JPH08314989A

JPH08314989A - プライム・コンパチブルによる有限状態機械の状態数最小化装置および方法

Info

Publication number: JPH08314989A
Application number: JP7121859A
Authority: JP
Inventors: Hiroyuki Higuchi; 博之樋口
Original assignee: Fujitsu Ltd
Current assignee: Fujitsu Ltd
Priority date: 1995-05-19
Filing date: 1995-05-19
Publication date: 1996-11-29
Anticipated expiration: 2017-07-15
Also published as: JP3302218B2

Abstract

(57)【要約】【目的】有限状態機械の状態集合の集合であるクラス
・セットどうしの包含性判定をすることなく、より効率
的にプライム・コンパチブルを計算して、状態数の最小
化を行うことを目的とする。【構成】演算処理装置１２は、プログラム記憶装置１
４に格納されたプログラムを実行して、プライム・コン
パチブルの解集合をデータ記憶装置１３内に生成し、状
態数の最小化を行った後に入出力装置１１から出力す
る。マージャ・テーブル作成プログラム１５は状態遷移
表からマージャ・テーブルを作成し、極大コンパチブル
生成プログラム１６はマージャ・テーブルから極大コン
パチブルを生成する。シグネチャ生成プログラム１７は
与えられた極大コンパチブルの部分集合であるシグネチ
ャを生成し、コンパチブル生成プログラム１８はプライ
ム・コンパチブルの候補となる部分集合を生成する。被
支配コンパチブル排除プログラム１９は、プライム・コ
ンパチブルの候補とシグネチャの包含関係を調べて、被
支配コンパチブルを排除する。部分集合どうしの包含関
係は容易に調べられるので、計算時間が短縮される。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、論理回路の合成や言語
処理等に用いられる不完全指定有限状態機械の状態数を
最小化するための装置および方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】近年、集積回路技術の進歩に伴い、より
大規模なシステムが論理回路として実現されるようにな
ってきている。そのため、大規模な順序回路の合成技術
はますます重要性を増している。中でも、順序回路の仕
様として与えられる有限状態機械の状態数の最小化は最
も重要なステップのうちの１つである。有限状態機械の
状態数を最小化することにより、少ないフリップフロッ
プで順序回路を実現することが可能であり、また、実現
する順序回路の未使用状態が増える。これらの未使用状
態を指定するための論理素子を省略することにより、順
序回路の中の組合せ回路部分をより簡単化することが可
能となる。

【０００３】有限状態機械（Finite State Machines ：
ＦＳＭ's：有限オートマトン、順序機械などとも呼ばれ
る）は、有限個の状態を持ち、その上での状態遷移の規
則が定義された計算機構のモデルである。有限状態機械
は、形式的には５項組（Ｉ，Ｏ，Ｓ，δ，λ）で定義さ
れる。ただし、Ｉ，Ｏ，Ｓは、それぞれ入力、出力およ
び状態の有限集合である。δ：Ｉ×Ｓ→Ｓは状態遷移関
数であり、λ：Ｉ×Ｓ→Ｏは出力関数を表す。状態遷移
関数δについては、各状態と入力記号の組に対して次の
状態が唯一に指定されているときには決定性有限状態機
械、複数指定されている場合があるときには非決定性有
限状態機械という。また入力と現状態の組すべてに対し
て、次状態と出力が指定されている有限状態機械を完全
指定有限状態機械という。また、少なくとも１つ以上の
入力と現状態の組に対して、次状態あるいは出力が指定
されていないような有限状態機械を不完全指定有限状態
機械という。

【０００４】有限状態機械の状態数を最小化するという
問題は古くから様々な研究が行われているが、与えられ
る有限状態機械の記述が不完全な場合（不完全指定の場
合）には問題が複雑になる。従って状態数の多い有限状
態機械の場合には、現実的な計算時間では解が求まらな
いことが多い。そこでより高速な状態数最小化方法が必
要とされている。

【０００５】不完全指定を含む有限状態機械の状態数を
最小化する従来の方法は、次の２つの論文に記述されて
いる。（ａ）M. C. Paull and S. H. Unger.“Minimizing the
Number of States inIncompletely Specified Sequent
ial Switching Functions”. IRE Trans. onElectronic
Computers, 8:356-367, September 1959. （ｂ）A. Grasselli and F. Luccio. “A Method for M
inimizing the Numberof Internal States in Incomple
tely Specified Sequential Networks”. IRETrans. on
Electronic Computers, 14(3):350-359, June 1965. また、有限状態機械の状態数最小化方法に関する先願に
ついては、次の２つがある。

【０００６】（ｃ）「有限状態機械のシンボリックカバ
ー最小化方法及び状態数割当方法」（特開平０３−１１
６２７９、特願平０１−２５２３５７）（ｄ）「不完全指定順序回路最小化方法」（特開平０４
−１５８４８０、特願平０２−２８４８４０）これらの先願のうち、（ｃ）については完全指定の有限
状態機械のみを対象としており、不完全指定有限状態機
械を対象とする本発明とは直接関係がない。（ｄ）は、
基本的に上述の２つの論文（ａ）、（ｂ）の手法に基づ
いたものである。そこで、ここでは（ａ）および（ｂ）
の手法を従来技術として、有限状態機械の具体例をあげ
て説明する。

【０００７】従来より、有限状態機械の状態数を最小化
するために、与えられた状態のグループ化の候補に対応
するプライム・コンパチブルをすべて計算する方法が採
られている。そして、得られたプライム・コンパチブル
の中からすべての状態を含む最小閉包集合を求めること
により、状態数の最小化を行っている。

【０００８】図１８は、１つの有限状態機械の状態遷移
表を示している。有限状態機械は、通常、このような状
態遷移を表す情報により与えられる。図１８において、
ＰＳ（Present State ）は現在の状態を表し、各行の
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆは有限状態機械の複数の状態の
各々に対応する。また、各列のＩ₁、Ｉ₂はそれぞれ特
定の入力を表す。そして、状態遷移表の行と列の交差位
置（セル）には、その行に対応する現状態において、そ
の列に対応する入力が印加されたときに遷移する次の状
態ＮＳ（Next State）と出力ｚが“ＮＳ，ｚ”のように
記されている。

【０００９】例えば、現状態Ａ、入力Ｉ₁のセルには
“Ｅ，０”が記されており、現状態Ａにおいて入力Ｉ₁
が入力されると次状態Ｅに遷移し、０が出力されること
を表す。状態遷移表中の“−”は、出力ｚの値が指定さ
れていないことを示している。このような値はドントケ
ア（don't care) 値と呼ばれ、それがどのような値でも
よいことを意味する。したがって、状態数が少なくなる
ように、その値を適当に決めることができる。一般に、
不完全指定有限状態機械では状態遷移表のセルにドント
ケア値が含まれ、完全指定有限状態機械ではすべてのセ
ルが完全に指定されていて、ドントケア値が含まれな
い。

【００１０】さて、図１８の現状態ＣおよびＥを見る
と、入力Ｉ₂に対しては出力がともに０で同一であり、
入力Ｉ₁に対しては出力がそれぞれドントケア値および
１である。また、現状態ＣおよびＥを１つの状態対
（Ｃ，Ｅ）として、対応する次状態の対を求めると、入
力Ｉ₂に対してはともにＣで同一であり、入力Ｉ₁に対
しては（Ｃ，Ｅ）自身である。ここで、出力のドントケ
ア値はどのような値に決定してもよいから、状態ＣとＥ
は１つの状態にまとめることが可能である。この場合、
ＣとＥを１つの状態にするには、状態Ｃの入力Ｉ₁に対
する出力のドントケア値を１に置き換えればよい。これ
らの状態Ｃ、Ｅのように、２つの状態を１つの状態にま
とめることができるとき、それらの状態はコンパチブル
（compatible：両立的）であるという。

