JPH09160937A

JPH09160937A - 有限状態機械の状態数を削減する状態簡単化装置および方法

Info

Publication number: JPH09160937A
Application number: JP7324119A
Authority: JP
Inventors: Hiroyuki Higuchi; 博之樋口; Yusuke Matsunaga; 裕介松永
Original assignee: Fujitsu Ltd
Current assignee: Fujitsu Ltd
Priority date: 1995-12-13
Filing date: 1995-12-13
Publication date: 1997-06-20

Abstract

(57)【要約】【課題】有限状態機械の状態数を高速に削減して、状
態数が少ない良質な解を得ることを課題とする。【解決手段】入出力装置１１は、有限状態機械の状態
遷移情報を入力し、演算処理装置１２は、記憶装置１３
内のプログラムを用いてそれを簡単化する。マージ表作
成プログラム１４はマージ表を作成し、極大両立集合生
成プログラム１５は極大両立集合の集合を初期解として
生成する。簡単化プログラム１６は両立集合の縮小と拡
大を繰り返して必要な両立集合の数を削減し、変換プロ
グラム１７は得られた両立集合の集合を状態遷移情報に
変換する。こうして更新された状態遷移情報は、入出力
装置１１により出力される。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、論理回路の合成に
用いられる不完全指定有限状態機械の状態数を削減する
ための装置および方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】近年の集積回路技術の進歩に伴い、より
大規模なシステムが論理回路として実現されるようにな
ってきている。そのため、大規模な順序回路の合成技術
はますます重要性を増している。その中で、順序回路の
仕様として与えられる有限状態機械の状態数最小化は最
も重要なステップのうちの一つである。有限状態機械の
状態数を最小化することにより、少ないフリップフロッ
プで順序回路を実現することが可能である。また、実現
する回路の未使用状態が増え、それを有効に利用して組
合せ回路部分をより簡単化することも可能となる。

【０００３】有限状態機械（Finite State Machine：Ｆ
ＳＭ：有限オートマトン、順序機械などとも呼ばれる)
は有限個の状態を持ち、その上での状態遷移の規則が定
義された計算機構のモデルである。有限状態機械は、形
式的には５つの要素の組（Ｉ，Ｏ，Ｓ，δ，λ）で定義
される。ただし、Ｉ，Ｏ，Ｓはそれぞれ入力、出力およ
び状態の有限集合である。δ：Ｉ×Ｓ→Ｓは状態遷移関
数であり、λ：Ｉ×Ｓ→Ｏは出力関数を表す。入力と現
状態の組全てに対して、次状態と出力が指定されている
ＦＳＭを完全指定ＦＳＭという。また、少なくとも１つ
以上の入力と現状態の組に対して、次状態あるいは出力
が指定されていないようなＦＳＭを不完全指定ＦＳＭと
いう。

【０００４】有限状態機械の状態数を厳密に最小化する
という問題は古くから様々な研究が行われているが、与
えられる有限状態機械の記述が不完全な場合には問題が
複雑になる。従って状態数の多い有限状態機械の場合に
は、現実的な計算時間では解が求まらないという問題が
あった。そこでより高速に最小に近い状態数の有限状態
機械を求める方法が必要とされている。

【０００５】以下、従来の状態数削減方法の概念および
技術について、有限状態機械の具体例をあげて説明す
る。図２３は、１つの有限状態機械Ｍ１の状態遷移表
（state table ）を示している。有限状態機械は、通
常、このような状態遷移を表す情報により与えられる。
図２３において、ＰＳ（Present State ）は有限状態機
械Ｍ１の現在の状態を表し、各行のＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，
Ｅ，Ｆは与えられた有限状態機械Ｍ１のとり得る状態の
各々に対応する。また、各列のＩ₁，Ｉ₂，Ｉ₃，Ｉ₄
はそれぞれ可能な入力を表す。

【０００６】状態遷移表の各セル、すなわち行と列の交
差位置には、その行に対応する現状態において、その列
に対応する入力が印加されたときに遷移する状態、すな
わち次状態ＮＳ（Next State）とそのときに有限状態機
械Ｍ１が出力する出力ｚが“ＮＳ，ｚ”のように記され
ている。例えば、行Ａ、列Ｉ₁のセルに“Ｂ，０”が記
されている場合、状態Ａで入力Ｉ₁が入力されると状態
Ｂに遷移し、０が出力されることを表す。

【０００７】状態遷移表中の“−”は、対応する次状態
や出力値が指定されていないことを示している。このよ
うな状態または値はドントケア（don't-care）と呼ば
れ、それがどのような状態または値でもよいことを意味
する。したがって、状態数が少なくなるようにその状態
または値を適当に決定することができる。このように、
状態遷移表にドントケアを含むことを許した有限状態機
械を不完全指定有限状態機械と呼ぶ。一方、ドントケア
を含まない有限状態機械を完全指定有限状態機械と呼
ぶ。

【０００８】図２３の現状態ＡおよびＢを見ると、どの
入力に対しても出力が同一、あるいは少なくとも一方が
ドントケア値を持つ。また、現状態ＡおよびＢを１つの
状態対（Ａ，Ｂ）として、対応する次状態の対を求める
と、入力Ｉ₁に対しては（Ａ，Ｂ）自身となり、他の入
力に対しては少なくともどちらか一方の次状態がドント
ケアである。ドンドケアはどのような状態に設定しても
よいから、状態ＡとＢは１つの状態にまとめることが可
能である。

【０００９】この場合、ＡとＢを１つの状態にするに
は、状態Ａの入力Ｉ₂に対する次状態をＣとおき、状態
Ｂの入力Ｉ₄に対する次状態をＥとおいて、その出力を
１とおけばよい。このとき、まとめられた１つの状態
は、入力Ｉ₁に対して変化せず、入力Ｉ₂に対して状態
Ｃに遷移し、入力Ｉ₄に対して状態Ｅに遷移する。入力
Ｉ ₃に対する次状態は任意に決めることができる。これ
らの状態ＡとＢのように、２つの状態を１つの状態にま
とめることができるとき、それらの状態は両立的（comp
atible）であるという。

【００１０】次に状態ＡとＣを考えると、これらは対応
する出力は異ならないが、入力Ｉ₁に対して次状態が異
なり、かつその次状態対が（Ａ，Ｃ）自身でもない。し
たがって、ＡとＣが両立的であるためには対応する次状
態同士であるＢとＣも両立的でなければならない。この
とき状態対（Ｂ，Ｃ）を（Ａ，Ｃ）の含意対（implied
pair）という。一般に、２つの状態が両立的である必要
十分条件は、次の２つの条件が成立することである。

【００１１】１．全ての入力に対して、対応する出力同
士が異ならない（出力がドントケアの場合も含む）。２．全ての入力に対して、対応する次状態同士（含意
対）が両立的である（次状態がドントケアの場合も含
む）。

【００１２】一方、状態ＡとＥを考えると、入力Ｉ₄に
対してそれぞれの出力が異なるため、１つの状態にまと
めることができない。このように１つにまとめることが
できない状態対を非両立的（incompatible）であるとい
う。

【００１３】さらに、２つ以上の状態の集合に対して
は、その集合内の任意の状態の組が両立的であるとき、
その状態集合は両立的であるといい、両立的でない状態
集合は非両立的であるという。また、両立的な状態集合
を両立集合と呼ぶ。

【００１４】有限状態機械の任意の状態の組について両
立的かどうかを調べるため、図２４に示すようなマージ
表を用いる。マージ表は、有限状態機械の各状態を行お
よび列に割り当てた表で、行と列の交差位置の各セルに
は、対応する状態対が両立的でないときには記号“×”
を、両立的なときにはその含意対が記入される。ただ
し、対応する含意対がなく、空集合のときには記号“
外１ ”が代わりに記入

【００１５】

【外１】

【００１６】される。図２４のマージ表は、図２３の有
限状態機械Ｍ１の状態対に関するものである。マージ表
に記された含意対が非両立的であれば、そのセルに対応
する状態対も非両立的となる。この場合には、そのセル
の内容を“×”に書き直す必要がある。このような更新
は、非両立的な含意対を持つエントリがなくなるまで繰
り返される。

【００１７】図２４のマージ表より両立的な状態対が数
えあげられ、それらから両立集合が求められる。例え
ば、状態対（Ａ，Ｂ），（Ｂ，Ｃ），（Ｃ，Ａ）はそれ
ぞれ両立的な状態対であるので、状態集合｛Ａ，Ｂ，
Ｃ｝は両立集合である。他のいかなる両立集合にも含ま
れない両立集合は、極大両立集合と呼ばれる。両立集合
の定義より、全ての両立集合はある極大両立集合に含ま
れ、極大両立集合の部分集合は全て両立集合である。

【００１８】図２４のマージ表からすべての極大両立集
合を求めると、｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝，｛Ｂ，Ｃ，Ｅ｝，
｛Ｂ，Ｄ，Ｅ｝，｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝，｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝とな
る。

【００１９】両立的な状態対に対する含意対の概念と同
様に、ある両立集合ｃの入力ｉに対する次状態の集合の
ことを、ｃのｉに対する含意集合と呼ぶ。例えば、両立
集合｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝の入力Ｉ₁に対する含意集合は
｛Ｃ，Ｆ｝である。

【００２０】有限状態機械の簡単化、つまり状態数の削
減を行う際、両立集合は１つの状態に併合できる状態集
合の候補となる。例えば、両立集合｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝を解
に含めるということは、状態Ｄ，Ｅ，Ｆを１つの状態に
併合することを意味する。このとき、併合後の状態の次
状態は各入力についてそれぞれ１つ、またはドントケア
でなければならないので、この両立集合の各含意集合に
ついてそれを包含する両立集合が少なくとも１つその解
に含まれていなければならない。この条件を閉包条件と
呼ぶ。ある両立集合の２つの含意集合が包含関係にある
場合、包含されている含意集合の閉包条件を考慮する必
要はない。

【００２１】両立集合の極大な含意集合を要素とする集
合を、クラス集合（class set ）と呼ぶ。ここで、極大
な含意集合とは、その両立集合自身に含まれず、他の含
意集合にも含まれない含意集合を意味する。例えば、両
立集合｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝のクラス集合は｛｛Ａ，Ｂ｝，
｛Ｃ，Ｆ｝｝である。ある両立集合について閉包条件が
成立するかどうかを確かめるには、そのクラス集合の要
素のみを考えて、それらを包含する他の両立集合がある
かどうかを調べればよい。

【００２２】また、与えられた有限状態機械の各々の状
態を含む両立集合が、解の中に少なくとも１つ存在しな
ければならないという条件を、被覆条件と呼ぶ。被覆条
件を満たす両立集合の集合を、被覆という。有限状態機
械の簡単化問題は、被覆条件と閉包条件の両方を満足す
るような、要素数のできるだけ少ない両立集合の集合を
解として求める問題に帰着される。このような、閉包条
件を満足する被覆のことを閉じた被覆という。

