JPS60168270A - 計算装置 - Google Patents
計算装置Info
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- JPS60168270A JPS60168270A JP2294684A JP2294684A JPS60168270A JP S60168270 A JPS60168270 A JP S60168270A JP 2294684 A JP2294684 A JP 2294684A JP 2294684 A JP2294684 A JP 2294684A JP S60168270 A JPS60168270 A JP S60168270A
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- matrix
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- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
- G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
- G06F17/10—Complex mathematical operations
- G06F17/11—Complex mathematical operations for solving equations, e.g. nonlinear equations, general mathematical optimization problems
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Abstract
(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。
め要約のデータは記録されません。
Description
【発明の詳細な説明】
〔技術分野〕
この発明は、定ヤコビアン行列を用いた縮約ガウス法に
より関数方程式の解を得る計算装置、特にネットワーク
形非線形方程式の解が得られる計算装置に関するもので
ある。
より関数方程式の解を得る計算装置、特にネットワーク
形非線形方程式の解が得られる計算装置に関するもので
ある。
大規模系統における非線形連立方程式の解を得ることは
多くの分野で必要とされ、特に電力系統分野では電力系
統がますます大規模化するＫつれて非線形連立方程式の
解を少ない記憶容量でよシ高途に得ることが要求されて
いる。即ち、電力系統においては、有効電力、無効電力
の流れを調整して各設備の過負荷防止、送電損失の軽減
、電圧制御などを行う必要があシ、系統が大規模化する
につれてその電力潮流計算をめるだめの関数方程式が複
雑となって潮流解を得るのに長時間を必要とし、計算装
置の記憶容量も増大してしまうので、今日まで多くの研
究が進められてきている。
多くの分野で必要とされ、特に電力系統分野では電力系
統がますます大規模化するＫつれて非線形連立方程式の
解を少ない記憶容量でよシ高途に得ることが要求されて
いる。即ち、電力系統においては、有効電力、無効電力
の流れを調整して各設備の過負荷防止、送電損失の軽減
、電圧制御などを行う必要があシ、系統が大規模化する
につれてその電力潮流計算をめるだめの関数方程式が複
雑となって潮流解を得るのに長時間を必要とし、計算装
置の記憶容量も増大してしまうので、今日まで多くの研
究が進められてきている。
このような大規模系統における関数方程式の解を高速に
得るためＫは、繰シ返し計算回数の減少や１回の繰り返
し時間を減少させることが必要となる。この関数方程式
の解を得るＮｅｗｔｏｎ −Ｒａｐｈｓｏｎ 法は、繰
シ返し回数を減少させることにより収束性を大幅に速め
ているが、ヤコビアン行列の逆行列やＬＵ行列をめなけ
ればならず、系統が大きくなるに従い大幅な記憶容量の
増大をもたらすと共に、１回の繰シ返し計算に多くの時
間を必要とする。そこで、これを解決するものとして、
ヤコビアン行列のスパース性とノードの心適順序付けを
行うことによシ、大幅な記憶容量の減少、１回の繰り返
し時間の改善を行うことがＴｉｎｎｅｙ らによって提
案されている。まだ、系統分割によるピースワイズ法に
よって高速群と記憶容量の減少を図ることがＫｒｏｎｔ
Ｈａｐｐらによって提案されている。
得るためＫは、繰シ返し計算回数の減少や１回の繰り返
し時間を減少させることが必要となる。この関数方程式
の解を得るＮｅｗｔｏｎ −Ｒａｐｈｓｏｎ 法は、繰
シ返し回数を減少させることにより収束性を大幅に速め
ているが、ヤコビアン行列の逆行列やＬＵ行列をめなけ
ればならず、系統が大きくなるに従い大幅な記憶容量の
増大をもたらすと共に、１回の繰シ返し計算に多くの時
間を必要とする。そこで、これを解決するものとして、
ヤコビアン行列のスパース性とノードの心適順序付けを
行うことによシ、大幅な記憶容量の減少、１回の繰り返
し時間の改善を行うことがＴｉｎｎｅｙ らによって提
案されている。まだ、系統分割によるピースワイズ法に
よって高速群と記憶容量の減少を図ることがＫｒｏｎｔ
Ｈａｐｐらによって提案されている。
しかしながら、上記のようなＮｅｗｔｏｎ−Ｒａｐｈｓ
