JPH1040286A - 最適化法を用いた複数解探索処理方法および自動設計における多目的最適化処理方法 - Google Patents

最適化法を用いた複数解探索処理方法および自動設計における多目的最適化処理方法

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JPH1040286A
JPH1040286A JP8215369A JP21536996A JPH1040286A JP H1040286 A JPH1040286 A JP H1040286A JP 8215369 A JP8215369 A JP 8215369A JP 21536996 A JP21536996 A JP 21536996A JP H1040286 A JPH1040286 A JP H1040286A
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Hiroshi Matsui
寛 松居
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Abstract

(57)【要約】 【課題】 最適化法を用いて広い範囲から複数の最適解
を検出することができる最適化法を用いた複数解探索処
理方法を得ること。 【解決手段】 複数の構成要素から成る対象の系が所望
の特性となるように、該複数の構成要素の値を最適化法
を用いて求める際、個々の評価関数を個別に満足する解
を算出する個別算出手段を設け、該個別算出手段を用い
て複数の最適解を求めること。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、複数の構成要素か
らなる対象の系が所望の特性をもつように、該複数の構
成要素を自動的に変更していく最適化法を用いた複数解
探索処理方法および複数の構成要素からなる対象の光学
系が所望の光学特性をもつように、該複数の構成要素を
自動的に変更していく光学系の自動設計における多目的
最適化処理方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】対象となる系の構成要素を、ｎ個の要素
から成る変数ベクトル； Ｘ＝［Ｘ1 ，‥‥，Ｘn ］T （１） 該対象となる系の特性を評価する量をｍ個の要素から成
る目的関数ベクトル； Ｆ（Ｘ）＝［Ｆ1 （Ｘ），‥‥Ｆm （Ｘ）］T （２） で表わす。ただし， Ｆk （Ｘ）＝ｗk ｛ｆk （Ｘ）−ｆk,tar ｝ （３） である。ここで，ｆk （Ｘ），ｆk,tar ，ｗk はそれぞ
れ各特性値を表わす評価関数の値とその目標値およびそ
れらにかかる重み値である。これらの評価関数には所望
の値にすることを目的とした特性値の他、制約条件値を
含めてもよい。
【０００３】従来の最適化手法で広く用いられてきた最
小自乗法では、一般に各評価関数値の目標値からのずれ
（誤差）量が最小になるように解が求められ、そのため
に単一評価尺度として、次式で表わされるスカラー量を
用いる。
【０００４】 φ（Ｘ）＝ＦT （Ｘ）Ｆ（Ｘ） （４） 以降、φ（Ｘ）をメリット関数と呼ぶ。そして、このメ
リット関数を最小化する問題 Ｍinimize φ（Ｘ） （５） を解く。（４）式に評価関数の線形近似を適用すると、
局所的最小値となるためのＸの必要条件は （ＡT Ａ）ΔＸ＝−ＡT Ｆ（Ｘ0 ） （６） と表わせる。ここで、ＡはＦ（Ｘ）のJacobianで、
【０００５】
【外１】 である。
【０００６】なお（７）において、Ｆi は目的関数ベク
トル（２）の第ｉ要素Ｆi （Ｘ）のことを意味する。ま
た、ΔＸは変数ベクトルの次ステップへの変動を表わす
解ベクトルであり、以下の様に表わせる。
【０００７】 ΔＸ＝［ΔＸ1 ，‥‥，ΔＸn ］T （８） 一般に、評価関数と変数との関係は線形であるとは限ら
ないため、（６）式をそのまま解く代わりに、２次微分
以上の非線形性成分に対する補正が行なわれる。例え
ば、K.Levenberg とD.W.Marquardt によって考案された
Levenberg-Marquardt(DLS:Damped Least Squares) 法で
は、非線形性補正項としてスカラー量ρを導入し、
（６）式の代わりに （ＡT Ａ＋ρＩ）ΔＸ＝−ＡT Ｆ（Ｘ0 ） （９） を解いて最適解を求めている。（９）式においてＩは単
位行列を表す。
【０００８】一方、メリット関数を用いずに個々の評価
関数を最適化する手法が多目的計画法である。この多目
的計画法に属する手法の一つに、重み付けチェビシェフ
ノルム法がある。この手法では、目的関数として（３）
と採用する場合、次の問題を解くことによって最適解を
求める。
【０００９】
【外２】 最適化問題（１０）において、ｚはチェビシェフノルム
と呼ばれるスカラー量であり、数学的には
【００１０】
【外３】 と等価であり、目的関数値の絶対値が最大となるものの
値を示している。
【００１１】以上ようなメリット関数を用いた手法およ
び多目的計画法のいずれの手法とも、出発点にもっとも
近い唯一の最適解を検出するもので、いわば局所的最適
化手法である。従って、出発点から遠く隔たった最適解
や複数の解を検出することはできない。そうした要望に
対して、従来は、出発点をユーザが意図的に変えて、最
適化演算を行なうしかなかった。
【００１２】次に以上の対象となる系を光学系を例にと
り説明する。対象となる光学系を構成する、面の曲率半
径（ｒ）、面間隔（ｄ）、屈折率（Ｎ）といった構成要
素を、ｎ個の要素から成る変数ベクトル； Ｘ＝［Ｘ1 ，‥‥，Ｘn ］T （１ａ） 該対象の特性を評価する量をｍ個の要素から成る目的関
数ベクトル； Ｆ（Ｘ）＝［Ｆ1 （Ｘ），‥‥Ｆm ,（Ｘ）］T （２ａ） で表わす。ただし， Ｆk （Ｘ）＝ｗk ｛ｆk （Ｘ）−ｆk,tar ｝ （３ａ） である。ここで，ｆk （Ｘ），ｆk,tar ，ｗk はそれぞ
れ各特性値を表わす評価関数の値とその目標値およびそ
れらにかかる重み値である。これらの評価関数には所望
の値にすることを目的とした特性値の他、制約条件値を
含めてもよい。
【００１３】最小自乗法では、一般に各評価関数値の目
