DE10062120A1 - Vorrichtung und Verfahren zur Bewertung von Finanzderivaten mit Hilfe von dünnen Gittern - Google Patents

Abstract

Technische Aufgabe und Zielsetzung DOLLAR A Die schnelle und genaue Bewertung komplexer Finanzderivate ist ein zentrales Problem vieler Banken, Versicherungen und Anleger. In vielen Fällen kann der Preis solcher Derivate als Erwartungswert bestimmt werden. Bestehende Vorrichtungen und Verfahren zur Berechnung dieser Erwartungswerte, basierend auf Monte Carlo oder Quasi-Monte Carlo Integration, sind jedoch sehr zeitintensiv und ungenau. DOLLAR A Lösung der Aufgabe DOLLAR A Die Bewertung von Finanzderivaten wird mittels einer Vorrichtung, bestehend aus einem Computer und einem Verfahren, basierend auf multivariater numerischer Integration mit Hilfe von dünnen Gittern durchgeführt. Das vorgeschlagene Verfahren kann die auftretenden Erwartungswerte effizienter als bisherige Verfahren berechnen und damit die Preise der Derivate wesentlich schneller und genauer ermitteln. DOLLAR A Die Vorrichtung beinhaltet eine Ein- (1) und eine Ausgabeeinheit (6), eine Speichereinheit (5) sowie eine Programmeinheit (2-4). Die Programmeinheit besteht aus einem Aufbaumodul (2), einem Diskretisierungsmodul (3) und einem Integrationsmodul (4). DOLLAR A Im Falle nicht glatter Integranden, wie sie z. B. bei der Bewertung von Optionen auftreten, wird das Integrationsgebiet durch Transformationen in glatte Teilgebiete zerlegt. Eine zusätzliche Beschleunigung des Verfahrens wird durch Dimensionsreduktion sowie Parallelisierung ermöglicht. DOLLAR A Anwendungsgebiet DOLLAR A Die Vorrichtung ermöglicht zusammen mit dem vorgeschlagenen Verfahren die ...

Description

1. Technisches Gebiet

Die Erfindung liegt auf dem Gebiet der elektronischen Datenverarbeitung, speziell auf dem Gebiet der Finanzinformatik. Insbesondere betrifft die Erfindung die schnelle und genaue Be­ wertung von Finanzderivaten mit Hilfe von elektronischen Rechnensystemen.

2. Stand der Technik

Die Bewertung von Finanzderivaten hat im letzten Jahrzehnt einen starken Aufschwung erfah­ ren und ist zu einem wichtigen Instrument in der Finanzwirtschaft geworden. Einerseits ist die Möglichkeit einer Bewertung eine notwendige Voraussetzung, damit ein Finanzinstitut über­ haupt ein neues Derivat anbieten kann, andererseits ist die Bewertung nötig um ein Portfolio geeignet zu strukturieren, abzusichern und zu optimieren.

Es gibt nun eine Reihe verschiedener Arten von Finanzderivaten, die beispielsweise Zins- oder Aktien-basiert sind. Hierzu zählen u. a. Bonds, Swaps, Futures, CMOs und Optionen. Ihre Bewertung erfolgt, unter der Annahme, daß keine Arbitragemöglichkeit besteht, mittels parti­ eller Differentialgleichungen oder über den Martingalansatz. Letzterer ist jedoch allgemeiner. Dabei spezifiziert man zunächst einen stochastischen Prozeß für den zugrunde liegenden Wert (zum Beispiel den Zinssatz oder den Aktienkurs). Dann bestimmt man das äquivalente Mar­ tingalmaß, das den zugrunde liegenden Prozeß in ein Martingal umwandelt und berechnet den Wert des Derivats als den Erwartungswert seiner discounteten Auszahlungsfunktion unter die­ sem risikoneutralen Maß. Unter bestimmten Voraussetzungen ist der Zugang über eine partielle Differentialgleichung und das Martingal gleichwertig. Der Zusammenhang wird dabei über ver­ allgemeinerte Feynman-Kacz Formeln hergestellt. Der Martingalansatz ist jedoch universeller einsetzbar und leichter auf neue Situationen übertragbar.