【００１１】次に状態ＡとＢを考えると、これらは対応
する出力は同じだが、入力Ｉ₁に対して次状態が異な
り、かつ、次状態対が（Ａ，Ｂ）自身でもない。したが
って、ＡとＢがコンパチブルであるためには、対応する
次状態どうしがコンパチブルでなければならない。すな
わち、ＡとＢがコンパチブルであるためには、ＥとＦも
コンパチブルでなければならない。このとき状態対
（Ｅ，Ｆ）を（Ａ，Ｂ）のインプライド・ペア（implie
d pair）という。一方、状態ＡとＤを考えると、入力Ｉ
₁に対してそれぞれの出力が異なり、１つの状態にまと
めることができない。このように１つにまとめることが
できない２つの状態をインコンパチブル（incompatibl
e：非両立的）であるという。

【００１２】さらに、２つ以上の状態の集合に対して
は、その集合内の任意の２つの状態の組がコンパチブル
のとき、その状態集合はコンパチブルであるといい、コ
ンパチブルでない状態集合はインコンパチブルであると
いう。以下、コンパチブルな状態集合のことを単にコン
パチブルと呼ぶ。

【００１３】図１９は、図１８の任意の状態の組につい
てそれらがコンパチブルかどうかを調べるために用いら
れるマージャ・テーブル（merger table）を示してい
る。マージャ・テーブルは、有限状態機械の各状態を行
および列に割り当てた表で、表の各エントリには、対応
する状態対がコンパチブルでないときには×印、コンパ
チブルのときにはそのインプライド・ペアが記入され
る。ただし、対応するインプライド・ペアがなく、空集
合のときには記号外１が代わりに記入される。

【００１４】

【外１】

【００１５】マージャ・テーブルのエントリに記された
インプライド・ペアがインコンパチブルであれば、その
エントリの行と列に対応する状態対もインコンパチブル
となる。この場合には、そのエントリを×に書き直す必
要がある。インコンパチブルなインプライド・ペアを持
つエントリがなくなるまで、このような更新を繰り返し
行うことにより、マージャ・テーブルが簡約化される。
例えば、図１９のマージャ・テーブルにおいては、状態
Ｄを行としＢを列とするエントリは×であるため、状態
対（Ｂ，Ｄ）はインコンパチブルであることが分かる。
したがって、状態対（Ｂ，Ｄ）をインプライド・ペアと
して持つ状態対（Ｄ，Ｆ）もまたインコンパチブルであ
る。さらに、インコンパチブルな状態対（Ｄ，Ｆ）をイ
ンプライド・ペアとして持つ状態対（Ｂ，Ｆ）もまたイ
ンコンパチブルとなる。これらの更新を行った結果、マ
ージャ・テーブルは図２０に示すようになる。

【００１６】図２０のマージャ・テーブルからコンパチ
ブルなすべての状態対が確認できる。さらに、例えば状
態対（Ａ，Ｂ）、（Ａ，Ｃ）、（Ｂ，Ｃ）はすべてコン
パチブルであるから、これらの状態から構成される集合
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝はコンパチブルである。このようにし
て、互いにコンパチブルな状態をまとめることにより、
極大なコンパチブルを求めることができる。ここで、極
大なコンパチブルとは、他のいかなるコンパチブルにも
真に包含されることのないコンパチブルを意味する。図
２０のマージャ・テーブルから極大なコンパチブルを求
めると、｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝、｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝、｛Ｃ，Ｄ，
Ｅ｝、｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝となる。コンパチブルの定義よ
り、極大コンパチブルの任意の部分集合もまたコンパチ
ブルであり、すべてのコンパチブルはある極大コンパチ
ブルの部分集合である。

【００１７】状態対に対するインプライド・ペアの概念
と同様に、コンパチブルに対するインプライド・セット
（implied set ）が定義できる。例えば、図１８より、
コンパチブル｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝の入力Ｉ₁に対するインプ
ライド・セットは｛Ｃ，Ｄ，Ｅ｝、Ｉ₂に対するインプ
ライド・セットは｛Ｂ，Ｃ｝である。あるコンパチブル
について、次の２つの条件（１）、（２）を満足するイ
ンプライド・セットを要素とする集合のことを、そのコ
ンパチブルのクラス・セット（class set ）と呼ぶ。

【００１８】（１）そのコンパチブル自身に含まれな
い。（２）他のインプライド・セットに含まれない。例えば、コンパチブル｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝のクラス・セット
は｛｛Ｃ，Ｄ，Ｅ｝，｛Ｂ，Ｃ｝｝である。

【００１９】状態数最小化を行う際、コンパチブルは１
つの状態にまとめ得る状態集合の候補となる。例えば、
コンパチブル｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝を解に含めるということ
は、状態Ｃ、Ｅ、Ｆを１つの状態にまとめることを意味
する。このとき、このコンパチブルのクラス・セットに
含まれる各インプライド・セットについて、それを包含
するコンパチブルが少なくとも１つこの解に含まれてい
なければならないというのがクラス・セットの制約によ
る閉包性条件である。したがって、状態数の最小化と
は、与えられた有限状態機械の各状態を含むコンパチブ
ルが少なくとも１つ存在し、かつ、解に含められたコン
パチブルの閉包性条件をすべて満足する、要素数最小の
コンパチブルの集合を求めることである。

【００２０】コンパチブルの集合の中から最小解を１つ
だけ求めればよい場合には、解の候補としてすべてのコ
ンパチブルは必ずしも必要ではない。例えば、コンパチ
ブル｛Ｃ，Ｆ｝は他のコンパチブル｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝に真
に包含され、図２０よりそのクラス・セットは｛｛Ｄ，
Ｅ｝，｛Ｂ，Ｃ｝｝であることが分かる。また、図１８
よりコンパチブル｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝のクラス・セットもま
た｛｛Ｄ，Ｅ｝，｛Ｂ，Ｃ｝｝である。つまり、コンパ
チブル｛Ｃ，Ｆ｝の閉包性条件は｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝のそれ
と等価である。したがって、｛Ｃ，Ｆ｝を含む最小解に
おいて、そのかわりに｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝を含めても解の最
小性は保証されるので、コンパチブル｛Ｃ，Ｆ｝を解の
候補から除く（exclude)ことができる。このとき、コン
パチブル｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝はコンパチブル｛Ｃ，Ｆ｝を支
配するという。一般に、コンパチブルｃがコンパチブル
ｃ′を支配する必要十分条件は、（３）ｃ⊃ｃ′、かつ、（４）ｃのクラス・セット⊆ｃ′のクラス・セットである。他のコンパチブルによって支配されないコンパ
チブルをプライム・コンパチブル（prime compatible）
という。

【００２１】最大のコンパチブルの大きさをｎとする
と、大きさｎのコンパチブルは他のコンパチブルに真に
含まれることはないので、必ずプライム・コンパチブル
である。したがって、大きさｎのコンパチブルをすべて
プライム・コンパチブルを要素とする集合に含める。そ
れと共に、それらのクラス・セットも求めておく。例え
ば、図１８の有限状態機械の場合は最大コンパチブルの
大きさは３であり、それらのプライム・コンパチブルと
クラス・セットは、図２１に示すようになる。

【００２２】次に、大きさｎ−１のコンパチブルを順に
生成していき、今までに生成したプライム・コンパチブ
ルに支配されていなければ、それらをプライム・コンパ
チブルの集合に含める。このとき、大きさｎ−１のコン
パチブルは、大きさｎのコンパチブルの部分集合として
生成されるか、大きさｎ−１の極大コンパチブルとして
生成されるかのいずれかである。プライム・コンパチブ
ルの集合に含めるものについてはクラス・セットを求め
ておく。大きさ２のプライム・コンパチブルとそれらの
クラス・セットは、図２２に示すようになる。ここで、
プライム・コンパチブル｛Ｃ，Ｅ｝のクラス・セットは
φ（空集合）となる。クラス・セットがφの場合、その
プライム・コンパチブルの部分集合は必ずそのプライム
・コンパチブルに支配されるので、そのような部分集合
は以降のコンパチブルの生成過程において生成する必要
はない。

【００２３】以下同様にして、プライム・コンパチブル
の大きさが１になるか、生成したすべてのプライム・コ
ンパチブルのクラス・セットがφになるまで処理を繰り
返す。その結果として、すべてのプライム・コンパチブ
ルが生成される。図２３は、生成されたすべてのプライ
ム・コンパチブルとそれらのクラス・セットを示してい
る。

