JPH07141519A

JPH07141519A - 画像処理方法及び装置

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Publication number: JPH07141519A
Application number: JP6117042A
Authority: JP
Inventors: Toomasu Kiyaran Makinari; マキナリ・トーマス・キヤラン
Original assignee: Canon Inc
Current assignee: Canon Inc
Priority date: 1993-05-28
Filing date: 1994-05-30
Publication date: 1995-06-02
Anticipated expiration: 2019-09-29
Also published as: JP3571754B2; US5608856A; GB9311157D0; GB2278470B; DE69426042D1; HK1012090A1; GB2278470A; DE69426042T2; EP0626648B1; EP0626648A1

Abstract

(57)【要約】【目的】受信値を補間するための方法と装置、画像合成
及び像録画【構成】画像合成システムにおいて、定義／エディタ部
１０２によって、スプライン曲線のための制御点による
オブジェクト定義が格納される。このシステムによって
“ファントム点”が生成され、スプラインオブジェクト
の定義が可能になる。この曲線によって、例えばマウス
やグラフィックスタブレットを介してユーザから受信し
た所望の１組の受信値が補間される。受信値の数Ｎが、
可変なものであり、かつ、多数のものになり得る場合に
は、逆行列反転をする必要なく、また、多数の逆行列を
格納せずに、ファントム点を導出するための係数（Ｘｉ
ｊ）が生成される。これによって、スプライン物体定義
ためのユーザとの直感的対話が可能になる。又、Ｎが大
きい場合、システムは、所定個数の受信値から成る部分
集合から対応する近似ファントム点を生成する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、受信値を補間するため
の方法及び装置に関する。特に、本発明は、パラメトリ
ック曲線を得るための一組の制御値を、多数の受信値か
ら導出し、その曲線が受信値を近似補間するようにする
ための方法及び装置に関する。

【０００２】尚、本発明の応用は、数多くかつ多様であ
るが、特に、応用例として、コンピュータ・グラフィク
・システム、コンピュータ援用設計（ＣＡＤ）システ
ム、ロボット工学及び数値制御（ＮＣ）が含まれる。受
信値は単純な１次元値であってもよいが、上記の応用例
においては、ある画像上の点、すなわち、３次元空間の
複数の点を表わす、２次元値及び３次元値が特別な重要
性を有する。従って、本発明は、画像合成システム、並
びに、このような装置を用いて行なわれる写真や映画の
録画にも関するものである。

【０００３】

【従来の技術】上述した応用分野において、滑らかに且
つ連続的に１組の受信値を補間する値を生成することが
しばしば要求される。この目的のために一般に普及して
いる技術として、補間曲線のパラメトリック定義が用い
られ、その曲線は、１組の混合方程式と１組の制御値
（多次元の空間の制御点）によって定義される。そし
て、単一の変数を変更することによって、曲線上の任意
の点を生成することが可能となる。特に、パラメトリッ
ク３次曲線は、魅力的な、審美的かつ物理的性質を有
し、その中には、例えば、Ｂｅｚｉｅｒ（ベジェ）曲線
や３次スプライン曲線が含まれる。いわゆるＢ−スプラ
イン曲線は、補間された値を生成するために適度の演算
上の負荷を必要とはするが、任意の数の制御値によって
曲線の制御を行なうことができるという点において有用
である。

【０００４】ピーター・バーガー（Peter Burger）及
びダンカン・ギリーズ（Duncan Gillies）著「対話型コ
ンピュータ・グラフィクス；関数型、手続き型及び装置
レベル方法」（アディソン・ウェズレー（Addison Wesl
ey）出版社発行、ＩＳＢＮ０−２０１−１７４３９−
１）に、３次元Ｂ−スプライン及び他のパラメトリック
曲線が記載されている。この参考文献によれば、３次元
Ｂ−スプライン曲線の不都合な点として、生成された曲
線が、実際には、制御値を補間しておらず、そのため、
空間の１組の受信（ユーザ指定による）点を補間する曲
線を生成するためには、その曲線に受信点を補間させる
ための１組の“ファントム”制御値を生成する必要があ
るという事実が指摘されている。一般に、１組の受信制
御値によって各ファントム制御値が定義する１組の連立
方程式を導出することが可能である。

【０００５】しかし、残念なことであるが、１組のＮ個
の受信値に対して、Ｎ個のファントム値を表わす方程式
を得るためには、Ｎ連立方程式の解、すなわち、係数Ｎ
×Ｎの行列置換が必要となる。制御値の数が多数でかつ
可変である場合、３次元Ｂ−スプライン曲線表示それ自
体は、有用ではあるが、ファントム値を得るためのＮ個
の連立方程式の解を得るために大きな演算上の負担が課
せられる。そのため、多くのシステムにおいては、この
ような曲線を対話型定義によって定義することは不可能
である。バーガーとギリーズ共著による前記参考文献の
章６．３．１には、任意のサイズのＮから成る１組の受
信点に対して、ファントム値を容易に演算できるよう
に、Ｎ個の値の範囲に対して逆行列を生成することは可
能であるという提案がなされている。しかしながら、Ｎ
が、例えば１００に達するような大きな数になった場
合、数メガバイトのメモリが、これらの逆行列の格納に
消費されることになろう。

【０００６】

【発明が解決しようとする課題】我々の特許出願（英国
出願番号９３１１１５２）においてクレームされている
発明によって、演算上の負担がより少ない、ファントム
制御値生成に必要な係数の直接生成方法が提案されてい
る。この提案では、ユーザが、１組の補間値を生成した
り修正したりしながら同時に結果として生成される曲線
を見ることできるように、１組の受信値を補間するパラ
メトリック３次曲線の対話型定義を行なうことが可能で
はあるが、非常に多数の点に対してこれを行なうことは
ますます困難になる。

【０００７】しかしながら、特に、制限された解像度で
画像を移動している場合には、近似的補間で十分な場合
がしばしばある。別の参考文献によれば、最小二乗分析
法や同種の方法によって、曲線を近似補間する生成が記
載されている。

【０００８】本発明は上記の問題点に鑑みてなされたも
のであり、１組のＮ個の受信値を近似的に補間する曲線
上の所望の補間値を生成する画像処理方法及び装置を提
供することを目的とする。

【０００９】又、本発明の他の目的は、１組の受信値よ
り受信値群を順次抽出し、各受信値群に所定の係数を適
用することによって近似曲線を得るための仮想点を順次
発生することを可能とし、簡潔で迅速な曲線生成処理を
可能とする画像処理方法及び装置を提供することにあ
る。

【００１０】又、本発明の他の目的は、１組の受信値に
対応する１組の仮想値を所定の数列に含まれる各項を用
いて生成される係数行列により獲得し、仮想値の獲得を
迅速に行うことが可能な画像処理方法及び装置を提供す
ることにある。

【００１１】又、本発明の他の目的は、上記の如く迅速
な受信値の補間処理を行うことを可能とすることによ
り、補間曲線の生成を対話的に処理することが可能な画
像処理方法及び装置を提供することにある。

【００１２】

【課題を解決するための手段】及び

【作用】上記の目的を達成する本発明の画像処理装置は
以下の構成をなえる。即ち、Ｎ個の受信値を補間する曲
線を生成する画像処理装置であって、前記受信値から１
組の仮想値を生成する第１生成手段と、前記仮想値を用
いて前記受信値を補間する曲線を生成する第２生成手段
とを備え、前記第１生成手段は、１つの仮想値に対応し
て、前記Ｎ個の受信値よりＮ’個の受信値を抽出して受
信値群を形成し、所定のＮ’個の係数を用いて前記受信
値群より前記１つの仮想値を生成し、他の仮想値につい
て夫々異なる受信値群を形成し、夫々の受信値群につい
て前記所定のＮ’個の係数をくり返し用いることで少な
くとも前記１組の仮想値の部分集合を獲得することを特
徴とする。

【００１３】又、上記の目的を達成する本発明の画像処
理方法は以下の工程を備えている。即ち、Ｎ個の受信値
を補間する曲線を生成する画像処理方法であって、前記
受信値から１組の仮想値を生成する第１生成工程と、前
記仮想値を用いて前記受信値を補間する曲線を生成する
第２生成工程とを備え、前記第１生成工程は、１つの仮
想値に対応して、前記Ｎ個の受信値よりＮ’個の受信値
を抽出して受信値群を形成し、所定のＮ’個の係数を用
いて前記受信値群より前記１つの仮想値を生成し、他の
仮想値について夫々異なる受信値群を形成し、夫々の受
信値群について前記所定のＮ’個の係数をくり返し用い
ることで少なくとも前記１組の仮想値の部分集合を獲得
することを特徴とする。

【００１４】上述の画像処理装置あるいは方法は、上述
の発明とは互いに独立に提供され、用いられる。あるい
は、二者択一的に、本発明の第１の態様を具体化する装
置において、より対話型の近似補間モードを提供するこ
ともできる。

【００１５】尚、少なくとも１つの数列から成る項を格
納し、前もって定義した規則に従ってこれらの項を選択
することによって、この１組の係数を生成してもよい。

【００１６】又、この数列は、典型的には、再帰関係に
よって定義されてもよい。また、曲線のタイプ（開曲線
／閉曲線、Ｎ’が奇数／Ｎ’が偶数）に依存する開始値
によって定義されてもよい。

【００１７】又、曲線が閉曲線であって、その結果、受
信制御値が閉数列を形成する場合、ただ１組の係数が繰
返し用いられ、各それぞれの仮想値を生成するために、
Ｎ’個の受信制御値から成る１つの異なるそれぞれの部
分集合が組合わされる。

【００１８】又、曲線が端が開いているものである場
合、複数組の係数群が格納され、各係数群により２次元
の係数行列における行が特定され、係数行列の行の先頭
部分集合のそれぞれの行に基づいて受信値の部分集合か
ら仮想値の先頭部分集合を生成し、係数行列の行の最終
部分集合の夫々の行に基づいて受信値の最終部分集合よ
り仮想値の最終部分集合が生成され、また、係数行列の
中央行に基づいて受信値の夫々の部分集合から仮想値の
中央部分集合が生成される。

【００１９】又、係数行列の最初と最後の列の係数を格
納することが不要となるような端条件をデフォルトとし
て当該曲線に設定しても良い。

【００２０】上述の構成において、１組の係数がＮ’に
依存し、このＮ’が補間値の数で決められるのではな
く、その近似的に要求される精度の程度によって決めら
れるということは本発明の長所である。即ち、ユーザが
補間のためにどんな数のＮ’個の数値を指定しようと
も、仮想値（実施例ではファントム点）の生成のために
必要なことは、１つの係数の組、即ち１組の係数で構成
される行列を格納するだけで足りる。それにもかかわら
ず、数値Ｎ’を適当に決定することで、所望の補間精度
を得ることが可能である。