標値からのずれ（誤差）量が最小になるように解が求め
られ、そのために単一評価尺度として、次式で表わされ
るスカラー量を用いる。
【００１４】 φ（Ｘ）＝ＦT （Ｘ）Ｆ（Ｘ） （４ａ） （４ａ）式で与えられるスカラー量を特にレンズ設計の
分野では、メリット関数と呼ぶ。（４ａ）式に評価関数
の線形近似を適用すると、局所的最小値となるためのＸ
の必要条件は （ＡT Ａ）ΔＸ＝−ＡT Ｆ（Ｘ0 ） （５ａ） と表わせる。ここで、ＡはＦ（Ｘ）のJacobianで、
【００１５】
【外４】 である。
【００１６】なお（６ａ）において、Ｆi は目的関数ベ
クトル（２ａ）の第ｉ要素Ｆi （Ｘ）のことを意味す
る。また、ΔＸは変数ベクトルの次ステップへの変動を
表わす解ベクトルであり、以下の様に表わせる。
【００１７】 ΔＸ＝［ΔＸ1 ，‥‥，ΔＸn ］T （７ａ） 一般に、評価関数と変数との関係は非線形であるため、
（５ａ）式をそのまま解く代わりに、２次微分以上の非
線形性成分に対する補正が行なわれる。例えば、K.Leve
nberg とD.W.Marquardt によって考案されたLevenberg-
Marquardt(DLS:Damped Least Squares) 法では、非線形
性を補正するためにダンピングファクタと称されるスカ
ラー量ρを導入し、（５ａ）式の代わりに （ＡT Ａ＋ρＩ）ΔＸ＝−ＡT Ｆ（Ｘ0 ） （８ａ） を解いて最適解を求めている。（８ａ）式においてＩは
単位行列を表す。このＤＬＳ法が従来の光学系の自動設
計で最も広く用いられてきた最適化手法である。
【００１８】従来の光学系の自動設計手法では、各評価
関数がそれぞれの目標値を満足させるためにはそれらに
かかる重みを適切な値に設定しなければならないが、そ
れを従来は設計者の経験と勘によって行なうしかなかっ
た。さらに設計対象の光学系によっては評価関数の数が
数百にものぼるため、それらすべての評価関数について
適切な重み値を設定するには多大な試行錯誤作業を要す
るという重大な欠点があった。この欠点は、前記メリッ
ト関数のような単一評価尺度（スカラー量）を用いる手
法では、原理的に避けられないものである。
【００１９】一方、上記欠点を克服する試みには、単一
評価尺度を用いずに個々の評価関数を個別に最適化する
多目的計画法がある。この多目的計画法に属する手法の
一つとして、各評価関数に対して希求水準（この程度で
あれば満足できるという基準）というパラメータを設定
することにより適切な重み値を解析的に設定する”満足
化トレードオフ法”が応用数学の分野で報告されてい
る。この満足化トレードオフ法が提案された原著論文
中山 弘隆、”多目的計画に対する満足化トレードオフ
法の提案”、計測自動制御学会論文集，vol.27,no.12(1
983)785-792 によれば、処理手順は以下のようになる。
【００２０】ｓｔｅｐ１（理想点の設定）
【００２１】
【外５】 ｓｔｅｐ２（希求水準の設定）
【００２２】
【外６】 ｓｔｅｐ３（重みの決定とＭｉｎ−Ｍａｘ解）
【００２３】
【数７】 としてＭｉｎ−Ｍａｘ問題の解を次の等価な問題を解く
ことによって与える。
【００２４】
【外８】 問題（１０ａ）の解をＸS とする。
【００２５】ｓｔｅｐ４（トレードオフ） ｆ1 （ＸS ），ｆ2 （ＸS ），‥‥，ｆm （ＸS ）を意
思決定者に見せて、もっと水準を高めたい目的とそのた
めに犠牲にしてもよい目的、および現状のままでよい目
的の３つのクラスに分ける。もっと水準を高めたい目的
が無ければ終了、そうでなければ希求水準を設定し直し
てｓｔｅｐ３へ。
【００２６】Ｍｉｎ−Ｍａｘ問題（１０ａ）において、
ｚはチェビシェフノルムと呼ばれるスカラー量であり、
数学的には
【００２７】
【外９】 と表される。これは、実際には
【００２８】
【外１０】 と等価であり、目的関数値の絶対値が最大となるものの
値を示している。
【００２９】以上のような多目的計画法のアプローチを
そのまま光学設計に適用することはできない。何故な
ら、通常の光学設計においては、各評価関数の理想値を
明確に与えることは難しい（ある数値範囲に入っていれ
ばよいという場合が多い）こと、”希求水準”と称され
るパラメータは、従来の光学設計分野では使われたこと
のない新規なものであることなどのためである。
【００３０】
【発明が解決しようとする課題】第１発明が解決しよう
としている課題は、従来出発点に依存した唯一の解しか
検出できなかった最適化手法を拡張し、より広い範囲か
ら複数の最適解を検出できるようにすることである。
【００３１】第２発明が解決しようとしている課題は、
従来多大なる試行錯誤を要していた各評価関数にかける
適切な重み値を見い出す作業を簡略化し、より短い時間
内に効率良く光学設計が行えるようにすることである。
【００３２】
【課題を解決するための手段】第１発明の課題を解決す
るために、以下のような手段を用いる。複数の最適解を
検出するということは、メリット関数で考えれば、それ
を０とする複数の変数の組合せを探索することである。
メリット関数値が０となるのは、パフォーマンスベクト
ルのｍ個の要素全てが０となることであるから、複数の
最適解は必ず、 Ω1(Ｘ)∩ Ω2(Ｘ)∩‥‥∩ Ωm(Ｘ) （１３） なる集合内に存在する。ここで、Ωi(Ｘ)は Ωi(Ｘ)＝｛Ｘ∈Ｒn ｜Ｆi(Ｘ)｜＝０｝ （１４） なる第k パフォーマンス関数を０とする解集合を表す。
従って、先ず個々のパフォーマンス関数を０とする解の
集合Ωi(Ｘ)［ｉ＝１，２，‥‥，ｍ］を求めることが
必要となる。
【００３３】それは個々の評価関数を個別に（着目して
いるもの以外の評価関数は野放しにして）満足する形状
を独立に探索することに相当する。そして、それらを出
発点として全ての評価関数を満足する解を探索すれば、
複数の最適解を検出することが可能となる。その際、個
々の評価関数を個別に満足する形状は複数存在すること
が考えられるため、それらの存在する軌跡をたどってい
くことが必要となる。
【００３４】本発明は、個々のパフォーマンス関数を個
別に満足する解の軌跡をたどっていくことにより、複数
の最適解を検出することのできる新しいアルゴリズムに
関するものである。
【００３５】先ず、出発点の形状を与え、それをＸ0 と