【００２４】このようにして得られたプライム・コンパ
チブルの集合から、状態数が最小のプライム・コンパチ
ブルの集合を求めるには、分枝限定法などの探索法が用
いられる。分枝限定法とは、最適解の探索問題を部分問
題に分割し、最適解を与えないと結論できるものを除い
ていく手法である。このような探索の結果、状態数が最
小となる解が求められる。図１８の有限状態機械のプラ
イム・コンパチブルの最小解は、｛｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝，
｛Ｃ，Ｄ｝，｛Ｅ，Ｆ｝｝である。ここで、コンパチブ
ル｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝を状態α、｛Ｃ，Ｄ｝をβ、｛Ｅ，
Ｆ｝をγとおくと、対応する有限状態機械の状態遷移表
は図２４に示すようになる。図２４においては、図１８
と異なり、すべての次状態と出力が完全に指定されてい
る。

【００２５】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、上述の
ような従来のプライム・コンパチブルの計算方法には次
のような問題がある。

【００２６】他のコンパチブルに支配されないコンパチ
ブルであるプライム・コンパチブルを生成するために
は、条件（４）に示すように、任意の２つのコンパチブ
ルのクラス・セットどうしの包含関係を調べる必要があ
る。クラス・セットは、与えられた有限状態機械の状態
の集合を１つの要素とする集合である。したがって、一
般に、集合の集合であるクラス・セットどうしの包含関
係を調べることは容易ではなく、これを行うことは計算
時間の増大につながる。

【００２７】本発明は、有限状態機械の状態集合の任意
の集合どうしの包含性判定をすることなく、より効率的
にプライム・コンパチブルを計算して、状態数の最小化
を行う装置および方法を提供することを目的とする。

【００２８】

【課題を解決するための手段】図１は、本発明の状態数
最小化装置の原理図である。図１の状態数最小化装置
は、現在の状態から次の状態への状態遷移の規則が定め
られている有限状態機械がとり得る状態の数を最小化す
るために、該有限状態機械の状態のコンパチブル集合で
あって、他のコンパチブル集合によって支配されないプ
ライム・コンパチブル集合を求める装置であり、入力手
段１、コンパチブル生成手段２、コンパチブル排除手段
３、状態数最小化手段４、出力手段５、およびシグネチ
ャ計算手段６を備える。

【００２９】入力手段１は、上記有限状態機械に関する
第１の状態遷移情報を入力する。コンパチブル生成手段
２は、第１の状態遷移情報から第１のプライム・コンパ
チブル集合を生成し、第１のプライム・コンパチブル集
合の第１の部分集合を、プライム・コンパチブル集合の
候補とする。

【００３０】コンパチブル排除手段３は、第１の部分集
合が第１のプライム・コンパチブル集合の第２の部分集
合を含むか否かを調べ、第１の部分集合が第２の部分集
合を含む時、第１の部分集合をプライム・コンパチブル
集合の解から排除し、第１の部分集合が第２の部分集合
を含まない時、第１の部分集合を第２のプライム・コン
パチブル集合として上記プライム・コンパチブル集合の
解に含める。

【００３１】状態数最小化手段４は、上記プライム・コ
ンパチブル集合の解をもとに状態数を削減し、出力手段
５は、削減された状態により表現される第２の状態遷移
情報を出力する。

【００３２】シグネチャ計算手段６は、コンパチブル生
成手段２が生成する第１のプライム・コンパチブル集合
内の任意の状態対について、第１のプライム・コンパチ
ブルに含まれないインプライド・ペアを第１の状態遷移
情報から求め、そのインプライド・ペアを次の状態対と
して持つ状態対に含まれる状態から構成される第１の状
態集合を計算して生成し、第１の状態集合が第１のプラ
イム・コンパチブル集合から生成される第２の状態集合
に含まれないとき、その第１の状態集合を第１のプライ
ム・コンパチブル集合のシグネチャとする。

【００３３】そして、コンパチブル排除手段３は、例え
ば上記シグネチャを第２の部分集合として用いて、第１
の部分集合を上記プライム・コンパチブル集合の解から
排除するかどうかを決める。

【００３４】また、コンパチブル生成手段２は、第１の
状態遷移情報から第３のプライム・コンパチブル集合を
生成し、第３のプライム・コンパチブル集合が上記第１
の部分集合を含む時、コンパチブル排除手段３は、第１
の部分集合が第３のプライム・コンパチブル集合の第３
の部分集合を含むか否かを調べ、第１の部分集合が第３
の部分集合を含む時、その第１の部分集合を上記プライ
ム・コンパチブル集合の解から排除する。

【００３５】図１の入力手段１および出力手段５は、実
施例の図２における入出力装置１１に対応し、コンパチ
ブル生成手段２、コンパチブル排除手段３、状態数最小
化手段４、およびシグネチャ計算手段６は、演算処理装
置１２およびデータ記憶装置１３に対応する。

【００３６】

【作用】コンパチブル生成手段２は、入力手段１が入力
した多数の状態を含む第１の状態遷移情報から第１およ
び第３のプライム・コンパチブル集合を生成する。これ
らのプライム・コンパチブル集合は、例えば第１の状態
遷移情報に含まれる複数の状態の極大コンパチブル集合
として生成される。また、第１のプライム・コンパチブ
ル集合の第１の部分集合を、新たなプライム・コンパチ
ブル集合の候補として解に含める。

【００３７】コンパチブル排除手段３は、プライム・コ
ンパチブル集合の候補である第１の部分集合が第１のプ
ライム・コンパチブル集合の別の部分集合である第２の
部分集合を含むか否かを調べ、その結果により、第１の
部分集合をプライム・コンパチブル集合の解から排除す
るかどうかを決める。第１の部分集合が第２の部分集合
を含めば、これをプライム・コンパチブル集合の解から
排除し、第２の部分集合を含まなければ第２のプライム
・コンパチブル集合としてプライム・コンパチブル集合
の解に残す。

【００３８】さらに、コンパチブル生成手段２が生成し
た第３のプライム・コンパチブル集合が第１の部分集合
を含む時、コンパチブル排除手段３は、第１の部分集合
が第３のプライム・コンパチブル集合の第３の部分集合
を含むか否かを調べて、第１の部分集合を残すかどうか
を決める。第１の部分集合が第３の部分集合を含めば、
これをプライム・コンパチブル集合の解から排除し、第
２の部分集合を含まなければプライム・コンパチブル集
合の解に残す。

【００３９】このようにして、プライム・コンパチブル
集合の解が得られ、状態数最小化手段４は、それに含ま
れる状態数を分岐限定法等により削減し、第２の状態遷
移情報を生成することができる。また、出力手段５が出
力した第２の状態遷移情報から、対応する論理回路等を
合成することもできる。

【００４０】この状態数最小化装置によれば、プライム
・コンパチブル集合の部分集合どうしの包含関係を調べ
ることにより、ある部分集合が新たなプライム・コンパ
チブル集合になり得るかどうかが容易に判定される。し
たがって、従来のようにクラス・セットどうしの包含関
係を調べる必要がなく、計算時間が短縮される。

【００４１】また、シグネチャ計算手段６が生成するプ
ライム・コンパチブル集合のシグネチャを上記第２また
は第３の部分集合として用いれば、上記第１の部分集合
が他のコンパチブル集合に支配されるかどうかをほぼ正
確に判定することができる。コンパチブル排除手段３
は、第１の部分集合が第１または第３のプライム・コン
パチブル集合のシグネチャを含めば、これを被支配コン
パチブル集合と判断し、プライム・コンパチブル集合の
解から排除する。シグネチャを用いればプライム・コン
パチブル集合のみを残すことができる理由については、
実施例において詳しく説明する。