【００２１】更に、本発明の長所として、レコード搬送
波で送信されたり、他の通信リンクを介して受信された
信号をプログラムすることによって、本発明に規定され
る動作を実行するように構成した装置として市販のデー
タ処理装置を含むことができることが挙げられる。従っ
て、本発明は、この目的のために適合したデータ信号及
びレコード搬送波をさらに提供するものである。

【００２２】又、本発明の他の目的を達成する画像処理
装置は、Ｎ個の受信値を補間する曲線を生成する画像処
理装置であって、所定の第１の数列及び第２の数列を構
成するための情報を格納する格納手段と、前記第１の数
列より所定の規則に従って抽出された複数の項に基づい
てＮ×Ｎの行列を形成する第１形成手段と、前記第１の
数列より所定の規則にしたがって抽出された項に基づい
て除数を獲得する獲得手段と、前記第１形成手段で形成
された行列の各要素を前記除数で除することにより係数
行列を生成する第２生成手段と、前記係数行列を用いて
前記１組の受信値から対応する１組の仮想値を生成する
第３生成手段と、前記仮想値を用いて前記受信値を補間
する曲線を生成する第４生成手段とを備える。

【００２３】上記構成によれば、１組の受信値に対応す
る１組の仮想値を所定の数列に含まれる各項を用いて生
成される係数行列により獲得されるので、仮想値の獲得
を迅速に行うことが可能となる。

【００２４】更に、本発明は、補間値が用いられる画像
合成法や装置を構成したり、また、このような装置及び
方法を用いて作られる静止画や動画を記録する装置をも
構成し得る。本発明のこれらの及び更なる特徴と利点
は、以下の説明及び添付の請求の範囲を考察することに
よって、当業である読者には理解できるであろう。

【００２５】

【実施例】以下に添付の図面を参照して本発明の好適な
実施例を説明する。

【００２６】＜装置の概要＞図１は本発明の一実施例に
よる装置の概略の構成を示すブロック図である。本装置
は、メモリ２０に接続されたプロセッサ１０（例えば、
マイクロプロセッサ）を有する。メモリ２０は、プロセ
ッサ１０の動作手順を定義するプログラムを格納すると
ともに、プロセッサ１０によって用いられ演算される物
体及び画像データを格納する。プロセッサ１０の入力ポ
ートには、入力装置３０が接続される。この入力装置３
０としては、キーボードを含んでもよいが、典型的に
は、“マウス”、トラック・ボール、ディジタイザタブ
レット及びスタイラスなどのような位置検知用入力装置
も含まれる。

【００２７】又、プロセッサ１０に接続される構成とし
て、その画像の点、すなわち画素（ピクセル）当り１つ
の（あるいはいくつかの）記憶場所が与えられ、少なく
とも１つの画像に関する画像データを格納するように配
置されたメモリユニットを有するフレーム・バッファ４
０がある。各ピクセルに関するデータのフレーム・バッ
ファ４０内のアドレスは、そのピクセルの画像内の位置
に関係する（言いかえれば、フレーム・バッファ４０は
メモリ・マップされている）。各ピクセルのためにフレ
ーム・バッファ内に格納された値によって、その画像の
中でのピクセルの色が定義される。“色”という用語
は、ＲＧＢ値（赤、緑、青）のような多重成分の色値と
同様にモノクロ（濃度階調）強度値を含むものと理解さ
れることは言うまでもない。

【００２８】画像とは、一般に、画像要素の２次元配列
であり、直角座標によって一般的に説明されるものであ
る。従って、１対のｘ，ｙ座標によって、与えられたピ
クセルの位置を記述することが可能となる。例えば、そ
の画像がラスタ表示装置上に表示される場合、１本の走
査線に沿った距離及びその走査線の数をそれぞれｘ，ｙ
座標がマップするので、これは便利である。画像中の画
素数は、画像の解像度によって左右される。従って、例
えば、１０００×１０００ピクセルの解像度を有する一
つの画像に対して、フレーム・バッファ４０には１０⁶
ピクセルの（ピクセル座標ｘ，ｙによって直接的あるい
は間接的に各記憶場所にアドレス指定可能な）記憶場所
が必要とされる。

【００２９】映像表示装置５０がフレーム・バッファ４
０に接続される。この映像表示装置５０は、１秒当たり
５〜５０（典型的には２５乃至３０）の標準フレーム繰
返速度でフレーム・バッファ４０に格納される画像に対
応する信号によって駆動されるものであり、一般的な方
法で配置される。メモリ２０（典型的にはプロセッサ１
０を介して）に接続されるものとして、また、おそら
く、フレーム・バッファ４０に接続するものとして、メ
モリ２０にロードされるいくつかの画像すなわち画像や
物体データ用のデータを格納することが可能な、データ
用の大容量を持つハードディスク装置のような大容量記
憶装置６０がある。

【００３０】又、ＶＴＲあるいは他の画像録画装置７０
がこのフレーム・バッファ４０に接続される。これによ
って、表示される連続画像がリアルタイムで録画ができ
るばかりでなく、これを用いて、一連のより複雑な、あ
るいは、より高画質の画像をリアルタイムより低速で捉
えることも可能となる。その結果、これらの画像をコン
ピュータによって生成された映画録画としてその後再生
することが可能となる。もちろん、この録画装置の解像
度は、映像表示装置５０と等しい解像度である必要はな
い。従って、映像表示装置５０の低画質媒体を介してユ
ーザが対話処理によってこの画像内容を定義した後、非
常に高画質のバージョンの画像を録画するために、例え
ば用紙印刷装置や３５ミリフィルムレコーダを用いるこ
とも可能である。

【００３１】本実施例の利点として、プロセッサ１０及
びメモリ２０、また、オプションとして、フレーム・バ
ッファ４０、映像表示装置５０及び大容量記憶装置６０
は完全なシステムとして市販のものを使用できるという
ことがある。例えばパーソナル・コンピュータ（ＰＣ）
や、米国サン・マイクロシステムズ社製のスパーク・ス
テーションのようなワークステーションであってもよ
い。次いで、本発明の実施例をフロッピー・ディスク６
５あるいは他の媒体に格納したプログラムの形で市販し
たり、データ・リンクを通じて伝送することによって、
顧客のハードウェアを、本発明を具体化した装置へ再構
成することができる。

【００３２】図２に、本実施例の装置の機能構成を示
し、次いで、本装置の全体的な動作について説明する。
コンピュータ１００はメモリ２０内の対応する内蔵プロ
グラムを実行して、異なる時刻にいくつかの異なる作業
を行なう。従ってこのような作業を行なうための機能構
成１０２〜１１０を（メモリ２０と共に）有する。これ
らの機能構成は、別個の構成として図２に示されている
が、説明の実施例においては、これらの機能すべては、
メモリ２０と協動してプロセッサ１０によって実行され
る。しかしながら、各機能を実行するために、別個の演
算処理装置や専用論理回路を機能的に相互接続して提供
してもよいことは言うまでもない。

【００３３】従って、本実施例は、まず第１に、２次元
あるいは３次元の物体の形状を動画として動かすため
に、また、オプションとしてこの物体を編集するため
に、定義できるように配置された定義／エディタ部１０
２を含むものとして見ることができる。典型的には、定
義／エディタ部１０２は、一旦定義された物体を後で用
いるために格納するための大容量記憶装置６０に接続さ
れ、また、この定義／エディタ部１０２はオペレータが
この物体を変更できるように、入力装置３０に接続され
る。しかしながら、他の入出力装置（例えばネットワー
クを介して接続された他のコンピュータ）を追加した
り、あるいは入力装置３０及び大容量記憶装置６０の代
りにそれらの他の装置を用いてもよい。以下で、より詳
細に説明するが、この実施例において、ある物体を定義
するデータとはこの物体を形作る複数の曲線あるいは曲
面（典型的にはパラメトリック３次元表面）の、制御点
すなわち頂点を表わすデータである。この制御点だけを
定義することによって、相当数の画素を含む可能性のあ
る滑らかな曲面を相対的にコンパクトに表示することが
可能となり、また同時に、この物体の画像が再生される
解像度に左右されることもなくなる。

【００３４】本実施例において、コンピュータ１００は
ソータ部１０４を有するが、このソータ部は、該物体の
表面すなわち領域が描かれる（すなわち、フレーム・バ
ッファ４０中へ描画される）順序を決めながら、その順
序に従ってそれらをソートするという初期作業を行な
う。これは、他の領域を塞ぐ領域（オクルージョンを生
じる領域）を最後に描くためである。ソータ部１０４
は、この物体の描画や、その後のすべての動画化に先立
って、定義／エディタ部１０２によって定義された物体
データをしかるべく読取り、後に用いるためにこの領域
の対応するソートされたリストを生成する。

【００３５】映像表示装置５０のような２次元画面の物
体の様相、結果的にはフレーム・バッファ４０に格納さ
れる画像データは、その物体が見られる方向に左右され
る。これは、また、映像表示装置５０の平面に対応す
る、その物体と抽象的な視点との間の定義された距離に
も左右される。従って、コンピュータ１００には、入力
装置３０を介して、オペレータが、視方向すなわち方向
と距離を定義する（例えば視点及び／又は方向の座標を
定義することによって）ことができる視野制御部１０６
が含まれる。個々の視点を一度に一つ定義するよりはむ
しろ、入力装置３０を用いて、例えば動作方向と速度を
指定することによって、連続的視点の軌道すなわち視方
向を定義してもよい。それによって、連続的に描画され
る画像を動画化することができる。このような軌道は、
パラメトリック曲線を定義する制御点によっても便宜的
に表現される。

【００３６】視方向もしくは距離の少なくともいずれか
を定義するデータによって、その物体と映像表示装置５
０の抽象的な平面（抽象的な視点）との間の相対的な距
離と方向が定義される。単一の物体だけが表示される場
合、データとしては、その物体の位置と方位、若しくは
画面の位置と方位のどちらかを定義すればよい。なぜな
ら、重要なことはその両者（物体と画面）の間の相対的
傾きだからでる。一方、相互に定義された位置に複数の
物体を描く場合には、ある物体を見る位置あるいはある
物体の１回毎の新しい位置のいずれかを、視野制御部１
０６によって定義できることが望ましい。そうすれば、
１つの物体を別個に移動するか、もしくは、すべての物
体に対して相対的に視点を移動すればよいことになる。

【００３７】映像表示装置５０に対応する、視平面との
相対的位置関係で、その物体の相対的方位を定義した後
に、コンピュータ１００は、映写制御部１０８がそれぞ
れの３次元物体を２次元視平面に変換して映写するのに
必要なデータを持つことになる。映写制御部１０８によ
ってこのように映写された各２次元視平面領域は、次
に、ソータ部１０４によって予め定義された順序で、そ
の領域を描画する（すなわち、フレーム・バッファ４０
内の各ピクセル記憶場所に、その領域内の適切な色値を
割当てる）描画部１１０によって描画される。我々の出
願（英国出願番号９１１９４１）に詳細に解説されてい
るように、その物体の外側に面している領域（“前
面”）だけを描画する必要がある。従って、描画部１１
０は、各領域をテストして、映写面において各領域が向
けられている方向を決定するように配置されている。す
べての領域を描画し、対応する画像データをフレーム・
バッファ４０中に書込んだ後で、視野制御部１０６は、
もし必要であれば、視点を更新する。そして、少なくと
も、視点が変った場合でも、映写制御部１０８と描画部
１１０によって、上記のプロセス過程が再実行される。