する。そして従来と同様、局所的最適化手法で、問題
（５）あるいは（１０）を満たす解を求め、それをＸS
とする。
【００３６】次に、Ｘ0 ，ＸS をそれぞれ出発点にし
て、ｍ個のパフォーマンス関数を個別に最小化する問題 Ｍinimize ｜Ｆi(Ｘ)｜ （１５） ［ｉ＝１，２，‥‥，ｍ］ を満足する解を求める。この段階で個々のパフォーマン
ス関数を個別に満足する解は２ｍ個存在し、それらを以
下のように定義する。
【００３７】 Ｘ0i ‥‥出発点Ｘ0 から求めた｜Ｆi(Ｘ)｜＝０を満たす解 （１６） ［ｉ＝１，２，‥‥，ｍ］ ＸSi ‥‥出発点ＸS から求めた｜Ｆi(Ｘ)｜＝０を満たす解 （１７） ［ｉ＝１，２，‥‥，ｍ］ さらに、個々のパフォーマンス関数を個別に満足する解
の軌跡を反対方向にたどって行くための準備として、反
復回数iter＝１として以下のような変数変換を行なう。
【００３８】
【外１１】 なる表式により各パフォーマンス関数を個別に最小化す
る変数の軌跡を反対方向（Ａ方向とＢ方向）にたどり、
問題（１５）を解いて補正を加える。そしてiter＝iter
＋１として先にiterによってカウントした以降の処理を
繰り返す。
【００３９】以上の複数解探索アルゴリズムをフローチ
ャートにまとめると図１のようになる。なお、図１では
反復回数をｋとした。
【００４０】第２発明の課題を解決するために、前記多
目的計画法の計算概念を、光学系の自動設計に適用でき
るように、以下のような手段を用いる。光学系の自動設
計では通常、各評価関数に対してこの程度あれば最適と
みなせる値は１点ではなく、ある有限の数値幅をもって
いることが多い。その数値幅は予め設計者（意思決定
者）によって与えられた上限値と下限値という形で設定
できる。この上限値および下限値は評価関数値がそれ以
下または以上の値であれば満足できるという設計者の評
価基準を表すもので、上限値と下限値の間にその評価関
数の理想値があるとみなすことができる。
【００４１】そこで、第ｉ番目の評価関数ｆi(Ｘ)につ
いて、それに対する上限値と下限値とを２つに分割した
新しい評価関数
【００４２】
【外１２】 を以下のように定義する。
【００４３】
【外１３】 ここで、ｆi,up，ｆi,low はそれぞれ第ｉ評価関数に対
して予め設定された上限値と下限値である。
【００４４】このように新たに定義された評価関数
【００４５】
【外１４】 に対して、前記満足化トレードオフ法を適用すると、 ｊ＝２ｉ−１のときは 理想値＝下限値、希求水準＝上限値 ｊ＝２ｉのときは 理想値＝上限値、希求水準＝下限値 とみなすことができる。よって各評価関数にかかる重み
の最適値は ｗj ＝１／（ｆi,up−ｆi,low ） ｊ＝２ｉ−１，２ｉ （１４ａ） ［ｉ＝１，２，‥‥ｍ］ として解析的に求めることができ、各目的関数は ｗj ｆj(Ｘ) （１５ａ） と構成できる。こうすることにより、解くべき最適化問
題は以下のようなＭｉｎ−Ｍａｘ問題に帰着される。
【００４６】
【外１５】 上記Ｍｉｎ−Ｍａｘ問題（１６ａ）は、いわゆる制約条
件付き最適化問題であり、一般の制約条件付き最適化手
法（乗数法、準ニュートン法など）を用いて解くことが
できる。
【００４７】また、ｆj(Ｘ)が評価関数ではなく、制約
条件である場合も同様に処理することができ、その際に
は強制的にｚ＝０とすればよい。
【００４８】
【発明の実施の形態】以下第１発明の実施形態をレンズ
設計を例にとって説明する。図２は実施形態１に用いた
薄肉レンズモデルである。同図では見易くするためレン
ズに厚みを付けてあるが、計算上すべてのレンズ肉厚お
よび面間隔は０としてある。このレンズ系において、変
数は１／ｒ1 と１／ｒ3 の２つ（１／ｒ2 と１／ｒ4 は
色収差係数が０となる条件および全系の焦点距離が１と
なるために使用）、評価関数には３次収差係数の内、Ｉ
とIIの２つを採用し、パフォーマンス関数を以下のよう
に構成した。
【００４９】 Ｆ1(Ｘ)＝１０．０×｜Ｉ−ＩT ｜ （２４） Ｆ2(Ｘ)＝１０．０×｜II−IIT ｜ （２５） ここで、添字Ｔは各収差係数の目標値で、本実施形態で
は ＩT ＝０．０ （２６） IIT ＝０．０ （２７） とした。この問題のメリット関数値を０とする解は２つ
存在し、それらは（１／ｒ1 ，１／ｒ3 ）の座標で表し
て solution1 ：(1.64546,-1.68966) （２８） solution2 ：(4.12267, 4.98640) （２９） である。また、出発点Ｘ0 を任意に Ｘ0 ＝(1.60395,-0.40757) （３０） とした。このメリット関数分布の等高線図を図３に示
す。
【００５０】まず、前段階として上記出発点Ｘ0 から従
来の局所最適化手法の一つＤＬＳ法により最適化演算を
実行すると以下を得た。
【００５１】 ＸS ＝(1.645,-1.69) （３１） このように、従来の手法では出発点に依存する唯一の解
しか検出できない。
【００５２】第１発明の手法では以上のようにして設定
したＸ0 ，ＸS を用いて以降の処理を行なう。
【００５３】先ず、Ｘ0 ，ＸS それぞれを出発点とし
て、２つの評価関数をそれぞれ個別に満足する解Ｘ01，
Ｘ02，ＸS1，ＸS2を求めると以下のようになった。
【００５４】 Ｘ01＝(2.495,-1.116) （３２） Ｘ02＝(2.059,-0.576) （３３） ＸS1＝(1.645,-1.690) （３４） ＸS2＝(1.645,-1.690) （３５） このように第１発明は、複数の構成要素から成る対象の
系が所望の特性となるように、該複数の構成要素の値を
求める最適化法において、個々の評価関数を個別に満足
する解を算出する手段を有し、該手段を用いて複数の最
適解を求めることを特徴とする最適化法における複数解
探索処理方法である。
【００５５】さらにiter＝１として以下のような変数変
換を行なう。
【００５６】
【外１６】 このように第１発明は、複数の構成要素から成る対象の
系が所望の特性となるように、該複数の構成要素の値を
求める最適化法において、個々の評価関数を個別に満足
する解を算出する手段と個々の評価関数を個別に満足す
る解の軌跡を算出する手段とを有し、これらの手段を用
