JPH06348683A

JPH06348683A - 集積回路のシミュレーション方法

Info

Publication number: JPH06348683A
Application number: JP5937894A
Authority: JP
Inventors: Kinkin Ro; 金勤盧; Masayuki Takahashi; 昌幸高橋; Kimihiro Ogawa; 公裕小川
Original assignee: Sony Corp
Current assignee: Sony Corp
Priority date: 1993-04-16
Filing date: 1994-03-29
Publication date: 1994-12-22

Abstract

(57)【要約】【目的】少ない回数で自動的に要求される近似精度まで
モデルを構成することができ、ひいては解析精度を保ち
ながらより迅速に回路の統計解析ができ、集積回路の設
計品質並びに設計歩留を向上させることができる集積回
路のシミュレーション方法を実現する。【構成】回路特性の近似に確率内挿モデルを用い、確率
内挿モデルの構成に際して、確率内挿モデルをサンプリ
ングデータに合わせ込むパラメータの推定には、最大尤
度推定法ではなく、近似精度を表す統計量R² _pressが最
大となるパラメータを採用するパラメータ最適推定法を
用い、かつ、モデル構成のためのサンプリングデータの
取り方として、分散分析を行い、分散が最大となる点を
新しいサンプル点とする分散分析による逐次サンプリン
グ手法を用い、さらに、モデルの近似精度の判定に、統
計量に加えて分散係数も用いる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、回路特性の近似により
解析を行う集積回路のシミュレーション方法に関するも
のである。

【０００２】

【従来の技術】集積回路の最適化設計や統計解析では、
回路特性の計算に莫大なシミュレーション時間をかけて
解析を行うため、如何に計算時間を軽減するかは設計品
質、製造歩留の向上に直接関わる課題の一つである。こ
れに対して、近年、回帰モデルや内挿モデルで特性を近
似しようという研究が盛んに行われている。特に、この
中では二次多項式モデルを用いた方法が多く取り上げら
れている。

【０００３】この二次多項式モデルを用いた方法は、変
数の数がｎとすると、推定パラメータ数が｛ (ｎ＋１)
(ｎ＋２)/２｝となり、シミュレーション量が比較的少
ないという特徴がある。

【０００４】また、推定パラメータ数を（ｎ＋１）から
｛ (ｎ＋１)(ｎ＋２)/２｝までの間に減少させる適応的
二次多項式モデルも提案されている。

【０００５】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、二次多
項式モデルを用いた方法では、回路特性が二次以外のよ
うな非線形の場合、また変数の変動範囲が大きい場合な
どには、適用が困難であるという問題がある。

【０００６】一方、近似の過程を定常確率過程と見な
し、二次多項式モデルの欠点を解消する確率内挿モデル
が提案されている。この確率内挿モデルには、近似対象
の非線形性と関係せずに、（ｎ＋１）の初期サンプル数
からスタートして、要求される近似精度までサンプル点
を追加しモデルを構成していく特徴がある。

【０００７】ところが、上述のいずれのモデルを回路特
性の近似に用いるときに、以下に示すような問題点があ
る。すなわち、今まで確率内挿モデルをサンプリングデ
ータに合わせ込むパラメータの推定には、確率論的にサ
ンプリングデータの分布が正規分布であると仮定し、最
大尤度の推定によってモデルの形状を左右するパラメー
タの値を決定する最大尤度推定法が使われているが、必
ずしも適切とは限らない場合がある（文献１；I.P.Sche
gan,"The use of stochastic processes in interpolat
ion and approximation,"Intern.J.Computer Math.,Sec
tion B,vol.8,pp.63-76,1979. 、文献２；M.C.Bernardo
et al.:"Integrated circuit design optimization us
ing sequential strategy,"IEEE Trans.Computer-Aided
Design,vol.11,pp.361-371,March 1992. 参照）。

【０００８】また、近似精度をチェックするのに、R²
_pressという統計量がよく用いられるが、統計量R²
_pressがよくなっても実際の近似度合が悪い場合があ
る。すなわち、統計量R² _pressは近似度が満足かどうか
の必要充分条件ではなく、たとえば良く近似できたモデ
ルの場合の統計量R² _pressの値が大きいからといって近
似がよくできたとは一概に言うことはできない。これは
特にサンプル数が少ないとき、よく起こる。さらに、モ
デル構成のためのサンプリングデータの取り方などが充
分検討されていない。

【０００９】また、アナログ集積回路の製造バラツキを
考慮した最適設計は、アナログ回路の非線形性と多数の
バラツキ・パラメータのため、上述したように、設計者
の経験に基づいて試行錯誤を繰り返しながら膨大なシミ
ュレーション時間をかけて行われている一方、ＩＣの低
消費電力化や低電源電圧化が進められる中、仕様がます
ます厳しくなり、そのマージンを余分に取ることが困難
になりつつあると思われる。このような状況下で、如何
に少ない設計工数で与えられた仕様を最大限度満足させ
るかは設計者にとっての課題の一つである。