【００４２】

【実施例】以下、図面を参照しながら、本発明の実施例
について詳細に説明する。図２は、実施例の状態数最小
化装置の構成図である。図２の状態数最小化装置は、入
出力装置１１、演算処理装置１２、データ記憶装置１
３、プログラム記憶装置１４、およびこれらの各装置を
接続するバス２０を備える計算機システムである。入出
力装置１１は、例えばキーボードやマウス等の入力装置
とディスプレイ装置から成る計算機端末であり、有限状
態機械の状態遷移表の入力や最小化された状態の状態遷
移表の出力等を行う。演算処理装置１２は、例えばＣＰ
Ｕ（中央処理装置）であり、データ記憶装置１３に記憶
されたデータを用いて、プログラム記憶装置１４に格納
された各種プログラムを実行し、演算等を行う。データ
記憶装置１３は、入力された状態遷移表や生成されるコ
ンパチブル等のデータを記憶する。

【００４３】プログラム記憶装置１４は、マージャ・テ
ーブル作成プログラム１５、極大コンパチブル生成プロ
グラム１６、シグネチャ生成プログラム１７、コンパチ
ブル生成プログラム１８、および被支配コンパチブル排
除プログラム１９を格納している。マージャ・テーブル
作成プログラム１５は、状態遷移表の情報から与えられ
た状態のマージャ・テーブルを作成するプログラムであ
り、極大コンパチブル生成プログラム１６は、マージャ
・テーブルから極大コンパチブルを生成するプログラム
である。シグネチャ生成プログラム１７は、与えられた
コンパチブルのシグネチャを生成するプログラムであ
り、コンパチブル生成プログラム１８は、特定の条件の
下でコンパチブルの部分集合を生成するプログラムであ
る。

【００４４】被支配コンパチブル排除プログラム１９
は、シグネチャ生成プログラム１７が生成するシグネチ
ャを用いて、コンパチブル生成プログラム１８が生成す
るコンパチブルから他のコンパチブルに支配されるもの
を排除し、プライム・コンパチブルを算出するプログラ
ムである。

【００４５】ここで、本発明で用いるシグネチャのより
厳密な定義を与えることにする。まず、最初に公知のク
ラス・セットの定義を述べる。定義１：コンパチブルｃに対するクラス・セットＣＳ
（ｃ）は以下の(i) 、(ii)、(iii) の条件を満足するす
べてのインプライド・セットｄからなる集合である。

【００４６】(i) ｜ｄ｜＞１、かつ、(ii)ｄ外２
ｃ、かつ、

【００４７】

【外２】

【００４８】(iii) ∀ｄ′∈ＣＳ（ｃ），ｄ外３
ｄ′．（定義終り）

【００４９】

【外３】

【００５０】条件(i) において、｜ｄ｜はｄの大きさを
表す。このように定義されたＣＳ（ｃ）を用いると、コ
ンパチブル同士の支配関係の定義は次のようになる。

【００５１】定義２：コンパチブルｃ、ｃ′が以下の２
つの条件を満たすとき、ｃはｃ′を支配するという。（５）ｃ′⊂ｃ、かつ、（６）ＣＳ（ｃ′）⊇ＣＳ（ｃ）．（定義終り）次に、シグネチャの定義を与える前に、クラス・セット
の代わりにペアワイズ・クラス・セット（pair-wise cl
ass set ）なるものを導入する。ペアワイズ・クラス・
セットは次のように定義される。

【００５２】定義３：コンパチブルｃ内の任意の状態対
に対するインプライド・ペアｐ＝（ｓ_a，ｓ_b）のう
ち、（７）ｓ_a≠ｓ_b、かつ、（８）｛ｓ_a，ｓ_b｝外４ｃ

【００５３】

【外４】

【００５４】なるインプライド・ペアの集合をペアワイ
ズ・クラス・セットと呼び、ＰＷＣＳ（ｃ）と書く。こ
のとき、次の定理が成り立つ。

【００５５】定理１：コンパチブルｃがｃ′を支配する
とき、以下の（５）、（６′）を満足する。（５）ｃ′⊂ｃ（６′）ＰＷＣＳ（ｃ′）⊇ＰＷＣＳ（ｃ）．（定理終
り）定理１は、定義１の（６）が成り立つために（６′）が
成り立つことが必要であることを意味している。定理１
の証明は以下の通りである。条件（５）のもとで、定義
１の（６）が成り立つときに（６′）が成り立つことを
証明すればよい。

【００５６】仮に、（６′）に反して、ｐ∈ＰＷＣＳ
（ｃ）、かつ、ｐ外５ＰＷＣＳ（

【００５７】

【外５】

【００５８】ｃ′）なるインプライド・ペアｐが存在し
たとすると、ＣＳ（ｃ）にはｐを含むインプライド・セ
ットが必ず存在する。一方、ｐ外６ＰＷＣＳ
（ｃ′）であ

【００５９】

【外６】

【００６０】るから、ＣＳ（ｃ′）にはｐを含むインプ
ライド・セットは存在しない。すなわち、ＣＳ（ｃ）
外７ＣＳ（ｃ′）となり、（６）に反する。このよう
に、（

【００６１】

【外７】

【００６２】６′）が成り立たなければ、（６）も成り
立たない。したがって、（６）が成り立てば、（６′）
が成り立つ。（証明終り）ここで、条件（６′）の十分性について検討してみる。
仮に、（６）に反して、ｑ∈ＣＳ（ｃ）、かつ、ｑ外
８ＣＳ（ｃ′）なるインプライド・セットｑ

【００６３】

【外８】

【００６４】が存在したとする。ｃ′⊂ｃであるから、
各入力に対して、ｃのインプライド・セットはｃ′のイ
ンプライド・セットを必ず包含する。したがって、ｑは
次の２つの条件のうちいずれかを満足する。

【００６５】（α）ｑはＣＳ（ｃ′）内のどのインプラ
イド・セットとも共通部分を持たない。（β）ＣＳ（ｃ′）内にｑを真に含むインプライド・セ
ットｒが存在する。

【００６６】（α）の場合には、ｑに含まれる任意の状
態対ｐに対して、ｐ∈ＰＷＣＳ（ｃ）、かつ、ｐ外９
ＰＷＣＳ（ｃ′）が成り立つ。すなわち、ＰＷＣＳ
（ｃ）

【００６７】

【外９】

【００６８】外１０ＰＷＣＳ（ｃ′）となって、
（６′）に反する。このように、（６）が

【００６９】

【外１０】

【００７０】成り立たなければ、（６′）も成り立たな
い。したがって、（６′）が成り立てば（６）が成り立
ち、条件（５）のもとで、（６′）は（６）の十分条件
となる。

【００７１】しかし、（β）の場合には、ｒに含まれる
がｑには含まれないすべての状態対がＣＳ（ｃ′）内の
他のインプライド・セットに含まれる時、必ずしもＰＷ
ＣＳ（ｃ）外１１ＰＷＣＳ（ｃ′）であるとは限ら
ない。したがって、（６′）

【００７２】

【外１１】

【００７３】の十分性は保証されない。定理１は、コン
パチブルｃに含まれるあるコンパチブルｃ′がｃに支配
されるとき、ｃ′はｃのすべてのインプライド・ペアを
インプライド・ペアとして持つことを示している。ここ
で、あるコンパチブルに支配されるコンパチブルを容易
に求めるため、以下のようなコンパチブルのシグネチャ
(signature) という概念を導入する。

【００７４】定義４：コンパチブルｃの部分集合ｄ
で、以下を満たすものをｃのシグネチャという。（９）ＰＷＣＳ（ｃ）⊆ＰＷＣＳ（ｄ）、かつ、（１０）∀ｄ′∈Ｓｉｇ（ｃ），ｄ′ 外１２ｄ．
（定義終り）

【００７５】

【外１２】

【００７６】ここで、Ｓｉｇ（ｃ）は、コンパチブルｃ
に対するすべてのシグネチャからなる集合を表す。直観
的には、あるコンパチブルｃのシグネチャｄとは、ＰＷ
ＣＳ（ｃ）に属するインプライド・ペアをインプライド
・ペアとするような状態対に含まれる状態からなる極小
集合である。したがって、シグネチャｄを求める時に
は、まずコンパチブルｃ内の任意の状態対に対する次状
態の状態対のうち、ｃに含まれるものを除外する必要が
ある。そして、残った次状態の状態対をインプライド・
ペアとする状態対から適当なものを選び、それらに含ま
れる状態からなる集合を生成すればよい。コンパチブル
の１つのインプライド・ペアを複数の状態対がインプラ
イしている場合、そのうちのどの１つをシグネチャに含
めてもよいので、そのシグネチャは複数個存在すること
になる。