いて複数の最適解を求めることを特徴とする最適化法に
おける複数解探索処理方法である。
【００５７】これ以降から、iterに関する反復処理に入
る。
【００５８】
【外１７】 このように第１発明は、複数の構成要素から成る対象の
系が所望の特性となるように、該複数の構成要素の値を
求める最適化法において、個々の評価関数を個別に満足
する解を算出する手段と個々の評価関数を個別に満足す
る解の軌跡を算出する手段とすべての評価関数を同時に
満足する解を算出する手段とを有し、これらの手段を用
いて複数の最適解を求めることを特徴とする最適化法に
おける複数解探索処理方法である。
【００５９】この時の最適化ステップをメリット関数の
等高線図上にプロットすると図４のようになった。
【００６０】図４から、得られた最適解はすべて同一の
形状であることが分かる。従ってここでは解の評価とし
て、ＮＧ（iterの反復を繰り返す）として、以下のよう
な変数変換を行なう。
【００６１】
【外１８】 そして、これらの各点からそれぞれ第ｉ評価関数を個別
に満足する解を求め、
【００６２】
【外１９】 なる直線近似した軌跡の上では第ｉ評価関数が個別に満
足されているとみなして、その軌跡を反対方向に延長す
るためのものである。
【００６３】このように第１発明は、複数の構成要素か
ら成る対象の系が所望の特性となるように、該複数の構
成要素の値を求める最適化法において、個々の評価関数
を個別に満足する解を算出する手段と個々の評価関数を
個別に満足する解の軌跡を算出する手段とすべての評価
関数を同時に満足する解を算出する手段と個々の評価関
数を個別に満足する解の軌跡を延長する手段とを有し、
これらの手段を用いて複数の最適解を求めることを特徴
とする最適化法における複数解探索処理方法である。
【００６４】以降、同様にしてiterに関する反復計算を
４回実行した。iter＝２，３，４における、各最適化ス
テップをメリット関数等高線図上にプロットすると図
５，図６，図７のようになる。
【００６５】これらの図より、iter＝３の段階で２つの
異なる解を検出していることが分かる。
【００６６】このように、第１発明の処理方法によれ
ば、一つの出発点から複数の最適解を検出することがで
きる。
【００６７】実施形態２には、前側から凸凹凸のトリプ
レットモデルを採用した。この光学系の形状の違いを定
量的に表す尺度として
【００６８】
【外２０】 なるRight hand solution の２つしかいなことが解析的
に示されている。(Y.Matsui and K.Nariai:Fundamental
s of Practical Aberration Theory (World Scientifi
c,Singapore,1993)pp.139-141.)Left hand solution
（ε＝0.56）およびRight hand solution （ε＝1.36）
のレンズデータをTable 1,2 に、それらの断面図を図
８，図９に示す。なお、今回の実験に用いたトリプレッ
トはいずれも全系の焦点距離が１００ｍｍとなるように
した。
【００６９】 [Table 1] Left hand solution（ε＝0.56）のデータ i ri di nd νd 1 44.38443 4.95812 1.62 45.69 2 555.00776 12.37141 1.00 3 -38.50921 1.38412 1.62 28.80 4 41.92912 5.43035 1.00 5 109.14989 6.53669 1.62 45.69 6 -32.72067 1.00 [Table 2] Right hand solution （ε＝1.36）のデータ i ri di nd νd 1 29.04096 7.00908 1.62 45.69 2 -902.89989 4.80972 1.00 3 -70.62819 1.83176 1.62 28.80 4 28.83977 11.05386 1.00 5 189.19372 3.97832 1.62 45.69 6 -53.64703 1.00 また、これらの３次収差係数値をTable 3 に示す。
【００７０】 [Table 3] ２つの具体例の３次収差係数値 Ｌ Ｔ Ｉ II III Ｐ Ｖ Left hand solution -0.001 0.0 1.641 0.226 -0.102 0.407 0.035 （ε＝0.56） Right hand solution -0.001 0.0 1.641 0.226 -0.102 0.407 0.048 （ε＝1.36） 出発点のレンズ形状は、Table 4 に示すように任意に設
定した。この時
【００７１】
【外２１】 であった。
【００７２】[Table 4] 出発点形状のデータ i ri di nd νd 1 35.1 6.0 1.62 45.69 2 2880.8 8.6 1.00 3 -49.8 1.6 1.62 28.80 4 34.1 8.3 1.00 5 138.4 5.3 1.62 45.69 6 -40.93404 1.00 ここで、r6は全系の焦点距離を１００．０に合わせるた
めに用いた。このレンズ断面図を図１０に示す。また、
評価関数には３次収差係数を用いて６個採用し、それぞ
れの目標値に幅を持たせ、以下のように設定した。
【００７３】
【外２２】 そして、各収差係数の実際の値がこれらの目標値の上／
下限値から逸脱した場合、その逸脱量に、色収差係数の
場合は１．０×１０4 、その他の収差係数の場合は１．
０×１０3 の重みを掛け合わせることによりパフォーマ
ンス関数を構成した。
【００７４】それと同時に、各レンズの肉厚／面間隔お
よびコバ厚が負とならないように、それぞれ５箇所、合
計１０個の制約条件を採用した。この系に対して従来の
局所的最適化手法に属するいかなる手法で最適化を実行
しても、図１０に示した出発点近傍の唯一の解しか求め
ることができない。局所的最適化手法で得られた解のレ
ンズ断面図を図１１に示す。一旦解が得られると、従来
手法でさらに反復計算しても、異なる形状を持つ解を求
めることはできない。
【００７５】一方、第１発明の複数解探索処理方法で局
