JPH11259452A

JPH11259452A - 高速積分方法及びシステム

Info

Publication number: JPH11259452A
Application number: JP10034438A
Authority: JP
Inventors: Hideyuki Mizuta; 秀行水田
Original assignee: International Business Machines Corp
Current assignee: International Business Machines Corp
Priority date: 1998-02-17
Filing date: 1998-02-17
Publication date: 1999-09-24
Also published as: US6304888B1

Abstract

(57)【要約】【課題】高次元のモンテカルロ計算にも有効な、計算時
間を犠牲としない、収束速度の速い、積分システム及び
方法を提供することである。【解決手段】上記課題を解決するために、・多次元数列を１次元量に変換する。・モデルに応じて特徴を捉えて最適化する。・乱数そのものを修正するのではなく重みづけ平均によ
って補正する。・ヒストグラムの作成により乱数列の分布形状全体の補
正を行う。・ヒストグラム作成時のグループ毎に累積計算する。これらの手段により、計算時間を犠牲とせずに収束の速
度を増すことが可能となる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本願は、高速に積分を行うシステ
ム及び方法に関し、特に多次元数列を１次元量に変換し
て、重みづけ平均によって補正することを特長とする、
高速積分システム及び方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】従来数値積分を行う方法には、擬似乱数
によるモンテカルロ法の分散減少法として代表的なもの
に以下にあげるようなものが知られている。対称変数法乱数列に対して、絶対値は等しく反対の符号を有する数
列を付け加えることによって、乱数の分布を対称なもの
とし、分散を減少させようとするもの。モーメント照合法発生させた乱数列より、平均および分散を求め、それが
本来あるべき値となるように乱数の値自体を修正するも
の。それぞれ、発生させた乱数列自体に手を加えるた
め、自己相関の問題がある。さらにモーメント照合法は
それまでに発生させた全乱数を記憶しておく必要があ
り、高次元では非実用的である。また、ＬＤＳ（low-di
screpancy sequence）のように偏りのないサンプル点を
与えるものに対して、点の位置自体を変更するこれらの
方法は有効では無い。

【０００３】

【発明が解決しようとする課題】従って、本発明が解決
しようとする課題は、高次元のモンテカルロ計算にも有
効な積分システム及び方法を提供することである。また
別の課題は、積分モデルに応じて特徴を捉えて最適化す
ることのできる、積分システム及び方法を提供すること
である。また別の課題は、ＬＤＳ（low-discrepancy se
quence）に対して効果的な分散減少法としての、積分シ
ステム及び方法を提供することである。また別の課題
は、乱数列の分布形状全体の補正を行うことができる、
積分システム及び方法を提供することである。また別の
課題は、積分計算に際し、多量のメモリを必要としな
い、積分システム及び方法を提供することである。

【０００４】

【課題を解決するための手段】上記課題を解決するため
に、・多次元数列を１次元量に変換する。・モデルに応じて特徴を捉えて最適化する。・乱数そのものを修正するのではなく重みづけ平均によ
って累積計算を補正する。・ヒストグラムの作成により乱数列の分布形状全体の補
正を行う。・ヒストグラム作成時のグループ毎に累積計算する。これらの手段により、計算時間を犠牲とせずに収束の速
度を増すことが可能となる。

【０００５】

【発明の実施の形態】多次元の乱数より、多次元被積分
関数の値が得られるものとする。ここで１つの値を得る
のに要する乱数の組みを１シナリオと呼ぶ。この操作
を、Ｎ回繰り返し、得られたＮ個の値の算術平均を求め
ることにより、関数の積分を行うのが本来のモンテカル
ロ法である。ここで各操作において、多次元乱数より１
次元量を計算する。この１次元量は、被積分関数の特徴
にあったものであるほうが好ましい。この１次元量を、
値によっていくつかのグループに分類し、各グループ毎
に発生回数を記録する。また、このときの多次元乱数に
対応する被積分関数の値も、先のグループ分けにしたが
って累積値を記録する。この操作をＮ回繰り返したの
ち、各グループに対して理論的に予想される１次元量の
分布と記録された発生回数の比を、そのグループに対す
る重みとして記録する。たとえば、多次元乱数として正
規分布に従うものをとり、１次元量を各成分の和とする
と、これは再び正規分布に従うため、その理論分布は容
易に計算する事ができる。最後に、各グループに対して
被積分関数の累積値と重みの積を計算し、すべてのグル
ープについての和をとる。この和を、すべてのグループ
に対する重みの和によって除することにより、修正され
たモンテカルロ法による積分値が与えられる。