【００７７】このシグネチャという概念を用いて定理１
を書き換えると、次のようになる。定理２：コンパチブルｃがｃ′を支配するとき、以下
の（５）、（６″）を満足する。

【００７８】（５）ｃ′⊂ｃ（６″）∃ｄ∈Ｓｉｇ（ｃ）, ｃ′⊇ｄ．（定理終り）定理２の証明は以下の通りである。条件（５）のもと
で、定理１の（６′）が成り立つときに（６″）が成り
立つことを証明すればよい。

【００７９】定理１の（６′）よりＰＷＣＳ（ｃ′）⊇
ＰＷＣＳ（ｃ）であるので、定義４よりｃ′∈Ｓｉｇ
（ｃ）、または、∃ｄ∈Ｓｉｇ（ｃ）に対してｄ⊂ｃ′
となる。したがって、（６″）が成り立つ。（証明終
り）定理２の（５）、（６″）をまとめると、 ∃ｄ∈Ｓｉｇ（ｃ），ｃ⊃ｃ′⊇ｄ（１１）と書ける。

【００８０】図３は、条件（１１）におけるコンパチブ
ルｃ、ｃ′とシグネチャｄの関係を示している。条件
（１１）および図３から、コンパチブルｃのシグネチャ
ｄは、そのコンパチブルｃと被支配コンパチブルｃ′と
に共通に含まれることが分かる。このことを用いれば、
あるコンパチブルの部分集合がそのコンパチブルに支配
されないことを、比較的容易に確認できる。また、各コ
ンパチブルｃのシグネチャｄを用いて、条件（１１）を
満足するコンパチブルｃ′を被支配コンパチブルと推定
して、それらをすべてのコンパチブルの中から除いてい
くことにより、プライム・コンパチブルの候補を削減す
ることができる。１つのコンパチブルｃに対してシグネ
チャが複数存在する場合は、どれか１つのシグネチャｄ
に対して条件（１１）が成り立てば、そのときのコンパ
チブルｃ′が除外される。

【００８１】例えば、コンパチブル｛Ａ，Ｂ｝に対し
て、Ｓｉｇ（｛Ａ，Ｂ｝）＝｛｛Ａ｝，｛Ｂ｝｝のとき
には、｛Ａ，Ｂ｝⊃ｃ′⊇｛Ａ｝、または、｛Ａ，Ｂ｝
⊃ｃ′⊇｛Ｂ｝であるようなすべてのコンパチブルｃ′
を、｛Ａ，Ｂ｝の被支配コンパチブルと推定する。そこ
で、これらをプライム・コンパチブルの候補から除外す
る。

【００８２】この方法では、あるコンパチブルの部分集
合がそのコンパチブルに支配されることを完全には確認
できないため、プライム・コンパチブルをいつも正確に
求められるとは限らない。しかしながら、現実には、定
理１の（６′）が成り立つ時には大抵定義１の（６）が
成り立つ。また、定理２の（６″）が成り立てば定理１
の（６′）が成り立つので、定理２を用いてコンパチブ
ルを除くことにより、プライム・コンパチブルをほぼ正
確に求められると考えられる。したがって、有限状態機
械の状態数を最小化する実用的な方法の１つとして有効
である。次に、図４から図６までを参照しながら、図２
の状態数最小化装置によるプライム・コンパチブル計算
処理について説明する。図４は、プライム・コンパチブ
ル計算処理のフローチャートであり、図５は、図４のス
テップＳ６およびＳ１２で行われるシグネチャ計算処理
のフローチャートである。また図６は、図４のステップ
Ｓ９およびＳ１０で行われる被支配コンパチブル排除の
例を示している。

【００８３】図４において処理が開始されると、まず入
出力装置１１から状態遷移表等の状態遷移に関する情報
（状態遷移情報）が入力される（ステップＳ１）。次
に、演算処理装置１２は、マージャ・テーブル作成プロ
グラム１５を実行して、状態遷移情報からマージャ・テ
ーブルを作成し（ステップＳ２）、極大コンパチブル生
成プログラム１６を実行して、極大コンパチブルを生成
する（ステップＳ３）。次に、生成した極大コンパチブ
ルのうち最大のものの大きさをｎとおき（ステップＳ
４）、大きさｎのすべての極大コンパチブルの集合をプ
ライム・コンパチブルの集合Ｘとしてデータ記憶装置１
３に格納する（ステップＳ５）。そして、Ｘに含まれる
各コンパチブルのシグネチャを計算する（ステップＳ
６）。ステップＳ６においては、演算処理装置１２は
シグネチャ生成プログラム１７を実行して、与えられた
コンパチブルｃのシグネチャを定義４に従って生成す
る。まず、図５に示すように、コンパチブルｃ内の任意
の状態対に対するインプライド・ペアであって、ＰＷＣ
Ｓ（ｃ）に含まれるインプライド・ペアｐ１、・・・、
ｐｍを生成する（ステップＳ２１）。定義３の（８）よ
り、各インプライド・ペアｐｉ（ｉ＝１，．．．，ｍ）
を構成する２つの状態が、コンパチブルｃに同時に含ま
れることはない。次に、各インプライド・ペアｐｉを次
状態対として持つｃ内の状態対の集合それぞれから１つ
ずつ状態対を選択し、任意の状態対集合を生成する（ス
テップＳ２２）。そして、その状態対集合に含まれる各
状態対を構成する状態を要素とする状態集合を生成す
る。次に、生成した複数の状態集合のうち、他の状態集
合を含むものを排除し、残った各状態集合をそれぞれｃ
のシグネチャとする（ステップＳ２３）。これらのシグ
ネチャは、他の状態集合を含まないという意味におい
て、極小な状態集合となっている。

【００８４】例えば図１８の有限状態機械の場合、まず
図２０に示すようなマージャ・テーブルが作成され（ス
テップＳ２）、従来と同様に４つの極大コンパチブル
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝、｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝、｛Ｃ，Ｄ，Ｅ｝、
｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝が生成される（ステップＳ３）。これら
の極大コンパチブルはすべて大きさが３であり、最大コ
ンパチブルに相当する。したがって、ｎ＝３となり（ス
テップＳ４）、これらの極大コンパチブルが、図７に示
すように、大きさ３のプライム・コンパチブルとなる
（ステップＳ５）。これらのプライム・コンパチブルに
ついて、シグネチャが求められる（ステップＳ６）。

【００８５】例えば、コンパチブル｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝内の
状態対（Ａ，Ｃ）、（Ａ，Ｆ）のインプライド・ペア
は、図２０よりそれぞれ（Ｂ，Ｃ）、（Ｄ，Ｅ）であ
り、状態対（Ｃ，Ｆ）のインプライド・ペアは（Ｂ，
Ｃ）と（Ｄ，Ｅ）である（ステップＳ２１）。これらの
関係を状態対からそのインプライド・ペアに向かう矢印
を用いて表すと、（Ａ，Ｃ）→（Ｂ，Ｃ）（Ａ，Ｆ）→（Ｄ，Ｅ）（Ｃ，Ｆ）→（Ｂ，Ｃ），（Ｄ，Ｅ）となる。これをインプライド・ペア毎にまとめると、（Ｂ，Ｃ）←（Ａ，Ｃ），（Ｃ，Ｆ）（Ｄ，Ｅ）←（Ａ，Ｆ），（Ｃ，Ｆ）となる。

【００８６】図８は、コンパチブル｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝内の
状態対とそれらのインプライド・ペアの関係を示してい
る。インプライド・ペア（Ｂ，Ｃ）を構成する２つの状
態の集合｛Ｂ，Ｃ｝は、コンパチブル｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝に
は含まれないため、（Ｂ，Ｃ）は｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝のペア
ワイズ・クラス・セットに属する。インプライド・ペア
（Ｄ，Ｅ）についても同様である。