Der Preis eines Finanzderivats läßt sich somit als Erwartungswert ausdrücken. In konti­ nuierlicher Zeit beinhaltet der Integrand dabei wiederum ein Pfadintegral, das etwa mit dem Euler-Verfahren/Trapezregel diskretisiert werden kann oder es wird bedingt durch die Anwen­ dung gleich ein zeitdiskretes Modell verwendet. In beiden Fällen führt dies zu einem hochdi­ mensionalen Integrationsproblem. Für die einfache Europäische Call Option ist es möglich eine geschlossene Lösung anzugeben (Black-Scholes Formel), kompliziertere Optionstypen benötigen jedoch ein numerisches Lösungsverfahren. Dies gilt analog auch für die anderen Arten von Fi­ nanzderivaten.

Als numerisches Integrationsverfahren für hochdimensionale Integranden ist die klassische multivariate Quadratur nicht geeignet. Hier begegnet man dem Fluch der Dimensionalität: Der Aufwand skaliert hier exponentiell mit der Dimension. Man hat die Komplexität der Ordnung O(N^-r/d) wobei r die Glattheit des Integranden und d seine Dimension bezeichnen. Hingegen ist das Monte Carlo Verfahren von der Dimension unabhängig. Dabei wird der Integrand f an einer zufälligen Folge von N Punkten x_i ausgewertet und man erhält die Quadraturformel

Das Monte Carlo Verfahren konvergiert jedoch nur sehr langsam (und auch nur im statisti­ schen Sinne). So ist die Genauigkeit, die mit N Funktionsauswertungen erzielt werden kann, von der Ordnung O(1/√N). Von besonderem Interesse sind deswegen die im letzten Jahrzehnt entwickelten Quasi Monte Carlo Methoden [4]. Hier wird der Integrand für eine deterministisch bestimmte Folge von Punkten x_i ausgewertet und man verwendet als Quadaturformel analog zum Monte Carlo-Verfahren

Es gibt hierbei eine Reihe verschiedener Konstruktionen, beispielsweise die Halton-, Sobol- oder Faure-Folgen, die sich in ihrer Präasymptotik unterscheiden aber alle in einer Konvergenzord­ nung des Typs O((log N)^d/N) resultieren. Diese ist also fast eine Ordnung besser als für die Monte Carlo Methode. Zudem ist der Fehler deterministisch. Prototyp ist hierbei das Programm FinDer von J. Traub [9], das mittlerweile in vielen Banken verwendet wird. Diese Methode wurde in den Patenten US 005940810A [7] und US 006058377A [8] dokumentiert.

Weiterhin gibt es sogenannte Dünngitterverfahren [2, 6]. Bei diesem Ansatz werden mehrdi­ mensionale Quadraturformeln durch geeignete Kombination von Tensorprodukten eindimensio­ naler Quadraturformeln, wie z. B. Clenshaw-Curtis oder Gauß-Patterson Formeln, konstruiert. Das allgemeine Dünngitterverfahren kann wie folgt beschrieben werden. Man betrachtet zunächst eine Folge eindimensionaler Quadraturformeln für eine eindimensionale Funktion f,

Nun definiere die Differenzformel durch

Die Dünngitterkonstruktion für d-dimensionale Funktionen f besteht für l ∈ N und k ∈ N ^d aus

mit Indexmengen I_l sodaß für alle k ∈ I_l,

k - e_j ∈ I_l for 1 ≦ j ≦ d, k_j < 1,

gilt. Spezialfälle des Verfahrens sind klassische dünne Gitter, wo Il = {|k|₁ ≦ l + d - 1}, sowie klassische Produktformeln, bei denen I_l = {|k|_∞ ≦ l}. Abb. 4 gibt Beispiele verschiedener klas­ sischer dünner Gitter im 2D Fall basierend auf der Trapez-, der Clenshaw-Curtis Formel, der Gauß-Patterson und der Gauß-Legendre Formel. Ein substanzieller Unterschied zu Monte Carlo und Quasi-Monte Carlo Verfahren ist hier die Verwendung unterschiedlich großer Gewichtsfakto­ ren, d. h. in der Darstellung Q_Nf = Σ N|i=1 w_if(x_i) sind die Gewichte w_i des Dünngitterverfahrens nicht alle gleich 1/N.

