JP7515840B2 - 光波形歪み補正方法及び装置、並びに光信号受信装置 - Google Patents

Description

本発明は、光ファイバを用いた光信号伝送において、光ファイバの非線形性に起因する信号波形の歪みを補正する技術である。

光ファイバ伝送路には、信号の波形歪みを引き起こす様々な要因がある。このうち、群速度分散などの伝送路の線形周波数応答によって生じる波形歪みについては、線形の適応等化器（例えば非特許文献１を参照のこと）によって効果的に波形歪みを補正できることが知られている。一方で、光ファイバの性質として、屈折率が入射光の強度に比例して大きくなるという、カー効果と呼ばれる現象があって、この効果と群速度分散効果の組み合わせによって、光ファイバを伝搬する光信号の波形が歪む。以下ではこの歪みを非線形波形歪みという。波長分割多重（ＷＤＭ：Wavelength-Division Multiplexing）によって周波数あるいは波長が異なる複数の光信号を多重して光ファイバを伝送する場合、伝搬中にカー効果が発生することによって、単一チャネルの波形内で生じる位相シフトを自己位相変調（ＳＰＭ：Self-Phase Modulation）といい、異なるチャネルの波形同士の相互作用によって引き起こされる位相シフトを相互位相変調（ＸＰＭ：Cross-Phase Modulation）という。これらの位相シフトと群速度分散の効果とが組み合わさって生じる非線形波形歪みを、線形の適応等化器で効果的に補正することはできない。

非線形波形歪みを補正する手法として、デジタル逆伝搬法（ＤＢＰ：Digital Back Propagation）が提案された（例えば非特許文献２を参照のこと）。この方法は、光ファイバ中の光波伝搬を記述する以下の非線形シュレディンガー方程式を用いる。

そして、受信機内のデジタル信号処理プロセッサ（ＤＳＰ：Digital Signal Processor）によって、光信号受信波形を伝送路の逆方向に伝搬させる計算を行うことで、送信時の波形を推定して波形歪みを補正するものである。ここでＡ_ｐ（ｚ，ｔ）は、直交する二つの偏波成分（ｐ＝１，２）に対応する光信号波形の複素包絡線振幅であり、ファイバの長手方向についての距離ｚと、時間ｔの関数である。なお、式（１）の前提として、フーリエ変換は、以下のように定義している。

β_２及びβ_３は、それぞれ光ファイバの二次及び三次の群速度分散、αは伝搬損失係数である。また、γ_０は非線形係数、そしてδは偏波間位相変調の程度を表す係数で、通常はδ＝１とおかれる。式（１）の逆伝搬計算を行う際には、伝送路の１スパン（光増幅による中継器に挟まれた区間を意味する）を有限のステップ（区間）に区切り、各ステップでは、式（１）で線形項のみとした場合の計算（線形ステップ）と、非線形項のみとした場合の計算（非線形ステップ）を交互に繰り返すことで、近似的に式（１）の解としてのＡ_ｐ（ｚ，ｔ）を計算する。

この計算方法はスプリットステップフーリエ法（例えば非特許文献３を参照のこと）と呼ばれ、ステップ数を増やせば計算の精度が高まって非線形波形歪みを補正する能力も向上するが、同時に計算量が増大する。このため、計算資源の限られたＤＳＰに実装するにあたっては、計算量を低減しつつ、補正の性能を高める手法を見い出すことが好ましい。

非特許文献２で提案されたＤＢＰでは、通常、受信信号波形の単一チャネルのみをフィルタで切り出し、式（１）を用いてその波形だけを逆伝搬させるため、非線形波形歪みのうちのＳＰＭに起因する歪みを補正することはできるが、ＷＤＭ信号に対してＸＰＭに起因する歪みを補正することはできない。一方、非特許文献４では、ＷＤＭ信号を対象として、ＸＰＭによって生じる位相シフトの量を近似的に計算し、ＳＰＭだけでなくＸＰＭによる歪みも補正するＤＢＰが提案されている。しかしながら、この方法では、伝送路１スパンあたりのステップ数を２未満にすると、計算量は現実的なものとなるが、計算精度が落ちるため、補正能力が著しく劣化するという問題がある。

一方で、ＤＢＰによる非線形波形歪み補正を実施するにあたっては、伝送路である光ファイバが有する物理パラメータであるβ_２、β_３、α、γの値を高い精度で推定し、計算に用いることが求められる。このうち、線形応答である群速度分散と伝搬損失を表すβ_２、β_３及びαについては、比較的精度よく値を知ることができる。特に、αの長手方向の分布を測定する方法として、ＯＴＤＲ（Optical Time-Domain Reflectometry）と呼ばれる手法が利用可能である。また、β_２及びβ_３については局所的な値を知ることは難しいものの、測定区間の積分値を高精度に測定することは可能である。ところが、非線形係数γの値を直接測定することは容易ではなく、光ファイバの実効コア断面積から推定するなどで間接的にしか値を知ることができない。ファイバのパラメータとして誤ったパラメータを用いてＤＢＰによる非線形波形歪み補正を実施した場合、補正効果があがらないどころか、かえって波形歪みが増大することすらある。

そこで非特許文献５では、ファイバパラメータの真値が不明な状況において、非線形波形歪みの補正結果が最良となるように、最急降下法を用いてＤＢＰの試行を繰り返すことで、ＤＢＰで用いるファイバパラメータの最適値を学習する手法が提案されている。

また非特許文献６では、ニューラルネットワークを用い、スプリットステップフーリエ法の線形ステップを時間領域の有限インパルス応答（ＦＩＲ：Finite Impulse Response）フィルタに置き換えたうえでAffine変換に割り当て、さらに非線形ステップを活性化関数に割り当てることで、非線形シュレディンガー方程式を用いたＤＢＰの構造をニューラルネットワークに適用している。伝送路の構成から推定されるファイバパラメータのうち、群速度分散から計算されるＦＩＲタップ係数をAffine変換結合係数の初期値に用い、非線形波形歪み補正の性能が最大化されるようにニューラルネットワークを学習することで、光ファイバのパラメータが未知の状況で、群速度分散に限らない任意の線形応答が伝送路に含まれる場合においても、効果的な非線形波形歪み補正が可能となる。

一般に画像認識等を目的として使用されるニューラルネットワークでは、Affine変換の係数は乱数で初期化され、さらに活性化関数には正規化線形関数（ＲｅＬＵ：Rectified Linear Unit）がよく用いられるのに対して、非特許文献６の方法では、物理的なパラメータを初期値として用い、さらに物理的な発展方程式に含まれる非線形項を活性化関数に適用しているため、言わば物理現象に特化したニューラルネットワークと言えるものである。この物理現象特化型ニューラルネットワークで得られる付加的な効果として、スパンあたりのステップ数を削減しても、非線形波形歪み補正の性能が劣化しないことが挙げられる。非特許文献６では具体的に、スパンあたりのステップ数が１及び２のニューラルネットワークが、それぞれステップ数が２及び３の従来型ＤＢＰの補正能力を上回るという結果が報告されている。

このような結果を受けて、非特許文献７及び８でも、様々な条件で物理現象特化型ニューラルネットワークによる非線形波形歪み補正の結果が報告されている。しかしながら、物理現象特化型ニューラルネットワークを用いたいずれの手法もＳＰＭによって生じる波形歪みの補正のみを対象としており、ＸＰＭによる歪みを考慮していないため、ＸＰＭによる歪みが主な波形劣化要因となるＷＤＭ伝送系においては、有効な補正性能を発揮することができていない。

非特許文献２で提案されたＤＢＰでは、ＳＰＭによる波形歪みのみを補正の対象としているため、ＸＰＭによる歪みの補正を行うことができない。非特許文献４ではＳＰＭに加えてＸＰＭによる歪みを補正する手法が提案されたが、１スパンを区切るステップ数を多くしないと性能が発揮できず、計算量が増大するという問題がある。また、これらの手法では、伝送路のパラメータを精度よく推定して入力しなければ、本来の性能が得られないという問題がある。

さらに、非特許文献６で提案された物理現象特化型ニューラルネットワークでは、パラメータの学習を行うことで、ＳＰＭに起因する非線形波形歪みに対しては最適な補正性能を発揮できるが、ＸＰＭによる歪みに対しては有効性を見いだせない。

特開２０２０－１４５５６１号公報

S.Haykin, "Adaptive Filter Theory," Pearson (2013) E. Ip and J. M. Kahn, "Compensation of Dispersion and Nonlinear Impairments Using Digital Backpropagation," J. Lightw. Technol., vol.26, no.20, pp.3416-3425 (2008) G. P. Agrawal, "Nonlinear Fiber Optics," Academic Press (2001) E. F. Mateo, F. Yaman, and G. Li, "Efficient compensation of inter-channel nonlinear effects via digital backward propagation in WDM optical transmission," Opt. Express, vol.18, no.14, pp.15144-15154 (2010) T. Tanimura, T. Hoshida, T. Tanaka, L. Li, S. Oda, H. Nakashima, Z. Tao, and J. C. Rasmussen, "Semi-blind Nonlinear Equalization in Coherent Multi-Span Transmission System with Inhomogeneous Span Parameters," Proceedings of OFC/NFOEC2010, Paper OMR6 C. Hager and H. D. Pfister, "Nonlinear Interference Mitigation via Deep Neural Networks," Proceedings of OFC2018, Paper W3A.4 Q. Fan, G. Zhou, T. Gui, C. Lu, A. P. T. Lau, "Advancing theoretical understanding and practical performance of signal processing for nonlinear optical communications through machine learning," Nat. Commun, vol.11, 3694 (2020) B. Bitachon, A. Ghazisaeidi, M. Eppenberger, B. Baeuerle, M. Ayata, and J. Leuthold, "Deep learning based digital backpropagation demonstrating SNR gain at low complexity in a 1200km transmission link," Opt. Express, vol.28, no.20, pp.29318-29334 (2020) J. Zhuang, T. Tang, Y. Ding, S. Tatikonda, N. Dvornek, X. Papademetris, and J. S. Duncan, "AdaBelief Optimizer: Adapting Stepsizes by the Belief in Observed Gradients," arXiv, 2010.07468 (2020)

従って、本発明の目的は、一側面によれば、伝送路のパラメータが未知であっても、ＳＰＭ及びＸＰＭの両方に起因する波形歪みを適切に補正するための計算量を抑制するための新たな技術を提供することである。

本発明に係る光波形歪み補正方法は、（Ａ）伝送路において波形の形状が変化した光信号を受信して波形を数値化した後、非線形シュレディンガー方程式の線形項と非線形項とを交互に演算することで送信時の波形を推定する逆伝搬処理であって、波長分割多重伝送時における上記伝送路内の複数のチャネルの各々について、当該チャネル内で生ずる自己位相変調に起因する波形歪みと、当該チャネル以外のチャネルとの間で生じる相互位相変調に起因する波形歪みとを補正する逆伝搬処理において用いられ且つ相互位相変調に関連する第１のパラメータと、上記逆伝搬処理において用いられ且つ自己位相変調及び相互位相変調に関連する第２のパラメータとを、勾配降下法によって最適化するステップと、（Ｂ）最適化された第１及び第２のパラメータを用いて、上記逆伝搬処理を実行するステップとを含む。