【００３８】上述のように、視野制御部１０６、映写制
御部１０８及び描画部１１０は、曲面と軌道を定義する
１組の制御点に反応する。本発明は、定義／エディタ部
１０２に応用性がみられ、システムのユーザが直感的に
これらの制御点を定義することが可能である。

【００３９】＜Ｂ−スプライン曲線による受信点補間＞
図３の（ａ）は、３次元空間で定義する必要がある曲線
Ｑ（ｔ）を例示するものである。尚、ｘ，ｙ，ｚ軸がこ
の図に示されている。

【００４０】曲線Ｑに沿ったすべての点から成る３次元
空間の座標は、参考文献等から知られているように、Ｂ
−スプライン方程式のようなパラメトリック３次元方程
式によって演算することが可能である。Ｂ−スプライン
曲線のようなパラメトリック３次曲線には、多くの望ま
しい特徴があるが、特に、２次元あるいは３次元空間の
滑らかに変化する描画を、比較的に適当な演算条件で行
なうことができるという点に望ましい特徴がある。曲線
を再現するために必要なことは、混合関数に従って１組
の制御点Ａ_i （図で“×”で印した点）の座標の加重平
均を演算することである。曲線全体は、変数ｔの多項式
である一連の方程式によって定義される。０．０から
１．０までの所望の増分で変数を変更することによっ
て、曲線上の任意の、また、すべての点を生成すること
が可能である。各点Ｑ（ｔ）に対する方程式を、３次Ｂ
−スプライン混合関数Ｂ（区分的３次関数）の定義と共
に、図３（ｂ）に示す。

【００４１】Ｂ−スプライン曲線生成の利点は、曲線Ｑ
上の各点がせいぜいこの４つの近接制御点の位置に依存
し、その一方で、曲線全体を定義するのに、任意の数の
制御点を用いることが可能であるという点である。従っ
て、曲線上の任意の点を描画するのに必要とされる演算
性能は適度なものでよく、かつ、制御点の数とは無関係
である。スプライン曲線の不利な点としては、バーガー
＆ギリーズ著の参考文献に解説されているように、曲線
を定義する制御点を曲線が実際には通過しないことであ
る。システムのユーザの共通の望みは、マニュアルで、
若しくは、既知の物体の周囲をトレースすることによっ
て空間の１組の点を定義し、これらの点間を、これらの
点を通って滑らかに補間する曲面あるいは生成軌道を得
ることである。

【００４２】例えば、図１と図２に示されるシステムの
ユーザは、タブレット装置等の入力装置３０を用いて、
曲線Ｑを通過させたいＰ₁ からＰ_N までのＮ個の点の座
標を定義／エディタ部１０２に与えてもよい。ユーザか
ら受信したＰ₁ 〜Ｐ_N の点から、Ｂ−スプライン曲線を
定義する制御点として用いることができるＡ₀ からＡ
_N+1 までの１組のファントム点を、定義／エディタ部１
０２がどのように生成しなければならないかについて
は、参考文献に説明されている。

【００４３】Ｐ₁ からＰ_N までの受信点に加えて、曲線
Ｑを完全に定義するためには、さらに２つの制約条件が
要求される。特に、ユーザは、ｇ₁ 及びｇ_N の２つの勾
配ベクトルを定義（あるいはそのベクトルのデフォルト
値を採用）しなければならない。これらの勾配ベクトル
は、単位長のものであるが、端点Ｐ₁ とＰ_N における、
変数ｔに対する所望の曲線方向を定義するものである。
上記の及び以下の説明を通じて、各“点”及び勾配とは
多次元値（ベクトル）であり得るということを理解して
欲しい。本システムにおいて、（ｘ，ｙ）及び（ｘ，
ｙ，ｚ）という形の２次元値及び３次元値は特に適切な
ものである。

【００４４】補間するＢ−スプライン曲線Ｑ（ｔ）及び
その微分ｄＱ／ｄｔを定義する一般的な方程式から、図
４ａの方程式に示されているように、各受信点Ｐ及び勾
配ｇ ₁ 及びｇ_N はファントム点によって定義することが
可能となる。

【００４５】図４ａにおいて、Ｎ＝４の値が採用されて
いるが、これは、以下の説明における簡単な例の基礎と
するためのものである。Ｎ＝４の制御点（Ｐ₁ からＰ₄
まで）が与えられたケースにおいて、６つの連立方程式
があるということが判る。これらの連立方程式を行列形
式で記載した状態を図４ｂに示す。（Ｎ＋２）×（Ｎ＋
２）の正方行列である、第１係数行列Ｍが定義される。
列行列Ａは、その行として、Ａ₀ からＡ_N+1 までの１組
のファントム点を含むものとして定義され、一方、列行
列Ｐは、その行が（上から下へ）ｇ₁ ，Ｐ₁〜Ｐ_N ，ｇ_N
を有するものとして定義されている。従って、単一行
列方程式Ｍ・Ａ＝Ｐによって、図４ａの１組の連立方程
式が定義される。

【００４６】この６×６の行列Ｍの中央部分は、主対角
線上に集中した各行中に繰り返される１／６、２／３、
１／６というパターンの正則構造を持っていることが判
る。この行列Ｍ全体は、定数スプライン方程式、及び、
受信制御点Ｐの変数Ｎに依存する１組の規則によって定
義される。さて、現時点で必要なことは、ファントム点
Ａを受信点Ｐから演算することである。前記参考文献で
は、これに対して、行列Ｍの逆行列Ｍ^-1である、係数行
列を用いることが可能であるという提案がなされてい
る。なぜなら、方程式Ｍ・Ａ＝ＰからＡ＝Ｍ^-1・Ｐとい
うことが当然の結果として生じるからである。

【００４７】図４ａと図４ｂから判るように、各制御点
Ｐ_i は、ファントム点Ａ_i の中のちょうど３つの点の組
合せであることが判る。また、行列Ｍのほとんどのエン
トリは０である。しかしながら、この同じことは逆行列
Ｍ^-1には当てはまらない。というのは各ファントム点Ａ
_i が、与えられた点Ｐ_i と勾配ｇ₁ とｇ_N のすべてにあ
る程度まで左右されるという結果を伴うからである。従
来技術では、Ｎの異なる値に対して、ガウス消去法によ
る逆行列の前演算法や将来のルックアップのための格納
方法が説明される。しかしながら、多数でかつ変りうる
数の点に対して、このように多数の大きな行列を格納す
ることは実際的ではない。また一方、多数点の逆行列を
演算することは、非常に多くの処理時間を必要とするの
で、対話型の操作を事実上妨げることになる。

【００４８】＜端が開いている曲線の例＞図５ａ〜図５
ｉは、本装置によって実現される代替方法を示すもので
ある。本手法によれば、行列Ｍを定義する規則と所望の
行列サイズを知ることにより逆行列Ｍ^-1を直接生成する
ことが可能となる。ガウス消去法のような従来の方法と
は対照的に、実際に、完全な行列Ｍを構築する必要も、
単位行列と等しい第２行列を構築する必要もない。説明
として、単位行列とは、エントリが、主対角線（ｉ＝
ｊ）で１で、かつ、他のところ（ｉ≠ｊ）では０である
行列であるということでよく知られている。図５ａ〜図
５ｉに示された各ステップにおいて、本例の逆行列Ｍ^-1
の未定義のエントリが“×”印で示されている。行列記
法の規定に従って、任意の特定エントリを、Ｘ_ijとして
参照することとするが、これは、行列のｉ行とｊ列のエ
ントリが“Ｘ”であることを示す。諸例の間で一貫性を
保つという理由のために、この本文において、第１番目
の行と列はそれぞれｉ＝０及びｊ＝０というインデック
ス値によって識別する。

【００４９】この装置は、所望の逆行列の検査によって
導出された、予め格納された規則に従って動作する。こ
れらの規則は、本文で“除数級数”及び“列級数”とし
て参照される２つの級数を定義するために、表わされた
ものである。除数級数の項ＤＳ_i は、２つの初期値及び
再帰関係によって以下のように定義される。即ち、ＤＳ₁ ＝１ＤＳ₂ ＝４ＤＳ_i ＝４×ＤＳ_i-1 −ＤＳ_i-2 （ｉ＝３，４，５
…）となる。

【００５０】除数級数の値は従って１，４，１５，５
６，２０９などである。除数ｄは、逆行列Ｍ^-1に対して
定義され、この除数は除数数列、ＤＳ_N-1 の（Ｎ−１）
番目の項である。従って、Ｐ₁ からＰ₄ までの制御点が
定義されている（Ｎ＝４）例では、除数ｄは１５であ
る。この除数を演算した後は、除数級数はそれ以上の目
的には寄与しない。

【００５１】列級数ＣＳは、その２つの初期値及び再帰
関係によって以下のように定義される。即ち、ＣＳ₁ ＝１ＣＳ₂ ＝２ＣＳ_i ＝４×ＣＳ_i-1 −ＣＳ_i-2 （ｉは３，４，５…）となる。

【００５２】列級数の値は従って１，２，７，２６，９
７などである。この装置によって、列級数の最初のＮ項
が演算され、将来の使用のためにこれらは格納される。

【００５３】次いで、この装置によって、級数がペナル
ティメート項ＣＳ_N-1 から開始し、後方へ進みながら１
つおきの各項に−（負号）をつけることによって、修正
列級数ＣＳ’を作成する。Ｎ＝４の例の場合、従って、
修正列級数は−１，２，−７，２６となる。又、Ｎ＝５
の場合であれば、修正列級数は１，−２，７，−２６，
９７となる。

【００５４】乗数ｍも、この処理のために定義され、そ
れは、与えられた点Ｎの数が偶数か奇数かによって、以
下のように定義される。即ち、ｍ＝−２．０（Ｎは偶数）ｍ＝２．０（Ｎは奇数）となる。

【００５５】修正列級数ＣＳ’、除数ｄ、及び乗数ｍを
定義してしまうと、本装置は、今度は、いくつかの単純
な規則に従って所望の逆行列Ｍ^-1を直接生成することが
できる。Ｎ＝４の場合を例にとって、図５ａから図５ｉ
を参照しながら説明する。

【００５６】最初に、本装置は、サイズＮ×Ｎの内部正
方行列の生成を行い、完全逆行列の、最初の列と最後の
列、及び最初の行と最後の行は無視される。この内部行
列は、図５ａのダッシュで囲まれた領域となる。

【００５７】図５ａに示されるように、内部行列の最初
の列（第１番目の列に対してｊ＝０なので内部行列の最
初の列はｊ＝１となる）は、最下部左隅（Ｘ₄₁）から順
に、修正列級数の先頭より４つの項によって定義され
る。図５ｂと図５ｃで、以下に述べるように、本装置
は、内部行列の対角下半分（ｉ＝１〜４；ｊ≦ｉ）にお
けるエントリの生成を完了する。