Die Konvergenzordnung das klassischen Dünngitterverfahrens ist ε = O(log(N)^(d-i)(r+i)N^-r) und damit ebenfalls unabhängig von der Dimension d. Im Gegensatz zu Monte Carlo und Quasi- Monte Carlo Verfahren kann das Dünngitterverfahren allerdings auch die Glattheit r des Inte­ granden nutzen und hat damit exponentielle Konvergenz bei glattem Integranden (r → ∞). Für glatte Integranden ist damit dieses Verfahren substantiell schneller als die Monte Carlo oder Quasi-Monte Carlo Verfahren.

Für das Dünngitterverfahren ergeben sich jedoch zwei grundsätzliche Probleme: Zum einen verschlechtert sich die Konvergenzrate des Verfahrens bei nicht glatten Integranden, wie sie z. B. bei Optionen auftauchen, d. h. es verliert in diesem Fall seinen Vorteil. Zum anderen ist das Verfahren ebenso wie Quasi-Monte Carlo Verfahren nicht vollkommen unabhängig von der Dimension und die Konvergenzrate verschlechtert sich ebenfalls mit ansteigender Dimension.

3. Erfindung

Die Erfindung bezieht sich hierbei auf eine Vorrichtung bestehend aus einem Computer und ein Verfahren, welches auf der Dünngittertechnik basiert, die die schnelle Berechnung von Erwar­ tungswerten erlaubt, wie sie zur Bewertung von Derivaten aus dem Finanz- und Bankenwesen, z. B. Zins-, Aktien-, Währungs- oder Güterderivaten, benötigt werden.

Die Vorrichtung (Abb. 1) besteht aus einem Computer mit einer Ein- (1) und Ausgabeeinheit (6), einer Speichereinheit (5) sowie einer Programmeinheit (2-4). Die Ein- und Ausgabeeinhei­ ten ermöglichen die Eingabe der Derivatparameter und die Ausgabe des Derivatwertes. Die Speichereinheit wird zur Ablegung des Programms, der Ein- und Ausgabewerte, sowie von Zwi­ schenergebnissen benötigt. Die Programmeinheit besteht aus einem Aufbaumodul (2), einem Diskretisierungsmodul (3) und einem Integrationsmodul (4). Das Aufbaumodul hat die Aufgabe der Bestimmung der Integrationsfunktion. Das Diskretisierungsmodul ermittelt geeignete Inte­ grationspunkte mittels dünner Gitter. Das Integrationsmodul berechnet daraufhin den Wert des Derivats durch Kombination der Funktionswerte an den Integrationspunkten.

Im Folgenden werden die einzelnen Komponenten genauer beschrieben. Die Eingabe erfolgt über eine Tastatur, ein anderes Eingabegerät oder über eine analoge bzw. digitale Verbindung. Die Eingabedaten spezifizieren den genauen Typ des Derivats sowie die Eigenschaften der zu­ grunde liegenden Werte. Die Daten sowie weitere Zwischenergebnisse werden in einem Speicher abgelegt. Ein Computerprogramm liest in einem ersten Schritt (Aufbau) diese Daten ein und baut ein mehrdimensionales Integrationsproblem basierend auf den Eingabedaten auf. In einem zweiten Schritt (Diskretisierung) werden mit Hilfe dieser Informationen geeignete Integrations­ punkte und Integrationsgewichte basierend auf der Dünngitter-Technik ermittelt. Im dritten Schritt (Integration) wird das Integrationsproblem durch Auswertung des Integranden an den berechneten Integrationspunkten und Kombination der Ergebnisse gelöst und als Ergebnis der Wert des Derivats zurückgeliefert. Die Ausgabe erfolgt über einen Bildschirm, ein anderes Aus­ gabegerät oder eine analoge bzw. digitale Verbindung.