図１は、ＷＤＭ信号のスペクトルを模式的に示す図である。 図２は、スパンとステップとの関係を説明するための図である。 図３は、線形ステップ及び非線形ステップ、そして各チャネル信号成分の経路を示す模式図である。 図４Ａは、Ｄ_２ ^（０）による勾配が線形ステップＬ_１，０ ^（０）を発してから後段に波及する厳密な経路を示す図である。 図４Ｂは、Ｄ_２ ^（０）による勾配が線形ステップＬ_１，０ ^（０）を発してから後段に波及する近似経路を示す図である。 図５Ａは、パラメータ最適化処理において、各伝送路パラメータによる波形の勾配を計算する処理のフローを示す図である。 図５Ｂは、パラメータ最適処理において、各伝送路パラメータを更新する処理のフローを示す図である。 図５Ｃは、本実施の形態に係る光伝送システムの模式図である。 図５Ｄは、本実施の形態に係る処理フローを示す図である。 図６は、現実的な伝送路の各スパンにおける群速度分散値と非線形定数とを示すものである。 図７Ａは、理想的な６スパン伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合の学習過程において、繰り返し学習回数に対する２次の群速度分散パラメータＤ_２ ^（ｊ）を表す図である。 図７Ｂは、理想的な６スパン伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合の学習過程において、繰り返し学習回数に対する非線形係数パラメータｇ^（ｊ）を表す図である。 図７Ｃは、理想的な６スパン伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合の学習過程において、繰り返し学習回数に対するｄ_－４ ^（ｊ）を表す図である。 図７Ｄは、理想的な６スパン伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合の学習過程において、繰り返し学習回数に対するｄ_－１ ^（ｊ）を表す図である。 図７Ｅは、理想的な６スパン伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合の学習過程において、繰り返し学習回数に対する平均二乗誤差を表す図である。 図８Ａは、４スパン及び６スパンの理想的な伝送路で、ＳＰＭのみを考慮して非線形波形歪みを補正した場合に、信号入射パワーに対するＱ値の結果を表す図である。 図８Ｂは、８スパン及び１０スパンの理想的な伝送路で、ＳＰＭのみを考慮して非線形波形歪みを補正した場合に、信号入射パワーに対するＱ値の結果を表す図である。 図９Ａは、４スパン及び６スパンの理想的な伝送路で、ＸＰＭを含めて非線形波形歪みを補正した場合に、信号入射パワーに対するＱ値の結果を表す図である。 図９Ｂは、８スパン及び１０スパンの理想的な伝送路で、ＸＰＭを含めて非線形波形歪みを補正した場合に、信号入射パワーに対するＱ値の結果を表す図である。 図１０は、理想的な伝送路において様々な方法で非線形波形歪み補正を適用した場合としない場合に、伝送スパン数に対するＱ値の結果を表す図である。 図１１Ａは、現実的な６スパン伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合の学習過程において、繰り返し学習回数に対する２次の群速度分散パラメータＤ_２ ^（ｊ）を表す図である。 図１１Ｂは、現実的な６スパン伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合の学習過程において、繰り返し学習回数に対するｇ^（ｊ）を表す図である。 図１１Ｃは、現実的な６スパン伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合の学習過程において、繰り返し学習回数に対するｄ_－４ ^（ｊ）を表す図である。 図１１Ｄは、現実的な６スパン伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合の学習過程において、繰り返し学習回数に対するｄ_－１ ^（ｊ）を表す図である。 図１１Ｅは、現実的な６スパン伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合の学習過程において、繰り返し学習回数に対する平均二乗誤差を表す図である。 図１２Ａは、４スパン及び６スパンの現実的な伝送路で、ＳＰＭのみを考慮して非線形波形歪みを補正した場合に、信号入射パワーに対するＱ値の結果を表す図である。 図１２Ｂは、８スパン及び１０スパンの現実的な伝送路で、ＳＰＭのみを考慮して非線形波形歪みを補正した場合に、信号入射パワーに対するＱ値の結果を表す図である。 図１３Ａは、４スパン及び６スパンの現実的な伝送路で、ＸＰＭを含めて非線形波形歪みを補正した場合に、信号入射パワーに対するＱ値の結果を表す図である。 図１３Ｂは、８スパン及び１０スパンの現実的な伝送路で、ＸＰＭを含めて非線形波形歪みを補正した場合に、信号入射パワーに対するＱ値の結果を表す図である。 図１４は、現実的な伝送路において様々な方法で非線形波形歪み補正を適用した場合としない場合に、伝送スパン数に対するＱ値の結果を表す図である。 図１５は、実験に用いた伝送系を示す模式図である。 図１６Ａは、パラメータ更新回数に対する、２次の群速度分散パラメータＤ_２ ^（ｊ）の変化を表す図である。 図１６Ｂは、パラメータ更新回数に対する、非線形係数パラメータｇ^（ｊ）の変化を表す図である。 図１６Ｃは、パラメータ更新回数に対する、偏波間位相変調パラメータδ^（ｊ）の変化を表す図である。 図１６Ｄは、パラメータ更新回数に対する、ウォークオフパラメータｄ_－５ ^（ｊ）の変化を表す図である。 図１６Ｅは、パラメータ更新回数に対する、ウォークオフパラメータｄ_－１ ^（ｊ）の変化を表す図である。 図１６Ｆは、パラメータ更新回数に対する、ウォークオフパラメータｄ_ｎ ^（ｊ）の変化を表す図である。 図１６Ｇは、パラメータ更新回数に対する、Mean Square Error（ＭＳＥ）とその移動平均の変化を表す図である。 図１７は、６スパン伝送路における光ファイバ接続状況と、逆伝搬計算順序を示す模式図である。 図１８Ａは、６スパン伝送路及び８スパン伝送路においてＳＰＭのみを考慮して非線形波形歪み補正を実施した場合における入射パワーに対する信号品質を表す図である。 図１８Ｂは、１０スパン伝送路及び１２スパン伝送路においてＳＰＭのみを考慮して非線形波形歪み補正を実施した場合における入射パワーに対する信号品質を表す図である。 図１８Ｃは、１４スパン伝送路及び１６スパン伝送路においてＳＰＭのみを考慮して非線形波形歪み補正を実施した場合における入射パワーに対する信号品質を表す図である。 図１９Ａは、６スパン伝送路及び８スパン伝送路においてＳＰＭ及びＸＰＭを考慮して非線形波形歪み補正を実施した場合における入射パワーに対する信号品質を表す図である。 図１９Ｂは、１０スパン伝送路及び１２スパン伝送路においてＳＰＭ及びＸＰＭを考慮して非線形波形歪み補正を実施した場合における入射パワーに対する信号品質を表す図である。 図１９Ｃは、１４スパン伝送路及び１６スパン伝送路においてＳＰＭ及びＸＰＭを考慮して非線形波形歪み補正を実施した場合における入射パワーに対する信号品質を表す図である。 図２０は、伝送スパンに対する信号品質の変化を表す図である。 図２１は、５チャネル、１１チャネル及び２１チャネルの場合における、データ長Ｎに対する、積演算回数を示す図である。

［本発明の実施の形態における基本的な考え方］
周波数間隔がΔωであるＷＤＭ信号を対象に、本実施の形態に係る非線形波形歪みの補正技術を説明する。図１にＷＤＭ信号のスペクトルの模式図を示す。ここで、補正対象の信号をチャネル番号０とし、この信号の中心周波数を基準値ω_０＝０とし、その他のチャネル番号ｎの信号の中心周波数をω_ｎ＝ｎΔω （ｎ＝±１，±２，．．．）とする。このとき、式（１）の包絡線振幅は、チャネル毎の包絡線振幅の和として以下のように表される。

但し、Ａ_ｐ，ｎ（ｔ）は、チャネルｎの偏波成分ｐに関するベースバンド（中心周波数が０を意味する）の包絡線振幅である。

また、式（１）の非線形シュレディンガー方程式の線形項のみを書き出すと以下のようになる。

光ファイバの長手方向の座標ｚ＝０における波形Ａ_ｐ，ｎ（ｚ＝０，ｔ）を入力とし、距離ｈ伝搬後の波形についての式（４）の解は、周波数領域でチャネル毎に分離することができて、以下のようになる。

ここで、Ｄ_２（ｈ）＝－β_２ｈ／２及びＤ_３＝－β_３ｈ／６は、それぞれ２次及び３次の群速度分散の累積値である。また、Ｔ_ｎ（ｈ、ω_ｎ）＝（β_２ω_ｎ＋β_３ω_ｎ ^２／２）ｈは、チャネル番号ｎの信号に生ずる群遅延（ウォークオフ）を表している。式（５）の波形を、フーリエ変換を表す演算子Ｆを用いて時間領域で表すと、以下のようになる。

一方で、非線形シュレディンガー方程式(1)の非線形項のみを書き出すと以下のようになる。

ここで、右辺の伝搬損失の項は本来線形項であるが、信号の強度が伝搬損失によって減衰することに伴う非線形性の変化を考慮するために含められている。包絡線振幅Ｂ_ｐをＡ_ｐ＝Ｂ_ｐ（ｚ）ｅｘｐ（－αｚ／２）と定義すると、Ｂ_ｐは伝搬損失による減衰量を分離した振幅であり、式（７）はＢ_ｐに対して次のように表される。

ここで、γ（ｚ）＝γ_０ｅｘｐ（－αｚ）である。

式（８）は、伝搬損失によって信号の振幅が減衰する際に、非線形シュレディンガー方程式における非線形効果は、元の非線形係数γ_０が長手方向に減衰していく形で記述できることを表している。式（８）をチャネル毎に分解すると、チャネル番号０の振幅については以下のように表される。

式（９）の右辺において、チャネル番号０の信号強度の時間波形である｜Ｂ_ｐ，０｜（ｐ＝１，２）を含む項はＳＰＭ、そしてチャネル番号ｎ≠０の信号強度の時間波形である｜Ｂ_ｐ，ｎ｜（ｐ＝１，２）を含む項はＸＰＭを生じるものである。

非特許文献４で提案されているように、式（９）において、伝搬時の波形変化に関する仮定を導入することで、近似解を得られる。第１の仮定は、チャネル番号０の信号の時間波形強度は距離ｚに対して不変であるとして、｜Ｂ_ｐ，０（ｚ，ｔ）｜^２＝｜Ｂ_ｐ，０（０，ｔ）｜^２とおくことであり、この仮定はスプリットステップフーリエ法の計算において通常用いられているものである。

第２の仮定は、チャネル番号ｎ≠０の信号強度の時間波形は距離ｚに対して形状が不変である一方、ウォークオフによる群遅延の発生を考慮して｜Ｂ_ｐ，ｎ（ｚ，ｔ）｜^２＝｜Ｂ_ｐ，ｎ（０，ｔ－ｄ_ｎｚ）｜^２とおくことである。この式は、強度の形状が伝搬距離に依存せず初期波形のまま保たれる一方で、伝搬距離に比例した遅延ｄ_ｎｚが時間軸上で発生することを表している。ここで、以下で表すｄ_ｎは、ウォークオフを表すパラメータであり、群速度の逆数に相当する。

この仮定を導入した結果、周波数領域において式（９）をｚで積分することができて、距離ｈ伝搬後の波形について以下の解が得られる。

但し、式（１１）乃至（１３）を導出するために距離ｚに対して長さｈの積分を行う際、積分区間を［－ｈ／２，ｈ／２］とした。また、これらの式で用いられる記号は、以下のように定義される。

式（６）によりスプリットステップフーリエ法の線形ステップが記述され、式（１１）によってチャネル番号０の信号波形に対して、ＳＰＭとＸＰＭの両方の効果を考慮する非線形ステップが記述された。以下では、これらの式に基づいて、ある光ファイバ伝送路で受信した光信号波形を逆伝搬させる計算を行い、送信波形を推定する方法を述べる。