【００２３】有限状態機械の状態数最小化法に関する先
願としては、次の２つがある。（ａ）「有限状態機械のシンボリックカバー最小化方法
及び状態数割当方法」（特開平０３−１１６２７９、特
願平０１−２５２３５７）（ｂ）「不完全指定順序回路最小化方法」（特開平０４
−１５８４８０、特願平０２−２８４８４０）これらの先願のうち、（ａ）については完全指定の有限
状態機械のみを対象としており、不完全指定有限状態機
械を対象とする本発明とは直接関係がない。（ｂ）は極
大両立集合の計算方法に関する先願である。

【００２４】不完全指定を含む有限状態機械の状態数を
削減する従来の方法としては、次の４つの論文が主に知
られている。（ｃ）R. G. Bennetts, J. L. Washington, and D. W.
Lewin : “A Computer Algorithm for State Table Red
uction, ”Radio and Electronic Engineer, 42(11):51
3-520, 1972. （ｄ）M. A. Perkowski and N. Nguyen : “Minimizati
on of Finite State Machine in System SuperPeg,”In
28th Midwest Conference on Circuits and Systems,
pages 139-147, August 1985. （ｅ）J-K. Rho, G. Hachtel, F. Somenzi, and R. Jac
oby : “Exact and Heuristic Algorithms for the Min
imization of Incompletely Specified State Machine
s, ”IEEE Trans. on Computer Aided Design, 13(2):1
67-177, February1994. （ｆ）L. N. Kannan and D. Sarma : “Fast Heuristic
Algorithms for FiniteState Machine Minimizatio
n,” In Proceedings of European Design Automation
Conference, pages 192-196. February 1991. これらのうち、（ｃ）の方法は、まず閉包条件を満足す
る両立集合の集合を解の候補として求め、次にそれらが
被覆条件を満たすように、両立集合を追加していく方法
である。また、（ｆ）の方法は、まず被覆条件を満足す
る両立集合の集合を解の候補として求め、次にそれらが
閉包条件を満たすように、両立集合を追加していく方法
である。（ｄ）の文献は（ｆ）の文献において引用され
ている。

【００２５】また、（ｅ）の方法は、まず全ての極大両
立集合を生成し、それらを要素とする解のうちで最小の
状態数を与えるものを探索する方法である。この方法で
は、探索過程において閉包条件と被覆条件の両方を満足
するように解の候補が生成される。

【００２６】一般に、厳密に最小な状態数を与える解を
求めるには、極大両立集合のみではなくそれ以外のプラ
イム両立集合（prime compatible）を全て考慮する必要
があることが知られている（M. C. Paull and S. H. Un
ger ：“Minimizing the Number of States in Incompl
etely Specified Sequential Switching Functions,”I
RE Trans. on Electronic Computers, 8:356-367, Sept
ember 1959.／A. Grasselli and F. Luccio：“A Metho
d for Minimizing the Number of Internal States in
Incompletely Specified Sequential Networks,”IRE T
rans. on Electronic Computers, 14(3):350-359, June
1965. ）。

【００２７】ここで、プライム両立集合とは他の両立集
合によって支配されない両立集合のことであり、両立集
合ｃが両立集合ｃ′を支配する必要十分条件は、ｃ⊃
ｃ′と、ｃのクラス集合⊆ｃ′のクラス集合が成り立つことである。

【００２８】しかし、（ｅ）では極大両立集合のみを求
め、他のプライム両立集合を考慮しないことにより、計
算時間の削減を図っている。この方法によれば、簡単化
された有限状態機械の状態数は必ずしも最小になるとは
限らないが、それに近い解を得ることができ、状態数の
削減能力はかなり高い。

【００２９】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、従来の
有限状態機械の簡単化方法には次のような問題がある。
（ｅ）の方法では、実際に扱う状態、つまり少なくとも
１つ以上の他の状態と両立関係にある状態の数が１０か
ら２０程度の小規模な有限状態機械に対しては、実際的
な時間内で処理を行うことができる。他の状態と両立関
係にないような状態は併合されることなくそのまま残る
ので、計算時間にはあまり影響を与えない。

【００３０】しかし、それ以上大規模な有限状態機械に
対しては計算時間が増大し、現実的な時間内で処理が行
えないという問題が生じる。これは、最悪の場合、極大
両立集合の数が与えられた状態数を指数とする関数にな
るため、それらを考慮した最小解の探索が組合せ爆発を
起こすことが原因であると考えられる。例えば、有限状
態機械の状態数をｎとすると、極大両立集合の最大数は
２ⁿに比例し、計算時間は最悪外２に比例すること
になる。

【００３１】

【外２】

【００３２】これに対して、（ｆ）の方法は（ｅ）ほど
厳密ではなく、まず最初に被覆条件のみを用いて状態数
の削減を行っており、多くの場合（ｅ）より高速であ
る。しかし、状態数の削減能力が比較的低く、解の質が
悪いという問題がある。また、（ｃ）と（ｄ）の方法
は、計算時間の点で（ｅ）より劣るとされている。

【００３３】このように、従来の技術においては、大規
模な有限状態機械に対して実際的な時間内で状態数の削
減を十分に行うことができないという問題がある。本発
明は、有限状態機械の状態数を高速に削減して、状態数
が少ない良質な解を得ることのできる状態簡単化装置お
よびその方法を提供することを目的とする。

【００３４】

【課題を解決するための手段】図１は、本発明の状態簡
単化装置の原理図である。図１の状態簡単化装置は、現
在の状態から次の状態への状態遷移の規則が定められて
いる有限状態機械がとり得る状態の数を削減する装置で
あって、入力手段１、初期解生成手段２、両立集合縮小
手段３、両立集合拡大手段４、および出力手段５を備え
る。

【００３５】入力手段１は、上記有限状態機械に関する
第１の状態遷移情報を入力する。初期解生成手段２は、
第１の状態遷移情報に基づいて、両立集合の集合を初期
解として生成する。

【００３６】両立集合縮小手段３は、上記初期解に含ま
れる第１の両立集合を逐次縮小することにより、閉包条
件を満たすために必要な両立集合の数を削減する。出力
手段５は、削減された両立集合の数に対応する状態数に
より表現される第２の状態遷移情報を出力する。

【００３７】入力手段１は、例えばオペレータから与え
られた有限状態機械の状態遷移表を第１の状態遷移情報
として入力する。初期解生成手段２は、第１の状態遷移
情報に基づいてマージ表を生成し、それを用いて状態遷
移表に含まれる状態の極大両立集合をすべて生成する。
これらの極大両立集合の集合が初期解として用いられ
る。

【００３８】両立集合縮小手段３は、この初期解中の第
１の両立集合の大きさを逐次改善的に縮小していく。こ
れにより、第１の両立集合のクラス集合の大きさや、そ
のクラス集合に含まれる含意集合の大きさが小さくなる
可能性が出てくる。これらが小さくなれば、一般にその
クラス集合に関する閉包条件を満たすために必要な他の
両立集合の数も減少する。

【００３９】したがって、第１の両立集合を縮小するこ
とにより不要となった他の両立集合を初期解から除去し
て、解に含まれる両立集合の数を削減することが可能に
なる。

【００４０】出力手段５は、こうして小さくなった解に
含まれる各両立集合を１つの状態に対応させて、より小
さな状態数で表現される有限状態機械を構成し、例えば
その状態遷移表を第２の状態遷移情報として出力する。

【００４１】このように、解に含まれる両立集合の縮小
という簡単な処理の繰り返しにより状態数を削減するこ
とができ、有限状態機械の簡単化処理を高速化すること
ができる。

【００４２】また、両立集合縮小手段３は、例えば解中
の第２の両立集合に含まれない状態を上記第１の両立集
合から抽出し、抽出した状態を要素とする第３の両立集
合を生成し、第３の両立集合を用いて必要な両立集合の
数を削減する。

【００４３】この場合、第１の両立集合の要素のうち、
被覆条件を満たすために必要な状態のみを第３の両立集
合に含めることができ、第１の両立集合が効率よく縮小
される。

【００４４】また、両立集合縮小手段３は、例えば閉包
条件を満足するために必要な部分集合を上記第１の両立
集合から抽出し、抽出した状態を要素とする第４の両立
集合を生成し、第４の両立集合を用いて必要な両立集合
の数を削減する。

【００４５】この場合、第１の両立集合の要素のうち、
閉包条件を満たすために必要な状態のみを第４の両立集
合に含めることができ、第１の両立集合が効率よく縮小
される。

【００４６】また、両立集合拡大手段４は、両立集合縮
小手段３により縮小された両立集合を再び拡大し、両立
集合縮小手段３は、両立集合拡大手段４により拡大され
た両立集合を再び縮小する。

【００４７】一般に、両立集合を縮小して状態数を逐次
削減していくとある最適解に到達すると考えられるが、
それが必ずしも大域的な最適解であるという保証はな
い。そこで、一旦求められた解の候補に含まれる両立集
合を再び拡大／縮小することにより、局所最適解に陥る
ことなく最小に近い解が求められる。また、両立集合の
縮小と拡大という簡単な処理の繰り返しであるため、局
所最適解から抜け出すのに要する時間は比較的少なくて
済む。

【００４８】例えば、図１の入力手段１および出力手段
５は、実施形態の図２における入出力装置１１に対応
し、初期解生成手段２、両立集合縮小手段３、および両
立集合拡大手段４は、演算処理装置１２および記憶装置
１３に対応する。

【００４９】

【発明の実施の形態】以下、図面を参照しながら本発明
の実施の形態を詳細に説明する。図２は、実施形態の状
態簡単化装置の構成図である。図２の状態簡単化装置
は、入出力装置１１、演算処理装置１２、記憶装置１
３、およびこれらの各装置を接続するバス１０を備える
計算機システムである。

【００５０】入出力装置１１は、例えばキーボードやマ
ウス等の入力装置とディスプレイ装置からなる計算機端
末であり、有限状態機械の状態遷移表の入力や簡単化さ
れた有限状態機械の状態遷移表の出力等を行う。演算処
理装置１２は、例えばＣＰＵ（中央処理装置）であり、
記憶装置１３に記憶されたデータを用いて各種プログラ
ムを実行し、演算等を行う。簡単化された状態遷移表
は、プリンタ等の他の出力装置に出力してもよい。

【００５１】記憶装置１３は、入力された状態遷移表や
生成される両立集合等のデータと、マージ表作成プログ
ラム１４、極大両立集合生成プログラム１５、簡単化プ
ログラム１６、および変換プログラム１７を記憶する。

【００５２】マージ表作成プログラム１４は、状態遷移
表の情報から与えられた状態のマージ表を作成するプロ
グラムであり、極大両立集合生成プログラム１５は、マ
ージ表から初期解として極大両立集合を生成するプログ
ラムである。簡単化プログラム１６は、解に含まれる両
立集合の縮小と拡大を繰り返して大域的に最適な解を生
成するプログラムであり、変換プログラム１７は、得ら
れた解を有限状態機械の状態に変換するプログラムであ
る。