【０００６】

【実施例】以下、図面を参照して本発明の実施例を説明
する。図１には、本発明において使用される積分システ
ムのハードウェア構成の一実施例を示す概観図が示され
ている。システム１００は、中央処理装置（ＣＰＵ）１
とメモリ４とを含んでいる。ＣＰＵ１とメモリ４は、バ
ス２を介して、補助記憶装置としてのハードディスク装
置１３（またはＭＯ、ＣＤ−ＲＯＭ２３、ＤＶＤ等の記
憶媒体駆動装置）とＩＤＥコントローラ２５を介して接
続してある。同様にＣＰＵ１とメモリ４は、バス２を介
して、補助記憶装置としてのハードディスク装置３０
（またはＭＯ２８、ＣＤ−ＲＯＭ２３、ＤＶＤ等の記憶
媒体駆動装置）とＳＣＳＩコントローラ２７を介して接
続してある。フロッピーディスク装置２０はフロッピー
ディスクコントローラ１９を介してバス２へ接続されて
いる。好ましくはハードディスク装置１３若しくはメモ
リ４内に、各グループ別に発生回数、多次元乱数に対応
する被積分関数の値、グループ別の累積値などが記憶さ
れる。

【０００７】フロッピーディスク装置２０には、フロッ
ピーディスクが挿入され、このフロッピーディスク等や
ハードディスク装置１３（またはＭＯ、ＣＤ−ＲＯＭ、
ＤＶＤ等の記憶媒体）、ＲＯＭ１４には、オペレーティ
ングシステムと協働してＣＰＵ等に命令を与え、本発明
を実施するためのコンピュータ・プログラムのコード若
しくはデータを記録することができ、メモリ４にロード
されることによって実行される。このコンピュータ・プ
ログラムのコードは圧縮し、または、複数に分割して、
複数の媒体に記録することもできる。

【０００８】システム１００は更に、ユーザ・インター
フェース・ハードウェアを備え、入力をするためのポイ
ンティング・デバイス（マウス、ジョイスティック等）
７またはキーボード６や、視覚データをユーザに提示す
るためのディスプレイ１２を有することができる。ま
た、パラレルポート１６を介してプリンタを接続するこ
とや、シリアルポート１５を介してモデムを接続するこ
とが可能である。このシステム１００は、シリアルポー
ト１５およびモデムまたは通信アダプタ１８(イーサネ
ットやトークンリング・カード)等を介してネットワー
クに接続し、他のコンピュータ等と通信を行うことが可
能である。またシリアルポート１５若しくはパラレルポ
ート１６に、遠隔送受信機器を接続して、赤外線若しく
は電波によりデータの送受信を行うことも可能である。

【０００９】スピーカ２３は、オーディオ・コントロー
ラ２１によってＤ／Ａ（デジタル／アナログ変換）変換
された音声信号を、アンプ２２を介して受領し、音声と
して出力する。また、オーディオ・コントローラ２１
は、マイクロフォン２４から受領した音声情報をＡ／Ｄ
（アナログ／デジタル）変換し、システム外部の音声情
報をシステムにとり込むことを可能にしている。

【００１０】このように、本発明の積分システムは、通
常のパーソナルコンピュータ（ＰＣ）やワークステーシ
ョン、ノートブックＰＣ、パームトップＰＣ、ネットワ
ークコンピュータ、コンピュータを内蔵したテレビ等の
各種家電製品、通信機能を有するゲーム機、電話、ＦＡ
Ｘ、携帯電話、ＰＨＳ、電子手帳、等を含む通信機能有
する通信端末、または、これらの組合せによって実施可
能であることを容易に理解できるであろう。ただし、こ
れらの構成要素は例示であり、その全ての構成要素が本
発明の必須の構成要素となるわけではない。