逆伝搬計算の手順を説明するために、図２に、スパン数が２の伝送路で、スパンあたりのステップ数を２とした場合のステップの区割りと、線形ステップ及び非線形ステップの計算順序を表す模式図を示す。なお、異なるスパン数やステップ数の場合でも、図２を容易に一般化して考えることが可能である。図２において、左から右の向きを順伝搬方向とし、始点から終点にかけてスパン１及び２を定義する。逆に、右から左の向きを逆伝搬方向とし、各スパン内で逆伝搬方向にステップ１及び２を定義する。スパン内で各ステップの長さの比は等分配ではなく、ファイバの損失による信号パワーの減衰を考慮した非線形係数γ（ｚ）＝γ_０ｅｘｐ（－αｚ）の積分値が等しくなるように設定する。例えば、ステップ数を２とした場合に、スパンの始点をｚ＝０、終点をｚ＝ｚ_ｓ、ステップの区切りをｚ＝ｚ_１とおいた場合に、以下の式が成立するようにｚ_１を定める。

なお、スパン内で各ステップの長さの比を等分配した場合でも、本実施の形態はそのまま適用可能である。さらに言えば、スパン内でステップを区割りするやり方の違いは、学習を行わない非特許文献２及び４に示された方法では波形歪み補正の結果に影響を与えるが、パラメータの学習を実施する非特許文献５乃至８及び本実施の形態においては、学習の初期値設定に影響を与えるにとどまり、学習が収束して最適化された後は、差が出なくなる。また、スパンあたりのステップ数を１とした場合は、１スパン全体を１ステップとして計算する。

次に、各ステップの計算を行うにあたっては、「対称型」のスプリットステップフーリエ法（非特許文献３を参照のこと）に基づく計算を行う。すなわち、距離がｈである一つのステップを前半と後半に等分割し、まずステップ前半の距離ｈ／２に対して、線形ステップとして式（６）を用いた計算を行う。

次に、線形ステップの出力として得られた波形を入力とし、ステップ全体の距離ｈに対して、非線形ステップとして式（１１）の計算を行う。最後に、非線形ステップの出力として得られた波形を入力として、ステップ後半の距離ｈ／２に対して、式（６）の線形ステップの計算を実施する。この操作をステップ毎に繰り返すが、あるステップの後半の線形ステップは、次のステップの前半の線形ステップと合わせて計算を実施する。

図２の例では、スパン＃２のステップ＃１を２分割し、入力波形に対して前半の線形ステップＬ^（０）の計算を実施した後、非線形ステップＮ^（１）の計算を行い、続いてステップ＃１後半の線形ステップとスパン＃２のステップ＃２前半の線形ステップを結合したＬ^（１）の計算を行い、以下同様の計算を行う。スパン数がＮ_ｓｐａｎで、スパンあたりのステップ数がＮ_ｓｔｅｐの伝送路では、ｍ＝Ｎ_ｓｐａｎ×Ｎ_ｓｔｅｐとおくと、合計で（ｍ＋１）回の線形ステップと、ｍ回の非線形ステップが存在することになる。図２の例では、Ｎ_ｓｐａｎ＝２及びＮ_ｓｔｅｐ＝２であるから、ｍ＝４であり、線形ステップはＬ^（０）からＬ^（４）までのｍ＋１＝５回、非線形ステップはＮ^（１）からＮ^（４）までのｍ＝４回となる。

式（６）の線形ステップでは、各チャネルの信号波形が独立して発展するが、式（１１）乃至（１３）に示した非線形ステップでは、１つのチャネルの信号波形の発展を計算する際に、ＸＰＭを考慮した計算を行うために、他のチャネルの信号波形を取り入れている。図３に、この様子を表した逆伝搬計算手順を示す。上述のとおり、線形ステップと非線形ステップを交互に計算することになる。逆伝搬計算において、チャネル番号ｎ、偏波成分ｐの入力波形をｘ_ｐ，ｎとし、出力波形をｙ_ｐ，ｎとする。ただし、ｘ_ｐ，ｎは受信機で受信した伝送後の波形であり、またｙ_ｐ，ｎは送信波形の推定結果に相当する。

一般に、ｊ番目の線形ステップＬ^（ｊ）の入出力波形をそれぞれｚ_ｐ，ｎ ^（ｊ）及びｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）とすると、非線形ステップＮ^（ｊ）の入出力波形はｙ_ｐ，ｎ ^{（ｊ－１）}及びｚ_ｐ，ｎ ^（ｊ）である。また、図３に示すように、ｚ_ｐ，ｎ ^（０）＝ｘ_ｐ，ｎ及びｙ_ｐ，ｎ ^（ｍ）＝ｙ_ｐ，ｎである。Ｌ^（ｊ）の出力波形ｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）がＮ^{（ｊ＋１）}に入力される際に、実線の矢印で示された経路は、式（１２）で示されるチャネル内のＳＰＭによる位相シフトを計算するための波形データの流れであり、点線の矢印で示された経路は、式（１３）で示されるチャネル間のＸＰＭによる位相シフトを計算するための波形データの流れである。

次に、逆伝搬計算で用いるパラメータを勾配降下法によって最適化し、非線形波形歪み補正の性能を最大化する、本実施の形態における手法を説明する。以下では具体的な学習方法について示す。誤差関数Ｊ(θ)を次のように定義する。

ここで、θは逆伝搬計算で用いるパラメータからなるベクトルであり、ｅ_ｔ(θ)＝ｙ_ｔ(θ)ーｄ_ｔは時刻ｔにおける誤差である。ｙ_ｔ(θ)は逆伝搬計算後の信号波形の時刻ｔにおける値であって、パラメータθの関数であるとみなし、ｄ_ｔは時刻ｔにおける所望信号の値である。ここでは所望信号として、送信信号の波形を用いる。

ここで、式（１６）の誤差関数の形は、平均二乗誤差（ＭＳＥ：Mean Square Error）と呼ばれる。送信信号の波形ｄ_ｔと、パラメータθの逆伝搬伝送路を計算後に得られた波形ｙ_ｔ(θ)との複数の組でデータセットを構成し、繰り返し計算に基づく確率的勾配降下法によって、誤差関数Ｊ(θ)を最小化するようにパラメータθを最適化する。非特許文献１に記載されているように、確率的勾配降下法に基づくパラメータθの更新式は次のように得られる。

ただし、θ_ｉはｉ回目の更新結果として得られたパラメータベクトルであり、ηは学習の速度を決定する微少な正の数、そして∇Ｊはパラメータに対する誤差関数の勾配を表し、次式のように計算される。

ここで、所望信号、すなわち送信信号はパラメータθに依存せず、

であるから、結局パラメータの更新式は以下のように得られる。

式（２０）を用いて、θの要素である逆伝搬計算中の全てのパラメータについての更新を行う際、出力信号ｙ_ｔに対して、それぞれのパラメータに対する勾配である∂ｙ_ｔ／∂θを用いる。これを計算するための計算式を、微分連鎖規則により導出する。

式（６）より、線形ステップＬ_ｐ，ｎ ^（ｊ）における入出力波形ｚ_ｐ，ｎ ^（ｊ）及びｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）の関係は、以下のようになる。

式（２１）を直接微分することで、以下の式が得られる。

これにより、出力波形ｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）のＤ_２ ^（ｊ）及びＤ_３ ^（ｊ）による勾配は、入力波形ｚ_ｐ，ｎ ^（ｊ）を用いて計算できる。ここで得られた勾配は、微分連鎖規則によって次のステップに送られ、最終的には、出力波形ｙ_ｐ，ｎ＝ｙ_ｐ，ｎ ^（ｍ）に対する勾配の形に改められる。Ｌ_ｐ，ｎ ^（ｊ）より前のステップに含まれる任意のパラメータεに対するｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）の勾配は、以下のように得られる。

これにより、出力波形ｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）のパラメータεに対する勾配は、直前の非線形ステップより出力される勾配∂ｚ_ｐ，ｎ ^（ｊ）／∂εを用いて計算できる。ただし、ウォークオフの値Ｔ_ｎ ^（ｊ）は、線形ステップＬ_ｐ，ｎ ^（ｊ）の前後の非線形ステップＮ_ｐ，ｎ ^（ｊ）及びＮ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}に含まれるウォークオフパラメータｄ_ｎ ^（ｊ）及びｄ_ｎ ^{（ｊ＋１）}を用いて、以下のようにする。

ここで、ｈ_ｊは非線形ステップＮ_ｐ，ｎ ^（ｊ）の区間幅である。

次に、チャネル０の信号波形についての非線形ステップＮ_ｐ，ｎ ^（ｊ）における入出力波形ｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）及びｚ_ｐ，ｎ ^（ｊ）の関係は、式（１１）より、以下のようになる。

但し、Ｐ_ｐ，ｎ ^{（ｊ－１）}＝｜ｙ_ｐ，ｎ ^{（ｊ－１）}｜^２は、入力波形ｙ_ｐ，０ ^{（ｊ－１）}の強度であり、また、以下のような関係もある。

これから、非線形ステップＮ_ｐ，ｎ ^（ｊ）で用いられるパラメータｇ^（ｊ），δ^（ｊ），α_０ ^（ｊ），α_ｎ ^（ｊ）及びｄ_ｎ ^（ｊ）に対する出力波形ｚ_ｐ，ｎ ^（ｊ）の勾配は、式（２６）を直接微分することで以下のように得られる。

このように、出力波形ｚ_ｐ，ｎ ^（ｊ）と入力波形の強度Ｐ_ｐ，ｎ ^{（ｊ－１）}とその周波数波形Ｐ~_ｐ，ｎ ^{（ｊ－１）}（Ｐ~はＰの上に～）を用いて計算できる。

また、Ｎ_ｐ，ｎ ^（ｊ）より前のステップに含まれる任意のパラメータεに対するｚ_ｐ，ｎ ^（ｊ）の勾配は、式（２６）をεで微分することで以下の式が得られる。

なお式（２６）乃至（３６）では、チャネル番号０の信号についての非線形ステップにおける計算式を記載したが、一般のチャネル番号の信号についても同様に記述することが可能である。

まとめると、線形ステップでは式（２２）及び（２３）、そして非線形ステップでは式（３０）乃至（３４）を用いて、そのステップで用いられるパラメータによる、そのステップの出力波形の勾配をそれぞれ計算し、その結果を次のステップに渡す。また線形ステップでは式（２４）、非線形ステップでは式（３５）及び（３６）を用いて、手前のステップより渡された勾配を、そのステップの出力についての勾配に更新して、さらに次のステップに渡す。入力側から出力側に向けてこのような計算を続けていくことで、逆伝搬計算で用いられるすべてのパラメータによる、最終的な出力波形ｙ_ｐ，ｎ＝ｙ_ｐ，ｎ ^（ｍ）の勾配を計算することができ、式（２０）によってパラメータの更新が可能となる。

なお、図３において、チャネル番号ｎの各直交偏波成分についての線形ステップＬ_１，ｎ ^（ｊ）及びＬ_２，ｎ ^（ｊ）では、分散パラメータＤ_２ ^（ｊ）及びＤ_３ ^（ｊ）を共有し、学習の際に勾配を計算する際も、両偏波成分の勾配を一括して平均をとる。また非線形ステップＮ_１，ｎ ^（ｊ）及びＮ_２，ｎ ^（ｊ）でも同様に、パラメータｇ^（ｊ），δ^（ｊ），α_０ ^（ｊ），α_ｎ ^（ｊ），ｄ_ｎ ^（ｊ）を共通して利用するものとする。

また、以下で述べる実施例では、チャネル番号ｎ＝０以外の信号については、非線形ステップの計算を実施せず、線形ステップにおける計算のみを実施する。非線形ステップにおける計算を無視した場合、ＸＰＭはおろかＳＰＭも補正されないことになるが、チャネル番号ｎ＝０に対する、それ以外のチャネルによるＸＰＭの影響を計算する上では、それ以外のチャネルの波形に生じる非線形波形歪みは無視することができることを確認済みである。