【００５８】図５ｂで、本行列の第３列（即ち、内部行
列の第２列（ｊ＝２））の値は、乗数ｍと修正列級数の
第２項ＣＳ’₂ との積を、図５ａで形成された第２列
（ｉ＝１）の対応するエントリに乗ずることによって、
第３行（ｉ＝２）から第（Ｎ＋１）行（ｉ＝４）までの
エントリが生成される。すなわち、第３列のこれらのエ
ントリには、ｍ＝−２（Ｎが偶数であるため）とＣＳ’
₂ ＝２を乗じて得られた−４と、第２列の対応するエン
トリとの積となる。例えば、Ｘ₂₂＝−７×−２×２＝２
８となる。

【００５９】図５ｃで、行列の第４列（内部行列の３
列）の下２つのエントリが、同じようにして生成され
る。今度は、この行列の第２列の対応する行の各エント
リに、乗数ｍと修正列級数の第３項（ＣＳ’₃）を乗じ
てエントリの生成が行なわれる。例えば、行列の第５行
と第４列のエントリＸ₄₃は−１４となるが、これは、−
１（第２列の対応するエントリＸ₄₁）と、ｍ＝−２及び
ＣＳ’₃ ＝−７の積である。

【００６０】以上のようにして演算された係数は、図５
ｄにおいて除数級数ＤＳから演算された除数ｄ＝１５
で除される。図５ｅで、対角指定下半分の値は、シンメ
トリー規則に従って、対角指定上半分の対応する位置に
コピーされる。そのため、内部行列の右半分の各列は、
内部行列の左半分の対応する列の“上下逆さま”コピー
となる。

【００６１】図５ｆにおいて、行列の第１行（ｉ＝０）
が、第３行（ｉ＝２）をコピーすることによって生成さ
れる。又、図５ｇでは、行列の底の行は、底の行（第Ｎ
＋１行）から数えて第３番目の行（本例では、ｉ＝Ｎ＋
１−２＝Ｎ−１＝３の行）をコピーすることによって生
成される。この時点で、所望の逆行列Ｍ^-1の第１列と最
後の列が生成される状態が続く。

【００６２】逆行列の定義は、行列Ｍと逆行列Ｍ^-1の積
が、サイズ（Ｎ＋２）×（Ｎ＋２）の単位行列Ｉと等し
くなければならないことを意味する。この関係式から、
また、行列Ｍの特別な形から、すでに見つけられている
逆行列の内部部分中のエントリを用いて、逆行列の第１
列から欠けている値を演算するための、利用可能な単純
な公式が見出されている。

【００６３】図６にこれらの公式を示す。この公式は、
第１番目のＸ₀₀をＮとエントリＸ₀₁で表わす第１方程式
と、残りエントリＸ_i0をそれに隣接したエントリＸ_i1と
Ｎとで表す第２方程式を含む。

【００６４】図５ｇに示される状態へ戻る。図６に示さ
れる方程式は、行列Ｍの形式によって予め決められるも
のであるが、ここでこれを用いて、逆行列の第１列のＸ
₀₀からＸ₅₀までのエントリをすべて生成することが可能
であることが認識されるであろう。図５ｇの例ではＮ＝
４であるので、因数２／（Ｎ−１）は値２／３を有す
る。一方、値Ｘ₀₁は値−７／１５を持つ。図６の第１方
程式は、本装置によって用いられ、エントリＸ₀₀に対し
て値−９７／１３５が導出される。図６の第２方程式も
同様に用いられ、行列の第２列のエントリから、Ｘ₁₀か
らＸ₅₀までの残りのエントリが導出され、図５ｈのよう
になる。そして、図５ｉにおいて、図５ｈの如く導出さ
れた第１列のエントリを底からトップへと読取り、各々
に−をつけることによって、逆行列の最も右側の列（ｊ
＝Ｎ＋１）が生成される。

【００６５】これで逆行列Ｍ^-1の導出は完了する。ここ
から、定義／エディタ部１０２によって、与えられた点
Ｐ₁ からＰ_N について、Ａ₀ からＡ_N+1 のパラメトリッ
ク制御点が演算される。

【００６６】図５ａ〜図５ｉにおいてＮ＝４の特定例が
例示されているが、一般規則を定義することによって、
本装置を用いて任意のＮの値に対してこのような行列の
逆行列を作ることが可能であるということが見出されて
いる。後で、図１１〜１４を参照しながら、これらの規
則をより明白に説明する。しかしながら、この時点で、
補間可能な曲線のタイプに関していくつかの変種を考慮
することが好都合であろう。

【００６７】まず、端勾配ベクトルｇ₁ とｇ_N が両方と
も０に設定される特別の場合、上記の方法の特別の変種
は有効である。これによって、ユーザの操作が単純化さ
れ、ユーザは、多くの場合満足な結果を生む一方で、補
間のための点Ｐを単に定義するだけでよい。さらに、端
勾配が０の場合、逆行列Ｍ^-1の最初と最後の列は冗長な
ものとなり演算する必要がなくなる。従って、図５ｇの
如くエントリが求められた後、図５ｈ及び図５ｉの処理
を行うことなく、例示された処理を終了することが可能
となる。その結果、与えられた４つの制御点Ｐ₁ 〜Ｐ₄
によって、有効にＡ₀ 〜Ａ₅ までのファントム点が定義
される。更に、図５ｇにおいて、行列の第１行が第３行
と同一であるということ、及び、最後の行は最後の行か
ら３番目の行と同一であるということに気付くであろ
う。それゆえ、第１ファントム点Ａ ₀ はファントム点Ａ
₂ と同一であり、ファントム点Ａ_N+1 はファントム点Ａ
_N-1と同一である。従って、図５ｅの如く逆行列のエン
トリが求められた後、本処理を停止することによって、
処理負担をさらに省くことができる。つまり、内部行列
を用いて、Ｐ₁ からＰ₄ までの受信点から、点Ａ₁ から
Ａ₄ までの４つのファントム点を生成し、そして、この
生成されたファントム点Ａ₂ とＡ₃ （Ａ_N-1 ）を単にコ
ピーすることによってファントム点Ａ₀ とＡ₄ （Ａ
_N+1 ）がそれぞれ生成される。

【００６８】＜閉曲線の例＞図７に閉ループの場合を例
示する。この閉ループにおいて、例えば、Ｎ＝４の場
合、ユーザが定義した、Ｐ₁ からＰ₄ までの４つの受信
点が１つの連続曲線Ｑを完全に定義するようになってい
る。Ａ₁ からＡ₄ までの４つのファントム点によって、
補間すべきＰ₁ からＰ₄ までの受信点を定義する４つの
連立方程式が、図８の（ａ）に示されている。これらの
方程式の中に、また、これと等価な図８の（ｂ）に示さ
れた行列方程式中に、係数１／６、２／３及び１／６の
パターンを明白に見ることができる。このパターンは、
新しい行列Ｍの各行で繰り返されるが、このパターン
は、端が開いている例（図４ｂ）の行列Ｍの内部部分に
もまさに密接に対応するものである。このパターンは、
主対角線上に集中するように行列の行から行へ移される
が、一方、行列のトップの左に現れる１／６という係数
は、トップの右位置まで「ラップアラウンド」され、ま
た、同様に、底の右からの係数は底の左に現れるように
ラップアラウンドされる。

【００６９】この「ラップアラウンド」特徴の必然的結
果として、どの点が最初の点で、どの点が最後の点であ
るかという選択は、１つの閉曲線上では、全く任意であ
るということが観察される。これは逆行列Ｍ^-1が、エン
トリの位置での周期的な桁送りを除いて同一行を含んで
いるということがこの観察から生じる当然の結果であ
る。従って、この装置は、１つの閉曲線に対して、逆行
列の１つの行だけを明示的に演算するように作動する。
そして、これは受信点Ｐ_i に対して適用され、対応する
ファントム点が巡回的に生成される。事実、この繰返し
行は係数の１つに関して対称的になるので、行列の１つ
の行の半分だけを明示的に演算する必要があるというこ
とが認識されている。本例において採用されている手順
は以下のとおりである。

【００７０】図９の（ａ）から（ｆ）に示されているよ
うに、端が開いている曲線に関して２つの級数が演算さ
れる。この場合、この級数は、除数級数ＤＳと行級数Ｒ
Ｓである。級数項ＤＳとＲＳに対する公式は曲線の受信
点の数Ｎが奇数か偶数かに依存する。Ｎが偶数の場合、
級数は以下のように定義される。即ち、ＤＳ₁ ＝１ＤＳ₂ ＝４ＤＳ_i ＝４×ＤＳ_i-1 −ＤＳ_i-2 （ｉは３，４，５…）ｄ＝ＤＳ_N/2 ＲＳ₁ ＝１ＲＳ₂ ＝２ＲＳ_i ＝４×ＲＳ_i-1 −ＲＳ_i-2 （ｉは３，４，５…）となる。

【００７１】又、Ｎが奇数の場合、級数は以下のように
定義される。即ち、ＤＳ₁ ＝１；ＤＳ₂ ＝３ＤＳ_i ＝４×ＤＳ_i-1 −ＤＳ_i-2 （ｉは３，４，５…）ｄ＝ＤＳ_1+N/2 ＲＳ₁ ＝１ＲＳ₂ ＝５ＲＳ_i ＝４×ＤＳ_i-1 −ＤＳ_i-2 （ｉは３，４，５…）となる。

【００７２】除数ｄは、上記に定義されているような除
数級数から演算され、Ｎが偶数の時はｄ＝ＤＳ_N/2、Ｎ
が奇数の時はｄ＝ＤＳ_1+N/2となる。整数演算を用い
て、これらの式の両方を組合せて、単一の論理式ｄ＝Ｄ
Ｓ_(N+1)/2 を得ることが可能であることが、以下明らか
となるであろう。

【００７３】この行級数ＲＳは、１＋Ｎ／２項（Ｎ／２
は用いられた整数演算によって丸められる）の長さまで
演算される。従って、Ｎ＝４の場合、行級数には３つの
項１、２及び７が含まれるようになる。先の例における
列級数ＣＳと同様に、ペナルティメート項から始めて後
ろ向きに数えながら、行級数の各項に１つおきに−（負
号）をつけることによって、修正行級数ＲＳ’が生成さ
れる。従って、Ｎ＝４に対して、修正行級数ＲＳ’は
１、−２、７である。次いで、修正行級数のこれらの項
は、除数（ｄ＝４）で単に除され（図９の（ｂ））、１
＋Ｎ／２個の係数が形成される（図９の（ｃ））。次い
で、（１＋Ｎ／２）番目の係数について係数を「反射」
することにより、残りの係数が生成される。このように
して、必要とする逆行列の（１＋Ｎ／２）番目の行が得
られる（図９の（ｄ））。その他の行については、単に
図９の（ｅ）に示されているように、図９の（ｄ）と同
じものを移動して得られる。