【００１１】図２に、本発明のブロック構成図を示す。
まずブロック２１０は、充分な数のシナリオについてヒ
ストグラムと被積分関数の累積値を得る、ヒストグラム
作成及び累積計算ブロックである。このヒストグラムの
作成により乱数列の分布形状全体の補正が可能になる。
次にブロック２２０は、ヒストグラムを元に累積計算に
補正を行い平均を求める、加重平均ブロックである。す
なわち乱数そのものを修正するのではなく重みづけ平均
によって累積計算を補正する。

【００１２】図３に、本発明のより詳細なブロック構成
図を示す。図２のブロック２１０は図３のブロック３１
０〜３４０に相当する。また図２のブロック２２０は図
３のブロック３５０〜３６０に相当する。まずブロック
３１０は多次元の乱数を生成する多次元乱数生成ブロッ
クである。またブロック３２０は、この多次元乱数より
１次元量を計算する、１次元量算出ブロックである。こ
の１次元量は、被積分関数の特徴にあったものであるほ
うが好ましい。そしてブロック３３０はこの１次元量
を、値によっていくつかのグループに分類した後、各グ
ループ毎に発生回数を記憶する、発生回数記憶ブロック
である。次にブロック３４０は、このときの多次元乱数
に対応する被積分関数の値を、先のグループ分けに従い
累積値を記憶する、累積値記憶ブロックである。次にブ
ロック３５０は、各グループに対して理論的に予想され
る１次元量の分布と記録された発生回数の比を、そのグ
ループに対する重みとして記憶する、重み算出記憶ブロ
ックである。これにより、多次元乱数として正規分布に
従うものをとり、１次元量を各成分の和とすれば、これ
は再び正規分布に従うので、その理論分布は容易に計算
する事が可能になる。そしてブロック３６０は、最終積
分値算出ブロックである。具体的には、まず各グループ
に対して被積分関数の累積値と重みの積を計算し、すべ
てのグループについての和をとる。この和を、すべての
グループに対する重みの和によって除することにより、
求める積分値が得られる。

【００１３】図４及び図５に本発明のフローチャートを
示す。より分かりやすく説明するために、金融派生商品
の時価計算を例にとり説明する。まずステップ４１０
で、多次元の乱数列を生成する。次にステップ４２０で
多次元乱数より１次元量を計算するにあたり、各乱数の
総和を求める。この１次元量は、被積分関数の特徴にあ
ったものであれば他の実施例でもよい。ステップ４３０
で、この１次元量を、値によっていくつかのグループに
分類するための配列のインデックスとなる自然数に直
す。そしてブロック４４０で乱数列のシナリオから価格
を１つ決める。次にステップ４５０で、各グループ毎に
発生回数及び、このときの多次元乱数に対応する被積分
関数の値を、先のグループ分けにしたがって累積値を記
憶する。そしてステップ４６０で充分な数のシナリオに
ついてヒストグラムと価格の和を求めたかどうかが判断
される。もしその結果がＹｅｓであれば、ステップ４７
０でインデックスの最大値をｍａｘｉｎｄｅｘとし、処
理は図５の加重平均を行うステップへと移る。もしその
結果がＮｏであれば処理は再びステップ４１０へ戻る。
なおｍａｘｉｎｄｅｘは予め定数として定義しておいて
もよいし、処理中に動的に変更してもよい。

【００１４】ステップ５１０は、一次元量のインデック
ス(ノルムインデックス)をｉ、重み付け価格をｗｐｒｉ
ｃｅ、全重みをｗｓｕｍとして初期化を行う。次にステ
ップ５２０で、各グループに対して理論的に予想される
１次元量の分布値を求める。そしてステップ５３０で、
各グループに対して理論的に予想される１次元量の分布
と記録された発生回数の比を、そのグループに対する重
みとして記憶する。そしてステップ５４０で、重み付け
価格ｗｐｒｉｃｅ、全重みｗｓｕｍを前記重みを掛ける
ことにより算出する。そしてステップ５５０でインデッ
クスｉを１だけ増加させる。ステップ５６０でインデッ
クスｉがｍａｘｉｎｄｅｘより大きいかを判断し、もし
その結果がＮｏであれば処理は再びステップ５２０へ戻
る。もしその結果がＹｅｓであれば、ステップ５７０
で、被積分関数の累積値と重みの積のすべてのグループ
についての和を、すべてのグループに対する重みの和に
よって除する。これにより、修正されたモンテカルロ法
による積分値が与えられる。