以上に記した方法により、ＸＰＭを含めた非線形波形歪みを補正するための伝送路パラメータを勾配降下法によって最適化し、補正効果を最大化することができる。

以下では、最適化するパラメータを取捨選択したうえで、さらに近似を適用することで計算量を削減する手法を示す。

式（２３）では伝送路の３次の群速度分散に対する勾配を計算する方法を示しているが、シンボルレートが数十Ｇbaud以下の信号に対しては、３次の群速度分散が単一チャネルの波形に及ぼす影響は無視できるほど小さいので、ある初期値に設定した後は学習を行わずに固定しておくか、あるいは３次の群速度分散効果そのものを無視することもできる。ここでは３次の群速度分散について、初期値を設定した後は学習を行わずに固定するものとする。ただし３次の群速度分散に起因して、チャネル間のウォークオフが、チャネル間の周波数差に対して２次で変化することになるが、この効果はウォークオフＴ_ｎ ^（ｊ）や、ウォークオフパラメータｄ_ｎ ^（ｊ）の初期値を設定する際に考慮することにする。

式（３２）及び（３３）では、各チャネルの損失係数に関する勾配を計算する方法を示しているが、損失係数は容易に測定できるパラメータであるため、勾配を計算することなく初期値から固定したままとする。

次に、勾配の伝播の仕方に制限を加える。図４Ａ及び図４Ｂは、チャネル番号がｎ＝０及び１である、２チャネルの偏波多重信号の入力波形ｘ_ｐ，ｎ（ｐ＝１，２；ｎ＝０，１）に対して、ｍ＝２の場合における線形ステップ及び非線形ステップの経路を示すものである。ここで、線形ステップＬ_１，０ ^（０）で用いられる２次の群速度分散Ｄ_２ ^（０）についての勾配が後段のステップに波及する経路について考える。

線形ステップＬ_１，０ ^（０）の出力波形ｙ_１，０ ^（０）は、非線形ステップＮ_ｐ，ｎ ^（１）（ｐ＝１，２；ｎ＝０，１）に送られる。それぞれの非線形ステップでは、式（２６）乃至（２８）より出力波形ｚ_ｐ，ｎ ^（１）が計算されるとともに、式（３５）及び（３６）よりε＝Ｄ_２ ^（０）の場合における勾配∂ｚ_ｐ，ｎ ^（１）／∂εが計算されて、さらに後のステップに送られる。Ｄ_２ ^（０）に対する勾配は、線形ステップＬ_ｐ，ｎ ^（１）（ｐ＝１，２；ｎ＝０，１）を経て、非線形ステップＮ_１，０ ^（２）に伝播する。

図４Ａの実線は、Ｄ_２ ^（０）に対する勾配の伝播経路を示すものである。しかしながら、Ｌ_ｐ，０ ^（０）（ｐ＝１，２）で共通して用いられるＤ_２ ^（０）の値が変化した場合に、ｙ_ｐ，０ ^（０）がＸＰＭを通じてチャネル番号ｎ＝１の波形に影響し、さらにＸＰＭを通じて非線形ステップＮ_ｐ，０ ^（２）でチャネル番号ｎ＝０の信号波形ｚ_ｐ，０ ^（２）に及ぶ影響は、極めて小さいものであって、無視することが可能である。このように考えると、あるパラメータεによる勾配の伝播経路をチャネル内に限定することができ、図４Ｂに示した実線のような経路となる。このとき、式（３６）においてＨ_ｎ ^（ｊ）(ω)を含む項を無視することになり、結果として次式のような形となる。

以上に示した近似による手法をまとめると、線形ステップでは、波形の発展として式（２１）、そのステップで用いられる２次の群速度分散に関する勾配の計算式として式（２２）、そして前のステップより伝播してきた任意のパラメータεに関する勾配の更新式として式（２４）を用いて計算できる。また非線形ステップでは、波形の発展として式（２６）乃至（２８）、そのステップで用いられるパラメータｇ^（ｊ），δ^（ｊ），ｄ_ｎ ^（ｊ）に関する勾配の計算式として式（３０）、（３１）及び（３４）、そして前のステップより送られてきた任意のパラメータεに関する勾配の更新式として、式（３５）及び（３７）を用いることができる。

図５Ａに、パラメータ最適化処理において、各伝送路パラメータによる波形の勾配を計算する処理のフローを示す。線形ステップＬ^（ｊ）においては、式（２１）でｚ_ｐ，ｎ ^（ｊ）からｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）への波形の発展がなされるが、式（２２）及び（２３）による演算によって、Ｌ^（ｊ）で用いられる各伝送パラメータ（Ｄ_２ ^（ｊ）及びＤ_３ ^（ｊ））に関する波形の勾配（∂ｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）／∂Ｄ_２ ^（ｊ）及び∂ｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）／∂Ｄ_３ ^（ｊ））が計算される。また式（２４）による演算により、Ｌ^（ｊ）より前のステップに含まれる全ての伝送パラメータεに関する波形の勾配が計算され、∂ｚ_ｐ，ｎ ^（ｊ）／∂εが∂ｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）／∂εに更新される。∂ｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）／∂Ｄ_２ ^（ｊ）及び∂ｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）／∂Ｄ_３ ^（ｊ）は、∂ｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）／∂εに含められ、まとめて次のステップであるＮ^{（ｊ＋１）}に送られる。

次に、非線形ステップＮ^{（ｊ＋１）}においては、式（２６）乃至（２８）でｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）からｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}への波形の発展がなされるが、式（３０）乃至（３４）による演算によって、Ｎ^{（ｊ＋１）}で用いられる各伝送パラメータ（ｇ^{（ｊ＋１）}，δ^{（ｊ＋１）}，α_０ ^{（ｊ＋１）}，α_ｎ ^{（ｊ＋１）}，ｄ_ｎ ^{（ｊ＋１）}）に関する、波形の勾配（∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂ｇ^{（ｊ＋１）}，∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂δ^{（ｊ＋１）}，∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂α_０ ^{（ｊ＋１）}，∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂α_ｎ ^{（ｊ＋１）}，∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂ｄ_ｎ ^{（ｊ＋１）}）が計算される。また、式（３５）及び（３７）による演算により、Ｎ^{（ｊ＋１）}より前のステップに含まれる全ての伝送パラメータεに関する波形の勾配が計算され、∂ｙ_ｐ，ｎ ^（ｊ）／∂εが∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂εに更新される。なお、式（３７）の代わりに式（３６）を用いても良い。∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂ｇ^{（ｊ＋１）}、∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂δ^{（ｊ＋１）}、∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂α_０ ^{（ｊ＋１）}、∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂α_ｎ ^{（ｊ＋１）}、∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂ｄ_ｎ ^{（ｊ＋１）}は、∂ｚ_ｐ，ｎ ^{（ｊ＋１）}／∂εに含められ、まとめて次のステップであるＬ^{（ｊ＋１）}に送られる。

このような計算をステップ毎に繰り返すことで、伝送路中のすべてのパラメータθに関する、最終的な出力ｙ_ｔの勾配である、∂ｙ_ｔ／∂θが計算されるのである。

さらに、図５Ｂに、パラメータ最適化処理において、各伝送路パラメータを更新する処理のフローを示す。すなわち、出力波形ｙ_ｔと各伝送パラメータθ_ｉによる勾配∂ｙ_ｔ／∂θ_ｉと所望信号ｄ_ｔとを用いて、ｉ番目のステップにおける伝送路パラメータθ_ｉを、式（２０）を用いて更新するものである。図５Ｂに示すように、線形ステップにおいては、伝送路パラメータＤ_２及びＤ_３が更新され、非線形ステップにおいては、伝送路パラメータθとしてｇ、δ、α_０、α_ｎ、ｄ_ｎが更新される。

なお、光ファイバの損失係数α_０及びα_ｎの値や、偏波間相互位相変調に対応する係数δの値が１であることが判明している場合は、これらの伝送路パラメータについての学習を省略しても良い。また、チャネル内の３次分散効果が無視できる場合には、Ｄ_３の学習を省略しても良い。

［実施の形態に係るシステム構成］
図５Ｃは、本実施の形態に係る光伝送システムの模式図を示している。送信機によって生成されたＷＤＭ信号は、光ファイバと光増幅器から構成される伝送路を伝搬し、受信機に到達する。受信機では、アレイ導波路格子などの分波装置を用いて、ＷＤＭ信号をチャネル毎に分波する。分波された各チャネルの光信号波形は、コヒーレント受信機によって電気信号波形に変換された後、信号処理のためのデジタルシグナルプロセッサ（ＤＳＰ：Digital Signal Processor）に入力される。ＤＳＰでは、電気信号波形がアナログデジタル（ＡＤ：Analog-to-Digital）変換によって数値データとなり、最終的に受信ビット列に変換して出力するための各種復調処理のための計算が実施される。復調処理としては、時間的なサンプリングのタイミング制御、サンプリングレートの変換、クロック同期、フィルタリング、偏波回転、搬送波再生、適応等化器などの線形波形歪み補正、本実施の形態に係る非線形波形歪み補正、シンボル判定、誤り訂正処理などが含まれる。なお、ＤＳＰには、上で述べたパラメータ最適化処理を実行する機能を搭載することが可能であるが、パラメータ最適化処理をＤＳＰでは実施せずに外部の計算機で実施し、最適化されたパラメータをダウンロードして本実施の形態に係る非線形波形歪み補正に適用することも可能である。ＡＤ変換機能については、ＤＳＰから分離して、ＤＳＰとコヒーレント受信機の間に設置してもよい。従来の光伝送システムでは、ＤＳＰはチャネル毎に独立して設けられており、ＤＳＰ同士が連係して動作することは基本的にないが、本実施の形態では、図５Ｃのように、単一のプロセッサで複数チャネルの波形データを一括して扱うか、独立した複数のプロセッサが相互にデータをやり取りすることで、上で述べたＸＰＭによる位相シフトの計算を行う。

図５Ｄに、ＤＳＰによって実行され、且つ本実施の形態に関係する処理フローを示す。まず、波形形状が既知である信号を伝送し、受信機でＤＳＰが復調した受信信号波形をもとに、ＤＳＰ内もしくは外部の計算機において伝送路パラメータを最適化するパラメータ最適化処理を実行する（工程Ｓ１）。これは、図５Ａ及び図５Ｂに示したようなフローに従った演算を含む。パラメータ最適化処理は、ＤＳＰ内に構成されるパラメータ最適化部もしくは外部の計算機により実行される。次に、ＤＳＰ内に構成される波形歪み補正部は、最適化された伝送路パラメータを用いた逆伝搬処理を実行する（工程Ｓ３）。この逆伝搬処理では、図２及び図３で述べたように、波長分割多重伝送時における複数のチャネルの各々について、線形ステップと非線形ステップのそれぞれが最適化された伝送路パラメータを持ち、これらの計算を順番に行うことで、当該チャネル内で生ずる自己位相変調に起因する波形歪みと、当該チャネル以外のチャネルとの間で生じる相互位相変調に起因する波形歪みとを補正し、送信時の波形を推定する。この逆伝搬処理は、ＤＳＰにより実行される。このような処理を行うことで、計算量を抑えつつ、精度を向上させることが出来るようになる。

［実施例］
数値計算を用いた光伝送シミュレーションに基づく具体的な事例を基に、本実施の形態において示した手法による、ＷＤＭ光信号の非線形波形歪み補正の効果について説明する。
検討対象とする光信号は、シンボルレートが３２Ｇbaudの偏波多重（ＤＰ：Dual-Polarization）６４値直交振幅変調（ＱＡＭ：Quadrature Amplitude Modulation）信号を、周波数間隔５０ＧＨｚで９チャネル波長分割多重した信号であり、これにランダムな雑音を付与して、ＳＮ比を２５ｄＢに設定する。なお送信信号のスペクトルは、ロールオフ係数が０．０５のルートナイキストフィルタが適用されたものとする。９チャネルのＷＤＭ信号について、周波数が低い側からチャネル番号を－４から＋４まで割り振り、中心のチャネル番号０の信号品質に注目し、非線形波形歪み補正の動作を検証する。