所的最適化用の出発点を求める際には、軸上および倍率
の色収差係数は一括して取り扱い、合計５種類の評価関
数を個別に満足する形状を探索した。
【００７６】このように第１発明は、複数の構成要素か
ら成る対象の系が所望の特性となるように、該複数の構
成要素の値を求める最適化法において、個々の評価関数
を個別に満足する解を算出する手段を有し、該手段を用
いて複数の最適解を求めることを特徴とする最適化法に
おける複数解探索処理方法である。
【００７７】変数としては、第６面を除く５つの曲率半
径と５つの肉厚／面間隔の合計１０個を採用した。
【００７８】そして、これら１０個の変数をパラメータ
として、前記５種類の評価関数を個別に満足する形状を
探索するとともにそれらを用いて、前記（３６）〜（３
９）式と同様にして個々の評価関数を個別に満足する解
の軌跡を求めた。
【００７９】このように第１発明は、複数の構成要素か
ら成る対象の系が所望の特性となるように、該複数の構
成要素の値を求める最適化法において、個々の評価関数
を個別に満足する解を算出する手段と個々の評価関数を
個別に満足する解の軌跡を算出する手段とを有し、これ
らの手段を用いて複数の最適解を求めることを特徴とす
る最適化法における複数解探索処理方法である。
【００８０】さらに、個々の評価関数を個別に満足する
解の軌跡の端点、合計１０点の形状を出発点として、局
所的最適化手法の一つであるＤＬＳ法によってすべての
評価関数を同時に満足する最適解を求めた。
【００８１】このように第１発明は、複数の構成要素か
ら成る対象の系が所望の特性となるように、該複数の構
成要素の値を求める最適化法において、個々の評価関数
を個別に満足する解を算出する手段と個々の評価関数を
個別に満足する解の軌跡を算出する手段とすべての評価
関数を同時に満足する解を算出する手段とを有し、これ
らの手段を用いて複数の最適解を求めることを特徴とす
る最適化法における複数解探索処理方法である。
【００８２】以上のようにして第１発明の処理方法によ
って１サイクル（iter＝１）処理して得られた解を評価
した結果、不満足であると判断し、前記（４０），（４
１）式と同様に処理して、個々の評価関数を個別に満足
する解の軌跡を両側に延長しながら合計３サイクル（it
er＝１〜３）反復計算を行なった。
【００８３】このように第１発明は、複数の構成要素か
ら成る対象の系が所望の特性となるように、該複数の構
成要素の値を求める最適化法において、個々の評価関数
を個別に満足する解を算出する手段と個々の評価関数を
個別に満足する解の軌跡を算出する手段とすべての評価
関数を同時に満足する解を算出する手段と個々の評価関
数を個別に満足する解の軌跡を延長する手段とを有し、
これらの手段を用いて複数の最適解を求めることを特徴
とする特許請求項の範囲第１項記載の最適化法における
複数解探索処理方法である。
【００８４】このようにして、合計５（個別に扱ったパ
フォーマンス関数の数）×２×３（反復回数）＝３０個
のレンズ形状を求めた。それらの形状の差を定量的に評
価するため、各レンズ形状について前述のパラメータε
の値を求めて、横軸にε、縦軸に最終的に得られたメリ
ット関数値をとって散布図を描いたところ図１２のよう
になった。
【００８５】この図から明らかなように、
【００８６】
【外２３】 がRight hand solutionに相当する解であることが分か
る。これらの具体的なレンズ形状データをTable 5,6 に
示す。
【００８７】 [Table 5] 検出解１(Left hand solution ：ε＝0.56） i ri di nd νd 1 47.31880 7.49730 1.62 45.69 2 -6986.16638 11.22952 1.00 3 -35.29752 1.71675 1.62 28.80 4 43.99620 5.55158 1.00 5 129.00926 5.831123 1.62 45.69 6 -30.94072 1.00 [Table 6] 検出解２(Right hand solution：ε＝1.32） i ri di nd νd 1 30.03241 6.03941 1.62 45.69 2 2980.64771 6.30546 1.00 3 -72.32023 1.20872 1.62 28.80 4 29.87255 11.43118 1.00 5 163.97664 5.02075 1.62 45.69 6 -52.76250 1.00 また、これらのレンズ断面図を図１３，図１４に示す。
【００８８】一方、これら２つの検出解の３次収差係数
値をTable 7 に示す。
【００８９】 [Table 7] ２つの検出解の３次収差係数値 Ｌ Ｔ Ｉ II III Ｐ Ｖ 検出解１(Left hand -0.001 0.00 1.645 0.233 -0.101 0.394 0.004 sol ution: ε＝0.56) 検出解２(Right hand 0.001 0.00 1.640 0.225 -0.102 0.410 0.003 sol ution: ε＝1.32） 以上の結果から、第１発明によれば、一つの形状から出
発して性能が同等で形状の大きく異なる複数の最適解を
検出し得ることが分かる。
【００９０】次に第２発明の実施形態を第１発明と同様
にレンズ設計を例にとって説明する。図１５は実施形態
３に用いた薄肉単レンズモデルである。同図では見易く
するためにレンズに厚みを付けてあるが、計算上すべて
のレンズ肉厚および面間隔は０としてある。このレンズ
系に対してｒ3 を全系の焦点距離が正確に１となるため
に用い、残りの２つｒ1 ，ｒ2 を変数とした。評価関数
としては３次の球面収差係数Ｉとコマ収差係数IIの２つ
を採用した。出発点は、（１／ｒ1 ，１／ｒ2）の座標
で表わして １／ｒ1 ＝−１．４，１／ｒ2 ＝−０．７ （１７ａ） に選んだ。そして、評価関数に採用した２つの３次収差
係数の目標値を Ｉ＝４．６０ II＝−２．２０ （１８ａ） とした。しかしながら実際のレンズ設計では、これらの
収差係数値を厳密に目標値に一致させる必要はなく、あ
る数値幅に入っていればよい。そこで、これら２つの評