【００１５】本発明を用いた複雑な金融派生商品の価格
計算の例を示す。従来は、金利変動を考慮した価格プロ
セスの期待値を求める際、擬似乱数によるモンテカルロ
法がしばしば用いられた。しかし、巨大な資産のリスク
管理や、顧客に対するリアルタイムデモンストレーショ
ンにおいては、まだまだ高速化が求められる。金利変動
dr を、時間経過 dt とウィーナー過程 dz によって与
える。Mean reversiona, b と drift μ および volati
lity σ は定数である。Vasicek Model を用いると

【数１】次に Euler 近似によって離散化を行う。時間間隔を Δ
t、N(0,1) の正規乱数をu_i (i=0,...,i_max) とすると、
漸化式

【数２】によって、時刻 t=iΔt の金利 r_i が与えられる。ここ
で金利変動により価格が決定される商品の例として、５
年割引債を考える。5年後に1単位支払われる債券の現在
価値を求める。現在価値は Vasichek Model によって与
えられる5年間の金利変動に従って、割り引いて考えな
くてはならない。これは、その現在価値分の変動金利の
もとでの預金が、５年後に支払われる債券の額面金額に
丁度等しくなるとも考えられる。離散化単位 Δt を 1/
288 年とすると、i_max = 1439 となる。このとき、各時
点の金利 r_i を用いて、価格 P は

【数３】で与えられる。よって、例えば、 r₀ = 0.021673, a = 0.1817303, b = 0.0825398957, σ
= 0.0125901 として先の漸化式をといて、r₁ から r₁₄₃₉ を与えれ
ば、５年割引債の現在価値が計算できる。モンテカルロ
法では、金利を求める漸化式において、擬似乱数により
u₁からu₁₄₃₉を与え、それらによる価格 P を求める。こ
の計算は、次々と乱数を発生させる毎に異なった P を
与えるため、それぞれf_i として、N 個の価格を計算
し、その平均値を結果とする。

【数４】 N を増やしていくと、評価誤差は 1/√N の比率で減少
していく。このため 10倍の精度を得るためには、100倍
の計算が必要となる。f_i を求めるために用いるサンプ
ルの抽出に、擬似乱数ではなくLow-discrepancy sequen
ce を用いることで、評価誤差を 1/N とできる。これに
よって、必要な精度を得るのに要する計算量を大幅に減
らすことができる。ここで、さらに本発明のヒストグラ
ム法を用いれば、高速に収束が行われ、さらに精度が良
くなる。例えばモンテカルロ法で１日を要する計算を、
LDSでは１０分、本発明を併用したLDSでは１分で行える
ようになる。

【００１６】図６、図７に U を1000次元の正規乱数と
し、被積分関数に債券の簡単なモデルであるexp(0.01Σ
Ui)を用いた場合の従来の手法及び本発明の方法による
場合の収束過程を図示する。まず図６は本発明の方法を
用いない場合の収束過程である。ＬＤＳを用いた場合は
擬似乱数より収束が早いことがわかる。しかしながら、
サンプル数１００００回でも充分収束しているとは言え
ない。そこで図７に本発明の方法を用いた場合（ヒスト
グラム幅２及び３）の収束過程を示す。これからサンプ
ル数１００００回の場合、本発明を使用しない場合と比
較して充分高速に理論積分値に収束することがわかる。
なお理論値からの相対誤差を図８の表に示す。