【００１０】これに対して、素子パラメータのバラツキ
範囲が与えられた場合に、回路定数の選択を通じて仕様
を最大限度満足させる、すなわち歩留最大化についての
研究開発が活発に行われてきている( 文献３； R.Spenc
e and R.S.Soin:"Tolerancedesign of electronic circ
uits,"Addison-Wesley,1988，参照）。いわゆるボトム
アップの設計スタイルが設計現場に取られている以上、
各機能ブロックは１００％の歩留を確保する必要がある
と思われる。この１００％の歩留を得る方法の一つにワ
ーストケース最適化がある（文献４；H.Schjaer-Jacobs
en and K.Madsen:"Algorithms for worst-case toleran
ce optimization",IEEETrans.Circuits and Systems,CA
S-26,No.9,pp.775-783,Sept.1979.参照）。

【００１１】このワーストケース最適化は、最悪の状
態、すなわちワーストケースにおいても回路特性を仕様
の許容範囲の中に抑えられるように回路素子値を決定す
る手法である。これらの研究の中には、回路特性を二次
多項式で近似した上、ワーストケース値を単一の評価関
数に採り入れた制約条件なしの最適化問題として解くも
のが多い。これによって、回路シミュレーション回数が
減らせるものの、二次以上のような複雑な回路特性の場
合にモデルの近似精度の問題が生じる。また、最適化を
行なう評価関数の形状によっては的確に最適解を求めら
れない場合がある。

【００１２】また、最適化を行なう際に用いられるワー
ストケース解析は、効率的で十分な精度を持つことが重
要となる。一般に、ワーストケース解析法には、頂点法
やモーメント法などがよく利用される。頂点法は、統計
パラメータの分布を全て一様分布と見なし、パラメータ
変動領域の頂点のうちの１つをワーストケースとする方
法である。この頂点法は、解析が簡単で、計算量が少な
いのに対し、回路特性の単調性を必要とするが単調性が
保証できないと結果が過大／過小評価になってしまうと
いう問題点がある。モーメント法は、計算量が少なくて
パラメータの相関関係も考慮できるという利点はあるも
のの、回路特性の線形性が保証されなければならないこ
とから、頂点法より注意を払う必要があり、管理が煩雑
である。

【００１３】本発明は、かかる事情に鑑みてなされたも
のであり、その目的は、設計者の熟練度や回路特性の非
線形性とかかわりなく、少ない回路シミュレーション回
数で自動的に要求される近似精度までモデルを構成する
ことができ、ひいては解析精度を保ちながらより迅速に
回路の統計解析ができ、集積回路の設計品質並びに設計
歩留を向上させることができる集積回路のシミュレーシ
ョン方法を提供することにある。

【００１４】

【課題を解決するための手段】上記目的を達成するた
め、本発明方法では、回路特性の近似により解析を行う
集積回路のシミュレーション方法であって、確率内挿モ
デルを構成し、当該モデルを回路特性の近似に用いるよ
うにした。

【００１５】本発明方法では、上記確率内挿モデルの構
成に際して、モデルの特徴に係るパラメータを、近似精
度を表す統計量と関係結び付け、その統計量が最大とな
るパラメータを採用して当該パラメータを推定するよう
にした。

【００１６】本発明方法では、上記確率内挿モデルの構
成に際して、分散分析を行い、分散が最大となる点を新
しいサンプル点とするようにした。

【００１７】本発明方法では、確率内挿モデルの構成に
際して、モデルの特徴に係るパラメータを、近似精度を
表す統計量と関係結び付け、その統計量が最大となるパ
ラメータを採用して当該パラメータを推定するととも
に、分散分析を行い、分散が最大となる点を新しいサン
プル点とするようにした。

【００１８】本発明では、近似精度の判定を統計量およ
び分散係数に基づいて行うようにした。

【００１９】また、本発明方法では、構成した確率内挿
モデルを回路特性の近似に用いてワーストケース最適化
を行う。また、本発明方法では、回路特性近似としてデ
バイスバラツキおよび動作条件の変動を考慮した確率内
挿モデルを用いる。また、本発明方法では、モンテカル
ロ法を用いワーストケース解析を行い、構成された回路
特性近似モデルに対してワーストケース値を求める。

【００２０】また、本発明方法では、回路特性のワース
トケースが回路特性の仕様の許容範囲外の場合には増加
し、回路特性のワーストケースが回路特性の仕様の許容
範囲内の場合には減少する評価関数を用いてワーストケ
ースの最適化を行う。

【００２１】

【作用】本発明によれば、回路特性を近似するにあたっ
て、確率内挿モデルが構成され、モデル構成後に、回路
特性の解析が行われる。

【００２２】本発明によれば、確率内挿モデルの構成に
際して、モデルの特徴、たとえばモデルの形状に係るパ
ラメータが、近似精度を表す統計量と関係結び付けられ
る。そして、その統計量が最大となるパラメータが採用
されて、当該パラメータの推定が行われる。