ｏｎ法等により大規模系統の関数方程式の解を得るよう
にした従来の計算装置では、ヤコビアン行列の逆行列や
ＬＵ行列をめるのに多くの時間を費やし、まためる近傍
の何点ものｇｒａｄｉｅｎｔ （勾配、傾斜度）をめな
ければならないので、多項式の非線形連立方程式の解を
得る時には大行列の計算をその都度行わなければならず
、装置の記憶容量や演算時間が莫大なものに在ってしま
うという欠点を有している。
ｏｎ法等により大規模系統の関数方程式の解を得るよう
にした従来の計算装置では、ヤコビアン行列の逆行列や
ＬＵ行列をめるのに多くの時間を費やし、まためる近傍
の何点ものｇｒａｄｉｅｎｔ （勾配、傾斜度）をめな
ければならないので、多項式の非線形連立方程式の解を
得る時には大行列の計算をその都度行わなければならず
、装置の記憶容量や演算時間が莫大なものに在ってしま
うという欠点を有している。
この発明は、上記のよう々欠点に着目してなされたもの
で、関数方程式の解として適正な近似値をめ、この近似
値の修正量について関数方程式をテーラ−展開したとき
の修正量の２次以上の高次項からなる関数について繰シ
返し計算を行うことによシ、関数方程式の解が高速に得
られ、記憶容量を減少させた計算装置を提〜供すること
を目的としている。
で、関数方程式の解として適正な近似値をめ、この近似
値の修正量について関数方程式をテーラ−展開したとき
の修正量の２次以上の高次項からなる関数について繰シ
返し計算を行うことによシ、関数方程式の解が高速に得
られ、記憶容量を減少させた計算装置を提〜供すること
を目的としている。
以下、この発明の一実施例を説明する。
先ず、この発明の原理となる定ヤコビアン行列を用いた
縮約ガウス法により関数方程式の解を得る手法を説明す
る。簡単のため、−変数Ｘの任意の関数ｆ（拗が与えら
れたとき、関数方程式％式％（） の解として適当な近似値ｘｅを定める。ここでｆｏは任
意の定数である。この近似値ｘ８からある修正量△Ｘｅ
によって（イ）式が満足される。すなわち、ｆ（ｘｅ
＋△ｘｅ ） −ｆ。 二〇 （ロ）を満たす△ｘ８は
、上記（イ）式の解が存在すれば必ず存在するので、こ
の修ＩＥ駄△ｘｅをめることを考える。
縮約ガウス法により関数方程式の解を得る手法を説明す
る。簡単のため、−変数Ｘの任意の関数ｆ（拗が与えら
れたとき、関数方程式％式％（） の解として適当な近似値ｘｅを定める。ここでｆｏは任
意の定数である。この近似値ｘ８からある修正量△Ｘｅ
によって（イ）式が満足される。すなわち、ｆ（ｘｅ
＋△ｘｅ ） −ｆ。 二〇 （ロ）を満たす△ｘ８は
、上記（イ）式の解が存在すれば必ず存在するので、こ
の修ＩＥ駄△ｘｅをめることを考える。
（イ）式において、近似値ｘｅのまわりで修正量ΔＸに
ついてテーラ−展開すると次式で表わされる。
ついてテーラ−展開すると次式で表わされる。
ｆ （ｘｅ十△ｘ ）＝ｆ （ｘｅ ）十ｆ’（ｘｅ
）△ｘ十ｇ （ｘｅ 、△ｘ）ここで、ｇ（ｘｅ、△Ｘ
）はテーラ−展開したときの第３項以降のすべての項を
まとめて記したものであり、次に、 ｆ（ｘｅ十ΔＸ）＝ｆｏ に） となる修正量△Ｘをめる。すなわち、 ｆｏ＝ｆ（ｘｅ）＋ｆ’（ｘｅ）Δｘ＋ｇ（ｘｅ、Δｘ
） （ホ）となるΔｘをめる。ｇ（ｘｅ、 △ｘ ）は
、ｆ（ｘｅ十Δｘ）をΔＸについてテーラ−展開したと
きのΔＸの２次以上の高次項からなり、関数ｆ ｆｘｌ
が与えられると、 ｇ（ｘｅ、ΔＸ）＝、Σａｊ△ｘＪ （へ）−２ （但し、ａｊは係数） と表わされる。この（へ）式の係数ａｊは、関数ｆＩＸ
＋が与えられればめることができ、従って上記体）式は
、△Ｘの多項式で表わされることになる。この多項式で
示される式から直接修正量△ｘｅの解を得ることはでき
ない。このことは、（へ）式の係数ａｊをめることは意
味をもたないことを示して（ハ）いる。そこで、咋）式
から直接△ｘｅをめるのではなく、修正量ΔＸを△ｘｅ
に近づけるような繰り返し計算（二よってめるべ、き値
Δｘｅをめるようにする。
）△ｘ十ｇ （ｘｅ 、△ｘ）ここで、ｇ（ｘｅ、△Ｘ
）はテーラ−展開したときの第３項以降のすべての項を
まとめて記したものであり、次に、 ｆ（ｘｅ十ΔＸ）＝ｆｏ に） となる修正量△Ｘをめる。すなわち、 ｆｏ＝ｆ（ｘｅ）＋ｆ’（ｘｅ）Δｘ＋ｇ（ｘｅ、Δｘ
） （ホ）となるΔｘをめる。ｇ（ｘｅ、 △ｘ ）は
、ｆ（ｘｅ十Δｘ）をΔＸについてテーラ−展開したと
きのΔＸの２次以上の高次項からなり、関数ｆ ｆｘｌ
が与えられると、 ｇ（ｘｅ、ΔＸ）＝、Σａｊ△ｘＪ （へ）−２ （但し、ａｊは係数） と表わされる。この（へ）式の係数ａｊは、関数ｆＩＸ
＋が与えられればめることができ、従って上記体）式は
、△Ｘの多項式で表わされることになる。この多項式で
示される式から直接修正量△ｘｅの解を得ることはでき
ない。このことは、（へ）式の係数ａｊをめることは意
味をもたないことを示して（ハ）いる。そこで、咋）式
から直接△ｘｅをめるのではなく、修正量ΔＸを△ｘｅ
に近づけるような繰り返し計算（二よってめるべ、き値
Δｘｅをめるようにする。
繰り返し計算のためには、律）式を書き換えて、△ｘ＝
（ｆ ’（ｘ ｅ ）ヒ’（ｆｏ−ｆ（ｘｅ）−ｇ（
ｘｅ、△ｘ）） （ト）とする。ここで、（ト）式にお
いて関数ｆ ｆｘｌと近似値ｘｅが与えられると、（ト