【００１７】参考として、図４及び図５のフローチャー
トに従ったプログラム例を以下に記載する。(なお STAT
NUM,STATLEN,TNUM,Dは予め 2000、2.0、100、1000等と
定義しておいてもよいし、動的に変更しても構わない) void gettheory(double theory[STATNUM]); double getaverage(double theory[STATNUM], int ustat[STATNUM], double psum[STATNUM], long cnt); int main() { long jj, maxcount = 10000; double u[D]; double norm, price, priceave; int i, nindex, ustat[STATNUM]; double psum[STATNUM], theory[STATNUM]; for (i = 0; i < STATNUM; i++) { ustat[i] = 0; psum[i] = 0; } gettheory(theory); for (jj = 1; jj <= maxcount; jj++) { getrandom(u); /* get D-dim random sequences */ norm = calcnorm(u); /* calc norm of random sequence */ nindex = (int)((norm+STATNUM*STATLEN / 2) / STATLEN): price = value(u); /* get a price from a senario */ ustat[nindex]++; psum[nindex] += price; } priceave = getaverage(theory, ustat, psum, maxcount); printf("result : %.16f\n", priceave); } void gettheory(double theory[STATNUM]) { int mid = STATNUM / 2; int i, j; double dx = STATLEN / TNUM; double c, f, sum, x, total = 0; c = dx / sqrt(2 * D * 3.1415926536); for (i = 0; i < mid - 1; i++) { sum = 0; for (j = 0; j < TNUM; j++) { x = i * STATLEN + (j + 0.5) * dx; f = exp(- x * x / (2 # D)) * c; sum += f; } theory[mid + i] = theory[mid - i -1] = sum; total += sum; } theory[0] = theory[STATNUM -1] = 0.5 - total; } double getaverage(double theory[STATNUM], int ustat[STATNUM], double psum[STATNUM], long cnt) { double pricesum = 0.0, wsum = 0.0, weight; int i; for (i = 0; i < STATNUM; i++) { weight = theory[i] / ustat[i]; pricesum += psum[i] * weight; wsum += weight * ustat[i]; } return pricesum / wsum; }

【００１８】

【発明の効果】オプションやスワップ等の複雑な金融派
生商品の価格計算は、従来モンテカルロ法によって求め
られてきた。これは高性能な計算機を用いても非常に時
間を要する。このような状況は乱数のかわりにLow-disc
repancy sequance(LDS)を用いる事によって大幅に改善
される。本発明はこれをさらに補正を加えて、必要な精
度の価格を得るのに要する計算量を減らすことができ
る。たとえば、モンテカルロ法で１日を要する計算を、
LDSでは１０分、本発明を併用したLDSでは１分で行える
ようになる。多数の資産を持つ銀行でのリスク管理や客
先での価格説明にはこのような高速な計算技術が不可欠
である。本発明の方法を用いることにより、計算時間を
犠牲とせずに収束の速度を増すことが可能となる。

【００１９】

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明において使用される積分システムのハー
ドウェア構成の概観図である。