【００８７】図８より、インプライド・ペア（Ｂ，Ｃ）
をインプライするには、状態対（Ａ，Ｃ）、（Ｃ，Ｆ）
のうちのいずれか一方を選択して、状態対集合に含めな
ければならないことが分かる。同様に、インプライド・
ペア（Ｄ，Ｅ）に対しては、（Ａ，Ｆ）、（Ｃ，Ｆ）の
うち一方を選択し、状態対集合に含めなければならな
い。したがって、状態対集合としては、｛（Ａ，Ｃ），
（Ａ，Ｆ）｝、｛（Ａ，Ｃ），（Ｃ，Ｆ）｝、｛（Ｃ，
Ｆ），（Ａ，Ｆ）｝、｛（Ｃ，Ｆ）｝の４つが生成され
る。これらのうち、最初の３つの状態対集合からは状態
集合｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝が生成され、状態対集合｛（Ｃ，
Ｆ）｝からは状態集合｛Ｃ，Ｆ｝が生成される（ステッ
プＳ２２）。

【００８８】生成された状態集合｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝、
｛Ｃ，Ｆ｝のうち、｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝はもう一方の｛Ｃ，
Ｆ｝を含むので排除される（ステップＳ２３）。一方、
｛Ｃ，Ｆ｝は他の状態集合を含まないので極小集合とし
て残り、コンパチブル｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝のシグネチャとし
て採用される。

【００８９】同様にして、コンパチブル｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
内の状態対とそれらのインプライド・ペアの関係は図９
のようになる。図９に示されたインプライド・ペア
（Ｅ，Ｆ）、（Ｂ，Ｃ）、（Ａ，Ｃ）のうち、（Ｂ，
Ｃ）と（Ａ，Ｃ）については、それらを構成する２つの
状態の集合｛Ｂ，Ｃ｝、｛Ａ，Ｃ｝がコンパチブル
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝に含まれる。したがって、これらのイン
プライド・ペアは｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝のペアワイズ・クラス
・セットに含まれず、ステップＳ２１では除外される。
ここで、インプライド・ペア（Ｅ，Ｆ）のみが処理の対
象として残される。

【００９０】図９より、インプライド・ペア（Ｅ，Ｆ）
をインプライするには、状態対（Ａ，Ｂ）、（Ｂ，Ｃ）
のうちのいずれか一方を選択して、状態対集合に含めな
ければならないことが分かる。したがって、状態対集合
としては、｛（Ａ，Ｂ）｝と｛（Ｂ，Ｃ）｝の２つが生
成され、これらの状態対集合からは状態集合｛Ａ，Ｂ｝
と｛Ｂ，Ｃ｝がそれぞれ生成される（ステップＳ２
２）。これらの状態集合｛Ａ，Ｂ｝、｛Ｂ，Ｃ｝は互い
に相手を含んでいないため、ともにコンパチブル｛Ａ，
Ｂ，Ｃ｝のシグネチャとなる（ステップＳ２３）。

【００９１】このようにして、大きさ３のプライム・コ
ンパチブルのシグネチャが順次求められ、その結果は図
７に示すようになる（ステップＳ６）。次に、演算処理
装置１２はｎを１だけデクリメントし（ステップＳ
７）、ｎが０になったかどうかを判定する（ステップＳ
８）。ｎが０より大きければ、コンパチブル生成プログ
ラム１８を実行して、集合Ｘ内の任意のコンパチブルの
部分集合で、そのコンパチブル自身に支配されない大き
さｎのすべてのコンパチブルを生成し、それらの集合を
Ｙとする（ステップＳ９）。そして、集合Ｙをデータ記
憶装置１３に格納する。次に、被支配コンパチブル排除
プログラム１９を実行して、集合Ｙ内のコンパチブルで
あって、集合Ｘ内の他のコンパチブルに支配されるもの
を集合Ｙから排除する（ステップＳ１０）。これらの処
理により排除される被支配コンパチブルが図６に示され
ている。

【００９２】図６において、集合Ｘ内のコンパチブルＸ
₁、Ｘ₂のうち、Ｘ₁の部分集合はＣ１、Ｃ２、Ｃ３の
３つである。このうち、部分集合Ｃ２はコンパチブルＸ
₁自身に支配されているために、集合Ｙから排除される
（ステップＳ９）。また、部分集合Ｃ３はコンパチブル
Ｘ₁には支配されないが、他のコンパチブルであるＸ ₂
に支配されるので、集合Ｙから排除される（ステップＳ
１０）。したがって、コンパチブルＸ₁の部分集合とし
ては、Ｃ１のみが集合Ｙに残ることになる。

【００９３】次に、演算処理装置１２は、集合Ｘ内のコ
ンパチブルの部分集合としては生成できない大きさｎの
すべての極大コンパチブルを生成し、集合Ｙに加える
（ステップＳ１１）。

【００９４】ここでは、最初ｎ＝３であったので（ステ
ップＳ４）、次にｎ＝２となり（ステップＳ７）、大き
さ２のコンパチブルが生成される（ステップＳ９）。こ
のとき、従来の方法とは異なり、集合Ｘ内のプライム・
コンパチブル｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝の部分集合である｛Ｃ，
Ｆ｝を生成する必要がない。なぜなら、コンパチブル
｛Ｃ，Ｆ｝は、図７より｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝のシグネチャに
相当するため、シグネチャ｛Ｃ，Ｆ｝を含んでいる。し
たがって、条件（１１）より、コンパチブル｛Ａ，Ｃ，
Ｆ｝の被支配コンパチブルであると推定されるからであ
る。同様に、プライム・コンパチブル｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝の
部分集合である｛Ａ，Ｂ｝、｛Ｂ，Ｃ｝も、｛Ａ，Ｂ，
Ｃ｝のシグネチャ｛Ａ，Ｂ｝、｛Ｂ，Ｃ｝をそれぞれ含
んでいる。したがって、これらはコンパチブル｛Ａ，
Ｂ，Ｃ｝の被支配コンパチブルであると推定され、ここ
では生成されない。図１０は、このようにして求められ
た大きさ２以上のプライム・コンパチブルを示してい
る。

【００９５】次に、演算処理装置１２はシグネチャ生成
プログラム１７を実行して、集合Ｙ内の各コンパチブル
のシグネチャを求める（ステップＳ１２）。ここで、大
きさ２以上のプライム・コンパチブルのシグネチャは、
図１０のようになる。図１０に示されるように、大きさ
２のコンパチブルについては、その中に含まれる状態対
は１つだけであり、そのコンパチブル自身がシグネチャ
となることが多い。ただし、プライム・コンパチブル
｛Ｃ，Ｅ｝については、図２０より状態対｛Ｃ，Ｅ｝の
インプライド・ペアが空集合であるため、シグネチャも
空集合となる。このとき、｛Ｃ，Ｅ｝のいかなる部分集
合も｛Ｃ，Ｅ｝のシグネチャを含むため、｛Ｃ，Ｅ｝の
被支配コンパチブルと推定される。したがって、以降の
処理では、｛Ｃ，Ｅ｝の部分集合について考慮する必要
はない。

【００９６】次に、演算処理装置１２は集合ＸとＹの和
をとり、改めてプライム・コンパチブルの集合Ｘとして
データ記憶装置１３に格納する（ステップＳ１３）。ま
た、再びｎを１だけデクリメントし、ステップＳ８以降
の処理を繰り返す。そして、ステップＳ８でｎが０にな
ると、集合Ｘとして格納されているすべてのプライム・
コンパチブルを入出力装置１１から出力して（ステップ
Ｓ１４）、処理を終了する。

【００９７】図１１は、このようにして最終的に得られ
たすべてのプライム・コンパチブルをとそれらのシグネ
チャを示している。図１１において、大きさ１のプライ
ム・コンパチブルは１つの状態のみからなるが、｛Ｃ｝
と｛Ｅ｝は｛Ｃ，Ｅ｝の被支配コンパチブルとして除外
されている。また、大きさ１のプライム・コンパチブル
は状態対を構成できないため、インプライド・ペアを持
たず、したがってそのシグネチャも空集合となる。

【００９８】図１１に示されたプライム・コンパチブル
は、図２３のプライム・コンパチブルと一致しており、
これらのプライム・コンパチブルから公知の分岐限定法
等により有限状態機械の最小解が求められる。したがっ
て、状態数最小化を行った後の状態遷移表は図２４のよ
うになる。