【００２３】本発明によれば、確率内挿モデルの構成に
際して、分散分析が行われ、分散が最大となる点が新し
いサンプル点として採用されて、たとえば近似精度が満
足されるまでモデル構成が行われる。また、本発明によ
れば、上述したパラメータの推定、並びに分散に基づく
新規サンプル点の採用が適宜行われて、たとえば近似精
度が満足されるまでモデル構成が行われる。

【００２４】本発明によれば、近似精度の判定は統計量
のみならず、分散係数に基づいて行われる。

【００２５】また、本発明によれば、構成した確率内挿
モデルを回路特性の近似に用いてワーストケース最適化
が行われる。そのときの確率内挿モデルとしては、たと
えば、回路特性近似としてデバイスバラツキおよび動作
条件の変動を考慮した確率内挿モデルが用いられる。ま
た、モンテカルロ法を用いてワーストケース解析が行わ
れ、構成された回路特性近似モデルに対してワーストケ
ース値が求められる。

【００２６】さらに、本発明によれば、回路特性のワー
ストケースが回路特性の仕様の許容範囲外の場合には増
加し、回路特性のワーストケースが回路特性の仕様の許
容範囲内の場合には減少する評価関数が構成されてワー
ストケースの最適化が行われる。このような評価関数を
構成することにより、制約条件なしの多目標関数の最適
化問題となるので、計算量が削減される。また、ワース
トケース値を仕様許容範囲に抑えることにより、１００
％の歩留を得ることが可能となる。さらに、仕様を満足
した場合には評価関数減少となり、回路特性のワースト
ケース値と与えられた仕様との開きを大きくすることが
できるので、仕様のマージンを小さく設定でき、さらに
質の高い回路設計が実現される。

【００２７】

【実施例】図１は、本発明に係る集積回路のシミュレー
ション方法の全体的なシミュレーション手順を示すフロ
ーチャートである。

【００２８】本実施例による集積回路のシミュレーショ
ン方法は、以下の手順で行われる。すなわち、まず、ス
テップＳ０において、たとえばゲイン、高調波歪率など
の考察項目、あるいは、トランジスタのエミッタ接地の
電流増幅率 h_feや半導体抵抗などのばらつくパラメータ
を、図示しない入力装置によりデータ処理系に対して入
力する。次に、ステップＳ１において、ステップＳ０で
入力した考察項目に対して確率内挿モデルを構成する。
次いで、ステップＳ２において、たとえばワーストケー
ス解析などの統計解析を行う。最後に、ステップＳ３に
おいて、解析結果を図示しない表示装置に表示する。

【００２９】このように、本発明方法においては、回路
特性の近似に確率内挿モデルを用いているが、本方法で
は、確率内挿モデルをサンプリングデータに合わせ込む
パラメータの推定には、最大尤度推定法ではなく、近似
精度を表す統計量R² _press(Predicted Residual Error
Sum of Squares) が最大となるパラメータを採用するパ
ラメータ最適推定法を用いている。また、本方法では、
モデル構成のためのサンプリングデータの取り方とし
て、分散分析を行い、分散が最大となる点を新しいサン
プル点とする分散分析による逐次サンプリング手法を用
いている。さらに、本方法では、モデルの近似精度の判
定に、統計量R² _pressおよび分散係数に基づいて行う判
定法を用いている。以下に、本発明方法の特徴であるパ
ラメータ最適推定法、逐次サンプリング手法、並びに近
似精度判定法の具体的な内容について順を追って説明す
る。

【００３０】まず、パラメータ最適推定法について説明
する。１．確率内挿モデルの定式化互いに独立な変数によって構成される目標関数f(x)が定
常確率過程であれば、すなわち、目標関数f(x)が時間原
点の移動に対して不変であれば、定常ガウス確率過程を
用いて目標関数f(x)を正確に内挿するモデル f＾(x) を
構成できる（前述の文献１参照）。

【００３１】その構成法を以下に示す。変数ｘによって
構成されるｎ次元空間でＮ個のサンプル点 x^p( ｐ＝
１, …,Ｎ）における目標関数値 z^p（＝ f(x^p))が与
えられたとき、任意のｘにおける目標関数f(x)のモデル
関数 f＾(x) を次式によって定義する。

【００３２】

【数１】ただし、

【数２】なお、ここでは、 x_i, x_i ^pはそれぞれベクトルｘおよ
び x^pの成分を表し、μはＮ個のサンプル値 z^pの平均
値、Ｉはすべての要素が１であるＮ行１列の行列、Ｚは
サンプル値 z^pを要素とするＮ行１列の行列である。

【００３３】また、Ｓは、Ｎ個のサンプリング点の間の
共分散行列で、その要素は、次式で与えられる。

【数３】この式(3) 中におけるρ²はモデル形状を左右するパラ
メータである。

【００３４】確率内挿モデルは、次のような性質を持
つ。 (1)．任意の点ｘにおいて目標関数の線形最良不偏推定
である。 (2)．各サンプリング点において正確に目標関数を内挿
する。すなわち、