Dieses Verfahren ist bei glatten Integranden, wie sie typischerweise zur Bewertung von Zins­ derivaten auftreten, ohne weitere Modifikationen einsetzbar. Beispiele hierfür sind Portfolio- Optimierung, Preisfestsetzung von futures und forward-Verträgen, die Bewertung hypotheken­ basierter Wertpapiere, Preisbestimmung von Versicherungsverträgen, Risikomanagement oder Entscheidungsfindung bei Investitionen. Im Falle von nicht glatten Integranden, wie sie z. B. bei der Bewertung von Optionen auftreten, verschlechtert sich jedoch Konvergenz des Verfahrens stark. In so gut wie allen Fällen besitzen hier die Integranden unstetige erste Ableitungen (r = 1), in manchen Fällen ist sogar der Integrand selbst unstetig (r = 0). Ein wesentlicher weiterer Be­ standteil der Erfindung ist daher eine Zerlegung des Integrationsgebiets in glatte Bereiche im Diskretisierungsschritt. Durch geeignete Transformationen werden dann die Dünngitterquadra­ turformeln auf diese Teilbereiche abgebildet und das Gesamtintegral als Summe dieser Einzelin­ tegrale berechnet. Auf diese Weise wird nur über glatte Bereiche integriert und die positiven Eigenschaften des Dünngitterverfahrens bleiben erhalten.

Das Dünngitterverfahren ist zwar weitestgehend, aber dennoch nicht vollständig von der Di­ mension des Integrationsproblem unabhängig. Die Dimension d tritt in der Konvergenzordnung als Exponent eines logarithmischen Faktors auf. Dies führt zu einer (wenngleich auch langsamen) Verschlechterung der Konvergenz, wenn die Dimension d ansteigt. Daher ist es sinnvoll, dimensi­ onsreduzierende Verfahren anzuwenden. Zum einem wird im Falle von pfadabhängigen Optionen der zugrunde liegende stochastische Prozesses hierarchisch (z. B. mit Braunscher Brücke) diskre­ tisiert. Zum anderen wird im Falle von performance-abhängigen Optionen die Volatilitätsmatrix mittels Singulärwertzerlegung transformiert. In beiden Fällen wird durch eine Fokussierung auf die jeweils wichtigsten Dimensionen im Aufbaumodul eine Reduktion der effektiven Dimensi­ on vorgenommen. Das Dünngitterverfahren verwendet dann im Diskretisierungsmodul genauere Quadraturformeln in wichtigeren Dimensionen und weniger genaue Formeln in weniger wichti­ gen Dimensionen. Auf diese Weise wird in vielen Fällen eine weitestgehende Unabhängigkeit des Verfahrens von der Dimension und in den restlichen Fällen zumindest eine starke Beschleunigung des Verfahrens erreicht.

Eine zusätzliche Beschleunigung des Verfahrens geschieht durch Parallelisierung, d. h. ei­ ne verteilte Berechnung auf mehreren Prozessoren. Sie ist ein weiterer Bestandteil der Erfin­ dung. Hierbei wird das gesamte Integrationsproblem in voneinander unabhängige Teilprobleme unterteilt. Dies sind z. B. die einzelnen Teilbereiche, die durch obige Transformation entstan­ den sind, oder die Teilsummen über die verschiedenen Multiindizes k aus der Dünngitter- Quadraturformel. Die Vorrichtung ist in Abb. 2 und 3 dargestellt. Aufgabe des Verteilungs­ moduls (7) ist die Zerlegung des Integrationsproblems. Die Kombination der Teilergebnisse wird während der parallelen Rechnung durch ein Zusammenführungsmodul (8) erledigt. Die einzel­ nen Teilprobleme werden entweder in einem parallelen Rechensystem mit verteiltem Speicher (Abb. 2) oder gemeinsamen Speicher (Abb. 3) durchgeführt.

4 Ausführungsbeispiel

Eine Option ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien, der dem Halter das Recht aber nicht die Pflicht gibt, eine festgesetzte Menge von z. B. Aktien zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einem vorher festgelegten Preis zu kaufen/verkaufen. Eine Option stellt damit einen intrinsischen Wert dar, da der Halter die Option nicht ausüben muß. Die Frage ist nun wie der Preis für eine Option fair bewertet werden kann. Konkret haben wir hier mit dem Martingalansatz die Bewertung

V = e^-rTE(P({S j|i}))

Dabei bezeichnet r die konstante Zinsrate, t = T den Zeitpunkt der Optionsausübung, P die Auszahlungsfunktion, S j|i den Aktienwert der i-ten Aktie des Portfolios zur Zeit jΔt, mit Δt = T/M. Hier ist M die Zahl der diskreten Zeitpunkte j = 1, . ., M und N bezeichnet die Zahl der betrachteten Aktien i = 1, . ., N. e^-rT ist der Discountfaktor und t = 0 ist der Zeitpunkt der Optionsbewertung.