【００５３】ここで、本発明で用いる概念の定義と定理
を示すことにする。〔定義１〕閉じた被覆である両立集合の集合Ｓに関し
て、Ｓの要素である両立集合ｃが他のどの両立集合にも
含まれていない状態を含んでいるとき、ｃはＳにおける
必須両立集合であるという。〔定義２〕閉じた被覆である両立集合の集合Ｓにおい
て、Ｓの要素である両立集合ｃの部分集合のうち、Ｓの
閉包条件を満足させるために必要な部分集合をｃの核集
合であるという。〔定理１〕すべての極大両立集合からなる集合は閉じた
被覆である。証明：すべての両立集合はいずれかの極大両立集合に含
まれ、すべての状態はいずれかの両立集合に属する。し
たがって、すべての極大両立集合はすべての状態を被覆
している。また、すべての両立集合の含意集合は両立的
である。したがって、あらゆる含意集合はそれぞれいず
れかの極大両立集合に含まれる。すなわち、すべての極
大両立集合は閉じている。ゆえに題意が成り立つ。（証
明終わり）次に、図３を参照しながら、図２の状態簡単化装置によ
る処理について説明する。図３は、有限状態機械の状態
数を削減する簡単化計算処理のフローチャートである。

【００５４】図３において処理が開始されると、まず入
出力装置１１から状態遷移表等の状態遷移に関する情報
（状態遷移情報）が入力される（ステップＳ１）。次
に、演算処理装置１２は、マージ表作成プログラム１４
を実行して、状態遷移情報からマージ表を作成し（ステ
ップＳ２）、極大両立集合生成プログラム１５を実行し
て、極大両立集合を生成する（ステップＳ３）。そし
て、すべての極大両立集合からなる集合を初期解とし、
それをＳとおく（ステップＳ４）。

【００５５】次に、簡単化プログラム１６を実行してス
テップＳ５からＳ８までの処理を行い、解Ｓに含まれる
各両立集合を縮小および拡大しながら、Ｓに含まれる両
立集合の数を削減していく。

【００５６】ステップＳ５では、処理ＲＥＤＵＣＥ−Ｉ
（Ｓ）が実行され、Ｓ内の各両立集合が逐次改善的に縮
小されるとともに、Ｓの要素数が削減される。ステップ
Ｓ６では、処理ＭＥＲＧＥ（Ｓ）が実行され、Ｓ内の併
合可能な両立集合同士が併合されてＳの要素数が削減さ
れる。ステップＳ７では、処理ＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）が実
行され、Ｓ内の各両立集合が拡大される。ステップＳ８
では、処理ＲＥＤＵＣＥ−II（Ｓ）が実行され、Ｓ内の
各両立集合がＲＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）より綿密な計算方
法で縮小される。ステップＳ７で両立集合を拡大するの
は、Ｓが局所解に陥るのを防ぐためである。

【００５７】次に、演算処理装置１２はＳの大きさ（要
素数）｜Ｓ｜を元の状態数と比較する（ステップＳ
９）。そして、それが元の状態数より小さければ、変換
プログラム１７を実行して、Ｓに対応する有限状態機械
の状態遷移情報を生成し（ステップＳ１０）、処理を終
了する。ステップＳ１０で生成された状態遷移情報は、
入出力装置１１から出力される。Ｓの大きさが元の状態
数以上であれば、状態を簡単化できなかったことにな
り、そのまま処理を終了する。

【００５８】次に、図４から図７までを参照しながら、
図３のステップＳ５の処理ＲＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）につ
いて説明する。図４および図５は、ＲＥＤＵＣＥ−Ｉ
（Ｓ）の処理手続きのフローチャートである。この処理
により、解Ｓ内の各両立集合が逐次改善的に縮小され、
Ｓに含まれる両立集合の数が削減される。

【００５９】ＲＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）に引数として与え
られる初期解Ｓは、非明示的に両立集合を生成した場合
を除いて、極大両立集合のみからなる集合である。被覆
条件のみを考えると極大両立集合よりよい両立集合は存
在しない。しかし、閉包条件を考えると、極大両立集合
を解に含めるよりも、それに含まれるより小さな両立集
合を用いる方が、対応する含意集合が小さくなり閉包条
件が緩くなる場合がある。

【００６０】したがって、解Ｓに含まれる両立集合を縮
小することにより、いくつかの両立集合が不要になり、
それらを除去することでより小さな解が求められる。Ｒ
ＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）では、現在の解の閉包条件を満た
したままで、各両立集合をできるだけ縮小する。

【００６１】図４において処理が開始されると、演算処
理装置１２は、まず与えられた有限状態機械の状態数を
ｎとおく（ステップＳ１１）。次に、処理済みの状態の
集合Ｕを空集合にし（ステップＳ１２）、Ｓ内の各両立
集合の核集合を空集合にする（ステップＳ１３）。これ
らの各両立集合の核集合には、以下の処理で有限状態機
械の状態が加えられていき、すべての核集合を要素とす
る集合が新たな解の候補となる。

【００６２】次に、Ｓにおける必須両立集合をすべて求
め、各必須両立集合に含まれる必須な状態をその核集合
に加える（ステップＳ１４）。そして、Ｓにおけるすべ
ての必須両立集合を、処理すべき両立集合の集合Ｑとす
る（ステップＳ１５）。

【００６３】図２３に示した有限状態機械Ｍ１の場合
は、その初期解と各極大両立集合のクラス集合は図６の
ようになる。したがって、Ｓ＝｛｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝，
｛Ｂ，Ｃ，Ｅ｝，｛Ｂ，Ｄ，Ｅ｝，｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝，
｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝｝である。

【００６４】例えば、Ｓ内の極大両立集合｛Ｂ，Ｃ，
Ｅ｝を考えると、その閉包条件を満足するには、他の両
立集合｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝と｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝の部分集合
｛Ｄ，Ｆ｝とが必要である。このようにして、すべての
両立集合に対してその閉包条件を満足するために必要な
部分を抽出すると、解として必要な集合を求めることが
できる。

【００６５】また、極大両立集合｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝につい
ては、この両立集合が表す状態集合のうち、閉包条件と
して必要なのは｛Ｃ，Ｆ｝のみである。状態Ｅは他の極
大両立集合｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝により被覆されているので、
｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝は｛Ｃ，Ｆ｝に縮小することができる。

【００６６】｛Ｃ，Ｆ｝のクラス集合は｛｛Ｂ，Ｅ｝，
｛Ｄ，Ｅ｝｝であり、元の集合｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝のクラス
集合は｛｛Ａ，Ｂ｝，｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝，｛Ｂ，Ｅ｝｝で
あるから、｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝を縮小することによりクラス
集合がより小さくなる。したがって、閉包条件がより緩
くなることが分かる。

【００６７】ＲＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）では、このような
両立集合の縮小処理を解の候補に変化がなくなるまで繰
り返す。初期解において、有限状態機械Ｍ１の状態Ａ
は、極大両立集合｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝にしか含まれていない
ため、定義１より｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝は必須両立集合とな
り、その核集合は｛Ａ｝となる（ステップＳ１４）。こ
れにより、Ｓ内の｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝がＱに加えられ、Ｑ＝
｛｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝｝となる（ステップＳ１５）。

【００６８】次に、Ｑが空集合かどうかを判定する（ス
テップＳ１６）。Ｑが空集合であれば、処理対象として
Ｑに加えられたことのないＳ内の両立集合のうちで、優
先度が最大のものを選び、それ自身をその核集合とする
（ステップＳ１７）。そして、その選んだ両立集合をＱ
に加える（ステップＳ１８）。ステップＳ１６において
Ｑが空集合でなければ、ステップＳ１７、Ｓ１８の処理
をスキップする。

【００６９】ここでは、Ｑ＝｛｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝｝なの
で、ステップＳ１７、Ｓ１８の処理は行われない。次
に、Ｑから任意の１つの両立集合を取り出してそれをｃ
とおき（ステップＳ１９）、Ｕにｃの要素を加える（ス
テップＳ２０）。次に、ｃのクラス集合に含まれる各含
意集合をｄとし、Ｓ内でその要素を含む両立集合を選ん
でそれをｃ′とする（ステップＳ２１）。

【００７０】そして、ｃ′の核集合が空集合であれば
ｃ′をＱに含める。また、解の候補が閉包条件を満たす
ように、ｃ′の核集合にｄの要素を加える。両立集合
ｃ′の選択結果は、最終的な解の大きさに大きく影響す
るので、ここではできるだけ核集合が拡大しないように
ｃ′を決定する。もし、ｄの要素を含む両立集合がＳ内
に２つ以上ある場合は、例えばその中で優先度が最大の
ものをｃ′として選ぶ。

【００７１】今、Ｑ＝｛｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝｝、Ｕ＝φ（空
集合）であるから、ｃ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝となり（ステッ
プＳ１９）、Ｕ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝となる（ステップＳ２
０）。また、｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝のクラス集合は空集合なの
で、ステップＳ２１の処理は省略される。

【００７２】次に、Ｑの大きさ｜Ｑ｜が０になり、Ｕの
大きさ｜Ｕ｜がｎになったかどうかを調べる（ステップ
Ｓ２２）。もし、これらの条件が満たされていなけれ
ば、ステップＳ１６以降の処理を繰り返す。そして、ス
テップＳ２２で｜Ｑ｜＝０かつ｜Ｕ｜＝ｎになると、続
いて図５の処理を行う。

【００７３】ここで、Ｑは空集合となっているので｜Ｑ
｜＝０である。しかし、｜Ｕ｜＝３であり、この値は全
状態数ｎ＝６に達していない。そこで、ステップＳ１６
の処理に戻り、次にステップＳ１７の処理を行う。

【００７４】ステップＳ１７で両立集合を選択する際の
尺度となる優先度は、最小解に含まれる可能性の高いも
のほど高くなるように設定する。一般に、両立集合の大
きさが大きいほど、それは多くの状態を含むので、被覆
条件を満たすために必要な他の両立集合が少なくて済む
ことになる。したがって、大きな両立集合は最小解に含
まれる可能性が高くなる。特に、その時点でまだ解の候
補に含まれていない状態、つまり被覆されていない状態
を多く含む両立集合ほど、最小解に含まれる可能性が高
い。

【００７５】また、両立集合のクラス集合が小さいほ
ど、閉包条件を満たすために必要な他の両立集合が少な
くて済み、そのような両立集合はやはり最小解に含まれ
る可能性が高くなる。以上の点を考慮して、例えば、次
式により両立集合の優先度を計算すればよい。

【００７６】

【数１】

【００７７】（１）式の右辺の分子は、両立集合内の状
態のうち、まだいずれの核集合にも含まれていない状態
の数を表し、分母はクラス集合内の含意対数を入力数で
割った値を表す。したがって、被覆されていない状態を
多く含む両立集合ほど、その優先度は高くなる。また、
クラス集合が小さいほど、クラス集合内の含意対数は少
ないと考えられるので、優先度は高くなる。

【００７８】ただし、既にすべての状態が被覆されてい
る場合には（１）式の右辺の分子が０になってしまうの
で、代わりに次式を用いる。

【００７９】

【数２】

【００８０】また、クラス集合が空集合の場合には
（１）式の右辺の分母が０になってしまうので、代わり
に次式を用いる。優先度＝（両立集合内でまだ被覆されていない状態の数）×（全入力数）＋１ …（３）尚、ステップＳ２１でｃ′を決定する際に用いる優先度
も、同様にして計算される。