【００９９】次に、図１２から図１７までを参照しなが
ら、有限状態機械の状態数最小化と合成される論理回路
の関係について説明する。まず、図１８の有限状態機械
の状態数を最小化することなく、順序回路として実現す
る場合を考える。図１８においては、状態数は６である
ので、少なくとも順序回路のフリップフロップは「log₂
６」＝３個必要である。ただし、「Ｒ」は実数Ｒ以上の
値を持つ最小の整数を表すものとする。今、例えばこれ
らの各状態に対して、図１２に示すように３ビットの符
号割り当てを行って、状態ベクトルに変換したとする。
また、入力についてはＩ₁を０、Ｉ₂を１と割り当て、
さらに出力のドントケア値はすべて０であるとすると、
これらの状態ベクトルおよび入力ベクトルを用いて、図
１８の状態遷移表は図１３のような遷移・出力表に変換
できる。図１３において、ｙ₃ｙ₂ｙ₁は現状態を表す
状態ベクトルであり、ｘは入力を表す入力ベクトルであ
る。この遷移・出力表をもとに、対応する順序回路を合
成することができる。

【０１００】図１４は、図１３の遷移・出力表を実現し
た順序回路の一例を示している。図１４において、組合
わせ回路部２５に対する入力ｘは有限状態機械の入力ベ
クトルに対応しており、３つの入力ｙ₃、ｙ₂、ｙ₁は
現状態の状態ベクトルｙ₃ｙ ₂ｙ₁の成分に対応してい
る。また、組合わせ回路部２５の出力ｚは有限状態機械
の出力に対応しており、３つの出力ｙ₃′、ｙ₂′、ｙ
₁′は次状態を表す状態ベクトルの成分に対応してい
る。

【０１０１】組合わせ回路部２５は、インバータ２２−
１、２２−２、２２−３、２２−４、ＡＮＤゲート２３
−１、２３−２、２３−３、２３−４、２３−５、２３
−６、２３−７、２３−８、２３−９、およびＯＲゲー
ト２４−１、２４−２、２４−３からなり、入力ｘ、ｙ
₃、ｙ₂、ｙ₁から出力ｚ、ｙ₃′、ｙ₂′、ｙ₁′を
生成する。フリップフロップ２１−１、２１−２、２１
−３は、現状態を表すｙ₃、ｙ₂、ｙ₁をそれぞれ組合
わせ回路部２５に出力し、次状態を表すｙ₃′、
ｙ₂′、ｙ₁′を入力として受け取る。次に、受け取っ
たこれらの値を、遷移後の新たな現状態を表すｙ₃、ｙ
₂、ｙ₁として組合わせ回路部２５に与える。

【０１０２】次に、図１８の有限状態機械の状態数を最
小化した後に、順序回路として実現する場合を考える。
この場合の有限状態機械の状態遷移表は図２４のように
なる。図２４においては状態数は３であるから、必要な
最小フリップフロップの数は「log₂３」＝２となり、図
１８の場合と比べて１つ少なくなる。これらの各状態に
対して２ビットの状態ベクトルを図１５のように割り当
てると、遷移・出力表は図１６のようになる。図１６に
おいて、ｙ₂ｙ₁は現状態を表す状態ベクトルであり、
ｘは入力を表す入力ベクトルである。

【０１０３】図１７は、図１６の遷移・出力表を実現し
た順序回路の一例を示している。図１７において、組合
わせ回路部３５に対する入力ｘは図１６の有限状態機械
の入力ベクトルに対応しており、入力ｙ₂、ｙ₁は現状
態の状態ベクトルｙ₂ｙ₁の成分に対応している。ま
た、組合わせ回路部３５の出力ｚは有限状態機械の出力
に対応しており、出力ｙ₂′、ｙ₁′は次状態を表す状
態ベクトルの成分に対応している。

【０１０４】組合わせ回路部３５は、インバータ３２−
１、３２−２、ＡＮＤゲート３３−１、３３−２、３３
−３、３３−４、およびＯＲゲート３４−１、３４−２
からなり、入力ｘ、ｙ₂、ｙ₁から出力ｚ、ｙ₂′、ｙ
₁′を生成する。フリップフロップ３１−１、３１−２
は、現状態を表すｙ₂、ｙ₁をそれぞれ組合わせ回路部
３５に出力し、次状態を表すｙ₂′、ｙ₁′を入力とし
て受け取る。次に、受け取ったこれらの値を、遷移後の
新たな現状態を表すｙ₂、ｙ₁として組合わせ回路部３
５に与える。図１７の順序回路を図１４のそれと比べる
と、フリップフロップの数が３個から２個に減少し、組
合せ回路部分のゲート数が１６個から８個に減少してい
ることが分かる。

【０１０５】一般に、状態数の最小化を行ってから順序
回路の合成を行うと、次のような利点がある。（ａ）順序回路に含まれるフリップフロップの数が少な
くなる可能性がある。

【０１０６】（ｂ）フリップフロップの数が少なくなっ
た場合には、次状態の状態ベクトルの成分のうち、削除
されたフリップフロップに対応するビットの値を計算す
るための論理回路が不要になり、組合せ回路部分のゲー
ト数も少なくなることが多い。

【０１０７】（ｃ）フリップフロップの数が少なくなら
ない場合でも、状態数が少なくなることにより回路の未
使用状態が増え、組合せ回路部分の合成の際にそれらを
ドントケアとして扱うことにより、組合せ回路のゲート
数が少なくなる可能性がある。

【０１０８】以上、有限状態機械を論理回路の合成のた
めに用いる例について説明したが、これをある文字列が
与えられた言語に含まれるか否かを判定するための機械
と見ることもできる。このような目的で有限状態機械が
用いられる例としては、コンパイラにおける字句解析や
音声認識における言語処理などがある。いずれも、ある
文字列がマッチする文字列を探す処理を行うために用い
るものである。

【０１０９】この場合は、非決定性有限状態機械をまず
構成し、それを決定性有限状態機械に変換してから状態
数最小化の処理を行うことが多い。これらの決定性有限
状態機械は通常完全指定であるため、プライム・コンパ
チブルを求めることなく、より計算量の少ない最小化ア
ルゴリズムにより、状態数を最小化することができる。
しかし、決定性不完全指定有限状態機械を構成して、本
発明の状態数最小化方法により最小解を求めることも可
能である。

【０１１０】

【発明の効果】本発明によれば、有限状態機械の状態数
最小化問題において、コンパチブルの部分集合であるシ
グネチャを計算し、シグネチャを含む部分集合を被支配
コンパチブルとして排除する。これにより、状態の集合
の集合であるクラス・セットどうしの包含性判定を行う
ことなく、プライム・コンパチブルを求めることができ
る。したがって、計算機によるプライム・コンパチブル
の生成処理の計算時間が短縮され、状態数の最小化処理
が効率化される。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の原理図である。

【図２】実施例の状態数最小化装置の構成図である。

【図３】コンパチブルとシグネチャの関係を示す図であ
る。

【図４】プライム・コンパチブル計算処理のフローチャ
ートである。

【図５】シグネチャ計算処理のフローチャートである。

【図６】被支配コンパチブル排除の例を示す図である。

【図７】大きさ３のプライム・コンパチブルとそのシグ
ネチャを示す図である。

【図８】コンパチブル｛Ａ，Ｃ，Ｆ｝のインプライド・
ペアを示す図である。

【図９】コンパチブル｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝のインプライド・
ペアを示す図である。

