JP7469665B2 - 電磁界解析装置、電磁界解析方法、およびプログラム - Google Patents

Description

本発明は、電磁界解析装置、電磁界解析方法、およびプログラムに関し、特に、インバータ電源で駆動するモータにおける電磁界を解析するために用いて好適なものである。

電気自動車（ＥＶ（Electric Vehicle））やハイブリッド電気自動車（ＨＥＶ（Hybrid Electric Vehicle））等で使用される可変速駆動のモータはインバータ電源で駆動することが多い。インバータとは、インバータ用半導体素子のスイッチング動作により直流電圧のオンオフを繰り返し、正弦波に近い電圧を与える電源回路である。近年、インバータ用半導体素子の特性の向上に伴いモータの駆動周波数が向上しており、高周波領域で顕著になる鉄損の解析手法のニーズが高まっている。

そこで、非特許文献１には、正弦波電流源非線形非定常有限要素法解析（Δｔ ＦＥＡ）を実行することにより損失Ｗ_sinを導出し、ＰＷＭ電圧波形の高調波成分を入力とする複素数近似有限要素法解析（ｊω ＦＥＡ）を実行することによりキャリア損Ｗ_carrierを導出し、これらの損失Ｗ_sin、Ｗ_carrierの合計を全損失とすることが記載されている。

山崎克巳、飯田恭一著、「埋込磁石同期電動機におけるインバータキャリアを考慮した高速効率マップ算定法－磁束マップを用いる場合との比較－」、電気学会研究会資料、ＳＡ－１９－８６／ＲＭ－１９－１０６、ｐ．７７－８２、２０１９年９月１３日 中田高義、高橋則雄著、「電気工学の有限要素法」、第２版、森北出版株式会社、１９８６年４月 回転機の三次元電磁界解析実用化技術調査専門委員会、「回転機の三次元電磁界解析実用化技術」、電気学会技術報告、第１２９６号、２０１３年

しかしながら、非特許文献１に記載の技術では、ＰＷＭ電圧波形の高調波成分による鉄損を算出するので、予め定められた周波数成分（変調波の整数倍の周波数成分）による鉄損しか導出することができない。従って、インバータ用半導体素子のスイッチング時に生じる細かい段階的な磁束密度の時間変化（時間の経過に伴う大きさの変化）を正確に考慮することができない。このため、インバータ電源のスイッチング素子のスイッチング時に生じる細かい段階的な磁束密度の時間変化を考慮するためには、高い時間分解能で非線形電磁界解析を実行する必要があり、計算負荷が高くなる。

本発明は、以上のような問題点に鑑みてなされたものであり、インバータ電源のスイッチング素子のスイッチング時に生じる細かい段階的な磁束密度の時間変化を考慮した電磁界解析を短時間で実行することができるようにすることを目的とする。

本発明の電磁界解析装置は、インバータ電源から出力されるインバータ電圧に基づいて駆動するモータにおける電磁界を解析する電磁界解析装置であって、前記インバータ電圧が前記モータのステータコイルに印加された場合に前記ステータコイルに鎖交する磁束であるインバータ励磁時鎖交磁束と、前記ステータコイルに目標励磁電流が流れた場合に前記ステータコイルに鎖交する磁束である目標励磁時鎖交磁束との差に基づいて、補正電流を導出する補正電流導出手段と、前記補正電流が前記ステータコイルに流れた場合の前記モータのステータコアにおける磁束密度を、マックスウェルの方程式に基づく線形電磁界解析を実行することにより導出する線形電磁界解析手段と、を有し、前記補正電流は、前記目標励磁電流が前記ステータコイルに流れた場合の前記ステータコアにおける磁束密度に対し、前記インバータ電源のスイッチング素子のスイッチング時に生じる磁束密度の時間変化を補うために前記ステータコイルに流す必要がある電流である。

本発明の電磁界解析方法は、インバータ電源から出力されるインバータ電圧に基づいて駆動するモータにおける電磁界を解析する電磁界解析方法であって、前記インバータ電圧が前記モータのステータコイルに印加された場合に前記ステータコイルに鎖交する磁束であるインバータ励磁時鎖交磁束と、前記ステータコイルに目標励磁電流が流れた場合に前記ステータコイルに鎖交する磁束である目標励磁時鎖交磁束との差に基づいて、補正電流を導出する補正電流導出工程と、前記補正電流が前記ステータコイルに流れた場合の前記モータのステータコアにおける磁束密度を、マックスウェルの方程式に基づく線形電磁界解析を実行することにより導出する線形電磁界解析工程と、を有し、前記補正電流は、前記目標励磁電流が前記ステータコイルに流れた場合の前記ステータコアにおける磁束密度に対し、前記インバータ電源のスイッチング素子のスイッチング時に生じる磁束密度の時間変化を補うために前記ステータコイルに流す必要がある電流である。

本発明のプログラムは、前記電磁界解析装置の各手段としてコンピュータを機能させる。

本発明によれば、インバータ電源のスイッチング素子のスイッチング時に生じる細かい段階的な磁束密度の時間変化を考慮した電磁界解析を短時間で実行することができる。

電磁界解析装置の機能的な構成の一例を示す図である。 ＩＰＭモータのモデルの一例を示す図である。 ＰＷＭインバータの動作の一例を説明する図である。 磁束密度の時系列波形の一例を示す図である。 線形非定常電磁界解析の際に用いる電源回路の一例を示す図である。 電磁界解析方法の一例を説明するフローチャートである。 磁束密度の時系列波形の計算例を示す図である。

以下、図面を参照しながら、本発明の一実施形態を説明する。
尚、長さ、位置、大きさ、間隔等、比較対象が同じであることは、厳密に同じである場合の他、発明の主旨を逸脱しない範囲で異なるもの（例えば、設計時に定められる公差の範囲内で異なるもの）も含むものとする。
図１は、電磁界解析装置１００の機能的な構成の一例を示す図である。電磁界解析装置１００のハードウェアは、例えば、ＣＰＵ、ＲＯＭ、ＲＡＭ、ＨＤＤ、および各種のハードウェアを備える情報処理装置、または、専用のハードウェアを用いることにより実現される。

電磁界解析装置１００は、インバータ電源から出力されるインバータ電圧に基づいて駆動するモータにおける電磁界を解析する。
<<ＩＰＭ（Interior Permanent Magnet）モータ>>
本実施形態では、モータが、三相のＩＰＭモータである場合を例示する。図２は、ＩＰＭモータのモデルの一例を示す図である。具体的に、図２は、ＩＰＭモータの回転軸に垂直な断面の１／４の領域を示す図である。ＩＰＭモータの回転軸に垂直な断面の１／４の領域とは、ＩＰＭモータの回転軸の中心を原点０とし、原点０からＩＰＭモータの径方向に伸びる２つの仮想線であって、相互になす角度が９０°となる２つの仮想線で区画される領域である。図２において、これら２つの仮想線はｘ軸およびｙ軸に対応する。ＩＰＭモータは４回対称となる構成を有し、ＩＰＭモータを９０°回転させると回転前のものと重なる。従って、電磁界の解析の結果も４回対称の関係になる。よって、ＩＰＭモータの回転軸に垂直な断面の１／４の領域の電磁界を解析すれば、ＩＰＭモータの残りの領域の電磁界を導出することができる。尚、以下の説明では、ＩＰＭモータの径方向、ＩＰＭモータの周方向を、必要に応じて、径方向、周方向と略称する。

図２において、ＩＰＭモータは、ロータ２０１とステータ２０２とを有する。
ロータ２０１は、例えば、複数の電磁鋼板と永久磁石とを有する。複数の電磁鋼板は同一の形状を有する。複数の電磁鋼板には、永久磁石およびシャフト（回転軸）が配置されるようにするための穴が形成されている。複数の電磁鋼板を積み重ねたときに形成される貫通穴に永久磁石およびシャフトが配置される。