【００８１】ここで、Ｓ内の両立集合のうち、まだ処理
対象としてＱに加えられたことがなく、核集合が空集合
であるようなものの優先度を計算してみることにする。
今、Ｓ内の両立集合のうち核集合が空集合でないのは
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝だけなので、他の４つの両立集合｛Ｂ，
Ｃ，Ｅ｝，｛Ｂ，Ｄ，Ｅ｝，｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝，｛Ｄ，
Ｅ，Ｆ｝は未処理である。

【００８２】例えば両立集合｛Ｂ，Ｃ，Ｅ｝の場合、被
覆された状態の集合を表すＵ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝に含まれ
ていない状態Ｅを持っているので、被覆されていない状
態の数は１となる。また、クラス集合内の含意対は、
（Ａ，Ｂ），（Ｂ，Ｃ），（Ｃ，Ａ），（Ｄ，Ｆ）の４
つである。また、有限状態機械Ｍ１の全入力数は４であ
るから、（１）式より優先度は、１／（４／４）＝１と
なる。同様にして、（１）式より両立集合｛Ｂ，Ｄ，
Ｅ｝，｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝，｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝の優先度は、そ
れぞれ４，１．６，６となる。

【００８３】そこで、最も優先度が高い両立集合として
｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝が選ばれ、その核集合も｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
となる（ステップＳ１７）。これにより、Ｑ＝｛｛Ｄ，
Ｅ，Ｆ｝｝となる（ステップＳ１８）。

【００８４】次に、ｃとして｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝が選ばれて
Ｑ＝φとなり（ステップＳ１９）、Ｕ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，
Ｄ，Ｅ，Ｆ｝となる（ステップＳ２０）。この時点で、
｜Ｕ｜＝６＝ｎとなり、すべての状態が被覆されたとみ
なされる。｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝のクラス集合は図６より
｛｛Ａ，Ｂ｝，｛Ｃ，Ｆ｝｝であるから、ｄ＝｛Ａ，
Ｂ｝，｛Ｃ，Ｆ｝となる（ステップＳ２１）。

【００８５】まずｄ＝｛Ａ，Ｂ｝の場合、それを含む両
立集合ｃ′として｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝が選ばれ、｛Ａ，Ｂ，
Ｃ｝の核集合｛Ａ｝に、Ａ以外のｄの要素であるＢが加
えられて、その核集合は｛Ａ，Ｂ｝となる。また、ｄ＝
｛Ｃ，Ｆ｝の場合、それを含む両立集合ｃ′として
｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝が選ばれる。｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝の核集合は
空集合なので｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝はＱに加えられ、その核集
合は｛Ｃ，Ｆ｝となる。この結果、Ｑ＝｛｛Ｃ，Ｅ，
Ｆ｝｝となる。

【００８６】次に、ｃとして｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝が選ばれて
Ｑ＝φとなる（ステップＳ１９）。Ｕは不変である（ス
テップＳ２０）。｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝のクラス集合は図６よ
り｛｛Ａ，Ｂ｝，｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝，｛Ｂ，Ｅ｝｝である
から、ｄ＝｛Ａ，Ｂ｝，｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝，｛Ｂ，Ｅ｝と
なる（ステップＳ２１）。

【００８７】まずｄ＝｛Ａ，Ｂ｝の場合、それを含む両
立集合ｃ′として｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝が選ばれるが、その核
集合｛Ａ，Ｂ｝は変化しない。また、ｄ＝｛Ｄ，Ｅ，
Ｆ｝の場合、それを含む両立集合ｃ′として｛Ｄ，Ｅ，
Ｆ｝が選ばれ、その核集合｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝も変化しな
い。

【００８８】ｄ＝｛Ｂ，Ｅ｝の場合は、それを含むＳ内
の両立集合として、｛Ｂ，Ｃ，Ｅ｝と｛Ｂ，Ｄ，Ｅ｝の
２つがある。どちらの核集合も空集合なので、いずれが
ｃ′として選ばれてもＱに加えられることになる。そこ
で、どちらをｃ′とするかを決めるために、ステップＳ
１７と同様の方法でそれらの優先度を計算する。

【００８９】ここでは、既にＵが全ての状態を含んでい
るので、解の候補である核集合の集合に含まれていない
状態は存在しない。そこで、（２）式を用いて両立集合
｛Ｂ，Ｃ，Ｅ｝，｛Ｂ，Ｄ，Ｅ｝の優先度を計算する
と、それぞれ１，２となる。したがって、優先度の大き
い｛Ｂ，Ｄ，Ｅ｝がｃ′として選ばれ、Ｑに加えられ
る。また、｛Ｂ，Ｄ，Ｅ｝の核集合は｛Ｂ，Ｅ｝とな
り、Ｑ＝｛｛Ｂ，Ｄ，Ｅ｝｝となる。

【００９０】次に、ｃとして｛Ｂ，Ｄ，Ｅ｝が選ばれて
Ｑ＝φとなる（ステップＳ１９）。Ｕは不変である（ス
テップＳ２０）。｛Ｂ，Ｄ，Ｅ｝のクラス集合は図６よ
り｛｛Ａ，Ｃ｝，｛Ｂ，Ｃ｝｝であるから、ｄ＝｛Ａ，
Ｃ｝，｛Ｂ，Ｃ｝となる（ステップＳ２１）。

【００９１】まずｄ＝｛Ａ，Ｃ｝の場合、それを含む両
立集合ｃ′として｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝が選ばれ、｛Ａ，Ｂ，
Ｃ｝の核集合｛Ａ，Ｂ｝に、Ａ，Ｂ以外のｄの要素であ
るＣが加えられて、その核集合は｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝とな
る。

【００９２】ｄ＝｛Ｂ，Ｃ｝の場合は、それを含むＳ内
の両立集合として、｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝と｛Ｂ，Ｃ，Ｅ｝の
２つがある。ここでは、核集合の数をできるだけ増やさ
ないために、核集合が空集合である｛Ｂ，Ｃ，Ｅ｝を避
けて、｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝をｃ′として選ぶことにする。こ
の場合、その核集合｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝は、既にｄの要素
Ｂ，Ｃをともに含んでいるので変化しない。

【００９３】｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝の核集合は空集合ではない
ので、｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝はＱに加えられず、Ｑは空集合の
ままである。そこで、｜Ｑ｜＝０かつ｜Ｕ｜＝ｎとな
り、次に図５の処理が行われる。

【００９４】図５において、演算処理装置１２は、まず
解の候補として得られた核集合の集合が被覆条件を満足
するかどうかを判定する（ステップＳ２３）。そして、
被覆条件が満たされなければ、それを満足するようにい
くつかの核集合を元の両立集合に戻し（ステップＳ２
４）、他の核集合に包含されている核集合があれば、そ
れを除去する（ステップＳ２５）。ステップＳ２３で被
覆条件が満たされていれば、直ちにステップＳ２５の処
理を行う。

【００９５】今、空集合でない核集合は、Ｓ内の両立集
合｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝，｛Ｂ，Ｄ，Ｅ｝，｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝，
｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝の各核集合で、それぞれ｛Ａ，Ｂ，
Ｃ｝，｛Ｂ，Ｅ｝，｛Ｃ，Ｆ｝，｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝であ
る。これらの核集合の集合を解の候補とした場合、それ
は有限状態機械Ｍ１の全ての状態を含んでおり、ステッ
プＳ２３では被覆条件を満足していることが分かる。ま
た、核集合同士の包含関係はないので、ステップＳ２５
で除去される核集合はない。

【００９６】次に、核集合の集合が閉包条件を満足する
かどうかを判定する（ステップＳ２６）。そして、閉包
条件が満たされなければ、それを満足するようにいくつ
かの核集合を元の両立集合に戻し（ステップＳ２７）、
核集合の集合を改めてＳとする（ステップＳ２８）。ス
テップＳ２６で閉包条件が満たされていれば、直ちにス
テップＳ２８の処理を行う。

【００９７】ここで、解の候補に含まれる各核集合のク
ラス集合を求めると次のようになる。｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝の
クラス集合は空集合であり、｛Ｂ，Ｅ｝のクラス集合は
｛｛Ａ，Ｃ｝，｛Ｂ，Ｃ｝｝である。また、｛Ｃ，Ｆ｝
のクラス集合は｛｛Ｄ，Ｅ｝，｛Ｂ，Ｅ｝｝であり、
｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝のクラス集合は｛｛Ｃ，Ｆ｝，｛Ａ，
Ｂ｝｝である。

【００９８】したがって、どのクラス集合中の含意集合
も、いずれかの他の核集合に含まれており、ステップＳ
２６では閉包条件を満足していることが分かる。そこ
で、この核集合の集合が新たなＳとなる（ステップＳ２
８）。

【００９９】次に、現在のＳを元のＳと比較し（ステッ
プＳ２９）、現在のＳが更新されていればさらに改善さ
れる可能性があるので、図４のステップＳ１２から図５
のステップＳ２９に至るループ処理を繰り返す。そし
て、ステップＳ２９においてＳが変化しなくなれば、処
理を終了する。

【０１００】新たに得られたＳ＝｛｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝，
｛Ｂ，Ｅ｝，｛Ｃ，Ｆ｝，｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝｝は明らかに
元のＳとは異なるので、ステップＳ１２以降の処理が繰
り返される。

【０１０１】図７は、図６の初期解に対するＲＥＤＵＣ
Ｅ−Ｉ（Ｓ）の処理において、解の候補が変化する様子
を示している。図７において、ループ１、ループ２、ル
ープ３、ループ４、ループ５の各ブロックは、ステップ
Ｓ１２からＳ２９までのループ処理の異なる繰り返しに
対応している。すなわち、この例ではループ処理が５回
繰り返されていることが分かる。

【０１０２】各ブロックにおいて、両立集合の欄は、ル
ープ処理の開始時点におけるＳの要素を表し、Ｎｏ．の
欄は、その両立集合の番号を表し、必須集合の欄の記号
“○”は、その両立集合が解に関する必須両立集合であ
ることを表す。クラス集合の欄は、対応する両立集合の
クラス集合を表し、ｃ′の欄は、クラス集合の各要素を
含む他の両立集合の番号を表す。また、核集合の欄は、
図５のステップＳ２８で得られた核集合を表す。

【０１０３】各ループ処理において得られた核集合は、
空集合を除いてそれ自身が両立集合になっており、次の
ループ処理における両立集合の欄に記載されている。ル
ープ１からループ５までの各ループ処理における両立集
合を見ていくと、しだいに必須両立集合の数が増えてい
き、両立集合の総数は減少していくことが分かる。そし
て、ループ５においては、すべての両立集合が必須両立
集合になり、核集合はすべて元の両立集合と一致してい
る。したがって、Ｓが変化しなくなったので、ＲＥＤＵ
ＣＥ−Ｉ（Ｓ）が終了する。

【０１０４】ｃ′の欄において、記号“−”は、対応す
るクラス集合が空集合であるためにｃ′が存在しないこ
とを意味し、“不要”という表記は、対応する両立集合
が処理対象にならなかったためにｃ′を決める必要がな
かったことを意味する。また、ループ４の核集合の欄に
おいて、｛Ｄ｝→｛Ｄ，Ｅ｝という表記は、図５のステ
ップＳ２３で被覆条件が満たされなかったために、ステ
ップＳ２４で核集合が元の両立集合に戻されたことを表
す。