【００７４】図９の（ｆ）に示されるように、追加点Ａ
₅ 及びＡ₆ （すなわちＡ_N+1 及びＡ _N+2 ）は定義される
が、これは単に最初の２つの生成点Ａ₁ とＡ₂ をコピー
したものである。これは、生成点Ａ_i が、スプライン曲
線を生成するための制御点として用いられるその後の処
理にとって、閉曲線の場合のラップアラウンドのことを
心配することなく、同じ手順を端が開いている曲線と閉
曲線の双方に対して用いることができるという点で便利
である。

【００７５】図１０ａ〜図１０ｆに、奇数Ｎ＝１１の点
によって定義された、より大きな閉曲線に対応するため
の手順が例示されている。図１０ａは曲線Ｑを示し、こ
の曲線はＰ₁ からＰ₁₁までのユーザ指定制御点を補間
し、Ａ₁ からＡ₁₁までのファントム制御点によって定義
される。ファントム点Ａ_i によってユーザ指定点Ｐ_i を
定義する１１個の線形方程式を、図１０ｂに行列形式で
示す。１１×１１の係数行列の正則構造を明らかに見る
ことができ、この中で、パターン１／６、２／３、１／
６が、主対角線に沿って再び繰り返されている。前記参
考文献では、この行列を反転させるということが提案さ
れるにすぎないであろうが、本装置では、Ａ₁ からＡ₁₁
までの所望のファントム点を以下のようにより直接的に
演算することができる。

【００７６】図１０ｃで、除数級数ＤＳが６つの項まで
演算され、第６項が除数ｄ＝５７１として選択される。
図１０ｄで、行級数ＲＳがやはり第６番目の項まで演算
される。次いで、修正行級数ＲＳ’が、最後から２番目
の生成項から１つおきに各項に−をつけることによって
生成される。次いで、修正行級数ＲＳ’が除数ｄで除さ
れ、求めるべき逆行列の中央行（第６番目の行）の最初
の６つの項が生成される（図１０ｅ）。図１０ｆで、求
めるべき逆行列の中央行の残りの項が、「反射」によっ
て第６の項のもう一方の側に生成される。

【００７７】＜一般化された実施例＞上記の例から生じ
る結果として、図１１〜１３のフローチャートを参照し
ながら、より形式的に、一般的な条件で本装置の作動を
定義することができる。

【００７８】図１１のフローチャートによって、この装
置の動作の概要が与えられており、このフローチャート
には、定義／エディタ部１０２、視野制御部１０６、映
写制御部１０８及び描画部１１０の動作が含まれてい
る。しかしながら、本明細書にとって特に有意義なもの
としては、定義／エディタ部１０２によって実行される
ような、ユーザによる定義点を補間するスプライン物体
の定義である。このフローチャートはステップ１１００
から始まり、以下のように続く。ステップ１１０２で、
これまで未定義の数Ｎの制御値が、入力手段３０を介し
てユーザから受信されるが、これらの値は、２次元ある
いは３次元空間のＰ₁ からＰ_N までのＮ個の点Ｐを定義
するものである。１１０４で、ユーザは、受信点のさら
なる処理を行なうための使用可能な機能の範囲からの選
択を促される。ここで、例えば、ユーザはＢ−スプライ
ン補間機能に従ってＰ₁ からＰ_N の点を通る曲線を示す
という機能を選択をするように促される。他の機能とし
て、例えば、多角形定義を含め、指定された記憶場所、
あるいは、任意の記憶場所にこれまで定義した物体を複
製することも含まれよう。

【００７９】Ｂ−スプライン補間が選択されたと仮定す
ると、制御はステップ１１０６に移り、ユーザは、端が
開いている曲線か閉じている曲線のいずれかを選択する
ように要求される。端が開いている曲線を所望すると、
ユーザは、ｇ₁ からｇ_N までの端勾配を指定するように
促される（ステップ１１０８）。この時点で、ユーザは
デフォルト値ｇ₁ ＝ｇ_N ＝０の指定を単に選択してもよ
い。閉曲線が生成される場合、端部の制約条件は暗黙裡
に含まれているのでステップ１１０８は必要とされな
い。

【００８０】ユーザに関する限り、所望の曲線はここで
定義され、定義／エディタ部１０２によって、上記の例
のようなファントム点が生成され始める。端が開いてい
る曲線の場合と、閉曲線の場合とで異なるプロセスが含
まれているという観点から、夫々別個のモジュール１１
１０ａと１１１０ｂによってファントム点が生成され
る。これらのモジュールについて、図１２と１３を参照
してより詳細に後述する。ステップ１１１２で、生成さ
れたファントム点は、スプラインオブジェクト定義とし
て必要制御情報と一緒に、装置が所有するメモリ（図１
の２０、６０）のオブジェクトデータベースに格納され
る。この時点で制御は、より多くの曲線を必要とする場
合、あるいは例えば、スプライン曲面片を定義する１組
の曲線を処理する場合、ステップ１１０２に返されても
よい。

【００８１】一度オブジェクトデータベースが完全なも
のになれば、視野制御部１０６と映写制御部１０８が作
動し（ステップ１１１４）、一般的な方法で視方向と物
体方位に従ってスプラインオブジェクト定義が変換され
る。ステップ１１１６で、描画部１１０が、スプライン
重み関数を用いて、一般的な方法で、変換されたファン
トム点の間を再補間して、表示画面あるいは他の画像録
画媒体上へスプラインオブジェクトを描画する。１１１
８で、制御をステップ１１１４と１１１６へ繰返し戻し
て、様々な位置と角度から目に見えるのと同じ様に、オ
ブジェクトデータベースの物体画像を描画してもよい。
各繰返しのための視位置は、ユーザによって対話処理に
よって定義されてもよいし、あるいは、前もって定義し
た軌道に従って定義されてもよい。見る位置によって、
ユーザによって定義された一連の点が滑らかに補間され
るように、この軌道それ自体が、上記のように定義／エ
ディタ部１０２によって定義されたスプラインオブジェ
クトであってもよい。

【００８２】図１２ａと図１２ｂは、端が開いている曲
線のためのファントム点が生成される際の本装置の動作
手順（すなわち、図１１のステップ１１１０ａの動作）
を定義するフローチャートを示す。ステップ１２００
で、除数ｄが演算されるが、これは、除数級数ＤＳ_N-1
の（Ｎ−１）番目の項として定義される。この目的のた
めに、除数級数の値は任意の長さまで前もって格納され
ていてもよいし、あるいは必要に応じて生成されてもよ
い。ステップ１２０２で、列級数ＣＳが、Ｎ項の長さま
で生成され、ステップ１２０４で修正されて、修正列級
数ＣＳ’が生成される。ステップ１２０６で、乗数ｍ
が、Ｎの値が偶数か奇数によって、それぞれ、−２．０
あるいは２．０のいずれかに設定される。行列Ｍの逆行
列Ｍ^-1を形成する係数演算のための必要定数を生成した
後、装置はステップ１２０８から１２２２へ処理を続
け、この係数行列の内部部分が生成される。

【００８３】ステップ１２０８及び１２２２によって
“ＦＯＲループ”が定義され、これによって、内部行列
の各行が順番にアドレス指定されるように、インデック
スｉが１から増分１で値Ｎまで進む。ステップ１２１０
で、カレント行ｉの第１エントリＸ_i1は、修正列級数か
ら項ＣＳ’_N+1-i をコピーすることによって生成され
る。本装置では、図５ｅに対応するコピー処理のために
別個のＦＯＲループを用いずに、即座に値Ｘ_i1を対角線
を軸に対向するエントリ（Ｘ_(N+1-i),N ）にコピーする
（ステップ１２１２）。ステップ１２１４及び１２２０
によって内部“ＦＯＲループ”が定義され、これによっ
てインデックスｊがインクリメントされて、行ｉにおけ
る内部行列の対角線下半分にさらなるエントリのアドレ
スを指定する。インデックスｊが、ステップ１２１４に
おいて値２に初期設定され、インデックスｉがそのまま
１に等しい場合、制御は直接ステップ１２２２へ移る。
索引ｉが１に等しくない場合は、修正列級数ＣＳ’から
の乗数ｍ、除数ｄ及び２つのエントリを用いて、ステッ
プ１２１６で各係数Ｘ_ijが演算される。再び、ステップ
１２１８で、ステップＳ１２１６で得られたエントリＸ
_ijが、行列の対称性に従って、対角線を軸に対向するエ
ントリＸ_{(N+1-i),(N+1-j)} へコピーされる。内部行列の
ｉ＝１からＮまですべての行が生成された後、図１２ｂ
のステップ１２２４へ制御が移る。

【００８４】ステップ１２２４で、曲線の両端の勾配が
検査され、デフォルト値ｇ₁ ＝ｇ_N＝０が端勾配に対し
て選択されたか否かによってさらなる処理が実行され
る。デフォルト値が適用された場合、図５の例に関して
説明したように、処理は単純化され、ステップ１２２６
から１２３４に従って内部行列の係数から、Ａ₀ からＡ
_N+1 までのファントム点を直接生成することが可能とな
る。ステップ１２２６と１２３０によって、インデック
スｉが１からＮまで変化するＦＯＲループが定義され、
このループ内のステップ１２２８によって対応するファ
ントム点が生成される。行列乗法の定義に従って、Ａ_i
は、ｊ＝１からＮに対応する係数Ｘ_ijと関連する受信点
Ｐ_j との積の和として定義される。

【００８５】次いで、デフォルト端条件が選択された状
態では、点Ａ₂ を単にコピーすることによって、点Ａ₀
がステップ１２３４で生成される。一方、点Ａ_N+1 は、
点Ａ _N-1 をコピーすることによってステップ１２３２で
生成される。Ａ₀ からＡ_N+1までのすべてのファントム
点がこのようにして生成される。

【００８６】ステップ１２２４へ戻って、デフォルト条
件が適用されない場合、係数を表わす、行列の外側の行
及び列は、ファントム点が生成される前に、演算されな
ければならない。この目的のために、ステップ１２３６
と１２４２によって、ステップ１２３８及びステップ１
２４０を含むＦＯＲループが定義される。この結果、イ
ンデックスｊが１からＮまで変化し、行列の各列が順番
にアドレス指定される。ステップ１２３８で、第１行及
びカレント列の係数Ｘ_0jが、第３行から係数Ｘ _2jをコピ
ーすることによって生成される。同じ様にして、ステッ
プ１２４０で係数Ｘ_(N+1),j が、最後の行から３番目の
エントリＸ_(N-1),j をコピーすることによって、生成さ
れる。