ステータ２０２は、ステータコアと、ステータコイルとを有する。ステータコアは、周方向に延在するヨーク部と、ヨーク部と磁気的に結合される複数のティース部とを有する。複数のティース部の先端面は、ロータ２０１と対向する位置に配置される。図２では、ロータ２０１がステータ２０２の内側に配置されるインナーロータ型であり、且つ、ロータ２０１とステータ２０２とのギャップがＩＰＭモータの径方向に配置されるラジアルギャップ型であるＩＰＭモータを例示する。従って、複数のティース部は、ロータ２０１の内周面からＩＰＭモータの回転軸の方向に向かうように、ＩＰＭモータの周方向において等間隔に配置される。ステータコアは、例えば、複数の電磁鋼板を有する。複数の電磁鋼板は同一の形状を有する。複数の電磁鋼板の平面形状は、ヨーク部および複数のティース部の平面形状と同じである。複数の電磁鋼板を積み重ねることによりヨーク部および複数のティース部が形成される。尚、領域２０２ａ～２０２ｇは、ステータコアの他の領域よりも透磁率が低い領域である。このようにする理由については後述する。ステータコイルは、周方向で隣り合う２つのティース部の間の領域であるスロット内に配置され、ティース部に対して巻き回される。図２では、Ｕ＋、Ｕ－と示されているスロットにＵ相のステータコイルが配置され、Ｖ－と示されているスロットにＶ相のステータコイルが配置され、Ｗ＋と示されているスロットにＷ相のステータコイルが配置される場合を例示する。

尚、ＩＰＭモータ自体は、公知の技術で実現されるので、ここでは概略のみを説明し、詳細な説明を省略する。また、本実施形態では、公知の種々のＩＰＭモータを適用することができ、本実施形態で適用されるＩＰＭモータは、図２に示すものに限定されない。また、本実施形態で適用されるモータは、インバータ電源により駆動するモータであれば、ＩＰＭモータに限定されない。

<<インバータ電源>>
本実施形態では、励磁電源であるインバータ電源が、ＰＷＭ（Pulse Width Modulation）インバータである場合を例示する。図３は、ＰＷＭインバータの動作の一例を説明する図である。

図３において、ＰＷＭインバータは、正相変調波３１０の大きさと搬送波３２０の大きさとを、各時刻において比較する。そして、ＰＷＭインバータは、正相変調波３１０の大きさが搬送波３２０の大きさよりも大きい場合に「１」を出力し、そうでない場合に「０（ゼロ）」を出力することを各時刻において行い、正相ノッチ波３４０を生成する。

また、ＰＷＭインバータは、正相変調波３１０の位相を１８０［°］ずらして負相変調波３３０を生成する。尚、正相変調波３１０に（－１）を掛けることにより、正相変調波３１０の位相を１８０［°］ずらすことができる。ＰＷＭインバータは、このようにして生成した負相変調波３３０の大きさと搬送波３２０の大きさとを、各時刻において比較する。そして、ＰＷＭインバータは、負相変調波３３０の大きさが搬送波３２０の大きさよりも大きい場合に「１」を出力し、そうでない場合に「０（ゼロ）」を出力することを各時刻において行い、負相ノッチ波３５０を生成する。
尚、図３では、変調波・搬送波の値を相対値で示す。

ＰＷＭインバータは、正相ノッチ波３４０から負相ノッチ波３５０を減算したパルス波において「１」を示す期間に、ＰＷＭインバータに供給された正の直流電圧に基づく電圧を出力する。また、ＰＷＭインバータは、正相ノッチ波３４０から負相ノッチ波３５０を減算したパルス波において「－１」を示す期間に、ＰＷＭインバータに供給された負の直流電圧に基づく電圧を出力する。また、ＰＷＭインバータは、正相ノッチ波３４０から負相ノッチ波３５０を減算したパルス波において「０（ゼロ）」を示す期間には、ＰＷＭインバータに供給された直流電圧に基づく電圧を出力しない。このようにして得られる電圧により構成されるパルス列（パルス波）がインバータ電圧３６０として、ＰＷＭインバータから出力される。図３では、インバータ電圧３６０の値を相対値で示す。

ＰＷＭインバータは、このようなインバータ電圧３６０を、Ｕ相、Ｖ相、Ｗ相のそれぞれについて生成して出力する。Ｕ相のステータコイルの両端、Ｖ相のステータコイルの両端、Ｗ相のステータコイルの両端のそれぞれに、Ｕ相のインバータ電圧３６０、Ｖ相のインバータ電圧３６０、Ｗ相のインバータ電圧３６０が印加される。

尚、以上のようなＰＷＭインバータにおける変調動作を定めるパラメータには、変調率ｍとキャリア周波数ｆ_cとが含まれる。ＰＷＭインバータでは、変調率ｍは、正相変調波３１０および負相変調波３３０の振幅Ｅ₀を、搬送波３２０の振幅Ｅ_cで割った値で表される（ｍ＝Ｅ₀÷Ｅ_c）。キャリア周波数でｆ_cは、搬送波３２０の周波数である。
ＰＷＭインバータとしては、公知の種々の方式で駆動するＰＷＭインバータを適用することができ、図３に示す方式で駆動するものに限定されない。

<<非線形電磁界解析部１０１>>
非線形電磁界解析部１０１は、目標励磁電流Ｉ_Iがステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度を、マックスウェルの方程式に基づく非線形電磁界解析を実行することにより導出する。本実施形態では、目標励磁電流Ｉ_Iの時系列波形が正弦波である場合を例示する。ただし、目標励磁電流Ｉ_Iの時系列波形は正弦波に限定されず、ＩＰＭモータの目標励磁電流の時系列波形として採用される各種の時系列波形の目標励磁電流Ｉ_Iを採用することができる。尚、目標励磁電流Ｉ_Iの時系列波形は、各時刻における目標励磁電流Ｉ_Iの値を示す情報である。このことは、目標励磁電流Ｉ_I以外の物理量の時系列波形についても同じである。目標励磁電流Ｉ_Iは、ＰＷＭインバータにおいてインバータ電圧３６０を生成する際の目標となる励磁電流であり、ステータコイルに流れる励磁電流が目標励磁電流Ｉ_Iに近づくように、インバータ電圧３６０が生成される。

本実施形態では、非線形電磁界解析部１０１は、非線形非定常有限要素法を用いた電磁界解析を実行することにより、目標励磁電流Ｉ_Iがステータコイルに流れてステータコアが励磁された場合の、ＩＰＭモータのモデルに対して設定した要素（メッシュ）のそれぞれにおける磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを導出する。

有限要素法を用いた電磁界解析の手法としてＡ－φ法を用いる手法がある。この場合、電磁界解析を実行するための基礎方程式は、マクスウェルの方程式に基づき以下の（１）式～（４）式で与えられる。尚、各式において、→は、ベクトルであることを表す。

（１）式～（４）式において、μは、透磁率であり、Ａは、ベクトルポテンシャルであり、σは、導電率であり、Ｊ₀は、励磁電流密度であり、Ｊ_eは、渦電流密度であり、Ｂは、磁束密度である。（１）式および（２）式を連立して解いて、ベクトルポテンシャルＡとスカラーポテンシャルφを導出した後、（３）式および（４）式から磁束密度Ｂと、渦電流密度Ｊ_eを要素のそれぞれに対して導出する。尚、（１）式では、表記を簡素化するため、透磁率のｘ成分μ_x、ｙ成分μ_y、ｚ成分μ_zが等しい場合（μ_x＝μ_y＝μ_zの場合）の式を示す。尚、非線形電磁界解析においては、磁束密度Ｂと磁界強度Ｈとの関係は非線形の関係となるので、透磁率は磁束密度に応じて異なる値をとり得る。非線形非定常電磁界解析を実行する手法は、非特許文献１、２等に記載されているように一般的な手法であるので、その詳細な説明を省略する。

非線形電磁界解析部１０１は、時間ステップΔｔ１の時間隔の各時刻ｔにおいて、各要素における磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを相毎（即ち、Ｕ相、Ｖ相、Ｗ相毎）に導出する。時間ステップΔｔ１は、後述する線形電磁界解析部１０６で実行される線形電磁界解析における時間ステップΔｔ２よりも長い。時間ステップΔｔ１は、例えば、後述する線形電磁界解析における時間ステップΔｔ２よりも３倍以上長いのが好ましく、５倍以上長いのがより好ましく、１０倍以上長いのがより一層好ましい。非線形電磁界解析における計算時間を短くすることができるからである。ただし、非線形電磁界解析における時間ステップΔｔ１は、線形電磁界解析における時間ステップΔｔ２より長くなくてもよく、例えば、非線形電磁界解析における時間ステップΔｔ１と、線形電磁界解析における時間ステップΔｔ２とを同じにしてもよい。