）式の右辺項の中でｇ（ｘｅ。
（ｆ ’（ｘ ｅ ）ヒ’（ｆｏ−ｆ（ｘｅ）−ｇ（
ｘｅ、△ｘ）） （ト）とする。ここで、（ト）式にお
いて関数ｆ ｆｘｌと近似値ｘｅが与えられると、（ト
）式の右辺項の中でｇ（ｘｅ。
△Ｘ）だけが定まらず、他の項はすべて定まる。
このｇ（ｘｅ、ΔＸ）は律）式から、
１ゝ（、ｘｅ、Δｘ）＝ｆ（ｘｅ十Δｘ）−ｆ（ｘｅ）
−ｆ’（ｘｅ）△ｘ （ｊｌと表わされる。この（力式
の右辺の各項は、関数ｆｆｘｌと近似値ｘｅおよびその
修正量ΔＸが与えられればすべて定まる。故に、ｇ（ｘ
ｅ、ΔＸ）は上述の条件下で定まることになる。上記ｆ
ト） 、 ＋５’１式から得られる△Ｘは、真の解Δｘ
ｅとはならない。そこで、以下の繰り返し計算によって
ΔＸをΔｘｃｌ二近づける。一般に、１回までの近似値
ΔＸ がめられたとすると、それによってより真値に近
い近似値ΔＸ は・ Δ）＜ｒ＋１＝（ｆｏ−ｆ（ｘｅ）−ｇ（ｘｅ、△ｘ’
））／ｆ’（ｘｅ） Ｉす）としてめられる。ここで、
ｇ （ｘ ｅ ＋へＸ）は（ト）式で与えられ、この（
力式を四式じ代入すると、Δｘ ＝Δｘ −（ｆｏ−ｆ
（ｘｅ＋Δｘ））／ｆ’（ｘｅ）と青き換えられる。こ
の弦）式で△Ｘ ＝△Ｘとなると、ｆｏ−ｆ（ｘｅ＋Δ
ｘ ）−〇となり、前記（ロ）式よりΔＸ はΔｘｅと
一致し、ｘｅ十△Ｘ は（イ）式の一根となる。
−ｆ’（ｘｅ）△ｘ （ｊｌと表わされる。この（力式
の右辺の各項は、関数ｆｆｘｌと近似値ｘｅおよびその
修正量ΔＸが与えられればすべて定まる。故に、ｇ（ｘ
ｅ、ΔＸ）は上述の条件下で定まることになる。上記ｆ
ト） 、 ＋５’１式から得られる△Ｘは、真の解Δｘ
ｅとはならない。そこで、以下の繰り返し計算によって
ΔＸをΔｘｃｌ二近づける。一般に、１回までの近似値
ΔＸ がめられたとすると、それによってより真値に近
い近似値ΔＸ は・ Δ）＜ｒ＋１＝（ｆｏ−ｆ（ｘｅ）−ｇ（ｘｅ、△ｘ’
））／ｆ’（ｘｅ） Ｉす）としてめられる。ここで、
ｇ （ｘ ｅ ＋へＸ）は（ト）式で与えられ、この（
力式を四式じ代入すると、Δｘ ＝Δｘ −（ｆｏ−ｆ
（ｘｅ＋Δｘ））／ｆ’（ｘｅ）と青き換えられる。こ
の弦）式で△Ｘ ＝△Ｘとなると、ｆｏ−ｆ（ｘｅ＋Δ
ｘ ）−〇となり、前記（ロ）式よりΔＸ はΔｘｅと
一致し、ｘｅ十△Ｘ は（イ）式の一根となる。
ｍ１図は、上述のように、定ヤコビアン行列を用いたが
ウス法により関数方程式ｆ ｆｘｌ＝ ｆ ｏの解を得
る過程を示す図である。この図からもわかるよう（二、
ΔＸとｇ（ｘｅ、ΔＸ ）を（Ｉｆ正することによって
める解を得ることができる。
ウス法により関数方程式ｆ ｆｘｌ＝ ｆ ｏの解を得
る過程を示す図である。この図からもわかるよう（二、
ΔＸとｇ（ｘｅ、ΔＸ ）を（Ｉｆ正することによって
める解を得ることができる。
次（＝、上述した手法に栽づいて、高次元の連立非線形
方程式の解を得る過程を説明する。一般（二、０次足の
連立非線形方程式は、次式で示される。
方程式の解を得る過程を説明する。一般（二、０次足の
連立非線形方程式は、次式で示される。
ｆ（ｘ）＝量。 ｖｏ
但し、
ｔ（ｘ）戸［ｆ＋（ｘ）、ｆｔ（ｘ）、−ｆｎｃｘ）Ｊ
”ｆｏミ（ｆｉｌ ＋ ｒｏｔ ＋ ”’ ＋ ｆＯｎ
］１Ｘ三Ｃｘｌ＋Ｘ２＋”’＋Ｘｎ） この０１式を満たすＸをめるのであるが、ここで初期値
（近似値）ｘｅのまわりで関数ｆ （ｘ）をテゝ）−ラ
ー展開し、し４式と同・様に以下のよう（＝書き換える
。
”ｆｏミ（ｆｉｌ ＋ ｒｏｔ ＋ ”’ ＋ ｆＯｎ
］１Ｘ三Ｃｘｌ＋Ｘ２＋”’＋Ｘｎ） この０１式を満たすＸをめるのであるが、ここで初期値
（近似値）ｘｅのまわりで関数ｆ （ｘ）をテゝ）−ラ
ー展開し、し４式と同・様に以下のよう（＝書き換える
。
ｆ（ｗｅ十Δｘ）＝ｆ（ｘｅ）ｔＪΔｘ十ｇ（ｗｅ、△
ｘ） （−３但し、 ΔｚｄΔｘ’、 ＋ΔＸ２、−、 △Ｘ （１］ Ｔｇ
（ｘｅ、ΔＸ）ミ（ｇ＋ （ｘｅ ＋ΔＸ）＋ｇ２（ｘ
ｅ、△Ｘ）、。
ｘ） （−３但し、 ΔｚｄΔｘ’、 ＋ΔＸ２、−、 △Ｘ （１］ Ｔｇ
（ｘｅ、ΔＸ）ミ（ｇ＋ （ｘｅ ＋ΔＸ）＋ｇ２（ｘ
ｅ、△Ｘ）、。
・・・、ｇｎ（ｘｅ＋Δｘ）〕１
上記（ヲ）式（＝おいて、Ｊはヤコビアン行列、ｑはテ
ーラ−展開の第３項以降のすべての項を示す。ここて、
関数ｆ （ｘ）、近似値Ｘｅおよびｆｏが与えられたと
き。
ーラ−展開の第３項以降のすべての項を示す。ここて、
関数ｆ （ｘ）、近似値Ｘｅおよびｆｏが与えられたと
き。
ｆ（ｚ６十Δｘｅ ）＝ｆｏ ｔワ）
を満たすΔＸｅをめる。これ（二は、繰り返し計算のだ
めの（す）式と同様（二、 Δｚ’＝ｕ−Ｊ−’−ｇ（ｚ６ ’、△ｚｒ） （７１
但し、 ｕ＝Δｘ’＝Ｊ−’ （ｆ、−ｆ （ｘ ｅ ） ）（
ニーｑ（ｘ、ｏ）＝ｏ） とし、この閃）式によって繰り返し計算を行い、１ΔＸ
−ΔＸＩ＜ε を満足するまで計算を繰り返す。ここで、εは十分率さ
な正数とし、このときΔｘｒが解Δｘｅとなる。
めの（す）式と同様（二、 Δｚ’＝ｕ−Ｊ−’−ｇ（ｚ６ ’、△ｚｒ） （７１
但し、 ｕ＝Δｘ’＝Ｊ−’ （ｆ、−ｆ （ｘ ｅ ） ）（
ニーｑ（ｘ、ｏ）＝ｏ） とし、この閃）式によって繰り返し計算を行い、１ΔＸ
−ΔＸＩ＜ε を満足するまで計算を繰り返す。ここで、εは十分率さ
な正数とし、このときΔｘｒが解Δｘｅとなる。