【０１０５】こうして、図６の初期解に対してＲＥＤＵ
ＣＥ−Ｉ（Ｓ）の処理を施した後の解Ｓは、Ｓ＝｛｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝，｛Ｄ，Ｅ｝，｛Ｆ｝｝となる。この場合、解に含まれる両立集合の数は５から
３に減少している。図２３の有限状態機械Ｍ１の状態の
数を、プライム両立集合等を用いて厳密に最小化したと
きに得られる最小解の状態数は３であり、この例ではＲ
ＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）によりその最小解に相当する両立
集合が得られている。

【０１０６】以上説明したＲＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）で
は、解候補に含まれる各両立集合から、閉包条件を満た
すために必要な核集合を抽出することにより、両立集合
の数を逐次削減している。

【０１０７】従来技術に関する文献（ｃ）では、このよ
うな核集合を抽出することなく、クラス集合の要素を含
む両立集合をそのまま解の候補としている。そのため、
上述のような逐次改善的手法により解をさらに縮小して
いくことができないものと考えられる。

【０１０８】次に、図８から図１０までを参照しなが
ら、図３のステップＳ６の処理ＭＥＲＧＥ（Ｓ）につい
て説明する。図８および図９は、ＭＥＲＧＥ（Ｓ）の処
理手続きのフローチャートである。先に述べたＲＥＤＵ
ＣＥ−Ｉ（Ｓ）の結果の解において、複数の両立集合を
１つに併合してもなお閉包条件を満足する場合がある。
その場合、それらを１つの両立集合に併合することによ
り、解の大きさを小さくすることができる。

【０１０９】ＭＥＲＧＥ（Ｓ）では、解に含まれる任意
の両立集合の組について併合できるかどうかを調べ、併
合できる場合には併合後の両立集合を解に含め、元の２
つの両立集合を解から削除する。

【０１１０】図８および図９において、Ｍ［ｉ］は、初
期解に含まれる極大両立集合を格納した配列Ｍのｉ番目
の要素を表し、Ｓ［ｊ］は、引数として与えられた解Ｓ
に含まれる両立集合を格納した配列のｊ番目の要素を表
す。解Ｓの両立集合の配列そのものもＳと表記される。
また、ｎ_m、ｎ_cはそれぞれ配列Ｍ、Ｓの大きさを表
す。

【０１１１】処理が開始されると、演算処理装置１２
は、まずステップＳ３１からＳ４１までの処理により初
期設定を行う。最初に制御変数ｉを１とおき（ステップ
Ｓ３１）、ｉをｎ_mと比較する（ステップＳ３２）。ｉ
がｎ_m以下であれば、次に制御変数ｊ，ｋをそれぞれ
１，０とおき（ステップＳ３３）、ｊをｎ_cと比較する
（ステップＳ３４）。

【０１１２】ｊがｎ_c以下であれば、次にＳ［ｊ］がＭ
［ｉ］に含まれるかどうかを調べる（ステップＳ３
５）。Ｓ［ｊ］がＭ［ｉ］に含まれる場合は、ｋ＝ｋ＋
１とおき（ステップＳ３６）、制御変数Ｌ［ｋ］をｊと
おき（ステップＳ３７）、ｊ＝ｊ＋１とおいて（ステッ
プＳ３８）、ステップＳ３４以降の処理を繰り返す。ス
テップＳ３５においてＳ［ｊ］がＭ［ｉ］に含まれない
場合は、ステップＳ３６とＳ３７の処理をスキップし
て、ステップＳ３８の処理に進む。

【０１１３】ステップＳ３４，Ｓ３５，Ｓ３６，Ｓ３
７，Ｓ３８のループ処理においては、ｊが順にインクリ
メントされてＳ内のすべての両立集合Ｓ［ｊ］が調べら
れる。そして、極大両立集合Ｍ［ｉ］に含まれる両立集
合が見つかる度にｋがインクリメントされ、その両立集
合の要素番号ｊがＬ［ｋ］となる。したがって、ｋは極
大両立集合Ｍ［ｉ］に含まれる両立集合の数を表し、Ｌ
［ｋ］はｋ番目に見つかった両立集合の要素番号を表
す。

【０１１４】ステップＳ３４でｊがｎ_cを超えれば、次
に制御変数ｐを１とおいて（ステップＳ３９）、ｐとｋ
を比較する（ステップＳ４０）。ここでｐがｋより大き
ければ、ｉ＝ｉ＋１とおき（ステップＳ４１）、ステッ
プＳ３２以降の処理を繰り返す。ｐがｋ以下であれば、
次に図９の処理を行う。

【０１１５】図９において、演算処理装置１２は、まず
Ｓ［Ｌ［ｐ］］が空集合かどうかを判定する（ステップ
Ｓ４２）。それが空集合でなければ、制御変数ｑを１と
おいて（ステップＳ４３）、ｑとｋを比較する（ステッ
プＳ４４）。ｑがｋ以下であれば、次に、ｐ＝ｑまたは
Ｓ［Ｌ［ｑ］］＝φ（空集合）であるかどうかを調べる
（ステップＳ４５）。

【０１１６】これらの条件のいずれにも該当しなけれ
ば、Ｓ［Ｌ［ｐ］］とＳ［Ｌ［ｑ］］の和を集合ｔとお
いて（ステップＳ４６）、ｔのクラス集合を計算する
（ステップＳ４７）。

【０１１７】次に、得られたクラス集合に基づいて、ｔ
に関する閉包条件がＳ内で満たされているかどうかを調
べる（ステップＳ４８）。閉包条件が満たされていれ
ば、Ｓ［Ｌ［ｐ］］を空集合にして、Ｓ［Ｌ［ｑ］］に
ｔを格納する（ステップＳ４９）。次に、ｑ＝ｑ＋１と
おき（ステップＳ５０）、ｐ＝ｐ＋１とおいて（ステッ
プＳ５１）、ステップＳ４０以降の処理を繰り返す。

【０１１８】ステップＳ４５において２つの条件のいず
れかが成り立つ時、およびステップＳ４８においてｔに
関する閉包条件が満たされていない時は、ステップＳ５
０の処理に進む。また、ステップＳ４２においてＳ［Ｌ
［ｐ］］が空集合の時、およびステップＳ４４において
ｑがｋを超える時は、ステップＳ５１の処理に進む。そ
して、ステップＳ３２においてｉがｎ_mを超えれば処理
を終了する。

【０１１９】次に、図１０のような状態遷移表を持つ有
限状態機械Ｍ２を例に取って、ＭＥＲＧＥ（Ｓ）の処理
を具体的に説明する。有限状態機械Ｍ２の極大両立集合
は、｛Ａ，Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｉ｝，｛Ｃ，Ｄ，Ｈ，Ｉ｝，
｛Ｂ，Ｄ，Ｇ，Ｈ，Ｉ｝，｛Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｉ｝，｛Ａ，
Ｃ，Ｄ，Ｉ｝，｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｉ｝であり、ＲＥＤＵＣ
Ｅ−Ｉ（Ｓ）を行った後の解Ｓは、Ｓ＝｛｛Ａ，Ｂ，Ｉ｝，｛Ｃ｝，｛Ｄ，Ｇ，Ｉ｝，
｛Ｅ，Ｆ，Ｉ｝，｛Ｈ，Ｉ｝｝となる。この解Ｓに対してＭＥＲＧＥ（Ｓ）を行うこと
を考える。

【０１２０】まず極大両立集合｛Ａ，Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｉ｝
に含まれる両立集合は｛Ｃ｝，｛Ｅ，Ｆ，Ｉ｝の２つで
ある。したがって、ステップＳ３５においてＭ［ｉ］＝
｛Ａ，Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｉ｝、Ｓ［ｊ］＝｛Ｃ｝または
｛Ｅ，Ｆ，Ｉ｝のとき、ｋがインクリメントされ（ステ
ップＳ３６）、ステップＳ４０においてはｋ＝２、ｐ＝
１となる。そこで、図９の処理が行われる。

【０１２１】Ｓ［Ｌ［１］］は１番目に見つかった両立
集合を表しており、一例としてＳ［Ｌ［１］］＝｛Ｃ｝
とする。このとき、Ｓ［Ｌ［１］］は空集合ではないの
で（ステップＳ４２，Ｎｏ）、ｑ＝１となる（ステップ
Ｓ４３）。ここでｐ＝ｑとなり（ステップＳ４５，Ｙｅ
ｓ）、ｐとｑがインクリメントされてｐ＝ｑ＝２となる
（ステップＳ５０，Ｓ５１）。

【０１２２】次に、ｐ＝ｋ＝２であるから（ステップＳ
４０，Ｙｅｓ）、Ｓ［Ｌ［２］］が調べられる（ステッ
プＳ４２）。Ｓ［Ｌ［２］］＝｛Ｅ，Ｆ，Ｉ｝とする
と、再びｑ＝１となるので（ステップＳ４３）、ｐ≠ｑ
となる。また、Ｓ［Ｌ［１］］は空集合ではないので、
ステップＳ４５の判定結果はＮｏとなる。

【０１２３】そこで、Ｓ［Ｌ［１］］とＳ［Ｌ［２］］
が併合されて、両立集合ｔ＝｛Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｉ｝となる
（ステップＳ４６）。また、｛Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｉ｝のクラ
ス集合を計算すると、｛｛Ａ，Ｉ｝｝となる（ステップ
Ｓ４７）。含意集合｛Ａ，Ｉ｝はＳ内の両立集合｛Ａ，
Ｂ，Ｉ｝に含まれているので、このクラス集合に関する
閉包条件はＳにおいて満足される（ステップＳ４８，Ｙ
ｅｓ）。

【０１２４】したがって、Ｓから両立集合｛Ｃ｝と
｛Ｅ，Ｆ，Ｉ｝が削除され、代わりに｛Ｃ，Ｅ，Ｆ，
Ｉ｝が追加される。この時点でＳは、Ｓ＝｛｛Ａ，Ｂ，Ｉ｝，｛Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｉ｝，｛Ｄ，
Ｇ，Ｉ｝，｛Ｈ，Ｉ｝｝となる。

【０１２５】他の極大両立集合についても同様にして、
上記Ｓ内の２つ以上の両立集合を同時に含む場合がある
かどうかが調べられ（ステップＳ３５）、極大両立集合
｛Ｂ，Ｄ，Ｇ，Ｈ，Ｉ｝が両立集合｛Ｄ，Ｇ，Ｉ｝と
｛Ｈ，Ｉ｝を含むことが分かる。そのほかの極大両立集
合は複数の両立集合を含まない。

【０１２６】両立集合｛Ｄ，Ｇ，Ｉ｝と｛Ｈ，Ｉ｝を併
合すると｛Ｄ，Ｇ，Ｈ，Ｉ｝となり（ステップＳ４
６）、そのクラス集合を計算すると｛｛Ｃ，Ｅ，Ｆ｝，
｛Ａ，Ｂ｝｝となる（ステップＳ４７）。このクラス集
合に関する閉包条件もＳにおいて満足されるので（ステ
ップＳ４８，Ｙｅｓ）、Ｓから両立集合｛Ｄ，Ｇ，Ｉ｝
と｛Ｈ，Ｉ｝が削除され、代わりに｛Ｄ，Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
が追加される。