１スパンが長さ８０ｋｍの標準シングルモード光ファイバ（ＳＳＭＦ：Standard Single-Mode Fiber）と、その伝搬損失を増幅する光増幅器で構成され、４スパンから１０スパンまでの伝送路を考え、これらの伝送路を用いて光信号を伝送する計算を行う。理想的な伝送路では、全スパンのＳＳＭＦが同じパラメータを持つものとして、２次および３次の群速度分散値をそれぞれ１６．６４１ｐｓ／ｎｍ／ｋｍおよび０．０６ｐｓ／ｎｍ^２／ｋｍとし、非線形係数を１．３Ｗ^－１ｋｍ^－１、そして伝搬損失係数を０．１９２ｄＢ／ｋｍとおく。一方、現実の伝送路では、様々なパラメータがスパンごと、あるいは地点ごとに異なっており、また光信号のパワーも理想的な状態から揺らいでおり、結果的に群速度分散の効果や非線形効果の大きさがばらつくことになる。この状況を考慮するために、理想的な伝送路とは別に、図６のように２次の群速度分散値と非線形係数をステップごとに変動させた伝送路を考え、以下ではこの伝送路を現実的な伝送路と呼ぶことにする。なお、図６において、灰色実線は、２次の群速度分散値（ａ）と非線形係数（ｂ）のそれぞれについて、１０スパンすべてのパラメータに対する平均値を示している。ただし、４乃至８スパンまでの短い伝送路を考える場合は、存在するスパン内での平均値を考えるものとする。

光伝送シミュレーションを実施する数値計算では、時間軸でシンボルレートの３２倍にサンプリングした波形データを扱う。スパン数を４，６，８，１０のいずれかに設定し、各スパンで同じパラメータの理想的な伝送路又は図６に示したパラメータを有する伝送路において、１スパンあたりのステップ数を８００とするスプリットステップフーリエ法を用いて、式（１）の非線形シュレディンガー方程式に従って光信号が伝送路を伝搬する様子を計算し、出力波形データを得る。式（１）で偏波間相互位相変調に対応する係数δの値を１と設定し、その他のパラメータについては、伝送路を構成する光ファイバのパラメータを規格化して得られた値を用いる。また光増幅器の雑音指数を６ｄＢとし、利得と雑音指数によって定められる雑音電力を持つランダムなガウス分布雑音を、自然放出光雑音として増幅の際に信号に付加する。各スパンで伝搬開始時の光信号パワーを「スパン入射パワー」と呼び、いくつかのスパン入射パワーに対して伝送シミュレーションを実施する。スパン入射パワーが小さい場合は、顕著な非線形波形歪みは生じないものの、雑音によるＳＮ比劣化が顕著になり、信号品質が低下する。スパン入射パワーを大きくしていくと、ＳＮ比は向上していくものの、非線形波形歪みが顕著になっていき、あるスパン入射パワーにおいて信号品質がピーク値を取った後、さらに大きなスパン入射パワーに対しては信号品質が劣化する。

検討する伝送スパン数ならびに入射パワーそれぞれの条件に対して、シンボル数が１６３８４の送信信号データをランダムビットパターンより生成し、伝送シミュレーションを実施し、出力波形を保存する。伝送路の入力波形と出力波形の組をデータセットとして、合計２００のデータセットを用い、上記数式を用いた勾配降下法によって、非線形波形歪みの補正が最適化されるように、逆伝搬計算のパラメータを学習する。本実施例に係る、パラメータの学習を伴う逆伝搬計算においては、１スパンあたりのステップ数を１に設定する。これに対して、学習を伴わない逆伝搬計算においては、１スパンあたりのステップ数が１の場合と２の場合の両方を考え、学習を行わない場合との効果の比較を行う。

各パラメータの学習にあたっては勾配降下法を用いるが、パラメータ更新の具体的な実装方法として、非特許文献９で提案されているAdaBeliefという手法を用いる。なお、AdaBelief以外の手法を用いても学習は可能である。AdaBeliefの更新式は、μ_０＝０，ν_０＝０とおいて以下のように得られる。

但し、∇Ｊ_ｉはｉ回目の更新時におけるパラメータθに対する誤差関数の勾配であり、またｂ_１＝０．９，ｂ_２＝０．９９９，ｅ＝１０^－８は定数である。式（３８）のηは学習係数であり、パラメータ毎に適した値を設定する。本実施例においては、２次の分散値に対応するパラメータＤ_２に対する学習係数をη＝１．０とおき、非線形係数に対応するパラメータｇに対してはη＝２．０×１０^－６、偏波間相互位相変調係数に対応するパラメータδに対してはη＝２．０×１０^－５、そしてウォークオフに対応するパラメータｄ_ｎに対してはη＝２．０×１０^－４を用い、式（３８）による更新を３万回繰り返して学習を行う。なおデータセットの個数は２００であるので、２００回の更新ごとにデータセットの並び順をランダムに入れ替え、繰り返し学習を行う。なお、この操作によって過学習が発生することはない。また、信号の変調フォーマットやチャネル数などの条件を変更して同様の学習を実施する際に、必要に応じてパラメータが収束するまで３万回以上の学習を実施することもあり得る。式（２０）のｙ_ｔ及びｄ_ｔとしては、データセットを構成する１６３８４シンボルのすべてを用いる。学習後の検証作業には、異なるビットパターンで、シンボル数が２６２１４４である別の波形を用い、非線形波形歪み補正後の信号品質を評価する。

まず、パラメータが全スパンで同じ値を持つ理想的な伝送路において、非線形波形歪み補正の結果を示す。図７Ａ乃至図７Ｅは、６スパンの理想的な伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合のデータセットに対して、ＸＰＭも考慮した逆伝搬計算において、パラメータの更新を３万回繰り返した際の、各種数値の変動を示している。図７Ａでは、パラメータ更新の繰り返し回数に対して、線形ステップＬ^（ｊ）（０≦ｊ≦６）における分散パラメータＤ_２ ^（ｊ）の変動の様子を示している。ｊ＝０および６の線形ステップでは、距離が他のステップの半分であるため、Ｄ_２ ^（ｊ）の初期値も半分である。学習を進めていくと、ｊ＝１，２，３，４，５のパラメータは同じ値に収束し、ｊ＝０のパラメータも近い値に収束する。これに対して、ｊ＝６の場合、すなわち最も送信機に近い線形ステップのみ、他とは異なる値に収束している。これらの結果は、いま検討の対象としている理想的な伝送路においてパラメータが全スパンで等しいという事実と必ずしも一致しないが、学習による性能の最適化が行われた結果として得られたものであり、後述するように学習を行わない場合よりも性能が向上している原因のひとつになっていると考えられる。

図７Ｂでは、非線形ステップＮ^（ｊ）（１≦ｊ≦６）の非線形パラメータｇ^（ｊ）の変動の様子を示している。ｊ＝６の場合、すなわち最も送信機に近い非線形ステップのみ他とはやや異なる値に収束しているが、その他のステップではほぼ同じ値に収束している。図７Ｃ及び図７Ｄでは、それぞれウォークオフパラメータｄ_－４ ^（ｊ）およびｄ_－１ ^（ｊ）の変化の様子を示している。すべてのステップにおける値がほぼ重なっており、また学習によるパラメータの変化もほぼ見られない。理想的な伝送路では、学習開始時に各スパンに共通な正しいパラメータを初期値として与えているため、学習によってウォークオフを調整する必要がなかったことによるものと考えられる。図には記載していないが、その他のウォークオフパラメータもｄ_－４ ^（ｊ）及びｄ_－１ ^（ｊ）と同様に収束している。

図７Ｅでは、受信信号波形と、所望信号、すなわち送信信号波形から計算されるＭＳＥの値をプロットしている。学習開始直後からＭＳＥが急激に減少し、繰り返し回数が１０００程度でほぼ収束し、その後は安定に推移していることがわかる。実際の伝送システムで本手法を用いる際には、ＭＳＥが最低値付近で振動するようになったときに、各種パラメータが収束していなくても更新を終了し、学習後の定常的な波形補正を開始してもよい。

図８Ａ及び図８Ｂは、伝送スパン数が４，６，８，１０それぞれの場合で、逆伝搬計算による非線形波形歪み補正を行った場合と行わない場合について、各スパン入射パワーに対するＱ値の計算結果を示している。ただし逆伝搬計算の条件としては、１step/spanおよび２steps/spanでパラメータを学習しない逆伝搬計算を行った場合と、１step/spanで本実施の形態に係るパラメータの学習を行ってから逆伝搬計算を実施した場合を考えていて、いずれもＸＰＭによる非線形波形歪みを補正せずに、ＳＰＭによる歪みのみを補正したときの結果を示している。またＱ値は、ビット誤り率（ＢＥＲ：Bit Error Rate）の値から以下の式に従って変換したものである。

図８Ａ及び図８Ｂの結果は全体として、入射パワーが低い領域ではＳＮ比の劣化が原因でＱ値が劣化しており、逆に入射パワーが大きい領域では、非線形波形歪みによってＱ値が劣化している。学習しない場合の逆伝搬計算の結果に注目すると、１step/spanの場合は補正の効果がわずかしかなく、２steps/spanではそれなりの補正効果が得られている。また本実施の形態に係る方法でパラメータを学習した逆伝搬計算の結果では、スパンあたりのステップ数が１であるにも関わらず、学習しない場合の２steps/spanの結果をやや上回る信号品質が得られている。このことは、学習を実施することで、波形補正に真に必要なパラメータが獲得でき、本質的には２steps/spanの計算が不要である可能性を示唆している。実際に、結果は記載しないが、２steps/spanで本実施の形態に係る方法でパラメータの学習を行うと、ＭＳＥが下がりきった条件における非線形波形歪み補正の性能は、１step/spanの場合と変わらないものが得られる。

非特許文献８で報告されている、物理現象特化型ニューラルネットワークによる非線形波形歪み補正の場合についても、１２スパンの伝送路に対して、１step/spanの結果が２steps/spanの結果とほぼ変わらない一方で、０．５step/spanの構成、すなわちステップ数が６の場合でも、性能は劣化しつつもそれなりの補正効果が得られたという結果が報告されている。このことから、本実施の形態に係る手法を用いた場合は、２steps/span未満のステップ数で十分な補正効果が得られ、さらに１step/span未満の構成でもそれなりの補正効果が得られるものと考えられる。

図９Ａ及び図９Ｂは、図８Ａ及び図８Ｂと同様の結果であるが、ＳＰＭに加えて、ＸＰＭも考慮に入れた逆伝搬計算を実施した場合の結果を示している。ＸＰＭによる歪みの補正を行うことで信号品質が向上しており、その中でも、本実施の形態に係るパラメータの学習を実施した後の、１step/spanの逆伝搬計算によって波形補正された信号品質が、学習を行わない２steps/spanの逆伝搬計算の結果を上回り、この中では最良である。また非特許文献４の手法と比較すると、本実施の形態に係る手法は１step/spanで十分な効果が得られており、現実的な計算量で実現することが可能である。

図１０は、図８Ａ及び図８Ｂ並びに図９Ａ及び図９Ｂに示した非線形波形歪み補正の結果から、いくつかの条件で非線形波形歪み補正をする場合と、補正を行わない場合について、それぞれ最適な入射パワーの下での、スパン数に対するＱ値の結果を示したものである。誤りなくデータを受信できるＱ値の閾値を７．５ｄＢに設定すると、補正しない場合の最大伝送距離は６スパンであるのに対して、本実施の形態に係る方式である、ＳＰＭとＸＰＭの両方を考慮してパラメータの学習を実施する手法を用いることで、１０スパン以上の伝送が可能となり、大幅に伝送距離を延伸可能であることがわかる。