次に、行列縮約法の理論を述べる。線形連立方程式は、
一般にグラフとして表わすことができ、第２図じ示すよ
うに、このグラフＯが幾つかの部分グラフ、９＋（１＝
１＋２＋・・・、ｍ）の結合（二よって作られていると
する。そして、任意の部分グラフ９門において、その部
分グラフ内に存在するノードを接続ノード群πｉとそう
でないノード群ｋｉとに分ける。各ノードにおいて入出
力関係によって等側内な関係式として表わすと、一つの
ノードは一つの変数（＝対応する。そこで、接続ノード
群ｋｉに対応する変数ベクトルなｘｋｉ、またそうでな
いノード群ｋｉｌ二対応するものをｘｋｉとすると、ノ
ード間の入出力関係は、 Ａｉｘｋｉ十ｃｉｘｋｉ＝Ｏｔｐｌ Ｂ ｉｘｋ Ｉ十 ΣＯｉｊ’５ミ゛ｋｊ＝Ｏｆｕｊ＝
１ と表わされる。上記汐）式はノード群ｋｉにおける入出
力関係であり、ｆｔ）Ｉ式はノード群ｋｉにおけるもの
（＝よって得られる関係式である。また、汐）式は他の
部分グラフと全く独立な式であり、１Ｌ／１式は他の部
分グラフとＤｉｊ行列（二よって関係している式となっ
ている。これを行列配置として示すと、グラフ全体とし
ての行列ＡとベクトルＸは、第３図に示すよう（二なる
。行列の見地からすると、行列を幾つかの小行列Ｇｉに
分け１次いでＧｉの小行列で他の小行列（＝関係する行
としない行とに分け、関係しない行から順に配置するこ
とによって得られる行列となっている。この行列配置は
、ネットワーク形システム（二対しても一般性を有する
ものである。
一般にグラフとして表わすことができ、第２図じ示すよ
うに、このグラフＯが幾つかの部分グラフ、９＋（１＝
１＋２＋・・・、ｍ）の結合（二よって作られていると
する。そして、任意の部分グラフ９門において、その部
分グラフ内に存在するノードを接続ノード群πｉとそう
でないノード群ｋｉとに分ける。各ノードにおいて入出
力関係によって等側内な関係式として表わすと、一つの
ノードは一つの変数（＝対応する。そこで、接続ノード
群ｋｉに対応する変数ベクトルなｘｋｉ、またそうでな
いノード群ｋｉｌ二対応するものをｘｋｉとすると、ノ
ード間の入出力関係は、 Ａｉｘｋｉ十ｃｉｘｋｉ＝Ｏｔｐｌ Ｂ ｉｘｋ Ｉ十 ΣＯｉｊ’５ミ゛ｋｊ＝Ｏｆｕｊ＝
１ と表わされる。上記汐）式はノード群ｋｉにおける入出
力関係であり、ｆｔ）Ｉ式はノード群ｋｉにおけるもの
（＝よって得られる関係式である。また、汐）式は他の
部分グラフと全く独立な式であり、１Ｌ／１式は他の部
分グラフとＤｉｊ行列（二よって関係している式となっ
ている。これを行列配置として示すと、グラフ全体とし
ての行列ＡとベクトルＸは、第３図に示すよう（二なる
。行列の見地からすると、行列を幾つかの小行列Ｇｉに
分け１次いでＧｉの小行列で他の小行列（＝関係する行
としない行とに分け、関係しない行から順に配置するこ
とによって得られる行列となっている。この行列配置は
、ネットワーク形システム（二対しても一般性を有する
ものである。
上記行列Ａにおいて、各小行列Ｇｉ（二着目すると、夕
）式は ｘｋｉ＝−Ａｉ−’Ｃ１ｘｋｉ （ソ）となり、これを
（Ｌ／１式に代入すると、が得られる。このに／）式は
部分行列Ｇｉの関係を変数１ｋｉｌ二集約した関係にな
っており、また第３図に示すＢｉの領域要素が零となる
。他の小行列Ｇｊについても同様Ｃ二行うことによって
、行列Ａは接続ノード（二よる変数ベクトルｘｋ Ｉ（
ｉ−１＋ ２ ＋・・・、ｍ）（二よって表わすことが
できる。このこと（二より、行列Ａを等価的に変数ベク
トルｉによる行列に縮約することができる。
）式は ｘｋｉ＝−Ａｉ−’Ｃ１ｘｋｉ （ソ）となり、これを
（Ｌ／１式に代入すると、が得られる。このに／）式は
部分行列Ｇｉの関係を変数１ｋｉｌ二集約した関係にな
っており、また第３図に示すＢｉの領域要素が零となる
。他の小行列Ｇｊについても同様Ｃ二行うことによって
、行列Ａは接続ノード（二よる変数ベクトルｘｋ Ｉ（
ｉ−１＋ ２ ＋・・・、ｍ）（二よって表わすことが
できる。このこと（二より、行列Ａを等価的に変数ベク
トルｉによる行列に縮約することができる。
従来の分割法は、系統分割という考え（＝よって行われ
、その代表的なものとして、ノード（−よって分割を行
うＢ Ｂ Ｄ （Ｂａｒｄｅｒｅｄ ｂｌａｃｋ ｄｉ
ａｇｏｎａｌＭａｔｒｉｘ）法と、ブランチの除去によ
る分割として逆行列の補助足によるＤｉａｋａｐｔ ｉ
ｃｓ法がある。ひ、らの分割法は記憶容量、計算時間な
どで最適な分割が存在するのであるが、基本的には自由
に系を分割することが可能である。これ（二対して、本
発明（＝係る縮約法は、システム・グラフや行列のノー
ドや変数を系統構成にそって消去し、より少ないノード
や変数によって全系を等価的に表わすことを目的とする
もので、系の縮約（分割）は系統構成（＝そってしか許
され１．ない。そのため（二、システム構成の特徴を木
目細やか（＝利用することができ、このため本縮約法は
系のスパース性を考慮することができ、計算に必要な全
記憶容量は上記の他の二つの分割法（＝比べて少なくす
ることができる。しかし、分割に関与する接続ノードだ
けによる行列は、本手法とＢＢＤ法とを同じモデルで比
較すると、本手法のほうがほぼ２倍の次元となる。
、その代表的なものとして、ノード（−よって分割を行