【０１２７】こうして、最終的に、Ｓ＝｛｛Ａ，Ｂ，Ｉ｝，｛Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｉ｝，｛Ｄ，
Ｇ，Ｈ，Ｉ｝｝となって、処理が終了する。この例では、ＭＥＲＧＥ
（Ｓ）により解の候補Ｓの大きさが５から３に減少して
いる。Ｓ内の各両立集合は、有限状態機械Ｍ２の状態数
を削減した後の各状態に対応するので、結局、状態数が
２つ減少したことになる。

【０１２８】次に、図１１および図１２を参照しなが
ら、図３のステップＳ７の処理ＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）につ
いて説明する。図１１は、ＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）の処理手
続きのフローチャートである。ＲＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）
は逐次改善的手法であるため、局所解に陥りやすい危険
性を持っている。そこで、ＭＥＲＧＥ（Ｓ）を行った
後、ＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）では解中の各両立集合を再び拡
大して局所解から抜け出す処理を行う。具体的には、解
中の各両立集合を、それを含むある極大両立集合に拡大
しても、解が閉包条件を満足する場合に拡大処理を行
う。

【０１２９】図１１において、Ｓ［ｉ］とｎ_cは図８お
よび図９の場合と同様である。処理が開始されると、演
算処理装置１２は、まず制御変数ｉを１とおき（ステッ
プＳ６１）、ｉをｎ_cと比較する（ステップＳ６２）。
ｉがｎ_c以下であれば、Ｓ［ｉ］内の両立集合を含む元
の極大両立集合をｔとおいて（ステップＳ６３）、ｔの
クラス集合を計算する（ステップＳ６４）。

【０１３０】次に、得られたクラス集合に基づいて、ｔ
に関する閉包条件がＳ内で満たされているかどうかを調
べる（ステップＳ６５）。閉包条件が満たされていれ
ば、Ｓ［ｉ］内の両立集合をｔに置き換え（ステップＳ
６６）、ｉ＝ｉ＋１とおいて（ステップＳ６７）、ステ
ップＳ６２以降の処理を繰り返す。

【０１３１】ステップＳ６５において閉包条件が満たさ
れない場合は、ステップＳ６６の処理をスキップして、
ステップＳ６７の処理に進む。そして、ステップＳ６２
においてｉがｎ_cを超えれば、処理を終了する。

【０１３２】次に、図１２のような状態遷移表を持つ有
限状態機械Ｍ３を例に取って、ＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）の処
理を具体的に説明する。有限状態機械Ｍ３の極大両立集
合は、｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｃ，Ｅ，
Ｈ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｄ，Ｅ，
Ｈ，Ｊ｝，｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｈ，Ｊ｝，｛Ａ，Ｂ，Ｃ，
Ｆ，Ｊ｝であり、ＲＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）とＭＥＲＧＥ
（Ｓ）を行った後の解Ｓは、Ｓ＝｛｛Ｄ，Ｅ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝，
｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｉ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝｝となる。この解Ｓに対してＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）を行うこ
とを考える。

【０１３３】まずＳ内の両立集合｛Ｄ，Ｅ，Ｊ｝は、も
ともと極大両立集合｛Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝をＲＥＤＵ
ＣＥ−Ｉ（Ｓ）により縮小したものである。したがっ
て、ステップＳ６３においてＳ［ｉ］＝｛Ｄ，Ｅ，Ｊ｝
のとき、ｔ＝｛Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝となる。そこで、
この極大両立集合のクラス集合を計算すると、｛｛Ｇ，
Ｊ｝，｛Ａ，Ｄ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｊ｝｝となる
（ステップＳ６４）。ここで、極大両立集合のクラス集
合を計算する代わりに、ＲＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）で既に
計算されている結果を用いてもよい。

【０１３４】このとき、クラス集合内の各含意集合はＳ
内のいずれかの両立集合に含まれるので、このクラス集
合に関する閉包条件は満足されている（ステップＳ６
５，Ｙｅｓ）。そこで、Ｓ［ｉ］＝｛Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｈ，
Ｊ｝となり、｛Ｄ，Ｅ，Ｊ｝は元の極大両立集合｛Ｂ，
Ｄ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝に拡大される（ステップＳ６６）。

【０１３５】他の両立集合についても同様にして、閉包
条件が満たされる場合には元の極大両立集合に拡大され
る。その結果、｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｉ，Ｊ｝は｛Ａ，Ｂ，
Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝に拡大され、｛Ｂ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝は
｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝に拡大されて、ＥＸＰＡＮＤ
（Ｓ）実行後のＳは、Ｓ＝｛｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｈ，
Ｊ｝，｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｄ，Ｅ，
Ｈ，Ｊ｝｝となる。

【０１３６】このように、ＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）によりＳ
内の両立集合の大きさは大きくなるが、Ｓ自身の大きさ
は変わらない。次に、図１３および図１４を参照しなが
ら、図３のステップＳ８の処理ＲＥＤＵＣＥ−II（Ｓ）
について説明する。

【０１３７】図１３は、ＲＥＤＵＣＥ−II（Ｓ）の処理
手続きのフローチャートである。ＥＸＰＡＮＤにより解
Ｓに含まれる各両立集合を拡大した後、ＲＥＤＵＣＥ−
II（Ｓ）では、ＲＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）の縮小方法とは
異なった方法でＳ内の両立集合を縮小する。

【０１３８】先に述べたＲＥＤＵＣＥ−Ｉ（Ｓ）では、
核集合を計算する際に各両立集合自身のクラス集合を用
いていた。しかし、実際には各両立集合のうち必要とな
るのは、その部分集合である核集合だけである。核集合
のクラス集合は両立集合自身のクラス集合よりも小さい
場合があり、小さなクラス集合を用いれば閉包条件がよ
り成立しやすくなると考えられる。ＲＥＤＵＣＥ−Ｉ
（Ｓ）では、この点が考慮されていない。

【０１３９】そこでＲＥＤＵＣＥ−II（Ｓ）では、両立
集合単位で閉包条件を満足するかどうかの判定を行うの
ではなく、それより小さな両立的な状態対の単位で判定
を行う。この判定処理を行う対象となる解Ｓは、既にそ
れ以前の処理により十分大きさが小さくなっていると考
えられる。したがって、このようにＲＥＤＵＣＥ−Ｉ
（Ｓ）より綿密な計算処理を行っても高速性が保たれ
る。

【０１４０】図１３において処理が開始されると、演算
処理装置１２は、まず元の有限状態機械の状態数をｎと
おく（ステップＳ７１）。次に、処理済みの状態の集合
Ｕを空集合にし（ステップＳ７２）、２つ以上の必須な
状態を持つＳ内のすべての両立集合を、処理すべき両立
集合の集合Ｑとする（ステップＳ７３）。

【０１４１】次に、Ｓ内の各両立集合について、それが
Ｑの要素である場合には、それに含まれるすべての必須
な状態を核集合として設定する（ステップＳ７４）。ま
た、両立集合がＱの要素でない場合には、その核集合を
空集合に設定する。これらの各集合には、以下の処理で
有限状態機械の状態が加えられていき、すべての核集合
を要素とする集合が新たな解の候補となる。

【０１４２】次に、Ｑが空集合かどうかを判定する（ス
テップＳ７５）。Ｑが空集合であれば処理を終了し、空
集合でなければ、Ｑから任意の１つの両立集合を取り出
してそれをｃとおく（ステップＳ７６）。そして、Ｕに
ｃの核集合の要素を加える（ステップＳ７７）。

【０１４３】次に、ｃの核集合のクラス集合に含まれる
各含意集合をｄとし、Ｓ内でその要素を含む両立集合を
選んでそれをｃ′とする（ステップＳ７８）。そして、
ｃ′の核集合がｄを含まなければｃ′をＱに含める。ま
た、解の候補が閉包条件を満たすようにｃ′の核集合に
ｄの要素を加え、Ｕにｃ′の核集合の要素を加える。
ｃ′の候補が複数ある場合は、空でない核集合の数がで
きるだけ増えないようにｃ′を選択する。

【０１４４】次に、｜Ｑ｜が０になり、｜Ｕ｜がｎにな
ったかどうかを調べる（ステップＳ７９）。もし、これ
らの条件が満たされていなければ、ステップＳ７５以降
の処理を繰り返す。

【０１４５】そして、ステップＳ７９で｜Ｑ｜＝０かつ
｜Ｕ｜＝ｎになると、次に、解の候補として得られた核
集合の集合が被覆条件を満足するかどうかを判定し（ス
テップＳ８０）、被覆条件が満たされなければ処理を終
了する。ここで、被覆条件が満たされていれば、他の核
集合に包含されている核集合を除去し（ステップＳ８
１）、核集合の集合をＳとして（ステップＳ８２）、処
理を終了する。

【０１４６】図１３の処理によれば、解Ｓのいずれかの
両立集合が必須な状態を２つ以上含んでいる場合に、ス
テップＳ７８で核集合が更新され、さらに更新後の核集
合の集合が被覆条件を満たしていれば、ステップＳ８２
でＳが更新される。

【０１４７】ここで、図１２の有限状態機械Ｍ３につい
て、ＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）を実行した後にＲＥＤＵＣＥ−
II（Ｓ）を行うことを考える。ＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）の実
行後のＳは、上述したように、Ｓ＝｛｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｈ，
Ｊ｝，｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｄ，Ｅ，
Ｈ，Ｊ｝｝である。

【０１４８】このＳにＲＥＤＵＣＥ−II（Ｓ）を施した
時の核集合の変化を図示すると、図１４のようになる。
図１４において、両立集合の欄は、与えられた解の候補
Ｓの要素を表し、Ｎｏ．の欄は、その両立集合の番号を
表し、核集合の欄は、その両立集合の核集合を表す。核
集合の欄において、下線を引いたものは変化した核集合
を表す。

【０１４９】また、クラス集合の欄は、対応する両立集
合の核集合のクラス集合を表し、ｃ′の欄は、クラス集
合の各要素を含む他の両立集合の番号を表す。クラス集
合の欄において、記号“−”は、対応する核集合が空集
合であるためにそのクラス集合が存在しないことを意味
する。ただし、図１４に示されたクラス集合は、必ずし
も処理に必要なものばかりではない。

【０１５０】ステージ１からステージ４までの各段階に
おける核集合を見ていくと、しだいにそれらの要素の数
が増えていき、有限状態機械Ｍ３の状態が被覆されてい
くことが分かる。そして、ステージ４においては核集合
が変化しなくなり、これらが新しいＳとなって、ＲＥＤ
ＵＣＥ−II（Ｓ）が終了する。

【０１５１】まず、処理の開始時のＳにおいて、必須な
状態を２つ以上持つ両立集合は｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝
と｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝であり、それぞれの必須
な状態はＦ，ＧおよびＡ，Ｉである。したがって、それ
らの両立集合が処理すべき両立集合のリストであるＱに
加えられ、Ｑ＝｛｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝，｛Ａ，Ｂ，
Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝｝となる（ステップＳ７３）。