【数４】 (3)．モデルおよびその導関数が連続である。一方、任意の点ｘにおける内挿モデルの誤差分散 s²(x)
は次式で与えられる。

【数５】ただし、σ²はサンプル値の分散である。

【００３５】1.1 パラメータρ²の推定について上述したように、式(2) 中のパラメータρ²はモデルの
形状を決める重要な要因であり、本発明方法では、この
パラメータρ²をモデルの近似精度と直接結び付けて、
近似精度の一番高いときのρ²を選択するように構成し
ている。

【００３６】近似精度を検査するにあたって、新たにサ
ンプル点を発生しなくてすむというシミュレーション量
を減らす意味で広く用いられる統計量R² _pressは、次の
ように定義されている。

【数６】ただし、 f＾_-pはｐ番目のサンプル点を除いて（Ｎ−
１）個のサンプリングデータで構成された内挿モデルを
表す。

【００３７】統計量R² _pressの値は「１」に近付けるほ
ど、近似精度がよくなるのに対し、近似度が悪くなると
負の値になる場合もある。したがって、統計量R² _press
をパラメータρ²の関数とし、次式によって最適のρ²
を決めることができる。

【数７】

【００３８】ここで、内挿近似の一例として、次の目標
関数f(x)について考察を行う。

【数８】

【００３９】図２は、ランダムに発生した９個のサンプ
リングデータを用いて、最大尤度推定法によるパラメー
タρ²の値で構成されたモデル、および上記した式(7)
によって求められたパラメータρ²の値で構成されたモ
デルをそれぞれ示す図である。図２から分かるように、
本発明に係る式(7) によるモデルは、最大尤度で得られ
たモデルより目標関数をよく近似している。

【００４０】また、図３は、統計量R² _pressとパラメー
タρ²との関係を示している。図３から分かるように、
最大尤度推定法によるパラメータρ²の値は式(7) によ
る値とかなり違い、統計量R² _pressの最大値と対応して
いない。これに対して、本発明方法による最適化によれ
ば、パラメータρ²の値は統計量R² _pressの最大値とほ
ぼ対応している。

【００４１】なお、二次多項式モデルがこのような目標
関数を近似できないことは当然のことながら明らかであ
る。

【００４２】次に、逐次サンプリング手法について説明
する。２．分散分析による逐次サンプリング手法についてサンプル数を何点取るかは、上述のような近似精度を表
す統計量R² _pressで判断することが多い。ところが、従
来の課題として既に述べたように、統計量R² _pressは近
似度が満足かどうかの必要充分条件ではない。すなわ
ち、良く近似できたモデルの場合の統計量R² _pressの値
が大きいのに対して、統計量R² _pressが大きいからとい
って近似がよくできたとは一概に言うことはできない。
これは特にサンプル数が少ないとき、よく起こる。一
方、サンプル点を如何に効率よく選び、なるべく少ない
サンプル数で精度のよいモデルを構成するかは、集積回
路のシミュレーションにおいて重要な意義を持つ。

【００４３】本実施例においては、精度のよいモデルを
構成するために、近似の誤差大小を表す分散に着眼し
て、その分散の一番大きいところの点を新しいサンプル
点とし、分散がある与えられた値より小さくなる時近似
過程を終了させることとした。この方法について、さら
に詳述する。

【００４４】まず、平均値μで規格化された分散係数Ｃ
Ｖ(x) を導入する（文献３；盧、足立、”確率モデル関
数を用いた電子回路定数最適化の一手法”，信学論
（Ａ），vol.J74-A,No.2,pp.287-295(1991-02). 参
照）。

【００４５】

【数９】ここで、s(x)は式(5) で定められた標準偏差である。

【００４６】サンプル点において、分散係数ＣＶ(x^p)
＝0 となり、サンプル点の追加とともにモデルが目標関
数に近付き、分散係数も小さくなる。逆にいえば、分散
係数が一番大きいところではモデルの形状が目標関数に
最もかけ離れることになる。

【００４７】したがって、ｋ個のサンプリングデータで
構成された分散係数ＣＶ_k(x) を分析して、下記式にな
るような（ｘ^k+1）を新しいサンプル点として、改めて
（ｋ＋１）個のサンプリングデータでモデルを構成す
る。

【数１０】

【００４８】これにより、逐次にサンプル点の追加によ
ってモデルの近似精度を上げていくことが可能となる。
一般に、分散係数が多数の局所極大値を有することか
ら、本実施例では、充分大きい乱数をＬ個発生して分散
係数の最大値を求める。

【００４９】一方、構成されたモデルが希望の精度を満
足するか否かをチェックするために、統計量R² _pressに
加えて、分散係数ＣＶ(x) も一つの判断の指標にする。