うＢ Ｂ Ｄ （Ｂａｒｄｅｒｅｄ ｂｌａｃｋ ｄｉ
ａｇｏｎａｌＭａｔｒｉｘ）法と、ブランチの除去によ
る分割として逆行列の補助足によるＤｉａｋａｐｔ ｉ
ｃｓ法がある。ひ、らの分割法は記憶容量、計算時間な
どで最適な分割が存在するのであるが、基本的には自由
に系を分割することが可能である。これ（二対して、本
発明（＝係る縮約法は、システム・グラフや行列のノー
ドや変数を系統構成にそって消去し、より少ないノード
や変数によって全系を等価的に表わすことを目的とする
もので、系の縮約（分割）は系統構成（＝そってしか許
され１．ない。そのため（二、システム構成の特徴を木
目細やか（＝利用することができ、このため本縮約法は
系のスパース性を考慮することができ、計算に必要な全
記憶容量は上記の他の二つの分割法（＝比べて少なくす
ることができる。しかし、分割に関与する接続ノードだ
けによる行列は、本手法とＢＢＤ法とを同じモデルで比
較すると、本手法のほうがほぼ２倍の次元となる。
縮約法では、この接続ノードだけ（＝よるグラフは縮約
以前のブランチによって表わされるので、接続ノード行
列は初めの系統構成を保っており、この接続ノード行列
の縮約（分割）が可能となる。
以前のブランチによって表わされるので、接続ノード行
列は初めの系統構成を保っており、この接続ノード行列
の縮約（分割）が可能となる。
このため、より小さな接続ノード行列を作ることができ
る。このような接続ノード行列の分割は。
る。このような接続ノード行列の分割は。
Ｂｉ１２）法では難かしい。
また、Ｄ １ａｋｏｐｔ ｉｃｓ法の分割計算について
適用を考えると、前記（へ）、（ト）式で示したような
ｇ関数（ＩＩ（Ｘｅ、ΔＸ））の扱いが複雑（二なり、
適用が困難である。ＢＢＤ法は縮約法と同じように扱う
ことができるが、一つのサブシステムが系全体の接続ノ
ードと関連している形で扱われるの（二対し、縮約法は
一つのサブシステムがそれに接する接続ノードだけで扱
われる。それ故縮約法のほうがＢＢＤ法より上記９関数
の扱いが簡単となり、ｇ関数を適用するのに適している
。
適用を考えると、前記（へ）、（ト）式で示したような
ｇ関数（ＩＩ（Ｘｅ、ΔＸ））の扱いが複雑（二なり、
適用が困難である。ＢＢＤ法は縮約法と同じように扱う
ことができるが、一つのサブシステムが系全体の接続ノ
ードと関連している形で扱われるの（二対し、縮約法は
一つのサブシステムがそれに接する接続ノードだけで扱
われる。それ故縮約法のほうがＢＢＤ法より上記９関数
の扱いが簡単となり、ｇ関数を適用するのに適している
。
次に、上述した行列縮約法を適用して、定ヤコビアン行
列を用いたガクス法により非線形連立方程式の解を得る
過程を説明する。前記（ヲ）式（＝おいて、ヤコビアン
行列Ｊと△Ｘを第３図に示すへ行列とＸ（二対比させる
と、′ヤコビアン行列は同第３因のようなｍ個の部分行
列に分けることができ、ヤコビアン行列ｊの１番目の部
分行列は、Ａｉ。
列を用いたガクス法により非線形連立方程式の解を得る
過程を説明する。前記（ヲ）式（＝おいて、ヤコビアン
行列Ｊと△Ｘを第３図に示すへ行列とＸ（二対比させる
と、′ヤコビアン行列は同第３因のようなｍ個の部分行
列に分けることができ、ヤコビアン行列ｊの１番目の部
分行列は、Ａｉ。
Ｃｉ、Ｂｉ、Ｄｉｊの小行列（二分けられる。それ故。
（（至）、υ）式はそれぞれり）、（一式によって。
Ａ ｉΔＸＩ 十ＣＩΔＸ＋ ＝ ｆ １６ ｆ Ｉ
（！ １０１Ｒ１０） ｑ Ｉ （”ＩＣｉ ＋△ｘｉ
） ネ） Ｂ ｉ ΔＸ ｉ十ΣＤｉｊΔｚｊ ｊ＝ｓ ＝ｆ ｉ６−ｆ ｉ （ｘ ｉｏ ＋ ｘ ｊｏ ：
ｊ＝１〜ｍ）−引（Δｘｉ、ｘｘｊ ： ｊ＝ｌ−ｍ）
ｔす）となる。ここで、ｘｉ（、、ｉｉｏは初期値で
ある。
（！ １０１Ｒ１０） ｑ Ｉ （”ＩＣｉ ＋△ｘｉ
） ネ） Ｂ ｉ ΔＸ ｉ十ΣＤｉｊΔｚｊ ｊ＝ｓ ＝ｆ ｉ６−ｆ ｉ （ｘ ｉｏ ＋ ｘ ｊｏ ：
ｊ＝１〜ｍ）−引（Δｘｉ、ｘｘｊ ： ｊ＝ｌ−ｍ）
ｔす）となる。ここで、ｘｉ（、、ｉｉｏは初期値で
ある。
上記停）式から
△ｘ ｉ：＝ −Ａ ｉ−’ ＣｉΔｘｉ十Ａｉ−”（
ｆｉ（、−ｆｉ（ｘｉｏ＋ｉｉ、）−（Ｊｉ（Δｘｉ、
△ｘｉ）］ （う）が得られ、この（う）式を固成に代
入すると。
ｆｉ（、−ｆｉ（ｘｉｏ＋ｉｉ、）−（Ｊｉ（Δｘｉ、
△ｘｉ）］ （う）が得られ、この（う）式を固成に代
入すると。
＝ｆ １ｏ−ｆｉ （Ｘｊｏ ＋’Ｘ ｊｏ ： ３＝
１〜ｍ） ｇｉ（Δｘｉ、Δ刹：ｊ＝１−ｍ） −ＢｉＡｉ−’［ｆｉｏ−ｆｉ（ｘｉｏ ＋ＸｉＯ）−
ｇｉ（Δｘｉ、Δｘｉ）） ＩＩ−Ｊとなる。この（ロ
）式（二ついてｉを１からｍまで考えたとき、Δ１ｉ（
ｉ＝ｌ〜ｍ）の係数行列りと固成の右辺項は、次式で示
される。
１〜ｍ） ｇｉ（Δｘｉ、Δ刹：ｊ＝１−ｍ） −ＢｉＡｉ−’［ｆｉｏ−ｆｉ（ｘｉｏ ＋ＸｉＯ）−
ｇｉ（Δｘｉ、Δｘｉ）） ＩＩ−Ｊとなる。この（ロ
）式（二ついてｉを１からｍまで考えたとき、Δ１ｉ（
ｉ＝ｌ〜ｍ）の係数行列りと固成の右辺項は、次式で示
される。
ε
（）
この（り）式（二おいて、Δｔｉ（ｉ＝１−ｍ）ｌ二よ
るベクトルをΔｉと記してあり、また右辺第１項は指定
値と初期値ｘ１゜、ｘｉｏ（ｉ＝ｘ〜ｍ）のみが与えら
れれば定められる定数項であり、これを定数ベクトルＥ