【０１５２】また、｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝および
｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝の核集合はそれぞれ｛Ｆ，
Ｇ｝および｛Ａ，Ｉ｝となり、Ｓ内のその他の両立集合
の核集合は空集合に設定される（ステップＳ７４）。こ
の時点で、各両立集合の核集合はステージ１のようにな
る。以後、これらの状態対｛Ｆ，Ｇ｝，｛Ａ，Ｉ｝を元
にして、核集合間で閉包条件が満たされるかどうかがチ
ェックされ、それが満たされるように各核集合が拡大さ
れていく。

【０１５３】次に、Ｑ内の両立集合｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，
Ｊ｝がｃとして取り出され（ステップＳ７６）、Ｑ＝
｛｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝｝、Ｕ＝｛Ｆ，Ｇ｝とな
る（ステップＳ７７）。図１２よりｃの核集合｛Ｆ，
Ｇ｝のクラス集合を計算すると｛｛Ｄ，Ｊ｝，｛Ｄ，
Ｉ｝，｛Ｂ，Ｅ｝｝となり、ｄ＝｛Ｄ，Ｊ｝，｛Ｄ，
Ｉ｝，｛Ｂ，Ｅ｝となる（ステップＳ７８）。

【０１５４】まずｄ＝｛Ｄ，Ｊ｝の場合、ｄはＳ内の両
立集合｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝と｛Ｂ，Ｄ，Ｅ，
Ｈ，Ｊ｝に含まれる。ここで、｛Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝
をｃ′として選ぶとその核集合にｄの要素が加えられ、
ｃ′の核集合は空集合でなくなるため、解の候補が大き
くなる。ところが、｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝の核集
合｛Ａ，Ｉ｝は既に解の候補になっている。そこで、空
でない核集合の数を増やさないために、｛Ａ，Ｂ，Ｄ，
Ｈ，Ｉ，Ｊ｝がｃ′として選択される。

【０１５５】このとき、｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝の
核集合｛Ａ，Ｉ｝はｄ＝｛Ｄ，Ｊ｝を含まないが、
｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝は既にＱに含まれているか
ら、Ｑは不変である。ｃ′の核集合｛Ａ，Ｉ｝は、ｄの
要素Ｄ，Ｊが加えられるため、｛Ａ，Ｄ，Ｉ，Ｊ｝とな
り、Ｕにはその要素が加えられてＵ＝｛Ａ，Ｄ，Ｆ，
Ｇ，Ｉ，Ｊ｝となる。

【０１５６】次に、ｄ＝｛Ｄ，Ｉ｝の場合もｃ′＝
｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝となるが、ｃ′の核集合
｛Ａ，Ｄ，Ｉ，Ｊ｝はｄを含むのでＱは不変である。ま
た、ｃ′の核集合とＵも不変である。

【０１５７】ｄ＝｛Ｂ，Ｅ｝の場合は、ｄはＳ内の両立
集合｛Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝と｛Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝
に含まれる。この場合は、どちらの核集合も空集合なの
で、例えば｛Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝がｃ′として選択さ
れる。ｃ′の核集合はｄを含まないので、Ｑに｛Ｂ，
Ｃ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝が加えられて、Ｑ＝｛｛Ａ，Ｂ，Ｄ，
Ｈ，Ｉ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝｝となる。ま
た、ｃ′の核集合は｛Ｂ，Ｅ｝となり、Ｕ＝｛Ａ，Ｂ，
Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｉ，Ｊ｝となる。

【０１５８】ここで、｜Ｑ｜＝０ではないので、次に
｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝がｃとして取り出され（ス
テップＳ７６）、Ｑ＝｛｛Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝｝とな
る。ｃの核集合｛Ａ，Ｄ，Ｉ，Ｊ｝はＵに含まれている
ので、Ｕは不変である（ステップＳ７７）。｛Ａ，Ｄ，
Ｉ，Ｊ｝のクラス集合は図１２より｛｛Ｆ，Ｇ，Ｊ｝，
｛Ｃ，Ｊ｝｝となるので、ｄ＝｛Ｆ，Ｇ，Ｊ｝，｛Ｃ，
Ｊ｝となる（ステップＳ７８）。

【０１５９】ｄ＝｛Ｆ，Ｇ，Ｊ｝の場合、ｃ′＝｛Ｂ，
Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝となり、その核集合｛Ｆ，Ｇ｝はｄを
含まないので、Ｑ＝｛｛Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｈ，Ｊ｝，｛Ｂ，
Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝｝となる。また、ｃ′の核集合は
｛Ｆ，Ｇ，Ｊ｝となり、Ｕは不変である。

【０１６０】また、ｄ＝｛Ｃ，Ｊ｝の場合、例えばｃ′
＝｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝となり、その核集合｛Ｆ，
Ｇ，Ｊ｝はｄを含まない。しかし、Ｑは既に｛Ｂ，Ｃ，
Ｆ，Ｇ，Ｊ｝を含んでいるので変化しない。また、ｃ′
の核集合は｛Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝となり、Ｕ＝｛Ａ，Ｂ，
Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｉ，Ｊ｝となる。こうして、各両
立集合の核集合はステージ２のようになる。

【０１６１】次に、Ｑ内の両立集合｛Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｈ，
Ｊ｝がｃとして取り出され（ステップＳ７６）、Ｑ＝
｛｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝｝となる。ｃの核集合｛Ｂ，
Ｅ｝はＵに含まれているので、Ｕは不変である（ステッ
プＳ７７）。｛Ｂ，Ｅ｝のクラス集合は図１２より
｛｛Ｇ，Ｊ｝｝となるので、ｄ＝｛Ｇ，Ｊ｝となる（ス
テップＳ７８）。

【０１６２】この場合、ｃ′＝｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝
となり、その核集合｛Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝はｄを含んでい
るのでＱは不変である。また、ｃ′の核集合とＵも不変
である。

【０１６３】次に、Ｑ内の両立集合｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，
Ｊ｝がｃとして取り出され（ステップＳ７６）、Ｑ＝φ
となる。ｃの核集合｛Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝はＵに含まれて
いるので、Ｕは不変である（ステップＳ７７）。｛Ｃ，
Ｆ，Ｇ，Ｊ｝のクラス集合は図１２より｛｛Ｄ，Ｉ，
Ｊ｝，｛Ｈ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｅ｝｝となるので、ｄ＝
｛Ｄ，Ｉ，Ｊ｝，｛Ｈ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｅ｝となる（ステ
ップＳ７８）。

【０１６４】まずｄ＝｛Ｄ，Ｉ，Ｊ｝の場合、ｃ′＝
｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝となり、その核集合｛Ａ，
Ｄ，Ｉ，Ｊ｝はｄを含んでいるのでＱは不変である。ま
た、ｃ′の核集合とＵも不変である。

【０１６５】ｄ＝｛Ｈ，Ｊ｝の場合、例えばｃ′＝
｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝となり、その核集合｛Ａ，
Ｄ，Ｉ，Ｊ｝はｄを含まないので、Ｑ＝｛｛Ａ，Ｂ，
Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝｝となる。また、ｃ′の核集合にはｄ
の要素Ｈが加えられて、｛Ａ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝とな
り、Ｕ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝
となる。

【０１６６】ｄ＝｛Ｂ，Ｅ｝の場合、ｃ′＝｛Ｂ，Ｃ，
Ｅ，Ｈ，Ｊ｝となり、その核集合｛Ｂ，Ｅ｝はｄを含ん
でいるのでＱは不変である。また、ｃ′の核集合とＵも
不変である。こうして、各両立集合の核集合はステージ
３のようになり、Ｕは有限状態機械Ｍ３のすべての状態
を含むようになる。したがって、被覆条件が満足され
る。

【０１６７】次に、Ｑ内の両立集合｛Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｈ，
Ｉ，Ｊ｝がｃとして取り出され（ステップＳ７６）、Ｑ
＝φとなる。ｃの核集合｛Ａ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝はＵに
含まれているので、Ｕは不変である（ステップＳ７
７）。｛Ａ，Ｄ，Ｈ，Ｉ，Ｊ｝のクラス集合は図１２よ
り｛｛Ｆ，Ｇ，Ｊ｝，｛Ｃ，Ｊ｝｝となるので、ｄ＝
｛Ｆ，Ｇ，Ｊ｝，｛Ｃ，Ｊ｝となる（ステップＳ７
８）。

【０１６８】ｄ＝｛Ｆ，Ｇ，Ｊ｝の場合、ｃ′＝｛Ｂ，
Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝となり、その核集合｛Ｃ，Ｆ，Ｇ，
Ｊ｝はｄを含んでいるのでＱは不変である。また、ｃ′
の核集合とＵも不変である。

【０１６９】ｄ＝｛Ｃ，Ｊ｝の場合、例えばｃ′＝
｛Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝となり、その核集合｛Ｃ，Ｆ，
Ｇ，Ｊ｝はｄを含んでいるのでＱは不変である。また、
ｃ′の核集合とＵも不変である。したがって、各両立集
合の核集合は、ステージ４に示すように変化しない。

【０１７０】ここで、｜Ｑ｜＝０かつ｜Ｕ｜＝１０＝ｎ
となり（ステップＳ７９，Ｙｅｓ）、被覆条件が満足さ
れるので（ステップＳ８０，Ｙｅｓ）、ステージ４の核
集合の集合がＳとなって（ステップＳ８２）、処理が終
了する。ＲＥＤＵＣＥ−II（Ｓ）を行った後の解Ｓは、Ｓ＝｛｛Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｊ｝，｛Ｂ，Ｅ｝，｛Ａ，Ｄ，
Ｈ，Ｉ，Ｊ｝｝となり、解の大きさが４から３に減少していることが分
かる。

【０１７１】得られた上記Ｓ内の両立集合は、いずれも
ＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）を行う前のＳ内の両立集合には含ま
れていないが、ＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）を行った後のＳ内の
両立集合には含まれている。これはＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）
の処理がなければ、この解にたどりつくことができない
ことを示している。実際に、ＥＸＰＡＮＤ（Ｓ）を行わ
ずにＲＥＤＵＣＥ−II（Ｓ）のみを行っても解の大きさ
は減少しない。

【０１７２】こうして、図２の簡単化プログラム１６に
より要素数が削減された両立集合の集合Ｓは、次に変換
プログラム１７により有限状態機械の状態の集合に変換
され、簡単化された有限状態機械の状態遷移表が出力さ
れる（図３、ステップＳ１０）。

【０１７３】次に、図１５から図２２までを参照しなが
ら、有限状態機械の簡単化と合成される論理回路の関係
について説明する。図１５は、６つの状態と２つの入力
を持つ有限状態機械Ｍ４の状態遷移表を示している。ま
ず、この有限状態機械Ｍ４の状態数を削減することな
く、順序回路として実現する場合を考える。図１５にお
いては、状態数は６であるので、少なくとも順序回路の
フリップフロップは「log₂６」＝３個必要である。ただ
し、「Ｒ」は実数Ｒ以上の値を持つ最小の整数を表すも
のとする。今、例えばこれらの各状態に対して、図１６
に示すように３ビットの符号割り当てを行って、状態ベ
クトルに変換したとする。

