실행 시, 상기 결정된 정공온도와 전자온도의 초기값을 사용하여, 에너지수송모델을 풀어 에너지수송모델해를 얻는 제 5 프로그램부; 및

실행 시, 상기 에너지수송모델해에 기초하여 반도체 디바이스 시뮬레이션을 전개하는 제 6 프로그램부로 이루어지는 소프트웨어에 의해 조작되는 프로그램가능하드웨어를 구비하는 것을 특징으로 하는 장치.
제 5 항에 있어서,

상기 제 1 프로그램부가 완화된 수렴조건 하에서 상기 드리프트 확산모델을 풀어 포텐셜, 전자농도 및 정공농도를 얻는 것을 특징으로 하는 장치.
제 5 항에 있어서,

상기 제 3 프로그램부가 상기 계산된 전계에 기초하여 전자온도와 정공온도 각각에 대한 일대일 온도-전계 관계식을 전개하여 몬테칼로 시뮬레이션에 의해 완성되는 것을 특징으로 하는 방법.
제 5 항에 있어서,

상기 제 2 프로그램부가, 전자의 전계와 정공의 전계를 계산하는데 의사 페르미 포텐셜을 사용하는 것을 포함함으로써 상기 얻어진 포텐셜로부터 전계를 계산하는 것을 특징으로 하는 방법.
반도체 디바이스 시뮬레이션을 전개하는 컴퓨터 구현방법으로서,

드리프트 확산모델을 풀어 포텐셜, 전자농도 및 정공농도를 얻도록 컴퓨터에 지시하는 단계;

상기 얻어진 포텐셜로부터 전계를 계산하도록 컴퓨터에 지시하는 단계;

상기 계산된 전계에 기초하여 전자온도와 정공온도 각각에 대한 일대일 온도-전계 관계식을 전개하도록 컴퓨터에 지시하는 단계;

상기 전자온도와 정공온도 각각에 대한 일대일 온도-전계 관계식으로부터 정공온도와 전자온도의 초기값을 결정하도록 컴퓨터에 지시하는 단계;

상기 결정된 정공온도와 전자온도의 초기값을 사용하여, 에너지수송모델을 풀어 에너지수송모델해를 얻도록 컴퓨터에 지시하는 단계; 및

상기 에너지수송모델해에 기초하여 반도체 디바이스 시뮬레이션을 컴퓨터로부터 얻는 단계를 구비하는 것을 특징으로 하는 컴퓨터 구현방법.
제 9 항에 있어서,

드리프트 확산모델을 풀어 포텐셜, 전자농도 및 정공농도를 얻는 상기 단계가 완화된 수렴조건 하에서 실시되도록 컴퓨터에 지시하는 단계를 더 구비하는 것을 특징으로 하는 컴퓨터 구현방법.
제 9 항에 있어서,

상기 계산된 전계에 기초하여 전자온도와 정공온도 각각에 대한 일대일 온도-전계 관계식을 전개하는 단계가 몬테칼로 시뮬레이션에 의해 완성되도록 컴퓨터에 지시하는 단계를 더 구비하는 것을 특징으로 하는 방법.
제 9 항에 있어서,

상기 얻어진 포텐셜로부터 전계를 계산하는 단계가, 전자의 전계와 정공의 전계를 계산하기 위해 의사 페르미 포텐셜을 사용하는 것을 포함하도록 컴퓨터에 지시하는 단계를 더 구비하는 것을 특징으로 하는 방법.