【００８７】次いで、ステップ１２４４で、第１列の第
１エントリＸ₀₀が、図６で導出された論理式に従ってそ
の右側のエントリを用いて生成される。ステップ１２４
６で、エントリＸ₀₀がコピーされ、−（負号）をつけら
れて、対角線を軸に対向するエントリＸ_(N+1),(N+1) が
生成される。ステップ１２４８と１２５４でステップ１
２５０と１２５２とを含むＦＯＲループが定義され、ｉ
＝１からＮ＋１までの行のアドレス指定によって最初と
最後の列の残りの係数が生成される。ステップ１２５０
で、図６において示された式に従って、係数Ｘ_i0が係数
Ｘ_i1から生成され、ステップ１２５２で、これはコピー
され、−をつけられて、対角線を軸に対向する係数Ｘ
_(N+1-i),N が生成される。

【００８８】以上で、完全な係数行列Ｍ^-1が生成された
ので、Ａ₀ からＡ_N+1 までのファントム点を生成するこ
とが可能となる。ステップ１２５６と１２６０で、イン
デックスｉが０からＮ＋１まで変化するループが定義さ
れ、ループ内のステップ１２５８によって対応するファ
ントム点Ａが、行列乗法の標準規則に従って、再びカレ
ント行ｉに沿って総和を行なうことにより生成される。

【００８９】図１３ａは、閉曲線（図１１のステップ１
１１０ｂ）の場合のファントム点を生成するためのフロ
ーチャートを示す。ステップ１３００で、除数級数ＤＳ
は前もって定義した規則に従って生成されるが、この級
数は受信制御点の数Ｎが奇数か偶数かに依存することは
前述の通りである。ステップ１３０２で、除数ｄが決定
されるが、これは、除数級数の項である。普通のＤＳ
_(N+1)/2 浮動小数点演算システムが、本装置の係数及び
ファントム点の演算に適用されるのに対して、これらの
例のインデックスｉとｊは、整数演算回路だけを用いて
演算されるということは重要である。この結果を図１４
に例示する。この中で、表は７〜１４の範囲のＮの値に
対する（Ｎ−１）／２、Ｎ／２及び（Ｎ＋１）／２の値
を示す。標準演算という点から、これらの式の意味は、
例示されているようにＮが奇数であるか偶数であるかに
左右される。例えば、Ｎが１１か１２のいずれかの場
合、除数ｄの値は、除数級数の第６項になることが判
る。

【００９０】ステップ１３０４で、行級数ＲＳは、第
（Ｎ／２＋１）項の合計に演算される。ステップ１３０
６で、修正行級数ＲＳ’は、上記に説明した規則に従っ
て（すなわち、ペナルティメート項から始まり後方へ進
みながら、１項おきに−をつけることによって）生成さ
れる。上記閉曲線の例で注意したように、ファントム点
Ａ_i を生成するためには、係数行列を完全に生成するこ
とが必要である。従って、作動中の装置で、図１３ａの
フローチャートに従い、ファントム点は、修正行級数Ｒ
Ｓ’値を係数として用いて直接生成される。ステップ１
３０８と１３１２で、ｉ値が１からＮまで変化し、各フ
ァントム点Ａ_i が順番にアドレス指定されるように、ス
テップ１３１０を含むループが定義される。ｄによる除
算は、上記の例とは対照的に、各ファントム点に対して
一度だけ実行されるが、同じ端結果を生じる。ステップ
１３１０で示される公式内には３つの項があり、それら
の内の２つには、総和値が含まれる。中央項によって、
係数ＲＳ’の中の最大値ＲＳ’_N/2+1 ／ｄに、現在生成
されているファントム点Ａ_i に対応する受信点Ｐ_i が乗
ぜられる。この左側の項では、ｊが１からＮ／２まで変
化する総和によって、ＲＳ’により定義された係数の級
数に、対応する点Ｐ_(i-j) がＰ_i の左側まで乗ぜられ
る。同様に、ｊが１から（Ｎ−１）／２まで動く２番目
の総和には、点Ｐ _(i+j) から点Ｐの右側までの寄与が含
まれている。図１３ｂで示されるように、インデックス
（ｉ−ｊ）と（ｉ＋ｊ）は“モジュロ−Ｎ”関数（％
Ｎ）によって修正され、正確な「ラップアラウンド」
が、点Ｐ₁ から左方向へＰ_N まで、そして、点Ｐ_N から
右方向へＰ₁ まで成し遂げられる。閉曲線を定義するの
に必要な、Ａ₁ からＡ_N までのファントム点を生成した
後、装置はステップ１３１４で、点Ａ_N 、Ａ₁ 及びＡ₂
をそれぞれコピーすることによってさらに、点Ａ₀ 、Ａ
_N+ ₁ 、及びＡ_N+2 を生成し始める。これによる利点は、
スプライン曲線描画ステップ１１１６（図１１）が端が
開いている曲線と閉曲線との区別をせずに、Ａ₀ からＡ
_N+2 までのこの拡張された１組の点をそれに与えること
によって作動することができるということである。そし
て、このようにすることで、所望の閉曲線が描画される
という結果になる。

【００９１】上記の説明から、上記に説明したような装
置によって、従来技術で提案されるような、Ｎ×Ｎ行列
の係数を構築し、反転する必要なく、ユーザから受信さ
れたＮ個の点を補間するスプラインオブジェクトを定義
する方法が、提供されているということが認識されるで
あろう。特に、単純で前もって定義した１組の規則から
直接生成された係数を用いて、受信点から１組のファン
トム点を生成することが可能であることが示された。一
度曲線のタイプが定義されると（本例ではＢ−スプライ
ン）、これらの規則をインプリメントする目的のための
唯一の変数は、実際上受信点の数Ｎである。演算処理装
置によって実行される必要がある演算の数、特に、時間
を消費する除法及び乗法作動の数は、上記の装置で軽減
され、増加するＮに関してただ線形的に増加する傾向を
もつ。従って、説明してきたような装置は任意の多数の
受信点に対して作動することが可能であり、特に、与え
られた点の数を従来の知られているシステムより迅速に
補間する曲線を生成することが可能となる。その結果、
特に、ユーザが、新しい点を入力したり、すでに存在す
る点を移動した場合に引起こされるスプラインオブジェ
クトに対する影響を対話処理によって見ることが可能と
なる。

【００９２】＜近似モード＞しかしながら、本当に対話
型の動作を行なうために、上記の装置でも、普通のパー
ソナル・コンピュータで実行された場合、補間すべき非
常に多数の点に直面すると、処理スピードが遅くなる可
能性がある。従って、ここまで説明したような装置の単
純な変更によって受信点の近似補間が達成され、特に、
装置の表示画面上での対話型操作を行なうためのある実
施例を今から説明する。図１１のフローチャートによっ
て提供された動作の概観を参照すると、装置の機能選択
ステップ１１０４によって、ユーザが、ステップ１１０
６〜１１１２によって実現される完全なＢ−スプライン
補間の選択とは異なる近似補間を選択できることが点線
によって示されている。

【００９３】近似補間モードにおける作動の主要点は以
下のとおりである。これまで言及したように、各ファン
トム点位置Ａ_i は、受信されたＮ個の制御点Ｐ₁ からＰ
_N の全てに左右され、その当然の結果として、逆行列Ｍ
^-1の係数がすべての位置でゼロでない値を持つようにな
ると言うことは、厳密に言って、真実である。しかしな
がら、実際上は、多数のＮの値に対して、主対角線から
遠い逆行列の係数が０に近づくことが観察される。言い
かえれば、Ｐ₁ からＰ_N までのすべての点が理論的にフ
ァントム点Ａ_i の位置に寄与しているのに対して、位置
Ａ_i に対する主な影響は、対応する受信点Ｐ_i と、点Ｐ
_i に最も近接している点に由来している。従って、本装
置の近似補間機能は、受信点Ｐ_i に対応するファントム
点Ａ_i の１組の近似点を生成するように作動する。ここ
で、各近似ファントム点Ａ_i には、受信点Ｐ_i とその最
も近い隣接点の中のいくつかの点からの貢献しか含まれ
ておらず、その隣接点の中から選ぶ数は、任意の所望の
程度の精度が得られるように選択可能である。この目的
のために、装置によって、正確な上記補間例のような１
組の係数が生成されるが、これは、受信点の実際の数Ｎ
より少ないＮ’の数の点を表わす。次いで、これらの係
数は、順番に各点を生成するいわば“動く窓”のように
受信点に対して適用される。

【００９４】図１５に、Ｎ＝１００の受信点を持つ閉曲
線の場合の、この装置の近似補間機能の作動を例示す
る。この例において要求される精度の程度は、Ｎ’＝１
１となるように設定されている。従って、この係数の核
は、図１５ａの１５００に例示されるように修正行級数
ＲＳ’から生成される。この核を生成するのに必要とさ
れる動作は、図１３ａのフローチャートのステップ１３
００〜１３０６に例示されている手順と全く同じである
が、受信点の合計数Ｎの代りに用いられる値はＮ’であ
る。従って、核１５００は図１０ｆで誘導された係数の
行と全く同じである。

【００９５】１組のＭ’個の係数を定義した後、図１５
ｂに示される公式を用いて、ｉ＝１からＮまでの値に対
して近似のファントム点位置Ａ_i を生成することが可能
となる。この公式は、図１３ａのステップ１３１０中で
用いられたものと同一であるが、ｊの値の範囲を決定す
るために、Ｎ自身の代りにＮ’の値が用いられているこ
とに気付くであろう。従って、２つの総和項で、点Ｐの
一方の側で５つの受信点だけが、モジュロ−Ｎ機能によ
ってインデックスを付けられ、Ｐ₁₀₀ から点Ｐ ₁ （その
逆もまた同様に）まで必要なラップアラウンドが提供さ
れる。正確な補間例の場合と同じように、追加点Ａ₀ 、
Ａ₁₀₁ 及びＡ₁₀₂ が、点Ａ₁₀₀ 、Ａ₁ 、及びＡ₂ をそれ
ぞれコピーすることによって生成され、描画ステップ１
１１６（図１１）に明示的にラップアラウンドを実現す
る必要性が回避される。

【００９６】図１６に、同様に、Ｎ＝１００の受信点を
持ち、かつ、Ｎ’＝１１のような設定された１組の所望
の程度の精度を持つ、端が開いている曲線の場合の、こ
の装置の近似補間機能の動作を概略的に例示する。図１
２の例のような正確な補間のために生成される、逆行列
に対応する係数の配列が、０からＮ’＋１＝１２まで行
インデックスｉと列インデックスｊの両方が動きながら
生成されて、図１６に例示されている。図１６の例で
は、デフォルト値ｇ₁ ＝ｇ_N ＝０が端勾配に対して選択
され、従って、行列の外側のｊ＝０及びｊ＝１２の列は
生成されていないものと仮定されている。正確な補間例
Ｎ＋２におけるように、Ａ₀ からＡ₁₀₁ までのファント
ム点は、以下のように生成される。