価関数の目標値に対する満足できる数値幅を設定すると
ともに、それら設定された数値幅からそれを達成するの
に最適な各評価関数にかかる重み値を解析的に設定す
る。
【００９１】このように第２発明は、複数の構成要素か
ら成る対象の光学系が所望の光学特性および制約条件を
達成するように、該複数の構成要素を自動的に変更しな
がら最適な光学系の形状を求める光学系の自動設計にお
いて、予め設定された各光学特性および各制約条件に対
する意思決定者の満足度を設定する手段と、該満足度に
関する情報を用いて各光学特性および制約条件にかかる
重み値を解析的に設定する手段とを有することを特徴と
する光学系の自動設計における多目的最適化処理方法で
ある。
【００９２】一般にある数値幅を厳密に指定するには、
その範囲を規定する上で少なくとも２つの数値を指定す
る必要がある。それにともない、以降の処理は数値範囲
を規定する少なくとも２つの手続が必要となる。
【００９３】このように第２発明は、前記意思決定者の
満足度を示す複数の情報を設定する手段を有し、前記各
光学特性および各制約条件に対して該複数の情報ごとに
分割して処理する手段を有することを特徴とする特許請
求の範囲第１項記載の光学系の自動設計における多目的
最適化処理方法である。
【００９４】各目標値に対して満足できる数値幅を設定
する具体的な手段として、その上限値と下限値を指定す
るやり方がある。実施形態３では、評価関数に採用した
２つの３次収差係数に対して、それぞれ以下のように上
限値および下限値を設定する。
【００９５】
【外２４】 このように第２発明は、前記予め設定された各光学特性
および各制約条件に対する前記意思決定者の満足度を、
各光学特性および各制約条件ごとにそれらの値に対する
上限値および下限値として設定する手段を有することを
特徴とする光学系の自動設計における多目的最適化処理
方法である。
【００９６】次に、評価関数に採用した２つの３次収差
係数Ｉ、IIについて、それぞれの上限値と下限値とに分
割した新しい評価関数を以下のようにして導入する。
【００９７】 Ｉ′ ＝ ｜Ｉ−Ｉlow ｜ （２１ａ） Ｉ″ ＝ ｜Ｉ−Ｉup｜ （２２ａ） II′ ＝ ｜II−IIlow ｜ （２３ａ） II″ ＝ ｜II−IIup｜ （２４ａ） ここで、Ｉlow ，Ｉupは収差係数Ｉに対する下限値と上
限値、IIlow ，IIupはIIに対する下限値と上限値であ
る。上記新たに導入した評価関数に前記多目的計画法の
計算概念を応用すると、上記Ｉ′とII′は、ＩおよびII
の値が目標値より大きい場合に主として作用する項であ
り、理想値＝下限値（なぜなら、収差係数値が下限値に
一致するとき、これらの評価関数値は０となるから）、
希求水準＝上限値（なぜなら、上限値より小さく下限値
に一致するまでが意思決定者の満足する数値範囲である
から）とみなすことができる。
【００９８】一方、上記Ｉ″とII″は、ＩおよびIIの値
が目標値より小さい場合に主として作用する項であり、
理想値＝上限値（なぜなら、収差係数値が上限値に一致
するとき、これらの評価関数値は０となるから）、希求
水準＝下限値（なぜなら、下限値より大きく上限値に一
致するまでが意思決定者の満足する数値範囲であるか
ら）とみなすことができる。よって、各評価関数にかか
る適切な重み値ｗI ，ｗIIは、前記理想値と希求水準と
から ｗI ＝１／（Ｉup−Ｉlow ） （２５ａ） ｗII＝１／（IIup−IIlow ） （２６ａ） として、解析的に求めることができ、実際の最適化演算
で処理される目的関数は、 ｗI Ｉ′＝ｗI ｜Ｉ−Ｉlow ｜ （２７ａ） ｗI Ｉ″＝ｗI ｜Ｉ−Ｉup｜ （２８ａ） ｗIIII′＝ｗII｜II−IIlow ｜ （２９ａ） ｗIIII″＝ｗII｜II−IIup｜ （３０ａ） となる。
【００９９】このように第２発明は、前記意思決定者の
満足度を示す前記上限値および前記下限値を用いて、前
記各光学特性および各制約条件ごとに複数に分割して処
理する手段を有することを特徴とする光学系の自動設計
における多目的最適化処理方法である。
【０１００】前記上／下限値によって指定される数値範
囲は、ある程度の幅をもっていればよいが、極端に狭い
数値範囲を指定すると数値計算上の悪条件を発生させる
ことになり、好ましくない。第２発明ではこの数値範囲
が略１０-15 以上となるようにして処理する。
【０１０１】このように第２発明は、前記意思決定者の
前記満足度を示す前記上限値および前記下限値におい
て、該上限値と該下限値の差の絶対値が略１０-15 以上
となるように設定し処理する手段を有することを特徴と
する光学系の自動設計における多目的最適化処理方法で
ある。
【０１０２】以上のように設定したレンズ設計問題を本
発明による方法と従来主として用いられてきたＤＬＳ法
とによって最適化演算を実行し、結果を比較したものが
図１６である。
【０１０３】同図では横軸に最適化演算反復回路（ｓｔ
ｅｐ）、縦軸にメリット関数の相対値を対数スケールで
とりプロットしてある。また、第２発明による方法では
メリット関数は使用しないが、ＤＬＳ法と比較するため
に換算したものである。この結果から、本発明による方
法の方がより少ない反復回路でメリット関数の小さい解
を検出しており、従来手法に比べて効果があることが分
かる。
【０１０４】図１７は実施形態４に用いた薄肉はりあわ
せレンズモデルである。同図では見易くするためにレン
ズに厚みを付けてあるが、計算上すべてのレンズ肉厚お
よび面間隔は０としてある。このレンズ系に対してｒ3
を全系の焦点距離が正確に１となるために用い、残りの
２つｒ1 ，ｒ2 を変数とした。評価関数としては軸上色
収差係数Ｌ、３次の球面収差係数Ｉおよびコマ収差係数
IIの３つを採用した。
【０１０５】出発点は、（１／ｒ1 ，１／ｒ2 ）の座標
で表わして、 出発点１：１／ｒ1 ＝ ２．０ ，１／ｒ2 ＝ ２．０ （３１ａ） 出発点２：１／ｒ1 ＝−１．０ ，１／ｒ2 ＝−１．０ （３２ａ） 出発点３：１／ｒ1 ＝ ２．０ ，１／ｒ2 ＝ ０．０ （３３ａ） の３通りに選んだ。そして，評価関数に採用した３つの
収差係数の目標値を Ｌ＝０．０ Ｉ＝０．０ II＝０．０ （３４ａ） とした。