【００５０】すなわち、次の関係式を用いてモデルの近
似度をチェックし、判定する。

【数１１】ただし、Ｍとεは与えられた正数である。

【００５１】図４は上述した逐次サンプリング手法を用
いた場合の推定値と真値との関係を示す図、図５は逐次
サンプリング手法の用いない場合の推定値と真値との関
係を示す図であって、両図の(a) は分散状態を示し、両
図の(b) は推定値に対する真値の分布状態を示してい
る。図４および図５から分かるように、本発明に係る逐
次サンプリング手法を用いた場合には、用いない場合に
比べて、推定値に対する真値の一致度が高く、分散状態
も良好である。

【００５２】図６は、上述したパラメータ推定法、逐次
サンプリング手法、並びに近似精度判定法を用いた図１
にけるステップＳ１の内挿モデルの構成手順を示すフロ
ーチャートである。

【００５３】次に、この図６を用いて内挿モデルの構成
手順を説明する。まず、ステップＳ１１において、初期
サンプル数Ｎ、所望の統計量R² _pressの値Ｍと分散係数
の値εを与える。次に、ステップＳ１２において、初期
サンプル点 x^p,f(x^p)(ｐ＝１, …, Ｎ) をＮ個発生す
る。次いで、ステップＳ１３において、上述した式(1)
および式(9) でモデル f＾(x) と分散係数ＣＶ(x) を構
成して、さらに式(7) に基づいて最適のパラメータρ²
を決定する。

【００５４】パラメータρ²を決定したならば、ステッ
プＳ１４において、近似精度のチェックを行い、式(11)
が満足されたか否かの判別を行う（Ｓ１５）。ステップ
Ｓ１５において、式(11)が満足されたと判別したなら
ば、内挿モデルの構成を終了する。これに対して、式(1
1)が満足されていないと判別したならば、ステップＳ１
６に移行し、式(10)に基づいて分散分析を行う。そし
て、ＭａｘＣＶとなる点を新しいサンプル点としてステ
ップＳ１３の動作に移行し、ステップＳ１５において式
(11)が満足されたと判別されるまで、ステップＳ１３〜
Ｓ１６までの動作を繰り返す。

【００５５】図６に示す内挿モデル構成手続きに基づく
と、モデル構成に必要なサンプル数は初期構成用のＮ＝
ｎ＋１個から近似精度が満足されるまで自動的に決定で
きる。

【００５６】なお、内挿モデル構成において、一番計算
時間がかかる部分は、式(2) 中の逆行列Ｓ^-1の計算であ
る。しかしながら、Ｓは共分散行列のため対称である。
また、上述の逐次サンプリング手法を用いると、前回の
計算結果を利用できる。すなわち、新しいサンプル点 x
^k+1が追加されると、Ｓ^k+1は次式で示すようになる。

【数１２】ただし、Ｖ^T＝（Ｓ_1(k+1), …, Ｓ_k(k+1)）は x^k+1と
他のサンプル点との共分散ベクトルである。

【００５７】これにより、逆行列〔Ｓ^k+1〕^-1は次のよ
うに計算できる。

【数１３】ただし、

【数１４】

【００５８】このように、モデル構成も分散分析も前回
の〔Ｓ^k〕^-1結果を利用できるので、逐次サンプル手法
による計算量の増大は統計量R² _pressの計算以外ほとん
どない。

【００５９】以上の説明は、本発明方法の第１段階とし
て、主に確率内挿モデルの構成に関する具体的な手法に
ついて説明したが、以下に、本発明方法の第２段階とし
て、第１段階で得られた回路特性近似モデルを用いなが
ら最適な設計値を得るための具体的な方法について、順
を追って説明する。

【００６０】図７は、本発明に係る集積回路のシミュレ
ーション方法の第２段階としての最適な設計値を得るた
めの方法の概要を示すフローチャートである。

【００６１】この方法は、以下の手順で行われる。すな
わち、まず、第１段階として上述したように要求する各
回路特性に対してそれぞれの近似モデルを構成する。構
成方法としては、前述した逐次サンプリング手法を用い
て構成する。本システムの特徴としてこの段階でのみシ
ミュレーションを行う。

【００６２】次に、第２段階として上述の回路特性近似
モデルを用いながら最適化を行ない、最適な設計値を得
る。以下にそのステップを示す。まず、ステップＳＴ１
において、初期点を発生する。次に、ステップＳＴ２に
おいて、各初期点に対して回路特性近似モデルを用いて
ワーストケース解析を行い、それぞれの評価関数値を得
る。そして、ステップＳＴ３において、初期点をサンプ
リング点とする。

【００６３】次に、ステップＳＴ４において、サンプリ
ング点と評価関数値より評価関数のモデル関数を構成す
る。次いで、ステップＳＴ５において、ステップＳＴ４
で構成したモデル関数の最適化を行い追加点を探索す
る。そして、ステップＳＴ６において、追加点でのモデ
ル関数値が最小値かどうか判断し、最小値である場合に
は処理を終了する。

【００６４】一方、ステップＳＴ６において否定的な判
断を行った場合には、ステップＳＴ７において、追加点
に対し回路特性近似モデルを用いてワーストケース解析
を行い、評価関数値を得る。次に、ステップＳＴ８にお
いて、追加点をサンプリング点に加えて、上述したステ
ップＳＴ４からの動作を繰り返す。