<<目標励磁電圧導出部１０２>>
目標励磁電圧導出部１０２は、非線形電磁界解析部１０１により導出された各時刻ｔにおける各要素の磁束密度Ｂに基づいて、目標励磁電流Ｉ_Iに対応する励磁電圧である目標励磁電圧Ｖ_Iを導出する。目標励磁電圧Ｖ_Iは、変調波（例えば正相変調波３１０）に相当するものである。本実施形態では、非線形電磁界解析部１０１により導出された各時刻ｔにおける各要素の磁束密度Ｂと、ＩＰＭモータの回路方程式とに基づいて、各時刻ｔにおける目標励磁電圧Ｖ_Iを導出する。以下に目標励磁電圧導出部１０２における処理の具体例を説明する。

まず、目標励磁電圧導出部１０２は、或る１つのティース部を径方向の所定の位置で径方向に対して垂直に切ったときの断面における或る１つの要素（メッシュ）の面積と、当該要素における時刻ｔでの磁束密度Ｂの径方向の成分との積を、当該時刻ｔにおける当該要素の磁束として導出することを相毎に実行する。そして、目標励磁電圧導出部１０２は、当該断面に含まれる全ての要素の磁束を積算した値を、当該時刻ｔにおいて当該ティース部に巻き回されたステータコイルに鎖交する磁束として導出することを相毎に実行する。更に、目標励磁電圧導出部１０２は、当該時刻ｔにおいてティース部に巻き回されたステータコイルに鎖交する磁束を全てのティース部について積算した値を、当該時刻ｔにおける目標励磁時鎖交磁束φ_Iとして導出することを相毎に実行する。目標励磁電圧導出部１０２は、以上のような時刻ｔにおける各相の目標励磁時鎖交磁束φ_Iの導出を、時間ステップΔｔ１の時間隔で実行する。

目標励磁電圧導出部１０２は、時刻ｔにおける各相の目標励磁時鎖交磁束φ_Iと、時刻ｔにおける各相の目標励磁電流Ｉ_Iと、各相のステータコイルの直流抵抗Ｒと、各相のステータコイルの巻回数Ｎとに基づいて、ＩＰＭモータの回路方程式により、時刻ｔにおける各相の目標励磁電圧Ｖ_Iを導出する。ここで使用されるＩＰＭモータの回路方程式は、例えば、以下の（５）式で表される。

各相のステータコイルの直流抵抗Ｒと、各相のステータコイルの巻回数Ｎは、ＩＰＭモータの仕様から予め定められる。例えば、（５）式のｄφ_I／ｄｔを差分近似することにより、時刻ｔにおける各相の目標励磁電圧Ｖ_Iが導出される。差分近似は、前進差分であっても後退差分であっても中心差分であってもよい。尚、各相の目標励磁電圧Ｖ_Iも時間ステップΔｔ１の時間隔で導出される。

ＩＰＭモータの回路方程式は、ＩＰＭモータの磁気回路を表現する方程式である。（５）式は、ステータコイルに励磁電流を流した場合のステータコイルにおける電圧降下と、当該ステータコイルが巻き回されているティース部に鎖交する磁束の時間変化と当該ステータコイルの巻回数との積と、が等しいことを表す。尚、ＩＰＭモータの回路方程式は、相毎に用意される。

目標励磁電圧導出部１０２は、非線形電磁界解析部１０１により或る時刻ｔにおける磁束密度Ｂが導出される度に当該時刻ｔにおける各相の目標励磁電圧Ｖ_Iを導出しても、非線形電磁界解析部１０１により一周期分の各時刻ｔにおける磁束密度Ｂが導出された後に一周期分の各時刻ｔにおける各相の目標励磁電圧Ｖ_Iを纏めて導出してもよい。
本実施形態では以上のようにして、一周期分の各時刻ｔにおける各相の目標励磁時鎖交磁束φ_Iおよび各相の目標励磁電圧Ｖ_Iが、時間ステップΔｔ１の時間隔で導出される。

非線形電磁界解析における時間ステップΔｔ１が、線形電磁界解析における時間ステップΔｔ２よりも長い場合、非線形電磁界解析部１０１は、時間ステップΔｔ１の時間隔の各時刻ｔにおける各要素（メッシュ）の磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを補間することにより、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを相毎に導出する。また、非線形電磁界解析部１０１は、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂに対応する磁界強度Ｈを導出する。

また、目標励磁電圧導出部１０２は、時間ステップΔｔ１の時間隔の各時刻ｔにおける各相の目標励磁時鎖交磁束φ_Iを補間することにより、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁時鎖交磁束φ_Iを導出する。同様に、目標励磁電圧導出部１０２は、時間ステップΔｔ１の時間隔の各時刻ｔにおける各相の目標励磁電圧Ｖ_Iを補間することにより、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁電圧Ｖ_Iを導出する。尚、各相の目標励磁電流Ｉ_Iが時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻において定められていない場合には、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁電流Ｉ_Iも導出される。

尚、非線形電磁界解析部１０１により一周期分の各時刻ｔにおける磁束密度Ｂが導出された後に一周期分の各時刻ｔにおける各相の目標励磁時鎖交磁束φ_I・目標励磁電圧Ｖ_Iを纏めて導出する場合、以下のようにしてもよい。即ち、非線形電磁界解析部１０１は、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂとして一周期分の磁束密度Ｂを導出する。目標励磁電圧導出部１０２は、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂを用いて（５）式の計算を行うことにより、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁時鎖交磁束φ_I・目標励磁電圧Ｖ_Iを導出する。このようにする場合、目標励磁電圧導出部１０２は、目標励磁時鎖交磁束φ_Iおよび目標励磁電圧Ｖ_Iを、時間ステップΔｔ１の時間隔で導出する必要はない。

<<インバータ電圧導出部１０３>>
インバータ電圧導出部１０３は、目標励磁電圧導出部１０２により導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁電圧Ｖ_Iに基づいて、各相の変調波（正相変調波３１０および負相変調波３３０）を導出する。そして、インバータ電圧導出部１０３は、変調波（正相変調波３１０および負相変調波３３０）と搬送波３２０とを比較した結果に基づいて、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相のインバータ電圧Ｖ_INVを導出する。インバータ電圧Ｖ_INVは、インバータ電圧３６０に相当するものである。インバータ電圧Ｖ_INVを導出する手法の一例は、図３を参照しながら説明した通りである。本実施形態ではこのようにして、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相のインバータ電圧Ｖ_INVが導出される。

<<インバータ励磁時鎖交磁束導出部１０４>>
インバータ励磁時鎖交磁束導出部１０４は、インバータ電圧導出部１０３により導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相のインバータ電圧Ｖ_INVと、ＩＰＭモータの回路方程式とに基づいて、インバータ励磁時鎖交磁束φ_INVを導出する。インバータ励磁時鎖交磁束φ_INVは、インバータ電圧導出部１０３により導出された各相のインバータ電圧Ｖ_INVがＩＰＭモータの各相のステータコイルに印加された場合にステータコイルに鎖交する磁束である。ここで使用されるＩＰＭモータの回路方程式は、例えば、以下の（６）式で表される。

前述したように、各相のステータコイルの直流抵抗Ｒと、各相のステータコイルの巻回数Ｎは、ＩＰＭモータの仕様から予め定められる。また、前述したように、ＩＰＭモータの回路方程式は、相毎に用意される。インバータ励磁時鎖交磁束導出部１０４は、或る相の一周期分の各時刻における目標励磁電流Ｉ_Iと、当該相のステータコイルの直流抵抗Ｒと、当該相のステータコイルの巻回数Ｎと、当該相の一周期分の各時刻におけるインバータ電圧Ｖ_INVとを用いて、（６）式により、当該相における一周期分の各時刻におけるインバータ励磁時鎖交磁束φ_INVを導出する。インバータ励磁時鎖交磁束導出部１０４は、このようなインバータ励磁時鎖交磁束φ_INVの導出を相毎において実行する。ここで、各時刻における各相のインバータ励磁時鎖交磁束φ_INVは積分を実行することにより導出される。この際、積分定数は、一周期における磁束の平均値が０（ゼロ）となるように定められる。本実施形態では以上のようにして、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻において、各相におけるインバータ励磁時鎖交磁束φ_INVが導出される。