Wir nehmen nun an, daß die Aktien des Portfolios einem Modell folgen, das durch die stochastische Differentialgleichung

beschrieben ist, wobei (σ_ik) die zeitkonstante Volatilitätsmatrix bezeichnet, µ_i die zeitkonstante Drift für die Aktie i bezeichnet¹⁾ und dW_i ein geometrischer Brownscher Prozeß für die Aktie i ist, d. h. W, ist das Wiener Maß. Integration und Itô-Formel ergibt nach Diskretisierung in der Zeit mit den Zeitpunkten jδt die Werte S j|i

und somit gilt²⁾

¹⁾Es gibt auch Ansätze mit zeitabhängigen Volatilitätsmatrizen und zeitabhängiger Drift. Dann folgen σ_ik und µ_i eigenen SDEs, die ihr Verhalten modellieren.

²⁾Im Computerprogramm wird die erste rekursive Formel genutzt. Die jetzt folgende nicht-rekursive aufsum­ mierte Form ist aber notwendig um den späteren Integranden definieren zu können.

Hier sind W l|k Zufallsvariable, die N(0, 1)-verteilt sind.

Die Definition des Erwartungswerts E(.) ist nun für eine allgemeine Funktion f

mit der Standard-Normalverteilung

Mit der Forderung, daß keine Arbitrage existiert, muß der Erwartungswert bezüglich des zum unterliegenden Prozesses äquivalenten Martingalmaßes genommen werden. Es werden dabei in unserem Fall im Integral des Erwartungswerts die µ_i durch r ersetzt. Damit findet auch der Wechsel der SDE (1) in die risikoneutrale Form statt.

Was nun noch fehlt sind die konkreten Auszahlungsfunktionen. Diese sind abhängig von jeweiligen Typ der Option. Generell haben sie die Struktur

für Call Optionen und

für Put Optionen. Dabei ist K der Ausübungspreis. Beispiele sind pfadabhängige Optionen (N = 1, M < 1) und performanceabhängige Optionen (N < 1, M = 1).

Populärstes Beispiel für pfadabhängige Optionen sind sogenannte Asiatische Optionen. Hier­ bei wird für die Auszahlungsfunktion der Mittelwert über die Aktienkurse zu allen Zeitpunkten zwischen dem momentanen Zeitpunkt und dem Ausübungszeitpunkt genommen. Wir betrachten im folgenden den Fall des geometrischen Mittels, d. h. H({S j|i}) = (S 1|i.S 2|i.. . ..S M|i)^1/M. Hierzu existiert eine geschlossene Lösung in Form einer verallgemeinerte Black-Scholes Formel. Kleine Änderungen und Variationen (z. B. schon das arithmetische Mittel) sind jedoch nicht mehr ohne weiteres analytisch lösbar und benötigen ein spezielles numerisches Integrationsverfahren.

Ein Beispiel für performanceabhängige Optionen sind sogenannte "Tailored Options" [3]. Hier hängt der Preis der Option von der relativen Performance eines Aktienkurses in bezug auf die anderen Aktienkurse einer betrachteten Menge von Aktien ab. Ein Beispiel für eine Call Option ist

wobei a ein Parameter aus [0,1) ist. Eine Mischung aus beiden Optionstypen ist selbstverständ­ lich auch möglich. Mit M = N = 1 ergibt sich als Spezialfall die Europäische Call Option mit der Black Scholes Formel als analytischer Lösung.

Nun ist also zur Optionsbewertung ein im allgemeinen hochdimensionales Integrationspro­ blem zu lösen. Die Dimensionen rühren dabei von den Zeitpunkten her, über die bei pfad­ abhängigen Call Optionen gemittelt wird, oder/und von der Zahl der betrachteten Aktien bei performance-abhängigen Optionen. Aufgrund der Definition des Erwartungswerts ist das Inte­ grationsgebiet bisher noch (-∞, ∞)^N.M. Um Integrationsmethoden anwenden zu können trans­ formieren wir das Integral des Erwartungswerts mit Hilfe der kumulativen Normalverteilung G(y): = ∫ y|-∞g(x)dx auf [0, 1]^N.M und erhalten damit

Für die Integration von (5) mit (3) bzw. (4) wollen wir nun die Dünngitter-Technik gewinn­ bringend einzusetzen.