【００６５】以上のようなステップを繰り返しながら自
動的に最適な設計値を得る。この段階では、ワーストケ
ース解析に近似モデルを用いているため、最適化部分お
よびワーストケース解析は高速に実行することができ
る。以下に、第２段階を実現する本発明方法の特徴であ
るワーストケース最適化の定式化、評価関数の構成、並
びにワーストケース解析の具体的内容について順を追っ
て説明する。

【００６６】３．ワーストケース最適化の定式化ばらつくパラメータξをｎξ次元ベクトルとすると、そ
のｎξ次元バラツキ空間Ｒⁿξの中でのバラツキ分布は
同次確率密度関数で表され、ｆξ（ξ）で記される。一
方、設計変数とするｘがｎ_x次元ベクトルとすると、回
路特性φは設計変数のある値（以下、ノミナル値と呼
ぶ）ｘ₀、およびバラツキベクトルξの関数で表すこと
ができる。

【００６７】よって、与えられた仕様を満足させる領域
は次のように定められる。

【数１５】ここで、Ａξ( ⊂Ｒⁿξ) はパラメータのばらつく領域
である。また、φ_i ^L、φ_i ^Uはそれぞれｉ番目の回路
特性φ_i（ｘ_0,ξ）の下限と上限をそれぞれ示してい
る。

【００６８】ノミナル値ｘ₀で設計された回路が希望の
仕様を満足したかどうかの度合を測る量として、次式で
示す歩留Ｙが定義され、

【数１６】その最大化を図る。

【数１７】ただし、Ａ_xは設計変数の調整領域である。通常、式
（１６）中の積分領域Ａφの形状は未知の場合が多いた
め、上式を容易に解くことはできない。

【００６９】ワーストケース最適化は、歩留最大化問題
を決定論的に解く手法であり、回路特性ワーストケース
値を与えられた仕様の許容範囲の中に抑えるように設計
変数を調整することによって、１００％の歩留を得るこ
とを目標としている。したがって、最小最大問題として
次のように定義できる（上記文献４参照）。

【数１８】

【００７０】通常、最小最大問題を制約条件付きの最適
化問題として解く場合が多い。その例として関数の一次
微分を使って求める方法が示されたりしたが、回路シミ
ュレーションの場合は特性の微分を求めるのに難点があ
る。

【００７１】そこで、上記問題を制約条件なしの多目標
関数最適化問題に書き換えるために、回路特性のワース
トケース値を評価関数に採り入れて直接最適化手法を適
用する。

【数１９】ただし、Ｈ_i（ｘ₀）は特性のワーストケース値と仕様
との比較の度合を示す罰関数である。罰関数の形状とし
て、ｉ番目の回路特性のワーストケースが希望の仕様を
越えたときは、罰関数Ｈ_i（ｘ₀）は評価関数増加の罰
項となり、仕様が満足されたときは、罰関数Ｈ
_i（ｘ₀）は評価関数減少となるように関数を構成す
る。

【００７２】そして、このような評価関数を構成するこ
とができれば、制約条件なしの多目標関数の最適化問題
となるので、計算量の削減が期待できる。また、ワース
トケース値を仕様許容範囲に抑えることにより、１００
％の歩留を得ることが可能となる。さらに、仕様を満足
した場合には評価関数減少となり、回路特性のワースト
ケース値と与えられた仕様との開きを大きくすることが
できるので、仕様のマージンを小さく設定でき、さらに
質の高い回路設計が実現できる。なお、本方法では、特
願平４−３１２９７３号に開示した最適化手法を用いて
最適化を行う。

【００７３】４．評価関数の構成について 4.1 評価関数の構成多目標関数最適化問題で、精度良く、かつ、迅速に最適
化を行うためには、評価関数の形状が重要となる。本方
法で用いる最適化の性質上、評価関数の条件として最小
値の位置、関数の連続性、最適化に有効な形状を考慮し
なければならない。

【００７４】そこで、本発明方法では、以下のような評
価関数を用いる。

【数２０】ただし、ａは実数の定数である。

【００７５】式（２０）では、仕様φ_i ^U,Lを満たせば
満たすほど、λ_iが負の方向に大きくなり、分子分母の
右側の項により、罰関数Ｈ_i（ｘ₀）の値は−１に近付
いていく。一方、満たさないならばλ_iが正の方向に大
きくなり、分子分母の左側の項により、罰関数Ｈ_i（ｘ
₀）の値は指数関数的に増加し、大きな罰項となる。ま
た、上記の関数では連続性と最小値の位置が保証され、
パラメータａの調整により最適化に有効な形状をつくる
ことができる。なお、ａが１の時、評価関数の形はｔａ
ｎｈ（ｘ）となる。