【００９７】Ａ₁ からＡ₆ までの６つのファントム点
は、受信点の配列に、ｉ＝１からｉ＝６までのそれぞれ
の係数行を乗ずることによって、図１２ｂのステップ１
２２８に従って正確に生成される。第１行（ｉ＝０）
は、前の例で言及したように第３行（ｉ＝２）と同一で
あり、次いで、第１ファントム点Ａ₀ が、点Ａ₂ を単に
コピーすることによって生成される。係数行列の行ｉ＝
６は、図１６で斜線で影をつけられているが、“動く
窓”として、図１５ａの核１５００が使われたのと類似
の仕方で繰返し用いられ、Ａ₇ からＡ₉₅までのファント
ム点の中央部分集合が生成される。次いで、ｉ＝７から
ｉ＝１１までのその固有の係数行をそれぞれ使用して、
Ａ₉₆からＡ₁₀₀ までのファントム点が生成され、点Ａ
₁₀₁ は、点Ａ₉₉をコピーすることによって最終的に生成
される。このようにして、Ａ₀ からＡ₁₀₁までのファン
トム点の完全な１組がスプラインオブジェクトを定義し
て生成されるが、各ファントム点は、Ｐ₁ からＰ₁₀₀ ま
での合計Ｎ＝１００の受信点の内の最も近接した１１個
の隣接点だけから誘導されたものである。

【００９８】従って、結果として生じるスプラインオブ
ジェクトは、Ｎ’の選択されたサイズによって決定され
た精度を持つ受信点の近似補間にすぎない。しかしなが
ら、１，０００×１，０００ピクセルの表示画面による
対話型作業のためには、最近傍の１０若しくは１１個だ
けのピクセルを考慮することによって生じる不正確さ
は、実際上、検知できないということが判っている。も
ちろん、対話型処理によって近似的に所望のスプライン
オブジェクトを定義してしまえば、ユーザは完全に正確
なスプライン物体を生成するために、以上説明してきた
ような正確なＢ−スプライン補間のより遅い機能を選択
することは利用者の自由である。以上の操作は、例え
ば、スプライン物体を、３５ミリフィルムのような高い
解像度の画像録画媒体上へ描画しなければならない場合
に必要となるかもしれない。またスプライン曲線によっ
て、工作機械あるいはロボット駆動装置の軌道が定義さ
れるシステムの場合に興味あるものとなろう。

【００９９】端勾配のデフォルト値がまだ選択されてい
ない状態に備えて、すなわち、ｇ₁もしくはｇ_N の少な
くともいずれかがゼロでない場合に備えて、係数行列の
外側の列と行は、明示的に生成されるべきである。その
ような場合、近似補間機能の動作は、図１７に例示され
るように、わずかにより複雑になる。ゼロでない係数か
らなる行列が、図１６の表示に類似の仕方で図１７に表
わされているが、この実例だけの目的のために、行ｉ＝
６は３つの行に拡大されている。以前と同じ様に、最初
の部分集合、中央部分集合、及びファントム点の最後の
部分集合が生成される。ファントム点の第１部分集合に
は、Ａ₀ からＡ₆ までの点が含まれ、これらの各々は、
係数からなる行列のｉ＝０からｉ＝６のそれぞれの行を
用いて生成されるが、最後の列（ｊ＝１２）中のエント
リは、これら最後の係数が未定義の端勾配に関するもの
であるという理由で、用いられない。Ａ₇ からＡ₉₄まで
の点の中央部分集合に対して、係数の行ｉ＝６（図１７
で斜線で影を付けられている）は、動く窓として繰返し
て用いられるが、最初のエントリと最後のエントリ（ｊ
＝０，１２）の両方は無視される。

【０１００】最後に、ファントム点の最後の部分集合
は、係数行列のｉ＝６からｉ＝１２をそれぞれ用いてＡ
₉5からＡ₁₀₁ まで生成される。ただ、今回は、左側の勾
配制約条件が使用不可能という理由で、第１列ｊ＝０が
無視される。

【０１０１】当業者である読者には、説明された作業を
行なうための装置の多くの異なる実現例を理解できるで
あろう。例えば、汎用コンピュータ装置を‘Ｃ’言語
や、他の高級言語でプログラムして、１組の受信点から
スプライン曲線を描画するのに必要なすべての作動を含
むルーチンを、例えば、上記のフローチャートに従って
定義してもよい。そのルーチンによって、例えば、今説
明したような近似補間を実現するために、“有意点”の
数（Ｎ’）の制限を特定することによって、それらの点
が組合わされ、それぞれのファントム点になることが可
能となる。次いで、特定された有意点の数が、受信点の
数の合計と等しいかそれを越えて十分に高く設定された
場合、正確な補間が得られることになる。又、そのルー
チンによって、可能性のあるすべて、あるいはそれらの
ひとつの部分集合だけがカバーされ得る。また、例え
ば、端が開いている曲線の端勾配が両方とも０であると
いうデフォルト条件を仮定できるかもしれない。

【０１０２】必要なタイプの曲線（閉曲線あるいは端が
開いている曲線）に従って必要な１組のファントム点を
得た後、このルーチンによって、それらのファントム点
を制御点として持つスプライン曲線上の所望の点の位置
を演算する機能を与えることもできよう。これによっ
て、所定の指定解像度の数のサンプルに対して、完全な
１組の点を生成することができようし、あるいは、曲線
パラメータの指定値に応じて曲線上の１点を単に返すこ
ともできよう。

【０１０３】この発明の原理のその他の多くの実現例が
上記に説明した特定例に加えて可能であることを、当業
者である読者は容易に理解するであろう。当業に周知の
方法で、この技術を容易に拡張し、スプライン曲線のネ
ットワークによって、曲面を定義してもよい。更に、コ
ンピュータ・グラフィクスにおけるこの技術の応用は数
多く、変化に富むものであり、また、ロボット工学や数
値制御のような他の分野にこれらの技術の応用を見い出
すこともできよう。従って、本発明の範囲は、上記の例
に決して限定されるものではなく、また、説明された特
定の応用例に限定されるものでもない。

【０１０４】

【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
１組のＮ個の受信値を近似的に補間する曲線上の所望の
補間値を生成することが可能となる。

【０１０５】又、本発明の他の構成によれば、１組の受
信値より受信値群を順次抽出し、各受信値群に所定の係
数を適用することによって近似曲線を得るための仮想点
を順次発生することが可能となり、簡潔で迅速な曲線補
間処理が可能となる。

【０１０６】又、本発明の他の構成によれば、１組の受
信値に対応する１組の仮想値を所定の数列に含まれる各
項を用いて生成される係数行列により獲得し、仮想値の
獲得を迅速に行うことが可能となる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の１実施例による装置の概略の構成を示
すブロック図である。

【図２】図１の装置のプロセッサによる機能構成を表す
ブロック図である。

【図３】３次元パラメトリック曲線を制御するためのフ
ァントム点を生成することによって、１組の受信点を補
間する様子を説明する図である。

【図４ａ】４つの受信点Ｐ₁ からＰ₄ とファントム点の
関係を説明する図である。

【図４ｂ】４つの受信点Ｐ₁ からＰ₄ とファントム点の
関係を説明する図である。

【図５ａ】Ｎ＝４の場合におけるファントム点の生成手
順を表す図である。

【図５ｂ】Ｎ＝４の場合におけるファントム点の生成手
順を表す図である。

【図５ｃ】Ｎ＝４の場合におけるファントム点の生成手
順を表す図である。

【図５ｄ】Ｎ＝４の場合におけるファントム点の生成手
順を表す図である。

【図５ｅ】Ｎ＝４の場合におけるファントム点の生成手
順を表す図である。

【図５ｆ】Ｎ＝４の場合におけるファントム点の生成手
順を表す図である。

【図５ｇ】Ｎ＝４の場合におけるファントム点の生成手
順を表す図である。

【図５ｈ】Ｎ＝４の場合におけるファントム点の生成手
順を表す図である。

【図５ｉ】Ｎ＝４の場合におけるファントム点の生成手
順を表す図である。

【図６】図５ａ〜図５ｉにおいて用いられる２つの式を
示す図である。

【図７】補間曲線として閉曲線を生成する受信点（Ｎ＝
４）の例を表わす図である。

【図８】図７の例における受信点とファントム点との間
の関連を例示する図である。

【図９】図７の例におけるファントム点を生成する手順
を例示する図である。

【図１０ａ】Ｎ＝１１の受信点に閉ループの曲線を補間
する様子を表わす図である。

【図１０ｂ】図１０ａの受信点よりファントム点を生成
する手順を表わす図である。

【図１０ｃ】図１０ａの受信点よりファントム点を生成
する手順を表わす図である。

【図１０ｄ】図１０ａの受信点よりファントム点を生成
する手順を表わす図である。

【図１０ｅ】図１０ａの受信点よりファントム点を生成
する手順を表わす図である。

【図１０ｆ】図１０ａの受信点よりファントム点を生成
する手順を表わす図である。

【図１１】ユーザにより指定された点をスプライン補間
する手順を表すフローチャートである。

【図１２ａ】開曲線のファントム点の生成手順を表すフ
ローチャートである。

【図１２ｂ】開曲線のファントム点の生成手順を表すフ
ローチャートである。

【図１３ａ】閉曲線のファントム点の生成手順を表すフ
ローチャートである。

【図１３ｂ】モジュロ−Ｎ関数を表わす図である。

【図１４】整数演算の動作を例示する図である。

【図１５ａ】閉曲線を定義するＮ＝１００の多数受信点
の近似補間を与えるファントム点の生成を例示する図で
ある。

【図１５ｂ】閉曲線を定義するＮ＝１００の多数受信点
の近似補間を与えるファントム点の生成を例示する図で
ある。

【図１６】Ｎ＝１００の受信点と端勾配条件がゼロの開
曲線の近似補間のためのファントム点の生成方法を説明
する図である。

【図１７】Ｎ＝１００の受信点と端勾配条件がゼロでな
い開曲線の近似補間のためのファントム点の生成方法を
説明する図である。

【符号の説明】

１０プロセッサ２０メモリ３０入力装置４０フレームバッファ５０映像表示装置６０大容量記憶装置１００コンピュータ１０２定義／エディタ部１０４ソータ部１０６視野制御部１０８映写制御部１１０描画部

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (51)Int.Cl.⁶ 識別記号庁内整理番号ＦＩ技術表示箇所Ｇ０６Ｔ 11/20 7623−5ＬＧ０６Ｆ 15/60 ３１０ 9192−5Ｌ 15/72 ３５５Ｐ