次に、図６にパラメータを示した現実的な伝送路についての結果を図１１Ａ乃至図１４に示す。図１１Ａ乃至図１１Ｅは、６スパンの現実的な伝送路で、スパン入射パワーが＋２ｄＢｍ／ｃｈの場合のデータセットに対して、ＸＰＭも考慮した逆伝搬計算において、パラメータの更新を３万回繰り返した際の、各種数値の変動を示している。ただし、学習を開始するにあたっての伝送路パラメータの初期値としては、図６に示した現実的な伝送路の真のパラメータが不明であるという状況を想定し、６スパンの平均値を与えている。図１１Ａでは２次の群速度分散パラメータＤ_２ ^（ｊ）、図１１Ｂでは非線形パラメータｇ^（ｊ）の変化の様子を示しており、それぞれスパンごとに異なる値に収束している。この結果は、元の伝送路のパラメータがスパン毎に変化している事実に定性的に一致するが、得られた値は非線形波形歪み補正を最大化する値であって、必ずしも図６で与えた伝送路パラメータに一致するわけではない。図１１Ｃ及び図１１Ｄでは、それぞれウォークオフパラメータｄ_－４ ^（ｊ）及びｄ_－１ ^（ｊ）が、各スパンの異なる分散値に対応して異なる値に収束していることがわかる。図には記載していないが、その他のウォークオフパラメータもｄ_－４ ^（ｊ）及びｄ_－１ ^（ｊ）と同様に収束している。図１１Ｅでは図７Ｅと同様に、学習の回数に対するＭＳＥの値を示しているが、図７Ｅに示した理想的な伝送路の場合と比較して、図１１Ｅの現実的な伝送路に対する結果では、繰り返し回数が約１００００で収束している。図７Ｅに示した結果と同様に、この場合もＭＳＥが最低値付近で振動するようになったときに、各種パラメータが収束していなくても更新を終了し、学習後の定常的な波形補正を開始してもよい。

図１２Ａ及び図１２Ｂでは、図８Ａ及び図８Ｂと同様に、伝送スパン数が４，６，８，１０それぞれの場合で、逆伝搬計算による非線形波形歪み補正を行った場合と行わない場合について、各スパン入射パワーに対するＱ値の計算結果を示している。但し、逆伝搬計算の条件としては、１step/span及び２steps/spanでパラメータを学習しない逆伝搬計算を行った場合と、１step/spanで本実施の形態に係るパラメータの学習を行ってから逆伝搬計算を実施した場合で、いずれもＸＰＭによる非線形波形歪みを補正せずに、ＳＰＭによる歪みのみを補正したときの結果を示している。また学習しない逆伝搬計算については、計算に用いるパラメータとして、図６に示した真の値を与えた場合と、その平均値を与えた場合との両方の結果を示している。理想的な伝送路について得られた図８Ａ及び図８Ｂの結果と同じく、現実的な伝送路に対しても、本実施の形態に係るパラメータの学習を実施する逆伝搬計算によって波形補正された信号品質がこの中では最良であることがわかる。学習を行わない逆伝搬計算においては、伝送路パラメータの真の値を与えた場合と、平均値を与えた場合で結果に大きな差がなく、ＳＰＭのみを補正する状況においては、補正の性能は伝送路のパラメータに大きく依存していないことがわかる。

図１３Ａ及び図１３Ｂは、ＳＰＭだけでなくＸＰＭも考慮した非線形波形歪み補正を実施した場合について、図１２Ａ及び図１２Ｂと同様の結果を示している。現実的な伝送路においても、ＸＰＭによる歪みの補正を行うことで信号品質が向上しており、その中でも、本実施の形態に係るパラメータの学習を実施する、１step/spanの逆伝搬計算によって波形補正された信号品質が、学習を行わず、真の伝送路パラメータを与えた２steps/spanの逆伝搬計算の結果を上回り、この中では最良である。図１３Ａ及び図１３Ｂの結果において注目すべき点は、学習を行わない逆伝搬計算において、伝送路のパラメータとして真の値の平均値を与えた場合の結果が、真の値を与えた場合の結果と比較して、著しく劣化していることである。これは、ＸＰＭを補正するにあたって、異なるチャネル間の時間的な位置関係を表すウォークオフの値を正しく与えなければ、ＸＰＭによる位相シフトが正しく計算できずに補正性能が劣化することが原因である。ゆえに、伝送路のパラメータがスパンごとに揺らいでおり、かつ正しい値が未知の状況においては、本実施の形態で示した手法による、伝送路パラメータを学習することでウォークオフを最適値に設定し、効果的にＸＰＭを補正できるという点が、極めて重要な意味を持つのである。

図１４は図１０と同様に、図１２Ａ及び図１２Ｂ並びに図１３Ａ及び図１３Ｂに示した非線形波形歪み補正の結果から、いくつかの条件で非線形波形歪み補正をする場合と、補正を行わない場合について、それぞれ最適な入射パワーの下での、スパン数に対するＱ値の結果を示したものである。現実的な伝送路においても、理想的な伝送路の場合と同様の結果が得られており、本実施の形態に係るパラメータの学習を実施した後で逆伝搬計算を実施することで、伝送距離を大幅に延伸することが可能となる。

上述のシミュレーション結果に加え、周回伝送実験によっても実施の形態の効果を検証した。図１５は周回伝送実験系を示しており、以下ではこの系を用いた実験手順の詳細と、実験結果を示す。

送信機（Ｔｘ：Transmitter）の構成として、波長可変光源より出力される波長の異なる１１チャネルの連続光が、１６×１偏波保持カプラで合波されてからリチウムニオブ酸（ＬＮ）偏波多重ＩＱ変調器に入力され、変調器に印加される電気信号によって光信号波形に変調されて出力される。１１チャネルの連続光が持つ周波数は、中心周波数を１９３．１ＴＨｚ（波長が１５５２．５２４ｎｍ）として、１９２．８５ＴＨｚ乃至１９３．３５ＴＨｚまで５０ＧＨｚ間隔で設定されており、周波数の低い順からチャネル番号をｎ＝－５，－４，・・・，４，５と定める。変調器に印加される４チャネルの電気信号は、サンプリングレートが６４ＧSample／ｓの任意波形発生器より生成されたものであり、各チャネルは偏波多重ＩＱ変調信号のＸ偏波Ｉチャネル成分、Ｘ偏波Ｑチャネル成分、Ｙ偏波Ｉチャネル成分、そしてＹ偏波Ｑチャネル成分に相当する。この４チャネル電気信号は、それぞれドライバアンプによって増幅され、変調器に印加される。変調器から出力された光信号は、シンボルレートが３２Ｇbaudであり、ロールオフ係数が０．１のルートナイキスト波形を持つ、偏波多重ＱＡＭ信号である。変調フォーマットとしては、単一偏波単一シンボル当たりのビット数が４bitである均一分布１６ＱＡＭ信号と、単一偏波単一シンボル当たりのビット数が５bitである確率的分布（ＰＳ：Probabilistically Shaping）６４ＱＡＭ信号を用いる。１６ＱＡＭおよびＰＳ－６４ＱＡＭの各変調フォーマットについて、ランダムビットパターンより変調される、単一偏波あたり６５５３６シンボルで構成される信号波形を４パターンずつ生成する。４パターンのうちの一つを選択すると、Ｔｘからはそのパターンの波形が繰り返し送信される。なお変調によって得られる１１チャネルのＷＤＭ信号は、すべてのチャネルで同じ波形に変調されているが、群速度分散が存在する伝送路を長距離伝送することで、ウォークオフ（チャネル間の群遅延）が生じるため、長距離伝送後にランダムな波形間のＸＰＭが生じることになる。

Ｔｘで生成された１１チャネルのＷＤＭ信号は、光増幅器によって光パワーが増幅され、可変光減衰器（ＶＯＡ：Variable Optical Attenuator）によって光パワーが調整された後、帯域通過フィルタ（ＢＰＦ：Band-Pass Filter）によって信号帯域外の光雑音が除去され、周回伝送動作を切り替えるスイッチである音響光学変調器（ＡＯＭ：Acoustic Optical Modulator）に入力される。周回伝送路に対する信号の入出力は、３ｄＢカプラを通じて行われる。周回伝送路は入力側から順に、光増幅器、ＢＰＦ、ＶＯＡ、長さが８４．１ｋｍのＳＳＭＦ、光増幅器、ＢＰＦ、ＶＯＡ、長さが８０．５ｋｍのＳＳＭＦ、光増幅器、アイソレータ（右向き矢印）、偏波スクランブラ（Pol. Scrambler）、そしてＡＯＭで構成され、一周あたり２スパンのＳＳＭＦを含む。実験では伝送距離を６，８，１０，１２，１４，１６スパンのいずれかに設定して、それぞれの距離に対して信号を伝送し、非線形波形歪み補正の効果を検証する。なお長さが８４．１ｋｍのＳＳＭＦと、８０．５ｋｍのＳＳＭＦはやや異なる分散特性を持っており、測定の結果、周波数１９３．１ＴＨｚにおける群速度分散値と分散スロープの値は、前者がそれぞれ１７．１４ｐｓ／ｎｍ／ｋｍおよび０．０６２ｐｓ／ｎｍ^２／ｋｍ、後者がそれぞれ１６．５５ｐｓ／ｎｍ／ｋｍおよび０．０５８ｐｓ／ｎｍ^２／ｋｍであり、周回伝送路一周の平均特性としては群速度分散値が１６．８５ｐｓ／ｎｍ／ｋｍ、分散スロープが０．０６０ｐｓ／ｎｍ^２／ｋｍと見積もられた。

周回伝送路より出力された信号は、通過帯域が５０ＧＨｚのＢＰＦによって１１チャネルのうちのいずれか１チャネルのみが切り出され、光増幅器で増幅された後、受信機（Ｒｘ：Receiver）に入力される。Ｒｘは、電気帯域が３３ＧＨｚで８０ＧSample／ｓの４チャネルリアルタイムオシロスコープと、局所発振光源（ＬＯ：Local Oscillator）および光フロントエンドからなるデジタルコヒーレント受信機であり、オシロスコープで取得したリアルタイム波形をオフラインデジタル信号処理によって復調した後、非線形波形歪み補正のための信号処理をやはりオフラインで実施する。ただし実験では、チャネル番号がｎ＝０である中心のチャネルの信号品質にのみ着目し、これを最大化するように、実施の形態に係る非線形波形歪み補正のための学習を実施して、補正後の信号品質を評価する。

ＷＤＭ信号を受信した後に非線形波形歪み補正のための逆伝搬計算をオフラインで行うために、全１１チャネルの波形をチャネルごとに受信する。逆伝搬計算を実施せずに、信号の品質評価まで行う通常の復調処理としては、分散補償、マッチドフィルタとして送信時に適用したものと同じルートナイキストフィルタの適用、偏波回転および偏波多重成分の分離、２サンプル／シンボルへのリサンプリング、リタイミング、搬送波周波数推定および補償、搬送波位相再生および３タップのフィードフォワード型線形適応等化処理、そしてシンボル判定およびビットパターンの取得を行う。ここで、３タップの適応等化処理は、偏波多重信号に対応したバタフライ型２×２ＭＩＭＯ処理となっていて、伝送路の複屈折やＸＰＭなどに起因して発生する偏波クロストークを補償するうえで有効である。一方で、このように復調した信号波形は、ルートナイキストフィルタの適用によって、受信時の波形からは大きく変化しており、そのまま逆伝搬計算を適用することはできない。そこで、通常の復調処理の中で分散補償を適用後の波形に対して、ルートナイキストフィルタを適用せずに、以降の復調過程で実施された処理を同様に行って、受信直後の波形をできるだけ忠実に再現する。