【０１０６】しかしながら実際のレンズ設計では、これ
らの収差係数値を厳密に目標値に一致させる必要はな
く、ある数値幅に入っていれば良い。そこで、これら２
つの評価関数の目標値に対する満足できる数値幅を設定
するとともに、それら設定された数値幅からそれを達成
するのに最適な各評価関数にかかる重み値を解析的に設
定する。
【０１０７】このように第２発明は、複数の構成要素か
ら成る対象の光学系が所望の光学特性および制約条件を
達成するように該複数の構成要素を自動的に変更しなが
ら最適な光学系の形状を求める光学系の自動設計におい
て、予め設定された各光学特性および各制約条件に対す
る意思決定者の満足度を設定する手段と、該満足度に関
する情報を用いて各光学特性および制約条件にかかる重
み値を解析的に設定する手段とを有することを特徴とす
る光学系の自動設計における多目的最適化処理方法であ
る。
【０１０８】一般にある数値幅を厳密に指定するには、
その範囲を規定する上で少なくとも２つの数値を指定す
る必要がある。それにともない、以降の処理は数値範囲
を規定する少なくとも２つの手続きが必要となる。
【０１０９】このように第２発明は、前記意思決定者の
満足度を示す複数の情報を設定する手段を有し、前記各
光学特性および各制約条件に対して該複数の情報ごとに
分割して処理する手段を有することを特徴とする光学系
の自動設計における多目的最適化処理方法である。
【０１１０】各目標値に対して満足できる数値幅を設定
する具体的な手段として、その上限値と下限値を指定す
るやり方がある。実施形態４では、評価関数に採用した
３つの収差係数に対して、それぞれ以下のように上限値
および下限値を設定する。
【０１１１】
【外２５】 このように第２発明は、前記予め設定された各光学特性
および各制約条件に対する前記意思決定者の満足度を、
各光学特性および各制約条件ごとにそれらの値に対する
上限値および下限値として設定する手段を有することを
特徴とする光学系の自動設計における多目的最適化処理
方法である。
【０１１２】次に、評価関数に採用した３つの収差係数
Ｌ，Ｉ，IIについて、それぞれの上限値と下限値とに分
割した新しい評価関数を以下のようにして導入する。
【０１１３】 Ｌ′＝｜Ｌ−Ｌlow ｜ （３８ａ） Ｌ″＝｜Ｌ−Ｌup｜ （３９ａ） Ｉ′＝｜Ｉ−Ｉlow ｜ （４０ａ） Ｉ″＝｜Ｉ−Ｉup｜ （４１ａ） II′＝｜II−IIlow ｜ （４２ａ） II″＝｜II−IIup｜ （４３ａ） ここで、Ｌlow ，Ｌupは収差係数Ｌに対する下限値と上
限値、Ｉlow ，Ｉupは収差係数Ｉに対する下限値と上限
値、IIlow ，IIupはIIに対する下限値と上限値である。
上記新たに導入した評価関数に前記多目的計画法の計算
概念を応用すると、上記Ｌ′，Ｉ′，II′は、Ｌ，Ｉお
よびIIの値が目標値より大きい場合に主として作用する
項であり、理想値＝下限値（なぜなら、収差係数が下限
値に一致するとき、これら評価関数値は０となるか
ら）、希求水準＝上限値（なぜなら、上限値より小さく
下限値に一致するまでが意思決定者の満足する数値範囲
であるから）とみなすことができる。
【０１１４】一方、上記Ｌ″，Ｉ″，II″はＬ，Ｉ，II
の値が目標値より小さい場合に主として作用する項であ
り、理想値＝上限値（なぜなら、収差係数値が上限値に
一致するとき、これらの評価関数値は０となるから）、
希求水準＝下限値（なぜなら、下限値より大きく上限値
に一致するまでが意思決定者の満足する数値範囲である
から）とみなすことができる。よって、各評価関数にか
かる適切な重み値ｗL，ｗI ，ｗIIは、前記理想値と希
求水準とから ｗL ＝１／（Ｌup−Ｌlow ） （４４ａ） ｗI ＝１／（Ｉup−Ｉlow ） （４５ａ） ｗII＝１／（IIup−IIlow ） （４６ａ） として、解析的に求めることができ、実際の最適化演算
で処理される目的関数は ｗL Ｌ′＝ｗL ｜Ｌ−Ｌlow ｜ （４７ａ） ｗL Ｌ″＝ｗL ｜Ｌ−Ｌup｜ （４８ａ） ｗI Ｉ′＝ｗI ｜Ｉ−Ｉlow ｜ （４９ａ） ｗI Ｉ″＝ｗI ｜Ｉ−Ｉup｜ （５０ａ） ｗIIII′＝ｗII｜II−IIlow ｜ （５１ａ） ｗIIII″＝ｗII｜II−IIup｜ （５２ａ） となる。
【０１１５】このように第２発明は、前記意思決定者の
満足度を示す前記上限値および前記下限値を用いて、前
記各光学特性および各制約条件ごとに複数に分割して処
理する手段を有することを特徴とする光学系の自動設計
における多目的最適化処理方法である。
【０１１６】前記上／下限値によって指定される数値範
囲は、ある程度の幅をもっていればよいが、極端に狭い
数値範囲を指定すると数値計算上の悪条件を発生させる
ことになり、好ましくない。第２発明ではこの数値範囲
が略１０-15 以上となるようにして処理する。
【０１１７】このように第２発明は、前記意思決定者の
前記満足度を示す前記上限値および前記下限値におい
て、該上限値と該下限値の差の絶対値が略１０-15 以上
となるように設定し処理する手段を有することを特徴と
する光学系の自動設計における多目的最適化処理方法で
ある。
【０１１８】以上のように設定した実施形態４のレンズ
設計問題を各出発点について、第２発明による方法と従
来主として用いられてきたＤＬＳ法とによって最適化演
算を実行し、結果を比較したものが図１８から図２０ま
でである。
【０１１９】これらの図では横軸に最適化演算反復回路
（ｓｔｅｐ）、縦軸にメリット関数の相対値を対数スケ
ールでとりプロットしてある。また、第２発明による方
法ではメリット関数は使用しないが、ＤＬＳ法と比較す
るために換算したものである。この結果から、本発明に
よる方法の方がより少ない反復回路でメリット関数の小
さい解を検出しており、従来手法に比べて効果があるこ
とが分かる。
【０１２０】
【発明の効果】以上説明したように、第１発明によれ
ば、対象とする系の出発点の与え方によらず、より広い
範囲から複数の最適解を検出できる効果がある。
【０１２１】第２発明によれば、光学系の自動設計にお
いて、より少ない反復回路で、より良い解を検出できる
効果がある。
【図面の簡単な説明】
【図１】第１発明の処理方法の内容を示すフローチャー