インバータ電圧Ｖ_INVをステータコイルに印加することによりステータコイルに流れる励磁電流は、厳密には目標励磁電流Ｉ_Iと一致せずに歪んだ波形になる。しかしながら、モータのインピーダンスはインダクタンスが支配的であり、モータのインピーダンスに対する直流抵抗の寄与は小さい。従って、（６）式において、左辺（＝Ｎｄφ_INV／ｄｔ）は、右辺第２項（＝Ｉ_IＲ）に比べて十分に大きい（Ｎｄφ_INV／ｄｔ≫Ｉ_IＲ）。よって、インバータ励磁時鎖交磁束φ_INVの波形の形は、ほとんどインバータ電圧Ｖ_INVの波形の形から定まる。このため、（６）式において、目標励磁電流Ｉ_Iを用いても、実用上要求される精度で、各相におけるインバータ励磁時鎖交磁束φ_INVを導出することができる。尚、このような観点から、（６）式の右辺第２項を省略してもよい。同様に、（５）式の右辺第２項を省略してもよい。

<<補正電流導出部１０５>>
補正電流導出部１０５は、目標励磁時鎖交磁束φ_Iと、インバータ励磁時鎖交磁束φ_INVと、ステータコイルの巻回数Ｎと、ステータコアの磁気抵抗Ｒ_mとに基づいて、以下の（７）式により、補正電流Ｉ₊を導出する。補正電流Ｉ₊は、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻において相毎に導出される。以下の（７）式において、磁気抵抗Ｒ_mは、以下の（８）式で表される。

（８）式において、ν_highは、磁気抵抗率である。本実施形態では、後述する線形電磁界解析部１０６における計算時間を短縮するため、ステータコアに流れる磁束の経路上の要素（メッシュ）の一部の透磁率を、電磁界解析においてステータコアの透磁率として想定される透磁率よりも十分に低い透磁率とする。以下の説明では、このような低い透磁率を有する要素を、必要に応じて低透磁率要素と称する。例えば、低透磁率要素の透磁率を、真空の透磁率以下の透磁率とするのが好ましく、真空の透磁率の１／２倍以下の透磁率とするのがより好ましい。（８）式における磁気抵抗率ν_highは、低透磁率要素に対して設定される透磁率の逆数である。また、（８）式において、Ｌは、低透磁率要素の、磁束の進行方向の長さである。また、Ａは、低透磁率要素の、磁束の進行方向に垂直な方向における断面積である。
本実施形態では以上のようにして、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻において、各相における補正電流Ｉ₊が導出される。

ここで、補正電流Ｉ₊について説明する。図４は、ステータコアにおける磁束密度の時系列波形の一例を示す図である。図４（ａ）は、目標励磁電流Ｉ_Iがステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度の時系列波形４１０の一例を概念的に示す図である。図４（ｂ）は、インバータ電圧Ｖ_INVがステータコイルに印加された場合のステータコアにおける磁束密度の時系列波形４２０の一例を概念的に示す図である。

図４（ａ）および図４（ｂ）に示すように、インバータ電圧Ｖ_INVがステータコイルに印加された場合のステータコアにおける磁束密度の時系列波形４２０では、目標励磁電流Ｉ_Iがステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度の時系列波形４１０に対し、磁束密度の細かい段階的な時間変化が重畳されたものになる（磁束密度の時系列波形４２０の小さな凹凸の部分を参照）。このような磁束密度の細かい段階的な時間変化は、ＰＷＭインバータが備える半導体素子のスイッチング時のインバータ電圧Ｖ_INVの立ち上がりおよび立ち下がりのために生じるものである。補正電流Ｉ₊は、目標励磁電流Ｉ_Iがステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度に対し、このような磁束密度の細かい段階的な時間変化を補うためにステータコイルに流す必要がある電流に対応する。このように補正電流Ｉ₊は、磁束密度の細かい段階的な時間変化に対応する電流である。従って、細かい時間ステップ（即ち、高い時間分解能）で導出する必要がある。そこで、本実施形態では、補正電流Ｉ₊を導出するために用いられる、目標励磁時鎖交磁束φ_Iおよびインバータ励磁時鎖交磁束φ_INVを、非線形電磁界解析部１０１で実行される非線形電磁界解析における時間ステップΔｔ１よりも短い時間ステップΔｔ２の時間隔で導出する。このような観点から時間ステップΔｔ２は、１．０×１０^-5秒以下が好ましく、５．０×１０^-6秒以下がより好ましい。

<<線形電磁界解析部１０６>>
線形電磁界解析部１０６は、補正電流Ｉ₊がステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度を、マックスウェルの方程式に基づく線形電磁界解析を実行することにより導出する。
本実施形態では、線形電磁界解析部１０６は、線形非定常有限要素法を用いた電磁界解析を実行することにより、補正電流Ｉ₊がステータコイルに流れてステータコアが励磁された場合の、ＩＰＭモータのモデルに対して設定した要素のそれぞれにおける磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを導出する。本実施形態では、説明を簡単にするため、線形電磁界解析部１０６により線形電磁界解析が実行される際に設定される要素は、非線形電磁界解析部１０１により非線形電磁界解析が実行される際に設定される要素と同じとする。ただし、線形電磁界解析部１０６により線形電磁界解析が実行される際に設定される要素と、非線形電磁界解析部１０１により非線形電磁界解析が実行される際に設定される要素とを異ならせてもよい。このようにする場合、例えば、一方の要素における磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを補間または補外することにより、他方の要素における磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを導出する。

図４（ａ）および図４（ｂ）に示すように、目標励磁電流Ｉ_Iがステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度の時系列波形４１０と、インバータ電圧Ｖ_INVがステータコイルに印加された場合のステータコアにおける磁束密度の時系列波形４２０とは大きく異ならず、ステータコイルにおける磁束密度の分布は、何れの場合でも凡そ同等になることが想定される。つまり、各要素において磁束密度は大きく時間変化しない。このため、各要素における磁束密度が磁化曲線の接線に沿って時間変化すると近似して線形電磁界解析を実行しても、磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eは実用上要求される精度を満足することができる。

そこで、本実施形態では、線形電磁界解析部１０６は、非線形電磁界解析部１０１により導出された、時間ステップΔｔ２により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂに基づいて、時間ステップΔｔ２により定まる各時刻における各要素の微分透磁率（＝ｄＢ／ｄＨ）を導出する。
尚、線形電磁界解析部１０６は、非線形電磁界解析部１０１により導出された、時間ステップΔｔ１により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂおよび磁界強度Ｈに基づいて、時間ステップΔｔ１により定まる各時刻における各要素の微分透磁率を導出し、導出した微分透磁率を補間することにより、時間ステップΔｔ２により定まる各時刻における各要素の微分透磁率を導出してもよい。線形電磁界解析部１０６は、線形非定常電磁界解析の際に、以上のようにして導出された微分透磁率を用いて係数マトリックスを導出する。

また、線形電磁界解析部１０６により導出する磁束密度は、図４を参照しながら説明したように磁束密度の細かい段階的な時間変化の部分だけである。即ち、線形電磁界解析部１０６で導出される磁束密度の時系列波形は、インバータ電圧Ｖ_INVがステータコイルに印加された場合のステータコアにおける磁束密度の時系列波形４２０から、目標励磁電流Ｉ_Iがステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度の時系列波形４１０を差し引いた磁束密度の時系列波形に対応するものである。従って、線形電磁界解析部１０６により導出される磁束密度の大きさは、ステータコアにおける実際の磁束密度の大きさに比べて小さい。よって、図５に示すように、各相（Ｕ相、Ｖ相、Ｗ相）のステータコイル５１１、５１２、５１３が相互に電気的に接続されず、且つ、各相のステータコイル５１１、５１２、５１３のそれぞれに個別に電流源５２１、５２２、５２３が直接接続されるものとして電磁界解析を実行しても、磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eは実用上要求される精度を満足することができると考えられる。

そこで、本実施形態では、線形電磁界解析部１０６は、相互に未結線の電流源５２１、５２２、５２３からステータコイル５１１、５１２、５１３に各相の補正電流Ｉ₊が流れるものとして線形非定常電磁界解析を実行する。尚、図５において、ステータコイル５１１、５１２、５１３は、電気的には接続されないが、ステータコア５３０により磁気的に結合される。