ところで、本来であれば、複数のトランシーバを用いて全チャネルの光信号を同時に受信し、すべてのチャネルの波形を使用して、それらを復調することなしに、本実施の形態に係る非線形波形歪み補正のための逆伝搬計算を行って、最後に復調を実施すべきである。しかしながら、ここで実施している実験では、１台のＲｘを用いて各チャネルを順に受信して復調していくため、測定された全チャネルの波形は、チャネル間の同期がとれたものではない。特に、長距離の光ファイバを伝送後のＷＤＭ信号には、群速度分散の効果によってチャネル内の線形波形歪みに加えて、チャネル間に群遅延（ウォークオフ）が生じており、逆伝搬計算を行う際には、受信時の正確な群遅延量を保ったまま計算を開始する必要があるが、非同期に受信した波形を復調せずにそのまま逆伝搬計算すると、その条件が満たされない。そこで、いったん全チャネルを独立に受信して、分散補償を含めた復調を実施し、得られた波形から既知のパイロットシンボルを検出し、全チャネルのタイミングを同期させてから、補償した群速度分散値を再度付与することで各チャネルにウォークオフを与え、一括受信時に得られるであろうＷＤＭ信号波形を再現し、逆伝搬計算を開始するという手順を採る。

実験では、異なる伝送スパン数および入射パワーの各条件において、各変調フォーマットの信号をそれぞれ伝送、受信、且つ復調し、全チャネルに共通する送信波形と、上に述べた全チャネル一括受信波形を組み合わせて、データセットを生成する。各変調フォーマットについて、異なる４つの波形パターンに対応して４つのデータセットが生成される。なお逆伝搬計算を実施中に発生するウォークオフを正しく処理するために、受信時には送信波形の一周期を構成する６５５３６シンボルよりも十分に多くのシンボルが含まれるように測定する。チャネル番号がｎ＝０である中心の信号と、チャネル番号がｎ＝±５である端のチャネルは周波数差が２５０ＧＨｚであり、最大伝送スパン数が１６であることから、ウォークオフの最大値は約４３５００ｐｓと見積もられる。このウォークオフ値は、３２Ｇbaud信号に対しては約１４００シンボル分に相当するため、これより多くのシンボル数を含む条件で測定すれば、有限の時間幅を持つデータセットを用いて逆伝搬させる際にウォークオフの影響を正しく計算できる。そのため、一周期が６５５３６シンボルである波形に対して、時間軸の両端にそれぞれ５０００シンボルずつ付加した波形をもってデータセットを構成する。

実験に先だって、シミュレーションに基づく事前の検討によって、以下の新たな事実を見出した。すなわち、一定の複雑さを持つ変調フォーマット（例えばＤＰ－１６ＱＡＭ）の信号を用いて、一定値以上の大きな入射パワー（例えばチャネル当たりの入射パワーが＋３ｄＢｍ）について得られた波形に対してのみ伝送路パラメータの学習を行えば、そこで得られたパラメータは、入射パワーが学習の際に使用した値以下である任意の変調フォーマットの信号に対する非線形波形歪み補正に適用することが可能になるということである。この事実に基づいて、実験では、チャネル当たりの入射パワーが＋３ｄＢｍであるＤＰ－１６ＱＡＭ信号を伝送、受信、且つ復調してデータセットを構成し、逆伝搬計算に用いる伝送路パラメータの学習を行う。次に、チャネル当たりの入射パワーが－５ｄＢｍ乃至＋２ｄＢｍであるＤＰ－ＰＳ－６４ＱＡＭ信号を伝送、受信、且つ復調してデータセットを構成し、先に得られた伝送路パラメータを用いた非線形波形歪み補正を実施して、信号品質の改善量を評価する。

伝送路パラメータの学習に際しては、一回の学習ステップにおいて、ＤＰ－１６ＱＡＭ信号の４つのデータセットからいずれか一つをランダムで選び、逆伝搬計算を実施したうえで、６５５３６シンボルの中の連続する１０２４シンボルをランダムで選んで、その振幅波形を式（２０）の出力信号波形ｙ_ｔとし、さらに対応する送信信号波形を所望信号ｄ_ｔとして、誤差信号から各パラメータの勾配を計算することで、パラメータの更新を行う。このような学習を行うことで、限られた量のデータセットに対しても学習の過程がランダム化され、過学習を生じることなく学習を進めることが可能となる。なお学習に用いる勾配降下法のアルゴリズムとしては、上で述べたAdaBeliefを用いる。

図１６Ａ乃至図１６Ｇは、伝送スパン数が６の場合に、１step／spanの逆伝搬条件で、実施の形態に係るＸＰＭ補償を考慮した非線形波形歪み補正のための伝送路パラメータを学習するプロセスにおいて、各種パラメータが更新される様子を示している。また図１７は、実験で用いた６スパン伝送路を構成する光ファイバの接続の様子と各スパンのファイバ長、そして逆伝搬計算における線形ステップＬ^（ｊ）（０≦ｊ≦６）および非線形ステップＮ^（ｊ）（１≦ｊ≦６）の計算順序を模式図として表したものである。図１６Ａ乃至図１６Ｇの結果から、伝送路パラメータと信号品質は一定回数のパラメータ更新後に収束していることがわかる。図１６Ｄ及び図１６Ｅでは、それぞれウォークオフパラメータｄ^（ｊ） _－５およびｄ^（ｊ） _－１について、ｊ＝１，３，５の場合には初期値より小さいほぼ同じ値に収束し、ｊ＝２，４，６の場合は初期値より大きいほぼ同じ値に収束している。このことは、図１５に示した長さ８４．１ｋｍのファイバと、長さ８０．５ｋｍのファイバがやや異なる分散特性を持つという事実を反映した結果である。つまり、非線形ステップＮ^（ｊ）（１≦ｊ≦６）に含まれるウォークオフパラメータｄ^（ｊ） _ｎは、チャネル番号がｎである信号の、中心チャネル（番号がｎ＝０）の信号に対する、単位距離当たりの群遅延量に相当するパラメータであり、ファイバの分散スロープ値に比例する値であるが、ｊ＝１，３，５の場合は分散スロープ値の小さい長さ８０．５ｋｍのファイバのパラメータを、ｊ＝２，４，６の場合は分散スロープ値の大きい長さ８４．１kmのファイバのパラメータをそれぞれ正しく学習できたことを意味している。このように、実験で用いた現実の環境においても、実施の形態で提案する学習方法によって、非線形波形歪み補正に有効なパラメータを正しく学習できていることが示唆される。

学習が完了し、各伝送スパン数に対して、非線形波形歪み補正を実施する伝送路パラメータが得られた。このパラメータにもとづき、チャネル当たりの入射パワー範囲が－４ｄＢｍから＋２ｄＢｍの範囲にある１１チャネルＰＳ－６４ＱＡＭ信号に対する非線形波形歪み補正の効果を検証した。図１８Ａ乃至図１８Ｃ及び図１９Ａ乃至図１９Ｃは、図８Ａ、図８Ｂ、図９Ａ及び図９Ｂと同様に、各伝送スパン数において、チャネル当たりの入射パワーに対する信号品質をプロットしたものである。前述のシミュレーション結果と同様に、実施の形態に係る非線形波形歪み補正の方法、すなわちチャネル内に生じるＳＰＭに加えて、チャネル間に生ずるＸＰＭによって発生する非線形シフトも考慮し、学習によるパラメータの最適化を行った１step／spanの逆伝搬計算を実施したときの信号品質が最良であることがわかる。図２０は図１０と同様に、伝送スパン数に対する信号品質の結果を、非線形波形歪み補正の有無あるいは種別ごとにプロットしたもので、やはりシミュレーション結果と同様の実験結果が得られている。以上のように、実験結果においても、実施の形態の効果が得られていることが明らかになった。

以下では、実施の形態に係る非線形波形歪み補正を実施する場合に要する計算量と、従来技術を用いた場合に要する計算量との比較を行い、一定のチャネル数以下という条件においては、実施の形態に係る手法に要する計算量が従来手法に要する計算量と同程度であることを示す。なお、実施の形態に係る非線形波形歪み補正とは、ＳＰＭとＸＰＭによる歪みの両方を考慮し、１step／spanで逆伝搬計算を行う上で、勾配降下法を用いて伝送路パラメータの最適値を学習したうえで、逆伝搬計算によって波形補正するものであるが、ここでは、学習が終了して最適化されたパラメータを固定して逆伝搬計算する場合の計算量に注目する。このときの計算量は、１step／spanでＸＰＭを考慮し、学習を行わない逆伝搬計算の場合と同じである。また従来技術とは、ＳＰＭによる歪みの補正のみを考慮し、ＸＰＭによる歪みの補正を実施せず、２steps／spanで逆伝搬計算を行うものとする。計算量を導出する際の前提として、入力波形とは無関係に固定することが可能な数値パラメータについては、事前に計算を行ったうえでルックアップテーブル（ＬＵＴ：Look-Up Table）に結果を保存し、異なる波形入力のたびに読み出して使用することを想定し、それ自体の計算に必要な演算回数についてはこれを考慮しないものとする。

スパン数をＳ、データ長をＮ、そしてＸＰＭ補正の計算で考慮するチャネル数をＣとおき、チャネルあたり、そして偏波あたりの計算回数を求める。ＤＳＰの計算負荷としては、積演算が主たるものであるため、その回数を求める。なお複素数どうしの積ａ×ｂ＝Re[a]Re[b]－Im[a]Im[b]＋ｉ（Re[a]Im[b]＋Re[b]Im[a]）に要する実数の積演算回数を４回として、実数の積演算回数の合計値を求める。また一般に、サイズがＮ＝２^ｎである複素数信号に対するＦＦＴを実施する際の複素数の積算回数はＮ（ｌｏｇ_２Ｎ－２）／２であるから、実数の積算回数はこの４倍の２Ｎ（ｌｏｇ_２Ｎ－２）である。

まず線形ステップである式（６）に要する計算量を見積もる。Ａ~は、Ａの上に～が載った記号であるとして、Ａ~_ｐ，ｎ（０，ω）＝ＦＡ_ｐ，ｎ（０，ｔ）を計算する際の実数の積算回数は２Ｎ（ｌｏｇ_２Ｎ－２）である。ｅｘｐ（－αｈ／２＋ｉ（Ｄ_２ω^２＋Ｄ_３ω^３－Ｔ_ｎω））の値は入力波形に無関係であるからＬＵＴに格納されているとして、これをＡ~_ｐ，ｎ（０，ω）に積算する際の実数の積演算回数は４Ｎである。最後に逆ＦＦＴに要する演算を考慮すると、線形ステップ全体で実数の総積算回数は４Ｎ＋２×２Ｎ（ｌｏｇ_２Ｎ－２）＝４Ｎ（ｌｏｇ_２Ｎ－１）となる。

続いて、非線形ステップである式（１１）乃至（１３）の計算に要する計算量を見積もる。実数である非線形位相シフト量φが得られたとして、ｅ^ｉφの計算に必要な実数の積算回数は、以下の４次のTaylor展開において、φ^２／２の計算に２Ｎ回、φ^２の結果を再利用することで(φ^２)^２／２４の計算に２Ｎ回、そしてφ^２×φ／６の計算に２Ｎ回必要であることから、合計６Ｎ回となる。

また複素数同士の積であるＢ_ｐ，０（０，ｔ）×ｅ^ｉφを計算する際の実数の積算回数は４Ｎ回である。次に、式（１２）でＳＰＭによる位相シフトφ_ＳＰＭ（ｔ）を計算する際に、Ｐ_ｐ，０（ｔ）＝Re[Ｂ_ｐ，０（ｔ）]^２＋Im[Ｂ_ｐ，０（ｔ）]^２であるから、実数の積算回数は２Ｎ回であり、さらに係数ｇＨ_０をかけることを考慮すると、実数の積算回数は合計３Ｎ回である。さらに、別途供給される直交偏波成分の強度Ｐ_{３－ｐ，０}（ｔ）に係数ｇδＨ_０をかける際にもＮ回必要なので、結局φ_ＳＰＭ（ｔ）を計算する際の実数の積算回数は４Ｎ回である。