Für Optionen ergibt sich nun jedoch folgendes Problem: Die Auszahlungsfunktion ist durch die Natur einer Option nicht mehr glatt. Dies drückt letztendlich aus, daß man eine Option ja nicht ausüben wird wenn der Kauf oder Verkauf der abgesicherten Aktie einen Verlust ergeben würde. Der Integrand weist bzgl. einer (M.N - 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeit einen Knick (pfadabhängige Optionen) oder sogar Sprünge (performanceabhängige Optionen) auf. (Neben den Singularitäten am Rand des Integrationsgebiets, die durch die Transformation auf [0, 1]^d entstanden sind.) Beispiele für den Integranden im zweidimensionalen Fall sind in Abb. 5 gegeben. Deutlich sieht man den Knick bzw. den Sprung des Integranden. Die Glattheitsvorraussetzungen für die Anwendung des Dünn-Gitter-Verfahrens sind damit nicht mehr gegeben.

Die Idee ist nun nur über den Träger des Integranden zu integrieren. Hier ist der Integrand eine glatte Funktion, die Knicke und Sprünge befinden sich gerade am Rand des Trägers. Um dieses Gebiet zu bestimmen genügt es, die Nullstellen des Integranden zu berechnen. Wenn man das Integral iteriert berechnet reduziert sich die Nullstellensuche auf eine einzige (die letzte) Dimension. Wir bestimmen deswegen in der letzten Dimension die Nullstelle (Newtonverfahren für den Knick oder Bisektionsverfahren für den Sprung) und transformieren den Integranden bezüglich der letzten Dimension mit der linearen Abbildung

t(x) = x.(1 - ) +

auf [0,1].

Abb. 5 gibt einen Vergleich der verschiedenen Integrationsverfahren bei der Bewertung einer pfadabhängigen Option mit 6 Zeitpunkten, M = 6, N = 1, und einer performance-abhängigen Option mit M = 1, N = 2. Die überlegene Konvergenzordnung unseres Dünn-Gitter Verfah­ rens mit Transformation und Gauß-Patterson Formel über die anderen Methoden (Monte Carlo (MC), Klassischer Produktansatz ohne (PR) und mit Transformation auf den Träger (PRTR), Quasi-Monte Carlo ohne (QM) und mit Transformation auf den Träger (QMTR), sowie Gauß- Patterson-Dünne-Gitter ohne (SG) und mit Transformation auf den Träger (SGTR)) ist deutlich zu sehen. Man beachte, daß der Fehler hier logarithmisch aufgetragen ist. Es zeigt sich, daß un­ ser neues Verfahren den Monte Carlo und Quasi-Monte Carlo Methoden überlegen ist. Diese können eine höhere Glattheit des Integranden nicht ausnutzen, die neue allgemeine Dünngitter- Quadratur kann dies hingegen in optimaler Weise.

Nachdem die Komplexität des Dünngitterverfahrens aufgrund des Terms log(N)^(d-1)(r+1) nicht vollkommen unabhängig von der Dimension des Problems ist, ist es sinnvoll, zusätzlich Dimensionsreduktionsverfahren einzusetzen. Hier soll erläutert werden, wie das Verfahren durch hierarchische Diskretisierung des stochastischen Prozesses und adaptive Verfeinerung das Ver­ fahren weiter beschleunigt werden kann.

Der natürlichste Weg einen stochastischen Prozess zu diskretisieren ist durch einen random walk, d. h. durch die rekursive Formel

wobei b(W^j _i) genau dem Exponenten aus der Formel 2 entspricht. Durch Diskretisierung mittels Braunscher Brücke [1], wird jedoch der Prozeß mittels eines zukünftigen und eines vergangenen Wertes diskretisiert

So werden startend mit

die Werte S M/2|i, S M/4|i, S 3M/4|i, S M/8|i, S 3M/8|i, . . . usw. ermittelt. Dies führt zu einer Konzentration der Gesamtvarianz des Prozesses in den er­ sten Schritten der Diskretisierung was die Konvergenzrate von Quasi-Monte Carlo Methoden verbessert.