ｏとして記しである。右辺第２項と第３項はΔＩＣＩ、
Δデｉ（ｉ＝ｌｘｍ）の関数となっているので、これら
の項なす（ΔＸ ｒｙΔｘ）、ｑ（ΔＸ。
るベクトルをΔｉと記してあり、また右辺第１項は指定
値と初期値ｘ１゜、ｘｉｏ（ｉ＝ｘ〜ｍ）のみが与えら
れれば定められる定数項であり、これを定数ベクトルＥ
ｏとして記しである。右辺第２項と第３項はΔＩＣＩ、
Δデｉ（ｉ＝ｌｘｍ）の関数となっているので、これら
の項なす（ΔＸ ｒｙΔｘ）、ｑ（ΔＸ。
△ｉ）と各々記すことにすれば（り）式は。
ＤΔｘ＝Ｅｏ十ｇ（△ｘ、６り−ｇ（Δｘ、ｍ’ｉ）
し）と簡単（二表わせ、故にΔＸは次式で示される。
し）と簡単（二表わせ、故にΔＸは次式で示される。
△ｚ ＝ｌ）″Ｅｏ十Ｄ−’（ｑ（Δｘ、ｘｉ）−ｇ（
Δｚ、△ｚ） ｔｉｔこのけ）式において、゛右辺第１
項は定数ベクトルであるが、第２項はΔＸ、Δｉの関数
となっているので、げ）式のΔｉを直接解くことはでき
ない。そこで、第２項のｑと可の値をいかにめるかが問
題となるが、これらを直接求めることはできないので、
繰り返し計算による手法を用いてめる。
Δｚ、△ｚ） ｔｉｔこのけ）式において、゛右辺第１
項は定数ベクトルであるが、第２項はΔＸ、Δｉの関数
となっているので、げ）式のΔｉを直接解くことはでき
ない。そこで、第２項のｑと可の値をいかにめるかが問
題となるが、これらを直接求めることはできないので、
繰り返し計算による手法を用いてめる。
このため、前記υ）式（二着目して書き換えると、△ｘ
ｉ＝ｃｉ’ ａｉｉ十ｃｔ０−Ａｉ−ｇｉ（ａｘｉ 、
、ａｘｉ） り）となる。ただし、 Ｃｉ’＝−Ａｉ″４Ｃｉ、 Ｃｉ、＝＝Ａｉ’［（ｆｏ
ｆｉ（ｘｉｏ、ｉｉｏ ））であり、Ｃｉ’は定数行
列、Ｃｉｏは定数ベクトルである。
ｉ＝ｃｉ’ ａｉｉ十ｃｔ０−Ａｉ−ｇｉ（ａｘｉ 、
、ａｘｉ） り）となる。ただし、 Ｃｉ’＝−Ａｉ″４Ｃｉ、 Ｃｉ、＝＝Ａｉ’［（ｆｏ
ｆｉ（ｘｉｏ、ｉｉｏ ））であり、Ｃｉ’は定数行
列、Ｃｉｏは定数ベクトルである。
と、り）式より（ｒ−１）回目のａｘｉは。
としてめられる。次いで、ｒ回目の繰り返し計算でΔ、
ｒをめるため（二は、＠°）式においてｑとｂの値をめ
ることが必要である。このｑとすは、と、Δｚｔｒ□１
．ΔＢｒ−１の関数で表わされ、Δｘ（−１とΔＨｒ−
１が与えられるので、ｑｉｒと２１Ｊ ＋ｒがめられる
。これより圀式のｑｒとη１がめられる。故（＝。
ｒをめるため（二は、＠°）式においてｑとｂの値をめ
ることが必要である。このｑとすは、と、Δｚｔｒ□１
．ΔＢｒ−１の関数で表わされ、Δｘ（−１とΔＨｒ−
１が与えられるので、ｑｉｒと２１Ｊ ＋ｒがめられる
。これより圀式のｑｒとη１がめられる。故（＝。
（３）式は。
ｔ＞’ｑ’＝ Ｑ。−＋−Ｄ”Ｃｄ−’Ｅｔ’３ １Ｈ
但し。
但し。
Ｄｏ＝Ｄ−Ｉ Ｅｏ
と表わされるので、Δ！ｒがめられること（二なる。
ｒ＝１のときには、上記（イ）式は
Δｚ”＝００十〇″Ｃｑ”−り１〕 （プとなる。ここ
で、ｑ ｔ 、 （Ｊ １は（切戴より、ｇ ｉ ’
＝（Ｊ ｉ’ （Δｘ ｉ’ 、 Δｚ ｉ’ ）＝Ｑ
（ロ） ｇ ｉ ’ ＝ｇ ｉ’ （Δｘ ｉｏ、ｍｘ ｉ’）
＝０となり１９’＝ζ凰＝０として与えられる。但し。
で、ｑ ｔ 、 （Ｊ １は（切戴より、ｇ ｉ ’
＝（Ｊ ｉ’ （Δｘ ｉ’ 、 Δｚ ｉ’ ）＝Ｑ
（ロ） ｇ ｉ ’ ＝ｇ ｉ’ （Δｘ ｉｏ、ｍｘ ｉ’）
＝０となり１９’＝ζ凰＝０として与えられる。但し。
Δｘｉ０．Δｘ”は初期値であり、Δｘｉ’＝Δ１０＝
０とする。それ故、（７）式よりΔｉ’ ＝ ００ と
して６層１はめられる。また、（至）式より、 Δｘｉ’＝ｃｉ’Δｘｉ’十〇ｉｏ −Ａ？’ｇｉ’
ｔｘＪが得られ、この式の右辺項はすべてめられるので
、Δｘｉｌがめられること（二なる。次いで、（１式に
よってｑｉ”ｗ？ｘｉ”がめられ、（例式（二よってΔ
ｉ２が、閉式でΔｘ ｔ ２が次々にめられてゆくこと
になる。
０とする。それ故、（７）式よりΔｉ’ ＝ ００ と
して６層１はめられる。また、（至）式より、 Δｘｉ’＝ｃｉ’Δｘｉ’十〇ｉｏ −Ａ？’ｇｉ’
ｔｘＪが得られ、この式の右辺項はすべてめられるので
、Δｘｉｌがめられること（二なる。次いで、（１式に
よってｑｉ”ｗ？ｘｉ”がめられ、（例式（二よってΔ
ｉ２が、閉式でΔｘ ｔ ２が次々にめられてゆくこと
になる。
上述の繰り返し計算として、ｔ？） 、 （−ｄ 、（
２）式を用いてΔｘ”をめ、 Δｘ’ がＩ ｔｈｘｒ
−Δｘ”−”ｌ（ｇ（°、１ε：収速定数）を満たすよ
うに変化しなくなるとき、ｘＯ（＝近い解ｉは。
２）式を用いてΔｘ”をめ、 Δｘ’ がＩ ｔｈｘｒ
−Δｘ”−”ｌ（ｇ（°、１ε：収速定数）を満たすよ
うに変化しなくなるとき、ｘＯ（＝近い解ｉは。
ｘ＝ｉｏ十Δｚｒ （ト）
として得られる。
第４図は、以上述べた定ヤコビアン行列を用いた縮約ガ
ウス法（二より非線形連立方程式の解を得る過程を示す
フローチャートである。ここで重要な点は、前述の行列
演算で、Ｌ）’ ｅ ＤＯ＋ Ａ ｊ−’ ＋ ＣＩ
’ ＨＣｉの計算を１回行うだけで、後はこれらの行列
を用いて前記ｇ関数だけの演算（＝よる繰り返し計算（
二より解を得ることができることである。
ウス法（二より非線形連立方程式の解を得る過程を示す