次に、式（１３）からＸＰＭによる位相シフトφ_ＸＰＭ（ｔ）を計算する際に必要な計算量を見積もる。強度波形Ｐ_ｐ，０（ｔ）は、φ_ＳＰＭ（ｔ）を計算する際にすでに得られており、これにＦＦＴを適用してＰ~_ｐ，０（ω）を計算するための実数の積算回数は２Ｎ（ｌｏｇ_２Ｎ－２）である。Ｐ~_ｐ，０（ω）は式（１３）には現れないが、他のチャネルの非線形波形歪み補正を実施するために供給する必要があるため、計算量を考慮に入れる。一方で、式（１３）に現れるｎ≠０のＰ~_ｐ，ｎ（ω）は、別途計算されて供給されるものとし、必要な計算量を考慮しない。Ｐ~_ｐ，ｎ（ω）およびＰ~_{３－ｐ，ｎ}（ω）にそれぞれ実数の係数である２ｇおよびδｇをかける際に２Ｎ回ずつ、合計４Ｎ回の実数の積演算が必要である。式（１４）のＨ_ｎ（ｈ，ω）はＬＵＴに保存されているものとし、２ｇＰ~_ｐ，ｎ（ω）＋δｇＰ~_{３－ｐ，ｎ}（ω）の結果にＨ_ｎ（ｈ，ω）をかける際に必要な実数の積算回数は４Ｎであるため、Ｈ_ｎ（ｈ，ω）｛２ｇＰ~_ｐ，ｎ（ω）＋δ_ｇＰ~_{３－ｐ，ｎ}（ω）｝を得るために必要な実数の積算回数は合計で８Ｎである。この演算がｎ≠０であるＣ－１チャネル分必要なので、実数の積算回数は８Ｎ（Ｃ－１）である。最後に逆ＦＦＴを適用する際の計算量を考慮すると、φ_ＸＰＭ（ｔ）を計算する際に必要な計算量は、２Ｎ（ｌｏｇ_２Ｎ－２）＋８Ｎ（Ｃ－１）＋２Ｎ（ｌｏｇ_２Ｎ－２）＝４Ｎ（ｌｏｇ_２Ｎ＋２Ｃ－４）である。以上より、一つの非線形ステップにおいてφ_ＸＰＭ（ｔ）を考慮しない場合の計算量は６Ｎ＋４Ｎ＋４Ｎ＝１４Ｎであり、ＸＰＭ補償を実施するためにφ_ＸＰＭ（ｔ）を考慮した場合の計算量は、１４Ｎ＋４Ｎ（ｌｏｇ２Ｎ＋２Ｃ－４）となる。

スパン数Ｓの伝送路において、スパンあたりのステップ数をＭとする逆伝搬計算では、線形ステップの数が合計ＭＳ＋１、非線形ステップの数が合計ＭＳである。上に示した結果から、ＸＰＭ補償を行わない場合の実数積の回数は、以下のとおりである。
４Ｎ（ｌｏｇ_２Ｎ－１）×（ＭＳ＋１）＋１４Ｎ×ＭＳ
ＸＰＭ補償を行う場合の実数積の回数は、以下のとおりである。
４Ｎ（ｌｏｇ_２Ｎ－１）×（ＭＳ＋１）＋｛１４Ｎ＋４Ｎ（ｌｏｇ_２Ｎ＋２Ｃ－４）｝×ＭＳ

図２１は、スパン数をＳ＝１０、チャネル数をＣ＝５，１１，２１としたときに、本実施の形態としてＭ＝１step／spanでＸＰＭ補償ありとする場合と、従来方式としてＭ＝２steps／spanでＸＰＭ補償なしとする場合についての実数の積算回数を、データ長Ｎに対してプロットしたものである。チャネル数が５のとき、本実施の形態は従来方式とほぼ同じ計算量で実施可能である。チャネル数が１１のときは、本実施の形態が従来方式よりやや大きくなって１．６倍となるが、オーダーとしてほぼ同じ計算量にとどまり、前に９チャネルの場合のシミュレーション結果と１１チャネルの場合の実験結果を示したように、大きな非線形波形歪み補正効果が得られる。チャネル数が２１のときは本実施の形態に必要な計算量が従来方式の約２．４倍に上昇するが、依然として同じオーダーに留まると言える。

以上、本発明の実施の形態について説明したが、本発明はこれらに限定されるものではない。例えば、確率的勾配降下法を用いる例を示したが、勾配降下法の各種バリエーションを適用可能である。また、上でも述べたように、ＳＰＭ及びＸＰＭの影響を全てのステップにおいて考慮するのではなく、一部のステップにのみ両方の影響を考慮したとしても、十分な効果が得られる場合がある。

なお、ＤＳＰは、演算器とメモリを含んだものである。また、上で述べた処理を実行するのはＤＳＰに限らず、他のプロセッサであっても良い。さらに、上で述べた処理をプロセッサに実行させるプログラムは、不揮発性メモリに記録され、実行時には、当該プログラムに含まれる命令がプロセッサに読み出されて実行される。さらに、専用の回路又は専用の回路とＤＳＰ等との組み合わせにて、上で述べた処理を実行するようにしても良い。

以上述べた実施の形態をまとめると以下のようになる。

本実施の形態における第１の側面に係る光波形歪み補正方法は、伝送路である光ファイバの非線形光学効果と群速度分散効果によって波形の形状が変化した光信号を受信して波形を数値化した後、非線形シュレディンガー方程式の線形項と非線形項を交互に演算することで送信時の波形を推定することで光波形の歪みを補正する光波形歪み補正方法であって、チャネル内で生じる自己位相変調に起因する波形歪みのみならず、波長分割多重伝送時にチャネル間で生じる相互位相変調に起因する波形歪みも考慮に入れて計算し、さらに計算に用いるパラメータを勾配降下法によって最適化し、伝送路１スパンあたりのステップ数を２未満としたことを特徴とするものである。計算負荷を抑制しつつ、精度を向上させることが出来る。

上で述べた伝送路１スパンあたりのステップ数が、１以下であってもよい。このようにステップ数を減らしても、精度を向上させることが出来る。

さらに、上で述べたパラメータが、二次の群速度分散、非線形係数及びウォークオフを含むようにしてもよい。

本実施の形態における第２の側面に係る光波形歪み補正方法は、（Ａ）伝送路において波形の形状が変化した光信号を受信して波形を数値化した後、非線形シュレディンガー方程式の線形項と非線形項とを交互に演算することで送信時の波形を推定する逆伝搬処理であって、波長分割多重伝送時における上記伝送路内の複数のチャネルの各々について、当該チャネル内で生ずる自己位相変調（ＳＰＭ）に起因する波形歪みと、当該チャネル以外のチャネルとの間で生じる相互位相変調（ＸＰＭ）に起因する波形歪みとを補正する逆伝搬処理において用いられ且つ相互位相変調に関連する第１のパラメータと、上記逆伝搬処理において用いられ且つ自己位相変調及び相互位相変調に関連する第２のパラメータとを、勾配降下法によって最適化するステップと、（Ｂ）最適化された第１及び第２のパラメータを用いて、上記逆伝搬処理を実行するステップとを含む。

このように、第２のパラメータ（例えば、Ｄ_２、Ｄ_３、ｇ、δ、α_０）だけではなく、第１のパラメータ（例えば、α_ｎ、ｄ_ｎ）についても最適化すると共に、最適化された第１及び第２のパラメータを用いてＳＰＭ及びＸＰＭに起因する波形歪みを補正する逆伝搬処理を実行することで、伝送路１スパンあたりのステップ数を減少させて計算負荷を抑えても、十分な計算精度を得ることが出来るようになる。

なお、相互位相変調に起因する上記波形歪みを、伝搬距離に依存せず強度について初期波形が維持されるが、伝搬距離に比例した遅延が時間軸上で発生するという近似の下、補正を行うようにしても良い。このような近似により補正（補償とも呼ぶ）の計算負荷がより抑制できる。

さらに、上記第２のパラメータは、群速度分散Ｄ_２及び非線形係数ｇを含み、上記第１のパラメータは、ウォークオフパラメータｄ_ｎを含むようにしても良い。最適化するパラメータを絞り込こめば、さらに計算負荷をさらに抑制できる。

Claims (6)

1. 伝送路において波形の形状が変化した光信号を受信して波形を数値化した後、非線形シュレディンガー方程式の線形項と非線形項とを交互に演算することで送信時の波形を推定する逆伝搬処理であって、波長分割多重伝送時における前記伝送路内の複数のチャネルの各々について、当該チャネル内で生ずる自己位相変調に起因する波形歪みと、当該チャネル以外のチャネルとの間で生じる相互位相変調に起因する波形歪みとを補正する逆伝搬処理において用いられ且つ前記相互位相変調に関連する第１のパラメータと、前記逆伝搬処理において用いられ且つ前記自己位相変調及び前記相互位相変調に関連する第２のパラメータとを、勾配降下法によって最適化するステップと、
   最適化された前記第１及び第２のパラメータを用いて、前記逆伝搬処理を実行するステップと、
   を含む光波形歪み補正方法。
2. 前記相互位相変調に起因する波形歪みを、伝搬距離に依存せず強度について初期波形が維持されるが、伝搬距離に比例した遅延が時間軸上で発生するという近似の下、補正を行う
   ことを特徴とする請求項１記載の波形歪み補正方法。
3. 前記第１のパラメータは、ウォークオフパラメータｄ_ｎを含み、
   前記第２のパラメータは、群速度分散Ｄ_２及び非線形係数ｇを含む
   請求項１又は２記載の波形歪み補正方法。
4. 伝送路において波形の形状が変化した光信号を受信して波形を数値化した後、非線形シュレディンガー方程式の線形項と非線形項とを交互に演算することで送信時の波形を推定する逆伝搬処理であって、波長分割多重伝送時における前記伝送路内の複数のチャネルの各々について、当該チャネル内で生ずる自己位相変調に起因する波形歪みと、当該チャネル以外のチャネルとの間で生じる相互位相変調に起因する波形歪みとを補正する逆伝搬処理において用いられ且つ前記相互位相変調に関連する第１のパラメータと、前記逆伝搬処理において用いられ且つ前記自己位相変調及び前記相互位相変調に関連する第２のパラメータとを、勾配降下法によって最適化する最適化部と、
   最適化された前記第１及び第２のパラメータを用いて、前記逆伝搬処理を実行する逆伝搬処理部と、
   を有する光波形歪み補正装置。
5. 伝送路において波形の形状が変化した光信号を受信して波形を数値化した後、非線形シュレディンガー方程式の線形項と非線形項とを交互に演算することで送信時の波形を推定する逆伝搬処理であって、波長分割多重伝送時における前記伝送路内の複数のチャネルの各々について、当該チャネル内で生ずる自己位相変調に起因する波形歪みと、当該チャネル以外のチャネルとの間で生じる相互位相変調に起因する波形歪みとを補正する逆伝搬処理において用いられ且つ前記相互位相変調に関連する第１のパラメータと、前記逆伝搬処理において用いられ且つ前記自己位相変調及び前記相互位相変調に関連する第２のパラメータとを、勾配降下法によって最適化する最適化部
   を有する情報処理装置。
6. 請求項５記載の情報処理装置により最適化された前記第１及び第２のパラメータを用いて、前記逆伝搬処理を実行する光波形歪み補正装置を含む光信号受信装置。

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