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】Ｎ個の受信値を補間する曲線を生成する
画像処理装置であって、前記受信値から１組の仮想値を生成する第１生成手段
と、前記仮想値を用いて前記受信値を補間する曲線を生成す
る第２生成手段とを備え、前記第１生成手段は、１つの仮想値に対応して、前記Ｎ個の受信値よりＮ’個
の受信値を抽出して受信値群を形成し、所定のＮ’個の係数を用いて前記受信値群より前記１つ
の仮想値を生成し、他の仮想値について夫々異なる受信値群を形成し、夫々
の受信値群について前記所定のＮ’個の係数をくり返し
用いることで少なくとも前記１組の仮想値の部分集合を
獲得することを特徴とする画像処理装置。
【請求項２】前記所定のＮ’個の係数は、少なくとも
１つの数列を構成する各項を予め格納しておき、所定の
規則に従ってこれらの項のいくつかを選択することによ
って生成されることを特徴とする請求項１に記載の画像
処理装置。
【請求項３】前記数列が再帰関係によって定義される
ことを特徴とする請求項２に記載の画像処理装置。
【請求項４】前記数列は、所望されている曲線の種類
に基づいて選択された１つ以上の開始値によって決定さ
れることを特徴とする請求項３に記載の画像処理装置。
【請求項５】前記開始値は、前記数列が閉曲線若しく
は開曲線のいずれが要求されるかに基づいて決定される
ことを特徴とする請求項４に記載の画像処理装置。
【請求項６】前記開始値は、前記係数の数が奇数か偶
数かに基づいて決定されることを特徴とする請求項４又
は５に記載の画像処理装置。
【請求項７】前記再帰関係は、前記数列の各項を（１
つ前の項）×４−（２つ前の項）によって決定すること
を特徴とする請求項３乃至６のいずれかに記載の画像処
理装置。
【請求項８】前記数列の各項のうち前記係数の生成に
用いられる各項に交互に負号が付けられていることを特
徴とする請求項２乃至７のいずれかに記載の画像処理装
置。
【請求項９】第２の数列が更に定義され、前記係数の
数Ｎ’に基づいて該第２の数列より１つの項が除数とし
て選択され、前記所定のＮ’個の係数の生成において、
前記数列より選択された各項に対して該除数が適用され
ることを特徴とする請求項４乃至８のいずれかに記載の
画像処理装置。
【請求項１０】前記第２生成手段は、媒介変数方程式
によって、前記仮想値に基づくパラメトリック３次曲線
を定義することを特徴とする請求項１乃至９のいずれか
に記載の画像処理装置。
【請求項１１】前記パラメトリック３次曲線がＢ−ス
プライン曲線であることを特徴とする請求項１０に記載
の画像処理装置。
【請求項１２】前記受信値は閉数列を形成し、前記第
２生成手段により生成される曲線は閉曲線であり、夫々
の仮想値を生成するために、夫々異なるＮ’個の受信値
から成る部分集合に対して所定の１組の係数が繰返し用
いられることを特徴とする請求項１乃至１１のいずれか
に記載の画像処理装置。
【請求項１３】前記曲線は開曲線であり、２次元の係
数行列の行を形成するべく複数の係数群が格納され、該
係数行列を形成する行の先頭部分集合の夫々の行に基づ
いて受信値の先頭部分集合から仮想値の先頭部分集合が
生成され、係数行列の行の最終部分集合の夫々の行に基
づいて前記受信値の最終部分集合より仮想値の最終部分
集合が生成され、係数行列の中央行に基づいて受信値の
夫々の部分集合より仮想値の中央部分集合が生成される
ことを特徴とする請求項１乃至１１のいずれかに記載の
画像処理装置。
【請求項１４】前記係数行列の最初と最後の列の係数
を格納することを不要とする端条件が当該曲線に対して
デフォルトとして設定されていることを特徴とする請求
項１３に記載の画像処理装置。
【請求項１５】延期第２生成手段により生成された曲
線を用いて、２次元あるいは３次元空間に物体を表わす
画像を形成し、該画像を出力する画像出力手段を更に備
えることを特徴とする請求項１乃至１４のいずれかに記
載の画像処理装置。
【請求項１６】前記物体の形状、あるいは空間におけ
る物体若しくは視点の軌跡を特定するために前記生成さ
れた曲線より得られる補間値を用いる手段を更に備える
ことを特徴とする請求項１５に記載の画像処理装置。
【請求項１７】２次元あるいは３次元空間に１組の点
を、前記受信値として入力する入力手段を更に備えるこ
とを特徴とする請求項１５又１６に記載の画像処理装
置。
【請求項１８】静止画或は動画の物体の形状もしくは
軌跡、或は視点の軌跡を、前記第１生成手段及び前記第
２生成手段を用いて生成された曲線に基づいて得られる
補間値により特定しこれを記録する記録手段を更に備え
ることを特徴とする請求項１乃至１７のいずれかに記載
の画像処理装置。
【請求項１９】Ｎ個の受信値を補間する曲線を生成す
る画像処理方法であって、前記受信値から１組の仮想値を生成する第１生成工程
と、前記仮想値を用いて前記受信値を補間する曲線を生成す
る第２生成工程とを備え、前記第１生成工程は、１つの仮想値に対応して、前記Ｎ個の受信値よりＮ’個
の受信値を抽出して受信値群を形成し、所定のＮ’個の係数を用いて前記受信値群より前記１つ
の仮想値を生成し、他の仮想値について夫々異なる受信値群を形成し、夫々
の受信値群について前記所定のＮ’個の係数をくり返し
用いることで少なくとも前記１組の仮想値の部分集合を
獲得することを特徴とする画像処理方法。
【請求項２０】前記所定のＮ’個の係数は、少なくと
も１つの数列を構成する各項を予め格納しておき、所定
の規則に従ってこれらの項のいくつかを選択することに
よって生成されることを特徴とする請求項１９に記載の
画像処理方法。
【請求項２１】前記数列が再帰関係によって定義され
ることを特徴とする請求項２０に記載の画像処理方法。
【請求項２２】前記数列は、所望されている曲線の種
類に基づいて選択された１つ以上の開始値によって決定
されることを特徴とする請求項２１に記載の画像処理方
法。
【請求項２３】前記開始値は、前記数列が閉曲線若し
くは開曲線のいずれが要求されるかに基づいて決定され
ることを特徴とする請求項２２に記載の画像処理方法。
【請求項２４】前記開始値は、前記係数の数が奇数か
偶数かに基づいて決定されることを特徴とする請求項２
２又は２３に記載の画像処理方法。
【請求項２５】前記再帰関係は、前記数列の各項を
（１つ前の項）×４−（２つ前の項）によって決定する
ことを特徴とする請求項２１乃至２４のいずれかに記載
の画像処理方法。
【請求項２６】前記数列の各項のうち前記係数の生成
に用いられる各項に交互に負号が付けられていることを
特徴とする請求項２０乃至２５のいずれかに記載の画像
処理方法。
【請求項２７】第２の数列が更に定義され、前記係数
の数Ｎ’に基づいて該第２の数列より１つの項が除数と
して選択され、前記所定のＮ’個の係数の生成におい
て、前記数列より選択された各項に対して該除数が適用
されることを特徴とする請求項２２乃至２６のいずれか
に記載の画像処理方法。
【請求項２８】前記第２生成工程は、媒介変数方程式
によって、前記仮想値に基づくパラメトリック３次曲線
を定義することを特徴とする請求項１９乃至２７のいず
れかに記載の画像処理方法。
【請求項２９】前記パラメトリック３次曲線がＢ−ス
プライン曲線であることを特徴とする請求項２８に記載
の画像処理方法。
【請求項３０】前記受信値は閉数列を形成し、前記第
２生成工程により生成される曲線は閉曲線であり、夫々
の仮想値を生成するために、夫々異なるＮ’個の受信値
から成る部分集合に対して所定の１組の係数が繰返し用
いられることを特徴とする請求項１９乃至２９のいずれ
かに記載の画像処理方法。
【請求項３１】前記曲線は開曲線であり、２次元の係
数行列の行を形成するべく複数の係数群が格納され、該
係数行列を形成する行の先頭部分集合の夫々の行に基づ
いて受信値の先頭部分集合から仮想値の先頭部分集合が
生成され、係数行列の行の最終部分集合の夫々の行に基
づいて前記受信値の最終部分集合より仮想値の最終部分
集合が生成され、係数行列の中央行に基づいて受信値の
夫々の部分集合より仮想値の中央部分集合が生成される
ことを特徴とする請求項１９乃至２９のいずれかに記載
の画像処理方法。
【請求項３２】前記係数行列の最初と最後の列の係数
を格納することを不要とする端条件が当該曲線に対して
デフォルトとして設定されていることを特徴とする請求
項３１に記載の画像処理方法。
【請求項３３】延期第２生成工程により生成された曲
線を用いて、２次元あるいは３次元空間に物体を表わす
画像を形成し、該画像を出力する画像出力工程を更に備
えることを特徴とする請求項１９乃至３２のいずれかに
記載の画像処理方法。
【請求項３４】前記物体の形状、あるいは空間におけ
る物体若しくは視点の軌跡を特定するために前記生成さ
れた曲線より得られる補間値を用いる工程を更に備える
ことを特徴とする請求項３３に記載の画像処理方法。
【請求項３５】２次元あるいは３次元空間に１組の点
を、前記受信値として入力する入力工程を更に備えるこ
とを特徴とする請求項３３又３４に記載の画像処理方
法。
【請求項３６】静止画或は動画の物体の形状もしくは
軌跡、或は視点の軌跡を、前記第１生成工程及び前記第
２生成工程を用いて生成された曲線に基づいて得られる
補間値により特定しこれを記録する記録工程を更に備え
ることを特徴とする請求項１９乃至３５のいずれかに記
載の画像処理方法。
【請求項３７】プログラム可能な処理装置に請求項１
８乃至３６のいずれかに記載の方法を実行させるための
データ信号。
【請求項３８】請求項１８乃至３６のいずれかに記載
の方法に従ってプログラム可能な処理装置を作動させる
ためのデータ信号を格納する記憶媒体。
【請求項３９】Ｎ個の受信値を補間する曲線を生成す
る画像処理装置であって、所定の第１の数列及び第２の数列を構成するための情報
を格納する格納手段と、前記第１の数列より所定の規則に従って抽出された複数
の項に基づいてＮ×Ｎの行列を形成する第１形成手段
と、前記第１の数列より所定の規則にしたがって抽出された
項に基づいて除数を獲得する獲得手段と、前記第１形成手段で形成された行列の各要素を前記除数
で除することにより係数行列を生成する第２生成手段
と、前記係数行列を用いて前記１組の受信値から対応する１
組の仮想値を生成する第３生成手段と、前記仮想値を用いて前記受信値を補間する曲線を生成す
る第４生成手段とを備えることを特徴とする画像処理装
置。
【請求項４０】Ｎ個の受信値を補間する曲線を生成す
る画像処理方法であって、所定の第１の数列及び第２の数列を構成するための情報
を格納する格納工程と、前記第１の数列より所定の規則に従って抽出された複数
の項に基づいてＮ×Ｎの行列を形成する第１形成工程
と、前記第１の数列より所定の規則にしたがって抽出された
項に基づいて除数を獲得する獲得工程と、前記第１形成工程で形成された行列の各要素を前記除数
で除することにより係数行列を生成する第２生成工程
と、前記係数行列を用いて前記１組の受信値から対応する１
組の仮想値を生成する第３生成工程と、前記仮想値を用いて前記受信値を補間する曲線を生成す
る第４生成工程とを備えることを特徴とする画像処理方
法。