また、前述したように、ステータコアに流れる磁束の経路上の要素の一部を低透磁率要素とする。低透磁率要素は、電磁界解析においてステータコアの透磁率として想定される透磁率よりも十分に低い透磁率を有する。例えば、図２において、ステータコアのティース部の先端側（ＩＰＭモータの回転軸側）の領域と基端側（ヨーク部側）の領域とを区分けするように、各ティース部の、径方向の中央付近の領域であって、周方向に沿う領域２０２ａ～２０２ｇを低透磁率要素とする。領域２０２ａ～２０２ｇの径方向の長さは、例えば、ティース部の径方向の長さの２％以上３％以下である。このようにすることによって、ステータコアにおける磁気抵抗が、領域２０２ａ～２０２ｇにおける透磁率によって定められるようにすることができる。従って、ステータコアの磁束密度に関わらず、ＩＰＭモータの磁気回路の磁気抵抗を、領域２０２ａ～２０２ｇにおける磁気抵抗に近似することができる。よって、微分透磁率の空間分布に影響されずに、励磁電流と磁束との関係を線形に近似することができる。このため、線形電磁界解析部１０６における計算時間を短縮することができる。そして、線形電磁界解析部１０６により導出される磁束密度の大きさは、ステータコアにおける実際の磁束密度の大きさに比べて小さく、また、低透磁率要素の面積はステータコア全体の面積に対して十分に小さいため、このようにして電磁界解析を実行しても、磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eは実用上要求される精度を満足することができると考えられる。
尚、領域２０２ａ～２０２ｇを低透磁率要素とする場合、（８）式において、Ｌは、低透磁率要素の径方向の長さになり、Ａは、低透磁率要素の径方向に垂直な方向における断面積になる。

その他の線形電磁界解析部１０６における処理は、一般的な線形非定常電磁界解析の手法と同じ手法で実現することができる。線形非定常電磁界解析を実行する手法は、非特許文献２等に記載されているように一般的な手法であるので、その詳細な説明を省略する。以上のようにして、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻において、各相のステータコイルに各相の補正電流Ｉ₊が流れた場合の各要素の磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eが相毎に導出される。

<<損失導出部１０７>>
損失導出部１０７は、線形電磁界解析部１０６により導出されたステータコアにおける磁束密度に基づいて、ステータコアにおける損失を導出する。本実施形態では、目標励磁電流Ｉ_Iと補正電流Ｉ₊とを合わせた電流がステータコイルに流れた場合のステータコアにおける損失を導出する場合を例示する。

そこで、損失導出部１０７は、非線形電磁界解析部１０１により導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂと、線形電磁界解析部１０６により導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂとを、要素毎、相毎、および時刻毎に加算する。これにより、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻において、目標励磁電流Ｉ_Iと補正電流Ｉ₊とを合わせた電流が各相のステータコイルに流れた場合の各要素の磁束密度Ｂが相毎に導出される。以下の説明では、このようにして導出される磁束密度Ｂを、必要に応じて全体磁束密度Ｂと称する。

また、損失導出部１０７は、非線形電磁界解析部１０１により導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の渦電流密度Ｊ_eと、線形電磁界解析部１０６により導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の渦電流密度Ｊ_eとを、要素毎、相毎、および時刻毎に加算する。これにより、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻において、目標励磁電流Ｉ_Iと補正電流Ｉ₊とを合わせた電流が各相のステータコイルに流れた場合の各要素の渦電流密度Ｊ_eが相毎に導出される。以下の説明では、このようにして導出される渦電流密度Ｊ_eを、必要に応じて全体渦電流密度Ｊ_eと称する。

損失導出部１０７は、ステータコアの各要素における全体磁束密度Ｂおよび全体渦電流密度Ｊ_eを用いて、ＩＰＭモータ（ステータコア）のヒステリシス損および渦電流損（古典的渦電流損）を導出する。

例えば、損失導出部１０７は、各要素の全体磁束密度Ｂの一周期における最大値と最小値との差Ｂ_mを導出し、以下の（９）式により、各要素のヒステリシス損Ｗｈを導出する。

（９）式において、ｆは、励磁周波数（目標励磁電圧Ｖ_Iおよび目標励磁電流Ｉ_Iの電気周波数）であり、Ｋｈは、ヒステリシス損係数であり、βは定数（例えば、１．６または２）である。ヒステリシス損係数Ｋｈは、例えば、二周波法により予め求められるものである。
損失導出部１０７は、以上のヒステリシス損Ｗｈの導出を全ての要素および全ての相に対して行い、全ての要素および全ての相におけるヒステリシス損Ｗｈの総和をＩＰＭモータ（ステータコア）のヒステリシス損として導出する。尚、ヒステリシス損は、公知の方法で導出することができ、各要素の磁束密度を用いて導出する方法であれば、どのような方法で導出してもよい。

また、損失導出部１０７は、各要素の全体渦電流密度Ｊ_eから、以下の（１０）式により、各要素の渦電流損Ｗｅ（古典的渦電流損）を導出する。

（１０）式において、ｖは、要素の大きさであり、Ｔは、目標励磁電圧Ｖ_Iおよび目標励磁電流Ｉ_Iの電気一周期に相当する時間である。要素の大きさは、二次元解析を実行する場合には面積、三次元解析を実行する場合には体積の大きさになる。
損失導出部１０７は、以上の渦電流損Ｗｅの導出を全ての要素および全ての相に対して行い、全ての要素および全ての相の渦電流損Ｗｅの総和をＩＰＭモータ（ステータコア）の渦電流損として導出する。尚、渦電流損は、公知の方法で導出することができ、各要素の渦電流密度を用いて導出する方法であれば、どのような方法で導出してもよい。
そして、損失導出部１０７は、ＩＰＭモータのヒステリシス損と渦電流損の和を、ＩＰＭモータの鉄損として導出する。

<<出力部１０８>>
出力部１０８は、損失導出部１０７により導出されたＩＰＭモータ（ステータコア）の損失に関する情報を出力する。ＩＰＭモータの損失に関する情報には、例えば、ＩＰＭモータのヒステリシス損、ＩＰＭモータの渦電流損、およびＩＰＭモータの鉄損のうち、少なくとも１つを示す情報が含まれる。出力の形態として、例えば、コンピュータディスプレイへの表示、外部装置への送信、および電磁界解析装置１００の内部または外部の記憶媒体への記憶のうち、少なくとも１つを採用することができる。

<<フローチャート>>
次に、図６のフローチャートを参照しながら、電磁界解析装置１００による電磁界解析方法の一例を説明する。
まず、ステップＳ６０１において、非線形電磁界解析部１０１は、非線形非定常有限要素法を用いた電磁界解析を実行することにより、各相のステータコイルに各相の目標励磁電流Ｉ_Iが流れてステータコアが励磁された場合の各要素の磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを導出する。ここでは、非線形電磁界解析部１０１は、後述するステップＳ６０７で実行される線形非定常電磁界解析における時間ステップΔｔ２よりも長い時間ステップΔｔ１の時間隔の各時刻ｔにおいて、各要素における磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを相毎に導出するものとする。尚、各相の目標励磁電流Ｉ_Iは、ステップＳ６０１の処理が開始される前に、電磁界解析装置１００に設定される。

次に、ステップＳ６０２において、目標励磁電圧導出部１０２は、ステップＳ６０１で導出された、各時刻ｔにおける各要素の磁束密度Ｂと、ＩＰＭモータの回路方程式（（５）式）とに基づいて、目標励磁時鎖交磁束φ_Iおよび目標励磁電圧Ｖ_Iを導出する。ここでは、目標励磁電圧導出部１０２は、時間ステップΔｔ１の時間隔の各時刻ｔにおいて、各相の目標励磁時鎖交磁束φ_Iおよび各相の目標励磁電圧Ｖ_Iを導出するものとする。

尚、ステップＳ６０１、Ｓ６０２において、それぞれ電気周期の一周期分の値が導出しても、時間ステップΔｔ１の時間隔の時刻ｔ毎に、ステップＳ６０１およびステップＳ６０２の処理を繰り返すことにより、一周期分の値を導出してもよい。

次に、ステップＳ６０３において、非線形電磁界解析部１０１は、ステップＳ６０１で導出した各時刻ｔにおける各要素の磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを補間することにより、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを相毎に導出する。また、ステップＳ６０１で実行される非線形非定常電磁界解析における励磁条件として、時間ステップΔｔ１の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁電流Ｉ_Iが設定されている場合、非線形電磁界解析部１０１は、時間ステップΔｔ１の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁電流Ｉ_Iを補間することにより、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁電流Ｉ_Iを導出する。また、目標励磁電圧導出部１０２は、ステップＳ６０２で導出した各時刻ｔにおける各相の目標励磁時鎖交磁束φ_Iを補間することにより、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁時鎖交磁束φ_Iを導出する。同様に、目標励磁電圧導出部１０２は、ステップＳ６０２で導出した各時刻ｔにおける各相の目標励磁電圧Ｖ_Iを補間することにより、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁電圧Ｖ_Iを導出する。