ト
【図２】第１発明の実施形態１に用いたレンズ断面図
【図３】本発明の実施形態１の最適化問題のメリット関
数分布等高線図
【図４】実施形態１において第１発明の処理方法で１サ
イクル処理した結果の最適化ステップの動きを示す図
【図５】実施形態１において第１発明の処理方法で２サ
イクル処理した結果の最適化ステップの動きを示す図
【図６】実施形態１において第１発明の処理方法で３サ
イクル処理した結果の最適化ステップの動きを示す図
【図７】実施形態１において第１発明の処理方法で４サ
イクル処理した結果の最適化ステップの動きを示す図
【図８】実施形態２の最適化問題で解析的に分かってい
る解の１つ(Left hand solution)のレンズ断面図
【図９】実施形態２の最適化問題で解析的に分かってい
る解の１つ(Right hand solution) のレンズ断面図
【図１０】実施形態２における出発点のレンズ断面図
【図１１】実施形態２において従来手法で得られた唯一
の解のレンズ断面図
【図１２】実施形態２において第１発明の処理方法で得
られた複数解の散布図
【図１３】実施形態２において第１発明の処理方法で得
られた複数解の１つ(Left hand solution)のレンズ断面
図
【図１４】実施形態２において第１発明の処理方法で得
られた複数解の１つ(Right handsolution) のレンズ断
面図
【図１５】第２発明の実施形態３に用いたレンズ断面図
【図１６】実施形態３において第２発明の効果を示す図
【図１７】第２発明の実施形態４に用いたレンズ断面図
【図１８】実施形態４（出発点１）において第２発明の
効果を示す図
【図１９】実施形態４（出発点２）において第２発明の
効果を示す図
【図２０】実施形態４（出発点３）において第２発明の
効果を示す図
【符号の説明】
ｒ1 〜ｒ4 レンズ面の曲率半径

Claims (9)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 複数の構成要素から成る対象の系が所望
    の特性となるように、該複数の構成要素の値を最適化法
    を用いて求める際、個々の評価関数を個別に満足する解
    を算出する個別算出手段を設け、該個別算出手段を用い
    て複数の最適解を求めることを特徴とする最適化法を用
    いた複数解探索処理方法。
  2. 【請求項２】 複数の構成要素から成る対象の系が所望
    の特性となるように、該複数の構成要素の値を最適化法
    を用いて求める際、個々の評価関数を個別に満足する解
    を算出する個別算出手段と個々の評価関数を個別に満足
    する解の軌跡を算出する軌跡算出手段とを設け、これら
    の手段を用いて複数の最適解を求めることを特徴とする
    最適化法を用いた複数解探索処理方法。
  3. 【請求項３】 複数の構成要素から成る対象の系が所望
    の特性となるように、該複数の構成要素の値を最適化法
    を用いて求める際、個々の評価関数を個別に満足する解
    を算出する個別算出手段と個々の評価関数を個別に満足
    する解の軌跡を算出する軌跡算出手段とすべての評価関
    数を同時に満足する解を算出する同時算出手段とを設
    け、これらの手段を用いて複数の最適解を求めることを
    特徴とする最適化法を用いた複数解探索処理方法。
  4. 【請求項４】 複数の構成要素から成る対象の系が所望
    の特性となるように、該複数の構成要素の値を最適化法
    を用いて求める際、個々の評価関数を個別に満足する解
    を算出する個別算出手段と個々の評価関数を個別に満足
    する解の軌跡を算出する軌跡算出手段とすべての評価関
    数を同時に満足する解を算出する同時算出手段と個々の
    評価関数を個別に満足する解の軌跡を延長する軌跡延長
    手段とを設け、これらの手段を用いて複数の最適解を求
    めることを特徴とする最適化法を用いた複数解探索処理
    方法。
  5. 【請求項５】 複数の構成要素から成る対象の光学系が
    所望の光学特性および制約条件を達成するように該複数
    の構成要素を自動的に変更しながら最適な光学系の形状
    を求める光学系の自動設計であって、予め設定された各
    光学特性および各制約条件に対する意思決定者の満足度
    を設定する満足度設定手段と、該満足度に関する情報を
    用いて各光学特性および制約条件にかかる重み値を解析
    的に設定する重み値設定手段とを利用していることを特
    徴とする光学系の自動設計における多目的最適化処理方
    法。
  6. 【請求項６】 前記満足度設定手段は前記意思決定者の
    満足度を示す複数の情報を設定しており、前記各光学特
    性および各制約条件に対して該複数の情報ごとに分割し
    て処理する分割処理手段を利用していることを特徴とす
    る請求項５の光学系の自動設計における多目的最適化処
    理方法。
  7. 【請求項７】 前記満足度設定手段は前記予め設定され
    た各光学特性および各制約条件に対する前記意思決定者
    の満足度を、各光学特性および各制約条件ごとにそれら
    の値に対する上限値および下限値として設定しているこ
    とを特徴とする請求項５の光学系の自動設計における多
    目的最適化処理方法。
  8. 【請求項８】 前記分割処理手段は前記意思決定者の満
    足度を示す前記上限値および前記下限値を用いて、前記
    各光学特性および各制約条件ごとに複数に分割して処理
    していることを特徴とする請求項６の光学系の自動設計
    における多目的最適化処理方法。
  9. 【請求項９】 前記満足度設定手段は前記意思決定者の
    前記満足度を示す前記上限値および前記下限値を設定す
    る際に、該上限値と該下限値との差の絶対値が略１０
    -15 以上となるように設定し、処理していることを特徴
    とする請求項７の光学系の自動設計における多目的最適
    化処理方法。
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