【図１０】大きさ２以上のプライム・コンパチブルとそ
のシグネチャを示す図である。

【図１１】すべてのプライム・コンパチブルとそのシグ
ネチャを示す図である。

【図１２】状態割当を示す図である。

【図１３】遷移・出力表を示す図である。

【図１４】状態数を最小化せずに合成した時の順序回路
を示す図である。

【図１５】状態数を最小化した場合の状態割当を示す図
である。

【図１６】状態数を最小化した場合の遷移・出力表を示
す図である。

【図１７】状態数を最小化した順序回路を示す図であ
る。

【図１８】有限状態機械の状態遷移を示す図である。

【図１９】マージャ・テーブルを示す図である。

【図２０】更新後のマージャ・テーブルを示す図であ
る。

【図２１】大きさ３のプライム・コンパチブルとそのク
ラス・セットを示す図である。

【図２２】大きさ２以上のプライム・コンパチブルとそ
のクラス・セットを示す図である。

【図２３】すべてのプライム・コンパチブルとそのクラ
ス・セットを示す図である。

【図２４】状態数を最小化した有限状態機械の状態遷移
を示す図である。

【符号の説明】

１入力手段２コンパチブル生成手段３コンパチブル排除手段４状態数最小化手段５出力手段６シグネチャ計算手段１１入出力装置１２演算処理装置１３データ記憶装置１４プログラム記憶装置１５マージャ・テーブル作成プログラム１６極大コンパチブル生成プログラム１７シグネチャ生成プログラム１８コンパチブル生成プログラム１９被支配コンパチブル排除プログラム２０バス２１−１、２１−２、２１−３、３１−１、３１−２
フリップフロップ２２−１、２２−２、２２−３、２２−４、３２−１、
３２−２インバータ２３−１、２３−２、２３−３、２３−４、２３−５、
２３−６、２３−７、２３−８、２３−９、３３−１、
３３−２、３３−３、３３−４ＡＮＤゲート２４−１、２４−２、２４−３、３４−１、３４−２
ＯＲゲート２５、３５組合わせ回路部

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】現在の状態から次の状態への状態遷移の
規則が定められている有限状態機械がとり得る状態の数
を最小化するために、該有限状態機械の状態のコンパチ
ブル集合であって、他のコンパチブル集合によって支配
されないプライム・コンパチブル集合を求める情報処理
装置において、前記有限状態機械に関する第１の状態遷移情報を入力す
る入力手段と、該第１の状態遷移情報から第１のプライム・コンパチブ
ル集合を生成し、該第１のプライム・コンパチブル集合
の第１の部分集合を、プライム・コンパチブル集合の候
補とするコンパチブル生成手段と、前記第１の部分集合が前記第１のプライム・コンパチブ
ル集合の第２の部分集合を含むか否かを調べ、該第１の
部分集合が該第２の部分集合を含む時、該第１の部分集
合をプライム・コンパチブル集合の解から排除し、該第
１の部分集合が該第２の部分集合を含まない時、該第１
の部分集合を第２のプライム・コンパチブル集合として
前記プライム・コンパチブル集合の解に含めるコンパチ
ブル排除手段と、前記プライム・コンパチブル集合の解をもとに、状態数
を削減する状態数最小化手段と、削減された状態により表現される第２の状態遷移情報を
出力する出力手段とを備えることを特徴とする状態数最
小化装置。
【請求項２】前記コンパチブル生成手段が生成する前
記第１のプライム・コンパチブル集合内の任意の状態対
について、該第１のプライム・コンパチブルに含まれな
いインプライド・ペアを前記第１の状態遷移情報から求
め、該インプライド・ペアを次の状態対として持つ状態
対に含まれる状態から構成される第１の状態集合を計算
して生成し、該第１の状態集合が前記第１のプライム・
コンパチブル集合から生成される第２の状態集合に含ま
れないとき、該第１の状態集合を該第１のプライム・コ
ンパチブル集合のシグネチャとするシグネチャ計算手段
をさらに備え、前記コンパチブル排除手段は、前記シグネチャを前記第
２の部分集合として用いて、前記第１の部分集合を前記
プライム・コンパチブル集合の解から排除するかどうか
を決めることを特徴とする請求項１記載の状態数最小化
装置。
【請求項３】前記コンパチブル生成手段は、前記第１
の状態遷移情報から第３のプライム・コンパチブル集合
を生成し、該第３のプライム・コンパチブル集合が前記
第１の部分集合を含む時、前記コンパチブル排除手段
は、前記第１の部分集合が前記第３のプライム・コンパ
チブル集合の第３の部分集合を含むか否かを調べ、該第
１の部分集合が該第３の部分集合を含む時、該第１の部
分集合を前記プライム・コンパチブル集合の解から排除
することを特徴とする請求項１記載の状態数最小化装
置。
【請求項４】前記コンパチブル生成手段が生成する前
記第３のプライム・コンパチブル集合内の任意の状態対
について、該第３のプライム・コンパチブルに含まれな
いインプライド・ペアを前記第１の状態遷移情報から求
め、該インプライド・ペアを次の状態対として持つ状態
対に含まれる状態から構成される第３の状態集合を計算
して生成し、該第３の状態集合が前記第３のプライム・
コンパチブル集合から生成される第４の状態集合に含ま
れないとき、該第３の状態集合を該第３のプライム・コ
ンパチブル集合のシグネチャとするシグネチャ計算手段
をさらに備え、前記コンパチブル排除手段は、前記シグネチャを前記第
３の部分集合として用いて、前記第１の部分集合を前記
プライム・コンパチブル集合の解から排除するかどうか
を決めることを特徴とする請求項３記載の状態数最小化
装置。
【請求項５】前記コンパチブル生成手段は、前記有限
状態機械がとり得る状態の極大コンパチブル集合を前記
第１のプライム・コンパチブル集合として生成し、該極
大コンパチブル集合の部分集合を前記第１の部分集合と
することを特徴とする請求項１記載の状態数最小化装
置。
【請求項６】前記コンパチブル生成手段は、前記第２
のプライム・コンパチブル集合を前記第１のプライム・
コンパチブル集合として用いて、さらにプライム・コン
パチブル集合の候補を生成し、前記コンパチブル排除手
段は、新たに生成されたプライム・コンパチブル集合の
候補を前記プライム・コンパチブル集合の解から排除す
るかどうかを決めることを特徴とする請求項１記載の状
態数最小化装置。
【請求項７】請求項１記載の状態数最小化装置と、該状態数最小化装置が出力する前記第２の状態遷移情報
を用いて、前記有限状態機械が表す論理回路を合成する
手段とを備えることを特徴とする論理回路合成システ
ム。
【請求項８】現在の状態から次の状態への状態遷移の
規則が定められている有限状態機械がとり得る状態の数
を最小化するために、該有限状態機械の状態のコンパチ
ブル集合であって、他のコンパチブル集合によって支配
されないプライム・コンパチブル集合を求める方法にお
いて、前記有限状態機械に関する第１の状態遷移情報を生成
し、該第１の状態遷移情報から第１のプライム・コンパチブ
ル集合を生成して、該第１のプライム・コンパチブル集
合の第１の部分集合を、プライム・コンパチブル集合の
候補とし、前記第１の部分集合が前記第１のプライム・コンパチブ
ル集合の第２の部分集合を含むか否かを調べ、該第１の
部分集合が該第２の部分集合を含む時、該第１の部分集
合をプライム・コンパチブル集合の解から排除し、該第
１の部分集合が該第２の部分集合を含まない時、該第１
の部分集合を第２のプライム・コンパチブル集合として
前記プライム・コンパチブル集合の解に含め、前記プライム・コンパチブル集合の解をもとに状態数を
削減し、削減された状態により表現される第２の状態遷移情報を
生成することを特徴とする状態数最小化方法。
【請求項９】前記第１のプライム・コンパチブル集合
内の任意の状態対について、該第１のプライム・コンパ
チブルに含まれないインプライド・ペアを前記第１の状
態遷移情報から求め、該インプライド・ペアを次の状態対として持つ状態対に
含まれる状態から構成される第１の状態集合を計算して
生成し、該第１の状態集合が前記第１のプライム・コンパチブル
集合から生成される第２の状態集合に含まれないとき、
該第１の状態集合を該第１のプライム・コンパチブル集
合のシグネチャとし、前記シグネチャを前記第２の部分集合として用いて、前
記第１の部分集合を前記プライム・コンパチブル集合の
解から排除するかどうかを決めることを特徴とする請求
項記載の状態数最小化方法。
【請求項１０】請求項８記載の状態数最小化方法によ
り生成された前記第２の状態遷移情報を用いて、前記有
限状態機械が表す論理回路を合成することを特徴とする
論理回路合成方法。