次に、ステップＳ６０４において、インバータ電圧導出部１０３は、ステップＳ６０３で導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁電圧Ｖ_Iに基づいて、変調波（例えば正相変調波３１０および負相変調波３３０）を導出する。そして、インバータ電圧導出部１０３は、変調波（正相変調波３１０および負相変調波３３０）と搬送波３２０とを比較した結果に基づいて、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相のインバータ電圧Ｖ_INVを導出する。

次に、ステップＳ６０５において、インバータ励磁時鎖交磁束導出部１０４は、ステップＳ６０４で導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相のインバータ電圧Ｖ_INVと、ＩＰＭモータの回路方程式（（６）式）とに基づいて、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相のインバータ励磁時鎖交磁束φ_INVを導出する。

次に、ステップＳ６０６において、補正電流導出部１０５は、ステップＳ６０３で導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相の目標励磁時鎖交磁束φ_Iと、ステップＳ６０５で導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相のインバータ励磁時鎖交磁束φ_INVと、各相のステータコイルの巻回数Ｎと、ステータコアの磁気抵抗Ｒ_mとに基づいて、（７）式により、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各相の補正電流Ｉ₊を導出する。尚、ステータコイルの巻回数Ｎおよびステータコアの磁気抵抗Ｒ_mは、ステップＳ６０６の処理が開始される前に、電磁界解析装置１００に設定される。

次に、ステップＳ６０７において、線形電磁界解析部１０６は、線形非定常有限要素法を用いた電磁界解析を実行することにより、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻において、各相のステータコイルに各相の補正電流Ｉ₊が流れてステータコアが励磁された場合の各要素の磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを相毎に導出する。

本実施形態では、線形電磁界解析部１０６は、線形非定常有限要素法による電磁界解析を実行する前に、ステップＳ６０１の非線形非定常有限要素法を用いた電磁界解析の結果に基づいて、時間ステップΔｔ２により定まる各時刻における各要素の微分透磁率を導出する。そして、ステップＳ６０７において、線形電磁界解析部１０６は、このようにして導出した微分透磁率を用いて、線形非定常有限要素法による電磁界解析を実行する。

また、本実施形態では、線形電磁界解析部１０６は、電流源５２１、５２２、５２３からステータコイル５１１、５１２、５１３に、各相の補正電流Ｉ₊が流れるものとして、線形非定常有限要素法による電磁界解析を実行する。
また、本実施形態では、線形電磁界解析部１０６は、領域２０２ａ～２０２ｇに対応する要素の透磁率をステータコアの他の領域に対応する要素の透磁率よりも十分に低い透磁率として、線形非定常有限要素法による電磁界解析を実行する。

次に、ステップＳ６０８において、損失導出部１０７は、ステップＳ６０３で導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂと、ステップＳ６０７で導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂとに基づいて、各要素の全体磁束密度Ｂを相毎に導出する。ステップＳ６０３で導出される各要素の磁束密度Ｂは、各相のステータコイルに各相の目標励磁電流Ｉ_Iが流れてステータコアが励磁された場合の各要素の磁束密度Ｂである。ステップＳ６０７で導出される各要素の磁束密度Ｂは、各相のステータコイルに各相の補正電流Ｉ₊が流れてステータコアが励磁された場合の各要素の磁束密度Ｂである。全体磁束密度Ｂは、目標励磁電流Ｉ_Iと補正電流Ｉ₊とを合わせた電流が各相のステータコイルに流れた場合の時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の磁束密度Ｂである。

また、損失導出部１０７は、ステップＳ６０３で導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の渦電流密度Ｊ_eと、ステップＳ６０７で導出された、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の渦電流密度Ｊ_eとに基づいて、各要素の全体渦電流密度Ｊ_eを相毎に導出する。ステップＳ６０３で導出される各要素の渦電流密度Ｊ_eは、各相のステータコイルに各相の目標励磁電流Ｉ_Iが流れてステータコアが励磁された場合の各相の目標励磁電流Ｉ_Iである。ステップＳ６０７で導出される各要素の渦電流密度Ｊ_eは、各相のステータコイルに各相の補正電流Ｉ₊が流れてステータコアが励磁された場合の各要素の渦電流密度Ｊ_eである。全体渦電流密度Ｊ_eは、目標励磁電流Ｉ_Iと補正電流Ｉ₊とを合わせた電流が各相のステータコイルに流れた場合の時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻における各要素の渦電流密度Ｊ_eである。

次に、ステップＳ６０９において、損失導出部１０７は、ステップＳ６０８で導出された、各要素の全体磁束密度Ｂおよび各要素の全体渦電流密度Ｊ_eを用いて、ＩＰＭモータ（ステータコア）の各要素のヒステリシス損Ｗｈおよび渦電流損Ｗｅを導出する。損失導出部１０７は、ＩＰＭモータの各要素および各相のヒステリシス損Ｗｈの総和を、ＩＰＭモータのヒステリシス損として導出する。また、損失導出部１０７は、ＩＰＭモータの各要素および各相の渦電流損Ｗｅの総和を、ＩＰＭモータの渦電流損として導出する。そして、損失導出部１０７は、ＩＰＭモータのヒステリシス損と渦電流損の和を、ＩＰＭモータの鉄損として導出する。

次に、ステップＳ６１０において、出力部１０８は、ステップＳ６０９で導出された、ＩＰＭモータの損失に関する情報を出力する。
図６のフローチャートによる処理は、ステップＳ６１０の処理が終了すると終了する。

<<計算例>>
次に、計算例を示す。本計算例では、非特許文献３に記載されているＤ１モータをＩＰＭモータのモデルとして用いて電磁界解析を実行した。本計算例では、変調波の周波数を１ｋＨｚ、目標励磁電流Ｉ_Iの振幅を２０Ａ、進角を０°、キャリア周波数を２０ｋＨｚ、直流電圧を５００Ｖとして、ＰＷＭインバータによりＩＰＭモータを励磁した場合の電磁界解析を実行した。その結果を表１に示す。

表１において、ＰＷＭ解析は、比較例の１つであり、各相のステータコイルにインバータ電圧Ｖ_INVが印加された場合のＩＰＭモータの鉄損を、非線形非定常有限要素法を用いた電磁界解析を実行することにより導出したことを示す。ＰＷＭ解析では、高い時間分解能（時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻）で、磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを導出した。

発明例は、本実施形態で説明した手法でＩＰＭモータの鉄損を導出したことを示す。
電流源解析は、比較例の１つであり、各相のステータコイルに目標励磁電流Ｉ_Iが流れた場合のＩＰＭモータの鉄損を、非線形非定常有限要素法を用いた電磁界解析を実行することにより導出したことを示す。電流源解析では、低い時間分解能（時間ステップΔｔ１の時間隔により定まる各時刻）で、磁束密度Ｂおよび渦電流密度Ｊ_eを導出した。

表１では、ＰＷＭ解析、発明例、および電流源解析の各手法で導出されたＩＰＭモータの鉄損および計算時間を、ＰＷＭ解析で導出された鉄損および計算時間を１００％とした場合の相対的な値で示す。
図７は、磁束密度の時系列波形の計算例を示す図である。尚、図７は、同一の要素における磁束密度の時系列波形である。また、本計算例では、変調波の周波数を１ｋＨｚとしているので、図７の横軸の電気角（＝θ）は、θ（°）÷（３６０（°）×１×１０³（Ｈｚ））の計算を実行することにより、図７の横軸の０を基準時刻とする時刻（秒）に換算される。

比較例であるＰＷＭ解析では、各相のステータコイルにインバータ電圧Ｖ_INVが印加された場合のＩＰＭモータの鉄損を、非線形非定常電磁界解析により高い時間分解能で導出する。このため、ＩＰＭモータの鉄損を高精度に導出することができるが、計算時間が長くなる。

また、比較例である電流源解析では、ＰＷＭインバータが備える半導体素子のスイッチング時のインバータ電圧Ｖ_INVの立ち上がりおよび立ち下がりのために生じる、磁束密度の細かい段階的な時間変化を考慮していない。このため、図７に示す電流源解析の磁束密度の時系列波形のように、磁束密度の細かい段階的な時間変化が表現されない。この結果、電流源解析では、表１に示すように、ＩＰＭモータの鉄損が、ＰＷＭ解析で導出されたものと大きく異なる。