【００７６】4.2 パラメータａの選定について新たなパラメータａは、評価関数の形状を決める上で重
要なパラメータであり、図８は、パラメータａを変化さ
せたときの評価関数をプロットしたものである。図８に
示すように、仕様不満足な領域ＵＮＳＴＦにおいて、パ
ラメータａの値が大きくなるにつれ関数値の増加幅が小
さくなり、評価関数値の巨大化を防ぐことができる。一
方、仕様満足の領域ＳＴＦでは、パラメータａの値が小
さくなるほど、仕様満足の度合をつけることができる。

【００７７】また、仕様満足領域ＳＴＦでの評価関数値
の減少幅、すなわちその勾配が大きいと、評価関数の本
来の回路特性への影響が少なく、最適解の位置を充分正
確に示せることになる。したがって、パラメータａの値
が大きい方が、真の最適解との位置のずれを解消するこ
とが可能となる。一方、パラメータａの値があまりにも
大きくなると仕様満足領域ＳＴＦでの評価関数が平坦に
なり、最適解近傍の差別化が難しくなり真の最適解を求
める計算量が増えるおそれがある。以下に、パラメータ
ーａの選定法について説明する。

【００７８】充分大きいλ値における希望の評価関数の
最大値Ｍを設定すると、式（２０）は以下のように変形
できる。

【数２１】

【００７９】この式（２１）の両辺に対して対数を取る
と、次式のように表され、

【数２２】その解が次式となる。

【数２３】

【００８０】ここでは、ａ＝２のときの評価関数値は最
大となる。１≦ａ≦２のときには、仕様不満足領域にお
いて、評価関数値の増加がａ＞２の場合より緩やかであ
ることから、ａ＞２の範囲で選ぶこととする。すなわ
ち、パラメータａは次式に基づいて選定する。

【数２４】

【００８１】λは仕様と回路特性ワーストケース値との
相対誤差であるから、探索領域Ａ_x内で最大を示すワー
ストケース値を予想できれば、λを求めることができ
る。なお、最大を示すワーストケース値が未知の場合で
は、幾つかの初期点を発生してその中でλが最大となる
値を採用する。一方、Ｍはλ最大での評価関数値である
から、正確さや最適解を求める際の効率などとの釣合い
で選択することが望ましい。

【００８２】上述したように、ａ＝２のときの評価関数
値が最大となることから、上記式（２４）より最大なＭ
の値を逆算できる。このようにして決められるＭ、λよ
り、式（２０）におけるパラメータａを決めることがで
きる。

【００８３】５．ワーストケース解析について以上のように、歩留最大化は、ワーストケース最適化問
題を解くことで実現できるが、計算時間が最もかかる部
分はワーストケース解析である。ここでは、回路特性の
近似モデルを用いてワーストケースを求める方法につい
て述べる。

【００８４】一般に、パラメータの分布や相関を考慮し
たワーストケース解析法としては、モンテカルロ法がよ
く用いられる。しかし、モンテカルロ法では信頼できる
程度の値を求めるには、相当大量な回路シミュレーショ
ンを行う必要がある。そこで、回路特性に対して計算量
の少ない近似モデルを構成した上で、その近似モデルを
用いてモンテカルロ法を実行する手法はよく使われる。
本発明方法では、前述した逐次サンプリング法を用いた
内挿モデルを回路特性の近似に用いる。この内挿モデル
は連続的な非線形の強い特性でも対応できる特徴があ
る。

【００８５】回路特性は設計変数とバラツキパラメータ
の関数なので、Ａξ∪Ａ_Xで定められた空間の中でその
モデルを構成する。

【数２５】

【００８６】ワーストケース解析は、設計変数をあるノ
ミナル値に設定したときのばらつきパラメータによる特
性の変動を解析するものであるから、次のように書き直
すことができる。

【数２６】

【００８７】この計算量の少ないモデルを用いることで
モンテカルロ法によってワーストケースを求めることが
可能となり、パラメータの分布や相関関係を考慮したワ
ーストケース解析を容易に行うことができる。また、で
き上がったモデルは、上述した式（１９）のワーストケ
ース最適化にも利用することができるため、シミュレー
ションを行なわずに最適化に必要とされる評価関数値の
計算を高速に実行することができる。

【００８８】以上説明したように、本実施例によれば、
集積回路のシミュレーションにおいて、回路特性の近似
に確率内挿モデルを用い、確率内挿モデルの構成に際し
て、確率内挿モデルをサンプリングデータに合わせ込む
パラメータの推定には、最大尤度推定法ではなく、近似
精度を表す統計量R² _pressが最大となるパラメータを採
用するパラメータ最適推定法を用い、かつ、モデル構成
のためのサンプリングデータの取り方として、分散分析
を行い、分散が最大となる点を新しいサンプル点とする
分散分析による逐次サンプリング手法を用い、さらに、
モデルの近似精度の判定に、統計量に加えて分散係数も
用いるようにしたので、回路特性の非線形性とかかわり
なく、少ない回路シミュレーション回数で自動的に要求
される近似精度までモデルを構成することができる。そ
の結果、解析精度を保ちながらより迅速に回路の統計解
析ができ、集積回路の設計品質並びに設計歩留を向上さ
せることができる。