フローチャートである。ここで重要な点は、前述の行列
演算で、Ｌ）’ ｅ ＤＯ＋ Ａ ｊ−’ ＋ ＣＩ
’ ＨＣｉの計算を１回行うだけで、後はこれらの行列
を用いて前記ｇ関数だけの演算（＝よる繰り返し計算（
二より解を得ることができることである。
第５図は、上述した原理に基づく計算装置の基本構成を
示すブロック図である。入力部１（二人力されたデータ
（−基づき、演算部２は前述したような所定の演算を行
い、出力部３から不図示の系統制御装置へ演算結果が出
力される。制御部４は、この演算部２を制御し、その際
記憶部５から必要に応じて行列計算のプログラム等を読
み出して制御する。そして、演算部２では、繰り返し計
算が行われ、入力部１から与えられた関数方程式の解が
められ、これ（二より上記系統制御装置の制御が行われ
る。
示すブロック図である。入力部１（二人力されたデータ
（−基づき、演算部２は前述したような所定の演算を行
い、出力部３から不図示の系統制御装置へ演算結果が出
力される。制御部４は、この演算部２を制御し、その際
記憶部５から必要に応じて行列計算のプログラム等を読
み出して制御する。そして、演算部２では、繰り返し計
算が行われ、入力部１から与えられた関数方程式の解が
められ、これ（二より上記系統制御装置の制御が行われ
る。
上記のように構成された計算装置において、例えば第６
図に示すような電力系統の潮流計算を行い、その調整を
する場合（二ついて説明する。第６図（−示す系におい
て、６は基準ノード、７，８は負荷ノード、９は発電機
ノードなそれぞれ示すものとする。各ノードにおいて次
のような式が成立する。
図に示すような電力系統の潮流計算を行い、その調整を
する場合（二ついて説明する。第６図（−示す系におい
て、６は基準ノード、７，８は負荷ノード、９は発電機
ノードなそれぞれ示すものとする。各ノードにおいて次
のような式が成立する。
ｕｉ＝Ｐ６ｉ−Σ（Ｇｉｍ（ｅｍｅｉ＃ｆｍｆｉ）十Ｂ
ｉｍ（ｅｍｆｉ−Ｖ Ｒ”Ｑｏ Ｒ−Σ（Ｇｋｔｎ（ｅ
ｍｆｉ−ｆｍｅｋ）’−Ｂｋｍ（ｅｍｅｋ士”−” ｆ
ｍｆｋ ）〕＝ ０ これらの６個の式は、変数ｅｉ、ｆｉ（二対して非線形
連立方程式と存っている。そこで、上述の手法により解
ｅｉ、ｆｉをめる。即ち、適当な指定値および初期値を
与えて上述の行列計算、繰り返し計算を行う。その際、
定ヤコビアン行列の縮約がウス法（二よって解をめるの
であるが、例えば第６図に示すノード６．７をノード８
に縮約を行う。これは。
ｉｍ（ｅｍｆｉ−Ｖ Ｒ”Ｑｏ Ｒ−Σ（Ｇｋｔｎ（ｅ
ｍｆｉ−ｆｍｅｋ）’−Ｂｋｍ（ｅｍｅｋ士”−” ｆ
ｍｆｋ ）〕＝ ０ これらの６個の式は、変数ｅｉ、ｆｉ（二対して非線形
連立方程式と存っている。そこで、上述の手法により解
ｅｉ、ｆｉをめる。即ち、適当な指定値および初期値を
与えて上述の行列計算、繰り返し計算を行う。その際、
定ヤコビアン行列の縮約がウス法（二よって解をめるの
であるが、例えば第６図に示すノード６．７をノード８
に縮約を行う。これは。
ノード８とノード９の間を分離すること（＝なる。
そして、繰り返し計算が、解が収束するまで続けられ、
このよう（ニして得られた解（二基づいて電力系統の潮
流調整が行われる。そのとき、１向限りのｇｒａｄｉｅ
ｎｔ行列の計算で解が得られるので、非常に高速で解が
得られ、潮流調整を高速に行うことができる。
このよう（ニして得られた解（二基づいて電力系統の潮
流調整が行われる。そのとき、１向限りのｇｒａｄｉｅ
ｎｔ行列の計算で解が得られるので、非常に高速で解が
得られ、潮流調整を高速に行うことができる。
上記本発明（二係る計算装置は、電力系統における制御
（＝最適であるばかりでなく、他の系統制御（二も勿論
適用可能であり、そのシステムがどのよう（二大きくな
っても、大型計算機の並列運転ができるので、計算時間
が短かくなり、記憶容量も小さくすることができる。ま
た、本発明（二導入されたｇ関数は、どのような座標系
（二対しても成立するものであり、分割された部分系統
のｑ関数と縮約系統のｉ関数の計算を各繰り返し計算で
行うだけで解をめることができるので、高速（＝解が得
られる。また、並列計算も可能にするので、マルチプロ
セッサによるリアルタイム演算も可能となる。
（＝最適であるばかりでなく、他の系統制御（二も勿論
適用可能であり、そのシステムがどのよう（二大きくな
っても、大型計算機の並列運転ができるので、計算時間
が短かくなり、記憶容量も小さくすることができる。ま
た、本発明（二導入されたｇ関数は、どのような座標系
（二対しても成立するものであり、分割された部分系統
のｑ関数と縮約系統のｉ関数の計算を各繰り返し計算で
行うだけで解をめることができるので、高速（＝解が得
られる。また、並列計算も可能にするので、マルチプロ
セッサによるリアルタイム演算も可能となる。
以上説明したよう（二、この発明（＝よれば、関数方程
式の解として適当な近似値をめ、この近似値の修正量に
ついて関数方程式をテーラ−展開したときの修正量の２
次以上の高次項からなる関数について繰り返し計算を行
すよう（ニしたため、関数方程式の解が高速４二得られ
、記憶容量を小さくすることができるという効果があり
、また、大規模系統（＝おいても大型計算機の並列運転
ができ。
式の解として適当な近似値をめ、この近似値の修正量に