これに対し、図７に示す発明例の磁束密度の時系列波形では、磁束密度の細かい段階的な時間変化が表現されており、ＰＷＭ解析の磁束密度の時系列波形に近い時系列波形になる。この結果、表１に示すように、発明例では、ＩＰＭモータの鉄損をＰＷＭ解析で導出されたものと同等にすることができる。また、発明例では、計算時間をＰＷＭ解析よりも大幅に短縮することができる。

<<まとめ>>
以上のように本実施形態では、電磁界解析装置１００は、インバータ励磁時鎖交磁束φ_INVと目標励磁時鎖交磁束φ_Iとの差φ_INV－φ_Iに基づいて、補正電流Ｉ₊を導出する。そして、電磁界解析装置１００は、補正電流Ｉ₊がステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度を、マックスウェルの方程式に基づく線形電磁界解析を実行することにより導出する。従って、目標励磁電流Ｉ_Iがステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度に対し、インバータ用半導体素子のスイッチング時に生じる細かい段階的な磁束密度の時間変化を補うためにステータコイルに流す必要がある電流を補正電流Ｉ₊として導出することができる。補正電流Ｉ₊の大きさは小さいため、線形電磁界解析を実行しても計算精度は大きく低下しない。従って、インバータ用半導体素子のスイッチング時に生じる細かい段階的な磁束密度の時間変化を考慮した電磁界解析を短時間で実行することができる。

また、本実施形態では、電磁界解析装置１００は、インバータ電圧Ｖ_INVとＩＰＭモータの回路方程式（（５）式）とに基づいて、インバータ励磁時鎖交磁束φ_INVを導出する。従って、インバータ励磁時鎖交磁束φ_INVを測定しなくても、各種のインバータ励磁時鎖交磁束φ_INVを用いて電磁界解析を実行することができる。

また、本実施形態では、電磁界解析装置１００は、目標励磁電流Ｉ_Iがステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度を、マックスウェルの方程式に基づく非線形電磁界解析を実行することにより導出する。そして、電磁界解析装置１００は、目標励磁電流Ｉ_Iがステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度と、ＩＰＭモータの回路方程式とに基づいて目標励磁電圧Ｖ_Iを導出し、目標励磁電圧Ｖ_Iに基づいてインバータ電圧Ｖ_INVを導出する。従って、インバータ電源から実際に出力されるインバータ電圧Ｖ_INVを測定しなくても、各種のインバータ電圧Ｖ_INVを用いて電磁界解析を実行することができる。また、インバータ電源から実際に出力されるインバータ電圧Ｖ_INVとは異なるインバータ電圧_INVを用いることができ、所望の特性のモータを得るために必要なインバータ電圧_INVを調査することができる。これにより、例えば、このようなインバータ電圧_INVを出力することができるインバータ電源の開発に役立てることができる。

また、本実施形態では、電磁界解析装置１００は、線形電磁界解析において導出される磁束密度の時間分解能を、非線形電磁界解析における磁束密度の時間分解能よりも高くする。そして、電磁界解析装置１００は、非線形電磁界解析における磁束密度に基づいて、線形電磁界解析において導出される磁束密度の時間分解能に対応する各時刻における磁束密度を導出する。また、電磁界解析装置１００は、線形電磁界解析において導出される磁束密度の時間分解能に対応する各時刻における目標励磁電圧Ｖ_I・インバータ電圧Ｖ_INV・インバータ励磁時鎖交磁束φ_INVを導出する。尚、本実施形態で説明した例では、線形電磁界解析において導出される磁束密度の時間分解能に対応する各時刻は、時間ステップΔｔ２の時間隔により定まる各時刻である。従って、線形電磁界解析においては、時間分解能を高くすることにより、インバータ用半導体素子のスイッチング時に生じる細かい段階的な磁束密度の時間変化に追従するように磁束密度を導出することができる。一方、非線形非定常電磁界解析においては、磁束密度の時系列データは比較的滑らかに変化することから、時間分解能を低くすることにより、実用的な精度を確保しつつ計算時間を短縮することができる。

また、本実施形態では、電磁界解析装置１００は、磁束が通る領域の一部の領域２０２ａ～２０２ｇの透磁率を、その他の領域の透磁率よりも低くした状態のステータコアにおける磁束密度を、マックスウェルの方程式に基づく線形電磁界解析を実行することにより導出する。そして、電磁界解析装置１００は、磁束が通る領域の一部の領域２０２ａ～２０２ｇの透磁率を用いて、補正電流Ｉ₊を導出する。従って、微分透磁率の空間分布に影響されずに、励磁電流と磁束との関係を線形に近似することができる。よって、線形電磁界解析部１０６における計算時間を短縮することができる。尚、磁気抵抗率は透磁率の逆数であるので、透磁率を用いることと磁気抵抗率を用いることとは等価である。

また、本実施形態では、電磁界解析装置１００は、各相のステータコイル５１１、５１２、５１３に対し、他の相の電流源５２１、５２２、５２３と未結線の電流源５２１、５２２、５２３が、補正電流Ｉ₊を出力する電流源として接続されているものとして線形電磁界解析を実行する。従って、線形電磁界解析における電源回路の構成を簡素化することができる。よって、線形電磁界解析部１０６における計算時間を短縮することができる。

また、本実施形態では、電磁界解析装置１００は、線形電磁界解析の結果に基づいて、ＩＰＭモータの各種の損失を導出する。従って、インバータ用半導体素子のスイッチング時に生じる細かい段階的な磁束密度の時間変化を考慮してＩＰＭモータの損失を導出することができる。

<<変形例>>
本実施形態では、（８）式により磁気抵抗Ｒ_mを導出する場合を例示した。しかしながら、磁気抵抗Ｒ_mを導出する手法は、このような手法に限定されない。例えば、線形電磁界解析部１０６により実行される線形非定常有限要素法を用いた電磁界解析と同様の電磁界解析を一ステップのみ実行し、１つの時刻において、ステータコアを通る磁束を導出する。このようにする場合、励磁電流は補正電流Ｉ₊でなくてよく、任意の値の電流でよい。また、このようにする場合、透磁率として低透磁率要素における透磁率（＝１／ν_high）を用いる。そして、このようにして導出した磁束と、当該磁束を導出したときに用いた励磁電流と、ステータコイルの巻回数とに基づいて、磁気抵抗Ｒ_mを導出する。

本実施形態では、各ティース部の、径方向の中央付近の領域であって、周方向に沿う領域２０２ａ～２０２ｇを低透磁率要素とする場合を例示した。しかしながら、補正電流Ｉ₊と、補正電流Ｉ₊がステータコイルに流れた場合にステータコアに流れる磁束とが比例関係に近似されるように、ステータコアの磁束が通る領域の一部の領域の透磁率をステータコアの他の領域の透磁率よりも低い透磁率としていれば、低透磁率要素とする領域は、領域２０２ａ～２０２ｇに限定されない。例えば、ヨーク部の、各スロットの周方向における中央付近の領域であって、径方向に沿う領域を低透磁率要素としてもよい。

本実施形態では、目標励磁電流Ｉ_Iがステータコイルに流れた場合のステータコアにおける磁束密度に基づいて目標励磁電圧Ｖ_Iを導出し、目標励磁電圧Ｖ_Iに基づいてインバータ電圧Ｖ_INVを導出する場合を例示した。しかしながら、インバータ電圧Ｖ_INVをこのようにして導出しなくてもよい。例えば、ＰＷＭインバータから実際に出力されるインバータ電圧の時系列波形を測定し、測定したインバータ電圧の時系列波形を示すデータを電磁界解析装置１００に入力し、当該データをインバータ電圧Ｖ_INVとして用いてもよい。このようにする場合、例えば、ＰＷＭインバータで使用される変調波のデータを電磁界解析装置１００に入力し、当該データを目標励磁電圧Ｖ_Iのデータとして用いる。また、ＰＷＭインバータで使用される変調波をステータコイルに印加した場合にステータコイルに流れる磁束を測定し、測定した磁束のデータを電磁界解析装置１００に入力し、当該データを目標励磁時鎖交磁束φ_Iとして用いる。また、線形電磁界解析において使用される微分透磁率は、例えば、ステータコアを構成する電磁鋼板の磁化特性（ＢＨ曲線）に基づいて定められる。

本実施形態では、インバータ電圧Ｖ_INVと、ＩＰＭモータの回路方程式とに基づいて、インバータ励磁時鎖交磁束φ_INVを導出する場合を例示した。しかしながら、インバータ励磁時鎖交磁束φ_INVをこのようにして導出しなくてもよい。例えば、ＰＷＭインバータからステータコイルに実際にインバータ電圧を印加した場合にステータコイルに鎖交する磁束を測定し、測定した磁束のデータを電磁界解析装置１００に入力し、入力したデータをインバータ励磁時鎖交磁束φ_INVとして用いてもよい。