【図２】本発明の積分システムのブロック構成図であ
る。

【図３】本発明の積分システムのより詳細なブロック構
成図である。

【図４】本発明のフローチャートを示す。

【図５】本発明のフローチャートを示す。

【図６】被積分関数に債券モデルを想定した場合の従来
技術による収束過程を示す。

【図７】被積分関数に債券モデルを想定した場合の本発
明による収束過程を示す。

【図８】本発明を使用する場合としない場合の理論値か
らの相対誤差を示す表である。

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】コンピュータにより多次元関数を高速に積
分する積分システムであって、上記多次元関数を積分す
るための多次元の乱数の組みを複数生成する手段と、上
記複数の乱数の組みのヒストグラム及び被積分関数の累
積値を計算し、記憶装置に記憶する手段と、上記ヒスト
グラム及び上記累積値を用いて加重平均を計算する手段
と、を具備することを特長とする、積分システム。
【請求項２】コンピュータにより多次元関数を高速に積
分する積分システムであって、多次元の乱数の組みによ
り、多次元被積分関数の値を複数得る手段と、上記多次
元乱数の組み毎に、１次元量を計算する手段と、上記１
次元量を、値によって複数のグループに分類し、各グル
ープ別に発生回数を記憶装置に記憶する手段と、上記多
次元乱数に対応する被積分関数の値を、上記グループ別
に累積値を記憶装置に記憶する手段と、上記発生回数の
分布を利用して、上記発生回数と上記累積値の積の和か
ら、加重平均を求める手段、を具備することを特長とす
る、積分システム。
【請求項３】コンピュータにより多次元関数を高速に積
分する積分システムであって、多次元の乱数の組みによ
り、多次元被積分関数の値を複数得る手段と、上記多次
元乱数の組み毎に、１次元量を計算する手段と、上記１
次元量を、値によって複数のグループに分類し、各グル
ープ別に発生回数を記憶装置に記憶する手段と、上記多
次元乱数に対応する被積分関数の値を、上記グループ別
に累積値を記憶装置に記憶する手段と、上記各グループ
に対して理論的に予想される１次元量の分布と記憶され
た上記発生回数の比を、グループに対する重みとして記
憶装置に記憶する手段と、上記各グループに対して被積
分関数の累積値と重みの積を計算する手段と、全グルー
プについて上記積の和を計算する手段と、上記和を、全
グループに対する重みの和によって除算する手段と、を
具備することを特長とする、積分システム。
【請求項４】コンピュータにより多次元関数を高速に積
分する積分方法であって、上記多次元関数を積分するた
めの多次元の乱数の組みを複数生成する段階と、上記複
数の乱数の組みのヒストグラム及び被積分関数の累積値
を計算し、記憶装置に記憶する段階と、上記ヒストグラ
ム及び前記累積値を用いて加重平均を計算する段階と、
を有することを特長とする、積分方法。
【請求項５】コンピュータにより多次元関数を高速に積
分するためのプログラムを含む媒体であって、該プログ
ラムが、上記多次元関数を積分するための多次元の乱数
の組みを複数生成する機能と、上記複数の乱数の組みの
ヒストグラム及び被積分関数の累積値を計算し、記憶装
置に記憶する機能と、上記ヒストグラム及び前記累積値
を用いて加重平均を計算する機能と、を有することを特長とする、プログラムを含む媒体。
【請求項６】コンピュータにより、金融派生商品の価格
計算を高速に行う、金融派生商品の価格計算システムで
あって、多次元関数を積分するための多次元の乱数の組
みを複数生成する手段と、上記複数の乱数の組みのヒス
トグラム及び被積分関数の累積値を計算し、記憶装置に
記憶する手段と、上記ヒストグラム及び上記累積値を用
いて加重平均を計算する手段と、を具備することを特長
とする、金融派生商品の価格計算システム。
【請求項７】コンピュータにより、金融派生商品の価格
計算を高速に行う、金融派生商品の価格計算システムで
あって、多次元の乱数の組みにより、多次元被積分関数
の値を複数得る手段と、上記多次元乱数の組み毎に、１
次元量を計算する手段と、上記１次元量を、値によって
複数のグループに分類し、各グループ別に発生回数を記
憶装置に記憶する手段と、上記多次元乱数に対応する被
積分関数の値を、上記グループ別に累積値を記憶装置に
記憶する手段と、上記発生回数の分布を利用して、上記
発生回数と上記累積値の積の和から、加重平均を求める
手段、を具備することを特長とする、金融派生商品の価
格計算システム。
【請求項８】コンピュータにより、金融派生商品の価格
計算を高速に行う、金融派生商品の価格計算システムで
あって、多次元の乱数の組みにより、多次元被積分関数
の値を複数得る手段と、上記多次元乱数の組み毎に、１
次元量を計算する手段と、上記１次元量を、値によって
複数のグループに分類し、各グループ別に発生回数を記
憶装置に記憶する手段と、上記多次元乱数に対応する被
積分関数の値を、上記グループ別に累積値を記憶装置に
記憶する手段と、上記各グループに対して理論的に予想
される１次元量の分布と記憶された上記発生回数の比
を、グループに対する重みとして記憶装置に記憶する手
段と、上記各グループに対して被積分関数の累積値と重
みの積を計算する手段と、全グループについて上記積の
和を計算する手段と、上記和を、全グループに対する重
みの和によって除算する手段と、を具備することを特長
とする、金融派生商品の価格計算システム。
【請求項９】コンピュータにより、金融派生商品の価格
計算を高速に行う、金融派生商品の価格計算方法であっ
て、多次元関数を積分するための多次元の乱数の組みを
複数生成する段階と、上記複数の乱数の組みのヒストグ
ラム及び被積分関数の累積値を計算し、記憶装置に記憶
する段階と、上記ヒストグラム及び前記累積値を用いて
加重平均を計算する段階と、を有することを特長とす
る、金融派生商品の価格計算方法。
【請求項１０】コンピュータにより金融派生商品の価格
計算を高速に行うためのプログラムを含む媒体であっ
て、該プログラムが、多次元関数を積分するための多次
元の乱数の組みを複数生成する機能と、上記複数の乱数
の組みのヒストグラム及び被積分関数の累積値を計算
し、記憶装置に記憶する機能と、上記ヒストグラム及び
前記累積値を用いて加重平均を計算する機能と、を有することを特長とする、プログラムを含む媒体。