【００８９】また、本実施例によれば、回路特性のワー
ストケースが回路特性の仕様の許容範囲外の場合には増
加し、回路特性のワーストケースが回路特性の仕様の許
容範囲内の場合には減少する評価関数を構成してワース
トケースの最適化を行うので、制約条件なしの多目標関
数の最適化問題となり、計算量を削減できる。また、ワ
ーストケース値を仕様許容範囲に抑えることにより、１
００％の歩留を得ることが可能となる。さらに、仕様を
満足した場合には評価関数減少となり、回路特性のワー
ストケース値と与えられた仕様との開きを大きくするこ
とができるので、仕様のマージンを小さく設定でき、さ
らに質の高い回路設計を実現できる利点がある。また、
回路特性に対して計算量の少ない近似モデルを構成した
上で、モンテカルロ法によってワーストケースを求める
ようにしたので、パラメータの分布や相関関係を考慮し
たワーストケース解析を容易に行うことができる。ま
た、でき上がったモデルは、ワーストケース最適化にも
利用することができるため、シミュレーションを行わず
に最適化に必要とされる評価関数値の計算を高速に実行
することができる。

【００９０】

【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
設計者の熟練度や回路特性の非線形性とかかわりなく、
少ない回路シミュレーション回数で自動的に要求される
近似精度までモデルを構成することができる。したがっ
て、解析精度を保ちながらより迅速に回路の統計解析が
でき、集積回路の設計品質並びに設計歩留を向上させる
ことができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明に係る集積回路のシミュレーション方法
の全体的なシミュレーション手順を示すフローチャート
である。

【図２】ランダムに発生した９個のサンプリングデータ
を用いて、最大尤度推定法によるパラメータρ²の値で
構成されたモデル、および本発明に係る式(7) によって
求められたパラメータρ²の値で構成されたモデルをそ
れぞれ示す図である。

【図３】最大尤度推定法による場合と本発明方法による
場合の統計量R² _pressとパラメータρ²との関係を示す
図である。

【図４】本発明に係る逐次サンプリング手法を用いた場
合の推定値と真値との関係を示す図で、(a) は分散状態
を示す図、(b) は推定値に対する真値の分布状態を示す
図である。

【図５】本発明に係る逐次サンプリング手法を用いない
場合の推定値と真値との関係を示す図で、(a) は分散状
態を示す図、(b) は推定値に対する真値の分布状態を示
す図である。

【図６】本発明に係るパラメータ最適推定法並びに逐次
サンプリング手法を用いた内挿モデルの構成手順を示す
フローチャートである。

【図７】本発明に係る集積回路のシミュレーション方法
の第２段階としての最適な設計値を得るための方法の概
要を示すフローチャートである。

【図８】パラメータａを変化させた時の評価関数を示す
図である。

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】回路特性の近似により解析を行う集積回
路のシミュレーション方法であって、確率内挿モデルを構成し、当該モデルを回路特性の近似
に用いることを特徴とする集積回路のシミュレーション
方法。
【請求項２】上記確率内挿モデルの構成に際して、モ
デルの特徴に係るパラメータを、近似精度を表す統計量
と関係結び付け、その統計量が最大となるパラメータを
採用して当該パラメータを推定する請求項１記載の集積
回路のシミュレーション方法。
【請求項３】上記確率内挿モデルの構成に際して、分
散分析を行い、分散が最大となる点を新しいサンプル点
とする請求項１記載の集積回路のシミュレーション方
法。
【請求項４】確率内挿モデルの構成に際して、モデル
の特徴に係るパラメータを、近似精度を表す統計量と関
係結び付け、その統計量が最大となるパラメータを採用
して当該パラメータを推定するとともに、分散分析を行い、分散が最大となる点を新しいサンプル
点とする請求項１記載の集積回路のシミュレーション方
法。
【請求項５】近似精度の判定を統計量および分散係数
に基づいて行う請求項１、２、３または４記載の集積回
路のシミュレーション方法。
【請求項６】構成した確率内挿モデルを回路特性の近
似に用いてワーストケース最適化を行う請求項１、２、
３、４または５記載の集積回路のシミュレーション方
法。
【請求項７】回路特性近似としてデバイスバラツキお
よび動作条件の変動を含む確率内挿モデルを用いる請求
項６記載の集積回路のシミュレーション方法。
【請求項８】モンテカルロ法を用いワーストケース解
析を行い、構成された回路特性近似モデルに対してワー
ストケース値を求める請求項６または請求項７記載の集
積回路のシミュレーション方法。
【請求項９】回路特性のワーストケースが回路特性の
仕様の許容範囲外の場合には増加し、回路特性のワース
トケースが回路特性の仕様の許容範囲内の場合には減少
する評価関数を用いてワーストケースの最適化を行う請
求項６、７または８記載の集積回路のシミュレーション
方法。