ついて関数方程式をテーラ−展開したときの修正量の２
次以上の高次項からなる関数について繰り返し計算を行
すよう（ニしたため、関数方程式の解が高速４二得られ
、記憶容量を小さくすることができるという効果があり
、また、大規模系統（＝おいても大型計算機の並列運転
ができ。
より冒速４二解が得られ、記憶容量の減少を図ることが
できるという効果がある。
できるという効果がある。
°第１図は定ヤコビアン行列を用いたがウス法（＝より
解を得る過程を示す図、第２図は行列縮約１″−よって
得られる行列のグラフ化を示す図、第３図 ゛は部分グ
ラフを行列表示した図、第４図は定ヤコとアン行列を用
いた縮約ガウス法により非線形連立方程式の解を得る過
程を示すフローチャート。 第５図はこの発明に係る計算装置の基本構成を示すブロ
ック図、第６図はこの発明を適用した電力系統の一例を
示す系統図である。 ２・・・・・・・・・演算部 ４・・・・・・・・・制御部 ５・・・・・・・・・記憶部 第１図 第２図 第３図 第５図 ５ 第６図
解を得る過程を示す図、第２図は行列縮約１″−よって
得られる行列のグラフ化を示す図、第３図 ゛は部分グ
ラフを行列表示した図、第４図は定ヤコとアン行列を用
いた縮約ガウス法により非線形連立方程式の解を得る過
程を示すフローチャート。 第５図はこの発明に係る計算装置の基本構成を示すブロ
ック図、第６図はこの発明を適用した電力系統の一例を
示す系統図である。 ２・・・・・・・・・演算部 ４・・・・・・・・・制御部 ５・・・・・・・・・記憶部 第１図 第２図 第３図 第５図 ５ 第６図
Claims (1)
- 任意の座標系に於ける関数方程式の解をヤコビアン行列
を用いたガウス法により得る演算部及び記憶部を有した
計算装置であって、前記関数方程式の解として適正な近
似値をめ、この近似値の修正量について関数方程式をテ
ーラ−展開したときの修正量の２次以上の高次項からな
る関数について、修正量が所定値以下に収束するまで繰
り返し計算を行うように前記演算部を構成したことを特
徴とする計算装置。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2294684A JPS60168270A (ja) | 1984-02-13 | 1984-02-13 | 計算装置 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2294684A JPS60168270A (ja) | 1984-02-13 | 1984-02-13 | 計算装置 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPS60168270A true JPS60168270A (ja) | 1985-08-31 |
Family
ID=12096783
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP2294684A Pending JPS60168270A (ja) | 1984-02-13 | 1984-02-13 | 計算装置 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPS60168270A (ja) |
Cited By (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JPH0260324A (ja) * | 1988-08-26 | 1990-02-28 | Ryoichi Mori | データ信号圧縮装置 |
| JPH04177118A (ja) * | 1990-11-09 | 1992-06-24 | Tamano Sogo Consultant Kk | 実体写真測量における相互標定法 |
| WO1998004894A1 (en) * | 1996-07-29 | 1998-02-05 | Honeywell Inc. | Method and apparatus for increasing update rates in measurement instruments |
-
1984
- 1984-02-13 JP JP2294684A patent/JPS60168270A/ja active Pending
Cited By (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JPH0260324A (ja) * | 1988-08-26 | 1990-02-28 | Ryoichi Mori | データ信号圧縮装置 |
| JPH04177118A (ja) * | 1990-11-09 | 1992-06-24 | Tamano Sogo Consultant Kk | 実体写真測量における相互標定法 |
| WO1998004894A1 (en) * | 1996-07-29 | 1998-02-05 | Honeywell Inc. | Method and apparatus for increasing update rates in measurement instruments |
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