Für das klassische Dünngitterverfahren ergibt sich kein sofortiger Vorteil durch diese Dis­ kretisierungstechnik nachdem alle Dimensionen von gleicher Wichtigkeit sind. Das allgemeine Dünngitterverfahren kann jedoch nun dimensionsadaptiv eingesetzt werden und Quadraturfor­ meln mit niedrigerem Grad in weniger wichtigen Dimensionen verwenden. Auf diese Weise re­ duziert sich die effektive Dimension für Integrale vom Typ (5) bei pfadabhängigen Derivaten, wodurch die entstehenden Integrationsprobleme schneller und genauer berechnet werden können.

Literatur

[1] R. E. Caflisch, W. J. Morokoff and A. Owen: Valuation of mortgage backed securities using Brownian bridges to reduce effective dimension J. Comput. Finance, 1, 1997.
[2] T. Gerstner and M. Griebel, Numerical integration using sparse grids, Numer. Algorithms, 18: 209- 232, 1998.
[3] R. Korn, Optimal Portfolios, World Scientific, 1997.
[4] H. Niederreiter, Random number generation and Quasi-Monte Carlo methods, SIAM, 1992.
[5] E. Novak, K. Ritter, High dimensional integration of smooth functions over cubes, Numer. Math., 75, 79-98, 1996.
[6] S. A. Smolyak, Quadrature and interpolation formulas for tensor products of certain classes of func­ tions, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 148, 1042-1043, 1963, Russian, Engl. Transl.: Soviet Math. Dokl. 4: 240-243, 1963.
[7] J. F. Traub, S. Paskov, I. Vanderhoof, Estimation method and system for complex securities using low-discrepancy deterministic sequences, United States Patent US 005940810A, 17. August, 1999.
[8] J. F. Traub, S. Paskov, I. Vanderhoof, A. Papageorgiou, Portfolio structuring using low-discrepancy deterministic sequences, United States Patent US 006058377A, 2. Mai, 2000.
[9] J. Traub, S. Paskov, Faster evaluation of financial derivatives, Journal of Portfolio Management 22, 1, 113-120, 1995.

Claims (8)

1. Vorrichtung und Verfahren zur Bewertung von Finanzderivaten, wobei der Wert des Deri­ vats durch die Ermittlung eines Erwartungswerts berechnet wird, bei dem

• a) mittels einer Tastatur oder eines anderen Eingabegeräts die Parameter des Derivats eingegeben werden,
• b) mittels eines Computers basierend auf den Eingabeparametern ein Integrand aufge­ baut wird und ein geeigneter mehrdimensionaler Integrationsbereich bestimmt wird,
• c) mittels eines Computers Integrationspunkte und Integrationsgewichte durch ein Dünn­ gitter-Verfahren ermittelt werden,
• d) mittels eines Computers der Integrand im Integrationsbereich an den Dünngitter- Integrationspunkten ausgewertet wird,
• e) mittels eines Computers der Erwartungswert durch Kombination der Integrandwerte unter Verwendung der Integrationsgewichte berechnet wird.
• f) mittels eines Bildschirms oder eines anderen Ausgabegeräts der berechnete Wert des Derivats ausgegeben wird.

2. Vorrichtung und Verfahren nach (1), wobei Ein- und Ausgabe über eine analoge oder digitale Verbindung stattfinden.

3. Vorrichtung und Verfahren nach (1), wobei der Integrationsbereich durch Nullstellensuche bestimmt wird.

4. Vorrichtung und Verfahren nach (1), wobei die Integrationspunkte sowie Integrationsge­ wichte dynamisch während der Berechnung des Integrals ermittelt werden.

5. Vorrichtung und Verfahren nach (1), wobei das Integrationsgebiet in mehrere Teilintegrale zerlegt wird und mehrere Prozessoren zur Berechnung der Teilintegrale verwendet werden.

6. Vorrichtung und Verfahren nach (1), wobei mehrere Prozessoren zur Berechnung der In­ tegrationspunkte, Integrationsgewichte, zur Auswertung des Integranden oder zur Kombi­ nation der Integrandwerte herangezogen werden.

7. Vorrichtung und Verfahren nach (1), wobei die Dimension der Integrale zur Beschleunigung des Verfahrens reduziert werden.

8. Vorrichtung und Verfahren nach (1), wobei zur Bewertung mehrere Erwartungswerte be­ rechnet und kombiniert werden.