【０１７４】また、入力についてはＩ₁を０、Ｉ₂を１
と割り当て、さらに出力のドントケア値はすべて０であ
るとすると、これらの状態ベクトルおよび入力ベクトル
を用いて、図１５の状態遷移表は図１７のような遷移・
出力表に変換できる。図１７において、ｙ₃ｙ₂ｙ₁は
現状態を表す状態ベクトルであり、ｘは入力を表す入力
ベクトルである。この遷移・出力表をもとに、対応する
順序回路を合成することができる。

【０１７５】図２０は、図１７の遷移・出力表を実現し
た順序回路の一例を示している。図２０において、組合
せ回路部２５に対する入力ｘは有限状態機械Ｍ４の入力
ベクトルに対応しており、３つの入力ｙ₃、ｙ₂、ｙ₁
は現状態の状態ベクトルｙ₃ｙ₂ｙ₁の成分に対応して
いる。また、組合せ回路部２５の出力ｚは有限状態機械
Ｍ４の出力に対応しており、３つの出力ｙ₃′、
ｙ₂′、ｙ₁′は次状態を表す状態ベクトルの成分に対
応している。

【０１７６】組合せ回路部２５は、インバータ２２−
１、２２−２、２２−３、２２−４、ＡＮＤゲート２３
−１、２３−２、２３−３、２３−４、２３−５、２３
−６、２３−７、２３−８、２３−９、およびＯＲゲー
ト２４−１、２４−２、２４−３からなり、入力ｘ、ｙ
₃、ｙ₂、ｙ₁から出力ｚ、ｙ₃′、ｙ₂′、ｙ₁′を
生成する。フリップフロップ２１−１、２１−２、２１
−３は、現状態を表すｙ ₃、ｙ₂、ｙ₁をそれぞれ組合
せ回路部２５に出力し、次状態を表すｙ₃′、ｙ ₂′、
ｙ₁′を入力として受け取る。次に、受け取ったこれら
の値を、遷移後の新たな現状態を表すｙ₃、ｙ₂、ｙ₁
として組合せ回路部２５に与える。

【０１７７】次に、有限状態機械Ｍ４を本発明の状態簡
単化装置により簡単化して、その状態数を削減し、図１
９のような状態遷移表を持つ有限状態機械Ｍ５が得られ
たとする。

【０１７８】図１９においては状態数は３であるから、
必要な最小フリップフロップの数は「log₂３」＝２とな
り、図１５の場合と比べて１つ少なくなる。これらの各
状態に対して２ビットの状態ベクトルを図２０のように
割り当てると、遷移・出力表は図２１のようになる。図
２１において、ｙ₂ｙ₁は現状態を表す状態ベクトルで
あり、ｘは入力を表す入力ベクトルである。

【０１７９】図２２は、図２１の遷移・出力表を実現し
た順序回路の一例を示している。図２２において、組合
せ回路部３５に対する入力ｘは図２１の有限状態機械Ｍ
５の入力ベクトルに対応しており、入力ｙ₂、ｙ₁は現
状態の状態ベクトルｙ₂ｙ₁の成分に対応している。ま
た、組合せ回路部３５の出力ｚは有限状態機械Ｍ５の出
力に対応しており、出力ｙ₂′、ｙ₁′は次状態を表す
状態ベクトルの成分に対応している。

【０１８０】組合せ回路部３５は、インバータ３２−
１、３２−２、ＡＮＤゲート３３−１、３３−２、３３
−３、３３−４、およびＯＲゲート３４−１、３４−２
からなり、入力ｘ、ｙ₂、ｙ₁から出力ｚ、ｙ₂′、ｙ
₁′を生成する。フリップフロップ３１−１、３１−２
は、現状態を表すｙ₂、ｙ₁をそれぞれ組合せ回路部３
５に出力し、次状態を表すｙ₂′、ｙ₁′を入力として
受け取る。次に、受け取ったこれらの値を、遷移後の新
たな現状態を表すｙ₂、ｙ₁として組合せ回路部３５に
与える。図２２の順序回路を図１８のそれと比べると、
フリップフロップの数が３個から２個に減少し、組合せ
回路部分のゲート数が１６個から８個に減少しているこ
とが分かる。

【０１８１】一般に、状態数の最小化を行ってから順序
回路の合成を行うと、次のような利点がある。（１）順序回路に含まれるフリップフロップの数が少な
くなる可能性がある。

【０１８２】（２）フリップフロップの数が少なくなっ
た場合には、次状態の状態ベクトルの成分のうち、削除
されたフリップフロップに対応するビットの値を計算す
るための論理回路が不要になり、組合せ回路部分のゲー
ト数も少なくなることが多い。

【０１８３】（３）フリップフロップの数が少なくなら
ない場合でも、状態数が少なくなることにより回路の未
使用状態が増え、組合せ回路部分の合成の際にそれらを
ドントケアとして扱うことにより、組合せ回路のゲート
数が少なくなる可能性がある。

【０１８４】

【発明の効果】本発明によれば、解の候補となる両立集
合の縮小という単純な処理の繰り返しにより状態数を削
減するため、与えられた有限状態機械を高速に簡単化す
ることができる。また、両立集合を縮小するだけでなく
それを拡大することにより、局所最適解に陥る危険性が
減少し、最小解に近い解が求められる。

【０１８５】さらに、こうして簡単化された有限状態機
械を用いて、論理回路を簡単化することができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の原理図である。

【図２】実施形態のシステム構成図である。

【図３】簡単化計算処理のフローチャートである。

【図４】ＲＥＤＵＣＥ−Ｉのフローチャート（その１）
である。

【図５】ＲＥＤＵＣＥ−Ｉのフローチャート（その２）
である。

【図６】初期解を示す図である。

【図７】ＲＥＤＵＣＥ−Ｉにおける解の変化を示す図で
ある。

【図８】ＭＥＲＧＥのフローチャート（その１）であ
る。

【図９】ＭＥＲＧＥのフローチャート（その２）であ
る。

【図１０】有限状態機械Ｍ２の状態遷移表を示す図であ
る。

【図１１】ＥＸＰＡＮＤのフローチャートである。

【図１２】有限状態機械Ｍ３の状態遷移表を示す図であ
る。

【図１３】ＲＥＤＵＣＥ−IIのフローチャートである。

【図１４】ＲＥＤＵＣＥ−IIにおける核集合の変化を示
す図である。

【図１５】有限状態機械Ｍ４の状態遷移表を示す図であ
る。

【図１６】状態割当を示す図である。

【図１７】遷移・出力表を示す図である。

【図１８】状態数を簡単化せずに合成した時の順序回路
を示す図である。

【図１９】状態数を簡単化した有限状態機械Ｍ５の状態
遷移表を示す図である。

【図２０】状態数を簡単化した場合の状態割当を示す図
である。

【図２１】状態数を簡単化した場合の遷移・出力表を示
す図である。

【図２２】状態数を簡単化した順序回路を示す図であ
る。

【図２３】有限状態機械Ｍ１の状態遷移表を示す図であ
る。

【図２４】マージ表を示す図である。

【符号の説明】

１入力手段２初期解生成手段３両立集合縮小手段４両立集合拡大手段５出力手段１０バス１１入出力装置１２演算処理装置１３記憶装置１４マージ表作成プログラム１５極大両立集合生成プログラム１６簡単化プログラム１７変換プログラム２１−１、２１−２、２１−３、３１−１、３１−２
フリップフロップ２２−１、２２−２、２２−３、２２−４、３２−１、
３２−２インバータ２３−１、２３−２、２３−３、２３−４、２３−５、
２３−６、２３−７、２３−８、２３−９、３３−１、
３３−２、３３−３、３３−４ＡＮＤゲート２４−１、２４−２、２４−３、３４−１、３４−２
ＯＲゲート２５、３５組合せ回路部

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】現在の状態から次の状態への状態遷移の
規則が定められている有限状態機械がとり得る状態の数
を削減する情報処理装置において、前記有限状態機械に関する第１の状態遷移情報を入力す
る入力手段と、前記第１の状態遷移情報に基づいて、両立集合の集合を
初期解として生成する初期解生成手段と、前記初期解に含まれる第１の両立集合を逐次縮小するこ
とにより、閉包条件を満たすために必要な両立集合の数
を削減する両立集合縮小手段と、削減された両立集合の数に対応する状態数により表現さ
れる第２の状態遷移情報を出力する出力手段とを備える
ことを特徴とする状態簡単化装置。
【請求項２】前記両立集合縮小手段は、第２の両立集
合に含まれない状態を前記第１の両立集合から抽出し、
抽出した状態を要素とする第３の両立集合を生成し、該
第３の両立集合を用いて前記必要な両立集合の数を削減
することを特徴とする請求項１記載の状態簡単化装置。
【請求項３】前記両立集合縮小手段は、前記第１の両
立集合から前記閉包条件を満足するために必要な部分集
合を抽出し、抽出した状態を要素とする第４の両立集合
を生成し、該第４の両立集合を用いて前記必要な両立集
合の数を削減することを特徴とする請求項１記載の状態
簡単化装置。
【請求項４】前記両立集合縮小手段により縮小された
両立集合を再び拡大する両立集合拡大手段をさらに備
え、該両立集合縮小手段は、拡大された両立集合を再び
縮小することを特徴とする請求項１記載の状態簡単化装
置。
【請求項５】前記両立集合拡大手段は、前記閉包条件
が満たされたままで、前記縮小された両立集合を拡大す
ることを特徴とする請求項４記載の状態簡単化装置。
【請求項６】複数の両立集合を１つの両立集合に併合
しても前記閉包条件が満たされる場合に、該複数の両立
集合を併合する両立集合併合手段をさらに備えることを
特徴とする請求項１記載の状態簡単化装置。
【請求項７】現在の状態から次の状態への状態遷移の
規則が定められている有限状態機械がとり得る状態の数
を削減する情報処理装置において、第１の状態遷移情報に基づいて生成された両立集合か
ら、閉包条件を満たすために必要な部分集合を抽出し、
該部分集合を用いて両立集合の数を削減する両立集合削
減手段と、削減された両立集合の数に対応する状態数により表現さ
れる第２の状態遷移情報を出力する出力手段とを備える
ことを特徴とする状態簡単化装置。
【請求項８】現在の状態から次の状態への状態遷移の
規則が定められている有限状態機械がとり得る状態の数
を削減する情報処理装置により用いられる記憶媒体であ
って、該情報処理装置が、前記有限状態機械に関する第１の状態遷移情報を入力
し、該第１の状態遷移情報に基づいて、両立集合の集合を初
期解として生成し、該初期解に含まれる第１の両立集合を逐次縮小すること
により、閉包条件を満たすために必要な両立集合の数を
削減し、削減された両立集合の数に対応する状態数により表現さ
れる第２の状態遷移情報を出力するように導くことを特
徴とする記憶媒体。
【請求項９】現在の状態から次の状態への状態遷移の
規則が定められている有限状態機械がとり得る状態の数
を削減する情報処理方法において、第１の状態遷移情報に基づいて、両立集合の集合を初期
解として作成し、該初期解に含まれる第１の両立集合を逐次縮小すること
により、閉包条件を満たすために必要な両立集合の数を
削減し、削減された両立集合の数に対応する状態数により表現さ
れる第２の状態遷移情報を作成することを特徴とする状
態簡単化方法。