本実施形態では、ステータコアにおける損失として、目標励磁電流Ｉ_Iと補正電流Ｉ₊とを合わせた電流がステータコイルに流れた場合のステータコアにおける損失を導出する場合を例示した。また、ステータコアにおける損失として、ヒステリシス損、渦電流損、および鉄損を導出する場合を例示した。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、鉄損を導出しなくてもよい。また、ヒステリシス損および渦電流損の一方のみを導出してもよい。また、補正電流Ｉ₊のみがステータコイルに流れた場合のステータコアにおける損失として、ヒステリシス損、渦電流損、および鉄損の少なくとも１つを導出してもよい。また、例えば、磁束密度のみを評価対象とし、損失を評価対象としない場合には、ステータコアにおける損失を導出する必要はない。

本実施形態では、インバータ電源がＰＷＭインバータである場合を例示した。しかしながら、インバータ電源はＰＷＭインバータに限定されない。例えば、ＰＡＭ（pulse Amplitude Modulation）インバータをインバータ電源としてもよい。

尚、以上説明した本発明の実施形態は、コンピュータがプログラムを実行することによって実現することができる。また、前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体及び前記プログラム等のコンピュータプログラムプロダクトも本発明の実施形態として適用することができる。記録媒体としては、例えば、フレキシブルディスク、ハードディスク、光ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ－ＲＯＭ、磁気テープ、不揮発性のメモリカード、ＲＯＭ等を用いることができる。また、本発明の実施形態は、ＰＬＣ（Programmable Logic Controller）により実現されてもよいし、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）等の専用のハードウェアにより実現されてもよい。
また、以上説明した本発明の実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の例を示したものに過ぎず、これらによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその技術思想、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

１００ 電磁界解析装置
１０１ 非線形電磁界解析部
１０２ 目標励磁電圧導出部
１０３ インバータ電圧導出部
１０４ インバータ励磁時鎖交磁束導出部
１０５ 補正電流導出部
１０６ 線形電磁界解析部
１０７ 損失導出部
１０８ 出力部
２０１ ロータ
２０２ ステータ
２０２ａ～２０２ｇ 透磁率が低い領域
３１０ 正相変調波
３２０ 搬送波
３３０ 負相変調波
３４０ 正相ノッチ波
３５０ 負相ノッチ波
３６０ インバータ電圧
４１０ 目標励磁電流で励磁した場合の磁束密度の時系列波形
４２０ インバータ電圧で励磁した場合の磁束密度の時系列波形
５１１～５１３ ステータコイル
５２１～５２３ 電流源
５３０ ステータコア

Claims (11)

1. インバータ電源から出力されるインバータ電圧に基づいて駆動するモータにおける電磁界を解析する電磁界解析装置であって、
   前記インバータ電圧が前記モータのステータコイルに印加された場合に前記ステータコイルに鎖交する磁束であるインバータ励磁時鎖交磁束と、前記ステータコイルに目標励磁電流が流れた場合に前記ステータコイルに鎖交する磁束である目標励磁時鎖交磁束との差に基づいて、補正電流を導出する補正電流導出手段と、
   前記補正電流が前記ステータコイルに流れた場合の前記モータのステータコアにおける磁束密度を、マックスウェルの方程式に基づく線形電磁界解析を実行することにより導出する線形電磁界解析手段と、を有し、
   前記補正電流は、前記目標励磁電流が前記ステータコイルに流れた場合の前記ステータコアにおける磁束密度に対し、前記インバータ電源のスイッチング素子のスイッチング時に生じる磁束密度の時間変化を補うために前記ステータコイルに流す必要がある電流である、電磁界解析装置。
2. 前記インバータ電圧と、前記モータの回路方程式とに基づいて、前記インバータ励磁時鎖交磁束を導出するインバータ励磁時鎖交磁束導出手段を更に有する、請求項１に記載の電磁界解析装置。
3. 前記目標励磁電流が前記ステータコイルに流れた場合の前記ステータコアにおける磁束密度を、マックスウェルの方程式に基づく非線形電磁界解析を実行することにより導出する非線形電磁界解析手段と、
   前記非線形電磁界解析手段により導出された前記磁束密度と、前記モータの回路方程式とに基づいて、前記目標励磁電流に対応する励磁電圧である目標励磁電圧を導出する目標励磁電圧導出手段と、
   前記目標励磁電圧導出手段により導出された前記目標励磁電圧に基づいて、前記インバータ電圧を導出するインバータ電圧導出手段と、を更に有し、
   前記インバータ励磁時鎖交磁束導出手段は、前記インバータ電圧導出手段により導出されたインバータ電圧と、前記モータの回路方程式とに基づいて、前記インバータ励磁時鎖交磁束を導出し、
   前記線形電磁界解析手段は、前記非線形電磁界解析手段により導出された前記磁束密度に基づく磁化特性を用いて前記線形電磁界解析を実行する、請求項２に記載の電磁界解析装置。
4. 前記線形電磁界解析手段により導出される磁束密度の時間分解能は、前記非線形電磁界解析手段により導出される磁束密度の時間分解能よりも高く、
   前記非線形電磁界解析手段により導出された前記磁束密度に基づいて、前記線形電磁界解析手段により導出される磁束密度の時間分解能に対応する各時刻における前記磁束密度が導出され、
   前記線形電磁界解析手段により導出される磁束密度の時間分解能に対応する各時刻における前記目標励磁電圧が導出され、
   前記線形電磁界解析手段により導出される磁束密度の時間分解能に対応する各時刻における前記インバータ電圧が導出され、
   前記線形電磁界解析手段により導出される磁束密度の時間分解能に対応する各時刻における前記インバータ励磁時鎖交磁束が導出される、請求項３に記載の電磁界解析装置。
5. 前記線形電磁界解析手段は、磁束が通る領域の一部の領域の透磁率を、その他の領域の透磁率よりも低くした状態の前記ステータコアにおける磁束密度を、マックスウェルの方程式に基づく線形電磁界解析を実行することにより導出し、
   前記補正電流導出手段は、前記磁束が通る領域の一部の領域の透磁率を用いて前記補正電流を導出する、請求項１～４の何れか１項に記載の電磁界解析装置。
6. 前記線形電磁界解析手段は、各相の前記ステータコイルに対し、他の相の前記ステータコイルに接続される電流源と未結線の電流源が、前記補正電流を出力する電流源として接続されているものとして前記線形電磁界解析を実行する、請求項１～５の何れか１項に記載の電磁界解析装置。
7. 前記線形電磁界解析手段により導出された前記ステータコアにおける磁束密度に基づいて、前記ステータコアにおける損失を導出する損失導出手段を更に有する、請求項１～６の何れか１項に記載の電磁界解析装置。
8. 前記損失導出手段は、前記目標励磁電流と前記補正電流とを合わせた電流が前記ステータコイルに流れた場合の前記ステータコアにおける損失を導出する、請求項７に記載の電磁界解析装置。
9. 前記損失は、渦電流損と、ヒステリシス損と、渦電流損およびヒステリシス損の和との何れかである、請求項７または８に記載の電磁界解析装置。
10. インバータ電源から出力されるインバータ電圧に基づいて駆動するモータにおける電磁界を解析する電磁界解析方法であって、
    前記インバータ電圧が前記モータのステータコイルに印加された場合に前記ステータコイルに鎖交する磁束であるインバータ励磁時鎖交磁束と、前記ステータコイルに目標励磁電流が流れた場合に前記ステータコイルに鎖交する磁束である目標励磁時鎖交磁束との差に基づいて、補正電流を導出する補正電流導出工程と、
    前記補正電流が前記ステータコイルに流れた場合の前記モータのステータコアにおける磁束密度を、マックスウェルの方程式に基づく線形電磁界解析を実行することにより導出する線形電磁界解析工程と、を有し、
    前記補正電流は、前記目標励磁電流が前記ステータコイルに流れた場合の前記ステータコアにおける磁束密度に対し、前記インバータ電源のスイッチング素子のスイッチング時に生じる磁束密度の時間変化を補うために前記ステータコイルに流す必要がある電流である、電磁界解析方法。
11. 請求項１～９の何れか１項に記載の電磁界解析装置の各手段としてコンピュータを機能させるためのプログラム。

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